Contribuciones a la teoría del valor en juegos cooperativos con ...

24.4. Valores pseudo-probabilísticos .................................1674.5. La propiedad de simetría espacial ............................. 178Conclusiones ....................................................191Símbolos y notación básica ....................................197Bibliografía ......................................................201

REFORZAMIENTOEl resultado de la violación de las reglas y el reglamento de la escuela, basada en frecuencia y seriedad, puede ser el reprender, eladvertir, la detención, la destitución de privilegios, la suspenión o expulsión. El castigo fisico no está autorizado. Los padres seráninformados e involucrados en los asuntos que no sean casos de rutinas y otros menores. En todos los casos de suspensión o expulsión,debido a los pasos del procedimiento, no serán menos que aguellos requeridos por las politicas del Distrito y las leyes. Además de lasreglas y el reglamento del Distrito Escolar No 9 de Tillamook plasmadas aqui, esperamos que los alumnos obedezcan las leyes delEstado de Oregon y las leyes de los Estados Unidos. En la propiedad de la escuela, las violaciones de las leyes públicas en lassiguientes categorias, serán el resultado de las acciones disciplinarias tomadas por las autoridades de la escuela sean o no, presentadascon cargo criminal: incendio premeditado; asalto; robo con allanamiento; amenazas de bombas; extorsión o chantaje; latrocinio;vandalismo; robo; ventas; la posesión o uso de bebidas alcohólicas o drogas ilegales; el traspaso a la propiedad privada; la interferenciailicita o la persecución a las autoridades de la escuela.Comentarios/Preguntas pueden ser dirigidas a: al Superintendente Randy Schild, (503) 842-2558 ext 2. Agosto 20098

Capítulo 1Índices de poder en juegossimplesEste capítulo está dedicado al estudio de los juegos simples. Se comenzaráhaciendo una revisión de conceptos y resultadosbásicosrelativosalosjuegosTU. Más adelante, se analizarán con más detalle los juegos simples, centrandoeste análisis en el estudio de distintos índices de poder.1.1 Conceptos básicos de juegos con utilidadtransferibleDefinición 1.1.1 Un juego cooperativo con utilidad transferible es un par(N,v) donde N = {1, 2, ..., n} es el conjunto de jugadores y v :2 N −→ R esuna función que verifica que v (∅) =0.La función v se denomina función característica del juego. Dada una coaliciónT ⊆ N,v (T ) representa el pago que se pueden asegurar los jugadores de T ,independientemente de cómo actúen el resto de los jugadores.Vamos a denotar por TU (N) el conjunto de todos los juegos cooperativos conutilidad transferible en los que el conjunto de jugadores es N = {1, 2,... ,n}.En algunas ocasiones, identificaremos un juego (N,v) con su función característicav por cuestiones de simplicidad en la notación.Un juego (N,v) de TU (N) se dice que es superaditivo si para todo par decoaliciones S, T ⊆ N, tal que S∩T = ∅ se tiene que v (T ∪ S) ≥ v (T )+v (S) .7

8 Índices de poder en juegos simplesUn juego (N,v) de TU (N) se dice que es monótono si v (T ) ≤ v (S) , paratodo par de coaliciones S, T ⊆ N tal que T ⊆ S.Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) :• Se dice que un jugador i ∈ N es un títere siv (S ∪ i) =v (S)+v(i), para cualquier coalición S ⊆ N\i.• Se dice que i ∈ N es un jugador nulo siv (S ∪ i) =v (S) , para cualquier coalición S ⊆ N\i.• Se dice que dos jugadores i, j ∈ N son simétricos si v (S ∪ i) =v (S ∪ j) ,para cualquier coalición S ⊆ N\{i, j} .• Un soporte para el juego es una coalición T que verifica v (S) =v (S ∩ T ) , para cualquier coalición S ⊆ N.Se dirá que un juego (N,v) de TU (N) es un juego de unanimidad si existeuna coalición S tal que:½ 1 si S ⊆ Tv (T )=0 en otro casoEn este caso, se denotará por u S su función característica. En Shapley (1953)se demuestra que dado un conjunto N finito, la familia de todos los juegos deunanimidad que pueden definirse, constituye una base del espacio vectorialTU (N). En concreto, se demuestra el siguiente resultado.Teorema 1.1.1 Si (N,v) ∈ TU (N) entoncesv =Xc S u S , (1.1)S∈2 N \∅donde c S (coordenada de unanimidad) es el número realc S = X (−1) s−t v (T ) .T ⊆SAdemás, (1.1) es la única forma de expresar v como combinación lineal delosjuegosdeunanimidad © u S /S ∈ 2 N \∅ ª .

Conceptos básicos de juegos con utilidad transferible 9Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) , suponiendo que existe algún tipo de acuerdoentre los jugadores, existe una cantidad v (N) que los jugadores tienen pararepartirse entre todos ellos. Esto puede hacerse de cualquier forma, peroparece lógico suponer que ningún jugador aceptará un pago menor de lo quepuede obtener por sí solo. Teniendo en cuenta esto se obtiene un subconjuntode R n que contiene a todos los vectores de pago “razonables”. Este conjuntose denomina conjunto de imputaciones.Definición 1.1.2 Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) se dice que un vectorx ∈ R n es una imputación si satisface las dos condiciones siguientes:i) x i ≥ v (i) , para todo i ∈ N.Pii) n x i = v (N).i=1Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) se denotará por I (N,v) el conjunto deimputaciones de dicho juego.Es evidente que dadas dos imputaciones x y z distintas y teniendo en cuentala segunda propiedad, existirán jugadores que prefieranunadeellasfrenteala otra. Se formalizará esta idea con la siguiente definición.Definición 1.1.3 Sean (N,v) ∈ TU (N) y x, z ∈ I (N,v). Se dice que xdomina a z atravésdeS ∈ 2 N \∅ si se verifica:i) x i >z i , para todo i ∈ S.ii) P i∈Sx i ≤ v (S) .La primera condición establece que los jugadores de S prefieren el valor queles asigna el vector x al correspondiente en el vector z, mientras que lasegunda condición establece que el vector x es factible para S, en el sentido deque la cantidad total propuesta por x para los jugadores de S no es superiora la cantidad que los jugadores de S pueden garantizarse, v (S).Se dice que x domina a z si existe una coalición S ∈ 2 N \∅ tal que x dominaa z atravésdeS.En Gillies (1953) se introduce el concepto de núcleo.

10 Índices de poder en juegos simplesDefinición 1.1.4 Se define el núcleo de un juego (N,v) ∈ TU (N) ysedenotará por Nu(N,v) como el siguiente subconjunto de I (N,v),(Nu(N,v) = x ∈ I (N,v) / X )x i ≥ v (S) , para toda coalición S ∈ 2 N .i∈SDado un conjunto finito N, pueden encontrarse juegos de TU (N) en los queel núcleo es vacío y otros en los que está formado por más de un vectorde pagos. Si el juego es superaditivo, el núcleo coincide con el conjunto deimputaciones no dominadas.El núcleo, al igual que el conjunto estable definido por von Neumann y Morgenstern(1944), selecciona vectores de pagos teniendo en cuenta que el vectoro conjunto de vectores seleccionado sea estable. En esta memoria, el estudiose centrará en soluciones que asignan a cada juego un único vector de pagosy que se determinan buscando que el resultado final sea “justo”. Para ello,se proponen diversas propiedades y se trata de caracterizar una solución apartir de estas propiedades. En primer lugar, se establece el concepto desolución sobre TU (N).Definición 1.1.5 Una solución sobre TU(N) es una aplicaciónf : TU (N) −→ R nque a cada juego (N,v) ∈ TU (N) le hace corresponder un vector de R n ,donde la componente i-ésima del vector representa el pago que recibe el jugadori.Se comenzará enunciando algunas propiedades empleadas en la literaturapara caracterizar una solución f : TU (N) −→ R n .Eficiencia (EFI) . Una solución f : TU (N) −→ R n es eficiente si para todojuego (N,v) ∈ TU (N) , se tiene quenXf i (N,v) =v (N) .i=1

Conceptos básicos de juegos con utilidad transferible 13contribuciones marginales que dicho jugador hace a todas las coaliciones alas que se une. En el capítulo 4 se verá que estas soluciones pertenecen a unafamilia de soluciones, denominada la familia de los valores probabilísticos.Para el valor de Shapley los pesos asignados a cada coalición dependen desu tamaño, mientras que en el valor de Banzhaf todas las coaliciones sonequiprobables.En 1985, Young caracterizó el valor de Shapley empleando la propiedad demonotonía fuerte.Teorema 1.1.4 La única solución f definida en TU (N) que satisface MF,SIM y EFI es el valor de Shapley.Es inmediato comprobar que el valor de Banzhaf también satisface la propiedadde monotonía fuerte. En el siguiente teorema, proponemos una nuevacaracterización del valor de Banzhaf, del que se omite la demostración porser similar a la del teorema 1.1.4.Teorema 1.1.5 La única solución f definida en TU (N) que satisface MF,SIM y PT es el valor de Banzhaf.Otras caracterizaciones del valor de Banzhaf pueden verse en Lehrer (1988)o en Nowak (1997). Otra caracterización del valor de Shapley fue obtenidapor Hart y Mas-Colell (1989). A continuación, se describirá el procedimientopara obtener estos valores mediante la extensión multilineal del juego.Extensiones multilinealesUna de las principales dificultades relacionadas con las soluciones presentadasanteriormente es que para su cálculo se necesita realizar la suma de un númerogrande de términos, aunque la función característica sea una función sencilla.La extensión multilineal de un juego TU proporciona una herramienta útilpara el cálculo de diversas soluciones.La función característica v de un juego cooperativo (N,v), es una funcióncuyo dominio es 2 N , la familia de todos los subconjuntos de N. Dichodominio, puede considerarse también como el conjunto de todos losvectores de R n , (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) donde cada componente es 0 o 1, yaquecada subconjunto S ∈ 2 N está en correspondencia biunívoca con el vectorde R n cuyas componentes son x i = 1 si i ∈ S, y x i = 0 si i /∈ S.

14 Índices de poder en juegos simplesEs decir, puede identificarse 2 N con el conjunto de vértices del cubo unitarioen el espacio R n , {0, 1} N . Por lo tanto, la función característica v esuna función real definida en los vértices del cubo unitario. Owen (1972b)propuso extender dicha función a todo el cubo unitario, es decir, al conjunto[0, 1] N = {(x 1 ,x 2 ,... ,x n ):0≤ x i ≤ 1,i=1, 2,... ,n} . Se denotaráestecubounitarioporI N ypore S el S-vértice del cubo unitario, es decir,e S = ¡ e S 1 ,e S 2 ,... ,en¢ S dado por:½ 1 si i ∈ Se S i =0 si i/∈ SExisten muchas formas de extender la función característica a I N ;lapropuestapor Owen es la siguiente.Definición 1.1.6 Sea (N,v) ∈ TU (N). Se define la extensión multilinealde v como la función h definida por:⎧⎫h (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X ⎨YY ⎬x⎩ i (1 − x j ) v (S) , (1.2)⎭S⊆N i∈Spara todo x i , 0 ≤ x i ≤ 1,i=1, 2,... ,n.Puede darse a esta extensión una interpretación probabilística. Si S es unacoalición aleatoria, de tal forma que un jugador i tiene una probabilidad x i depertenecer a S, para i =1, 2,... ,n,y además se supone que estos sucesos sonindependientes, tenemos entonces que la probabilidad de que una coaliciónparticular S se forme, viene dada por la cantidad que aparece entre llaves enla expresión (1.2). Por lo que si se define la variable aleatoria Y =“Gananciade una coalición” se tiene que P (Y = v (S)) = P (se constituye S) , entonces:j/∈Sh (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=E [Y ] ,donde E denota la esperanza matemática. Owen (1972b) determinó, “encierto modo”, la unicidad de esta extensión. Se reproduce tal unicidad en elsiguiente teorema.

Conceptos básicos de juegos simples 15Teorema 1.1.6 Sea v una función definida en todos los subconjuntos de N.Entonces, existe una única función multilineal, h, definida en I N ,queverificaque h ¡ e S¢ = v (S) , para todo S ⊆ N. Esta función es⎧⎫h (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X ⎨YY ⎬x⎩ i (1 − x j )⎭ v (S) ,S⊆N i∈Spara todo x i , 0 ≤ x i ≤ 1,i=1, 2,... ,n.A partir de la extensión multilineal se pueden calcular los valores de Shapley(Owen, 1972b) y de Banzhaf (Owen, 1975). Reproducimos aquí dichosresultados.Teorema 1.1.7 Sea (N,v) ∈ TU (N) y h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) su extensión multilineal.El valor de Shapley de un jugador i ∈ N en dicho juego viene dadopor:Z 1∂hϕ i (N,v) = (t, t, . . . , t) dt.0 ∂x iTeorema 1.1.8 Sea (N,v) ∈ TU (N) y h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) su extensión multilineal.El valor de Banzhaf de un jugador i ∈ N en dicho juego viene dadopor:j/∈Sβ i (N,v) = ∂h µ 1∂x i 2 , 1 2 ,... ,1 .21.2 Conceptos básicos de juegos simplesUna subfamilia muy importante de juegos cooperativos con utilidad transferiblees la formada por los juegos simples, que tienen numerosas aplicaciones,especialmente en el campo de la política. A continuación, se presentan losconceptos y resultados fundamentales sobre juegos simples que se emplearána lo largo de esta memoria.Definición 1.2.1 Un juego (N,v) de TU (N) se dice que es simple si:i) Para toda S ⊆ N,v (S) =0o v (S) =1.ii) v (N) =1.iii) v es un juego monótono.

16 Índices de poder en juegos simplesSe denotará por SI (N) el conjunto de juegos simples con conjunto de jugadoresN yporSI el conjunto de todos los juegos simples.Dado un juego simple (N,v), una coalición S se denomina ganadora siv (S) = 1. En caso contrario se dice que S es una coalición perdedora.Se denotará por W el conjunto de todas las coaliciones ganadoras, es decir,W = {S ⊆ N/v (S) =1} . Es evidente que N es un elemento de W yquesiS ∈ W y S ⊆ T, entonces T ∈ W. Una coalición ganadora es minimal si nocontiene a ninguna otra coalición ganadora. Se denotará por W m el conjuntode todas las coaliciones ganadoras minimales, es decir,W m = {S ∈ W/v (T )=0, para toda coalición T ⊂ S} .En algunas ocasiones se empleará la notación M (v) para referirnos al conjuntode coaliciones minimales ganadoras del juego (N,v) . Un juego simplepuede caracterizarse dando el conjunto de coaliciones ganadoras, o también,dando el conjunto de coaliciones minimales ganadoras. Por lo tanto, puededefinirse un juego simple como un par (N,W) donde W es el conjunto decoaliciones ganadoras, o como un par (N,W m ) donde W m es el conjunto decoaliciones minimales ganadoras.Dentro de los juegos simples desempeñan un papel importante los juegospropiosylosjuegosdecisivos.Definición 1.2.2 Se dice que un juego simple (N,v) es un juego propio sipara cualquier par de coaliciones ganadoras S, T ∈ W, se tiene que S ∩T 6= ∅.Para un juego simple, que el juego sea superaditivo es equivalente a que eljuego sea propio.Definición 1.2.3 Se dice que un juego simple (N,v) es un juego decisivo sipara cualquier coalición S ⊆ N, se tiene que S ∈ W o N\S ∈ W.A continuación se proporcionan varias definiciones en el contexto de los juegossimples, algunas de las cuales ya se presentaron anteriormente en el contextogeneral de los juegos TU, pero se reproducen aquí para mostrar la relaciónque guardan con el conjunto de coaliciones ganadoras W .Dado un juego (N,v) ∈ SI (N) :

Conceptos básicos de juegos simples 17• Se dice que dos jugadores i, j ∈ N son jugadores simétricos si para todacoalición S ⊆ N\{i, j} tal que S/∈ W ,setieneque:⎧⎨⎩S ∪ {i} ∈ W y S ∪ {j} ∈ WoS ∪ {i} /∈ W y S ∪ {j} /∈ W• Se dice que un jugador i ∈ N es un jugador nulo si para toda S ⊆ N\ital que S/∈ W, se tiene que S ∪ {i} /∈ W.• Se dice que i ∈ N es un títere si:⎧⎨{{i}} = W mo⎩Para toda S ⊆ N\i tal que S/∈ W se tiene que S ∪ {i} /∈ W• Se dice que i ∈ N es un dictador si S ∈ W si y sólo si i ∈ S.• Se dice que i ∈ N es un jugador con veto si S ∈ W implica que i ∈ S.En un juego simple, un títere puede ser un dictador y entonces v(i) =1, oun jugador nulo, en cuyo caso v(i) =0.Definición 1.2.4 Un juego (N,v) ∈ SI (N) se dice que es de mayoría ponderadasi existe un conjunto de pesos w 1 ,w 2 , ..., w n para los jugadores, conwP i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, y una cantidad q ∈ R + tales que S ∈ W si y sólo siw i ≥ q. A la cantidad q se le denomina mayoría del juego.i∈SHabitualmente un juego de mayoría ponderada se representa por[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ] .Un parlamento puede verse como un juego de mayoría ponderada, en el quelos jugadores son los partidos políticos, los pesos son el número de escaños delos que dispone cada partido y la mayoría del juego coincide con el númeromínimo de votos necesarios para ganar una votación. Si el criterio es lamayoría simple q = ent(t) +1,dondet es la mitad del número total deescaños del parlamento (si x ∈ R, ent(x) denotará la parte entera de x).

18 Índices de poder en juegos simples1.2.1 Índices de poderCuando se trabaja con juegos simples, en lugar de hablar de solución, sesuele utilizar el término índice de poder, de acuerdo a las situaciones quemodeliza, ya que los juegos simples se emplean normalmente como modelosde organismos de decisión donde los acuerdos suelen tomarse por votación.El interés de estos juegos suele centrarse en conocer el poder o influencia quetiene un jugador sobre el resultado final del mismo. Si bien puede emplearsecualquier concepto de solución definido en el contexto de los juegos TU,existen otros de aplicabilidad exclusiva a este ámbito, es más, inicialmenteel valor de Banzhaf se planteó sólo para juegos simples, hasta que Owen en1975 extendió este concepto a la familia de juegos TU. Numerosos trabajos enteoría de juegos están dedicados al estudio de índices de poder. En Laruelle(1999), puede encontrarse una panorámica sobre este tema.Definición 1.2.5 Un índice de poder sobre SI(N) es una aplicaciónf : SI (N) −→ R nque a cada juego (N,v) ∈ SI (N) le hace corresponder un vector de R n ,dondela componente i-ésima del vector representa el poder que tiene el jugador i.Losresultadosvistosenlosteoremas1.1.2 y 1.1.3 para el valor de Shapleyy el valor de Banzhaf no sirven para caracterizar los índices de poder correspondientesen la familia de los juegos simples. La propiedad de aditividadno se puede aplicar en esta familia, ya que la suma de dos juegos simples noes un juego simple.Dubey (1975), obtuvo una caracterización axiomática del índice de poder deShapley, cambiando la propiedad de aditividad por una propiedad similary razonable dentro del contexto de los juegos simples. Esta propiedad sedenomina propiedad de transferencia. Con esta misma propiedad, Dubeyy Shapley (1979) obtuvieron una caracterización del índice de poder deBanzhaf. Para establecer la propiedad de transferencia se hace necesariala siguiente definición.Definición 1.2.6 Dados (N,v) , (N,w) ∈ SI (N), sedefinen los juegos simples(N,v ∨ w) y (N,v ∧ w) de la siguiente forma:(v ∨ w)(S) =max{v(S),w(S)}

Conceptos básicos de juegos simples 19o de forma equivalente:(v ∧ w)(S) =min{v(S),w(S)}(v ∨ w)(S) =½ 1 si v (S) =1o w (S) =10 si v (S) =0y w (S) =0(v ∧ w)(S) =½ 1 si v (S) =1y w (S) =10 si v (S) =0o w (S) =0A continuación, se presentan un par de propiedades que verifican estos nuevosjuegos.Proposición 1.2.1 Sean (N,v) , (N,w) ∈ SI (N) . Siambosjuegossonpropiosentonces el juego (N,v ∧ w) también es propio.A continuación, se verá un ejemplo en el que el juego (N,v ∨ w) no es propioaunque sí lo son los juegos (N,v) y (N,w) .Ejemplo 1.2.1 Considérense los juegos simples propios (N,v) y (N,w) ,donde N = {1, 2, 3, 4} y el conjunto de coaliciones minimales ganadoras deljuego (N,v) es: {{1, 2} , {1, 3} , {1, 4}} yelconjuntodecoalicionesminimalesganadoras del juego (N,w) es: {{1, 2} , {2, 3} , {2, 4}} .En este caso el conjunto de coaliciones minimales ganadoras de (N,v ∨ w)es: {{1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4}} yseverifica que:por lo que (N,v ∨ w) no es propio.{1, 3} ∩ {2, 4} = ∅En el siguiente resultado se prueba que la operación ∧ es distributiva respectoa ∨.Proposición 1.2.2 Dados (N,v 1 ) , (N,v 2 ) ,... ,(N,v r ) , (N,w) ∈ SI(N) severifica:(v 1 ∨ v 2 ∨ ...∨ v r ) ∧ w =(v 1 ∧ w) ∨ (v 2 ∧ w) ∨ ...(v r ∧ w) .

20 Índices de poder en juegos simplesDemostraciónLa demostración se hará por inducción en r.Sea r =2. Por una parte, se tiene que:((v 1 ∨ v 2 ) ∧ w)(S) =min{max {v 1 (S),v 2 (S)} ,w(S)} =½w(S) si w(S) ≤ max {v 1 (S),v 2 (S)}max {v 1 (S),v 2 (S)} si w(S) ≥ max {v 1 (S),v 2 (S)}Por otro lado:((v 1 ∧ w) ∨ (v 2 ∧ w))(S) =max{min {v 1 (S),w(S)} , min {v 2 (S),w(S)}} =½w(S) si w(S) ≤ max {v 1 (S),v 2 (S)}max {v 1 (S),v 2 (S)} si w(S) ≥ max {v 1 (S),v 2 (S)}con lo que el resultado estaría probado para r =2.Supóngase que se ha demostrado el resultado para cualquier valor de r menoro igual a k − 1; se verá que es cierto para k.(v 1 ∨ v 2 ∨ ... ∨ v k−1 ∨ v k ) ∧ w =((v 1 ∨ v 2 ∨ ... ∨ v k−1 ) ∧ w) ∨ (v k ∧ w) =(v 1 ∧ w) ∨ (v 2 ∧ w) ∨ ... ∨ (v k ∧ w) ,donde en la primera igualdad se aplica lo probado para r =2, y en la segundaigualdad se utiliza la hipótesis de inducción.¤Obsérvese que dados dos juegos simples (N,v) y (N,w) se verifica que v +w =(v ∨ w)+(v ∧ w) . Se enuncia ahora la siguiente propiedad, introducidapor Dubey (1975):Transferencia (TR). Un índice de poder f : SI (N) −→ R n satisface lapropiedad de transferencia (o aditividad para juegos simples) si para todopar de juegos (N,v) y (N,w) ∈ SI (N) , se tiene quef (N,v)+f(N,w) =f (N,v ∨ w)+f(N,v ∧ w).Dubey (1975) caracterizó el valor de Shapley para la familia de juegos simples(conocido con el nombre de índice de poder de Shapley-Shubik(1954)) alprobar el siguiente resultado.

