Antonio Cañada Villar - Universidad de Granada

Academia de Ciencias Matemáticas,Físico-Químicas y Naturales de GranadaSERIES DE FOURIER: UNA RELACIÓNFRATERNAL ENTRE EL ANÁLISIS MATE-MÁTICO Y LA FÍSICADISCURSO LEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓNCOMO ACADÉMICO NUMERARIO POR ELILMO. SR. D.ANTONIO CAÑADA VILLARGRANADA, 2009

Academia de Ciencias Matemáticas,Físico-Químicas y Naturales de GranadaSERIES DE FOURIER: UNA RELACIÓNFRATERNAL ENTRE EL ANÁLISIS MATE-MÁTICO Y LA FÍSICADISCURSO LEÍDO EN EL ACTO DE SU RECEPCIÓNCOMO ACADÉMICO NUMERARIO POR ELILMO. SR. D.ANTONIO CAÑADA VILLARGRANADA, 2009

SERIES DE FOURIER:UNA RELACIÓNFRATERNAL ENTRE ELANÁLISIS MATEMÁTICOY LA FÍSICA

SERIES DE FOURIER: UNARELACIÓN FRATERNAL ENTRE ELANÁLISIS MATEMÁTICO Y LAFÍSICAAntonio Cañada VillarA mi querida mujer Eryy a nuestros queridos hijos Diego y Julia1. PreliminarExcelentísimo Señor Presidente de la Academia de CienciasMatemáticas, Físico-Químicas y Naturales de Granada,Ilustrísimos Académicos, queridos amigos, quisieraempezar este discurso agradeciendo a esta Academiael haberme nombrado miembro de la misma. Aunqueconsidero que esto constituye para mí un honorinmerecido, espero corresponder desempeñando de manerasatisfactoria las obligaciones que se correspondencon el cargo. Ilusión y ganas no me van a faltar.Para mí no es una frase más lo del “honor inmerecido”.En efecto, cuando comencé a escribir este discurso,inmediatamente me acordé de aquél muchachoadolescente que estudió en el Instituto de Bachilleratode Torredonjimeno, provincia de Jaén, tierra de olivos(y por tanto de buen aceite, buenas neuronas y bajo1

2 Antonio Cañada Villarcolesterol), y al que ya por entonces y fuertemente influenciadopor sus profesores, empezaban a gustarle lasmatemáticas. Uno de mis sueños era ser algún día profesor.Los sueños de los jóvenes son los más bonitos yutópicos, y yo en aquella época soñaba con poder dedicarmea la enseñanza. Este sueño lo he cumplido sobradamente,gracias en buena medida a los estupendosprofesores que tuve en la Universidad de Granada y aaquel plan de estudios tan bueno que cursé durante losaños 1974 a 1979. Aunque parezca mentira, se dedicabancursos completos (no cuatrimestres, por supuesto)a las disciplinas básicas de la matemática y esto se notósin ningún género de duda en nuestra formación. Las satisfaccionesque me ha proporcionado y proporciona miactividad docente hacen que la recomiende vivamente alos jóvenes de hoy en día, a pesar de los tiempos quecorren.Si la enseñanza de la matemática ha hecho que realmenteviva muchos momentos de felicidad, no han sidomenos aquellos de auténtica euforia derivados de mi actividadinvestigadora. La lógica y el rigor de la matemáticame atrajeron desde el principio, pero lo que esel placer sentido en la creación matemática no llegué aexperimentarlo hasta que me inicié en la investigaciónallá por 1979. La satisfacción de descubrir nuevas cosas(aunque sean intrascendentes), y más aún, el placerde buscar, aunque no encuentres nada, es muy reconfortantepara los científicos. Además, la investigación matemáticate facilita conocer a personas de otros países,otras culturas, otras religiones... con lo que esto significade enriquecimiento personal. Creo sinceramente quelos que nos dedicamos a la docencia y a la investigaciónsomos unos privilegiados y tenemos que transmitir estos

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 52. La cuerda vibranteEl cálculo infinitesimal fue el mayor logro de la matemáticaen el siglo XVII. En el siglo XVIII se desarrollaronmuchas ramas del análisis relacionadas con ello:ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, cálculode variaciones, etc. y esto permitió el estudio de muchosproblemas que surgieron en física y otras ciencias;tantos que las siguientes palabras de Berkeley son muysignificativas:“Y así pasa que los matemáticos de este tiempo actúancomo hombres de Ciencia, empleando mucho más esfuerzoen aplicar sus principios que en comprenderlos”.Precisamente uno de los tipos de problemas más interesantesdel que se ocuparon los científicos del sigloXVIII estuvo relacionado con el tema de las vibraciones.Partiendo de una situación inicial determinada y suponiendoque un conjunto de fuerzas, también determinado,actúan, ¿cómo vibran una cuerda, una membrana,etc.? Por ejemplo, si una cuerda flexible se estira hastaquedar tensa, estando sus extremos fijos en dos puntosdistintos del eje de abscisas, y desde un punto determinadode la cuerda se tira de la misma y se suelta, ¿cuáles el movimiento descrito por la cuerda?, ¿qué formaadopta la misma para valores positivos del tiempo? Estetipo de problemas fue ya estudiado por Taylor, alrededorde 1714 ([12], [42]), quien llegó a la conclusión deque para vibraciones pequeñas la aceleración normal esproporcional a la curvatura. Esto son leyes de la física.Los matemáticos necesitamos papel y tener algo escritopara sentirnos en nuestra casa, para visualizar el problema.Si no, estamos perdidos. A este respecto, vienemuy bien la historia que en el capítulo 0 de su libro “Elrincón de la pizarra” detalló nuestro entrañable maestro

6 Antonio Cañada VillarMiguel de Guzmán, fallecido prematuramente en Madriden 2004 ([33]):“Se encontraba Norbert Wiener ante su clase en el MassachusettsInstitute of Technology en medio del desarrollode una complicada demostración. La pizarra estaballena a rebosar de intrincadas fórmulas. De pronto seatascó, se quedó mirando fijamente a la última fórmulay pareció convertirse en estatua por un buen rato. Todospensaban, conteniendo el aliento, que estaba en uncallejón sin salida. Pero Wiener, sin decir una sola palabra,se dirigió al rincón de la pizarra, donde habíatodavía un pequeño espacio libre, y trazó unas pocas figurasque nadie pudo ver pues quedaban ocultas por supropia espalda. De pronto se le iluminó el rostro. Sindecir ni una sola palabra borró sus figuras misteriosas yvolvió al punto en que se había atascado para continuarya impecablemente y sin problema alguno hasta el final”.Volviendo a nuestro tema, D’Alembert y Euler, alrededorde 1747 ([42], [13], [32]) escribieron en términosmatemáticos el problema citado usando ecuaciones diferencialesen derivadas parciales (¿qué sería de la físicasin las ecuaciones diferenciales? y ¿qué sería de las ecuacionesdiferenciales sin la física?) En su versión mássencilla, D’Alembert y Euler demostraron (¿alguien pensabaque no íbamos a hablar de demostraciones en estediscurso?) que si la función u(x, t) representa el desplazamientovertical de la cuerda, en la coordenada x(suponemos 0 ≤ x ≤ π por simplicidad) y el tiempo t,entonces, si la posición inicial de la cuerda viene dadapor una función f y la velocidad inicial de la cuerda es

8 Antonio Cañada Villarde abscisas (como en los extremos del intervalo [0, π]).Entre dichos nodos, la cuerda oscilaría de acuerdo con(2.2).¿Cómo concibió Bernoulli esta idea? Parece ser quese basó en sus conocimientos musicales: el sonido queemite una cuerda vibrante es, en general, superposiciónde armónicos, es decir, superposición de funciones de laforma u n (x, t). Tales funciones representan para n = 1 eltono fundamental y para n > 1 sus armónicos, y desde elpunto de vista musical se corresponden con los tonos puros.Así, Bernoulli afirmó que cualquier sonido que produjesela vibración de la cuerda debe ser superposiciónde tonos puros. Desde el punto de vista matemático,ello significa que la solución de (2.1) debe representarsecomo una superposición infinita de la forma:∞∑(2.3) u(x, t) = f n sen(nx) cos(nt),n=1donde los coeficientes f n han de elegirse adecuadamentepara que se satisfagan todas las relaciones de (2.1). Sila solución propuesta por Bernoulli fuese correcta, elloimplicaría que la posición inicial de la cuerda debe ser,a su vez, una superposición infinita del tipo∞∑(2.4) f(x) = f n sen(nx), ∀ x ∈ [0, π],n=1para una adecuada elección de los coeficientes f n . Ahorabien, ¿quiénes son los coeficientes f n ? Bernoulli no fuecapaz de dar una respuesta general a esta cuestión (másbien se concentró en el estudio de series especiales dela forma ∑ sennx). Respecto del método que usó paran psolucionar (2.1), recibió duras contestaciones por partede D’Alembert y Euler, quienes no admitían que una

