Introducción al Cálculo - Universidad de Antioquia

iiUniversidad de AntioquiaÍNDICE GENERAL3. Funciones básicas. 1853.1. Funciones definidas por fórmula. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.3. Definición y gráficas de algunas funciones básicas. . . . . . . . 1953.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054. Límites - continuidad. 2124.1. Primeras ideas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.3. La definición ǫ,δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.5. Funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544.7. Consecuencias de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 2564.8. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2664.9. Otros tipos de límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2674.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2875. La función derivada. - Reglas de derivación. 2925.1. Dos problemas resueltos con límites. . . . . . . . . . . . . . . . 2925.2. La derivada - Reglas de derivación. . . . . . . . . . . . . . . . 2985.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Notas de Introducción al CálculoAlberto Castañojulio/2006(Versión Preliminar)Universidad de Antioquia

ivUniversidad de AntioquiaPREFACIOlogarítmicas y trigonométricas), destacando el aspecto operacional por mediodel cual se obtienen nuevas funciones generadas mediante sumas, diferencias,productos, cocientes y composición. Se insiste en el aspecto gráfico defunciones como líneas rectas, parábolas, curvas exponenciales, logarítmicas,trigonométricas, y funciones del tipo √ 1x, , |x|, funciones por tramos, etc.,xque serán una reserva para más adelante ilustrar las ideas de límite, continuidady diferenciabilidad, informando al estudiante que toda la complejidadque encierra la forma de estas “curvas”se irá aclarando con el transcurrirde los temas.En el capítulo cuatro consideramos que todo está preparado para definirel concepto de límite de una función, lo cual se hará desde el punto de vistaintuitivo de aproximación sistemática a un cierto número a prefijado en elambiente determinado por una función. Una vez desarrollado este proceso detipo eurístico se está en condiciones de presentar en términos formales ésta,no solo importante sino magnífica, construcción del ingenio matemático:Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x,0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − L| < ε,cuya abreviatura es usualmente representada comolím f(x) = L.x→aLlegados a este punto, sigue un proceso de manejo técnico de esta expresión,incluyendo modelos demostrados de límites de funciones básicas,exponiendo leyes y propiedades de los límites y aprovechando el “momento”para definir las ideas de continuidad y derivación.Terminamos el curso en el quinto capítulo, presentando las técnicas básicasde derivación que se extienden hasta la importante “Regla de la cadena”.

0.1. ALGUNOS CONJUNTOS DE NÚMEROS 1PREÁMBULO.En este preámbulo mencionamos, sin entrar en mayores detalles, los conjuntosnuméricos de nuestro mayor interés e incluímos algunas definiciones yresultados sobre los números enteros.Se inicia el primer capítulo con el concepto de operación binaria acompañadode las leyes básicas del Álgebra. Viene enseguida una presentación, acompañadamas de intuición que de rigor, de las leyes lógicas y principalesmétodos de demostración y se ofrecen algunos modelos de razonamiento,demostrando resultados referidos a los números enteros.El capítulo finaliza con una introducción elemental de la Teoría de Conjuntosque incluye las operaciones usuales con conjuntos.Muy pronto, en la sección 0.2., incluímos los conectivos lógicos, ⇒, (implicación),con el significado ‘‘Si ...entonces”, y ⇔, (equivalencia), con elsignificado “Si y solo si”.Así mismo, a partir de la sección 1.1. incluímos expresiones del estilo x ∈ Aque tiene los siguientes significados:x es un elemento del conjunto A,x pertenece a A,x en A.Como es usual, x /∈ A significa: ”x no pertenece a A”.0.1. Algunos conjuntos de númerosLas diferentes clases de conjuntos numéricos que estaremos utilizando son:El conjunto de los números naturales { 1,2,3,... }, que se representa conla letra especial: N.El conjunto de los números enteros { 0, ±1, ±2, ±3, · · · }, que se representacon la letra especial: Z. Se utiliza el símbolo Z + , (enterospositivos), como otra manera de representar el conjunto N.El conjunto de los números racionales: Q, números que son de la formaab con a, b enteros, b ≠ 0. Números como 3, −7, 0, 2, 3 · 1416, son5 4racionales.Universidad de Antioquia

4 PREFACIOEn el anterior teorema, a se llama Dividendo, b es el divisor, q es elcociente y r, el residuo.Ejemplo:87 = 15 × 5 + 12donde 87 es el dividendo, 15 el divisor, 5 el cociente y 12 el residuo.Ejemplo:−17 = −4 × 5 + 3donde −17 es el Dividendo, −4 el divisor, 5 el cociente y 3 el residuo.Los siguientes dos resultados (teoremas) se refieren al MCD:i. Si d es el MCD de a, b, se pueden hallar dos enteros x,y tales qued = xa + yb .Por ejemplo,MCD(15, 20) = 5 = (−5)15 + (4)20ii. Si a,c son primos relativos y c | ab, entonces c | b .Por ejemplo,8 | 48, (3 × 16 = 48), y como 8 y 3 son primos entre si,se concluye que 8 | 16.Los siguientes dos teoremas se refieren a los números primos.Teorema 0.2.2. Todo entero mayor que 1 se puede descomponer comoun producto de factores primos, repetidos o no, y estos primos sonúnicos, salvo cambio de lugar de los factores en el producto.El Teorema 0.2.2 se conoce como el teorema fundamental de laAritmética.Ejemplo: 2924 = 2 2 × 17 × 43.Corolario 0.2.3. Todo entero mayor que 1 tiene algún divisor primo.Por ejemplo, 43 es un divisor primo de 2 924 (¡y no es el único!)Teorema 0.2.4. No existe un primo que sea el mayor de todos losnúmeros primos.(En otras palabras, este teorema dice que la cantidad de números primoses infinita).Universidad de Antioquia

Capítulo 1Lógica - Teoría de Conjuntos1.1. Operación binariaDefinición 1.1.1. Una operación binaria ∗ definida en un conjunto A, esuna regla que asigna a dos elementos a, b de A, un único resultado c que estambién elemento del mismo conjunto A.Escribimos:a ∗ b = cpara indicar que la operación entre a, b ha dado como resultado, c.Veamos algunos ejemplos:Las siguientes dos tablas ilustran dos operaciones binarias definidas enun conjuntoEn la Tabla #1 se leen,entre otros, los siguientes. resultados: a ∗ e = ab ∗ b = eb ∗ a = c.A = {e,a,b,c}∗ e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a eTabla #1Universidad de Antioquia5

1.1.OPERACIÓN BINARIA 72. L. Uniforme: Todo resultado obtenido por medio de la operación ∗ esúnico.Dicho en otras palabras, si se opera con elementos iguales, se obtienenresultados iguales.Puesta en forma de implicación esta ley se puede escribir así:Sean a,b,c,d ∈ A :a = cb = d}=⇒ a∗b = c∗dUn caso particular de esta ley ocurre cuando se tiene una igualdad,digamos a = b, y se opera en ambos miembros por un mismo elementoc. En tal caso se obtiene a ∗ c = b ∗ c o bien, c ∗ a = c ∗ b.Estas dos primeras leyes definen una operación binaria, sin ellas no seconsidera como tal. (Ver Definición 1.1.1).Las leyes que siguen son opcionales, es decir, una operación puedecumplirlas o no.3. L. Asociativa: El resultado de realizar la operación con 3 elementoses el mismo en cualquiera de las dos maneras en que es posible llevarlaa cabo sin cambiar el orden en que se tomen los elementos.En términos de implicación, esta ley se expresa de la siguiente manera:a,b,c ∈ A =⇒ (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)Esta ley también es válida cuando el número de elementos a operar esmayor que tres, en cuyo caso se puede realizar agrupándolos de 3 en 3.4. L. Commutativa: El orden en que se realice la operación con doselementos no modifica el resultado.Esta propiedad se extiende a cualquier número finito de elementos.Puesta en términos de implicación queda así:a,b ∈ A =⇒ a ∗ b = b ∗ aUniversidad de Antioquia

8CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS5. L. Modulativa: Hay en el conjunto A por lo menos un elemento, quedenotaremos con e, que operado, (por derecha o por izquierda), concada elemento de A, da como resultado el mismo elemento, es decir:a ∈ A =⇒ (a ∗ e = a y e ∗ a = a)El elemento e se llama el módulo o elemento neutro de ∗.Claro que si ∗ es commutativa, es suficiente que se cumpla una sola delas igualdades en la anterior implicación para que también se cumplala otra.6. L. Invertiva:Si el conjunto A tiene un módulo e y para cada elemento a de A hayun elemento (por lo menos uno) en A , que denotaremos con a −1 , talque, al operar a con a −1 en cualquier orden, el resultado es el móduloe, entonces la operación ∗ cumple la L. Invertiva.En términos de implicación:(a ∈ A y en A existe módulo) =⇒ (En A existe a −1 tal que a∗a −1 = e y a −1 ∗a = e).El elemento a −1 se llama el inverso de la operación ∗.Aquí también es claro que si ∗ es commutativa, es suficiente una solaigualdad en la implicación anterior.7. L. Distributiva:Esta ley requiere que en el conjunto A estén definidas dos operaciones,digamos ∗ y ⋄ . Decimos que ∗ distribuye con respecto a ⋄ si secumple la siguiente implicación:a,b,c ∈ A =⇒ ( a ∗ (b ⋄ c) = (a ∗ b) ⋄ (a ∗ c) y (b ⋄ c) ∗ a = (b ∗ a) ⋄ (c ∗ a) )Nuevamente, si ∗ es commutativa, es suficiente que se cumpla unade las igualdades en la implicación anterior ya que también se estarácumpliendo la otra.Universidad de Antioquia

1.1.Ejemplos:OPERACIÓN BINARIA 9Los números racionales, (Q), los reales, (R), y los complejos, (C), conlas operaciones usuales de suma (+) y multiplicación (×) satisfacen las7 leyes mencionadas anteriormente, razón por la cual se llaman camposalgebraicos. Téngase en cuenta que sólo la multiplicación “distribuye”con respecto a la suma, es decir:a × (b + c) = (a × b) + (a × c),Pero la suma no distribuye con respecto a la multiplicación, es decir,a + (bc) ≠ (a + b)(a + c).Un ejemplo numérico aclara lo dicho: · · · 3 + (2 × 5) ≠ (3 + 2) × (3 + 5) .} {{ } } {{ }1340La siguiente tabla resume la notación y nombres relacionados con lasoperaciones usuales en Q, R, y C.Nombres y símbolos relacionados con las operaciones + y ×.Operación módulos notación y nombre para inversos+ 0 −a (opuesto de a)1× 1 (recíproco de a ≠ 0)aTéngase en cuenta que los “Naturales” con + no cumplen la L. Modulativa,(0 /∈ N), ni la L. Invertiva, (cuando a ∈ N, −a /∈ N.)Los “Enteros” con × no cumplen la L. Invertiva, (cuando a ≠ ±1 esun entero, a −1 no es entero.)En la Tabla #3, la operación ∗ cumplecon las leyes 1, · · · 6. El módulo es e.Los inversos son:e −1 = e, a −1 = b, b −1 = a.∗ e a be e a ba a b eb b e aTabla #3Universidad de Antioquia

10CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSLa operación ∗ definida en la Tabla ∗, verificalas “Leyes básicas 1 · · · 6.”Para esta operación el módulo es e.Inversos:e −1 = e a −1 = a.b −1 = b. c −1 = c.En cambio la Tabla ⋄verifica las Ls. clausurativa,uniforme, asociativa ymodulativa, (módulo (e)),pero no, las leyes conmutativae invertiva.Operaciones módulo n. (n un entero > 1)Universidad de Antioquia∗ e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a eTabla ∗⋄ e a b ce e a b ca a a a ab b b b bc c c c cTabla ⋄Son dos operaciones de la mayor importancia en Álgebra y Teoría deNúmeros. Veamos un ejemplo con n = 5.Definimos en el conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, }. una “suma ⊕ y una multiplicación⊗” así:Para x,y ∈ B,x ⊕ y = residuo r que queda después de dividir (x + y) por 5.x ⊗ y = residuo r que queda después de dividir (xy) por 5.Las Tablas # 4 y # 5 muestran sendos resultados.⊕ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3Tabla #4⊗ 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1Tabla #5Las dos operaciones ⊕ y ⊗ desplegadas en las tablas #4 y #5 cumplen todaslas leyes básicas del Álgebra y por tanto constituyen un campo algebraicocon 5 elementos a saber, 0, 1, 2, 3, 4.

1.2. EJERCICIOS 11No se incluye el 0 en la tabla #5 ya que éste no tiene inverso para el producto⊗. Sin embargo es posible re-incluirlo por medio del teorema,a ⊗ 0 = 0Ejemplos-: (Verificar cada ejemplo en las tablas #4 y #5.)• 4 ⊗ (5 ⊕ 2)} {{ }3= (4 ⊗ 5) ⊕ (4 ⊗ 2) = 3. Ley Distributiva.} {{ } } {{ }03• El opuesto de 2 es 3 y esto lo expresamos así: −2 = 3.(Note que 2 ⊕ 3 = 0; Ley Invertiva de ⊕).• El recíproco de 3 es 2 y esto lo expresamos así: 3 −1 = 2.(Note que 3 ⊗ 2 = 1; Ley Invertiva de ⊗).• 4 2 = 1, ya que 4 2 significa 4 ⊗ 4 = 1• 3 ⊗ (2 3 ) = 4, ya que 2 3 = 3.1.2. Ejercicios1. En la siguiente tabla I, verificar por inspección que ∗ es operaciónbinaria; verificar la ley asociativa al menos 2 veces; verificar la ley conmutativaal menos 2 veces; identificar, si existe, módulo; completar lasigualdades que se dejan indicadas.∗ x y z wx y w x zy w z y xz x y z ww z x w yTabla I.y ∗ z = ;x −1 =(z ∗ x) ∗ w = ;w −1 =z ∗ z = ;x 2 =x 2 ∗y −1 = ;y 3 ∗w 2 =(w ∗ x) ∗ (y ∗ x) =Universidad de Antioquia

12⊛ x a y b cx x a y b caybcTabla II.CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS2. Complete la Tabla II de manera quequede definida una operación binariacon módulo el elemento xy que además cumpla las Ls. algebraicas1· · · 6.Además que se cumplan los siguientesrequisitos:El inverso de a que sea c.El inverso de b que sea y.3. Completar la tabla III considerando la multiplicación, módulo 6. Resolver,por ensayo y error, la ecuación propuesta al lado de la tabla.¿Cuál es la única ley algebraica, (1 · · · 6), que esta operación no cumple?⊗ 0 1 2 3 4 50 0 01 0 1 2 3 4 52 43 04 45Tabla III5 ⊗ x 2 ⊕ 3 ⊗ x ⊕ 2 = 1.(⊕ = suma, módulo 6).4. La operación desplegada en la “singular” tabla IV, satisface las leyesbásicas del álgebra 1 · · · 6. Verifique, (parcialmente), esta afirmaciónefectuando algunos resultados.✠ 0 -1 1 20 0 -1 1 2-1 -1 0 2 11 1 2 0 -12 2 1 -1 0Tabla IV.5. Justifique la afirmación: “La operacióndefinida por medio de la tabla ❀no es conmutativa ni invertiva”.Encuentre una regla o fórmula paradicha operación.(-1 ✠ 1) ✠ 2=-1 ✠ (1 ✠ 2)=2 2 = , (es decir, 2 ✠ 2 = .)−1 3 = ; 1 6 =⋄ e a b ce e a b ca a a a ab b b b bc c c c cTabla ⋄Universidad de Antioquia

1.2. EJERCICIOS 136. En el conjunto de los enteros positivos, juntándole el 0, (Z + ∪ {0}),definimos una operación binaria en 3 pasos, así:[ ( ) ]a b = el menor de a y b − 1 , cuando a y b sean ≠ 0.a 0 = a0 b = bPor ejemplo:3 8 = 3-1 = 2.0 0 = 0.Preguntas y actividades:1 1 = 1-1 = 0.5 0 = 5.• ¿Existe módulo?. Justifique su respuesta.• Halle los inversos de los siguientes números: 0, 1, 5, 219.• ¿Para todo a ∈ (Z + ∪ {0}), existe inverso?• ¿Para a ≠ 0 : a a = ?.• Verifique que esta operación es conmutativa.• Realice las siguientes operaciones:¿1 2 = ?;¿51 50 = ?;¿11 (7 9) = ?;¿(11 7) 9 = ?;• A la vista del punto anterior, ¿esta operación es asociativa?ejemplos que corroboren su respuesta.¿(11 8) 5 = ?¿11 (8 5) = ?Dé otros7. En el conjunto de los enteros positivos juntándole el 0, (Z + ∪ {0}), sedefine la operación:a ♯ b = MCD(a,b).Realizar las siguientes operaciones:a ♯ 1 = ;a ♯(a + 1) = ;a ♯ p = (p primo, p ∤ a).70 ♯ 30 = ;a ♯ p = (p primo, p | a) ;a ♯ 0 = , (a ≠ 0).Universidad de Antioquia

14CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS1.3. Nociones de Lógica.Métodos de demostración.Términos y Enunciados:Son los elementos básicos de una “ Teoría Matemática”.Los términos matemáticos son los objetos que son motivo de estudio,tales como conjuntos, números, funciones, figuras geométricas yun grande etcétera.Representaremos los términos con letras y símbolos especiales.Ejemplos:El punto P, el conjunto A, la función f, la integral ∫ bf, son términosamatemáticos.Excepto en unos pocos casos, (que se mencionarán en la página siguiente),los términos entran a hacer parte de la teoría por medio dedefiniciones.Los enunciados corresponden a las propiedades y relaciones que ocurrenentre los términos; los denominamos con esta palabra porque empiezana tener ‘existencia matemática’ una vez que se enuncien.Ejemplos -:•Un enunciado de la Aritmética es:Todo número entero > 1 tiene algún divisor primo.•Un enunciado de la Geometría es:En todo triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales.Representaremos los enunciados con letras mayúsculas, en particular P,Q, R, S, T, etc. Existen diferentes tipos de enunciados: verdaderos,falsos, contradictorios, conjeturas e indecidibles pero sólo nosocuparemos de los tres primeros.Un enunciado sólo se considera verdadero, (también se dice “ TEORE-MA ”) cuando ha sido objeto de una prueba o demostración matemática,en cuyo caso pasa a ser parte de la teoría. Para indicar que un enunciadoes verdadero, utilizaremos la letra v.Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 15Para nuestros fines en este curso, una demostración consiste en una argumentaciónbasada en leyes lógicas muy precisas, leyes que aquí presentaremossin entrar en detalles mayores, que son propios de un cursode Lógica.Sin embargo agreguemos que la demostración de un enunciado utilizateoremas y definiciones que, en el momento de demostrarlo, estén haciendoparte de la teoría.TERMINOS PRIMITIVOS - AXIOMAS.La definición de los términos se hace recurriendo a términos anteriormentedefinidos. Sin embargo algunos términos básicos no se puedendefinir ya que son independientes entre si y no existen términos anterioresque los definan. La solución a este impase consiste en admitir, sindefinición, los primeros términos de la teoría a cambio de que sea dadala lista definida de ellos. Estos son los llamados términos primitivos.Los otros serán términos definidos.Ejemplos -: Conjunto y pertenecer son términos primitivos de laTeoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.Punto, recta y plano son términos primitivos de la Geometría Euclidiana.En cambio número primo es un término definido de la Aritmética.La demostración de los teoremas se hace recurriendo a teoremas quepreviamente hallan sido demostrados. Sin embargo los primeros teoremasno se pueden demostrar ya que son independientes entre si y noexisten teoremas anteriores que permitan llevar a cabo su demostración.La solución a este impase es que se admitan algunos teoremas sin serdemostrados a condición de que se expresen claramente y que se refierana propiedades de los términos primitivos. Estos enunciados admitidossin demostración se llaman los axiomas y cada rama de la Matemáticaempieza con una lista de ellos.Ejemplos -: Un axioma de la Teoría de conjuntos es el siguiente:Si los conjuntos A y B tienen los mismos elementos,entonces son conjuntos iguales.Universidad de Antioquia

16CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSUn axioma de la Geometría es el siguiente:Por dos puntos pasa una recta y sólo una.Veamos a continuación, y a la par con las operaciones básicas conenunciados, las leyes lógicas que se necesitan para elaborar demostracionesque reciban el reconocimiento de correctas.Operaciones con Enunciados(Negación - Disyunción - Conjunción - Implicación -Equivalencia.)La negación -: Es la operación que dá lugar a un enunciado que esel contrario de otro enunciado P. El resultado es el enunciado que denotaremosnoP. Como cuando decimos:La recta l no pasa por el puntoA. ,} {{ }noPenunciado que constituye la negación de:la recta l pasa por el puntoA.} {{ }P.Enunciado falso -: Es aquel cuyo contrario (o negación), es verdadero(es decir, teorema.) En otras palabras, el enunciado P es falso sólocuando noP es verdadero.Se indicará que un enunciado es falso por medio de la letra f.Recuerde -:Afirmar de (noP) que es un enunciado verdadero,es equivalente a afirmar que (P) es un enunciado falso.Enunciado contradictorio -: Es aquel que es verdadero y falso simultáneamente.Un enunciado contradictorio presenta la siguiente forma:(P y noP).Un principio lógico prohibe que una teoría matemática tenga enunciadoscontradictorios. Se llama Principio de no contradicción y quedaresumido en la siguiente Tabla #6.Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 17P noPv ff vTabla #6La Disyunción -: Es la operación que expresa la posibilidad de que seaverdadero al menos uno de entre dos o más enunciados, como cuandodecimos,(3 es primo) o (6 es par).Para fines teóricos representamos la disyunción de dos enunciados P, Q, enla forma(P o Q).Ésta es una operación binaria cuyo signo de operación es la palabra o. Dichaoperación se rige por el siguiente principio:Un enunciado (P o Q) es verdadero en todos los casosen que los enunciados P y Q no sean ambos falsos.En el caso de ser P y Q ambos falsos, (P o Q) también es falso.Este principio queda resumido en la Tabla #7.P Q PoQv v vv f vf v vf f fTabla #7.Note que una disyunción verdadera tiene verdadero al menos uno de susenunciados. También es suficiente que uno de sus enunciados sea verdadero,para que la disyunción sea verdadera.Universidad de Antioquia

18CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSEn la Tabla #7 se pueden verificar las dos primeras leyes lógicas, a saber:•Ley de adición con o:Siendo P un enunciado verdaderoy Q cualquier tipo de enunciado verdadero o falso,se obtiene otro enunciado también verdaderoque se expresa en la forma (P o Q) o en la forma (Q o P).Observe, por ejemplo, la segunda línea de la Tabla #7 donde Q es un enunciadofalso (f) pero como P es verdadero (v), el enunciado (P o Q) apareceverdadero (v).Ejemplo -: Al ser verdad que 5 > 3, también es verdad que(5 > 3) o (5=3).Nótese que 5 = 3 es falso. No obstante, la disjunción que se obtuvo, esverdadera, usualmente resumida en la forma 5 ≥ 3.Ejemplo -: A partir del enunciado verdadero (5 > 3) se obtiene verdaderoenunciado al ‘adicionar’ el también verdadero (4 < 5), resultado que se expresaasí:(5 > 3) o (4 < 5.)En adelante llamaremos premisa a todo enunciado que, en principio, setome como verdadero para obtener, mediante deducción lógica, otrosenunciados verdaderos.Utilizaremos esquemas de tipo “premisa(s) - conclusión(es)” para representaralgunas leyes lógicas.La Ley de adición con o se resume en el siguiente esquema:Conclusión 1:Conclusión 2:Premisa.PP o QQ o P• Ley de cancelación de los enunciados falsos en la Disjunción.En toda disjunción verdadera se pueden cancelar los enunciados falsos,y los enunciados que queden sin cancelar son verdaderos.Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 19Observe, por ejemplo, la segunda línea de la Tabla #7, donde Q esfalso (f) pero como (P o Q) es verdadero (v), P aparece verdadero (v),es decir, al cancelar el enunciado Q(f), el que queda, P, es verdadero.Situación similar se repite para la tercera línea, esta vez con P(f) yQ(v): se cancela P(f) y queda Q(v).Ejemplo -: Siendo claro que(5 < 3)o(5 > 4)es una afirmación verdadera, ‘cancelamos´ la parte falsa, (5 < 3), y laque queda, (5 > 4), es verdadera.Presentación esquemática de la L. de Cancelación:Premisas.1. P o Q2. noPConclusión: Q.Premisas.1. P o Q2. noQConclusión: P.La Conjunción -: Es la operación que expresa la simultaneidad de doso más enunciados, como cuando decimos,(3 es primo) y (6 es par).La conjunción de dos enunciados P, Q se representa en la forma(P y Q)Esta es también una operación binaria cuyo signo de operación es la palabray. Dicha operación se rige por el siguiente principio:Un enunciado (P y Q) sólo es verdaderoen el único caso en el que tanto P como Qson ambos verdaderos.En los demás casos (P y Q) es enunciado falso.Este principio queda resumido en la Tabla #8.Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 21La Implicación -: Es la operación binaria entre enunciados P, Q queestablece la disjunción entre la negación de P o la afirmación deQ como cuando decimos:Un entero a (no es múltiplo de 6) o (es divisible por 3). ⋆La implicación de dos enunciados P, Q se representa en la forma:P =⇒ Q.El enunciado P se llama antecedente y el enunciado Q, consecuente.Los enunciados que toman la forma de implicación, (P =⇒ Q), recibenlas siguientes lecturas:Si P entonces Q.P implica a Q.Q siempre que P.P es una condición suficiente para Q.Q es una condición necesaria para P.Por ejemplo, el enunciado señalado con ⋆ se representa por6 | a =⇒ 3 | ay se lee, entre otras maneras, así:Si un entero a es múltiplo de 6, entonces a es divisible por 3.(Un entero a es múltiplo de 6) implica que (a es divisible por 3).a es divisible por 3 siempre que lo sea por 6.Una condición suficiente para que un entero a sea divisible por 3, esque a sea múltiplo de 6.Una condición necesaria para que un entero a sea múltiplo de 6, esque a sea divisible por 3.Universidad de Antioquia

22CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSUna gran parte de los enunciados matemáticos están asociados a laforma de implicaciones, las cuales pueden estar, o no estar, presentesen forma explícita. En estas notas haremos explícita la implicación decada enunciado, esto por razones de orden práctico en el proceso dedemostración que nos ocupe. De hecho ya lo hemos puesto en prácticaa partir de la sección 1.1, (página 6), con motivo de las leyes básicasdel álgebra.Por ejemplo, el teorema: “ El producto de números impares dá comoresultado otro número impar ” está asociado a la implicación:(a y b son números impares) =⇒ (ab es impar.)RECÍPROCA y CONTRARRECÍPROCA.Asociadas a toda implicación se deben considerar otras dos implicacioneslas cuáles se indican en el siguiente esquema:P =⇒ Q ր Q =⇒ P −→ RECÍPROCAցnoQ =⇒ noPEjemplo -:Implicación inicial :−→ CONTRARRECÍPROCA.Si el entero a es múltiplo de 6, entonces a es divisible por 3.} {{ }P =⇒ QImplicación recíproca :Si el entero a es divisible por 3, entonces a es múltiplo de 6.} {{ }Q =⇒ PImplicación contrarrecíproca :Si el entero a no es divisible por 3, entonces a no es múltiplo de 6.} {{ }noQ =⇒ noP (v)(v)(f)Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 23NOTA :Como puede verse en el ejemplo anterior, el hecho de que la implicacióninicial sea verdadera, (es decir, teorema), no asegura que la recíproca seaverdadera pués en este caso es falsa, como se puede constatar por medio delsiguiente contraejemplo:15 es divisible por 3 (recuerde, 3 | 15) pero 15 no es múltiplo de 6, (6 ∤ 15).Sin embargo, la implicación inicial y su contrarrecíproca siempre serán ambasverdaderas o ambas falsas. (Ley del contrarrecíproco, página 31). En elejemplo considerado, ambas son verdaderas, lo cual demostraremos un pocomás adelante, (Ver páginas 26 y 31.)La implicación es como ya se dijo, una operación binaria cuyo signo de operaciónestá representado por dos palabras, ” Si · · · entonces ”. Dicha operaciónse rige por el siguiente principio -:El único caso en que un enunciado de la formaP =⇒ Q es falso,se dá cuando el antecedente, P, es verdaderoy el consecuente, Q, es falso.En los otros casos la implicación es verdadera.La Tabla #9 registra este principio:P Q P ⇒ Qv v vv f ff v vf f vTabla #9En la Tabla#9 se pueden verificar las siguientes dos nuevas leyes lógicas yel importante Método Directo para hacer demostraciones.• Ley del “Antecedente Falso”:Toda implicación con antecedente falso es verdadera, es decir, teorema.Universidad de Antioquia

24Ejemplos -:1.2.CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS(falso)(verdadero.){ }} { { }} {(6 es primo) =⇒ (6 es par)} {{ }(falso)(=⇒verdadera)(falso){ }} { { }} {(6 es primo) =⇒ (6 es impar)} {{ }(=⇒verdadera)• Ley del “Modus ponens”. Forma esquemática:De una implicación verdaderacon antecedenteverdadero, se puede concluirque el consecuente esverdadero.Premisas:1. P =⇒ Q2. PConclusión: Q.Esta importante ley es de uso continuo no sólo en el razonamiento matemático,sino en el uso del lenguaje corriente. Ella indica las condiciones (premisas)bajo las cuales se puede deducir (¿poner?) el consecuente de una implicación.• Método DirectoEs el procedimiento más utilizado para efectuar demostraciones matemáticas.Su explicación puede seguirse en las filas 1 y 2 de la Tabla #9.Consideremos que se quiere demostrar un enunciado de la formaP =⇒ Q.A continuación describimos el procedimiento.Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 25Partamos del supuesto (hipótesis) de que P es un enunciado verdadero, verfilas 1 y 2 de la Tabla #9. Allí se observan 2 opciones para Q. La 1 a filanos indica que Q puede llegar a ser enunciado verdadero, en cuyo caso laimplicación resultará verdadera. La 2 a fila nos indica que el enunciado Qpuede llegar a ser falso, en cuyo caso la implicación resultará falsa.Si una sucesión de deducciones (lógicas) intermedias nos llevan a la conclusiónfinal de que Q es verdadero, hemos llegado a buen puerto, pués la consecuenciainmediata es que P =⇒ Q es una implicación verdadera y elenunciado ha quedado demostrado.Cabe aquí preguntarse, ¿porqué no suponer inicialmente que P es falso?La respuesta es inmediata: Con antecedente falso toda implicación es (trivialmente)verdadera y no se tienen que hacer más razonamientos.Presentación esquemática del método directo:Hip. Deducc/s. Interm/s. Conclus/Final. Demostrado:P. P 1 , P 2 · · · · P n . Q. P =⇒ QEs bueno aclarar que no es el enunciado Q el que queda demostrado sinoel enunciado (P =⇒ Q). Hecha esta aclaración, cuando se realice unademostración por método directo, ésta se puede dar por terminada en elpunto en que se obtenga la conclusión final Q.En el siguiente teorema se tiene un modelo de aplicación del método directo.Teorema 1.3.1. El producto de números impares dá resultado impar.Demostración. Empezamos por expresar el enunciado en forma de implicación:(a,b enteros impares) =⇒ (ab es impar)Esto no es indispensable pero nos ayuda a entender mejor el procedimiento,que empieza así:Supongamos que a y b son impares, (hipótesis). Queremos demostrar que abtambién es impar, (tesis).Al ser a y b impares,Por ley uniforme,a = 2k + 1, con k ∈ Zb = 2h + 1, con h ∈ Zab = (2k + 1)(2h + 1)Universidad de Antioquia

26CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSPor ley distributiva,ab = 2k · 2h + 2k + 2h + 1Agrupando y sacando un factor común,ab = 2 (2kh + k + h) + 1 ⋆En este punto, llamemos 2kh + k + h = t, t ∈ Z, lo cual se justifica porla ley clausurativa.Reemplazando en ⋆, obtenemos finalmente,ab = 2t + 1lo cual significa que ab es impar y la demostración termina.Veamos otro ejemplo sencillo.Demostremos por el método directo la implicación mencionada en la página23:6 | a =⇒ 3 | aDm:- Supongamos que 6 | a. Por definición,a = 6k, k ∈ Z.Esta igualdad se puede re-escribir en la forma,a = 3(2k).Hagamos 2k = h, (L. clausurativa), luego,a = 3h, h ∈ Z.Esta última igualdad equivale (por definición) a 3 | a. La implicación quedademostrada. ✷La Equivalencia -: Esta operación binaria se reduce a una combinaciónde conjunción y dos implicaciones, pués se define como la conjunciónde una implicación y su recíproca, es decir,(P =⇒ Q) y (Q =⇒ P).El signo convenido para denotar la equivalencia es ⇐⇒. El enunciadoanterior se representa así:P ⇐⇒ QUniversidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 27Analizamos en la siguiente tabla, cuando es verdadero, y cuando falso,un enunciado en forma de equivalencia:(P =⇒ Q) y (Q =⇒ P) P ⇐⇒ Qv v v v vf f f f vv f f v ff v v f fCuando un enunciado de la forma P ⇐⇒ Q es verdadero, (ver filas1 y 2), se dice de los enunciados P, Q que son equivalentes.El enunciadoP ⇐⇒ Q recibe, entre otras, las siguientes lecturas:P si y solo si Q.P sii Q.P es condición suficiente y necesaria para Q.En resumen, vemos que dos enunciados son equivalentes cuando ambosson simultáneamente verdaderos, (1 a fila de la tabla anterior),o simultáneamente falsos, (2 a fila de la tabla anterior).Una conclusión válida es que todos los enunciados verdaderos son equivalentesentre si y también todos los falsos son equivalentes entre si.Demostrar que dos enunciados P, Q son equivalentes obliga a demostrardos implicaciones, (en cualquier orden):I) Demostrar P =⇒ Q.II) Demostrar la recíproca, Q =⇒ PEjercicio -: Completar la tabla anterior en las columnas que estánvacías.NOTA: Es importante tener en cuenta que en lógica matemática no existenenunciados iguales. El signo = pertenece a la teoría de conjuntos.Por lo demás, el signo ⇐⇒ hace las veces del signo = en el sentido de que dosenunciados equivalentes se reemplazan, a conveniencia, el uno por el otro.Lasiguiente ley justifica la anterior afirmación:Universidad de Antioquia

28CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS•MODUS PONENS EN EQUIVALENCIAS.Premisas1. P ⇐⇒ Q2. PConclusión: Q• LAS DEFINICIONES.Premisas1. P ⇐⇒ Q2. QConclusión: PEl papel que cumplen las definiciones es el de poner un nombre a cada términonuevo que se vaya presentando en una teoría. Una aplicación de la equivalenciaes el uso, explícito o implícito, que de ella se hace para presentar lasdefiniciones. En el preámbulo, (sección 0.2), ya habíamos adelantado algunasdefiniciones: número par, número impar, número primo, divisor-múltiplo,MCD(a,b), y primos relativos.Recordemos aquí que implicación y equivalencia son otros términos que yahemos definido, si bien de un modo informal, pero que ahora presentamosformalmente así:DEFINICIÓN.• (P =⇒ Q) ⇐⇒ ( (noP) o Q ).DEFINICIÓN.• (P ⇐⇒ Q) ⇐⇒ ( (P =⇒ Q) y (Q =⇒ P) ).Veamos a continuación un teorema que agrupa las principales propiedadesalgebraicas de las operaciones lógicas que hasta ahora hemos considerado.Teorema 1.3.2. (Equivalencias básicas.)1. ( (P =⇒ Q) y (Q =⇒ R) ) =⇒ (P =⇒ R) (Silogismo o transitividad de ⇒)((P ⇐⇒ Q) y (Q ⇐⇒ R))=⇒ (P ⇐⇒ R) (Transitividad de ⇔)2. (noR o R) (Ley del medio excluído).(Ley que también equivale a (R =⇒ R); ver def. de ⇒.)3. no(noR) ⇐⇒R (Ley de la doble negación).(negar 2 veces equivale a afirmar).Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 294. Diferentes maneras de negar enunciados:5. Leyes conmutativas:(R o S) ⇐⇒ (S o R)(R y S) ⇐⇒ (S y R)no(R o S)} {{ }negación indicadano(R y S)} {{ }negación indicadano(R =⇒ S)} {{ }negación indicada6. Leyes asociativas:((R o S) o T)⇐⇒(R o (S o T))((R y S) y T)⇐⇒(R y (S y T))7. Leyes distributivas:(R o (S y T))⇐⇒((R o S) y (R o T))(R y (S o T))⇐⇒((R y S) o (R y T))⇐⇒ ( (noR) y (noS) )} {{ }negación ejecutada⇐⇒ ( (noR) o (noS) )} {{ }negación ejecutada⇐⇒ ( R y (noS) )} {{ }negación ejecutada(R =⇒ (S =⇒ T))⇐⇒((R =⇒ S) =⇒ (R =⇒ T))Ejemplos-: Negar los siguientes enunciados.1. 6 es primo y 7 es par.negación: 6 no es primo o 7 no es par.2. 7 no es primo o 7 es par.negación: 7 es primo y 7 no es par.3. Si 7 es primo entonces es par.negación: 7 es primo y no es par.Universidad de Antioquia

30CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS4. 6 es primo y 7 no es primo o 7 es par.Enunciado ambiguo. No se puede responder por la falta de un paréntesis.Se puede corregir de dos maneras de acuerdo a la ubicación del ( ). Verlos dos ejercicios siguientes:5. (6 es primo y 7 no es primo) o 7 es par.negación: (6 no es primo o 7 si es primo) y 7 no es par.6. 6 es primo y (7 no es primo o 7 es par).negación: 6 no es primo o (7 si es primo y 7 no es par).7. Por los puntos A y B pasa una recta y pasan infinitos planos.negación: Por los puntos A y B no pasa una recta o no pasan infinitosplanos.8. (P y Q) =⇒ R.negación:9. P =⇒ (Q y R).negación:10. (P =⇒ Q) o (P =⇒ noQ).negación:(P y Q) y noR.P y (noQ o noR).(P y noQ) y (P y Q).11. Si 6 no es primo entonces es un número compuesto.negación: 6 no es primo y no es un número compuesto.12. Si un polígono es triángulo entonces no tiene diagonales.negación: Un polígono es triángulo y tiene diagonales.Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 31Teorema 1.3.3. Ley del contrarrecíprocoEn símbolos:Toda implicación y su contrarrecíproca, son equivalentes.(P =⇒ Q) ⇐⇒ (noQ =⇒ noP)Veamos una prueba esquemática de esta ley.Como se trata de una equivalencia debemos demostrarla en 2 partes, i.e.,I. (P =⇒ Q) =⇒ (noQ =⇒ noP)II. (noQ =⇒ noP) =⇒ (P =⇒ Q)Demostración. Veamos la prueba de I. Se deja para el lector la parte II.Método directo.P =⇒ Q(noP) o QQ o (noP)(no(no)Q) o (noP)noQ =⇒ noP(hipótesis.)(def. de =⇒).(L. conmutativa.)(L. doble negación.)(def. de =⇒).El anterior teorema justifica una afirmación que hicimos en la página 23,según la cual las implicaciones,Si el entero a es múltiplo de 6, entonces a es divisible por 3. .} {{ }P =⇒ QSi el entero a no es divisible por 3, entonces a no es múltiplo de 6. ,} {{ }noQ =⇒ noP (v)son ambas verdaderas, pués según se demostró en la página 26, la primera loes.(v)Universidad de Antioquia

32CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSEl método del contrarrecíprocoEs un método de demostración indirecto basado precisamente en la ley delcontrarrecíproco que acabamos de enunciar. Consiste en dejar de lado el enunciadoque tenemos por demostrar y fijar su contrarrecíproco para ponernosa la tarea de demostrarlo.Veamos, en el siguiente teorema, un ejemplo que nos sirve de modelo paracomprender el procedimiento.Nótese que el número 36 es un cuadrado perfecto par y que sus dos raícescuadradas, ±6, también son números pares. Este es un ejemplo al cual serefiere nuestro próximo teorema.Teorema 1.3.4. Todo entero, cuadrado perfecto, que sea par tiene raícescuadradas que también son números pares.Demostración. Para llevar a cabo la demostración, presentemos la implicaciónasociada.Sea a un entero.(a 2 par) =⇒ (a también es par ).Cambiamos esta implicación por la contrarrecíproca:(a no es par) =⇒ (a 2 no es par ).y demostremos ésta por método directo.Supongamos que a no es un entero par, (hipótesis). Queremos demostrar quea 2 tampoco es par.No siendo a par, entonces es impar y en consecuencia, a 2 = a · a es productode impares e invocando el teorema 1.3.1., concluímos que a 2 es impar, luegoa 2 no es par.Método de Disyunción de casosEste es un poderoso método auxiliar que debemos utilizar cuando en mediode un razonamiento se presentan dos o más opciones o posibilidades. Decimosentonces que se presentan 2, 3, o más casos. Veamos, en forma esquemática,el teorema para 2 casos en dos versiones, donde una es un caso particular dela otra.Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 33Teorema 1.3.5.Versión general.Premisas.1. P o Q2. P =⇒ R3. Q =⇒ SConclusión: (R o S)El método de Reducción al AbsurdoCaso particular.Premisas.1. P o Q2. P =⇒ R3. Q =⇒ RConclusión: RTambién llamado ‘el método de la contradicción’, está basado en el hechode que una teoría matemática no puede contener contradicciones (Principiode no contradicción - sec. 1.3, página 16).Describamos el método: Sea T el enunciado que se quiere demostrar. Admitamos,en principio, que T es falso lo cual equivale, (por definición), adecir que (noT) es verdadero y, por lo tanto, entra a hacer parte de la teoría.Aquí pueden ocurrir 2 posibilidades:I. Suele suceder que, tras una secuencia de pasos lógicos, T resulte haciendoparte de la teoría como enunciado verdadero; se sigue, por la ley desimultaneidad, que el enunciado(T y noT)es verdadero, pero ésta es una contradicción que la teoría no presentaba antesde la injerencia de (noT). Concluímos que (noT) es el causante del derrumbede la teoría y de inmediato lo descartamos como falso lo cual quiere decirque el contrario de (noT), o sea T, es verdadero. Nuestro enunciado ha sidodemostrado.!!II. Otra posibilidad que puede ocurrir consiste en que la presencia de (noT)como un teorema, conduce, después de una secuencia de pasos intermedios,a un resultado contradictorio de la formaR y (noR),donde R es un teorema antiguo (o reciente) de nuestra teoría. Igual que en Iconcluímos que (noT) es falso, lo que es equivalente a: T es un enunciadoverdadero. Nuestro enunciado ha sido demostrado. !!Veamos un hermoso y antiguo teorema (Euclides - siglo III adC.) que nosilustra el método de la contradicción.Universidad de Antioquia

34CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSTeorema 1.3.6. Aceptado que √ 2 es un número real, √ 2 es irracional.Puesto en forma de implicación, este teorema nos queda así:√ √2 ∈ R =⇒ 2 ∈ Q ′ .Demostración. Aceptado que √ 2 ∈ R y razonando por contradicción, supongamosque √ 2 es racional. Esto significa que√2 =a, donde a,b ∈ Z, b ≠ 0. ∗bRecordemos que todo racional se puede escribir en forma reducida, (Preámbulo,secc. 0.2); entonces, sin pérdida de generalidad, supongamos queMCD(a,b) = 1.Regresando a ∗, y después de multiplicar por b,Elevemos al cuadrado.Esto quiere decir que,y por tanto,b √ 2 = a.Universidad de Antioquia⋆(L. uniforme.)b 2 (2) = a 2 , (1) (L. uniforme).a 2 es par,a también es par, (teorema 1.3.4., página 32).En consecuencia podemos escribir,a = 2k, k ∈ ZDe donde a 2 = 4k 2 (L. uniforme.)Y reemplazando en (1) obtenemos,b 2 (2) = 4k 2 .

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 35Si cancelamos un factor 2, obtenemos,b 2 = 2k 2Y ahora podemos decir que b 2 es par y que por tanto,b también es par (otra vez, teorema 1.3.4).Finalmente concluímos que tanto a como b son números pares, luegoMCD(a,b) ≥ 2pués se conforma una contradicción con ⋆.El teorema ha quedado demostrado!Absurdo!El número real √ 2 tiene el “record”de ser el primer número del cual se supocon certeza que no era racional, es decir, que no se podía expresar en términosde dos enteros como a . En efecto, se dice que los “Pitagóricos”, (siglo IV adCb?.), lograron realizar la hazaña de demostrarlo.DEMOSTRACIONES VARIAS(A manera de modelos.)I−Veamos un ejercicio resuelto de 2 maneras, con las cuáles se ilustra elempleo de las leyes lógicas vistas.1.De las premisas dadas obtener la conclución propuesta.Premisas:1. p o (q y r)2. s o t3. s =⇒ no(p o q)Conclusión: t.SOLUCIÓN 1:4. (p o q) =⇒ no(s) Contrarrecíproco en 3.5. (p o q) y (p o r) L.Distributiva en 1.6. (p o q) L. de simplificación en 5.7. no(s) Modus ponens entre 4. y 6.8. t. Cancelación de la falsa en 2.II−Veamos otra solución del mismo ejercicio empleando el método de disyunciónde casos: Como la premisa 1. nos ofrece dos opciones, es oportunoentrar aquí en dicho método.En el primer caso se quiere obtener la implicación p =⇒ t.En el segundo, se quiere obtener la implicación (q y r) =⇒ t.Veamos ambos casos:Universidad de Antioquia

36Caso I4. p Hipótesis, (1 a opción).5. p o q Adición con o en 4.6. (p o q) =⇒ no(s) Contrarrecíproco en 3.7. no(s) Modus ponens entre 5. y 6.8. t Cancelación de la falsa en 2.9. p =⇒ t Método Directo entre 4. y 8.CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSSOLUCIÓN 2:Caso II4’. q y r Hipótesis, (2 a opción).5’. q Simplificación en 4’.6’. p o q Adición con o en 5’.7’. (p o q) =⇒ no(s) Contrarecíproco en 3.8’. no(s) Modus ponens entre 6’ y 7’.9’. t Cancelación de la falsa en 2.10’. (q y r) =⇒ t Método Directo entre 4’ y 9’.Finalmente, de 1., 9., y 10’., concluímos, por disyunción de casos, la verdadde t.III−Veamos una prueba clásica del teorema 0.2.4, enunciado en el preámbulode estas notas, (página 4), y debida a la matemática de la Grecia Antigua(Euclides, siglo III adC.), el cual asegura que, no existe un primo que seael mayor primo.La demostración se realiza por el método de reducción al absurdo y para ellose requiere utilizar en cierto momento el teorema llamado “Algoritmo de ladivisión”(teorema 0.2.1) y el corolario 0.2.3, (ver páginas 3 y 4):DEMOSTRACIÓN.Razonando por el absurdo, supongamos que hay un entero P que es el númeroprimo más grande que existe.Definamos un número N, así:dondeN = (p 1 p 2 p 3 · · · p k ) · P + 1 (1.)p 1 , p 2 , p 3 , · · · ,p k y P, ⋆son todos los primos posibles ya que primos más grandes que P, hemossupuesto que no hay. Según el corolario 0.2.3., N tiene un divisor primo,digamos q y por lo tanto,N = qA + 0, A ∈ Z (2.)Universidad de Antioquia

1.3. NOCIONES DE LÓGICA. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN. 37Este primo q tiene que ser alguno de los primos de la lista (⋆).Universidad de Antioquia❀ Pero q ≠ p 1 , ya que de ser q = p 1 , se tendría, por sustitución en (2.) yre-agrupando en (1.),N = p 1 A + 0.N = p 1 (p 2 p 3 · · · p k · P) + 1.y esto no puede ser posible pués está mostrando que la división entre N y p 1está dejando residuos distintos 0 y 1, y el “Algoritmo de la división”(teorema0.2.1) afirma que el residuo es sólo uno.El mismo procedimiento permite descartar las demás posibilidades: con q =p 2 ; q = p 3 ; · · · ; q = p k ; o q = P, se llega a la misma imposibilidad.Por ejemplo para q = P se tendrían las igualdades,N = P · A + 0.N = P · (p 1 p 2 p 3 · · · p k ) + 1.donde la división entre N y P está dejando nuevamente los residuos 0 y 1.Por tanto q no está en la lista ( ⋆ ) y esto es una contradicción con lo afirmadoen ❀ , contradicción que proviene de haber supuesto que P era elmayor entre los “primos”. Concluímos que P no es el mayor primo y que portanto no existe un mayor primo. El teorema queda demostrado. ✷IV−Veamos una prueba de las llamadas “Leyes cancelativas”, propiedad quese cumple en todo conjunto que tenga dos operaciones binarias que cumplantodas las leyes del álgebra, (sección 1.3, página 6), como es el caso de lasuma y la multiplicación en los racionales, los reales y los complejos.Como es lo usual, representemos las dos operaciones por + y ·TEOREMA:- (i) a + c = b + c =⇒ a = b.(ii) (a · c = b · c y c ≠ 0) =⇒ a = b.DEMOSTRACIÓN:- (método directo)Parte (i). Supongamosa + c = b + c.

38CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSEn esta igualdad apliquemos en secuencia, diferentes leyes algebraicas, empezandopor sumar el opuesto de c :(a + c) + (−c) = (b + c) + (−c) L.UNIFORME.a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)) L.ASOCIATIVA.a + 0 = b + 0L.INVERTIVA(+).a = b.L. MODULATIVA(+).Queda demostrada la primera parte del enunciado. ✷Parte(ii).Supongamosa · c = b · c y c ≠ 0.Apliquemos nuevamente algunas leyes del álgebra.Como c ≠ 0, existe su inverso c −1 . Empecemos multiplicando por c −1 :(a · c) · c −1 = (b · c) · c −1 L. UNIFORME.a · (c · c −1 ) = b · (c · c −1 ) L.ASOCIATIVA.a · 1 = b · 1L.INVERTIVA.a = b.L.MODULATIVA.Queda demostrada la segunda parte del enunciado. ✷1.4. Ejercicios1. Negar los siguientes enunciados:b.) ((T y R) y S;c.) (R y R); d.) R y (noQ);e.) (noR) o (noT);f.) (noR o T) y Q;g.) ((R y S) o T);h.) (R y (S o T));i.) (R y noT) y S;j.) (noR) o (T y Q);k.) ((T y R) y S).a.) (noR) o Q; Resp. : R y (noQ).l.) P =⇒ (R y T);m.) (P =⇒ R) y T;n.) (P =⇒ Q) y (Q =⇒ P);o.) (R y S) =⇒ (T o R);p.) (noR) y (T o S);q.) (M o L) y H;r.) P =⇒ (Q =⇒ T);s.) (P =⇒ Q) =⇒ T);t.) ((noP) =⇒ (noT)).Universidad de Antioquia

1.4. EJERCICIOS 392. Negar los siguientes enunciados:a.)b.)c.)x es racional y z no es entero.3 es par y 7 es primo.3 es impar o 7 no es primo.Resp. : x no es racional o z es entero.d.) (3 es impar y 7 es primo) o 6 espar.e.) x no es racional o z no es entero.3. Dar el recíproco, el contrarrecíproco y la negación de las siguientesimplicaciones:a.) Si un entero es mayor que 1, entonces tiene un divisor primo.Respuesta :• Recíproco. ❀que 1.• Contrarrecíproco. ❀• Negación. ❀Si un entero tiene un divisor primo, entonces es mayorSi un entero no tiene un divisor primo, entoncesno es mayor que 1.Un entero es mayor que 1 y no tiene un divisor primo.b.) Si a es impar, entonces c·a es impar.c.) Si el cuadrado de un entero es par, entonces dicho entero tambiénes par.d.) Si un triángulo está inscrito en media circunferencia, entonces tieneun ángulo recto.e.) Si un entero es número compuesto, entonces tiene 2 o más factoresprimos.f.) Si x ∈ (A ∪ B), entonces (x ∈ A) o (x ∈ B).g.) Si (x,w) ∈ A × B, entonces (x ∈ A) y (w ∈ B).h.) Si un numero real es 0 o es negativo, entonces no tiene logaritmo.i.) Si una matriz es cuadrada y su determinante es cero, entonces notiene inversa.j.) Si una función es continua y uno a uno, entonces es monótona.k.) Si a | b y b | c, entonces a | c.l.) Si p es primo o divisor de 10, entonces p|20.m.) Si un triángulo es isósceles, entonces tiene dos ángulos iguales.Universidad de Antioquia

40CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS4. Suponga que P es un enunciado falso y descubra cuáles de los siguientesenunciados son verdaderos, cuáles falsos y de cuáles no se puede decirnada:P y Q; R o P; R y noP; S o noP; R =⇒ P;P =⇒ Q; noP =⇒ (P o S); P =⇒ (P y S); noP =⇒ P;S =⇒ noP; (P o Q) o R; noP o (P y R); R =⇒ (S =⇒ P);noP =⇒ (P =⇒ R); (P y S) =⇒ (Q y noR).5. En el ejercicio anterior, descubra como son los enunciados propuestos,(verdaderos, falsos o imposible decidir), en el supuesto de que P seaverdadero y Q y R falsos.6. En i) a xiii) se dá una lista de premisas y se pide obtener la conclusiónpropuesta empleando leyes lógicas apropiadas.i) Premisas:1. no(r =⇒ q)Conclusión: no(q)iv) Premisas:1. (r y q) =⇒ no(s)2. sConclusión: (no(r) o no(q))vi) Premisas:1. p =⇒ no(q)2. (no(q)) =⇒ hii) Premisas:1. no(r) =⇒ q2. no(q)Conclusión: (no(h))=⇒ (no(p))viii) Premisas:1.(r y q) =⇒ no(s)2. s3. qConclusión: no(r).Conclusión:(r o t.)iii) Premisas:1. no(r =⇒ q)2. no(r)Conclusión: Sistemacontradictorio.v) Premisas:1. (no(r) y p) =⇒ (r o q)2. no(p =⇒ r)Conclusión: (r o q).vii) Premisas:1. no(r) o t2. rConclusión: t.ix) Premisas:1. p o (q y r)2. s o t3. s =⇒ no(p o q)Conclusión: t.Universidad de Antioquia

1.4. EJERCICIOS 41x) Premisas:1. p =⇒ s2. q =⇒ r3. (s y r) =⇒ k4. p y qConclusión: k.xii) Premisa:1. no (q)Conclusión 1 : q =⇒ p.Conclusión 2 : r =⇒ no(q).xi) Premisas:1. no(p o no(r))2. q o p3. r =⇒ s4.(q y s) =⇒ (t y s)Conclusión: t.xiii) Premisas:1. p y q2. no(r) =⇒ (no(p) o no(q))Conclusión: (r.)7. Completar la tabla de la equivalencia, (página 27.).8. Escribir el enunciado (P o Q) en forma de =⇒. Resp.: (noP =⇒ Q).9. Demostrar la parte II., (teorema, página 31), de la L. del contra rrecíproco:(noQ =⇒ noP) =⇒ (P =⇒ Q).(Sugerencia: Utilizar la parte I del teorema y la L. de la doble negación.)Nota: En los ejercicios que siguen las letras que representan números,se refieren a números enteros.En 11 a 16, completar cada enunciado y demostrarlo.10. Si se suman dos números pares, el resultado es · · ·Escriba el enunciado como implicación:(a y b son números pares) =⇒ (a + b) · · ·11. Si se suman dos números impares, el resultado es · · ·12. Si se suman tres números impares, el resultado es · · ·13. Si se suman n números impares el resultado es par o impar, dependiendode n; ¿cómo es el resultado si n es par?. ¿Y si n es impar?.14. Si se suma un número par con uno impar, el resultado es · · ·Universidad de Antioquia

42CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS15. Si a es par, b, y c impares, a − (b + c) es · · ·De los siguientes enunciados, 17 a 31, señale con F, (y justifique), losque son falsos y redacte una demostración de los que son ciertos:16. Si todos los múltiplos de un entero a son pares, entonces a también espar. (v.)Sugerencia: (k ∈ Z y ka es par) =⇒ a es par.17. Si (a + b) es par, entonces a es par o b es par.18. Si (a + b) es impar, entonces a es impar o b es impar.19. Si ab es par, entonces a es par o b es par.20. El producto de tres enteros consecutivos siempre es un número par.Sugerencia: (k) y (k+1) representan dos enteros consecutivos. Represente3 enteros consecutivos.21. El producto de tres enteros consecutivos siempre es múltiplo de 4.22. Todo número par es múltiplo de 2 o de 4. (v.)Para facilitar la comprensión de la demostración puede ser convenienteescribir la implicación asociada al enunciado, es decir,(a es número par ) =⇒ (a es múltiplo de 2 o de 4).Demostración: (Por método directo, atendiendo a la implicación propuesta.)Sea a un número par, entonces a es de la forma 2k, k ∈ Z y esto quiere decirque a es múltiplo de 2.Por la ley de “adición con o” concluímos que a es múltiplo de 2 o de 4.La demostración ha terminado.23. Todo número par es múltiplo de 4 o de 5.24. Todo número impar es múltiplo de 3 o de 5.✷25. Todo número impar es de una de las formas (4k +1) o (4k +3.) (Verdadero.Utilizar el Algoritmo de la división. Considere un entero arbitrarion como dividendo siendo 4 el divisor.(Son 4 casos porque son 4los posibles residuos: 0, 1, 2, 3.)Universidad de Antioquia

1.4. EJERCICIOS 4326. Todo entero de las formas (4k + 1) o (4k + 3), es impar.27. Si 5 divide a (m + n), entonces 5 divide a m o 5 divide a n.28. Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m o 5 divide a n.29. Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m y 5 divide a n.30. Si a | b, entonces a | bc cualquiera que sea el entero c.31. Demostrar: si un número entero es divisible por 2 y por 3, entoncestambién es divisible por 6. (v.)Sugerencia: Según el Algoritmo de la división, (teorema 0.2.1., página3), todo entero n es de la forma 6k +r donde r puede ser cualquiera delos números 0, 1, 2, 3, 4, o 5. Descomponga a n en las formas 2 (3k)+ry 3 (2k) + r. Terminar descartando todos los r ≠ 0.Demostrar los siguientes enunciados, 33 a 45, por el método directo.32. Si 3 | a y 5 | b, entonces 15 | ab.33. Si a,b,c son impares, entonces a(b − c) es par.34. Demostrar que todo número impar se puede escribir en la forma 2k −7donde k es un entero.35. El producto de tres números pares es múltiplo de 8.36. Si m + n = m + k entonces n = k.37. Si am = an, con a ≠ 0, entonces m = n.38. Si a | b y b | c entonces a | c.39. Si a | (b − c) y a | c demostrar que a | b40. Dos enteros consecutivos siempre serán primos relativos.41. Si 3 es un divisor de 5c, demostrar que 3 | c42. Si d | bc y MCD(d,c) = 1, entonces d | b. Sugerencia: El 1 es combinaciónlineal de c y d ❀ 1 = xc + yd, con x, y ∈ Z.y tenga en cuenta la hipótesis: d | bc. Termine.(Ver teorema I, página 4). Ahora multiplique por bUniversidad de Antioquia

44CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS43. Si el cuadrado de un entero es par, el entero también es par.44. Si el cuadrado de un entero es impar, el entero también es impar.Demostrar los siguientes enunciados, 46 a 52 , por el método de “Reducciónal absurdo”:45. Si un entero es divisible por 6, entonces es divisible por 2 y por 3.(recíproco del ejercicio 31.)46. Si 3 divide a un cuadrado perfecto, entonces 3 también divide a su raizcuadrada.47. √ 3 es irracional. [Sugerencia: Utilice el anterior ejercicio.]48. √ 6 es irracional.49. ( √ 3 − √ 2) es irracional.50. El número de enteros pares es infinito.51. El número de primos es infinito.Universidad de Antioquia

1.5. DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN. 451.5. Demostraciones por Inducción.El método de inducción se emplea para demostrar enunciados que se refierena un conjunto infinito de números enteros. Nosotros lo restringiremos a losenteros positivos, Z + .Se puede describir de la siguiente manera:Si un conjunto A de números tiene entre sus elementos al 1 y si cada vez queen A esté el entero positivo k, se puede asegurar que también está el siguiente,(k + 1), podemos fácilmente concluir que A contiene a Z. La conclusión esfácil si partimos de un conjunto A que satisfaga ambas condiciones, pués alestar el 1 en A, tiene que estar el siguiente o sea el 2. De la misma manera,como el 2 está en A tiene que estar el siguiente o sea el 3; como está el 3,también está el 4 y siguiendo de la misma manera se concluye que en Aestán el 5, el 6, y así se puede continuar indefinidamente, llegándose a laconclusión de que en A está cualquier entero positivo por grande que sea,i.e., Z está contenido en A.El método de demostración por inducción está basado en las dos condicionesdescritas en el párrafo anterior y lo podemos expresar de la siguiente manera:Si en un conjunto A se verifican las dos condiciones siguientes:• 1 ∈ A.• k ∈ A =⇒ (k + 1) ∈ A,entonces se puede asegurar que el conjunto A es Z + o contiene a Z + . Laprimera de estas condiciones se llama base para la inducción; y la segundase llama paso de inducción.Veamos como se utiliza este principio para demostrar enunciados (propiedades)que se refieren a números enteros.Sea P una propiedad que tiene que ver con números enteros. Para demostrarpor el método de inducción que esta propiedad P la cumplen, digamos, todoslos enteros positivos nos aseguramos de que se verifique para el 1. Este hecholo representamos por P(1).Enseguida nos ocupamos de demostrar la implicación,cuyo significado es el siguiente:P(k) =⇒ P(k + 1)Universidad de Antioquia

46CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSSi la propiedad se verifica para un entero positivo k, (esto queda representadopor P(k)), entonces también se verifica para el siguiente (k+1), (lo cual quedarepresentado por P(k + 1)).Para demostrar esta implicación, se puede emplear cualquiera de los métodosde demostración, en particular el método directo, empezando por suponerque el enunciado P se cumple para el entero k. Este supuesto es llamado“hipótesis de inducción”. El propósito que sigue es deducir que la propiedadP se cumple para el entero (k + 1) y una vez logrado este propósito, quedademostrada la propiedad para todos los enteros positivos.Veamos tres ejemplos:Ejemplo 1. (Suma de cuadrados consecutivos.)Demostrar que la suma de n cuadrados consecutivos está dada por la fórmula,n(n + 1)(2n + 1)6siendo n ≥ 1; así por ejemplo:Para n = 3, el resultado esEn efecto,3 × 4 × 7= 14.61 + 2 2 + 3 2 = 14Para n = 4 verifique la fórmula ⋆ con el resultado de la suma: (1+2 2 +3 2 +4 2 = 30).Pasemos a la demostración:- Sea P el enunciado propuesto en ⋆.Verificar el primer punto de la inducción, P(k = 1), es trivial ya que lasuma tiene solamente el primer sumando, lo cual conduce al resultado cierto:1 2 = 1×2×36El segundo punto de la inducción, llamado el paso de k a (k +1), consiste endemostrar la implicaciónP(k) =⇒ P(k + 1).Empleando el método directo, supongamos cierto P(k = n), es decir,1 2 +2 2 +3 2 +· · · +n 2 =n(n + 1)(2n + 1)6Universidad de Antioquia∗⋆(hipótesis de inducción.).

