Capturando la física de los resonadores Helmholtz con la ecuación ...

Maricel Matar y Reinaldo Welties más largo su masa será más grande, y viceversa. Si elcuello tiene una sección muy pequeña comparada con lasección de la cámara la velocidad en el cuello será muygrande mientras que si su sección aumenta la velocidad sereducirá.En la sección 2, vamos a mostrar cómo Helmholtz sevalió de un modelo basado en los razonamientos de lospárrafos anteriores para calcular la frecuencia deresonancia de una cavidad acústica que tiene la forma deuna botella.Se puede también encontrar la frecuencia deresonancia de la botella resolviendo la ecuación de ondasen su interior, con las condiciones de borde adecuadas [4].Este procedimiento se presenta en la sección 3. Con estemétodo, sin embargo, se enmascara el eleganterazonamiento físico realizado por Helmholtz [1] [5]. Elobjetivo de este trabajo es mostrar como, a partir de lasolución analítica de la ecuación de ondas, se puederecuperar el modelo utilizado por Helmholtz y determinarlas condiciones de su validez. En la sección 4 se muestraque cuando la longitud del sistema es pequeña comparadacon la longitud de onda y la sección del cuello pequeñacomparada con la sección de la cámara, la energíapotencial del sistema se concentra en la cámara y laenergía cinética en el cuello. La energía total del sistemase mantiene constante, alternándose de potencial a cinéticade la misma forma que en un resorte. Utilizando lasexpresiones analíticas de estas energías se calcula laconstante elástica efectiva de la cámara.La solución de la ecuación de ondas muestra que labotella, además del modo Helmholtz, tiene infinitasfrecuencias de resonancias. El modo Helmholtz tiene lugarsolamente cuando la impedancia acústica de las dos partesdel sistema (cuello y cámara) son muy diferentes. Si elradio del cuello aumenta, la frecuencia del modoHelmholtz aumenta y tiende a la frecuencia más baja deltubo cerrado – abierto de sección constante que se obtienecuando la sección del cuello se hace igual a la sección dela cámara.II. LA FÓRMULA DE HELMHOLTZConsideremos una botella como la que se muestra en lafigura 2 que tiene un gran volumen V 2y un cuelloestrecho de longitud L1y sección S1. El volumen del picoV1 = S1L1es muy pequeño comparado con V 2. La botellaestá abierta a la atmósfera que tiene una densidad ρ 0ypresión p0.Helmholtz [1] [5] para encontrar la frecuencia de unade las oscilaciones libres que puede realizar este sistema,supuso que el aire en el cuello se mueve como un pistónsólido mientras que el aire en el volumen principal de labotella se comprime y expande de manera alternativacomo si fuera un resorte.Si la masa de aire m en el interior del cuello sedesplaza, en un cierto instante una distancia x hacia laderecha como se muestra en la figura 2, la presión internadesciende y como resultado se obtiene una fuerza que tratade llevar a esta masa de aire a su posición de equilibrio.Esta fuerza de restitución F xse debe a la diferencia depresión δ p , entre la presión interna y la presión externa, yviene dada por:Fxdonde S1es la sección del cuello.k= δ pS , (1)FIGURA 2. Modelo para encontrar la frecuencia más baja deoscilación de la botella.La variación de presión δ p se relaciona con la variaciónde volumen δ V a través del módulo de compresibilidadB del gas [6]:δVδ p =− B . (2)VLa variación de volumen viene dada por δ V = S1x,entonces:2S1xFx=− B =− keqx , (3)V2donde2S1keq= B , (4)V2es la constante elástica equivalente del aire contenido en elvolumen principal.La masa del aire en el cuello de la botella esm= ρ0S1L1. Por lo tanto, la frecuencia angular ω vienedada porω = keqS1Hcm= V L, (5)donde c = B/ρ0es la velocidad del sonido en el aire.Para una botella abierta a la atmósfera, c ≈ 340 m/s, y−3 3−4 2−2de dimensiones, V2 = 10 m , S1 = 10 m , L1 = 5× 10 m,−1se tiene ω H≈ 477.15so sea f ≈ 75.98 Hz . Si se soplasuave y sostenidamente la boca de la botella se obtiene unsonido de esta frecuencia aproximadamente.212 1xmLat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 3, No. 1, Jan. 2009 128 http://www.journal.lapen.org.mx

