12.07.2015 Views

TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES ...

TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES ...

TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES ...

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 1<strong>TEMA</strong> 6 y 7 - <strong>RECTAS</strong> Y <strong>PLANOS</strong> <strong>EN</strong> <strong>EL</strong> <strong>ESPACIO</strong><strong>ECUACIONES</strong> DE LA RECTAPara hallar la ecuación de una recta en el espacio necesito:• Dos puntos• Un punto y su vector directorNota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y un vector → v = (a,b,c).Si me dan dos puntos A(x 0 ,y 0 ,z 0 ), B(x 1 ,y 1 ,z 1 ) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y comovector → →v = AB = (x 1 - x 0 , y 1 – y 0 , z 1 – z 0 )Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + k.(a,b,c) ∀ k ∈ R⎧x= x0+ ka⎪Ecuaciones paramétricas: ⎨y= y0+ kb ∀ k ∈ R⎪⎩z= z0+ kcx − x0y − y0z − z0Ecuación continua: = =a b c⎧A1x+ B1y+ C1z+ D1= 0Ecuación implícita (como intersección de dos planos): ⎨⎩A2x+ B2y+ C2z+ D2= 0<strong>ECUACIONES</strong> DE UN PLANOPara hallar la ecuación de un plano en el espacio necesito:• Tres puntos• Un punto y dos vectores directoresNota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y dos vectores → v 1 = (a 1 ,b 1 ,c 1 ), → v 2 = (a 2 ,b 2 ,c 2 )Si me dan tres puntos A(x 0 ,y 0 ,z 0 ), B(x 1 ,y 1 ,z 1 ), C(x 2 ,y 2 ,z 2 ) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x 0 ,y 0 ,z 0 )→y como vectores → v 1 = AB = (x 1 - x 0 , y 1 – y 0 , z 1 – z 0 )→ →v 2 = AC = (x 2 - x 0 , y 2 – y 0 , z 2 – z 0 )Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + s.(a 1 ,b 1 ,c 1 ) + t. (a 1 ,b 1 ,c 1 )⎧x= x0+ s.a1+ ta2⎪Ecuaciones paramétricas: ⎨y= y0+ s.b1+ tb2∀ s,t ∈ R⎪⎩z= z0+ s.c1+ tc2Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0x − x y − y z − zaa120bb120cc120= 0 ⇒ Ax + By + Cz + D = 0∀ s,t ∈ RVector normal = → n = (A,B,C) = → v 1 x → v 2 (Es perpendicular a los dos vectores directores)Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuación general delplano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D.


Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 2POSICIONES R<strong>EL</strong>ATIVAS DE <strong>RECTAS</strong> Y <strong>PLANOS</strong>POSICIONES R<strong>EL</strong>ATIVAS DE DOS <strong>RECTAS</strong>Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzanMétodo: Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada una de ellas (con distinto parámetro), lasigualamos y resolvemos el sistema:• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒Secantes.• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitospuntos ⇒ Coincidentes.• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelas o se cruzan.o Hallar el vector director de cada unao Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelaso Si no son paralelos, las rectas se cruzan.POSICIONES R<strong>EL</strong>ATIVAS DE DOS <strong>PLANOS</strong>Coincidentes Paralelos SecantesMétodo: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema:• Sistema compatible determinado ⇒ No puede ser• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitospuntos ⇒ Se cortan en un plano o en una rectao Si hay un grado de libertad ⇒ Un vector ⇒ Se cortan en una recta ⇒ Secanteso Si hay dos grados de libertad ⇒ Dos vectores ⇒ Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos.POSICIÓN R<strong>EL</strong>ATIVA <strong>EN</strong>TRE RECTA Y PLANORecta Contenida en el plano Secantes ParalelosEscribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema:• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒Secantes.• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitospuntos ⇒ Recta contenida en el plano.• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos.


Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 3POSICIÓN R<strong>EL</strong>ATIVA DE TRES <strong>PLANOS</strong>Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paralelos Paralelosel otro secante el otro paraleloDos paralelos Secantes en una recta Secantes en un punto Secantes 2 a 2Y el otro secanteen una rectaEscribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema:• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto• Sistema compatible indeterminado:o Un grado de libertad: Se cortan en una recta Dos planos coincidentes y el otro secante Los tres se cortan en una rectao Dos grados de libertad: Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes• Sistema incompatible ⇒ No existe solucióno Dos coincidentes y el otro paraleloo Tres paraleloso Dos paralelos y el otro los cortao Se cortan dos a dos en una rectaÁNGULOSANGULO <strong>EN</strong>TRE DOS <strong>RECTAS</strong> Cos (r 1 ,r 2 ) = cos ( → v 1 , → v 2 ) =→→11→v . v→2v . v2ANGULO <strong>EN</strong>TRE DOS <strong>PLANOS</strong> Cos (Π 1 , Π 2 ) = cos( → n 1 , → n 2 ) =→n→n11→.n→. n22ÁNGULO <strong>EN</strong>TRE RECTA Y PLANO Sen (r, Π) = cos ( → v r , → n Π ) =→→rr→v .nv→. nππ


Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 4DISTANCIA <strong>EN</strong>TRE PUNTOS, <strong>RECTAS</strong> Y <strong>PLANOS</strong>DISTANCIA <strong>EN</strong>TRE DOS PUNTOS: A(x 1 ,y 1 ,z 1 ) , B(x 2 ,y 2 ,z 2 )D(A,B) = |→22AB | = ( ) ( ) ( ) 2x2− x1+ y2− y1+ z2− z1DISTANCIA <strong>EN</strong>TRE UN PUNTO Y UNA RECTAD(P,r) =→r→vr→PP x vrDISTANCIA <strong>EN</strong>TRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x 0 ,y 0 ,z 0 ), Π: Ax + By + Cz + D = 0D(P, Π) =Ax0+ ByA20+ B+ Cz20+ C+ D2DISTANCIA <strong>EN</strong>TRE DOS <strong>RECTAS</strong>[ v ]r, vs, PrPsD(r,s) =vrx vsDISTANCIA <strong>EN</strong>TRE UNA RECTA Y UN PLANOD(r, Π) = d(P r , Π)DISTANCIA <strong>EN</strong>TRE DOS <strong>PLANOS</strong>D(Π 1 , Π 2 ) = d(P 1 , Π 2 )

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!