Conceptos básicos de juegos simples 21Teorema 1.2.1 El único índice de poder f : SI (N) −→ R n que verifica laspropiedades TR,JN,SIM y EFI es el valor de Shapley.El valor de Shapley asigna a un jugador i, la media aritmética de las contribucionesque dicho jugador hace a las coaliciones formadas por los jugadoresque preceden a i en las n! permutaciones posibles de los jugadores. Comopara juegos simples v (S) =1si S ∈ W y v(S) =0en otro caso, se tiene quev(S∪i)−v(S) =1si el jugador i hace ganadora a S,siendov(S∪i)−v(S) =0en cualquier otro caso. Por lo tanto:ϕ i (N,v) = XS∈S(i)s!(n − s − 1)!,n!donde S (i) ={S ⊆ N\i/S /∈ W y S ∪ i ∈ W } .Al conjunto de pares de coaliciones (S, S ∪ i) donde S ∈ S (i) , se le denominaconjunto de “swings” para el jugador i; es decir, un swing para un jugador ies un par de coaliciones (S, S ∪ i) donde S ⊆ N\i, talesqueS es perdedoramientras que S ∪ i es ganadora.Definición 1.2.7 Sea (N,v) un juego simple y σ una permutación de N.Para i ∈ N, Pr (i, σ) es el conjunto de jugadores j tales que σ (j)

Conceptos básicos de juegos simples 23Esta serie f a (t) se denomina función generatriz de la sucesión a, y puedeser finita o infinita. En esta serie, la variable t no tiene significado propioysólosirveparaidentificar a j como el coeficiente correspondiente a t j en eldesarrollo de f a (t) . Por este motivo, aunque en la mayoría de los problemascombinatorios la serie f a (t) es finita,lacuestiónrelativaalaconvergenciade la serie no es una cuestión relevante si t se interpreta como una variableformal. Para facilitar la comprensión de este concepto, se proporcionan dosejemplos. El primero se corresponde con una sucesión finita.Ejemplo 1.2.2 Considérese el producto finito de binomios linealesnYnX(1 + x r t)= a r t r ,r=1r=0donde a o =1yparar>0, a r está dado porXa r =x i1 x i2 ...x ir .1≤i 1

24 Índices de poder en juegos simplesLas funciones generatrices proporcionan un método para el recuento delnúmero de elementos c (r) de un conjunto finito, cuando estos elementostienen una configuración que depende de una característica r. Así, en elprimer ejemplo se vio que los coeficientes binomiales ¡ nr¢pueden obtenersemediante la función (1 + t) n , ya que coinciden con los coeficientes de la serieformal.Más adelante, se emplearán funciones generatrices de varias variables, porejemploS (x, y, z) = X k≥0X Xc (k, j, l) x k y j z l ,donde c (k, j, l) son números reales que dependen de k, j y l.j≥0Para un estudio más detallado de los fundamentos teóricos de las funcionesgeneratrices y otros métodos de análisis combinatorio, puede consultarse eltrabajo de Ríbnikov (1998).l≥0Funciones generatrices y juegos de mayoría ponderadaComo se vio anteriormente, un juego de mayoría ponderada es un juegosimple que puede representarse abreviadamente por [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ] . Se denotarápor w (S) alacantidad P w i y se hará la suposición de que los pesosi∈Sson números enteros.La siguiente proposición determina el número de swings de un jugador i enun juego simple de mayoría ponderada.Proposición 1.2.3 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ] . Entonces el número de swings del jugador i ∈ N esigual aη i (v) =q−1Xk=q−w ib i k,siendo b i k el número de coaliciones S ⊆ N tales que i/∈ S y w (S) =k.

Conceptos básicos de juegos simples 25El índice de poder de Banzhaf-Coleman de un jugador i ∈ N en un juego(N,v) es igual a β i (N,v) =η i (v) /2 n−1 . El siguiente resultado debido aBrams y Affuso (1976) proporciona una función generatriz que permite elcálculo de los números {b i k } k≥0 .Proposición 1.2.4 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces para un jugador i ∈ N, la función generatrizde los números {b i k } k≥0, definidos anteriormente, viene dada porB i (x) =nYj=1,j6=i(1 + x w j) .Se va a ilustrar con un ejemplo la utilidad de esta proposición para el cálculodel índice de poder de Banzhaf-Coleman.Ejemplo 1.2.4 El Parlamento de las Islas Baleares está constituido por 59miembros. Después de las elecciones del 13 de junio de 1999, este Parlamentoestá compuesto por 28 miembros del PP, 16 miembros del PSOE, 5 miembrosdel partido socialista-regionalista PSM−EN, 4 miembros de EU−EV ,una coalición de comunistas y otros partidos de izquierda, 3 miembros del partidode centro-regionalista UM,y3 miembros de PACTE,unacoalicióndepartidos progresistas que presentaron candidatura sólo en algunas islas. Sevan a emplear estos resultados, aunque más adelante se formaron cinco gruposparlamentarios correspondientes con PP (28) ,PSOE(17) ,PSM−EN(5) ,Mixto(5) y EU − EV (4) . Los 5 miembros del grupo mixto son los tresrepresentantes de UM y dos de PACTE. El tercer miembro de PACTE seintegró en el grupo del PSOE.Puede representarse este Parlamento como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador1 es el PP, el jugador 2 es el PSOE, el jugador 3 es el PSM − EN,el jugador 4 es EU − EV , el jugador 5 es UM y el jugador 6 es el PACTE.Para calcular el número de swings del jugador 1, considérese la función:B 1 (x) = ¡ 1+x 16¢¡ 1+x 5¢¡ 1+x 4¢¡ 1+x 3¢2 =x 31 +2x 28 + x 27 + x 26 + x 25 +2x 24 +2x 23 + x 22 + x 21 + x 20 +2x 19 +

26 Índices de poder en juegos simplesx 16 + x 15 +2x 12 + x 11 + x 10 + x 9 +2x 8 +2x 7 + x 6 + x 5 + x 4 +2x 3 +1.Entonces, se obtiene que η 1 (v) =P 29 b 1 kk=2=30, de forma similar se tieneque η 2 (v) =η 3 (v) =η 4 (v) =η 5 (v) =η 6 (v) =2yelíndicedepoderdeBanzhaf-Coleman es igual aβ (N,v) =(15/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16) .A continuación, se analizará el índice de poder de Shapley-Shubik.índice en un juego simple (N,v) es igual a:ϕ i (N,v) =X{S⊆N\{i}/S /∈W y S∪i∈W }s!(n − s − 1)!n!=EsteXn−1j=0j!(n − j − 1)!d in!j,donde d i j representa el número de swings para el jugador i en coaliciones detamaño j. Siguiendo un razonamiento similar al que se hizo anteriormente,se tiene que, para cualquier valor de j entre 0 y n − 1,d i j =q−1Xk=q−w ia i kj,siendo a i kj el número de coaliciones S ⊆ N formadas por j jugadores tales quei/∈ S y w (S) =k. El siguiente resultado, debido a David G. Cantor (1962),proporciona © ª una función generatriz que permite el cálculo de los númerosai .kj k≥0,j≥0Proposición 1.2.5 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces para un jugador i ∈ N, la función generatrizde los números © ªa i kj , definidos anteriormente, viene dada pork≥0,j≥0S i (x, z) =nYj=1,j6=i(1 + x w jz) .

Conceptos básicos de juegos simples 27A partir de esta proposición, se deduce que⎡ ⎤n−1 w(N)X XS i (x, z) = ⎣ a i kjx k ⎦ z j .j=0Para determinar el índice de poder de Shapley-Shubik es necesario calcularlos valores d i j que pueden identificarse por un polinomio de la formaycomod j i =q−1 Pk=q−w ia i kjk=0Xn−1g i (z) = d i jz j ,, se tiene quej=0j=0"Xn−1Xn−1Xq−1g i (z) = d i jz j =j=0k=q−w ia i kj#z j .Por tanto, para determinar los coeficientes de g i (z) es suficiente con seleccionarlos coeficientes de los monomios x k z j en los que el exponente k de lavariable x tome valores entre q − w i y q − 1.Se ilustrará este procedimiento con los datos correspondientes al Parlamentode las Islas Baleares.Ejemplo 1.2.5 El Parlamento de las Islas Baleares se correspondía con[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3].En este caso, se va a calcular el índice de poder de Shapley-Shubik correspondienteal jugador 2; paraello,seconsideralafunción:S 2 (x, z) = ¡ 1+x 28 z ¢¡ 1+x 5 z ¢¡ 1+x 4 z ¢¡ 1+x 3 z ¢2 =x 43 z 5 +2x 40 z 4 + x 39 z 4 + x 38 z 4 + x 15 z 4 + x 37 z 3 +2x 36 z 3 +2x 35 z 3 + x 34 z 3 +2x 12 z 3 + x 11 z 3 + x 10 z 3 + x 33 z 2 + x 32 z 2 +

28 Índices de poder en juegos simples2x 31 z 2 + x 9 z 2 +2x 8 z 2 +2x 7 z 2 + x 6 z 2 + x 28 z + x 5 z + x 4 z +2x 3 z +1.Se eligen ahora los coeficientes de los monomios x k z j en los que el exponentek de la variable x tome valores entre 14 y 29 (en este caso son sólo dos x 15 z 4y x 28 z), por lo queg 2 (z) =5Xd 2 jz j = z 4 + z,j=0y finalmente, el índice de poder de Shapley-Shubik del jugador 2 es igual aϕ 2 (N,v) =5Xj=0j!(n − j − 1)!d 2 j =n!4!(6 − 4 − 1)!1+6!1!(6 − 1 − 1)!1= 1 6! 15 .De modo similar, se obtendría el índice de poder de Shapley-Shubik de losrestantes jugadoresϕ (N,v) =(2/3, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15) .1.3 Nuevos resultados sobre el índice de poderde Deegan-PackelAdemás de los índices de poder de Shapley-Shubik y de Banzhaf-Coleman,en la literatura pueden encontrarse otros índices para obtener una medidadel poder de los jugadores en un juego simple. En esta sección se va aanalizar el índice de poder introducido por Deegan y Packel en 1979, queproporciona una medida cuantitativa del poder de los distintos jugadorescuando se considera que el comportamiento de los mismos satisface ciertascondiciones.En la caracterización del índice de poder de Deegan-Packel, sus autores emplearonpropiedades comunes con el índice de poder de Shapley-Shubik, comoson: eficiencia, jugador nulo y simetría; y una nueva propiedad, denominadapropiedad de fusión.El índice de poder de Deegan-Packel recoge la idea de que el poder de unjugador se basa exclusivamente en su participación en la formación de coalicionesminimales ganadoras, y que, apriori, todas estas coaliciones minimales

Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 29ganadoras son igualmente plausibles. Para definir este índice de poder, sesupone que el comportamiento de los jugadores está determinado por lassiguientes condiciones.• Minimalidad: Sólo originan una “victoria” las coaliciones minimalesganadoras.• Equiprobabilidad: Todas las coaliciones minimales ganadoras sonequiprobables.• Solidaridad: Los jugadores que constituyen una coalición “victoriosa”se dividen el “botín” a partes iguales.Estas condiciones parecen razonables en muchos casos. La condición de minimalidades aplicable en el sentido de que los jugadores racionales quierenmaximizar su poder y, por lo tanto, sólo se formarán coaliciones minimalesganadoras. La condición de equiprobabilidad dice que todas las coalicionesminimales ganadoras juegan el mismo papel y, finalmente, la propiedadde solidaridad establece que todos los jugadores de una coalición minimalganadora sean tratados por igual.Definición 1.3.1 El índice de poder de Deegan-Packel de un jugador i en eljuego simple (N,v) viene dado por:ρ i (N,v) =1|M (v)|XS∈M i (v)1|S| ,en donde M (v) es el conjunto de coaliciones minimales ganadoras yM i (v) ={S ∈ M (v) /i ∈ S}.Se puede comprobar fácilmente que la definición del índice de poder deDeegan-Packel ρ para un jugador i esconsistenteconlastrescondicionesanteriores. En primer lugar, sólo se consideran las coaliciones minimalesganadoras que contienen al jugador i (minimalidad), y todas estas coalicionesminimales ganadoras son tratadas del mismo modo (equiprobabilidad). Paracada coalición S ∈ M i (v), el término 1/ |S| indica que el pago para el jugadori es el mismo que para los restantes |S|−1 jugadores en S (solidaridad). Obsérveseque en juegos de unanimidad, el índice de poder de Deegan-Packelcoincide con el índice de poder de Shapley-Shubik.

30 Índices de poder en juegos simplesEste valor también tiene una interpretación probabilística. Supongamos queel pago correspondiente a un jugador i perteneciente a una coalición minimalganadora S es 1/ |S| y que cada coalición minimal ganadora tiene unaprobabilidad 1/ |M (v)| de formarse. Entonces la esperanza matemática delpago correspondiente al jugador i es precisamente ρ i .Este índice verifica las tres condiciones anteriores, pero es interesante tratarel problema de su unicidad, es decir, buscar un conjunto de propiedadesrazonables que sirvan para caracterizarlo unívocamente. Como en este modelosólo son de interés las coaliciones minimales ganadoras, será necesariohacer una restricción de los juegos simples que se pueden combinar.Definición 1.3.2 Dosjuegossimples(N,v) y (N,w) son fusionables si paracualquier par de coaliciones S ∈ M (v) y T ∈ M (w) , se tiene que S * T yT * S.Esta condición de fusión establece que las coaliciones minimales ganadorasdel juego (N,v ∨ w) son precisamente la unión de las coaliciones minimalesganadoras de los juegos (N,v) y (N,w). Además, es evidente que si dos juegos(N,v) y (N,w) son fusionables se tiene que |M (v ∨ w)| = |M (v)|+|M (w)| .En el siguiente ejemplo se prueba que el valor de Deegan-Packel no verificala propiedad de transferencia.Ejemplo 1.3.1 Considérense dos juegos simples (N,v) y (N,w) donde N ={1, 2, 3}, M (v) ={{1, 2} , {2, 3}} y M (w) ={1, 3} .El índice de Deegan-Packel para los juegos anteriores esρ (N,v) =(1/4, 1/2, 1/4) ,ρ(N,w) =(1/2, 0, 1/2) .Se tiene que M (v ∨ w) = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} y M (v ∧ w) = {1, 2, 3}obteniéndose entonces queρ (N,v ∨ w) =ρ (N,v ∧ w) =(1/3, 1/3, 1/3) ,por lo que no se verifica la igualdadρ (N,v)+ρ (N,w) =ρ (N,v ∨ w)+ρ (N,v ∧ w) .

32 Índices de poder en juegos simplesNueva caracterización del índice de poder de Deegan-PackelEn Young (1985) se proporciona una caracterización del valor de Shapleyempleando la propiedad de monotonía fuerte en lugar de la propiedad deaditividad. Nowak (1997) obtuvo una caracterización similar para el valorde Banzhaf usando además la propiedad de “delegación” introducida porLehrer (1988).En el resto de esta sección se van a presentar nuevos resultados referentes alíndice de poder de Deegan-Packel. En primer lugar, se obtendrá una nuevacaracterización de este índice de poder empleando una propiedad similar amonotonía fuerte en lugar de la propiedad de fusión. A esta propiedad se ledenominará propiedad de monotonía minimal.Definición 1.3.3 Un índice de poder f : SI (N) −→ R n satisface la propiedadde monotonía minimal (MM) si para todo par de juegos (N,v) , (N,w) ∈SI (N), se tiene quef i (N,w) |M (w)| ≥ f i (N,v) |M (v)| ,para todo jugador i ∈ N tal que M i (v) ⊆ M i (w) .En el siguiente ejemplo se prueba que el índice de poder de Shapley-Shubikno satisface esta propiedad.Ejemplo 1.3.3 Sean (N,v) , (N,w) dos juegos simples donde N = {1, 2, 3}y los conjuntos de coaliciones minimales ganadoras son M (v) ={{1, 2}} yM (w) ={{1, 2} , {2, 3}} , respectivamente. En este caso, M 1 (v) ⊆ M 1 (w) ,pero ϕ 1 (N,w) |M (w)| = 1 3 y ϕ 1 (N,v) |M (v)| = 1 2 .La naturaleza de la propiedad de monotonía minimal se basa en la siguienteidea: si para un jugador i toda coalición perteneciente a M i (v) tambiénpertenece a M i (w) parece lógico que en el juego (N,w) dicho jugador tengamayor poder que en el juego (N,v) (después de normalizarlo por el númerode coaliciones minimales ganadoras de cada uno de los juegos).Nótese que si un índice de poder f : SI (N) −→ R n satisface la propiedadde monotonía minimal, entonces cumple la siguiente igualdad:f i (N,w) |M (w)| = f i (N,v) |M (v)| ,

Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 33para todo par de juegos (N,v) , (N,w) ∈ SI (N) y para todo jugador i ∈ Ntal que M i (v) =M i (w).En el siguiente resultado se propone una nueva caracterización del índice depoder de Deegan-Packel.Teorema 1.3.2 El único índice de poder f : SI (N) −→ R n que verificalas propiedades de MM,JN,SIM y EFI es el índice de poder de Deegan-Packel.DemostraciónSe comenzará probando la existencia. En Deegan-Packel (1979) se demuestraque el valor de Deegan-Packel satisface la propiedad de jugador nulo,simetría y eficiencia. Para demostrar que satisface la propiedad de monotoníaminimal, supóngase un par de juegos (N,v) , (N,w) ∈ SI (N), yunjugador i ∈ N tal que M i (v) ⊆ M i (w) . Entoncesρ i (N,v) =1|M (v)|XS∈M i (v)1|S| .Por otro lado,ρ i (N,w) =1|M (w)|XS∈M i (w)1|S| =1|M (w)|XS∈M i (v)1|S| + 1|M (w)|XS∈M i (w)\M i (v)1|S| .Por lo tanto,ρ i (N,w) |M (w)| =XS∈M i (v)XS∈M i (v)1|S| +XS∈M i (w)\M i (v)1|S| = ρ i (N,v) |M (v)| .1|S| ≥

34 Índices de poder en juegos simplesSe verá ahora la unicidad. La demostración se hará por inducción en |M (v)| .Si |M (v)| =1, entonces v = u S para alguna coalición S ⊆ N. Si una soluciónf satisface las propiedades de eficiencia, simetría y jugador nulo, se tiene quef i (N,v) =½ 1|S|si i ∈ S0 si i/∈ SPor lo tanto, la solución es única cuando |M (v)| =1. Supóngase que elresultado está probado para cualquier valor de |M (v)| desde 1 hasta p − 1 yse verá que es cierto para |M (v)| = p. Sea entonces un juego (N,v) ∈ SI (N)tal que M (v) ={S 1 ,S 2 ,... ,S p }.Sea R = S 1 ∩ S 2 ∩ ... ∩ S p yseai /∈ R tal que M i (v) 6= ∅ (claramenteexiste por ser |M (v)| > 1). Considérese el juego (N,v 0 ) ∈ SI (N) tal queM (v 0 )={S ∈ M (v) /i ∈ S} .Como M i (v) =M i (v 0 ) , por la propiedad de monotonía minimal, se tienequef i (N,v) |M (v)| = f i (N,v 0 ) |M (v 0 )| ,entonces, por hipótesis de inducción, f i (N,v) es única cuando i/∈ R.Falta demostrar la unicidad cuando i ∈ R = S 1 ∩ S 2 ∩ ...∩ S p .Por la propiedad de simetría, f i (N,v) debe ser igual a una constante c paratodos los jugadores de R. Como la solución es eficiente y es única para todoslos jugadores que no están en R, esta constante c tiene que ser única.¤La extensión multilineal y el índice de poder de Deegan-PackelEn esta sección se verá cómo se puede obtener el índice de poder de Deegan-Packel de un juego (N,v) ∈ SI (N) a partir de su extensión multilineal. Enel siguiente lema, demostrado en Owen (1972b), se proporciona un métodosencillo para calcular la extensión multilineal de un juego a partir de suexpresión como combinación lineal de juegos de unanimidad.

Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 35Lema 1.3.3 Si un juego v puedeescribirsedelaformav = Pc S u S ,entoncesla extensión multilineal de v es de la siguiente forma:h (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X Yc S x i ,S⊆N i∈Sdonde N = {1, 2,... ,n} y las cantidades c S son constantes.S⊆NAnteriormenteenlaexpresión(1.1)sevioquetodojuego(N,v) ∈ TU (N)puede escribirse como combinación lineal de juegos de unanimidad. En elcaso particular en el que (N,v) sea un juego simple, se tiene quev = X c S u S .S⊆NS∈WPor lo tanto, aplicando el lema 1.3.3, se obtiene que la extensión multilinealde un juego simple (N,v) es de la formah (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X Yc S x i ,S⊆N i∈SS∈Wdonde, a partir de (1.1), se tiene que c S =1si S ∈ M (v) .A continuación, se describe el procedimiento para obtener el índice de poderde Deegan-Packel de un juego simple a partir de su extensión multilineal.Teniendo en cuenta la facilidad de cálculo de este índice de poder a partirdel conocimiento del conjunto de coaliciones minimales ganadoras, este resultadono tiene mucha utilidad práctica, pero se incluye porque se considerainteresante y para ver su semejanza con el procedimiento para calcular otrosíndices de poder a partir de la extensión multilineal del juego.Teorema 1.3.4 Sea (N,v) un juego simple. Puede calcularse el índice depoder de Deegan-Packel ρ i de un jugador i ∈ N en dicho juego, siguiendo lossiguientes pasos:1. Obtener la extensión multilineal h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) del juego (N,v).Q2. En la expresión anterior eliminar aquellos monomios de la forma c Sx ii∈Spara los que c S 6=1. Conestosehaobtenidounanuevafunciónmultilineall (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) .

36 Índices de poder en juegos simples3. Sea p el mínimo número de términos de los monomios Q i∈Sx i que quedanen la función l obtenida en el paso anterior. Desde k = p +1 hasta k = neliminar aquellos monomios con k términos que sean divisibles por algúnmonomiodelafunciónl con número de términos desde p hasta k − 1. Conesto obtenemos una función g.4. Finalmente, para obtener el índice de poder de Deegan-Packel ρ i ,deunjugador i ∈ N, basta con calcularDemostraciónρ i (N,v) =Sea (N,v) ∈ SI (N) e i ∈ N.1g (1, 1,... ,1)Z 10∂g∂x i(t, . . . , t) dt.Es inmediato comprobar que la función g que se obtiene después del paso 3es igual ag (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=X YSe tiene que g (1, 1,... ,1) =PS∈M(v)Por otra parte,Z 1∂g(t,... ,t) dt =∂x i0Z 1con lo se finaliza la demostración.¤0S∈M(v) k∈S1=|M (v)| .XS∈M i (v)x kt |S|−1 dt =XS∈M i (v)1|S| ,Como aclaración del teorema anterior, comentar que el motivo por el que seaplican los pasos 2 y 3 es porque es necesario eliminar de la expresión de laextensión multilineal aquellos términos que se corresponden con coalicionesganadoras no minimales. Se ilustrará el procedimiento descrito en el teoremaanterior para calcular el índice de poder de Deegan-Packel de los distintospartidos que constituyen el Parlamento de las Islas Baleares.Ejemplo 1.3.4 El Parlamento de las Islas Baleares puede representarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3]. Se va a calcular el índice de poder de Deegan-Packel deljugador 1(PP) empleando el procedimiento descrito en el resultado anterior.

Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 37En primer lugar, puede comprobarse fácilmente que este juego simple v puedeescribirse en términos de juegos de unanimidad de la siguiente forma, dondeS = {1} y T = {2, 3, 4, 5, 6}.v = X R⊆T|R|=1u S∪R + u T − X R⊆T|R|=2u S∪R + X R⊆T|R|=3u S∪R − X R⊆T|R|=4u S∪R .Aplicando el lema 1.3.3, se tiene que la extensión multilineal de este juegoes:h (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 − x 1 x 2 x 4 − x 1 x 2 x 5 − x 1 x 2 x 6 − x 1 x 3 x 4 −x 1 x 3 x 5 − x 1 x 3 x 6 − x 1 x 4 x 5 − x 1 x 4 x 6 − x 1 x 5 x 6 +x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 6 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 6 +x 1 x 2 x 5 x 6 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 6 + x 1 x 3 x 5 x 6 + x 1 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 − x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 − x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 − x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 − x 1 x 3 x 4 x 5 x 6 .Después de aplicar el paso 2, eliminando aquellos monomios con coeficientedistinto de 1, se obtiene la función l,l (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 +x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 6 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 6 +x 1 x 2 x 5 x 6 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 6 + x 1 x 3 x 5 x 6 + x 1 x 4 x 5 x 6 .

38 Índices de poder en juegos simplesEliminando de los monomios que forman la función l aquellos que puedenser divididos por algún otro monomio de l, se obtiene la siguiente función gg (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .Finalmente, para evaluar el poder del PP por medio del índice de Deegan-Packel, se aplica el paso 4, calculandog (1, 1, 1, 1, 1, 1) = 6 yZ 10∂g∂x 1(t, . . . , t) dt =Z 105tdt = 5 2 ,es decir, ρ 1 (N,v) =5/12.De forma similar se obtendría que el índice de poder de Deegan-Packel de losrestantes partidos sería igual a 7/60.La función generatriz y el índice de poder de Deegan-PackelPara finalizar este capítulo se verá cómo se puede calcular el índice de poderde Deegan-Packel en juegos de mayoría ponderada empleando funciones generatrices.Dado un juego simple (N,v) tanto el índice de poder de Banzhaf-Colemancomo el índice de poder de Shapley-Shubik de un jugador i ∈ N son sumasponderadas del número de swings para el citado jugador, es decir, coalicionesperdedoras que pasan a ser ganadoras cuando se incorpora el jugador i. Sinembargo, para el índice de poder de Deegan-Packel de un jugador i sólo tieneninfluencia aquellos swings para i (S, S ∪ i) tales que S ∪ i sea una coaliciónminimal ganadora.Para calcular el índice de poder de Deegan-Packel en un juego de mayoríaponderada, en primer lugar, se empleará una función generatriz que permitacalcular el cardinal del total de coaliciones posibles; entre éstas, se elegiránlas ganadoras y, finalmente, las minimales ganadoras. Para realizar esto, esnecesario emplear n+2 variables, una indicadora de cada uno de los jugadores,otra que indique el número de jugadores que forman parte de la coalición yotra que indique el peso de dicha coalición.

Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 39Dado un juego simple (N,v) , denotando por m i s (v) el número de coalicionesminimales ganadoras S a las que pertenece el jugador i ∈ N, formadas por sjugadores, el índice de poder de Deegan-Packel de i en dicho juego es igual aρ i (N,v) =1|M (v)|nXs=1m i s (v).sEl siguiente resultado proporciona una función generatriz que permite elcálculo de los números © c jk(zi ) i∈Nªj≥0,k≥0 , con z i =0o z i =1, para i =1, 2,... ,n donde c jk(zi ) i∈Nes el número de coaliciones formadas por los jjugadores de S = {j/z j =1} y de peso k. Es evidente que estas cantidadesc jk(zi ) i∈Nson iguales a 1 (es posible formar una coalición con esas características)o a 0 (no es posible formar dicha coalición).Proposición 1.3.1 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 ,...,w n ]. La función generatriz de los números © c jk(zi ) i∈Nªj≥0,k≥0 ,con z i =0o z i =1, para i =1, 2,... ,n, definidos anteriormente viene dadaporS (x, z 1 ,z 2 ,...z n ,t)=nY(1 + x w jz j t) .A partir de la función generatriz anterior, para calcular el índice de poder deDeegan-Packel, en primer lugar, deben eliminarse aquellos monomios en losque la potencia de la variable x sea menor que q, pues interesa determinarlas coaliciones ganadoras.En un segundo paso, y de modo similar a como se hizo para la extensiónmultilineal deben eliminarse aquellos monomios que puedan dividirse poralgún otro monomio de los que constituyen esta función. El número demonomios de la función resultante coincide con el número de coalicionesminimales ganadoras del juego, |M (v)| .Finalmente, para obtener el valor de Deegan-Packel de un jugador i ∈ Nbasta con seleccionar aquellos términos de la función anterior en los queaparezca la variable z i . La potencia de la variable t indicará el número dejugadores que constituyen dicha coalición minimal ganadora.j=1

40 Índices de poder en juegos simplesAl igual que sucedía con la extensión multilineal, el procedimiento descritoanteriormente para el cálculo del índice de poder de Deegan-Packel en juegosde mayoría ponderada tiene poca utilidad práctica, aunque podría programarsepara realizar los cálculos mediante un ordenador. Este resultadotambién es interesante porque sirve para comprobar que este índice tambiénse puede calcular empleando funciones generatrices, al igual que sucedía conlos índices de Shapley-Shubik y Banzhaf-Coleman. Para finalizar este capítulo,se ilustrará el procedimiento anterior calculando el índice de poder deDeegan-Packel de los distintos partidos que constituyen el Parlamento de lasIslas Baleares.Ejemplo 1.3.5 El Parlamento de las Islas Baleares puede representarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador 1 es el PP, el jugador 2 es el PSOE,el jugador 3 es el PSM − EM, el jugador 4 es EU − EV , el jugador 5 esUM y el jugador 6 es el PACTE.En primer lugar se calcula la función S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,t)S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,t)=nY(1 + x w jz j t)=j=1¡1+x 28 z 1 t ¢¡ 1+x 16 z 2 t ¢¡ 1+x 5 z 3 t ¢¡ 1+x 4 z 4 t ¢¡ 1+x 3 z 5 t ¢¡ 1+x 3 z 6 t ¢ =x 59 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 6 + x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 43 z 1 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 54 z 1 z 2 z 4 z 5 z 6 t 5 +x 55 z 1 z 2 z 3 z 5 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 t 5 + x 15 z 3 z 4 z 5 z 6 t 4 +x 26 z 2 z 4 z 5 z 6 t 4 + x 27 z 2 z 3 z 5 z 6 t 4 + x 28 z 2 z 3 z 4 z 6 t 4 + x 28 z 2 z 3 z 4 z 5 t 4 + x 38 z 1 z 4 z 5 z 6 t 4 +x 39 z 1 z 3 z 5 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 5 t 4 + x 50 z 1 z 2 z 5 z 6 t 4 + x 51 z 1 z 2 z 4 z 6 t 4 +

Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 41x 51 z 1 z 2 z 4 z 5 t 4 + x 52 z 1 z 2 z 3 z 6 t 4 + x 52 z 1 z 2 z 3 z 5 t 4 + x 53 z 1 z 2 z 3 z 4 t 4 + x 10 z 4 z 5 z 6 t 3 +x 11 z 3 z 5 z 6 t 3 + x 11 z 3 z 4 z 6 t 3 + x 12 z 3 z 4 z 5 t 3 + x 22 z 2 z 5 z 6 t 3 + x 23 z 2 z 4 z 6 t 3 +x 23 z 2 z 4 z 5 t 3 + x 24 z 2 z 3 z 6 t 3 + x 24 z 2 z 3 z 5 t 3 + x 25 z 2 z 3 z 4 t 3 + x 34 z 1 z 5 z 6 t 3 +x 35 z 1 z 4 z 6 t 3 + x 35 z 1 z 4 z 5 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 6 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 5 t 3 + x 37 z 1 z 3 z 4 t 3 +x 47 z 1 z 2 z 6 t 3 + x 47 z 1 z 2 z 5 t 3 + x 48 z 1 z 2 z 4 t 3 + x 49 z 1 z 2 z 3 t 3 +x 44 z 1 z 2 t 2 + x 33 z 1 z 3 t 2 + x 32 z 1 z 4 t 2 + x 31 z 1 z 5 t 2 + x 31 z 1 z 6 t 2 +x 21 z 2 z 3 t 2 + x 20 z 2 z 4 t 2 + x 19 z 2 z 5 t 2 + x 19 z 2 z 6 t 2 + x 9 z 3 z 4 t 2 +x 8 z 3 z 5 t 2 + x 8 z 3 z 6 t 2 + x 7 z 4 z 5 t 2 + x 7 z 4 z 6 t 2 + x 6 z 5 z 6 t 2 +x 28 z 1 t + x 16 z 2 t + x 5 z 3 t + x 4 z 4 t + x 3 z 5 t + x 3 z 6 t +1.De la función anterior se eligen aquellos términos en los que la potencia dela variable x sea mayor o igual que 30, esdecir,x 59 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 6 + x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 43 z 1 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 +x 54 z 1 z 2 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 55 z 1 z 2 z 3 z 5 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 t 5 +x 38 z 1 z 4 z 5 z 6 t 4 + x 39 z 1 z 3 z 5 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 5 t 4 +x 50 z 1 z 2 z 5 z 6 t 4 + x 51 z 1 z 2 z 4 z 6 t 4 + x 51 z 1 z 2 z 4 z 5 t 4 + x 52 z 1 z 2 z 3 z 6 t 4 +x 52 z 1 z 2 z 3 z 5 t 4 + x 53 z 1 z 2 z 3 z 4 t 4 + x 34 z 1 z 5 z 6 t 3 + x 35 z 1 z 4 z 6 t 3 +

42 Índices de poder en juegos simples+x 35 z 1 z 4 z 5 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 6 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 5 t 3 + x 37 z 1 z 3 z 4 t 3+x 47 z 1 z 2 z 6 t 3 + x 47 z 1 z 2 z 5 t 3 + x 48 z 1 z 2 z 4 t 3 + x 49 z 1 z 2 z 3 t 3+x 44 z 1 z 2 t 2 + x 33 z 1 z 3 t 2 + x 32 z 1 z 4 t 2 + x 31 z 1 z 5 t 2 + x 31 z 1 z 6 t 2 .De los términos anteriores se eligen aquellos que no pueden ser divididos porotros términos, con lo que al final quedarían los términos:x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 44 z 1 z 2 t 2 + x 33 z 1 z 3 t 2 + x 32 z 1 z 4 t 2 + x 31 z 1 z 5 t 2 + x 31 z 1 z 6 t 2 .Por lo tanto, |M (v)| =6, el número de términos de la expresión anterior.Para calcular el índice de poder de un jugador i ∈ N basta con sumar aquellosmonomios en los que aparece la variable z i dividido entre la potenciacorrespondiente de la variable t, y dividir el resultado final entre |M (v)| . Asípara calcular el índice de poder del jugador 4 se tiene que z 4 aparece en dosmonomios, dividiendo entre el exponente correspondiente de la variable t, seobtiene 1/5+1/2 =7/10, que dividido entre |M (v)| es igual a 7/60.De forma similar se obtendría el índice de poder de Deegan-Packel de losrestantes jugadores:ρ (N,v) =(5/12, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60) .

Capítulo 2Valores en juegos con uniones aprioriEn los modelos considerados en el capítulo anterior se puede formar cualquiercoalición, ya que no existe ninguna restricción en la cooperación entre losjugadores. Sin embargo, para representar ciertas situaciones de forma másadecuada es preciso tratar con nuevos modelos.Uno de estos modelos es el de los juegos TU con un sistema de uniones.Un sistema de uniones es una partición del conjunto de jugadores que describeuna estructura de coaliciones apriori. En las siguientes secciones seestudiarán varias soluciones para estos juegos y se propondrán herramientaspara su cálculo, como las extensiones multilineales para cualquier juego TU oherramientas basadas en la utilización de funciones generatrices, para juegosde mayoría ponderada.2.1 El valor de OwenEn primer lugar, presentaremos algunos conceptos y resultados básicos.Definición 2.1.1 Un juego TU con un sistema de uniones es una terna(N,v,P), donde(N,v) es un juego TU y P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } es una particiónde N que proporciona el sistema de uniones asociado.Se denotará por U (N) el conjunto de todos los juegos TU con sistema deuniones y conjunto de jugadores N, yporU el conjunto de todos los juegosTU con sistema de uniones.43

44 ValoresenjuegosconunionesaprioriDado un conjunto N = {1, 2, ..., n} , se utilizará la siguiente notación:• Se denotará por P (N) el conjunto de las particiones de N.• Se denotará por P n la partición de N dada por {{1} , {2} , ..., {n}} ,(en este caso, diremos que el sistema de uniones es el trivial).• Se denotará por P N la partición de N dada por {N} , (aunque enalgunos trabajos se considera que este sistema de uniones también estrivial, para nosotros el sistema de uniones trivial será sólo P n , aquelen el que cada jugador es una unión).• Dado un jugador i ∈ N, se denotará por P (i) el conjunto de las particionesde N, en las que el jugador i constituye una coalición apriori,es decir, P ∈ P (i) si existe P k ∈ P tal que P k = {i} .Definición 2.1.2 Una solución sobre U(N) es una aplicaciónf : U (N) −→ R nque a cada juego (N,v,P) ∈ U (N) le asigna un vector de R n , en el que cadacomponente representa el pago que recibe el jugador correspondiente.El valor de Owen, propuesto y caracterizado por Owen en 1977 es una modificacióndel valor de Shapley adaptada al contexto de los juegos cooperativoscon un sistema de uniones apriori.En primer lugar, se define el juego cociente asociado a un juego con unionesapriori.Definición 2.1.3 Sea (N,v,P) ∈ U(N) con P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } . Se defineel juego cociente asociado a (N,v,P) como el juego ¡ M,v ¢ P ∈ TU(M) talque v P (R) =v( S P k ), para todo R ⊆ M, siendo M = {1, 2, ..., m} .k∈RDiremos que dos uniones distintas P k ,P s ∈ P son simétricas en el juego(N,v,P) ∈ U (N) si k y s son jugadores simétricos en el juego ¡ M,v ¢ P .En el capítulo anterior se vio que el valor de Shapley satisface la propiedadde simetría. Cuando se introduce un sistema de uniones apriori,parece

El valor de Owen 45lógico sustituir esta propiedad por dos nuevas propiedades: una propiedadde simetría dentro de cada unión y una propiedad de simetría entre uniones.Simetría en cada unión (SU). Una solución f : U (N) −→ R n es simétricaen cada unión si para todo (N,v,P) ∈ U(N), se tiene quef i (N,v,P) =f j (N,v,P) ,para todo par de jugadores simétricos i, j ∈ P k ,conP k ∈ P.Esta propiedad establece que si dos jugadores de la misma unión aprioridesempeñan el mismo papel en el juego (N,v) entonces reciben el mismopago.Simetría en el cociente (SC) . Una solución f : U (N) −→ R n es simétricaen el juego cociente si para todo (N,v,P) ∈ U(N), se tiene queXf i (N,v,P) = X f i (N,v,P) ,i∈P k i∈P spara todo par de uniones simétricas P k ,P s ∈ P.Esta propiedad determina que dos uniones que se comportan de igual formaen el juego cociente obtienen el mismo pago.A continuación, reescribimos las propiedades de eficiencia, jugador nulo, soportey aditividad en el contexto de los juegos TU con sistema de uniones.Las designaremos de igual modo que las propiedades análogas en el contextogeneraldejuegosTU.Eficiencia (EFI) . Una solución f : U (N) −→ R n es eficiente si para todojuego (N,v,P) ∈ U (N) , se tiene quenXf i (N,v,P) =v (N) .i=1Jugador nulo (JN). Una solución f : U (N) −→ R n satisface la propiedaddejugadornulosiparatodojuego(N,v,P) ∈ U (N) yparatodojugadornulo en (N,v) ,i∈ N, se tiene que f i (N,v,P) =0.

46 ValoresenjuegosconunionesaprioriSoporte (SOP). Una solución f : U (N) −→ R n satisface la propiedad desoporte (SOP) si para todo juego (N,v,P) ∈ U (N) y para todo soporteT de (N,v) se tiene queXf i (N,v,P) =v (T ) .i∈TAl igual que para los juegos TU, para la familia de juegos TU con sistemade uniones es equivalente que una solución satisfaga conjuntamentelas propiedades de eficiencia y jugador nulo o que satisfaga la propiedad desoporte.Aditividad (ADI). Una solución f : U (N) −→ R n es aditiva si para todopar de juegos (N,v,P) ∈ U (N) y (N,w,P) ∈ U (N) , se tiene quef (N,v + w, P) =f (N,v,P)+f (N,w,P) ,donde para cualquier coalición T ⊆ N,(v + w)(T )=v (T )+w (T ) .Empleando algunas de las propiedades anteriores, Owen probó el siguienteresultado.Teorema 2.1.1 La única solución f sobre U (N) verificando las propiedadesde EFI,JN,SU,SC y ADI es el valor de Owen. Dado un juego(N,v,P) ∈ U (N) , dicha solución asigna a cada jugador i ∈ N el númeroreal Φ i (N,v,P) dado por:X X 1 1 1µ µ (v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) ,p k m m − 1 pk − 1R⊆M\k T ⊆P k \ir tdonde Q = ∪r∈RP r y P k ∈ P es la unión tal que i ∈ P k .El valor de Shapley puede entenderse como una solución sobre el subconjuntode U formado por todas las ternas (N,v,P n ) ∈ U (N) para todo N finito,es decir, puede pensarse que el valor de Shapley es una solución para juegosTU con sistema de uniones, pero que está definido sólo para el caso en queel sistema de uniones es el trivial. Visto de esta forma, el valor de Owenserviría para generalizar el valor de Shapley en los casos en los que el sistemade uniones no es el trivial. Basándose en esta idea, en Vázquez Brage (1998)se introduce el concepto de valor coalicional de Shapley.

El valor de Owen 47Definición 2.1.4 Un valor coalicional de Shapley es una aplicación f queasigna a cada (N,v,P) ∈ U (N) un elemento de R n verificando que, paratodo (N,v,P n ) ∈ U (N) ,f(N,v,P n )=ϕ (N,v) (recuérdese que ϕ denota elvalor de Shapley).Es fácil comprobar que el valor de Owen es un valor coalicional de Shapley.En Vázquez Brage (1998), se proporcionan nuevas caracterizaciones para elvalor de Owen, empleando el concepto de valor coalicional de Shapley y laspropiedades de juego cociente, contribuciones equilibradas en las uniones ymonotonía fuerte.La propiedad de juego cociente establece que lo que ganan los jugadoresde una coalición aprioricoincide con lo que gana la coalición en el juegocociente.Juego cociente (JC) . Una solución f : U (N) −→ R n satisface la propiedadde juego cociente si para todo (N,v,P) ∈ U(N) yparatodoP k ∈ P, se tienequeXi∈P kf i (N,v,P) =f k¡M, v P ,P m¢ .En el teorema 1.1.4 se recordó la caracterización del valor de Shapley, obtenidapor Young en 1985, empleando la propiedad de monotonía fuerte. Se enunciaesta propiedad en el contexto de los juegos TU con sistema de uniones, aligual que para propiedades anteriores, la designaremos del mismo modo.Monotonía fuerte (MF) . Una solución f : U (N) −→ R n satisface lapropiedad de monotonía fuerte si para todo par de juegos (N,v,P) ∈ U(N) y(N,w,P) ∈ U (N) tales que v (T ∪ i) − v (T ) ≥ w (T ∪ i) − w (T ) para todoi ∈ N yparatodoT ⊆ N\i, se tiene que f i (N,v,P) ≥ f i (N,w,P).La propiedad de contribuciones equilibradas en las uniones establece que laganancia (o pérdida) que supone para un jugador i que un jugador j abandonela unión P k a la que pertenecen ambos, es igual a la que sufre el jugador j,cuando es el jugador i el que decide abandonar la unión P k .Esdecir:Contribuciones equilibradas en las uniones (CEU) . Una solución f :U (N) −→ R n satisface la propiedad de contribuciones equilibradas en las

48 Valoresenjuegosconunionesaprioriuniones si para todo juego (N,v,P) ∈ U(N), para toda coalición P k ∈ P ypara todo par de jugadores i, j ∈ P k, se verifica quef i (N,v,P) − f i (N,v,P −j )=f j (N,v,P) − f j (N,v,P −i ) ,donde P −i es el sistema de uniones que resulta cuando el jugador i deja launión a la que pertenece, para formar una unión unitaria, es decir,P −i = {P 1 , ..., P k−1 ,P k \i, P k+1 , ..., P m , {i}} ,y P −j se define de modo análogo.Es interesante hacer notar que en esta propiedad de contribuciones equilibradasno se produce abandono del juego por parte de ningún jugador, sinoque un jugador deja la unión a la que pertenece, para formar una unión unitaria.Esta propiedad refleja la idea de que todos los jugadores de una unióndeben beneficiarse del mismo modo por formar dicha unión.Con los conceptos anteriores, se presentan tres caracterizaciones del valor deOwen (Vázquez-Brage, 1998).Teorema 2.1.2 El valor de Owen es la única solución sobre U (N) que verificalas propiedades de EFI,SU,SC y MF.Teorema 2.1.3 El valor de Owen es el único valor coalicional de Shapleysobre U que verifica las propiedades de CEU y JC.Teorema 2.1.4 El valor de Owen es la única solución sobre U (N) que verificalas propiedades de EFI,JN,SC,ADI y CEU.Otras caracterizaciones del valor de Owen pueden encontrarse en Winter(1992) y Calvo, Lasaga y Winter (1996).Anteriormentesehadefinido el valor de Owen desde un punto de vista axiomático,es decir, como el único valor que satisface una serie de propiedadesque se consideran plausibles dentro de la familia de juegos TU con sistema deuniones. Además, puede darse la siguiente interpretación al valor de Owen:supóngase que en un juego TU con sistema de uniones existen dos niveles denegociación; primero entre uniones y después entre jugadores de la mismaunión. El reparto entre uniones se hace asignando a cada unión su valorde Shapley en el juego cociente. La cantidad asignada a cada unión en esteprimer reparto se divide entre los jugadores de cada unión teniendo en cuentasus posibilidades de abandonar esa unión y entrar a formar parte de otrasuniones.

