TEMA 4. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

TEMA 4. SISTEMAS DEPARTÍCULAS1. Centro de masas y coordenadas relativas. Fuerzas internas y externas.2. Conservación del momento lineal total de un sistema. Sistemas de masavariable y ejemplos.3. Conservación del momento angular de un sistema.4. Energía cinética y potencial de un sistema. Energía interna. Conservaciónde la energía mecánica de un sistema.5. El caso de dos cuerpos.6. Simetrías de la energía potencial y leyes de conservación.7. Teorema del Virial.Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [Mec-Berk], [BarOls], [Golds]Chantal Ferrer Roca 2008

TEMA 4. SISTEMAS DE PARTÍCULASNOTA IMPORTANTE:Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptosfundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntescompletos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos,ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como conalguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía.Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [Mec-Berk], [BarOls], [Golds]Chantal Ferrer Roca 2008

IntroducciónriR rm icmsistemari 'NCM×rPCada partícula tiener r, viir, psistema constituido por N partículas (independientes o bienconstituyendo un cuerpo rígido)El SISTEMA, tieneir,ar r r r rR, V, P, A, L,T, Ui,rli,T , UCada una de estas magnitudes se puede obtener como la sumade las de cada una de las partículas que lo componen= ∑irp irL= ∑irL iT= ∑T iiiUi=∑iU iPERO….Puede ser más conveniente obtenerlas como el valor del CM (centro de masas) y elvalor relativo al centro de masas.rLr rL cm+ L relT = T cm+ T= relSe verifican las leyes de NewtonY los principios de conservación&rP =Frext&rL=rdLdt=rMextChantal Ferrer Roca 2008

1. Centro de masas y coordenadas relativas. Fuerzas internas y externasrirr'R rm icmsistemar r=−R×NCMi i cmposición relativa al CM(coordenadas relativas)rFifuerza totalsobre la partícula i,3ª ley Newtonri '=rFextir+ fisistema constituido por N partículas (independientes o bienconstituyendo un cuerpo rígido)rRMcmresultante de las F externas(origen fuera del sistema)r rf ij = −f ji∑= N m ii=1N=1M∑i=1rmirVAricmcmmasa total del sistemaposición del centro de masas del sistema=&rR& = Rrcmcm∑i=1NResultante de las F de interacción con las otrasN-1 partículas del sistema==1M1M∑i=1Nr rf i = ∑f ijjsistemaextF r imm & riiim ir&ivelocidadCMaceleración CMf r ijChantal Ferrer Roca 2008m j

2. Conservación del momento lineal de un sistemasistemaCM×M2ª ley Newton, partícula isumando para todas laspartículas iip&r∑= m& rii =p&r&rP =iir rP = ∑ p&rP =rFiextird(MVdtr+ fr= MVicmcmF extirext= ∑ F +i ∑∑ii j≠i∑)=rrfijr rfij + f ) = 0( jii

2. Conservación del momento lineal de un sistema. Ejemplos.rFENÓMENOS si Fextr r= 0 P = ctehttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/rocket_cart/wagon1.MPGChantal Ferrer Roca 2008− p r p rEl sistema está constituido por plataforma-persona-extintor porun lado y gases del extintor por otro. m b v b =m g v gotros fenómenos: retroceso de las armas en los disparos, retroceso de patinador al lanzar masa, etc.http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/exploding_carts/cars_explosion_eq.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/exploding_carts/cars_explosion_uneq.MPGDEMO: “explosión” de dos móviles conruedas en interacción magnética repulsivao por medio de un resortePROBLEMAS 4.1, 4.2, 4.3 a) b)del boletínCUESTIONES 44, 45

2. Conservación del momento lineal de un sistema. Ejemplos.EJEMPLO 1Dos masas unidas por un muelle1. reposo3. se sueltan2. F compresión4. movimiento?EJEMPLO 2Tiro parabólico sobre una plataforma móvilymv 0αa) Calcular posición del CM inicialmente y en un t cualquiera.b) Velocidad de la plataforma y tiempo durante el que se mueve.c) Velocidad máxima del cuerpo lanzado para que caiga sobre laplataformaLMxM = 3m, a =45º y L= 100Chantal Ferrer Roca 2008

2. Conservación del momento lineal de un sistema. Sistemas de masa variableSistema aislado de partículas constituido por subsistemas cuya masa onúmero de partículas varía, aunque la masa total del sistema comoconjunto permanezca constante.EJEMPLOS:Depósito de masa variable(cohete de Torricelli)Gota que caeen atmósferahúmedaDepósito de masa variablecon fuerza constante aplicadaImágenes de la página:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htmLluvia que cae en un vagón,que se mueve inicialmentecon v constanteDepósito de masa variableque mueve ruedas. ¿IIIaC?) referido por Herón deAlejandría (s. I dC)Chantal Ferrer Roca 2008Cinta transportadora sobre la quecae continuamente material

