108 ´Algebra y Trigonomet - Departamento de Matemáticas

por 360 ◦ . Un grado es la medida del ángulo central que intercepta un arco iguala 1360de la circunferencia.Tenemos varios tipos de ángulos de acuerdo a su abertura, entre ellos tenemospor ejemplo, el ángulo llano, ángulo recto, ver figura 1(c), los cuales definiremosa continuación y se encuentran en el cuadro abajo. Si los lados del ángulo seencuentran sobre la misma recta pero se extienden en direcciones opuestas de suvértice se tiene un ángulo llano, esto es, su medida es de 180 o . Un ángulo sellama ángulo cuadrantal, si su lado terminal está en el eje coordenado, observe lafigura 1(c). Otros ángulos son:Terminología Definición EjemploÁngulo Recto θ = 90 ◦ 90 ◦Ángulo agudo 0 ◦ < θ < 90 ◦ 13 ◦ ; 23 ◦Ángulo obtuso 90 ◦ < θ < 180 ◦ 93 ◦ ; 145 ◦Ángulos complementarios α, β α + β = 90 ◦ 25 ◦ , 65 ◦ ; 80 ◦ , 10 ◦Ángulos suplementarios α, β α + β = 180 ◦ 25 ◦ , 155 ◦ ; 80 ◦ , 100 ◦En matemáticas la unidad más común para medir los ángulos es el radián.Para definir el ángulo con medida de radián, consideremos un círculo de radior. El ángulo central de un círculo es un ángulo cuyo vértice está en el centrodel círculo, figura 2(a). Si γ es el ángulo central, decimos que el arco P 1 P 2 , quedenotaremos s, de la circunferencia subtiende a γ por s. Ahora, si la longitudde s es igual al radio del círculo, entonces el ángulo γ mide 1 radián, ver figura2(b). Si γ = 0 revoluciones, llamaremos a γ de ángulo cero; éste es el ángulo enel cuál no hay rotación, el lado terminal y el lado inicial coinciden, como se puedever en la figura 2(c); sin embargo, esto también se satisface para un ángulo de nrevoluciones, donde n es un entero. En la figura 2(d) se muestra un ángulo de 2revoluciones.Definición: Definimos un radián como la medida del ángulo central que subtiendeun arco de longitud igual al radio del círculo. Ver figura 2(a).2

P 1P 2γγrrO P 1 , P 2P 1 , P 2(a)(b)(c)Figura 2(d)Es importante saber llevar radianes a grados y viceversa, para esto tenemoslas siguientes relaciones:1. 180 ◦ = π radianes2. 1 ◦ = π180 radianes3. 1 radian = 180◦πPara cambiar de grados a radianes se multiplica por π180 .Para cambiar de radianes a grados se multiplica por 180π .Ejemplo 1. Si α = 45 o , calcula α en radianes y si α = π , calcula α en grados.3Solución: Utilizando las relaciones anteriores tenemos:( ) π45 o = 45 o = π πy180 o 4 3 = π ( ) 180o= 60 o .3 πEsta técnica se puede usar para obtener las medidas de ángulos más utilizados,los cuales se muestran en la siguiente tabla.π π π π 2π 3π 5π7πRadianes 0 π 2π6 4 3 2 3 4 6 6Grados 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o 210 o 360 oEs convencional que, si no se designa unidad de medida de un ángulo, entonceséste ésta es en radianes. Por lo tanto, podemos escribimos la medida del ángulocomoα = s , |α| ≤ 2π, (1)rdonde s es la longitud del arco interceptado y r es la longitud del radio del círculo.Observemos que si s = r, entonces α = 1, figura 2(b). Es decir que un radián esla medida de un ángulo central cuyo arco interceptado tiene la misma longitudque el radio del círculo.3