1.5. DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN. 47Queremos, a partir de ∗, obtener P(k = n + 1), es decir:1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2 + (n + 1) 2 =(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)6=(n + 1)(n + 2)(2n + 3)6̌ (tesis).En la igualdad marcada con un ∗, (hipótesis de inducción), sumemos (n+1) 2obteniendo así:[ n(n + 1)(2n + 1)](1 2 +2 2 +3 2 +· · · +n 2 ) + (n+1) 2 =+ (n+1) 2 ; (L. UNIFORME).6Para simplificar el segundo miembro de esta igualdad podemos empezar porfactorizar el término (n + 1):n(n + 1)(2n + 1)[ n(2n + 1)]+ (n + 1) 2 = (n + 1) + (n + 1)66Reduciendo a común denominador y simplificando, se tiene[ 2n 2 + 7n + 6]= (n + 1)6Finalmente, la factorización del trinomio de 2do. grado nos produce el resultadofinal ̌ que no es otro que(n + 1)(n + 2)(2n + 3). ✷6Tal vez más interesante que hacer la demostración de una propiedad P, seaconstruirla o descubrirla. Una vez obtenida, proceder a su demostración (porinducción), puede decirse que es un proceso de rutina.Ejemplo 2: (Suma de enteros consecutivos)Tratemos de descubrir una ley para las sumas siguientes:1 = 1.1+2 = 3.1 + 2 +3 = 6.1 + 2 + 3 + 4 = 10.1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15..1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · + n = ?.La última línea nos lleva a una famosa regla que nos permite calcular fácilmenteuna suma de ese estilo.Universidad de Antioquia

48CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSPara descubrir esa regla podemos observar y analizar los primeros resultadosde las sumas, 1, 3, 6, 10, 15, ¿cuál seguirá? La idea es obtener una fórmulaen términos de n que nos produzca el resultado para cualquier entero n, porejemplo, ¿cúal será el resultado de sumar los primeros 100 números.?Puede que sea más fácil observar primero los duplicados de estas sumas,digamos,2, 6, 12, 20, 30. ⋆Si se descubre la fórmula que reproduce esta última lista, basta dividir por 2para obtener la anterior, 1, 3, 6, 10, 15 y a partir de allí conseguir el resultadodeseado.En la sección de ejercicios, (ejercicio 1 página 49), el estudiante podrá encontrarel resultado, propuesto como ejercicio. La razón de este aplazamiento esdar la oportunidad de que el lector descubra su propio resultado. (Sugerencia:Descomponga los números en ⋆ como productos de dos números y observelos factores.)Ejemplo 3:Demostrar la 1 a ley de los exponentes:número real y m, n enteros positivos .a m a n = a m+n , siendo a cualquierSe puede hacer el procedimiento de inducción sobre uno cualquiera de los dosexponentes, n o m; en este caso, sobre n, dejando a m fijo.Es necesario hacer primero una definición.Definición: Para n entero positivo y para todo real x,x 1 = xx n x = x n+1 .Pasemos ahora a la demostración utilizando el método de inducción:(Base) - Para n = 1,a m a 1 = a m a = a m+1(Paso de inducción.) - Supongamos quea m a n = a m+n .Por la anterior definición.(hipótesis de inducción.)Queremos deducir que el enunciado se cumple para (n + 1), i.e.a m a n+1 = a m+(n+1) .(tesis)Universidad de Antioquia

1.6. EJERCICIOS PARA DEMOSTRAR POR EL MÉTODO DE INDUCCIÓN.49Empezamos (y terminamos) de la siguiente manera:a m a n+1 = a m (a n a).Queda demostrado el enunciado.Por la anterior definición.= (a m a n )a. Por ley asociativa.= a m+n a. Por hipótesis de inducción.= a (m+n)+1 . Por definición.= a m+(n+1) . Por ley asociativa.✷1.6. Ejercicios para demostrar por el métodode inducción.El primer ejercicio se refiere al ejemplo 2, (página 47, suma de enteros consecutivos),que se dejó aplazado para que el lector tuviera un espacio parapensarlo.1. Para n entero positivo,2. Suma de impares.1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)2Como en el ejemplo 2, página 47, trate de hallar, en términos de n =número de sumandos, un resultado para las sumas del siguiente estilo:1 = 1.1 + 3 = 4.1 + 3 + 5 = 9..1 + 3+ 5 + 7 + · · · + (2n − 1) =?.Y cuando lo encuentre, demuéstrelo, (por inducción).Universidad de Antioquia

503. Suma de cubos consecutivos.4.Para n entero positivo,CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS[ n(n + 1)1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · =211 × 2 + 12 × 3 + 13 × 4 + · · · 1n × (n + 1) =5. Para n entero positivo y para reales x, y, y ≠ x,x n − y n es divisible por x − yUniversidad de Antioquia] 2nn + 16. Suma de n términos de una progresión geométrica. ❀ (P.G.)Para r un número real ≠ 1,7. 2 a ley de los exponentes:1 + r + r 2 + r 3 · · · + r n−1 = rn − 1r − 1Para m y n enteros positivos y x número real,(x m ) n = x mn(Como en el ejemplo 3 de la página 48, basta hacer la inducción sobreuno de los exponentes.)8. Demostrar que la suma de un número impar de enteros impares, dá unresultado impar. (Mire por ejemplo, 7 + 15 + 3 = 25.)Sugerencia: Demuestre la igualdad,a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a 2k−1 = 2t + 1,donde k ∈ Z + , t ∈ Z y los a i son enteros impares. La inducción sehace sobre k.

1.7. CUANTIFICADORES 519. Demostrar que la suma de un número par de enteros impares , dá unresultado par. Por ejemplo: 7 + 3 + 15 + 3 = 28.Sugerencia: Como en el ejercicio anterior, la inducción se hace sobreel entero k en la igualdad,donde los a i son enteros impares.a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a 2k = 2t,10. Demostrar que 2 es un factor de n 2 + n.(Esto es, demostrar que 2 | (n 2 + n).)11. Demostrar que 3 es un factor de n 3 − n + 3.(Esto es, demostrar que 3 | (n 3 − n + 3).)12. Suma de n términos de una P.A. (Progresión Aritmética.)a + (a + d) + (a + 2d) + · · · + [a + (n − 1)d] =13. 1 3 + 3 3 + 5 3 + · · · + (2n − 1) 3 = n 2 (2n 2 − 1)14.11×3 + 13×5 + 15×7 + ... + 1(2n−1)(2n+1) =15. (1 + 3 1 )(1 + 5 4 )(1 + 7 9 ) · · · ( ) = (?)n . 2n+1n[2a + (n − 1)d].2Encontrar el término de lugar n, (espacio en blanco), proponer el posible resultado,(?), en términos de n y hacer la demostración por inducción.1.7. Cuantificadores(Universal, Existencial, de Unicidad, de Existencia Única.)Son palabras o expresiones que se refieren a la cantidad de objetos (matemáticos)o elementos de un cierto conjunto, que verifican una propiedad.Ya hemos mencionado en lugares anteriores de estas notas, enunciados concuantificadores, apelando al sentido común del lector. En lo que sigue haremosuna presentación donde se enuncian las principales características yUniversidad de Antioquia

52CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOStécnicas para el manejo de estas expresiones pero sin entrar a demostrarlasya que ello no está contemplado en estas notas.A.) - Un enunciado está afectado por un cuantificador Universal cuandoen él aparecen expresiones como todos, cada uno u otras que tengan esemismo significado, como cuando decimos,“Todo número real elevado al cuadrado dá resultado positivo”.“Cada uno de los números primos ≠ 2, es impar”.“Para cada real x, x + 0 = x.”“Para x, y, reales arbitrarios, x + y = y + x”.B.) - Un enunciado está afectado por un cuantificador Existencial cuandoen él aparecen expresiones como alguno, por lo menos un, hay un, existepor lo menos un (término) tal que u otras que explícita o implícitamentetengan este mismo significado, como cuando decimos,“ Existe por lo menos un número primo que es par.”“Hay triángulos con sus 3 lados iguales”.“Para algún x ∈ R, x 2 − 1 = 0.”“Por dos puntos pasa por lo menos una recta”.“Un entero es par si es de la forma 2k, siendo k un entero”.(En otros términos, a ∈ Z es par si existe k ∈ Z tal que a = 2k.)(Está implícito el cuantificador existencial en la frase, “es de la forma”).C.) - Un enunciado está afectado por un cuantificador de Unicidad cuandoen él aparece una expresión al estilo de A lo sumo hay un, cuando máshay un, no pueden haber 2 u otras expresiones que puedan tener estemismo significado, como cuando decimos,“En un conjunto A en el cual esté definida una operación binaria modulativa,a lo sumo hay un elemento neutro.”“Entre 24 y 28 hay, cuando más, un primo.”“Entre 24 y 30 no hay dos primos.”D.) - Un enunciado está afectado por un cuantificador de Existencia Únicacuando en él aparecen expresiones al estilo de Uno y sólo uno, únicamenteuno, exactamente uno, como cuando decimos,“Por un punto exterior a una recta dada pasa una y solo una recta paralelaa la recta dada.”“Al dividir entre si dos números enteros, el cociente y el residuo son únicos.Universidad de Antioquia

1.7. CUANTIFICADORES 53“Para cada número real ≠ 0 existe exactamente un inverso multiplicativo.”LEYES DE LOS CUANTIFICADORES.Sólamente para efectos de enunciar las leyes de los cuantificadores y algunasexpresiones de tipo teórico, utilizaremos las siguientes abreviaturas:P(x) significa un enunciado o propiedad matemática referida a untérmino x. Similarmente, P(x,y,u, · · · ,z.) representa un enunciado quese refiere a dos o más términos, representados por las letras x,y,u,...z.Para el c. UniversalPara el c. ExistencialP(x).”Para el c. de Unicidadun x tal que P(x).Para el c. de Existencia Únicaúnico x tal que P(x).↦→ (∀x)P(x), que significa “para todo x,P(x).”↦→ (∃x)P(x), que significa “existe un x tal que↦→ (∃¡ x)P(x), que significa “existe a lo sumo↦→ (∃ ! x)P(x), que significa “existe unAlgunas observaciones relacionadas con los cuantificadores:• En las abreviaturas anteriores se debe tener en cuenta que el cuantificadorva acompañado de una letra que sólo puede ser una variable o sea un términosin especificar y no una constante que representa un término específico.• Se acostumbra abreviar expresiones cuantificadas doblemente con cuantificadoresdel mismo tipo, como (∀x)(∀y)P(x,y) en la forma (∀x,y)P(x,y).De la misma manera se procede con los demás cuantificadores y cuando elnúmero de variables sea 3 o más.• Un enunciado puede contener el número y variedad de cuantificadores quesean necesarios. El siguiente enunciado tiene 3 cuantificadores:Para todo ε > 0 existe δ > 0 talque para todo real x,donde a es un número fijo.|x − a| < δ =⇒ |f(x) − f(a)| < ε,Universidad de Antioquia

54CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS• Cuando un enunciado presenta una variable no cuantificada, se asume queestá afectada por el cuantificador ∀. Por ejemplo, en el enunciado,(a n ) m = a nm ,(donde a ∈ R + y m,n ∈ Z + ), se sobrentiende que las letras a,m,n estánafectadas, cada una, por un c. universal.En el siguiente teorema utilizamos el símbolo (T |x)P para indicar la operaciónque consiste en reemplazar en el enunciado P, la letra x por un términoespecífico T. Por ejemplo, si P es “x ∈ R” y T es √ 2, en tonces (T |x)P es√2 ∈ R.Teorema 1.7.1. (i.) (T |x)P(x) =⇒ (∃x)P(x).(es decir, con un solo objeto que cumpla la propiedad P, se puede afirmar: “existen objetosque cumplen la propiedad P”.(ii.) (∀x)P(x) =⇒ (T |x)P(x).(es decir, de lo general se sigue lo particular. Recíproco falso.)(iii.) (∀x)P(x) =⇒ (∃x)P(x).(Silogismo entre (ii.) y (i.)).Teorema 1.7.2 (Negación de enunciados cuantificados).(i.)no((∀x)P(x))} {{ }negación indicada⇐⇒ (∃x)(no(P(x))).} {{ }negación efectuadaLa negación se efectúa cambiando el cuantificador Universal por cuantificadorExistencial y negando el enunciado P.(ii.)no((∃x)P(x))} {{ }negación indicada⇐⇒ (∀x)(no(P(x))).} {{ }negación efectuadaLa negación se efectúa cambiando el c. Existencial por c. Universal y negandoel enunciado P.Ejemplos:Negar los siguientes enunciados:1.-(∀x)(∃y)P(x,y) Respuesta: (∃x)(∀y)noP(x,y).2.-(∃x)(∀y)P(x,y) Respuesta: (∀x)(∃y)noP(x,y).Universidad de Antioquia

1.7. CUANTIFICADORES 553.-(∀a)(R(a) =⇒ S(a)) Respuesta: (∃a) (R(a) y noS(a).)4.-(∃b)(P(b) y S(b)) Respuesta: (∀b) (noP(b) o noS(b).)5.-(∃w)R(w) o (∀z)Q(z) Respuesta: ((∀w)noR(w)) y ((∃z)noQ(z).)6.-(∀x)P(x) =⇒ (∃y)Q(y) Respuesta: ((∀x)P(x)) y ((∀y)noQ(y).)7.-Existen rombos que no tienen los lados iguales.Respuesta: Todos los rombos tienen los lados iguales.8.-Todo entero es primo y todo primo es impar.Respuesta: Hay enteros que no son primos o hay primos que no son impares.9.-Si algún entero es impar, entonces es primo.Respuesta: Algún entero es impar y no es primo.10.-Todo múltiplo de 3 también es múltiplo de 6.Respuesta: Hay al menos un múltiplo de 3 que no es múltiplo de 6.En los enunciados que siguen haremos una simplificación de la notación(cuantificador-letra) P(letra) , suprimiendo la letra que acompaña a laP. Por ejemplo (∀x)P(x) se verá simplificada como (∀x)P.Teorema 1.7.3 (Reglas de empleo de los cuantificadores).(1.) LEYES DISTRIBUTIVAS :a) (∀x)(R =⇒ S) =⇒ ((∀x)R =⇒ (∀x)S).b) (∃x)(R =⇒ S) =⇒ ((∃x)R =⇒ (∃x)S).c) (∃x)(R o S) ⇐⇒ ((∃x)R o (∃x)S).d) (∀x)(R y S) ⇐⇒ ((∀x)R y (∀x)S).e) ((∃x)(R y S) =⇒ ((∃x)R y (∃x)S).f) ((∀x)R o (∀x)S) =⇒ (∀x)(R o S).Universidad de Antioquia

56CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS(2.) LEYES CONMUTATIVAS :g) (∀x)(∀y)R ⇐⇒ (∀y)(∀x)R.h) (∃x)(∃y)R ⇐⇒ (∃y)(∃x)R.i) (∃x)(∀y)R =⇒ (∀y)(∃x)R.j) El recíproco de (i) es falso.Veamos un ejemplo relacionado con (i) y (j). Mientras que el enunciado,“para todo entero n > 1, existe un primo que divide a n (cor.0.2.3.) es verdadero, el enunciado que cambia la posición de los cuantificadores,“existe un primo que divide a todos los enteros mayoresque 1, es falso. Este ejemplo será analizado más adelante. (Ver solución aejercicio 19(m), página 63, contraejemplos.)El resultado en (j) pide tener cuidado de no intercambiar los cuantificadorescuando se presentan en el orden ∀ − ∃ porque el enunciado obtenido con elintercambio puede ser falso. En cambio el resultado en (i) afirma que el orden∃ − ∀ puede modificarse sin que se afecte la verdad del enunciado.Por supuesto que cada una de las anteriores propiedades dadas en los teoremas1.7.1, 1.7.2, 1.7.3., se demuestran en un curso de Lógica, pero nosotroslas tendremos en consideración para cuando sea del caso aplicarlas.Una propiedad adicional que tendremos a mano es la siguiente.Si z es una letra que no aparece en un enunciado P, se verifica la equivalencia,P ⇐⇒ (∀z)P.COMO DEMOSTRAR ENUNCIADOS CON CUANTIFICADORES.Lo primero es señalar que el cuantificador Universal está asociado a unaimplicación que usualmente aparece implícita en el enunciado, como cuandodecimos,Universidad de Antioquia

1.7. CUANTIFICADORES 57Todo número real multiplicado por 0, da como resultado, 0.La implicación asociada es en este ejemplo,x ∈ R =⇒ x · 0 = 0Note que al hacer explícita la implicación, recurrimos al empleo de una variable(letra cualquiera) que representa el término al cual se refiere el enunciado,(en este caso la x se refiere a un número real.)Regla:- Para demostrar un enunciado referido a cuantificador Universal ,basta demostrar la implicación asociada a dicho cuantificador.Así mismo debemos señalar que el cuantificador existencial está asociado auna conjunción, como cuando decimos,Para dos enteros a, b, no ambos cero, existe un entero positivo d tal queMCD(a,b) = d.En este ejemplo, el enunciado con la respectiva conjunción toma la presentación,∃ ((d ∈ Z + ) y (MCD(a,b) = d)).Otro ejemplo: “ Existe un número primo que a su vez es par”. En términosde una conjunción toma la presentación,∃p((p es número primo)y (p es par)).La demostración de un enunciado referido a un cuantificador existencial, sepuede efectuar por alguno de los siguientes métodos:a)- Basta comprobar el enunciado con un término específico para que éstequede demostrado.Este método es consecuencia del teorema 1.7.1. (i) y de la regla lógica del“modus ponens” según se comprueba a continuación:PREMISAS:1. (T |x)P(x) =⇒ (∃x)P(x).2. (T |x)P(x).Conclusión:(∃x)P(x).Universidad de Antioquia

58CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSEjemplo:- Existe por lo menos un número primo entre 10 y 20.Demostración:- Es suficiente presentar, digamos el 17, ya que este es un primoentre 10 y 20.Claro que hay otros números primos entre 10 y 20 y que por lo tanto sepueden exhibir como prueba pero repetimos que uno cualquiera de éstos, essuficiente.b)- Por el absurdo, demostrando que la no existencia de un término que verifiqueel enunciado, conduce mediante deducción lógica, a una contradicción.Ejemplo:- Para todo entero n > 1 existe un primo p n.Demostración: Fijado cualquier entero n > 1, la no existencia de un primop n conduciría al resultado contradictorio de que todos los primos sonmenores que n, en particular para n = 2, todos los primos serían menoresque 2, es decir no existirían los números primos.c)- Cuando el enunciado por demostrar es un caso particular de un teoremacon caracter universal. En este caso basta señalar que lo universal implica loparticular y de un caso particular verdadero se sigue una afirmación de tipoexistencial.Este método es consecuencia del teorema 1.7.1. (iii.) y de la regla lógica del“modus ponens”. Se deja al estudiante la verificación de lo dicho.Ejemplo:- El número 247 tiene por lo menos un divisor primo.Demostración:- Un conocido teorema, (cor. 0.2.3, página 4), nos garantizaque todo entero > 1 tiene por lo menos un divisor primo y estoes suficiente argumento para concluir que el enunciado es verdadero, pués247 > 1. ✷Para demostrar un enunciado con cuantificador de Unicidad, se emplea unargumento de reducción al absurdo pues la expresión “A lo sumo un· · · ”es equivalente, como ya se dijo, a la expresión “No hay dos· · · ”.Se empieza suponiendo que existen dos términos (objetos matemáticos distintos),digamos x 1 , x 2 , que verifican el enunciado. Las consecuencias deaquí en adelante pueden conducir a una de dos posibilidades contradictorias:a)- Usualmente ocurre que, tras un razonamiento apropiado, x 1 = x 2 y esto esuna contradicción con el supuesto inicial. Con esta contradicción el teoremaqueda demostrado.Universidad de Antioquia

1.7. CUANTIFICADORES 59b)- También puede suceder que se concluya una afirmación contraria a unresultado conocido que se sabe que es un teorema, generándose así una contradiccióncuya única causa es el supuesto inicial. La conclusión obligadaes que no pueden existir los dos términos mencionados en el supuesto inicial,lo cual quiere decir que a lo sumo existe uno, afirmación que incluye laposibilidad de que no haya ninguno.Ejemplo:- En un conjunto A con una operación binaria ∗ a lo sumo existeun módulo.Demostración:- Supongamos que enA hay dos módulos, digamos e 1 y e 2 .Entonces, por el carácter de módulo de e 1 ,e 1 ∗ e 2 = e 2 .Así mismo, por el carácter de módulo de e 2 ,Según estas dos igualdades,e 1 ∗ e 2 = e 1 .e 1 = e 2 .Luego no pueden existir dos módulos en A, pués se concluyó que se reducena uno solo. El enunciado ha sido probado. ✷Es de anotar que una operación binaria puede no ser modulativa, en cuyocaso no existe módulo, pero esto no quiere decir que el enunciado haya dejadode cumplirse.Los enunciados de Existencia Única se reducen a enunciados de Existencia yUnicidad. Por tal motivo, su demostración se hace en dos partes.a)- Demostración de existencia. Con esta parte se está asegurando que haypor lo menos un término que verifica el enunciado.b)- Demostración de unicidad. Con esta parte se está asegurando que a losumo hay un término, y no dos, que verifica el enunciado.Está claro que la conjunción de estas dos pruebas garantizan que es uno ysólo uno, el término que verifica el enunciado.Ejemplo:- Si se quiere demostrar que hay un único primo que es par se asegurala parte de existencia presentando al número 2 como un término que asegurala existencia de primos pares.Universidad de Antioquia

60CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSPara demostrar la parte de unicidad se comienza suponiendo que hay dosprimos pares, digamos p y el 2.Como p es par entonces,p = 2k, con k ∈ Z,pero como p es primo, entonces k = 1, de donde resulta p = 2. De estamanera se concluye que a lo sumo hay un primo par.La demostración queda completa. ✷CONTRAEJEMPLOS.A veces es necesario demostrar que un enunciado de la forma,es falso.(∀x)PLa demostración es una simple aplicación del numeral 1. del teorema 1.7.2(negaciones, página 54), en el cual se afirma que lo contrario del enunciado⋆ es(∃x)noPEl procedimiento consiste en presentar un término específico t para el cual sehace verdadero el enunciado contrario de P, i.e. noP. Este término específicot se llama un contraejemplo. Como cuando afirmamos: “Todos los númerosprimos, son impares”, afirmación que es falsa pues t = 2 es un contraejemplo,ya que 2 es primo y es par.Los contraejemplos ya se habían mencionado antes en este texto, (ver porejemplo página 23). Lo que se ha hecho en este punto es presentar su justificaciónlógica.1.8. Ejercicios sobre cuantificadores.Expresar la implicación asociada a cada uno de los siguientes enunciados.(1 a 5.)Sugerencia: Utilizar letras para representar la(s) variable(s) afectada(s) porel cuantificador Universal.1. Todo entero mayor que 1, tiene divisores primos.Respuesta:(a ∈ Z y a > 1) =⇒ (a tiene por lo menos un divisor primo.)Universidad de Antioquia⋆

1.8. EJERCICIOS SOBRE CUANTIFICADORES. 612. Todos los números primos son impares.3. Todo entero es primo y todo primo es impar.4. Para todo entero k, existen primos de la forma 4k + 1.5. El producto de todo número par por un impar, es par.Negar los siguientes enunciados (6 a 16)6. Si todos los múltiplos de un entero n son pares, entonces n es par.7. Algunos primos son de la forma 4k + 1 donde k es un entero.8. Todo entero es primo y algunos primos son pares.9. Todo triángulo que sea isósceles, también es equilátero.10. Para algún x ∈ R, x + 0 ≠ x.11. Existen rombos que no tienen los lados iguales.12. Existen rombos con 5 lados o existen cuadrados con 3 diagonales.13. Todas las funciones son continuas y algunas son diferenciables.14. Si algún entero es impar, entonces todos los números primos son impares.15. Todo múltiplo de 3 también es múltiplo de 6.16. a) (∀x)(∀y)Q; b) (∃x)(∃y)S; c) (∀x)(∃y)P.Para el ejercicio siguiente, (el 17), considere el conjunto:como conjunto de referencia.B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.}.Universidad de Antioquia

62CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS17. Entre los siguientes enunciados (a... q) dar un contraejemplo para losque sean falsos y dar una justificación para los verdaderos.a)Para todo x ∈ B, x + 9 < 18.b)A lo sumo un x ∈ B es tal que x + 1 = 2.c)A lo sumo un x ∈ B es tal que 3x = 8.d)A lo sumo un x ∈ B es tal que 4 + x = 9.e)Existen a lo sumo un x ∈ B y a lo sumo un y ∈ B tal que x+y = 12.f)Existe un z ∈ B, y sólo uno, tal que z + 3 = 8.g)Existe un z ∈ B tal que z + 2 = 12.h)Cada elemento de B es < 9.i)Cada elemento de B es > 1.j)Todo elemento de B es primo o es par.k)Para todos los a,b ∈ B, a + b > 4.l)Existe un único x ∈ B tal que x es múltiplo de 5.m)Para todo a ∈ B existe un c ∈ B tal que a + c = 11.n)Existe un c ∈ B tal que para todo a ∈ B, a + c = 11.o)Existe un único z ∈ B tal que z + 2 = 3.p)Existe por lo menos un x ∈ B tal que para algún z ∈ B, xz ≥ 25.q)Existe por lo menos un x ∈ B tal que para algún z ∈ B, xz ≥ 81.18. Demostrar: Todo entero ≥ 2 que no sea divisible por ningún primomenor que el número, es primo.19. En este ejercicio considere aquellas letras que representan números,como números enteros.Demostrar que los siguientes enunciados (a... m) son falsos:a)Si (a + b) es par, entonces a es par o b es par.b)Si 5 divide a (m + n), entonces 5 divide a m o 5 divide a n.c)Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m y 5 divide a n.d)Todo número impar es múltiplo de 3 o de 5.Universidad de Antioquia

1.8. EJERCICIOS SOBRE CUANTIFICADORES. 63e)Todo número par es múltiplo de 4, o de 6, o de 8.f)El producto de 3 enteros consecutivos es siempre múltiplo de 4.g)Entre 5 enteros consecutivos, siempre hay uno que es primo.h)Todo número par se puede escribir en la forma n 2 + 2.i)Todo número impar se puede escribir en la forma 3n + 1.j)Todo número par se puede escribir en la forma 4n + 2.k)Si un producto de la forma mn es par, entonces m y n son pares.l)Si a | bc entonces ((a | b) o (a | c)).m)Si n es un entero > 1, existe un número primo que divide a todoentero k, siendo k > n.Solución: Para demostrar que este enunciado es falso, basta dar uncontraejemplo. Sea n > 1. Sabemos que existe un primo p que divide an, (cor. 0.2.3., página 4). Si definimos un número k = n+1, este k > nes un contraejemplo ya que n y k son primos relativos y por tanto p nodivide a k. ✷Si se compara este enunciado con el corolario 0.2.3. página 4, (“paratodo entero k > 1, existe un primo que divide a k”), se nota que laúnica diferencia está en el orden de los cuantificadores y sin embargouno es verdadero y el otro falso. Este ejemplo muestra que no se puedenpermutar los cuantificadores ∀ y ∃ cuando aparecen en este orden.20. Sean a y b enteros pares y c y d enteros impares. De las siguientesafirmaciones, demostrar las que considere verdaderas y dar un contraejemplopara las falsas.• (ab − cd) es par;• (ac − bd)es par; • (abc − d)es par;• (ab − cd) es impar; • (abc)es múltiplo de 4; • (bcd + a)es impar;• (ac − ad) es par;• (ac + bd)es impar; • (a c − d b )es impar.21. Sea 3 un divisor de a y de b. De las siguientes afirmaciones, demostrarlas que considere verdaderas y dar un contraejemplo para las falsas.9 es divisor de (a 2 + b 2 ) 9 es divisor de (a + b 2 )9 es divisor de (2a + b)(a − 2b) 9 es divisor de a(a + b) .Universidad de Antioquia

64CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS1.9. Teoría de conjuntosHacemos en estas notas una presentación parcial de la teoría de conjuntosde Zermelo-Frankel, (T.Z.F.), propuesta entre 1908 y 1922 por estos dosmatemáticos. La razón para hacerlo así es que en estas notas no se pretendehacer un desarrollo completo y detallado de la teoría, sólo aquellos resultadosque hacen falta en los programas de pregrado en Física, Química, Ingenieríasy otros, además del curso que se está desarrollando en estas notas.Desde un punto de vista intuitivo, pensamos en un conjunto A como en unobjeto que es una especie de “recipiente” que contiene otros objetos, (o queinclusive, puede estar vacío), objetos que también son conjuntos, como porejemplo, el conjunto de las rectas del plano, rectas que a su vez son conjuntosde puntos. Otros ejemplos son: el conjunto de los números enteros que hemosvenido representando por Z y el conjunto{0, 1,π,e, √ −1}.Es de anotar que todo número, (natural, entero, racional, irracional o complejo),es la representación de un conjunto.Diagramas de Venn:- Son figuras sencillasque se utilizan para representarconjuntos y facilitan la comprensión dealgunos pasajes de la teoría. El diagrama❀ ❀ ❀ ❀representa el conjunto mencionado enel anterior párrafo.• 0• 1• π• e• √ −1Empecemos la teoría presentando 3 términos primitivos (i.e. no definidos) asaber:Las palabras conjunto, pertenecer, igual.Los signos para representar estas 3 palabras son: Letras, ∈, =.• Letras de todo tipo (mayúsculas y minúsculas) para nombrar los conjuntos.• El símbolo ∈ para establecer una relación entre conjuntos, llamada “pertenencia”.Por ejemplo,x ∈ Aque se lee: el conjunto x pertenece al conjunto A.Universidad de Antioquia

1.9.TEORÍA DE CONJUNTOS 65Aquellos conjuntos que como x, aparecen a la izquierda del signo ∈ en larelación x ∈ A se llaman elementos del conjunto A. En otras palabras,Definición 1.9.1. El conjunto x es un elemento de A sii x ∈ A.Por ejemplo: Si A es el conjunto {0, 1,π,e, √ −1}, entonces sus elementosson 0, 1,π,e, √ −1 y escribimos 0 ∈ A, 1 ∈ A, · · · , √ −1 ∈ A.Otro ejemplo: En el conjuntoE = {a,b, {a,c}}a,b y {a,c} son elementos de E y escribimos a ∈ E, b ∈ E y también {a,c} ∈E. En cambio c no es elemento de E. Sin embargo, c ∈ {a,c}.• El conocido símbolo =, para establecer relaciones de “igualdad” entreconjuntos como cuando escribimos,A = B,lo cual significa que los conjuntos A y B son iguales o en otras palabras, queson nombres distintos para el mismo conjunto.Las propiedades básicas de la igualdad, que aquí consideraremos como axiomas,son:• x = x. (propiedad reflexiva).Es decir todo conjunto es igual a si mismo.• (x = y) =⇒ (y = x). (propiedad simétrica.)• ((x = y) y (y = z)) =⇒ (x = z). (propiedad transitiva.)Es posible escribir todas las relaciones, (i.e., todos los enunciados) de la teoríade conjuntos, empleando letras, estas dos relaciones, (∈, =), junto con loscuantificadores y los conectivos lógicos,no, o, y, =⇒ y ⇐⇒ .Si esto no se hace es porque se vuelve impracticable para enunciados de mayorcomplejidad. Lo que se hace es introducir nuevos símbolos abreviadores quefacilitan la escritura y comprensión de nuevas relaciones.Universidad de Antioquia

66CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSEntre estos símbolos abreviadores están las negaciones de enunciados comox ∈ A y A = B que se escriben:x /∈ A y A ≠ B.Así por ejemplo, refiriéndonos a los conjuntos A, B y E, mencionados antes,escribimos B ≠ A, 2 /∈ A y c /∈ E.Veamos enseguida otra importante relación entre conjuntos y su respectivosímbolo abreviador.SUBCONJUNTOS.Es posible que todos los elementos de un conjunto pertenezcan a otro conjunto,como cuando, por ejemplo, decimos que los números primos ademásde ser “primos,” pertenecen al conjunto de los números enteros. El términoapropiado para describir esta situación es la palabra subconjunto. Ennuestro ejemplo, el conjunto de los números primos es subconjunto delos números enteros. Esto da lugar a una nueva relación entre conjuntos quese llama inclusión y que se representa por el símbolo abreviador,Definición 1.9.2. .B es un subconjunto de A (y se escribe B ⊆ A) sii para todo x,En otra forma:⊆ .x ∈ B =⇒ x ∈ AB ⊆ A sii todo elemento de B es elemento de A.Se acostumbra leer la nueva relación ⊆ de diferentes maneras:B es subconjunto de A.B está incluído en A.B está contenido en A.A contiene a B.(Lo cual se representa por A ⊇B).B es parte de A.Representación gráfica de B ⊆ A.Universidad de AntioquiaBA

1.9.TEORÍA DE CONJUNTOS 67Para negar la relación de inclusión se utiliza, como es de esperar, el símbolo, lo cual da lugar a la siguiente equivalencia:B A ⇐⇒ (existe x tal que (x ∈ B y x /∈ A)).Para reforzar el significado de la relación ⊆, analicemos el siguiente esquemabasado en la regla lógica del “modus ponens”:Ejemplos:Premisas:1. B ⊆ A2. x ∈ BConclusión:x ∈ A.1. {0, 1, √ −1} ⊆ {0, 1,π,e, √ −1} ⋆Representación gráfica de ⋆:• π• √ −12. El conjunto de los números primos es subconjunto de Z.3. Una recta o un triángulo son subconjuntos de un plano.4. Los conjuntos {a}; {b}; {a,c} y {{a, b}, c} son algunos subconjuntos deE = {a,b,c, {a,b}}La afirmación, “todos los elementos de un conjunto, pertenecen a dicho conjunto”tiene la presentación matemática, A ⊆ A y hace parte del primerteorema de esta sección.• e• 0• 1Universidad de Antioquia

68CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSTeorema 1.9.1. (i.)A ⊆ A, para todo conjunto A.[Todo conjunto es subconjunto de si mismo, (propiedad reflexiva).](ii.)(A ⊆ B y B ⊆ C) =⇒ A ⊆ C. (propiedad transitiva.)Demostración. (i.) La relación A ⊆ A está vinculada, por definición, a laimplicación,x ∈ A =⇒ x ∈ Ay esta implicación tiene la forma de un teorema lógico, (L. del medio excluído,teor. 1.3.2. (2), página 28).Luego A ⊆ A es un teorema de la teoría de conjuntos. ✷(ii.) La demostración de la 2 a parte es aplicación inmediata de la propiedadtransitiva de la implicación, (ver teorema 1.3.2, parte 1). Veámosla en detalleempleando método directo.Supongamos queA ⊆ B y B ⊆ C.Cada una de estas relaciones está asociada a su respectiva implicación, (verdef. 1.9.2, página 66.):(x ∈ A =⇒ x ∈ B) y (x ∈ B =⇒ x ∈ C)En consecuencia, (por transitividad),Según esta implicación, A ⊆ C.(x ∈ A =⇒ x ∈ C).Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la diferencia entre las relacionesde inclusión (⊆) y pertenencia(∈) :Considere los conjuntos:A = {{a},a,c}.B = {c, {a,c}}.Entonces, րa ∈ A; a /∈ B.{a} ∈ A; {a} /∈ B.c ∈ A; c ∈ B.{a,c} /∈ A; {a,c} ∈B.{a} ⊆ A; {a} B.{{a}} ⊆ A; {{c}} B.{a,c} ⊆ A; {a,c} B.{c} ⊆ A; {c} ⊆ B.Universidad de Antioquia

1.9.TEORÍA DE CONJUNTOS 69LOS AXIOMAS.1. Axioma de la existencia de conjuntos.Existe por lo menos un conjunto.2. Axioma de extensión.A = B si y solo si los dos conjuntos tienen los mismos elementos.3. Axioma de separación.Siendo P una propiedad, (i.e. un enunciado con caracter de condición),y siendo U un conjunto cualquiera, existe un conjunto únicoA = {x ∈ U/P(x)}cuyos elementos x son aquellos elementos de U que cumplen la condiciónP.4. Axioma del doblete.Siendo a y b conjuntos arbitrarios, existe un conjunto único{a,b},llamado doblete, cuyos elementos son exactamente a y b.5. Axioma de Unión.Siendo A cualquier conjunto, existe un único conjuntoB = ⋃ A,llamado la unión de los elementos de A.6. Axioma del conjunto de partesSiendo A cualquier conjunto, existe un conjunto único que se llamaconjunto de las partes de A y se denota P(A), cuyos elementos sontodos los subconjuntos de A.Universidad de Antioquia

70CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSCOMENTARIOS Y EJEMPLOS.1. El axioma de existencia de conjuntos permite tener un conjunto departida. No se puede comenzar con nada.2. El axioma de extención literalmente significa que un conjunto se extiendehasta abarcar sus elementos pero no más allá, en otras palabras,que todo conjunto queda determinado por sus elementos. Conviene expresareste axioma de la siguiente manera:Además,B = A ⇐⇒ (para todo x)(x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A)B ≠ A si y solo si algún elemento está en B y no está en Ao, está en A y no está en B.Como una consecuencia del axioma que estamos comentando, se tieneel siguiente importante resultado.Teorema 1.9.2 (Criterio de la doble inclusión para que dos conjuntossean iguales.).A = B ⇐⇒ ((A ⊆ B) y (B ⊆ A)).Demostración. Según el axioma de extensión, tener A = B equivale a,para todo x, (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).La equivalencia presente en la anterior línea se puede descomponer,(por definición de equivalencia y por el teorema 1.7.3.(d), página 55),en dos implicaciones, a saber,[para todo x, (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] y [para todo x, (x ∈ B =⇒ x ∈ A)],lo cual, en teŕminos de definición, significa que A ⊆ B y B ⊆ A.Universidad de Antioquia

1.9.TEORÍA DE CONJUNTOS 71Este teorema tiene importante uso cuando se trata de demostrar laigualdad de conjuntos, para lo cual basta demostrar una inclusión yluego su inversa, como tendremos ocasión de practicarlo.Como acabamos de ver, los símbolos ⊆, y ⊇, incluyen la posibilidad deque exista igualdad entre los conjuntos relacionados.Para significar que se dá la inclusión sin posibilidad de igualdad,(y a esto se le llama inclusión estricta), se tiene el símbolo ⊂ y surespectivo inverso, ⊃, que se definen así:A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B y A ≠ B.A ⊃ B ⇐⇒ A ⊇ B y A ≠ B.Diagrama de Venn para A ⊂ B.3. El axioma de separación es una poderosa manera de definir conjuntos“aceptables”.La notación,A = {x ∈ U/P(x)},sugiere que “pertenecer a un conjunto es cumplir condiciones,” es decir,x debe estar previamente en un “conjunto de referencia, U ” y ademásdebe cumplir la condición P(x).En adelante tendremos en cuenta las siguientes dos equivalencias relacionadasdirectamente con el ax. de separación:• x ∈ A ⇐⇒ (x ∈ U y P(x)).• x /∈ A ⇐⇒ (x /∈ Uo noP(x)).Universidad de AntioquiaABDiagrama del Ax. de separación.ց ULiteralmente, el axioma de separación significa que, cualquiera que seaA

72CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSun conjunto U, una vez propuesta una condición, (o varias condiciones),quedan “separados” en el conjunto A, aquellos elementos de U quesatisfacen la condición (o condiciones) propuesta(s). Aclaremos estocon algunos ejemplos.Si U es el conjunto de los números enteros y se proponen las 3 condicionessiguientes:P 1 : x es un número par.P 2 : x es un número impar.P 3 : x es un número primo.Cada una de estas condiciones define un conjunto diferente, digamos:A 1 = {x ∈ U/x es par.};A 3 = {x ∈ U/x es primo.}.Note que 3 ∈ A 3 , y 3 ∈ A 2 pero 3 /∈ A 1 .A 2 = {x ∈ U/x es impar.}.De manera similar, si se fija una condición P(x) y se proponen distintosconjuntos de referencia, los conjuntos que se definen por el axioma deseparación son diferentes.Por ejemplo, si la condición P(x) que se propone es:y los conjuntos de referenciason:U 1 = {x ∈ Z/x > 2}.U 2 = {x ∈ Z/x < 10}.U 3 = {1, 1 2 , 2, 3, 2 3 , 6}.U 4 = {0, 1,π,e, √ −1},x es un entero primo,entonces los conjuntos que defineel axioma de separación son:A 1 = {x ∈ U 1 /x es primo}.A 2 = {x ∈ U 2 /x es primo} = {2, 3, 5, 7}.A 3 = {x ∈ U 3 /x es primo} = {2, 3}.A 4 = {x ∈ U 4 /x es primo} = { }.Universidad de Antioquia

1.9.TEORÍA DE CONJUNTOS 73Nótese como el conjunto A 4 no tiene elementos. La siguiente definiciónle pone nombre a este conjunto.Definición 1.9.3. Si fijamos la condición P(x) como “x ≠ x”, por el ax.de separación, queda bien definido para todo conjunto U, el conjunto,{x ∈ U/x ≠ x}pero según quedó ya establecido, x = x para todos los conjuntos, luegox ≠ x es imposible y por tanto no existen elementos en el anteriorconjunto.Dicho conjunto se llama conjunto vacío y se denota con la letra griegaΦ.Teorema 1.9.3. a) Φ es subconjunto de todos los conjuntos.[Para todo A, Φ ⊆ A.]b) Solamente hay un conjunto vacío.La justificación de la parte (a) es consecuencia de una ley lógica, (leydel antecedente falso), pués la implicaciónx ∈ Φ =⇒ x ∈ Aes verdadera para todo conjunto A, incluso para Φ, (Φ ⊆ Φ) !.Siendo x una variable, se le asocia el cuantificador universal, dandolugar al enunciadoPara todox,(x ∈ Φ =⇒ x ∈ A),que en forma abreviada se transforma en Φ ⊆ A, para todo conjuntoA. ✷En cuanto a la justificación de la afirmación (b), supongamos que existendos conjuntos Φ 1 y Φ 2 diferentes, luego difieren en algún elementox. Pero como son conjuntos vacíos, tal diferencia no puede ser ya queninguno de los dos tiene elementos. Esta contradicción prueba que nopueden haber dos conjuntos vacíos, o lo que es equivalente, a lo sumohay un conjunto vacío. ✷Universidad de Antioquia

74CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSLos conjuntos definidos por el axioma de separación se dicen definidospor comprensión y en esta forma los llamaremos en adelante. Enoposición a éstos, se tienen los conjuntos definidos por extensión alos cuales “se ingresa” por medio del axioma del doblete, (axioma 4),y el axioma de unión, (axioma 5).Los axiomas 4, (ax. del doblete), 5, (ax. de unión) y 6, (ax. del conjuntode partes), permiten otra manera de definir conjuntos que no dependedel ax. de separación.4. El ax. del doblete junto con el ax. 5, (ax. de Unión), nos permitendescribir conjuntos finitos, es decir, conjuntos cuyos elementos sepueden ordenar en una lista que tiene un último elemento. Losconjuntos finitos los hemos venido utilizando desde el mismo inicio deestas notas, (véase en “operaciones binarias” página 5), y la última vezestá en la página anterior, donde hemos mencionado conjuntos finitoscomo A 2 , A 3 y A 4 .La notación por extención es propia de los conjuntos finitos y se reducea poner en lista todos los elementos del conjunto por medio de expresionesal estilo de {a 1 ,a 2 ,a 3 , · · · ,a n }. En oposición a los conjuntosfinitos, los más interesantes conjuntos matemáticos son “infinitos”, osea, conjuntos que no es posible describirlos todos, elemento por elemento,por no existir un último elemento, o lo que es peor, por nosaberse cual sigue a cual. (Entre los reales, ¿cual sigue al 1?)Conjuntos como N, Z, Q, R y C son infinitos. El conjunto A 1 de lapágina anterior también es infinito. Una notación convenida a fuerzade uso es la que permite expresar, en algunos casos, conjuntos infinitosen la forma,{a 1 ,a 2 ,a 3 , · · · },donde los puntos suspensivos indican que la lista se extiende sin últimotérmino. Esta notación la hemos utilizado para los Naturales, {1, 2, 3, · · · },los Enteros, {0, ±1, ±2, ±3, · · · } y otros.Es el momento de hacer una observación y presentar los conjuntosllamados “singuletes” o conjuntos de un solo elemento.Universidad de Antioquia

1.9.TEORÍA DE CONJUNTOS 75La observación consiste en que en un conjunto no tiene sentido repetirelementos. De acuerdo con el axioma de extensión, los conjuntos{a,a,b} y {a,b}son iguales. (¿Acaso no tienen los mismos elementos?)De acuerdo con la anterior observación, el doblete {a,a} es igual alconjunto {a} y se llama el singulete de a o, por razón obvia, conjuntounitario.Ejemplo:- Mientras Z es un conjunto con un número infinito de elementos,el singulete de Z, o sea {Z}, solo tiene un elemento.Otro ejemplo: El conjunto {{x, y}} es un singulete pués su único elementoes {x, y}5. El axioma de unión establece que dado cualquier conjunto A, se puedeobtener un nuevo conjunto, digamos B, cuyos elementos son “reunión”de todos los elementos que tienen los conjuntos que conforman el conjuntoA. Unos cuantos ejemplos darán la suficiente claridad a esteconcepto.• Sea A = {{a}, {b,c}}. Como se ve, este conjunto es un doblete cuyoselementos son los conjuntos {a} y {b,c}. Si reunimos en un conjuntoB los elementos a,b,c este conjunto es la unión de A y escribimosB = ∪A = {a,b,c}.Note que A ≠ B. Empezando porque A tiene solo dos elementos y Btiene tres y continuando con afirmaciones como c ∈ B y c /∈ A.De igual forma:• ∪ {{a}, {a,b}} = {a,b}.• ∪ {{a,b}, {b,c}} = {a,b,c}.• ∪ {{a,b}} = {a,b}.• ∪ {{a}, {b}} = {a,b}.A continuación definamos la unión de dos conjuntos B y C, la cualconstituye nuestra 1 a operación binaria con conjuntos.Universidad de Antioquia

76CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSDefinición 1.9.4. Dados dos conjuntos B y C, llamamos “ Unión de Bcon C” al conjunto ∪ {B,C}. La notación usual para este conjunto esB ∪ C. La siguiente igualdad define al conjunto “Unión” como resultadode una operación binaria entre conjuntos:Además:B ∪ C = {x/(x ∈ B) o (x ∈ C)}• x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒ ((x ∈ B) o (x ∈ C)).• x /∈ (B ∪ C) ⇐⇒ ((x /∈ B) y (x /∈ C)).Los diagramas que siguen, ilustran la unión de dos conjuntos en situacionesdiferentes.BC←֓ UB ∪ CUniversidad de AntioquiaBց UB ∪ CEn los anteriores diagramas, los rectángulos representan un conjuntode referencia U. Las regiones con líneas horizontales representan losconjuntos (B ∪ C) y (B ∪ C) respectivamente.Ejemplos:• {3, 4, 5} ∪ {1, 2, 3, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.• Z + ∪ {0} ∪ Z − = Z.Presentamos a continuación una notación para expresar el número deelementos de un conjunto.El símbolo Card(A) se utiliza para expresar el número de elementosde A.Ejemplos:- Card(Φ) = 0; Card({a}) = 1; Card({b,c}) = 2 ;Card({0, 1, 2}) = 3 y así sucesivamente.C

1.9.TEORÍA DE CONJUNTOS 77Como símbolo de una cantidad infinita, se utiliza ∞ y a los conjuntoscon una cantidad infinita de elementos se les llama conjuntos infinitos.Así por ejemplo Card(Z) = ∞.Según esto, Z es un conjunto infinito.Para un conjunto finito se utiliza Card(A) < ∞.Se advierte que, para estas notas, el símbolo ∞ no es un número.6. El axioma del conjunto de partes da lugar a formar un nuevo conjuntoa partir de un conjunto dado.Si A es un conjunto, el conjunto de Partes de A se define por comprensiónde la siguiente manera:P(A) = {B/B ⊆ A}Se tienen las siguientes equivalencias:B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ AB /∈ P(A) ⇐⇒ B AEstas importantes equivalencias determinan la manera de intercambiarlos signos ∈ y ⊆ entre si, y sus contrarios /∈ y entre si.Como ilustración, verifique la siguiente cadena de implicaciones:x ∈ A =⇒ {x} ⊆ A =⇒ {x} ∈ P(A.)Si por ejemplo, A = {a,b}, los subconjuntos posibles de A son 4, asaber,y en este caso,Φ, {a}, {b}, {a,b},P(A) = {Φ, {a}, {b}, {a,b}}.Otro ejemplo: P(Φ) = {Φ}. Note que mientras Φ no tiene elementos,P(Φ) si tiene un elemento, que es el conjunto Φ.Se puede demostrar, por inducción, que si Card(A) = n, (n ≥ 0),entoncesCard(P(A) = 2 n ).Así por ejemplo,Universidad de Antioquia

78CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSCard(Φ) = 0; Card(P(Φ)) = 2 0 = 1; Card(P({a})) = 2 1 ;Card(P({a,b})) = 2 2 ; Card(P({a,b,c})) = 2 3 ; Card(P({0, 1, 2, 3}))Demostración: (inducción sobre n.)Universidad de Antioquia= 2 4 .Base: - Ya hemos visto que el teorema se cumple para n = 0, 1, 2, 3 y4.Paso de inducción: - Supongamos que,Card(A) = n =⇒ Card(P(A)) = 2 n(hipótesis de inducción).Vamos a demostrar que si B = A ∪ {b}, donde b /∈ A, entoncesCard(P(B)) = 2 n+1 . (tesis.)Sea pués A un conjunto con n elementos; según la hipótesis de inducción,A tiene 2 n subconjuntos, digamosΦ, {a 1 }, {a 2 }, · · · ,A.Puesto que A ⊆ B, todo subconjunto de A es subconjunto de B, (véase“propiedad transitiva de la relación de inclusión”, (teorema 1.9.1., página68), razón por la cual, por una parte, el conjunto P(B) tiene, comoelementos, los 2 n subconjuntos de A, (hipótesis de inducción).Por otra parte, la unión de cada uno de estos 2 n subconjuntos con elsingulete {b}, dá lugar a una nueva colección de 2 n subconjuntos de B,digamos,Φ∪{b} = {b}; {a 1 }∪{b} = {a 1 ,b}; {a 2 }∪{b} = {a 2 ,b}; · · · ;A∪{b} =Finalmente, las cuentas nos dan una duplicación del número inicial desubconjuntos y por tanto podemos asegurar que B tiene 2(2 n ) = 2 n+1subconjuntos lo cual quiere decir que P(B) tiene 2 n+1 elementos. Elenunciado queda demostrado. ✷B.

1.10. 4 CONJUNTOS ESPECIALES 791.10. 4 conjuntos especiales(Φ, P(A), complemento (A’), par ordenado (a,b) ).Dos de estos conjuntos (Φ y P(A)) ya los hemos tratado en páginas anteriores.(Ver páginas 73 y 77). Nos queda por considerar el “conjunto complemento”y el conjunto “par ordenado”.Definición 1.10.1. Complemento:Para todo conjunto U y para todo A ⊆ U se define el complemento de Acomo el conjunto A ′ cuyos elementos son los elementos de U que no están enA, i.e.,A ′ = {x ∈ U/x /∈ A}.En consecuencia, para todo x ∈ U,• x ∈ A ′• x /∈ A ′⇐⇒ (x /∈ A).⇐⇒ (x ∈ A).A A ′Diagrama de Venn para el complemento.Como antes, el rectángulo representa al conjunto de referencia U. La regióncon líneas, el complemento A ′ .Ejemplos:• Si U = {n ∈ Z/ 1 < n ≤ 10} y A = {2, 3, 4, 5}, entonces A ′ = {6, 7, 8, 9, 10}.• El complemento de los números primos, respecto al conjunto de los númerosenteros > 1, es el conjunto de los números compuestos.• El complemento de los números racionales, respecto al conjunto de losnúmeros reales es el conjunto de los números irracionales, que por esta razónhemos denotado con el símbolo Q ′ .Universidad de Antioquia

80CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSPar ordenado.Los estudiantes que han pasado por los estudios secundarios conocen que lossímbolos del tipo (3, 5), (−2, 4), (4, −2) (0, 0), se llaman pares ordenados yse emplean para representar puntos en el plano de coordenadas cartesianas.6y543210-1•(−2,4)•(0,0)•(3,5)(4, −2)-2•-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Pués bien, la característica fundamental de un par ordenado es , como lodice su nombre, que está presente un orden, así por ejemplo (−2, 4) y (4, −2)representan puntos distintos del plano pués tienen cambiado el orden de suscomponentes. El siguiente teorema se refiere a dicho orden.Teorema del par ordenado:-• (a,b) = (c,d) sii a = c y b = d.• (a,b) = (b,a) sii a = b.La siguiente definición establece que todo par ordenado (a, b) es un conjuntoespecial.Definición 1.10.2.Por otra parte,(a,b) = {{a}, {a,b}}.z es un par ordenado sii existen a,b tales que z = (a,b).a se llama 1 a componente de z y b se llama 2 a componente de z. Cuandodichas componentes están referidas a un punto del plano cartesiano, se lesllama coordenadas (a = abscisa y b = ordenada).Universidad de Antioquiax

1.11. OPERACIONES CON CONJUNTOS: ∪, ∩, −, ×. 81La forma como se definió el par ordenado fue la que permitió demostrar elteorema del par ordenado al mismo tiempo que reforzó la idea de que losconjuntos están en la base de la Matemática.Ejemplos:(3, 5) = {{3}, {3, 5}}; (2, −1) = {{2}, {2, −1}}; (x,x) = {{x}, {x,x}}.1.11. Operaciones con conjuntos: ∪, ∩, −, ×.(Unión, Intersección, Diferencia, Producto Cartesiano.)Consideremos 4 operaciones binarias con conjuntos. Más adelante estableceremoslas principales propiedades de estas operaciones.Unión: Esta operación ya fue definida en página 76.Agreguemos que esta operación, así como las otras tres que se mencionanen el título anterior, se puede extender a 3 o más conjuntos.Intersección: Dados dos conjuntos B y C contenidos en cualquierconjunto de referencia U, podemos considerar la posibilidad de quetengan elementos comunes. Con dichos elementos comunes, y solo conéstos, se forma un nuevo conjunto llamado “Intersección de B y C ” ydenotado por B ∩ C.La condición o propiedad que se requiere para definir este conjunto, esla conjunción,x ∈ B y x ∈ CEn consecuencia, definimos la siguiente operación binaria, respaldadosen el axioma de separación:Definición 1.11.1.Además, para x ∈ U,B ∩ C = {x ∈ U/(x ∈ B) y (x ∈ C)}• x ∈ (B ∩ C) ⇐⇒ (x ∈ B y x ∈ C)• x /∈ (B ∩ C) ⇐⇒ (x /∈ B o x /∈ C)Universidad de AntioquiaBց UB ∩ CC

82CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSEn el diagrama anterior, la región entrecruzada por líneas transversales,representa el conjunto B ∩ C, ya que corresponde a los elementoscomunes a ambos conjuntos.Por medio de B ∩ C hemos definido una operación binaria entre conjuntoscuyo signo de operación es ∩.Ejemplos:• Si B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} mientras que C = {5, 6, 7, 8, 9, 10} entonces,B ∩ C = {5, 6, 7}.• Si B es el conjunto de los números pares y C es el conjunto de losnúmeros primos, entoncesB ∩ C = {2}.• Si B es el conjunto de los números racionales y C es el conjunto delos irracionales, entoncesB ∩ C = Φ.A propósito de este último ejemplo, se dice que dos conjuntos son disjuntoso separados si su “intersección” es vacía.Diagrama de Venn para conjuntos separados.Bց UUniversidad de AntioquiaCB ∩ C = Φ.Diferencia: Dados dos conjuntos arbitrarios B y C, (subconjuntosde un conjunto de referencia U), el conjunto de elementos de U quepertenecen a B y que no pertenecen a C, recibe el nombre de “Diferencia”entre B y C y se denota porB − C.

1.11. OPERACIONES CON CONJUNTOS: ∪, ∩, −, ×. 83Apoyados en el ax. de separación, (ax.3), anotamos,Además, para todo x ∈ U,B − C = {x ∈ U/x ∈ B y x /∈ C}.• x ∈ (B − C) ⇐⇒ (x ∈ B y x /∈ C).• x /∈ (B − C) ⇐⇒ (x /∈ B o x ∈ C).Es de anotar que (B − C) y (C − B) son, en general, conjuntos diferentes,(ver diagramas).Diagramas de Venn.B(B − C)C←֓ UB(C − B)Universidad de AntioquiaC←֓ UPor medio de B − C hemos definido una 3 a operación binaria entreconjuntos cuyo signo operativo es −.Ejemplos:• Si B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} mientras que C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}entonces,B − C = {2, 3, 4} y C − B = {8, 9, 10}.

84B•2•4•3CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS•5•6•7(B − C)•8•10C•9←֓ U(C − B)Universidad de AntioquiaB•2•4•3•5•6•7•8•10Observe en los 2 diagramas anteriores que B − C = B − (B ∩ C) yC − B = C − (C ∩ B), observación que se debe demostrar.C•9←֓ U• Si B es el conjunto de los números pares y C es el conjunto de losnúmeros primos, entonces• B − C = {n ∈ Z/n es par n ≠ 2}.• C − B = {n ∈ Z/n es primo impar}• Si B es el conjunto de los números racionales y C es el conjunto delos irracionales, entoncesB − C = B.Veamos a continuación la 4 a operación entre conjuntos, la cual da lugara un conjunto con la característica especial de que todos sus elementosson pares ordenados.Producto Cartesiano: Dados dos conjuntos arbitrarios A y B sellama Producto Cartesiano al conjunto denotado A × B y definido porcomprensión así,Además,A × B = {z/z = (a,b) con a ∈ A y b ∈ B.}• z ∈ (A × B) ⇐⇒ (z es par ordenado (a,b) con (a ∈ A) y (b ∈ B)).