El valor de Banzhaf-Owen 492.2 El valor de Banzhaf-OwenDe acuerdo a la interpretación dada al valor de Owen, comentada al final dela sección anterior, Owen (1981) propuso una extensión del valor de Banzhafpara la familia de juegos TU con un sistema de uniones. En este caso, elreparto en los niveles de negociación se hace empleando el valor de Banzhaf.Se denominará a esta solución valor de Banzhaf-Owen y se denotará por Ψ.Definición 2.2.1 Dado un juego (N,v,P) ∈ U (N), el valor de Banzhaf-Owen asigna a cada jugador i ∈ N el número real Ψ i (N,v,P) dado por:X X 1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) ,2 m−1 2 p k−1R⊆M\k T ⊆P k \idonde Q = S P r y P k ∈ P es la unión tal que i ∈ P k .r∈REl valor de Banzhaf-Owen no fue caracterizado hasta el año 2001, en elque aparecen dos axiomatizaciones de este valor (Albizuri, 2001) y (Amer,Carreras y Giménez, 2001). Ambas caracterizaciones emplean, entre otras,la denominada propiedad de delegación, que ya fue empleada por Lehrer en1988 para obtener una caracterización del valor de Banzhaf sin utilizar elaxioma de aditividad.En esta sección presentamos otra caracterización del valor de Banzhaf-Owenempleando el concepto de valor coalicional de Banzhaf. En el teorema 2.1.3se vio una caracterización del valor de Owen empleando el concepto de valorcoalicional de Shapley.En el primer capítulo se proporcionaron caracterizaciones de los valores deShapley y de Banzhaf en las que la única diferencia residía en que el valorde Shapley satisface eficiencia mientras que el valor de Banzhaf satisface lapropiedad de poder total. El valor de Owen es una extensión del valor deShapley para juegos con uniones apriori. Este valor satisface las propiedadesde simetría en cada unión y simetría en el juego cociente, que se pueden interpretarcomo una extensión de la propiedad de simetría que satisface el valorde Shapley. Parece lógico suponer que de modo similar, al introducir unamodificación del valor de Banzhaf para juegos TU con sistema de uniones,dicha modificación debería verificar la propiedad de simetría en el juego cociente.Sin embargo, el valor de Banzhaf-Owen no verifica esta propiedadcomo se comprueba en el siguiente ejemplo:

50 ValoresenjuegosconunionesaprioriEjemplo 2.2.1 Considérese el juego TU (N,u N ) , donde N = {1, 2, 3, 4, 5} yu N es el juego de unanimidad de la coalición total N. Tomando la estructurade coaliciones P = {P 1 ,P 2 },dondeP 1 = {1, 2, 3} y P 2 = {4, 5} es fácilcomprobar que el valor de Banzhaf-Owen para el juego (N,u N ,P) esΨ (N,u N ,P)=(1/8, 1/8, 1/8, 1/4, 1/4) .El juego cociente u P N es el juego de unanimidad con conjunto de jugadoresM = {1, 2}. En este juego, los dos jugadores son simétricos, pero en el juego(N,u N ,P) se tiene que P Ψ i (N,u N ,P) 6= P Ψ i (N,u N ,P).i∈P 1 i∈P 2En primer lugar se introducirá el concepto de valor coalicional, del que comocaso particular se obtendrían el valor coalicional de Shapley y el valor coalicionalde Banzhaf. Un valor coalicional de un determinado valor debe coincidircon este valor si el sistema de uniones es el trivial, es decir, aquel en elque cada jugador constituye una unión.Definición 2.2.2 Dado un valor f sobre (N,v) , un valor coalicional de fes una aplicación g que asigna a cada (N,v,P) ∈ U (N) un elemento de R nverificando que, para todo (N,v,P n ) ∈ U (N) ,g(N,v,P n )=f (N,v) .Definición 2.2.3 Un valor coalicional de Banzhaf es una aplicación f queasigna a cada (N,v,P) ∈ U (N) un elemento de R n verificando que, paratodo (N,v,P n ) ∈ U (N) ,f(N,v,P n )=β (N,v) .En la nueva caracterización del valor de Banzhaf-Owen se emplearán, ademásdel concepto de valor coalicional de Banzhaf, dos nuevas propiedades, denominadaspropiedad de indiferencia en las uniones y propiedad de juego cocientepara coaliciones formadas por un único jugador.Definición 2.2.4 Una solución f : U (N) −→ R n satisface la propiedad deindiferencia en las uniones (IU) si para todo juego (N,v,P) ∈ U (N) , paratoda unión P k ∈ P y para todo par de jugadores i, j ∈ P k , (i 6= j) se verificaquef i (N,v,P) =f i (N,v,P −j ) .Esta propiedad dice que si un jugador decide de modo unilateral dejar launión a la que pertenece, el pago obtenido por el resto de los jugadores dedicha unión sigue siendo el mismo.

El valor de Banzhaf-Owen 51Definición 2.2.5 Una solución f : U (N) −→ R n satisface la propiedadde juego cociente para coaliciones formadas por un único jugador (JCU) sipara todo jugador i ∈ N, para todo P ∈ P (i) yparatodojuego(N,v,P) ∈U(N), se tiene quef i (N,v,P) =f k¡M, v P ,P m¢ ,donde k ∈ M = {1, 2,... ,m} es la unión tal que P k = {i} .Esta propiedad establece que si una coalición aprioriestá formada por unúnico jugador, el pago obtenido por ese jugador coincide con el pago asignadoa la coalición correspondiente en el juego entre uniones apriori.Lema 2.2.1 El valor de Banzhaf-Owen es un valor coalicional de Banzhaf.DemostraciónDado (N,v,P n ) ∈ U (N), setienequeparatodoi ∈ N, se verifica que existek ∈ {1, 2,... ,n} tal que P k = {i}. Comom = n y p k =1, entoncesΨ i (N,v,P n )=XXR⊆M\k T ⊆P k \i1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) =2 m−1 2 p k−1donde Q = Sr∈RXS⊆N\iP r .¤12 n−1 (v (S ∪ i) − v (S)) = β i (N,v) ,Lema 2.2.2 El valor de Banzhaf-Owen verifica la propiedad de indiferenciaen las uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ U (N) , con P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } .Dado P k ∈ P e i, j ∈ P k puede considerarseP −j = © P 0 1,P 0 2,... ,P 0 m+1ª,

52 Valoresenjuegosconunionesaprioridonde P 0l = P l ,paratodol ∈ {1,... ,k− 1,k+1,... ,m} ,P 0 k = P k\j, P 0 m+1 ={j} . Si M 0 = {1, 2,... ,m+1}, setienequeΨ i (N,v,P −j )=XR⊆M 0 \kX 1 12 m0 −12 (v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) = p0T ⊆Pk 0 \i k −1 (2.1)XXR⊆M\k T ⊆P k \idonde en (2.1) Q = S1 12 m−1 2 (v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) = Ψ p i (N,v,P) ,k−1r∈RP r .¤Lema 2.2.3 El valor de Banzhaf-Owen verifica la propiedad de juego cocientepara coaliciones formadas por un único jugador.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ U (N) , con P ∈ P (i), es decir, P k = {i} para algún k ∈{1, 2,... ,m}. Entonces, se tiene queΨ i (N,v,P) =XR⊆M\kXXR⊆M\k T ⊆P k \i1X(v (Q ∪ i) − v (Q)) =2m−1 1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) = (2.2)2 m−1 2 p k−1R⊆M\k12 m−1 ¡v P (R ∪ k) − v P (R) ¢ =¡β ¢ ¡k M,vP= Ψ i M,v P ,P m¢ ,donde en (2.2) Q = S P r .¤r∈REn el siguiente resultado, se caracteriza el valor de Banzhaf-Owen como laúnica extensión posible del valor de Banzhaf al contexto de los juegos TUcon sistema de uniones verificando las dos propiedades anteriores.Teorema 2.2.4 El valor de Banzhaf-Owen es el único valor coalicional deBanzhaf que verifica IU y JCU.

El valor de Banzhaf-Owen 53DemostraciónExistencia:En los tres lemas anteriores se demostró que el valor de Banzhaf-Owen es unvalor coalicional de Banzhaf y que satisface IU y JCU.Unicidad:Supóngase que existen dos valores coalicionales de Banzhaf f 1 y f 2 verificandoIU y JCU.Puede encontrarse entonces un juego (N,v) ∈ TU (N) , y para este juego,una partición P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } ∈ P (N) , conelmáximonúmerodecoaliciones apriorital que f 1 i (N,v,P) 6= f 2 i (N,v,P) , para algún jugadori ∈ N.Por ser ambas soluciones valores coalicionales de Banzhaf, necesariamentem 1, sea entonces j ∈ P k , tal que j 6= i. Por la propiedad deindiferencia en las unionesfi 1 (N,v,P) =fi 1 (N,v,P −j ) y fi 2 (N,v,P) =fi 2 (N,v,P −j ) .Por la maximalidad de la partición P, se tiene quefi 1 (N,v,P −j )=fi 2 (N,v,P −j ) ,con lo que fi 1 (N,v,P) =fi 2 (N,v,P) , lo que es absurdo.¤Más adelante se compararán, mediante un par de ejemplos, el valor deOwen, el valor de Banzhaf-Owen y una nueva versión coalicional del valor deBanzhaf, que se introduce a continuación.

54 Valoresenjuegosconunionesapriori2.3 El valor de Banzhaf coalicional simétricoEn esta sección se va a proponer y a caracterizar una extensión alternativadel valor de Banzhaf para la familia de los juegos cooperativos con utilidadtransferible y sistema de uniones. Este valor, al que denominaremos valor deBanzhaf coalicional simétrico, satisface la propiedad de simetría en el juegocociente. Algunos de los resultados de esta sección y de secciones siguientesaparecen en Alonso, Colmenero y Fiestras (2001) y Alonso y Fiestras (2001).En primer lugar, se propondrá una modificación de la propiedad de podertotal, teniendo en cuenta que la existencia de uniones apriorilimita la cooperaciónentre los jugadores. Para definir esta nueva propiedad se emplearáel concepto de valor coalicional y la propiedad de juego cociente.Si quiere proponerse un valor f : U (N) −→ R n que satisfaga la propiedadde juego cociente, debe cumplir que para cualquier juego (N,v,P) ∈ U (N)con P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } ,Xf i (N,v,P) = X Xf i (N,v,P) = X ¡f k M, v P ,P m¢ . (2.3)i∈Nk∈M i∈P k k∈MSi este valor es un valor coalicional de Banzhaf, debe coincidir con el valorde Banzhaf cuando el sistema de unioneseseltrivial,porlotanto,X ¡f k M,v P ,P m¢ = X ¡β ¢ k M,vP. (2.4)k∈M k∈MComo el valor de Banzhaf satisface la propiedad de poder total, se obtienela siguiente igualdadX ¡β ¢ k M,vP= 1 X X £v P (T ∪ k) − v P (T ) ¤ . (2.5)2 m−1k∈Mk∈M T ⊆M\kConsiderando las igualdades (2.3), (2.4) y (2.5) se obtiene la siguiente propiedad,a la que se denominará propiedad del poder total coalicional.Definición 2.3.1 Una solución f : U (N) −→ R n verifica la propiedadde poder total coalicional (PTC) si para todo (N,v,P) ∈ U (N) con P ={P k /k ∈ M = {1,... ,m}} se cumple queXf i (N,v,P) = 1 X X £v P (T ∪ k) − v P (T ) ¤ .2 m−1i∈Nk∈M T ⊆M\k

El valor de Banzhaf coalicional simétrico 55Ahora, puede caracterizarse un nuevo valor en el siguiente resultado.Teorema 2.3.1 Existe una única solución f : U (N) −→ R n verificando laspropiedades de PTC,JN,SU,SC y ADI. Esta solución se denotará por Πy se denominará valor de Banzhaf coalicional simétrico.Dado un juego (N,v,P) ∈ U (N) , esta solución asigna a cada jugador i ∈ Nel número realΠ i (N,v,P) =XXR⊆M\k T ⊆P k \idonde Q = Sr∈RDemostraciónExistencia:1 t!(p k − t − 1)!(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) , (2.6)2 m−1 p k !P r y P k ∈ P es la unión tal que i ∈ P k .En primer lugar se comprobará que Π verifica las propiedades enumeradasen el teorema. Se comenzará con la propiedad de poder total coalicional.Dado (N,v,P) ∈ U (N) , se tiene queXΠ i (N,v,P) = X XΠ i (N,v,P) =i∈N k∈M i∈P kXXk∈M R⊆M\k1 X2 m−1Xi∈P k T ⊆P k \it!(p k − t − 1)!p k !Dados P k ∈ P y R ⊆ M\k, considérese Q = S[v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] . (2.7)r∈RP r yeljuegoTU ¡ P k , ṽ Q¢ ∈TU (P k ) , con función característica ṽ Q (T )=v (Q ∪ T ) − v (Q) , para todoT ⊆ P k .

56 ValoresenjuegosconunionesaprioriEntonces, el valor de Shapley de un jugador i ∈ P k en el juego ¡ P k , ṽ Q¢ esigual a:XT ⊆P k \iϕ i¡Pk , ṽ Q¢ =t!(p k − t − 1)!p k !XT ⊆P k \iXT ⊆P k \it!(p k − t − 1)!p k !£ṽQ (T ∪ i) − ṽ Q (T ) ¤ = (2.8)[v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q) − (v (Q ∪ T ) − v (Q))] =t!(p k − t − 1)!p k ![v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] .Por la eficiencia del valor de Shapley, se obtieneXi∈P kϕ i¡Pk , ṽ Q¢ =ṽ Q (P k )=v (Q ∪ P k ) − v (Q) =XXi∈P k T ⊆P k \it!(p k − t − 1)!p k ![v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] .Insertando este resultado en la expresión anterior (2.7), se tiene que:XΠ i (N,v,P) = X X 12 [v (Q ∪ P k) − v (Q)] =m−1i∈N k∈M1 X2 m−1R⊆M\kXk∈M R⊆M\k£v P (R ∪ k) − v P (R) ¤ .A partir de la expresión (2.6) es fácil comprobar que Π verifica las propiedadesde jugador nulo y simetría en cada unión.Se ha demostrado que la cantidad total que obtienen los jugadores de P k esigual a:XΠ i (N,v,P) = 1 X £v P (R ∪ k) − v P (R) ¤ . (2.9)2 m−1 i∈P kR⊆M\k

El valor de Banzhaf coalicional simétrico 57Entonces, este valor satisface la propiedad de simetría en el cociente: dadasdos uniones simétricas P k ,P s ∈ P ,setienequev P (R ∪ k) =v P (R ∪ s) , paratodo R ⊆ M\{k, s} . Además, v P (R ∪ k) =v P (T ∪ s) , donde T =(R\s)∪k,para todo R ⊆ M\k y s ∈ R. De la expresión (2.9), se deduce queXΠ i (N,v,P) = X Π j (N,v,P) .i∈P k j∈P sFinalmente, la expresión (2.6) es lineal en v, y entonces, la solución es aditiva.Unicidad:Es suficiente demostrar que cualquier solución f que satisface las propiedadesenumeradas en el teorema coincide con Π para los juegos de unanimidad.La propiedad de aditividad y el hecho de que la familia de los juegos deunanimidad constituyen una base de la familia de los juegos TU, garantizanla unicidad de este valor.Considérese un conjunto finito N y el juego de unanimidad u T ,conT ⊆ N.Dada una partición P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } ∈ P (N) tomandom (T )={j ∈ M/P j ∩ T 6= ∅} y T 0 j = P j ∩ T.El juego cociente ¡ ¢M,u P T queda definido como½ 1 si m (T ) ⊆ Ru P T (R) =0 si m (T ) * Rpara todo R ⊆ M.Supóngase entonces una solución f que cumpla las propiedades consideradasen el teorema.Como f satisface la propiedad de jugador nulo, f i (N,u T ,P)=0, para todojugador i /∈ T. Más aún, por las propiedades de poder total coalicional,jugador nulo y simetría en el juego cociente, se tiene queX½f i (N,u T ,P)=i∈P k0 si k/∈ m (T )12 |m(T )|−1 si k ∈ m (T )

58 Valoresenjuegosconunionesaprioripara todo k ∈ M.Una solución f que satisface la propiedad de simetría en las uniones, otorgaatodojugadorqueperteneceaT k 0 la misma cantidad. Por lo tanto,(0 si i/∈ Tf i (N,u T ,P)=1t 0 k2|m(T )|−1 sii ∈ T 0 kPor otro lado, si i/∈ T es fácil probar que Π i (N,u T ,P)=0.Cuandoi ∈ Tentonces i ∈ Tk0 = T ∩ P k y u T (Q ∪ S ∪ i) − u T (Q ∪ S) =1si y sólo siQ = S P r donde m (T ) \k ⊆ R ⊆ M\k, yTk 0\i ⊆ S ⊆ P k\i. Por lo tanto, sir∈Ri ∈ T 0 k ,Π i (N,u T ,P)=Xm(T )\k⊆R⊆M\kXT 0 k \i⊆S⊆P k\i1 s!(p k − s − 1)!=2 m−1 p k !1.t 0 k2|m(T )|−1En consecuencia, f y Π coinciden para cualquier juego (N,u T ,P) ylademostraciónqueda finalizada.¤Este resultado revela que las propiedades que satisface el valor coalicional deBanzhaf simétrico y el valor de Owen son muy similares. La única diferenciaes que el primero verifica la propiedad de poder total coalicional, mientrasque el segundo satisface la propiedad de eficiencia. Nótese que esto está encorrespondencia con las diferencias entre el valor de Banzhaf y el valor deShapley vistas en el primer capítulo.Es interesante hacer notar que el valor de Banzhaf coalicional simétrico secorresponde con un valor que consiste en repartir en el juego cociente deacuerdo al valor de Banzhaf (expresión (2.9)) y dentro de cada una de lascoaliciones se reparte esta cantidad de acuerdo con el valor de Shapley (expresión(2.8)). Nuestra intención al definir este valor era obtener una nuevaextensión del valor de Banzhaf que verificase las propiedades de simetría enel cociente y juego cociente. Por lo tanto, esta nueva extensión del valor deBanzhaf recoge algunas de las propiedades interesantes que satisface el valorde Owen, a diferencia del valor de Banzhaf-Owen. Más adelante, se hará unacomparación de estos valores mediante un ejemplo.

El valor de Banzhaf coalicional simétrico 59En el teorema 2.1.2 se vio una caracterización del valor de Owen empleandola propiedad de monotonía fuerte. De forma parecida, puede obtenerse otracaracterización del valor de Banzhaf coalicional simétrico, sustituyendo lapropiedad de eficiencia por la de poder total coalicional, de la que se omitela demostración por ser similar a la de los teoremas 2.1.2 y 2.3.1.Teorema 2.3.2 El valor de Banzhaf coalicional simétrico es la única soluciónsobre U (N) verificando las propiedades de PTC,SU,SC y MF.En el teorema 2.1.3 se caracteriza el valor de Owen como el único valorcoalicional de Shapley que satisface las propiedades de juego cociente y contribucionesequilibradas en las uniones. Ahora, se va a probar que el valorde Banzhaf coalicional simétrico satisface propiedades análogas.Lema 2.3.3 El valor de Banzhaf coalicional simétrico es un valor coalicionalde Banzhaf y satisface la propiedad de juego cociente.Demostración(1) Dado un juego (N,v) ∈ TU (N), considérese el sistema de uniones trivialP n yeljuego(N,v,P n ). Como el cardinal de cada unión P k es igual a 1,sustituyendo en (2.6), se obtiene que Π i (N,v,P n )=β i (N,v). Esto quieredecir que Π es un valor coalicional de Banzhaf.(2) De la expresión (2.9) se deduce que el valor de Banzhaf coalicionalsimétrico satisface la propiedad de juego cociente.¤Lema 2.3.4 El valor de Banzhaf coalicional simétrico verifica la propiedadde contribuciones equilibradas en las uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ U(N), con P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } y M = {1, 2,... ,m} . SeaP k ∈ P e i, j ∈ P k .Por la expresión (2.6) se tiene queΠ i (N,v,P) =

60 ValoresenjuegosconunionesaprioriXXR⊆M\k T ⊆P k \iXXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}XXR⊆M\k T ⊆P k \i/j∈TXXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}XXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}donde Q = Sr∈R1 1 12 m−1 p kµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =pk − 1t1 1 12 m−1 p k1 1 12 m−1 p k1 1 12 m−1 p k1 1 12 m−1 p kµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +pk − 1tµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =pk − 1tµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +pk − 1tµ [v (Q ∪ T ∪ j ∪ i) − v (Q ∪ T ∪ j)] ,pk − 1t +1P r . Considerando ahoraP −j = © P 0 1,P 0 2, ..., P 0 m+1ª,donde P 0l = P l , para todo l ∈ {1, ..., k − 1,k+1, ..., m} ,P 0 k = P k \j,P 0 m+1 = {j} y M 0 = {1, 2, ..., m +1}.Entonces, puede escribirseXR⊆M 0 \kΠ i (N,v,P −j )=X 1 1 1µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =2 m pT ⊆Pk 0 k − 1 pk − 2\it

El valor de Banzhaf coalicional simétrico 61XXR⊆M 0 \{k,m+1} T ⊆P k \{i,j}1µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +p k − 1 pk − 2t1 12 mXR⊆M 0 \k/m+1∈RXT ⊆P k \{i,j}1 12 m p k − 11µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =pk − 2tXXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}XXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}1 12 m1µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +p k − 1 pk − 2t1µ [v (Q ∪ T ∪ j ∪ i) − v (Q ∪ T ∪ j)] .p k − 1 pk − 2t1 12 mDe esta forma:Π i (N,v,P) − Π i (N,v,P −j )=X XA 1 [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +R⊆M\k T ⊆P k \{i,j}X XA 2 [v (Q ∪ T ∪ j ∪ i) − v (Q ∪ T ∪ j)] ,R⊆M\k T ⊆P k \{i,j}dondeA 1 = 1 1 1µ − 1 12 m−1 p k pk − 1 2 m p k − 1t1µ pk − 2t

62 ValoresenjuegosconunionesaprioriyA 2 = 1 1 1µ − 1 12 m−1 p k pk − 1 2 m p k − 1t +11µ .pk − 2tPuede escribirse A 1 = B −C y A 2 = D−C. Se va a comprobar que A 1 +A 2 =0, oloqueeslomismo,queB + D =2C.⎛⎞B + D = 1 1⎜1 12 m−1 p k⎝µ + µ ⎟pk − 1 pk − 1 ⎠ =t t +11 1 t!(p k − t − 1)! + (t +1)!(p k − t − 2)!=2 m−1 p k (p k − 1)!1 1 t!(p k − t − 2)! (p k − t − 1) + (t +1)t!(p k − t − 2)!2 m−1 p k (p k − 1)!=1 1 t!(p k − t − 2)! (p k − t − 1+t +1)=2 m−1 p k (p k − 1)!Por lo tanto,A 1X1 1 t!(p k − t − 2)!=2 m−1 p k − 1 (p k − 2)!2 12 m p k − 11µ =2C.pk − 2tΠ i (N,v,P) − Π i (N,v,P −j )=XR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}[v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] −

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 63X X[v (Q ∪ T ∪ j ∪ i)+v (Q ∪ T ∪ j)] .A 1R⊆M\k T ⊆P k \{i,j}Como esta expresión depende de i del mismo modo que depende de j, entoncesse tiene que:Π i (N,v,P) − Π i (N,v,P −j )=Π j (N,v,P) − Π j (N,v,P −i )y la demostración está finalizada.¤Teorema 2.3.5 El valor de Banzhaf coalicional simétrico (Π) es el únicovalor coalicional de Banzhaf que satisface las propiedades de CEU y JC.DemostraciónExistencia:Se sigue de los dos lemas anteriores que el valor de Banzhaf coalicionalsimétrico es un valor coalicional de Banzhaf que satisface CEU y JC.Unicidad:La demostración es inmediata empleando razonamientos similares a los utilizadosen Vázquez-Brage (1996), donde se demuestra que existe un únicovalor coalicional de Shapley que satisface las propiedades de juego cocientey contribuciones equilibradas en las uniones.¤Puede encontrarse otra caracterización de Π similar a la caracterización delvalor de Owen del teorema 2.1.4, empleando la propiedad de contribucionesequilibradas en las uniones, sin verlo como un valor coalicional de Banzhaf.Se omite la demostración por emplear razonamientos similares a los de resultadosanteriores.Teorema 2.3.6 El valor de Banzhaf coalicional simétrico es la única soluciónsobre U (N) que verifica las propiedades de PTC, JN, SC, ADI y CEU.Empleando la propiedad de transferencia en lugar de la propiedad de aditividad,obtenemos una caracterización del valor de Banzhaf coalicional simétricopara los juegos simples con uniones apriori. Esta caracterización es similara la obtenidad en Vázquez-Brage (1998), para el valor de Owen en juegossimples.

