Ejemplos y ejercicios de Estad´ıstica Descriptiva y Análisis de Datos

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 2Ejemplos y ejercicios deEstadística DescriptivayAnálisis de DatosDiplomatura en EstadísticaCurso 2007/082 Descripción estadística de una variable.Ejemplos y ejercicios.2.1 Ejemplos.Ejemplo 2.1 Se han medido el grup sanguíneo de 40 individuos y se hanobservado las siguientes frecuencias absolutas para cada categoría: 12 parax 1 = A, 11parax 2 = B, 8 para x 3 = AB y 9 para x 4 = O.a) ¿De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuenciascorrespondiente.b) ¿Qué porcentaje de individuos son del grupo A?c) ¿Qué porcentaje de individuos no son del grupo O?d) ¿Cuántos individuos no son del grupo B?Respuestas: a) Categórica nominal.grupo n i f iA 12 0.3B 11 0.275AB 8 0.2O 9 0.225Total 40 1b) El 30%, c)el100 − 22.5 =77.5%, d)40 − 11 = 29 obien12+8+9=29.Ejemplo 2.2 La siguiente tabla muestra la clasificación de 901 individuossegún la variable satisfacción en el trabajoAurea GranéDpto. EstadísticaUniversidad Carlos III de Madridx in imuy insatisfecho 62moderamademte insatisfecho 108moderadamente satisfecho 319muy satisfecho 412Total 901a) ¿De qué tipo es la variable de estudio? Calcular la tabla de frecuenciascorrespondiente.b) ¿Qué porcentaje de individuos están moderadamente satisfechos?c) ¿Cuántos individuos están a lo sumo moderadamente insatisfechos?¿Qué porcentaje representan?d) ¿Cuántos individuos están por lo menos moderadamente satisfechos?¿Qué porcentaje representan?

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 32ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 4Respuestas: a) Categórica ordinal,x i n i f i N i F imuy insatisfecho 62 0.07 62 0.07moderamademte insatisfecho 108 0.12 170 0.19moderadamente satisfecho 319 0.35 489 0.54muy satisfecho 412 0.46 901 1Total 901 1b) El 35%, c)170 y representan el 19%, d)319+412 = 731 obien901−170 =731, que representan el 35 + 46 = 81% (o bien 100 − 19 = 81%).Ejemplo 2.3 Se quiere estudiar la eficacia de un nuevo insecticida paraplantas de interior. Se seleccionan 50 plantas y se cuenta el número dehojas que han sido atacadas después de haber tratado la planta con el nuevoproducto. Los resultados son:Hojas atacadas n i0 61 102 123 84 55 46 38 110 1a) ¿De qué tipo es la variable de estudio? Construir la tabla de frecuenciascorrespondiente.b) ¿Qué porcentaje de plantas tienen sólo 3 hojas atacadas?c) ¿Cuántas plantas tienen como máximo 3 hojas atacadas?d) ¿Cuántas plantas tienen como mínimo 6 hojas atacadas?e) ¿Qué porcentaje de plantas tienen entre 3 y 5 hojas atacadas?f) ¿Qué porcentaje de plantas tienen al menos 8 hojas atacadas?g) ¿Qué porcentaje de plantas tienen a lo sumo 2 hojas atacadas?Respuestas: a) Cuantitativa discreta,Hojas atacadas n i f i N i F i0 6 0,12 6 0,121 10 0,20 16 0,322 12 0,24 28 0,563 8 0,16 36 0,724 5 0,10 41 0,825 4 0,08 45 0,906 3 0,06 48 0,968 1 0,02 49 0,9810 1 0,02 50 1b) el 16%, c)36, d)3+1+1 = 5 obien50 − 45 = 5, e)el16 + 10 + 8 = 34%obien(8+5+4)/50 · 100 = 34%, f)el2+2=4% obien100 − 96 = 4%,g) el 56%.Ejemplo 2.4 En veinte vuelos de Barcelona a Madrid se han contado elnúmero de asientos vacíos en cada vuelo. Se han agrupado los datos enintervalos de longitud 4.asientos vacíos n i0 − 3 94 − 7 58 − 11 412 − 16 2a) ¿De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuenciascorrespondiente.b) ¿En cuántos vuelos hay menos de 8 asientos vacíos? ¿Qué porcentajerepresentan?c) ¿En cuántos vuelos hay como mínimo10asientosvacíos? ¿Qué porcentajerepresentan?Respuestas: a) Cuantitativa discreta,intervalos x i n i f i N i F i[0, 4) 2 9 0,45 9 0,45[4, 8) 6 5 0,25 14 0,70[8, 12) 10 4 0,20 18 0,90[12, 16] 14 2 0,10 20 1,00Total 20 1b) En 14 vuelos, y representan el 70% de los vuelos, c) Aproximadamenteen 2+4· (10 − 8)/(12 − 8) = 4 vuelos, que representan el 4/20 · 100 = 20%de los vuelos.

