Espacios Vectoriales

8. Sea M2x2 el conjunto formado por todas las matrices de 2 X 2. Si A =a 11 a 12y B =, denimos A+B = A y el producto por un escalar A el usual. Determine si M2x2 es un espaciovectorial real. 1 a9. Verique si el conjunto formado por todos las matrices de 2 X 2 de la forma con las operacionesde suma: + =y producto por un escalar: =b 1 1 a 1 c 1 a + c1 ab 1 d 1 b + d 1b 11 ab 1, es un espacio vectorial real.10. En los ejercicios siguientes, determine cuales de los subconjuntos indicados, son un subespaciovectorial del espacio vectorial dado. f(x, -x) / x 2 Rg en el espacio vectorial R2. f(x, x+1) / x 2 Rg en el espacio vectorial R2. f(n, m) / n, m 2 Zg en el espacio vectorial R2. f(x, y, 3x-2y) / x, y 2 Rg en el espacio vectorial R3. ff / f(1) = 0g en el espacio vectorial F(R) de funciones de R en R. ff / f(??) = 1g en el espacio vectorial F(R) de funciones de R en R. ff / f(x) 0, 8 x 2 Rg en el espacio vectorial F(R). ff / R 1f(x)= 0g en el espacio vectorial C(R) de funciones continuas en R.0 ff / R 1f(x) = 1g en el espacio vectorial C(R).0 f(a-c, b+c,5c)/a, b, c 2 Rg en el espacio vectorial R3. f(a-b, b-c, c-d, d-a)/a, b, c, d2 Rg en el espacio vectorial R4. El conjunto f(aij) 2 Mn /aij = 0 si i 6= jg de todas las matrices diagonales de Mn, en elespacio vectorial de todas las matrices de m x n.11. Si U y W so n dos soluciones del sistema de ecuaciones lineales AX = B, entonces U - Wpertenece al espacio solucin del sistema de ecuaciones homogneo asociado AX = 0.12. Demuestre que el conjunto formado por todas las soluciones simultneas del sistema de ecuacioneslineales AX = B con n incgnitas, no es un subespacio vectorial de Rn si B 6= 0.13. Demuestre que el conjunto formado por todas las soluciones simultneas del sistema de ecuacioneshomogneo AX = 0 con n incgnitas, es un subespacio vectorial de Rn . 1 a14. Verique si el conjunto formado por todos las matrices de 2 X 2 de la forma con lasb 1operaciones de suma y producto por un escalar usuales es un subespacio vectorial de M2.15. Demuestre que el subespacio L((1, 1), (1, 2)) de R2 es todo R2.16. En los ejercicios siguientes, determine si el conjunto dado es generador del espacio vectorial indicado. En R3 : f(1,-1,2), (1,1,2), (0,0,1)g. 19. En R3 : f(1,-1,2), (-1,1,2), (0,0,1)g. En P2(x) : f1- x, xg. 21. En P2(x) : f1- x, x, 3 - x2g. En P2(x) : fx2 - 2x, - x, 5x2 + 3xg. 23. En P3(x) : fx, x2 - 2x, x3 - xg. En P3(x) : fx, x3 - 1, 4x3 - x - 1, x2g. 2 1 0 3 4 1 En M2 :;;4 0 1 5 7 5;0 11 017. Plantee un criterio geomtrico para que dos vectores distintos de R2 sean dependientes..b 11 b 12Catedra de Algebra Lineal