2. Conservación del momento lineal de un sistema. Sistemas de masa variableSistema aislado de partículas constituido por subsistemas cuya masa o número de partículas varía,aunque la masa total del sistema como conjunto permanezca constante.EJEMPLO 3: cohete a reacciónr rP = MV cmrr dPMAcm =dt=extF rIrdvdtm 11=r(m vdtd1 1)r1− v1variación de p 1r += m1v1m2v2rdv1dm1r= m1 + v1+dtdmdtmrdtrdvdtdm 1 dm= −2dt dtrdv2dm2r+ m2 + v2dt dtdmdtr2 2ext2+ (v2− v1)= Fempuje: tasa con la quepierde o gana momento cadasubsistemarextF r II==rr(m vdtdmdtsistemad2 2)r1+ v1variación de p 2m 2m 1IIIv rv r 21M = m + m21 =cteF rextsumando ambas, sistema completo:rFext=rdPdt=p&r1+pr &2Chantal Ferrer Roca 2008

2. Conservación del momento lineal de un sistema. Sistemas de masa variableEJEMPLO 3a: cohete a reacción en presencia de gravedadEl subsistema que nos interesa es el del cohete (II)r− m +2gdt= m2dv2udm2v(t)∫v(0)rdv2= m2dtrdt = m dvdv− u rr r+ (v − vdm)dtext2FII2 1rFextII22r− udm2rur r= v 1 − v 2u y v 2 tienen sentidos opuestosttdm2m2(t)2= ∫ − u − gdt u lnm∫ = − −m2(0)t=0 2 t=0dmD = 2=dtEl combustible se quema a un ritmo constanteEl cohete de empuje constantev(t) =mv(0) + u lnm − Dto0−gt= velocidadrelativa de los gases ctegtv max??x(t)ctev r 2m 2m 11v rr rF ext= Mgm(0)v (t) = v(0) − gt + u lnm(t)Tiempo que tarda en alcanzarla?v(t)∫x(t) − x0= v2dtv(0)En el espacio libre, g =0Chantal Ferrer Roca 2008PROBLEMA 4.4 del boletín: cohete con varias etapas

3. Conservación del momento angular de un sistema FENÓMENOS&rLrdL=dtr= MextChantal Ferrer 2008Demostración experimental en claserpunto desujeciónM rmgrL rRueda vista desde arribahttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/gyroscope/bicycle_wheel.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/bike_wheel_and_platform/bike_wheel_rotation.MPGL rinirM rPlataforma+ personaL rfinmgrL rruedaSi&rLr= Mext=0,rL=cteplataformagiratoriainversión de laruedarLfinr= Lruedar+ Lpersona

4. Energía cinética y potencial de un sistema. Conservación de la energía mecánicaFENÓMENOSEnergia cinética delsistemahttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/cm_in_parabolic/trashcan-throw.MPGT=T del CM (de una partícula demasa M que se mueve a lavelocidad del CM )Segundo teorema de König.12rM Vcm2+N∑i=112mirvi'2T de las partículas individualesen relación al CMCaso particular: en sólidos rígidos laspartículas del sistema mantienen lasdistancias relativas fijas y solo pueden girarrespecto al CMChantal Ferrer Roca 2008

4. Energía cinética y potencial de un sistema. Conservación de la energía mecánicaEnergia cinética delsistemaTSegundo teorema de König.=12rM Vcm2+N∑i=112mirvi'2T =N∑i=1Ti=N∑i=112mirvi2T del CM (como si fuera unapartícula de masa M que semueve a la velocidad del CM )T de las partículas individualesen relación al CMDemostración:r(tiAm i)configuración At Ar(tiA)r(tconfiguración Bt BiBm)iTrabajo dinámico que lleva el sistema de laconfiguración A a la B siguiendo trayectorias paracada partículaN BN trBr 1 r 2Wdin= Fi⋅dri= ∑ ∫ d( mivi) =2N= ∑ (T i (ti=1∑∫=i=i1BA) − T (tiA1t)) =A∆TT=N∑i=1Ti=N∑i=112mirvi2=N∑i=11 NNr 2 1 r2 &rmivi'+ ∑ miV+ R ⋅∑m ri& '22i=1i=1inulorvi2=r&r&r' + Ri2=r&r'i2+&rR2&r+ 2r&r' ⋅RiChantal Ferrer Roca 2008