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 52ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 6Ejemplos de representaciones gráficasFigure 3: Gráfico de Pareto. Datos del ejemplo 2.2Figure 1: Diagrama de barras y polígono de frecuencias. Datos del ejemplo2.3.900800700100%89%78%60067%12 polígono de frecuencias50040055%44%diagrama de barras30033%1020022%810011%600%muy satisfecho mod. satisfecho mod. insatisfecho muy insatisfecho42Figure 4: Histograma y polígono de frecuencias. Datos del ejemplo 2.4.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.52polígono de frecuenciashistograma1.5Figure 2: Diagrama de sectores. Datos del ejemplo 2.130%23%10.5ABABO0 4 8 12 1628%20%Ejemplo 2.5 Con los siguientes datos construir un diagrama de tallo yhojas.Datos recogidos (en cm):11.357, 12.542, 11.384, 12.431, 14.212, 15.213, 13.300, 11.300, 17.206,12.710, 13.455, 16.143, 12.162, 12.721, 13.420, 14.698.Respuesta:Datos redondeados y expresados en mm:114, 125, 114, 124, 142, 152, 133, 113, 172, 127, 135, 161, 122, 127, 134,147.

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 72ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 8Diagrama de tallo y hojas (datos en mm):11 34412 2457713 34514 2715 216 117 2Ejemplo 2.6 Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000,5000 y 10000 euros, respectivamente. si el primero le rinde un 5% anual, elsegundo un 4% anual y el tercero un 2% anual, ¿cuál es el tipo de interésmedio que recibe?Respuesta: La variable de estudio es el interés anual. Los valores quetoma esta variable son 5, 4, 2 con pesos 2000, 5000, 10000, respectivamente.El interés medio esx P =5 · 2000 + 4 · 5000 + 2 · 100002000 + 5000 + 10000= 5000017000 =2.94.Ejemplo 2.7 Calcular la mediana y la moda de los conjuntos de datos siguientes:a) 18, 18, 19, 17, 23, 20, 21, 18b) 20, 21, 18, 19, 18, 17, 18Respuestas: a) Ordenados los datos en orden creciente,17, 18, 18, 18, 19, 20, 21, 23,el valor de la mediana es Me = (18 + 19)/2 =18.5 ylamodaesMo =18.b) Ordenados los datos en orden creciente,17, 18, 18, 18, 19, 20, 21,el valor de la mediana es Me =18ylamodaesMo =18.Ejemplo 2.8 Con los datos del ejercicio 2.2 (habitantes de las provinciasespañolas) calcular la media aritmética y la mediana.Respuestas: Utilizando la tabla de frecuencias calculada en el apartado b)del ejercicio 2.2, tenemos quex = 1 nk∑i=1x i n i = 4305000052= 827884.62,que significa que, en promedio, hay 827884.62 habitantes por provincia.Para el cálculo de la mediana, buscamos primero el intervalo mediano.Puesto que n/2 =26, el intervalo mediano es [500000, 750000). Aplicandola fórmula de la mediana:26 − 24Me = 500000 + 250000 ·34 − 24 = 550000,esto significa que el 50% de las provincias españolas tienen menos de 550000habitantes.Recordemos que la distribución de esta variable es bastante asimétrica comomuestra el histograma de frecuencias de la figura 6, por tanto, resultará másfiable utilizar la mediana y no la media como medida de tendencia central.Ejemplo 2.9 Cálculo de algunas características numéricas con los datos delejemplo 2.3.Medidas de tendencia central:hojas atacadas n i N i x i n i x 2 i n i0 6 6 0 01 10 16 10 102 12 28 24 483 8 36 24 724 5 41 20 805 4 45 20 1006 3 48 18 1088 1 49 8 6410 1 50 10 100Total 50 134 582x = 134 =2.68,50Me =2, Mo =2.Medidas de posición:Q 1 =1, Q 3 =4,P 35 =2, P 80 =4, P 95 =6.

