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SEMINARIO 2UNAM, MEXICO, MAYO, 2006.Estudios numéricos y dinámicosvia funciones Wavelets,de ecuaciones diferenciales parcialesno-linealescon soluciones tipo SolitonDra. Lilliam AlvarezCITMA-CUBACUBAlilliam@citma.cu

EDPs con soluciones tipo SOLITON• Korteweg-deVries:(Describes wave trains with weak dipersion. The KdV replaces theBurgers' equation in models with extremely weak dispersions.)u t + 6 u u x + u xxx = 0• Non-linearShroedinger:(Describes the modulation of cuasi-monchromatic wave trains.)iu + u ± u u =• Sine Gordon:txx( Is a special case of wave trains near to dispersive instabilities.)u − u + sin( x) = 0txx20

Breve recuento histórico sobrelos Solitones1892, Boussinesq Eq.1894, J. Scott Russel,(Famosa observación)1895, Korteweg andde Vries1954, Fermi et al.(obervacionesnuméricas)1958, Gardner andMorikawa, PlasmaPhysics1964, Óptica no-lineal 1964, Kruskal andZabussky, “anomalus”comportamientos1967, Shabat andZajarov, Dispersióninversa1971, Ecuación No-Lineal deSchroedinger.

La ecuación de KdVu + uu + u =ε μ 0t x xxxSi ε = 0 , funciones de AirySi μ = 0 , Ecuación de Burgers

Dos ecuaciones clásicas con soluciones de tiposoliton:Korteweg-de Vries:uSchrödinger No-lineal:t+ μuux+ εuxxx=0iut+ u + νuuxx2=0Qué son los solitones?Son soluciones de ecuaciones de ondas no-lineales y secomportan con dos propiedades permanentes :•Viajan largas distancias y en el tiempo sin cambiar laforma, como una•Interactúa de forma fuerte con otras soluciones como siellos representaran una “entidad propia” o “partículolocalizada”.

ESQUEMA NUMÉRICA HÍBRIDO:HMETODO DE LÍNEAS L+ WAVELETS +DIFERENCIAS FINITASIDEA: : construir un algoritmo para calcular solucionesviajeras, tipo soliton, , sobre una malla adaptiva no-uniformeuniforme.Pasos principales del procedimiento :1. Partiendo de la condición inicial de la EDP de evolución,construir . una representación Wavelet sparse, y con ello unamalla no-uniforme sparse en la variable espacial inicial.2. Discretizar en la EDP solo la variable espacial en los nodosdefinidos, usando un esquema en diferencias finitas centradas.3. Resolver el sistema de EDOs resultante de tipo stiff4. En cada paso temporal que automáticamente elija el resolvedorODE para avanzar en el tiempo, reconstruir un representaciónsparse wavelete y con ello, construir una malla adaptativa en lavariable espacial.

φ(x)=2∑k=0Wavelet: : definiciones y relacionesConsider two functions which are solutions to the following equations:L−1L−1∞φ(x)is normalized: φ ( x ) dx = 1hφ(2x−k),kψ(x)=j−j2 j − jLet φ ( x)= 2 φ ( 2 x − k )kk2∑k=0gφ(2x−k)kj−j2 j − jand ψk( x)= 2 ψk( 2 x − k)where j, k are integers denoting the dilations and translations.L −The coefficients { } 1 L −H = h kand G = { g } 1 k = 0k k = 0are the filters and are related by:kgk= ( −1)hL−k, k = 0,1,..., L −1and are chosen so that,∞jj mψkwill satisfy ∫ ψ k( x)ψl( x)dx = δklδjm0Also ( x)ψ 0( x)∞∫−∞−∞ψ = satisfiesmψ ( x)x dx = 0, m = 0,1,..., M − 1The spaces spanned by φ and ψ over k with fixed j are:Vj= spank∈Zjφ ( x),kWj= spank∈Zjψ ( x)k−∫∞(Orthonormal. Basis)(M vanishing moments.)

