Ejercicios resueltos

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 3Discusión y resolución de sistemas con parámetrosEJERCICIO 3 : Discute los siguientes sistemas, según los valores del parámetro:x y 2z 1x y z 1mx y 2 2ma) 2x y az 0b) c) x 2y 2z 1 x my m 1x y z ax a 1y 2az 7Solución:112 a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 21 a 1 1 1 A 2a1A 0 2a 1 0 1a 21o Si a A 0 ranAranA'n incógnitas 3 El sistema es compatible determinado.2 1 12 1 112 1 112 1 1121 Si a , queda: A' 2 1 1/2 0 42 10 06 9 4 06 92 1 1 11/222 2 104 6 300 0RangoA 2 Sistema IncompatibleRangoA* 31 41b) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:m1 2A A m 11 m22 m 1 A 0 m 1 0 m 1 m 1 Si m 1 y m 1 ran (A) = ran (A') = nº incógnitas = 2. El sistema es compatible determinado.11 4 11 4RangoA 1 Si m = -1, queda: El sistema es incompatible. 1 1 2 0 0 2rangoA* 2 11 011 0 Si m = 1, queda: RangoA 1 Sistema Incompatible11 000 0RangoA* 2 c) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:11 1 A 12 2 A a 1 |A| = 0 a = 11 a12a Si a 1 ran (A) = ran (A') = n o incógnitas = 3. El sistema es compatible determinado.11 1 1 11 1 1 11 1 1 RangoA 2 Si a = 1 Queda: A ' 12 2 1 01 1 0 01 1 0 El sistema es incompatible. RangoA* 3 12 2 701 1 800 0 8EJERCICIO 4 : Discute, y resuelve cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones en función del parámetro:3x 2y 1 x y 2z 1x y az 1a) 6x 4y 2b) 2x y z 2 c) x ay z 1x ky 2x y 2z 1x z 1Solución:a) 3 2 1 3 2 1 26 4 2 00 0 -3k-2 = 0 k 3 1 k 2 0 3k 2 52o Si k ranAranA'n incógnitas 2. El sistema es compatible determinado.3

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 41 22 k k 4 1 2 5 k 4 5 Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer: x ; y Solución : (x, y) ; 3k 2 3k 2 3k 2 3k 2 3k 2 3k 2 2 Si K , queda:33 2 13 2 13 2 1 RangoA 1A ' El sistema es incompatible.1 2 / 3 23 2 600 5RangoA* 21 b) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 2 1 A 32 6 3 32 2 1 3 1 2A 0 112 2 x λy 2z 1Si 1 El sistema es compatible determinado 2x y z 2 x y 2z 11 21121 121x 1121; 3 12 11Si = 1, queda: 2 1221y 121; z 3111 12 121211 2 0 1 01 302302 312311 12 11RangoA 2 0 RangoA* 2 Sistema compatible indeterminado0 Nº Incog 3 x y 2z 1 Un grado de libertad : z = , y = , x = 1+ (x,y,z) = (1+, , ) Ry z 011a c) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 1 a 1 A a2 a 2 0 para cualquier valor de a.1 0 1 Por tanto, ran (A) = ran (A’) = n o incógnitas = 3. El sistema es compatible determinado. Para cada valor de a, tenemos un sistemadiferente, todos ellos tienen solución única. Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer: 1 1a 1 1 a 1 1 A a2 a 21 0 1 1 1 1a1 1 a1 111a11111a1 0 11 1 11 0 1x 1 ; y 0; z 0 a2 a 2 a2 a 2 a2 a 2Cada uno de los sistemas que obtenemos, para cada valor distinto de a, tiene como solución única (x,y,z) = (1, 0, 0).1EJERCICIO 5 : Estudia, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema homogéneo. Resuélvelo en los casos en los4x 4z 0que sea posible: x y az 0x ay z 0Solución:(Hemos simplifica do aEstudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 1 1 a A a2a 2 a2la 1 ecuación, a 2dividiéndo la entre 4).118A 0 a No tienesolución A 0 para cualquier valor de a2Por tanto, como el sistema es homogéneo, tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0, cualquiera que sea el valor de a.110a11