2 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 9ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 101.25Mo =0+(4− 0)0+1.25 =4. utilizando la tabla de frecuencias del ejemplo 2.4. Recordemos cómo era latabla:Medidas de dispersión:s 2 n = 58250 − 2.682 =4.46, s n = √ 4.46 = 2.11,Medidas de posición:4(5 − 0)Q 1 =0+ =2.22,9 − 04(15 − 14)Q 3 =8+ =9,18 − 14R =10− 0=10, RI =4− 1=3.4(6 − 0)4(11.4 − 9)P 30 =0+ =2.67, P 57 =4+ =5.92.9 − 014 − 9La mediana de desviaciones absolutas, MEDA, se obtiene calculando laMedidas de dispersión:mediana de los valores absolutos de x i − Me(X). Empezamos calculandoestas diferencias:s 2 n = 100820 − 5.82 =16.76, s n = √ 16.76 = 4.09,x i − Me(X) -2 -1 0 1 2 3 4 6 8R =16− 0=16, RI =9− 2.22 = 6.78.n i 6 10 12 8 5 4 3 1 12.2 Ejercicios.y i = |x i − Me(X)| n i (y) N i (y)Ejercicio 2.1 Con los datos del ejemplo 2.4 trazar la curva de frecuencias0 12 12relativas acumuladas. Determinar el número de vuelos que tienen como1 10+8=18 30máximo 10 asientos vacíos.2 6+5=11 413 4 45Respuesta: La figura 5 contiene la curva de frecuencias acumuladas. En4 3 48el eje horizontal se representan los valores que toma la variable, en este6 1 49caso el número de asientos vacíos, y en el eje vertical se representan las8 1 50frecuencias relativas acumuladas. Utilizando esta figura vemos que al valorPuesto que n =50es par, la MEDA es la media aritmética entre el dato10 le corresponde una altura de 0.8. Por tanto, el 80% de los vuelos tienen25 y el dato 26, es decir:como máximo 10 asientos vacíos. Puesto que en total hay 20 vuelos, el 80%de los vuelos son 20 (0.8) = 16 vuelos. Este mismo cálculo puede realizarseMEDA = y (25) + y (26)=12Figure 5: Curva de frecuencias acumuladas o polígono de frecuencias acumuladas.Datos del ejemplo 2.4.Ejemplo 2.10 Cálculo de algunas características numéricas con los datosdel ejemplo 2.4.1intervalo x i n i N i x i n i x 2 i n i n i /L i[0, 4) 2 9 9 18 36 2.250.80.75[4, 8) 6 5 14 30 180 1.25[8, 12) 10 4 18 40 400 1[12, 16) 14 2 20 28 392 0.50.5Total 20 116 10080.25Medidas de tendencia central:x = 11610 − 9=5.8, Me =4+(4− 0)20 14 − 9 =4.8,0 4 8 10 12 16