De (1), tenemos que la fórmula para la longitud de un arco de circunferenciaes dada pors = rα.Demostración: Considere los arcos de longitudes s, s 1 y los ángulos centralesα, α 1 respectivamente, figura 3(a) y 3(b), entonces por geometría euclidiana,tenemos ques= α .s 1 α 1En particular, consideremos el caso donde α 1 = 1 rad, entonces s 1 = r y así seobtienesr= α o en forma equivalente s = rα.αrsα 1 s 1r(a)Figura 3Observación: Si α = 2π, la longitud de un arco circular se transforma ens = r(2π) que es la fórmula de la circunferencia de un círculo, C = 2πr.Proposición: Sea C una circunferencia de radio r. Si α y A son la medida enradianes de un ángulo central de C, y el área del sector circular determinado porα, respectivamente, entoncesA = 1 2 r2 α.Demostración: Sean α y α 1 ángulos centrales de una circunferencia de radior, llamela C, con α < α 1 y sean A y A 1 las áreas de los sectores correspondientesa los ángulos α y α 1 respectivamente. Entonces por geometría euclidiana,AA 1= α α 1o A = A 1α 1α.Si consideramos el caso en que α 1 = 2π, entonces A 1 = πr 2 yA = πr22π α = 1 2 r2 α.4(b)

Aquí, ya podemos pensar en dos tipos de velocidades que encontramos cuandoestamos estudiando los ángulos. Así, la velocidad lineal de un punto Q de lacircunferencia es la distancia que Q recorre por unidad de tiempo. La velocidadangular de una rueda que gira a razón constante es el ángulo generado, en unaunidad de tiempo, por un segmento de recta que va del centro de la rueda a unpunto cualquiera Q de la circunferencia.Ejemplo 2. Si un círculo tiene 2 pies de radio, determinar la longitud s del arcodel círculo interceptado por un ángulo central de − 8 radianes. 3Solución: Usando la fórmula para la longitud de un arco de circunferencia conr = 2 y α = − 8 , tenemos 3s = − 8 3 × 2 = −16 3 pies.Ejemplo 3. La rueda de una bicicleta tiene 100cm de diámetro.1. Calcular la distancia recorrida por la bicicleta cuando la rueda ha completado10 revoluciones.2. Suponga que un buen ciclista hace girar la rueda con una velocidad de 170revoluciones por minuto. Determina la velocidad (rapidez) angular de larueda.3. Dado un punto Q sobre la circunferencia de la rueda. Hallar la rapidez delpunto Q cuando la rueda gira con una velocidad de 170 revoluciones porminuto.QOFigura 4Solución: 1. Como una revolución es igual a una vuelta y en la vuelta la ruedarecorre 2πr cm, siendo r el radio de la rueda. Con r = 50cm, tenemos que en unarevolución, la rueda recorre 2π × 50cm = 100π cm y en 10 revoluciones recorrerá1000π cm.5

2. Sea O el centro de la rueda y Q (figura 4) un punto sobre la circunferencia.Tenemos que el número de revoluciones por minuto es 170 y cada revolucióngenera un ángulo de 2π radianes, el ángulo generado por el segmento de rectaOQ en un minuto medirá 170 × 2π radianes, asívelocidad angular = 170 × 2π = 340π radianes por minuto.3. Tenemos que la velocidad de Q es la distancia que recorre por minuto,luego usando la fórmula s = rα, con α = 340π se tienes = 50 × 340π = 17000π cm,y, por tanto, la rapidez lineal de Q es 17000π cm/minuto.6.2 Funciones trigonométricasDefiniremos las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulorectángulo. Diremos que un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos es recto,(ver figura 5(a)).Definición: Sea α un ángulo en posición estándar, es decir, su lado inicialcoincide con el semieje positivo x, y el lado terminal en cualquier cuadrantedel plano cartesiano. Sobre el lado terminal del ángulo, sea P(x, y), un puntocualquiera, distinto del origen. Las seis funciones trigonométricas de α se definen,en términos de la abscisa (x), la ordenada (y) y a distancia (r) del punto P alorigen, así: (ver figura 5(b)),1. sen α = OrdenadaDistancia = y r2. cosα = AbscisaDistancia = x r3. tanα = OrdenadaAbscisa = y x , si x ≠ 04. cotα = AbscisaOrdenada = x y , si y ≠ 05. sec α = DistanciaAbscisa = r x , si x ≠ 06. csc α = DistanciaOrdenada = r y , si y ≠ 0. 6