1.11. OPERACIONES CON CONJUNTOS: ∪, ∩, −, ×. 85Notación simplificada:Ejemplo:-• z /∈ (A × B) ⇐⇒ (z no es par ordenadoA × B = {(a,b)/a ∈ A y[z = (a,b) y ((a /∈ A) o (b /∈ B))]).b ∈ B.}(a,b) ∈ A × B ⇐⇒ (a ∈ A) y (b ∈ B).(a,b) /∈ A × B ⇐⇒ (a /∈ A) o (b /∈ B).Siendo A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5, 6} se verifica que,A× B = {(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6).}Tratándose de parejas de números reales, A × B se puede representaren dos formas: con un diagrama de Venn o con un diagrama Cartesiano.Diagrama de Venn:A × BA1•2•3•2•4•5•6•B6543210-1Diagrama Cartesiano: A×B• • •y (1,6)(2,6)(3,6)Universidad de AntioquiaOo• •(1,5)(2,5)• •(1,4)(2,4)• •(1,2)(2,2)•(3,5)•(3,4)•(3,2)-2-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Los siguientes teoremas reunen las principales propiedades y leyes algebraicasde las 4 operaciones con conjuntos.x

86CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSTeorema 1.11.1.i) A ⊆ A ∪ B; B ⊆ A ∪ B.ii) A ∪ B = B ∪ A.Ley conmutativa.iii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. Ley Asociativa.iv) A ∪ A = A.v)A ∪ Φ = A.Ley modulativa.Teorema 1.11.2.i) A ∩ B ⊆ A; A ∩ B ⊆ B.ii) A ∩ B = B ∩ A.iii) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.iv) A ∩ A = A.v) A ∩ Φ = Φ.Teorema 1.11.3 (Leyes Distributivas.).i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).Teorema 1.11.4 (Leyes de D’Morgan.).i) (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′ .ii) (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′ .Teorema 1.11.5.Sean A y B subconjuntos de un conjunto U ≠ Φ.i) A − B = A ∩ B ′ .ii) A ′ = U − A.iii) (A ′ ) ′ = A.iv) A ∪ U = U; A ∪ A ′ = U.v) A ∩ U = A; A ∩ A ′ = Φ.vi) U ′ = Φ; Φ ′ = U.Teorema 1.11.6.i) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).ii) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).iii) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).iv) Existen casos en que(A × B) ∪ (C × D) ≠ (A ∪ C) × (B ∪ D).v) (A ⊆ X y B ⊆ Y ) ⇐⇒ (A × B) ⊆ (X × Y ).vi) A × B = Φ ⇐⇒ ((A = Φ) o (B = Φ)).L. conmutativa.L. Asociativa.Universidad de Antioquia

1.11. OPERACIONES CON CONJUNTOS: ∪, ∩, −, ×. 87Teorema 1.11.7.P(A) ⊆ P(B) sii A ⊆ B.Demostraremos 12 de estos teoremas, (con la idea de que el estudiantere-escriba las demostraciones), dejando los otros como ejercicios. Se mencionaráen cada demostración el método utilizado.Dm.(Teor. 1.11.1-(i)) (método directo.)Para demostrar que A ⊆ (A ∪ B) bastará con demostrar la implicación,x ∈ A =⇒ x ∈ (A ∪ B).Supongamos un x ∈ A.Empleemos la ley lógica de “adición con o”: (x ∈ A) o (x ∈ B).Esta afirmación equivale (por definición) a x ∈ (A ∪ B).Queda demostrada la mencionada implicación y también el teorema en suprimera parte. En términos parecidos se demuestra que B ⊆ (A ∪ B). ✷Dm.(Teor. 1.11.1-(v)) (método directo.)Para demostrar que A ∪ Φ = A utilizamos el criterio de la doble inclusión(teor. 1.9.2, página 70).Según la parte (i), A ⊆ (A ∪ Φ) (1.)Para demostrar la otra inclusión, (A∪Φ) ⊆ A), (2.), bastará con demostrarla implicaciónx ∈ (A ∪ Φ) =⇒ x ∈ A.Sea entonces x ∈ (A ∪ Φ).Por definición esto equivale a (x ∈ A) o (x ∈ Φ).Pero x ∈ Φ es una afirmación falsa y se puede cancelar, lo cual permiteafirmar como cierta, x ∈ A, quedando demostrada la inclusión (2.). De (1.)y (2.) concluímos que A ∪ Φ = A. ✷Dm. (Teor. 1.11.2-(iii)) (método directo.)Se quiere demostrar la propiedad asociativa de la intersección, i.e.,A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.En esta prueba haremos una cadena de equivalencias válidas, con aplicaciónfinal de la ley transitiva de la equivalencia, (teor. 1.3.2. (1.), página 28), y elax. de extensión, (ax. 2). Nótese que en todos los pasos de la cadena, se aplicaUniversidad de Antioquia

88CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSla definición de intersección de conjuntos, excepto en uno, (señalado con (*)),en que se aplica la propiedad asociativa de la conjunción de enunciados.x ∈ (A ∩ (B ∩ C)) ⇐⇒ (x ∈ A) y (x ∈ (B ∩ C))⇐⇒ ((x ∈ A) y ((x ∈ B) y (x ∈ C)))(∗)Por transitividad de la equivalencia,Y por el ax. 2,{}}{⇐⇒ (((x ∈ A) y (x ∈ B)) y (x ∈ C))⇐⇒ ((x ∈ A ∩ B) y (x ∈ C))⇐⇒ x ∈ (A ∩ (B ∩ C))x ∈ (A ∩ (B ∩ C)) ⇐⇒ x ∈ ((A ∩ B) ∩ C)A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.Nota: Con este mismo procedimiento se pueden demostrar gran parte delos enunciados que aparecen en los teoremas 1.11, como la parte (i) de losteoremas 1.11 (3, 4, 5 y 6), la parte (ii) de los teoremas 1.11 (1, 2, 3, 4, 5 y6), la parte (iii) de los teoremas 1.11 (1, 2, 5 y 6).Dm. (Teorema 1.11.2-(v)) (método de contradicción.)Se quiere demostrar que A∩Φ = Φ. Supongamos lo contrario, que A∩Φ ≠ Φ.Esto quiere decir que existe por lo menos un elemento, digamos x 0 , que está en(o pertenece a) A∩Φ. Por definición de intersección de conjuntos esto equivalea(x 0 ∈ A) y (x 0 ∈ Φ).Por ley de simplificación, x 0 ∈ Φ. Pero esto es absurdo, pués Φ no tieneelementos. Esta contradicción demuestra que A ∩ Φ = Φ. ✷Dm. (Teorema 1.11.3)(i) (método directo.)Se quiere demostrar la igualdad A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C).Empleemosuna cadena de equivalencias como en un caso anterior. Nótese, (con un (*)),el paso en que se aplica una ley distributiva relativa al álgebra de enunciados.Universidad de Antioquia✷

1.11. OPERACIONES CON CONJUNTOS: ∪, ∩, −, ×. 89x ∈ (A ∩ (B ∪ C)) ⇐⇒ (x ∈ A) y (x ∈ (B ∪ C))Por transitividad,⇐⇒ ((x ∈ A) y ((x ∈ B) o (x ∈ C)))(∗){}}{⇐⇒ (((x ∈ A) y (x ∈ B)) o ((x ∈ A) y (x ∈ C)))⇐⇒ (x ∈ (A ∩ B) o (x ∈ (A ∩ C))⇐⇒ x ∈ ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)).x ∈ (A ∩ (B ∪ C)) ⇐⇒ x ∈ ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)).Por el ax.de extensión, (ax. 2),A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).Dm: (Teorema 1.11.4 (ii))(método directo.)Se quiere demostrar la igualdad (A∪B) ′ = A ′ ∩B ′ . Se utilizará una cadena deequivalencias como en casos anteriores. Nótese con (*), en uno de los pasos,la negación de una disyunción.x ∈ (A ∪ B) ′ ⇐⇒ x /∈ (A ∪ B)Universidad de Antioquia✷⇐⇒ no((x ∈ A) o (x ∈ B))(∗)Por transitividad de las equivalencias,Por el ax.2, (ax. de extensión),{}}{⇐⇒ ((x /∈ A) y (x /∈ B))⇐⇒ ((x ∈ A ′ ) y (x ∈ B ′ ))⇐⇒ x ∈ (A ′ ∩ B ′ ).x ∈ (A ∪ B) ′ ⇐⇒ x ∈ (A ′ ∩ B ′ ).(A ∪ B) ′ = (A ′ ∩ B ′ ). ✷

90CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSDm: (Teorema 1.11.5 (ii))(método directo.)Demostremos que A ′ = U − A. utilizando una cadena de equivalencias. Sesabe, (por hipótesis), que A ⊆ U.x ∈ A ′ ⇐⇒ (x ∈ U y x /∈ A) ⇐⇒ x ∈ (U − A)y esto es suficiente para concluir la igualdad que se quería demostrar.Dm. (Teorema 1.11.5 (vi))(Por reducción al absurdo.)a) Se quiere demostrar que U ′ = Φ. Supongamos que U ′ ≠ Φ, luego existepor lo menos un elemento x 0 ∈ U ′ , o sea que x 0 /∈ U. Pero sabemos queU ′ ⊆ U, luego x 0 ∈ U. Por la ley lógica de simultaneidad, concluímos que(x 0 ∈ U) y (x 0 /∈ U)y esto es una contradicción lo cual confirma que U ′ = Φ. ✷b) Demostrar que Φ ′ = U resulta casi inmediato empleando la parte (a) y elresultado (iii) de este teorema:Por (iii),(U ′ ) ′ = U. ⋆Y por (a),U ′ = Φ.Finalmente, (sustituyendo U ′ por Φ en ⋆),Φ ′ = U.Dm: (Teorema 1.11.6 (iii))(método directo - cadena de equivalencias.)Se quiere demostrar la igualdad de los conjuntos (A × B) ∩ (C × D)y (A ∩ C) × (B ∩ D).Se suprimen algunos ( ) para aliviar un poco la notación.z ∈ ((A × B) ∩ (C × D)) ⇐⇒ (z ∈ (A × B) y (z ∈ (C × D)))Universidad de Antioquia✷⇐⇒ [z = (a,b) y (a ∈ A y b ∈ B)]y [z = (a,b) y (a ∈ C y b ∈ D)]⇐⇒ (z = (a,b) y [(a ∈ A y a ∈ C)y (b ∈ B y b ∈ D)])⇐⇒ [z = (a,b) y (a ∈ (A ∩ C)) y (b ∈ (B ∩ D))]⇐⇒ z ∈ [(A ∩ C) × (B ∩ D)].✷

1.11. OPERACIONES CON CONJUNTOS: ∪, ∩, −, ×. 91Finalmente, por transitividad de la equivalencia y por el ax. de extensión,concluímos la igualdad de los dos conjuntos.Dm: (1.11.6)(iv) (Regla del contraejemplo).Se quiere demostrar que existen casos en los que los conjuntos (A×B)∪(C ×D) y (A ∪ C) × (B ∪ D) son diferentes.Para esto basta dar un contraejemplo. Con 4 conjuntos muy sencillos se puedeconstruir el contraejemplo.Sean: A = {x}; B = {a,x}; C = {a,b} y D = {b}.Por una parte,A × B = {(x,a), (x,x)} y C × D = {(a,b), (b,b)}.Por otra parte,A ∪ C = {x,a,b} y B ∪ D = {a,x,b}.Y por tanto,es diferente de,Universidad de Antioquia✷{(x,a), (x,x), (a,b), (b,b)}} {{ }(A×B)∪(C×D){(x,x), (x,a), (x,b), (a,x), (a,a), (a,b), (b,x), (b,a), (b,b)} .} {{ }(A∪C)×(B∪D)Nótese la diferencia en el número de parejas, (9 vs. 4).Dm: (teorema 1.11.6(vi)) (método del contrarrecíproco y método de reducciónal absurdo. )Se trata de demostrar que A × B = Φ sii ((a = Φ) o (B = Φ)).Como el enunciado es una equivalencia, (doble implicación), hacemos la demostraciónen dos partes, primero la implicación,A × B = Φ =⇒ ((A = Φ) o (B = Φ)) (∗)y después la implicación recíproca,((A = Φ) o (B = Φ)) =⇒ A × B = Φ (∗∗)Para demostrar la 1 a implicación, (∗), empleamos el método del contrarrecíproco,i.e., demostramos la contrarrecíproca:(A ≠ Φ y B ≠ Φ) =⇒ A × B ≠ Φ. (∗ ∗ ∗)Supongamos que (A ≠ Φ y B ≠ Φ).✷

92CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSSegún esto, existen a ∈ A y b ∈ B y con dichos elementos definamos el parordenado z = (a,b). De inmediato concluímos que z ∈ (A ×B) con lo cual segarantiza que A×B ≠ Φ y la implicación (∗∗∗) queda demostrada, quedandotambién demostrada la implicación (∗).Para demostrar la 2 a implicación, (∗∗), empleamos el método de reducciónal absurdo.Según este método, empecemos suponiendo como cierta la negación de (∗∗),i.e.,((A = Φ) o (B = Φ)) y A × B ≠ Φ. (⋆)Puesto que, A × B ≠ Φ, (ley de simplificación),[existe z ∈ A × B y z = (a,b)] con (a ∈ A y b ∈ B).Separemos la parte (a ∈ A y b ∈ B), (ley de simplificación), de la cualconcluímos queA ≠ Φ y B ≠ Φ,lo cual está en contradicción con la afirmación que aparece en (⋆) de queuno de los conjuntos A o B es vacío. Esta contradicción demuestra que laimplicación (∗∗) es verdadera.La demostración de las 2 implicaciones nos deja confirmado el teorema. ✷Dm: (Teorema 1.11.7) (método directo.)El enunciado de este teorema es: (P(A) ⊆ P(B) sii A ⊆ B.)Separemos la equivalencia en dos implicaciones que demostraremos por separado.a) (P(A) ⊆ P(B) =⇒ A ⊆ B.)Como se hace siempre en el método directo, empecemos suponiendo comocierto que,P(A) ⊆ P(B), hipótesis.Queremos demostrar que A ⊆ B. Para demostrar esta relación se debe demostrarla implicación asociada, a saber,x ∈ A =⇒ x ∈ B.Sea x ∈ A, luego el singulete de x es un subconjunto de A, i.e., {x} ⊆ A yesto equivale a{x} ∈ P(A).Luego, por hipótesis,{x} ∈ P(B).Universidad de Antioquia

1.12. EJERCICIOS 93Según definición del conjunto de partes, {x} ⊆ B, de donde podemos concluirque x ∈ B. La primera implicación ha quedado demostrada. ✷b) A ⊆ B =⇒ P(A) ⊆ P(B)).Empecemos suponiendo, A ⊆ B, (hipótesis.)Lo que se debe demostrar es queP(A) ⊆ P(B)).Para lo cual basta demostrar la implicación asociada,y ∈ P(A) =⇒ y ∈ P(B) (⋆).Supongamos y ∈ P(A).Debemos probar que y ∈ P(B).Continuemos afirmando que y ⊆ A, (por cambio de la relación ∈ por larelación ⊆).Pero como A ⊆ B entonces, por transitividad de la relación de inclusión, sesigue que y ⊆ B y por tanto, (cambiando la relación ⊆ por la relación ∈),concluímos que y ∈ P(B), quedando así demostrada la implicación (⋆) ypor lo tanto la 2 a implicación. ✷1.12. Ejercicios1. Demostrar los teoremas de este capítulo, incluyendo los que están demostradosen el texto.2. Escriba por extención, cada uno de los siguientes conjuntos:• {n ∈ Z/n = 2k, k ∈ Z.}. Resp. {2, 4, 6, · · · }.• {p ∈ Z/p es primo impar y p < 20}.• {x ∈ R/x es solución de la ecuación x 2 − 2 = 0}.• {x ∈ R/x es solución de la ecuación x 2 + 1 = 0}.• {a ∈ Z/9 < a 2 < 49}.• {t n /t n = 1 + 2 + 3 + · · · + n y t n < 12}.3. En cada uno de los siguientes conjuntos observe alguna propiedad quele permita escribirlos “por comprensión”:i) {1, 3, 5, 7, 9, · · · }. Respuesta: {m ∈ Z/m = 2k − 1, k ∈ Z.}Universidad de Antioquia

94CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOSii) {3, 6, 9, 12, · · · }; iii) {5, 7, 9, 11, 13 · · · }; iv) {5, 7, 9, 11, 13};v) {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5vii) {1, 4, 9, 16, 25, · · · }., · · · }; vi) {0, ±1, ±2, ±3, ±4, · · · };4. Para las respuestas al ejercicio siguiente considere como conjunto dereferencia al conjunto: A = {1, 2, {3}, {1, 2}}.De las afirmaciones siguientes, señale con V las que son verdaderas ycon F las que son falsas.1 ∈ A; □ {1, 2} ∈ A; □{1, 2} ⊂ A; □ 3 ∈ A; □{3} ∈ A; □ {2, 3} ⊆ A; □{2} ∈ A; □ {3} ⊂ A; □{{3}} ⊂ A; □{{3}, {1, 2}} ∈ A; □{{3}, {1, 2}} ⊂ A; □{{1}, {1, 2}} ⊂ A; □{{1, 2, {1, 2}} ⊂ A}; □A ⊂ A; □ A ⊆ A; □Φ ∈ A; □ Φ ⊂ A □.5. En los siguientes ejercicios, llene el ( ) con el signo apropiado eligiendoentre ∈, ⊆. Tenga en cuenta que el conjunto A es el mismo del ejercicioanterior. {2, {3}} ( )A; {1, 2} ( )A; {1, 2} ( )A; {2} ( )P(A);{{1}} ( )P(A); Φ ( )P(A); Φ ( )P(A); A ( )P(A).6. En (a) hasta (j), representar la región rayada en términos de los signos∪, ∩, −, ′ . (Pueden darse diferentes respuestas correctas.)B(a)C←֓ UUniversidad de AntioquiaBց U(b)CA

1.12. EJERCICIOS 95BBBBց U(c)C(e)(g)ց UA(i)ACCC←֓ U←֓ UUniversidad de AntioquiaBBBց UC(d)ց U(f)ց U(h)ց U7. Representar los siguientes conjuntos mediante diagramas como los delejercicio anterior.(A ∩ B) ∪ C ′ .(A ′ ∩ B ′ ) ∪ C.(A ′ ∩ B) ∩ C.(A ∪ B) ′ ∪ C.BCCA(j)(A ′ ∩ B ′ ) ∪ C ′ .(A − B) ′ ∩ B.AAAC

96CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS(A ∪ C ′ ) ∩ (B ∪ C ′ ).8. Si A = {2, {3}, {5, 2}}, escriba los conjuntos P(A) y ∪P(A)9. Completar y demostrar: a.) ∪P(Φ) = .b.) ∪P(A) = . para todo A.10. a) Si A = {a,b}, ¿cuál de las siguientes relaciones es la única verdadera {{a}, {a,b}} ⊂ A; {a, {a,b}} ∈ P(A) {a, {a,b}} ⊂ A; {{a}, {a,b}} ∈ P(P(A)).b) ¿Cuántos elementos tiene P(P(A))?.c) ¿Cuál relación se le puede asignar al par (a,b): ¿subconjunto de A?11. Explicar la validez de la secuencia,{x} ∈ A =⇒ {{x}} ⊆ A =⇒ {{x}} ∈ P(A).Universidad de Antioquia?:¿pertenece a P(P(A))?¿pertenece a P(A)?Para dar respuesta al ejercicio que sigue, considerar los siguientes conjuntos:U = {n ∈ Z + /n < 20}A = {7, 8, 9, 10, 11}B = {n ∈ U/(n es impar), n < 13}E = {2, 4, 8, 16}12. Escribir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:A∩B; B−E; A∩B∩E; A−B; A∪B∪E; (A∪B) ′ ; A ′ ∩B ′ ;(A ∩ B) ′ ; A ′ ∪ B ′ ; A ∩ (B ∪ E); (A ∩ B) ∪ (A ∩ E); (A − B) ′ ;(A − B) − E; A − (B − E).13. a) ¿Cuántos subconjuntos con 2 elementos tiene S = {1, 2, 3, 4}?Resp.: Tiene ( )4 =4×322 .Escribir todos los subconjuntos con 2 elementos. (Consultar el significadode ( nm).)

1.12. EJERCICIOS 97b) ¿Si S es un conjunto con 20 elementos, i.e., Card(S) = 20, cuántossubconjuntos con 3 elementos tiene S?En los ejercicios 14 a 38 se pide hacer demostraciones de cada uno. Deser posible, acompañe cada demostración con un diagrama.(Haga el mayor uso posible de los teoremas para que las demostracionesno sean extensas.)14. a) B ⊆ (A ∪ B); b) (A ∩ B) ⊆ A.15. a) A ∪ A = A; b) A ∩ A = A.16. a) (A − B) ⊆ A; b) (A − B) ∩ B = Φ.17. a) (A ∪ Φ) = A; b) (A ∩ Φ = Φ.)18. Si A ⊆ B, demostrar que(A ∪ B) = B y (A ∩ B) = A.19. Si B ⊆ A, demostrar que (E ∩ B) ⊆ A, para todo conjunto E.20. Si B ⊆ A, demostrar que (E ∪ B) ⊆ (E ∪ A), para todo conjunto E.21. Si B ⊆ A y C ⊆ E, demostrar que (B ∪ C) ⊆ (A ∪ E) y (B ∩ C) ⊆(A ∩ E).22. Si E está incluído en A y también está incluído en B y (A ∩ B ≠ Φ),demostrar que E ⊆ (A ∩ B).Recíprocamente, si E ⊆ (A ∩ B), entonces E esta incluído en ambosconjuntos. (Ambos enunciados se pueden verificar en un diagrama).23. Comprobar por medio de un diagrama, que si A ⊆ (B ∪E), no se puedeasegurar que A ⊆ B ni que A ⊆ E.24. Si A ⊆ B, demostrar que B ′ ⊆ A ′ .25. Si (A ∪ E) = U y A ∩ E = Φ, demostrar que E = A ′26. Comprobar con un diagrama que no siempre: ((A − B) − C) = (A −(B − C)).(Significa que la diferencia de conjuntos no satisface la ley asociativa.)Universidad de Antioquia

98CAPÍTULO 1. LÓGICA - TEORÍA DE CONJUNTOS27. Demostrar: A − B = A − (A ∩ B).28. Demostrar: (A − B) ∪ (B − A) = (A ∩ B ′ ) ∪ (B ∩ A ′ ).29. Demostrar: (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).30. Demostrar que P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).31. Demostrar que P(A ∪ B) ⊇ (P(A) ∪ P(B)) pero que la inclusión enel otro sentido, (⊆), no se cumple para conjuntos diferentes, (dar uncontraejemplo).32. Demostrar que P(A) ⊆ P(B) sii A ⊆ B.33. a ∈ A sii {a} ∈ P(A).34. Demostrar que {{x}, {x,x}} = {{x}}35. Demostrar que A × (B − D) = (A × B) − (A × D).36. Sea D × E ≠ Φ. Demostrar que(D × E) ⊂ (A × B) sii (D ⊆ A) y (E ⊆ B).37. Demostrar empleando el método de inducción:a) Card(P(A)) = 2 n , siendo Card(A) = n.b) Card(A × B) = mn, siendo m = Card(A) y n = Card(B).[Recordar que es suficiente hacer la inducción sobre una de las letras m o n].38. Si Card(A) = 10, verificar que Card(P(A)) = 1 024.Universidad de Antioquia

Capítulo 2Relaciones y funciones.Desigualdades.Iniciamos este capítulo con el estudio de unos conjuntos especiales llamadosrelaciones, mencionando de paso algunos tipos especiales de relaciones. Entreéstas nos ocuparemos con especial atención de la más importante de lasrelaciones: la función. Aplazamos para el capítulo 3 las funciones de nuestromayor interés, a saber, aquellas que tienen que ver con números reales,para antes dar una mirada a estos importantes números considerando laspropiedades algebraicas de la suma y la multiplicación, pero en especial eltema del orden, la solución de desigualdades y la presentación de los intervalosreales en términos de distancias.2.1. Relaciones.Definición 2.1.1.a) Una Relación es un conjunto en el cual todos sus elementos son paresordenados.Digamóslo de otra forma igualmente importante:Un conjunto R es una Relación sii para todo z ∈ R, z es un par ordenadoSi R es una relación, se verifica la siguiente implicación:x ∈ R =⇒ x es un par ordenado.Universidad de Antioquia99

100CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Tendremos en cuenta el siguiente esquema, basado en la regla del “modusponens”:Premisas:1. El conjunto R es relación.2. x ∈ R.Conclusión: x es un par ordenado.b) Se llama dominio de una relación R al conjunto compuesto por todas las1 as componentes de las parejas de R. Se denota por Dom(R).Es decir,Tenga en cuenta,Dom(R) = {a/existe b, (a,b) ∈ R}a ∈ Dom(R) ⇐⇒ existe b, tal que (a,b) ∈ Rc) Se llama rango de una relación R al conjunto compuesto por todas las2 as componentes de las parejas de R. Se denota por ran(R).Es decir,Tenga en cuenta,Ejemplos:ran(R) = {y/existe x, (x,y) ∈ R}y ∈ ran(R) ⇐⇒ existe x, tal que (x,y) ∈ R• R = {(a,b), (x,a), (x,x), (b,x), (c,w)}; • S = {(−2, 4), (4, −2), (0, 0), (3, 5)};• T = {(x,y)/y = x 2 ;x ∈ R}; • M = {(k,n)/n = 1 k ;k ∈ Q+ }.Universidad de Antioquia

2.1. RELACIONES. 101Diagramas de las anteriores relaciones.axbc••••dominioR•b•a•x•wrangoT654 •3(−2, 4)y = x 2 *n210•-1 (0, 0) x(4, −2)-2•-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 65 *(S)•(3, 5)Universidad de Antioquia8yn = 1 k , k ∈ Q+ .** ****1 +| * * | * |1 4 6Observe que las relaciones, tanto R como S estan definidas por “extensión”en tanto que las relaciones M y T están definidas por “comprensión”.Mientras R es una relación con 5 parejas y S es otra con 4 parejas, lasrelaciones T y M tienen infinitas parejas, de las cuales, en las respectivasgráficas, se marcaron sólo algunas.Dom(R) = {a,x,b,c};ran(R) = {b,a,x,w}.Dom(S) = {−2, 4, 0, 3}; ran(S) = {4, −2, 0, 5}.Dom(T) = R; ran(T) = R + ∪ {0}.Dom(M) = Q + ; ran(M) = { 1 k /k ∈ Q+ }.• Claramente, el producto cartesiano de dos conjuntos es relación. Note queDom(A × B) = A y ran(A × B) = B.• Es fácil comprobar que el conjunto vacío, Φ, es una relación. Nótese que laimplicación,Mk

102CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.x ∈ Φ =⇒ x es un par ordenado,es un enunciado verdadero, (L. del antecedente falso), y éste significa que Φes relación, relación que no tiene parejas.Agreguemos que a la relación vacía le asignamos dominio y rango vacíos.El siguiente teorema nos informa del recíproco de la afirmación anterior.Teorema 2.1.1.Si el dominio, o el rango, de una relación es vacío, la relación es vacía.Demostración. Demostremos el contrarrecíproco. Supongamos que tenemosuna relación no vacía R. Esto quiere decir que tiene por lo menos una parejaz = (a,b). Luego el dominio de R tiene por lo menos un elemento que es ay el rango de R tiene por lo menos un elemento que es b. El teorema quedademostrado.• También es fácil comprobar que la unión, intersección y diferencia de relacionesson igualmente relaciones. Veamos el argumento para comprobar quela unión de relaciones es de nuevo una relación.Sean R y S relaciones. Queremos verificar que R ∪ S es relación. Bastademostrar que cualquiera de sus elementos es un par ordenado.Sea z ∈ (R ∪ S). Luego (z ∈ R) o (z ∈ S). Como estamos considerando dosposibilidades, continuamos razonando por disyunción de casos.Caso 1: Supongamos z ∈ R. Como sabemos, R es una relación, luego z es unpar ordenado.Caso 2: De igual manera, supongamos z ∈ S, lo cual nos determina que z esun par ordenado.Vemos que en ambos casos la conclusión es la misma: z es un par ordenado.El enunciado queda demostrado. ✷Veremos a continuación dos operaciones con relaciones que nos permitiránobtener nuevas relaciones.La primera de éstas es la inversión de relaciones que es una operación unariaya que, para obtener el resultado, se opera sobre una sola relación.Universidad de Antioquia

2.1. RELACIONES. 103Definición 2.1.2. La Inversa de una relación R es la relación que se obtieneinvirtiendo el orden de todas las parejas de R. La nueva relación así obtenidase denota R −1 . Es decir:Por lo tanto,Ejemplos:RELACIÓNES INICIALES:R = {(a,b),(x,a),(x,x),(b,x),(c,w)}.S = {(−2,4),(4, −2),(0,0),(3,5)}.R −1 = {(b,a)/(a,b) ∈ R}(b,a) ∈ R −1 ⇐⇒ (a,b) ∈ R.RELACIONES INVERSAS:R −1 = {(b,a),(a,x),(x,x),(x,b),(w,c)}.S −1 = {(4, −2),(−2,4),(0,0),(5,3)}.Para expresar la inversa de T = {(x,y)/y = x 2 ; x ∈ R}, debemos efectuaralgunos cálculos algebraicos. En efecto, como en la relación T, la “y ”está expresada en términos de “x”, para invertir el orden de las parejas sedebe expresar a “x” en términos de “y ”. Para hacer esto basta despejar“x” en la ecuación y = x 2 , lo cual, teniendo en cuenta que todo cuadradoes no negativo, nos conduce a,Finalmente,x = ± √ y; y 0.T −1 = {(y,x)/x = ± √ y, y 0}.De la misma manera, para definir la relación inversa deM = {(k,n)/n = 1 k ; k ∈ Q+ },procedemos a expresar k en términos de n donde n = 1 k y por tanto, k = 1 n .Ahora podemos definirM −1 = {(n,k)/k = 1 n ; n ∈ Q+ }.Las gráficas siguientes corresponden a las relaciones inversas de T y M.Universidad de Antioquia

104CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.x = ± √ y, y 0OT −1xUniversidad de Antioquia851O**kk = 1 n , n ∈ Q+ .** ****+| * * | * |1 4 6M −1Note el contraste entre estas dos gráficas y las gráficas iniciales de T y M.Mientras que la parábola de T −1 aparece rotada −90 grados con respecto ala parábola de T, la gráfica de M −1 no cambia de aspecto con respecto a lagráfica de M. (Ver T y M en página 101.)Si bien se mira en las relaciones de los anteriores ejemplos y sus respectivasinversas, se notará que el dominio de las inversas es igual al rango de las relacionesiniciales y recíprocamente, el rango de las inversas es igual al dominiode las relaciones iniciales, por ejemplo, si R es la relación mencionada en lapágina anterior,Dom(R −1 ) = {a,x,b,w} = ran(R).ran(R −1 ) = {a,x,b,c} = Dom(R).El siguiente teorema confirma este hecho.Teorema 2.1.2.Siendo R una relación,Dom(R −1 ) = ran(R).ran(R −1 ) = Dom(R).Las demostraciones de ambos resultados son análogas. Aquí demostramos elsegundo resultado por método directo y empleando una cadena de equivalenciascomo lo hicimos en pruebas anteriores, (véanse páginas 88 y 89).n

2.1. RELACIONES. 105Demostración.y ∈ ran(R −1 ) ⇐⇒existe x 0 tal que (x 0 ,y) ∈ R −1Por transitividad de la equivalencia,⇐⇒existe x 0 tal que(y,x 0 ) ∈ R ⇐⇒ y ∈ Dom(R).y ∈ ran(R −1 ) ⇐⇒y ∈ Dom(R).Finalmente, por el axioma de extención, (ax. 2), concluímos queran(R −1 ) =Dom(R).Teorema 2.1.3. Sea R una relación cualquiera. Entonces:(R −1 ) −1 = R (Invertir 2 veces es volver a la relación inicial.)Demostración.Esta se puede realizar siguiendo una cadena de equivalencias:(x,y) ∈ (R −1 ) −1 ⇐⇒ (y,x) ∈ R −1 ⇐⇒ (x,y) ∈ R.Como sabemos, (por transitividad),(x,y) ∈ (R −1 ) −1 ⇐⇒ (x,y) ∈ R.Finalmente, (por ax. 2),✷(R −1 ) −1 = RLa segunda operación, que habíamos anunciado arriba, es una operaciónbinaria, ya que se realiza entre dos relaciones. Definimos a continuación estaimportante operación.Definición 2.1.3. Consideremos dos relaciones dadas R y S.Sean a, b y c tales que (a,c) ∈ S y (c,b) ∈ R. Con base en estas dosparejas definamos una nueva pareja (a,b). La relación de todas las parejas(a,b) definidas de este modo, se llama relación compuesta y se denota porR ◦ S.Universidad de Antioquia

106Por tanto,Recuerde:CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.R ◦ S = {(a,b)/existe c tal que (a,c) ∈ S y (c,b) ∈ R}.(a,b) ∈ R ◦ S ⇐⇒ existe c tal que (a,c) ∈ S y (c,b) ∈ R.Verifique en el siguiente diagrama la forma de definir la pareja (a,b) ∈ R◦S.Note el papel que cumple c como intermediario para obtener (a,b). Note,además, el orden requerido para realizar la operación: primero S y después R.a•cSR•(a,c) ∈ S(a,b) ∈ R ◦ SEjemplos:1. Si se dan las relaciones:• S = {(a,b), (x,a), (x,x), (b,x), (c,w), (t,a)};entonces,(c,b) ∈ RUniversidad de Antioquia•b• R = {(b,m)(b,w)(x,t)}R ◦ S = {(a,m), (a,w), (x,t), (b,t)}. En cambio, S ◦ R = {(x,a)}.Note que R ◦ S ≠ S ◦ R: La composición de relaciones no es una operaciónconmutativa.Diagrama de Venn para R ◦ S :S RDiagrama de Venn para S ◦ R :R Sa•••b m••b a•bx•••x m•x•x•x••bww•••c wc••wa••w••t a•••tt•baR ◦ SS ◦ R“Primero S y después R”.“Primero R y después S”.

2.1. RELACIONES. 1072. Si U es la relación {(1,2),(3,4)} y W es la relación {(1,3)}, entoncesW ◦ U = Φ mientras que U ◦ W = {(1, 4)}. Este es un 2 o ejemplo que sirvepara comprobar que la composición de relaciones no es conmutativa.Teorema 2.1.4. Sean R,S y T relaciones. Entonces:• (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T).• Existen relaciones R y S tales que,R ◦ S ≠ S ◦ R• R ◦ Φ = Φ ; Φ ◦ R = Φ.• (R ◦ S) −1 = S −1 ◦ R −1Ley asociativa.(La composición de relaciones no es conmutativa).Para la demostración de la 1 a parte, (ley asociativa), empleamos el métododirecto y una cadena de equivalencias.Observe, señalado con un ∗, el paso en que se realiza intercambio de los doscuantificadores existenciales, (propiedad conmutativa).Demostración.(a,b) ∈ (R ◦ S) ◦ T ⇐⇒ existe c tal que[(a,c) ∈ T y (c,b) ∈ (R ◦ S)]⇐⇒ existe c tal que[(a,c) ∈ Ty [existe w tal que[(c,w) ∈ S y (w,b) ∈ R ] ] ]⇐⇒ existe c tal que [existe w tal que[(a,c) ∈ T∗y [(c,w) ∈ S y (w,b) ∈ R ] ] ]{}}{⇐⇒ existe w tal que [existe c tal que[(a,c) ∈ Ty (c,w) ∈ S ] y (w,b) ∈ R ]⇐⇒ existe w tal que[(a,w) ∈ S ◦ T y (w,b) ∈ R ]⇐⇒ (a,b) ∈ R ◦ (S ◦ T).Como en anteriores demostraciones,(a,b) ∈ (R ◦ S) ◦ T ⇐⇒ (a,b) ∈ R ◦ (S ◦ T). [transitividad ⇐⇒ .]De donde, [ax. 2.],(R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T).Universidad de Antioquia

108CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Para demostrar la 2 a parte del teorema basta dar un contraejemplo. Remitimosal lector a las páginas 106 y 107 donde ilustramos dos contraejemplos.La parte 3 del teorema se propone como ejercicio. (Ver sección de ejercicios.)Demostración de la última parte del teorema.(x,y) ∈ (R ◦ S) −1 ⇐⇒ (y,x) R ◦ S ⇐⇒ existe w tal que [(y,w) ∈ S y(w,x) ∈ R] ⇐⇒ existe w tal que [(x,w) ∈ R −1 y (w,y) ∈ S −1 ] ⇐⇒ (x,y) ∈S −1 ◦ R −1 .Finalmente concluímoses decir,(x,y) ∈ (R ◦ S) −1 ⇐⇒ (x,y) ∈ S −1 ◦ R −1 .(R ◦ S) −1 = S −1 ◦ R −1 . (Axioma 2.) ✷Verifiquemos con un ejemplo esta parte.RELACIONESINICIALES:S = {(1,3),(1,4),(3,4)}R = {(3,2),(4,5)}RELACIONESINVERSAS:S −1 = {(3,1),(4,1),(4,3)}R −1 = {(2,3),(5,4)}(transitividad.)RELACIONESCOMPUESTAS:R ◦ S = {(1,2),(1,5),(3,5)}(R ◦ S) −1 = {(2,1),(5,1)(5,3)}S −1 ◦R −1 = {(5,3),(5,1),(2,1)}Observe en la columna de RELACIONES COMPUESTAS como queda verificadala parte 4 del teorema: (R ◦ S) −1 = S −1 ◦ R −1Ilustremos, además esta última parte del teorema 2.1.4. con un ejemplo dela vida cotidiana:Para asegurar la puerta de nuestra casa, (R ◦ S), primero la cerramos, (S),y después utilizamos la llave para poner el cerrojo, (R). Para la operación“ inversa”, (R ◦ S) −1 , primero utilizamos la llave para quitar el cerrojo, R −1y después abrimos la puerta, (S −1 ).Observe el intercambio (cerrar - poner el cerrojo) ↦−→ (quitar el cerrojo -abrir), es decir, (R ◦ S) −1 = S −1 ◦ R −1Universidad de Antioquia

2.1. RELACIONES. 109Teorema 2.1.5. Sean R y S relaciones. Entonces:• Dom(R ◦ S) ⊆ Dom(S).• ran(R ◦ S) ⊆ ran(R).• Si ran(S) ⊆ Dom(R), entonces Dom(R ◦ S) = Dom(S).Dejamos para el lector la demostración de las dos primeras partes del teoremay demostramos la última parte.Demostración, 3 er enunciado. (Método directo).La implicación a demostrar es,ran(S) ⊆ Dom(R) =⇒ Dom(R ◦ S) = Dom(S).La demostración presenta dos casos, según que el rango de S sea vacío o no.En el primer caso, si el rango de S es el conjunto vacío, es porque S es larelación vacía y por tanto R◦S es relación vacía, (teorema 2.1.4., página 107).En consecuencia, Dom(R ◦ S) y Dom(S) son conjuntos iguales al vacío, esdecir, Dom(R ◦ S) = Dom(S).Para el segundo caso, supongamos que el rango de S es un subconjunto novacío del dominio de R, (hipótesis). Se quiere demostrar que Dom(R ◦ S) =Dom(S). Para ello utilizaremos el criterio de la doble inclusión, (teorema1.9.2., página 70.).Una de dichas inclusiones es precisamente la primera parte de este teorema:Dom(R ◦ S) ⊆ Dom(S). Así que sólo nos ocuparemos de demostrar la inclusióninversa: Dom(S) ⊆ Dom(R ◦ S).Sea x ∈ Dom(S). Por definición, existe y 0 tal que (x,y 0 ) ∈ S. De dondey 0 ∈ ran(S) y, según la hipótesis, y 0 ∈ Dom(R), lo cual es equivalente, pordefinición, a la existencia de un z tal que (y 0 ,z) ∈ R. Podemos concluir, porla ley lógica de simultaneidad, que existe y 0 tal que [(x,y 0 ) ∈ S y (y 0 ,z) ∈ R ]luego, (por definición de la composición de relaciones), (x,z) ∈ R◦S, es decir,x ∈ Dom(R ◦ S). La inclución inversa queda demostrada. Ahora podemosconcluir que Dom(R ◦ S) = Dom(S) dando así fin a la demostración.El siguiente teorema da una condición suficiente para que la relación compuestapor dos relaciones, no sea vacía.Universidad de Antioquia

110CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Teorema 2.1.6. En el supuesto de que S sea una relación no vacía,ran(S) ⊆ Dom(R) =⇒ (R ◦ S) ≠ Φ.Demostración. (Método directo.) Supongamos que ran(S) ⊆ Dom(R) ysea w ∈ ran(S), (pués S ≠ Φ), luego existe x tal que (x,w) ∈ S, (definición).Además w ∈ Dom(R), (por la hipótesis), luego existe y tal que (w,y) ∈ R.Finalmente podemos concluir que existe una pareja z = (x,y) en R ◦ S,(definición de composición de relaciones), y por tanto R ◦ S ≠ Φ.RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.Dados dos conjuntos A y B se pueden definir entre sus elementos distintasrelaciones. En adelante, este tipo de relaciones serán las de nuestro mayorinterés.Definición 2.1.4. a) Una relación R está definida de un conjunto A en (ohacia) un conjunto B si y solo si Dom(R) ⊆ A y ran(R) ⊆ B.b) Una relación S está definida en un conjunto A, (es decir, de A hacia A),si y solo si, tanto su dominio como su rango son subconjuntos de A.Ejemplos:Sean los conjuntos A = {a,b,c,x,y,w} y B = {m, 3,a,u,w,t, 1}.ARUa ••m B A a ••m B a •H•••••b 3 b 3 by ••a y ••a y •x••u x••u x•w••w w••w w•c••••t c t c•••11dominio rango dominio rango dominioLas relaciones R = {(a,a), (b,m), (c,w), (c, 1), (c,t), (w, 1), (y, 3)} yU = {(b,m)} son relaciones de A en B.Universidad de Antioquia• a•b•y•x•w•crangoPara justificar esta afirmación, note que Dom(R) = {a,b,c,w,y} y Dom(U) ={b} son subconjuntos de A.Además, ran(R) = {a,m,w, 1,t, 3} y ran(U) = {m} son subconjuntos de B.La relación H = {(a,b), (a,w), (w,y), (x,y), (y,x), (a,y), (w,x), (a,x), (x,x)}es una relación en A. Para justificar esta afirmación, note que Dom(H) ={a,w,x,y} y ran(H) = {b,w,y,x} son, ambos, subconjuntos de A.

2.1. RELACIONES. 111Una relación de especial importancia es la llamada identidad en A.Definición 2.1.5. La relación cuyos elementos son todos los pares ordenadosde la forma (x,x), donde los x son elementos de un conjunto cualquiera A,se llama relación identidad en A y se denota por I A .Por tanto,I A = {(x,x)/x ∈ A}.De otra manera:Por tanto,Ejemplos:I A = {z/z = (x,y); x ∈ A, y = x}z ∈ I A ⇐⇒ (z = (x,y) con x ∈ A, y = x).1 - Para el conjunto A = {a,b,c,x,y,w}, la relación identidad es,I A = {(a,a), (b,b), (c,c), (x,x), (y,y), (w,w)}.2 - Para el conjunto de los números reales la importante relación identidad ,I R = {(x,y)/y = x; x ∈ R},es una línea recta cuando se representa en el plano cartesiano, (ver el siguientediagrama.)43210-1-2-3(−1, −1) ••(0,0)•(1,1)-4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4I Ryy=xUniversidad de Antioquiax

112CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.TIPOS DE RELACIONES.(reflexivas, simétricas, antisimétricas y transitivas).Consideramos bajo este título solamente relaciones definidas en un conjuntoA.Sea R una relación definida en A. Tendremos en cuenta, por razones desimplificación, escribir,aRben lugar de (a,b) ∈ R, expresiones que se pueden leer ambas, como: “aestá relacionado con b”.Como es de esperar,aRbsignifica “ a no está relacionado con b”, es decir, (a,b) /∈ R.DEFINICIONES.1. R es reflexiva en A sii, para todo a,a ∈ A =⇒ aRa. (1.)En otra forma: R es reflexiva en A sii, cada elemento de A está en relaciónconsigo mismo.Ejemplo: En A = {1, 2, 3} la relación,es reflexiva.2. R es simétrica en A sii,R = {(2, 2), (3, 2), (1, 1), (3, 3)}aRb =⇒ bRa, (2.)(⋆)para todos los a,b ∈ A.En términos de lenguaje corriente: R es simétrica en A sii por cada parejade R, la pareja invertida también está en R.Ejemplo: La relación R (⋆) no es simétrica en A, lo cual se justifica porquela implicación definidora (2.) resulta falsa en el siguiente caso:Universidad de Antioquia

2.1. RELACIONES. 1133R2 =⇒ 2R3.En cambio la relación S = {(3, 2), (3, 3), (1, 1), (2, 3), (2, 2)} es no solo simétricasinó también reflexiva en A. La condición de simetría se puede verificar pormedio de la implicación definidora (2.). Veamos una verificación y dejamoslas otras verificaciones para el estudiante:es implicación verdadera.3. R es antisimétrica en A sii,3S2 =⇒ 2S3,(aRb y bRa) =⇒ a = b, (3.)para todos los a,b ∈ A.En términos de lenguaje corriente: R es antisimétrica en A sii cuando todapareja y su respectiva pareja inversa están en R, es porque son una mismapareja que tiene sus componentes iguales.Ejemplo: La relación R (⋆) si es antisimétrica en A pués la implicacióndefinidora (3.) se cumple para todas las parejas de R, por ejemplo para lapareja (3,2) pués(3R2 y 2R3) =⇒ 3 = 2,es verdadera. (Recuerde cierta ley lógica!.) Claro que se deben verificar todaslas posibilidades, lo cual se deja para el estudiante.4. R es transitiva en A sii,para todos los a,b,c ∈ A.(aR b y bRc) =⇒ aRc, (4.)Ejemplo: La relación R(⋆) es transitiva lo cual se verifica aplicando la implicacióndefinidora (4.) a todas las parejas. Dejamos como testimonio un casoy el estudiante puede verificar los otros casos:(3R 2 y 2R 2) =⇒ 3R 2Universidad de Antioquia

114CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.es una implicación verdadera. (El mismo control se debe realizar con lasdemás parejas de R.)Veamos nuevos ejemplos:• En el conjunto B = {a, 3,b, 5,w} la relaciónT = {(a, 3), (3,a), (w,w), (w,a), (b, 5), (5, 5), (a,a), (3, 3), (w, 3)}no es ni reflexiva, ni simétrica, ni antisimétrica pero si es transitiva. Verifiqueel estudiante cada afirmación.• En el mismo conjunto B, la relación U={(5,b)} es antisimétrica y es transitivapero no es reflexiva ni simétrica.• El producto Cartesiano A×A es una relación reflexiva, simétrica y transitivaen A para todo conjunto A.El argumento que justifica esta afirmación se basa en la definición del productoCartesiano en la cual se afirma que en A × A tienen que estar todaslas parejas posibles conformadas con los elementos de A.Entrando en detalle, sabemos que en A × A estan todas las parejas de laforma (x,x) con x ∈ A, (propiedad reflexiva). También, están todas lasparejas de las formas (x,y) y (y,x) con x,y ∈ A, lo cual convierte a larelación A×A en simétrica. Así mismo, están todas las parejas de las formas(x,y), (y,z) y (x,z) con x,y,z ∈ A, lo cual convierte a la relación A × A entransitiva. ✷En todo conjunto A que tenga más de un elemento, se dá fácilmente uncontraejemplo que demuestra que A × A no es antisimétrica. Se proponecomo ejercicio dar el contraejemplo. Por ejemplo, en A = {a,b} considereA × A.• La relación de inclusión, (⊆), definida en P(A) es:⊙ Reflexiva, (A ⊆ A, teorema 1.9.1., pág.68).⊙ Antisimétrica,[(A ⊆ B) y (B ⊆ A) =⇒ (A = B), teorema 1.9.2., pág.,70].⊙ Transitiva, [(A ⊆ B) y (B ⊆ C) =⇒ (A ⊆ C). (teorema 1.9.1.,pág., 68)].• La relación Φ definida en un conjunto A no vacío, es simétrica, antisimétricay transitiva, ya que las 3 implicaciones respectivas tienen antecedente falso.Universidad de Antioquia

2.2. EJERCICIOS SOBRE RELACIONES. 115Por ejemplo para verificar antisimetría considérese la implicación verdadera,[(a,b) ∈ Φ y (b,a) ∈ Φ] =⇒ (a = b)• En el conjunto A = {a,b,c}, la relación J = {(a,b), (a,c), (c,a), (a,a)}no tiene ninguna de las características anteriores, pués para cada una sepuede dar un contraejemplo: no es reflexiva, pués no está la pareja (c,c);no es simétrica, pués está la pareja(a,b) y no está la pareja (b,a), etc. (Verejercicio 15, página 117.)Nota:Las relaciones definidas en un conjunto A que sean reflexivas, antisimétricasy transitivas se llaman relaciones de orden y como su nombre loindica, ordenan al conjunto A. En particular, las relaciones ≤, (menor oigual que) y su inversa ≥, (mayor o igual que), ordenan el conjunto de losnúmeros reales, (R) y están en la base de las desigualdades, tema que estaremostratando más adelante en este mismo capítulo.Así mismo, como lo acabamos de exponer, la relación de inclusión ordena elconjunto de partes de cualquier conjunto.En la base del Álgebra se hayan las relaciones de equivalencia. Las relacionesque definidas en un conjunto A, sean reflexivas, simétricas y transitivas,se llaman relaciones de equivalencia. Este tipo de relaciones tienen laimportante propiedad de clasificar los elementos del conjunto donde esténdefinidas. No serán consideradas en este texto.2.2. Ejercicios sobre relaciones.1. Considere las relaciones:R = {(a, 2), (2, 3), (b,a), (a,x), (x, 2), (3,x), (c, 5), (5,c), (5, 3)}.S = {(3,x), (3, 2), (2, 2), (a,b), (x,a), (a,a), (2, 5)}.T = {(z,y), (x, 3), (a,a), (2,z)}.Realice las siguientes actividades con estas 3 relaciones:• Encontrar dominios y rangos.• Encontrar Dom(R) ∩ Dom(S) y ran(R) ∩ ran(S) ∩ ran(T).Universidad de Antioquia

116CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.• Encontrar Dom(R ∪ S) y comprobar que Dom(R ∪ S) = Dom(R) ∪Dom(S).• Encontrar Dom(R ∩ S) y comprobar que Dom(R ∩ S) ≠ Dom(R) ∩Dom(S).• Efectuar: R ◦ S, R ◦ T y T ◦ S.• Efectuar: R −1 ◦ S y T ◦ R ◦ S.• Efectuar: R ◦ R −1 y S ◦ S.2. Escribir por extención la relación S = {(x,y)/x y}, donde x y ytoman todos los valores 1, 2, 3, 4. Hacer un diagrama cartesiano de larelación S.3. La relación C = {(x,x 2 )/x ∈ N} tiene una cantidad infinita de parejas,(Card(C) = ∞). Completar las siguientes parejas de C: (3, ), ( , 49),(1, ), ( , 100)4. Si A es el conjunto de los números primos y B es el conjunto de númerosenteros elevados al cuadrado, escribir 5 parejas de la relación L ={(p,q)/p ∈ A y q = p 2 }.5. Dada la relación H = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}, escribir una relación G quetenga 6 o más parejas y tal queG ◦ H={(a,2),(a,3),(b,4),(c,4)}.Representar en un diagrama de Venn la solución.6. Demostrar que la Unión, Intersección y Diferencia de dos relacionestambién son relaciones.7. Demostrar que en toda relación R, Dom(R −1 ) = ran(R). (teorema2.1.2., página 104).8. Demostrar que R ◦ Φ = Φ y Φ ◦ R = Φ. (teorema 2.1.4., página107).9. Demostrar que toda relación de A en B es un subconjunto de A × B.10. Si R es una relación definida de A en B, demostrar: R ◦ I A = R;I B ◦ R = R.Universidad de Antioquia

2.2. EJERCICIOS SOBRE RELACIONES. 11711. Si R es la relación vacía, demostrar que R ◦ S = Φ, para toda relaciónS. (Sugerencia: Utilice el método del contrarrecíproco).12. Demostrar:a.) Dom(R ∪ S) = Dom(R) ∪ Dom(S).b.) ran(R ∪ S) = ran(R) ∪ ran(S).c.) Dom(R ∩ S) = Dom(R) ∩ Dom(S).d.) Dom(R∩S) ⊆ Dom(R)∩Dom(S), pero no siempre, Dom(R∩S) ⊇Dom(R) ∩ Dom(S).Sugerencia: considere: R = {(a,b),(b,c),(x,c),(a,x)};13. Demostrar para R y S relaciones:• Dom(R ◦ S) ⊆ Dom(S).• ran(R ◦ S) ⊆ ran(R). (Ver teorema 2.1.5., página 109).14. Sea R una relación definida en un conjunto A.La negación: “R no es transitiva en A ”, es la siguiente:S = {(a,b),(c,a),(a,x),(b,x)}Existen en A elementos x,y,z tales que (xRy y yRz) y xRy.De la misma manera efectuar las negaciones:• R no es reflexiva en A.• R no es simétrica en A.• R no es antisimétrica en A.15. Emplear el ejercicio anterior para demostrar que la relaciónJ = {(a,b)(a,c)(c,a)(a,a)} definida en {a,b,c} no es reflexiva, ni simétrica,ni antisimétrica, ni transitiva en A. (Aporte contraejemplos.)16. Dar contraejemplos que demuestren que la relación,N = {(a,b), (a,c), (c,a), (a,a)}no es reflexiva, ni simétrica, ni antisimétrica, ni transitiva en el conjuntoA = {a,b,c}.Universidad de Antioquia

118CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.17. Verificar que el producto cartesiano A × A no es relación antisimétricaen el conjunto A = {a,b}.18. Se define en B = {a, 3,b, 5,w} una relaciónT = {(a, 3), (3,a), (w,w), (w,a), (b, 5), (a,a), (3, 3), (w, 3), (5, 5)}.Analizar, justificando, las características de T.19. Sea R una relación no vacía, definida en un conjunto A.Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:• R es reflexiva en A sii I A ⊆ R.• R es simétrica en A sii R −1 = R.• R es antisimétrica en A sii ... (completar.)(reflexiva = no, etc.).Sugerencia: Mire en A = {a,b,c} la relación R ∩ R −1 , siendo R = {(a,b)(c,c)}.• R es transitiva en A sii (R ◦ R) ⊆ R.20. Sean R y S relaciones definidas en un conjunto no vacío A. Demostrarcada una de las siguientes afirmaciones:• Si R es reflexiva en A, R ∪ S también es una relación reflexiva en A.• Si R y S son simétricas en A, R ∪S también es relación simétrica enA.• Si R y S son transitivas enA, R ∪ S no necesariamente es relacióntransitiva en A.(Con un contraejemplo queda demostrada la afirmación. Considere enA = {a,b,c,x,w}, las relaciones transitivas,R = {(a,b), (a,c), (a,w), (b,w), (b,c), (c,w)} y S = {(a,c), (b,a), (b,c)}).• Si R y S son antisimétricas enA, R∪S no necesariamente es relaciónantisimétrica en A. Para un contraejemplo, analice las relaciones antisimétricasR = {(a,b), (b,a), (a,a)} y S = {(c,x), (b,a)}, definidas enel conjunto A = {a,b,c,x,w}.• Si R y S son relaciones reflexivas, simétricas, antisimétricas y transitivasen A ≠ Φ, demostrar que la relación R ∩ S también es reflexiva,simétrica, antisimétrica y transitiva en A.Universidad de Antioquia

2.3. FUNCIONES 11921. • Si R es una relación de orden, (reflexiva, antisimétrica y transitiva)en un conjunto A, demostrar que R −1 también es una relación de ordenen A.22. Si R es una relación demostrar:• b ∈ Dom(R) =⇒ (b,b) ∈ (R −1 ◦ R).• a ∈ ran(R) =⇒ (a,a) ∈ (R ◦ R −1 ).23. Comprobar que la relación Φ definida en un conjunto A ≠ Φ, es simétrica,antisimétrica y transitiva. ¿Porqué no es reflexiva?2.3. FuncionesEl concepto más importantede todas las matemáticas es,sin dudarlo, el de función:En casi todas las ramas de lamatemática moderna, la investigaciónse centra en el estudio de funciones.Calculus, Michael Spivak.Definición 2.3.1. Una relación f de A hacia B es una función de A enB, si y solo si, para todo x ∈ A, existe un único y ∈ B tal que (x,y) ∈ f.Un símbolo abreviador para representar una función de A en B es el siguiente:f : A −→ B.El conjunto A es el dominio de la función: Dom(f) = A.El conjunto B se llama codominio de f: Cod(f) = B.Los siguientes tres diagramas nos permiten aclarar cuando es que una relaciónentre dos conjuntos A y B, es función.ghfAB AB AB•a• x•a• x•a• x• y• y• y•••b•zb•zb•zc••w c••w c••wno es función.no es función.SI es función.Universidad de Antioquia

120CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Sea f : A −→ B una función.COMENTARIOS.La costumbre ha impuesto que la letra “y ” en el enunciado (x,y) ∈ fsea reemplazada por el símbolo f(x).En consecuencia tengamos en cuenta la siguiente equivalencia,(x,y) ∈ f ⇐⇒ y = f(x).Haremos uso de ambas presentaciones, más de la segunda que de laprimera.El dominio A se llama también conjunto de salida. y el codominioB se llama también conjunto de llegada.A los elementos del dominio, representados con cualquier letra, especialmentecon x, se les llama preimágenes y también datos.Puesto que todas las funciones son relaciones, recordemos que el conjuntoconformado por las 2 as componentes de las parejas de toda relaciónse llama “rango”. A los elementos del rango de una función, y solo aéstos, se les llama imágenes y también resultados o valores de lafunción f. Se les representa con cualquier letra, especialmente con y ocon el símbolo f(x).Según esto, el conjunto que llamamos rango se define por comprensiónde las siguientes maneras:o también,ran(f) = {y ∈ B/y = f(x); x ∈ A},ran(f) = {f(x) ∈ B/x ∈ A}.Téngase en cuenta que el codominio y el rango no tienen que ser conjuntosiguales aunque pueden llegar a serlo. Lo seguro es que ran(f) ⊆Cod(f).Universidad de Antioquia

2.3. FUNCIONES 121La letra que represente a las preimágenes, (en este caso la x,) se llamala variable independiente ya que puede ser igualada a cualquierelemento del dominio.La letra que represente a las imágenes, (en este caso la y), se llamala variable dependiente pues el valor “que tome” depende del valor“que tome” x.La definición de “ función” se puede (y se debe) descomponer en 2condiciones muy diferentes:1 a condición). Se refiere a un cuantificador existencial: Para cadaelemento del dominio debe existir al menos un elemento que le hagapareja en la relación. Esto lo expresamos así:Para todo x ∈ A, existe por lo menos un y ∈ B tal que y = f(x).La implicación asociada es:x ∈ A =⇒ existe y ∈ B tal que y = f(x).Observando los diagramas de la página anterior nos podemos dar cuentade que la relación g no es función precisamente porque existe unelemento c en A para el cual no se cumple esta condición.2 a condición.) Se refiere a un cuantificador de unicidad: Cada elementodel dominio debe conformar a lo sumo una pareja, (no dos parejas),de la relación.Observando los diagramas de la página anterior nos podemos dar cuentade que la relación h no es función precisamente porque existe unelemento c en A para el cual no se cumple esta condición.Es importante presentar esta última condición, (unicidad), en forma deimplicación porque esto nos facilita su manejo lógico. Es así:Es decir,x 1 = x 2 =⇒ f(x 1 ) = f(x 2 ).“ A preimágenes iguales, deben corresponder imágenes iguales”.[Equivalentemente, (L. del contrarrecíproco),f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) =⇒ x 1 ≠ x 2 .]La siguiente gráfica resume parte de lo dicho en estos comentarios:Universidad de Antioquia

122CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.fADominio(preimágenes)variabledependienteEjemplos.• Consideremos la función,f = {(a,y), (b,z), (c,w)}Ver diagrama.El dominio es el conjunto {a,b,c}.El codominio es el conjunto {x,y,z,w}.El rango es el conjunto {y,z,w}.La imagen de a es y y esto lo expresamoscomo f(a) = y.La imagen de b es f(b) = z.La imagen de c es f(c) = .y = f(x)variableindependienteUniversidad de AntioquiaAabc•••fSi es función.B ❀ Codominiorango(imágenes)B•x• y•z•w• Otras relaciones que ya hemos mencionado en las páginas 101 y 111 fueron,la parábola, definida por la fórmula y = x 2 con x ∈ R; la relación definidapor la fórmula n = 1 k con k ∈ Q+ y la relación identidad I R , definida por lafórmula y = x, (Ver siguientes diagramas.) Se puede demostrar que estas tresrelaciones son funciones que vamos a denotar por f,g e i respectivamente, esdecir,f(x) = x 2 ,x ∈ R; g(k) = 1 k , k ∈ Q+ e i(x) = x, x ∈ R.

