MÉTODO DE TAYLOR TEOREMA DE TAYLOR DE ORDEN N Sea y(t)

UNALM-Departamento de Matemática Curso: Métodos Numéricos IIProfesor: Juan Dueñas B.MÉTODO DE TAYLORTEOREMA DE TAYLOR DE ORDEN NSea y(t) una función tal que sea N veces continuamentediferenciable en el intervalo [a,b] y existe y (N+1) existe en [a, b]Para todo t k + h ∈ [a, b] habrá un número ξ(t k ) ∈[t k +h, b] talque:2hy(t k +h)=y(t k )+y'(t k )h+y''(t k )2!+…+y (N) h(t k ) NhN! +y(N+1) (ξ(t k ))N + 1(N+1)!A la fórmula (*) se denomina la fórmula de Taylor(ó la seriede Taylor) de orden n.El valor numérico aproximado de la solución del problema devalor inicial y'=f(t,y) con y(t 0 )=y 0 , en el intervalo [a,b] medianteel método de Taylor, está basado en la aplicación del teoremade Taylor en cada subintervalo [t k , t k+1 ], de manera que elpaso general del método de Taylor de orden N es:2Nhy k+1 =y k + y'( t k ) h+ y''( t k ) +…+ y (N) h( t k ) ; para k=0,1,... ,n-12!N!Observación: El método de Euler, es el método de Taylor deorden 1.(*)UNALM-Departamento de Matemática Curso: Métodos Numéricos IIProfesor: Juan Dueñas B.Ejemplo Aplicando el método de Taylor de orden 2 con h=0.5,calcular y(1), si y'= y - t 2 , con y(0) =2Solución: Identificando: f( t, y ) =y – t 2t 0 =0; y 0 =2; t FINAL =1El método de Taylor de orden 2:y k+1 = y k + y' k h + y ( 2)k2h , k = 0,1,22!Luego, y ( 2)= dy'2dt = d(y − t ) dy= 2tdt dt − = y - t 2 -2tPor tanto, y k+1 = y k + (y k – t 2 k) h + (y k – t 2 k– 2t k)ITERACION 1:y 1 = y 0 + (y 0 – t 2 0) h + (y 0 – t 2 0– 2t 0)2h2!= 2 + (2- 0 2 ) ×0.5 + (2- 0 2 – 2×0 ) × 052 .= 3.252!t 1 = t 0 + h=0 + 0.5= 0.5ITERACION 2:2y 2 = y 1 + (y 1 – t 2 ) h + (y 11 – t 2 – 2t ) h1 12!2h2!= 3.25+ (3.25- 0.5 2 ) ×0.5 + (3.25 - 0.5 2 -2×0.5) × 052 .= 52!t 2 = t 1 + h= 0.5+0.5= 1Por lo tanto, y(1) ≈ 556

UNALM-Departamento de Matemática Curso: Métodos Numéricos IIProfesor: Juan Dueñas B.Ejercicio Aplicando el método de Taylor de orden 2 con h=1,calcular y(5), si y'= y - t , con y(1) =3t yaprox yexacta1.0000 3.0000 3.00002.0000 5.5000 5.71833.0000 10.2500 11.38914.0000 20.6250 25.08555.0000 45.0625 60.5982t yaprox yexacta1.0000 3.0000 3.00001.5000 4.1250 4.14872.0000 5.6406 5.71832.5000 7.7910 7.98173.0000 10.9729 11.38913.5000 15.8310 16.68254.0000 23.4128 25.08554.5000 35.4208 38.61555.0000 54.6213 60.5982Ejercicio Aplicando el método de Taylor de orden 3, calculary(1) en cuatro iteraciones, si y'= y - t , con y(0) =2La solución exacta es: y(t)=1 + t + e tt yHaproxLyHexactaL0. 2 20.25 2.53385 2.534030.5 3.14828 3.148720.75 3.86615 3.8671. 4.71683 4.718287