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 112ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 12Intervalo x i n i f i N i F i[0, 4) 2 9 0,45 9 0,45[4, 8) 6 5 0,25 14 0,70[8, 12) 10 4 0,20 18 0,90[12, 16] 14 2 0,10 20 1,00Total 20 1El número de vuelos que tienen a lo sumo 10 asientos vacíos lo obtendremossumando las frecuencias observadas en el intervalo [0, 4) más las frecuenciasobservadas en el intervalo [4, 8) más una parte de las frecuencias observadasen el intervalo [8, 12). Esdecir,9+5+ 10 − 812 − 8 · 4=16.Ejercicio 2.2 Clasificadas las provincias españolas por su número de habitantesen 2001, se obtuvieron los siguientes datos:Num. habitantes Num. provinciasde 1 a 100 000 3de 100 000 a 250 000 8de 250 000 a 500 000 13de 500 000 a 750 000 10de 750 000 a 1 000 000 7de 1 000 000 a 2 000 000 8de 2 000 000 a 3 000 000 1de 3 000 000 a 4 000 000 0de 4 000 000 a 6 000 000 2a) Constuir una tabla estadística con las marcas de clase, las frecuenciasabsolutas y las frecuencias relativas.b) ¿Cuántas provincias tienen menos de 500 000 habitantes? ¿Qué porcentajerepresentan?c) ¿Cuántas provincias tienen entre 800 000 y 1 300 000 habitantes?d) Construir el histograma de frecuencias absolutas.Respuestas: a) La tabla de frecuencias con una columna adicional que seráútil para la construcción del histograma es la siguiente:intervalos x i n i f i N i F i n i /L i[0, 100000) 50000 3 0.058 3 0.058 3 · 10 −5[100000, 250000) 175000 8 0.154 11 0.212 5.3 · 10 −5[250000, 500000) 375000 13 0.250 24 0.462 5.2 · 10 −5[500000, 750000) 600000 10 0.192 34 0.654 4 · 10 −5[750000, 1000000) 875000 7 0.135 41 0.789 2.8 · 10 −5[1000000, 2000000) 1500000 8 0.154 49 0.943 0.8 · 10 −5[2000000, 3000000) 2500000 1 0.019 50 0.962 0.1 · 10 −5[3000000, 4000000) 3500000 0 0 50 0.962 0[4000000, 6000000) 5000000 2 0.038 52 1 0.1 · 10 −5b) 24 provincias, que representan el 46.2%.c) El intervalo [800000, 1300000] está situado encima de dos intervalos declase:800000 1300000[ )[ )[ ]750000 10 6 2 · 10 6Por tanto, el número de provincias que tienen entre 800000 y 1300000 habitanteses aproximadamente1000000 − 800000− 1000000× 7+13000001000000 − 750000 2000000 − 1000000 × 8=0.8 × 7+0.3 × 8=8provincias.d) La figura 6 contiene el histograma de frecuencias absolutas.Ejercicio 2.3 Los siguientes datos corresponden a las medidas de 15 individuossobre la variable cuantitativa peso:62, 74, 86, 53, 49, 71, 68, 67, 69, 70, 58, 59, 73, 74, 78.a) Construid una tabla de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladasy relativas acumuladas.b) Realizad un diagrama de tallo y hojas.Respuestas: a) Agrupamos los datos en k = √ 15 ≈ 4 intervalos de clase:

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 132ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 14Figure 6: Histograma de frecuencias absolutas. Datos del ejercicio 2.2.4 · 10 −53 · 10 −5240/10 = 24. En la cuarta columna obtenemos las desviaciones respecto dela media, y en la quinta ponderamos por la frecuencia observada en cadaintervalo.[l i−1 ,l i ) x i n i x i n i x i − x (x i − x) n i[0, 10) 5 1 5 -19 -19[10, 20) 15 2 30 -9 -18[20, 30) 25 4 100 1 4[30, 40] 35 3 105 11 33Total 10 240 05 · 10 −5 intervalos x i n i f i N i F i2 · 10 −510 −5Ejercicio 2.5 Una empresa está interesada en seleccionar entre dos candidatospara un puesto de trabajo. Las valoraciones que han obtenido en lasentrevistas y pruebas a que han sido sometidos son las siguiente:0 1 2 3 4 5 6millones de habitantes[49, 59) 54 3 0.2 3 0.2[59, 69) 64 4 0.267 7 0.467[69, 79) 74 7 0.467 14 0.934[79, 89] 84 1 0.067 15 1.001b) El diagrama de tallo y hojas es:4 95 3896 27897 0134488 6Ejercicio 2.4 Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguientedistribución y comprobar que su suma es cero.intervalo frecuencia0-10 110-20 220-30 430-40 3Respuesta: Primeramente construimos la tabla de frecuencias. Con latercera columna de la tabla calculamos la media aritmética, que es x =Aspecto Candidato A Candidato Bexperiencia 8 7conocimientos 6 7psicontécnico 4 5Si la empresa da una importancia del 60% a la experiencia, del 25% a losconocimientos y del 15% a la habilidad psicotécnica, ¿cuál de los dos candidatosva a escoger?Respuesta: Calculamos las medias ponderadas para cada candidato, conpesos 60, 25 y 15, respectivamente para cada categoría. El candidato queobtenga una media poderada mayor será el candidato escogido.x P (A) =x P (B) =8 · 60 + 6 · 25 + 4 · 151007 · 60 + 7 · 25 + 5 · 15100=6.9,=6.7Ejercicio 2.6 Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cienfamilias, calcular sus cuartiles.x i n i N i0 14 141 10 242 15 393 26 654 20 855 15 100

