principales modelos estadísticos en riesgo de mercado y liquidez - Icm

CONTENIDO• INTRODUCCIÓN• VALOR EN RIESGO• VaR UTILIZANDO LADISTRIBUCIÓN NORMAL• VaR UTILIZANDO MODELOSARIMA y GARCH• VaR UTILIZANDO CUANTILES EMPÍRICOS• VaR UTILIZANDO LA TEORÍA DEVALORES EXTREMOS• BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN¿Qué es el Riesgo?El Riesgo es visto como algo negativo. La definición de riesgo es“Exposición al peligro”. Los símbolos chinos para la palabra riesgoson:1. El primer símbolo significa peligro.2. Mientras que el segundo símbolo significa oportunidad.Por lo tanto el riesgo es la mezcla de peligro y oportunidades.

INTRODUCCIÓN¿Qué es el Riesgo?• Del Latín “Risicare”.- atreverse o transitar por un senderopeligroso. Peligro, daño, siniestro o pérdida.• Sin embargo es un proceso inevitable de los procesos de tomade decisiones (de inversión).• En finanzas, el concepto de riesgo se relaciona con las pérdidaspotenciales que se pueden sufrir en un portafolio de inversión.Volatilidad de los flujos financieros no esperados.• La medición efectiva y cuantitativa del riesgo se asocia con laprobabilidad de una pérdida en el futuro.• La esencia de la administración de riesgos consiste en mediresas probabilidades en contextos de incertidumbre.

INTRODUCCIÓNLa Cuantificación de RiesgosEste aspecto ha sido suficientemente explorado en materia deriesgos de mercado.Existen una serie de conceptos que cuantifican el riesgo demercado, entre ellos podemos citar: valor en riesgo, duración,convexidad, peor escenario, análisis de sensibilidad beta, delta, etc.Muchas medidas de riesgo pueden utilizarse.Se pone especial atención al concepto de valor en riesgo (VaR) quese popularizó gracias a JP Morgan.

INTRODUCCIÓNCLASIFICACIÓN DEL RIESGO FINANCIERO• Mercado• Liquidez• Crédito• Operativo• Tecnológico• Legal• Otros (moral, etc.)

INTRODUCCIÓNRiesgo de Mercado• Es la pérdida que puede sufrir un inversionista (como unainstitución financiera) debido a la diferencia en los precios que seregistran en el mercado o en movimientos de los llamadosfactores de riesgo (tasas de interés, tipo de cambio, etc.)•Es la posibilidad de que el VPN (valor presente neto) de unportafolio se mueva adversamente ante cambios en las variablesmacroeconómicas que determinan el precio de los instrumentosque componen una cartera.• El propósito más importante de los sistemas con base VaR escuantificar este tipo de riesgos, y establecer medidas que lepermitan a las instituciones, adecuar sus condiciones decapitalización a los riesgos que asumen.

INTRODUCCIÓNRiesgo de Liquidez• Son las pérdidas que puede sufrir una institución alrequerir una mayor cantidad de recursos parafinanciar sus activos a un costo posiblemente inaceptable.• Imposibilidad de transformar en efectivo un activo oportafolios.• Manejo eficiente de activos y pasivos(Asset-Liability Management).

INTRODUCCIÓNRendimiento• El rendimiento de un activo o portafolio es el cambio de valor queregistra en un período con respecto a su valor inicial.Pt− Prt=Pt−1t−1• El rendimiento también se puede aproximar por el logaritmo de larazón de rendimientos.rt=lnPtPt −1• El rendimiento de un portafolio se define como la suma ponderadade los rendimientos individuales de los activos que componen elportafolio, por el peso que tienen dichos activos en el portafolios.rp=n∑i=1W Rii

INTRODUCCIÓNRelación Riesgo Rendimiento• Hay 2 variables básicas en finanzas que es preciso entender ysaber calcular apropiadamente para tomar decisiones: elrendimiento y el riesgo.• En la medida en que una inversión es más riesgosa, debeexigírsele un mayor rendimiento.