PROPERTIES :•These spaces satisfyV... ⊂ V ⊂ V0⊂ V− 11⊂2•We say that L ( R)= ⊕ Wjj∈Z•Two more properties:∩V = {} 0 and = L 2 j∪V j( R)2•Any f ( x)∈ L ( R)can be written asP0V0f(x)∑ ∑j∈Zk ∈ Z...∞j jjjkψk( x ) , dk= ∫ f ( x ) ψk( x )− ∞= ddx= W ⊕ W ⊕ ...f(x)=1∑k∈Zsjkφjk2(x(wavelets form anorthonormal basis of L 2 )due to the orthonormality of the wavelets. In this expansion, functions witharbitrarily small-scale structures can be represented. But, in practice, in thecomputer there is a limit J, which depends on how fine the grid is in thenumerical scenario:( j is the scale and k is the location))+J∑⊕∑j = 1 k ∈ ZWdjkJψjk⊕(x)VJ

Matriz de Descomposición WaveletThe following two recursion relations can be found for thecoefficients:sjk=n = 2 M∑n = 1hnsj − 1jn + 2 k − 2 , d k =n = 2 M∑n = 1gnsj − 1n + 2 k − 2The decomposition matrix embodied in these two equationsis denoted byj , j + 1LetjP N×Ns contain the scaling function coefficients at scale j.Therefore P maps s j onto s j+1 and d j+1 ::Pj,j+1N×N:s⎢⎣d[ ]⎡ j+1 ⎤s → ⎥⎦jj+1Note that vectors at scale j+1 arehalf as long as vectors at scale j.The decomposition or representation of a any function in waveletbasis is done in the following form:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡8765432143212121876543214321432187654321443322118765432187654321887766554433221116151413121110987654321ddddddddDDDDDDSSddddddddDDDDSSSSddddddddDSDSDSDSddddddddssssssssdsdsdsdsdsdsdsdsffffffffffffffffetcnpermutatiomatrixnpermutatiomatrixPara obtener una representación sparse de una función se colocancomo igual a cero, todos los coeficientes que sean menores que unvalor umbral: threshold value:ε≤jkd(Thresholding step)

Esquema de subidivisión iterpolatoria(Deslauriersand Dubuc, , 1989)Se construye una mall diádica:Vj={ }x ∈R x = 2 − jk,...k∈Zi,j: i,jSe interpola en el siguiente nivel usando los valores de lafunción en la malla mas gruesa, como sigue:⎪⎧⎨⎪⎩ffjj+ 1, 2+ 1, 2kk=+ 1=fj , kPj+ 1, 2k+ 1( x )j + 1, 2 k+ 1

La localización n de los nodos de interpolación n en losdiferentes niveles de arriba abajo es como sigue:V 0V 1V 2V 3El polinomio de interpolación se P 1( ) selecciona como sigue:j + 1,2k+xEjemplo:Pj+1,2k+ 1( xj,k+l) fj,=k+lj+ 1,2k+1 = j , k + j , k+12for1f ( f f ) si p = 21f ( )j+ 1,2k+1 = − f j , k−1 + 9 f j , k + 9 f j , k+1 − f j , k+2 si p = 4.16−p2

INTERPOLATORY WAVELETS, Donoho, , 1992.These wavelets correspond to the interpolating subdivisionscheme as follows:δ 0,k ∈Starting the subdivision from the sequence { } k ZOn V 0 and refine to V l , in the limit l → ∞we will get what Donoho, (1992), calls the scaling function, orfundamental function of Deslauries and Dubuc, ϕ(x)From the construction, ϕ has compactsupporton[ − p +1,p −1]is symmetric around x=0 and is cardinal, in thesenseϕ( k)δo,= k ,k∈Doing translations and dilations of (x)ϕjk(x)we can define the interpolant of f(x) in any V j by:} k ∈ ZPjfZ∑(,kwhere { ϕj,k is a basis in V j .x)= fj, kϕj k( x)jϕ by =ϕ(2x−),k

La Transformada Wavelet de interpolaciónIntroduciendo los espacios W j tal queVj+1= Vj⊕WSe puede representar una función en el espacio V j + 1 como sigue:P ( x)∑ j+ 1f ( x)= fj+1, kφj+1,kkjConsiderando las bases{ ψj,k}k∈Zde W j , se puede escribir queP − = ∑j+1f ( x)Pjf ( x)dj,kψj,k( x)jDonde ψ ( x)=ψ (2 x − )j, kkSon las funciones wavelets y d j,k son los coeficientes wavelets.k