18. Argumente geomtricamente porque un conjunto formado por tres vectores distintos en R2 es dependiente.19. Plantee un criterio geomtrico para que dos vectores distintos de R3 sean dependientes.20. Describa geomtricamente el subespacio de R3 generado por dos vectores independientes.21. Explique geomtricamente como es que un conjunto formado por tres vectores no nulos, distintos ypertenecientes a R3 es dependiente.22. Argumente geomtricamente porque un conjunto formado por cuatro vectores distintos de R3 esdependiente.23. En los ejercicios siguientes, determine cuales de los conjuntos dados es dependiente o independiente f(1,3), (-2,-6)g en R2. f(5,7), (9,-3)g en R2. f(-1,2,1),(2,-4,3)g en R3. f(2,0,5),(-1,3,-4),(1,3,1)g en R3. f(1,-4,3), (3,-11,2), (1,-3,-4)g en R3 . f(1,3,4,-1), (2,0,1,-3), (3,3,5,1)g en R4 .24. Demuestre que fsenx, cosxg es un conjunto independiente de vectores del espacio F(R) de funcionesde R en R.25. Demostrar que cuatro polinomios de P2(x), el espacio vectorial generado por los polinomios de unavariable real x y de grado igual o menor que dos, son dependientes.26. En los ejercicios siguientes, determine si el conjunto dado es independiente o dependiente, ademsdetermine si es generador del espacio indicado. En R3 : f(1,-1,2), (1,1,2), (0,0,1)g. En R3 : f(1,-1,2), (-1,1,2), (0,0,1)g. En P2(x) : f1- x, xg. En P2(x) : f1- x, x, 3 - x2g. En P2(x) : fx2 - 2x, - x, 5x2 + 3xg. En P3(x) : fx, x2 - 2x, x3 - xg. En P3(x) : fx, x3 - 1, 4x3 - x - 1, x2g. 2 1 0 3 4 1 En M2 :;;4 0 1 5 7 5 En C(I), siendo I = (0,1) : flnx, lnx2, lnx3g. En F(R) : fsen2x, cos2x, 1g;0 11 0 En el espacio R[x], (de todos los polinomios de una variable real x y de coecientes reales)demuestre que dos polinomios no pueden generar el subespacio P2(x) .27. En los ejercicios siguientes, utilice la tcnica de exclusin que se deriva del Teorema 6.7, es decir,elimine del conjunto dado los vectores ue resulten combinacin lineal de los precedentes y encuentreun subconjunto independiente que genere el mismo subespacio vectorial. En R2 : f(5, -1), (10, 3)g. En R2 : f(1,2),(-3,-6),(2,1),(4,3)g. En R3 : f(1,1,1), (2,1,6), (6,1,4), (6,6,-6), (6,5,4)g. En R[x]: fx2 - 1, x2 + 1, 4x, 2x - 3g..Catedra de Algebra Lineal

En R[x]: f1, 4x + 3, 3x - 4, x2 + 2, x - x2g. En F(R): f1, sen2x, cos2x, cos2xg. En R4 : f(1,2,0,1), (0,1,2,1), (0,6,6,12), (-3,-1,6,7), (1,1,1, 4), (2,6,2,6)g. En R5 : f(1,2,1,2,3), (3,1,1,4,2), (3,-2,-3,7,6), (6,-1,-2,11,8), (3,4,5,1,-2), (-1, -2,0,-1,0)g.28. Sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) dos vectores de R3 . Si w = v, demuestre que elsubespacio vectorial L(v, w) (espacio generado por v y w) es una recta que pasa por el origen.29. Determine el sistema de ecuaciones lineales homogneo cuyo conjunto solucin S este generado porlos vectores (1,-2,0,3), (1,-1,-1,4), (1,0,-2,5) y (2,-3,-1,7).30. Demuestre que un subconjunto de un conjunto independiente es necesariamente independiente.31. Sean a, b y c tres vectores linealmente independientes pertenecientes a un espacio vectorial Ecualquiera. Determine si los vectores u, v y w tambin son independientes, siendo u = a - b, v =a - c y w = b - c.32. Sea fv1, v2, v3, , vkg un conjunto dependiente, demuestre que fv1, v2, v3, , vk, vk+1, ,vng es tambin un conjunto dependiente.33. Sea fv1, v2, v3, , vng un subconjunto independiente en un espacio vectorial E cualquiera.Supongamos que tenemos un vector w 2 E pero no perteneciente al subespacio L(v1, v2, v3, ,vn). demuestre que el conjunto fv1, v2, v3, , vn, wg es independiente.34. Sean F1 y F2 dos fuerzas con direcciones diferentes, y sea F3 una tercera fuerza. Mostrar que F1,F2 y F3 son independientes, si la direccin de F3 no est contenida en el plano generado por lasdirecciones de F1 y F2.35. Si W es un subconjunto linealmente independiente de vectores de un espacio vectorial E y si b esun vector de W, demuestre que necesariamente b es un vector no nulo.36. Si B = fb1, b2, b3, . . . , bn, x1g es un subconjunto nito de vectores no nulos de un espaciovectorial E y si x1 " L(b1, b2, b3, . . . , bn), demuestre que B es un conjunto linealmentedependiente.37. Sean S1 y S2 dos subconjuntos de vectores de un espacio vectorial E. Si S1 S2 y S2 eslinealmente dependiente, muestre mediante algunos ejemplos, que S1 puede ser linealmente independienteo linealmente dependiente.38. Sea B un subconjunto formado por cinco vectores de un espacio vectorial E y sea dim(E) = 4.Se pregunta: Puede B ser un conjunto independiente? Puede B generar a todo el espacio E? Debe B generar a todo el espacio E?39. En los ejercicios siguientes, determine si el conjunto de vectores dado es o no es una base para elespacio vectorial indicado. f(-2,2), (2,4)g para R2. f(-1,0,1), (1,3,4)g para R3. f(-1,2,4), (1,3,-1), (1,8,2)g para R3. f(-1,3,4), (1,5,-1), (1,13,2)g para R3. f(1,0,2,2), (-3,1,2,0), (2,0,3,0), (1,0,0,0)g para R4. f1, x -1, x2 + x, 3xg para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2. fx2 - 1, x2 + x, 3 + 2xg para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2. fx , x2 + 1, 3x2 - 2x + 3g para el espacio P2(x) de los polinomios de R[x] de grado 2.Catedra de Algebra Lineal