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 9función inicial f, más o menos arbitraria, pudiera representarseen la forma (2.4). Representativo de la discusiónentre los matemáticos citados puede ser el artículode D’Alembert titulado “Fondamental” contenido en elvolumen séptimo de la famosa “Encyclopédie”. Puedeconsultarse, además, la referencia [36]. La controversiase prolongó durante años.3. La propagación del calor: aportaciones de Fouriery las series armónicas de EulerParece ser que las ideas de Bernoulli fueron fuente de inspiraciónpara Jean Baptiste-Joseph Fourier, matemáticoy físico francés, nacido en 1768 y muerto en 1830. Fourier,profesor de análisis de la Escuela Politécnica, seinteresó entre otras cosas, por la teoría de la conduccióndel calor en los cuerpos sólidos. ¿Cómo se propaga elcalor? Si el cuerpo que estamos considerando está completamenteaislado, ¿tenderá a hacerse uniforme? Si sufrontera la mantenemos a cero grados centígrados, ¿tenderáel calor uniformemente a cero?Fourier fue un hombre polifacético (véanse [31], [35] y[39] para profundizar en aspectos personales de su vida).Acompañó a Napoleón, en calidad de científico, en lacampaña de éste a Egipto. Allí, como secretario del Institutode Egipto, hizo gala de una gran competencia endiversos asuntos administrativos. Al regresar a Francia,y como profesor de análisis de la Escuela Politécnica,Fourier se interesó por la teoría de la conducción del calor.(Siempre me he preguntado cómo es posible tenertiempo para todo). En 1807 envió una memoria a laAcademia de Ciencias de París, que trataba sobre dichotema (“Mémoire sur la propagation de la chaleurdans les corps solides”). En su versión unidimensional,

10 Antonio Cañada VillarFourier consideró una varilla delgada de longitud dada,cuyos extremos se mantienen a 0 o centígrados y cuyasuperficie lateral está aislada. Si la distribución inicialde temperatura en la varilla viene dada por una funciónf(x) (se supone que la temperatura de la varilla en cadasección transversal de la misma es constante), ¿cuál serála temperatura de cualquier punto x de la varilla en eltiempo t ∈ (0, T )? Fourier fue capaz de escribir el problemausando ecuaciones en derivadas parciales, obteniendolas relaciones:(3.1)∂ 2 u(x, t)∂x 2 =∂u(x, t), 0 < x < π, 0 < t < T,∂tu(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ π.Aquí aparece la célebre ecuación del calor, de interés enotros muchos problemas de la física (algunos físicos lallaman ecuación de Fourier). Como Bernoulli, Fourierafirmó que la temperatura solución de (3.1) está dadacomo superposición infinita de temperaturas sencillas.Más concretamente propuso que la función u viene dadapor la serie∞∑(3.2) u(x, t) = f n exp(−n 2 t)sen(nx),donde(3.3) f n = 2 πn=1∫ π0f(x)sen(nx) dx, ∀ n ∈ IINI.Sin duda, el hecho de haber alcanzado la fórmula anteriorpara los coeficientes f n es una de las contribucionesfundamentales de Fourier, y marca una diferencia significativarespecto del trabajo previo de Bernoulli sobre

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 11este tema. No obstante, la memoria de Fourier fue estudiadapor Lagrange, Laplace y Legendre y fue muycriticada por los miembros de la Academia Francesa,siendo su principal objeción la falta de rigor. A pesar deello, los miembros de tan prestigiosa institución estabanconvencidos de la importancia que tenían los problemasrelacionados con la propagación del calor y, los resultadosteóricos presentados por Fourier tenían una granconcordancia con diversos experimentos llevados a cabopreviamente. Por este motivo, convocaron un premiosobre el tema. Dicho premio fue otorgado a Fourier en1811, por su memoria revisada “Théorie du mouvementde la chaleur dans les corps solides”. A pesar de ello, losmiembros de la Academia seguían criticando su falta derigor, como se observa en el informe que emitieron ([39])“Esta obra encierra las verdaderas ecuaciones diferencialesde la transmisión de calor, tanto en el interiorde los cuerpos como en su superficie; y la novedad deltema, junto con su importancia, han decidido a la Clasea coronar esta obra, observando, sin embargo, que lamanera en la que el autor llega a sus ecuaciones no estáexenta de dificultades, y que su análisis para integrarlasdeja aún algo que desear, tanto en lo que respecta a lageneralidad como incluso del lado del rigor”.Por este motivo, Fourier no consiguió el propósito depublicar su trabajo en la célebre serie “Mémoires” de laAcademia Francesa. Fourier publicó por su cuenta sufamoso libro Théorie Analytique de la Chaleur, en 1.822en París ([26]), donde incorporó parte de su artículo de1812 prácticamente sin cambio. El libro fue calificadopor el físico Arnold Sommerfeld, en 1949, como “Bibliade la Física Matemática” ([24]). Muy indicativo de la

14 Antonio Cañada VillarLeonhard Euler(1707-1783)André Weil dedicó estas palabras a Euler: “Ningúnmatemático alcanzó tal posición de indiscutible liderazgoen todas las ramas de las matemáticas, puras y aplicadas,como la tuvo Euler durante la mayor parte del sigloXVIII”. Sin duda alguna Euler se situó a la altura deArquímedes, Newton y Gauss por sus descubrimientosen física teórica y sus aportaciones en matemática puray aplicada.Sobre la solución del problema de Basilea, Euler escribió:“Sin embargo, he encontrado ahora y contra todo pronósticouna expresión elegante para la suma de la serie 1 +1+ 1 + 1 +..., que depende de la cuadratura del círculo...4 9 16He encontrado que seis veces la suma de esta serie esigual al cuadrado de la longitud de la circunferencia deun círculo cuyo diámetro es 1”.Han escuchado ustedes bien: la suma de la serie anteriores π26 .¿Cómo es posible que aparezca el número π aquí? Estamosintentando sumar los inversos de los cuadradosde los números naturales y ... aparece el número π. Elingenio de Euler no es infinito, pero casi. Las ideas principalesde Euler se describen a continuación (véase [47]

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 15para aquellos aspectos que hoy en día puedan parecerpoco rigurosos).Como hemos mencionado con anterioridad, era conocido(desarrollo de Taylor, ¿qué harían los matemáticos excepcionalessin los que les precedieron?) quesenx =∞∑k=0(−1) k x 2k+1(2k + 1)! , ∀ x ∈ IRde donde se obtiene, para cualquier x que no sea cero,senxx∞ = ∑(−1) k x 2k(2k + 1)!k=0La parte derecha de la expresión anterior era para Eulerun “polinomio de grado infinito”, cuyos ceros por laexpresión anterior son los mismos que los de la funciónsenx, salvo x = 0, es decir, el conjunto de números reales{kπ, k ∈ ZZ \ {0}}. Por tanto, este polinomio infinito sepuede factorizar de la forma siguiente(3.5)∑ ∞k=0 (−1)kx 2k +∞(2k + 1)! = ∏k=1= ∏ )∞k=1(1 − x2k 2 π 2(1 − x ) ( 1 − x )=kπ −kπHay veces en las que merece la pena poner las fórmulasde manera desarrollada para apreciar su belleza, evitandosumas y productos infinitos. Por ejemplo, la fórmulaanterior queda de la forma siguiente:=1 − x23! + x45! − x67! + . . . =) ( ) ( )(1 − x21 − x21 − x2. . .1 2 π 2 2 2 π 2 3 2 π 2