Capturando la física del resonador Helmholtz con la ecuación de ondas acústicaIII SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDAS ENv ( , ) ( ) i txx t = v xx e ω . (11)EL INTERIOR DE UN TUBO DE SECCIÓNCONSTANTESi reemplazamos (11) y (10) en la ecuación (6b)encontramosSuponemos que la sección transversal del tubo es circular1y que sus dimensiones y/o el intervalo de frecuencias(−iβx iβxv x= Ae −Be) , (12)exploradas son tales que solamente se excita el modoZ0longitudinal de más baja frecuencia. Esto se cumple si la donde Z0 = ρ0ces la impedancia característica del fluido.frecuencia de la onda f es menor que la frecuencia decorte fcdel modo transversal superior más cercano queviene dado por fc≈ 0.92 c/π a donde c es la velocidad del IV SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDASEN EL INTERIOR DE UNA BOTELLAsonido y a el diámetro del tubo [7].Simbolizamos con p , ρ y vxlas pequeñasvariaciones de la presión, densidad y la componente x dela velocidad de un fluido, que se encuentra en el interior deun tubo de sección constante, respecto a los valoresconstantes de la presión p 0, de la densidad ρ 0y de lavelocidad v0x= 0 . Nota: p es ahora la variación depresión que en la sección anterior designamos conδ p .Si retenemos solamente los términos de primer ordeny si se supone que los movimientos del fluido sonadiabáticos, la ecuación de conservación de la masa y laecuación de movimiento de Euler toman la forma [8]:Para simplificar el problema vamos a suponer que labotella tiene una sección circular que abruptamente cambiade radio, al pasar del cuello (región 1) a su volumenprincipal (región 2) como se muestra en la Fig. 3. Lasección y longitud del cuello son S1y L1, mientras que lasección y longitud del volumen principal son S 2y L 2respectivamente. Como en el cuello y en el volumenprincipal la sección es constante, en cada una de estasregiones la presión debe satisfacer la ecuación de ondas(7).∂ p ∂v=−xB ,∂t∂x( a)∂vx1 ∂p=− ,∂tρ ∂x( b)0(6)donde B es el módulo de compresibilidad adiabático delfluido.De estas ecuaciones se deduce que p (y vx) satisfacela ecuación de ondas:2 2∂ p 1 ∂ p− = 0 . (7)2 2 2∂x c ∂tPara encontrar la solución armónica de esta ecuaciónhacemosRemplazando (8) en (7) encontramospxt ( , ) = pxe ( ) iωt. (8)dx2d p 2+ β p = 02 , (9)donde β = ω / c .La solución de esta ecuación diferencial es inmediatay viene dada por−iβx iβxp = Ae + Be . (10)La velocidad del fluido asociada a esta onda de presiónviene dada porFIGURA 3. Botella de sección circular. La sección S 2 delvolumen principal cambia abruptamente a S1 en el cuello.En la región 1, la presión (si no se tiene en cuenta el efectode borde) debe ser nula en x = L1. La solución armónicade la ecuación (7) que satisface esta condición de bordeviene dada porp ( x) = A sin β ( L − x). (13)1 1 1La onda de velocidad del fluido asociada esAv ( x) = −i cos β ( L −x). (14)11 1Z0En la región 2, la presión debe ser máxima en x = − L2. Lasolución armónica de la onda de presión que satisface estacondición viene dada porp ( x) = A cos β ( L + x). (15)2 2 2La onda de velocidad asociada esLat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 3, No. 1, Jan. 2009 129 http://www.journal.lapen.org.mx