43212.3. FUNCIONES 1238 *n5 **f(x) = x 2 1 +0-2 -1 0 1 2g(k) = 1 k , k ∈ Q+ .* ****| * * | * |1 4 6En relación con estas tres funciones, se tiene lo siguiente:DOMINIOS:Dom(f) = R.Dom(g) = Q + .Dom(i) = R.• La fórmula,kRANGOS:ran(f) = R + ∪ {0}.ran(g) = Q + .ran(i) = R.l(x) = 2x − 1,•(0,0)••(−1, −1)Universidad de Antioquiay(1,1)i(x) = xALGUNOS VALORES DE LASFUNCIONES:f(0) = 0 2 = 0; g(2) = 1 2; i(0) = 0.f( 1 2 ) = (1 2 )2 = 1 4 ; g(1 3 ) = 3i( √ 2) = √ 2; f( √ 2) = ( √ 2) 2 = 2.x ∈ Rdefine una función l : R −→ R, cuya gráfica en el plano cartesiano es unarecta, (ver diagrama).Dm.: Para cumplir con las condiciones dela definición, (página 121), demostremosprimero la condición de “existencia”, es decir,la implicación,x ∈ R =⇒ existe un real l(x) = 2x − 1.En efecto, supongamos x ∈ R.Multiplicando este x por 2 y restando 1obtenemos un número reall(x) = 2x − 1. (L. Clausurativa).La implicación queda demostrada. ✷yx•(1, 1)(0, 0)••(0, −1)l(x) = 2x − 1Demostremos a continuación la condición de “unicidad”, es decir, la implicación,Supongamos x 1 = x 2 .x 1 = x 2 =⇒ l(x 1 ) = l(x 2 ).x

124CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Multiplicando por 2:2x 1 = 2x 2 , L. uniforme,y restando 1:2x 1 − 1 = 2x 2 − 1, L. uniforme,hemos conseguido,l(x 1 ) = l(x 2 ).La 2 a implicación también queda demostrada. ✷Definición 2.3.2. Funciones iguales:Para que dos funciones sean iguales se requiere:a) Que tengan el mismo dominio.b) Que tengan el mismo codominio.c) Que para cada preimagen, las respectivas imágenes sean también iguales.En otra forma:Sean, f : A −→ B y g : A −→ B. Entonces,f = g ⇐⇒ f(x) = g(x), para todo x ∈ A.COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.La operación binaria “composición de relaciones” adquiere su mayor interéscuando las relaciones son funciones. El siguiente teorema muestra que sepueden obtener, mediante “composición”, nuevas funciones a partir de funcionesdadas.Teorema 2.3.1. Sean f : A −→ BB = Cod(f) = Dom(g). (Ver gráfica)y g : B −→ C dos funciones conLa composición de estas dos funciones define una nueva función,tal queg ◦ f : A −→ C(g ◦ f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ A.Universidad de Antioquia

2.3. FUNCIONES 125AafB•f(a) = c•cg(f(a)) = bUniversidad de Antioquiagg(c) = bC•b = g(f(a))Demostración. Supongamos dadas las dos funciones f y g con,Cod(f) = Dom(g) = B, como dice en el enunciado.Debemos demostrar las 2 condiciones que se requieren para tener definidauna función, (página 121).1 a condición. Para todo a,a ∈ A =⇒ existe b ∈ C tal que b = g(f(a)).La demostración de esta parte se puede seguir paso a paso en el diagramaanterior.Dm.: Sea a un elemento de A. Como f es una función, existe c ∈ ran(f) talque c = f(a). Pero ran(f) ⊆ B, luego c ∈ B. Como g es función de B en C,el elemento c tiene su imagen g(c) = b en C. Al sustituir a c por f(a), en estaúltima igualdad se obtiene g(f(a)) = b. Queda demostrada la 1 a condición.2 a condición. Para a 1 y a 2 elementos de A,a 1 = a 2 =⇒ g(f(a 1 )) = g(f(a 2 )).Dm. Empecemos suponiendo a 1 = a 2 (método directo). Si aplicamos la funciónf a preimágenes iguales, se obtienen imágenes iguales, ambas en B,esto es, f(a 1 ) = f(a 2 ). Ahora que estamos en el conjunto B, aplicamos lafunción g a estos elementos que ahora son preimágenes iguales y, como g esfunción, obtenemos imágenes iguales: g(f(a 1 )) = g(f(a 2 )). La 2 a condiciónha quedado demostrada. La demostración del teorema queda completa.Nota: En el enunciado del teorema anterior ha quedado definida la formacomo se obtienen imágenes aplicando la composición de funciones, es decir:Para x ∈ A, (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

126CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Veamos algunos ejemplos. El 1 er ejemplo se observa en el siguiente diagrama.1.axbct•••••f•b•x• w•ag•m•w•t(g ◦ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = m.(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x) = t.(g ◦ f)(b) = g(f(b)) = g(x) = t.(g ◦ f)(c) = g(f(c)) = g(w) = t.(g ◦ f)(t) = g(f(t)) = g(w) = t.g ◦ f2. Entre los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, } y B = {3, 5, 6, 7, } se definen dosfunciones g : A −→ A y h : A −→ B, de la siguiente manera:g = {(1, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 1), (5, 2)}; h = {(3, 3), (2, 6), (1, 7), (4, 3), (5, 7)}.Definir por extensión las siguientes funciones: h ◦ g; I B ◦ h; I A ◦ g.Solución.• h ◦ g : A −→ Bh ◦ g = {(1,3),(2,7),(3,3),(4,7),(5,6)}• I B ◦ h : A −→ BI B ◦ h = {(3,3),(2,6),(1,7),(4,3),(5,7)}Sugerencia: Comprobar estas soluciones trazando diagramas de Venn para lasfunciones compuestas y completar el ejemplo con la función I A ◦g : A −→ A.3. Dadas las funciones f(x) = x 2 y l(x) = 2x − 1, x ∈ R:• Definir las funciones f ◦ l y l ◦ f.Solución:a) (f ◦ l)(x) = f(l(x)) = f(2x − 1) = (2x − 1) 2 = 4x 2 − 4x + 1.b) (l ◦ f)(x) = l(f(x)) = l(x 2 ) = 2x 2 − 1.• Completar las siguientes igualdades para los valores dados de x:x = 0.x = 1x = −1x = 3x = √ 3x = 3 5x = −35x = − √x = ax = b +x = b+1af(0) = 0f(1) =f(−1) =f(3) =f( √ 3) =f( 3 5 ) = 925f( −35 ) =f(− √ 3) =f(a) =f(b + 1) =f( b+1a ) = l(0) = −1.l(1) =l(−1) =l(3) =l( √ 3) =l( 3 5 ) =l( −35 ) = −65l(− √ 3) =l(a) =l(b + 1) =l( b+1a ) = (f ◦ l)(0) = 1.(f ◦ l)(1) =(f ◦ l)(−1) =(f ◦ l)(3) =(f ◦ l)( √ 3) =(f ◦ l)( 3 5 ) =(f ◦ l)( −35 ) =(f ◦ l)(− √ 3) =(f ◦ l)(a) =(f ◦ l)(b + 1) =(f ◦ l)( b+1a ) =.− 1.25 .31(b + 1) 2 .2(b + 1) − 1.(2b + 1) 2 .Universidad de Antioquia

2.3. FUNCIONES 127El teorema siguiente es un caso particular del teorema 2.1.4., partes 1 y 2,(página 107). Por tal razón no requiere ser aquí demostrado.Teorema 2.3.2. Sean: f : A −→ B; g : B −→ C y h : C −→ E, tresfunciones arbitrarias. Entonces,• (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f). L. Asociativa.• Existen funciones f y g que no conmutan respecto a la composición, i.e.,g ◦ f ≠ f ◦ g.Comentario: Con respecto a la 2 a parte del enunciado puede verificarse quepara C ≠ A, no queda definida la compuesta f ◦ g . Aún en el caso de tenerfunciones f y g definidas de A hacia el mismo A, la conmutatividad puedeno cumplirse. Veamos el siguiente ejemplo:Sean f : R −→ R definida por f(x) = 2x − 1 y g : R −→ R definida porg(x) = 2x+1. Entonces (f ◦g)(x) = 4x+1 mientras que (g ◦f)(x) = 4x −1,i.e., f ◦ g ≠ g ◦ f.CLASES DE FUNCIONES.Si bien se repara, las dos condiciones requeridas para que una relación de Aen B sea una función, recaen todas en el conjunto de salida. Nada se exije enel codominio o conjunto de llegada, aparte de que contenga al rango. Ahoravamos a considerar algunas condiciones impuestas al codominio lo cual dalugar a 3 clases de funciones, las que definimos a continuación.Definición 2.3.3. Sea f : A −→ B una función.a) f es una función inyectiva, (o también se dice 1 a 1), si y solo si aimágenes iguales corresponden preimágenes iguales.En términos de implicación,f es inyectiva ⇐⇒ ((f(a) = f(b) =⇒ a = b )) .Equivalentemente, (L. del contrarrecíproco),f es inyectiva ⇐⇒ (a ≠ b =⇒ f(a) ≠ f(b) )) .[A preimágenes distintas corresponden imágenes distintas.]b) f es una función sobreyectiva, (o también se dice, en forma abreviada,función sobre), si y solo si todos los elementos del codominio están haciendoparejas con elementos del dominio. En otros términos, si Cod(f) = ran(f).Universidad de Antioquia

128CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.En términos de implicación,f es sobreyectiva ⇐⇒ (b ∈ B =⇒ existe a ∈ A tal que b = f(a) ) .O también asi´:f es una función sobreyectiva ⇐⇒ Cod(f) = ran(f).c) f es una función biyectiva si y solo si, f es simultáneamente inyectivay sobreyectiva.Veamos algunos ejemplos que ilustran, tanto en forma positiva como negativa,los conceptos de función inyectiva o sobreyectiva o biyectiva..ghfAC EB AB•a• x a•a•• y• y• y•••b•zb•zb•zc••w c••w c••w•dfunción inyectiva. función sobreyectiva. función biyectiva.no sobreyectiva.no inyectiva.Teorema 2.3.3. Sean, f : A −→ B y g : B −→ C un par de funcionesbiyectivas. Entonces g ◦ f : A −→ C también es otra función biyectiva.(Si se componen funciones biyectivas, la función compuesta que se obtiene,también es biyectiva.)Demostración. Sean f : A −→ B y g : B −→ C funciones biyectivas. Parademostrar que la función g ◦ f es biyectiva tenemos que demostrar que seainyectiva y sobreyectiva.A) Veamos que g ◦ f es inyectiva. La implicación a demostrar es,g(f(a)) = g(f(b)) =⇒ a = b,(a,b ∈ A).Empecemos por suponer que g(f(a)) = g(f(b)).Pero g es inyectiva, ya que sabemos que es biyectiva, luegof(a) = f(b)Universidad de Antioquia

2.3. FUNCIONES 129y como f también es biyectiva, entonces es inyectiva y por tanto concluímosfinalmente que a = b.Para, (tal vez), ayudar a la comprensión de la segunda parte, sigamos elprocedimiento en la gráfica.AxfB•f(x) = w•wy = (g ◦ f)(x)Universidad de Antioquiagg(w) = yB) Veamos que g ◦ f es sobreyectiva. La implicación a demostrar es,y ∈ C =⇒ [ existe x ∈ A tal que y = (g ◦ f)(x) ].Empecemos por fijar un y ∈ C. Por ser g una función biyectiva, se sabe quees sobreyectiva de B en C, luego existe w ∈ B tal que y = g(w), pero simultáneamente,sabemos que f también es biyectiva y por tanto, sobreyectivade A en B, luego existe x ∈ A tal que w = f(x).En resumen tenemos que existen, w ∈ B y x ∈ A tal que w = f(x) yy = g(w). Por lo tanto, y = g(f(x)), i.e., y = (g ◦ f)(x). La implicaciónqueda así demostrada.FUNCIONES INVERSAS.Dada una función f : A −→ B puede surgir la pregunta: ¿Será la relación inversa,f −1 , (de B hacia A), también una función? La respuesta es, no siempre.La siguiente pregunta podría ser: ¿Cuáles pueden ser las condiciones para quef −1 sea también una función? La respuesta la contiene el siguiente teorema.En su demostración usaremos, por comodidad, la notación f −1 (y) aún bajola espectativa de que esta sea una función pués esto es lo que se requieredemostrar.C•y

130CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Teorema 2.3.4. Sea f : A −→ B.Una condición suficiente y necesaria para que la relación inversa f −1 sea asu vez una función, es que f sea biyectiva.Demostración. Esta se divide en dos partes:a.) La condición es suficiente. Esta condición corresponde a la implicación,(f : A −→ B es función biyectiva) =⇒ (f −1 : B −→ A es función).Supongamos que f es biyectiva, es decir 1 a 1 y sobre. Demostremos que f −1es función, lo cual requiere, como se dijo antes, (página 121), demostrar doscondiciones.1 a . Demostremos la implicación,y ∈ B =⇒ (existe x ∈ A tal que f −1 (y) = x).Supongamos y ∈ B. Como f es sobreyectiva, existe x 0 ∈ A tal que (x 0 ,y) ∈f, luego(y,x 0 ) ∈ f −1 o, equivalentemente, f −1 (y) = x 0 . Ahora podemosafirmar que existe x ∈ A tal que f −1 (y) = x y la 1 a implicación quedademostrada.2 a . Demostremos la implicación, y 1 = y 2 =⇒ f −1 (y 1 ) = f −1 (y 2 ).Supongamos y 1 = y 2 . Como f es sobreyectiva, existen x 1 ,x 2 ∈ A tal que(x 1 ,y 1 ) ∈ f y (x 2 ,y 2 ) ∈ f. Luego, (y 1 ,x 1 ) ∈ f −1 y (y 2 ,x 2 ) ∈ f −1 y esto lopodemos expresar en forma equivalente como x 1 = f −1 (y 1 ) y x 2 = f −1 (y 2 ).Pero y 1 = y 2 , lo podemos expresar como f(x 1 ) = f(x 2 ). Sabemos tambiénque f es inyectiva, (por hipótesis), luego x 1 = x 2 . Finalmente podemos concluirque f −1 (y 1 ) = f −1 (y 2 ) y la 2 a implicación queda demostrada.b.) La condición es necesaria. Esta condición corresponde a la implicación,(f −1 : B −→ A) es función =⇒ (f : A −→ B) es función biyectiva.Supongamos que (f −1 : B −→ A) es función. Tenemos que demostrar que(f : A −→ B) es una función biyectiva, para lo cual tenemos que demostrar:(a.) que f es sobreyectiva y (b.) que f es inyectiva. [Ver definiciones en lapágina 127.]a.) Para demostrar que f es sobreyectiva tenemos que demostrar la implicación,y ∈ B =⇒ existe x ∈ A tal que y = f(x).Sea y un elemento de B. Como f −1 : B −→ A es función, existe x 0 ∈ A talque (y,x 0 ) ∈ f −1 o, equivalentemente, (x 0 ,y) ∈ f, es decir, y = f(x 0 ).Universidad de Antioquia

2.3. FUNCIONES 131En conclusión, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x) con lo cualqueda demostrado que f es sobreyectiva.b.) Para demostrar que f es inyectiva, tenemos que demostrar, para x 1 ,x 2elementos de A, la implicación,f(x 1 ) = f(x 2 ) =⇒ x 1 = x 2 . ⋆Razonamos por el método de “ Reducción al absurdo”. Supongamos que laanterior implicación es falsa, o sea que su negación es cierta. Consideremosentonces la negación de ⋆, es decir:f(x 1 ) = f(x 2 ) y x 1 ≠ x 2 .Hagamos z = f(x 1 ) y w = f(x 2 ) (), luego z = w con z,w ∈ B. Si aplicamosla función f −1 a estos elementos iguales, se obtienen, (por definiciónde función), imágenes iguales, es decir, f −1 (z) = f −1 (w). ⋆Las dos igualdades señaladas con , las podemos re-escribir como (x 1 ,z) ∈ fy (x 2 ,w) ∈ f, de donde (z,x 1 ) ∈ f −1 y (w,x 2 ) ∈ f −1 o, equivalentemente,x 1 = f −1 (z) y x 2 = f −1 (w). Finalmente, teniendo en cuenta la igualdadseñalada con ⋆, concluímos que x 1 = x 2 , pero esto se contradice con x 1 ≠ x 2como estaba supuesto inicialmente. Esta contradicción deja demostrada laimplicación señalada con ⋆, luego f si es inyectiva.Corolario 2.3.5. Si f : A −→ B es función biyectiva, f −1 : B −→ Atambién es función biyectiva, (ver ejercicios).Los siguientes dos diagramas tienen por objeto comprobar este corolario.Aabc•••f• y•z•wfunción biyectiva.BByzw•••f −1A••b•cUniversidad de Antioquiaafunción biyectiva.Recordemos que para una función f : A −→ B se utiliza la notacióny = f(x). En el caso de la función inversa, f −1 : B −→ A, y con el mismo

132CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.derecho, se utiliza la notación f −1 (y) = x. Pero la costumbre “ha impuesto”que la variable independiente se denote con x y la variable dependiente cony, (imposición que podemos modificar las veces que se quiera). En todo caso,será lo utilizado en estas notas escribir tantoy = f(x) como y = f −1 (x),cuando se trate de una función biyectiva f y de su inversa f −1 .Las operaciones binarias que satisfagan las leyes algebraicas, asociativa,modulativa e invertiva constituyen un tema de Álgebra, ampliamente estudiadocon el nombre de “ Teoría de grupos”. La operación “composición”de funciones biyectivas está cerca de constituir uno de estos llamados grupos.Pero hay un “pequeño problema” y es que no se tiene un elemento neutro,que es indispensable para que se satisfagan las leyes modulativa e invertiva.La 2 a parte del siguiente teorema deja “entrever” que la función identidadcasi es ese necesario módulo, (ver corolario 2.3.7. en la página que sigue.).Teorema 2.3.6.Sea f : A −→ B una función biyectiva. Entonces:a.) (f −1 ) −1 = f.b.) f ◦ I A = f y I B ◦ f = f.(Es decir, la función identidad en B actúa como un elemento neutro, sólo aizquierda. Y la función identidad en A actúa como un elemento neutro, sóloa derecha.)c.) f ◦ f −1 = I B y f −1 ◦ f = I A .(Es decir, la función f −1 cuando “compone” con f por “derecha”, no dá elmismo resultado que cuando “compone” por “izquierda”.)El enunciado (a.) ya fue demostrado, (ver teorema 2.1.3., página 105.)El enunciado (b.) tiene que ver con el ejercicio 10, página 116.En los siguientes diagramas se registra una comprobación del enunciado (b.).Se pide al estudiante que verifique en diagramas análogos el enunciado (c.).xAI A• •Axf ◦ I AfB•f(x)• •Universidad de AntioquiaAxff(x)I B ◦ fI BB•f(x)

2.3. FUNCIONES 133El siguiente corolario, (parte (i.)), confirma que la función identidad I A actúacomo módulo de la composición de funciones biyectivas del tipo f : A −→ A.Obviamente, las respectivas funciones f −1 : A −→ A son las inversas de lasfunciones f. La demostración de este corolario se propone en los ejercicios.Corolario 2.3.7.Si fes una función biyectiva de A en A, es decir, f : A −→ A, entoncesEquivalentemente:Equivalentemente:(i.) f ◦ I A = f y también I A ◦ f = f.f(I A (x)) = f(x)y también I A (f(x)) = f(x).(ii.) f ◦ f −1 = I A y f −1 ◦ f = I A .f(f −1 (x)) = x y también f −1 (f(x)) = x.Los siguientes diagramas pueden ayudar a comprender las dos partes delcorolario.AAx•xI Af −1AxfAI Aff•f −1 (x)Universidad de AntioquiaAf(x)fAI A•xI Af −1f(x)AA•f −1 (x)

134CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.El siguiente teorema reune las propiedades algebraicas de la operación “composicionde funciones”, cuando éstas son biyectivas y están definidas de unconjunto en el mismo.Teorema 2.3.8. La “composición” de funciones biyectivas de un conjuntocualquiera A en el mismo A, es una operación binaria asociativa, modulativae invertiva. El módulo es I A , (la función identidad), y la inversa decada función f se denota f −1 .La prueba de este teorema queda resuelta en el teorema 2.3.2., (L. Asociativa,página 127) y el corolario 2.3.7., (Ls. Modulativa e Invertiva, página 133).2.4. Ejercicios.1. Entre los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 4, 5, 6} se definen las siguientesrelaciones de A en B :f = {(1, 1), (2, 1), (2, 5)} y g = {(1, 1), (2, 1), (3, 5)}Utilice un diagrama de Venn para cada relación y verifique si estas dosrelaciones son funciones y en tal caso determine de qué clase.2. Utilizar el siguiente diagrama para comprobar que g ◦ f es función deR en T y no es inyectiva ni sobreyectiva, (justificar).Raxbct•••••f•b•x• w•aUniversidad de AntioquiaSg ◦ fg•m•w•tSugerencia: Hacer un diagrama de Venn de R directamente hacia T.3. Dados los conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6}; B = {3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} yC = {2, 3, 5, 7, 8, 10}, resolver los siguientes puntos:a.) Determinar por extensión una función k : A −→ B inyectiva, nosobreyectiva; otra j : B −→ C sobreyectiva, no inyectiva y finalmente,T

2.4. EJERCICIOS. 135una función biyectiva h : E −→ A, donde E sea un subconjunto deC libremente escogido.Sugerencia: Utilice diagramas de Venn.b.) Determinar por extensión las siguientes funciones: j ◦ k; h ◦ j yk ◦ h, siempre y cuando estén definidas.c.) Calcular, si es posible, los siguientes valores: (j ◦k)(4);(h ◦ j)(5); y (k ◦ h)(7).(h ◦j)(9);d.) Verificar el teorema 2.3.6., (página 132), en todas sus partes, (a, b,c), utilizando la función biyectiva h.e.) Defina libremente una función biyectiva f : A −→ A y utilícelapara verificar las dos partes del corolario 2.3.7., página 133.4. Dados los conjuntos L = {a,b,c,m,k,x,y,z} y S = {a,c,k,z} ⊆ L, sedefine la siguiente función:{1, si w ∈ S,C : L −→ {0, 1}, tal que C(w) =0, si w /∈ S.a.) Completar las siguientes parejas de la función C : (−, 1), (−, 1) y (−, 0).b.) Determinar las siguientes imágenes: C(b); C(k); C(z).c.) Hacer un diagrama de la función. ¿Qué tipo de función es?5. La curva que aparece en la gráficaes la de una función f definidapara todos los reales entre 0 y 3.5y cuyas imágenes corren entre 0 y4.a.) Calcular, mediante inspecciónde la gráfica, valores aproximadospara los siguientes términos:f(0); f(·5); f(1); f( 3 ); f(3);2f(π); f(3 · 5).4321•••0 •0 1 2 3 4Universidad de Antioquia

136CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.b.) Hallar un valor aproximado para x si f(x) = 2 · 5.6. Demostrar que la fórmula,f(x) = ax + b x ∈ R.define una función biyectiva. (La gráfica de este tipo de funciones esuna línea recta.)7. Se definen entre números reales dos funciones “líneas rectas” por mediode las siguientes fórmulas:u(x) = 3x + 2v(x) = x − 5.a.) Definir las funciones compuestas: u ◦ v y v ◦ u.Solución:(u ◦ v)(x) = u(v(x)) = u(x − 5) = 3(x − 5) + 2 = 3x − 13.En la misma forma, determinar v ◦ u.b.) Encontrar para los valores propuestos de x, los valores de (u ◦v)(x)y (v ◦ u)(x) :x = 0 (u ◦ v)(0) = −13. (v ◦ u)(0) = −3.x = 1 (u ◦ v)(1) = (v ◦ u)(1) =x = −2 (u ◦ v)(−2) = (v ◦ u)(−2) =x = 1 2(u ◦ v)( 1 2 ) = (v ◦ u)(1 2 ) =x = −34(u ◦ v)( −3 ) =4−3(v ◦ u)( 4x = π (u ◦ v)(π) = (v ◦ u)(π) =x = √ 2 (u ◦ v)( √ 2) = (v ◦ u)( √ 2) =x = a (u ◦ v)(a) = (v ◦ u)(a) =x = b + 1 (u ◦ v)(b + 1) = (v ◦ u)(b + 1) =x = y+1w−1(u ◦ v)( y+1 ) =w−1y+1(v ◦ u)( w−1x = πt (u ◦ v)(πt) = (v ◦ u)(πt) =x = 0 · 05 (u ◦ v)(0 · 05) = (v ◦ u)(0 · 05) =Universidad de Antioquia

2.4. EJERCICIOS. 1378. Se define de Z + en el mismo Z + una función,T(n)= número de divisores positivos de n.y de Z + en Q otra función,k(n) = 1 n .Calcular los valores de la función compuesta k ◦ T para los siguientesvalores de la variable independiente n:n = 1, 2, 6, 35, 60, 7, p cualquier primo, pq donde p,q son primos(iguales o distintos).Verifique que T ◦ k no está definida. (Mire (T ◦ k)(2)).9. Si f,g son dos funciones de A en B tales que f ⊆ g, demostrar quef = g.10. Demostrar los teoremas de la sección 2.3, en particular el corolario2.3.5., el teorema 2.3.6., (partes c. y d.) y el corolario 2.3.7.(Ver páginas131, 132, 133.)11. Verificar que la ley invertiva de la suma con números reales define unafunción biyectiva y = −x que va de R en R. Hacer una gráfica de lafunción.12. Verificar que la ley invertiva de la multiplicación con números reales≠ 0 define una función y = 1 que va de R−{0} a este mismo conjunto.xTrazar la gráfica de esta función.13. Demostrar que la relación y = x 2 con x en los reales, define una funciónf : R −→ R.Sugerencia: Mirar las leyes clausurativa y uniforme de la multiplicaciónen R.14. Sean f : A → B y g : E → C con ran(f) ⊆ E.Demostrar que g◦f queda definida, (x ∈ A =⇒ existe y ∈ C tal que y =(g ◦ f)(x)), y bien definida, (x 1 = x 2 =⇒ g(f(x 1 ) = g(f(x 2 ))).15. Utilizar el anterior ejercicio para definir la función h ◦ j del ejercicio3(b), o para verificar la respuesta si ya fue obtenida.Universidad de Antioquia

138CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.2.5. R, Desigualdades, Intervalos.El campo (algebraico) de los números reales tiene, además de las característicasalgebraicas de todo campo, otras características que lo convierten en unsistema con mayor riqueza de propiedades. Tiene por una parte la característicade ser un campo ordenado; esto quiere decir que se le puede definiruna relación de orden, (reflexiva, antisimétrica y transitiva) y mejor aún, totalmenteordenado, lo cual tiene sus ventajas. Por otra parte es un campocompleto. Ampliemos un poco esta palabra: La clave está en la diferenciacon los números racionales. Éstos también constituyen un campo bien ordenadopero no es completo, en el sentido de que algunas ecuaciones nopueden ser resueltas con esta clase de números. Por ejemplo, el cuadradode todo número racional es otro número racional positivo, (ley clausurativa).Sin embargo el problema inverso no siempre encuentra solución en losracionales, pués no todo racional positivo tiene una raiz cuadrada racional,(extraer raiz cuadrada no cumple la ley clausurativa). Un caso concreto es lano existencia de un número racional cuyo cuadrado sea el número racional2, pués los únicos números que resuelven este problema son ± √ 2 y comovimos, estos dos números no son racionales, (Teorem 1.3.6., página 34). Otroejemplo concreto lo constituye la razón longitud/diámetro que para toda circunferencia,(incluyendo las de radio racional), tiene un valor constante quees el famoso número π el cual se ha podido demostrar que tampoco es unnúmero racional. El campo de los números reales si resuelve estos problemasy muchos otros que no tienen solución en el campo de los números racionales.Sin embargo aclaremos que √ 2 es sólo un símbolo, (y un nombre) y esto no essuficiente; se requiere demostrar que existe un número cuyo cuadrado sea 2.Tal demostración no se puede realizar con las propiedades de campo ordenadosolamente. La demostración depende de una propiedad que sobrepasa elconcepto de número real y que tiene que ver con los fundamentos del cálculoinfinitesimal, en particular con las ideas de límite. Tal propiedad, (que sedenomina “propiedad de completez” o axioma de continuidad), no será expuestaexplícitamente en estas notas pero se invita al lector a mantener unamotivación para cuando le llegue el momento de una aclaración suficiente.Entre tanto diremos que es gracias a esta propiedad que podemos afirmar quelos números reales completan toda la recta numérica, cosa que los númerosracionales no consiguen, lo cual quiere decir que entre dos números racionalesquedan espacios en la recta que ellos no pueden llenar. Aunque no se le dá enestas notas una forma precisa a esta propiedad, se cuenta con la intuición delUniversidad de Antioquia

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 139lector que le permitirá afrontar con progresivo éxito los temas que siguen.LA RECTA NUMÉRICA.Probablemente el lector esté ya familiarizado con la representación de losnúmeros reales por medio de una recta.El procedimiento consiste en trazar una recta en forma horizontal y marcaren ella dos puntos arbitrarios a los que llamamos, 0 al de la izquierda (quese seguirá llamando el origen) y 1 al de la derecha. El espacio entre estosdos puntos se toma como unidad de medida para medir distancias entre dospuntos de la recta. Lo que admitiremos de ahora en adelante es que entrelos puntos de esta recta y los números reales existe una correspondenciabiunívoca o función biyectiva, que hace “corresponder” a cada número unoy sólo un punto y viceversa.A continuación trazamos una recta numérica destacando en ella algunosnúmeros y su respectiva imagen puntual.−73 −0 · 75 0 · 1↕ ↕ ↕| • | | • | • • | • | • • | • | • | | • | • |↕−3 −2 −1 0 1 2 3 412√2 e π 4 6 · 3 10↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕↕2 · 5Universidad de Antioquia17775 6 7 8En adelante se entenderá que las letras que se refieren a números, representaránnúmeros reales.Para empezar un breve estudio sobre los números reales, veamos algunasconsecuencias de las leyes algebraicas, pero definamos antes las operacionesresta y división.Definición 2.5.1.• a − b = a + (−b). [La resta entre a y b es la suma de a con el opuesto deb].• a = b a(1 ), siendo b ≠ 0. [La división entre a y b es la multiplicación de abcon el recíproco de b].Ejemplos:5 − 8 = 5 + (−8) = −3.103 = 10(1 3 ) = 10(3−1 ).

140CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Teorema 2.5.1.1. • a + b = a + c =⇒ b = c. [Ley cancelativa de la suma.]• (ab = ac y a ≠ 0) =⇒ b = c. [Ley cancelativa de la multiplicación.]2. a × 0 = 0. [Todo real multiplicado por 0, da como resultado 0.]3. ab = 0 =⇒ [(a = 0) o (b = 0)]. [Si el producto entre reales es 0,uno de los factores es 0.]4. −(−a) = a. [El opuesto del opuesto de un número es el mismo número.]5. Siendo a ≠ 0, (a −1 ) −1 = a. De otra manera:11/a = a.[El recíproco del recíproco de un número es el mismo número.]6. −(a + b) = (−a) + (−b). [El opuesto de una suma es la suma de losopuestos].( 1)( 17. (ab) −1 = (a) −1 (b) −1 . De otra manera: =a b)1 ab .[El recíproco de un producto es el producto de los recíprocos.]8. a(−b) = (−a)b = −(ab). [El producto de un número por el opuesto deotro, es igual al opuesto del producto de los dos números.]9. (−a)(−b) = ab.El item 1., [leyes cancelativas], ya fue demostrado, (teorema, página 37).Demostremos los items 2, 3, 5, 7, 8 y 9.Demostración. De 2.a + (a × 0) = a(1 + 0)a + (a × 0) = a + 0a × 0 = 0Sea a cualquier número. Entonces:Factor común.= a(1) L. Modulativa.= a + 0 L. Modulativa.Transitividad.L. Cancelativa. ✷Universidad de Antioquia

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 141De 3. Supongamos ab = 0 ⋆.Se presentan 2 casos según que a sea 0 o ≠ 0. (L. del Medio Excluído.)En el 1 er caso, (a = 0), se concluye: (a = 0) o (b = 0). (L. de adición con“o”.)En el 2 do caso, (a ≠ 0), sea a −1 el recíproco de a.Entonces,a −1 (ab) = a −1 × 0 L. Uniforme en ⋆ .((a) −1 a)b = 0 L. Asociativa y Teor 2.5.1., parte 2.(1)b = 0b = 0L. Invertiva.L. Modulativa.(a = 0) o (b = 0) L. de adición con “o”.En ambos casos se obtuvo la misma conclusión. El teorema queda demostrado.✷De 5.De 7.1 = a × a −1 L. Invertiva.1 × (a −1 ) −1 = (a × a −1 )(a −1 ) −1 L. Uniforme.(a −1 ) −1 = a × (a −1 (a −1 ) −1 ) L. Modulativa - L. Asociativa.(a −1 ) −1 = a × 1 L. Invertiva.(a −1 ) −1 = a L. Modulativa. ✷(ab) −1 (ab) = 1[(ab) −1 (ab)]b −1 = 1 × b −1[(ab) −1 a](bb −1 ) = b −1[(ab) −1 a] × 1 = b −1[(ab) −1 a] = b −1[(ab) −1 a]a −1 = b −1 a −1[(ab) −1 ](aa −1 ) = b −1 a −1(ab) −1 = b −1 a −1(ab) −1 = a −1 b −1L. Invertiva.L. Uniforme.L. Asociativa - L.Modulativa.L. Invertiva.L. Modulativa.L. Uniforme.L. Asociativa.L.Invertiva.L.Conmutativa. ✷Universidad de Antioquia

142De 8.CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.ab + a(−b) = a[b + (−b)]Factor común.= a × 0 L. Invertiva.= 0 Teor. 2.5.1., parte 2.a(−b) = 0 + [−(ab)]a(−b) = −(ab)L. Uniforme, (restar(ab)).L. Modulativa.De la misma manera se demuestra la 2 a parte: (−a)b = −(ab). ✷De 9.Basta aplicar el resultado anterior dos veces.(−a)(−b) = −[a(−b)] Por item 8.= −[−(ab)] Por item 8.= ab Por item 4.Iniciamos a continuación una ordenación de los números reales.En adelante la palabra número se referirá a los números reales.Propiedades básicas de las desigualdades.Definición 2.5.2.• La expresión a > 0 significa que el número a es positivo.• La expresión a < 0 significa que el número a es negativo.Lo que sigue lo consideramos como un axioma con dos componentes.Los números positivos constituyen una parte no vacía de R que se llama laparte positiva de R, que desde antes, hemos denotado como R + , y quesatisface las siguientes leyes:1 a .] Ley de Tricotomía- Para todo número real se cumple una, pero únicamenteuna, de las siguientes posibilidades:a ∈ R + o a = 0 o −a ∈ R + .Universidad de Antioquia

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 143En palabras del lenguaje corriente: Cada número real es, en forma excluyente,positivo, cero o negativo.2 a .] Leyes clausurativas- Al sumar o multiplicar números positivos, elresultado es también un número positivo.En términos de implicación: a,b ∈ R + =⇒ (a + b) ∈ R + y (ab) ∈ R + .Todo lo que se diga sobre desigualdades, de aquí en adelante, va a dependerde este axioma con sus dos componentes.Si se compara la definición anterior, (def. 2.5.2) con el axioma recien enunciadose notará que se han aplicado las siguientes equivalencias:• a > 0 ⇐⇒ a ∈ R + .• a < 0 ⇐⇒ −a ∈ R + .La última de estas equivalencias se traduce en los siguientes términos:“ Un número es negativo sii su opuesto es positivo”.La parte de R cuyos elementos son números negativos se llama la partenegativa de R y se denota R − .Como consecuencia del anterior axioma se tienen las siguientes característicasdel conjunto de los números reales:R = R + ∪ {0} ∪ R − , R + ∩ R − = Φ, 0 /∈ R + y 0 /∈ R − .Consideremos algunas definiciones que incluyen signos de desigualdad:Definición 2.5.3.• a > b ⇐⇒ (a − b) ∈ R + ⇐⇒ a − b > 0.• a < b ⇐⇒ −(a − b) ∈ R + ⇐⇒ a − b < 0.• a ≥ b ⇐⇒ (a > b o a = b) ⇐⇒ (a − b) ∈ (R + ∪ {0}).• a ≤ b ⇐⇒ (a < b o a = b) ⇐⇒ −(a − b) ∈ (R + ∪ {0}).Las expresiones con los signos > y < se llaman desigualdades estrictas. Conlos signos ≤ y ≥, desigualdades no estrictas.Geométricamente las desigualdades tienen la siguiente interpretación a partirde la recta numérica:• a > b significa que el punto a está a la derecha del punto b.Universidad de Antioquia

144CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.• •ba > b• a ≥ b significa que el punto a puede coincidir con el punto b o puede estara la derecha del punto b.• a < b significa que el punto a está a la izquierda del punto b.Universidad de Antioquiaa• •aa < b• a ≤ b significa que el punto a puede coincidir con el punto b o puede estara la izquierda de b.Cuando cambie alguno de los signos de desigualdad por su contrario, (porej., > cambiado por b; o a = b; o a < b.En otras palabras, dados dos reales arbitrarios siempre es posible compararlos,pudiendo ser iguales o uno de los dos mayor que el otro.La demostración se hace a partir de la ley de tricotomía y las anterioresdefiniciones, (se deja para el estudiante.)El teorema que viene a continuación se refiere a una relación que ordena“totalmente” al conjunto de los números reales.Teorema 2.5.3. La relación,B = {(a,b)/a ≤ b}es reflexiva, antisimétrica y transitiva y por lo tanto es una relación de ordenen R y además deja a este conjunto, totalmente ordenado.Demostración. Antes que todo digamos que un conjunto está “totalmenteordenado” cuando en el conjunto está definida una relación de orden y todaslas parejas posibles verifican dicha relación.b

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 145En este caso, lo que dice el teorema de comparación, (teorema 2.5.2.) esprecisamente que,Para todos los a,b ∈ B,(a,b) ∈ B o (b,a) ∈ B.y a esto se refiere el concepto de orden total.Veamos que B es una relación de orden. Primero que todo digamos que esrelación por ser un conjunto de pares ordenados.¿Es reflexiva? Claramente, si. Pués para todo real x, x ≤ x, es decir,(x,x) ∈ B¿Es antisimétrica? Veamos. Se debe demostrar la implicación,(x ≤ y y y ≤ x) =⇒ x = yRazonando por el absurdo, supongamos x ≤ y y y ≤ x y x ≠ y. Luegox = y es falsa y cancelando en las dos primeras “la falsa” nos quedan simultáneamente,x < y y y < xlo cual entra en contradicción con el teorema de comparación, (teor. 2.5.2.).La propiedad de antisimetría queda así demostrada.¿Es transitiva? Veamos. Se debe demostrar la implicación,(x ≤ y y y ≤ z) =⇒ x ≤ z.Razonando por método directo, supongamos x ≤ y y y ≤ z.Esto se puede expresar, (por definición 2.5.3.), como (y − x) ∈ (R + ∪ {0})y (z − y) ∈ (R + ∪ {0}).Por la ley clausurativa, ((z − y) + (y − x)) ∈ (R + ∪ {0}) que, despuésde simplificar, es equivalente a (z − x) ∈ (R + ∪ {0}). Finalmente, (pordefinición 2.5.3.), concluímos que x ≤ z. La propiedad transitiva ha quedadodemostrada.La relación inversa B −1 se define por medio del signo ≥, de la siguientemanera:B −1 = {(a,b)/a ≥ b}que es también reflexiva, simétrica y transitiva, es decir, de orden.El siguiente teorema reúne las principales propiedades de las desigualdades.Universidad de Antioquia

146CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Teorema 2.5.4.1. a.) x > z y u ≥ y =⇒ x + u > z + y.b.) x < z y u ≤ y =⇒ x + u < z + y.Es decir, si se suman, término a término, desigualdades de un mismosentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.2. a.) x > z y c > 0 =⇒ cx > cz.b.) x < z y c > 0 =⇒ cx < cz.Es decir, al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por unmismo real positivo, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.3. a.) x > z y b < 0 =⇒ bx < bz.b.) x < z y b < 0 =⇒ bx > bz.Es decir, al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por unmismo real negativo, se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.Ejemplos:• 13 > 5: Al multiplicar por 2 se obtiene 26 > 10.• 5 < 13: Al multiplicar por −2 se obtiene −10 > −26.4. LEYES DE LOS SIGNOS.a.) x > 0 y y ≥ 0 =⇒ x + y > 0.b.) x < 0 y y ≤ 0 =⇒ x + y < 0.c.) x > 0 y y > 0 =⇒ xy > 0.d.) x < 0 y y > 0 =⇒ xy < 0.e.) x > 0 y y < 0 =⇒ xy < 0.f.) x < 0 y y < 0 =⇒ xy > 0.Según a.), la suma de positivos dá positivo.Según b.), la suma de negativos dá negativo.Los demás items son las conocidas leyes del producto:Según c.), el producto de positivos dá positivo.Universidad de Antioquia

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 147Según d.) y e.), el producto de positivo por negativo dá negativo.Y según f.), el producto de dos números negativos dá positivo.Resultado que se generaliza: “El producto de un número par de negativos,da resultado positivo”.5. Para todo real x, x 2 ≥ 0. Además, x 2 = 0 ⇐⇒ x = 0. (En particular,1 > 0.)6. a.) a > 0 =⇒ 1 > 0.a[El recíproco de positivo es positivo. ]b.) a < 0 =⇒ 1 < 0.a[El recíproco de negativo es negativo. ]7. a.) ab > 0 ⇐⇒ [(a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0.)]Es decir, el producto de dos números es positivo sii ambos son positivoso ambos son negativos.b.) ab < 0 ⇐⇒ [(a > 0 y b < 0) o (a < 0 y b > 0.)]Es decir, el producto de dos números es negativo sii los dos númerostienen signos opuestos.8. a.) a > b > 0 =⇒ 1 a < 1 b.[Al invertir una desigualdad de términospositivos, cambia el sentido de la desigualdad.]b.) a < b < 0 =⇒ 1 > 1 . [Al invertir una desigualdad de términosa bnegativos, cambia el sentido de la desigualdad.]Todos los items de este teorema se cumplen también para desigualdades noestrictas.Demostración. Demostramos algunas partes de este importante teorema.De 1 a . Supongamos que x > z y u ≥ y. Luego (x − z) ∈ R + y (u − y) ∈(R + ∪ {0}). Por ley clausurativa, [(x − z) + (u − y)] ∈ R + . Reagrupandotérminos, [(x+u) −(z +y)] ∈ R + o equivalentemente, (por definición 2.5.3.),x + u > z + y.De 2 b . Supongamos que x < z y c > 0. Luego (z − x) ∈ R + y c ∈ R + . Porley clausurativa, c(z − x) ∈ R + . Al efectuar el producto indicado resulta que(cz − cx) ∈ R + o equivalentemente, (por definición 2.5.3.), cx < cz.Universidad de Antioquia

148CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.De 3 a . Supongamos x > z y b < 0. Luego (x − z) ∈ R + y −b ∈ R + .Por tanto, (x − z)(−b) ∈ R + , (L. Clausurativa). Equivalentemente, (−bx +bz) ∈ R + , (L.Distributiva y leyes de los signos). Finalmente, por definición2.5.3., bx < bz.De 4 e . Supongamos x > 0 y y < 0. Luego x ∈ R + y (−y) ∈ R + . Por leyclausurativa, x(−y) ∈ R + . Pero x(−y) = −(xy), de donde −(xy) ∈ R + , esdecir, xy < 0, (def. de número negativo).De 6 a . Supongamos a > 0. Queremos obtener la conclusión: 1 > 0. Razonandopor el absurdo, supongamos que 1 ≤ 0. Aquí se presentan 2 casos: elaaprimero con =; el segundo con 0 se tendría a × 1 < a × 0, loa aque es equivalente a: 1 < 0, lo que también es un absurdo.La conclusión final es que no puede ser 1 ≤ 0, y por tanto queda demostradoaque 1 > 0. aDe 6 b . Supongamos a < 0. Ahora ya no es necesario mucho trabajo pués−a > 0 y podemos aplicar la parte 6 a .En efecto, se sigue que 1 > 0 y por tanto, 1 < 0, que era lo que se quería−a ademostrar.Nótese el cambio de sentido al multiplicar las desigualdades por −1.El siguiente teorema facilita algunas manipulaciones con desigualdades.Teorema 2.5.5. (Modificación y traslado de términos en desigualdades.)1. • a < b ⇐⇒ a ± c < b ± c.[Es decir, si en ambos miembros de una desigualdad, se suma o se restala misma cantidad, la desigualdad conserva su sentido, (su signo).2. • (x ± a < b) ⇐⇒ (x < b ∓ a).[Es decir, término que esté sumando o restando en uno de los miembrosde una desigualdad, pasa al otro miembro restando o sumando].Universidad de Antioquia

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 1493. • [(cx < a) y (c > 0)] =⇒ x < a c .[Es decir, término positivo que esté multiplicando en uno de los miembrosde una desigualdad, pasa al otro miembro dividiendo y la desigualdadconserva su sentido, (su signo)].• [(cx < a) y (c < 0)] =⇒ x > a c .[Es decir, término negativo que esté multiplicando en uno de los miembrosde una desigualdad, pasa al otro miembro dividiendo y la desigualdadcambia de sentido].4. • [( x < a) y (c > 0)] =⇒ x < ac.c[Es decir, término positivo que esté dividiendo en uno de los miembrosde una desigualdad, pasa al otro miembro multiplicando y la desigualdadconserva su sentido, (su signo)].• [( x < a) y (c < 0)] =⇒ x > ac.c[Es decir, término negativo que esté dividiendo en uno de los miembrosde una desigualdad, pasa al otro miembro multiplicando y la desigualdadcambia de sentido].Los resultados del anterior teorema también se cumplen para los signos,≤, >, ≥.Demostración. Demostremos el numeral 1.Supongamos a < b. Esto equivale a (b − a) ∈ R + , (definición 2.5.3.). Essuficiente sumar y restar la misma cantidad c de la siguiente manera:[(b−c)−(a−c)] ∈ R + , lo cual equivale a a−c < b−c, (definición 2.5.3.).Se dejan para el estudiante, las demostraciones de los otros numerales.Ejemplos:1. Si inicialmente tenemos 7+b < A−6, al sumar 5 en ambos lados obtenemos,12 + b < A − 1.Al restar 3 en ambos lados obtenemos, 4 + b < A − 9.2. Si inicialmente tenemos 7+b ≥ A − 6, al multiplicar en ambos lados por 3−3obtenemos, −(7 + b) ≥ 3A − 18. (No cambia el sentido.)Universidad de Antioquia

150CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Al multiplicar en ambos lados por −3 obtenemos, 7 + b ≤ 18 − 3A. (Nóteseel cambio de sentido.)Después de este preámbulo teórico, (necesario), estamos en capacidad deresolver desigualdades.Ejercicio: Hallar los valores de x que cumplen la desigualdadSolución:Universidad de Antioquia7x+ 1 > 5.−37x−3 > 4 Traslado del 1, (restando).7x < (−3)4 Traslado del −3. Nótese el cambio de signo o sea de sentido.x < −12 Traslado del factor 7. Nótese el no cambio de sentido.7La solución es el conjunto de todos los x menores que −12 . Como conjunto7la solución se puede escribir así:{S = x ∈ R/x < −12 }.7Una representación gráfica de dicha solución es la siguiente:x < −127•−127•0El conjunto solución S del anterior ejercicio es un ejemplo de los subconjuntos,(o partes), de R llamados Intervalos que definiremos a continuación.En la definición que sigue utilizaremos algunas notaciones abreviadas paradesigualdades:• a < x < b es abreviatura de la conjunción a < x y x < c.• a ≤ x ≤ b es abreviatura de la conjunción a ≤ x y x ≤ b.Significado análogo se le debe atribuir a las siguientes abreviaturas:

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 151a < x ≤ ba ≤ x < bEn la definición de intervalos también haremos uso de los símbolos ∞ y −∞que se leen “mas infinito” y “menos infinito”. Es necesario advertir que estossímbolos no son números, sólamente “sugieren” que un conjunto de númerosse “extiende indefinidamente” a lo largo de la recta numérica, ya sea hacia laderecha, (∞), o hacia la izquierda, (−∞). Por ejemplo, desigualdades comoa < x < ∞ sugieren que x puede tomar todos los valores de la recta numéricaque se hayan a la derecha del punto a.INTERVALOS REALES.Se dará a continuación una notación abreviada para ciertos subconjuntos deR, llamados “intervalos reales”, que se definen por medio de desigualdades.La imagen geométrica de estos conjuntos corresponde a distintos tipos desegmentos y semirrectas de la recta numérica. Son en total 9 tipos de intervalos.Son los siguientes: (Se considera que a ≤ b.)Nombre Notación Conjunto C/tro-radio GráficaI. abierto (a,b) {x ∈ R/a < x < b} b+a;b−a;2 2a•I. cerrado [a,b] {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} b+a;b−a;2 2a•I. semiabierto. (a,b] {x ∈ R/a < x ≤ b} b+a;b−a;2 2a•I. semicerrado. [a,b) {x ∈ R/a ≤ x < b} b+a;b−a;2 2a•Semirrecta ab. (a, ∞) {x ∈ R/x > a} •aSemirrecta cerr. [a, ∞) {x ∈ R/x ≥ a} •aSemirrecta ab. (−∞,b) {x ∈ R/x < b} •Semirrecta cerr. (−∞,b) {x ∈ R/x ≤ b} •Recta numérica. (−∞, ∞) {x ∈ R/∞ < x < ∞}Comentarios:1. Los siguientes intervalos podemos considerarlos especiales:Universidad de Antioquia0bbbbbb•

152CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.(a,a) = { }[a,a] = {a}.2. Los 4 intervalos (a,b) [a,b] (a,b] [a,b) tienen longitud finita b − a,donde b ≥ a. Se puede demostrar que todos los intervalos abiertos, diferentesdel intervalo vacío, (a, a), tienen el mismo número de puntos, de hecho,¡el mismo número de puntos que tiene la recta numérica!. Damos a continuaciónun argumento plausible de este resultado. Para hacer esto, nosapoyaremos en dos principios de tipo geométrico:I.) Por dos puntos distintos pasa exactamente una recta.II.) Tanto una recta, como un segmento de recta, como un arco de circunferencia,no tienen espacios vacíos ni perforaciones, (son figuras continuas).Nuestro argumento, (de tipo intuitivo), se basa en las dos gráficas que siguen:En la primera hemos trazado un arco igual a media circunferencia y dossegmentos, uno de ellos coincide con el diámetro del arco.1 a . Los dos segmentos tienen el mismonúmero de puntos, (el mismo cardinal).1 b . El arco tiene el mismo número de puntosque tiene cualquiera de los segmentos.En efecto, cada recta que une un punto del arco conel punto P, deja su marca en únicamente un puntode cada segmento, (véase la secuencia de puntosP,E,B,A). Esto nos proporciona la evidenciagráfica de que por cada punto del arco hay exactamenteun punto en cada uno de los dos segmentos,lo que finalmente nos “prueba” que: a.) ¡los dossegmentos tienen el mismo número de puntos entreellos y b.) que el arco tienen la misma cantidadde puntos que tiene cada segmento!. Note una funciónbiyectiva entre puntos de los dos segmentos yotra entre puntos de segmento con puntos de arco.✷•EUniversidad de AntioquiaP••B•••••A • • • • •En la segunda gráfica, hemos trazado el mismo arco y la recta numérica.

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 1532. El arco y la recta numérica tienen igual número de puntos.Esta gráfica, en un procedimiento análogo al anterior, nos proporciona laevidencia gráfica de que por cada punto del arco hay exactamente un puntode la recta numérica y recíprocamente, por cada punto de la recta numéricahay exactamente un punto en el arco,(véanse por ejemplo los puntos A yD), lo que finalmente nos lleva a la “conclusión” de que el arco y la rectanumérica tienen la misma cantidad de puntos. (Se nos presenta aquí otrafunción biyectiva entre puntos del arco y puntos de la recta numérica). ✷Cx• A• • • • • • • • • •D0Finalmente, por transitividad, (o si se quiere, por composición de funcionesbiyectivas), se obtiene la conclusión (pensamos que sorprendente), de quetodo segmento, (abierto), y la recta numérica tienen el mismo número depuntos.corolario: Todos los segmentos abiertos, (≠ (a,a)), tienen el mismo númerode puntos, (¡aunque pueden ser muy diferentes en longitud!).Ejemplos:−5 < x < 31.) (−5,3) : Intervalo abierto de centro en −1 y radio 4. ❀ •−5 −1 30 < x < 12.) (0,1) : Intervalo abierto de centro en 1/2 y radio 1/2 ❀ •01123.) De particular importancia en el desarrollo de las ideas que llevan a lanoción de límite, serán los llamados intervalos perforados que definiremoscomo intervalos abiertos a los cuales se les ha suprimido el centro; su notaciónes la siguiente:(a,b) − {c} = intervalo perforado de centro c y radio = b−a4.) (−5,3)−{−1}: Intervalo “perforado”, centro −1; radio 4 ❀ •Universidad de Antioquia2 .−5 < x < 3, x ≠ −1−5 −1 3

154CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.−5 ≤ x ≤ 35.) [−5,3]: Intervalo cerrado de centro en −1 y radio 4. ❀ •6.) Semirrecta abierta. (a, ∞) = {x ∈ R/x > a} ❀ •aOperaciones con intervalos−5 −1 3Veamos algunos ejemplos de unión, intersección, diferencia y producto cartesianocon intervalos.• [−5,3) ∪ [1,4) = [−5,4)• [−5,3) ∩ [1,4) = [1,3)dy• [−5,3) − [1,4) = [−5,1)• [−5,3] ∪ [3,4) = [−5,4)• [−5,3) ∩ [3,4) = { }c• [−5,3) − [3,4) = [−5,3)• [5, ∞) ∪ (−∞,6) = (−∞, ∞)o a b x• [5, ∞) ∪ (−∞,1) = (−∞, ∞) − [1,5). [a,b] × (c,d) = {(x,y)/ a ≤ x ≤ b; c < y < d}.•Expresar “la diferencia” de intervalos: (2, 7)−[3, 5) como unión de intervalos.Resp.: (2, 3) ∪ [5, 7).•Expresar en términos de intervalos un conjunto A tal que [3, 5] ∩A = {3, 5}Resp.: A = [2·9, 3]∪[5, 5·1].Solución de desigualdadesVeamos a continuación diferentes modelos de solución.Ejemplo N o 1.Representar en la recta numérica la ley de tricotomía para el término (2−x).x > aSolución: La L. de tricotomía se refiere a tres posibilidades que son:2 − x > 0; 2 − x = 0; 2 − x < 0.Esta secuencia es equivalente, en el mismo orden, a la siguiente:x < 2; x = 2; x > 2.Lo anterior se traduce en los siguientes términos:• 2 − x > 0 para los puntos x ubicados a la izquierda del 2 ya que x < 2corresponde alUniversidad de Antioquia

2.5. R, DESIGUALDADES, INTERVALOS. 155Intervalo (−∞, 2).• 2 − x = 0 en el punto x = 2. El punto 2 se llama el “cero” del término(2 − x).• 2 − x < 0 para los puntos x ubicados a la derecha del 2 ya que x > 2corresponde alAdoptaremos la siguiente convención:Intervalo (2, ∞).⊙ La región, (intervalo), de la recta numérica donde el término sea positivose marca con signo (+).⊙ El “cero” del término, (i.e., x = 2) es un punto de separación. Poreste punto se traza una línea de separación.⊙ La región, (intervalo), de la recta numérica donde el término sea negativose marca con signo (−).De acuerdo con esta convención, el resultado es el siguiente:+0|•2el cero de (2 − x).(2 − x) > 0. (2 − x) < 0.línea de separación ❀Ejemplo N o 2.Representar en la recta numérica los intervalos donde el producto (3−x)(2x+3), dé resultado negativo, cero o positivo.Solución:Puntos “cero”, (pts. de separación): x = −32 ; x = 3.Interpretación de resultados:(3 − x)(2x + 3) < 0+ + −|•3− + +• |−3− 2 + −• |•−3 0 32(3 − x)(2x + 3) > 0 (3 − x)(2x + 3) < 0en (−∞, − 3 2 ). en (− 3 2 ,3) en (3, ∞)Universidad de Antioquia−(3 − x)(2x + 3)(3 − x)(2x + 3)

156CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Ejemplo N o 3.Resolver la desigualdadtérminos de intervalos.x(2x+3)(3−x)≤ 0, (3 − x ≠ 0), dando la solución enSolución:Ceros: x = 0; x = −3;x = 3.2− − + +•0− + + +para x ≠ 3 , dando la solución en térmi-2Ejemplo N o 4.Resolver la desigualdadnos de intervalos.•−3+ 2 + + −•3+ − + −• ••−3 0 32S 1 = [− 3 2 ,0] S 2 = (3, ∞)S total = S 1 ∪ S 2 = [ −3 , 0] ∪ (3, ∞)11−x ≤ 3, 2x−3Universidad de Antioquia2(x)(2x + 3)(3 − x)x(2x+3)3−xSolución:Antes de aplicar el método que hemos utilizado en el ejemplo anterior, debemosobtener una desigualdad con 0 y expresada en términos de factores.La desigualdad propuesta es equivalente a11 − x2x − 3 − 3 ≤ 0, x ≠ 3 211 − x − 3(2x − 3)≤ 02x − 320 − 7x2x − 3 ≤ 0obtención de un 0.álgebra.factorización.Puesta la desigualdad en estos términos, ya se puede aplicar el método gráfico.Ceros: (20 − 7x) = 0 en x = 20; (2x − 3) = 0 en x = 3.7 2− + +•(2x − 3)3+2+ −•(20 − 7x)20− + 7 −•• (20−7x)3(2x−3)2027S = (−∞, −32 ) ∪ [20 7 ∞).

