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8 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS3.1.1.5 Solución de TheisPara encontrar la solución y el valor de las constantes, Theis reemplazó las condiciones iniciales y de frontera enlas anteriores combinaciones, y así encontró la función de abatimiento por analogía de transferencia de calor ensólidos:A −us( r,t) = et[3.12]2r SDonde A es una constante y u = . Para t>0, el volumen total V, de agua tomado del acuífero es:4tTV∫ ∞= 2 π r s S dr0[3.13]Reemplazando 3.12 en 3.13:VV==∫∫∞0∞02 π r2 π rAtAtee−ur s−4tTS dr2[3.14]S drAl solucionar esta integral se tiene que:V= 2 πASt∫ ∞0e2− r s4tTr dr= 2 πASt⎡⎢−Tt e⎢ S⎣2 r2s−4tT⎤⎥⎥⎦r = ∞r = 0[3.15]De donde:VA==4 π T AV4 π T[3.16]Reemplazando 3.16 en 3.12 se tiene que:⎛ ⎞⎜r 2 S− ⎟⎝ 4Tt ⎠Vs ( r, t)= e[3.17]4 π T tEl Volumen de agua V, del acuífero es removido durante el período de tiempo dt. Así que V=Q t. y dV=Q dt, yentonces:
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 9⎛ ⎞⎜r 2 S− ⎟⎝ 4Tt ⎠dVds ( r, t)= e[3.18]4 π T tSi el agua es bombeada a una tasa de Q por unidad de tiempo de t=0 a t=t en el origen por integración seobtiene:dss( r, t)( r, t)⎛⎜r 2S ⎞−Q dt ⎜ 4Tt ⎟ ⎝ ⎠= e[3.19]4 π T tt⎛ 2r S ⎞⎜ ⎟−Q dt ⎜ 4Tt ⎟⎝ ⎠= e[3.20]4 π T∫t0Reemplazando:2r Su = , entonces:4Tt∞ -uQ es( r, t) = h0 - h( r, t) =du4 π T∫[3.21]uuDonde:∞ − u∫ueudu =−Ei( − u) = W( u)[3.22]La integral exponencial se conoce como la función de pozo de Theis, y su solución está dada por una serie depotencias:2 3 4u u uW() u = −0.5772− ln()u + u − + − + K2.2! 3.3! 4.4!nn uW() u = −0.5772− ln() u − ( − 1)n.n!∑ ∞n=1[3.23]Ahora se puede definir el abatimiento en términos de la curva de Theis:sQ= [3.24]4 π T( r, t) W()uLa Figura 3 muestra la curva típica de Theis, útil para determinar las parámetros hidrogeológicos de acuíferosconfinados usando datos de pruebas de bombeo. También se pueden trazar isolíneas de tiempo graficando elabatimiento en función del radio e isolíneas de radio, graficando el abatimiento en función del tiempo.
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