Maricel Matar y Reinaldo WeltiAv ( x) =− i sin β ( L + x). (16)22 2Z0Para empalmar las soluciones en x = 0 debemos establecerlas condiciones de contorno en esa sección. Como en unaonda sonora p p0y ρ ρ0, el aire se comprime muypoco, entonces podemos suponer que el volumen seconserva. Si despreciamos el flujo de aire en la direcciónradial, que tiene lugar en las proximidades de x = 0 , lacondición de contorno viene dada por [7]Sv (0) = Sv (0) . (17)1 1 2 2La otra condición de contorno es la continuidad de lapresión,p (0) = p (0) , (18)1 2en efecto, si p 1(0) ≠ p 2(0) , la masa infinitesimal que seencuentra en un pequeño entorno alrededor dex = 0 tendría una aceleración infinita.Las condiciones (17) y (18) nos proporcionan lasecuacionesA Acos βL− sin βL= 0 , (19)Z1 21 2a1 Za2A sin β L − A cos β L = 0 , (20)1 1 2 2donde Za1= Z0 / S1y Za2 = Z0 / S2son las impedanciasacústicas de los medios 1 y 2, respectivamente.Los autovalores del sistema se encuentran anulando eldiscriminante del sistema, lo que nos daZ sin kL sin kL − Z cos kL cos kL = 0 . (21)a1 1 2 a2 1 2Esta ecuación puede escribirse de la formatanZβ a2 1L1tanβ L = 2Z= a1 S. (22)2Si β L1 1 y β L2 1, la ecuación (22) se reduce a2 11 2S2que nos lleva a la fórmula de Helmholtz:SSβ LL = , (23)ωSH1β = = (24)c V2L1Como β L1 1 y β L2 1, la longitud de onda λ esmucho mayor que L1y L2y el sistema puede considerarsede parámetros concentrados [7] como supuso Helmholtzpara construir su modelo.Si S1/ S2= 1, el sistema resulta un tubo uniforme delongitud L1 + L2. En esta situación, la ecuación (22) sereduce atan β L= cot β L ,1 2Como, 1− tanα tan β = (tanα + tan β)cot( α + β), estaecuación implica que cot( kL1 + kL2) = 0 , lo que nos daβ L1+ βL2 = π /2,3 π /2,5 π /2,… ,que corresponden a los modos de un tubo de longitudL1 + L2cerrado en un extremo y abierto en el otro.Si se mantiene S2constante mientras S1tiende a cero,se obtiene una “cavidad” de longitud L 2cerrada en susdos extremos. La ecuación (22) se transforma entan β L2= 0 cuyas soluciones son β L2 = π,2 π,…. Estosautovalores corresponden a los modos de un cilindro delongitud L2cerrado en ambos extremos.En estos dos casos, S 1/ S 2→ 1 y S 1/ S 2→ 0, lalongitud de onda del modo más bajo es comparable a ladimensión del sistema (la cuarta parte y la mitad,respectivamente). Estos modos, si bien son los que tienenla frecuencia más baja, no son modos Helmholtz, ya quesus longitudes de onda son comparables con lasdimensiones del sistema.A. Cálculo de los autovaloresEn el caso general, para calcular los autovalores debemosencontrar, gráfica o numéricamente, las raíces de laecuación (22). Sin embargo, en lugar de encontrar losceros de la ecuaciónSβ β − = ,1tan L1tan L20S2es más conveniente encontrar los máximos de la funciónU =1, (25)tan βL tan βL − S / S + ε1 2 1 2donde ε es un número positivo muy pequeño.En la figura se muestra la gráfica de log10( U ) enfunción de f = ω /2π, para una botella que tiene las−4 2dimensiones, L1 = 0.05m, L2 = 0.15m, S1 = 10 m y−3 2S2 = 6.8× 10 m . Se supuso que la velocidad del sonido c3es igual a 343.5 m/s (T = 20º C), ρ0= 1.2 Kg/m y que−6ε = 10 . La frecuencia más baja, fH= 75.98 Hz es lafrecuencia del modo Helmholtz. La frecuencia que seLat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 3, No. 1, Jan. 2009 130 http://www.journal.lapen.org.mx