64 ValoresenjuegosconunionesaprioriTeorema 2.3.7 El único índice de poder f : SU (N) −→ R n que verificalas propiedades de PTC,JN,SU,SC y TR es el valor de Banzhaf coalicionalsimétrico.DemostraciónExistencia:Se probó anteriormente que Π satisface las cuatro primeras propiedades.Además, como se verifica que (v ∨ w) +(v ∧ w) = v + w y Π verifica lapropiedad de aditividad también satisface la propiedad de transferencia.Unicidad:Se sigue la demostración utilizada por Dubey, (1975) para demostrar la unicidaddel índice de poder de Shapley-Shubik, teniendo en cuenta como sevio anteriormente, que el valor de Banzhaf coalicional simétrico en juegos deunanimidad está caracterizado por las cuatro primeras propiedades.¤También puede caracterizarse Π para la familia de los juegos simples a partirdel teorema 2.3.5 en el que se caracteriza este nuevo valor como el único valorcoalicional de Banzhaf con las propiedades de contribuciones equilibradas enlas uniones y juego cociente.Para finalizar esta sección, se incluyen dos ejemplos en los que se comparanlos valores de Owen, Banzhaf-Owen y Banzhaf coalicional simétrico.El Parlamento de las Islas BalearesEl Parlamento de las Islas Baleares está constituido por 59 miembros, sucomposición resultante de las elecciones del 13 de junio de 1999 puede representarsecomo [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador 1 es el PP,eljugador2es el PSOE, el jugador 3 es el PSM − EN, eljugador4 es EU − EV ,eljugador 5 es UM y el jugador 6 es el PACTE.Las coaliciones minimales ganadoras son:{PP,PSOE} , {PP, EU − EV } , {PP, PACTE} , {PP,UM}

66 ValoresenjuegosconunionesaprioriExcepto para el PP, el poder total correspondiente a cada partido es mayor.La coalición de gobierno está formada por los partidos de izquierda y por lospartidos regionalistas.En este ejemplo, el valor de Owen y el valor de Banzhaf coalicional simétricoreflejan la simetría existente entre las uniones en el juego cociente. El valorde Banzhaf-Owen no satisface esta propiedad (por ejemplo, la segunda y latercera unión son simétricas, pero la segunda unión recibe 3/8 y la terceraunión recibe 1/2).El Consejo de la Unión EuropeaEl Consejo de la Unión Europea está compuesto por un representante decada estado miembro, en estos momentos son 15 los estados miembros representadosen este Consejo.Algunas de las decisiones que debe aprobar el Consejo de la Unión Europeatienen que ser por unanimidad (es necesario el voto favorable de los 15miembros), mientras que otras se aprueban por mayoría simple (es suficienteel voto favorable de 8 miembros).Si representamos estas reglas de decisión mediante un juego simple, todos losmiembros en el Consejo son simétricos. El índice de poder de Shapley-Shubikasigna en los dos sistemas de votación un poder igual a 1/15, mientrasqueel índice de poder de Banzhaf-Coleman asigna a cada estado una cantidadigual a 1/2 14 cuando el sistema de votación es por unanimidad y 3432/2 14cuando el sistema de votación es mediante mayoría simple.Pero, en muchas ocasiones, existe una estructura de cooperación apriorique permite considerar este Consejo como un juego simple con un sistema deuniones. Por ejemplo, si se consideran tres uniones constituidas cada una deellas por 5 miembros, está claro que todas las uniones son simétricas y todoslos jugadores que constituyen estas uniones también son simétricos.En este contexto, hay dos niveles de negociación, por ejemplo en el caso deunanimidad, en una primera etapa sólo las decisiones de los representantesde las 3 uniones son importantes y es más fácil alcanzar un acuerdo que en laprimera situación donde era necesario el voto positivo de los 15 miembros. Elvalor de Owen asigna en cada uno de los dos sistemas de votación un poder

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 67de 1/15 a cada estado. Nótese que aunque la situación es cualitativamentediferente de la primera, porque existe una estructura de uniones apriori,elvalor de Owen coincide con el valor de Shapley tanto si el sistema de votaciónes por mayoría o por unanimidad.El índice de Banzhaf coalicional simétrico le asigna a cada estado miembroun poder de 1/20, cuando el sistema de votación es por unanimidad y 1/10cuando el sistema de votación es por mayoría simple de los estados miembros.La suma de los índices de poder de los partidos que constituyen una unióncoincide con el índice de poder de Banzhaf-Coleman correspondiente en eljuego cociente. En el caso de unanimidad, el valor de Banzhaf-Owen leasignaacadaestadounpoderiguala1/2 6 yunpoderiguala12/2 6 cuandoel sistema de votación es por mayoría simple. A diferencia con el valor deBanzhaf coalicional simétrico, en ninguno de los dos casos coincide con elvalor de Banzhaf de cada unión en el juego cociente.2.4 El índice de poder de Deegan-Packel coalicionalEn esta sección y en la siguiente se van a proponer dos versiones coalicionalesdelíndicedepoderdefinido por Deegan y Packel, para el caso en que juntoal juego simple, se tenga una partición del conjunto de los jugadores que determineun sistema de uniones apriori. ElíndicedepoderdeDeegan-Packelse basa en suponer que el comportamiento de los jugadores está determinadopor tres condiciones: minimalidad, equiprobabilidad y solidaridad.En la primera versión coalicional del índice de poder de Deegan-Packel, semantendrán las condiciones de minimalidad y equiprobabilidad pero se introduciráuna modificación en la condición de solidaridad, teniendo en cuentaque existe una partición del conjunto de jugadores. Se van a proponer dosnuevas condiciones para sustituirla, que respetan la filosofía del índice depoder de Deegan-Packel no coalicional. Estas nuevas condiciones son:• Solidaridad entre uniones a priori: Las uniones a priori queconstituyen una coalición “victoriosa” se dividen el “botín” a partesiguales.

68 Valoresenjuegosconunionesapriori• Solidaridad dentro de las uniones apriori: Losjugadoresdeunaunión apriorique forman parte de una coalición victoriosa dividen laparte que les corresponde del “botín” a partes iguales.Al igual que sucedía con la condición de solidaridad, las nuevas condicionesparecen razonables en multitud de ocasiones: la solidaridad entre uniones apriori es una propiedad que determina que cada una de las uniones a priorijuega el mismo papel dentro de una coalición minimal ganadora en la queestén representadas; y la condición de solidaridad dentro de las uniones apriori establece que cada uno de los jugadores de una unión juegan el mismopapel dentro de la coalición minimal ganadora a la que pertenecen los citadosjugadores.Definición 2.4.1 Dado (N,v,P) ∈ SU (N) con P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , sedefine el índice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugador i ∈ P kcomo:ζ i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | ,donde M = {1, 2,... ,m} y m (S) ={j ∈ M/P j ∩ S 6= ∅} .Se puede comprobar que la definición del índice ζ para un jugador i ∈ P kes consistente con las condiciones anteriores. Es evidente que, al igual queel índice de poder de Deegan-Packel, verifica las condiciones de minimalidad1y equiprobabilidad. Para cada coalición S ∈ M i (v), eltérmino indicaque aquellas uniones apriorique tienen al menos un jugador en la|m(S)|coalición minimal ganadora S juegan el mismo papel. Así pues, este índiceverifica la condición de solidaridad entre uniones apriori. Además, el término1|S∩P kindica que el pago para el jugador i es el mismo que para los|restantes |S ∩ P k | − 1 jugadores de S ∩ P k . Por tanto, satisface la condiciónde solidaridad dentro de las uniones apriori.Al igual que el índice de poder no coalicional, este índice tiene una interpretaciónprobabilística. Supongamos que el pago correspondiente a un jugadori ∈ P k que pertenece a una coalición minimal ganadora S es ,|m(S)| |S∩P k |1 11ya que todas las uniones representadas en S obtienen ylacantidad|m(S)|obtenida por cada unión P k se la reparten los jugadores de S ∩ P k de formasolidaria. Si además todas las coaliciones minimales ganadoras tienen una

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 691probabilidad de formarse, la esperanza matemática del pago correspondienteal jugador i es precisamente ζ i|M(v)|.Otros valores coalicionales, como el valor de Owen o el valor de Banzhafcoalicional simétrico, satisfacen la propiedad de simetría en el cociente. Sinembargo, esto no ocurre para el índice de poder de Deegan-Packel coalicional,ya que la propiedad de minimalidad es incompatible con la propiedad desimetría en el cociente. Se verá esto en el siguiente ejemplo.Ejemplo 2.4.1 Considérese el juego simple con conjunto de jugadoresN = {1, 2, 3, 4, 5}, con sistema de uniones constituido por 3 uniones a prioriP = {P 1 ,P 2 ,P 3 } con P 1 = {1} ,P 2 = {2, 3} y P 3 = {4, 5}, yconjuntodecoaliciones minimales ganadoras M (v) ={{1, 2} , {1, 3} , {1, 4, 5}}.En el juego cociente, que tiene como coaliciones minimales ganadoras aM ¡ v P ¢ = {{P 1 ,P 2 } , {P 1 ,P 3 }}, las uniones a priori P 2 y P 3 son jugadoressimétricos, por lo que cualquier valor que verifique la propiedad de simetríaen el cociente les otorgaría la misma cantidad a las dos uniones.Sin embargo, esto no es compatible con la condición de minimalidad, segúnla cual las tres coaliciones minimales ganadoras son equiprobables, por lo quela probabilidad asignada a cada una de ellas es 1/3. Estounidoalasdoscondiciones de solidaridad determina que el “botín” que reciben P 2 y P 3 nopuede ser el mismo. Puede comprobarse que para este juego, el índice ζ esigual aζ (N,v,P) =(1/2, 1/6, 1/6, 1/12, 1/12) .Con este mismo ejemplo, se ve que el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalno verifica la propiedad de juego cociente. De acuerdo a este índicede poder3Xζ i (N,v,P) = 1 3 yi=25Xζ i (N,v,P) = 1 6 .i=4Sin embargo, el índice de poder de Deegan-Packel (ρ) empleado para medirel poder de cada unión en el juego ¡ M,v P ¢ asigna a las uniones P 2 y P 3 elvalor 1/4.

70 ValoresenjuegosconunionesaprioriPara el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, la simetría entre dosuniones aprioriviene determinada por el “comportamiento simétrico” deestas uniones en las coaliciones minimales ganadoras. Para caracterizar esteíndice se introduce la definición de uniones apriorifuertemente simétricas,que recoge las ideas incluidas en las condiciones de solidaridad entre uniones apriori, minimalidad y equiprobabilidad. Antes de formalizar esta definición,es necesario introducir el siguiente concepto.Definición 2.4.2 Dado (N,v,P) ∈ SU (N), conP = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } yuna coalición perdedora S ⊆ N\P k , se dirá que T ⊆ P k , con P k ∈ P haceminimal ganadora a S si v (S ∪ T )=1y v (S ∪ R) =0, para toda coaliciónR ⊂ T. Es decir, todos los jugadores de T son necesarios y suficientes paraconvertir a S en una coalición ganadora.Definición 2.4.3 Dado (N,v,P) ∈ SU (N), conP = {P 1 ,P 2 ,... ,P m }, dosuniones a priori P k ,P j ∈ P son fuertemente simétricas si dada una coaliciónperdedora S ⊆ N\{P k ,P j } , el número de subcoaliciones de P k que hacenminimal ganadora a S coincide con el número de subcoaliciones de P j quehacen minimal ganadora a S. Es decir, dada S ⊆ N\{P k ,P j } con v (S) =0los conjuntos:M Pk (S) ={T ⊆ P k /v (S ∪ T )=1y v (S ∪ R) =0, ∀R ⊂ T }M Pj (S) ={L ⊆ P j /v (S ∪ L) =1y v (S ∪ F )=0, ∀F ⊂ L}tienen el mismo cardinal.Vamos a reformular la propiedad de fusión en el contexto de los juegos simplescon uniones apriori(emplearemos el mismo nombre para designarla). Así,diremos que dos juegos simples con uniones apriori(N,v,P) y (N,w,P)son fusionables si lo son los juegos simples (N,v) y (N,w) .Fusión (FUS). Un índice de poder f : SU (N) −→ R n satisface la propiedadde fusión si para todo par de juegos simples con uniones a priori (N,v,P) y(N,w,P) fusionables, se tiene quef (N,v ∨ w, P) =|M (v)| f (N,v,P)+|M (w)| f (N,w,P).|M (v ∨ w)|

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 71Antes de caracterizar el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, se introducela siguiente propiedad, a la que se denominará propiedad de simetríafuerte, basada en la condición de solidaridad entre uniones apriori. Segúnesta propiedad dos coaliciones fuertemente simétricas reciben el mismo pago.Definición 2.4.4 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica la propiedadde simetría fuerte (SF) si para todo (N,v,P) ∈ SU (N) y para todo par decoaliciones fuertemente simétricas P k ,P j ∈ P se cumple queXi∈P kf i (N,v,P) = X i∈P jf i (N,v,P) .Teorema 2.4.1 El único índice de poder f : SU (N) −→ R n que satisfacelas propiedades de JN,SU,SF,EFI y FUS es el índice de poder de Deegan-Packel coalicional.DemostraciónExistencia:Sea (N,v,P) ∈ SU(N), con P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } y M = {1, 2, ..., m} .Se va a probar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional verificalas propiedades enunciadas en el teorema.Si i ∈ N es un jugador nulo entonces M i (v) =∅, por lo que ζ i (N,v,P) =0ya que no hay ningún término en el sumatorio.Si dos jugadores i, j ∈ P k son simétricos, entonces:ζ i (N,v,P) − ζ j (N,v,P) =1|M (v)|1|M (v)|XT ∈M j (v)\M i (v)XS∈M i (v)\M j (v)1 1|m (T )| |T ∩ P k | .1 1|m (S)| |S ∩ P k | −Existe una biyección entre los conjuntos M i (v) \M j (v) y M j (v) \M i (v) yaque si una coalición S ∈ M i (v) \M j (v) entonces T = S\i ∪ j∈ M j (v) \M i (v) y, recíprocamente si T ∈ M j (v) \M i (v) entonces

72 ValoresenjuegosconunionesaprioriS = T \j ∪ i ∈ M i (v) \M j (v) . Como |m (S)| = |m (T )| y |S ∩ P k |= |T ∩ P k | se tiene que ζ i (N,v,P) − ζ j (N,v,P) =0.Para cualquier unión P k ∈ P ,setienequeX1 X Xζ i (N,v,P) =|M (v)|i∈P ki∈P k S∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | .Dada una coalición S ∈ M i (v) , con i ∈ P k hay exactamente |S ∩ P k | términosque contribuyen a la suma anterior como1 1 1|M(v)| |m(S)| |S∩P k, por lo que al|sumar en P k se obtieneX1 X 1ζ i (N,v,P) =|M (v)| |m (S)| , (2.10)i∈P ksiendo M Pk (v) ={S ∈ M (v) /S ∩ P k 6= ∅} .S∈M Pk (v)Sean P k ,P j ∈ P un par de uniones apriorifuertemente simétricas. Se tieneque:Xi∈P kζ i (N,v,P) − X i∈P jζ i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M Pk (v)\M Pj (v)1|m (S)| −1|M (v)|XS 0 ∈M Pj (v)\M Pk (v)1|m (S 0 )| .Existe una biyección entre M Pk (v) \M Pj (v) y M Pj (v) \M Pk (v) ya que paracada coalición S ∈ M Pk (v) \M Pj (v) existe una única coalición T ⊆ P j , talque S 0 = T ∪ S\(S ∩ P k ) ∈ M Pj (v) \M Pk (v) , por ser P k y P j fuertementesimétricas. Además, se tiene que |m (S)| = |m (S 0 )|. De modo similar, dadaS 0 ∈ M Pj (v) \M Pk (v) existe una única coalición S ∈ M Pk (v) \M Pj (v) talque |m (S)| = |m (S 0 )| , por lo que P ζ i (N,v,P) − P ζ i (N,v,P) =0.i∈P k i∈P jPara probar la eficiencia, considérese una coalición S ∈ M (v) ytodoslostérminosde la suma P ζ i (N,v,P) en los cuales interviene S. Hay precisamentei∈N

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 73|S| términos (uno para cada i ∈ S), de los cuales |S ∩ P k | términos son de1 1 1la forma|M(v)| |m(S)| |S∩P kpara cada k ∈ m (S) . Entonces cada k ∈ m (S)|1 1contribuye con a la suma total, como hay precisamente |m (S)||M(v)| |m(S)|1términosdeesaforma,sevequecadaS ∈ M (v) contribuye con ala|M(v)|suma. Como hay |M (v)| contribuciones, se tiene que P ζ i (N,v,P) =1.Finalmente, el valor propuesto verifica la propiedad de fusión ya que paratodo k ∈ M, para todo jugador i ∈ P k yparatodopardejuegos(N,v,P) y(N,w,P) fusionables se tiene queζ i (N,v ∨ w, P) =⎡1⎣ X|M (v ∨ w)|S∈M i (v)1|M (v ∨ w)|XS∈M i (v∨w)1 1|m (S)| |S ∩ P k | + XS∈M i (w)i∈N1 1|m (S)| |S ∩ P k | =⎤1 1⎦ =|m (S)| |S ∩ P k |Unicidad:|M (v)| ζ i (N,v,P)+|M (w)| ζ i (N,w,P).|M (v ∨ w)|Se probará, en primer lugar, que cualquier índice de poder f que verifiquelas propiedades del enunciado del teorema, coincide con ζ enlosjuegosdeunanimidad.Dado un juego de unanimidad u S , es evidente que |M (u S )| = 1 ya queM (u S )={S}.Para un juego de unanimidad u S , dos uniones aprioriP k ,P j ∈ P tales queS ∩ P k 6= ∅ y S ∩ P j 6= ∅, son fuertemente simétricas. Si un jugador i/∈ S,entonces i es un jugador nulo.Por las propiedades de eficiencia, jugador nulo, simetría dentro de las unionesy simetría fuerte se tiene que:f i (N,u S ,P)=½ 1 1|m(S)| |S∩P k |si i ∈ S ∩ P k0 si i/∈ S,

74 Valoresenjuegosconunionesaprioripor lo tanto, coincide con ζ en los juegos de unanimidad.Consideremos ahora un juego (N,v,P) ∈ SU (N) con conjunto de coalicionesminimales ganadoras M (v) ={S 1 ,S 2 , ..., S p } (por lo tanto, |M (v)| = p).Entonces v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sp .Por medio del axioma de fusión se tiene que:f i (N,v,P) =1|M (v)|1|M (v)|XS∈M i (v)pX|M (u Sk )| f i (N,u Sk ,P)=k=11 1|m (S)| |S ∩ P k | = ζ i (N,v,P) ,en donde se ha utilizado la expresión de f obtenida anteriormente y el hechode que |M (u Sk )| =1.¤En secciones previas de este capítulo se presentaron caracterizaciones delvalor de Banzhaf-Owen y del valor de Banzhaf coalicional simétrico empleandoel concepto de valor coalicional de Banzhaf. Más adelante, se obtiene unanueva caracterización para el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalusando la propiedad de valor coalicional de Deegan-Packel.En primer lugar, se demostrará que este índice, al igual que el valor deOwen y el valor de Banzhaf coalicional simétrico satisface la propiedad decontribuciones equilibradas en las uniones. Además, se prueba que es uníndice de poder coalicional de Deegan-Packel, es decir, coincide con el índicedepoderdeDeegan-Packelsielsistema de uniones es el trivial.Lema 2.4.2 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional verifica la propiedadde contribuciones equilibradas en las uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU(N), con P = {P 1 ,P 2 ,...,P m } y M = {1, 2,...,m} .© Sean P k ∈ P eª i, j ∈ P k . Puede considerarse entonces la partición P −j =P01 ,P2, 0 .., Pm+10 donde P0l = P l , para todo l ∈ M\k, Pk 0 = P k\j y Pm+1 0 ={j} .

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 75Dada una coalición S, m (S) = {l ∈ {1, 2, ..., m} /P l ∩ S 6= ∅} ym 0 (S) ={l ∈ {1, 2, ..., m +1} /Pl 0 ∩ S 6= ∅} . Obsérvese que para cualquierS ⊆ N\j, se tiene que m (S) =m 0 (S) .ζ i (N,v,P) − ζ i (N,v,P −j )=1|M (v)|⎡1⎣|M (v)|⎡1⎣|M (v)|XS∈M i (v)XS∈M i (v)\M j (v)XS∈M i (v)\M j (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | − 1|M (v)|XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | + XS∈M i (v)∩M j (v)1 1|m 0 (S)| |S ∩ Pk 0| + XS∈M i (v)∩M j (v)1 1|m 0 (S)| |S ∩ Pk 0| =⎤1 1⎦ −|m (S)| |S ∩ P k |⎤1 1|m 0 (S)| |S ∩ Pk 0| ⎦En la expresión anterior, téngase en cuenta que si S ∈ M i (v) \M j (v) ,|m (S)| = |m 0 (S)| y |S ∩ P k | = |S ∩ P 0 k |,mientrasquesiS ∈ M i (v)∩M j (v) ,|m (S)| = |m 0 (S)| − 1 y |S ∩ P k | = |S ∩ P 0 k | +1.De aquí se deduce que:ζ i (N,v,P) − ζ i (N,v,P −j )=1|M (v)|1|M (v)|XS∈M i (v)∩M j (v)XS∈M i (v)∩M j (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | −1 1|m (S)| +1|S ∩ P k | − 1 .Como esta expresión depende de i del mismo modo que depende de j, entoncesse tiene que:ζ i (N,v,P) − ζ i (N,v,P −j )=ζ j (N,v,P) − ζ j (N,v,P −i ) .¤Lema 2.4.3 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional es un índice depoder coalicional de Deegan-Packel.