2.6. EJERCICIOS 1572.6. Ejercicios1. Demostrar: i.) x a + y a = x + ya .ii.) a m + b n[Suma de fracciones con el mismodenominador].na + mb= . [Suma de fracciones con diferente denominador].mn2. Mostrar con contraejemplos que todas las siguientes expresiones sonincorrectas, (dar la forma correcta):• x · y + z = xy + xz. (forma incorrecta de la L. Distributiva.)• 1 + a = 1. (como quien dice: cancelo a y queda el 1.)a2a + 2b• = 4. (como quien dice: cancelo las letras y me queda 2+2=4.)a + b2a + 2b• = a + b. (algo así como: Se tiene 2a, cancela una a con la aa + bdel denominador, queda una a, lo mismo para b.)3. Realizar las siguientes operaciones con intervalos:(1, 3) ∩ (2, 5).(−∞, 3] ∩ [1, ∞).[−3, −2] ∩[−2, −1].[−1, 0] ∩ (0, ∞).(2, 4] ∩ [1, 6].[−1, 4] ∩ (1, ∞).R + ∩ R − .[2, 4] ∪ (4, 6).(2, 4) ∪ (4, 6).(−2, −1) ∪ (1, 2).Resp.: R − [−1,1](−∞, 0) ∪ [−1, 0].(−∞, 1·5, )∪(1·4, ∞).R + ∪ R − . resp. como difer.(−2, 4)−(−2, 0).[−2, 4) − (−2, 0].(2, 4) − {4}.(2, 4] − {4}.R − R + .R − {0}. resp. con ∪.4. Expresar en términos de intervalos el conjunto definido por cada unade las siguientes desigualdades:−3 ≤ x.− 1 < x ≤ 10.3 ≤ x ≤ 4.∞ < x < 1.− ∞ < x ≤ √ 2.x ≥ 0 y x < 1.x ≥ 0 o x ≤ 1.x ≤ 0 y x ≥ 1.x < 0 o x ≥ 1.−3 < x < 5 y x ≠ 0.− 3 < x < 5 y 5 ≤ x < 8.x < 1 o x > 1.Universidad de Antioquia

158CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.5. Dar el centro y el radio de los siguientes intervalos:(−1, 1); (−1, 0); [0, 1); (0 · 5, 1]; [−4, −1]; ( 1, 1 ); (−1, 10);3 2(a,b); ( √ 2, √ 3); [−3, 44]; (−5, 2).6. Resolver las siguientes desigualdades, dando la solución en términos deintervalos:3x − 5 < 3 4 x + 1−x3 .x 2 −15x < 3 5x−2 < 0 y x ≠ 2 5 .4y x ≠ 0.x 2 − 3x + 2 < 0.1< 0 y x ≠ 0.(x−3)(x+2)x 2 x< 0 y x ≠ 0.− 3x + 1 > 0.x+121−x ≥ 1 y x ≠ 1.2−x < x3+xy x ≠ −3 y 2.x(x − 1)(x + 2) > 0.x 2 ≥ 4.x 2 − 2 < 0.4x − 3 > 2 x − 7 y x ≠ 0. x 2 − 2 ≥ 0.7. Si a < b y c < d, demostrar que b − c > a − d.8. Si 0 < a < b y 0 < c < d, demostrar que ac < bd.9. Dar un contraejemplo para demostrar que no siempre es cierto que dea < b y c < d, se pueda concluir que a − c < b − d.10. Si a > b, dar ejemplos en que 1 a < 1 b y dar ejemplos en que 1 a > 1 b .Compare con el item 8 del teorema 2.5.4., página 146.11. Si a y b son reales positivos, demostrar que a 2 > b 2 sii a > b.√ √12. Si a y b son reales positivos, demostrar que a > b sii a > b.Sugerencia: Utilizar el ejercicio anterior.13. Si b > 0, demostrar que x 2 < b sii − √ b < x < √ b.14. Si a > 0, demostrar que a + 1 ≥ 2. aSugerencia: Comience con ( √ √a −1a )2 .15. Si a y b son positivos, demostrar que ( 1 + 1 )(a + b) ≥ 4.a bSugerencia: Comience con (b − a) 2 .16. Si a y b son números reales con a > b, demostrar que b < b+a2< a.Universidad de Antioquia

2.7. VALOR ABSOLUTO. 15917. Para c y d reales positivos, demostrar que a c > b d18. Si xy < 0 y y < 0, demostrar que x > 0.19. Si xy > 0 y y < 0, demostrar que x < 0.⇐⇒ ad − bc > 0.20. Demostrar el teorema de comparación, (teor. 2.5.2., página 144), y elteorema 2.5.5, (página 148.)2.7. Valor Absoluto.Hacemos la presentación de este concepto desde un punto de vista geométrico.Consideremos distancias entre puntos de la recta numérica. Lo primero quehay que decir es que el término “distancia” se toma como una magnitudabsoluta, esto es, que carece de dirección o sentido. Precisamos esto diciendoque una distancia es un número ≥ 0. Para empezar, fijemos el punto 0 comopunto de partida u origen. Como un primer ejemplo notemos que la distanciade 0 al punto −3 es la misma que hay de 0 al punto 3. La notación matemáticade esta afirmación es:El símbolo| − 3| = | 3 |.|x|ha sido definido con el propósito de representar la distancia del origen alpunto x, (ver gráfica).La manera geométrica de definir este símbolo es.|x| = distancia del origen al punto x.-6 -5 -4 -3 • -2 • -1 0 1 • 2 3 4 5 6|•1−x −3 | − 3| 0 |3| 3 xNote que,| − x|| − 3| = | 3 || − x| = | x ||x|Universidad de Antioquia

160CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.El nombre asignado para | x | es, valor absoluto de x, donde x ∈ R.La forma analítica que se emplea para definir este símbolo, es la siguiente:{x, si x ≥ 0,|x| =−x, si x < 0.La función valor absolutoEs claro que cada punto de la recta real, (numérica), se encuentra a unadistancia única del origen. Esto nos define una funcióntal que,f(x) = | x |f : R −→ R + ∪ {0}❀cuyo nombre ya se mencionó como título.Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el el intervalo[0, ∞).Su gráfica en el plano cartesiano tien la forma de una ∨ en ángulo de 90 o convértice en el origen.Ejemplos:| 0 | = 0; | − 1| = 1; | √ 2| = √ 2; | − 1/2| = 1/2; | −3π + 5| ≈ 0 · 28762Para definir la distancia entre dos puntos arbitrarios de la recta real, utilizamosel símbolo d(x,y)Definición.En particular, d(x, 0) = |x|.Ejemplos:d(−5, −3) = | − 5 − (−3)| = | − 2| = 2.d(−3, 0) = | − 3| = 3.d(x,y) = |x − y|Universidad de AntioquiaO-5• -4 -3 • -2 -1 0 1 2 3 4 5|•1−5 −3 04yd(0, 4) = |4| = 4.x

2.7. VALOR ABSOLUTO. 161Teorema 2.7.1.i.) | − x| = |x|.ii.) |b − a| = |a − b|. (En otra forma: d(b,a) = d(a,b)).Demostración.Parte i.) Consideremos dos casos para x ∈ R, (L. de tricotomía).Caso I. Sea x ≥ 0; entonces |x| = x, (definición).Por otra parte, −x ≤ 0,Luego| − x| = −(−x) = x,(propiedad).Finalmente, | − x| = |x|, (sustitución).(definición y propiedad algebraica).Caso II. Sea x < 0. Se continúa en forma similar al Caso I.Parte ii.)Finalmente,|b − a| =| − (b − a)| (por la parte i).=|a − b|(propiedad algebraica).|b − a| =|a − b| (transitividad).Intervalos en términos de desigualdades con valor absoluto.Sea c > 0.1.) Un intervalo de la forma (−c,c) es el conjunto de puntos de la rectanumérica que están a una distancia del origen, menor que c, (radio del intervalo),es decir, para todo x ∈ (−c,c), |x| < c.Ejemplo:El intervalo (−1, 1) = conjunto de puntossituados a una distancia < 1 del origen.|x| < 1−1 0 12.) Un intervalo con centro en el punto a y radio c es el conjunto de puntosde la recta numérica, que están a una distancia de a menor que c, (radio delintervalo), es decir aquellos puntos que cumplen la desigualdad, |x−a| < c.Universidad de Antioquia|

162CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Ejemplo:El intervalo (−2, 8) = conjuntode puntos situados auna distancia menor que 5,del centro 3.|x − 3| < 53−2 83.) Un intervalo abierto y perforado, con centro en a y radio c queda definidopor una desigualdad de la forma,Ejemplo:El intervalo definido por ladesigualdad,0 < |x − 3| < 5es un intervalo perforadocon centro en 3 y radio 5.0 < |x − a| < c.| • 3−2 8Universidad de Antioquia|0 < |x − 3| < 5Con el siguiente teorema se introducen desigualdades básicas en términos dela función |x| y en relación con intervalos.Desigualdades con valor absoluto.Teorema 2.7.2. Sea c > 0. Entonces:−c < x < c(i.) |x| < c ⇐⇒ −c < x < c ⇐⇒ x ∈ (−c,c). ❀ |−c 0 c[La desigualdad |x| < c la cumplen todos los puntos de la recta numéricaque están a una distancia del origen, menor que c.](ii.) |x| ≥ c ⇐⇒ (x ≥ co x ≤ −c) ⇐⇒ x ∈ (−∞, −c] ∪ [c, ∞).x ≤ −c] | [−c0cx ≥ c[La desigualdad |x| ≥ c la cumplen todos los puntos de la recta numéricaque están a una distancia del origen, mayor o igual a c.]

2.7. VALOR ABSOLUTO. 163[Este teorema también se cumple con otros signos de desigualdad, con (≤)en el primer item; con (>) en el segundo item.]Las demostraciones que tienen que ver con la ley de tricotomía y con |x|se llevan a cabo muchas veces utilizando razonamientos por el método dedisyunción de casos. Como en la siguiente.Demostración. (parte i.)La demostración de la primera equivalencia se realiza en dos partes:a.) Demostrar la implicación |x| < c =⇒ −c < x < c.b.)Demostrar la implicación −c < x < c =⇒ |x| < c.Para demostrar la parte (a.) supongamos |x| < c, (método directo).Siendo x un real, consideremos 2 casos: x < 0 o x ≥ 0, (L. de tricotomía.)Caso I.) Si x < 0, y re-escribiendo la hipótesis inicial como 0 < c, se tieneque x < c (transitividad.)Por otra parte, |x| = −x, (definición), y teniendo en cuenta la hipótesis|x| < c, se tiene que −x < c (sustitución.)Finalmente concluímos que −c < x < c, (L. de simultaneidad). La 1 raimplicación ha sido demostrada para el caso I.Caso II.) Si x ≥ 0, se sigue que −x ≤ 0, (teorema), y teniendo en cuenta lahipótesis incial, 0 < c, se tiene que −x < c (transitividad.)Por otra parte, |x| = x, (definición), y teniendo en cuenta la hipótesis |x|

164CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Para el caso (II.), o sea suponiendo x ≥ 0, se tiene que |x| = x, (definición),y como por hipótesis x < c, se concluye que |x| < c, (sustitución.) En estesegundo caso, la 2 a implicación también ha sido demostrada.No habiendo más casos, la 2 a implicación queda demostrada,disyunción de casos.) ✷Universidad de Antioquia(método deLa segunda equivalencia que aparece en la parte (i.) del teorema se cumplepor definición del intervalo (−c,c)La parte (ii.) del teorema no es más que la aplicación de la ley del contrarrecíprocoaplicada a la equivalencia de la parte (i.). Téngase en cuenta,además, que la 2 a equivalencia en (ii.) se cumple por la definición de uniónde intervalos.Ejemplos:• El anterior teorema nos permite resolver de manera inmediata desigualdades“elementales” como |x| < 1 cuya solución es S = (−1, 1), esto es, elintervalo de centro en 0 y radio 1. También es posible dar la solución entérminos de distancia e incluir una gráfica que “muestre” la solución.−1 < x < 1S = {x ∈ R/d(x, 0) < 1} |−1 0 1• El problema inverso consiste en definir un intervalo en términos de unadesigualdad. Por ejemplo, el intervalo abierto de centro en 0 y radio 2, sedefine por medio de la desigualdad −2 < x < 2.El siguiente ejemplo ilustra la parte (ii.) del teorema anterior.• Expresar en términos de intervalos la desigualdad |x| ≥ √ 2.Solución: Todos los x ∈ R tales que(x ≤ − √ 2) o (x ≥ √ 2)condición que define la unión de intervalos,(−∞, − √ 2 ] ∪ [ √ 2, ∞).x ≤ − √ 2 x ≥ √ 2] | [− √ 20√2

2.7. VALOR ABSOLUTO. 165Corolario 2.7.3. Sea c > 0. Entonces:i.) El intervalo abierto de centro en a y radio c es la solución de la desigualdad,|x − a| < c.(ii.) Se cumple la siguiente cadena de equivalencias:Interpretación gráfica:|x − a| < c ⇐⇒ (−c < x − a < c) ⇐⇒ d(x,a) < c.a − c−c < x − a < c|aa + ciii.) La unión de intervalos (−∞,a − c) ∪ (a + c, ∞)desigualdad,|x − a| > c.(iv.) Se cumple la siguiente cadena de equivalencias:es la solución de la|x − a| > c ⇐⇒ [(x − a < −c) o (x − a > c)] ⇐⇒ d(x,a) > c.Interpretación gráfica:x − a < −c] | [a − caa + cx − a > cDemostración. ii.) Consideremos la equivalencia |x| < c ⇐⇒ −c < x < c,(parte (i.) del teorema 2.7.2.,realizando el cambio de x por x−a. El resultadoes el siguiente:|x − a| < c ⇐⇒ −c < x − a < c. (1.)Por traslado de un término se consigue la siguiente equivalencia:−c < x − a < c ⇐⇒ a − c < x < a + c (2.)Universidad de Antioquia

166CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Por transitividad entre (1.) y (2.) se obtiene la 1 ra parte de la cadena. Laparte que termina l a cadena es clara.Para la demostración de la parte (iv.), se considera la equivalencia de la parte(ii.) del teorema 2.7.2. y se procede en forma similar a la prueba anterior.Ejemplos:• El anterior corolario permite resolver de manera inmediata desigualdadescomo |x − 3| < 5Solución geométrica: Todos los puntos de la recta numérica que están a unadistancia del punto 3, menor que 5, i.e., los x ∈ R tales que d(x, 3) < 5.Solución analítica: Intervalo (−2, 8), i.e., intervalo de centro en 3 y radio 5.Solución gráfica:3 − 5 < x < 3 + 53−2 8• La parte (iv.) del corolario dá la clave para resolver la desigualdad|x − 3| ≥ 5. |Universidad de Antioquia|x < −2 x > 8] [−238Solución geométrica: Los puntos x que están a una distancia del punto 3,mayor o igual que 5: d(x, 3) ≥ 5Solución analítica: (−∞, −2] ∪ [8, ∞)• Hallar centro y radio del intervalo (−10, 2). Expresar en términos de desigualdadcon valor absoluto la condición que define el intervalo dado.Solución:centro a = −4, radio c = 6. La desigualdad es: |x − (−4)| < 6;.d(x, −4) < 6• |0−10 −4 2• ¿Cuál es el intervalo definido por la desigualdad |x − 1/2 |

2.7. VALOR ABSOLUTO. 167• ¿Cuál es el intervalo perforado de centro en −1 y radio 2/3 ?. Expresarla condición que lo define en términos de desigualdad con valor absoluto.Hacer la gráfica de este intervalo.Respuestas:(i.)(−5/3, −1/3) − {−1}; (ii.)0 < |x + 1| < 2/3−2/3 < x − (−1) < 2/3, x ≠ −1• |−5/3−1−1/3En el ejemplo que sigue incluímos la letra griega “delta” minúscula (δ) paraindicar el radio, (constante positiva), de un intervalo perforado:• Escribir en términos de desigualdad con valor absoluto la condición quedefine el intervalo abierto y perforado de centro en a y radio δ. Hacer lagráfica.Solución:El intervalo es:(a − δ,a + δ) − {a}Condición analítica:−δ < x − a < δ, x ≠ a0 < |x − a| < δ.• |En la definición de límite de una función f, definida entre números reales,aparece la siguiente implicación:a − δ0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − L| < ǫ.(La letra L representa el valor del límite. El empleo de las letras griegas ǫ yδ para representar números positivos, es de uso universal en la definición deeste tipo de límites.)• Interpretar en términos de “distancia” el significado, tanto del antecedentecomo del consecuente, de la anterior implicación. Hacer una representacióngráfica.Universidad de Antioquiaaa + δ

168CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Respuesta para el antecedente:El antecedente 0 < |x − a| < δ es “ el intervalo de los puntos x ≠ aque están a una distancia de a, menor que δ ”, i.e., el intervalo abierto yperforado de centro en a y radio δ.Respuesta para el consecuente:El consecuente |f(x) − L| < ǫ define “ el intervalo, en el eje “ y ”, de lospuntos f(x) que están a una distancia de L, menor que ǫ ”, i.e., el intervaloabierto de centro en L y radio ǫ.Gráfica.2ǫLf(x)••• •x a2δEl siguiente teorema reune las principales propiedades de la función |x|.Teorema 2.7.4. (propiedades de la función |x| ).1. |x| ≥ 0. [Toda distancia entre un punto y el origen, es no negativa ].2. | − x| = |x|. [En otra forma: [d(0, −x) = d(0, x)]. Ver teor. 2.7.1., pág. 161.]3. x ≤ |x|. [Cúmplese la igualdad cuando x es positivo o 0 y la desigualdad, cuando x es negativo.].4. |x + y| ≤ |x| + |y|. [Desigualdad Triangular].5. Para n ≥ 2: |x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n | ≤ |x 1 | + |x 2 | + |x 3 | + ... |x n |.[Desigualdad Triangular generalizada].6. |x| − |y| ≤ |x − y|. [Consecuencia de la desigualdad triangular].Universidad de Antioquia

2.7. VALOR ABSOLUTO. 1697. ||x| − |y|| ≤ |x − y|.8. |xy| = |x||y|. [El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos].9. | x| = |x| , [para y ≠ 0].y |y|10. |x| = √ x 2 . [ Queda en entredicho la validez de √ x 2 = x, pués sólo es válida para x ≥ 0.Demostremos los numerales 4, 5, 6, 8 y 10.Demostración.De 4.Se deben considerar dos casos: I. Cuando x+y > 0 y II. Cuando x+y < 0].Para el primer caso tenemos:|x + y| = x + y por definición.≤ |x| + |y| por la parte 3.|x + y| ≤ |x| + |y| por transitividad.Para el segundo caso tenemos:|x + y| = −(x + y) por definición.= (−x) + (−y) por ley distributiva.≤ |x| + |y||x + y| ≤ |x| + |y| por transitividad.De 5.Método de inducción.Base:Para n = 2 el resultado no es mas que el item 4,Paso de inducción:por las partes 3 y 2, pues − x ≤ | − x| = |x|.|x 1 + x 2 | ≤ |x 1 | + |x 2 |. (Desigualdad Triangular).Universidad de Antioquia✷

170CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Supongamos que el resultado es cierto para k = n, i.e.,|x 1 +x 2 +x 3 +... +x n | ≤ |x 1 |+|x 2 |+|x 3 |+... +|x n | (hip. de inducción.)Queremos demostrar que también se cumple para k = n + 1, i.e.,|x 1 +x 2 +x 3 +... +x n +x n+1 | ≤ |x 1 |+|x 2 |+|x 3 |+... +|x n |+|x n+1 | (tesis.)En efecto, llamemos A = x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n .Entonces,|A| ≤ |x 1 | + |x 2 | + |x 3 | + ... + |x n | (hipótesis de inducción).Según teorema 2.5.5. (1.), página 148,|A| + |x n+1 | ≤ |x 1 | + |x 2 | + |x 3 | + ... + |x n | + |x n+1 | (∗)Por desigualdad Triangular,|A + x n+1 | ≤ |A| + |x n+1 | (∗∗)Por sustitución y por transitividad entre (∗∗) y (∗),|x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n + x n+1 | ≤ |x 1 | + |x 2 | + |x 3 | + ... |x n | + |x n+1 |. ✷De 6.|x| = |(x − y) + y| resta y suma de y.≤ |x − y| + |y| desigualdad triangular.|x| − |y| ≤ |x − y|traslado de un término.✷De 8.Según los signos de x y y se presentan 4 casos a saber:(I.) x > 0, y > 0; (II.) x > 0, y < 0; (III.) x < 0, y > 0;(IV.) x < 0, y < 0.Caso I.) En este caso son ciertas las siguientes igualdades:|x| = x; |y| = y; |xy| = xy, por ser xy > 0 (definición.)Multiplicando término a término las dos primeras, se tiene por L. uniforme,Universidad de Antioquia

2.7. VALOR ABSOLUTO. 171|x||y| = xy.Ahora podemos afirmar, (por sustitución), que |xy| = |x||y|.Caso II.) De igual manera que en el caso anterior:.|x| = x; |y| = −y; |xy| = −(xy)Por L. uniforme y una propiedad algebraica,Por sustitución,Caso III.) Similar al caso II.|x||y| = x(−y) = −(xy).|xy| = |x||y|.Caso IV.) Como en los casos anteriores, se cumplen las siguientes igualdades:|x| = −x; |y| = −y; |xy| = xy.Por L. uniforme y una propiedad algebraica,Por sustitución,De 10.|x||y| = (−x)(−y) = xy|xy| = |x||y|.Caso I.) Para x = 0, el resultado es claro:Universidad de Antioquia✷√02= | 0 |.Caso II.) Para x ≠ 0, hagamos a = √ x 2 . Entonces a > 0 y a 2 = x 2 ,luego,a 2 − x 2 = 0.(a + x)(a − x) = 0.Según teorema 2.5.1. (3.), página 140, uno de estos dos factores es 0.Subcaso 1.) Para x > 0,positivos), luego|x| = x (definición) y a + x ≠ 0, (suma de

172CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.a − x = 0,de donde, a = x y por una simple sustitución,√x2 = a = |x|.Este primer subcaso queda demostrado.Subcaso 2.) Para x < 0,de positivos), luego|x| = −x (definición) y a + (−x) ≠ 0, (sumaa + x = 0de donde, a = −x y por una simple sustitución,√x2 = a = |x|.Este segundo subcaso también queda demostrado.Finalmente el teorema queda demostrado en ambos casos.Ejemplos que comprueban la desigualdad triangular, (parte 4 del anterior teorema.)| − 5 + 3| = | − 2| = 2 < | − 5| + |3| = 5 + 3 = 8. [cuando los signos son diferentes,se verifica la desigualdad estricta].| − 5 − 3| = | − 8| = 8 = | − 5| + | − 3| = 5 + 3 = 8. [cuando los signosIntervalos acotados.son iguales, se verifica la igualdad].Definición:• Una cota superior del intervalo (a,b), con a < b, es cualquier número realque no sea inferior a b.En términos de equivalencia,c ∈ R es una cota superior del intervalo (a,b) ⇐⇒ para todo x ∈ (a,b), x ≤ c.Un intervalo está acotado superiormente en el conjunto de los númerosreales sii tiene por lo menos una cota superior.• Una cota inferior del intervalo (a,b), con a < b, es cualquier número realque no sea superior a a.En términos de equivalencia,Universidad de Antioquia

2.7. VALOR ABSOLUTO. 173d ∈ R es una cota inferior del intervalo (a,b) ⇐⇒ para todo x ∈ (a,b), x ≥ d.Un intervalo está acotado inferiormente en el conjunto de los números realessii tiene por lo menos una cota inferior.Ejemplos:1. El 5 es una cota superior, tanto del intervalo (3, 5), [x ≤ 5, para todox ∈ (3, 5)], como de los intervalos (3, 5], y (3, 4 · 9 ].El 17 también es una cota superior de estos tres intervalos. Es más, todos lospuntos del intervalo [5, ∞) son cotas superiores de estos tres intervalos.2. El 3 es una cota inferior, tanto del intervalo (3, 5), [x ≥ 3, para todox ∈ (3, 5)], como de los intervalos [3, 5), (3 · 1, 5].El −1 es también una cota inferior de estos tres intervalos. Es más, todos lospuntos del intervalo(−∞, 3] son cotas inferiores de estos tres intervalos.3. El intervalo (3, ∞) no tiene cotas superiores, (no está acotado superiormenteen R), pero si está acotado inferiormente, (el 3 es una cota inferior.).Así mismo, el intervalo (−∞, 5) no tiene cotas inferiores, (no está acotadoinferiormente en R), pero si está acotado superiormente, (el 5 es unacota superior.).4. El intervalo de los números reales, (−∞, ∞) no es un conjunto acotado.(Quiere esto decir que no tiene cotas superiores ni inferiores en R.).5. El concepto de conjunto acotado se puede extender a otros conjuntos denúmeros reales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, o sea Z +tiene cotas inferiores como 0, −1/2, −1, − √ 2 y muchas más en R. El conjuntode los números enteros, ( Z ), no está acotado en R.Los conjuntos de números que verifican desigualdades del tipo |x − a| < δson conjuntos acotados (en R), entre a − δ, (cota inferior), y a + δ, (cotasuperior), pués|x − a| < δ ⇐⇒ a − δ < x − a < a + δ (corol. 2.7.3., página 165.).6. Los números que verifican la desigualdad |x − 4| < 1 están acotadosentre 3, (cota inferior) y 5, (cota superior). La razón es que estos númerosforman el intervalo (3, 5).Universidad de Antioquia

174CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Nota: En adelante sólo consideraremos conjuntos acotados en R.7. Encontrar una cota real para un intervalo abierto y perforado con centroen 4 y radio por determinar, δ, cuyos puntos hagan verdadera la desigualdad| √ x − 2| < 1, siendo x > 0.Solución: Lo que pide la solución es hallar un número positivo δ que permitaacotar el término |x − 4|, x ≠ 4, de tal modo que los números x, verifiquenla desigualdad | √ x − 2| < 1.Todo lo anterior se reduce a encontrar un δ > 0 tal que se verifique laimplicación,0 < |x − 4| < δ =⇒ | √ x − 2| < 1. ⋆El valor de δ se puede hallar a partir de la desigualdad que aparece en elconsecuente: | √ x − 2| < 1.El procedimiento es el siguiente:| √ x − 2| = | x−4 √ x+2| < 1. Racionalización. (2.1)= |x−4| √ x+2< 1. Definición y propiedad de vlr. absoluto. (2.2)El procedimiento continúa tratando de hallar una cota para1 √ x+2.En efecto,Luego,√ x + 2 ≥ 2. Porque√ x ≥ 0. (2.3)√ 1x+2≤ 1 2. Cambio de sentido, (teor 2.5.4. (8), pǵ.146) (2.4)Cota = 1 . Al multiplicar por |x − 4|, cantidad positiva, se consigue2|x−4|√ x+2≤ |x−4|Finalmente hacemos2. (2.5)|x − 4|< 1. (2.6)2Universidad de Antioquia

2.7. VALOR ABSOLUTO. 175para de esta manera obtener,|x − 4| < 2. (2.7)En esta última expresión podemos leer el valor de un δ apropiado:δ ≤ 2. (2.8)Es fácil comprobar que con el valor de 2 para δ, se cumple la implicación ⋆,ejercicio que se deja para el estudiante, (ejercicio 8, página 182).Modelos de solución de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto.Veamos a continuación algunas técnicas para resolver ecuaciones y desigualdadescon valor absoluto. Es interesante acompañar la solución analítica, deser posible, con una solución gráfica que nos puede servir de verificación a lasolución analítica.Ejemplo 1.Resolver la ecuación, |2x − 3| = 2.“ Solución analítica”. “ Solución gráfica ”.Los únicos números reales cuyo valorabsoluto es 2, son: 2 y −2.En consecuencia, se presentan dos posibilidades:1 a )2x − 3 = 2. De donde,x 1 = 5/2.2 a )2x − 3 = −2 De donde,x 2 = 1/2.Ejemplo 2.• •• •x 2 x 1Universidad de Antioquia2 OyLa gráfica en forma de ∨es de la función y = |2x − 3|.x

176CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Resolver la ecuación |3 − 2x| = 1 2 x + 1.“ Solución analítica”.La ecuación a resolver es equivalente a la ecuación |3−2x|− 1 x−1 = 0. (⋆)2Lo primero es conseguir el “cero” del polinomio 3 − 2x; éste es: x = 3/2.Por este punto trazamos una línea de separación. (Ver gráfico a conti nuación.).+ + − −|•0 3/2I.) 3 − 2x > 0 para x < 3/2. II.) 3 − 2x < 0 para x > 3/2.En este primer caso,En este segundo caso,|3 − 2x| = 3 − 2x. |3 − 2x| = 2x − 3.Reemplazando en ⋆Reemplazando en ⋆3 − 2x − 1 2 x − 1 = 0 2x − 3 − 1 2 x − 1 = 02 − 5 2 x = 0. 32 x − 4 = 0.De donde,De donde,x 1 = 4/5. x 2 = 8/3.“ Solución gráfica ”.Universidad de Antioquia2Oy••• •x 1 x 2 xEjemplo 3.Resolver la ecuación |x + 1| + |x − 2| = 1. (⋆)Solución.Los “ceros” de los polinomios x + 1 y x − 2 son los puntos de separaciónpara dividir la recta numérica en tres regiones. La solución requiere de 3casos y procedemos por casos.ceros: x = −1; x = 2Región 1. Región 2. Región 3.x < −1 −1 ≤ x ≤ 2 x > 2• |•−1 0 2Para la región 1.: Para la región 2.: Para la región3.:x + 1 < 0 x + 1 ≥ 0 x + 1 ≥ 0x − 2 < 0 x − 2 < 0 x − 2 ≥ 0La ecuación ⋆ La ecuación ⋆ La ecuación ⋆es equivalente a, es equivalente a, es equivalente a,−x − 1 − x + 2 = 1. x + 1 + 2 − x = 1. x + 1 + x − 2 = 1.De donde, De donde, De donde,x = 0. 3 = 1 (¡Absurdo!). x = 1.Valor que se descarta: 0 ≮ −1. No existe solución Valor que se descarta: 1 ≱ 2.No existe solución.No existe solución.

2.7. VALOR ABSOLUTO. 177Conclusión: La ecuacióntiene solución vacía: S = Φ.La gráfica comprueba estaconclusión: La línea recta,y = 1, y la línea poligonal,y = |x + 1| + |x − 2|,no se encuentran, i.e., no secortan.Ejemplo 4.Resolver la desigualdad |3x + 2| > 2x + 5,de intervalos.Solución:La desigualdad propuesta es equivalente a estaotra: |3x + 2| − 2x − 5 > 0. (⋆)El procedimiento se puede seguir en la gráficaadjunta:|3x + 2| se hace 0 para x = −2/3.El punto “cero”, x = −2/3, divide la rectanumérica en 2 regiones: los x < −2/3 y losx > −2/3.Región 1: Para los x < −2/3, se tiene que3x + 2 < 0, y por tanto, |3x + 2| = −3x − 2.Así que la desigualdad ⋆ es equivalente a−3x − 2 − 2x − 5 > 0. De donde x < −7/5.Región 2: Para los x > −2/3, se tiene que3x + 2 > 0, y por tanto, |3x + 2| = 3x + 2.Así que la desigualdad ⋆ es equivalente a3x + 2 − 2x − 5 > 0. De donde x > 3.y = |x + 1| + |x − 2|y = 1Universidad de AntioquiaOyxdando la solución en términosy = |3x + 2|••x < −7/5 x > 3• • •−2O3 3− 7 5yS = (−∞, − 7 5) ∪ (3, ∞)Ejemplo 5.Resolver la desigualdad |4x − 1| ≤ |3x + 2|, dando la solución en términosde intervalos.Solución:La desigualdad propuesta es equivalente a |4x − 1| − |3x + 2| ≤ 0. El estudiantepuede resolverla como los ejemplos anteriores, dividiendo la rectax

178CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.numérica en 3 regiones de acuerdo con los ceros de los dos polinomios: x 1 = 1 4y x 2 = −2.3Esta vez utilizaremos un procedimiento un poco diferente.La desigualdad propuesta es equivalente a esta otra:Esta a su vez equivale a,−1 ≤ 4x−13x+2| 4x−13x+2−2| ≤ 1; x ≠ . (⋆) 3≤ 1; x ≠−23❀ teor. 2.7.2.(i.), página 162.Expresión que se descompone en dos desigualdades:Solución 1 a desigualdad:1 a 4x−1.) ≥ −1 y 3x+2 2a 4x−1.) ≤ 1 3x+2• Lo primero es obtener un “cero”.4x−13x+2 + 1 ≥ 0.• El siguiente paso es simplificar en términosde cociente.4x−1+3x+27x+13x+2≥ 0.3x+2 ≥ 0.• Procedimiento gráfico. (L. de Tricotomía.)− − •− •+ +|(7x + 1)− − + + +• •(3x + 2)+ + − + +• •ր տ− 2 7x+1−13x+23 7Solución 2 a desigualdad:• Lo primero es obtener un “cero”.4x−13x+2 − 1 ≤ 0.• El siguiente paso es simplificar en términosde cociente.4x−1−3x−2x−33x+2≤ 0.3x+2 ≤ 0.S 1 = R − [ −23 , −17 ) S G /ral. = S 1 ∩ S 2 = [−1/7, 3 ]La siguiente es una comprobación gráfica de la solución.• Procedimiento gráfico. (L. de Tricotomía.)− − •|•(x − 3)− −•+ + +•(3x + 2)+ +•− − +•րր x−3− 2 3 3 3x+2S 2 = ( −23 , 3]Universidad de Antioquia

2.7. VALOR ABSOLUTO. 179Ejemplo 6. [importante.]y = |4x − 1|y = |3x + 2|••• ••−1ր 7 ≤ x ≤ 3 3−17S G/ral. = [−1/7, 3]Determinar, en el “eje x, ” el radio δ de un intervalo perforado con centroen a = 3, tal que los valores de la función f(x) = 2x − 1 sean puntos del“eje y ” que estén a una distancia del punto L = 5, menor que ǫ = 0 · 01.Ver gráfica, página siguiente.Universidad de Antioquiayx

180CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.Solución. (Ver ejemplo similar en las páginas167, 168.)El problema se reduce a acotar el término|x − 3| para lo cual tenemos que hallar unvalor “apropiado” de δ, tal que se cumpla laimplicación,0 < |x −3| < δ =⇒ |(2x −1) −5| < 0 ·01. ⋆La información que contiene la desigualdaddel consecuente, es la que nos permite determinarun valor “apropiado” para δ. El procedimientoes el siguiente:2(0 · 01)L = 5−→ f(x)|(2x − 1) − 5| < 0 · 01 ⇐⇒ −0 · 01 < 2x − 6 < 0 · 01. (cor. 2.7.3.)⇐⇒ 6 − 0 · 01 < x < 6 + 0 · 01 .22(traslado del 6).Restemos 3 “en todas partes”,Finalmente,••Universidad de Antioquiax ↑• •3⇐⇒ 5 · 99 − 3 < x − 3 < 6 · 01 − 3. (teor. 2.5.5.)22⇐⇒ −0 · 005 < x − 3 < 0 · 005⇐⇒ |x − 3| < 0 · 005 (cor. 2.7.3.)Esta última desigualdad tiene ahora la forma del antecedente de la implicación⋆ y en ella podemos “leer” el valor “apropiado” de δ, a saber,δ ≤ 0 · 005 .Ahora es fácil probar la implicación,0 < |x − 3| < 0 · 005 =⇒ |(2x − 1) − 5| < 0 · 01,ejercicio que se deja para el estudiante. (Ejercicio 9, página 182.).Nota:Cualquier otro valor positivo de δ que sea menor que 0.05 también es “apropiado”. Porejemplo, con un radio tan pequeño como δ = 0 · 0002 también se cumple la implicación ⋆.2δ

2.8. EJERCICIOS. 1812.8. Ejercicios.1. Escribir sin las “barras de valor absoluto” cada una de las siguientesexpresiones, tratando por separado los casos que sean necesarios:{x, si x ≥ 0|x|; Resp. ❀ |x| =−x si x < 0.|a+b|; |a+b|−|b|; |x 2 −2xy+y 2 |;| √ 2 + √ 5| + | √ 2 − √ 3|; Resp. ❀ √ 5 + √ 3|x|x ; ||x|−1|; |x|−|x2 |; x|x|;| √ 3 − √ 5| − | √ 5 − √ 7|; |x + 1| − |x − 1|; |z| + |1 − z|.2. Escribir sin radical ( √ ) y sin valor absoluto, cada una de las siguientesexpresiones, tratando por separado los casos que sean necesarios:√x2Resp.:{√ x, si x ≤ 0,x2 =−x, si x > 0.√ √ (x − a)2 ; a√ √;x 2 x4 ; x2 − √ √x 4 ; (x 2 − √ x 4 ).Sugerencia: Un primer paso puede ser utilizar valor absoluto.3. En los siguiente casos, escribir el intervalo abierto y perforado, de lospuntos que están a una distancia del número a, menor que δ. Hacer lagráfica de cada intervalo:a = −1; δ = 2; Resp. ❀ (−3, 1)−{−1} ❀ ( • )−1−3 1a = 1 a = −1 a = 3 a = −5 a = −1δ = 2 δ = 1 δ = 3 δ = 1 δ = 1 2 .4. En los siguientes casos, escribir el intervalo, (perforado o no), correspondientea cada una de las siguientes desigualdades, incluyendo tambiénsu gráfica, centro y radio:0 < |x| < 1; Resp. ❀ (−1, 1) − {0}, centro a = 0, radio δ = 1,Universidad de Antioquia

182CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.( • )0−1 10 < |x − 1| < 1; 0 < |x + 1| < 1; |x − 3| ≤ 10; |x + 3| < .5;0 < |x − 1| < 1 ; |x| < 5.2 25. Los intervalos de mayor interés para el estudio de los límites son losabiertos, perforados. Escribir una desigualdad en términos de valor absolutopara cada uno de los siguientes intervalos perforados. Incluir sugráfica:(−1, 1) − {0}; Resp. ❀ 0 < |x − 0| < 1. ❀( )•−1 01(3, 5) − {4}; (−5, −3) − {−4}; (−3, 7) − {1}; (0, 15) − {7 · 5};(− 1, 1 ) − {0}); (−20, 10) − {−5}; (−0 · 1, 2 · 5) − {1 · 3}.2 26. Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar la solución por mediode una gráfica.|4x + 3| = 7; |4 − 3x| = 3x − 1; |x + 1| − |x − 2| = 1;|3 − 2x| = |x − 5|; | x+2|= 5; x−2 |x2 + x − 2| = 1.7. Resolver las siguientes desigualdades, dando la solución en términos deintervalos. Hacer una comprobación gráfica.|2 − 3x| ≥ 6; |x − 1| ≤ 2|2x − 4|; |5 − 2x| < 7; |3x| > 6 − 3x;|9 − 2x| ≥ |4x|; |3x + 2| > 4x − 1; |x + 4| ≤ |2x − 6|;|x 2 5− 1| < 1; | ≤ | 12x−1x−2 ;| 3x| ≥ | 2|; x−1 x−2 |x2 − 2| < 1.8. Demostrar la implicación, (ver ejemplo 7., página 173.)0 < |x − 4| < 2 =⇒ | √ x − 2| < 1.9. Demostrar la implicación, (ver ejemplo 6., página 179.)0 < |x − 3| < 0 · 005 =⇒ |(2x − 6| < 0 · 01Universidad de Antioquia

2.8. EJERCICIOS. 18310. Determinar un intervalo perforado con centro en 2 y radio δ, tal quelos valores de la función g(x) = x 2 pertenezcan al intervalo con centroen L = 4 y radio ǫ = 0 · 05. Incluir en la solución una gráfica que serefiera al ejercicio. Ver ejemplo 6, página 179.Solución: El ejercicio se reduce a encontrar algún valor para δ > 0 talque se cumpla la siguiente implicación:0 < |x − 2| < δ =⇒ |x 2 − 4| < 0 · 05. ⋆Para empezar, considere el consecuente ❀ |x 2 − 4| < 0,05. A partirde esta desigualdad se desarrolla el procedimiento que permite calcularun valor “apropiado” para δ. “ Apropiado” quiere decir que satisface laimplicación propuesta.Al factorizar el polinomio x 2 − 4, la desigualdaddel consecuente resulta equivalente a |x+2||x−2| < 0·05. La idea esacotar, el factor |x+2|. Esto se puede hacer a partir de la desigualdad,|x − 2| < δ. El procedimiento es como sigue:|x − 2| < δ ⇐⇒ −δ < x − 2 < δ (corol. 2.7.3.) (2.9)⇐⇒ 4 − δ < x + 2 < 4 + δ sumar 4 en (2.13) (2.10)⇐⇒ −4 − δ < x + 2 < 4 + δ pues − 4 − δ < 4 − δ.(2.11)⇐⇒ |x + 2| < 4 + δ corol. 2.7.3. (2.12)A continuación se efectúa un producto entre términos positivos:0 < |x − 2| < δ0 < |x + 2| < 4 + δ0 < |x 2 − 4| < (4 + δ)δ < 0 · 05Resolviendo (4 + δ)δ − 0 · 05 < 0, se obtiene finalmente: δ ≤ √ 16·2−42.Queda pendiente demostrar la implicación ⋆ cambiando la letra δ por√16·2−42≈ 0,0125. Demostrar esta implicación.Universidad de Antioquia

184CAPÍTULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES. DESIGUALDADES.11. Demostrar las partes 4, 5, 6, 8, 9 y 10 del teorema 2.7.4., página 168.12. Demostrar que −|x| ≤ x ≤ |x|.13. Si |x| < 1, demostrar que1≤ 1 ≤ 11+|x| 1−x 1−|x|Sugerencia: Considere el numeral 8 (a.) del teor. 2.5.4., (página 146), yel ejercicio anterior.Universidad de Antioquia

Capítulo 3Funciones básicas.3.1. Funciones definidas por fórmula.Retornamos al tema de las funciones pero esta vez, considerando funcionesdonde los datos, (preimágenes) y los resultados, (imágenes), son respectivamentenúmeros reales, (llamadas funciones reales de una variable real). Elprocedimiento más utilizado, (pero no el único), para definir este tipo defunciones es por medio de una o varias fórmulas o expresiones matemáticaslo cual ya hemos hecho en varias ocasiones anteriores, (véase la página 122,(f(x) = x 2 ), la página 160, (función |x|), y algunos ejercicios de la sección2.4.). En adelante, salvo que se diga algo distinto, las funciones que trataremosserán del tipo aquí mencionado.Antes de la presentación de algunas funciones, básicas para ilustrar los temasque se estudiarán mas adelante, veamos algunos aspectos relacionados con elcontenido de este capítulo.GRÁFICAS.Para cada función, y en los casos en que sea posible, es útil representarla enun diagrama cartesiano que nos permita visualizar características y detallespropios de la misma. Llamaremos “curva” a la respectiva gráfica de la función.Por ejemplo la curva de la funciónf(x) = x 2 , x ∈ Res una parábola, como tuvimos oportunidad de verla en la página 123.Los criterios que vienen a continuación nos permiten determinar por inspecciónsi una gráfica es la curva de una función, (criterio #1) y si la curvaUniversidad de Antioquia185

186corresponde a una función 1 a 1, (criterio #2).CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.CRITERIOS DE LA RECTA HORIZONTAL Y LA RECTA VERTICAL.⊲ Criterio #1: Una curva en el plano cartesiano corresponde a la gráficade una función sii toda recta vertical intercepta a la curva en a lo sumo unpunto. Ver gráfica.⊲ Criterio #2: Una curva en el plano cartesiano corresponde a la gráfica deuna función 1 a 1 sii toda recta horizontal intercepta a la curva en a lo sumoun punto. Ver gráfica.comentarios: La elipse no es funciónporque la línea vertical a la in-•tercepta en dos puntos.•La curva “f ” es la gráfica de unafunción porque toda recta vertical la aintercepta a lo sumo en un punto.• • • bEsta función no es 1 a 1 porque laflínea horizontal b la intercepta eng hcvarios pts.•Los dos segmentos de recta0 2 4xco rresponden a una función g cuyogdominio es el intervalo (2,4], lo cualse comprueba aplicando el criteriode la línea vertical.Las líneas verticales a y c, y en ge neral todas las líneas verticales, no co rresponden afunciones ya que se interceptan a si mismas en todos sus puntos. En cambio las línashorizontales, (como b), son gráficas de funciones porque toda vertical las intercepta sóloen un punto.La curva h es la gráfica de una función inyectiva porque tanto las líneas verticales comolas horizontales la interceptan exactamente en un punto.ASÍNTOTAS.Damos por ahora una descripciónde tipo geométrico. Una definiciónprecisa requiere del conceptode límite.Una recta es asíntota de unacurva si entre ambas se da unacercamiento progresivo que seextiende indefinidamente. Lasasíntotas de una curva pueden տser horizontales, verticales uoblicuas. La gráfica ❀complementa esta idea intuitiva.տASÍNTOTASUniversidad de Antioquia

3.1. FUNCIONES DEFINIDAS POR FÓRMULA. 187FUNCIONES PARES - FUNCIONES IMPARES.Sea y = f(x) una función:y• f es una función par siif(−x) = f(x).La gráfica de una función par presentasimetría respecto al eje “y”.• f es una función impar siif(−x) = −f(x).La gráfica de una función impar presentasimetría respecto al origen decoordenadas.Ejemplos:1. La función y = x 2 + 5 es par,pués (−x) 2 + 5 = x 2 + 5.Note la simetría de la curva con respectoal eje “y ”.2. La función y = x 3 es impar, pués (−x) 3 = −(x 3 ).Note el tipo de simetría con respecto al origen.y = x 3Universidad de Antioquiaoy = x 2 + 5GRÁFICAS DE f vs. f −1 .Es fácil demostrar que los puntos de coordenadas (a,b) y (b,a) presentansimetría con respecto a la recta y = x, (la función identidad.).Según lo anterior, si f es una función biyectiva, las curvas de las funcionesy = f(x) y y = f −1 (x) presentany f(x) = x 3simetría respecto a la recta y = x. Estonos permite obtener “fácilmente” lay = xgráfica de una de estas funciones, teniendola gráfica de la otra.En la gráfica se puede observar lasimetría entre las curvas f(x) = x 3 f −1 (x) = 3√ xysu inversa f −1 (x) = 3√ x.oxEs de anotar que la gráfica de todarelación R, entre números reales, y suinversa R −1 , presentan este mismo tipode simetría.x

188CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.OPERACIONES CON FUNCIONES.(suma, resta, producto,cociente).Sea y = f(x) una función con dominio A ⊆ R y y = g(x) una función condominio B ⊆ R y A ∩ B ≠ Φ.Además de la importante composición de funciones, se definen las siguientesoperaciones entre funciones:• Suma:y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) con x ∈ A ∩ B.• Resta:y = (f − g)(x) = f(x) − g(x) con x ∈ A ∩ B.• Producto:y = (f × g)(x) = f(x)g(x) con x ∈ A ∩ B.• Cociente:y = ( f f(x))(x) = con x ∈ A ∩ B , g(x) ≠ 0 para todo x ∈ A ∩ B.g g(x)EJEMPLOS:• y = √ x + 1 x , (con x > 0), es la suma de las funciones √ x y 1 x .• La función polinómica y = x 5 + 2x 4 − x + 3, x ∈ R, es la suma defunciones potencias más una constante.• y = |x|( √ x + 1), es el producto de las funciones |x| y ( √ x + 1).• y = |x| , es el cociente de la función |x| con la función identidad y = x.xCAMBIOS EN LA POSICIÓN O EN LA FORMA DE UNA CURVA.En lo que sigue nos referiremos a la curva o gráfica de una función y = f(x).Los cambios a que se refiere el título son ocasionados por sumas o productosrealizados sobre las variables x o y. Las letras h,k,α y β representan valoresconstantes.A.) DESPLAZAMIENTOS.(Cambios en la posición de la curva).Universidad de Antioquia

3.1. FUNCIONES DEFINIDAS POR FÓRMULA. 189y = (x + 2) 2i.) - Desplazamiento horizontal: h.Si x cambia por (x −h), la curvaqueda desplazada una distanciahorizontal h:Hacia la derecha, (→), si h > 0.Hacia la izquierda, (←), si h < 0.La nueva función es de la formaY = f(x − h).Ejemplo 1. La rectaY = (x − 2) es el desplazamientode la recta y = xen 2 unidades hacia la derecha,(→), i.e., h = 2.Ejemplo 2. La parábolaY = (x+2) 2 es el desplazamientode la parábola y = x 2en 2 unidades hacia la izquierda,(←), i.e., h = −2.ii.) - Desplazamiento vertical: k.Si y cambia por y + k, la curvaqueda desplazada una distanciavertical k, que puede ser:En sentido ascendente, ↑, sik > 0.O en sentido descendente, ↓, sik < 0.La nueva función adquiere la formaY = f(x) + k.Ejemplo 1. La recta Y = x − 2es el desplazamiento vertical de2 unidades, en sentido ↓ , de larecta y = x. En este caso k = −2.Ejemplo 2. La parábola Y = x 2 +2 es el desplazamiento vertical de2 unidades en sentido ↑ , de laparábola y = x 2 . En este caso,k = 2.B.) AJUSTES.(Cambios en la forma de la curva).y = xց↑y = (x − 2)y = xց↑•−2 y = x − 2y = x 2•−2y = x 2 + 2Universidad de Antioquia•2y = x 2i.) - Constricción - Dilatación: α. (Son modificaciones de tipo horizontal).Si “x” cambia por αx la curva f experimenta una constricción, (digamos quela curva “se encoge” , →←), si α > 1, o una dilatación, (digamos que la curva

190CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.“se amplía” , ←→), si 0 < α < 1.α se llama factor de constricción o dilatación, según el caso.La nueva función adquiere la forma Y = f(αx).Ejemplo 1:La recta Y = 2x es una constricción, (→←), de la recta y = xEl factor de constricción es α = 2.Ejemplo 2:La parábola Y = ( 1 2 x)2 es una dilatación, (←→), de la parábola y = x 2 .El factor de dilatación es α = 1.2yy = (2x)ցo↑y = xxUniversidad de Antioquiayoy = x 2y = ( 1 2 x)2ii.) - Contracción - Elongación: β. (Son modificaciones de tipo vertical.)Si “y ” cambia por βy y 0 < β < 1, la curva experimenta una contracción,(digamos que la curva se hace más plana ↓ ↑ ).O una elongación, ( digamos que la curva “se alarga”. ↑ ), si β > 1.↓β se llama factor de contracción o de elongación, según el caso.La nueva función adquiere la forma Y = βf(x).Nota: Si el valor de β es negativo, la curva se traslada simétricamente con respecto al eje “x”.Ejemplo 1:La recta Y = 2x es una elongación, ↑↓, de la recta y = x. El factor deelongación es β = 2.Ejemplo 2:La parábola Y = 1 2 x2 es una contracción ↓ ↑ ), de la parábola y = x2 . Elfactor de contracción es β = 1 2 .x

3.2. EJERCICIOS 191yy = 2xցo↑y = xxy = x 2Universidad de Antioquiayoy = 1 2 x2C.) Una curva puede presentar simultáneamentevarias modificaciones. Por ejemplo, la y = x 2funciónY = 1(2x − 3 3)2 + 2 tiene todos los cambiosanteriores respecto de la función inicial y = x 2 .3.2. Ejercicios0 x1. En (a.) hasta (g.), para sus respuestas, considere la siguiente gráfica:543210-1-2-3••a•f• • •xy = 1 3 (2x − 1)2 + 2րտy-4-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14gb0 7 x3 4h

192CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.Utilizar los criterios #1 y #2, (página 186), para justificar en brevespalabras cada una de las siguientes afirmaciones:(a.) La elipse no es función.(b.) La curva f es gráfica de una función que es sobreyectiva pero noinyectiva. Considere (−∞, ∞) como dominio de f.(c.) El dominio de la función g es (0, 7] − (3, 4]. Esta función es “1 a 1”pero no es “sobre” en el codominio (0, 7].(d.) La curva h es gráfica de una función que además es biyectiva. Considerecomo dominio de h, los reales y como rango, los reales positivos.(e.) Calcule el valor aproximado en los siguientes casos:f(−2) ≈f(−1)f(− · 5)f(0)f(·5)f(1 · 5)f(2 · 5)g(2)g(3)g(5)g(7)h(4)h(7)h(13) ≈(f.) Calcule un valor aproximado para cada uno de las siguientes imágenesde funciónes compuestas. Dejar indicados aquellos valores que no sepuedan calcular:f(g(1)) ≈ ;g(f(1)) ≈ ;f(g(3)) ≈ ;g(f(3)) ≈ ;f(g(7)) ;g(f(7)) ;f(g(2 · 5)) ;g(f(2 · 5)) ≈ .(g.) Realizar las operaciones indicadas:f(1) + g(1) = ;f(2)[g(2) + h(2)] = ; g(5)h(5) − h(7)g(7) = .2. En (a.) hasta(f) describa las operaciones indicadas y las funciones queintervienen en cada caso:Respuesta: Producto de la función √ x por una fun-(a.) y = 5 √ x.ción constante.(b.) y = 3|x| − 5 √ x.y 5 √ x.Respuesta: Diferencia entre las funciones 3|x|Universidad de Antioquia

3.2. EJERCICIOS 193(c.) y = (x 2 − 3)(x + 3).(d.) y = (x 2 + x + 1) 3 .(e.) y = 1 x√ x. x−1(f.) y = |x+1||x−1| .3. Determinar los ajustes de la curva y = cos x que dieron lugar a lacurva que aparece en la gráfica. (Sugerencia: Dé los valores de α y β que seannecesarios.Utilice la gráfica para calcular la longitud de un período.)2−π 0 π−2f(x) = α cos(βx).4. En (a.) hasta (e.) defina una nueva función de acuerdo con la funcióny las modificaciones propuestas: desplazamientos y/o ajustes.(Recuerde el significado que se le dió a las letras h, k, α y β, páginas189, 190.)(a.) y = √ x, x ≥ 0, desplazamientos con h = 2, k = 2.Respuesta: y = √ x − 2 + 2.(b.) y = |x|(x 2 +x+2), desplazamiento con h = −1, elongación conβ = 3.(c.) y = 1 x√ x − 1, x ≥ 1, factor de contracción β = 0 · 5 .(d.) y = x2 −x−1x−1, desplazamiento con k = −1, factor de constricciónα = 3.Universidad de Antioquia

194CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.(e.) y = ( 1 x − 1)(3x + 1), factor de dilatación α = 0 · 2,3factor de contracción β = 2.35. Utilizar la gráfica ❀de la función f, para trazarlas gráficas de las siguientesfunciones:y = f(x−3); y = 1−f(x);y = 1f(x);y = −f(x);2y = f −1 (x); y = f −1 (x +2). (suger/cia: copie la gráfica ampliada).6. Trazar la curva de f −1 siendof la función representadaen la gráfica.7. Sea f una función; h,k,α y β, constantes.-2-2 -1 0 1 2 3 4 5Universidad de Antioquia3210-14321y1ff100 1 2 3 4Demostrar que f(x − h) − k, f(αx), βf(x) también son funciones.8. Demostrar que la “suma, producto y cociente” de funciones f y g sontambién funciones, (emplear las condiciones que definen una función;ver la página 121).9. Demuestre que y = sen x y y = √ |x| son funciones pares.x10. Demuestre que las funciones y = cos x y y = −x son impares.x11. Demuestre que y = |x − 1| y y = √ x + 1 no son funciones pares. ¿Sonimpares?f(x) + f(−x)12. Sea y = f(x) una función. Demostrar que g(x) =2h(x) = f(x)−f(−x) son funciones par e impar respectivamente.213. Demostrar que toda función f se puede escribir como suma de unafunción par con una función impar. Sugerencia: utilizar el ejercicio anterior.xy

3.3.DEFINICIÓN Y GRÁFICAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS.19514. ¿Son la suma, la resta, el producto y el cociente de dos funciones pares,funciones también pares? Justique su respuesta ya sea con demostracióno contraejemplo.La misma pregunta para el caso en que se tengan dos funciones impares.¿Y cuál es la “paridad ” con respecto a cada uno de las 4 operaciones,en el caso de que una de las funciones sea par y la otra impar?.15. Si f es una función par demostrar que h(x) = (g ◦f)(x) también es par.¿Qué puede decirse si f es impar?Sugerencia: mire h(−x)3.3. Definición y gráficas de algunas funciones básicas.Definiremos a continuación un conjunto de funciones que llamaremos “básicas”ya que, a partir de éstas, obtendremos por medio de operaciones, (suma, resta,producto, cociente y la importantísima composición de funciones), otrasfunciones de mayor complejidad.La presentación de cada función será la siguiente:Una fórmula al estilo de y = f(x). Enseguida, el dominio de la función yuna gráfica o “curva” de la misma, con sus asíntotas si las tiene. Algunasveces expresaremos el dominio en forma simplificada, en términos de x, o laletra que sea la variable independiente. El codominio será en todos los casosel conjunto de los números reales. Si la función es biyectiva, se definirá suinversa.Yendo en un orden de menor a mayor complejidad, empezamos con las funcionesconstantes:1. Funciones constantes.Universidad de Antioquia

196f(x) = k,donde k es un número fijo,(una constante).O también: ❀ y = k, x ∈ R.Dominio: Todos los reales.Rango: Un singulete, ❀ {k}.Gráfica: Una recta horizontal.Ejemplos: (4 funciones constantes.)y = 3, x ∈ R.y = √ 2, x ∈ R.y = 0, x ∈ R.y = −1, x ∈ R.2. Rectas con pendiente ≠ 0.y = ax + b, x ∈ R.Rango: los números reales.Son funciones biyectivas.Función Inversa:y = 1 a x − b a .Ejemplos:y = 2 3 x + 1y = xy = −xy = −2x − 33. Parábolas.y = ax 2 + bx + c, x ∈ R.Ejemplos:y = x 2 .y = −2x 2 + 2.y = −xCAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.yy = xրy = ax 2 + bx + cy = −2x 2 + 2Universidad de Antioquiaxoy•3y = 3y = √ 2y = 0y = −1y = 2 3 x + 1 1 • y = −2x + 3ցoyy y = x 2 − 2xցւxxxo

3.3.DEFINICIÓN Y GRÁFICAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS.197y4. Funciones potencia.Son funciones de la forma,y = ax r , siendo a y r constantes.El dominio depende del valor de r.Ejemplos:y = 3x 5 , x ∈ R.y = x 1 2 , x ≥ 0.y = x π , x ∈ R + .y = − 1 2 x−1 , x ≠ 0. (Gráfica.)Universidad de Antioquiaoy = − 1 2 x−1 .←֓(Asíntota)(Asíntota)y 2x 3 − x − 15. Funciones polinómicas.(Las define un polinomio.)= y = −x 9 + √ 2 x 3 − 3 5 x + 2. y = a n x n a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0 ,x ∈ R.(Los a i son números reales y los exponentesson enteros no negativos.)oEjemplos: Las funciones constantes, líneas rectas,parábolas y funciones potenciacon exponente entero, son todas funcionespolinómicas.Otros ejemplos: y = 5x 3 ; y = 2x 3 − x − 1, (en la gráfica.)Funciones como y = x 1 2 , y y =x −1 , no son polinómicas pués elexponente no es un número na-6. Otras funciones, (no polinómicas).• f(x) = √ x, x ≥ 0.Función biyectiva.La función inversa es:y = x 2 , x ∈ R + ∪ {0}.y = √ x ≻• y = 1 x , x ≠ 0.oFunción biyectiva.La función inversa esla misma función:(f −1 )(x) = 1 x , x ≠ 0.≺ցx = 0 ❀(Asíntota)y = 1 xoxy = 1 x≻y = 0 ր(Asíntota)

1987. Funciones racionales.Son funciones de la forma,y = p(x)polinomio en (x)q(x)=polinomio en (x)y = anxn +a n−1x n−1 +... +a 0b mx m +b m−1x m−1 +... +b 0.Ejemplos:y = 3 4 x2 −1x+1 . (Gráfica.)y = 2x5 +x 4 −x−33x 2 +7x+5 .y = x3 −8x; y = 1 5 x, es decir,8. Función “ Mayor entero ”.Definición:Para todo x ∈ R definimos:[x] = el entero n tal que n ≤ x < n+1.([x] =“el mayor entero n que no sobrepasaa x”.)De esta manera queda definida unafunciónf : R → Z tal quef(x) = [x].Ejemplos:[3 · 9] = 3. [−3 · 01] = −4.[7] = 7. [−5] = −5. [3/5] = 0.CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.−3−3ւx = −1❀(Asíntota)−1−1y = 3 4 x − 3 4(Asíntota)❀ y = 3 4 x2 −1x+1 .Universidad de Antioquia−2−2oy1ց201 2 3ր3[0] = 0. [π] = 3.[ √ 21 ] = 4.Como puede verse, la gráfica de la función [x] se compone de un número“infinito” de segmentos paralelos al eje “x”. Una escalinata infinita.9. Funciones definidas “a tramos”.Son funciones que cambian su fórmula al cambiar el intervalo de definición.Su definición procede por medio de casos. Su dominio es unión de intervalos.Veamos algunos ejemplos:x

3.3.DEFINICIÓN Y GRÁFICAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS.199i.) f(x) ={1, si x ≥ 0.−1, si x < 0.Dom(f) = R.⎧⎪⎨ −x 2 + 2, si x < 0.ii.) g(x) = − 2 5x + 2, si 1 < x ≤ 3.⎪⎩ 14 x2 − 5, si 3 < x ≤ 6.Dom(g) = (−∞,0) ∪ (1,6].{iii.) |x| =x, si x ≥ 0.−x, si x < 0.⎧⎪⎨ x 3 , si − 1 · 5 < x ≤ 1 · 5iv.) h(x) = 1, si x = 2⎪⎩ 25 x2 − 3, si 2 < x < 4.Dom(h) = (−1 · 5,1 · 5] ∪ [2,4).v.) La función “mayorentero” está definida sobreun número ininito detramos. Ver gráfica enpágina anterior.••Universidad de Antioquia−1⎧.−3, si − 3 ≤ x < −2.−2, si − 2 ≤ x < −1.⎪⎨ −1, si − 1 ≤ x < 0.[x] = 0, si 0 ≤ x < 1.1, si 1 ≤ x < 2.2, si 2 ≤ x < 3.3, si 3 ≤ x < 4.⎪⎩.•oo•y• 2 •o111 3 6y−y••−1,5 oր 21,5 ••| | | |•4x•xx

20010. Funciones trigonométricas.(seno, cosecante; coseno, secante)(tangente, cotangente.)i.) y = senx, x ∈ R.Función no inyectiva.rango: el intervalo [−1,1]Es decir, −1 ≤ sin x ≤ 1.ii.) y = csc x, x ≠ kπ,k ∈ Z.(función recíproca de y = sen x.)Función no inyectiva.rango: (−∞, −1] ∪ [1, ∞)Es decir, |csc x| ≥ 1.iii.) y = cos x, x ∈ R.Función no inyectiva.rango: el intervalo [−1,1]Es decir, −1 ≤ cos x ≤ 1.iv.) y = sec x, x ≠ (2k − 1) π 2 ,k ∈ Z.(función recíproca de y = cos x.)Función no inyectiva.rango: (−∞, −1] ∪ [1, ∞)Es decir, |sec x| ≥ 1.CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.←֓ (Asíntota) ֒→1 •• • • • • •−5π −π −π o π π 5π4224(Asíntota) ֒→•−1y = sec xy = cos xy = csc xy = sen x←֓ (Asíntota)֒→•• • • • • •−5π −π−π o π π 5π4224•−1Universidad de Antioquia←֓ (Asíntota)