Capturando la física del resonador Helmholtz con la ecuación de ondas acústicaobtiene a partir de la fórmula de Helmholtz (ecuación (5))1nos da fH= 76.59 Hz . La diferencia, que es del orden del1% se debe a la aproximación de tan kL por kL.6475.98 Hz1148 Hzpresión (u. a.)0,50-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05x (m)Log10 (U)20-20 500 1000 1500Frecuencia (Hz)FIGURA 4. Log 10 (U) en función de las frecuencias. Los picos seencuentran en la frecuencia de los modos normales. En la figurase observa el pico correspondiente al modo Helmholtz (75.98 Hz)y el de un modo de frecuencia más alta (1148 Hz).El modo Helmholtz tiene una longitud de onda.λ = c/ f 4.5mque es mucho mayor que la longitud totaldel sistema, L = L1 + L2 = 0.20 m. Sin embargo, lalongitud de onda del segundo modo (0.30 m) escomparable con las dimensiones del sistema.B. Análisis de las ondas estacionarias de presión yvelocidadDe la ecuación (20) obtenemosAsin β L12= A1. (26)cos β L2Como en general A1es complejo, hacemosAi1A1e α= . (27)Para encontrar las ondas estacionarias de presión yvelocidad se multiplican las ecuaciones (13) a (16) pori te ω . Considerando (26) y (27) y tomando la parte real seobtienep ( x, t) = p cos β ( x+ L )cos( ωt+ α), (28a)2 m2p m2 2Z0v ( x, t) = sin β ( x+ L )sin( ωt+ α), (28b)cos β Lp ( x, t) = p sin β ( L − x)cos( ωt+ α), (29a)21 m1sin β L1p cos β Lv ( x, t) = cos β ( L − x)sin( ωt+ α), (29b)m21 1Z0 sin β L1donde pm= A2es la amplitud de la onda de presión en elmedio 2.velocidad (u. a.)presión (u.a.)velocidad (u.a.)151050-0.15 -0.1 -0.05 0 0.0510-1-0.15 -0.1 -0.05 0 0.0510-1x (m)FIGURA 5. Ondas de presión (arriba) y velocidad (abajo), que secalculan con las ecuaciones (28) y (29) para k = 2 π fH/ c,donde f = 75.98Hz.HEn la Fig. 5 se grafican las ondas de presión y de velocidad(en unidades arbitrarias) en función de x, para una botellaque tiene las dimensiones dadas en el párrafo anterior,cuando está oscilando en su modo Helmholtz. La onda depresión tiene una amplitud casi constante en el interior dela cavidad principal y decrece casi linealmente, en elcuello, hasta tomar el valor cero en su extremo. Lavelocidad del aire en el cuello es mucho más grande que lavelocidad del aire en la cavidad principal .La razón entreestas velocidades es S 2/ S 1(del orden de 68 para esteejemplo).x (m)-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05x (m)FIGURA 6. Ondas de presión (arriba) y velocidad (abajo), en elinterior de la botella, para el segundo modo cuya autofrecuenciaes f = 1148 Hz.Este comportamiento de las ondas de presión y develocidad es coherente con el modelo que elaboróHelmholtz para encontrar la frecuencia propia de estemodo pues de acuerdo a estas gráficas en la cavidadLat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 3, No. 1, Jan. 2009 131 http://www.journal.lapen.org.mx

Maricel Matar y Reinaldo Weltiprincipal la energía va a resultar puramente potencialelástica y en el cuello puramente cinética.En la Fig. 6 se muestran las amplitudes de las ondas depresión y de velocidad, en el interior del tubo, para elsegundo modo, cuya autofrecuencia es 1148 Hz. Lacurvatura que tiene este modo es una evidencia que sulongitud de onda es comparable con las dimensiones delsistema. Por el contrario, las gráficas sin curvatura de laFig. 5 confirman que, para el modo Helmholtz, la longitudde onda es muy grande comparada con las dimensiones delsistema.V. CÁLCULO DE LAS ENERGÍAS CINÉTICAY POTENCIAL DEL MODO HELMHOLTZPara el modo Helmholtz, β L1 1 y β L2 1, por lotanto, podemos hacer las siguientes simplificaciones:cos β ( x+ L2) 1, para cualquier x en el intervalo( − L2,0), sin β ( x + L2) β ( x+L2), para cualquier x en elintervalo ( − L2,0), cos β ( x+ L1) 1 , para cualquier x enel intervalo (0, L1), sin β ( x + L1) β ( x+L1), paracualquier x en el intervalo (0, L1)ycos β L2 / sin βL1 1/ βL1y su frecuencia es lacorrespondiente al autovalor dado por la ecuación (24).Utilizando estas aproximaciones, la presión y lavelocidad en el volumen principal y en el cuello vienendadas por:p2 ≈ pmcos( ωHt+ α), ( 30a)pv ≈ h (1 + x/ L ) sin( ω t+ α), ( 30b)m2 2 2Z01p1pmHtL1HL − x≈ cos( ω + α), ( 31a)pm1v1≈ sin( ωHt+ α ) . (31b)Z h0 1La densidad de energía total u , en cada una de lasregiones, es la