76 ValoresenjuegosconunionesaprioriDemostraciónSea (N,v,P n ) ∈ SU (N) , dado un jugador i, se tiene que existe un único k ∈{1, 2,... ,m} tal que P k = {i} ysiS ∈ M i (v) , |m (S)| = |S| y |S ∩ P k | =1.Entonces:ζ i (N,v,P n 1 X 1 1)=|M (v)| |m (S)| |S ∩ P k | =1|M (v)|XS∈M i (v)S∈M i (v)1|S| = ρ i (N,v) .¤En el ejemplo 2.4.1 se demostró que el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional no verifica la propiedad del juego cociente. Se va a definir paracada juego (N,v,P) ∈ U (N) una “familia de juegos cociente asociada”.El cardinal de esta familia es |M (v)|, el número de coaliciones minimalesganadoras.Definición 2.4.5 Dado (N,v,P) ∈ SU (N) con M (v) ={S 1 ,S 2 ,... , S p }y P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , se define la familia de juegos cociente asociada a(N,v,P) como ©¡ M,u m(S)¢ªS∈M(v) donde M = {1, 2,... ,m} y u m(S) es eljuego de unanimidad en m (S) .El subconjunto de M que representa a una coalición S ∈ M (v) , en el juegoentre uniones apriori,esm (S), ya que ahora cada unión apriories unúnico jugador. Parece lógico que exista una relación entre lo que ganan losjugadores de una unión en el juego inicial y lo que gana esta unión en lafamilia de juegos cociente asociada. Teniendo en cuenta que por la condiciónde equiprobabilidad, todas las coaliciones minimales ganadoras tienenla misma probabilidad de formarse, se propone la siguiente propiedad, a laque se denominará propiedad de la familia de los juegos cociente asociada.Esta propiedad establece que lo que gana una unión en el juego inicial es lomismo que la media de lo que gana la unión en la familia de juegos cocienteasociada.Definición 2.4.6 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica la propiedadde la familia de los juegos cociente asociada (JCA) si para todo juego (N,v,P)∈ U (N) yparatodoP k ∈ P se cumple queXi∈P kf i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M(v)f k¡M,um(S) ,P m¢ .

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 77Esta propiedad tiene una interpretación probabilística. Dado (N,v,P) ∈SU (N) , si el pago correspondiente ¡ a la unión P k ∈ P en el juego asociadoa una coalición S ∈ M (v) es f k M,um(S) ,P m¢ , como todas las coalicionesminimales ganadoras de (N,v) son equiprobables, entonces la esperanza delas cantidades anteriores es el pago que recibirán los jugadores que formanla unión P k .Con las propiedades anteriores, se obtiene la siguiente caracterización delíndice de poder de Deegan-Packel coalicional.Teorema 2.4.4 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional es el únicoíndice de poder coalicional de Deegan-Packel que verifica CEU y JCA.DemostraciónExistencia:En los lemas 2.4.2 y 2.4.3 se demostró que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional verifica CEU y que es un valor coalicional de Deegan-Packel, respectivamente.En la expresión (2.10) se vio que, dado (N,v,P) ∈ SU (N) , para P k ∈ P setiene que:Por otra parte,1|M (v)|XXS∈M(v)i∈P kζ i (N,v,P) =1|M (v)|ζ k¡M, um(S) ,P m¢ =XS∈M(v)S∩P k 6=∅1|M (v)|con lo que quedaría demostrada la existencia.Unicidad:1|m (S)| .XS∈M(v)S∩P k 6=∅1|m (S)| ,Supóngase que existe otro índice de poder coalicional de Deegan-Packel f,distinto de ζ, verificando las propiedades de la familia de juegos cocienteasociada y contribuciones equilibradas en las uniones.

78 ValoresenjuegosconunionesaprioriPuede encontrarse entonces (N,v) ∈ SI (N) y P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } ∈P (N) con el máximo número de uniones tal que f (N,v,P) 6= ζ (N,v,P) .Este número m necesariamente tiene que ser menor que n porque ambosíndices son índices de poder coalicionales de Deegan-Packel.Por la propiedad de la familia de juegos cociente asociada, para todo P k ∈ P ,se tiene la siguiente igualdadXi∈P kf i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M(v)f k¡M,um(S) ,P m¢ .Como f y ζ son dos índices de poder coalicionales de Deegan-Packelf k¡M,um(S) ,P m¢ = ζ k¡M,um(S) ,P m¢ = ρ k¡M,um(S)¢, para todo k ∈ M,y, por lo tanto,Xi∈P kf i (N,v,P) = X i∈P kζ i (N,v,P) ,es decir, los dos índices coinciden en las uniones.El resto de la demostración de la unicidad es idéntica a la de los teoremas2.1.3 y 2.3.5, por lo tanto, se omite.¤2.5 El índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétricoA continuación, se va a proponer otra extensión del índice de poder deDeegan-Packel que a diferencia del índice de poder de Deegan-Packel coalicional,satisface la propiedad de simetría en el juego cociente.De las tres condiciones en las que se basa el índice de poder de Deegan-Packel:minimalidad, equiprobabilidad y solidaridad, las dos primeras se manteníanen el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, mientras que la condiciónde solidaridad se sustituía por las condiciones de solidaridad entre uniones apriori y solidaridad dentro de las uniones apriori.

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 79En esta versión coalicional del índice de poder de Deegan-Packel se mantienenestas dos condiciones de solidaridad, pero se modificará la condición de minimalidady se sustituirá la condición de equiprobabilidad por dos nuevascondiciones. Así se tiene:• Minimalidad en el juego cociente: Sólo originan una “victoria” lascoaliciones minimales ganadoras, cuyo representante en el cociente, esdecir, aquellas uniones aprioricon algún jugador en dicha coalición,sea una coalición minimal ganadora en el juego cociente.• Equiprobabilidad entre coaliciones minimales ganadoras en elcociente: Todas las coaliciones minimales ganadoras en el juego cocienteson equiprobables.• Equiprobabilidad entre coaliciones minimales ganadoras “idénticasen el cociente”: Todas las coaliciones minimales ganadoras,cuyo representante en el cociente es la misma coalición minimal ganadoraen dicho juego cociente, son equiprobables.En el siguiente ejemplo se hará una interpretación de estas condiciones:Ejemplo 2.5.1 Supóngase un juego simple (N,v) con N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}y M (v) ={S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 } donde S 1 = {1, 2} ,S 2 = {1, 3, 4} ,S 3 = {1, 5, 6} ,S 4 = {1, 3, 5} y S 5 = {2, 3, 4, 5, 6} . Si en este juego está definido un sistemade uniones a priori P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } donde P 1 = {1} ,P 2 = {2, 3, 4} y P 3 ={5, 6}, el juego cociente ¡ M,v P ¢ tiene como coaliciones minimales ganadorasa: {{P 1 ,P 2 } , {P 1 ,P 3 } , {P 2 ,P 3 }} .Las condiciones anteriores establecen:Por la condición de minimalidad en el juego cociente la coalición minimalganadora S 4 no origina una victoria porque su representante en el cociente,{P 1 ,P 2 ,P 3 } , no es una coalición minimal ganadora en el juego cociente.Por la condición de equiprobabilidad entre coaliciones minimales ganadorasen el cociente {P 1 ,P 2 } , {P 1 ,P 3 } y {P 2 ,P 3 } son equiprobables.Finalmente, por la condición de equiprobabilidad entre coaliciones minimalesganadoras idénticas en el cociente, las coaliciones S 1 y S 2 que dan lugar a{P 1 ,P 2 } , una coalición minimal ganadora en el cociente, son equiprobables.

80 ValoresenjuegosconunionesaprioriA continuación, se propondrá un nuevo valor que sea consistente con lascondiciones anteriores. En primer lugar, se introduce la notación necesaria.Dado un juego (N,v,P) ∈ SU (N) , con M (v) = {S 1 ,S 2 ,... ,S l }, P ={P 1 ,P 2 ,... ,P m } y M = {1, 2,... ,m}:• Se denotará por M ¡ v P ¢ el conjunto de coaliciones minimales ganadorasen el juego cociente, es decir,M ¡ v P ¢ = © R ⊆ M/v P (R) =1y v P (R 0 )=0para todo R 0 ⊂ R ª .• Dada una unión apriorik ∈ M se denotará por M k¡vP ¢ el conjunto decoaliciones minimales ganadoras en el juego cociente a las que pertenecek.• Se denotará por M (v, P) el subconjunto de M (v) formado por aquellascoaliciones cuyo representante en el juego cociente sea una coaliciónminimal ganadora, es decir,M (v, P) = © S ∈ M (v) /m (S) ∈ M ¡ v P ¢ª .• Dado S ∈ M (v, P) , se denotará por P (S) el subconjunto de coalicionesS 0 ∈ M (v, P) que tienen el mismo representante en el juego cociente,es decir, que cumplen que m (S) =m (S 0 ) .• Dado i ∈ N, se denotará por M i (v, P) el subconjunto formado por lascoaliciones de M (v, P) a las que pertenece i, por lo tanto,M i (v, P) ={S ∈ M (v, P) /i ∈ S} = © S ∈ M i (v) /m (S) ∈ M ¡ v P ¢ª .Empleando la notación anterior, se define un nuevo índice de poder, al quese denominará índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico.Definición 2.5.1 Dado (N,v,P) ∈ SU (N), sedefine el índice de poder deDeegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P k como:Λ i (N,v,P) =1|M (v P )|XS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | . (2.11)

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 81Este índice Λ es consistente con las condiciones que se establecieron anteriormente:Sólo las coaliciones minimales ganadoras que originan una coaliciónminimal ganadora en el juego cociente tienen influencia, (minimalidad en1el juego cociente) y, teniendo en cuenta la cantidad , todas ellas son|M(v P )|tratadas de forma equiprobable (equiprobabilidad entre coaliciones minimalesganadoras en el juego cociente). Todas las coaliciones que originan la misma1coalición minimal ganadora en el cociente son tratadas del mismo modo|P (S)|(equiprobabilidad entre coaliciones minimales ganadoras idénticas en el cociente).Finalmente, como ocurría para el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional ζ, el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico Λ,´y soli-³cumple las condiciones de solidaridad entre uniones apriori³ ´daridad dentro de las uniones apriori .1|S∩P k |1|m(S)|Este índice también tiene una interpretación probabilística. Supongamos queel pago correspondiente a un jugador i ∈ P k que pertenece a una coaliciónminimal ganadora S cuyo representante en el cociente sea minimal ganadora1 1es|m(S)| |S∩P k, yaquetodaslasunionesapriorirepresentadas en S obtieneny la cantidad obtenida por cada unión P|1|m(S)| k se la reparten deforma solidaria los jugadores de S ∩ P k . Si además una coalición minimalganadora S cuyo representante en el cociente sea minimal ganadora tiene1 1una probabilidad de formarse, la esperanza matemática del pago|M(v P )| |P (S)|correspondiente al jugador i es precisamente Λ i .A diferencia con el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, se verámás adelante que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricosatisface la propiedad de simetría en el cociente. Teniendo en cuenta lainfluencia del juego cociente en la definición de este índice de poder, paracaracterizarlo se van a emplear dos propiedades de fusión; una en el cocientey otra, dentro de las uniones apriori.Definición 2.5.2 Dos juegos (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) son fusionablesen el cociente si para cualquier par de coaliciones R ∈ M ¡ v ¢ P y R 0 ∈M ¡ w ¢ P , se tiene que R * R 0 y R 0 * R. En este caso, es fácil comprobar queM ¡ v P ∨ w ¢ P = M³(v ´∨ w) P = M ¡ v ¢ P ∪M ¡ w ¢ P con M ¡ v ¢ P ∩M ¡ w ¢ P =∅.Es decir, dos juegos simples con uniones apriorison fusionables en el cociente,si son fusionables los juegos cocientes asociados.

82 ValoresenjuegosconunionesaprioriDefinición 2.5.3 Dos juegos (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) son fusionablesen uniones a priori si los juegos (N,v) y (N,w) son fusionables y, además,dadas dos coaliciones S ∈ M (v) y T ∈ M (w) , se tiene que m (S) =m (T ) .Para que dos juegos simples con uniones apriorisean fusionables en uniones apriori, es necesario que el conjunto de uniones con representantes en cualquiercoalición minimal ganadora de ambos juegos sea el mismo, es decir, si dosjuegos (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) son fusionables en uniones aprioriimplica que v P = w P = u R , para algún R ⊆ M, pero el recíproco no escierto, en general. Nótese también que dos juegos (N,v,P) , (N,w,P) ∈SU (N) fusionables en el cociente no son fusionables en uniones aprioriy, recíprocamente. Teniendo en cuenta las dos definiciones anteriores, seenuncian las siguientes propiedades.Definición 2.5.4 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica la propiedadde fusión en el cociente (FUSC) si para cualquier par de juegos fusionablesen el cociente (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) se cumple que¯¯M ¡ v ¢¯¯ P f (N,v,P)+¯¯M ¡ w ¢¯¯ P f (N,w,P)f (N,(v ∨ w) ,P)=.|M(v P ∨ w P )|Definición 2.5.5 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica la propiedadde fusión en uniones a priori (FUSU) si para cualquier par de juegos fusionablesen uniones a priori (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) se cumple quef (N,v ∨ w, P) =|M (v)| f (N,v,P)+|M (w)| f (N,w,P).|M (v ∨ w)|Si la solución buscada satisface la condición de minimalidad en el cociente,hay que tener en cuenta que algunas coaliciones minimales ganadoras en eljuego original no tendrán influencia si su representante en el juego cocienteno es minimal. Se verá en el siguiente ejemplo.Ejemplo 2.5.2 Supóngase un juego (N,v,P) ∈ SU (N) en el que N ={1, 2, 3, 4} ,M(v) = {S 1 ,S 2 } donde S 1 = {1, 2} y S 2 = {1, 3, 4} y P ={P 1 ,P 2 ,P 3 } donde P 1 = {1} ,P 2 = {2, 3} y P 3 = {4} . Al pasar al juegocociente los representantes de S 1 y S 2 son {P 1 ,P 2 } y {P 1 ,P 2 ,P 3 } respectivamente.Como el segundo representante no es una coalición minimal ganadorauna solución f que satisfaga la condición de minimalidad en el juego cocientedebería cumplir que f (N,v,P) =f (N,w,P) , donde M (w) ={S 1 } .

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 83La siguiente propiedad, a la que se denominará propiedad de independenciade coaliciones ganadoras no minimales en el cociente se basa en el efecto nuloque en el resultado final del juego tienen las coaliciones minimales ganadorasen el juego original cuyo representante en el cociente no es minimal ganadora.Definición 2.5.6 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica la propiedadde independencia de coaliciones ganadoras no minimales en el cociente (IMC)si dado (N,v,P) ∈ SU (N) con alguna coalición S ∈ M (v) tal que m (S) /∈M ¡ v P ¢ entonces se cumple quedonde M (v ∗ S)=M (v) \S.f (N,v,P) =f (N,v ∗ S,P) ,En el siguiente resultado se caracteriza el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional simétrico.Teorema 2.5.1 El único índice de poder f : SU (N) −→ R n que satisfacelas propiedades de JN,SU,SC,EFI,IMC,FUSC y FUSU es el índice depoder de Deegan-Packel coalicional simétrico.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU(N), donde P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } y M = {1, 2, ..., m} .Existencia:Se va a probar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoΛ verifica las propiedades anteriores.Si i ∈ N es un jugador nulo, entonces M i (v, P) =∅, por lo que Λ i (N,v,P) =0, ya que no hay ningún término en el sumatorio.Si dos jugadores i, j ∈ P k son simétricos, entonces:1|M (v P )|Λ i (N,v,P) − Λ j (N,v,P) =XS∈M i (v,P)\M j (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | −

84 Valoresenjuegosconunionesapriori1|M (v P )|XS 0 ∈M j (v,P)\M i (v,P)1 1 1|P (S 0 )| |m (S 0 )| |S 0 ∩ P k | .Existe una biyección entre M i (v, P) \M j (v, P) y M j (v, P) \M i (v, P) yaque si una coalición S ∈ M i (v, P) \M j (v, P) entonces S 0 =(S\i) ∪ j ∈M j (v, P) \M i (v, P) y, recíprocamente, si S 0 ∈ M j (v, P) \M i (v, P) entoncesS =(S 0 \j) ∪ i ∈ M i (v, P) \M j (v, P) . Como |m (S)| = |m (S 0 )| , |P (S)| =|P (S 0 )| y |S ∩ P k | = |S 0 ∩ P k | se tiene que Λ i (N,v,P) − Λ j (N,v,P) =0.Dada una unión P k ∈ P ,setienequeX1 X XΛ i (N,v,P) =|M (v P )|i∈P k i∈P kS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | .Dado S ∈ M i (v, P), coni ∈ P k , hay exactamente |S ∩ P k | términos que1 1 1contribuyenalasumatotalcomo , porloquealsumaren|M(v P )| |P (S)| |m(S)|P k se obtieneX1 X 1 1Λ i (N,v,P) =|M (v P )| |P (S)| |m (S)| =i∈P k1|M (v P )|S∈M(v,P)S∩P k 6=∅XR∈M k (v P )1|R| . (2.12)Es decir, la cantidad que asigna la solución Λ a una unión P k ∈ P coincidecon el índice de poder de Deegan-Packel del jugador k ∈ M en el juegocociente, como el índice de poder de Deegan-Packel es simétrico, se tiene quesi dos uniones P k ,P j ∈ P son simétricas en el cociente, se verifica queXi∈P kΛ i (N,v,P) = X i∈P jΛ i (N,v,P) ,con lo que el índice Λ satisface la propiedad de simetría en el cociente. De(2.12) se deduce además que el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico satisface la propiedad de juego cociente.Como el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico satisface lapropiedad de juego cociente y el índice de poder de Deegan-Packel es eficiente,

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 85se tiene que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico satisfacela propiedad de eficiencia.Se va a probar que Λ satisface la propiedad de independencia de coalicionesganadoras no minimales en el cociente: si (N,v,P) ∈ SU (N) es tal queexiste S ∈ M (v) tal que m (S) /∈ M ¡ v ¢ P y tomamos vS ∗ como el juego talque M (vS)=M ∗ (v) \S, setienequeM (v, P) =M (vS,P) ∗ y ¯¯M ¡ v ¢¯¯ ¯P =¯M ¡ vS¢¯¯. ∗P Por lo tanto, a partir de la expresión (2.11), en la definición 2.5.1Λ (N,v,P) =Λ (N,vS,P) ∗ .El índice Λ satisface la propiedad de fusión en el cociente ya que dado un parde juegos (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) fusionables en el cociente, se tieneque para todo jugador i ∈ P k1Λ i (N,v ∨ w, P) =³¯´¯¯¯¯M (v ∨ w) PXS∈M i (v∨w,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =1³¯´¯¯¯¯M (v ∨ w) PXS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | +1³¯´¯¯¯X 1 1 1¯M (v ∨ w) P |P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =S∈M i (w,P)¯¯M ¡ v ¢¯¯ P Λ i (N,v,P)+¯¯M ¡ w ¢¯¯ P Λ i (N,w,P).|M(v P ∨ w P )|El valor propuesto verifica la propiedad de fusión en uniones apriori,yaque dado un par de juegos (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) fusionables enuniones apriori,setieneque¯¯M ¡ v ¢¯¯ P = ¯¯M ¡ w ¢¯¯ ³P ¯´¯¯¯ = ¯M (v ∨ w) P =1. Además, para cualquier S ∈ M (v) , |P (S)| = |M (v)|, para cualquierS ∈ M (w) , |P (S)| = |M (w)| y para cualquier S ∈ M (v ∨ w) , |P (S)| =|M (v ∨ w)| = |M (v)| + |M (w)| . Por tanto1Λ i (N,v ∨ w, P) =³¯´¯¯¯X 1 1 1¯M (v ∨ w) P |P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =S∈M i (v∨w,P)

86 Valoresenjuegosconunionesapriori⎡1⎣|M (v ∨ w)|1|M (v ∨ w)|XS∈M i (v,P)XS∈M i (v∨w,P)1 1|m (S)| |S ∩ P k | =1 1|m (S)| |S ∩ P k | + XS∈M i (w,P)⎤1 1⎦ =|m (S)| |S ∩ P k |Unicidad:|M (v)| Λ i (N,v,P)+|M (w)| Λ i (N,w,P).|M (v ∨ w)|Supóngase que existe otro índice f verificando las propiedades enumeradasen el enunciado del teorema. Considérese un juego (N,v,P) ∈ SU (N) y seaM (v) ={S 1 ,S 2 , ..., S p } el conjunto de coaliciones minimales ganadoras (porlo tanto, |M (v)| = p). Teniendo en cuenta que este índice f satisface IMCpuede suponerse que el representante en el juego cociente de cada coaliciónS ∈ M (v) , es una coalición minimal ganadora en ¡ M,v P ¢ .En primer lugar, se verá que f y Λ coinciden en cualquier juego de unanimidad.Sea (N,u S ,P) con S ⊆ N. En este caso, es evidente que |M (u S )|=1, porque M (u S )={S}.Además, dos uniones aprioriP k ,P j ∈ P tales que S ∩ P k 6= ∅ y S ∩ P j 6= ∅,son simétricas en el cociente. Si un jugador i/∈ S, entonces i es un jugadornulo.Por las propiedades de eficiencia, jugador nulo, simetría dentro de las unionesysimetríaenelcocientesetieneque:f i (N,u S ,P)=½ 1 1|m(S)| |S∩P k |expresión que coincide con Λ i (N,u S ,P).si i ∈ S ∩ P k0 si i/∈ SConsideremos la partición de M (v) dada por {T 1 ,T 2 ,... ,T r } de tal formaque dos coaliciones S l ,S l 0 ∈ M (v) están en el mismo elemento de la partición,

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 87T h , si y sólo si m (S l )=m (S l 0) . Se tiene que v = v T1 ∨ v T2 ∨ ... ∨ v Tr dondev Th = u Th1 ∨ u Th2 ∨ ...∨ u Thth y T h = © ªT h1 ,T h2 ,... ,T hth ⊆ M (v) para todoh ∈ R = {1, 2,... ,r} .A partir de la propiedad de fusión en el cociente se tiene que:f i (N,v,P) =1|M (v P )|rX ¯¯M ¡ v¢¯¯T P hf i (N,v Th ,P) . (2.13)h=1Como f también satisface la propiedad de fusión en uniones apriori,setienequef i (N,v Th ,P)= 1|T h |t hXl=1´f i³N,u Thl ,P = 1|T h |X1S∈M i (v,P)/P (S)=T h1|m (S)| |S ∩ P k | .Teniendo en cuenta que ¯¯M ¡ v P T h¢¯¯ =1, para todo h ∈ R, la expresión (2.13)es igual a:1|M (v P )|1|M (v P )|XS∈M i (v,P)rXh=11|T h |X1S∈M i (v,P)/P (S)=T h1|m (S)| |S ∩ P k | =1 1 1|m (S)| |S ∩ P k | |P (S)| = Λ i (N,v,P) .¤En secciones anteriores se enunciaron resultados en los que se caracterizabandiversas soluciones coalicionales (valor de Owen, valor de Banzhaf-Owen,valor de Banzhaf coalicional simétrico,...) empleando entre otras la propiedadde ser valor coalicional del valor para juegos TU al que extienden. Se veráque el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico es un índicecoalicional de Deegan-Packel y se propondrá otra caracterización basándoseen este hecho.Es fácil comprobar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricono satisface la propiedad de contribuciones equilibradas en las uniones. Sin

