MODELO BIDIMENSIONAL NO LINEAL PARA EL ANÃLISIS DEL ...
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Eduardo Botero Jaramillo y Miguel P. Romo O.respecto a la base; c es el amortiguamiento del elemento, U&es la velocidad relativa de los nodoscon respecto a la base inclinada (θ); Fi es la fuerza de inercia debida a la masa m b y la aceleración(Ü 0 +Ü g ), donde Ü 0 es la aceleración debida al desplazamiento relativo del sistema (considerandoel componente conforme a la inclinación del plano de deslizamiento), y F a es la fuerza resultantede todas estas componentes.( )F s = M 1 g sin θ(4)F k = k U(5)•= c UF d (6)•• ••⎛ ⎞Fi = mb⎜Ug + U 0 ⎟(7)⎝ ⎠F = F + F + F + F(8)askdiTomando las Ecuaciones 4 a 7 y reemplazándolas en la ec. 8, tenemos lo siguiente:• •• ••⎛ ⎞( ) + kU + cU−m ⎜Ug + ⎟⎠Fa = M1 g sin θ b U 0(9)⎝Durante la excitación sísmica del talud, el equilibrio es evaluado usando las Ecuaciones 1a 8. Cuando F a > F r ocurren desplazamientos permanentes hasta que la fuerza actuante esté pordebajo de la fuerza resistente, esto es, cuando la velocidad del suelo de apoyo de la cuñadeslizante y la de ésta sean iguales. La energía cinética aparece cuando la velocidad de la masadeslizante es mayor que la de la base.Ecuación de movimientoLa respuesta de cada nodo, cuando el sistema no desliza, se puede calcular con la siguienteecuación de movimiento:⎛ ⎞M 1 g(10)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝•••••⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞[ ] ⎜U⎟ + [ C] ⎜U⎟ + [ K ] ⎜U⎟ = −M⎜Ucos( θ )⎟⎠Donde M es la matriz de masa formada con las masas m i , C es la matriz deamortiguamiento formada por el amortiguamiento c i de cada uno de los elementos y K es lamatriz de rigidez formada por la rigidez k i de cada uno de los elementos, Ü es el vector deaceleración relativa, U&es el vector de velocidad relativa y U es el vector de desplazamientorelativo, los tres con respecto al plano de deslizamiento.Cuando el sistema entra en la fase de deslizamiento, el equilibrio de fuerzas en la interfazdefine a la aceleración cinética. La ecuación de movimiento para esta condición está dada por:10
Modelo Bidimensional No Lineal para el Análisis del Comportamiento Dinámico de Estructuras Térreasn••••••••⎡⎤M1 U c = −µ c ⎢M1g cos( θ ) − M1U g sin( θ ) ⎥ − ∑Ui mi− M1U g cos( θ )(11)⎣⎦i = 1Donde Ü i es la aceleración relativa paralela a la superficie de deslizamiento del nodo i, Ü ces la aceleración cinética, µ c es el coeficiente de fricción cinética y n es el número de elementos.En la ec. 11 Ü g representa el porcentaje de la aceleración que se transmite a la base del modelo.En general, cuando hay deslizamiento esta aceleración es menor que la excitación en el plano dedeslizamiento. De la ec. 11 se deriva que la aceleración cinética está dada por:••••n •• ••⎡⎤ 1U c = −µ c ⎢gcos( θ ) − U g sin( θ ) ⎥ − ∑Ui mi− U g cos( θ )(12)⎣⎦ M1 i = 1Cuando el sistema está deslizando, la ecuación de movimiento de todo el sistema es:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛M 1 g(13)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝••••• ••⎞[ ] ⎜U⎟ + [ c] ⎜U⎟ + [ k] ⎜U⎟ = −M⎜U c + U cos( θ )⎟⎠Modelación del comportamiento dinámico de los materialesLa respuesta dinámica del talud y su porción deslizante dependerán de las propiedades