INTRODUCCIÓNVolatilidad• La volatilidad es la desviación estándar (raíz cuadrada dela varianza) de los rendimientos de un activo o portafolio. Esun indicador fundamental para la cuantificación de riesgosde mercado, porque representa una medida de dispersiónde los rendimientos con respecto a la media de los mismosen un período determinado.• La mayor parte de los rendimientos se sitúan alrededor deun punto (el promedio de los rendimientos) y poco a poco sevan dispersando hacia las colas de la curva de distribuciónnormal. Esa es la medida de volatilidad.

INTRODUCCIÓNExisten dos enfoques para el cálculo de volatilidades:i. Formular un precio de mercado observado como un preciomodelado de una opción, obteniendo lo que se llamavolatilidad implícita, que usualmente se basa en la fórmulade Black-Scholes para opciones europeas. Esta fórmulasupone a la volatilidad constante;ii.Otra manera es modelar la serie de retornos, usando algunafamilia de modelos, como los modelos ARCH; obtenemos lallamada volatilidad estadística.

INTRODUCCIÓNiii.Como métodos alternativos también se utilizan:• Modelo media móvil exponencialmente ponderada (EWMA), método usado porRiskMetrics y desarrollado por el banco J.P. Morgan. Este se obtiene en el casoparticular de un modelo GARCH(1,1).• Modelo basado en cuantiles empíricos.• Modelo con base en la teoría de valores extremos.La dificultad de los modelos ARCH surge al momento de calcularel VaR de una cartera con muchos activos, pues sería necesarioajustar un modelo heteroscedástico condicional multivariante, locual puede resultar bastante complicado y muchas veces imposible.Por eso, el enfoque llamado RiskMetrics, que supone que se tieneun modelo de marcha aleatoria con innovaciones normales, ymodela la volatilidad y las correlaciones por medio de modelosEWMA, es muy difundido y el más simple de implementar en lapráctica.

VALOR EN RIESGO

VALOR EN RIESGOEl VaR es una medida de la variación potencial máxima del valor de un activo(o una cartera de activos), sobre un periodo prefijado, con una probabilidaddada; es decir, cuánto se puede perder, con probabilidad p, sobre un horizonteh fijo.Desde el punto de vista de una empresa, el VaR es una medida de pérdidaasociada a un evento extremo, bajo condiciones normales de mercado.Ejemplo 1Supongamos que existe una probabilidad de 95% de que una tasa de cambiode la moneda local con respecto al dólar americano no caiga más de un 1% enun día. Suponga además que una empresa tiene $ 100 millones invertidos enun fondo. Calculemos la pérdida potencial rˆ t, (en porcentaje), sobre este valor2invertido, suponiendo que r ~ N (0, σ ) .tt

VALOR EN RIESGOSi tenemos una estimación de la desviación estándar esel VaR se calcula de la siguiente manera:σt=0,46%, entonces0,05 = P( r t< VaR)VaR = ( -1,65 )( σt) = ( -1,65 )( 0,46) = -0,759%Por tanto, no se espera que la tasa de cambio caiga más de un 0,759%, conuna probabilidad del 95%. El valor -1,65 es el cuantil de orden 0,05 de unadistribución N(0,1). En moneda local, el VaR o riesgo es el valor de mercado dela posición multiplicado por el valor obtenido anteriormente, o sea:Riesgo = 100 millones x 0,759% = 759.000 unidades monetarias locales.Conclusión: Un 95% de las veces, no se perderá más de 759.000,00 en un día.