BP(x, y)hβaryAα b(a)90 oCFigura 5Oα(b)xAqui d(O, P) = r = √ x 2 + y 2 y siendo α el ángulo agudo del triángulo rectángulode lados de longitudes x, y y r, nos referimos es estos como lado adyacente, ladoopuesto y la hipotenusa, respectivamente. Por notación de algunos textos laslongitudes de los lados utiliza los términos ady para lado adyacente, op para ladoopuesto e hip para hipotenusa. Así, por ejemplo, tenemossen α =Lado opuestoHipotenusa = ophip = y r .Observación: Para todo ángulo agudo α, sen α ≤ 1, cosα ≤ 1, csc α > 1,sec α > 1.Puede demostrarse que las funciones trigonométricas no dependen de la eleccióndel punto P(x, y); es decir, cualquier punto Q(x ′ , y ′ ) sobre el lado terminal, y distintodel origen, arroja para cada función trigonométrica, el mismo valor.A partir de la definición anterior, pueden deducirse las siguientes relacionesentre las funciones trigonométricas, siempre que las operaciones indicadas esténpermitidas en los reales:1. Identidades reciprocas.2. Relaciones trigonométricas.i) sen α = 1 ii) cosα = 1 iii) tan α = 1csc α sec α cot αiv) csc α = sen 1 v) sec α = 1 vi) cot α = 1α cos α tan αi) tan α = sen αcos αii) cot α = sen cos ααiii) tanα cotα = 1iv) sen α csc α = 1 v) cosαsec α = 13. Para todo ángulo α, se tiene la identidad.i) Identidad fundamental o pitagórica:sen 2 α + cos 2 α = 17

ii) Para todo ángulo α, se tiene:−1 ≤ sen α ≤ 1 y −1 ≤ cosα ≤ 14. El signo asociado con las funciones trigonométricas, depende del cuadrante enque esté situado el lado terminal del ángulo.Teniendo en cuenta las funciones trigonométricas anteriores podemos elaborar lasiguiente tabla que será de gran ayuda e invitamos a todos a continuar en suelaboración. Aquí, N.E se lee: No existe.α en grados α en rad. sen α cosα tan α cot α sec α csc α0 o 0 0 1 0 N.E 1 N.E30 o π √ √1 3 3√6 2 2 3 32 √ 32345 o π √ √2 2√ √1 14 2 2 2 260 o π √3√ √13 2 2 3 322 √ 33 390 o π 1 0 N.E 0 N.E 12180 o π 0 -1 0 N.E -1 N.E270 o 3π 2-1 0 N.E 0 N.E -1Ejemplo 4. Determinar las funciones trigonométricas de π 4de 45 o .o en otras palabrasSolución: Consideremos el ángulo dado en posición estándar, teniendo comolado inicial, l 1 , el eje positivo de las coordenadas x y lado final, l 2 , la semirrectaen el primer cuadrante de plano coordenado formando el ángulo de 45 o (figura6(a)). Tomemos un punto P sobre l 2 con 1 como coordenada x. Construimos elsegmento PM perpendicular al eje x y, observamos, que como ∠POM es 45 o y∠OMP es 90 o y el triángulo OMP es un triángulo isósceles con los lados OM yMP de longitud iguales. Así, el punto P tiene como coordenadas (1,1) y por elTeorema Pitagórico tenemos que el radio r = |OP | = √ 2, luego,sen 45 o = √ 1 2= √ 2, 2 cot45o = 1 = 1, 1cos 45 o = √ 12= √ 2, sec 2 45o = √ 2= √ 2,1tan45 o = 1 = 1, csc 1 45o = √ 2= √ 2.18

OyP(1, 1)l 245 oBa1 MxC(a)Figura 6cαb(b)AEjemplo 5. Demostrar la identidad Pitagórica sen 2 α + cos 2 α = 1.Demostración: Por el Teorema de Pitágoras tenemos que a 2 + b 2 = c 2 , dondec es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, (figura 6(b)) y a, b sus lados.Así, dividiendo esta igualdad por c 2 ,( ac( bc) 2+) 2 ( 2 c=c)y por la definición de las funciones trigonométricas de seno y coseno,sen 2 α + cos 2 α = 1.Ejemplo 6. Demostrar la identidad: sen 2 α(1 + cot 2 α) = 1.Demostración: De las identidades trigonométricas tenemos que 1 + cot 2 α =csc 2 α. Entoncessen 2 α(1 + cot 2 α) = sen 2 α csc 2 α= sen 2 α 1sen 2 α = 1.Ejemplo 7. Se coloca en el punto A un instrumento para medir en la noche laaltura de las nubes. Este aparato emite un rayo vertical de luz que hace una señalen las nubes. La señal se ve desde un punto a 130 metros de distancia horizontalmedida desde A. El ángulo entre el suelo y la señal en la nube es de 60 o . Hallarla altura de las nubes.9