de losmateriales. Éstas a su vez pueden sufrir modificaciones durante la excitación sísmica debido a lageneración de deformaciones inelásticas. Para tener en cuenta dicho comportamiento del suelo enla respuesta del talud (i.e., degradación del módulo de corte, incremento del amortiguamiento,etc.) se usa un modelo tipo Masing (Romo, 1995b), definido por las Ecuaciones 14 a 17.GG( γ )max= [ 1− H( γ )] (14)A2B⎡ ⎛ γ ⎞ ⎤⎢ ⎜ ⎟ ⎥rH( ) ⎢ ⎝ γγ =⎠ ⎥2B⎢ ⎛ ⎞ ⎥⎢1+γ⎜ ⎟ ⎥⎣ ⎝ γ r ⎠ ⎦(15)γ 2Gs max = Vsg(16)λ = λ − λ H γ + λ(17)( max min )( ( )) minDonde G(γ) es el módulo de corte para cualquier deformación y G max es el máximomódulo de corte, γ es la distorsión angular en cualquier tiempo, γ r es una distorsión angular dereferencia, A y B son parámetros del suelo que al igual que γ r , dependen del índice de plasticidad,γ s es el peso volumétrico del suelo y V s es la velocidad de la onda de corte. Aquí, λ es la relaciónde amortiguamiento para cualquier deformación de corte γ, λ max es el máximo valor de λ (grandesdeformaciones de corte, i.e., mayores que 1.0%) y λ min es el mínimo valor de λ (bajasdeformaciones de corte, del orden de 10 -4 %).11
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Eduardo Botero Jaramillo y Miguel P. Romo O.respecto a la base; c es el amortiguamiento del elemento, U&es la velocidad relativa de los nodoscon respecto a la base inclinada (θ); Fi es la fuerza de inercia debida a la masa m b y la aceleración(Ü 0 +Ü g ), donde Ü 0 es la aceleración debida al desplazamiento relativo del sistema (considerandoel componente conforme a la inclinación del plano de deslizamiento), y F a es la fuerza resultantede todas estas componentes.( )F s = M 1 g sin θ(4)F k = k U(5)•= c UF d (6)•• ••⎛ ⎞Fi = mb⎜Ug + U 0 ⎟(7)⎝ ⎠F = F + F + F + F(8)askdiTomando las Ecuaciones 4 a 7 y reemplazándolas en la ec. 8, tenemos lo siguiente:• •• ••⎛ ⎞( ) + kU + cU−m ⎜Ug + ⎟⎠Fa = M1 g sin θ b U 0(9)⎝Durante la excitación sísmica del talud, el equilibrio es evaluado usando las Ecuaciones 1a 8. Cuando F a > F r ocurren desplazamientos permanentes hasta que la fuerza actuante esté pordebajo de la fuerza resistente, esto es, cuando la velocidad del suelo de apoyo de la cuñadeslizante y la de ésta sean iguales. La energía cinética aparece cuando la velocidad de la masadeslizante es mayor que la de la base.Ecuación de movimientoLa respuesta de cada nodo, cuando el sistema no desliza, se puede calcular con la siguienteecuación de movimiento:⎛ ⎞M 1 g(10)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝•••••⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞[ ] ⎜U⎟ + [ C] ⎜U⎟ + [ K ] ⎜U⎟ = −M⎜Ucos( θ )⎟⎠Donde M es la matriz de masa formada con las masas m i , C es la matriz deamortiguamiento formada por el amortiguamiento c i de cada uno de los elementos y K es lamatriz de rigidez formada por la rigidez k i de cada uno de los elementos, Ü es el vector deaceleración relativa, U&es el vector de velocidad relativa y U es el vector de desplazamientorelativo, los tres con respecto al plano de deslizamiento.Cuando el sistema entra en la fase de deslizamiento, el equilibrio de fuerzas en la interfazdefine a la aceleración cinética. La ecuación de movimiento para esta condición está dada por:10
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