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 17El caso de la suma de las series del tipo(3.7)∞∑n=11n 2k+1con k un número natural sigue siendo un misterio; unomás, de los muchos que rodean a la función zeta de Riemann(véase [5], discurso de ingreso de J.L. Bueso enesta academia en el año 2005). En 1979, Roger Apéry([8]; véanse también [20] y [49]) demostró que cuandok = 1, la suma es un número irracional, pero aún nose tiene un resultado similar para valores mayores de k,aunque también se sabe que el conjunto de los valores dek para los que (3.7) es irracional, es un conjunto infinito([25]).Regresando a nuestra “excursión” por los razonamientosoriginales de Fourier, merece la pena que destaquemosel paso donde Fourier “deriva respecto de π.” Tambiénhan escuchado ustedes bien: Fourier derivó respecto deπ. ¿Cómo es esto? Sabemos derivar unas variables respectode otras variables, pero ¿derivar respecto de unaconstante? Evidentemente esto también puede calificarsede audaz, aunque en este caso opino que el adjetivoaudaz es poco. Pongamos de manifiesto muy brevementelo que hizo Fourier. Por claridad en el discursonos concentramos sólo en el primer coeficiente. Usandolas sumas de las series mencionadas con anterioridad,Fourier encontró que(3.8) f 1 = 2 π∞∑(−1) n f 2n) (π).n=0

18 Antonio Cañada VillarEn este punto consideró que f 1 era una función de π ysi denotamos por s(π) a la función∞∑s(π) = (−1) n f 2n) (π)n=0entonces, derivando dos veces respecto de π se obtiene(3.9) s ′′ (π) + s(π) = f(π)una ecuación diferencial de segundo orden que se sabíaresolver en aquella época. Resolviéndola Fourier encontrópara el primer coeficiente(3.10) f 1 = 2 π∫ πy la fórmula general (3.3).0f(x)senx dxAlcanzada la fórmula (3.3) Fourier hace una (¿otra?)afirmación sorprendente. Dice más o menos lo siguiente:“Hasta ahora hemos supuesto que la función f puededesarrollarse en serie de potencias de la variable x. Noobstante, podemos hacer que el resultado previo sea válidopara funciones cualesquiera enteramente arbitrarias, inclusodiscontinuas. Para establecer la veracidad de estaafirmación es preciso que examinemos con detalle la naturalezade los coeficientes de sen x, sen 2x, ... en eldesarrollo (2.4)”.En realidad, lo que está diciendo Fourier con esta afirmaciónes que los coeficientes (2.4) son áreas definidas.Hace algunos dibujos en su libro a este respecto.Como hemos expuesto con anterioridad, no es de extrañarla reacción de los miembros de la Academia Francesaante el contenido del trabajo de Fourier. El tiempoha dado la razón a Fourier, no a la Academia y casi

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 19un siglo después, en 1902, Lebesgue probó en su tesisdoctoral “Intégrale, longueur, aire” que las conclusiones(no los razonamientos) de Fourier son correctos(al menos para funciones de cuadrado integrable). Dehecho, en la actualidad, la teoría de series de Fourierpuede presentarse usando los conceptos y métodos delanálisis funcional, la disciplina matemática por excelenciadel siglo XX (aunque nos parezca mentira a algunos,se puede decir también del siglo pasado). Más concretamente,la teoría de series de Fourier está íntimamenterelacionada con la integral de Lebesgue, los espacios deHilbert (extensión a dimensión infinita de la noción deespacio euclídeo finito dimensional IR n ) y los operadorescompactos y autoadjuntos (extensión, a dimensión infinita,de los endomorfismos de IR n definidos por matricessimétricas). Fue Hilbert quien identificó una funcióndada f, de cuadrado integrable, con sus coeficientes deFourier {f n , n ∈ IINI}. Estos coeficientes satisfacen la∞∑condición |f n | 2 < +∞. Hilbert introdujo además eln=1espacio l 2 de sucesiones de números reales {a n }, tales∞∑que la serie |a n | 2 es convergente. Posteriormente,n=1Riesz y Fischer demostraron la existencia de una aplicaciónbiyectiva entre el conjunto de las funciones decuadrado integrable L 2 (a, b) (para a y b finitos) y elconjunto l 2 (a cada función se le hace corresponder suscoeficientes de Fourier). De esta manera, una función decuadrado integrable puede ser considerada como un elementocon infinitas coordenadas (sus coeficientes de Fourier)en un espacio de dimensión infinita (ver [42]). Pensemosesto un momento porque, en mi opinión, es uno delos descubrimientos fundamentales de la matemática de

20 Antonio Cañada Villarprincipios del siglo XX. Una función no viene dada necesariamentepor las imágenes de los elementos originales;en realidad es un punto en un espacio de dimensión infinita.Esta abstracción permite, por una parte, comprendermejor los métodos de Fourier; por otra, se consigue,sin apenas esfuerzo, una gran generalidad.4. Algunos temas relacionados con series de FourierPuede dar la impresión de que el tema de las series deFourier “fue muy interesante”. Nada más lejos de larealidad, pues este tema “es muy interesante”. Las ideasexpuestas por Fourier en su libro plantearon de manerainmediata innumerables interrogantes y han originado,a lo largo de dos siglos, gran cantidad de investigaciónmatemática. De hecho, las series de Fourier nos permitenllegar hasta las fronteras de la investigación actual.Ya saben ustedes que una vez que un matemático se interesapor un problema, le da exactamente igual su origeny sus posibles aplicaciones (por algo es matemáticoy no físico, faltaría más). De hecho parece mentira quenos interesen algunas cuestiones tan abstractas, pero yaven, esto es lo normal en matemáticas, gracias a Dios.La siguiente reflexión viene como anillo al dedo:“La creación matemática se ha descrito algunas vecesasí: las matemáticas dicen A, escriben B, quieren decirC, pero lo que significan es D. Y de hecho, D es una ideaespléndida que emerge al poner orden en la confusión”.Teorías de integración de Cauchy, Riemann y Lebesgue.El mismo Fourier dice en su libro que la fórmula (3.3)es un resultado destacable, puesto que la función consideradapuede ser enteramente arbitraria, siempre que

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 21(3.3) se pueda calcular. Precisamente el intentar darsentido a los llamados coeficientes de Fourier ha motivadode manera significativa los diferentes conceptosde integral (véase [42] para fechas históricas concretas).En efecto, para el caso en que f es una función continua,Cauchy introdujo lo que hoy en día se conoce conel nombre de sumas de Riemann, es decir sumas de laforman∑(4.1)f(ξ i )(x i − x i−1 )i=1donde x 0 = 0 < x 1 < ... < x n = π es cualquier particióndel intervalo [0, π] y x i−1 ≤ ξ i ≤ x i , 1 ≤ i ≤ n. Aunquede manera no totalmente rigurosa (pues no expusoexplícitamente el concepto de continuidad uniforme),Cauchy demostró que si f es continua en [0, π] y elmáximo de las longitudes de todos los subintervalos dela partición considerada tiende a cero, entonces las anterioressumas convergen a un límite llamado la integralde la función.Cauchy (1789-1857) Riemann (1826-1866)Lebesgue (1875-1941)Riemann también se interesó por el tema afirmandoque era importante, al menos para los matemáticos aunqueno necesariamente para las aplicaciones físicas, establecerlas condiciones más amplias posibles bajo las

22 Antonio Cañada Villarcuales tienen sentido las fórmulas de los coeficientes deFourier. Introdujo así lo que llamamos hoy en día integralde Riemann, cuya idea básica es por una parte noasumir necesariamente que f es continua, y por otraestablecer condiciones lo más generales posibles paraque las sumas (4.1) tengan un único límite cuando elmáximo de las longitudes de todos los subintervalos dela partición considerada tiende a cero. Esto le permitióintegrar funciones con un número infinito de discontinuidades.No obstante, hubo que esperar a los trabajosde Lebesgue sobre la medida de un conjunto, para teneruna caracterización precisa de las funciones que puedenintegrarse según Riemann.De hecho, la que se considera actualmente como integraldefinitiva en muchos aspectos, es la introducidapor Lebesgue en 1902 en su tesis doctoral mencionadacon anterioridad: “Intégrale, longueur, aire”. El puntode partida, respecto de la noción de integral de Cauchyo de Riemann es completamente diferente, pues loque se intentaba era medir, de alguna forma, el conjuntode puntos de discontinuidad de una función dada(véase [7]). La noción de integral de Lebesgue permitióprobar con gran generalidad muchas conclusiones sobreseries de Fourier que, con anterioridad a Lebesgue eranconocidas para tipos particulares de funciones (lema deRiemann-Lebesgue, igualdad de Parseval, criterios deconvergencia puntual, etc.). Además, muchos resultadosde la teoría de integración de Lebesgue se expresan conuna gran simplicidad y claridad respecto de las teoríasde integración anteriores (teoremas de convergencia, teoremade Fubini, etc.), de tal forma que el conocimientode la teoría de la integral de Lebesgue es, hoy en día,imprescindible, para poder entender y presentar adecuadamentela teoría de series de Fourier.