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 5EJERCICIO 6 : Discute el siguiente sistema, según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando sea compatible2x ay 4z 2indeterminado: ax 2y 6z 04x 2ay 10z aSolución:2 a 4Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A a 2 6 2a2 8 0 a 242a Si a 2 y a 2 El sistema es compatible determinado. 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 RangoA 2 Si a = 2, queda: 2 2 6 0 0 0 2 - 2 0 0 2 - 2RangoA* 2 Sistema Compatible 4 4 10 2 0 0 2 - 2 0 0 0 0 Nº Incog 3 Indeterminado Existen infinitas solucionesx y 2z 1 Un grado de libertad: z = -1, y = , x = 3 - (x,y,z) = (3-,,-1) Rz 1 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 RangoA 2 Si a = 2, quedaría: 2 2 6 0 00 2 2 00 2 2 Sistema Incompatible 4 4 10 2 rangoA* 3 00 2 600 0 8EJERCICIO 7 : Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores del parámetro a. Resolverlo en el caso a = 3:x y az 1axx ay Solución: y az 3 a 2z 1 11Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A a 1 a A a3 2a2 a 2 a1 a 1 a 2A 0 a 1, a 1,a 21a10a a 2 Si a 1, a 1 y a 2 El sistema es compatible determinado.11 1 111 1 1 RangoA 2 Si a = 1, queda: 11 1 3 00 0 2 Sistema Incompatible RangoA* 3 11 3 100 2 0 1 1 11 1 1 11 1 1 11 RangoA 2 Si a = 1, quedaría: 11 13 0 2 2 4 0 2 2 4 Sistema RangoA* 3 1 11 1 0 2 2 0 0 0 0 4 Incompatible11 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 RangoA 2 Si a = 2, queda: 21 2 3 0 -1 - 2 1 0 -1 - 2 1 Sist. Incompatible RangoA* 3 12 4 1 0 1 2 0 0 0 0 1 x y 3z 1x 1 Si a = 3, queda: 3x y 3z 3y 0x 3y 5z 1 z 0EJERCICIO 8 : Estudia el siguiente sistema homogéneo, según los valores del parámetro m; y resuélvelo en los casos en losx 3y 2z 0que resulte ser compatible indeterminado:2x x my 2z 0 3 my 4z 0

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 8 Si 1 El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de .Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:2 1 1 2 1 1 2 22 1 2 4 1 6 32 1 1x ; y 0 ; z 33331 33La solucion es 2 , 0, 1 2 .1 112433 23 6 2 331 1 1 1 2 11 1 2 11 1 2 Si = 1, queda: A' 12 1 2 03 0 0 03 0 0 2 0 1 4 1 0 3 0 2 0 0 0 2 2- Si = 1 y 2 ran (A) = 2 ran (A’) = 3. El sistema es incompatible.- Si = 1 y = 2 ran (A) = ran (A’) = 2.< nº incógnitas El sistema es compatible indeterminado.EJERCICIO 14 : Estudia los siguientes sistemas, según los valores de los parámetros que contienen:3x y z b x 2y z 5 x 2y az bx y z x ay z ba) 2x y z 3b) x y z 4c) 3x y az 5d) x 2y z 0 e) 2x ay z 24x ay z b x 4y z x 5y az 5 x y z 3 x ay 2z 2Solución: 3 11 a) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 2 1 14 a 1 A a1 0 a 1 Si a 1 El sistema es compatible determinado, cualquier que sea el valor de b. 3 11 b 311 b 311 b Si a = 1, queda: 2 1 1 3 01 1 9 2b 01 19 2b b 3 04 1 1 b 0 1 1 b 6 0 0 0 b 3 b 3 Si a 1 y b 3 ran A ran A' 2 El sistema sería compatible determinado. . Si a = 1 y b 3 ran (A) = 2 ran (A’) = 3. El sistema sería incompatible. 1 2 b) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 11 A 1 0 11 4 1 Si 1 El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de . 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 Si = 1, queda: 11 1 4 010 1 010 1 7 0 7 1 4 1 0 2 0 5 0 0 0 7 Si = 1 y = 7 ran (A) = ran (A’) = 2 > n o incógnitas, el sistema sería compatible determinado. Si = 1 y 7 ran (A) = 2 ran (A’) = 3. El sistema sería incompatible.c) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: 1 2 a 1 2 1A 3 1 a A a 3 1 1 0, para cualquier valor de a.1 5 a 1 5 115 a 515 a 5 15 a 5 31 a 5 0144a 10 0144a 10 -2b = 0 b = 01 2 a b0 7 2a b 500 0 2b Si b = 0 ran (A) = ran (A’) = 2. El sistema sería compatible indeterminado, cualquiera que fuese el valor de a. Si b 0 ran (A) = 2 ran (A’) = 3. El sistema sería incompatible. 1 1 1d) Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes: A 12 1 A 0 para cualquier valor de 1 1

