Comparación de métodos analíticos y numéricos para la solución ...

Comparación de métodos analíticos y numéricos para la solución del lanzamiento vertical de una bola en el airePor ejemplo, si el error de truncamiento es del O(Δt 2 ), elerror global es del orden O(Δt).TABLA I. Programación del método de Euler (ME) para ellanzamiento vertical de una pelota de ping-pong enMathematica ® .V. CÓMPUTOS NUMÉRICOSPara evaluar los métodos numéricos es necesario utilizaruna herramienta de cómputo que sea de gran capacidad,rápida y eficiente. En cambio los métodos analíticos sólonecesitan conocer las expresiones matemáticas queestablecen la posición, la velocidad y la aceleración comofunción del tiempo y evaluar estas expresiones en untiempo específico para determinar los valores numéricosde estas variables en este tiempo. Para determinar el valorde estos mismas variables para el mismo tiempo (quellamaremos t n ), por métodos numéricos, como el métodode Euler, es necesario conocer, además de la ley defuerzas, las condiciones iniciales en el tiempo inicial t 0(que en general es el tiempo t = 0) y dividir el intervalo detiempo t n – t 0 en n subintervalos iguales Δt=(t n – t 0 )/n, conn suficientemente grande para que el intervalo de tiempoΔt

Alejandro González y HernándezComo se puede ver en la Figura 1, el movimiento deascenso de la pelota no es simétrico alrededor de su alturamáxima, con su movimiento de descenso.Para determinar cómo son las variaciones observadas en laFigura 3 es verdadero, en la programación realizada conMathematica ® y mostrada en la Tabla I, se ha agregado laderivada de la aceleración respecto del tiempo o sacudida ojerk[16] (j) y la gráfica correspondiente.La derivando de la aceleración v va = −g− , se haAprogramado en la tabla I, esvaj = − , donde j indica laAsacudida o jerk.FIGURA 1. Valores calculados a partir del método analítico parael movimiento de ascenso y descenso de una pelota de ping pongen un lanzamiento vertical.En el movimiento hacia arriba la fuerza de resistencia delaire va en el mismo sentido que la fuerza de gravedad y enel movimiento hacia abajo esta fuerza se opone a la fuerzade gravedad, de tal forma que el tiempo de ascenso esmenor que el tiempo de descenso.En la Figura 2, se observa el tiempo de máximoascenso cuando la velocidad de la bola es cero en 0.69 s.El cruce de la curva con el eje de los tiempos es menor que0.76 s, que es la mitad del tiempo de vuelo total de 1.52 s,lo que confirma la consideración realizada en la Figura 1.FIGURA 4. Sacudida o derivada de la aceleración respecto deltiempo del movimiento de lanzamiento vertical de una pelota deping pong calculada por el método analítico.FIGURA 2. Velocidad del movimiento de lanzamiento verticalde una pelota de ping pong calculados por el método analítico.La pendiente de la curva de velocidad muestra un cambioal cruzar el eje de los tiempos. Estos cambios, en la Figura3, son notables, ya que la aceleración muestran unapersistencia en mantener cercano su valor al valor g de laaceleración de la gravedad, debido a la cercanía de lavelocidad a cero y en donde la fuerza neta esprácticamente la de la fuerza de gravedad.En la Figura 4, la sacudida o jerk disminuye a cero en elpreciso momento en que la velocidad alcanza su valor ceroen la máxima altura del movimiento, para volver aaumentar la sacudida antes de decaer nuevamente a cerode manera permanente.Las soluciones gráficas derivadas del método de Euler,son útiles para establecer conceptualmente lascaracterísticas del movimiento.VI. MÉTODO ANALÍTICO VS MÉTODOSNUMÉRICOSEstablecidas las expresiones matemáticas para los métodosanalíticos y numéricos y la herramienta de cálculo, esposible hacer comparaciones entre estos métodos.A. Error absolutoPara estas comparaciones, se consideran los tiempos t M yt T , correspondientes a la máxima altura y a al tiempo totalde ida y vuelta y expresados en las fórmulas (8) y (10).En la Tabla II y Tabla III, se muestran las diferenciasabsolutas entre el método analítico (MA) y los seismétodos numéricos (MN) aquí examinados, para losvalores de posición y velocidad en los tiempos t M y t T ,correspondientes a los tiempos de máxima altura y de viajecompleto de ida y vuelta respectivamente,FIGURA 3. Aceleración del movimiento de lanzamiento verticalde una pelota de ping pong calculados por el método analítico.Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 2, No. 2, May 2008 176 http://www.journal.lapen.org.mx

