108 ´Algebra y Trigonomet - Departamento de Matemáticas

De (1), tenemos que la fórmula para la longitud de un arco de circunferenciaes dada pors = rα.Demostración: Considere los arcos de longitudes s, s 1 y los ángulos centralesα, α 1 respectivamente, figura 3(a) y 3(b), entonces por geometría euclidiana,tenemos ques= α .s 1 α 1En particular, consideremos el caso donde α 1 = 1 rad, entonces s 1 = r y así seobtienesr= α o en forma equivalente s = rα.αrsα 1 s 1r(a)Figura 3Observación: Si α = 2π, la longitud de un arco circular se transforma ens = r(2π) que es la fórmula de la circunferencia de un círculo, C = 2πr.Proposición: Sea C una circunferencia de radio r. Si α y A son la medida enradianes de un ángulo central de C, y el área del sector circular determinado porα, respectivamente, entoncesA = 1 2 r2 α.Demostración: Sean α y α 1 ángulos centrales de una circunferencia de radior, llamela C, con α < α 1 y sean A y A 1 las áreas de los sectores correspondientesa los ángulos α y α 1 respectivamente. Entonces por geometría euclidiana,AA 1= α α 1o A = A 1α 1α.Si consideramos el caso en que α 1 = 2π, entonces A 1 = πr 2 yA = πr22π α = 1 2 r2 α.4(b)