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 23Funciones continuas no derivables.Las nociones de continuidad y diferenciabilidad deuna función real de variable real están hoy en día perfectamenteestablecidas. No obstante, el primitivo conceptode derivada debido a Newton y Leibniz era bastantemás complicado de expresar del que conocemos enla actualidad. Fue Cauchy ([42]) quien, unificando lasnotaciones de Newton y Leibniz, y basado en una definiciónanterior de Bolzano de 1817, introdujo en 1823la definición que hoy en día se da en todos los libros detexto(4.2) f ′ (x) = lim∆x→0f(x + ∆x) − f(x)∆xDurante bastante tiempo se estuvo convencido de quecualquier función continua debía ser derivable, exceptoposiblemente en conjuntos “aislados” de puntos. Pero,insistamos, ¿en cuántos puntos puede una función continuano ser derivable? La respuesta a esta preguntaestuvo relacionada desde el principio con la siguientecuestión sobre series de Fourier: ¿en cuántos puntospuede no converger la serie de Fourier de una funcióncontinua dada? De hecho, después de la publicación en1822 del libro de Fourier, Dirichlet se ocupó durante variosaños del problema de la convergencia de las seriesde Fourier, dando por primera vez de forma rigurosa en1829 un conjunto de hipótesis para garantizar la convergenciade las mismas. Este conjunto de hipótesis incluíala continuidad. Durante aproximadamente los cincuentaaños siguientes, se pensó que la continuidad dela función debería ser suficiente para la convergencia desu serie de Fourier. Sin embargo, algunos matemáticossospechaban que ello no debía ser así y todo esto motivóel estudio de funciones “raras” en el sentido de quetales funciones fuesen continuas, pero no derivables “en

24 Antonio Cañada Villarel máximo número de puntos posibles”.Riemann se encontró también con problemas parecidosen su trabajo de 1855, escrito para su habilitación y quetrató sobre la representabilidad de una función en serietrigonométrica. Motivado por este problema, definióen 1868 una función f, integrable en cualquier intervaloreal finito, pero que tiene un conjunto infinito dediscontinuidades en cualquier intervalo real no trivial.Además, para esta función f definida por Riemann, unaintegral indefinida cualquiera es continua en cualquierpunto de IR, y sin embargo no es derivable en ningúnpunto de discontinuidad de f. Con este procedimientoRiemann construyó un ejemplo de función continua encualquier punto real, pero cumpliendo además la propiedadsiguiente: en cualquier intervalo real no trivial, hayun conjunto infinito de puntos donde tal función no esderivable.Posteriormente, Weierstrass, estudiando el tipo de funcionesque podían representarse o desarrollarse en seriede Fourier, presentó en 1872 un ejemplo sorprendente ala Real Academia de Ciencias de Berlín: una funciónreal, de variable real, continua en cualquier punto yno derivable en ninguno. Concretamente, el ejemplo deWeierstrass está dado por la función(4.3) f(x) =∞∑n=0b n cos(a n πx)donde 0 < b < 1 y a es cualquier entero impar tal queab > 1 + (3π/2). El resultado de Weierstrass fue generalizadopor diferentes matemáticos, destacando el resultadode Hardy ([34]) de 1916, quién demostró que setiene la misma conclusión suponiendo hipótesis más generales:0 < b < 1 y ab ≥ 1 (véase también [9]). Es un

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 25tema que sigue interesando en la actualidad, pues posteriormentese han dado numerosos ejemplos de funcionescontinuas no derivables. Algunas de las más sencillaspueden verse en [4], [44] y [48], éste último artículo delaño 2005.Puede pensarse que el tipo de funciones anteriores esexcepcional. Nada más lejos de la realidad. El análisisfuncional, la disciplina matemática por excelencia delsiglo XX, permite probar que las anteriores situacionesson las que “usualmente cabe esperar”. ¿Cómo es esto?La herramienta clave para entenderlo es lo que se conocecon el nombre de Teorema de la Categoría de Baire(Baire, 1899) que comentamos a continuación. Sea Xun espacio de Banach real cualquiera. Si M ⊂ X, diremosque M es de primera categoría en X, si M esalguna unión numerable de subconjuntos M n de X talesque cada M n verifica la propiedad int M n = ∅, dondeint M n denota el interior de la clausura de M n y ∅ indicael conjunto vacío. Un subconjunto M de X se dice desegunda categoría en X, si M no es de primera categoríaen X. El Teorema de la Categoría de Baire afirma queX es de segunda categoría en sí mismo.Consideremos ahora X = C([a, b], IR), el espacio de lasfunciones reales y continuas, definidas en un intervalodado [a, b] de IR, con la norma uniforme. SeaM = {f ∈ X : ∃ x ∈ [a, b) : existe f ′ (x+)}Banach y Mazurkiewicz probaron en 1931 que el conjuntoM es de primera categoría en X y por tanto X \Mes de segunda categoría en X. Este resultado es de granbelleza. No obstante hemos de ser precavidos si hablamosde “conjuntos pequeños, conjuntos grandes, etc.”De hecho no hay ninguna relación entre la noción topológicade categoría y la noción geométrica de medida

26 Antonio Cañada Villarde un conjunto. Usando los conjuntos ternarios de Cantor([7]) no es difícil dar ejemplos de subconjuntos deIR que son de primera categoría en IR y con medida (deLebesgue) positiva. Asimismo existen subconjuntos deIR de segunda categoría en IR y con medida cero.En lo que respecta a las series de Fourier de funcionescontinuas, Du Bois-Reymond dió en 1873 un ejemplo deuna función continua cuya serie de Fourier no convergíaen un conjunto denso de puntos.Llegados aquí, la pregunta puede ser: ¿en cuántos puntospuede no converger la serie de Fourier de una funcióncontinua? Hubo que esperar hasta 1966, año en queCarleson demostró que se da la convergencia salvo posiblementeen un conjunto de medida cero ([18]). Esteresultado puede considerarse como uno de los más destacadosde la matemática del siglo XX. La demostraciónde Carleson es realmente complicada y la referencia [1]puede ser de gran ayuda para aquellos que tengan interésen entenderla. Por cierto que el Premio Abel 2006ha sido concedido a Carleson, entre otras cosas por susimportantes contribuciones al análisis armónico.En 1966 también, Kahane y Katznelson probaron quedado cualquier conjunto A de medida nula existe unafunción continua cuya serie de Fourier diverge en cadapunto de A ([40]). Estas son las cosas bonitas de lamatemática.Unicidad de la representación de una funciónen serie trigonométrica y teoría de conjuntos deCantor.La teoría de conjuntos de Cantor, base y fundamentode lo que se conoce con el nombre de matemática moderna,estuvo en buena parte motivada por el estudio

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 27de los puntos de convergencia o divergencia de las seriestrigonométricas. Fue este problema lo que llevó aCantor a definir algunas de las primeras nociones detopología conjuntista, como las de conjunto cerrado ypunto de acumulación y a introducir, entre otros conceptos,los ordinales transfinitos, creando lo que hoy endía se conoce como teoría de conjuntos. Esto no es raroen matemáticas: se comienza investigando un problemaparticular, que en principio interesa sólo a un númeromuy reducido de matemáticos, para terminar demostrandoresultados de interés general que son útiles enmuchas otras disciplinas, además de la matemática. Poreso soy un firme defensor de la matemática en toda suextensión, sin esa distinción artificial entre matemáticapura y aplicada.Volviendo al tema que nos ocupa, cuando Cantor comenzóa trabajar en la Universidad de Halle, Heine estabainteresado en la cuestión de la unicidad de la representaciónde una función dada en serie trigonométrica.Una serie trigonométrica es una serie de funciones de laforma(4.4) a 0 /2 +∞∑(a n cos(nx) + b n sen(nx))n=1donde a n , b n ∈ IR. Una función f : IR → IR se dice queadmite un desarrollo en serie trigonométrica si existealguna serie trigonométrica como (4.4) tal que(4.5)∞∑f(x) = a 0 /2 + (a n cos(nx) + b n sen(nx)), ∀ x ∈ IR.n=1Por ejemplo, sabemos que esto es así si f es 2π−periódicay de clase C 1 ([14], [44]). En este caso, los coeficientes

