Probabilidad condicionada

Cipri Temas de Matemáticas 5ya que P ¡ C \ BÁA ¢ ¸ 0:(2)(3)P (BÁA) = P(A\B)P(A)P (BÁA) = P(A\B)P(A)= P(B)P(A)= P(A)P(A) =1(4) Si A \ B = ;, entonces P (BÁA) =0,ypor tantoP (BÁA) = P(A\B)P(A)= P(;)P(A) = 0P(A) =0C.Q.D.¤64.3 INDEPENDENCIA ALEATORIADe…nición 64.3.1 Sean A;B 2Ados sucesos de probabilidades no nulas. Se dice queel suceso B es independiente del suceso A (independiente estocásticamente) siiP (BÁA) =P(B)Ejemplos 64.3.2 Una moneda se lanza dos veces consecutivas. Si se ha obtenido carala primera vez, ¿cuál es la proabilidad de obtener cara la segunda vez?P (C 2 ÁC 1 )= P(C 1\C 2 )P(C 1 )=1412= 1 2 =P(C 2)donde C i esel suceso “obtener cara en el lanzamiento i (i =1;2)” ypor tanto ambossucesos son independientes.Acontinuación caracterizamos la independencia aleatoria de sucesos:Teorema 64.3.3 Una condición necesaria ysu…ciente para que B sea independiente deA es que P (A \ B) =P(A)P(B).Demostración:)) Como B es independiente de A se tiene que P (BÁA) =P(B)ypor tanto:P (BÁA) = P(A\B)P(A)=P(B))P(A\B)=P(A)P(B)()Como P (A \ B) =P(A)P(B)resulta:P (BÁA) = P(A\B)P(A)= P(A)P(B)P(A)=P(B)C:Q:D:¤

6 INDEPENDENCIA ALEATORIAProposición 64.3.4 La independencia estocástica es una propiedad recíproca.Demostración:Sean A y B dos sucesos de probabilidades no nulas ysupongamos que B es independientede A. EntoncesP (BÁA) =P(B)Vamos ademostrar que A es independiente de B:Se tiene que:P (AÁB) = P(A\B)P(B)= P(A)P(B)P(B)=P(A)es decir, A es independiente de B:C.Q.D.¤Como consecuencia de esta propiedad, si A es independiente de B se dirá que A y Bson (estocásticamente) independientes.Laideadeindependenciaesqueningunodelosdossucesosintervieneenlaveri…cacióndel otro.Corolario 64.3.5 Si los sucesos A y B tienen probabilidades no nulas, se tiene que: Ay B son independientes si, ysólo si, P (AÁB) =P(A) y P(BÁA)=P(B):Demostración:))P (AÁB) = P(A\B)P(B)= P(A)P(B)P(B)Análogamente se demuestra la otra igualdad.() SiP (AÁB) =P(A)se tiene queP (AÁB) = P(A\B)P(B)=P(A)de donde se deduce que A y B son independientes. C.Q.D.¤=P(A)Se da frecuentemente el caso de que se confunden sucesos incompatibles con sucesosindependientes. Observemos para evitar dicha confusión que los sucesos incompatiblesson los más dependientes (dos sucesos son dependientes si el resultado de uno in‡uyeen el otro) que existen, puesto que la ocurrencia de uno de ellos proporciona la máximainformación: el otro suceso no va aocurrir.De…nición 64.3.6 Dos sucesos A y B con probabilidades no nulas son dependientes siel resultado de uno in‡uye en el otro, es decir, siP (AÁB) 6= P (A) y P (BÁA) 6= P (B)

