Vol. 2

L.0.G.S.E. MATEMÁTICAS II Pág. 381 4− − µ = 1+4α⎫3 34 1⎪+ µ = −1−α ⎬ ⇒3 3⎪µ = 2 − 3α⎭⎪4 44α + µ = − ⎫3 31 7⎪α + µ = − ⎬ ⇒3 3 ⎪3α + µ = 2 ⎭⎪12α + 4µ= −4⎫⎪3α + µ = −7⎬⎪3α + µ = 2 ⎭Expresemos el sistema en forma matricial y resolvámoslo mediante el método de reducciónde Gauss.⎛ 12 4 −4⎞ Triangulemos inferiormente.⎜⎟ Tomemos como pivote el elemento a 3 1 −711 = 12 … 0.⎜⎝ 3 1 2 ⎟ Sustituyamos la 2ª fila por: 4 · [2ªf.] - [1ªf.]⎠ Sustituyamos la 3ª fila por: 4 · [3ªf.] - [1ªf.]⎛⎜⎜⎝12 40 00 0−4⎞⎟−2412 ⎟⎠Hemos obtenido dos ecuaciones absurdas, por lo tanto el sistema esincompatible, y consecuentemente las dos rectas se cruzan en elespacio(3) Elegimos dos puntos genéricos, uno P =⎛ 1 4 4 1⎜ − − µ , + µ , µ⎞⎟⎝ 3 3 3 3 ⎠de la recta r, yotro H = ( 1+ 4α, − 1− α, 2 − 3α) de la recta s. Construimos el vector PH →que determinanambos puntos:PH → = ( + − − − ) −⎛ 1 4 4 11 4α, 1 α, 2 3α ⎜ − − µ , + µ , µ⎞⎟ =⎝ 3 3 3 3 ⎠=⎛ 4⎜ + + − − − − −⎞⎟⎝ 3 4 4 7 1α µ , α µ , 2 3α µ3 3 3⎠e imponemos la condición de que sea perpendicular a cada uno de los vectores de dirección delas rectas, es decir, que el producto escalar sea cero:→ r ⎫PH • u r = 0 ⎪→⎬ ⇒rPH • v s = 0 ⎪⎭⎛ 4⎞ ⎛⎞ ⎫⎜ + + , − − − , − − ⎟ • ⎜ − , , ⎟ =⎝ 3 4 4 7 14 1α µ α µ 2 3α µ1 03 3 3⎠ ⎝ 3 3 ⎠⎪⎬⎛ 4⎞⎜ + + , − − − , − − ⎟ •⎝⎠( , − , − ) = ⎪3 4 4 7 1α µ α µ 2 3α µ 4 1 3 03 3 3⎭⎪Planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, α y µ, una vez resuelto,estaremos en condiciones de calcular el módulo del vector PH →, que coincidirá con la mínimadistancia entre las dos rectas que se cruzan en el espaciodist( r, s ) =→PH