28 Antonio Cañada Villara n y b n son los coeficientes de Fourier definidos comoa n = 1 π∫ 2π0f(t) cos(nt) dt, b n = 1 π∫ 2π0f(t)sen(nt) dtEl problema que Heine planteó en 1869 a Cantor (cuandoéste último tenía 24 años de edad) fue: ¿es el desarrolloen serie trigonométrica único? Es decir, sif(x) = a 0 /2 += a ′ 0/2 +∞∑(a n cos(nx) + b n sen(nx)) =n=1∞∑(a ′ n cos(nx) + b ′ nsen(nx)), ∀ x ∈ IR,n=1¿es verdad que a 0 = a ′ 0, a n = a ′ n, b n = b ′ n, ∀ n ∈IINI? Este problema no era fácil y antes habían intentadoresolverlo, sin éxito, el mismo Heine, Dirichlet, Lipschitzy Riemann, entre otros. Es claro que el problema esequivalente al siguiente: si(4.6) 0 = a 0 /2+∞∑(a n cos(nx)+b n sen(nx)), ∀ x ∈ IR,n=1¿es verdad que a 0 = 0, a n = 0, b n = 0, ∀ n ∈ IINI?Cantor probó en 1870 que ello era así y que incluso,se puede renunciar a la convergencia de la serie (4.6) enun conjunto finito de puntos. Como Cantor tenía maderade auténtico matemático, la pregunta que se hizoa continuación era obvia: ¿en cuántos puntos podemosrenunciar a la convergencia de la serie (4.6) y sin embargoseguir teniendo el mismo resultado de unicidad?Según mis conocimientos, este problema sigue sin resolversehoy en día en toda su generalidad, a pesar deque se han realizado numerosos progresos sobre ello. Acontinuación comentamos algunos.

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 29En 1871 Cantor demostró que el conjunto de puntosexcepcionales, es decir, aquellos donde no se tiene necesariamenteconvergencia de la serie trigonométrica (4.6),puede estar formado por infinitos elementos, siempre quetal conjunto sea “de orden finito”. ¿Cómo definió Cantorel orden de un conjunto? De la siguiente manera:dado cualquier subconjunto E de números reales, Cantorintrodujo el concepto de punto de acumulación de E,tal y como se entiende hoy en día. Al conjunto de todoslos puntos de acumulación, conjunto derivado de E, lonotó por E ′ . Análogamente puede definirse el segundoconjunto derivado de E, E ′′ , como el conjunto derivadode E ′ , y así sucesivamente. Claramente se tienen las inclusiones...E ′′′ ⊂ E ′′ ⊂ E ′ . Entonces, un conjunto es deorden finito si algún derivado suyo es finito. TambiénCantor definió los conjuntos cerrados como aquellos quecontienen a su derivado. Es claro que la curiosidad deCantor le iba a empujar a profundizar más en el tema yse preguntó: ¿qué subconjuntos de números reales sonaquellos para los que algún derivado suyo es finito? Eneste sentido, Cantor demostró un resultado que merecedestacarse por su belleza: un conjunto de orden finitoes o finito o puede ponerse en correspondencia biyectivacon el conjunto IINI de los números naturales. A estosúltimos conjuntos les dió el nombre de infinitos numerables.La primera vez que supe que la noción de numerabilidadde un conjunto se introdujo por problemasderivados de la teoría de series de Fourier, me llevé unagran sorpresa. Con anterioridad nada me hacía pensarque ambos temas pudieran estar tan íntimamenterelacionados. Este es el motivo por el que soy un convencidodefensor de introducir la historia de las ideasmatemáticas en la enseñanza, al menos en la enseñanza

30 Antonio Cañada Villaruniversitaria. No creo que haya mejor motivación paralos alumnos.Cantor (1845-1918) Heine (1821-1881)Cantor se interesó a continuación por la existencia desubconjuntos de números reales infinitos no numerables.También han escuchado ustedes bien, pues previamentea Cantor no se podían plantear esta cuestión. Cantorprobó que el conjunto de los números reales es no numerable,continuando después con el estudio de subconjuntosdel espacio IR n , probando en particular que “la rectareal y el plano real tienen el mismo número de puntos”.Sobre este último resultado el mismo Cantor comentó:“si no lo hubiera demostrado, no me lo creería”.Posteriormente se ha demostrado que cualquier conjuntonumerable es válido también como conjunto de puntosexcepcionales donde puede fallar la convergencia de laserie trigonométrica (4.6) y seguir teniendo la representaciónúnica (Bernstein, 1908 y Young, 1909). Tambiénse han dado ejemplos de conjuntos excepcionales no numerables.Finalmente, se ha demostrado que cualquierconjunto de puntos excepcional (en el sentido definidoanteriormente) ha de ser de medida cero, pero existenconjuntos de medida cero que no son excepcionales. Enfin, un verdadero galimatías. Realmente, este tema, que

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 31ha interesado a los matemáticos desde hace más de 135años, plantea numerosos problemas abiertos en la actualidad([2], [19]) y está relacionado con muchas otrasáreas del análisis clásico, teoría de la medida, análisisfuncional, teoría de números, teoría de conjuntos, etc.Un estupendo y completo trabajo sobre el tema es [41].Valores propios y dominios isoespectrales.Comentemos a continuación algunos aspectos relacionadoscon las series de Fourier, valores propios, dominiosisoespectrales, etc. Veremos cómo se entremezclan demanera armoniosa problemas de análisis y de geometría.Como hemos mencionado con anterioridad, el interésde Fourier por desarrollos de la forma (2.4) estuvo motivadopor la aplicación del método de separación devariables al problema (3.1). Más precisamente, si se buscansoluciones elementales de (3.1) de la forma u(x, t) =X(x)P (t), ello origina el problema de valores propios(4.7)X ′′ (x) + λX(x) = 0, x ∈ (0, π), X(0) = X(π) = 0,Es conocido que (4.7) tiene solución no trivial si y solamentesi λ ∈ {n 2 , n ∈ IINI}. Además, si λ = n 2 , paraalgún n natural, el conjunto de soluciones de (4.7) esun espacio vectorial real de dimensión uno engendradopor la función sen(nx). Estos resultados son tan precisosporque (4.7) es una ecuación con coeficientes constantes,que se sabe resolver. Pero para el problema de la propagacióndel calor, las condiciones de contorno que seconsideran pueden ser mucho más generales que las establecidasen (3.1). De hecho, desde el punto de vistade las aplicaciones, tienen gran interés condiciones decontorno tales comoα 1 u(0, t) + α 2 u x (0, t) = 0, t ≥ 0,β 1 u(π, t) + β 2 u x (π, t) = 0, t ≥ 0,

32 Antonio Cañada Villardonde u x indica la derivada parcial respecto de la variablex y α 1 , α 2 , β 1 , β 2 son números reales dados. Incluso,las condiciones del cuerpo donde se propaga el calor notienen que ser necesariamente uniformes. Si se aplica elmétodo de separación de variables a este tipo de situacionesnos aparece la posibilidad de desarrollos en seriemucho más generales. La dificultad estriba en que lasecuaciones resultantes no tienen coeficientes constantesy por tanto los valores propios no se pueden calcularexplícitamente. Pues para eso están los matemáticos,aunque quizás no se hubieran planteado estos problemassin la ayuda de los físicos. A este respecto, la teoríade problemas de contorno del tipo Sturm-Liouville proporciona,de manera bastante general, bases del espacioL 2 (a, b) (el espacio de funciones de cuadrado integrableen el sentido de Lebesgue) que pueden usarse en losproblemas a estudiar. Estas ideas fueron desarrolladas,en el siglo XIX (concretamente entre 1829 y 1837) porSturm, profesor de Mecánica en la Sorbona y por Liouville,profesor de matemáticas en el Collège de Francia.Con la ayuda del lenguaje de hoy en día, sus resultadospueden resumirse de la forma siguiente: consideremos unproblema de contorno de la forma (λ es un parámetroreal):(4.8)ddt [ p(t)dx(t) ] + (λ − q(t))x(t) = 0, t ∈ [a, b]dtα 1 x(a) + α 2 x ′ (a) = 0β 1 x(b) + β 2 x ′ (b) = 0,donde suponemos las siguientes hipótesis:1) p ∈ C 1 ([a, b], IR); además p(t) > 0, ∀ t ∈ [a, b]; q ∈C([a, b], IR).3) α 1 , α 2 , β 1 y β 2 son números reales dados tales que|α 1 | + |α 2 | > 0 y |β 1 | + |β 2 | > 0.