Los Wavelets usados en esta trabajo fueron los introducidospor by Donoho con su correspondiente , InterpolatedSubdivision Scheme.Las funciones pueden ser representadas en dos formasdiferentes :∑ ∑j+, kφj+1, kx)or fj,kφj,k( x)+kf ( x)∑1( dj,kψj,kkkPara representar la funcion ven una malla mas fina, ladescomposición se repite recursivamente :∑kf∑ ∑ ∑J , kφJ, k( x)= fj , kφj kx + d0 ,( )j,kψj,kkj ≤ j

Los coeficiendes wavelets, d, codifican el erro en el paso de lainterpolación, y de esta forma señalan dónde la función secomporta con formas abruptas. La figura ilustra el proceso:Cuando el punto interpolado esta cerca de la fronteral setoma los p puntos del lado interior con los pesos tomados deforma la trasformada inversa, hace le proceso de forma inversa,Añadiendo las correcciones a la predicción interpolada :fj+ 1,2 k+1= dj, k+ Pj+ 1,2 k+1( xj+ 1,2 k+1),∀k∈Z

g l′Diferenciación uni-dimensionaly paso por el umbralLa primera derivada se calcula en cada nodo de la malla sparse1f ′(x)= ∑ g′lf ( x + lh)h(x)lDonde los coeficientes g´ son los pesos del esquema en diferenciasfinitas centradas.Para la aproximación de la segunda derivada se procede manerasimilar.Si el nodo donde se aproximan las derivadas está cerca de lasfronteras, se toman los pesos apropiados, para garantizar el mismoorden de la aproximación.Para obener los representación Wavelet sparse, todos los coeficientesque sean menores que el umbral τ , se igualan a cero.dj, k< τ ⇒ dj,k=0

El refinamiento de la malla para las diferenciasfinitas y los Wavelets:2Cuando se usa un método wavelet éste es equivalente a usarmétodos en diferencias finitas con refinamiento de la malla en lasregiones donde hay pequeñas estructuras, detalles, cambiossignificativos, shocks, singularidades.2El ‘refinamiento’ se efectúa añadiendo funciones bases waveletsen las regiones donde hay un comportamiento singular y que secorresponde donde el coeficiente wavelet, d, tiene un mayor valor.Esto equivale a añadir nodos en la malla.2Al usar métodos Wavelets hay una correspondencia con losoperadores en diferencias finitas centradas.2Se demuestra además, que existe una superconvergencia en losnodos escogidos con esta técnica.*Resultados of L. Jameson, NASA Langley Research Center

El Método de líneas es una técnica semi-discreta que transforma laEDP en un sistema de EDOs.Discretizando las derivadas espaciales usando un esquema endiferencias finitas centradas:(2u / )x x x iV 1 ( xi, t ) ≈ 2=u( uxxx)x x iV 3 ( xi, t ) ≈=′ i =1,Ns( x , t ) = − 6 V 1 ( x , t ) − V 3 ( x , ti( uxx)x x iV 2 ( xi, t ) ≈=Para la ecuación the KdV tenemos :i(conservativa !)Y para la no-lineal de Schrödinger :2u ′ ( xi, t ) = V 2 ( xi, t ) ± u ( xi, t ) u ( xi, t ), i =1,NsEn cada paso temporal, se construye unaMALLA ADAPTIVA SPARSE Y NO-UNIFORMEEl sistema de EDOs se completa con las N s condiciones iniciales a partide la evaluación, discretización y represnetación de la función de lacondición inicial de la EDP en la mmala inicial sparse con N s nodos.Ej. Malla uniforme →≈ 200 nodos, Malla Sparse →≈ 20 nodosi),

Representación Wavelet sparse:ResumenSe construye una malla diádica:Vj={ }x ∈R x = 2− jk,...k ∈Zi,j: i,jSe usa un polinomio de interpolación para refinar la mallainicial :⎪⎧f⎨⎪⎩fj+1,2k=j+1,2k+ 1fj,k= Pj+1,2k+ 1( x )j+1,2k+ 1

Se interpola en el siguiente nivel usando los valoresde la función en la malla mas gruesa del nivelanterior, como sigue :1f ( )j+ 1,2 k+1= fj,k + fj,k+1si p = 2,21f ( )j+ 1,2k+1= −fj,k−1+ 9fj,k + 9fj,k+1−fj,k+2 si p = 4.16TLos coeficientes wavelets son obtenidos por:( x )d , k∈Zj, k = f j+ 1,2 k+1−Pj+ 1,2 k+1 j+1,2 k+1