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 12Por tanto,existe A1para a 1 y a 2.10 1 b) Para a = 0; queda: A 11 0 A 20 1 1 1 11 1 1AdjA 1 1 1 AdjAt 1111 1 1 111 1 1 1 11A1 AdjAt 11A2 1 1111 Forma matricial de un sistema de ecuacionesEJERCICIO 23 : Expresa los siguientes sistemas en forma matricial y resuélvelos utilizando la matriz inversa: 3x y z 5x y z 62x 3y z 7 x 2y z 1 a) x 2y z 0 b) 2x y z 8c) x y 2z 5d) 3x y 2z 42x z 3 x 2y z 7y 2z 0x y z 14x 2y z 6x 2y 2z 0 x y z 1x 2y z 33x y 2z 10e) x z 1f) x y z 1 g) 3x 2y 1h)3x y z 0 i) x 2y z 5 2x y z 32x y 4 x y 2z 2 x y z 2 x 2z 3Solución:3 1 1x 53 1 1x 5 a) Expresamos el sistema en forma matricial: A 1 2 1 ; X y; C 0 1 2 1 y 0 2 0 1 z 3 2 0 1 z 3 AX CCalculamos A31 11 para ver si existe A : A 1 2 1 1 0 Existe A1 2 0 1 2 1 4 2 13 2 1 3Calcula la inversa de A: Adj A112 AdjAt 1 12 1A1 AdjAt 11 2A 3 2 74 2 7 4 2 7 Despejamos X: AX C 2 1 3 5 1 A1 AX A1C X A1 C X 11 2 0 1 4 2 7 3 1 Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = 1, z = 1111x6111x6 b) Expresamos el sistema en forma matricial: A 211; X y; C 8 211 y 81 2 1 z 7 1 2 1 z 7 AX CCalculamosA, para ver si existeA1: 1A 2 111 21 1 1 1 0 1 1 3 1 0 1 1 3Despejamos X: AX C 1A1 AX A1C X A1C X 1 3Por tanto, la solución del sistema es: x =2, y = 1, z = 3Existe A10 A110 6 2 18 11 7 3 Calculamos la inversa de A: Adj A10 1 AdjAt 10 1 111011AAdjAt1 1 323 1 x723 1 x7 c) Expresamos el sistema en forma matricial: A 11 2; X y; C 5 11 2 y 5 AX C0 1 2 z 0 0 1 2 z 0 1010 11