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 152ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 16Respuesta: Puesto que n =100es par,Me = x (50) + x (51)=3,2que coincide con Q 2 . Para calcular Q 1 y Q 3 debemos buscar los valores n/4y 3 n/4 en la columna de las frecuencias acumuladas:n4 =25⇒ Q 1 =2,3n4 =75⇒ Q 3 =4.Ejercicio 2.7 Calcular la varianza y la desviación típica de las siguientescantidades en metros: 3, 3, 4, 4, 5.Respuesta:x i n i x i n i x 2 i x 2 i n i3 2 6 9 184 2 8 18 325 1 5 25 25total 5 19 75La media aritmética es x =19/5 =3.8 m, la media de cuadrados es x 2 =75/5 =15m 2 , la varianza muestral es s 2 n = x 2 − x 2 =15− (3.8) 2 =0.56 m 2y la desviación típica muestral es s n = √ 0.56 = 0.75 m.Puesto que hay pocos valores, los cálculos de la media y de la varianza sepodían haber hecho directamente:s 2 n = 1 nx = 1 nn∑i=1n∑i=1x i = 3+3+4+4+55=3.8,x 2 i − x 2 = 9+9+16+16+25 − (3.8) 2 =0.56.5Ejercicio 2.8 De los ocho empleados de una oficina, se han considerado lasdistribuciones de sus edades y sus añosdeantigüedad en la empresa:Edad 40 22 19 30 62 32 45 51Antigüedad 15 3 1 8 39 13 17 24Calcular lor rangos de estas dos distribuciones. ¿Cuál de las dos tiene mayorgrado de dispresión?Respuesta:R(edad) =62− 19 = 43, R(antigüedad) =39− 1=38.Aunque el rango de la variable edad sea mayor que el rango de la variableantigüedad, esto no significa que el grado de dispersión de edad sea tambiénmayor. Para decidir qué variable tiene un mayor grado de dispersión debemoscalcular el coeficiente de variación. Así, para la variable edad tenemosque:x = 1 n∑x i = 301n 8 =37.6,i=1s 2 n = x 2 − x 2 = 12839 − (37.6) 2 = 189.23,8s n = √ 189.23 = 13.8,CV = s n 13.8× 100 = × 100 = 36.7%,x 37.6mientras que para la variable antigüedad:x = 1 n∑x i = 120n 8 =15,i=1s 2 n = x 2 − x 2 = 2854 − (15) 2 =131.75,8s n = √ 131.75 = 11.48,CV = s n 11.48× 100 = × 100 = 76.5%.x 15Por tanto, la variable antigüedad tiene una mayor dispresión, a pesar de quesu rango es menor.Ejercicio 2.9 Una empresa inmobiliaria ofrece apartamentos en régimende alquiler con los siguientes precios (en euors):precio alquiler (mensual) número de apartamentos700-1000 211000-1100 271100-1300 341300-1500 141500-1800 81800-2000 112000-2100 10

2ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 19Ejercicio 2.10 Con los datos del ejemplo 2.3, calcular los coeficientes deasimetría de Pearson y de Fisher.Respuesta:hojas atacadas n i x i − x (x i − x) 3 n i0 6 -2.68 -115.491 10 -1.68 -47.422 12 -0.68 -3.773 8 0.32 0.264 5 1.32 11.505 4 2.32 49.956 3 3.32 109.788 1 5.32 150.5710 1 7.32 392.2250 547.61En el ejemplo 2.9 hemos calculadox =2.68, s n =2.11, Mo =2,por tanto, el coeficiente de asimetría de Pearson es:As P = x − Mo = 2.68 − 2 =0.3223.s n 2.11A partir de la tabla anterior podemos obtener el coeficiente de asimetría deFisher:1∑ nn i=1As F =(x i − x) 3 n is 3 = 547.61/50n2.11 3 =1.1659.En este caso, el uso de As P no es muy recomendable, puesto que el polígonode frecuencias de esta distribución no tiene forma acampanada (véase figura1). En cambio, el coeficiente As F indica que hay una mayor asimetríapositiva.