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 33Sturm y Liouville demostraron:a) Cualquier valor propio de (4.8) es de multiplicidad 1.b) Cualquier par de funciones propias x e y, asociadasrespectivamente a valores propios distintos λ y µ, sonortogonales, es decir,∫ bax(t)y(t) dt = 0c) El conjunto de valores propios de (4.8) es infinitonumerable. El sistema ortonormal de funciones propiasasociado {φ n , n ∈ IINI}, es una base de L 2 (a, b).d) Sea g ∈ C 2 [a, b] cualquier función satisfaciendo lascondiciones de contorno dadas en (4.8). Entonces∞∑g(t) = 〈g, φ n 〉φ n (t), ∀ t ∈ [a, b]n=1donde la serie converge de manera absoluta y uniformeen [a, b] (〈, 〉 indica el producto escalar usual de funciones).Una de las maneras más bonitas y sencillas de probarlos resultados de Sturm y Liouville es usando el conceptode función de Green. Ello permite transformar(4.8) en una ecuación integral equivalente y trabajar, apartir de ahí, con operadores integrales. De esta formavan surgiendo de manera natural una serie de propiedadesque, puestas de manera abstracta, dan lugar a losconceptos e ideas fundamentales de la teoría de operadorescompactos y autoadjuntos. Esta teoría, debida engran parte a Fredholm y Hilbert, tuvo su origen a finalesdel siglo XIX ([42]) y principios del XX y proporcionómuchas ideas claves para el nacimiento del análisisfuncional. Permite generalizar de manera destacada lateoría de los desarrollos de Fourier, y legitima el uso

34 Antonio Cañada Villarde métodos análogos en problemas aparentemente muydiferentes de los aquí considerados. Por ejemplo, si estamostratando el problema de la conducción del caloren un dominio (conjunto conexo y abierto) acotado) Ωde IR 3 en lugar de en una varilla unidimensional comoen (3.1), tendríamos el problema(4.9)∆ x u(x, t) =∂u(x, t), (x, t) ∈ Ω × (0, T ),∂tu(x, t) = 0, ∀ (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ],u(x, 0) = f(x), ∀ x ∈ Ω,siendo ∆ x el operador laplaciano con respecto a x =(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ IR 3 . Por su parte, ∂Ω indica la frontera delconjunto Ω.Por su parte, si estamos tratando el problema de lavibración de una membrana n−dimensional que está fijaen su borde, tendríamos el problema∆ x u(x, t) = ∂2 u(x, t)∂t 2 , (x, t) ∈ Ω × (0, T ),(4.10)u(x, t) = 0, ∀ (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ],u(x, 0) = f(x), ∀ x ∈ Ω,∂u(x,0)∂t= g(x), ∀ x ∈ Ω,donde f y g expresan, respectivamente, la posición inicialy velocidad inicial de la membrana. No cabe ningunaduda de que las ecuaciones (4.9), (4.10), junto conla llamada ecuación de Laplace∆u(x) = 0, x ∈ Ω,

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 35que aparece al estudiar soluciones estacionarias de losproblemas anteriores, constituyen el corazón de la físicamatemática clásica.La aplicación del método de separación de variablesal problema (4.10), origina, en lugar de (4.7), que esun problema de ecuaciones diferenciales ordinarias, elproblema(4.11) ∆X(x)+λX(x) = 0, x ∈ Ω; X(x) = 0, x ∈ ∂Ω.Ahora puede aplicarse la teoría espectral de operadorescompactos y autoadjuntos ([10]) para demostrar queel conjunto de valores propios de (4.11) es infinito numerabley que el conjunto de funciones propias asociadas,convenientemente ortonormalizadas, {X n (x), n ∈ IINI},forma una base del espacio L 2 (Ω). Esto justifica el hechode que la condición inicial f se exprese como∞∑(4.12) f(x) = a n X n (x),n=1para coeficientes convenientes a n . Así, la solución de(4.9) puede buscarse de la forma∞∑(4.13) u(x, t) = a n P n (t)X n (x),n=1para funciones P n convenientes. Ideas parecidas puedenaplicarse al estudio de otros problemas de naturalezadiferente.Existen en la actualidad muchas cuestiones de interésen torno al problema de valores propios (4.11), que loconsideraremos en adelante para un dominio acotado deIR n . Una de ellas se relaciona con el conjunto de valorespropios {λ n (Ω), n ∈ IINI} (al que denotaremos en adelantepor espectro de Ω) y fue planteada por M. Kac en

36 Antonio Cañada Villar1966 ([37]) en un famoso artículo titulado: Can one hearthe shape of a drum?, es decir, ¿se puede oír la formade un tambor? Previamente era conocido que otras propiedadesde Ω, tales como el volumen y el área de lafrontera, se pueden oír, es decir, se pueden obtener apartir del espectro ([37]).El título de la conjetura anterior se relaciona claramentecon el problema de la membrana vibrante (4.10).La cuestión que planteó Kac es la siguiente: dos dominiosΩ 1 y Ω 2 se dicen isoespectrales si tienen el mismoespectro (la multiplicidad de los valores propios se tieneen cuenta para esto). Entonces, ¿es verdad que dosdominios isoespectrales son necesariamente isométricos?Esta misma cuestión puede plantearse para condicionesde contorno más generales y para otros tipos de operadoresdiferentes del laplaciano ([50], [45]).En 1982, Urakawa ([52]) mostró un ejemplo de dominiosisoespectrales en IR n , n ≥ 4, que no son isométricos. En1992, Gordon, Webb y Wolpert ([29], [30]) expusieron uncontraejemplo en IR 2 . Otros ejemplos más generales puedenverse en [6] y [17]. Ahora bien, numerosas cuestionesen torno a esta conjetura quedan aún por resolver. Porejemplo, en el contraejemplo mencionado los dominiosno son convexos; entonces, ¿será verdad la conjetura deKac para dominios convexos? Como se puede comprender,hay muchos problemas abiertos aún que relacionaníntimamente las series de Fourier con la geometría (véase[3], discurso de ingreso de M. Barros en esta Academiaen el año 2000).Grado topológico y coeficientes de Fourier.Un último aspecto que vamos a comentar, relacionadocon los coeficientes de Fourier, implica dos conceptosaparentemente alejados: el grado topológico de Brouwer

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 37de una aplicación continua y los coeficientes de Fourierde dicha aplicación. Si viviésemos lo suficiente, al finaltendríamos oportunidad de comprobar que todo en matemáticasestá relacionado. Pero ya ven, la reflexión deLuis Cernuda vuelve a surgir al final del discurso.El grado topológico de Brouwer es la versión finitodimensionalde la teoría del grado topológico, una delas herramientas más útiles que se han creado en elsiglo XX para estudiar problemas no lineales de naturalezamuy diferente. Por ejemplo, el famoso teoremadel punto fijo de Brouwer (y su versión en dimensióninfinita, el teorema del punto fijo de Schauder)es una consecuencia trivial de esta teoría, donde seentremezclan de manera magistral técnicas topológicasy analíticas. En [15] puede verse cómo el grado topológicode Brouwer permite obtener extensiones, en absolutotriviales, del conocido teorema de Bolzano para elcaso de un intervalo real (o rectángulo 1−dimensional)y del no tan conocido (yo diría que casi desconocido)teorema de Poincaré-Miranda, para sistemas de n ecuacionescon n incógnitas consideradas en un rectángulon−dimensional. También, problemas planteados en físicahan desempeñado un papel muy importante (como concasi todo en matemáticas) para algunas extensiones muyrecientes del grado topológico a aplicaciones que no sonnecesariamente continuas (véase [11]).Volviendo al tema que nos ocupa, la relación entre elgrado topológico y los coeficientes de Fourier, recordemosque si B 1 es la bola cerrada unidad de IR 2 y g : B 1 →IR 2 es una aplicación continua que no se anula en la fronterade B 1 , entonces su grado topológico está bien definido(véase, por ejemplo [21]). Denotémoslo por deg(g).Si definimos la función 2π− periódica h(x) = g(exp(ix)),puede demostrarse que, si g es una función de clase C 1 ,

