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14 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOSQSuperficie piezométricaantes del bombeoSuperficie del terrenozSuperficie piezométricadurante el bombeo(cono de depresión)Nivel EstáticoswsrQvSuperficie piezométricaal tiempo t +∆tCapa confinantebAcuíferoconfinadohwH2rwLecho impermeableFigura 6. Acuífero semiconfinado• Acuífero homogéneo e isotrópico• Acuífero horizontal y de espesor constante, b, y su capa confinante posee un espesor constante b’ y unaconductividad hidráulica vertical K’.• Descarga contante, Q• Acuífero de extensión infinita• El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo• El pozo penetra todo el acuífero• La capa confinante no almacena agua• El flujo en el acuífero es horizontal y el goteo es vertical• Inicialmente, la tabla de agua posee la misma altura de la carga hidráulica del acuífero y es igual a h 0 .La ecuación diferencial parcial para flujo radial, fue obtenido por Jacob en 1946, es la ecuación que gobierna elmovimiento en este tipo de acuíferos. Aplicando el principio de continuidad, par el anillo dado, se tiene:[ Q() r Q( r + ∆r)] ∆t+ Qv ∆t= ( 2πr) ∆r∆hS− [3.34]( 2πr∆rb) v vQ v= A v =[3.35]h0− hUsando la Ley de Darcy: vv= K'[3.36]b'
CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 15Y combinado las anteriores ecuaciones, se concluye que:h − h− [3.37]b'0[ Q() r Q( r + ∆r)] ∆t+ ( 2πr∆r) K' ∆t= ( 2πr) S∆r∆hComo ∆r y ∆s, tienden a cero y aplicando la definición de la derivada, se llaga a:∂∂rQ 0+h − hb'( 2πr) K' = ( 2πr)∂hS∂t[3.38]Y sabiendo que el abatimiento es el la diferencia de niveles, s=h 0 -h y que el caudal en el acuífero está dado por:∂hQ()r = 2π rT∂r[3.39]La ecuación es igual a:2∂ s2∂r+1 ∂sr ∂r−K'Tb's =ST∂s∂t[3.40]Y sí se reemplaza: B =Tb'K', la ecuación toma la forma:2∂ s 1 ∂ss+ − =22∂rr ∂rBST∂s∂t[3.41]Las condiciones iniciales y de frontera planteadas, para la cabeza y el abatimiento son:h r,0 = h , para todo r• ( )0• s ( r,0) = 0 , para todo rh ∞ , t = h , para todo t• ( )0• s ( ∞ , t) = 0, para todo tLas condiciones de descarga son:• Q = 0, cuando t=0• Q = constante, cuando t ≥ 0⎛ ∂h⎞ Qlim⎜r⎟ =r→0• ⎝ ∂r⎠ 2πT, para t ≥ 0⎛ ∂h⎞ Qlim⎜s⎟ = −r → 0• ⎝ ∂r⎠ 2πT, para t ≥ 0Al igual que Theis, Hantush y Jacob encontraron la solución a la ecuación de movimiento, la cual es:Q ⎛ r ⎞s ( r, t) = W⎜u,⎟ [3.42]4πT⎝ B ⎠
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