Comparación de métodos analíticos y numéricos para la solución del lanzamiento vertical de una bola en el aireTABLA II. Error absoluto de los métodos numéricos respectodel método analítico, para t M = 0.694 s y y M = 3.495 m.Método |y MA -y MN | |v MA -v MN |Euler 2.8x10 -3 3.5 x10 -3Euler-Cromer 7.2 x10 -3 3.5 x10 -3Medio Punto I 2.2x10 -3 3.5 x10 -3Medio Punto II 4.4x10 -6 5.2x10 -6Euler-Richardson 0.2x10 -6 1.7x10 -6establecer un criterio para seleccionar el método numéricomás adecuado al problema estudiado.Las diferencias de posiciones entre el método analíticoy los métodos numéricos se representan gráficamente.Leap Frog 2.2x10 -3 21.1x10 -6En la Tabla II, los tres primeros métodos numéricos tienenun error absoluto del orden de 10 -3 en la posición y en lavelocidad. Estas discrepancias disminuyen para los tresúltimos métodos numéricos a un orden de 10 -6 , exceptopara la posición en el método de Leap Frog, aunque en lavelocidad es del orden de 10 3 . Mostrando que el método demedio punto II y el método de Euler-Richardson, dan lamejor aproximación al método analítico para el tiempo t M .TABLA III. Error absoluto de los métodos numéricos respectodel método analítico, para t T = 1.524 s y y T = 7.0 x 10 -4 m.FIGURA 5. Discrepancia entre el método de Euler y el métodoanalítico.La Figura 5 corresponde a la diferencia Δy ME-A = y ME - y MAde la posición determinada por el método de Euler (ME) yel método analítico (MA). En un intervalo de tiempo ΔT ≈8 s, la diferencia entre los dos métodos es menor que 3.5 x10 -3 m y alcanza su valor máximo alrededor de 1.4 sdespués de iniciado su movimiento, para de nuevodecrecer y estabilizarse en un valor alrededor de 1.2 x 10 -3m.Método |y MA -y MN | |v MA -v MN |Euler 3.1x10 -3 3.4 x10 -3Euler-Cromer 14.0x10 -3 3.4 x10 -3Medio Punto I 5.4x10 -3 3.4 x10 -3Medio Punto II 10.9x10 -6 10.5x10 -6Euler-Richardson 1.6x10 -6 0.1x10 -6Leap Frog 5.4x10 -3 43.3x10 -6En la Tabla III, los seis métodos numéricos mantienen elorden de magnitud del caso anterior respecto de sudiferencia con el método analítico, tanto para la posicióncomo para la velocidad. Los métodos de medio punto II yde Euler-Richardson, siguen dando la mejor aproximaciónal método analítico para el tiempo t T .FIGURA 6. Discrepancia entre el método de Euler-Cromer y elmétodo analítico.La Figura 6 corresponde a la diferencia Δy MEC-A = y MEC -y MA de la posición determinada por el método de Euler-Cromer (MEC) y el método analítico. En el intervalo detiempo ΔT, la diferencia absoluta entre estos dos métodosaumenta hasta el valor de 1.85 x 10 -2 m alrededor de los 4 sdonde se estabiliza.B. Incertidumbre como función del tiempoYa se ha mencionado que el error local se propaga a lolargo del tiempo obteniéndose un error global que alaumentar disminuye la precisión del método numéricorespecto del método analítico. Estas variaciones seFIGURA 7. Discrepancia entre el método de Medio punto I y elgrafican para cada método numérico como función del método analítico.tiempo y se analizan para caracterizar el error propagado yLat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 2, No. 2, May 2008 177 http://journal.lapen.org.mx