Así vemos cómo los coeficientes wavelet codifican o señalanEl error de la interpolación de un nivel a otro :El siguiente paso es el del Umbral, reteniendo sololos coeficientes d, y por ende los NODOS, donde se cumplaqued j ,k>ε

Antes de la operación del corte con el umbral, se tiene unafunción con una aproximación localmente cúbica (si p=4). Se retienesólo un número Ns de coeficientes indicando la psoición y el númerode nodos, Ns.>>Una función reperesentada con los wavelets interpolatorios, seconsidera bien comprimida o compactada si if Ns Una función suave será representada por una pequeña cantidadde coeficientes dj,k significativos. En las regiones donde la función essuave ser requieren pocos coeficientes y nodos para describirla. Sinembargo, si tiene capas limites, singularidades o zoans abruptas, enesas regiones se rqeuerirán mas coeficientes, y por ende mas nodospara describirla.>>Así construimos una malla adaptiva!>>Esta representación de una función, usando solo Nspuntos se llama “representación sparse de una función”.

La representación Wavelet sparse delas derivadas .Usando un esquema de diferencias finita centradas, deorden 4, (p=4), y comenzando con la respresentaciónsparse de la condición incial se construye la rpresentaciónde las derivadas, hasta tercer orden, (necesarias paraux uaproximar ux o uxxx en la EDP)or xxx1f ´ ( x) = ∑ g´l f ( x+lh)h l11f ´´ ( x) = ∑ g´´l f ( x+lh), f ´´´ ( x) =2∑ g´´´l f ( x+lh)3h lh lDonde los filtros g’, g’’ and g’’’ son obtenidos de lascorrespondientes derivadas del polinomio deaproximación

El Métodode líneaspara la ecuación KdV.• Dada la ecuación general KdV:ut+ x xxxε( u2 /2) +μu=0• Se aproximan las derivadas espaciales viarepresentación sparse wavelet :(2u )V1( x, t) / 2i≈ V x t ( u )=x x x i3( , ) ≈=i xxx x x i• Obteniéndose el siguiente sistema de EDOs :u′ x t = − V1 x t − V3x t( , ) ε ( , ) μ ( , ),i i i

EXPERIMENTOS NUMÉRICOS.Ecuación de Burgers:2∂ u ∂ u 1 ∂ u+ u =2∂ t ∂ x Re ∂ xux or u xxx1.210.80.60.40.20-0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1Localización de loscoeficientes significativosen los diferentes niveles65432100 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ecuación KdV :1.210.8∂ u∂ t+u∂∂ux=1Re∂∂3xu30.60.40.20-0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1Ecuación KdV-Burgers:1.21∂u∂t+u∂u∂x3∂ u+ δ3∂x2∂ u= υ2∂u0.80.60.40.20-0.2-1 -0.5 0 0.5 1

ESTUDIOS DINÁMICOS:Como es usual en la búsqueda soluciones de tipo ondas solitarias, seconsidera una forma especítica para la solución de u en la ecuaciónKdV :u( x,t)= U ( x −Vt)Sustituyendo en la ecuación KdV e integrando :μ 2−VU + U + εU′′′ = C2Que es equivalente a un sistema de EDOs de primer orden :x′=yC Vx μ 2y′= + −ε ε 2εxEste es un sistema Hamiltoniano cuya primera integral es :H1=2C−εV2εμ−6ε22 3( x,y)y x x x−

Conclusiones sobre el comportamiento dinámicoSe buscan ondas solitarias que se mueven de cero hacia el infinito, ylo mismo sus derivadas, lo que significa que ambos conjuntos límitesde las órbitas deben ser el punto fijo (0,0).1 2 C V 2 μ 3H ( x,y)= y − x − x − x2 ε 2ε6ε•Si C = 0 , los puntos fijos son (0,0), (2V/m,0), para V > 0, el primeroen un saddle, y el segundo es un centro.•La existencia de la órbita homoclínica (solución tipo -soliton) puedededucirse de H(x,y) y se corresponde con la componente acotada delcontorno de nivel cero de H(x,y).

