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32 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOSLa velocidad radial de Darcy está dada por:Entonces:Qv r( r) = −( 2 rh) q = −( 2πrh)r∂h= −K∂r21 ∂π ∴ () ( )( h )Q r 2 r K∂hK∂r= π [4.25]2 ∂rY reemplazando 4.25 en 4.24:1r2( h )∂ ⎡ ∂r∂r⎢⎣ ∂r⎤⎥ +⎦2I= 0K[4.26]Las condiciones de primer tipo o de Dirichlet son:• Cuando h = H w , entonces r = r w . Carga piezométrica en la cara del pozo• Cuando h = H, entonces r = R. Carga piezométrica del acuífero antes del bombeo.• R es el radio de influencia en el cual el abatimiento es cero.2 222 ∂ ( h ) ∂( h ) 2I 2La ecuación 4.26 puede ser escrita de la forma: r + r = − r , y ser solucionada por el2∂r∂rKmétodo de Cauchy – Euler, ya que es una ecuación no homogénea. Realizando la siguiente cambio de variable,se tiene que:Y las derivadas son:u = lneeu2u= x( x)= x22 2 22 2 2( h ) 1 ∂( h ) ∂ ( h ) 1 ⎛ ∂ ( h ) ∂( h ⎞=y =⎜ −)⎟⎟2 2 2∂∂rr∂u∂rremplazando estas en la ecuación 4.26, se llega a que:2r⎝∂u∂u⎠Integrando dos veces:Reemplazando u por ln (r):2∂∂r2( h )2( h ) 2I 2u2= −K∂ I 2u= − e + C1∂rKIh +2K22u() r = − e + C1u C2e2 I 2h () r = − ( r ) + C1ln() r + C2[4.27]2KReemplazando las condiciones de frontera se obtienen C 1 y C 2 .
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 332 2 I 2 2 ⎡ 2 2 I 2 2() = H + ( R − r ) − H -H + ( R − r )h r2K⎢⎣w2Kw⎛ r ⎞ln⎜⎟⎤ ⎝ R ⎠⎥⎦ ⎛ rwln⎜⎝ R⎞⎟⎠[4.28]La descarga Q del pozo puede ser determinada por continuidad y la ley de Darcy:2∂hd( h )Q = -2π rwhqr= 2πrwhK= πKrw, r = rw[4.29]∂rdrDerivando 4.28 y reemplazando en 4.29:Q = −I2⎡2I2 2( R − r )⎤πK2π rw−⎢H - Hw+w⎣⎥[4.30]2K ⎦ ⎛ rw⎞ln⎜⎟⎝ R ⎠Teniendo en cuenta que:2− Iπr w: es la recarga en el pozo mismo y es despreciablemente pequeño comparado con los demás términos:⎡Q = −⎢H⎣I+2K2 2( R − r )⎤ K⎥⎦ ⎛ rwln⎜⎝ R2 2π- Hww⎞⎟⎠[4.31]Reemplazando 4.31 en 4.29:h2= H2+I2K2 2 Q ⎛ r ⎞( R − r ) + ln ⎟ ⎠πK⎜⎝ R[4.32]En el caso particular, en el que I = 0:h2= H2Q+πK⎛ln⎜⎝rR⎞⎟⎠[4.33]Las ecuaciones 4.32 y 4.33 representan la distribución de la carga piezométrica con recarga y sin recargarespectivamente. Para la condición descrita en las condiciones de frontera, la tasa de descarga Q, puede serrepresentada como:2 2πK( H − Hw)Q =⎛ R ⎞ln⎜⎟[4.34]⎝ rw⎠La ecuación 4.34 es la llamada ecuación de descarga de Dupuit - Forchheimer. Esta ecuación es obtenida conbase en las condiciones de Dupuit. Estas suposiciones no toman en cuenta la forma curvilínea del flujo en unplano radial. Los componentes del flujo vertical son despreciados. La ecuación da un resultado con razonableaproximación, si la distancia radial r es suficientemente grande y los efectos curvilíneos son despreciables.Luego, la aplicación de métodos numéricos (Boulton, 1951 (Batu, 1998)) e investigaciones experimentales((Babbit y Cantwell, 1948) (Peterson et al, 1952) Batu, 1998) muestran que la ecuación representa la superficielibre para valores de r ≥ 1.5H, siempre y cuando el nivel de agua del pozo (H o ) sea cero en la Figura 4.3.
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