Solución: Denotemos por h la altura de la nube AB. Así, del triángulo ABCde la figura 7 tenemos quetan60 o = h130 , h = 130 tan60o = 130 × 1.73 = 224.9 metros.BhA60 o130mFigura 7Ejercicio 1. Determinar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30 o ,60 o , 90 o .C6.3 Funciones trigonométricas de números realesPara funciones trigonométricas de números reales es importante observar quesi t es un número real y P(x, y) es el punto de la circunferencia unitaria U, estoes, la circunferencia de radio r = 1, que corresponde a t, tenemossen(t) = y cos(t) = x tan(t) = y , si x ≠ 0xcot(t) = x , si y ≠ 0 sec(t) = 1 , si x ≠ 0 csc(t) = 1 , si y ≠ 0y x yEjercicio 2. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas cuando t,tome los valores de π, π.2 4Para lo que sigue es importante, saber si una función es periódica o aperiódica.No entraremos en mucho detalle, pero es importante entender el concepto fundamentalde dichas funciones. A seguir daremos la definición más formal.Definición: Sea f una función con dominio un subconjunto de los reales, siexiste un número real positivo k ≠ 0, tal que t + k pertenezca al dominio de f y,f(t + k) = f(t) (2)entonces decimos que f es una función periódica, de período k.10

El menor k positivo para el cual la función es periódica se denomina períodofundamental o simplemente período.De acuerdo a esta definición, tenemos que las funciones seno y coseno tienenperíodo 2π, ya que para cualquier entero n se tienesen(t + 2πn) = sen(t) y cos(t + 2πn) = cos(t).Con esto podemos realizar las gráficas de las funciones trigonométricas seno ycoseno correspondientes a un ángulo entre 0 y 2π que es un ciclo. Nos referimosa un ciclo como una onda senoidal u onda cosenoidal.Otro punto importante en las funciones trigonométricas es saber cual de ellases par o impar. Recordando, diremos que una función f es par si f(−t) = f(t) yes impar si f(−t) = −f(t). Así, podemos enunciar el siguiente teorema.Teorema 1: 1. El coseno y secante son funciones pares.2. El seno, la tangente, la cotangente y cosecante son funcionesimpares.Demostración: Demostraremos este teorema sólo para las funciones secante ytangente y dejaremos las otras funciones como ejercicios.Tomemos los puntos P(x, y) y Q(x, −y) sobre la circunferencia C de centro enel origen del plano cartesiano y radio r, (ver figura 8). Los puntos así tomados sonsimétricos, quedando P en el primer cuadrante y Q en el cuarto cuadrante. Sea αdeterminado por el semieje positivo de las x y el radio OP en el sentido positivo(girando en sentido contrario de las manecillas el reloj) y −α determinado por elpunto Q, recorriendo C en sentido de las manecillas del reloj.Sea f(α) = sec α. De los triángulos POA y QOA, donde OP = OQ = r,vemos que,1f(−α) = sec(−α) =cos (−α) = 1 x= r = sec α = f(α),xrteniendo así que f(−α) = f(α), mostrando que la función secante es par.Si f(α) = tan α, entoncesf(−α) = tan(−α) = − sen α −ycos (−α) = r11xr= −yrxr= − tan α = f(α),

mostrando que la función tangente es impar.yP(x, y)COα−αA(1, 0)xQ(x, −y)Figura 8Ahora podemos obtener las gráficas de las funciones seno y coseno. Como lafunción seno es periódica, la figura se repite en intervalos de 2π. Lo mismo ocurrecon la gráfica de la función coseno. Las gráficas de las funciones seno y coseno sedan a continuación.yy1−1π2π3π2 2πy = sen x, 0 ≤ x ≤ 2πx1−1Figura 9π2π3π22πy = cosx, 0 ≤ x ≤ 2πxEn la gráfica de tangente, se observa que a medida que el ángulo x se aproximaa π, tan x aumenta sin límite. Del mismo modo, si x se aproxima a 2 −π por valores2mayores a − π entonces tanx decrece sin límite. Las líneas x = π y x = 2 2 −π son 2llamadas asíntotas verticales de la gráfica, pero estas líneas no hacen parte dela gráfica de tangente. La Figura 10 nos muestra la función tangente, la cuál esperiódica con periodo π.1−2π −ππ 2π 3π−1Figura 1012