38 Antonio Cañada Villarentonces(4.14) deg(g) =+∞∑n=−∞n|h n | 2 ,donde h n son los coeficientes de Fourier de la función hrespecto de la base {exp(inx), n ∈ IINI}. De hecho, (4.14)fue probado por Brezis y Nirenberg bajo condiciones másgenerales (véase el trabajo [11]). También conjeturaronque (4.14) debería ser verdad para funciones continuasg. La respuesta negativa a esta conjetura ha sido dadapor Korevaar en 1999 ([43]). No obstante, esto ha planteadonuevos interrogantes como el propuesto por Breziscon el título siguiente: can one hear the degree of continuousmaps?, es decir, ¿se puede oír el grado de unaaplicación continua? De manera más precisa: si h yk son dos aplicaciones continuas de la frontera de B 1en sí misma, con coeficientes de Fourier respectivos h ny k n verificando |h n | = |k n |, ∀n ∈ IINI, ¿es verdad quedeg(h) = deg(k)? Se ha dado una respuesta positiva aesta cuestión para funciones “algo mejores que las continuas”,incluyendo funciones “suficientemente Höldercontinuas”.Puede consultarse el reciente trabajo deBrezis del año 2006 ([11]) sobre este tema. Es claroque cuestiones relacionadas con los coeficientes de Fouriercontinúan desempeñando un papel importante en lahistoria de la Matemática.5. EpílogoNo cabe duda de que la teoría de series de Fourier esuna de las creaciones más grandes de la Historia de laCiencia. Ha tenido, además, una gran influencia en el

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 39nacimiento y desarrollo de numerosas técnicas y conceptosmatemáticos. En la actualidad, la teoría de seriesde Fourier sigue teniendo una gran importancia ysu conocimiento es de gran utilidad en disciplinas muydiversas como matemáticas, física, biología, ingeniería,economía, etc. Tales series están siempre presentes entodos aquellos procesos naturales de tipo oscilatorio, dedifusión o de naturaleza periódica. Por mencionar algunos,los métodos de Fourier se emplean en problemastan diversos como los relacionados con: el ciclo de lasmanchas solares, predicción de mareas, mejora de la calidadde las imágenes de los objetos celestes tomadasdesde el espacio, teoría de la señal, transmisión de sonidose imágenes, física de plasmas, física de semiconductores,acústica, sismografía, oceanografía, confección deimágenes en medicina (escáner TAC), estudio del ritmocardíaco, análisis químicos, estudios de rayos X (usandoel análisis de Fourier, los astrónomos pueden estudiarlas variaciones en intensidad de las señales de rayos Xde un objeto celeste), etc.Después de preparar este discurso, no me cabe ningunaduda de lo que dije al comenzar: si te gustan las matemáticasy la física, en las series de Fourier encontrarásambas cosas de manera plena. Si te gusta laenseñanza, aquí tendrás una oportunidad única de ponerlaen práctica: las series de Fourier aúnan a la perfecciónla historia, el desarrollo de las ideas, las aplicaciones,etc., lo que hoy en día se llamaría, de maneratan desafortunada, “enseñanza integral.” Si tegusta la investigación, aquí encontraras numerosos problemasabiertos para entretenerte con ellos (¡ojo, no son

40 Antonio Cañada Villarfáciles!). Las siguientes afirmaciones de nuestro maestroMiguel de Guzmán, sacadas del prólogo de mi librosobre series de Fourier ([14]) son muy indicativas:“La motivación para el estudio de las series de Fourierpuede provenir de fuentes diferentes, pero su historiaaúna muchas de ellas. En ella se percibe cómo seentrelazan los esfuerzos e intentos diversos de la matemáticatanto para entender mejor el universo físico enque estamos inmersos como para escudriñar los problemasapasionantes que se derivan del examen profundo delos instrumentos mismos que se van creando para elloy que viene a dar lugar al desarrollo esplendoroso delanálisis matemático en la actualidad. Desde el poemamatemático en torno a la comprensión del calor (comodefinió Maxwell el tratado inicial de Fourier) hasta eldesarrollo actual de la teoría de ondículas que se manifiestatan fecundo en el mundo de las aplicaciones másdiversas, se puede experimentar la continuidad del esfuerzode los matemáticos de varios siglos”.Me gustaría acabar con las palabras de Lord Kelvin,que siguen teniendo plena actualidad: “Los métodosde Fourier no son solamente uno de los resultados máshermosos del análisis moderno, sino que puede decirseademás que proporcionan un instrumento indispensableen el tratamiento de casi todas las cuestiones de la físicaactual, por recónditas que sean”.Bibliografía[1] J. Arias de Reyna. Pointwise convergence of Fourierseries. Lecture Notes in Mathematics, 1785,Springer-Verlag, Berlin, 2002.

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44 Antonio Cañada Villar[38] J.P. Kahane. A century of interplay between Taylorseries, Fourier series and Brownian motion. Bull.Lond. Math. Soc., 29, 1997, 257-279.[39] J. P. Kahane. Le retour de Fourier. Académie desSciences, Paris, 2005. Traducción al castellano porJ. Duoandikoetxea en la Gaceta de la Real SociedadMatemática Española, 10, 2007, 678-688.[40] J.P. Kahane y Y. Katznelson. Sur les ensemblesde divergence des séries trigonométriques. StudiaMath. 26, 1966, 305-306.[41] A. S. Kechris Set theory and uniquenessfor trigonometric series. Preprint, 1997.http://www.math.caltech.edu/people/kechris.html[42] M. Kline. Mathematical thought from ancient tomodern times. Oxford University Press, New York,1972. Versión española en Alianza Editorial, Madrid,1992.[43] J. Korevaar. On a question of Brezis and Nirenbergconcerning the degree of circle maps. Sel. Math.,New Ser. 5, 1999, 107-122.[44] T. W. Körner. Fourier analysis. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1988.[45] M. Levitin, L. Parnovski y I. Polterovich. Isospectraldomains with mixed boundary conditions. J.Phy., A: Math. Gen. 39, 2006, 2073-2082.[46] N.N. Luzin. Función. Gac. R. Soc. Mat. Esp., 6,2003, 201-225.[47] M. Mckinzie y C. Tuckey. Hidden lemmas in Euler’ssummation of the reciprocal of the squares. Arch.Hist. Exact Sci., 51, 1997, 29-57.[48] H. Okamoto. A remark on continuous, nowhere differentiablefunctions. Proc. Japan Acad. 81, Ser. A,2005, 47-50.

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 45[49] A. van der Poorten A proof that Euler missed...Apéry’sproof of the irrationality of ζ(3).Math. Intelligencer, 1, 1978/79, 195-203.[50] M.H. Protter. Can one hear the shape of a drum?Revisited. SIAM Rev. 29, 1987, 185-197.[51] D.J. Struik (editor). A sourcebook in Mathematics,1200-1800. Hardvard University Press, XIV, Cambridge,Massachusetts, 1969.[52] H. Urakawa. Bounded domains which are isospectralbut not congruente. Ann. Scient. Ecole Norm. Sup.15, 1982, 441-456.

46 Antonio Cañada VillarDISCURSO DE CONTESTACIÓNManuel Barros DíazAcadémico Numerario de la Sección deMatemáticasExcmo. Sr. PresidenteExcmos. e Ilmos. Sres. AcadémicosSeñoras y SeñoresDeseo, en primer lugar, expresar públicamente mi agradecimientoa esta Academia por el honor que me hizocuando me designó para presentar al Prof. AntonioCañada Villar en el solemne acto de su ingreso en ella.Quiero decir, a continuación, que este privilegio es, porun lado, muy grato por diversas razones que trataréde exponer y, por otro lado, fácil por los excepcionalesméritos académicos y científicos que concurren en lapersona del Prof. Cañada.El Prof. Cañada estudió la licenciatura en Ciencias Matemáticasen esta Universidad, creo que pertenece a la12 promoción (entre los cursos 1974-75 y 1978-79). Enaquellos tiempos los estudios de Matemáticas en la Universidadde Granada empezaron a ser distintos de comoeran en sus inicios. Estaba naciendo un nuevo conceptode Profesionalidad en la Universidad. Los Profesores,con dedicación exclusiva, además de realizar su actividaddocente, empezaron a tener inquietudes investigadoras.Se empezaron a defender las primeras tesis doctoralesen Matemáticas. En este sentido podríamos decirque el Prof. Cañada pertenece, en cuanto a sus estudiosde licenciatura, a la segunda etapa de la de Matemáticas.