VALOR EN RIESGOUna posición financiera comprada (o “larga”) significa poseer determinadoactivo (o cartera de activos).Suponga que en un instante t estamos interesados en calcular el riesgo de unaposición financiera comprada para un horizonte h > 0. Sea:Δ P( h)= P(t + h)− P(t)la variación del valor de un activo entre dos instantes. Llamemos Fh(.) a lafunción de distribución acumulada (f.d.a) de Δ P(h).Definición.- El VaR de una posición comprada sobre un horizonte h, se definecomo el valor VaR que con probabilidad p, 0 < p < 1, satisface:p = P( Δ P( h)≤ VaR ) = (VaR)F h

VaR UTILIZANDO LADISTRIBUCIÓN NORMAL

VaR UTILIZANDO LADISTRIBUCIÓN NORMALPartiremos del enfoque RiskMetrics. Aquí se supone que la distribucióncondicional de los retornos, dada la información pasada, es normal con mediacero y varianza σ , o sea,2tr|tF t~N(0,σt2).En términos informales, Ftrepresenta la información hasta el instante t.2Además, para estimar la volatilidad σtse utiliza un modelo EWMA:σ22t t-1

VaR UTILIZANDO LADISTRIBUCIÓN NORMALEl log-retorno de k periodos, r t[k], del instante t+1 al instante t+k, satisface:2rt[ k ] | Ft~ N(0, σ t [ k ]) ,2donde σt[k], la volatilidad de este retorno, la que puede calcularse utilizandoresultados de la modelación GARCH. De hecho, (1) se puede escribir como:loguεttPt= σ− log~ N(0,1),tεt~Pt − 1=rIGARCH(1,1t=ut,),VaR[k] = (valor de la posición) x ( 1,65 ) x k x ( σt + 1).o sea,VaR[k] =k VaREjemplo 1 (continuación)Se vio queVaR = 100 millones x 0,759% = 759.000,00Entonces el VaR a 30 días está dado porVaR[k] = (100 millones) x ( 1,65 ) x 30 x ( 0,46% ) = 4.157.214,00.

VaR UTILIZANDO LADISTRIBUCIÓN NORMALObservación(i)Si la media de la serie no fuese cero, el modelo quedaría:rt = μ + ut, ut= σtεt,σ2t~IGARCH(1,1),εt~N(0,1).En este caso el p-cuantil está dado por μ + zpσt + 1cuantil de la distribución normal estándar., donde z pes el p-Para k periodos, el p-cuantil es kμ+ zpk σt + 1; si p = 0,05, quedaríakμ − = k k μ − 1,65 σ ) , que no es igual a k VaR.1 ,65 k σt + 1(t + 1(ii)Suponga que se tiene ahora una cartera con m posiciones financieras ysean r1 t,..., rtmlos respectivos retornos. Seanρij=Corr ( r , r ) =itjtσγii, tij , tσjj,t

VaR UTILIZANDO LADISTRIBUCIÓN NORMALpara i < j = 1,…,m, las correlaciones entre los retornos. Entonces lascovarianzas γ , se estiman utilizando el modelo:ij , tγij , t= λγij , t −1t −+ ( 1 − λ ) ri, t −1rj , 1.De esta manera es fácil ver que el VaR de la cartera (VaRdiversificado) está dado porm2i ∑i = 1i < j∑VaR = VaR + 2 ρ VaR VaRijij,DondeVaRies el valor en riesgo para el retorno r it.

VaR UTILIZANDO MODELOSARIMA y GARCH

VaR UTILIZANDO MODELOSARIMA y GARCHUna serie de retornos es, en general, no correlacionada, pero si dependiente.Si este fuera el caso, la volatilidad se modela por uno de los modelosheteroscedásticos considerados anteriormente. Algunas series de retornosademás muestran la presencia de autocorrelación, habiendo la necesidad deeliminarla por medio del ajuste inicial de un modelo lineal, por ejemplo, uno dela familia ARMA.La estrategia es, por tanto, modelar la media de la serie de retornos r tpormedio de un modelo ARMA y después modelar los residuos u ta través de unmodelo de la familia ARCH (o sus extensiones asimétricas). Por ejemplo, siescogemos un modelo GARCH(r,s), tendríamos un modelo ARMA(p,q)-GARCH(r,s):rtp∑= φ + φ r + u − θ u0 i it tj t − ji = 1j = 1q∑,ut= σ ε ,ttr222σt= α0+ ∑ αiu t − i + ∑ βjσt − j .(2)i = 1Se puede escoger para tε una distribución normal, una t-student o unageneralizada de valores extremos.sj = 1