Invitamos al lector a realizar las gráficas de las funciones trigonométricas yobservar cuales son periódicas y aperiódicas.6.4 Valores de las funciones trigonométricasDe acuerdo a la posición del ángulo en el plano coordenado, tendremos elángulo de acuerdo al cuadrante.El ángulo de referencia es el ángulo agudo α R para el ángulo α que el ladoterminal de α forma con el eje x.OyααRxα ROyαxα RyαOxOyαα Rx(a)(b)Figura 11(c)(d)En la figura 11, se muestra el ángulo de referencia α R para el ángulo α no cuadrantal,con 0 o < α < 360 o , en los diferentes cuadrantes del plano.Si el ángulo de referencia está en el primer cuadrante: α R = α.Si el ángulo de referencia está en el segundo cuadrante: α R = 180 o − α.Si el ángulo de referencia está en el tercer cuadrante: α R = α − 180 o .Si el ángulo de referencia está en el cuarto cuadrante: α R = 360 o − α.Ejemplo 8. Dado el ángulo α, hallar el ángulo de referencia α R para α, y trazardichos ángulos en posición estándar en el mismo plano coordenado.a) α = 330 o , b) α = 315 o , c) α = π.2Solución: Realizamos el ítem a) dejando los demás al lector para practicar.El ángulo α = 330 o esta en el cuarto cuadrante, entonces el ángulo de referenciay su gráfica esta dado poryα = 330 oxOα R = 30 oα R = 360 o − 330 o = 30 o 13

Teorema 2. Si α es un ángulo no cuadrantal en su posición estándar, entonces,para encontrar el valor de una función trigonométrica en α, se determina su valorpara el ángulo de referencia α R y se antepone el signo adecuado.Veamos con un ejemplo la aplicación de este teorema.Ejemplo 9: Para el ángulo α = 225 o , encontrar los valores de las funciones sen α,cosα y tan α.Solución: Dibujando el ángulo dado, α = 225 o , vemos que se encuentra en eltercer cuadrante, donde las funciones seno y coseno son negativos y tangente espositivo. Aquí, el ángulo de referencia será de 45 o y los valores para las funcionesson:sen 225 o = − sen 45 o = − √ 22 ,cos 225 o = − cos 45 o = − √ 22 ,tan 225 o = + tan45 o = 1.α R = 45 oyOα = 225 ox6.5 Gráficas trigonométricasEntre las gráficas de las funciones trigonométricas encontramos tres aspectosimportantes para estudiar, como son la amplitud, el período y el desplazamientode fase, los cueles podemos resumir en el siguiente teorema.Teorema 3. Si y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c) son funciones senoidal ycosenoidal respectivamente, con a, b, c reales diferentes de cero, entonces1. La amplitud es dado por |a|, el periodo es 2π|b|y el desplazamiento de fase es− c b .2. Se puede encontrar un intervalo que contenga exactamente un ciclo resolviendola desigualdad0 ≤ bx + c ≤ 2π.Ejemplo 10. Determinar la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase yrealizar la gráfica de la función:y = 2 sen(2x + π ).214

