Mecánica Cuántica - Curso 2012 Práctica No 3 1. Encuentre las ...

Mecánica Cuántica - Curso 2012Práctica N o 31. Encuentre las soluciones de la ecuación de Schrödinger para un potencial de laformaa) V(x) = −aδ(x)b) V(x) = +aδ(x)con a > 0. Muestre que en la parte a) existe un único estado ligado. Para unapartícula incidente de masa µ y energí a E, calcule el coeficiente de transmisión(T) y el de reflexión (R) ¿Qué pasa con R y T en el caso en que la energía esmayor que cero en el caso b)?2. Encuentre las autofunciones correspondientes al potencialcon V 0 > 0.V(x) ={ 0, si x < 0V 0 , si x > 0Para una partícula incidente de masa µ y energía E, calcule R y T para E > V 0y E < V 0 , y muestre que R+T = 1.3. Considere el potencial definido porV(x) ={0, para |x| > aV 0 , para |x| < aCalcule R y T para una partícula incidente de masa µ y energía E, en los siguientescasos:a) 0 < E < V 0 (Efecto túnel).b) E > V 0 . En este caso, verifique que existen valores de la energía para loscuales T = 1 (Efecto Ramsauer).4. Encuentre las autofunciones y el espectro de energías para un pozo infinito depotencial:V(x) ={0, para |x| < a∞, para |x| > a5. Ecuentre las energías y las autofunciones de los estados ligados de una partículaen un pozo de potencial simétrico:1

{ −V0 , para |x| < aV(x) =0, para |x| > acon V 0 positivo.6. Encuentre las energías de los estados ligados de una partícula en el pozo depotencial dado por⎧⎨ ∞, para x < 0V(x) = −V 0 , para 0 < x < a⎩0, para x > aComparar estos valores con los hallados en el problema anterior.7. Una partícula se mueve libremente dentro de una caja cuyos lados tienen longitudesa, b y c, con paredes impenetrables. Encuentre las autofunciones y losvalores posibles de la energía. Comente sobre la eventual degeneración de lasautofunciones.8. Considere un potencial periódico, consistente de un número infinito de barrerasde potencial de altura V 0 , ancho 2a y separación 2b (esta distancia es el ancho enel que V(x) = 0). Calcule la función de onda correspondiente a este potencial enel caso en que E < V 0 .9. Considiere un pozo cuadrado infinito de ancho 2L con una partícula de masa mmoviendose en su interior (−L < x < L). La partícula se encuentra en el estadofundamental por lo que:E 1 = 2 π 28mL 2, ψ 1 = 1 √Lcos πx2L .Asuma que en el instante t = 0 las paredes del pozo se mueven instantáneamentede manera que su ancho se duplica (−2L < x < 2L). Este cambio no afectael estado de la partícula que es el mismo antes e inmediatamente después delcambio.a) Escriba la función de onda de la partícula para t > 0. Calcule la probabilidadde encontrar a la partícula en un estado arbitrario del sistema modificado. Cuáles la probabilidad de encontrar a la partícula en un estado impar?b) Calcule el valor de expectación para la energía para t > 0.NOTA: ∑ ∞ (2ν+1) 2ν=0= π2.[(2ν+1) 2 −4] 2 162