VaR UTILIZANDO MODELOSARIMA y GARCHSi escogemos εt~ N(0,1), resulta que| ~ N( rˆ (1), ˆ1 tσtrt +F tDonde r (1)y σ (1)son las previsiones a un paso de la media y la varianza.ˆtProposición.-ˆ 2ta) La predicción de la media del retorno r ten el periodo k está dada por2(1)),rˆ[ ] ˆTk = rT(1) + ... +rˆ( k ),Tdonde rˆT( h ) es la predicción en el instante T con horizonte h, utilizando (2).b) La predicción de la volatilidad del retorno en el periodo k está dada porVar( eT[ k ] | FT)k 122 2⎛ ⎞= σˆT ( k ) + (1 + ψ1) σ T ( k − 1) + ... + ⎜ ∑ − ψi⎟⎝ i = 0 ⎠2σˆ2T(1),ˆ 2Tdonde σ ( h ) es la predicción h pasos de la volatilidad utilizando (2).

VaR UTILIZANDO CUANTILESEMPÍRICOS

VaR UTILIZANDO CUANTILESEMPÍRICOSUna forma de estimación no paramétrica del VaR es por medio de los cuantilesempíricos de los datos observados.Llamemos r1,..., rTa los retornos observados y considere las estadísticas deorden r( 1)≤ r(2 )≤ ... ≤ r(T ). Si denotamos por Q(p) al p-cuantil de la distribución(desconocida) de los retornos, un estimador consistente está dado por el p-cuantil empírico, definido por:q ( p )=⎧ r(i ),⎪⎪(1−⎨ r(1),⎪⎪r(T ),⎪⎩f ) ri( i )+fr,i ( i + 1)sisisisip = pi=pi< p p ,T( i −pi + 10,5) / T ,i= 1,...,Tdonde f = p − p ) /( p+− p ) .i(i i 1 i

VaR UTILIZANDO CUANTILESEMPÍRICOSO sea, una vez ordenados los datos, q(p) es una de las estadísticas de orden,si p es de la forma p i= ( i − 0,5) / T y está en la recta que une los puntos ( p i, r (i ))y ( pi+ 1, r(i+1)) , si p está entre piy pi+ 1. Tomamos pide la forma señalada, y nocomo i / T para que, por ejemplo, la mediana calculada según esta definicióncoincida con la definición usual.Una suposición adoptada aquí es que la distribución de los retornos continúasiendo válida para el periodo de predicción, de manera que el VaR de kperiodos será igual al de un periodo, lo que puede llegar a no ser razonable.

VaR USANDO LA TEORÍA DEVALORES EXTREMOS

VaR USANDO LA TEORÍA DEVALORES EXTREMOSObtenidas las estadísticas de orden r( 1)≤ ... ≤ r(T ), consideramosr ( 1)= min{ r 1,..., r T} y r ( T )= máx { r 1,..., r T} . El mínimo es relevante para el cálculodel VaR para posiciones financieras compradas y el máximo para posicionesvendidas. Basta considerar uno de los dos casos, debido al hecho de quer = − max{ s 1,..., s } , donde s = − r , t 1,... .( 1)Tt ( t )= TLa teoría de valores extremos (TVE) clásica estudia el comportamiento demáximos, mínimos y otras estadísticas de orden, para sucesiones de variablesaleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.). Extensiones parael caso de series estacionarias con dependencia débil y series no estacionariasse encuentran en la literatura (Ver Coles, 2001, para detalles). Incluso si laserie fuese dependiente, considerándose los máximos de bloques, comoveremos a continuación, la suposición de que estos máximos sonindependientes parece ser razonable en la práctica.Nos vamos a concentrar en el máximo r (T ). La TVE busca obtener ladistribución límite (aproximada) para el máximo normalizador*( T )r=( T )a− bTT,