suma de la densidad de energía potencialelástica [7]up2p= , (32)2Z c02de energía potencial u p2; esto es, uc2 ≤ h2 up2. En elcuello, sin embargo, la energía potencial elástica es uninfinitésimo de segundo orden con respecto a la densidad2de energía cinética; esto es, up1≤ h1 uc1.Por lo tanto, si despreciamos los términos de segundoorden en h 1y h 2, la densidad de energía es puramentepotencial en el volumen principal y puramente cinética enel cuello. En esta aproximación la energía potencial totaldel sistema E pse obtiene integrando la densidad deenergía potencial up2sobre el volumen principal, lo queda:dondeporE = E t+ , (34a)2p pmcos ( ωHα)Epmes la energía potencial máxima que viene dadaEpV2m 2pm= . (34b)2Z0cDe la misma manera la energía cinética del sistema Ecseobtiene integrando la densidad de energía cinética u c1sobre el volumen del cuello, así se tiene:dondeporE = E t+ , (35a)2c cmsin ( ωHα)Ecmes la energía cinética máxima que viene dadaEcm1 p ( S L )= ρ . (35b)2 ( β L ) Z2m 1 10 2 21 0Si en (35b) reemplazamos β por ω H/ c , ecuación (24), sepuede demostrar queEcm= ELa energía total del sistema es entonces:pm2 2pmcos ( ωH α) cmsin ( ωH α)pm cmE = E t+ + E t+ = E = EEsto es, la energía total del resonador se mantieneconstante. Entonces, hay una transformación permanentede energía cinética en energía potencial y viceversa, delmismo modo que en un oscilador masa – resorte enausencia de rozamiento.y la densidad de energía cinéticauc122= ρ0v. (33)A. Cálculo de la constante elástica equivalente de lacavidad principalPara calcular la constante elástica equivalente de lacavidad principal tenemos que relacionar su energíaDe las ecuaciones (30a) y (30b) se deduce que la densidad potencial con la amplitud de desplazamiento de la masa,de energía cinética en el volumen principal u c2es un que designaremos como Φ1m.infinitésimo de segundo orden con respecto a la densidadDe la ecuación (31b) obtenemosLat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 3, No. 1, Jan. 2009 132 http://www.journal.lapen.org.mx

v1mpm= , (36a)Z hdonde v1mes la máxima amplitud de la velocidad en elcuello y como v =∂Φ/∂ t, se tienev0 1= ω Φ . (36b)1m H 1mA partir de (36a) y (36b) tenemos:p= Z hω Φ . (37)m 0 1 H 1mReemplazando (37) en (34b) nos queda:E1= k Φ , (38)22pm eq 1mdonde keq, la constante elástica equivalente de la cavidad,es2S1keq= B , (39)V2resultado que coincide con la expresión encontrada en lasección II.VI. CONCLUSIONESCapturando la física del resonador Helmholtz con la ecuación de ondas acústicade una botella con los de un sistema masa – resorte, no selimita sólo a su modo más bajo, o modo Helmholtz, sinotambién a sus modos de frecuencias superiores.La utilización de resonadores Helmholtz es cada vezmás frecuente en los laboratorios del nivel medio [11] [12]y universitario [13] [14], tanto como un prototipo de unoscilador o como un dispositivo para filtrar sonido en unadada gama de frecuencias, pues son muy fáciles deconstruir y las mediciones se realizan mediantemicrófonos, parlantes y detectores de señales que seencuentran normalmente en los laboratorios de estosestablecimientos. Son también muy empleados [15] [16]como amortiguadores de ruido en ductos, vehículos ymáquinas o en nuevos dispositivos experimentales [17]para simular el comportamiento de metamateriales. Es porlo tanto un tema relevante para incluirlo en los cursos devibraciones y ondas o de ecuaciones diferenciales en lascarreras de ingeniería y de ciencias físicas.REFERENCIAS[1] von Helmholtz, H., On the Sensations of Tone as aPhysiological basis of the Theory of Music, (DoverPublications, New York, 1954).[2] Boring, E. G., Sensation and Perception in the Historyof Experimental Psychology, (Appleton–Century, NewYork, 1942).