Alejandro González y HernándezLa Figura 7 corresponde a la diferencia Δy MMPI-A = y MEMPI -y MA de la posición determinada por el método de MedioPunto I (MMPI) y el método analítico. En el intervalo detiempo ΔT, la diferencia absoluta entre estos dos métodosaumenta hasta el valor de 8.5 x 10 -3 m alrededor de los 4 sdonde se estabiliza.FIGURA 8. Discrepancia entre el método de Medio punto II y elmétodo analítico.La Figura 8 corresponde a la diferencia Δy MMPII-A = y MEMPII- y MA de la posición determinada por el método de MedioPunto II (MMPII) y el método analítico. En el intervalo detiempo ΔT, la diferencia absoluta crece monótonamente avalores mayores de 3.8 x 10 -1 m, estableciendo unatendencia a la divergencia. Sin embargo, antes de los 5 sesta diferencia es menor de 2 x 10 -3 m, de tal forma quedentro del intervalo de tiempo en que el movimiento seestabiliza a una velocidad constante (velocidad terminal),que en el sentido práctico es en un tiempo menor de 4 s,los resultados dados por este método son muyconvenientes.FIGURA 9. Discrepancia entre el método de Euler-Richardson yel método analítico.La Figura 9 corresponde a la diferencia Δy ER-A = y MER - y MAde la posición determinada por el método de Euler-Richardson (MER) y el método analítico. En el intervalode tiempo ΔT, la diferencia absoluta entre estos dosmétodos oscila de -5 x 10 -7 m a 2.3 x 10 -6 m entre 0.2 s y2.6 s, para disminuir a 1.8 x 10 -6 m, donde el error seestabiliza.FIGURA 10. Discrepancia entre el método de Leap Frog y elmétodo analítico.La Figura 10 corresponde a la diferencia Δy LF-A = y MLF -y MA de la posición determinada por el método de LeapFrog (MLF) y el método analítico. En el intervalo detiempo ΔT, la diferencia absoluta entre estos dos métodosaumenta hasta el valor de 8.5 x 10 -3 m alrededor de los 4.2s donde se estabiliza.Estas desviaciones de los métodos numéricos respectodel método analítico caracterizan su estabilidad.VII. CONCLUSIONESLos métodos analíticos de solución de la ecuación demovimiento de Newton, cuando la ley de fuerzas no es unaconstante, requieren del cálculo diferencial e integral parasu solución o métodos más complejos para resolverecuaciones diferenciales de segundo orden. Losestudiantes universitarios de primer año de las carreras defísica o ingeniería, a pesar de haber llevado uno o doscursos de cálculo, tienen dificultades para aplicar suconocimiento matemático a la solución de problemas defísica.Por otra parte, los métodos numéricos de solución de laecuación de movimiento de Newton son fáciles deintroducir en un curso de mecánica, pues las ecuaciones desolución, son ecuaciones algebraicas que sólo requieren serresueltas bajo métodos iterativos sencillos, que en la épocaactual de las computadoras son rápidos de evaluar (verTabla I). Por tal motivo se sugiere enseñar los métodosnuméricos a los estudiantes de física o ingeniería desde sucurso de mecánica introductoria y abordar problemasinteresantes de esta materia, que en los casos de solucionesanalíticas son difíciles de resolver a este nivel.Para ejemplificar la bondad de los métodos numéricos,en este escrito, se ha planteado resolver el movimiento dellanzamiento vertical hacia arriba de una bola sujeta a lafuerzas de gravedad y de resistencia del aire en un viaje deida y vuelta, analíticamente y por cinco métodosnuméricos diferentes. El análisis cuidadoso del error localo de truncamiento y el error global para cada uno de losmétodos numéricos permite comparar la discrepancia entrelos resultados de los métodos numéricos con el métodoanalítico que se ha tomado como referencia. Después dehacer comparaciones, el método más sencillo de Eulerresulta tener una discrepancia con respecto del métodoLat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 2, No. 2, May 2008 178 http://www.journal.lapen.org.mx

Comparación de métodos analíticos y numéricos para la solución del lanzamiento vertical de una bola en el aireREFERENCIASanalítico del orden de O(Δt) cuando se calcula la posicióny la velocidad en el punto más alto de la trayectoria o en elpunto de retorno.Para el método de Euler-Richardson esta discrepanciase reduce a un orden de O(Δt 2 ), lo cual está muy deacuerdo (ver las Tablas II y III) con el análisis sobre loserrores locales y globales realizados de antemano. Para elresto de los métodos numéricos, estas discrepanciastambién se encuentran del orden de lo predicho en elanálisis correspondiente.Si tomamos en cuenta que el paso del intervalo detiempo considerado en las