' ^ R

202 LIBRO QUINTO.ciones, como en su definición parece. Esta proporcionalidadse divide en tres especies, conviene á saber, Harmo'nica,Aritmética, y Geométrica.Proporcionalidad Harmónica.Proporcionalidad Harmónica es, que la proporción de losdos extremos ha de ser como la délos dos excesos, ó diferenciasque hay de los dos extremos al medio. Exemplo: Sea laproporcionalidad 6. 4. 3. la proporción de los dos extremos,que son ó. y 3. es dupla, el exceso del mayor, (que es 6.) almedio (que es 4.) es 2. y el exceso del medio,que es 4. al menor, que es 3. es 1. hallarás ser la misma proporción de 2 á 1.que son los excesos que de 6. á 3. que son los extremos. Entendidoesto, si quisieres hallar el medio Harmónico entre 2.Sacar medioHarmoniceplode este produelo partirlohas por la suma de los dos extre­extremos, multiplicarás los extremos uno por otro, y el dumos,y el quociente será el medio. Exemplo: Entre 12. y 4.quál será el medio Harmónico ? Multiplica 12. por 4. y serán48. dobla 48. y serán 96. suma 12. con 4. que son los extremos,y serán 16. parte 96. por 16. y vendrán 6. este 6. dirás ser elmedio Harmónico entre 12. y 4. y asi quedará una proporcionalidadde 2. proporciones: la una es tripla, como 12. á 4. laotra es como de 6. á 2. que son los excesos, que también estripla.Proporcionalidad Aritmética.La proporcionalidad Aritmética se divide en continúa, ydiscontinua; la continua es, quando tanto excede un numeroá otro, como el tal numero excedió de otro, asi como 1.2.3.en los quales tanto excede el segundo numero al primero,quanto el segundo es excedido del tercero, y entre ellos haydos proporciones, la una es de 1. á 2. la segunda de 2. á 3. y elexceso decada una es 1. La proporcionalidad Aritmética discontinuaes contenida por lo menos de dos proporciones iguales, asi como se han 4. á 7. asi se han 9. á 12. la una, y otras,es subsupertripartiens quartas, y el exceso de cada una es 3. ytodos son4. términos, 6números,4.7. 9.12. y tanto montasumaiido 4. con 12. que son los extremos, como7. con 9. queSacar medioAritmé­son los medios. Para sacar un medio Aritmético entre dos extremos, sumarás los extremos, y lá mitad del continuo serático.el medio Aritmético.> Exem-