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 13Para resolverlo, despejamosX multiplicando por la izquierda por A1: AX C AAX A 4 2 1 41 Comprobamos que A 3 0 y hallamos A : AdjA 5 4 2 AdjAt 27 5 1 1 4 5 7 11A1 AdjAt 2 4 5 A3 1 2 1 4 5 77 3 1 Obtenemos X: 11X A1C 2 4 5 5 6 2 3 3 1 2 1031Por tanto la solución del sistema es: x = 1; y = 2; z = 1CX A1 115 71 4 5 12 1 x 1 12 1 x 1 d) Expresamos el sistema en forma matricial: A 3 12 ; X y; C 4 3 12 y 41 1 1 z 1 1 1 1 z 1 AX C12 1Calculamos1A , para ver si existe A : A 3 12 1 0 Existe A1 1 1 2 1 3 1 5 2Despejamos X: AX C 11A1 AX A1C X A1C X 1 0 2 1Por tanto, la solución del sistema es: x = 2, y = 0, z = 1Calculamos la inversa de A: AdjA10 1 AdjAt 10 111113 A11 5 3 1 2 1 4 0 5 1 1 21AAdjAtC1 1 242 1x642 1 x6 e) Expresamos el sistema en forma matricial: A 10 1 ; X y; C 1 10 1 y 12 1 1 z 3 2 1 1 z 3 AX C4 2 1Calculamos A1para ver si existe A : A 1 0 1 3 0 Existe A1 11 1 1 3 2 2 5 2 1 0 2Despejamos X: AX C 1 3A1 AX A1C X A11C X 1 63 1 0Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = 1, x = 0Calculamos la inversa de : AdjA 3 6 0 AdjAt 1 6 5 f) Expresamos el sistema en forma matricial: 1 2 2 x Si llamamos: A 11 1; X y;2 1 0 z 211 0 C 1 4 11 2Para resolverlo, despejamos X multiplicando por la izquierda por A –1 : AX CComprobamos que 2112 x 0 1 y 1 0 z 4 1 11A1 AdjAt 1A3 12 631 1 51 3 1 3 2 3 0 0AAX A1 2 3 1 1A 1 0 y hallamos A : AdjA2 4 5 AdjAt 2 011 3AX CCX A1 110 1 4 12 5C101 360 31 52 5 2

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 141 2 0 1A1 AdjAt 2 4 1A 3 5 11 2 00 2 Obtenemos X: X A 1C 2 4 11 0 3 5 14 1 Por tanto, la solución del sistema es:x = 2, y = 0, z = 111 1x111 1x1 g) Expresamos el sistema en forma matricial: A 32 0; X y; C 1 32 0 y 1 AX C1 1 2 z 2 1 1 2 z 2 Para resolverlo, multiplicamos por la izquierda por A –1 : AX C A1 AX A1C X A1CComprobamos queA 1 0 y hallamosA1: 4 6 1 4 1 24 1 2 AdjA 11 0 AdjAt 6 1 3 1A1 AdjAt 6 13A2 3 1 1 0 1 10 1 4 1 2 1 1 Obtenemos X: X A 1C 6 1 31 Por tanto, la solución del sistema es:x = 1, y = 1, z = 1 10 1 2 11h) Expresamos el sistema en forma matricial:12 1x 312 1 x 3 A 31 1 ; X y; C 0 31 1 y 0 1 1 1 z 2 1 1 1 z 2 AX CPara resolverlo, multiplicamos por la izquierda por A –1 : AX C A1 AX A1C X A1C1Comprobamos que A 2 0 y hallamos A : 2 2 4 2 13 2 13 AdjA12 3 AdjAt 2 2 4 11A1 AdjAt 2 2 4A2 3 4 54 3 54 3 5 2 13 3 0 0 Obtenemos X: 11X A1C 2 2 4 0 2 2 2 4 3 5 2 2 11Por tanto la solución del sistema es:x = 0, y = 1, z = 1i) Expresamos el sistema en forma matricial. 3 1 2 x 10 A 1 2 1 ; X y;C 5 1 0 2 z 3 3 11Para resolverlo, multiplicamos por la izquierda por A –1 : A1Comprobamos que A 5 0 y hallamos A :120 2 x 10 1 y 5 2 z 3 AX ACX AAX C1 11 4 3 2 4 2 5 4 2 5 AdjA2 4 1 AdjAt 3 4 5 11A1 AdjAt 3 4 5A5 5 55 2 15 2 15 4 2 5 10 153 Obtenemos X: 11X A1C 34 5 5 5 15 5 2 15 3 0 0Por tanto, la solución del sistema es:x = 3, y = 1, z = 0C