3.3.DEFINICIÓN Y GRÁFICAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS.201v.) y = tan x, x ≠ (2k + 1) π 2 ,k ∈ Z. Función no inyectiva.rango: el intervalo (−∞, ∞).Es decir, −∞ < tan x < ∞.vi.) y = cot x, x ≠ kπ, k ∈ Z.(Recíproca de y = tan x.)Función no inyectiva.rango: (−∞, ∞)−πcot xtan x−π2←֓Asíntotacot x←֓ Asíntota❀ tan x←֓ Asíntotatan xUniversidad de Antioquiay0π2xπ

20211. Funciones exponenciales y logarítmicas.CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.( Son funciones biyectivas y mutuamente inversas.)( 1i.) y = b x 2 )x 2 x, b > 1, real fijoyy x ∈ R.(Exponencial creciente.)Su inversa es la funcióny = log b (x), b > 1 realfijo y x > 0.Ejemplo 1:y = e x ,2,718.x ∈ R y e ≈Función creciente.(“exponencial natural”.)Su inversa es y = ln(x).(“logaritmo natural”o “logaritmo en base e”.)Ejemplo 2:y = 2 x , x ∈ R.(Exponencial creciente.)Su inversa es y = log 2 (x).ii.) y = b x , 0 < b < 1,b real fijo y x ∈ R.(Exponencial decreciente.)Su inversa es la funcióny = log b (x), 0 < b < 1,b real fijo y x > 0.Ejemplo 3:y = ( 1 2 )x , x ∈ R.(Asíntota)❀•oUniversidad de Antioquiaoտ(Asíntota)y(Asíntota) ❀Función decreciente. Su inversa es y = log 1 (x).2ր(Asíntota)❀ e xln(x) ցlog 2 (x)xlog 1/2 (x)Por medio de composición de funciones básicas es posible definir funcionesmás complejas. Veamos algunos ejemplos:1. La función y =sen x+1sen x−1es la función y = (g ◦ f)(x) siendo f(x) = senxx

3.3.DEFINICIÓN Y GRÁFICAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS.203y g(x) = x+1x−1 .2. La función y = e [x] es la composición de las funciones y = e x y y = [x].3. La función y = 1 , (recíproca de f), es la composición de una funciónf(x)f con la función y = 1.xEs claro que se requiere f(x) ≠ 0.Este es el caso de funciones recíprocas como la secante, y = 1 y la cos xcosecante, y = 1 . sen x4. Con las funciones h(x) = ln(x), f(x) = √ x y g(x) = |x| se puedendefinir funciones compuestas de 2 en 2 como,De 3 en 3 como,y = g(h(x)) = | ln(x)|.y = f(g(h(x))) = √ | ln(x)|.La composición y en general las operaciones suma, producto y cocientede funciones se pueden extender a tres o más funciones.5. La función,y = sen( √ x) + log 2 (x)ln(x 2 ) − [tan( π 6 )].es una función definida como combinación de diferentes operacionescon diferentes funciones.EJERCICIO RESUELTO.√Encontrar dominio y rango de la función y =Solución:a.) Dominio.Para que las imágenes, (representadas por “y”) sean números reales, (definiciónde dominio), es requisito que 1 + x tenga un valor no negativo, (≥ 0).1 − xPor tanto el dominio es el conjunto,{x ∈ R/ 1 + x }1 − x ≥ 0 .1+x1−xUniversidad de Antioquia

204CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.Para expresar el dominio en términos de intervalos, resolvemos la desigualdad1+x≥ 0, para lo cual empleamos método gráfico.1−x− + +•(1 + x)−1+ + −•(1 − x)1− + −•• 1+x−11−x1Según gráfica, Dom (√ [ )1+x1−x)= −1,1 .Para encontrar el rango de la funciónpropuesta hallemos el dominio de larelación inversa, (recuerde: ran(R) =Dom ( R −1) , para lo cual despejemos a “x”en términos de “y”, teniendo en cuentaque y ≥ 0 y, (según dominio), −1 ≤ x

3.4. EJERCICIOS. 205Sin embargo, el rango de la función no es toda la recta numérica ya que existeuna condición previa, a saber, y ≥ 0. Por tanto,3.4. Ejercicios.( √ 1 + x)ran = [0, ∞).1 − x1. Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciónes:y =3x−2 ; x 2 −3x−2t2G(t) = ; y = 5; f(x) = √ x3t−t 2 + 1;2h(x) = √ x 2 − 1; t(x) = √ 1 − x 2 ; F(x) = √ x1+x ; g(x) = √ |x|;Y = 3√ u − √ u; y = e x + ln(x); H(z) = z2|z| − z2[z] ; T(x) = 1e x−1 −1 .2. Hallar el dominio y hacer la gráfica de las siguientes funciones:y = √ −x;Y = − √ −x.3. Determinar el dominio de la función,F(x) = 3 √ln(sen 2 √ 5 x ). ❀ Resp.:{x ∈ R/x ≠ log 5 (nπ) 2 ,n ∈ Z}.(Para empezar, note que el dominio es el conjunto de aquellos x talesque sen x ≠ 0.)Verificar que F(x) ≤ 0 para todo x ∈ Dom(F).4. Determinar el dominio de la función,√G(x) = ln(sen 2 3√ 5 x )( nπy comprobar que toma el valor 0 en todos los valores de x = log 52con n impar.(Sugerencia: | sen θ| ≤ 1).5. Comprobar que las funciones y = √ x 2 ; y = ( √ x ) 2 , tienen diferentedominio y el mismo rango.Trazar gráficas de cada función.Universidad de Antioquia) 3

2066. Expresar, en términos de la funcióny = x + 1,una fórmula de lafunción definida por la gráfica ❀.Calcular las imágenes, (valores dela función), para los siguientes valoresde x: −1 · 5; −1;−1R/ta. x + 1 + [x + 1]−0 · 3; 0 · 5; 1; 1.8.7. Dadas las funciones,⎧⎪⎨ 2x + 1, si − 1 ≤ x < 1.−1f(x) = x + 1 · 5, si 1 ≤ x ≤ 2.2 ⎪⎩1, si 2 < x ≤ 3.CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.Universidad de Antioquia11⎧⎪⎨ ln(x), si 0 < x ≤ e,√; g(x) = x, si 2 ≤ x ≤ π ,⎪⎩sin x, si π ≤ x ≤ 2π,a.) Expresar sus respectivos dominios en términos de intervalos.b.) Calcular el valor de las siguientes imágenes:f(−1), f(0), f(1), f(1 · 5), f(2), f(2 · 5), f(3).g(0 · 5), g(1), g(e), g(2), g(3), g(π), g( 7π 6 ).c.) Trazar gráficas de ambas funciones.8. Utilizar notación de funciones como f(x), g(x), H(t) y otras, paraexpresar la forma como están definidas las funciones del ejercicio 1.Por ejemplo, la función H(z) es de la forma g(z) − g(z) , donde g(z) =t(z) E(z)z 2 , t(z) = |z| y E(z) = [z]. La función T(x) es de la forma,9. Definir por tramos la función ❀.1T(x) = , con f(x) = x − 1.e f(x) − 111• ← (2,3)ւ•(3,1)

3.4. EJERCICIOS. 20710. Encontrar una ecuaciónde la parábola ❀determinada por los 3puntos señalados en lagráfica.Sugerencia: Plantear unsistema de 3 ecuacionescon incógnitas a,b,c.11. De acuerdo con la gráfica ❀responda a las siguientes preguntas:¿Cuál es el dominio y el rango deambas funciones?Halle valores aproximados de ten las ecuaciones,h(t) = 3 y f(t) = 0¿En cuáles puntos del eje “t” secumple que h(t)=f(t)?րy = ax 2 + bx + c543210 •-1•−1 · 4Universidad de Antioquiayo•(1, −2)•3 · 3Calcule, (aprox.), el valor de las-2 •siguientes expresiones:-3h(3) − f(3);-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4h(3)f(3);(f ◦ h)(3);h(3)f(3) .12. Considere las funciones f(x) = x 2 , g(x) = 1 x , j(x) = √ x.Para estas tres funciones encontrar expresiones de las formas:f(x + h) − f(x);hy dar la respuesta simplificada.g(x + h) − g(x);hSugerencia: En la 3 a expresión: racionalizar.y11fj(x + h) − j(x).hhx•t•

20813. Dada la función f(x) = senx, expresary utilizar la identidad,CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.f(x+h)−f(x)hsen(x + h) = senxcos h + senhcos xf(x + h) − f(x)( cos h − 1) ( sin h)para obtener la respuesta: = sin x +cos x .hhh14. Considere las siguientes funciones:f(x) = cos(x); g(x) = 1 ; h(x) = [x]. Encontrar fórmulas para lasxsiguientes funciones compuestas e indicar su respectivo dominio:15. Expresar la función,f ◦ h, g ◦ f, h ◦ f, g ◦ g.F(x) =1sen √ x + √ x .como la composición de 4 funciones f ◦ g ◦ h ◦ k dando la fórmula decada función. Por ejemplo, k(x) = x + √ x.16. Utilizar desplazamientos y ajustes de las gráficas de funciones básicas,para trazar las gráficas de las siguientes funciones:y = − sen x;y = |x| + [x];y = − √ x; y = 2 ln(x + 1) Y = 1 − √ x; Y = 1 x+2{f(x) =−x, si x < 0,e x − 1 si x ≥ 0.Universidad de Antioquia

3.4. EJERCICIOS. 20917. Definir, y dar el dominio, lafunción cuya gráfica está alfrente ❀.Sugerencia: Utilizar la función[x].Resp.:Y = −4x + 5[x] + 2,−1 ≤ x < 4.Calcular los resultados deaplicar la función Y para lossiguientes datos:x = −1; −0 · 5; 0;0 · 5, 1, 2; 2 · 3;3 · 8.543210-1-2-3-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 518. Utilizar la gráfica para calcular valores aproximados de:(f + g)(4)(fg)(2)(f ◦ g)(0)(g ◦ f)(3)(f ◦ f)(−3)(g ◦ g)(−5)Encuentre los x(≈) talesquef(x) = g(x).Encuentre los x(≈) talesque f(x) = 0.76543210-1Universidad de Antioquia−1❀ g1−3f ❀-2-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 619. Las funciones y = |[x]| y Y = [|x|], no son iguales. Trazar sus gráficasy dar 3 puntos de diferencia y 3 puntos de coincidencia.20. Demostrar que la ecuación de una recta con pendiente ≠ 0 define unafunción biyectiva. Expresar la fórmula de su inversa.4

210CAPÍTULO 3. FUNCIONES BÁSICAS.21. a. Clasificar la siguiente lista de funciones en pares, impares, no pares,no impares. Justificar:y = x 2 .y = sin x.y = x 3 .y = |x|.y = x 3 − 1.y = [x].y = √ |x|.y = x + 1.Universidad de Antioquiay = 1 x .y = cos x.y = −x 3 .y = sin 1 x .22. Trazar las gráficas de la función f y de su inversa si f(x) = e −x .23. Encontrar la fórmula de las funciones inversas de las siguientes funcionesbiyectivas:y = x 2 y = e −x ., x ≥ 0.y = 8x − −33y = x 3 .y = x 3 + 1.y = 1, x ≠ 0.xy = ln |x|, x ≠ 0Sugerencia: Corolario 2.3.7., pág. 133: f(f −1 (x)) = x.8 .y = √ −x, x ≤ 0.y = −x 3 .y = 3 √1x , x ≠ 0.Ejemplo: Para la función f(x) = e −x su inversa se puede calcular así:f(f −1 (x)) = e −f −1 (x) = x.Tomando logaritmo:−f −1 (x) = ln(x).De donde,f −1 (x) = − ln(x), x > 0.24. Trazar una gráfica de la función,{e −x , si x < 0,f(x) =e x si x ≥ 0,y de su inversa. ¿Cómo se define esta inversa?25. a.) Hallar el mayor valor de la función,en el intervalo [3, 4.) Rta: 13.y = [x 2 − 2],

3.4. EJERCICIOS. 211b.) Hallar todos los x del intervalo [3, 4) para los cuales se cumple laecuación [x 2 − 2] = 7. Rta: x ∈ [3, √ 10).c.)Trazar la gráfica de la función y = [x 2 − 2] para 3 ≤ x < 4.Sugerencia: La gráfica es una escala.Universidad de Antioquia

Capítulo 4Límites - continuidad.4.1. Primeras ideas.Estando ya familiarizados con implicaciones, cuantificadores, funciones e intervalosde centro en a y radio r, estamos en condiciones de afrontar lostemas del cálculo. El ingreso se hace a través de la noción de límite. Podemosadelantarnos a decir que existen varios tipos de límites, pues la ideaestá presente no sólo en funciones sino también en sucesiones, integrales yseries. Aquí estaremos comprometidos con límites de funciones definidas entrenúmeros reales. En lo que sigue las funciones que trataremos serán de estaclase. Las letras a y L representarán números reales. En este capítulo y en loque concierne a límites, las funciones en consideración se asumirán definidasen un intervalo abierto y perforado de centro en a y radio r. En cuanto alnúmero a, diremos por ahora que puede pertenecer o no al dominio de f.Idea geométrica de límite.Podemos empezar afirmando queL • •P(a, L)límite es la medida de una tendenciay como tal, un número quefvamos a representar con la letraL.Ampliamos esta idea con apoyoen la gráfica de una función arbitrariaf ❀.x →a← x•Lo que se quiere hacer notar en la gráfica es que la curva f tiende a pasar porel punto P (a,L). Cuando esto ocurre decimos que f tiende a L, (se acercaUniversidad de Antioquia212

4.1. PRIMERAS IDEAS. 213a L) cuando x tiende a a, (se acerca a a, pero sin tomar el valor de a).Las notaciones que se utilizan para expresar esta tendencia son:o la más común,que se lee: “ el límite de f en a es L”.f(x) −→ L cuando x −→ a,lím x→a f(x) = L.Para indicar que los valores que toma la variable x tienden o se acercanpaulatinamente a a se observan en la gráfica dos pequeños diagramas: x → ay a ← x. Éstos señalan que el acercamiento a x sucede en dos direcciones:1 a . Por la derecha de a, lo cual quiere decir que los valores que se le dan a xson mayores que a.2 a . Por la izquierda de a, lo cual quiere decir que los valores que se le dan ax son menores que a.Idea numérica de límite.Veamos un ejemplo específico por medio de la función,f(x) = 3x3 − 5x 2 − 3x + 5, x ≠ 1.x 2 − 1Puesto que el valor f(1) no está definido, es natural preguntarnos ¿haciadonde tienden las imágenes f(x) cuando los valores de x tienden hacia 1? Enotras palabras, queremos saber si existe un número L tal quex → 1 + f(x)x > 11.2 −1,41.1 −1,71.05 −1,851.02 −1,941.01 −1,971.005 −1,9851.001 −1,997Tabla # 1.lím f(x) = L.x→ax → 1 − f(x)x < 1.8 −2,6.9 −2,3.95 −2,15.98 −2,06.99 −2,03.995 −2,015.999 −2,003Tabla # 2.•0 x → 1 ← x−2 •• P (1, 2)Universidad de Antioquiayf(x) ❀x

214CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.En las tablas # s 1 y 2 se presentan algunos valores de x cercanos a 1 tantopor derecha, (x → 1 + ), como por izquierda, (x → 1 − ).x > 1 x < 1En dichas tablas “se sugiere”que los valores de las columnas f(x) “tienden” a−2 cuando los valores de x tienden a 1 tanto por derecha como por izquierda.La gráfica corrobora el mismo resultado.Las notaciones que se utilizan para representar estos resultados son:o la más común,f(x) → −2 cuando x → 1,lím f(x) = −2x→1que se lee: “el límite de f en 1 es 2”.Anotemos que la información que proporcionan tablas y gráficas, no constituyenuna demostración.El valor de 2 dado a L tiene apenas el carácter deuna propuesta. Sólo tendrá validez cuando sea motivo de una demostraciónla cual se realizará más adelante. (Ejemplo 1, página 219).Límites Laterales.Los diagramasx → a +yx → a −se emplean como parte de la notaciónpara los llamados “límites laterales”. El primero denota los límites porx > a x < ala derecha de a, el segundo, los límites por la izquierda de a.Ejemplo:Los resultados de las tablas #s 1 y 2, del ejemplo anterior, sugieren lossiguientes límites laterales:lím x→1 + f(x) = 2. y lím x→1 − f(x) = 2.x > 1 x < 1El siguiente teorema se refiere precisamente a límites laterales y es particularmenteútil para determinar límites en funciones definidas por tramos. Noteque el enunciado se presenta en dos versiones equivalentes.Teorema 4.1.1. (teorema de los límites laterales.)1. lím x→a f(x) = L sii existen ambos límites laterales y son iguales a L.2. (contrarrecíproco.)lím x→a f(x) no existe sii alguno de los límites laterales no existe oexistiendo ambos, son diferentes.Universidad de Antioquia

4.1. PRIMERAS IDEAS. 215Veamos dos ejemplos donde es útil el teorema de los límites laterales.Ejemplo 1.Consideremos la siguientefunción:⎧⎨ x 2, si x ≥ −2,g(x) = x + 2⎩sen x, si x < −2.x → −2 − g(x)x < −2-2.5 -0.59847-2.1 -0.86321-2.02 -0.90079-2.001 -0.90888-2.0001 -0.90926Tabla #3.Los resultados de la tabla # 3 sugierenque en el número a = −2, existe ellímite por la izquierda, aunque su valorno se precisa claramente, (digamos queparece ser un valor próximo a −0,91),mientras que en la tabla #4 se insinúaque el límite lateral por la derecha noexiste pues se nota que a medida quex toma valores más y más cercanos a−2 por la derecha, los números g(x)van aumentando su valor significativamente.sen x →x → −2 + g(x)x > −2-1.5 8-1.9 40-1.98 200-1.99 400-1.999 4000Tabla #4.La gráfica corrobora lo anterior.La información que sugieren las tablas #s 3 y 4, es la siguiente:lím g(x) no existe; lím+x→(−2)x > −2x→(−2)x < −2−g(x) ≈ −0,91.•−2←x2x + 2• • −,91Según esta información, lím x→−2 g(x) no existe, (teorema de los límites la terales).Ejemplo 2.Consideremos los límites laterales de la función y = sen x cuando x → 0.xLas tablas #s 5 y 6 presentan los resultados de aproximación progresiva dex a 0, tanto por derecha, (tabla #5), como por izquierda, (tabla #6). Losresultados parecen indicar existencia de límites laterales iguales, y de acuerdoal teorema de los límites laterales, este podría ser 1.En efecto, es posible demostrar, (aunque aquí no lo haremos),Universidad de Antioquia0yx

216CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.sen xque lím x→0 = 1. La siguiente gráfica corrobora dicho resultado.xx → 0 + h(x)x > 00.1 0.998330.05 0.999580.02 0.999930.006 0.999990.001 0.9999999Tabla #5.lím x→0 +x > 0sen x≈ 1x4.2. Ejercicios• 1•y = sen xxx → 0 − h(x)x < 0−0,1 0.99833−0,05 0.99958−0,02 0.99993−0,006 0.99999−0,001 0.9999999Tabla #5.lím x→0 −x < 0sen x≈ 1xEmplear cálculos numéricos, (tablas), y límites laterales para investigar losposibles límites de las siguientes funciones en los puntos indicados:1. y = x ( senx) 1 .x → 02. y = cos xx .x → 03. y = sen xx .x → π4. y = sen2x .xx → 05. y = tan xx .x → 06. y = xx + 1 .x → −1√ x − 17. y =x − 1 .x → 08. y = x|x| .x → 0⎧⎨x 2 , si x < 0,9. y = 1⎩x 2 , si x > 0. x → 010. y = 1 − cos x .xx → 011. y = tanx.x → 270 osen x212. y =x .x → 013. y = 100x .x → 014. y = x(sen 1 x ).x → 0Universidad de Antioquia

4.3. LA DEFINICIÓN ǫ,δ. 217⎧⎪⎨ 1, si x < 0,15. Hacer una gráfica de la función h(x) = 0, si x = 0,⎪⎩−1, si x > 0y explicar por inspección sobre dicha gráfica, porqué no existe límitede h en a = 0.16. Hacer una gráfica de la función⎧⎨1, si n < x < n + 1, con n par positivo,y = x⎩x, si n < x < n + 1, con n impar positivo.y calcular sobre ésta, un valor aproximado de los siguientes límites:lím x→1/2 (y); lím x→1 −(y); lím x→2 +(y).x < 1 x > 24.3. La definición ǫ, δ.Dos notas previas:1 a .) Es de uso universal utilizar las letras griegas ǫ, (épsilon) y δ, (delta),para dar los radios de los intervalos que intervienen en la definición de límitede una función.2 a .) Para definir en forma precisa la igualdad,lím f(x) = L,x→ase recurre a la noción de distancia, expresada en términos de intervalos abiertos.Así, para indicar la distancia que separa puntos x de un punto a, se utilizael intervalo definido por la desigualdad,0 < |x − a| < δ • •Por otra parte, para indicar la distancia que separapuntos f(x) de un punto L, se utiliza el intervalodefinido por la desigualdad,|f(x) − L| < δδUniversidad de AntioquiaxaδǫLǫ• f(x)•

218Definición 4.3.1.i.) En términos de intervalos:lím x→a f(x) = L sii para todo intervaloabierto de centro en L y radio ǫ, existe unintervalo abierto y perforado de centro en a yradio δ tal que para todos los puntos x de esteintervalo, las respectivas imágenes f(x) sonpuntos del primer intervalo. Ver diagrama❀.ii.) En términos de distancias:CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.L • •lím x→a f(x) = L ⇐⇒ para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que para todox real,0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − L| < ǫ. (∗)COMO HALLAR Y DEMOSTRAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN f(x).(...en un número a.)1.) Lo primero es obtener un posible valor de L o quizá sospechar que noexiste límite, (lo cual también se debe demostrar). Para conseguirlo se puedeutilizar un acercamiento numérico como el llevado a cabo en los ejemplos quehemos visto antes, (véanse las tablas #s 1, 2, ...6, páginas 213 a 216). Tambiénes muy efectivo recurrir a gráficas en el plano cartesiano, especialmente si setiene un dispositivo apropiado. En todo caso vale cualquier recurso que nosdé el posible valor de L o la posibilidad de que no haya límite en el puntoconsiderado.2.)Supongamos que pesquisas iniciales sugieren un valor numérico de L. Elsiguiente paso es obtener certeza matemática de el valor de L. Esto se logramediante una demostración en la cual se utiliza la definición ǫ,δ, (versión(ii)), o teoremas apropiados como los que se desarrollarán más adelante.3.) Como utilizar la definición ǫ,δ.Una vez que se tenga un valor sugerido de L, se inicia el procedimiento conuna frase al estilo de, “sea ǫ > 0”. Se aclara que a la letra ǫ no se le asignaningún valor numérico durante la prueba.Universidad de Antioquiaf2 δ•a2 ǫ

4.3. LA DEFINICIÓN ǫ,δ. 219Se continúa con un procedimiento que tiene como objetivo determinar unvalor apropiado para δ el que generalmente se da en términos de ǫ. Paraconseguirlo se considera la desigualdad,|f(x) − L| < ǫque, mediante manipulaciones de tipo matemático, de lugar a una expresiónde la forma,|x − a| < (algún “término positivo”).Este “término positivo” es nuestro δ apropiado, palabra a la cual le damosel significado de ser δ el que verifica la implicación ∗ de la definición de límite.4.) Finalmente corroboramos el caracter apropiado de δ, llevando a cabo lademostración de la implicación ∗, previo cambio de la letra δ por el “términopositivo” hallado.Todo esto será cada vez más claro en la medida en que el estudiante hagauso de esta poderosa fórmula.Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 1.Encontrar, (si existe), el límite de lafunción,⎧⎨3x 3 − 5x 2 − 3x + 5f(x) = x⎩2 , si x ≠ ±1,− 12, si x = 1,cuando x → 1.Solución:x → 1 + f(x)x > 11.2 −1,41.1 −1,71.05 −1,851.02 −1,941.01 −1,971.005 −1,9851.001 −1,997Tabla # 7.x → 1 − f(x)x < 1.8 −2,6.9 −2,3.95 −2,15.98 −2,06.99 −2,03.995 −2,015.999 −2,003Tabla # 8.Las tablas #s 7 y 8 nos permiten visualizar un posible límite de la funciónf en a = 1. Allí se observa que ambos límites laterales podrían ser iguales,digamos que a −2, (también podrían ser iguales a −2,0001.)La única forma que tenemos, por ahora de estar seguros de que este límitees −2, es demostrándolo utilizando la definición ǫ,δ.Universidad de Antioquia

220CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Demostración.Supongamos un valor positivo representado por ǫ y hallemos un valor positivoδ tal que para todo x ∈ R se cumpla la siguiente implicación.0 < |x − 1| < δ =⇒3x 3 − 5x 2 − 3x + 5∣− (−2)x 2 − 1 ∣ < ǫ, x ≠ ±1 (∗).Para hallar el valor apropiado de δ, consideremos la desigualdad que apareceen el consecuente de (∗),3x 3 − 5x 2 − 3x + 5∣− (−2)x 2 − 1 ∣ < ǫ, x ≠ ±1 (1.).Mediante algunas modificaciones de tipo matemático, a efectuar en (1.), setratará de llegar a una desigualdad de la forma,0 < |x − 1| < (algún término positivo,)y ese término positivo será nuestro δ apropiado.El procedimiento anunciado es el siguiente:3x 3 − 5x 2 − 3x + 5 + 2x 2 − 2∣ x 2 − 1 ∣ < ǫ. Reducción a común denominador en (1.).3x 3 − 3x 2 − 3x + 3∣ x 2 − 1 ∣ < ǫ. Reducción de términos semejantes.3x 3 − x 2 − x + 1∣ x 2 − 1 ∣ < ǫ. Factor común.3(x − 1)(x 2 − 1)∣ x 2 − 1 ∣ < ǫ. Factorizando x3 − x 2 − x + 1.3|x − 1| < ǫ. Cancelación, considerando que x ≠ ±1.|x − 1| < ǫ . Traslado de un término.3En esta última desigualdad leemos δ = ǫ 3 .Finalmente queda por verificar que la implicación inicial,0 < |x − 1| < ǫ ∣ ∣∣∣3 =⇒ 3x 3 − 5x 2 − 3x + 5− (−2)x 2 − 1 ∣ < ǫ, x ≠ ±1 (∗),Universidad de Antioquia

4.3. LA DEFINICIÓN ǫ,δ. 221(en la cual aparece la fracción ǫ en el lugar de δ), es verdadera lo cual3debe resultar fácil de resolver ya que consiste en invertir, (ir de atrás haciaadelante), el procedimiento anterior. Esta prueba se propone en los ejercicios,(ver ejercicio 4.4.25).Observaciones.1 a . En el ejemplo anterior se ha obtenido δ como una expresión que dependede ǫ, (δ = ǫ/3). Así por ejemplo, si consideramos ǫ = 1 entonces δ = 1/3;si consideramos ǫ = 5 entonces δ = 5/3 y así sucesivamente podemos darlelibremente valores positivos a ǫ y para cada uno tenemos un valor para δ, enrealidad más de uno como se aclara en la siguiente observación.2 a . Infinitos δs.Una vez determinado δ cualquier otro valor menor es otro delta tambiénapropiado. La razón de que esto sea correcto es que el intervalo con menorradio delta está contenido en el intervalo con el radio δ obtenido inicialmente.x↓•5/617/6Podemos ampliar esta observación con el ejemplo de la 1 a observación.Para ǫ = 1 vimos que un valor apropiado es δ = 1/3. Para este mismo ǫ = 1,podemos considerar un delta menor, digamos δ =0.001 y es claro que todoslos puntos x de este intervalo menor están en el intervalo de radio mayor 1/3,(ver gráfica anterior).3 a . En adelante haremos uso de la siguiente inmediata pero útil equivalencia:lím f(x) = L ⇐⇒ lím(f(x) − L) = 0.x→ax→aDejamos su demostración como un ejercicio, (ver ejercicio 4.4.37).Ejemplo 2.Demostrar quelím x→2√ x =√2.Demostración.Sea ǫ > 0. Hallemos δ > 0 tal que para todo x real, se cumpla,0 < |x − 2| < δ =⇒ | √ x − √ 2| < ǫ, (⋆.)Universidad de Antioquia

222Para hallar δ consideremos la desigualdad,CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.| √ x − √ 2| < ǫ.Se trata de modificar esta desigualdad hasta obtener otra de la forma,|x − 2| < (un término positivo),término que será el δ apropiado, lo cual se podrá comprobar demostrando laimplicación (⋆.) pero con el término positivo hallado ocupando el lugar de δ.El procedimiento indicado es el siguiente:| √ x − √ 2| < ǫ, (desigualdad inicial).|x − 2|∣ √ x + √ 2 ∣ < ǫ,Puesto que √ x + √ 2 > 0,Siendo √ x ≥ 0,(racionalización.)|x − 2|√ √ < ǫ, (supresión de | |).x + 2|x − 2|√ √ < x + 2Finalmente,|x − 2| < ǫ √ 2 ,y concluímos queδ ≤ ǫ √ 2.|x − 2|√2< ǫ, (Porque es menor la fracciónque tiene mayor denominador.)La comprobación se reduce a demostrar la implicación0 < |x − 2| < ǫ √ 2 =⇒ | √ x − √ 2| < ǫ, (⋆.)donde el término ǫ √ 2 ocupa el lugar de δ en la implicación (⋆.), ejercicio quese propone en 4.4.27, página 231.Universidad de Antioquia

4.3. LA DEFINICIÓN ǫ,δ. 223Observación acerca de los límites laterales.La definición de límites laterales, (ver página 214), se hace tomando en cuentalos semintervalos a izquierda y derecha del punto a. Las implicacionesapropiadas, (sin cuantificadores), son las siguientes:Para lím x→a − f(x) = L,x < aa − δ < x < a =⇒ |f(x) − L| < ǫ ❀ • •a − δx −→ aPara lím x→a + f(x) = L,x > aa < x < a + δ =⇒ |f(x) − L| < ǫ ❀ • •a ←− xEn los siguientes dos ejemplos se utiliza la forma del contrarrecíproco delteorema de los límites laterales, para presentar dos funciones que no tienenlímite.Ejemplo 3.Demostrar que la función definida portramos, {x 2 + 1, si x < 0,T(x) =−x 2 − 1, si x > 0,no tiene límite en a = 0. Ver gráfica.La gráfica deja ver que los límites laterales son distintos lo cual equivale a laafirmación del enunciado. La demostración es como sigue:Demostración.(Reducción al absurdo.)Supongamos que la función tiene límite en 0 y representemos por L dicholímite. Según la ley de tricotomía, L es 0, mayor que 0 o menor que 0.Debemos descartar los 3 casos.Caso I. Supongamos que L es 0. Entonces para ǫ = 1 existe δ > 0 tal quepara |x − 0| < δ, se cumple que |T(x) − 0| < 1, es decir, |x 2 + 1| < 1, lo cualconduce al absurdo, x 2 < 0. Esta contradicción descarta que L sea 0.T(x)a + δUniversidad de Antioquia0yT(x)x

224CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Caso II. Supongamos ahora que L > 0. Mediante consideraciones de límitelateral se mostrará que este valor de L no existe.Como al existir límite se puede elegir libremente un valor de ǫ, y para el ǫque se elija existirá un δ apropiado, elijamos ǫ = L/2. Para este valor de ǫexiste un δ tal que para cualquier x del intervalo definido por la desigualdad0 < |x − 0| < δ, se cumple que|T(x) − L| < L/2. (1.)Escojamos un x que esté en el lado positivo del intervalo ❀(Es decir, x → 0 + )x > 0Universidad de Antioquia−δ• •0. x δDe acuerdo con la forma como está definida la función, para este x > 0, secumple que T(x) = −x 2 − 1. Según (1.),Entonces,O equivalentemente,|(−x 2 − 1) − L| < L 2 .| − (x 2 + 1 + L)| < L 2 .0 < x 2 + 1 < −L2 ,donde −L2 < 0. ¡Absurdo!, pues x2 + 1 > 0. Esta 2 a contradicción pruebaque para la función T, si es que tiene límite, éste no puede ser positivo. Sóloqueda por considerar L < 0, Caso III.. Esta posibilidad se descarta de unamanera parecida al caso anterior, pero elijiendo ǫ = − L 2 > 0 y escojiendox en el lado negativo del intervalo, es decir, límite lateral por izquierda, ❀• •−δ x 0.δEste caso se propone en el ejercicio 4.4.32.Ejemplo 4.Consideremos la función h(x) = |x|x , x ≠ 0. Al suprimir las barras de valorabsoluto, esta función queda definida por tramos de la siguiente manera:{|x|x = 1, si x > 0,−1, si x < 0.

4.3. LA DEFINICIÓN ǫ,δ.y225• 1La gráfica de esta función dejaver claramente límites lateralesdiferentes en x = 0:lím h(x) = −1 y lím h(x) = 1.x→0− x→0 +x < 0 x > 0Demostremos el límite por izquierda y dejemos como ejercicio la prueba del2 o límite.Demostración. Consideremos un valor ǫ > 0. Debemos hallar un valor δ > 0tal que se cumpla la siguiente implicación:−δ < x < 0 =⇒ ∣ |x| ∣ ∣∣x − (−1) < ǫ. (∗)Para empezar, consideremos, para x < 0, la desigualdad del consecuente,∣ |x| ∣ ∣∣x − (−1) < ǫ.Esta misma desigualdad se puede escribir como,∣ −x ∣ ∣∣x + 1 < ǫ. pues por ser x < 0, se tiene que |x| = −x.De inmediato se ve que| − 1 + 1| < ǫy esto para cualquier número δ > 0, en particular, si se quiere para δ = ǫ.La implicación (∗) queda demostrada.Nuestro primer teorema sobre límites nos dice que el límite de funciones,cuando existe, es único.Teorema 4.3.1. (Unicidad del límite.)Toda función tiene a lo sumo un límite en un número a.Demostración. Supongamos que existe una función f con dos límites L 1 y L 2en a y que además L 2 > L 1 . Esto quiere decir que fijado un valor cualquierade ǫ, existen dos intervalos de radios δ 1 y δ 2 tales que,Universidad de Antioquia-1••x

226CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.0 < |x − a| < δ 1 =⇒ |f(x) − L 1 | < ǫ (1.)0 < |x − a| < δ 2 =⇒ |f(x) − L 2 | < ǫ (2.).Puesto que estas dos implicaciones se cumplen con cualquier valor positivode ǫ, definamosǫ = L 2 − L 1> 02y elijamos δ = menor{δ 1 ,δ 2 }. Con este valor dado a δ, se cumplen ambasimplicaciones (1.) y (2.).Sea x un punto del intervalo definido por 0 < |x − a| < δ. Para este x, segúnla regla lógica que hemos denominado “modus ponens”, se concluyen a lavez,|f(x) − L 1 | < L 2 − L 1y | < f(x) − L 2 | < L 2 − L 1.22Por conocidas propiedades de la función |x|, estas desigualdades se puedenexpresar equivalentemente como,− L 2 − L 1< f(x) − L 1 < L 2 − L 122Simplificando convenientemente,f(x) − L 1 < L 2 − L 12y − L 2 − L 12< f(x) − L 2 < L 2 − L 1.2y − L 2 − L 1< f(x) − L 2 .2Si trasladamos respectivamente ambos L 1 y L 2 , se obtiene,f(x) < L 22 + L 12yUniversidad de AntioquiaL 22 + L 12 < f(x),y esto es una contradicción ya que f(x) no puede ser menor y mayor queL 22 + L 12 .Con esta contradicción queda demostrado que una función no puede tenerdos límites.Los siguientes dos teoremas serán de importante utilidad en el futuro desarrollo de la teoría.

4.3. LA DEFINICIÓN ǫ,δ. 227Teorema 4.3.2. Sea f una funcióncon límite L en un punto a.Entonces,• Si L > 0, existe un intervaloperforado de centro en a tal quef(x) > 0 para todos los x de dichointervalo.• Si L < 0, existe un intervaloperforado de centro en a tal quef(x) < 0 para todos los x de dichointervalo.•L 1 > 0a 2••a 1 xf(x) < 0L 2 < 0•La gráfica anterior aclara el teorema en sus dos partes. Nótese el intervalocon imágenes positivas, (pues L 1 > 0), y el intervalo con imágenes negativas,(pues L 2 < 0). Si L = 0 nada se puede decir acerca del signo de los valoresde f(x).En términos no muy precisos este teorema afirma que a límite positivoco rresponden valores positivos de la función y a límite negativo, correspondenvalores negativos de la función.Demostración. Demostremos la 1 a parte:Supongamos que el límite de f en a es un número L > 0.Puesto que el valor de ǫ puede ser elegido libremente, hagamos ǫ = L.Entonces existe un δ tal que para todo x en el intervalo de centro en a yradio L se cumple que,|f(x) − L| < L.Por un conocido teorema podemos anotar equivalentemente,−L < f(x) − L < L.De donde, al sumar L en todas partes,0 < f(x) < 2L.Al simplificar, obtenemos el resultado final, f(x) > 0 para todo x que esté enel intervalo anteriormente mencionado. La primera parte del teorema quedademostrada.Universidad de Antioquia

228CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Para el caso en que L sea negativo se procede en la misma forma pero definiendoǫ = −L > 0.El recíproco del anterior teorema es “casi” verdadero pero su conclusióncontiene una posibilidad adicional. El enunciado es como sigue:Teorema 4.3.3. Sea f una función con límite L en un punto a.Si los valores f(x) son positivos, (respectivamente negativos), en algún intervaloperforado de centro en a, entonces puede afirmarse que L ≥ 0,(respectivamente L ≤ 0).Nota: Puede ocurrir que funciones que tienen todos sus valores positivos,(f(x) > 0), tengan límite 0. Por ejemplo la función definida como f(x) = x 2 ,para x ≠ 0 y f(0) = 1 tiene límite 0 en el origen y todos sus valores sonpositivos. (Ver gráfica).Demostración. (Para el caso enque los f(x) sean po sitivos.)No puede existir un intervaloabierto y perforado de centro ena para el cual se cumpla simultáneamenteque L sea negativoy los f(x) positivos , pues estocontradiría el teorema 4.3.2, 2 aparte, luegof(x) > 0 =⇒ L ≥ 0.543210• 1-1-3 -2 -1 0 1 2 3Universidad de Antioquia•lím x→0 x 2 = 0.f(x) = x 2 > 0 para x ≠ 0.f(x) = 1 para x = 0.De la misma manera se demuestra el caso en el cual la función toma valoresnegativos.En resumen, los dos anteriores teoremas expresan que toda función y su límiteen a, cuando existe y es distinto de 0, tienen el mismo signo en un intervaloperforado y abierto, de centro en a.Límites de funciones iguales.Supongamos que dos funciones tienen imágenes iguales, en un intervalo perforadode centro en a. En tal caso es verdadera la siguiente afirmación:

4.4. EJERCICIOS 229Para ambas funciones, no existe límite en a o si existe, es igual paralas dos.Ejemplo:Las funciones⎧⎨3x 3 − 5x 2 − 3x + 5, si x ≠ ±1,f(x) = x⎩2 − 1y2, si x = 1,g(x) = 3x − 5,son iguales en todo x ≠ ±1, y como lím x→1 f(x) = −2, (demostrado enpágina 219), entonces lím x→1 g(x) = −2.4.4. EjerciciosLa definición ǫ,δ se comienza con tres cuantificadores en frase del siguienteestilo:“Para todo ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ R” y a continuaciónsigue una implicación, (ver definición 4.2.1., en la página 218).En 1 a 11, escribir solamente la implicación para cada límite propuesto:1. lím x→10 x 2 = 100. Resp.: 0 < |x − 10| < δ =⇒ |x 2 − 100| < ǫ.( 3x 3 − 5x 2 − 3x + 5)2. lím x→2x 2 = 1.− 13. lím x→3 (2x − 3) = 3.4. lím x→−2 ( 1 x ) = −1/2.5. lím θ→0 (tanθ) = 0.6. lím y→0 2 y = 1.7. lím x→−1,5 [x − 1] = −3.8. lím x→b 3f(x) = 3L.9. lím x→a (f(x)g(x)) = LM.10. lím x→a f(g(x)) = f(b).11. lím x→w (p(x) − q(x)) = A − B.En 12 a 23, las implicaciones propuestas hacen parte de la definicióndel límite de una cierta función. Expresar dicho límite:Universidad de Antioquia

230CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.12. 0 < |x − 9| < δ =⇒ | √ x − 3| < ǫ. Resp.: lím x→9√ x = 3.13. 0 < |x − e| < δ =⇒ |ln x − 1| < ǫ.14. 0 < |w − a| < δ =⇒ ∣ 1 w − 1 ∣ < ǫ.a15. 0 < |x − 1| < δ =⇒ |(3x − 5) + 2| < ǫ.16. 0 < |θ| < δ =⇒ ∣ sen θ − 1 ∣ < ǫ.θ17. 0 < |θ + 3| < δ =⇒ |sen θ − sen(−3)| < ǫ.23. 0 < |x − b| < δ =⇒ |f(x) + g(x) − (L + M)| < ǫ.También, ( √ x → 3 cuando x → 9).18. 0 < |x − 2| < δ =⇒ ∣ ∣ x2 − 4x − 2 − 4∣ ∣< ǫ.19. 0 < |x| < δ =⇒ |x 2 − 0| < ǫ.20. 0 < |x − 11 2| < δ =⇒ |[x] − 5| < ǫ.21. 0 < |x + 5| < δ =⇒ ||x| − 5| < ǫ.22. 0 < |x − b| < δ =⇒ ∣ f(x)g(x) − L ∣∣< ǫ.M24. Si f(x) = 3x, hallar un valor para δ i en cada uno de los sgtes. casos:• 0 < |x − 2| < δ 1 =⇒ |f(x) − 6| < 1 10• 0 < |x − 2| < δ 2 =⇒ |f(x) − 6| < 1100 .• 0 < |x − 2| < δ 3 =⇒ |f(x) − 6| < ǫ Resp.:Resp.: 1/30.25. Demostrar la siguiente implicación relativa al ejemplo 1 de la página219.0 < |x − 1| < ǫ ∣ ∣∣∣3 =⇒ 3x 3 − 5x 2 − 3x + 5− (−2)x 2 − 1 ∣ < ǫ, x ≠ ±1.Sugerencia: Analizar el modo como se desarrolló el ejemplo 1 de la página 219 e irde atrás hacia adelante en el procedimiento allí utilizado.26. Explorar la existencia de límite de la siguiente función en a = 1 yelaborar una demostración, tanto si existe como si no existe límite.⎧⎨x 3 − 1, si x ≠ 1,h(x) = x − 1⎩3, si x = 1.27. Demostrar la siguiente implicación.0 < |x − 2| < ǫ √ 2 =⇒ | √ x − √ 2| < ǫ.Sugerencia: Analizar el modo como se desarrolló el ejemplo 2 de la página 222.Universidad de Antioquiaǫ3 .

4.4. EJERCICIOS 23128. Demostrar que lím x→9√ x = 3.29. Demostrar que la función definida por tramos,{x 2 , si x > 1,g(x) =x, si x < 1,tiene límite en a = 1.la solución.Sugerencia: La gráfica de la función le puede sugerir30. Calcular, por aproximación numérica, el posible límite de y = 2 3 x + 1,cuando x → 2 y redactar una demostración de su respuesta.( 2x + 3)31. Demostrar que lím x→2 = 7 x + 2 4 .Sugerencia: Un δ apropiado puede ser 12ǫ.32. Completar el ejemplo 3, (página 223),demostrando que la función definidapor tramos, {x 2 + 1, si x < 0,T(x) =−x 2 − 1, si x > 0,no tiene límite L negativo en a = 0. Vergráfica.Sugerencia: Considere ǫ = − L y tome un x2en el lado izquierdo del intervalo definido porla desigualdad, |x| < − L 2 ❀ • •−δ x 0.δT(x)Universidad de Antioquia0yT(x)Para este x tenga en cuenta que T(x) = x 2 + 1, por definición de la función T.33. • Determinar mediante inspección de la siguiente gráfica, si existe límitede la función f para los siguientes puntos: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 yen caso afirmativo, dar un valor aproximado del límite. • Consi derartambién la evaluación de límites laterales en los mismos puntos. •Dar valores aproximados de los números f(a i ) (i=1,..,7) donde la funciónesté definida.x

23210987654321CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.•a| 1 a 2 • a| 3 a| 5 a 6 a| 7a 4••00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2634. Si lim x→a f(x) = L, demostrar que lim x→a |f(x)| = |L|.•••Universidad de Antioquiaf••••

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 23335. • Si lim x→a |f(x)| = 0, demostrar que lim x→a f(x) = 0.• La implicación (lim x→a |f(x)| = L ≠ 0) =⇒ (lim x→a f(x) = L)puede ser falsa. Demostrar lo afirmado, analizando como contraejemploel límite en a = 1 de la función,{1, si x > 1,f(x) =−1, si x < 1.36. Si en un intervalo perforado con centro en a, se da que f(x) ≤ g(x) y loslímites de ambas funciones en a son L y M respectivamente, demostrarque L ≤ M.Sugerencia: Defina la función h(x) = f(x) − g(x) y considere el teorema 4.3.3.37. Demostrar la equivalencia mencionada en la página 221:lím f(x) = L ⇐⇒ lím(f(x) − L) = 0.x→ax→a4.5. Funciones continuas.Desde un punto de vista geométrico, (gráfico), se dice que una función escontinua en un intervalo abierto cuando su curva no presenta interrupcionesa lo largo del intervalo, como se ve en la siguiente gráfica:Lo anterior es apenas una introducción descriptiva de caracter global. Paraempezar definamos lo que es continuidad puntual, es decir, cuando una funciónes continua en un punto a. Como paso previo enfrentaremos dos númerosque están presentes en la idea de límite.L vs. f(a).Si el límite de f(x) en a es un número L, ¿qué relación existe entre L y f(a)?.Universidad de Antioquia

234CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Respuesta: ninguna, estos números son independientes uno del otro, pudiéndosepresentar las siguientes posibilidades:• Ambos números están definidos y pueden ser iguales o distintos.• Uno de los dos está definido pero no el otro.• Ninguno de los dos está definido.•••••fa 1 a 2 a 3a 4a 5 a 6 a 7| | | | ||La gráfica anterior ilustra en los puntos a 1 ,a 2 ,...,a 7 las diferentes posibilidadesy la tabla #9 da la respuesta para cada uno de dichos puntos.En x = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7L no no no si si no sif(a k ) no no si no si si siL ≠ f(a 5 ) L = f(a 7 )Tabla # 9.Las palabras si, no se refieren a la existencia de límite y a la definición def(x). Por ejemplo, en la columna de a 5 , “si” existe límite y “si” está definidala función pero adicionalmente estos dos valores numéricos son distintos. Porel contrario, en la columna de a 7 tenemos “si” para ambos valores que ademásson iguales. En este último caso decimos que la función es continua en a 7 .Definición 4.5.1.Una función f definida entre números reales, es continua en a sii,• existe límite L en a y•• f está definida en a, (a ∈ Dom(f)) y• L = f(a).•Universidad de Antioquia•••

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 235En otros términos,(f es continua en a) ⇐⇒ (lím x→a f(x) = f(a)).En caso contrario se dice que f es discontinua en a.En adelante la ecuación lím x→a f(x) = f(a), será mencionada comoecuación de continuidad en a. En forma concisa, L = f(a).Tipos de discontinuidad.Sea f una función discontinua en a.• Se dice que la discontinuidad en a es removible si existe límite L en a y estoquiere decir que la función se puede re-definir de tal manera que se conviertaen función continua en a. El procedimiento para “remover” la discontinuidadconsiste en hacer f(a) = L.• Se dice que la discontinuidad es esencial, (o no removible), si no existelímite en a. Esto quiere decir que no se puede hacer nada para que la funciónse vuelva continua en a.Ejemplos.1. Sea f(x) = √ xEntonces:f(2) = √ 2lím x→2√ x =√2, (límite que fue demostrado en la página 222).En este ejemplo se cumple la ecuación de continuidad y por tanto √ x escontinua en 2.2. La función f, cuya gráfica aparece en la página 232,(ejercicio 33), es discontinuaen todos los puntos desde a 1 hasta a 6 y solo es continua en a 7 . Dospuntos presentan discontinuidad removible: a 4 y a 5 . Los otros son puntos condiscontinuidad esencial.3. La función cuyo límite aparece en la página 219, (ejemplo 1),⎧⎨3x 3 − 5x 2 − 3x + 5, si x ≠ ±1,f(x) = x⎩2 − 12, si x = 1,Universidad de Antioquia

236CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.tiene una discontinuidad “removible” en a = 1 pues está definida comof(1) = 2 que es diferente del límite en 1 que es −2. Para remover la discontinuidades suficiente cambiar el valor de f simplemente haciendo f(1) = −2.4. (Ver ejemplo en⎧la página 215).⎨ x 2, si x ≥ −2,La función g(x) = x + 2⎩sen x, si x < −2.presenta una discontinuidad “esencial” en a = −2 ya que lím x→−2 g(x) noexiste. Esto significa que no es posible cambiar el valor de la función en a =−2, en tal forma que se cumpla la ecuación de continuidad.5. La función “mayor entero”, [x],no es continua en números enterospues en cada punto entero no existelímite, (observe que la gráfica presentaun salto). Éste es pues un tipode discontinuidad esencial ❀.Por otra parte, esta función es continuaen todo punto a que no sea entero,es decir,Por ejemplo,límx→a/∈Z[x] = [a].−3−3ւ−2lím [x] = 1 y [ √ 2] = 1x→ √ 2−1 −1cumpliéndose así la ecuación de continuidad en a = √ 2.Continuidad lateral.• Una función f es continua por la derecha de a, siilím x→a + f(x) = f(a).x > a• Una función f es continua por la izquierda de a, siilím x→a − f(x) = f(a).Continuidad en intervalos.x < aUniversidad de Antioquia−20121 2 33 ր

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 237• Una función es continua en intervalo abierto (a,b) sii es continua en cadapunto de dicho intervalo.• Una función es continua en intervalo cerrado [a,b] sii es continua en elabierto (a,b) y es continua lateralmente en los extremos a y b.• Una función es continua sii es continua en todos los puntos de su dominio.Ejemplos:1. La función “mayor entero”, [x], es continua en todo intervalo abierto(n,n + 1) con n ∈ Z, hecho que queda claro en su gráfica.2.La función por tramos,{ √−x, si x < 0,j(x) = √ es continuaen el intervalo cerrado [−2,x, si x ≥ 0,2].3.La función de recíprocos,f(x) = 1 x , x ≠ 0,es continua, lo cual quiere decir quees continua en todo su dominio. Sise hace la pregunta, ¿es continua en0?, la respuesta es no, porque 0 /∈Dom(f).y• •j(x)−2 0 2Nota 1. Si una función f es continua en un número a, calcular lim x→a f(x)se reduce a un procedimiento de sustitución inmediata, pues solo basta remplazarx por a. Por ejemplo, lím x→−31x = 1 −3 .Nota 2. De acuerdo con la equivalencia mencionada en la página 221, laecuación de continuidad se puede expresar en términos de equivalencia de laUniversidad de Antioquia

238siguiente manera:CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.lím f(x) = f(a) ⇐⇒ f es continua en a ⇐⇒ lím(f(x) − f(a)) = 0.x→aEl siguiente teorema establece que casi todas las funciones que hemos denominadobásicas, son continuas. Se debe tener en cuenta el dominio apropiadopara cada función.Teorema 4.5.1. (Límites de las funciones básicas.)1. lím x→a k = k. (Todas las funciones constantes, f(x) = k, son continuas).x→a2. lím x→a x = a. (L función identidad, i(x) = x), es continua.3. lím x→a (bx + c) = ba + c. (Toda recta es función continua)4. lím x→a x 2 = a 2 . (La parábola, x 2 , es continua.)5. lím x→a x n = a n ,n ∈ Z + . (las funciones “potencia” son continuas.)6. lím x→a (a n x n +a n−1 x n−1 +...+a 1 x+a 0 ) = (a n a n +a n−1 a n−1 +...+a 1 a+a 0 ).(n ∈ Z + . Toda función polinómica es continua.)( an x7. n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a)0lím x→ab m x m + b m−1 x m−1 =+ ... + b 1 x + b 0(n,m ∈ Z + . Las funciones racionales son continuas.)18. lím x→ax = 1 . (La función de recíprocos es continua.)a( an a n + a n−1 a n−1 + ... + a 1 a + a)0b m b m + b m−1 b m−1 .+ ... + b 1 b + b 019. lím x→ax = 1 n an. (Las funciones recíprocas de funciones “potencia”,son continuas.)10. lím x→a√ x =√ a. (La función√ x, x ≥ 0, es continua.)11. lím x→an √ x = n√ a. (Las funciones de tipo n√ x, n ∈ Z + , son continuas).(Téngase en cuenta que sea x ≥ 0 cuando n sea par.)Universidad de Antioquia

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 23912. Las funciones trigonométricas (sen, cos, tan, cot, sec, csc), son continuas.Por ejemplo, lím x→a sen x = sen a.13. lím x→a b x = b a . (Las funciones exponenciales son continuas.)14. lím x→a log b x = log b a. (Las funciones logarítmicas son continuas.)15. lím x→a |x| = |a|. (La función “valor absoluto” es continua.)16. lím x→a [x] = [a], cuando a /∈ Z. (La función “mayor entero” es continuaen todo real que no sea entero. En los enteros, es discontinua).Demostraremos algunas partes de este teorema.Demostración.De 1. -Se demostrará que el límite de una función constante es la mismaconstante. Empecemos fijando ǫ > 0. Queremos hallar un δ > 0 “apropiado”,es decir, tal que para todo real x se cumpla la siguiente implicación,0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − k| < ǫ. (∗)Para encontrar dicho δ, consideremos la desigualdad |f(x) − k| < ǫ. Puestoque f(x) = k, se tiene |k − k| < ǫ, es decir, 0 < ǫ, lo cual se cumple, (así fuefijado desde un principio), independientemente de cualquier valor positivoque se le de a δ. En particular para δ = ǫ, la implicación (∗) cambia por laimplicación verdadera,lo cual es de verificación inmediata.0 < |x − a| < ǫ =⇒ |f(x) − k| < ǫ,De 2. -Veamos que lím x→a i(x) = a, donde i(x) = x es la función identidad.Fijemos ǫ > 0 para hallar δ tal que para cada real x se cumpla la implicación,Consideremos la desigualdad,0 < |x − a| < δ =⇒ |i(x) − a| < ǫ. (∗)|i(x) − a| < ǫ.Universidad de Antioquia

240CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Si se tiene en cuenta que, por definición, i(x) = x, obtenemos|x − a| < ǫy esto nos permite concluir que δ puede ser el mismo ǫ o cualquier valormenor. Con este ǫ, puesto en la implicación (∗), en el lugar de δ y haciendoel cambio i(x) = x, se obtiene la implicación verdadera,0 < |x − a| < ǫ =⇒ |x − a| < ǫ, (ley del medio excluído),quedando así demostrado este resultado.Nota: En adelante daremos por terminada la prueba una vez determinadoδ. Se deja a criterio del estudiante corroborar el caracter apropiado de δ,demostrando la implicación correspondiente.De 3. -Se quiere demostrar que lím x→a (bx + c) = ba + c b ≠ 0.Empecemos fijando ǫ > 0 y hallemos δ tal que se cumpla la implicación,0 < |x − a| < δ =⇒ |(bx + c) − (ba + c)| < ǫ. (∗)Para hallar un valor apropiado de δ, consideremos la desigualdad.|(bx + c) − (ba + c)| < ǫ,(⋆).modificándola hasta obtener una desigualdad de la forma,|x − a| < (un término positivo)y este término positivo será el δ apropiado.En efecto, a partir de (⋆) se consigue mediante simplificación y factorización,|b(x − a)| < ǫ.Aplicando conocida propiedad, se obtieney en un paso más,|b||x − a| < ǫ, b ≠ 0,|x − a| < ǫ|b|Universidad de Antioquia✷

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 241Ahora ya tenemos el valor apropiado δ = ǫ|b| .Para comprobar que δ es el valor apropiado, basta demostrar la implicación,0 < |x − a| < ǫ =⇒ |(bx + c) − (ba + c)| < ǫ,|b|pero como se dijo en la nota anterior, esto se deja como ejercicio de trámite.Ejercicio 15, página 254.✷1De 8. -Para demostrar que lím x→ax = 1 , a ≠ 0, empezamos fijando ǫ > 0apara hallar δ > 0 tal que para todo real x se cumpla la implicación,0 < |x − a| < δ =⇒ ∣ 1 x − 1 ∣∣< ǫ. (∗)aHallemos δ a partir de la desigualdad,∣ 1 x − 1 ∣ < ǫ.aEsta desigualdad se puede re-escribir como,∣ x − a∣ < ǫ.ax∴ |x − a| < |ax|ǫ. (1.)(Reducción a común denominador).(Por conocidas propiedades).Ahora se hace necesario acotar el término |ax|. Para ello, limitemos el valorde δ a una cantidad positiva ≤ |a|.Sea x un punto del intervalo perforadocon centro en a y radio |a|, ❀←−2|a|−→• •( ) ,es decir,a x|x − a| < |a|. De donde,−|a| < x − a < |a|.Por conocido teorema.a − |a| < x < a + |a|. (2.) Al sumar a.Ya sea a positivo o negativo, se deduce de (2.) que |x| < 2|a|. Al multiplicarpor |a|ǫ esta última desigualdad, se obtiene,|ax|ǫ < 2a 2 ǫ. (3.)Universidad de Antioquia

242De donde,Finalmente conCAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.|x − a| < 2a 2 ǫ. Transitividad entre (1.) y (3.)δ = el menor entre {|a|, 2a 2 ǫ}.se consigue la demostración del teorema.La comprobación se hace demostrando la implicación (∗).De 10. -Veamos que √ x, (x ≥ 0), es una función continua en su dominio. Laprueba tiene dos casos, a saber: En un valor positivo a y en 0.Veamos el caso en que se fije a > 0.Se probará que lím x→a√ x =√ a, (ecuación de continuidad).Sea ǫ > 0. Hallemos δ tal que cualquiera que sea un real x > 0, se cumple laimplicación,0 < |x − a| < δ =⇒ | √ x − √ a| < ǫ (⋆.)Como en los casos anteriores, comencemos por considerar| √ x − √ a| < ǫ.Efectuando una racionalización se obtiene,∣∣x − a ∣ | √ x + √ a|

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 243OPERACIONES CON LÍMITES.Es posible calcular, mediante las operaciones usuales, el límite de una funciónque sea suma, o diferencia o producto o cociente o composición de de doso más funciones cuyos límites en un punto a sean conocidos. Los siguientesdos teoremas presentan estos resultados para el caso de dos funciones f yg. Éstos se pueden extender de una manera natural a un número mayor defunciones e incluyen el caso en que las funciones consideradas sean continuas.Teorema 4.5.2.Supongamos que dos funciones f y g tienen respectivamente límites L y Men el mismo punto a. Entonces se verifican los siguientes límites:1. lím x→a (f(x) + g(x)) = [lím x→a f(x)] + [lím x→a g(x)] = L + M.(El límite de una suma de funciones es la suma de los límites).2. lím x→a (f(x) − g(x)) = [lím x→a f(x)] − [lím x→a g(x)] = L − M.(El límite de una diferencia de funciones es la diferencia de los límites).3. lím x→a kf(x) = k[lím x→a f(x)] = kL.(Si una constante multiplica a una función, dicha constante tambiénmultiplica a su límite).4. lím x→a (f(x)g(x)) = [lím x→a f(x)][lím x→a g(x)] = LM.(El límite de un producto de funciones es el producto de los límites).[ 1M], donde M ≠ 0 en algún inter-[ 1] [1]5. lím x→a ==g(x) lím x→a g(x)valo de centro en a.(El límite de la función “recíproca de g(x)” es el recíproco de M ≠ 0).[ LM], donde M ≠ 0 en algún inter-[ f(x)] [ límx→a f(x)]6. lím x→a ==g(x) lím x→a g(x)valo de centro en a.El límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites siemprey cuando el límite del divisor sea ≠ 0.Universidad de Antioquia

244CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Nota sobre continuidad: En el caso de que las funciones f y g sean continuas,todas las funciones que se obtengan por alguna de las operacionesreferidas en este teorema, serán continuas.Por ejemplo, la función f + g resultará continua en a, si tanto f como g soncontinuas en a, es decir,lím(f(x) + g(x)) = f(a) + g(a),x→ae igual afirmación se hace de los demás resultados de este teorema.Ejemplos con funciones continuas:1. lím x→2 (x 3 + 2 x ) = [lím x→2 x 3 ] + [lím x→2 2 x = 8 + 4 = 12.2. lím x→2 (x 3 2 x ) = [lím x→2 x 3 ][lím x→2 2 x ] = 8 × 4 = 32.3. lím x→212 x =1lím x→2 2 x = 1 4 .( x3)( límx→2 x 3 )4. lím x→2 = = 8 2 x lím x→2 2 x 4 = 2.Del anterior teorema demostraremos los numerales 1 y 4. La demostracióndel numeral 5, será resuelta un poco más adelante, como una consecuenciadel teorema 4.5.3 y la demostración del numeral 6 será resuelta como unasimple aplicación de los enunciados 4. y 5.Demostración.De 1. -Supongamos que f(x) → L y g(x) → M cuando x → a. Se quieredemostrar que lím x→a (f(x) + g(x)) = L + M.Los dos supuestos iniciales nos garantizan que cualquiera que sea el númeropositivo ǫ que se fije, existirán sendos valores positivos δ 1 y δ 2 tales que paratodo real x se cumplen las siguientes implicaciones:0 < |x − a| < δ 1 =⇒ |f(x) − L| < ǫ (1.)0 < |x − a| < δ 2 =⇒ |g(x) − M| < ǫ (2.)Fijemos ǫ > 0. Hallemos un δ > 0 tal que para todo x ∈ R se cumpla,0 < |x − a| < δ =⇒ ∣ ∣[f(x) + g(x)] − [L + M] ∣ ∣< ǫ (∗.)Universidad de Antioquia

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 245Hallaremos el δ apropiado transformando convenientemente la desigualdad∣∣[f(x) + g(x)] − [L + M] ∣ ∣< ǫpara obtener otra desigualdad de la forma|x − a| < (un término positivo)y este término será el δ apropiado. Para empezar consideremos la siguientemodificación:∣∣[f(x)+g(x)]−[L+M] ∣ ∣= ∣ ∣[f(x)−L]+[g(x)−M] ∣ ∣, (reagrupación de términos.)≤ |f(x)−L|+|g(x)−M|. (3.) (d/gualdad. tr/gular.).Para el ǫ fijado en un principio, se cumplen simultáneamente las implicaciones(1.) y (2.). Elegimos como δ al menor entre δ 1 y δ 2 . Probaremos que con esteδ, “casi” se cumple la implicación (∗).En efecto, sea x ∈ R tal que |x −a| < δ, siendo δ = menor{δ 1 ,δ 2 }. Entoncesde (1.) y (2.) se sigue que, (regla de “modus ponens”),|f(x) − L| < ǫ y |g(x) − M| < ǫ. (4.)Entonces regresando a la desigualdad (3.) obtenemos,|f(x) − L| + |g(x) − M| < ǫ + ǫ = 2ǫ. (5.)Este no es el resultado deseado, (debe ser ǫ), sin embargo la corrección essencilla pues basta que en las implicaciones (1.) y (2.) se considere ǫ/2 enlugar de ǫ y esto hará que las dos desigualdades en (4.) sean,|f(x) − L| < ǫ/2 y |g(x) − M| < ǫ/2.Introduciendo esta modificación en (5.) conseguimos el resultado deseado,|f(x) − L| + |g(x) − M| < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ. (6.)Finalmente, por transitividad ente (3.) y (6.),∣∣[f(x) + g(x)] − [L + M] ∣ ∣< ǫ.El teorema ha quedado demostrado.Universidad de Antioquia

246CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Para demostrar el 4 o enunciado necesitaremos la siguiente definición y elsiguiente “lema”.DEFINICIÓN.Decimos que una función es acotada en los reales sii su rango es un conjuntoacotado en R.De otra manera: f es acotada en R sii existe un real k tal que |f(x)| ≤ kpara todo x de su dominio.Función acotada en un intervalo.f es acotada en intervalo I sii |f(x)| ≤ k para todo x ∈ I.Ejemplos:1. La función senx es acotada pues | sen x| ≤ 1 para todo x ∈ R.2. La función y = 1 , x ≠ 0 no es acotada en R pues no existe real k tal quex ∣ 1 ∣∣≤ k para todo k ≠ 0.x3. La misma función y = 1 del ejemplo 2 está acotada en el intervalo (1/2, 1).x Una cota es k = 2, pues ∣ 1 ∣ ≤ 2 para 1/2 < x < 1.xLEMA 1.Toda función con límite L en a,está acotada en un intervalo decentro en a. En otros términos,existen, un intevalo con centro ena y un real positivo k tal que paralos x de dicho intervalo,f(x) < k.ǫ + |L| = cotaւf(x) • •L • •• •a xDemostración. Fijemos ǫ > 0. Como f(x) → L cuando x → a, existe unδ > 0 tal que para los x del intervalo definido por 0 < |x − a| < δ, se cumpleque |f(x) − L| < ǫ (1.).Universidad de Antioquiaf

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 247Para dichos x,|f(x)| = |(f(x) − L) + L|≤ |f(x) − L| + |L|(por restar y sumar L, y ley asociativa.)(por desigualdad triangular.)< ǫ + |L|. (teniendo en cuenta (1.)).El lema queda demostrado ❀ cota k = ǫ + |L|.Demostración. (Del 4 o enunciado).Supongamos que f y g son funciones que tienen límites L y M respectivamenteen el mismo punto a. Veamos que, para M ≠ 0,lím(f(x)g(x)) = LM.x→aSea ǫ > 0. Hallemos δ > 0 tal que para todo x real se cumpla la siguienteimplicación:0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x)g(x) − LM| < ǫ. (⋆)Cambios apropiados en la desigualdad,|f(x)g(x) − LM| < ǫ,permitirán obtener a δ en términos de ǫ.Para empezar, consideremos la suma y resta de un mismo término y la leyasociativa,|f(x)g(x) − LM| = |(f(x)g(x) − Mf(x)) + (Mf(x) − LM)|.Por la desigualdad triangular,|f(x)g(x) − LM| ≤ |f(x)g(x) − Mf(x)| + |Mf(x) − LM|.Por factorización y la conocida propiedad de valor absoluto:|ab| = |a||b|,|f(x)g(x) − LM| ≤ |f(x)||g(x) − M| + |M||f(x) − L| (1.).Para que esta última expresión resulte menor que ǫ, haremos que cada unode sus término quede acotado por ǫ , es decir,2Universidad de Antioquia

248|f(x)||g(x) − M| < ǫ 2CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.y |M||f(x) − L| < ǫ 2 .Para lograr este propósito conviene acotar los términos:|f(x)|, |g(x) − M| y |f(x) − L|.Las cotas se obtienen a partir de las siguientes 3 implicaciones:El lema 1 nos proporciona la 1 a implicación de la siguiente manera:Puesto que por hipótesis, f(x) → L cuando x → a, entonces para el ǫ fijadoen un principio, existe un δ 1 > 0 tal que para todo x real,0 < |x − a| < δ 1 =⇒ |f(x)| < k, (1 a .)donde k = ǫ + |L|.La 2 a implicación se obtiene de la hipótesis g(x) → M cuando x → a, puessiendo k > 0, existe un δ 2 > 0 tal que para todo x real,0 < |x − a| < δ 2 =⇒ |g(x) − M| < ǫ2k . (2a .)La 3 a implicación se obtiene de la hipótesis f(x) → L cuando x → a ya queexiste un δ 3 > 0 tal que para todo x real,0 < |x − a| < δ 3 =⇒ |f(x) − L| < ǫ2|M| . (3a .)Ahora veamos que el δ buscado es el menor entre δ 1 ,δ 2 y δ 3 .Para este δ se cumplen simultáneamente las 3 implicaciones anteriores y portanto para cualquier x del intervalo definido por la desigualdad 0 < |x−a| < δse obtienen, (por una conocida ley lógica), las siguientes desigualdades:|f(x)| < k;|g(x) − M| < ǫǫ; |f(x) − L|

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 249El teorema que viene a continuación permite resolver el límite de una funcióncompuesta por 2 funciones. Este resultado se extiende a una cadena de nfunciones. (Inducción).Teorema 4.5.3. (Límite de una función compuesta.)Supongamos que f ◦g es una función bien definida en todos los puntos de unintervalo perforado con centro en a y radio r.Supongamos además que g(x) → b cuando x → a y que f es continua en b,(ver diagrama). Entonces,lím(f(g(x)) = f(b) = f(lím g(x)).x→a x→aComo caso particular, si g es continua en a entonces f ◦ g también resultacontinua en a, es decir,glím f(g(x)) = f(g(a)).x→af(g(x))a •b • • f(b) • •(b, f(b))ց(a, b)δ α ǫx •w • f(w) •Demostración.(Puede ser de ayuda seguir la demostración en la gráfica anterior).Supongamos quef ◦ gg(x)lím g(x) = b y que f es una función continua en b.x→aFijado ǫ > 0 se quiere encontrar δ > 0 tal que se cumpla la siguiente implicación:0 < |x − a| < δ =⇒ |f(g(x)) − f(b)| < ǫ.Universidad de Antioquiaf

250CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Puesto que f es una función continua en b, (por hipótesis), se cumple laecuación de continuidad,lím f(w) = f(b),w→by esto, para el ǫ fijado, significa que existe α > 0 tal que para todo w real,0 < |w − b| < α =⇒ |f(w) − f(b)| < ǫ. (1.)Para este α, y puesto que lím x→a g(x) = b, existe δ > 0 tal que para todox ∈ R,0 < |x − a| < δ =⇒ |g(x) − b| < α. (2.)Veamos que este es el δ que resuelve la demostración.Consideremos un punto x del intervalo definido por la desigualdad 0

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 251Demostración.La prueba resulta inmediata disponiendo el cociente f(x) como un productog(x)( 1)de la forma f(x) .g(x)En efecto, por el 4 o enunciado del teorema 4.5.2,[ f(x)] ( [ 1]) ( 1)lím = (lím f(x)) lím = L = Lx→a g(x) x→a x→a g(x) M MEn el siguiente corolario se consideran los límites de funciones compuestasde tipo exponencial y logarítmico.Corolario 4.5.4.1. lím x→a b f(x) = b L ,siendo L = lím x→a f(x) y b > 0,b ≠ 1..2. lím x→a log b g(x) = log b M,siendo M = lím x→a g(x) > 0, b > 0, y b ≠ 1.3. lím x→a f(x) g(x) = (lím x→a f(x)) límx→a g(x) = L M ,siendo L = lím x→a f(x), M = lím x→a g(x) y f(x) > 0 en un intervalo perforadode centro en a.Nota: El último enunciado, (el 3), de este corolario no se puede considerar enel caso en que L M tome la forma 0 0 ya que esta expresión carece de sentido.Este caso se incluye dentro de las llamadas “ formas indeterminadas”, (verpágina 283).Los siguientes ejemplos ilustran el último teorema y el corolario.Ejemplo 1.Ejemplo 2.Ejemplo 3.(( ) 1)lím tan 1 x= tan límx→ π( ) = tan 14 x4= tan π 4 = 1.x→ 4 π√ √3 x( x)√5límx→5 x + 1 = 3 lím = 3x→5 x + 1 6 ≈ 0,941.√límx→4 3√x = 3 (límx→4 x)= 3 2 = 9.Universidad de Antioquiaπ

252Ejemplo 4.Ejemplo 5.x→ π 2CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.límx→1 [ln(x2 + x)] = ln[lím(x 2 + x)] = ln 2.x→1( )lím (x) sen x límx→ π (sen x) (= lím x2π) límx→ π (sen x) (=2π) 1 π = =22 2 .x→ π 2El siguiente teorema se refiere a tres funciones dispuestas de tal maneraque una de ellas se encuentra “en medio” de las otras dos. Se designa como“teorema del emparedado”, nombre pintoresco que describe dicha situación.Teorema 4.5.5. Sean f,g y h tres funcionesdefinidas en un mismo intervalo perforado ena, tales que g y h tienen el mismo límite Len a. Bajo estas condiciones, se cumple lasiguiente implicación:h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) =⇒ lím f(x) = L.x→af(x)g(x)h(x)Un diagrama que resume el enunciado anterior puede ser éste:LLh(x) ≤ f(x) ≤ g(x) =⇒ lím x→a f(x) = L.Dejamos la demostración como consulta o intento de solución por parte delestudiante. La gráfica anterior hace plausible la validez del teorema.Ejemplo:( 2Demostrar que lím x→0 x cos = 0; x ≠ 0.x)(∣ 2)∣ ∣∣Demostración: Como se sabe, 0 ≤ ∣cos ≤ 1.x(∣ 2)∣ ∣∣Al multiplicar por |x| se obtiene, 0 ≤ |x| ∣cos ≤ |x|.x•Universidad de AntioquiaL•ah(x)g(x)f(x)x

4.5. FUNCIONES CONTINUAS. 253Aquí interviene el teorema del emparedado pues las funciones 0 y |x| tienden a∣ ( ∣∣x 2 ∣∣=0 cuando x → 0, luego se concluye que lím x→0 cos 0. Según ejercicio( x)∣24.4, (35) se deduce que el límite de x cos en 0 es 0.x)LA FORMA INDETERMINADA 0 0 (F.I. 0 0 ).( sen x)Si empleamos sustitución inmediata para calcular lím x→0 , obtenemosx0, resultado que no es satisfactorio. Límites de la forma0( f(x))límx→a g(x)presentan a menudo, mediante sustitución inmediata, el resultado inaceptable00 . Este tipo de situaciones se designan como “forma indeterminada”, F.I, 0 0 .La solución a este tipo de límites requiere de un tratamiento particular cadavez que se presente. Ilustremos con un ejemplo.( x 3 + x 2 − 3x + 1)Calcular lím x→1 .x − 1Solución:Si aplicamos sustitución inmediata resulta la F.I. 0 . Para remover la indeterminacióndebemos modificar la expresión que define la función, mediante0manipulaciones que conduzcan a la respuesta correcta.El procedimiento es como sigue:límx→1( x 3 + x 2 − 3x + 1) ( (x − 1)(x 2 + 2x − 1))= límx − 1 x→1 (x − 1)= lím(x 2 + 2x − 1)x→1(factorización.)(cancelación.)= 2 (sustitución directa).Vemos en este ejemplo como la F.I. se resolvió con existencia de límite. ( Un sen x)límite importante que presenta, (inicialmente), esta forma es lím x→0 .xPuede demostrarse que su valor es 1, resultado que ya habíamos anticipadoen la página 215, ejemplo 2. También pueden darse situaciones de esta formaUniversidad de Antioquia

254CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.en que la respuesta definitiva ( es la no existencia de límite. Un ejemplo quesen x)adelantamos es el lím x→0 , (ver ejemplo 4, página 286 ).x 2Existen exactamente 8 formas indeterminadas, que estaremos considerandomás adelante, (página 282), de las cuales la más importante es 0 0 .4.6. Ejercicios.En 1 a 14, emplear sustitución inmediata, (por tratarse de funciones con tinuas),y operaciones con límites para calcular paso a paso los límites propuestos. Sise presenta la forma 0 , suprimirla por medios algebraicos.01. y = (4 − 3x).x → 2.Solución:lím x→2 (4−3x) = (lím x→2 4)−(lím x→2 (3x)) = (lím x→2 4)−3(lím x→2 (x)) = 4−3(2) = −2.(Note la aplicación de operaciones con límites en cada paso.)2. y = (3x 2 − 5x 3 ).x → 2.3. y = (sen 2 θ − sen θ + csc θ).θ → π/6.4. y = x2 − x − 2.x − 2x → 2.5. y = 2x100 − 3x 3x 3 .+ 1x → −1.6. y = √ x + √ 1 . xx → 2.7. y = 2x100 − 2x − 1 .x → 1.√ x − 18. y =x − 1 . x → 1−x < 1x − 19. y =x 2 − 4x + 3 .x → 3; x → 1.10. y = 2 (tan w+1) .w → π/4.√ x − 3 − 111. y =x 2 − 16 .x → 4.12. y = √ 1 − x2.1 − x2x → 1 − .x < 1.√1 + x2 − √ 1 − x13. y =2.xx → 0.14. y = x2 − 1|x − 1| .x → (−1) − .x < −1.15. Demostrar la implicación 0 < |x − a| =⇒ |(bx + c) − (ba + c)| < ǫ,relativa al teorema 4.5.1., numeral 3.16. Demostrar que lím x→0 +√ x = 0.Universidad de Antioquia

4.6. EJERCICIOS. 25517. Demostrar que la funciónF(x) = x n , n ∈ Z + es continua.Sugerencia: método de inducción.Nota: Este resultado se extiende a las funciones de la forma x r siendo runa constante arbitraria. Se debe considerar cuidadosamente el dominiode la función si r /∈ Z + . Por ejemplo lím x→√2(x π ) = ( √ 2) π ≈ 2,97.18. Investigar en que puntos, cada una de las siguientes funciones tiene unadiscontinuidad y, si es posible, removerla:⎧⎧⎪⎨ x − 2, si x < 4, ⎪⎨ x 2 − 1, si x < 0, {e x , si x < 1,y = 2x − 6, si x > 4, y = 2x − 6, si x > 0, y =⎪⎩⎪⎩lnx, si x ≥ 1.1, si x=4. 1, si x = 4.19. Hacer una gráfica de la función,⎧⎨1y = x , si n < x < n + 1, n par positivo,⎩x, si n ≤ x < n + 1, n impar positivo.y explicar por medio de ésta, porqué es una función discontinua en losenteros y cual es el tipo de discontinuidad que se presenta.{x 2 + b, si x < 0,20. Sea f(x) =−x 2 , si x ≥ 0.⎧a⎪⎨ , si 0 < x < 2,x21. Sea g(x) = bx + 1, si 2 ≤ x ≤ 3,⎪⎩cx 2 , si 3 < x.{ln x + a, si 0 < x < 1,22. Sea h(x) =e x , si 1 ≤ x < ∞.¿Cuál debe ser el valor de laconstante b para que la funciónf sea continua en 0.?Hallar el valor de lascons tantes a y b, en términosde c, para que la función g seacontinua en 2 y 3.Respuesta: a = 12c + 2/3;b = 3c − 1/3.Hallar el valor de lacons tante a, para que lafunción h sea continua en 1.Respuesta: e.Universidad de Antioquia

256CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.4.7. Consecuencias de la continuidadIncrementos.Consideremosuna funcióny = f(x) continua y definida enalgún intervalo I.Sea a ∈ I.Se llama incremento en x, yse denota ∆x, a la longitud deltrayecto comprendido entre unpunto inicial a y un punto finalx ∈ I, (ver diagrama ❀).En consecuencia,∆x = x − a. (1.)Incremento en x = punto final − punto inicial.• ∆x > 0 •a x = a + ∆x• ∆x < 0 •x = a + ∆x aTodo incremento en x trae como consecuencia un incremento en y = f(x),que se denota ∆y, o ∆f, y corresponde a la longitud del trayecto que tienecomo punto inicial f(a) y como punto final f(x).En consecuencia,∆y = f(x) − f(a). (2.)Incremento en y = f(punto final) − f (punto inicial).Si despejamos x en (1.) y remplazamos este término en (2.) obtenemos,x = a + ∆x,❀ ∆y = f(a + ∆x) − f(a).Los términos ∆x y ∆y pueden tomar cualquier valor real positivo, negativo ocero. Las siguientes gráficas muestran las distintas alternativas que se puedenpresentar respecto a los signos de dichos términos.Universidad de Antioquia

4.7. CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD 257∆x > 0∆y > 0∆y < 0•∆x > 0•∆y > 0∆y < 0∆x > 0∆x > 0• • • • • • ••a x a x a x a xEjemplos:La siguiente tabla contiene 4 ejemplos con diferentes funciones.f(x) a x ∆x ∆fx 2 1 2 2 − 1 4 − 1 = 3x 2 2 −1 −1 − 2 = −3 1 − 4 = −3112 4 4 − 2 = 2x4 − 1 2 = −1 4[x] −1,8 2,5 2,5 − (−1,8) = 4,3 2 − (−2) = 4ln x e 1 1 − e ≈ −1,7 0 − 1 = −1Continuidad en términos de incrementos.En páginas anteriores, (ver página 236), habíamos presentado la continuidaden la siguiente forma:lím(f(x) − f(a)) = 0.x→aSi tenemos en cuenta que x → a y ∆x → 0 son expresiones equivalentes,podemos expresar la ecuación de continuidad en la forma compacta,lím ∆x→0 ∆f = 0.Universidad de Antioquia

258Rectas secantes e incrementos.DEFINICIÓN.Una recta es una secante de la gráficade una función y = f(x) sii dicha rectaintercepta a la gráfica en al menos dospuntos. Ver ❀ .Es posible expresar la pendiente de lasecante que pasa por dos puntos de lacurva, en términos de los incrementosen “y” y en “x”. En efecto,o también,m = ∆y f(x) − f(a)= .∆x x − am = ∆y f(a + ∆x) − f(a)=∆x ∆xCAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.f(x) = x 2secante ❀A •∆x| |տ 20,47Por ejemplo,(ver gráfica), la secante de la curva f(x) = x 2 , que pasa por lospuntos A(0,47, 0,175) y B(2, 4), tiene pendiente,m = ∆y f(2) − f(0, 47)= = 4 − 0,472 = 2,47∆x 2 − 0,47 1,53Veremos a continuación dos resultados que son consecuencia de la continuidad.Pero antes definamos algunos términos necesarios.Definición 4.7.1.a.) Todos los puntos de un intervalo abierto serán denominados valoresintermedios. Esto es,x es un valor intermedio de (a,b) sii a < x < b, o bien, b < x < a.b.) M ∈ R es el valor máximo o máximo absoluto de una función f siiM ∈ ran(f) y para todo x ∈ Dom(f),f(x) ≤ M.Universidad de Antioquia•B∆y

4.7. CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD 259y se escribe, max(f) = M.c.) m ∈ R es el valor mínimo o mínimo absoluto de una función f sii m ∈ran(f) y para todo x ∈ Dom(f),y se escribe, min(f) = m.m ≤ f(x).M y m cuando existen se llaman valores extremos de la función f.Comentarios y ejemplos:Una función puede tener o carecer de valores extremos. La función senx tienecomo valores extremos a ±1 ya que, como se sabe,−1 ≤ sen x ≤ 1.En cambio la función x 3 carece de ambos valores extremos.Algunas funciones sólo tienen un valor extremo, como la función x 2 que notiene valor máximo y su mínimo absoluto es 0 y se localiza en el origende coordenadas. Precisamente el teorema que viene a continuación dice querespecto a intervalos cerrados, las funciones continuas toman ambos valoresextremos en uno o más puntos del intervalo.Teorema 4.7.1. (teorema de los valores extremos.)Sea f una función continua en un intervalo [a,b]. Entonces f toma un valormáximo y un valor mínimo, (únicos), en uno o mas puntos de dicho intervalo,i.e., existen por lo menos un v y un w en [a,b] tales quef(v) = max(f) y f(w) = min(f).El teorema que viene a continuación, además de su importancia teórica, permiteuna interesante aplicación en la solución de ecuaciones.Teorema 4.7.2. (teorema de los valores intermedios.)Sea f una función continua en cualquier intervalo no trivial I y sean a,b ∈ I.Si w 0 es un valor intermedio de uno de los intervalos (f(a),f(b)) o (f(b),f(a)),entonces existe por lo menos un valor intermedio x 0 , ya sea en (a,b) o en(b,a), tal que f(x 0 ) = w 0 .Universidad de Antioquia

260CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Observación: Las demostraciones de estos dos teoremas no se realizan en estasnotas. Se encuentran en algunos textos de cálculo avanzado. Su importanciay su “fácil” percepción geométrica nos motivan para incluirlos en éstas. Lasgráficas (1.), (2.) y (3) dan una idea de lo que afirman ambos teoremas.ւM = max(f)ց• •fm = min(f)•• ❀ m = min(g)• ••a v 1 v 2 (1.) wb a (2.) bel valor máximo M ocurre dos veces entre a y b. el máximo M y el mínimo m se presentan.el valor mínimo m ocurre una vez entre a y b.en los extremos del intervalo.w o | | | |x o x 1 x 2 x 3af• • • •el valor intermedio w 0 ocurre 4 veces entre a y b:f(x 0 ) = f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x 3 ) = w 0(3.)Universidad de AntioquiagbM = max(g) ❀•

4.7. CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD 261Comentarios:1. - El teorema de los valores extremospuede dejar de cumplirsepara intervalos abiertos, así seacontinua la función. Por ejemplo,la recta y = x definida en elintervalo [0, 1). En este intervalo,tiene su valor mínimo en el origenpero no tiene un va lor máximo.Ver gráfica (1.).1 •y = x••En cambio, puede cumplirse enun intervalo cerrado, aunque lafunción no cumpla continuidad.0 (1.) 1 0 (2.) 1Basta que sea acotada en el intervalo. Por ejemplo, la función “mayor entero”no es continua en el intervalo [0, 1], su valor máximo es 1 y su valor mínimoes 0 en este intervalo. Ver gráfica (2.).2. - El teorema de los va loresintermedios puede dejar decumplirse para funciones discontinuas,así estén definidas enintervalos cerrados. Por ejemplo,(ver gráfica (3.)), la ecuaciónf(x) = w no tiene solución en elintervalo [a,b] pues dicha función0Universidad de Antioquia•f(b) •w •f(a) •es discontinua en el punto c de este intervalo. Ver gráfica.a1 •(1, 1)•y = w•y = f(x)•c(3.)0y = [x]3. - Un caso especial del teorema 4.7.2.,se presenta cuando 0 es un valorintermedio.Veámoslo en el siguiente corolario y su interpretación gráfica.Corolario 4.7.3. (teorema del “cero” intermedio)Si f es función continua en intervalo I y 0 es unvalor intermedio por estar entre f(a) < 0 y f(b) > 0,o bien, entre f(b) < 0 y f(a) > 0, donde a y b sonpuntos de I, entonces existe por lo menos un punto xde I tal que f(x) = 0. ❀ (Gráfica (4.))• f(b) > 0y = f(x)•y = 0• • • •a x 1 x 2 x 3• f(a) < 0(4.)b•b•

262CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.En este ejemplo gráfico, la ecuación f(x) = 0 presenta 3 soluciones, x 1 ,x 2 ,x 3 .En el comienzo de estas notas se demostró que √ 2 es un número irracional enel supuesto de que era un número real. El siguiente teorema nos permite asegurarque, en efecto, lo es. La demostración es una consecuencia del teoremade los valores intermedios.Teorema 4.7.4. √2 ∈ R.Demostración. Recordemos que un número real r será la raiz cuadrada de 2,siempre y cuando r 2 = 2Según lo afirmado, debemos considerar la ecuación x 2 = 2, (∗).Si dicha ecuación tiene una solución, ésta será la raiz cuadrada de 2 cuyarepresentación universal es √ 2.En la ecuación (∗) aparece la función continua f(x) = x 2 ,x ∈ R y un candidatoa ser un valor intermedio: 2.Para que esto último se cumpla, basta hallar dos números a y b tales quef(a) < 2 < f(b).Es fácil comprobar que si a = 1 y b = 2, se cumple esta desigualdad, puesf(1) = 1 < 2 < f(2) = 4.En este punto interviene el teorema de los valores intermedios el cual nospermite concluir que existe por lo menos un real r entre 1 y 4 tal que r 2 = 2.El teorema queda demostrado. Este r es el que se denota como √ 2.El teorema de los valores intermedios y la obtención de solucionesaproxi madas de algunas ecuaciones .Veamos cómo el teorema de los valores intermedios, usado de una manerareiterada, (lo cual se denomina “un algoritmo”), nos permite resolver, (conel grado de aproximación que se necesite), ecuaciones que no son resolublespor métodos algebraicos.Empezaremos por encontrar algunos valores aproximados de √ 2, para lo cualconsideraremos la ecuación x 2 = 2. La función continua a tener encuentaserá f(x) = x 2 .Puesto que el valor exacto de esta ecuación es, según el teorema anterior,un número entre 1 y 4, podemos empezar por afirmar que el promedio entreestos dos valores es una 1 a aproximación: x 1 = 1 + 2 = 1,5. Para mejorarla2Universidad de Antioquia

4.7. CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD 263recurrimos nuevamente al teorema de los valores intermedios y para estohagamos el cálculo f(1,5) = 2,25. Esto nos permite ubicar la solución exactar entre 1 y 1.5, ya que 2 es un valor intermedio por estar ubicado entre f(1)y f(1,5).Un segundo promedio entre 1 y 1.5 nos conduce a nuestra 2 a aproximación,es decir, x 2 = 1 + 1,5 = 1,25, no mejor que la primera pero que nos sirve de2base para una 3 a aproximación.Repitamos por última vez el procedimiento anterior empezando por calcularf(1,25) = 1,5625. Este resultado nos permite ubicar el 2 entre f(1,25) yf(1,5) y a la solución exacta r entre 1.25 y 1.5. El promedio entre estos dosnúmeros es una 3 a 1,25 + 1,5aproximación, es decir, x 3 = = 1,375. Esta2aproximación está a menos de 4 centésimas del valor exacto de √ 2.El procedimiento se puede continuar hasta obtener una aproximación tan finacomo se quiera. Recordemos que √ 2 es un número irracional y como tal tieneun número infinito de cifras decimales no periódicas. Este procedimiento eslento pero sencillo. Existen otros algoritmos que permiten resolver ecuacionesen forma más rápida.La técnica para resolver una ecuación de la forma f(x) = w, se basa en lossiguientes pasos tal como se desarrollaron en el apartado anterior:Verificar que f sea una función continua en un intervalo I.Ubicar dos puntos a y b de I tales que w sea un valor intermedio, esdecir,f(a) < w < f(b) o bien, f(b) < w < f(a). La ubicación de ay b se puede efectuar por cálculo numérico, (ensayo y error), o porprocedimiento gráfico. Una vez elegidos los valores de a y b, intervieneel teorema de los valores intermedios cuya conclusión es que entre a yb se encuentra la solución exacta de la ecuación.El promedio x 1 = a + b es una primera aproximación a la solución de2la ecuaciónEl paso siguiente consiste en localizar a w entre dos nuevos puntos quepueden ser f(a) y f(x 1 ) o f(x 1 ) y f(b). Para ello calculamos el valorde f(x 1 ).Universidad de Antioquia

264CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Una vez localizado w, calculamos la nueva aproximación x 2 como elpromedio entre los dos valores que pueden ser, de acuerdo con el pasoanterior, a y x 1 , o bien x 1 y b:x 2 = 2 a aproximación que puede ser a+x 12o bien x 1+b2.Para una 3 a aproximación, se procede de igual manera, aplicando adecuadamenteel teorema para elegir los puntos apropiados.Este procedimiento se puede realizar tantas veces como sea necesarioy permite obtener una aproximación a la solución de la ecuación, tanfina como se quiera.El siguiente ejemplo se refiere a una ecuación polinómica de 5 o grado sobrelos reales. (Desde el matemático francés xxxxx Galois, (1 811 - 1 832), se sabeque las ecuaciones polinómicas de grado superior a 4 no son resolubles pormétodos algebraicos elementales).Ejemplo: Obtener, con un error de centésimas, una aproximación a la soluciónde la ecuación,x 5 + x 2 = 1.Solución:Función continua: f(x) = x 5 + x 2 .Valor intermedio: w = 1:a = 0,5 ❀ f(0, 5) = 0, 28125.b = 1 ❀ f(1) = 2.f(0,5) < w = 1 < f(1).Primera aproximación:x 1 = 0,5 + 1 = 0,75.2f(x 1 ) = 0,79980.f(0,75) < w = 1 < f(1).Universidad de Antioquia32w =•10,28125•••••• • •0 0,5 r 1 2

4.7. CONSECUENCIAS DE LA CONTINUIDAD 265Segunda aproximación:x 2 = 0,75 + 1 = 0,875.2f(x 2 ) = 1,27853.f(0,75) < w = 1 < f(0,875).Tercera aproximación:0,75 + 0,875x 3 = = 0,8125.2f(x 3 ) = 1,01425Esta 3 a aproximación nos lleva al valor 1 con un error menor que 2 centésimas.Nuevo ejemplo:Obtener un valor aproximado de x si,e sen x = x.Bastará resolver la ecuación equivalente,Solución:función continua f:f(x) = senx − ln x.valor intermedio w = 0.a = 2 ❀ f(2) ≈ 0, 21615.b = 2,5 ❀ f(2,5) ≈ −0,31782.f(2,5) < w = 0 < f(2).Primera aproximación:x 1 = 2 + 2,5 = 2,25.2f(x 1 ) ≈ −0,03286.f(2,25) < w = 0 < f(2).sen x − ln x = 0.y = senx − lnx r 1,11π• • •a b0,25πSegunda aproximación:x 2 = 2 + 2,25 = 2,125.2f(x 2 ) ≈ 0,09655.f(2,25) < w = 0 < f(2,125).Tercera aproximación:2,125 + 2,25x 3 = = 2,1875.2f(x 3 ) ≈ 0,03303.Universidad de Antioquia

2664.8. Ejercicios.CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.1. Hallar la ecuación de la recta secante de la curva y = x 3 , que pasa porlos puntos A(−1, −1); B(1, 1) calculando la pendiente como ∆y∆x .2. Hallar, calculando la pendiente como ∆y , la ecuación de las secantes∆xde las siguientes curvas para los puntos dados:√ x + 1y = , x ≥ 0; A(4, 3/5),B(0, 1).x + 1y = 1 , x ≠ 0; A(−1, 1),B(1, 1).|x|y = sen x, A (sen −1 (−1), −1),B (sen −1 (1), 1).3. Trazar libremente la gráfica de una función continua en el intervalo[−2, 2], que pase por el origen y tenga valores extremos en x = −1 yen x = 1.4. Trazar libremente la gráfica de una función par y continua en (−∞, ∞)y que tome un valor máximo absoluto en los puntos P(−1, 2) y Q(2, 2)y un valor mínimo absoluto en el origen de coordenadas.5. Demostrar que la ecuación senx + x = 10 tiene una solución entre losnúmeros 9 y 9.5.6. Hallar 3 aproximaciones sucesivas a una solución de la ecuación x 3 −x − 1 = 0, tomando como valores iniciales a = 1 y b = 1,5)7. Encontrar dos nuevas aproximaciones, x 4 y x 5 , a la solución de laecuación x 5 + x 2 = 1. (Ver página 264).8. Encontrar dos nuevas aproximaciones, x 4 y x 5 , a la solución de laecuación e sen x = x. (Ver página 265).Universidad de Antioquia

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 2674.9. Otros tipos de límites.A. - Límite infinito - Asíntota vertical, (A.V.)Si se hace tender la variable x a 0 por derecha, las imágenes de la funciónf(x) = 1 aumentan sin límite, pues a menor denominador, mayor fracción.xPara describir esta situación se dice, en forma que consideramos paradójica,que el límite de esta función por la derecha de 0 es infinito y se escribe:1lím x→0 +x = ∞.yx > 0A.V. ❀Se debe tener en cuenta que el límite consideradono existe, (no es un número real), yque el símbolo ∞ transmite la idea de que losvalores de la función se hacen tan grandes comose quiera. El comportamiento gráfico dela curva es el de una aproximación progresivaal eje “y”, el cual, por esta razón, recibe elnombre de asíntota vertical, (A.V.) ❀ x=0.Para expresar este tipo de “límites” de unamanera precisa veamos la siguiente definición.Definición 4.9.1. Sea f una función definidaen un intervalo que contiene un punto a.Entonces,lím f(x) = ∞ y la recta x = a es una A.V. de+x→ax > ala gráfica de f sii para todo real M > 0existe δ > 0 tal que para todo real x,0 < x − a < δ =⇒ f(x) > M.Universidad de AntioquiaA.V. ❀M ••y = 1 x , x > 0.• •a ← xxlím x→a + f(x) = ∞x > aExisten otros tres límites de tipo infinito que se definen en forma análoga alx

268CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.que hemos acabado de definir y cuyas notaciones son las siguientes:lím f(x) = ∞ lím f(x) = −∞ lím f(x) = −∞x→a − x→a + x→a− x < a x > a x < aLas siguientes gráficas representan a cada uno de estos límites y sus respectivasasíntotas verticales de la forma x = a .A.V. ❀lím x→a − f(x) = ∞M••aVeamos algunos ejemplos.a•M•lím x→a + f(x) = −∞← A.V.1. - Completar la siguiente equivalencia:lím x→a − f(x) = −∞lím x→a − f(x) = −∞ y la recta x = a es una A.V. ⇐⇒ ...x < aA.V. ❀M•Solución:⇐⇒ ... Para todo M > 0, existe δ > 0 tal que para cualquier x > 0,a − δ < x < a =⇒ f(x) < −M.2. - Expresar el límite que está asociado a la siguiente implicación y expresarla respectiva asíntota.−δ < x < 0 =⇒ ex< −M; M > 0.xRespuesta: lím x→0 −x < 0e xx= −∞; A.V. ❀ x=0 .3. - Investigar, por medio de una tabla de resultados (x,f(x)), el posibleln(x − 1)límite de la función f(x) = si x → 1 + , (x > 1) y dar la ecuaciónx − 1de la posible asíntota.Universidad de Antioquiaa•

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 269Respuesta:Según la siguiente tabla:x = 1 + 10 −2 1 + 10 −3 1 + 10 −4 1 + 10 −9ln(x − 1),≈ −460,5 −6 907 −92 103 −207 × 10 8x − 1ln(x − 1)el posible límite y la posible asíntota son: lím x→1 + = −∞; x=1.x > 1x − 1Debe tenerse en cuenta que la respuesta tiene el caracter de sugerencia. Lacerteza de que sea correcta sólo la da una demostración.( 14. - Demostrar que lím x→0 + = ∞.x)x > 0Demostración:Supongamos dado un real positivo M. Hallemos un δ > 0 tal que paracualquier x > 0, se cumpla la siguiente implicación:0 < x < δ =⇒ 1 xPara hallar δ, consideremos la desigualdad,> M. (∗.)1> M, siendo x > 0.xAl invertir los términos de esta desigualdad, cambia su sentido, es decir,0 < x < 1 M . (Ver teorema 2.5.4, parte 8 a, página 146).De donde δ = 1 . Se propone como ejercicio, confirmar por medio de laMimplicación (∗.) que este δ es apropiado. Sugerencia: Reemplazar δ por 1 Men la implicación con (∗.). ( x)5. - Demostrar que lím x→3 − = −∞.x − 3x < 3Demostración.Fijemos un real positivo M. Debemos hallar un real positivo δ tal que paratodo real x se cumpla la siguiente implicación:3 − δ < x < 3 =⇒ x < −M. (∗.)x − 3Universidad de Antioquia

270CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Para hallar este δ elijamos x < 3 y hagamos algunas modificaciones en ladesigualdad,x< −M. (1.)x − 3( )que nos lleven a una desigualdad de la forma 3 − (cantidad)> 0 < x < 3,y esta cantidad > 0 será el δ requerido.A partir de (1.),Finalmente,x > −(x − 3)M. (Cambio de sentido por ser x − 3 < 0).3M < Mx + x. (Ley distributiva y traslado de términos).3M< x.1 + M(Factorización y traslado de un término positivo.)x − 3 > 3M − 3. (Resta de una misma cantidad.)1 + M−3< x − 3.1 + M(Simplificación.)∴ 3 − 3 < x.1 + M(Sumar 3).Por tanto, con δ = 3 > 0 se puede demostrar la implicación (∗.)1 + MB. - Límite en el infinito - Asíntota horizontal, (A.H.)La posibilidad de que la variable x de una función f(x) pueda recibir valorespositivos “tan grandes como se quiera”, se representa por medio del símbolox → ∞. En el caso opuesto de que los valores de la variable x puedan tomarvalores negativos, tan grandes en valor absoluto como se quiera, se emplea elsimbolismo x → −∞.( 1Un ejemplo es el de la función f(x) = , x > 0, la cual tiende a 0 cuandox)x → ∞, pues como se sabe la fracción se hace menor cuando(el denominador1aumenta. Se acostumbra en casos como éste, afirmar que tiene límite 0x)en el infinito.La notación que utilizaremos es la siguiente:1)lím = 0, (+)x→∞(xUniversidad de Antioquia

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 271Aclaremos que el agregado 0, (+) cumple unpapel similar al simbolismo utilizado en loslímites laterales, (x → a + ), y nos facilita lacomprensión de la interpretación geométrica(del1resultado. En efecto, la curva y = se apro-x)xima en forma asintótica al “eje x”, (ver ❀),manteniéndose por encima de éste, pues 1 x > 0,razón por la cual se dice en este caso que la rectay = 0 es una asíntota horizontal, (abreviado,A.H.), de la gráfica de f.y = 1 xA.H. ր x = 0.Son dos los tipos de límites en el infinito, según que x tienda a ∞ o a −∞,pero según sea la forma de aproximarse la curva a su asíntota horizontal elnúmero de posibilidades se extiende hasta cinco. Definamos de una maneraprecisa una de éstas y en forma análoga se definen las otras cuatro.Definición 4.9.2. Sea f una función cuyo dominio se extiende a lo largode un intervalo de la forma (a, ∞) en cuyo caso tiene sentido la notaciónx → ∞.Entonces, (ver gráfica),yL ••0límx→∞f(x) = L y la recta y=L es unaA.H.de la gráfica de f sii para todo ǫ > 0existe k ∈ R + tal que , para todo x real,x > k =⇒ |f(x) − L| < ǫ.y = f(x)Universidad de Antioquiay•kA.H. ր y = L.≻x≻xlím x→∞ f(x) = LLos otros límites de tipo infinito se ilustran en los siguientes diagramas. Encada diagrama la asíntota horizontal es la misma: y = L.

272lím x→∞ f(x) = L, (+)lím x→∞ g(x) = L, (−)CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.lím x→−∞ h(x) = L, (+)lím x→−∞ t(x) = L, (−)(1.) (2.) (3.) (4.) (5.)Universidad de Antioquialím x→∞ s(x) = LCon algo de prćtica es posible obtener la definición precisa de cada uno deestos límites, a partir de la gráfica respectiva.Para definir la forma de aproximación de la curva a su asíntota es necesariocalcular un punto x a partir del cual se pueda determinar el signo de ladiferencia f(x) − k. Las posibles respuestas son las siguientes:• Si f(x)−L > 0, la curva se aproxima a la asíntota por el semiplano superiorde borde L, (gráficas (1.) y (3.)).• Si f(x) − L < 0, la curva se aproxima a la asíntota por el semiplanoinferiorde borde L, (gráficas (2.) y (4.)).• Es posible que la curva se desplace alternadamente entre los dos semiplanoscortando la asíntota un infinito número de veces como lo ilustra la gráfica(5.). En este caso, f(x) − L no tiene un signo definido entre > 0 y < 0.Ejemplos:1. - Completar la siguiente equivalencia:lím x→−∞ f(x) = 3, (+) y la recta y = 3 es una A.H. ⇐⇒ ...x < aSolución:⇐⇒ ... Para todo ǫ > 0, existe k > 0 tal que para cualquier x < 0,x < −k =⇒ |f(x) − 3| < ǫ.lím x→−∞ h(x) = 3, (+)2. - Si g(x) > −2, expresar el tipo de límite infinito y la respectiva asíntotaasociados a la siguiente implicación:x > k =⇒ |g(x) + 2| < ǫ.• 3

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 273Respuesta: lím x→∞ g(x) = −2, (+); A.H. ❀ y = −2 .3. - Investigar, por medio de una tabla de resultados (x,f(x)), el posiblelímite de la función f(x) = ln(x) si x → ∞, (x > 0) y dar la ecuación de laxposible asíntota.Solución: Según la siguiente tabla:x = 10 2 10 4 10 6 10 9ln(x),≈ 0,5 0, 0009 1,38 × 10 −5 2,07 × 10 −8xln(x)el posible límite y la posible asíntota son: lím x→∞ = 0, (+); y=0.xClaro que la certeza de que este sea límite correcto depende de una demostración.Los cálculos numéricos sólo le dan un caracter de plausible.( 1)4. - Demostrar que lím x→−∞ = 0, (−), A.H. ❀ y = 0.xDemostración.Sea ǫ un valor positivo fijo. Hallemos un real positivo k dependiente de ǫ, talque para todo x ∈ R,x < −k =⇒ ∣ 1 ∣ < ǫ. (∗)xPara ello consideremos la desigualdad ∣ 1 ∣ < ǫ.xAl invertir sus términos se consigue un cambio de sentido en la desigualdad,i.e.,|x| > 1 ǫ .Puesto que x → −∞, x es negativo y por sustitución,−x > 1 ǫ ,(pues |x| = −x.)Al multiplicar por −1 la desigualdad cambia de sentido,x < − 1 ǫUniversidad de Antioquia

274CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Por tanto con k = 1 se consigue que la implicación (∗) sea verdadera, comprobaciónque se deja como ejercicio 4.10.15.ǫ( 1)Todas las funciones , n ∈ Z + tienen límite 0 en ±∞. La manera de lax ncurva aproximarse al eje horizontal depende de la paridad de n (Probar porinducción).x5. - Demostrar que lím x→∞ = 1, (+) y por tanto la recta y = 1 es unax − 3asíntota horizontal.Demostración:Fijemos ǫ > 0 y hallemos k > 0 tal que para todo x ∈ R,x∣ ∣∣x > k =⇒ ∣x − 3 − 1 < ǫ. (∗)Como x → ∞, es suficiente considerar los x > 3.Para hallar un valor apropiado de k, empecemos por modificar la desigualdad,x∣ ∣∣∣x − 3 − 1 < ǫ, con x > 3.Pero antes hagamos una modificación:x∣ ∣ ∣∣ ∣∣∣x − 3 − 1 x − x + 3∣ = ∣. (Reduciendo a un denominador común).x − 3Por tanto,3∣ ∣ < ǫ.x − 3Al invertir los términos y trasladar un 3,(Al simplificar y retomar la desigualdad anterior).|x − 3| > 3 . (Tener en cuenta el cambio de sentido).ǫFinalmente para x > 3,x > 3 ǫ + 3.Concluímos que k = 3 + 3. (Ejercicio: Comprobar el resultado por medio deǫla implicación (∗)). (Ejercicio 4.10.17.)Universidad de Antioquia

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 275C. - Límite infinito en el infinito - Asíntota oblicua, (A.O.)Existen funciones cuyo rango selímextiende hacia ±∞ cuando su dominioigualmente se extiende sinx→−∞ h(x) = ∞límite en uno u otro sentido. Nosreferimos a 4 posibilidades que seexpresan con las siguientes notaciones:• límx→∞f(x) = ∞;• lím f(x) = ∞; •x→−∞• lím f(x) = −∞.x→∞límx→−∞f(x) = −∞.lím x→∞ f(x) = ∞0 xDichos límites se agrupan bajo elnombre de “ límites infinitos en elinfinito”.La gráfica deja ver cuatro curvasque interpretan la geometría delím x→−∞ j(x) = −∞este tipo de límites, (❀)La definición del primero de los límites mencionados antes es como sigue:lím x→∞ g(x) = −∞lím f(x) = ∞ ⇐⇒ para todo M > 0 existe k > 0 para todo real x,x→∞x > k =⇒ f(x) > M.Los demás casos se definen en forma análoga. Se proponen como ejercicio.Una gráfica apropiada sugiere la forma de efectuar la definición.Con este tipo de límites algunas veces se presentan asíntotas oblicuas cuandose cumple una condición adicional que se registra en la siguiente definición.Definición: La recta y = ax +b, con a ≠ 0, es una asíntotay = f(x)oblicua, (A.O.) de la gráfica de fsii el límite de la función f es deտtipo infinito en el infinito yax + b (A.O.)lím x→±∞ [f(x) − (ax + b)] = 0,lo que en palabras corrientessignifica que la distancia entrela curva y su asíntota es muypequeña para los x muy grandesen valor absoluto.b •Universidad de Antioquiay

276CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.En estas notas sólo consideramos asíntotas oblicuas para un caso especial delímite en el infinito de funciones racionales, (ver página 282).Ejemplos.1.- ¿Cuál es el límite asociado a la siguiente implicación:x < −k =⇒ j(x) < −M ?Resp.: lím x→−∞ j(x) = −∞.2.- Expresar la implicación correspondiente a lím x→∞ g(x) = −∞Resp.: x > k =⇒ g(x) < −M3.- El diagrama que sigue sugiere algunos límites y asíntotas de la funcióny = f(x), resultados que se expresan en el mismo diagrama:lím x→−∞ f(x) = ∞lím x→0 − f(x) = ∞y = −1,27x − 5,7 ←֓ A.O. ❀•1lím x→0 + f(x) = 1•0•−2lím x→5 − f(x) = ∞y = f(x)•5Universidad de Antioquiay←֓ x = 0 ❀ A.V.A.H. ❀ y = −2←֓ x = 5 ❀ A.V.lím x→∞ f(x) = −2lím x→5 + f(x) = −∞x

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 277Funciones básicas - límites infinitos - límites en el infinito.La siguiente tabla ofrece un resumen de resultados que extienden los límitesde las funciones básicas, (teorema 4.5.1, página xx), a límites que tienen quever con ±∞. Se debe tener en cuenta el dominio apropiado para cada función.función Límite infinito. (A.V.) Límite en el infinito. (A.H.)x → a + x → a − x → ∞ x → −∞x > a. x < a.y = k, (∗ 1 ) k. k.y = bx + c ∞, si b > 0. − ∞, si b < 0.y = x n ∞. ∞, si n par.−∞, si n impar.y = 1 ∞, si x → 0 + − ∞, si x → 0 − 0, (+) 0, (−)xx > 0. x < 0.y = 1x n ,n ∈ Z+ ∞, si x → 0 + − ∞, si x → 0 − 0, (+). 0, (−), si n impar.x > 0. n impar, x < 0. 0, (+), si n par.y = √ x,x > 0.∞, si x → 0 −n par, x < 0y = n√ x,n ∈ Z + ∞. ∞, si n par.x > 0 si n impar.−∞, si n impar.y = [x], (∗ 2 ) ∞ − ∞y = senx, (∗ 3 ) no existe. no existe.y = cos x no existe. no existe.y = tanx ∞ − ∞ no existe. no existe.si x → (π/2) + si x → (π/2) −y = csc x ∞ − ∞ no existe. no existe.si x → (0) + si x → (0) −y = csc x ∞ − ∞ no existe. no existe.si x → (π) − si x → (π) +y = sec x ∞ − ∞ no existe. no existe.si x → (π/2) − si x → (π/2) +y = sec x ∞ − ∞ no existe. no existe.si x → (π/2) + si x → (π/2) −y = b x ,b > 1. ∞ 0, (+)y = b x , 0, (+) ∞0 < b < 1.∞Universidad de Antioquia

278CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.función Límite infinito. (A.V.) Límite en el infinito. (A.H.)x → a + x → a − x → ∞ x → −∞x > a. x < a.y = log b (x),b > 1 − ∞ ∞si x → 0 +y = log b (x),(∗ 4 ) ∞ − ∞0 < b < 1 si x → 0 +Cada una de las líneas de esta tabla está sustentada en un teorema quejustifica la ausencia o existencia de asíntotas de la respectiva gráfica. Porejemplo, los teoremas que sustentan los resultados de las funciones que tienenun (∗) son los siguientes:(∗ 1 ) lím x→∞ k = k (El límite en el infinito de una constante, es la misma constante.)(∗ 2 ) lím x→−∞ [x] = −∞ (El límite en “menos” infinito de la función [x], es −∞.)(∗ 3 ) lím x→∞ sen x, no existe. (Pero tampoco es ±∞.)(∗ 4 ) lím x→0 + log b (x) 0

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 279En lo que sigue, k es una constante. k(∞) = (∞), si k > 0. k(−∞) = (∞), si k < 0.{k0, (+) = ∞, si k > 0,−∞, si k < 0.{k∞ = 0, (+), si k > 0,0, (−), si k < 0. k(−∞) = (−∞), si k > 0. k(∞) = (−∞), si k < 0.{k0, (−) = ∞, si k < 0,−∞, si k > 0.{k−∞ = 0, (+), si k < 0,0, (−), si k > 0.Se insiste en que cada uno de estos resultados es una forma “compacta” deexpresar un teorema que se puede transferir a términos de implicación paraprecisar su significado o efectuar su demostración.kPor ejemplo, la implicación que corresponde al resultado = −∞ si0, (−)k > 0, es la siguiente:k[k > 0 y lím f(x) = 0, (−)] =⇒ límx→a x→a f(x) = −∞.Veamos algunas aplicaciones de estos resultados.• lím x→∞ (x 2√ √x) = (lím x→∞ x 2 )(lím x→∞ x) = (∞)(∞) = (∞).1• lím x→0 +ln x = 1 = 0, (−); A.V. ❀ x = 0.−∞−1• lím x→−∞e = −1x 0, (+) = −∞.Teorema 4.9.1. (Límite en el infinito de funciones polinómicas).Sea f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ...a 1 x + a 0 una función polinómica con coeficientesen R. Se tienen los siguientes resultados: límx→∞(a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0 ) = límx→∞a n x n ={∞, si a n > 0,−∞, si a n < 0.Universidad de Antioquia

280CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.⎧∞, si a n > 0,n par,⎪⎨ lím a nx n +a n−1 x n−1 +...a 1 x+a 0 = lím a nx n −∞, si a n > 0,n impar,=x→−∞ x→−∞ −∞, si a n < 0,n par,⎪⎩∞, si a n < 0,n impar.Demostremos la 1 a parte del teorema, es decir,lím (a nx n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0 ) = lím a n x nx→∞ x→∞Demostración:Si factorizamos el término x n obtenemos la siguiente expresión:lím x→∞ (a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0 )= límx→∞[( ( 1) ( 1) ( 1(x n ) a n + a n−1 + ... + a 1 + ax x n−1 0))].x nSi aplicamos el teorema para el límite de un producto, entonces,[ ][ ( ( 1) ( 1) ( 1= límx→∞ (xn ) lím a n + a n−1 + ... + a 1 + ax→∞ x x n−1 0))].x nFinalmente ( ) tengamos presente el teorema para el límite de una suma y que1lím x→∞ = 0, luego,x n[ ][ ( ) ( ) ( ))]= límx→∞ (xn ) lím(a n + a n−1 0 + ... + a 1 0 + a 0 0 .x→∞Es decir,lím x→∞ (a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0 ) = (lím x→∞ x n )(lím x→∞ a n )= lím x→∞ (a n x n ).La 1 a parte del teorema queda demostrada. Esta demostración es la mismasi x → −∞.Veamos la prueba en uno de los casos de la 2 a parte:lím x→∞ (a n x n ) = ∞ si a n > 0 y n ∈ Z + .Universidad de Antioquia

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 281Sea M un real positivo, hallemos un real positivo k tal que para todo real xse cumpla la implicación,x > k =⇒ a n x n > MComo en anteriores ocasiones, comencemos con la desigualdad,Luego, (siendo a n > 0),Y por tanto,a n x n > M.x n > M a n.x >√Ma n.Finalmente, hemos encontrado que un valor apropiado para k es√ Ma n.La comprobación queda como ejercicio. (Basta demostrar la implicación,x >√ Ma n=⇒ a n x n > M). (Ejercicio 4.10.16).El siguiente resultado es consecuencia del teorema anterior y se refiere allímite en el infinito de funciones racionales. Se cumple tanto si x → ∞ comosi x → −∞. Aquí enunciamos el primer caso. El otro caso es similar y sólocambia en cuanto al manejo de los signos ±.Corolario 4.9.2. (Límite en el infinito de funciones racionales).Ejemplos:( an x n + a n−1 x n−1 + ...a 1 x + a) (0 an x n )• lím= lím .x→∞ b m x m + bm − 1x m−1 + ...b 1 x + b 0 x→∞ b m x m⎧∞, si n > m y a n b m > 0,( an x n ) ⎪⎨ a n, si n = m,• lím = b m .x→∞ b m x m −∞, si n > m y a n b m < 0,⎪⎩0, si m > n.Universidad de Antioquia

282Nota:CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.( 7x 3 − x + 1) ( 7x3)7• lím= lím = límx→∞ x 5 − 1 x→∞ x 5 x→∞ x = 7 2 ∞ = 0.(x 5 − 1) ( x5 )• lím= lím = límx→−∞ 7x 3 − x + 1 x→−∞ 7x 3( 7x 3 − x + 1) ( 7x3 )• lím= límx→∞ −5x 3 − 1 x→∞ −5x 3x→−∞x 27 = ∞ 7 = ∞.= límx→∞− 7 5 = −75 .Asíntota Oblicua, (A.O.).En el caso en que el grado del polinomio del numerador exceda en 1 al gradodel polinomio del denominador, (es decir, n = m+1), se presenta una asíntotaoblicua en la gráfica de la función racional. No es este el único caso en que sepresentan este tipo de asíntotas pero es el único que consideramos en estasnotas.Ejemplos:1. − • límx→∞(x 5 − 1) ( x5 )x= lím = lím2x 4 − x + 1 x→∞ 2x 4 x→∞ 2 = ∞ 2 = ∞.Asíntota oblicua ❀ y = 1 (x). Esta asíntota se consigue efectuando la división2x 5 − 1( 1)indicada por la función racional:2x 4 − x + 1 = 2 x + x2 − x − 24x 4 − 2x + 2 .Note que el segundo término del miembro derecho es una función racionalque se hace 0, (+) cuando x toma valores positivos grandes,[ ( x 2 − x − 2) ]lím= 0, (+) .x→∞ 4x 4 − 2x + 2Esto explica el porqué la curva y la recta tienden a coincidir a medida que xse desplaza hacia la derecha.Situación similar ocurre cuando x → −∞. Ver el siguiente diagrama.Universidad de Antioquia

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 283Asíntota oblicua y = 1 2 xf(x) = x5 − 12x 4 − x + 1Formas indeterminadas, (F.I.).En algunas operaciones con límites de funciones se presentan situaciones queno se ajustan a teoremas y requieren un tratamiento específico para cadacaso. Estas situaciones ocurren con límites “cero” y límites infinitos. Se lesda el nombre de formas indeterminadas, (F.I.) .Son exac tamente 8 y lasreconocemos por la forma que toman al efectuar sustitución inmediata de lavariable x. Son las siguientes:De tipo algebraico: 0 0 ; (± ∞); (∞) −(∞); (−∞) −(−∞); (0)(± ∞).(± ∞)De tipo exponencial: 1 ∞ ; 0 0 ; (∞) 0 .Aclaremos con un ejemplo, como se deben entender estas expresiones compactas.f(x)Si lím x→∞ f(x) = 0 y lím x→∞ g(x) = 0, entonces lím x→∞ presenta lag(x)forma indeterminada 0 0 .En estas notas sólo nos ocuparemos de las de tipo algebraico. Ya hemosconsiderado la más importante, a saber 0 , (página 253).0Universidad de Antioquia

284CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Veamos algunos ejemplos:• Cuando x → ∞ la función y = x−(|x|−1), presenta la F.I. (∞)−(∞) quese consigue reemplazando a x y a (|x| −1) por ∞. No se puede dar respuesta0 a esta resta pues sería cometer el error de darle al símbolo ∞ tratamientode número real. Para “remover” la indeterminación hacemos x = |x|, puesx > 0. El resultado es el siguiente:lím [x − (|x| − 1)] = lím [x − (x − 1)] = lím (1) = 1. A.H. ❀ y = 1.x→∞x→∞x→∞• En cambio, lím x→−∞ [x − (|x| − 1) presenta la forma (−∞) − (∞) que noestá entre los esquemas de formas indeterminadas. La solución, (teniendo encuenta que |x| = −x), es la siguiente:límx→−∞[x − (|x| − 1)] = límx→−∞[x − (−x − 1)] = límx→−∞(2x + 1) = −∞.• Por sustitución directa se puede verificar que, cuando x → 0, la funcióny = (senx) x presenta la forma indeterminada 0 0 , que no vamos a consideraren estas notas.• Cuando x tiende a ±∞, las funciones racionales presentan la forma indeterminada. El corolario 4.9.2., (página 281), da respuesta inmediata(± ∞)(± ∞)a este tipo de límites. Por ejemplo,3x 2 + 1lím2x 2 − x − 5 = lím 3x 2x→∞ 2x = 3 2 2x→∞• En los siguientes ejemplos se dan algunas situaciones de formas indeterminadas,el tipo de indeterminación que se presenta, la respuesta al límitepropuesto y el procedimiento utilizado para “remover” la indeterminación.Función. x → a F.I. Límite.√ x − 11. y =x → 1 + 0∞.x − 12. y = √ 3x 2 + 8x − 6 − √ 3x 2 + 3x x → ∞ (∞) − (∞)Universidad de Antioquia052 √ 3 .3. y = (x − π 2 ) tan x x → (π 2 )+ 0 (−∞) − 1x > π 24. y = sen xx → 0 + 0x 2 0∞.