40. Considere a R como un espacio vectorial sobre si mismo, describa todos los subconjuntos de R queforman base para R.41. Argumentar el hecho de que si escogemos al azar dos vectores v y w de R2 es muy probable quefv, wg sea base para R2.42. Cul es la dimensin del espacio vectorial real formado por los nmeros complejos. Determine unabase. Repita el ejercicio para cuando los complejos formen espacio sobre si mismo.43. Cul es la dimensin del espacio vectorial Mmxn formado por todas las matrices de tamao m X n.Describa una base para ese espacio.44. Cul es la dimensin del espacio vectorial formado por todas las matrices diagonales de tamao n Xn, esto es, (aij) es de Mn, con aij = 0 si i 6=j.45. Encuentre una base de R2 que contenga el vector (1,3).46. Encuentre una base de R3 que contenga a los vectores (1,0,2) y (1,3,0).47. Encuentre una base para el subespacio f(x1, x2, x3, x4) / x2 = x4g de R4. Cul es la dimensin deeste subespacio ?.48. Encuentre una base para el subespacio f(x1, x2, x3, x4) / x1=2x2 = -x3g de R4. Cul es la dimensinde este subespacio ?.49. Demuestre que si S es un subespacio de un espacio vectorial E nito dimensional, entonces S esnito dimensional y realmente dim(S) dim(E).50. Demuestre que si E es un espacio vectorial nito dimensional y a es un vector no nulo de E, entoncesexiste una base de E que contiene el vector a.51. Sea B = fb1, b2, b3, , bng una base ordenada de un espacio vectorial E, y sea A = fa1, a2,a3, , ang E tal que bi 2 L(a1, a2, a3, , an) para i = 1,2,3, ... , n. Demuestre que fa1, a2,a3, , ang es tambin una base para E.52. En los ejercicios siguientes, encuentre las coordenadas del vector dado con respecto a la base ordenadaindicada. (-1,1,3,1) de R4 respecto a la base fe1, e2, e3, e4g. (-1,2) de R2 respecto a la base f(0,-2), (12 ; 0)g. (2,3,2) de R3 respecto a la base f(2,0,0), (0,1,1), (0,0,1)g. (9,6,11,0) de R4 respecto a la base f(1,0,1,0), (2,1,1.-1), (0,1,1,-1), (2,1,3,1)g. 2 11 1 2 0 0 1 0 2de M2 respecto a;;;4 61 1 3 1 1 0 0 4 x2 - 3x + 4 de P2(x) respecto a la base fx2 - 1, x, x2 + x + 1g. x3 + x2 - 2x + 4 de P3(x) respecto a la base f1, x2, x, x3g. x3 + x2 - 2x + 4 de P3(x) respecto a la base f1 + x2, 1+ x, 1 + x3, x + x2g.53. Encuentre el vector de coordenadas de (x, y) en la base B. B = f(1,1), (1,-1)g B = f(2,3), (3,-2)g B = f(5,7), (3,-4)g B = f(1,1), (1,0)g.54. Determine una base y la dimensin para los espacios solucin S de los sistemas lineales homogneos.:Catedra de Algebra Lineal

8>:8

nentes son cero. S es el conjunto de todos los vectores de cuatro componentes cuyas tres primeras componentesson cero. S = L((-7, 2,-5), (9, -1, 12), (2, 1, 7)). S es el conjunto de todas las matrices de la forma S = L(-x + x2, -5 + x, -x2, 3 + x2) en el espacio vectorial P2(x). S = L(senx, cosx, sen2x).abbc.SolucionCatedra de Algebra Lineal