Cipri Temas de Matemáticas 964.4 PROBABILIDAD COMPUESTASea (E 1 ; A 1 ;P 1 )elespaciodeprobabilidadquede…neunexperimentoaleatorio,yconsideremosunsegundoespaciodeprobabilidad(E 2 ; A 2 ;P 2 )quede…neunsegundoexperimentoaleatorio. Denotamos los sucesos de primer experimento por A i ylos del segundo por B j :Llamaremos experimento aleatorio compuesto de los dos dados al que tiene por espaciode probabilidad (E 1 £ E 2 ; A 1 £A 2 ;P),donde la probabilidad se de…ne como sigue:½P1 (AP (A i ;B j )=i )P 2 (B j ) si A i y B j son independientesP 1 (A i ) P 2 (B j ÁA i ) si son dependientesDe forma análoga se puede extender aun número …nito de experimentos aleatorios.Teorema 64.4.1 (Fórmula de la probabilidad compuesta): Sea (E;A;P) un espaciode probabilidad, yconsideremos n-sucesos ordenados A 1 ;:::;A n .Entonces:Ã n!\P A k = P (A 1 ) P (A 2 ÁA 1 ) P (A 3 ÁA 1 \ A 2 ) :::P (A n ÁA 1 \ ::: \ A n¡1 )k=1Demostración:Lo demostraremos por inducción sobre n :n =2:P A1 (A 2 )= P(A 1\A 2 )=P(A 2 ÁA 1 ))P(A 1 \A 2 )=P(A 1 )P(A 2 ÁA 1 )P(A 1 )n=3:P(A 1 \A 2 \A 3 )=P(A 1 )P(A 2 \A 3 ÁA 1 )=P(A 1 ) P(A 1\A 2 \A 3 )P(A 1 )=P(A 1 ) P(A 1\A 2 )P(A 3 ÁA 1 \A 2 )P(A 1 )=P(A 1 )P(A 2 ÁA 1 )P(A 3 ÁA 1 \A 2 )Hipótesis de inducción: lo suponemos cierto para n ¡ 1, es decir:Ã n¡1! \P A k = P (A 1 ) P (A 2 ÁA 1 ) P (A 3 ÁA 1 \ A 2 ) :::P (A n¡1 ÁA 1 \ ::: \ A n¡2 )k=1Vamos ademostrarlo para n :P (A 1 \ ::: \ A n¡1 \ A n )=P((A 1 \ ::: \ A n¡1 ) \ A n )=Ã !=P(A 1 \::: \ A n¡1 ) P A n Á n¡1 TA j= P (A 1 ) P (A 2 ÁA 1 ) P (A 3 ÁA 1 \ A 2 ) :::P (A n ÁA 1 \ ::: \ A n¡1 ) C:Q:D:¤como queríamos demostrar.¤j=1=H.I.=

10 TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL YDE BAYESEjemplos 64.4.2 Consideramos una urna que contiene 3bolas rojas (R), 2bolas verdes(V )y1bola negra (N). Se extraen tres bolas, sin reemplazamiento, ynos preguntamospor la probabilidad de que la primerasea roja, la segunda sea verde yla tercerasea negra(utilizaremos los sucesos nombrados en el ejemplo anterior). Estaprobabilidadviene dadapor:P (R \ V \ N) =P(R)P(VÁR)P(NÁR\V)= 3 6 ¢2 5 ¢1 4 = 1 2064.5 TEOREMASDELAPROBABILIDADTOTALYDE BAYESDe…nimos ahora el concepto de partición del espacio muestral, necesario para poderenunciar el teorema de la probabilidad total ycomo consecuencia el teorema de BAYES.De…nición 64.5.1 Sea (E;A;P) un espacio de probabilidad. Se llama partición de E acualquier familia fA n g 1 n=1½Aque veri…que:(i) A n \ A m = ; 8n 6= mS(ii) 1 A n = En=1Teorema 64.5.2 (Teorema de la probabilidad total): Sea fA n g n2N½Auna particiónde E ysupongamos que P (A n ) > 0 8n 2 N. Entonces, 8B 2Ase tiene:P (B) =1XP (A n ) P (BÁA n )n=1Demostración: µ 1S SSea B = B \ E = B \ A n = 1 (A n \ B). Entonces:n=1Ã 1![P (B) =P (A n \ B) =n=1n=1n=11XP (A n \ B) =(¤)1Xn=1P (A n ) P (BÁA n )donde en (¤) hemos usado la fórmula de la probabilidad compuesta.C.Q.D.¤Corolario 64.5.3 (Teorema de BAYES ode la probabilidad inversa, 1764): SeafA n g n2N½Auna partición de E con P (A n ) > 0 8n 2 N. Entonces, 8B 2Ase tiene:P (A n ÁB) = P(A n)P(BÁA n )1PP (A n ) P (BÁA n )n=1

Cipri Temas de Matemáticas 11Demostración:P (A n ÁB) = P(A n\B)P(B)=(¤)P(A n )P(BÁA n )1PP (A n ) P (BÁA n )n=1donde en (¤) hemos usado el teorema de la probabilidad total.C.Q.D.¤Las probabilidades P (A n ) que aparecen el teorema de BAYES se llaman probabilidadesapriori, las probabilidades P (BÁA n ) se llaman verosimilitudes ylas probabilidadesP (A n ÁB) se llaman probabilidades aposteriori.Así, el teorema de BAYES consiste en calcular las probabilidades aposteriori, conocidaslas probabilidades apriori.Acerca de la interpretación del teorema de BAYES, si los A n son considerados comohipótesis sobre alguna cuestión en estudio ytenemos una cierta información, subjetivaono, acerca de dichas hipótesis A n ,re‡ejada ésta por las P (A n ) > 0, supongamos seproduce un suceso B asociado aun experimento aleatorio (usualmente provocado por elexperimentadorparaobtenermás información), el teorema de BAYESnosproporciona elmedioparaobtenerlaalteración,provocadapor B,ennuestrashipótesis A n ,dándonoslasprobabilidades aposteriori P (A n ÁB). Usualmente se continuará el proceso provocandootro suceso C (esdecir, obteniendo otro nuevoresultado de nuestro experimento aleatorioconsiderado) yutilizando ahora las P (A n ÁB) antes calculadas, como probabilidades apriori.