soluciones numéricas delproblema de lanzamiento aquí analizado fue de Δt = 10 -3 ,entonces la diferencia entre el método analítico y el deEuler es del orden de 10 -3 y para el método de Euler-Richardson del orden de 10 -6 . Para el resto de los métodosnuméricos la diferencia está entre 10 -3 y 10 -6 , lo cualpermite seleccionar al método de Euler-Richardson comoel mejor método numérico de aproximación al métodoanalítico. Pero en todos los casos, en las gráficas y vs t, v vst, a vs t y j vs t no es posible diferenciar unas soluciones deotras debido a tan pequeñas discrepancias.Tan pequeñas discrepancias entre los métodosnuméricos respecto del método analítico para el problemaanalizado en este escrito, dan confianza para hacer elestudio conceptual del problema por medio de la selecciónde una de sus soluciones numéricas. De esta manera sepuede analizar, por ejemplo, ¿qué ocurre con la alturamáxima cuando la velocidad inicial de lanzamiento seduplica? o ¿cuál debe ser la velocidad inicial para alcanzaruna determinada altura? Estas preguntas con unaaplicación apropiada de la solución numérica seleccionadase pueden responder y aquí se dejan abiertas para serrespondida por estudiantes curiosos, que recurran a lasolución analítica sólo para verificación y en caso decuriosidad extrema tratar de encontrar una relación entre lavelocidad inicial de lanzamiento y la altura máxima gráficao analíticamente.No se asegura que los métodos numéricos analizadosen este escrito, al aplicarlos a otros problemas den tanbuenos resultados como los obtenidos en el problema aquíestudiado, por lo que no hay que aplicarlos a ciegas encualquier otro caso. Pero la sugerencia conveniente esutilizarlos en otros problemas de aplicación de la segundaLey de Newton bajo un cuidadoso análisis e inclusive aaquellos problemas en donde la solución analítica seadifícil de determinar o donde sea imposible obtener unasolución analítica.[1] McDermott, L. C., Oesterd Medal Lecture 2001:“Physics Education Research-The Key to StudentLearning, Am. J. Phys. 69, 1127-1137 (2001).[2] Wieman, C., and Perkins, K., Transforming PhysicsEducation, Physics Today 58, 36-41 (2005).[3] Laws, P., A unit on oscillations, determinism and chaosfor introductory physics students, Am. J. Phys. 72, 446-452(2004).[4] Grayson, D., Rethinking the content of physics courses,Physics Today 59, 31-36 (2006).[5] Hestenes, D., Notes for a Modeling of Science,Cognition and Instruction, Proceedings of the 2006 GIREPconference: Modeling in Physics and Physics Education.[6] Holec, S., and Spodniakova, P., Using simulation inphysics education, Proceedings of the 2006 GIREPconference: Modeling in Physics and Physics Education.[7] Eubank, S., Miner, T., Tajima, and Wiley. Interactivecomputer simulation and analysis of Newtonian dynamics.Am. J. Phys. 57, 457-463 (1989).[8] Cui, L., Sanjay, R., Fletcher, P., and Bennett, A.,Transfer of learning from college calculus to physicscourses, (Proceedings of the National Association forResearch in Science Teaching, April, 3-6 (2006)).[9] Benacka, J. and Stubna, I., Accuracy in computingacceleration of free fall in the air, The Physics Teacher 43,432-433 (2005).[10] García, A. L., Numerical methods for physics.(Second Edition, Prentice Hall, USA, 2000).[11] Eisberg, R., and Lerner, L., Physics: Foundations andApplications, Vol I, (McGraw-Hill, USA, 1981).[12] Gatland, I., Numerical integration of Newton´sequations including velocity-dependent forces, Am. J.Phys. 62, 259-265 (1994).[13] Feynman, R., Leighton, R., and Sands, M., TheFeynman Lectures on Physics, Vol. I, (Addison-Wesley,Mass., 1963).[14] Buzzo, R., Estrategia EE (Excel-Euler) en laenseñanza de la Física. Lat. Am. J. Phys. Educ. 1, 19-23(2007).[15] Bellomo, N., Preziosi, L. and Romano, A., Mechanicsand Dynamical Systems with Mathematica ® . (Birkhäuser,Berlin, 2000).[16] Schot., S. H., Jerk: The time rate of acceleration, Am.J. Phys. 46, 1090-1094 (1978).Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 2, No. 2, May 2008 179 http://journal.lapen.org.mx