4.9. OTROS TIPOS DE LÍMITES. 285Procedimientos:Función 1.Se remueve la indeterminación racionalizando el numerador:√ x − 1límx→1 + x − 1 = lím ( √ x − 1)x→1 + ( √ x − 1)( √ x − 1) = lím1x→1 +x > 1 x > 1 x > 1√ = 1x − 1 0 = ∞. +Función 2.Se remueve la indeterminación empleando una racionalización:lím x→∞√3x2 + 8x − 6 − √ 3x 2 + 3x =límx→∞(( √ 3x 2 + 8x − 6 − √ 3x 2 + 3x)( √ 3x 2 + 8x − 6 + √ )3x 2 + 3x)( √ 3x 2 + 8x − 6 + √ .3x 2 + 3x)Producto de la forma (A + B)(A − B) = A 2 − B 2 .()(3x 2 + 8x − 6) − (3x 2 + 3x)= límx→∞ ( √ 3x 2 + 8x − 6 + √ .3x 2 + 3x)Luego de simplificar,= límx→∞(5x − 6( √ 3x 2 + 8x − 6 + √ 3x 2 + 3x)Siendo x > 0, se tiene la identidad √ x 2 = x. Al dividir numerador por x ydenominador por √ x 2 se obtiene,= límx→∞(5 − 6 x √3 + 8 x − 6 √x + 23 + 3 xTeniendo en cuenta el resultado k ∞= límx→∞(5 − 6 ∞√3 + 8 ∞ − 6 √∞ +)3 + 3 ∞.).= 0, se llega finalmente a,)= 52 √ 3 .Universidad de Antioquia

286CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.Función 3.Empezamos haciendo el siguiente cambio de variable: θ = x − π 2 > 0.∴ x = θ + π 2 . Entonces,x→(( lím π) +(x − π )2 ). tanx = límθ→0 +[θ. tan(θ + π 2 ) ].2Por sustitución trigonométrica,= límθ→0 + [( π sen(θ +θ. 2 ) ) ]cos(θ + π 2 ) .Considerando dos conocidas identidades,[ ( ) ]cos θ= lím θ. .θ→0 + − sen θHaciendo algunos ajustes de tipo algebraico,[( ) ]−θ= lím . cos θ .θ→0 + sen θPor teorema y conocidos resultados,[== −1.− límθ→0 + ()] [ ]θ. límsen θ θ→0 +(cos θ) = (−1)(1)Función 4.Se remueve la indeterminación expresando la función como un producto:sen x( sen x)( 1= y utilizando el teorema para el producto de límites. Elx 2 x x)resultado es el siguiente:( sen x) [ ( sen x)][ ( 1)]lím = lím lím = (1)(∞).x→0 + x 2 x→0 + x x→0 + xx > 0Universidad de Antioquia

4.10. EJERCICIOS 2874.10. Ejercicios1. Asociar a cada uno de los siguientes límites la implicación que le correspondeen términos de reales positivos δ, k, ǫ y M:• lím x→−∞ f(x) = L. • lím x→∞ f(x) = −∞. • lím x→a f(x) = ∞.3x 2• lím x→a − f(x) = −∞. • lím x→−∞x − 1 = −3. • lím 3x 2x→1 − x − 1 =3x 2−∞. • lím x→1 +x − 1 = ∞. • lím sen θ2 xθ→∞ = 0. • lím x→−∞θx =2 x0. • lím x→∞x = ∞.Sugerencia. Bosqueje una gráfica para cada situación y apóyese en ella para expresarla implicación.2. Escribir sólo la implicación asociada a cada uno de los siguientes límites:• lím x→0√ x+9−3x= 1 6 . Resp.: 0 < |x| < δ =⇒ ∣ ∣ √ x+9−3x− 1 6∣ < ǫ.x• lím 3 −1x→1 = 3.x 5 −1 5e3−2x• lím x→−∞ = −2.• lím x −1−xx→0 = 1/2.x 2x+4 • lím x→−∞ ( √ x 2 + 1 + x) = 0.sen θ• lím θ→∞ = 0.θ3• lím x −2 xx→0 = ln 3 • lím 1x→0 − = −1. [x]x2 . • lím x→∞ x 3 = ∞.3. Expresar el límite y la asíntota, (si existe), que correspondan a cadauna de las siguientes implicaciones:Sugerencia: Trace un dibujo para cada situación. (Nota: Los cuantificadores están implícitos.)• x < −k =⇒ | 1 x | < ǫ.• 0 < x < δ =⇒ ln x < −M.• − 1 − δ < x < −1 =⇒ 1 < −M.x+1• x > k =⇒ √ x + 5 > M.• 0 < |x − 1| < δ =⇒ | 1−x|< ǫ. x• − δ < x < 0 =⇒ | 1−x|< −M.xk•1Resp.: lím x→−∞ x= 0,(−) A.H. : y = 0.• x > k =⇒ | 1−x + 1| < ǫ.x• x < −k =⇒ 1−x2 < −M.x• x > k =⇒ [x] > M.• 1 < x < 1+δ =⇒ | 1 −1| < ǫ.[x]• − δ < x < 0 =⇒ | 1 + 1| < ǫ.4. Hallar el valor de δ o k en cada una de las siguientes implicaciones:• 3 − δ < x < 3 =⇒2x < −100. (❀ δ)x − 3Universidad de Antioquia[x]

288• x < −k =⇒ |e x | < 0,001. (❀ k)CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.• x > k =⇒ √ x 2 − 1 − 1 > 100. (❀ k)• x > k =⇒ ∣ x2 − 1∣ ∣∣ −3.6. Trazar libremente, en cada uno de los casos propuestos, una gráfica defunción continua que cumpla las condiciones sugeridas:• Con 2 A/s. H/s.• Con las siguientes asíntotas: x = −2; x = 3; y = 0; y =−2; y = 3.• Con 1 A. H.,1 A. V. y como A. Oblicua la recta y = x − 1.Universidad de Antioquia

4.10. EJERCICIOS 289• Una curva que pase por el origen, con dominio de −2 a 3, y que tengaasíntotas verticales por x = −2 y x = 3. Además, que f(−1) = −1 yf(1) = 1 y que el límite lateral en −2 sea ∞ y el límite lateral en 3,sea −∞.7. Verificar por medio de diagramas que no existe una función continuacuya gráfica tenga 2 A/s. H/s. y una A.O. Justificar utilizando unargumento de reducción al absurdo.8. Demostrar que la función continua y = x2 +1es impar. Dar la ecuaciónxde sus asíntotas.9. Encontrar todas las asíntotas de la curva y = 3x3 − 2x 2 − x + 2.2x 2 + x − 310. Utilizar propiedades para calcular los límites propuestos. Escribir lasFormas Indeterminadas y las ecuaciones de las asíntotas que se presenten:• lím x→∞(x + 12x). Respuesta: F.I.∞. Límite 1/2. A.H. : y = 1/2.( √ x − 1)( )• lím x→∞ 1x − 1• lím x→−∞ ( √ (1)• lím x→0 +|x| − 1 x−x)( )x − |x|( −3x 100 + 2)1• lím x→0 −• lím x→∞ |x| − 1 x( x 3 − 5x ) + 1 ( √3x21 • lím x→∞ + 8x − 6 − √ )3x 2 + 3x• lím x→0 +(|x| − 1 √3x2(x) • lím x→−∞ + 8x − 6 − √ )3x 2 + 3x1( 2 − x)• lím x→0 −• lím|x| − 1 x→−1 +(x)( x + 12x )1• lím x→3 −• lím x→0 +( x − 31 + e 1 xx + 3)( ) • lím x→−∞ √1(x2 + 3)• lím x→0 −√1 + e 1 x( ( ) ) • lím x→−∞ (2x2 − x − 2) − x.√−x 1( 3ex )• lím x→0 −• lím x→∞ .x − |x|e x + 3∞Universidad de Antioquia

290CAPÍTULO 4. LÍMITES - CONTINUIDAD.11. Encontrar asíntotas horizontales y verticales de la función,√3x2 + 2f(x) =2x − 312. Encontrar una asíntota horizontal de la función,g(x) =2x 3 + 300x 2−3x 3 − 400x 2 + 200x − 73513. Demostrar que las funciones polinómicas, a n x n +a n−1 x n−1 +...+a 1 x+a 0 ,tienen límite ±∞ en −∞ y que el signo ± depende del signo de a n yde la paridad del exponente n.14. Emplear las definiciónes apropiadas para demostrar los siguientes teoremas:• Si f(x) → ∞ y g(x) → ∞ cuando x → ∞, entonceslím x→∞ (f(x) + g(x)) = ∞.• Si f(x) → −∞ y g(x) → ∞ cuando x → ∞, entonceslím x→∞ (f(x)g(x)) = −∞.• Si f(x) → ∞ y g(x) → ∞ cuando x → a + , entonceslím x→a +(f(x) + g(x)) = ∞.• Si f(x) → ∞ y g(x) → −∞ cuando x → a + , entonceslím x→a +(f(x)g(x)) = −∞.15. Demostrar la siguiente implicación, relacionada con el límite de 1 x en−∞:(ǫ > 0 y x < 1 ǫ ) =⇒ | 1 x | < ǫ.16. Demostrar las siguientes implicaciones, relacionadas con límites de algunasfunciones si M,k,a n y ǫ son cantidades positivas. Expresar ademásdichos límites:•0 < x < 1 ǫ=⇒ 1 x < ǫ.•3 − 3 < x < 3 =⇒ x < −M.1+M x−3•x < − 1 =⇒ | 1| < ǫ.ǫ x•x < − √ M =⇒ x 2 > M.•x >√ Ma n=⇒ a n x n > M.Universidad de Antioquia

4.10. EJERCICIOS 29117. Si x > 3 y ǫ > 0 demostrar la siguiente implicación:(x > 3 ǫ + 3) =⇒ ∣ ∣∣ xx−3 − 1 ∣ ∣∣< ǫ.18. Demostrar:i.) lím x→∞( a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0b m x m + b m−1 x m−1 + ... + b 1 x + b 0)= límx→∞( a n x nb m x m ).Sugerencia: Considere el teorema 4.9.1. y límite de un cociente.∞, si n > m y a n b m > 0,⎧⎪( a n x n ) ⎨ a n, si n = m,ii.) lím x→∞ = b mb m x m −∞, si n > m y a⎪ n b m < 0,⎩0, si m > n.Sugerencia: Divida por la mayor potencia en todos los casos.Enunciar el anterior resultado (ii.) pero cuando x → −∞.Universidad de Antioquia

Capítulo 5La función derivada. - Reglasde derivación.El concepto de derivada es la base matemática de una enorme cantidadde temas y de soluciones de problemas del campo científico e investigativo,dígase en física, química, biología, ingenierías, economía, la mismamatemática, etc. Aquí introduciremos el concepto de derivada por mediode dos problemas clásicos a saber, el problema de definir la recta tangentea una curva y el problema de definir de un modo preciso el concepto develocidad instantánea.5.1. Dos problemas resueltos con límites.A) - El problema de definir la recta tangente a una curva.En lo que sigue estaremos describiendo el problema de la tangente, en términosgráficos.Sea f una función continua en un intervalo y P(a,f(a)) un punto fijo de lacurva determinada por f.Universidad de Antioquia292

5.1. DOS PROBLEMAS RESUELTOS CON LÍMITES. 293Por el momento podemos llamar recta tangenteen P, de la curva f, a la recta queocupa la posición límite del conjunto de lassecantes PQ de la gráfica, cuando el puntoQ “resbala” sobre la curva, acercándose alpunto P, (ver gráfica (1.)). ❀El problema de definir analíticamente larecta tangente por P tendrá una soluciónapropiada cuando se pueda expresar laecuación de dicha recta . Por el momentopodemos adelantar que dicha ecuación sepuede expresar en la forma punto - pendientecomo:y − f(a) = m(x − a).El problema tendrá solución completa cuandose consiga una expresión apro piada parala pendiente m.Hallar una expresión para m requiere deun proceso de límite, que podemos describirapoyados en la gráfica (2.). ❀Supongamos que el punto Q se desliza sobrela curva acercándose al punto fijo P. Esteproceso de aproximación lo re presentamospor Q → P.En tanto esto ocurre, otros dos procesos deaproximación también están ocurriendo, (vergráfica (2.)):1. Las sucesivas secantes PQ tienden a coincidircon la tangente t.Este acercamiento lo representamos comoP(a, f(a)) •տUniversidad de AntioquiaO•afQ•••recta tangente t.(secantes) PQ → (recta tangente t) P .•Oa(2.)2. Recordemos que la pendiente m de la secante, (ver página 258), se calculapor medio del cociente de incrementos,m sec. = ∆y∆x . (1.)P•(1.)∆xfQտrecta tangente t.••∆y•

294CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Observando la gráfica (2.) podemos percibir que cuando Q → P, la longituddel cateto ∆x tiende a 0 , (∆x → 0).Admitiendo lo anterior, podemos definir la pendiente de la tangente t como,O equivalentemente, según (1.)m = lím (m sec. ) QP .Q→Pm tan = lím∆x→0∆y∆x .En resolución, la gráfica de f tendrá recta tangente pasando por P si existe,Observaciones.lím∆x→0∆y∆x (3.).1 a . Como acabamos de expresarlo, para que exista recta tangente en unpunto de la curva, es condición suficiente que exista el límite (3.).Esta condición,sin embargo, no es necesaria al menos en un caso, a saber, cuandolím∆x→0∆y= ±∞ (4.).∆xEn este caso, existe la recta tangente y es una línea vertical que pasa por P,cuya ecuación es x = a.2 a . Recordemos, (página 255), que ∆x = x − a y ∆y = f(x) − f(a) y portanto, la fórmula (3.) toma la forma,f(x) − f(a)lím . (5.)x→a x − aOtra presentación de dicho límite se consigue si hacemos x = a + ∆x. Entoncesal remplazar la x en (5.) se obtiene,lím∆x→0f(a + ∆x) − f(a). (6.)∆x3 a . El límite (3.) no sólo resuelve el problema de la tangente. Es el modelomatemático para resolver un sin número de problemas en diferentes camposUniversidad de Antioquia

5.1. DOS PROBLEMAS RESUELTOS CON LÍMITES. 295de la ciencia. Desprovisto de toda alusión a sus aplicaciones, este límite esel que se define como la derivada de una función en algún número a de sudominio.Ejemplo:Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = x 3 ,que pasa por el punto P(1,1). Dar la ecuación de la tangente.Solución:f(x) − f(1)m tan = límx→1 (x − 1)x 3 − 1= límx→1 (x − 1)(x − 1)(x 2 + x + 1)= límx→1 (x − 1)= lím(x 2 + x + 1) = 3.x→1Ecuación de la recta tangente que pasa por P:Equivalentemente,y = 3(x − 1) + 1.y = 3x − 2.y = x 3 ❀El problema de definir velocidad instantánea.•P❀ y = 3x − 2(recta tangente)En lo que sigue, tomaremos como situación idealizada, el movimiento de unapartícula, (un punto), que se desplaza a lo largo del eje “x”. Este tipo demovimiento se denomina “movimiento rectilíneo” (M.R.)El cociente o razón a la cual cambia la posición de la partícula con respectoal tiempo, se denomina “velocidad media” y se representa como − v.Denotemos como ∆x el cambio de posición o espacio recorrido entre dospuntos A y B y como ∆t, el tiempo invertido en recorrer dicho espacio.Entonces,−v =∆x. (1.) ∆t|AB• ∆t • •|t• 0•t 1∆xUniversidad de Antioquia

296CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.El intervalo de tiempo se toma siempre positivo. En cambio, el desplazamiento,∆x, puede ser positivo, (desplazamiento a derecha, equivalentemente,−v > 0), o negativo, (desplazamiento a izquierda, equivalentemente,−v < 0).Por ejemplo si un móvil recorre 100m, (∆x = 100), en 10s, (∆t = 10),entonces su velocidad media es − v = 100m = 10m/s, (10 metros por segundo,10sdesplazamiento a derecha).Supongamos ahora que la posición de la partícula en todo momento está dadacomo una función del tiempo “t” digamos,x = f(t)❀ posición en el instante“t”.Para un intervalo ∆t = t 1 − t 0 , el espacio recorrido es ∆x = (f(t 1 ) − f(t 0 ))lo cual convierte a (1.) en− f(t 1 ) − f(t 0 )v = . (2.)t 1 − t 0Si queremos una expresión que nos de la velocidad, no en un espacio entredos posiciones A y B, (donde |∆x| sería ≠ 0), sino en un punto específicoA, entonces estaríamos considerando lo que se denomina “velocidadins tantánea” en A, que vamos a denotar simplemente como v.Una expresión apropiada para v, queda determinada por un procedimientode límite. Para “ver” esto, un análisis sencillo, de tipo intuitivo, nos lleva aconsiderar que la velocidad en un punto A y la velocidad media entre A y otropunto B que se encuentre muy cerca de A, son cantidades que podemos hacerque difieran en una cantidad tan pequeña como se quiera. Esta consideraciónnos lleva a concluir que la velocidad en A la podemos definir como el límitede las “velocidades medias” cuando B se aproxima a A, es decir,−v = lím v. (3.)B→AAhora bien, es claro que cuando B → A es porque ∆t → 0, y por tanto laexpresión (3.) toma la forma equivalente,v = lím∆t→0−v. (4.)Si sustituímos en (4.) a − v por la expresión (1.) que la define, se tiene:v = lím∆t→0∆x∆t . (5.)Universidad de Antioquia

5.1. DOS PROBLEMAS RESUELTOS CON LÍMITES. 297Equivalentemente, al reemplazar (2.) en (4.),f(t 1 ) − f(t 0 )v = lím , (6.)t 1 →t 0 t 1 − t 0lo cual es una forma práctica de definir la velocidad en un punto, o comotambién se le llama: velocidad instantánea.Por ejemplo, supongamos una partícula que se mueve en línea recta, tal quex = t 3 ,(x posición, (en centímetros), en todo momento t, (en segundos)).Queremos calcular la velocidad media entre los instantes t 0 = 0,99 s y t 1 = 1s. Y también la velocidad instantánea en t = 1 s.Solución:Según las relaciones (1.) y (2.)i.) − v = ∆x∆t = f(t 1) − f(t 0 )t 1 − t 0= 1 − 0,97031 − 0,99 = 2,97cm/s.Según las relaciones (5.) y (6.)∆xii.) v = lím ∆t→0∆tf(t) − f(1) t 3 − 1= lím t→1 = lím t→1t − 1 t − 1 = lím t→1(t 2 + t + 1) = 3cm/s.Nótese la “pequeña” diferencia entre ambas velocidades debida a que el incrementode tiempo, ∆t, es apenas de 1/100 de segundo.Más interesante resulta la observación de que el problema de la recta tangentey el problema de la velocidad instantánea responden a la misma estructurade límite de un cociente de la forma ∆f(x) . Este tipo de límites es el que da∆xlugar a la definición de derivada.En la definición que viene a continuación, utilizaremos la letra h en sustitucióndel término ∆x.Universidad de Antioquia

298CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.5.2. La derivada - Reglas de derivación.Definición 5.2.1. Sea funa función definida en algún intervalo y a un puntode dicho intervalo.Entonces,f(a + h) − f(a)f es diferenciable, (o derivable), en a sii existe lím h→0 .hEn caso contrario, decimos que f no es diferenciable, o no es derivable, o notiene derivada en a.Se llama función derivada de la función f a la función definida por,f ′ f(x + h) − f(x)(x) = lím, x ∈ Dom(f),h→0 hsiempre y cuando dicho límite exista.Otras presentaciones de la derivada.1.) Teniendo en cuenta que h representa el incremento en la variable independiente,(h = ∆x), podemos escribir x = a + h en cuyo caso la derivadaen a toma la presentación,f ′ f(x) − f(a)(a) = lím . (∗)x→a x − a2.) Una presentación más compacta es la siguiente:f ′ (a) = límOtras notaciones de la derivada.∆x→0∆f(x)∆x .1.) En concordancia con la notación usual de funciones, y = f(x), se utilizapara la función derivada la notación,y ′ = f ′ (x), x ∈ Dom(f).2.) Notación de Leibnitz En concordancia con la notación compacta,f ′ (x) = lím∆x→0∆f(x)∆x , x ∈ Dom(f).Universidad de Antioquia

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 299se emplean las notaciones,df(x)dx , dydxpara la derivada en el punto x, notación que introdujo el matemático alemánGotlob Leibnizt (1 646 - 1 716), uno de los creadores del cálculo. (La notaciónde Leibnizt no se debe tomar como una fracción. Los términos aisladosdy,dx,df(x) no tienen sentido, al menos por ahora.)3.) También es de importante uso, especialmente en Álgebra lineal, la notaciónD x (f(x)).Es bueno acostumbrarse al manejo de estas distintas notaciones.Observación: La derivada es, por definición, un límite de la F.I. 0 0 . Paraverificarla, basta hacer la sustitución x = a en la presentación (∗), (página298).Ejemplos.Expresar las derivadas de las siguientes funciones en términos de límites:• y = e x ; Respuesta y ′ e w − e x= lím w→xw − x .• y = sen x 2 ; Respuesta dydx = lím sen (x + ∆x) 2 − sen x 2∆x→0.∆x• ¿De cuál función es su derivada, y ′ (ln(cos(x + h)) − ln(cos x))= lím h→0 ?hRespuesta: y = ln (cosx).Derivadas laterales en un punto a.• f +(a) ′ f(x) − f(a)= lím w→a + , cuando existe, se llama “derivada de fw > a w − apor la derecha de a”.• f −(a) ′ f(x) − f(a)= lím w→a − , cuando existe, se llama “derivada de fw < a w − apor la izquierda de a”.Es claro que f ′ (a) existe si y sólo si f ′ +(a) = f ′ −(a), (Teorema de los límiteslaterales).Universidad de Antioquia

300CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Derivabilidad en intervalos.Una función es derivable en un intervalo abierto o cerrado si es derivableen todos los puntos del intervalo, considerando derivadas laterales en losextremos, cuando el intervalo sea cerrado.Se dice simplemente que la función es derivable, (o diferenciable) si tienederivada en todos los puntos de su dominio.Como el lector lo habrá ya notado, los dos problemas con los cuales se introdujoel concepto de derivada, tienen solución precisamente por medio de unprocedimiento que conduce a la derivada.Las siguientes definiciones se refieren a dicho procedimiento.Definición 5.2.2. La gráfica de una función f tiene recta tangente por elpunto P(a,f(a)) sii f es diferenciable en a, o si lím ∆x→0∆f∆x = ±∞.En el 1 er caso, la pendiente de la tangente por el punto P está dada porm = f ′ (a).Y en el 2 do caso, la tangente por P es la recta vertical x = a.Definición 5.2.3. Si la posición de una partícula en movimiento rectilíneo,está dada por una expresión de la forma,x = f(t)donde f es una función, t representa tiempo y x representa la posición enel instante t, entonces se define la velocidad instantánea, por medio de lafunción,v(t) = dxdt .Notas:1.Si v(t) > 0 en algun trayecto esto nos indica que el desplazamiento, en dichotrayecto, es hacia la derecha, (sentido positivo) y esto porque según teorema4.3.2., ∆x > 0 y por tanto ∆x > 0. Pero si v(t) < 0 entonces, por un análisis∆tsimilar al anterior, el desplazamiento es hacia la izquierda, (sentido negativo).Universidad de Antioquia

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 3012.La rapidez instantánea o velocidad desprovista de dirección, se define como|v|.Ejemplos:1. Calcular la derivada de la función f(x) = x 3 , en a=1Solución:f ′ f(1 + h) − f(1)(1) = límh→0 h(h + 1) 3 − 1= límh→0 hh 3 + 3h 2 + 3h= límh→0 hh(h 2 + 3h + 3)= límh→0 h= lím(h 2 + 3h + 3) = 3h→02. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = √ x + 1, x >−1, que pasa por P(1, √ 2).Solución: La ecuación de la tangente por P(1, √ 2) será de la formay − √ 2 = m(x − 1), así que el problema quedará resuelto cuando secalcule el valor de m.Según la definición 5.2.2.,m = f ′ (x = 1).Hallemos primero la función f ′ y después la evaluamos en x = 1.f ′ f(x + h) − f(x)(x) = lím.h→0 h√ √ (x + h) + 1 − x + 1= lím.h→0 hUniversidad de Antioquia

302CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Racionalizando con el factor : ( √ (x + h) + 1+ √ x + 1) y simplificando:f ′ (x) = límDespués de cancelar h,h→0hh( √ (x + h) + 1 + √ x + 1) .= lím √ √ .(x + h) + 1 + x + 1h→01Después de una sustitución inmediata,Finalmente,f ′ (x) =12 √ x + 1 .m = f ′ (1) = 12 √ 2 .Por tanto la ecuación de la tangente por P(1, √ 2) esy − √ 2 = 12 √ (x − 1).23. La posición de una partícula en movimiento rectilíneo está dada entodo instante t por,x = √ t + 1,Calcular su velocidad en t = 1s.t > 0, (x en cm, t en segundos).Solución: De acuerdo con la definición 5.2.3., la velocidad instantáneaestá dada por la derivada dx evaluada en t = 1. Según el ejemplodtanterior,dxdt = 1∣2 √ t + 1 , ∴ v ∣∣t=1= 1s 2 √ 2 m/s.Universidad de Antioquia

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 3034. Demostrar que la gráfica de |x|, no tiene recta tangente en el origen.Solución:Basta demostrar que la pendiente de la tangente, no está definida enel origen.f(x) − f(0)m tan = límx→0 (x − 0)|x| − 0= límx→0 (x − 0)= límxx→0|x|Universidad de AntioquiaOyNo existe recta tangentepasando por el origen.= no existe, (límites laterales ≠s. Ver ejemplo 4, página 226).5. Demostrar que la gráfica de la función f(x) = 3√ x, tiene una tangentevertical en el origenSolución:Como la función 3√ x es continua, basta demostrar que la recta que pasapor el origen tiene pendiente “infinita”, es decir,f(x) − f(0)lím = ∞.x→0 x − 0Para empezar, la definición de derivada:x

304CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.f(x) − f(0)√ 3x − 0lím = límx→0 (x − 0) x→0 x − 0 .√ 3x − 0= límx→0 x − 0 .√ 3x= límx→0 x .Si hacemos: x = ( 3√ x)( 3√ x 2 ),f(x) − f(0)√ 3xlím = límx→0 x − 0 x→0 ( 3√ x)( 3√ x 2 ) .= límx→013√x2 ) = ∞. 0 xUniversidad de Antioquia← recta tangente :x = 0y = 3√ x6. El siguiente ejemplo tiene en cuenta la interpretación geométrica dela derivada en un punto como la pendiente de la recta tangente a lagráfica de una función en dicho punto.Calcular por medio delas tangentes, va loresaproximados de laderivada de la funciónf representada por lacurva, en los puntosA(−1, 2),B(1 · 6, 3) yC(3, 2).A • θ0∆y ≈ 2.∆x ≈ 2,8B•∆y ≈ 4• C∆x ≈ 2,3Solución: La derivada en cada punto P es la tangente del ángulo quetiene vértice en P, es decir:f ′ (x) ∣ = tanθ = ∆y = m = pendiente de la tangente.P ∆xSegún lo anterior se tienen las siguientes respuestas:• f ′ (x) ∣ ≈ 2A 2,7 . • f ′ (x) ∣ = 0, tangente horizontal.B• f ′ (x) ∣ ≈ 4C 2,3 .α

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 3057. Demostrar que la derivada de una recta coincide con su pendiente.Demostración:Sea y = bx + c una función línea recta.Calculemos su derivada en cualquier punto x, empleando la definición5.2.1.f ′ f(x + h) − f(x)(x) = límh→0 hb(x + h) + c − (bx + c)= límh→0 hbx + bh − bx= límh→0 h= límh= lím b = b.h→0h→0bhFinalmente se tiene que f ′ (x) = b y b es la pendiente de la recta.Este mismo resultado lo podemos presentar con diferentes notaciones, así:d(bx + c)dx= b; D x (bx + c) = b; y ′ = b;dy= b, donde y = bx + c.dxEste resultado hace parte del siguiente teorema que reune las derivadas delas principales funciones básicas.Teorema 5.2.1. Teniendo en cuenta restricciones necesarias, se tienenlas siguientes fórmulas de derivación de las funciones básicas:Universidad de Antioquia

306CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.• Para f(x) = k, f ′ (x) = 0.• D x (x) = 1.d(bx + c)• = b.dx• d(x2 )dx = 2x.• ( √ x) ′ = 12 √ x .• D x ( 1 x ) = −1x 2 .• Para f(x) { = |x|,f ′ 1, si x > 0,(x) =−1, si x < 0. .f ′ (0) no existe.• D x (x r ) = rx r−1 , r fijo.• (sen x) ′ = cos x.• (cos x) ′ = −sen x.• (tan x) ′ = sec 2 x.• (sec x) ′ = (sec x)(tan x).• (csc x) ′ = (−csc x)(cot x).• (cot x) ′ = −(csc 2 x).• D x (b x ) = (ln b)b x .• d(ex )dx = ex .1• D x (log b x) =(x)ln b .d(ln x)• = 1 dx x .Demostramos algunas partes de este teorema y dejamos para que el estudiante realice o consulte otras.Demostración.1.) Demostremos que la derivada de una función constante es la función 0.Para f(x) = k,f ′ f(x + h) − f(x) k − k 0(x) = lím= lím = límh→0 hh→0 h h→0 h = 0. ✷2.) Demostremos que la derivada de y = 1 x es y′ = −1x . 21y ′ f(w) − f(x)= lím = lím w − 1 x − wxw→x w − x w→x w − x = lím xww→x w − x = lím (x − w)w→x (w − x)(xw)−(w − x)= límw→x (w − x)(xw) = lím −1w→x xw = −1x . 2Universidad de Antioquia✷

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 3073.) Demostremos que ( √ x) ′ = 12 √ x .( √ x) ′ ∆y= lím∆x→0 ∆x = lím ( √ x + ∆x − √ x)∆x→0 ∆x∆x= lím∆x→0 (∆x)( √ x + ∆x + √ x)1= lím∆x→0 ( √ x + ∆x + √ x) = 12 √ x .4.) Se puede demostrar que la derivada de y = x r ,x ≠ 0, es y ′ = rx r−1 donder es un real fijo arbitrario.Haremos la demostración para los casos en que r ∈ Z + y r ∈ Z − . El casoen que r ∈ Q se aplaza para después de enunciar, y demostrar la regla de lacadena, (ver ejemplo en la página 316).El caso en que r ∈ Q ′ no será resueltoen estas notas.a.) r = n ∈ Z + . En la demostración que presentamos se utiliza el teorema delbinomio de Newton: (x + h) n = ( )n0 x n + ( )n1 x n−1 h + ( )n−22 x n−2 h 2 + · · · + h n .dydx = lím ∆yh→0 h = lím f(x + h) − f(x) (x + h) n − x n= límh→0 hh→0 hx n + nhx n−1 n(n − 1)+ h 2 x n−2 + ... + nh n−1 x + h n − x n= lím2h→0 hnhx n−1 n(n − 1)+ h 2 x n−2 + ... + nh n−1 x + h n= lím 2h→0 hh(nx n−1 n(n − 1)+ hx n−2 + ... + nh n−2 x + h n−1 )= lím2h→0 h= lím (nx n−1 n(n − 1)+ hx n−2 + ... + nxh n−2 + h n−1 )h→0 2= lím (nx n−1 + 0 + ... + 0 + 0) = nx n−1 .h→0Universidad de Antioquia✷

308CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.b.) r = −m con m ∈ Z + . Se quiere derivar la función y = x −m .Vamos a convertir el problema en otro con exponente positivo m de modoque podamos aplicar el resultado anterior.Siendo x ≠ 0 esto nos asegura que existe un intervalo con centro en x cuyospuntos son ≠ 0 ❀ • . En particular, podemos contar con x m ≠ 0x − h xy (x + h) m ≠ 0.x + hEntonces,dydx = lím (x + h) −m − x −m= límh→0 hh→0(1(x + h) − 1mx mUniversidad de Antioquiah)[ ((x + h) m − x m= − límh→0 h((x + h) m − x m= − límh→0 hx m − (x + h) m= límh→0 h x m (x + h) m)()(límh→0) ]1x m (x + h) m)1x m (x + h) m( )(x + h) m − x mNótese que lím h→0 es la derivada de x m , es decir, mx m−1 .h1Además, lím h→0 (x m (x + h) m) = 1x m xm. Luego,( )d(x −m ) (x + h) −m − x −m1= lím= − (mx m−1 ) = −mx −m−1 = rx r−1 .✷dx h→0 hx 2m5.) Demostremos que la función |x| no tiene derivada en el origen.Veamos a que nos conduce la definición para a = 0.f ′ |0 + h| − |0|(0) = lím = límx→0 hh .x→0|h|Para resolver este límite se hace necesario recurrir a los límites laterales en0, que una vez resueltos, se presentan distintos, (1 y −1). Esto nos conducea que el límite anterior no existe, es decir f ′ (0) no está definida.6.) Demostremos que la derivada de f(x) = sen x es f ′ (x) = cosx.

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 309En esta prueba se hará uso de los siguientes resultados:• La identidad,sen w−sen x = 2 sen( w − x ) cos( w + x ), (conversión de resta en producto).2 2•Los límites trigonométricos:lím θ→0sen θθlím w→x(cosw + x2Demostración:[ w − x sen= 1. En lo que sigue, este límite se verá como lím 2w→xw − x2) w + x= cos(límw→x ) = cosx, (límite de una función2compuesta, teorema 4.5.3.)f ′ f(w) − f(x) sen(w) − sen(x)(x) = lím = lím, (definición.)w→x w − x w→x(w − xsen w − x )(cos w + x )2 2= lím 2, (convertir resta en producto.)w→x w − x[ w − x ][ ( )]sen= lím 2w→x w − xlím cos w + x , (límite de un producto.)w→x 22= (1)(cosx) = cosx, (límites trigonométricos.)Teorema 5.2.2 ((Derivación) =⇒ (Continuidad)). .a. Toda función diferenciable en un número a, es continua en a.b. contrarrecíproco.Toda función que no sea continua en un número a, no es diferenciable ena.c. recíproco falso.Existen funciones que siendo continuas en un punto, no son diferenciablesen dicho punto.Universidad de Antioquia].

310CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Empezaremos por justificar la última afirmación por medio de un contraejemplo.En efecto, la función |x| a pesar de ser continua en 0, no es diferenciableen ese número como quedó establecido en un teorema anterior, (ver teorema5.2.1., página 305).En términos de gráfica es bueno saber que una función continua y nodiferenciable en un número a, presenta tangente vertical, (ver y = 3√ x, página303), o “puntos angulosos” como se puede ver en las siguientes gráficas:•❀tangente vertical.❀Universidad de Antioquia❀puntos angulosos.Demostración.Demostremos la parte (a.)Sea f(x) una función diferenciable en cierto punto a. Veamos que es continuaallí.Bastará probar que lím ∆x→0 ∆y = 0. (Ecuación de continuidad).Pero ∆y = ( ∆y) ∆x, (pues ∆x ≠ 0), por lo tanto∆x[ ] [( ∆y) (∆y) ] [ ]lím ∆y = lím ∆x = lím lím∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x∆x = (f ′ (a))(0) = 0.∆x→0Recuerde que la parte (b.) no requiere demostración pues su validez es consecuenciade una ley lógica.El siguiente teorema nos permite calcular las derivadas de una enorme cantidadde funciones de una manera operativa, sin tener que recurrir al procesode límite exigido por la definición.Teorema 5.2.3. (Reglas de derivación.)Supongamos que f y g son funciones diferenciables en x. Entonces las funcionesobtenidas mediante las operaciones usuales, (+, −, ×, ÷) con dichasfunciones, son también diferenciables en x y se tienen las siguientes reglasde derivación:❀✷

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 3111.) (f(x) + g(x)) ′ = f ′ (x) + g ′ (x).2.) (f(x) − g(x)) ′ = f ′ (x) − g ′ (x).3.) (kf(x)) ′ = k(f ′ (x))4.) (f(x)g(x)) ′ = f(x)g ′ (x) + f ′ (x)g(x).( ) ′ f(x)5.) = g(x)f ′ (x) − g ′ (x)f(x).g(x) (g(x)) 2Demostramos (1.) y (4.)Demostración.De (1.)( ) ( )f(x + h) + g(x + h) − f(x) + g(x)(f(x) + g(x)) ′ = lím. Definición.h→0 h( f(x + h) − f(x) g(x + h) − g(x))= lím+ . Reordenar.h→0 hh( f(x + h) − f(x)) ( g(x + h) − g(x))= lím+ lím. Teorema.h→0 hh→0 h= f ′ (x) + g ′ (x). Hipótesis.De (4.)Por definición,( ) ( )f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x)(f(x)g(x)) ′ = lím.h→0 hSi se resta y suma la misma cantidad, f(x + h)g(x), se obtiene[( )f(x + h)g(x + h) − f(x + h)g(x)(f(x)g(x)) ′ = lím−h→0 h( )]f(x)g(x) − f(x + h)g(x)Al factorizar algunos términos, se obtiene((f(x)g(x)) ′ = lím f(x + h)h→0g(x + h) − g(x) f(x + h) − f(x))+ g(x)hhUniversidad de Antioquiah

312CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Al realizar algunas operaciones con límites, se obtiene= ( lím f(x + h) )( g(x + h) − g(x))lím+h→0 h→0 h(f(x + h) − f(x)) (límlímg(x) ) (∗).h→0 h h→0Para terminar la prueba tengamos en cuenta las siguientes consideraciones:i.) Como fes diferenciable en x, resulta también continua en x, es decir,lím f(x + h) = f(x). (Ecuación de continuidad.)h→0ii.) Como x es un punto fijo, g(x) es una constante, es decir,lím g(x) = g(x).h→0Retomando en (∗), la prueba termina así:((f(x)g(x)) ′ g(x + h) − g(x)) (= f(x) lím+ límh→0 hh→0f(x + h) − f(x))g(x).h(f(x)g(x)) ′ = f(x)g ′ (x) + f ′ (x)g(x). (Aplicando la definición de derivada.).Ejemplos.Aplicar reglas de derivación para calcular las derivadas de las siguientes funciones:1.)y = 7x 2 . Resp. y ′ = 7(x 2 ) ′ = 7(2x) = 14x.2.)y = x 13 + 5x 5 − 100.3.)y = (x 5 − 1)(2x 3 − x − 1).Resp.dydx = 13x12 + 5(5x 4 ) − 0 = 13x 12 + 25x 4 .Resp. D x (y) = (x 5 − 1) ′ (2x 3 − x − 1) + (x 5 − 1)(2x 3 − x − 1) ′= 5x 4 (2x 3 − x − 1) + (x 5 − 1)(6x 2 − 1).= 16x 7 − 6x 5 − 5x 4 − 6x 2 + 1.4.)f(x) = x − 1x + 2 . Resp. f ′ (x) = (x + 2)(x − 1)′ − (x + 2) ′ (x − 1)(x + 2) 2 .Universidad de Antioquia

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 313=(x + 2)(1) − (1)(x − 1)=(x + 2) 25.)g(x) = 1 x − x sen x. Resp. g′ (x) = ( 1 x )′ − ( (x) ′ sen x + x(sen x) ′)6.)F(x) = π 5 . Resp. D x (F(x)) = 0.= −1x − ( (1) sen x + x cos x ) .2= − 1 + x2 sen x + x 3 cosx.x 23(x + 2) 2.Nota:Si hacemos u = f(x) y v = g(x), podemos expresar las reglas de derivaciónen una forma más compacta:• (u + v) ′ = u ′ + v ′ .• (u − v) ′ = u ′ − v ′ .• (uv) ′ = uv ′ + u ′ v.• ( u v )′ = v u′ − v ′ u.v 2El siguiente teorema establece la importante regla de la cadena, así llamadapara referirse a la regla para derivar funciones compuestas.Teorema 5.2.4. (Regla de la cadena./ [r. de la c.]).Sean f y g dos funciones para las cuales está definida la función f ◦ g.Si g es diferenciable en a y f es diferenciable en g(a), entonces f ◦ g esdiferenciable en a y se tiene la siguiente regla de derivación:(f ◦ g) ′ (a) = f ′ (g(a))g ′ (a).Expresada en términos corrientes, esta regla se puede enunciar así:La derivada de (f ◦g) en a es igual a la derivada de la función externa, (f ′ ) pero evaluadaen la función interna, g(a), multiplicada por la derivada interna g ′ (a).Universidad de Antioquia

314CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Antes de la demostración veamos algunos ejemplos:Ejemplo 1.y = sen √ x❀ y ′ = (cos ( √ x))( √ x) ′ = (cos( √ 1x))(2 √ x ) = cos √ x2 √ x .Ejemplo 2.Calcular el valor de la función derivada de G en a = 2, siendo G(x) = √ sen x.Solución:Hallemos primero la función G ′ (x) y posteriormente evaluamos en 2.G ′ 1(x) =2 √ sen x (sen 1x)′ =2 √ (cos x). (Por r .de la c.).sen xG ′ 1(2) =2 √ (cos 2) ≈ −0,218.sen 2En la demostración de la regla de la cadena haremos uso de la siguienteconsideración de caracter geométrico.Sea y = f una función, (no constante), y diferenciableen a. Es claro que∆y∆x ≠ lím∆x→0∆y∆x .(pendiente de una secante PQ ≠ pendiente de la tangente por P),es decir,∆y∆x ≠ f ′ (a).Definamos,E = ∆y∆x − f ′ (a) (∗).Hagamos notar que E → 0 cuando ∆x → 0:En efecto, tomando límite en (∗) cuando ∆x → 0,lim ∆x→0 E = ( ∆y)lim ∆x→0 − f ′ (a) = f ′ (a) − f ′ (a) = 0.∆xEn (∗) despejemos ∆y,Universidad de AntioquiafP •∆xQ∆y

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 315∆y = [f ′ (a) + E ] ∆x (⋆).Esta será la relación que utilizaremos en la prueba junto conE → 0 cuando ∆x → 0.Demostremos la regla de la cadena para un punto a en el dominio de g.Seguir el desarrollo de la prueba en la gráfica.Demostración.Sea y = f(g(x)) con g diferenciableen a y f diferenciable eng(a) = b.Redefinamos:u = g(x).(∗)y = f(u).(∗∗)Apliquemos la relación (⋆) dos veces:En (∗) ∆u = [g ′ (a) + E 1 ] ∆x. (1.)En (∗∗) ∆y = [f ′ (b) + E 2 ] ∆u. (2.)Al reemplazar (1.) en (2.),Es decir,Finalmente,y ′ = f ′ (g(x)) ∣ = límx=au = g(x)∆y = [f ′ (b) + E 2 ] [g ′ (a) + E 1 ]∆x.∆x→0∆y∆x = [f ′ (b) + E 2 ] [g ′ (a) + E 1 ]y = f(u)• • •a b = g(a) f(b) = f(g(a))y = f(g(x))∆y∆x = lím [f ′ (b)+E 2 ][g ′ (a)+E 1 ] = [f ′ (b)][g ′ (a)],E 1 ,E 2 →0pues tanto E 1 → 0 como E 2 → 0 cuando ∆x → 0.La última igualdad la podemos volver a escribir como,(f ◦ g) ′ (a) = f ′ (g(a))g ′ (a).Universidad de Antioquia

316CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Para f una función constante es fácil ver que (f ◦ g) ′ (x) = 0.La regla de la cadena con la notación de Leibniz.Para u = g(x);y = f(u), se tiene, la siguiente presentación de la regla de lacadena:dydx = dy du.du dxEl siguiente corolario proporciona una regla para derivar funciones recíprocas,1, utilizando r. de la c.f(x)Corolario 5.2.5.1Si f(x) es una función diferenciable, la función recíproca también esf(x)diferenciable en puntos donde f(x) ≠ 0 y se tiene la siguiente regla dederivación:1D x (f(x) ) = −f ′ (x)(f(x)) 2.1Ejemplo: D x (sec x) = D x (cosx ) = −(cosx)′ −(− sen x)= = sec x tanx.(cos 2 x) (cos 2 x)Demostración. (del corolario).1La función recíproca es una función compuesta de otras dos funciones,f(x)a saber,f(x) y 1 x .Si aplicamos la r.de la c. se obtiene:( ) 1D x = ( −1 )f(x)2f ′ (x) = −f ′ (x)( ) 2.f(x) f(x)Ejemplo. (Continuación de la prueba de la regla para derivar funciones potenciales,(ver (4.) página 307).Demostrar que cuando el exponente r es racional, la derivada de y = x r esy ′ = rx r−1 .Demostración.Será necesario tener primero la derivada de la función (x) 1 n.Universidad de Antioquia

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 317En lo que(sigue téngase en cuenta la siguiente identidad:w−x = w 1 n −x 1 n)((w) n−1n +(w) n−2n (x) 1 n +(w) n−3n (x) 2 n +...+(w) n(x) 1 n−2(x) n−1 )n . (∗) (Producto de conjugados n-simos).Aplicando una de las formas de definir derivada:((x) n) 1 ′ w 1 n − x 1 n= límw→x w − x .Cambiando el denominador de acuerdo con la identidad anterior (∗),((x) 1 n) ′= límw→xUniversidad de Antioquian +[(w 1 n − x 1 )]n(w 1 n − x 1 n)((w) n−1n + (w) n−2n (x) 1 n + (w) n−3n (x) 2 n + ... + (w) 1 n (x) n−2n + (x) n−1 ) .n(Después de cancelar el término común w 1 n − x 1 )n ,((x) n) 1 ′= límw→x[]1((w) n−1n + (w) n−2n (x) 1 n + (w) n−3n (x) 2 n + ... + (w) 1 n (x) n−2n + (x) n−1 ) .nTeniendo en cuenta que lím w→x (w) k = x k , (ecuación de continuidad), seobtiene((x) 1 ) ′ 1n =n(x) n−1 = 1 n (x)1−n n = 1 n (x) 1 n −1 . ✷nComo tenemos la fórmula para derivar (x) 1 n, retomemos la función y = x r .Hagamos r = m n , con m y n enteros. Entonces y = (x)m n .(La función y se puede expresar como función compuesta, y = xn) 1 m.Al aplicar la r. de la c. se obtiene,y ′ = m(xn) 1 [(x m−1 n)1 ] ′ ( ) m−1[n 1= m xn (x) 1 −1] n = m (x) m n −1 = r(x) r−1 .n

318CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.Ejercitar las reglas de derivación.Con práctica suficiente, el estudiante debe ser capaz de llegar a combinar lasreglas de derivación para obtener la derivada solicitada en un sólo paso yfinalmente simplificar si es del caso.Ejemplos: (Donde se combina la r. de la c. con algunas operaciones conderivadas.)1.)d [(x 3 ) 3 5(sen x) 5] 2 = (x 3 ) 3 5 2 −3(sen x) 5 (cos x) + 3 5 5dx(x3 ) −25 (3x 2 )(senx) 2 5.[ cos x]= 2 5 (x)9 5 + 9 5(sen(sen x) 3 5 x4 x) 2 5.5[ 2x cos x + 9 sen x]= x 4 5.5(senx) 3 5( √ ln( x) − cos(cos x))2.) D x =e sen x +[((4x − 2))( 3 )]1 1[e sen x + (4x − 2) 3 ] √x2 √ + [sen (cosx)](− sen x)x−(e sen x + (4x − 2) 3 ) 2 [[e sen x cos x + 3(4x − 2) 2 4] ln( √ ]x) − cos(cosx).(e sen x + (4x − 2) 3 ) 2[ 1][e sen x + (4x − 2) 3 ]=2x − [sen (cos x)](sen x) −(e sen x + (4x − 2) 3 ) 2 [[e sen x cos x + 12(4x − 2) 2 ] ln( √ ]x) − cos(cosx).(e sen x + (4x − 2) 3 ) 2Derivadas de orden superior. La funciónf ′ (x), (cuando existe), se llamala 1 a derivada de f o derivada de orden 1.Si derivamos la función f ′ , se obtiene la 2 a derivada de f, o derivada de orden2, que se denota f ′′ (x) o con otras notaciones como y ′′ ,d 2 fdx 2,Universidad de AntioquiaD(2) x .

5.2. LA DERIVADA - REGLAS DE DERIVACIÓN. 319De la misma manera se puede obtener la 3 a derivada de f, o derivada de orden3, simplemente derivando la función f ′′ (x) y así sucesivamente hasta obtenerla n-sima derivada, o derivada de orden n, siendo n un entero positivo.Ejemplo:f(x) = x 5 ; f ′ (x) = 5x 4 ; f ′′ (x) = (5)(4)x 3 ; f ′′′ (x) = (5)(4)(3)x 2 , yasí sucesivamente.Si se deriva n veces la función x n , n ∈ Z + , se obtiene n !. (Pruébese porinducción). Hagamos notar que la derivada de orden (n + 1) es 0.Primitivas. (Antiderivadas.)La operación contraria a derivar se llama “obtener una primitiva” (o antiderivada),y consiste en encontrar una función cuya derivada sea una funciónpropuesta.Por ejemplo, si f(x) = cosx entonces una primitiva, (o antiderivada), esen este caso, F(x) = senx que no es única porque otra primitiva tambiénes G(x) = senx + 1. En general, una función que tenga una primitiva, enrealidad tiene un número infinito de primitivas, por ejemplo cos x tiene todaslas primitivas de la forma senx + k, siendo k cualquier constante.Para verificar si una primitiva es la correcta, basta derivarla y el resultadodebe ser la función inicial. Por ejemplo, D x (sen x + k) = cosx + 0 = cosx.La notación usual para el conjunto de primitivas de una función f es,∫f(x)dx = F(x) + kdonde F(x) debe ser una función diferenciable y k una constante arbitraria.Notas:• Con la notación para primitivas se tiene,∫sen xdx = cos x + k• El concepto de Primitiva es diferente al de Integral Definida que, en elorden de estas notas, es posterior.• No toda función f tiene primitiva F. Por ejemplo, no existe una funciónf(x) definida en un intervalo con centro en 0, tal que ∫ f(x)dx = |x|.(¿Porqué?)Universidad de Antioquia

320CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.5.3. Ejercicios.En 1 a 8 los límites que se proponen son derivadas de algunas funciones.• Determinar la función cuya derivada se propone.• Determinar la respectiva función derivada.• Calcular f ′ (a) por vía f ′ (x), para el valor de a.1. Ejemplo:( (2 + h) 3lím 5 − 2 3 ). Resp. : f(x) = 5x 3 ; f ′ (x) = 15x 2 ; f ′ (2) = 60.h→0 h( ln(5 + h) − ln 5)2. lim h→0 .h( 1 )3. limx −1 3 x→0 .x−3( ln(sen x) − ln(sen 2))6. lim x→2 .x − 2[ π sen wcos w −sen 4cos π 4( √ 7. lim π9 + ∆x − 3)w→4 w− π .44. lim ∆x→0 .∆x( √ (4 + h)24 + h − 4 2√ ( √4) ( 25 + h) 3 − ( √ 25) 3 )8. lim5. lim h→0 . h→0 .hh9. Determinar la función derivada de f(x) = 1 √ xaplicando la definiciónf(x + h) − f(x)de derivada en la forma: lím h→0 .hVerifique su respuesta aplicando reglas de derivación.10. Determinar la función derivada de f(x) = 1 aplicando la definiciónx2 f(z) − f(x)de derivada en la forma: lím z→x .z − xVerifique su respuesta aplicando reglas de derivación.11. Determinar la función f(x) si se sabe que f ′ (2) = lím w→2(1 + w 2 ) 3 − 125w − 2.Evaluar dicho límite calculando primero la derivada vía r. de la c.Universidad de Antioquia]

5.3. EJERCICIOS. 32112. Determinar la función f(x) si se sabe queEvaluar dicho límite.f ′ (x) = lím∆x→0sen √ 3 + ∆x − sen √ 3.∆x13. Investigar, utilizando alguna de las definiciones de la derivada, si lassiguientes funciones,{{x 2 , si x ≤ 2,x 2 , si x ≤ 2,f(x) =g(x) =3x − 2, si x > 2.4x + 5, si x > 2.son diferenciables en a = 2.14. Calcular el valor de las constantes c y b para que la función,{x 2 , si x ≤ 2,f(x) =cx + b, si x > 2.sea diferenciable en a = 2.Sugerencia: Aplicar en a = 2 condiciones de continuidad y derivadaslaterales iguales para obtener un sistema lineal con incógnitas c y b15. Calcular el valor de las constantes k y b para que la función,{k √ x, si x ≤ 1,f(x) =, sea diferenciable en a = 2.x + b, si x > 1Sugerencia: La misma del anterior ejercicio.16. Obtener la derivada de las siguientes funciones, (tener en cuenta restriccionesnecesarias en los valores que puede tomar x):Universidad de Antioquia

322CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.• 3x 2 − 4x + 1.• x 2 cos 4x.• (2x 2 + 1) 2 .• (x 3 + 6x + 1)(x 2 − 1).• tan 5 (3x).• (x − 2)(3x 2 − 5).• sec 2x tan 5x.• x 2 (1 + x 4 3)• 1 + √ x• 3x 2 + (x) 4 3 + ( 1) − ( 2 x − 1 .), x ≠ 0.x x 3• ln x + e x , x > 0.• e (√ x+ 1 x ) .• x 7 2 + 3x 1 3 − x −23 , x > 0.• 1 + x• sen x − x cos x.2 − x .• 2x cos x − 2 sen x + x 2 sen x.• 1 + 1 x• (3x 2 − 6) cos x + (x 2 − 6) sec x. 1 − 1 .• x 2 xsen x cot x.• 1 + √ • 3x + (x 1 3 + 1)(x 2 3 − 1) +7xxx − 1 .1 − x 2.• 1 + senx• 1 + 1 cos x .x1 − 1 .x• 3x + (x 1 3 + 1)(x 2 3 − 1) +7x• 1 + 3 secx .tanx1 − x 2.• 1 + senx• cotxcos x .x 2 − 1 .x• . 1+cot x• 1 + 3 secx .• ln xtanxsec x .• (2x 3 − 1) 40 .• 2x2 − 4x + 3 .• cos 3 (x).• x4 −3x+2• e sec(3x) ., x ≠ 2• √ x 2 −5x+6 y 3.• x3 +2xtanx..• sen [( √ x 2 −1x) 3 ].• x3 −6x 2 +8x−5.x• sen 3 [( √ 12 •x)].− 3.x 3 +2x+1 4(√ )• x3 2.(1−x•2 ) sec xx+1.1+x • cot x .• tan 2 ( 3√ x 2 −1x1 + 2x).• . 1+cot x• sen √ x.• 3x 3(sen 5x)(cos 5x)− − (sen3 5x)(cos 5x).8 40 20• [ 1• .sen2x 3.(2x−3)1+tan 3x] 5sen 4x•x √ . x• 2.2x+1 (x2 +1) 3Universidad de Antioquia

5.3. EJERCICIOS. 32317. • Emplear la gráficapara dar un valoraproximado de f ′ (x)en los siguientes puntos:x = −1, 4, 5.• En cuáles valoresde x, la derivada es 0.• En cuáles valores∆yde x, lím ∆x→0 =∆x∞.• En cuáles valores dex, no está definida la6543210-1• •-2-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6derivada.• Dar un valor aproximado de las derivadas laterales en x = −4 yx = 6.• Dar la ecuación de todas las rectas que contiene la gráfica.18. La siguiente curva es el registro gráfico de x, (posición en metros) contrat, (tiempo en segundos), de una partícula en movimiento rectilíneo,(M.R.).i.) Calcular la rapidez media aproximada entre 0 y 3.5 s.Respuesta: 12/7 m/s.ii.) Por inspección visual, dar valoresapro ximados para las velocidades enlos tiempos propuestos, (m/s.):t = 0,5; 1,5; 3.iii.)Cual es la rapidez en el instante t =1,5 s ?•Universidad de Antioquia5321f4•43210x•00 1 2 3 4 t 5iv.) ¿En cuales instantes v = 0? 0 1 2 3 4v.) Hallar los intervalos de tiempo en que se desplaza hacia la derechay hacia la izquierda.vi.) Hallar los instantes en que la velocidad parece ser 1m/s. ❀ t ≈0,7; 2,5.

324CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.19.20.543210vii.) Dar la velocidad aproximada en los extremos de la curva. (Derivadaslaterales.)En 19 y 20, trazar una gráfica aproximada de las derivadas f ′ y g ′ delas respectivas funciones f y g propuestas en forma gráfica.f-15 -1 0 1 2 3 4 5 643210g-1-1 0 1 2 3 4 5 6g-15 -1 0 1 2 3 4 5 6Universidad de Antioquia54321043210-1-1 0 1 2 3 4 5 621. Calcular la ecuación de la tangente a cada curva en el punto dado:• y = 1 , A(2, 1/5). • y = x 3 − 2x 2 , A(1, −1).2x + 1• y = √ 1• y = √ x(x 2 + 2), R(4, 36)., P(4, 1/2).• y = 2x 4 − 6x 2 + 8, B(2, 16).• y =x1 − x , A(0, 0). • y = 1 x 2, Q(−2, 1/4).22. En las funciones del ejercicio anterior, hallar los puntos de contactodonde la tangente sea horizontal.23. En cada una de las siguientes dos curvas, hallar los puntos de contactode cada curva con las rectas tangentes que pasan por el origen decoordenadas y dar las ecuaciones de dichas tangentes:

5.3. EJERCICIOS. 325(i.) y = 5 + x − x 2 . (ii.) y = x1 − x .Sugerencia: Trace primero un bosquejo gráfico de la situación planteada.24. Hallar el punto de contacto de la recta tangente a la curva y = 3xx 2 + 1que también pasa por el punto T(3, 1). Dar la ecuación de la tangente.(Sugerencia: Trace primero un bosquejo gráfico de la situación planteada.)25. Dada la curva y = x 3 +2x 2 −6x+4, encontrar el punto de contacto deuna recta tangente a dicha curva que sea paralela a la recta 2x+y = 3.Encontrar igualmente el punto de contacto, si existe una tangente quesea perpendicular a la misma recta.(Sugerencia: La misma de los anteriores ejercicios.)26. Encontrar las tangentes comunes a las curvas Y = x 2 ; Y = −x 2 +2x − 2. Sugerencia. Dibuje un bosquejo de las posibles soluciones.27. Derivar en un solo paso y simplificar las siguientes funciones:• 1 a sen ax − 1 x cos ax;2 a • x2 x sen 2ax cos 2ax− − ;4 4a 8a 2• x sen 2ax− ; • 1 1cos ax +2 4a a 3a cos3 ax.28. Resolver: Una partícula con M.R. se desplaza de acuerdo a la leyx = t 3 − 9 2 t2 + 15t + 4, (m,s).•Hallar el instante en que su rapidez es 9m/s.•Hallar el momento en que su velocidad es mínima.•Calcular los intervalos en que se desplaza hacia la derecha. Idem, haciala izquierda.29. Resolver: Un objeto puntual cae en el vacío partiendo del reposo. Suposición en todo momento está dada por la ecuación y = −g t2 2 , dondeg es una constante que representa la aceleración debida a la gravedad,(g ≈ 9,8 m/s 2 “y” en metros, t en segundos).Hallar el instante en que su rapidez es de 4 m/s.Si el objeto cae desde una altura de 4m, calcular la velocidad conquegolpea la tierra.Universidad de Antioquia

326CAPÍTULO 5. LA FUNCIÓN DERIVADA. - REGLAS DE DERIVACIÓN.30. Resolver: La altura de una bola lanzada verticalmente hacia arriba↑está dada por y = 64t − 16t 2 ,t en segundos, y en pies. •Cuál es suvelocidad en todo instante?.•Cuál es su velocidad y su rapidez cuando t = 0, 1, 2, 3.?.En que intervalo de tiempo está subiendo?. ¿bajando?.31. Resolver: En cierto lugar donde existe un campo gravitacional, se lanza,desde una superficie, una flecha verticalmente hacia arriba con unavelocidad de 58 m/s. Su posición en todo momento está dada por lafórmula h(t) = 58t − 0,38t 2 , (h(t) en metros, t en segundos).i.) Encontrar su velocidad cuando ha transcurrido 1 s.ii.)Calcular la altura máxima que alcanza.iii.)Explicar porqué regresa a la superficie. Calcular el momento en queregresa a la superficie y con que velocidad.32. Si g ′ (x) = 1x 3 + 1 y h(x) = g(x2 ), encontrar h ′ (x). (regla de la cadena.)( x2)33. Verifique y entérese de la diferencia entre D xx 3y D x(x 2 )D x (x 3 ) .34. Encontrar las “primitivas” de las siguientes funciones: 4x 3 ; x 3 ;x 4 + x 3 + cos x; 3 sen 2 x cos x; cos 3 x sen x.35. Derivar 6 veces la función senx y lo mismo la función cosx. Expresaruna conclusión respecto a las derivadas de todo orden para estas dosfunciones. Calcular D x (sen 38 (x)) y cual es D x (cos 43 (x)).36. Derive 3 veces consecutivas cada una de las funciones 1 x y √ x.37. Verificar que la función,{tanx, si x ≤ π/4,y = π, si x > π/4,4xes continua, pero no es diferenciable en a = π/4.Sugerencia: Para continuidad, analice límites laterales en π 4. Para derivada, recurraa derivadas laterales en π/4.Universidad de Antioquia

5.3. EJERCICIOS. 32738. Verificar que las siguientes funciones son continuas. Demostrar que noson diferenciables en x = 0. ¿Cuál de estas funciones tiene una tangentevertical?{e x , si x ≤ 0,f(x) =e − x, si x > 0.g(x) = √ |x|.Sugerencia: Utilizar la definición de derivadas laterales en x = 0.Universidad de Antioquia