5. El caso de dos cuerpos. Momento angularrL =rLrrr1 + L2= Lcm+ LrelPROBLEMA 4.3 d) y e)rLm 1relr1rr= r'rr r=rRrm =++mrcoordenadas del CM121 1 2 2'r 1m1m2r 2r r r r r rcoordenadas relativas al CM' 1= 1− R' 2= 2− Rr m 2r r r r r r2= 12=1−2=1'−2'posición relativa (de 1 respecto a 2)rrrr r m2r m1Se demuestra que:1= R +2= R −Idem para las velocidades m1+ m2m1+ m2rr1'2'r r r m2v r m1v r r m1m2r1×p'1+r'2×p'2= r × m1v'1− r × m2v'2=× ( v)M Mm1+ m2r rr r r=× ( µ v)velocidad relativa v = v 1− v 2m1m2Masa reducida µ =si m1 >> m2, µ = m2m1+ m2Chantal Ferrer Roca 2008R r × CM 'L rel

5. El caso de dos cuerpos. Energía CinéticaTT=m 1r1rrel12=rMV'112rr 22cmrm v'1r r=12r r 2R r × CM '21+12m 2rµ v1+ m222&rRm1r&r1=m1++m2r&rm22velocidad del CMr&r' r&r&r rvelocidades relativas al CM1=1−R& &r'2= r&r2− Rrv = r&r= r&r1− r&r2= r&r1'−r&r2'velocidad relativa (de 1 respecto a 2)m&r m1r&r2r&rSe demuestra que: r&r&rr&r1= R +2= R −m1+ m2m1+ m2r&r1'r&r1'r 2 1 m2r 2 1 m1r 2 1 m1m2r 2v'2= m1(v) + m2(v) = v2 M 2 M 2 m + m1PROBLEMA 4.3 c)2r r Chantal Ferrer Roca 2008Trel=1 rµ v22velocidad relativam1m2Masa reducida µ =si m1 >> m2, µ = m2m + m12

4. Conservación de la energía mecánica. El caso de dos cuerpos.fuerzas externas conservativasWWext= −B1∫Ar r∇ U dr1111−B2∫A2extF r El cambio en la energía cinética es igual al trabajo efectuado por las fuerzasexternas e internas sobre el sistema1m 1f r d r r r r r r1 12dW = F1 ⋅dr1+ F2⋅d2r f r ext r rext r r r= F1 dr1+ F2dr2+ f12d1221rm12 2ext1rF r BB⎛1r2r ⎞Br⎜ ext r ext r⎟rr drW = ∫ F1 dr1+ ∫ F2dr2+ ∫ f12d122 2 ⎜⎟⎝ Γ,A1Γ,A2⎠ Γ,A2extintWSi fuerzas internas conservativas f r12 = −∇rWU12(r12)Energía potencial interna del sistemaSólo depende de laB1,2B1,2rmr1distancia relativa Wint= ∫ f12dr12= − ∫ dU12= −∆U12m1r∇2UΓ,A21,2rd2ext intext+ W = −∆U− ∆UEnergía propia del sistema12ext∆( T + U + U12)=E0BΓ,A= ∆T1,2= −∫dU1− ∫ dUA11BAext12)UE (T + U +222= −∆(Uext1+ Uext2= constante)f r 12r12f r 12r f r 2112m2f r 21m2Chantal Ferrer Roca 2008

4. Conservación de la energía mecánica. El caso de dos cuerpos.∆E = 0EJEMPLOS:Si un sistema estáaislado la energíapropia se conservam 12E = (T + U +ext12)Uátomo de hidrógenoaisladoconstanteátomo de hidrógeno en uncampo de fuerzase2E = Tp + Te− k = Epropia= ctee ext extrE = Tp + Te− k + Up+ Ue= cteT rCM + T relE propiakm 2masas unidas por muelleCM T relEnergía propiaEn el seno delcampo gravitatorio1 2= T1 + T2+ kx + mgh1+ mgh = cte2E 2E rmás ejemplos en eltema de potencialescentrales (problemade dos cuerpos)T +Chantal Ferrer Roca 2008E propiaE = T + Uinternarel12

4. Conservación de la energía mecánicaDemostración:fuerzas internas conservativasWWNBrN Bext r= ∑ ∫ Fi⋅dri+ ∑ ∫i=1Ai, j≠i=1Ar r extW f ⋅dr= W + WBBBintr rr= ∑ ∫ (fij⋅dri+ f ji ⋅drj)= ∑ ∫ fij⋅drij= −∑ ∫ dUij= −∑i

6. Simetrías de la energía potencial y leyes de conservaciónPara cada regla de simetría en la naturaleza existe una ley deconservación correspondiente (versión pedestre del teorema de Noether)1. Homogeneidad del espacio : Conservación del momento linealinvariancia frente a traslaciones espacialesδU = 0Emmy Noetherr r r r r r ∂Ur ∂Ur0 = U(r + δ1,2+ δ2,...,t) − U(r1,2,...,t) = r δ1+ r δ2∂1∂2r rr− F r 1 − F r+ F + ... = 0 → P cte21+F1 2=...2. Homogeneidad del tiempo : Conservación de la energía∂Uinvariancia frente a traslaciones temporales 0 = δU= δt∂tr rr r ∂U0 = U(r1 ,2,...,t + δt)− U(r1,2,...,t) = δt∂tdU r ∂UdT= ∇U⋅ r&rri + = −∑ Fi⋅ r&rdE dTi = −= +dt∂tdtdt dtidUdt=0 →E=cteChantal Ferrer Roca 2008