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 15Resolución de ecuaciones con matricesEJERCICIO 24a) Calcula una matriz X que verifique la igualdad: A · X B, con 2 311 A y B 12 2 1b) ¿Verifica también la matriz X la igualdad X · A = B?Solución:a) A · X = B X = A -1 · BCalculamos A -1 (existe, pues |A| = 1 0): ijAdjA1| A |AdjA t AdjA2 1 2 1 2 3 2 31 A3 2 3 2 1 21 2 1 2 311 4 5 Por tanto: X A · B · X1 2 2 13 3 b) Sabemos que el producto de matrices no es conmutativo y que, por tanto, en general, M · N N · M. Pero veamos si en este caso4 5 233 2se cumple la igualdad. X · A · B3 3 1 23 3 . Por tanto, X no verifica la igualdad X · A = B. 1 1 0 2 1 EJERCICIO 25 : Halla una matriz, X, tal que AX + B = 0, siendo: A 2 0 1 y B 4 4 1 1 1 4 1 1 101Solución: Calculamos A para ver si existe A : A 2 0 1 2 0 Existe A11Despejamos X en la ecuación dada: AX B 0 AX B A1 AX A1B X A1BHallamos la matriz inversa de A:11 2111111 1 Adj A110 AdjAt 1 11 11 1 A1 AdjAt 1 11 1 A 2112 2 0 2 2 2 0 2 2 1 1 1 2 12 4 1 2 Obtenemos la matriz X: 11X A1B 11 1 4 4 2 2 11 2 2 2 0 2 4 1 4 0 2 0 2 1 1 6 2 1 EJERCICIO 26 : Halla X tal que AX = B, siendo: A 02 3 y B 5 0 1 11 1 3 1 21 t11101 1 2Solución:CalculamosApara ver si existe2 1 11A : A 0 2 3 5 0 Existe A1111Despejamos X de la ecuación dada: AX B A1 AX A1B X A1BHallamos la matriz inversa de5 3 2 50 5 A: AdjA 0 11 AdjAt 3 1 6 1A1 AdjAtA 5 6 4 2 14 5 0 5 62 115 5 5 31 1 1 Obtenemos la matriz X: X 3 1 650 1 5 0 10 105 5 2 14 31 2 5 0 5 10 51 35 212 10115 64

Tema 4 – Resolución de sistemas mediante determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato 162EJERCICIO 27 : Halla una matriz, X, tal que AX = B, siendo: A 11101011y3B 12512112Solución:DespejamosXen la ecuación, multiplicando por la izquierda por1Comprobamos que A 2 0 y hallamos A :A1: AX BA1 AX A1B X A1B10 1 111 1 1 1AdjA12 1 AdjAt 0 2 2 11A1 AdjAt 0 2 2 A2 1 2 1 1 1111 1 1 1 135 124 012 0 Por tanto: 11X A1B 0 2 2 11 1 22 2 11 12 2 11 1 22 20 2 2011 1 1 1 x1 EJERCICIO 28 : Resuelve matricialmente el siguiente sistema: 2 2 1 y 0 1 0 1 z 0Solución: 1 1 1 x1 Llamamos:A 2 2 1; X y; B 0 Así, tenemos que A · X = B. Hemos de calcular X = A -1 · B. 10 1 z 0Hallamos A -1 (existe, pues |A| = 1 0): ijAdjA 2 3 2 2 3 2 2 1 1 2 1 12 1 3 21 1 0 1 1 0 2 1 2 111 2 Por tanto: X A 1· B 3 2 1 · 0 2 10 0 231| A |AdjA t AdjA11 0 23 212111 A10Solución: x = 2; y = -3; z = 2. t