108 ´Algebra y Trigonomet - Departamento de Matemáticas
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ii) Para todo ángulo α, se tiene:−1 ≤ sen α ≤ 1 y −1 ≤ cosα ≤ 14. El signo asociado con las funciones trigonométricas, depende del cuadrante enque esté situado el lado terminal del ángulo.Teniendo en cuenta las funciones trigonométricas anteriores podemos elaborar lasiguiente tabla que será de gran ayuda e invitamos a todos a continuar en suelaboración. Aquí, N.E se lee: No existe.α en grados α en rad. sen α cosα tan α cot α sec α csc α0 o 0 0 1 0 N.E 1 N.E30 o π √ √1 3 3√6 2 2 3 32 √ 32345 o π √ √2 2√ √1 14 2 2 2 260 o π √3√ √13 2 2 3 322 √ 33 390 o π 1 0 N.E 0 N.E 12180 o π 0 -1 0 N.E -1 N.E270 o 3π 2-1 0 N.E 0 N.E -1Ejemplo 4. Determinar las funciones trigonométricas de π 4de 45 o .o en otras palabrasSolución: Consideremos el ángulo dado en posición estándar, teniendo comolado inicial, l 1 , el eje positivo de las coordenadas x y lado final, l 2 , la semirrectaen el primer cuadrante de plano coordenado formando el ángulo de 45 o (figura6(a)). Tomemos un punto P sobre l 2 con 1 como coordenada x. Construimos elsegmento PM perpendicular al eje x y, observamos, que como ∠POM es 45 o y∠OMP es 90 o y el triángulo OMP es un triángulo isósceles con los lados OM yMP de longitud iguales. Así, el punto P tiene como coordenadas (1,1) y por elTeorema Pitagórico tenemos que el radio r = |OP | = √ 2, luego,sen 45 o = √ 1 2= √ 2, 2 cot45o = 1 = 1, 1cos 45 o = √ 12= √ 2, sec 2 45o = √ 2= √ 2,1tan45 o = 1 = 1, csc 1 45o = √ 2= √ 2.18
OyP(1, 1)l 245 oBa1 MxC(a)Figura 6cαb(b)AEjemplo 5. Demostrar la identidad Pitagórica sen 2 α + cos 2 α = 1.Demostración: Por el Teorema de Pitágoras tenemos que a 2 + b 2 = c 2 , dondec es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, (figura 6(b)) y a, b sus lados.Así, dividiendo esta igualdad por c 2 ,( ac( bc) 2+) 2 ( 2 c=c)y por la definición de las funciones trigonométricas de seno y coseno,sen 2 α + cos 2 α = 1.Ejemplo 6. Demostrar la identidad: sen 2 α(1 + cot 2 α) = 1.Demostración: De las identidades trigonométricas tenemos que 1 + cot 2 α =csc 2 α. Entoncessen 2 α(1 + cot 2 α) = sen 2 α csc 2 α= sen 2 α 1sen 2 α = 1.Ejemplo 7. Se coloca en el punto A un instrumento para medir en la noche laaltura de las nubes. Este aparato emite un rayo vertical de luz que hace una señalen las nubes. La señal se ve desde un punto a 130 metros de distancia horizontalmedida desde A. El ángulo entre el suelo y la señal en la nube es de 60 o . Hallarla altura de las nubes.9
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ii) Para todo ángulo α, se tiene:−1 ≤ sen α ≤ 1 y −1 ≤ cosα ≤ 14. El signo asociado con las funciones trigonométricas, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l cuadrante enque esté situado el lado terminal <strong>de</strong>l ángulo.Teniendo en cuenta las funciones trigonométricas anteriores po<strong>de</strong>mos elaborar lasiguiente tabla que será <strong>de</strong> gran ayuda e invitamos a todos a continuar en suelaboración. Aquí, N.E se lee: No existe.α en grados α en rad. sen α cosα tan α cot α sec α csc α0 o 0 0 1 0 N.E 1 N.E30 o π √ √1 3 3√6 2 2 3 32 √ 32345 o π √ √2 2√ √1 14 2 2 2 260 o π √3√ √13 2 2 3 322 √ 33 390 o π 1 0 N.E 0 N.E 12180 o π 0 -1 0 N.E -1 N.E270 o 3π 2-1 0 N.E 0 N.E -1Ejemplo 4. Determinar las funciones trigonométricas <strong>de</strong> π 4<strong>de</strong> 45 o .o en otras palabrasSolución: Consi<strong>de</strong>remos el ángulo dado en posición estándar, teniendo comolado inicial, l 1 , el eje positivo <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas x y lado final, l 2 , la semirrectaen el primer cuadrante <strong>de</strong> plano coor<strong>de</strong>nado formando el ángulo <strong>de</strong> 45 o (figura6(a)). Tomemos un punto P sobre l 2 con 1 como coor<strong>de</strong>nada x. Construimos elsegmento PM perpendicular al eje x y, observamos, que como ∠POM es 45 o y∠OMP es 90 o y el triángulo OMP es un triángulo isósceles con los lados OM yMP <strong>de</strong> longitud iguales. Así, el punto P tiene como coor<strong>de</strong>nadas (1,1) y por elTeorema Pitagórico tenemos que el radio r = |OP | = √ 2, luego,sen 45 o = √ 1 2= √ 2, 2 cot45o = 1 = 1, 1cos 45 o = √ 12= √ 2, sec 2 45o = √ 2= √ 2,1tan45 o = 1 = 1, csc 1 45o = √ 2= √ 2.18
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