88 Valoresenjuegosconunionesaprioriembargo, satisface la siguiente propiedad, a la que se denominará contribucionesponderadas en las uniones. Esta propiedad se basa en razonamientossimilares a la propiedad de monotonía minimal, con la que se obtuvo unanueva caracterización del índice de poder de Deegan-Packel.Definición 2.5.7 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica la propiedadde contribuciones ponderadas en las uniones (CPU) si para todo juego (N,v,P)∈ SU (N) , para todo P k ∈ P y para todo par de jugadores i, j ∈ P k , (i 6= j)se cumple que¯¯M ¡ v P ¢¯¯ f i (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −j ¢¯¯ f i (N,v,P −j )=¯¯M ¡ v P ¢¯¯ f j (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −i ¢¯¯ f j (N,v,P −i ) .Enlossiguienteslemas,seprobaráqueelíndicedepoderdeDeegan-Packelcoalicional simétrico satisface la propiedad anterior y que es un índice depoder coalicional de Deegan-Packel. Al probar que satisface CPU se estádemostrando que no satisface la propiedad de contribuciones equilibradasen las uniones, ya que en general ¯¯M ¡ v ¢¯¯ P 6= ¯¯M ¡ v P −i¢¯¯ y ¯¯M ¡ v P −i¢¯¯¯6=¯M ¡ v P −j¢¯¯ .Lema 2.5.2 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico verificala propiedad de contribuciones ponderadas en las uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU(N), con P = {P 1 ,P 2 ,...,P m } y M = {1, 2,...,m} .Sean P k ∈ P e i, j ∈ P k . Considérese P −j = © P 0 1,P 0 2, .., P 0 m+1ªdonde P0l = P l ,para todo l ∈ M\k, P 0 k = P k\j y P 0 m+1 = {j} .Dada una coalición S, seanm (S) ={l ∈ {1, 2, ..., m} /P l ∩ S 6= ∅} ,P (S) ={T ∈ M (v, P) /m (T )=m (S)} ,m 0 (S) ={l ∈ {1, 2, ..., m +1} /P 0l ∩ S 6= ∅} y

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 89P 0 (S) ={T ∈ M (v, P −j ) /m 0 (S) =m 0 (T )} .Obsérvese que si S ⊆ N\j, se tiene que m (S) =m 0 (S) .XS∈M i (v,P)¯¯M ¡ v P ¢¯¯ Λ i (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −j ¢¯¯ Λ i (N,v,P −j )=1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | − XS 0 ∈M i (v,P −j )1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ P k | =XS∈M i (v,P)\M j (v,P)XS∈M i (v,P)∩M j (v,P)XS 0 ∈M i (v,P −j )\M j (v,P −j )XS 0 ∈M i (v,P −j )∩M j (v,P −j )1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | +1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | −1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ Pk 0| −1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ Pk 0|.Se puede comprobar que M i (v, P) \M j (v, P) = M i (v, P −j ) \M j (v, P −j ) .Además, si S ∈ M i (v, P) \M j (v, P) , se tiene que |m (S)| = |m 0 (S)| , |P (S)| =|P 0 (S)| y |S ∩ P k | = |S ∩ P 0 k |.De aquí se deduce que:¯¯M ¡ v P ¢¯¯ Λ i (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −j ¢¯¯ Λ i (N,v,P −j )=X 1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | −S∈M i (v,P)∩M j (v,P)

90 ValoresenjuegosconunionesaprioriXS 0 ∈M i (v,P −j )∩M j (v,P −j )1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ Pk 0|.Como se verifica que M i (v, P −j ) ∩ M j (v, P −j )=M j (v, P −i ) ∩ M i (v, P −i ) , sefinaliza la demostración.¤Lema 2.5.3 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico es uníndice de poder coalicional de Deegan-Packel.DemostraciónSea (N,v,P n ) ∈ SU (N) , en este caso M ¡ v P n ¢= M (v) , por lo que dadoun jugador i, se tiene que M i (v) = M i (v, P) . Además, existe un únicok ∈ {1, 2,... ,m} tal que P k = {i} ysiS ∈ M i (v) ,m(S) =S, |P (S)| =1y |S ∩ P k | =1. Entonces:Λ i (N,v,P n )=1|M (v P n )|1|M (v)|XS∈M i (v,P)XS∈M i (v)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =1|S| = ρ i (N,v) .¤Teorema 2.5.4 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoes el único índice de poder coalicional de Deegan-Packel que verifica CPU yJC.Se omite la demostración de este resultado anterior por emplear argumentosanálogos a los utilizados en la demostración de los teoremas 2.1.3, 2.3.5 y2.4.4.En el siguiente ejemplo, correspondiente al Parlamento de Cataluña, se comparanel índice de poder de Deegan-Packel coalicional y el índice de poderde Deegan-Packel coalicional simétrico.Ejemplo 2.5.3 La composición del Parlamento de Cataluña (formado por135 escaños), resultante de las elecciones de 1999 es la siguiente: CIU (56escaños), PSOE (50 escaños), ERC (12 escaños), PP (12 escaños) e IC(5 escaños).

El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 91Las coaliciones minimales ganadoras son:{{CIU,ERC} , {CIU,PSOE} , {CIU,PP} , {PSOE,ERC,PP}} .Vamos a considerar dos sistemas de uniones a priori, dados por:P 1 = {{CIU}, {PP} , {PSOE} , {ERC,IC}}P 2 = {{CIU} , {PP} , {PSOE,ERC,IC}}En la siguiente tabla se presentan el índice de poder de Deegan-Packel y elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional para los dos sistemas de unionesconsiderados.Partido ρ ζ (P 1 ) ζ (P 2 )CIU 0.375 0.375 0.375PSOE 0.208 0.208 0.187PP 0.208 0.208 0.250ERC 0.208 0.208 0.187IC 0 0 0Se observa que con el primer sistema de uniones el índice ζ coincide con ρ, yaque todas las uniones a priori tienen como máximo un representante en cadacoalición minimal ganadora. Sin embargo, con el segundo sistema de uniones,el valor de PSOE y ERC se ve afectado porque forman parte de la mismaunión y de una de las coaliciones minimales ganadoras. La diferencia en elpago recibido la recoge el PP, que es el otro partido que forma la coaliciónminimal ganadora a la que pertenecen PSOE y ERC.En la siguiente tabla se presentan el índice de poder de Deegan-Packel y elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico para los dos sistemasde uniones considerados.Partido ρ Λ (P 1 ) Λ (P 2 )CIU 0.375 0.375 0.333PSOE 0.208 0.208 0.167PP 0.208 0.208 0.333ERC 0.208 0.208 0.167IC 0 0 0

92 ValoresenjuegosconunionesaprioriAl igual que sucedía para el índice de poder de Deegan-Packel coalicional,se observa que con el primer sistema de uniones el índice Λ coincide con ρ,ya que todas las uniones a priori tienen como máximo un representante encada coalición minimal ganadora. Sin embargo, con el segundo sistema deuniones, las tres uniones a priori son simétricas en el juego cociente, por loque obtienen el mismo valor. Como PSOE y ERC son jugadores simétricosambos reciben a su vez el mismo valor.Es interesante hacer notar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico penaliza a las coaliciones minimales ganadoras {CIU,ERC}y {CIU,PSOE} con respecto a las demás. Esto se debe a que originan lamisma coalición minimal ganadora en el juego cociente.2.6 Extensiones multilinealesEn el capítulo anterior se vio cómo pueden calcularse los valores de Shapleyy de Banzhaf y el índice de poder de Deegan-Packel empleando la extensiónmultilineal. Se comenzará esta sección reproduciendo los resultados quepermiten calcular el valor de Owen (Owen y Winter, 1992) y el valor deBanzhaf-Owen (Carreras y Magaña, 1994) utilizando la extensión multilineal.Teorema 2.6.1 Sea (N,v,P) un juego cooperativo con sistema de unionesdonde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es la partición del conjunto de jugadores N quedetermina la estructura de coaliciones a priori. Puede calcularse el valor deOwen de un jugador i ∈ P j , Φ i , siguiendo los siguientes pasos:1. Obtener la extensión multilineal h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) del juego (N,v) .2. Para todo l 6= j yparatodok ∈ P l , reemplazar la variable x k por y l . Seobtiene así una nueva función de x i , donde i ∈ P j e y l , donde l 6= j.3. En la función obtenida anteriormente, reducir todos los exponentes a 1,es decir, reemplazar cada yla con a ≥ 1, por y l . Conestosehaobtenidounanueva función multilineal g³(x i ) i∈Pj, (y l ) l6=j´.4. En la función g sustituir cada y l por r e integrar con respecto a r, obteniendo³Z 1 ³´α j (x i ) i∈Pj´= g (x i ) i∈Pj,r,r,... ,r dr0

Extensiones multilineales 935. Finalmente, para obtener el valor de Owen, Φ i ,calcularΦ i (N,v,P) =Z 10∂α j∂x i(t, . . . , t) dt.Teorema 2.6.2 Sea (N,v,P) un juego cooperativo con sistema de unionesdonde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es la partición del conjunto de jugadores N quedetermina la estructura de coaliciones a priori. Puede calcularse el valor deBanzhaf-Owen de un jugador i ∈ P j , Ψ i , siguiendo los siguientes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los del teorema anterior.4. Derivar la función g respecto a x i .5. El valor de Banzhaf-Owen se obtiene sustituyendo, en la función obtenidaen el paso anterior, cada x k con k ∈ P j ycaday l por 1/2.La extensión multilineal y el valor de Banzhaf coalicional simétricoA continuación, se describe el procedimiento para obtener el valor de Banzhafcoalicional simétrico a partir de la extensión multilineal.Teorema 2.6.3 Sea (N,v,P) un juego cooperativo con sistema de unionesdonde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es la partición del conjunto de jugadores N quedetermina la estructura de coaliciones a priori. Puede calcularse el valorde Banzhaf coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j , Π i , siguiendo lossiguientes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los de los teoremas 2.6.1 y 2.6.2.4. En la función g obtenida en el paso³anterior, sustituir cada y l por 1/2. Seobtiene entonces una nueva función α j (x k ) k∈Pj´g³(x k ) k∈Pj, (1/2, 1/2,... ,1/2) l6=j´.5. Finalmente, el valor Π i se obtendría comoΠ i (N,v,P) =Z 10∂α j∂x i(t, t, . . . , t) dt, definida por α j³(x k ) k∈Pj´=

94 ValoresenjuegosconunionesaprioriDemostraciónSea (N,v,P) ∈ U (N) e i ∈ P j .Sea h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) la extensión multilineal del juego (N,v). Aplicandolos pasos 2 y 3 puede comprobarse que los sumandos correspondientes acoaliciones S tales que S ∩P l 6= ∅ y S c ∩P l 6= ∅ para l 6= j, se anulan. Esto esdebido a que en el paso 2 los sumandos correspondientes a estas coalicionesincluyen términos de la forma ky a 1l(1 − y l ) a 2, con a 1 ,a 2 ∈ N. Al realizar elpaso 3 estos términos se anulan ya que se convierten en k (y l − y l ).Por lo tanto, después del paso 3 las coaliciones S para las cuales el términocorrespondiente de la extensión multilineal no se anula son de la formaS = Q ∪ T,donde T ⊆ P j y Q = S P l , con L ⊆ M\j . La función que se obtienel∈Ldespués de aplicar el paso 3 es:g³(x k ) k∈Pj, (y j ) j6=l´=XXT ⊆P j L⊆M\j⎡⎣ Y k∈Tx kYk∈P j \T(1 − x k ) Y l∈Ly lYl/∈L∪j⎤(1 − y l ) ⎦ v (Q ∪ T ) .Sustituyendo cada y l por 1/2 (paso 4) setieneque:⎡⎤³α j (x k ) k∈Pj´= X X⎣ Y Y1x k (1 − x k ) ⎦ v (Q ∪ T ) .2 m−1 T ⊆P j L⊆M\j k∈T k∈P j \T³Derivando ahora la función α j (x k ) k∈Pj´respecto a x i .∂α³j(x k )∂x k∈Pj´=iXXT ⊆P j \i L⊆M\j⎡⎣ Y k∈Tx kYk∈P j \(T ∪i)(1 − x k )12 m−1 ⎤⎦ {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} .

Extensiones multilineales 95Finalmente, por el paso 5,Z 1Z 10XXT ⊆P j \i L⊆M\j⎡⎣ Y k∈Tt0Yk∈P j \(T ∪i)∂α j∂x i(t, t, . . . , t) dt =(1 − t)⎤1⎦ {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} dt =2 m−1X XT ⊆P j \i L⊆M\jZ1 1t |T | (1 − t) p j−|T |−1 dt {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} =2 m−10XXT ⊆P j \i L⊆M\jXXT ⊆P j \i L⊆M\j1 |T |!(p j − |T | − 1)!{v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} =2 m−1 p j !1 1 12 m−1 p jµ {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} = Π i (N,v,P) .¤pj − 1|T |A continuación, se ilustrará el procedimiento descrito en el resultado anterior,calculando el índice de poder de Banzhaf coalicional simétrico, en el juegosimple que se puede considerar al estudiar el Parlamento de las Islas Balearesresultante de las elecciones del año 1999.Ejemplo 2.6.1 Este juego puede representarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] ,donde el jugador 1 es el PP, el jugador 2 es el PSOE, el jugador 3 es elPSM − EM, el jugador 4 es EU − EV , el jugador 5 es UM y el jugador6 es el PACTE. Supondremos que la estructura de uniones a priori es lasiguiente:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .

96 ValoresenjuegosconunionesaprioriEnelejemplo1.3.4,sevioqueestejuegosimplepuedeescribirsedelasiguienteforma, donde S = {1} y T = {2, 3, 4, 5, 6}.v = X R⊆T|R|=1u S∪R + u T − X R⊆T|R|=2u S∪R + X R⊆T|R|=3u S∪R − X R⊆T|R|=4u S∪R .Aplicando el lema 1.3.3, la extensión multilineal de este juego es:h (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 − x 1 x 2 x 4 − x 1 x 2 x 5 − x 1 x 2 x 6 − x 1 x 3 x 4 −x 1 x 3 x 5 − x 1 x 3 x 6 − x 1 x 4 x 5 − x 1 x 4 x 6 − x 1 x 5 x 6 +x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 6 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 6 +x 1 x 2 x 5 x 6 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 6 + x 1 x 3 x 5 x 6 + x 1 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 − x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 − x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 − x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 − x 1 x 3 x 4 x 5 x 6 .Se va a calcular el índice de poder de Banzhaf coalicional simétrico para eljugador 2. Teniendo en cuenta que el jugador 2 pertenece a la segunda unióna priori, aplicando el segundo paso, se sustituye x 1 por y 1 (primera unión) yx 3 y x 5 por y 3 (tercera unión) obteniendo la siguiente función:y 1 x 2 + y 1 x 6 + y 1 x 4 +2y 1 y 3 + x 2 x 4 x 6 y 2 3 −y 1 x 2 x 4 − y 1 x 2 x 6 − 2y 1 y 3 x 2 − 2y 1 y 3 x 4 − 2y 1 y 3 x 6 − y 1 x 4 x 6 − y 1 y 2 3 +2y 1 x 2 y 3 x 4 + y 1 x 2 y 2 3 +2y 1 x 2 x 6 y 3 + y 1 x 2 x 4 x 6 + y 1 y 2 3x 4 +2y 1 y 3 x 4 x 6 + y 1 x 6 y 2 3 −y 1 x 2 x 4 y 2 3 − y 1 x 2 x 4 x 6 y 3 − y 1 x 2 x 6 y 2 3 − y 1 x 2 x 4 x 6 y 3 − y 1 x 4 x 6 y 2 3.

Extensiones multilineales 97En el paso 3 se reducen todos los exponentes a 1, obteniendo la función gg (y 1 ,x 2 ,x 4 ,x 6 ,y 3 )=y 1 x 2 + y 1 x 6 + y 1 x 4 + y 1 y 3 + x 2 x 4 x 6 y 3 −y 1 x 2 x 4 − y 1 x 2 x 6 − y 1 y 3 x 4 − y 1 y 3 x 6 − y 1 x 4 x 6 + y 1 x 2 y 3 x 4 −y 1 x 2 y 3 + y 1 x 2 x 6 y 3 + y 1 x 2 x 4 x 6 + y 1 y 3 x 4 x 6 − 2y 1 x 2 x 4 x 6 y 3 .En el paso 4 se sustituye y 1 e y 3 por 1/2, obteniendo la función α 2α 2 (x 2 ,x 4 ,x 6 )= 1 4 x 2 + 1 4 x 4 + 1 4 x 6 − 1 4 x 2x 4 − 1 4 x 2x 6 − 1 4 x 4x 6 + 1 2 x 2x 4 x 6 + 1 4 .Derivando la función anterior respecto a x 2 , se obtiene la siguiente expresión:14 − 1 4 x 4 − 1 4 x 6 + 1 2 x 4x 6 ,por lo que el valor del jugador 2 se calcularía finalmente aplicando el paso 5,del siguiente modo,Z 1µ 14 − 1 2 t + 1 2 t2 dt = 1 6 .0De forma similar, podría calcularse el valor de Banzhaf coalicional simétricodel resto de los jugadores:Π (N,v,P) =(1/2, 1/6, 1/4, 1/6, 1/4, 1/6) .La extensión multilineal y el índice de poder de Deegan-PackelcoalicionalEn esta subsección, se describirá el procedimiento para obtener el índice depoder de Deegan-Packel coalicional de un juego simple con uniones apriori(N,v,P) a partir de su extensión multilineal.Teorema 2.6.4 Sea (N,v,P) un juego simple con uniones a priori dondeP = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es la partición del conjunto de jugadores N que determinalaestructuradecoalicionesapriori.Puedecalcularseelíndicede

98 Valoresenjuegosconunionesaprioripoder de Deegan-Packel coalicional de un jugador i ∈ P j ,ζ i , en dicho juego,siguiendo los siguientes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los necesarios para obtener el índice de poder de Deegan-Packel del juego (N,v) , descritos en el teorema 1.3.4, obteniéndose la siguientefuncióng (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=X Yx k .S∈M(v) k∈S4. En la función g, paratodol 6= j yparatodok ∈ P l reemplazar la variablex k por y l . Se ha construido así una función g 1 de x k , con k ∈ P j e y l , dondel 6= j.5. En la función g 1 reducir todos los exponentes a 1, esdecir,reemplazarcada yl a con a ∈ N, por y l . Se obtiene así una función g 2 .6. A partir de g 2 calcular la función g 3 de x k , con k ∈ P j del siguiente modo:Z 1 ³g 3 ((x k ) k∈Pj)= g 2 t,... ,t,(x k ) k∈Pj´dt.07. Finalmente, el índice de poder de Deegan-Packel coalicional ζ i se obtienecalculandoZ11∂g 3ζ i (N,v,P) =(t, . . . , t) dt.g (1, 1,... ,1) 0 ∂x iDemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU (N) e i ∈ P j .A partir de la función g queseobtienedespuésdelpaso3, tenemos queg (1, 1,... ,1) =XS∈M(v)1=|M (v)| .Después de los pasos 4 y 5, se obtiene la función,³g 2 (x k ) k∈Pj, (y l ) l6=j´= X YYy l x k .S∈M(v) l∈m(S)\j k∈P j ∩S

Extensiones multilineales 99Una vez efectuado el paso 6, se obtieneZ 1 ³g 3 ((x k ) k∈Pj)= g 2 t, . . . , t, (x k ) k∈Pj´dt =0Z 1 Xt Y|m(S)|−10S∈M(v)k∈P j ∩Sx k dt =XS∈M(v)Finalmente, después del paso 7,Z 10∂g 3∂x i(t,... ,t) dt =1|m (S)|Z 101|m (S)|XS∈M i (v)Yk∈P j ∩Sx k .t |S∩P j|−1 dt =XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P j | ,con lo que se finaliza la demostración.¤En el siguiente ejemplo se ilustrará el procedimiento descrito en el teoremaanterior para calcular el índice de poder de Deegan-Packel coalicional.Ejemplo 2.6.2 El Parlamento de las Islas Baleares puede representarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3]. Se va a calcular el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional del jugador 1(PP) empleando el procedimiento descrito en el resultadoanterior. Supóngase que el sistema de uniones a priori viene dadoporP = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .Como se vio en el ejemplo 1.3.4 después de aplicar el paso 3, se obtiene lasiguiente funcióng (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .En el paso 4, se sustituyen x 2 ,x 4 y x 6 por y 2 (segunda unión) y x 3 y x 5 pory 3 (tercera unión) obteniendo la siguiente funcióng 1 (x 1 ,y 2 ,y 3 )=x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 1 y 2 + y 3 2y 2 3.