•Si V < 0 entoces (0,0) es un centro y ningulaórbita homoclínica va hacia (0,0), lo que significaque no se pueden obtener soluciones de tipoondas solitaria que se anulen en ± ∞ y que semuevan hacia la izquierda.•Si C ≠ 0 no hay solitones que se anulen en ± ∞,pero sí hay órbitas periódicas y también otraórbitas homoclínicas.H12V2εμ−6ε22 3( x,y)y x x x=C−ε−Diagrama de Fase de la ecuación KdV :

En el caso de la ecuación NLS, solamente nos ocupa el valorabsoluto de la solución. Buscamos soluciones de la formau(x,t)=A(x−Vt)ei(φ ( x−Vt) + αt),A(x−Vt)Sustituyendo esta expresión en la ecuación NLS y usandola parte real y la parte imaginaria se obtiene final,enteuna ecuación que invlucra sól a A:A′′=2C4A3⎛+ ⎜α−⎝V42⎞⎟A−νA⎠Que es equivalente al sistema de EDOs de primer orden :x′=y′=yC4x232⎛ V ⎞+ ⎜α − ⎟x−νx⎝ 4 ⎠33≥0,V≠0.

Y que es el sistme Hamiltoniano cuy primera integral es:H ( x,y)=12yC8x1414⎛= 2⎜α−⎝22 2 2 4 2− − a x + x , aV24⎞⎟⎠Conclusiones sobre el comportamientodinámico.• Nuevamente buscamos ondas solitarias que tieden a cero enel infinito, así como sus derivadas. Esto significa que ambosconjutnos límites de la órbita deben ser el pnto fijo (0,0).

H ( x,y)=12yC8x14⎛= 2⎜α−⎝•Si C = 0 los puntos fijos son (0,0), (a 2 /2n,0), (–a 2 /2n,0), para V > 0 ,el primero es un saddle, los otros son centros.• En el contorno de nivel cero de H(x,y), yacen dos órbitashomoclínicas, pero puesto que Two homoclinic orbits lie in the A > 0,y debido a que u es el módulo de la función de onda, entocnessolamente el semi plano derecho contiene soluciones significativas.Diagrama de Fase de la ecuación NLS :1422 2 2 4 2− − a x + x , aV24⎞⎟⎠

TESTS NUMÉRICOSTest 1: KdV u μuu+ εu= 0t+x xxxLos datos son: μ = 1, ε = 0.000484 y la solución exacta es :u(x,t)=3ccosh−2c( kx − kct + d ), c = 0.3, k = , d =4ε−k

Test 2: NLS con ν = 1.iut+ u + νuuxxLos datos son : α = 2, a = 2(α – V 2 / 4), V = 1.La solución exacta es:⎛ a(x −Vt)⎞ ⎛V( x −Vt)⎞u(x,t)= a sech⎜⎟expi⎜+ αt⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2=0Las soluciones numéricas muestran total coincidencia con elcomportamiento dinámico de las ONDAS SOLITARIAS .

Test 3: NLS con ν = 2. La solución exacta es desconocida y lacondición inicial es :u( x,0)= π 2(1 + 0.1cosπx)

Sobre el Método de líneas + Wavelets• La transformada wavelet sparse es una técnica competitivapara resolver EDPs no lineales, usando una pequeñacantidad de nodos en una malla adaptativa y que capturamuy bien los shocks u otras discontinudiades de lasolución.• La aproximación de las derivadas u or xu xxx con el mismo orden deaproximación es un resultado mejor al presentado porHolmstrom, 1996.• Las diferentes irrefularidades de la solución, comoregiones no suaves, solitones, capas límites, shocks, soncapturadas eficientemente con el as transformada waveletsparse, combinada con el código ode23s.m de Matlab.• Ya se cuenta con otras soluciones en 2 D para modelostipo “shallow water” para simulaciones de “moving front”,como puede ser un frente frío, etc.).

ConclusionesaLos resultados presentados ilustran elcomportamiento complejo de las soluciones de algunasEDPs no lineales, en las que, encontrar técnicas tnuméricas apropiadas es todavía a un reto.aLa utilización n de las funciones wavelets abre uncampo importante de posibilidades para el desarrollode algoritmos numéricos eficientes.aUsando estas técnicas tse pueden obtener solucionesy hacer estudios de la dinámica de las mismas, convalores de los parámetros que los métodos mclásicos osoftwares estándares como MAPLE o MATLAB no lopermiten.Gracias!