[3] Boyle, R., New Experiments Physico-Mechanicall,Touching the Spring of the Air and its Effects, (Oxford,1660).[4] Crawford, F. S., Lowest modes of a bottle, Am. J. Phys.56, 702 (1988).[5] Rayleigh, J. W. S., The Theory of Sound, (DoverPublications, New York, 1954).[6] French, A. P., Vibration and Waves, (W.W. Norton,New York, 1971).[7] Kinsler, L. E. , Frey, A. R., Coppens, A. J. andSanders, J. V., Fundamentals of Acoustics, (Wiley, NewYork, 1982).[8] Granger, R. A., Fluids Mechanics, (DoverPublications, New York, 1995).[9] Pask, C., Mathematics and the science of analogies,Am. J. Phys. 71, 526-534 (2003).[9] Khonder, A. N., Rezwan Khan, N., Abwar, A. F. M.,Transmission line analogy of resonance tunnelingphenomena: The generalized impedance concept, J. Appl.Phys. 63, 5191 - 5193 (1988).[11] Silverman, M. P. and Worthy, E. R. Musical masteryof a Coke bottle: Physical modeling by analogy, Phys.Teach. 36, 70–74 (1998).[12] Gluck, P., Ben-Sultan, S., Dinur, T., Resonance inFlasks and Pipes, Phys. Teach. 44, 10-15 (2006).[13] Guiguet, A., Welti, R., Supresión de modos devibración acústicos con un resonador Helmholtz, Rev.Bras. Ens. Fis. 25, 287-293 (2003).[14] Moloney, M. J., Quality factors and conductances inHelmholtz resonators, Am. J. Phys. 72, 1035–1039 (2004).[15] Pierce, A. D., Acoustics: An Introduction To ItsPhysical Principles And Applications, (McGraw-Hill BookHemos mostrado que, partiendo de la solución analítica dela ecuación de ondas acústica, se puede recuperar la físicadel modelo utilizado por Helmholtz para encontrar lafrecuencia del modo que lleva su nombre. Calcular lafrecuencia del modo Helmholtz de esta manera es un pocomás laborioso. Sin embargo, la deducción que se obtieneutilizando esta matemática más dura puede generalizarse aotros sistemas físicos. En efecto, las analogías matemáticasbasadas en las ecuaciones diferenciales, en muchos casos,son más fructíferas que las analogías basadas en losmecanismos [9]. Existe una gran variedad de fenómenosfísicos que se describen por medio de una ecuación deondas lineal: ondas electromagnéticas, acústicas, ondasmecánicas en medios elásticos, etc. En todos estos casos sepuede introducir el concepto de impedancia [7], aún paralas ondas cuánticas [10]. En cualquiera de estos fenómenospuede aparecer, por lo tanto, un modo tipo Helmholtz. Lacondición que se debe cumplir es que se tenga un saltogrande en la impedancia de los dos medios y que susdimensiones sean pequeñas comparada con la longitud deonda asociada. Aunque habitualmente no se lo subraya, elmodo de oscilación del sistema clásico masa – resorte esen verdad un modo Helmholtz. Este sistema tiene infinitosmodos de frecuencias superiores, que en la práctica se losconfunde con los modos normales de un resorte fijo en susdos extremos, pues el nodo de estos modos está muypróximo a la masa del oscilador. Sin embargo, si la masaes comparable con la masa del resorte, el nodo del segundomodo está separado de la masa y se pueden observaroscilaciones de amplitud relativamente grandes en estasegunda resonancia. Por lo tanto, la analogía de los modos Co., New York, 1981).Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 3, No. 1, Jan. 2009 133 http://www.journal.lapen.org.mx

Maricel Matar y Reinaldo Welti[16] Cameron, T. y Russell, D., Laboratory Instruction inAcoustics and Vibration, (Proceedings of the AmericanSociety for Engineering Education, ASSE, Washington D.C., 1996).[17] Fang, N., Xi, D., Xu, J., Ambati, M., Srituravanich,W., Sun, C., Zhang, X., Ultrasonic metamaterials withnegative modulus, Nature Materials 5, 452 – 456, (2006).Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 3, No. 1, Jan. 2009 134 http://www.journal.lapen.org.mx