Solución: Usando el Teorema 3, tenemos que la ecuación dada es de la formay = a sen(bx + c), donde a = 2, b = 2 y c = π . Así, tenemos que la amplitud es2|a| = 2, periodo es 2π|b|= 2π 2 = π.Por el Teorema 3, parte 2, es posible encontrar el desplazamiento de fase y unintervalo que contenga una onda senoidal al resolver la desigualdad0 ≤ 2x + π 2 ≤ 2π.En esta desigualdad, inicialmente restando a cada uno de sus miembros el valorde π 2y al resultado dividiendo por 2, realizando esto paso a paso así− π 2 ≤ 2x ≤ 3π 2 , −π 4 ≤ x ≤ 3π 4 .Luego, el desplazamiento de fase es − c = b −π y hay una onda senoidal de amplitud42 en el intervalo [ − π, ] 3π4 4 . Ahora, repitiendo la gráfica a derecha e izquierda,obtenemos la figura 12.−π6.6 Algunas Aplicaciones2−π4−2y3π4Figura 12y = 2 sen(2x + π 2 )La trigonometría tiene muchas aplicaciones en los cuales se encuentran involucradosángulos y triángulos. Cuando nos dicen que debemos resolver un triángulosignifica que debemos encontrar las medidas de algunos de sus elementos, dadoque se conoce las medidas de otros.Para las aplicaciones es conveniente recordar dos expresiones comunes en lasolución de triángulos. El ángulo que forma la visual de un observador con elplano horizontal que pasa por el ojo del observador cuando el objeto observadoestá por encima de dicho plano es llamado de ángulo de elevación. Si el objetoqueda por debajo de dicho plano, entonces el ángulo formado es llamado de ánguloπ2πx15

de depresión (ver figura 13, donde Obs: se lee observador). Con esto ya podemosentrar a realizar algunos ejemplos.ObsHorizontalVisualObsHorizontalÁngulo de elevaciónVisualÁngulo de depresiónFigura 13Ejemplo 11. Suponga que observa un globo a la distancia y se percata que ladistancia entre usted y el punto exactamente debajo del globo está a una distanciade 120mt y que tiene que elevar su vista 56 o para observarlo, figura 14. ¿A quéaltura se encuentra el globo en ese instante?Solución: Determinemos por A el punto donde te encuentras observando, B elpunto exactamente debajo del globo y sea C el punto donde se encuentra el globo.Entonces la distancia entre A, B es de 120mt. El ángulo CAB es de 56 o . Sea hla distancia entre B, C. Así,tan 56 o = h120entoncesh = 120 tan56 o = 177.6mtLuego, el globo se encuentra a una altura de 177.6mt del piso.BC Globo h120mtyk56 oAαβxFigura 14Figura 15Observación: Es usual en este tipo de problemas no tener en cuenta la alturadel observador, a no ser que se especifique lo contrario.Ejemplo 12. Una escalera de longitud k está apoyada en una pared verticaly hace un ángulos α con el piso. El extremo que está sobre la pared se desliza16

hacia abajo hasta que se detiene formando un ángulo β en el piso. Encontrar eldeslizamiento vertical de la escalera, (ver figura 15).Demostración: Sea x: deslizamiento horizontal, y: deslizamiento vertical. Asíse tienesen α = h , entonces h = k sen α (3)ksen β = h − y(4)kResolviendo este sistema, tenemos que sustituyendo (3) en (4):sen β = k sen α − y .kPor lo tanto, el desplazamiento vertical es de y = k(sen α − sen β).También tenemos que:Sustituyendo (5) en (6):cos β = b , entonces b = k cosβ (5)kcosα = b − xk . (6)cos α = k cosβ − x .kPor lo tanto, el desplazamiento horizontal es de x = k(cosβ − cosα)Ejemplo 13. Demostrar la identidad: tanα + cotα = sec 2 α cotα.Solución Se aconseja llevar todo en términos de seno y coseno.tanα + cot α = sen αcosα + cosαsen α = sen2 α + cos 2 αcosαsen α=1cosαsen α = 1 1cosα sen α1 cosα=cos 2 α sen α = sec2 α cot α.Así queda mostrada la identidad.17

BIBLIOGRAFIA[1] Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole, Álgebra y trigonometría con geometríaanalítica, Thomson, undécima edición.[2] Howard E. Taylor y Thomas L. Wade, Matemáticas Básicas, Editorial Limusa-Wiley, S.A. México, 1969.[3] Jaime Chica E., Jesús del Valle S., Clara Mejía L., Grimaldo Oleas L. y BlancaQuinceno R, Matemáticas, Colección Camino a la Universidad, Universidad deAntioquia. California, 1991.[4] Yu Takeuchi, Darío Wills y Hugo Guarín, Hacia la Matemática, un enfoqueestructurado, grado 10, Editorial temis S.A, Bogotá-Colombia, Sección textosescolares, 1985.“El fracaso es la única oportunidad que se nos presenta para comenzar todo nuevamente,con mayor inteligencia.” Henry Ford.18