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 47A finales de 1976, yo me doctoré en esta Universidad ydespués de realizar una estancia pos-doctoral, en ParisVI, volví a Granada para ocupar, de manera interina,una Agregaduría de Geometría V (Diferencial). Tuvela suerte de tener entre mis estudiantes a aquel adolescentede Torredonjimeno (por entonces era ya un joven)que soñaba con la enseñanza y en particular con la dela Matemática. Creo que le tuve, como estudiante, enun curso sobre Geometría Diferencial de variedades ypermítanme que les confiese que con estudiantes comoAntonio, la docencia universitaria es maravillosa. Estaidea era compartida por todos los profesores de Antonio(entonces, y a pesar de que existían los mismos Departamentosque ahora, la convivencia, entre los profesoresque formábamos el Claustro de Matemáticas, era másestrecha por razones obvias).Antonio Cañada era un estudiante brillante y profundo.Era riguroso e intuitivo y, lo más importante, su menteposeía un extraordinario equilibrio entre el rigor y la intuición.Permitidme una licencia a modo de segundaconfesión, ésta creo que no la conoce ni el propio Antonio:recuerdo que sufrí una pequeña frustración cuandosupe que no iba a estudiar Geometría. Antonio hubierasido un excelente geómetra. Realmente, y puesto queyo creo que nació para ser matemático, hubiera destacadoen cualquier rama de la Matemática. Sin embargo,como nos ha confesado en su discurso, al ingresar en laUniversidad estaba dudando entre estudiar matemáticao física. La conclusión silogística es clara: debería dedicarsea la geometría diferencial (de ahí mi esperanza)o bien hacerlo al análisis matemático pero no a cualquiertipo de análisis matemático sino a las ecuacionesdiferenciales. No obstante, las ecuaciones diferencialesson esenciales tanto en geometría diferencial como en

48 Antonio Cañada Villarfísica. Además, éstas ofrecen motivaciones excelentespara aquellas de tal modo que sería francamente aburridohacer ecuaciones sin contar con la geometría y lafísica. Deseo, a estas alturas, ilustrar y enfatizar esteflujo a tres con un par de ejemplos.• A finales del siglo XIX y en el contexto de loque hoy podemos mencionar como geometría diferencialclásica, se puso de moda el estudio delas superficies del espacio, con curvatura constantenegativa. En este contexto y en 1880, unmatemático griego, J.N. Hazzidakis, publicó unartículo en el Journal de Crelles. En él, pruebaque las superficies de curvatura constante negativase corresponden (de manera uno-uno) conlas soluciones de una equación diferencial no lineale hiperbólica. Esta ecuación es actualmenteconocida como ecuación de sine-Gordon y poseeuna gran importancia en diversos contextos dela física: teoría de campos relativista, física delestado sólido, óptica no lineal etc. En particular,es una ecuación con soluciones que representansolitones lo que la hace muy atractiva.• Muchas veces, tanto en matemática como en física,es importante explotar las simetrías de unproblema, cuando las tiene, para encontrar su solución.Esta idea se enmarca dentro de lo que seconoce como principio de criticalidad simétrica.En el contexto de las ecuaciones diferenciales,sobre todo cuando se corresponden con las decampo asociadas a un determinado Lagrangiano,no es más que una manera de usar la geometríapara encontrar soluciones de aquellas. Este principioha sido usado en infinidad de ocasiones y en

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 49muchas de ellas de manera implícita y sin ser notado.Incluso el propio H. Weyl lo usó sin darsecuenta cuando obtuvo la solución de Schwarzschildpara las ecuaciones de campo de Einstein.Después de esta licencia, volvamos a la trayectoria académicade Antonio Cañada. Se licenció en junio de 1979,con premio extraordinario, y decidió, con gran acierto,dedicarse a las ecuaciones diferenciales. Bajo la direccióndel Prof. Pedro Martínez Amores y en esta Universidad,realiza su tesis doctoral y la defiende en abril de 1982,también obtuvo premio extraordinario en su doctorado.Desde entonces, el Prof. Cañada ha realizado aportacionesen investigación y docencia (también en gestión)que demuestran la excelencia de su historial científicoy académico. Deseo, a continuación, resaltar algunasde las características más notables del Antonio Cañadasenior.• En estos momentos, en los que todo se evalúa,existen unos parámetros bien claros y perfectamentedefinidos para valorar los historiales científicosy académicos. En particular, y al menosen las áreas de ciencias experimentales, en lavaloración de la actividad investigadora es determinantela presencia de una serie amplia ycontinuada de publicaciones científicas en revistasindexadas e importante factor de impactode acuerdo con el ”Journal Citation Reports”.En el historial científico del Prof. Cañada seaprecia una serie de casi cuarenta publicacionescientíficas en revistas excelentes y con un alto

50 Antonio Cañada Villarfactor de impacto: ”Journal of Differential Equations”,”Transactions of the American MathematicalSociety”, ”Journal of Functional Analysis”,”Journal of the European Mathematical Society”,por poner algunos ejemplos. Paralelamente,el Prof. Cañada ha liderado grupos yequipos de investigación a través de siete proyectosde investigación de los planes nacionales yeuropeos. También ha dirigido ocho tesis doctoralesy entre sus discípulos se encuentran importantesinvestigadores de esta Universidad: RafaelOrtega, David Arcoya, José Luis Gámez, por citara algunos. Además, el programa de movilidaddel Prof. Cañada es amplio, habiendo realizadodiversas estancias de investigación en centrosde prestigio y calidad reconocidos: Universityof Texas (en Arlington), Universita di Venecia,Scuola Normale Superiore di Pisa, por citaralgunos. Ha pronunciado diversas conferenciasen seminarios y congresos (Lovaina, Politécnicode Torino, La Sapienza etc.). Posee todos lostramos posibles de investigación, docencia y autonómicosy recibió en 1981 el premio de investigaciónde esta Academia.• Además de un excelente científico, el Prof. Cañadaes un profesor, mejor, un maestro extraordinario,se puede decir que es un enamorado de lamatemática. Su actividad docente universitaria,además de amplia, está excepcionalmente complementaday cualificada. Ha realizado una encomiablelabor divulgativa a través de artículosque, por ahora, ha culminado en un maravillosolibro de texto sobre las series de Fourier. Undato objetivo y actual para calificar de excelente

Series de Fourier, Análisis Matemático y Física 51su manera de transmitir la matemática es su deliciosodiscurso de ingreso en esta Academia conel que hoy nos ha agasajado.• Antonio Cañada es, además de un excelente científicoy un maestro excepcional, un universitariointegral. En su historial académico se apreciauna notable labor relacionada con la gestión universitaria.En efecto, como ya se ha mencionado,ha gestionado, como investigador principal, eldesarrollo de siete proyectos de investigación obtenidosen los planes nacionales y europeos. Poseeexperiencia en organización de actividadesde I+D. Ha sido director del Departamento deAnálisis Matemático de esta Universidad. Harealizado una encomiable labor editorial. Es asesorcientífico y experto en activo de la ANEP,etc.• Excelente científico, maestro excepcional, universitariointegral. El Prof. Cañada ha realizado,y lo está haciendo, una obra a la que hayque calificar de creadora y solidaria. Creadoraen todo el significado de la palabra y solidaria,por toda la gente con la que se ha comprometidoy no ha defraudado. Posee un extraordinarioespíritu universitario, ha trabajado por ypara la Universidad y siempre colaborando concolegas y dirigiendo a estudiantes.Ilmos. Sres. Académicos, Señoras y Señores, quieroponer de manifiesto la satisfacción que me produce elingreso del Prof. Cañada en esta insigne Academia.Además de por sus cualidades, científicas y humanas,excepcionales ya reseñadas, su ingreso en la Academiaviene a cubrir una de las carestías más sangrantes que

52 Antonio Cañada Villarhistóricamente ha tenido. El nuevo académico es ungrandísimo experto en el campo de las ecuaciones diferenciales.Seguramente, todos estaremos de acuerdo enadmitir que esta disciplina define un (por no decir el)camino más corto entre la matemática pura y las otrasciencias experimentales que tan ilustremente están representadasen esta Academia. Las soluciones y los tratamientosde muchos problemas de las distintas cienciasexperimentales se encuentran codificados en ecuacionesdiferenciales. A partir del momento en el que se propusoal Prof. Cañada para ocupar una plaza de AcadémicoNumerario, la Academia hizo justicia con las ecuacionesdiferenciales. Hoy, se materializa este hecho. Cuidemosa la disciplina y también al nuevo académico que aquíla representa.Prof. Cañada, Antonio, en nombre de la Academia, desus miembros y en el mío propio, te doy la bienvenidacon las más cordiales felicitaciones.