Transformada integral de Fourier

lo cual implica que L 2 ⊂ I es un subespacio; mientras que la segunda (también combinada con el criterio de Cauchy) dice queexiste y es finitalo cual define un p.p.e. en L 2 .∫ ∞−∞f (x) g (x) dx (20)Recoredemos que lo que hace de (20) un p.p.e., y no un producto escalar (p.e.) genuino, es la existencia en L 2 de vectoresnulos, o funciones cuasi-nulas; i.e. funciones n ∈ L 2 tales que∫ ∞−∞|n (x)| 2 dx = 0.Si identificamos estas funciones con 0, tendremos un nuevo conjunto, que se lo denota L 2 , donde (20) sí define un p.e. Más aún,si en lugar de la integral de Riemann consideramos la de Lebesgue, puede verse que L 2 es un espacio de Hilbert, es decir, todasucesión de Cauchy en media cuadrática es convergente en media cuadrática.Vale mencionar que para los espacios vectoriales L 1 y L 2 se tiene que L 1 L 2 y L 2 L 1 . O sea que ninguno es subespaciodel otro. Por ejemplo, 4 x − 1 2 χ [0,1] (x) es absolutamente integrable, pero no de cuadrado integrable; y x −1 χ [1,∞] (x) es de cuadradointegrable, pero no absolutamente integrable.6. Transformada de Fourier en L 1 y en L 2Si f ∈ L 1 , dado que f, |f| ∈ I, tendremos que (ver propiedad 3 de la Sección 4)∫ b∫ bf (x) dx∣∣ ≤ |f (x)| dx, ∀ [a, b] ,aay utilizando el criterio de Cauchy se sigue que existe y es finita ∫ ∞−∞ f (x) dx. Además, como eiωx ∈ I y ∣ ∣ f (x) e−iωx = |f (x)|para todo x, ω, tenemos que f e −iωx ∈ I (ver propiedad 6). Pero de nuevo∫ b∫ bf (x) e −iωx dx∣∣ ≤ |f (x)| dx,acon lo cual existe la transformada de Fourier de f. Lo mismo es cierto para la anti-transformada. O sea que si f ∈ L 1 existenF (f) (ω) y F −1 (f) (ω) para todo ω. Más aún, puede verse que F (f) y F −1 (f) son funciones continuas, y por ende elementosde I. Por otra parte, si f y g son elementos de L 1 , se obtiene fácilmente la igualdad F (f + αg) = F (f) + αF (g). O sea queF define una transformación lineal de L 1 en I (idem F −1 ). El problema es que la imagen de F : L 1 → I, al igual que la deF −1 : L 1 → I, no está contenida en L 1 (por ejemplo, la transformada de χ [−1,1] es la función (sinω) /ω, que no es absolutamenteintegrable). En consecuencia, no podemos hablar de que una sea la inversa de la otra. Veremos a continuación que en L 2 lasituación es más favorable, aunque a primera vista parezca todo lo contrario .En el espacio L 2 , no podemos asegurar que exista la integral∫ ∞−∞af (x) e −iωx dx. (21)Por ende, no podemos definir allí una transformada de Fourier en términos de integrales impropias. En otras palabras, letendremos que dar otro sentido al símbolo (21). Lo que haremos será utilizar el hecho de que cualquier elemento f ∈ L 2 puedeescribirse como límite en media cuadrática (LMC) de una sucesión de elementos f M ∈ L 1 ∩ L 2 , sobre cada uno de los cuales síse puede evaluar la integral impropia (21). Es decir, dado f ∈ L 2 existe f M ∈ L 1 ∩ L 2 tal quelimM→∞∫ ∞−∞|f (x) − f M (x)| 2 dx = 0.Luego, notando por lmc M→∞ g M el LMC de g M , definiremosF (f) = lmc F (f M ) = 1 ∫ ∞√ lmc f M (x) e −iωx dx.M→∞ 2π M→∞ −∞4 Estamos notando por χ [a,b] la función característica del intervalo [a, b], que vale 1 en su interior y 0 fuera.9