VaR USANDO LA TEORÍA DEVALORES EXTREMOSPara sucesiones de constantes { aT> 0}y { b T} , que son escogidas de modo deestabilizar la posición y escala al máximo, cuando T → ∞ . Suponiendo que losretornos son independientes con distribución F, si existiesen sucesiones comolas anteriores tal que la distribución de (18) converja a una distribución nodegenerada G(z), entonces G pertenece a una de tres familias, que pueden serconjuntamente representadas en la forma:G ( z)=⎪⎧⎡ ⎛exp ⎨−⎢1+ ξ ⎜⎪⎩ ⎣ ⎝z − μ ⎞⎤⎟σ⎥⎠⎦−1/ξ⎪⎫⎬,⎪⎭definida sobre { z : ξ ( z − μ ) / σ > 0},para − ∞ < μ < ∞, − ∞ < ξ < ∞,σ > 0.La familia (19) se llama distribución generalizada de valores extremos (GVE),siendo μ el parámetro de posición, σ el parámetro de escala y ξ el parámetrode forma. Esta familia está determinada por el parámetroξ , de modo que siξ = 0 obtenemos la familia tipo I de Gumbel, si ξ > 0 obtenemos la familia tipoII de Fréchet y si ξ < 0 , la familia tipo III de Weibull.

VaR USANDO LA TEORÍA DEVALORES EXTREMOSPara aplicar la TVE a series de retornos, procedemos de la siguiente manera:(a) dividimos la serie observada de retornos r1,..., rTen m bloques de tamañon;(b) obtenemos el máximo de cada bloque, r n , i, i = 1,...,m para los cuales la TVEpuede ser aplicada, o sea, ajustamos una distribución GVE a esosmáximos;(c) Estimamos los cuantiles de esta distribución, a partir de los cual podemosobtener el VaR de una posición vendida (para ejemplos ver Tsay, 2005).Nótese quern , i= max { r(i − 1 ) n + j}, i = 1,...,1 ≤ j ≤ nmObservaciones(i)(ii)(iii)El comportamiento de las colas de F es el que determina la distribuciónlímite G.Tradicionalmente, en gestión de riesgo se utiliza la familia de Fréchet( ξ > 0 ).La elección de aTy b Tdepende de F.El conjunto de máximos puede utilizarse para estimar los parámetros delmodelo GVE. Usualmente los bloques se escogen de modo que correspondana un año de observaciones, si tenemos por ejemplo datos mensuales. En elcaso de retornos diarios, los valores usados son n = 21 (un mes de díaslaborables), n = 63 (un trimestre) y n = 250 (un año).

EJEMPLO COMPARATIVOLOG RETORNOS DIARIOS DE LAS ACCIONES DE IBM (TSAY 2005)ENTRE 03-07-1962 Y 31-12-19980,150,10,050-0,05-0,1-0,15-0,2-0,25

EJEMPLO COMPARATIVOCOMPARACIONES: POSICIÓN LARGA DE 10 MILLONESMétodo / Probabilidad 5% 1% 0,1%RiskMetrics 302.500 426.500 566.443AR(2)-GARCH(1,1) gaussiano 287.200 409.738 546.641AR(2)-GARCH(1,1) * 283.520 475.943 836.341Cuantiles empíricos 216.030 365.709 780.712Teoría de Valores Extremos 184.127 340.013 666.590‣ Existen diferencias sustanciales debido a la incertidumbre en estimar la distribución para elcomportamiento de las colas.‣ Como no existe un valor verdadero del VaR disponible para comparar la eficacia de lasdiferentes aproximaciones, se recomienda aplicar varios métodos para tener una visiónmás general del VaR.‣ Parece que los modelos ARCH-GARH tienen un mejor comportamiento.

BIBLIOGRAFÍA• Morettin P., Econometria Financiera, Monografías del IMCA, Perú,2002.• Tsay R., Analisis of Financial Time Series, Ed. Wiley & Sons, 2005.• Villa A., Administración de Riesgos, Instituto Tecnológico deMonterrey, 2007.

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