6. Simetrías de la energía potencial y leyes de conservaciónPara cada regla de simetría en la naturaleza existe una ley deconservación correspondiente (versión pedestre del teorema de Noether)3. Isotropía del espacio : Conservación del momento angularxzθx'y'y⎛x'⎞ ⎛ cosθ⎜ ⎟ ⎜⎜ y' ⎟ = ⎜−sin θ⎜ ⎟ ⎜⎝ z' ⎠ ⎝ 0sin θcosθ0G z ( θ)0⎞⎛x⎞⎟⎜⎟0⎟⎜y⎟1⎟⎜⎟⎠⎝z ⎠matriz de giro alrededor del eje zsi δθ

6. Simetrías de la energía potencial y leyes de conservaciónEJEMPLOun sistema de dos partículas se mueve en 3 dimensiones con energía potencialr r 2 22U(r ,) = x + y − (z z ) J1 2 1 2 1 −Determina las componentes del momento de la partícula 1 que se conservanDetermina las componentes del momento total que se conservanDetermina las componentes del momento de la partícula 2 que se conservan2EJEMPLOun sistema de dos partículas se mueve en 3 dimensiones con energía potencialr r22U(r ,) = 3(z + z ) + (x − x ) + (y y ) J1 2 1 2 1 2 1 −Calcula la fuerza total ejercida sobre el sistemarCómo cambia la Energía potencial bajo un desplazamiento del sistema a = (1,1,1)Determina las componentes del momento total que se conservanDetermina las componentes del momento angular total que se conservan2Chantal Ferrer Roca 2008

7. Teorema del VirialSi son magnitudes acotadas (orb. planetarias, mov. periódicos, etc.)p ririm iNr rS(t) = ∑p i iacotadai1Promedio temporal A =τS(t) &1 1= =τ∫ Sdt &0 τ∫S( τ)− S(0dS =ττ τ)0∫ τ0 AdtChantal Ferrer Roca 2008S & (t) ?0movimiento periódico: si τ es múltiplo del periodo, S(τ)=S(0)movimiento no periódico: S(t) acotada, si τ es suficientemente largo,Luego2 T F ri∑irp r&rii=−∑ip&r rSi las fuerzas son 1 r rT =conservativas∑ i ⋅∇iU2iiiiT1= −2∑iF r ri iS &(t)=Virial (Clausius)Si hay fuerzasinternasT= −12rextr( ∑ Fii +i∑i, jfijrij)Rudolph Clausius(1822-1888)

caso :7. Teorema del VirialFuerza central inversamente proporcional a una potencia de rFuerza central Fuerza conservativaF ∝rn,U=krn+1Chantal Ferrer Roca 2008fuerzaconservativasT1 r= ∑ i ⋅∇r2iiUi=12dUr ⋅dr=12r ⋅ k(n + 1)rn=n + 12UCASOS PARTICULARES con los que este resultado es coherente1 2POTENCIAL ELÁSTICO F = −kr,U = kr n = 1 T = U2−2−1POTENCIAL GRAVITATORIO F = Ar , U = Ar n = −2 2 T = − UCluster de galaxias “Coma”VMREn 1933, F. Zwicky, aplicando el teorema del virial a un cúmulo de galaxias,dedujo una masa del cluster muy superior (100-10 veces) a la observada (Primerapredicción de la materia oscura, no aceptada por la comunidad científica hasta 40años después, con los estudios de Vera Rubin).22GMFritz2RV2 T = MV = ≈ U M =ZwickyRV = velocidad promediode las galaxias en el clusterGEstimación de lamasa del cluster

7. Teorema delVirialChantal Ferrer Roca 2008Caso:Sólo contribuyen tres paredes del cubo(aquellas en la que el producto escalarno es nulo):T= −12(∑irFextiriEcuación de estado de los gases perfectosMoléculas de un gas contenido en un cubo de lado a.Para cada pared sin vértice en el origen:+PV∑i, j=rfrij ij23)T=32+∑iPV −13rF12∑i, jextiri∑i, jfr rij ijrf= −3PVrij ijGAS IDEAL:fuerzas internas nulas= Nkτ∑rFrext 2i i = −(Pa)a =ifuerza de las paredes.Estadísticamente ┴ a ellasF rrr iiF rrii−PVSi las fuerzasintermoleculares sonatractivas, términonegativopara unamoléculaT1 2 3= mvrms= kτ2 2para NmoléculasT1 2 3= N mvrms= Nkτ2 2temperatura