Dada f ∈ L 2 , consideremos para cada M ∈ N la funciónf M (x) = f (x) χ [−M,M] (x) .Es fácil ver que f M ∈ L 1 ∩ L 2 , que f M → f uniformemente en cada intervalo finito, y que además es una sucesión de Cauchyen media cuadrática, i.e. dado ɛ > 0 existe N 0 tal que∫ ∞−∞|f N (x) − f M (x)| 2 dx < ɛ, ∀N, M ≥ N 0 .Lema. Sea g n ∈ L 2 , n ∈ N, una sucesión de Cauchy en media cuadrática tal que g n ⇒ g en todo intervalo finito, con g ∈ L 2 .Luego, g n → g en media cuadrática. (Ver Weinberger, pág. 307.)Del lema de arriba se sigue que f M → f en media cuadrática. Consideremos ahorâf M (ω) = F (f M ) (ω) = 1 √2π∫ ∞−∞f M (x) e −iωx dx = 1 √2π∫ M−Mf (x) e −iωx dx.Puede verse que ̂f M ∈ L 2 para todo M, y que además es una sucesión de Cauchy (ver Weinberger, pág. 311). Por el Teoremade Riesz-Fischer (ver Weinberger, pág. 308), el cual asegura que L 2 es un espacio de Hilbert (si trabajamos con la integralde Lebesgue en lugar de la de Riemann), ̂f M es convergente en media cuadrática a una función de L 2 . En resumen, a partir def ∈ L 2 hemos construído otra función de L 2 como el LMC de la suceción ̂f M . Podemos definir entoncesF (f) (ω) = lmc ̂f M (ω) = 1 ∫ M√ lmc f (x) e −iωx dx,M→∞2π M→∞ −My ésto será lo que entenderemos por transformada de Fourier en L 2 (o en L 2 ). En suma, hemos definido un operador linealF : L 2 → L 2 , que sobre los elementos f ∈ L 1 ∩ L 2 coincide con la integral impropia (21). Es claro que todo lo anterior tambiénes válido para F −1 . Veremos en la próxima sección que en efecto F y F −1 son mutuamente inversas como operadores sobre L 2 .Nota. La definición de F (f) para f ∈ L 2 no dice cómo hallar F (f). Sin embargo, en algunos casos sí tenemos una manerade hacerlo. Supongamos que para una f dada de L 2 la integral impropia (21) no converge, pero sí lo hace su valor principalvp ∫ ∞−∞ f (x) e−iωx dx para todo ω; es decir, la sucesión̂f N (ω) = 1 √2π∫ N−Nf (x) e −iωx dx (22)es convergente. Supongamos además que la convergencia es uniforme en ω para todo intervalo finito. Luego, dado que (22) esuna sucesión de Cauchy en media cuadrática, tendremos del lema anterior que ( 1/ √ 2π ) vp ∫ ∞−∞ f (x) e−iωx dx es también LMCde dicha sucesión. Luego, a menos de una función cuasi-nula,F (f) (x) = 1 √2πvp∫ ∞−∞f (x) e −iωx dx.O sea, que si existe el valor principal arriba mencionado y su convergencia es uniforme en ω (para todo intervalo finito), tenemosuna manera concreta de calcular F (f). 7. Fórmulas de inversiónVamos a mostrar ahora que si f ∈ L 2 , luego F [ F −1 (f) ] = F −1 [F (f)] = f. Para ello necesitamos introducir un par deidentidades útiles.Al demostrar que las funciones ̂f N (ω) = ∫ N−N f (x) eiωx dx pertenecen a L 2 (ver Weinberger, pág. 311), se deduce laimportante fórmula∫ ∞∣ ̂f ∫ (ω) ∣ 2 ∞dω = |f (x)| 2 dx,−∞−∞10

denominada ecuación de Parseval. Dadas f, g ∈ L 2 , si aplicamos dicha ecuación a las funciones f ± g y f ± ig, se deduce laecuación de Plancherel∫ ∞∫ ∞̂f (ω) ĝ (ω) dω = f (x) g (x) dx.Ecuaciones análogas valen para la antitransformada:−∞−∞∫ ∞−∞˜f (ω) ˜g (ω) dω =∫ ∞−∞f (x) g (x) dx,siendo ˜f = F −1 (f) y ˜g = F −1 (g).Volvamos ahora sí al problema que nos ocupa. Dado x o ∈ R, consideremos la función característica χ [0,xo] del intervalo[0, x o ]. Se puede ver fácilmente queF[ ]χ [0,xo] (ω) = 1 − [ 1 − e√ e−iωxoy F −1 −iωx o]√ (x) = χ [0,xo] (x) . (23)2πiω 2πiωDada f en L 2 tendremos∫ xo0F −1 [F (f)] (x) dx = ∫ ∞−∞ F −1 [F (f)] (x) χ [0,xo] (x) dx (1)= ∫ ∞−∞ F −1 [F (f)] (x) F −1 [1−e −iωxo√2πiω](x) dx(2)= ∫ ( )∞−∞ F (f) (ω) 1−e √ −iωxo2πiωdω (3)= ∫ ]∞[χ−∞ F (f) (ω) F [0,xo] (ω) dω(24)(4)= ∫ ∞−∞ f (x) χ [0,x o] (x) dx = ∫ x o0f (x) dx.La cadena de igualdades se justifica de la siguiente manera:(1) por la segunda parte de (23);(2) por la ecuación de Plancherel para F −1 ;(3) de la primera parte de (23);(4) por la ecuación de Plancherel para F.En resumen, para todo x o ∈ R tenemos, conjugando la igualdad obtenida en (24),∫ xo0[F −1 [F (f)] (x) − f (x) ] dx = 0.De esto se deduce que F −1 [F (f)] (x) − f (x) es una función cuasi-nula. Es decir que, bajo la identificación mencionadaanteriormente, f = F −1 [F (f)]. Del mismo modo se puede ver que f = F [ F −1 (f) ] . Hemos mostrado así que F : L 2 → L 2 esun isomorfismo lineal, con inversa dada por F −1 .Las identidades f = F [ F −1 (f) ] y f = F −1 [F (f)] involucran límites en media cuadrática. Si la función f está en L 1 y esde clase C 1 , la ecuación f = F −1 [F (f)] adopta un forma más explícita, a saber:f (x) = 1 ∫ ∞2π vp ̂f (ω) e −iωx dω = 1 ∫ ∞(∫ ∞)−∞2π vp f (x) e iωx dx e −iωx dω.−∞ −∞Si ̂f también está en L 1 , entonces podemos omitir el símbolo vp.8. Transformada de Fourier sobre distribucionesPara terminar, mencionaremos brevemente cómo se define la transformada de Fourier sobre distribuciones.Dadas funciones f, g suficientemente buenas (por ejemplo, si pertenecen a L 1 ∩ L 2 ), es fácil probar que∫ ∞−∞̂f (x) g (x) dx =∫ ∞−∞f (x) ĝ (x) dx.11

Si vemos a f como a su distribución T f asociada y vemos a g como a una función de prueba, la identidad de arriba nos inducea definir la transformada de Fourier de una distribución T como la distribución F (T ) tal que〈F (T ) , ϕ〉 = 〈T, F (ϕ)〉para toda función de prueba ϕ. El problema es que si ϕ tiene soporte compacto, su transformada de Fourier no. Es necesarioentonces considerar otro espacio de funciones de prueba. La experiencia mostró que el adecuado parece ser el de las funcionesde decaimiento rápido. Se trata de las funciones ϕ : R → C de clase C ∞ tales quex n ϕ (k) (x) → 0 cuando x → ±∞para todo n, k ∈ N ∪ {0}. Llamaremos S a tal conjunto. Se puede ver que S es un subespacio de L 1 , y más aún, que si ϕ ∈ S,luego F (ϕ) ∈ S. En tal espacio el límite de sucesiones se define de la siguiente forma:ϕ n →Sϕ si x r ϕ (k)n ⇒ x r ϕ (k) , ∀r, k ≥ 0. (25)Las distribuciones sobre S, cuyo conjunto denotaremos S ′ , se definen como las transformaciones lineales T : S → C que soncontinuas en relación a la noción de límite definida arriba, es decirsi ϕ n →Sϕ =⇒ T (ϕ n ) → T (ϕ) ,donde el último límite debe entenderse en el sentido usal (el de sucesiones numéricas). A las distribuciones sobre S se las llamadistribuciones temperadas.Ahora sí podemos definir la transformada de Fourier sobre distribuciones. Dada T : S → C se define F (T ) : S → C por lafórmula〈F (T ) , ϕ〉 = 〈T, F (ϕ)〉 , ∀ϕ ∈ S.Puede verse que F (T ) ∈ S ′ (i.e. es una distribución temperada). La misma definición se hace para la anti-transformada. Porsupuesto que todo lo anterior puede generalizarse a R n .Dado que la delta es una distribución temperada, podemos calcular su transformada de Fourier:〈F (δ 0 ) , ϕ〉 = 〈δ 0 , F (ϕ)〉 = F (ϕ) (0) = 1 √2π∫ ∞siendo I la distribución asociada a la función idénticamente 1, i.e. I = T 1 . O sea queF (δ 0 ) = 1 √2πI.−∞ϕ (x) dx = 1 √2π〈I, ϕ〉 ,En general, dado α ∈ R,F (δ α ) = 1 √2πT e −iαx.12