100 ValoresenjuegosconunionesaprioriEn el paso 5, se reducen todos los exponentes a 1, obteniendo la funciónEn el paso 6, se calculag 3 (x 1 )=Z 10g 2 (x 1 ,y 2 ,y 3 )=3x 1 y 2 +2x 1 y 3 + y 2 y 3 .g 2 (x 1 ,t,t) dt =Z 10¡5tx1 + t 2¢ dt = 5 2 x 1 + 1 3 .Finalmente, para evaluar el índice de poder de Deegan-Packel coalicional deljugador 1, se aplica el paso 7ζ 1 (N,v,P) =Z11∂g 3(t) dt = 5 g (1, 1, 1, 1, 1, 1) 0 ∂x 1 12 .De forma similar se obtendría el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalde los restantes jugadores:ζ (N,v,P) =(5/12, 1/9, 1/8, 1/9, 1/8, 1/9) .La extensión multilineal y el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional simétricoEn esta subsección se verá cómo se puede obtener el índice de poder deDeegan-Packel coalicional simétrico de un juego simple con uniones apriori(N,v,P) a partir de su extensión multilineal.Teorema 2.6.5 Sea (N,v,P) un juego simple con uniones a priori dondeP = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es la partición del conjunto de jugadores N que determinalaestructuradecoalicionesapriori.Puedecalcularseelíndicedepoder de Deegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j , Λ i , endicho juego, siguiendo los siguientes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los necesarios para obtener el índice de poder de Deegan-Packel del juego (N,v) , descritos en el teorema 1.3.4, obteniéndose la siguientefuncióng (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=X Yx k .S∈M(v) k∈S

Extensiones multilineales 1014. Para todo l ∈ {1, 2,... ,m} yparatodok ∈ P l ,reemplazarx k por y l .Seobtiene así una función de y l , donde l =1, 2,... ,m. En esta función reducirtodos los exponentes a 1, esdecir,reemplazarcaday la con a ≥ 1, pory l . Sihay varios monomios iguales, suprimir todos excepto 1.5. Sea t el mínimo número de términos de los monomios Q y l donde R ⊆{1, 2,... ,m} que quedan en la función obtenida en el paso anterior. Desdek = t +1 hasta k = m, eliminar aquellos monomios con k términos que seandivisibles por algún otro monomio de esta función con número de términosdesde t hasta k − 1. Se obtiene así una función g 1 (y 1 ,y 2 ,... ,y m ).6. En la función g, eliminar aquellos términos que al reemplazar cada x kpor y l , para todo l ∈ {1, 2,... ,m} y reducir todos los exponentes a 1, nocoincidan con algún término de g 1 .7.QEn la función obtenida en el paso anterior dividir cada uno de los términosx i ,S ⊆ N por el número de sumandos que dan lugar al mismo términoi∈Sde g 1 . Obtenemos así una función g 2 .8. En la función g 2 sustituir, para todo l 6= j yparatodok ∈ P l , la variablex k por y l . Se obtiene así una función g 3 que depende de x k , donde k ∈ P j ey l , con l 6= j.9. En la función g 3 reducir todos los exponentes a 1, esdecir,reemplazarcada yl a con a ∈ N, por y l . Se obtiene así una función g 4 .10. A partir de g 4 calcular la función g 5 de x k , con k ∈ P j del siguientemodo:Z 1´g 5 ((x k ) k∈Pj)= g 4³(x k ) k∈Pj,t,... ,t dt.0l∈R11. Finalmente, el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico ζ ise obtiene calculandoΛ i (N,v,P) =Z11∂g 5(t,... ,t) dt.g 1 (1, 1,... ,1) 0 ∂x iDemostraciónLa función g 1 que resulta del paso 5, se correspondería con la obtenida despuésdel paso 3 para calcular el índice de poder de Deegan-Packel del juego cociente

102 Valoresenjuegosconunionesapriori¡M,vP ¢ , que es igual a:Se tiene que g 1 (1, 1,... ,1) =g 1 (y 1 ,y 2 ,... ,y m )=PR∈M(v P )Yy l .XR⊆M l∈RR∈M(v P )1=¯¯M ¡ v P ¢¯¯ .En el paso 6 se eliminan en la función g los términos correspondientes aaquellas coaliciones minimales ganadoras cuyos representantes en el cocienteno son minimales ganadoras, es decir se obtiene la funciónX Yx k .S∈M(v,P) k∈SEn el paso 7, se divide cada uno de los términos Q x k de la función anteriorentre |P (S)|, obteniendog 2 (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=XS∈M(v,P)k∈S1 Yx k .|P (S)|Despúes de los pasos 8 y 9, se obtiene la función³g 4 (x k ) k∈Pj, (y l ) l6=j´= X 1 Y|P (S)|En el paso 10, se calculaZ 10XS∈M(v,P)g 5 ((x k ) k∈Pj)=S∈M(v,P)Z 11Y|P (S)| t|m(S)|−10k∈P j ∩Sk∈SYy l x k .l∈m(S)\j k∈P j ∩S´g 4³(x k ) k∈Pj,t,... ,t dt =x k dt =XS∈M(v,P)1 1|P (S)| |m (S)|Yk∈P j ∩Sx k .Finalmente, después del paso 11,Z 1∂g 51 1(t, . . . , t) dt =∂x i |P (S)| |m (S)|0Z 10XS∈M i (v,P)t |S∩P j|−1 dt =

Extensiones multilineales 103XS∈M i (v,P)con lo se finaliza la demostración.¤1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P j | ,Al igual que sucedía para el índice de poder de Deegan-Packel no coalicional,teniendo en cuenta la facilidad de cálculo de los dos índices de poder coalicionalesde Deegan-Packel a partir del conocimiento de los conjuntos decoaliciones minimales ganadoras del juego simple y del juego cociente, el resultadoanterior y el referente al índice de poder de Deegan-Packel coalicionalno tienen mucha utilidad práctica. Se incluyen para ver su semejanza con elprocedimiento de cálculo de otros índices de poder coalicionales a partir dela extensión multilineal del juego. Para finalizar esta sección, se empleará denuevo el Parlamento de las Islas Baleares para calcular el índice de poder deDeegan-Packel coalicional simétrico, mediante el procedimiento descrito enel teorema anterior.Ejemplo 2.6.3 El Parlamento de las Islas Baleares puede representarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3]. Se va a calcular el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional simétrico del jugador 2(PSOE). Se recuerda que el sistema deuniones a priori viene dado porP = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .Como se vio en el ejemplo 1.3.4, la función g queseobtienedespuésdeaplicar el paso 3 es:g (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .En el paso 4, se sustituye x 1 por y 1 (primera unión), x 2 ,x 4 y x 6 por y 2(segunda unión) y, x 3 y x 5 por y 3 (tercera unión), se reducen todos los exponentesa 1 y, cuando hay varios monomios iguales, eliminamos todos menosuno, obteniendoy 1 y 2 + y 1 y 3 + y 2 y 3 + y 1 y 2 y 3 .En el paso 5, se elimina el último término, obteniendo la función g 1g 1 (y 1 ,y 2 ,y 3 )=y 1 y 2 + y 1 y 3 + y 2 y 3 .

104 ValoresenjuegosconunionesaprioriEn este caso en el paso 6, no se debe eliminar ningún término. En el paso7, se obtiene la funcióng 2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )= x 1x 23+ x 1x 32+ x 1x 43+ x 1x 52+ x 1x 63+ x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .En el paso 8, se sustituye x 1 por y 1 (primera unión) y, x 3 y x 5 por y 3 (terceraunión) obteniendo la siguiente funcióng 3 (y 1 ,x 2 ,x 4 ,x 6 ,y 3 )= y 1x 23+ y 1 y 3 + y 1x 43+ y 1x 63+ x 2 x 4 x 6 y 2 3.En el paso 9, se reducen todos los exponentes a 1, obteniendo la funcióng 4 (y 1 ,x 2 ,x 4 ,x 6 ,y 3 )= y 1x 23En el paso 10, se calculaZ 10g 5 (x 2 ,x 4 ,x 6 )=+ y 1 y 3 + y 1x 43Z 10+ y 1x 63g 4 (t, t, x 2 ,x 4 ,x 6 ) dt =+ x 2 x 4 x 6 y 3 .µx2 t3 + t2 + x 4t3 + x 6t3 + x 2x 4 x 6 t dt = 1 6 x 2 + 1 6 x 4 + 1 6 x 6 + 1 2 x 2x 4 x 6 + 1 3 .Finalmente, para evaluar el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico del jugador 2, se aplica el paso 11Λ 2 (N,v,P) =1g 1 (1, 1, 1)Z 10∂g 5∂x 2(t, t, t) dt = 1 9 .De forma similar, se obtendrá el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico de los restantes jugadores:Λ (N,v,P) =(1/3, 1/9, 1/6, 1/9, 1/6, 1/9) .2.7 Funciones generatricesEn esta sección se verá cómo es posible, empleando funciones generatrices,calcular diversos índices de poder en juegos de mayoría ponderada conuniones apriori.

Funciones generatrices 105El índice de poder de Banzhaf-OwenRecuérdese que el valor de Banzhaf-Owen es una solución f : U (N) −→ R nque dado un juego (N,v,P) ∈ U (N) asigna a cada jugador i ∈ N el númeroreal:Ψ i (N,v,P) =donde Q = Sr∈RXXR⊆M\j T ⊆P j \i1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) , (2.14)2 m−1 2 p j−1P r y P j ∈ P es la unión tal que i ∈ P j .En primer lugar, se comenzará dando dos definiciones que sólo se emplearánen esta sección, y que se utilizarán para facilitar la introducción de nuevosresultados.Definición 2.7.1 Dado (N,v,P) ∈ U (N), donde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , sedice que una coalición S ⊆ N es compatible con la estructuraSde unionesaprioriP para la unión P j ,siS es de la forma S = P k ∪ T ,conT ⊆ P j .k∈R⊆M\jDado (N,v,P) ∈ U (N) , denotaremos por C(j, P ) el conjunto de coalicionescompatibles con la estructura de coaliciones para la unión P j .Definición 2.7.2 Dado (N,v,P) ∈ SU (N) se define un swing compatiblecon P, para un jugador i ∈ P j , como un par de coaliciones (S ∪ i, S) tal queS es perdedora, S ∈ C(j, P ) y S ∪ i es ganadora.Se representará por η i (N,v,P) el número de swings compatibles con P paraun jugador i, en el juego simple con uniones apriori(N,v,P) .En un juego simple, para un jugador i ∈ P j , las cantidades v (S ∪ i) − v (S)donde S ∈ C(j, P ) son iguales a 1 sólo si el jugador i hace ganadora a lacoalición S, siendo igual a 0 en el resto de los casos. Por lo tanto, sustituyendoen (2.14), el índice de poder de Banzhaf-Owen de un jugador i ∈ P j es igualal número de swings compatibles con P para i, dividido entre 2 m+p j−2 , esdecir:Ψ i (N,v,P) = η i (N,v,P)2 m+p j−2.

106 ValoresenjuegosconunionesaprioriPor ello, para calcular el índice de poder de Banzhaf-Owen en un juego simplecon uniones apriories suficiente calcular el número de swings compatiblescon P para cada uno de los jugadores.El siguiente resultado determina el número de swings, compatibles con P,para un jugador en un juego simple de mayoría ponderada con uniones apriori (N,v,P).Teorema 2.7.1 Sea (N,v,P) un juego simple con uniones a priori y de mayoríaponderada con v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ]. El número de swings compatiblespara un jugador i ∈ P j en dicho juego viene dado por:η i (N,v,P) =q−1Xk=q−w ib i k,siendo b i kel número de coaliciones S ∈ C(j, P ) tales que i/∈ S y w(S) =k.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU (N) con v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j .Las coaliciones compatibles para la unión P j , a las que no pertenece i, conpeso comprendido entre q − w i y q − 1 son coaliciones perdedoras. Si a unade estas coaliciones se incorpora el jugador i, el peso de la coalición es por lomenos igual a q, por lo que se convierte en una coalición ganadora.Si b i k denota el número de coaliciones S compatibles con la estructura decoaliciones para la unión P j que no incluyen al jugador i y que tienen pesok comprendido entre q − w i y q − 1, los swings compatibles para el jugador ien el juego (N,v,P) se obtienen sumando los números {b i k } k≥0para valoresde k comprendidos entre q − w i y q − 1. Por tanto, η i (N,v,P) =q−1 Pb i k .¤k=q−w iEl siguiente resultado proporciona una función que permite determinar losnúmeros {b i k } k≥0anteriores y calcular el valor de Banzhaf-Owen en juegos demayoría ponderada con uniones apriori.Teorema 2.7.2 Sea (N,v,P) un juego simple con uniones a priori y demayoría ponderada con v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces dado un jugador

Funciones generatrices 107i ∈ P j , la función generatriz de los números {b i k } k≥0, definidos anteriormenteviene dada por:B i (x) =mY¡ ¢ pY j1+xw(P r )(1 + x w j l) ,r=1,r6=jj l =1,j l 6=idonde w (P r )= P w j y P j = © ªj 1 ,j 2 , ..., j pjj∈P rDemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU (N) con v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j .Considérese la siguiente función¡1+xw(P 1 ) ¢ ... ¡ 1+x w(P j−1) ¢¡ 1+x w(P j+1) ¢ ... ¡ 1+x w(Pm)¢ (1 + x w j 1) ...(2.15)... ¡ 1+x w jp j¢=1+XYx w l=1+Xx P l∈S w l=1+Xx w(S) .S∈C(j,P ) l∈SS∈C(j,P )S∈C(j,P )Agrupando las potencias del mismo orden, y haciendo k = w (S), resulta quela función anterior es igual a:w(N)Xk=0b k x k ,donde b 0 =1y b k , para k>0 es el número de coaliciones compatibles conla estructura de uniones aprioripara la unión P j con peso k. Paracalcularlos números {b i k } k≥0 , basta suprimir en (2.15) el factor (1 + xw i) .¤Ejemplo 2.7.1 Se va a calcular el índice de poder de Banzhaf-Owen para eljuego simple de mayoría ponderada correspondiente al Parlamento de las IslasBaleares. Este juego puede representarse como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] . Considerandola estructura de uniones a priori dada por:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} ,

108 ValoresenjuegosconunionesaprioriPara calcular el número de swings para el jugador 4, hay que construir lafunción:B 4 (x) = ¡ 1+x 28¢¡ 1+x 8¢¡ 1+x 16¢¡ 1+x 3¢ =x 55 + x 52 + x 47 + x 44 + x 39 + x 36 + x 31 + x 28 + x 27 +Entonces, se obtiene que η 4 (v) =x 24 + x 19 + x 16 + x 11 + x 8 + x 3 +1.P 29 b 4 kk=26que η 1 (v) =η 3 (v) =η 4 (v) =η 5 (v) =η 6 (v) =2.=2. De forma similar, se tendríaSe obtendría de modo inmediato que el índice de Banzhaf-Owen es igual a:Ψ (N,v,P) =(1/2, 1/8, 1/4, 1/8, 1/4, 1/8) .El índice de poder de Banzhaf coalicional simétricoPara construir la función generatriz que permita calcular el índice de poderde Banzhaf coalicional simétrico en juegos de mayoría ponderada, hay quetener en cuenta un argumento similar al que se utilizó para el cálculo de lafunción generatriz que permitía obtener el índice de poder de Shapley-Shubik.En este caso, dado un juego (N,v,P) ∈ SU (N) , el índice de poder deBanzhaf coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j , es igual a:Π i (N,v,P) =X{S∈C(i,P )/S /∈W yS∪i∈W }1 |S ∩ P j |!(p j − |S ∩ P j | − 1)!=2 m−1 p j !p j −1Xl=01 l!(p j − l − 1)!d i2 m−1 p j !l,

Funciones generatrices 109donde d i l representa el número de swings (S ∪ i, S) compatibles con P parael jugador i, en el juego (N,v,P), de tal forma que el número de jugadoresde S que pertenecen a P j es l. Siguiendo un razonamiento similar al que sehizo para el índice de poder de Shapley-Shubik, se tiene que, para cualquiervalor de l entre 0 y p j − 1,d i l =q−1Xk=q−w ia i kl,siendo a i kl el número de swings compatibles con P para el jugador i, en(N,v,P) con peso k que contienen l jugadores de la unión P j .Teorema 2.7.3 Sea (N,v,P) un juego simple con uniones a priori y de mayoríaponderada con v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces dado un jugador i ∈ P j ,la función generatriz de los números {a i kl } k≥0,l≥0, definidos anteriormente,viene dada por:DemostraciónS i (x, z) =mYr=1,r6=j¡ ¢ pY j1+xw(P r )j l =1,j l 6=i(1 + x w j lz) .Sea (N,v,P) ∈ SU (N) con v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j siendo P j =©i1 ,i 2 ,... ,i pjª.Considérese la siguiente función¡1+xw(P 1 ) ¢ ... ¡ 1+x w(P j−1) ¢¡ 1+x w(P j+1) ¢ ... ¡ 1+x w(Pm)¢ (1 + x w j 1z) ...(2.16)... ¡ 1+x w jp j z¢=1+X1+ XS∈C(j,P )Yx w kS∈C(i,P ) k∈S\P jx P k∈S w kz |S∩P j| =1+Yk∈S∩P jx w kz =XS∈C(j,P )x w(S) z |S∩P j| .

110 ValoresenjuegosconunionesaprioriAgrupando las potencias del mismo orden, y haciendo k = w (S), resulta queel término anterior es igual a:w(N)Xk=0p jXa kl x k z ll=0donde a 00 =1y a kl cuando al menos uno de los índices k o l es mayor que 0,es el número de coaliciones compatibles con la estructura de coaliciones parala unión P j con peso k yquecontienenl jugadores de P j . Para calcular losnúmeros {a i kl } k≥0,l≥0 , basta suprimir en (2.16) el factor (1 + xw i) .¤Empleando la proposición anterior se pueden calcular los números {a i kl } k≥0,l≥0 .Ahora bien, para determinar el valor de Banzhaf coalicional simétrico es necesariocalcular los valores d i l que pueden identificarse por un polinomio de laformaycomod i l =q−1 Pk=q−w ia i klg i (z) =, se tiene queg i (z) =Por la proposición anteriorp j −1Xl=0S i (x, z) =d i lz l =p j −1Xl=0⎡⎣p j −1Xl=0p j −1Xl=0Xd i lz l ,w(N)−w ik=0" q−1 Xk=q−w ia i kl#z l .a i klx k ⎤⎦ z l ,de lo que se deduce que para determinar los coeficientes de g i (z) es suficiente,para cada potencia de la variable z en S i (x, z) , seleccionar los coeficientesde los monomios x k z l en los que el exponente k de la variable x tome valoresentre q − w i y q − 1.Ejemplo 2.7.2 Se va a calcular el índice de poder de Banzhaf coalicionalsimétrico para el juego de mayoría ponderada correspondiente al Parlamento

Funciones generatrices 111de las Islas Baleares. Recuérdese que este juego puede representarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] y que consideramos la estructura de uniones a priori dadapor:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} ,Para calcular el número de swings compatibles para el jugador 3, hayqueconsiderar la función:S 3 (x, z) = ¡ 1+x 28¢¡ 1+x 23¢¡ 1+x 3 z ¢ =x 54 z + x 31 z + x 26 z + x 3 z + x 51 + x 28 + x 23 +1.Se eligen ahora los coeficientes de los monomios x k z j en los que el exponentek de la variable x tome valores entre 25 y 29 (en este caso son sólo dos x 26 zy x 28 ), por lo queg 3 (z) =1Xd 3 jz j = z +1,j=0y el índice de poder de Banzhaf coalicional simétrico del jugador 3 se calcularíaΠ 3 (N,v,P) = 1 2 21Xj=0j!(2− j − 1)!d 3 j = 1 1!0!2! 4 2! 1+1 0!1!4 2! 1=1 4 .De modo similar, podría calcularse este índice para los restantes jugadores:Π (N,v,P) =(1/2, 1/6, 1/4, 1/6, 1/4, 1/6) .Índice de poder de OwenA continuación, se describirá el procedimiento para calcular el índice de poderde Owen en juegos de mayoría ponderada empleando funciones generatrices.En este caso, dado un juego (N,v,P) ∈ SU (N) , el índice de poder de Owende un jugador i de P j , viene dado por:Φ i (N,v,P) =

112 ValoresenjuegosconunionesaprioriX{S∈C(i,P )/S/∈W yS∪i∈W }|m j (S)|!(m − |m j (S)| − 1)! |S ∩ P j |!(p j − |S ∩ P j | − 1)!m!p j !=m−1Xr=0p j −1Xl=0r!(m − r − 1)!m!l!(p j − l − 1)!d ip j !rl,donde m j (S) ={k ∈ M\j/P k ⊆ S} y d i rl representa el número de swings(S ∪ i, S) compatibles con P para el jugador i ∈ P j en el juego (N,v,P), detal forma que en S están contenidas r uniones aprioridistintas de P j yelnúmero de elementos de S que pertenecen a P j es l. Siguiendo un razonamientosimilar al que se hizo para el valor de Banzhaf coalicional simétrico,se tiene que, para cualquier valor de r entre 0 y m −1, ydel entre 0 y p j −1,d i rl =k=q−1Xk=q−w ia i klr,siendo a i klr el número de swings compatibles con P para el jugador i, encoalicionesdepesok, que contienen l jugadores de la coalición P j y r unionesaprioridistintas de P j .Teorema 2.7.4 Sea (N,v,P) un juego simple con coaliciones a priori y demayoría ponderada donde v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ]. Entonces dado un jugadori ∈ P j , la función generatriz de los números {a i klr } k≥0,l≥0,r≥0definidos anteriormenteviene dada por:DemostraciónS i (x, z, t) =mYr=1,r6=j¡1+xw(P r ) t ¢ pY jj k =1,j k 6=i(1 + x w j k z) .Sea (N,v,P) ∈ SU (N) con v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j .Considérese la siguiente función¡1+xw(P 1 ) t ¢ ... ¡ 1+x w(P j−1) t ¢¡ 1+x w(P j+1) t ¢ ... ¡ 1+x w(Pm) t ¢ (1 + x w j 1z) ...(2.17)

Funciones generatrices 113... ¡ 1+x w ¢ X Y ¡jp j z =1+ xw(P r ) t ¢ Y(x w kz)=k∈S∩P j1+ XS∈C(j,P )S∈C(j,P ) r∈m j (S)x P k∈S w kt |m j(S)| z |S∩P j| =1+XS∈C(j,P )x w(S) t |m j(S)| z |S∩P j| .Agrupando las potencias del mismo orden, y haciendo k = w (S), resulta quela función anterior es igual a:w(N)Xk=0m−1X Xa klr x k t r z lr=0p jl=0donde a 000 =1y a klr , cuando al menos uno de los índices k, l o r es mayorque 0, es el número de coaliciones compatibles con el sistema de uniones parael jugador i con peso k quecontienear coaliciones distintas de P j yconljugadores de P j . Para calcular los números {a i klr } k≥0,l≥0,r≥0, basta suprimiren (2.17) el factor (1 + x w i) .¤En la proposición anterior, se presenta un método para el cálculo de losnúmeros {a i klr } k≥0,l≥0,r≥0. De modo similar a como ocurría para el valor deBanzhaf coalicional simétrico, para determinar el valor de Owen es necesariocalcular los valores d i rl que pueden identificarseporunpolinomiodelaformaycomod i rl =q−1 Pk=q−w ia i klrm−1Xg i (z, t) =r=0Por la proposición anteriorm−1Xg i (z,t) =, se tiene quep j −1Xl=0m−1XS i (x, z, t) =r=0p j −1Xl=0m−1Xd i rlz l t r =r=0p j −1Xl=0⎡⎣r=0d i rlt r z l ,p j −1XXl=0w(N)−w ik=0" q−1 Xk=q−w ia i klra i klrx k ⎤⎦ t r z l ,#t r z l .

114 Valoresenjuegosconunionesaprioride lo que se deduce que para determinar los coeficientes de g i (z, t) es suficiente,para cada par de potencias de la variable z y t en S i (x, z, t) , seleccionarlos coeficientes de los monomios x k t r z l en los que el exponente k de lavariable x tome valores entre q − w i y q − 1.Ejemplo 2.7.3 Siguiendo con el ejemplo anterior que se representaba como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] , con la estructura de uniones a priori dada por:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .Para calcular el número de swings compatibles para el jugador 6, considéresela función:S 6 (x, z, t) = ¡ 1+x 28 t ¢¡ 1+x 8 t ¢¡ 1+x 16 z ¢¡ 1+x 4 z ¢ =x 56 tz 2 + x 48 tz 2 + x 28 tz 2 + x 20 z 2 + x 52 tz + x 44 tz + x 40 tz +x 32 tz + x 24 tz + x 12 tz + x 16 z + x 4 z + x 36 t + x 28 t + x 8 t +1.Se eligen ahora los coeficientes de los monomios x k t r z l en los que el exponentek de la variable x tome valores entre 27 y 29 (son dos x 28 tz 2 y x 28 t), por loqueg 6 (z,t) =2X 2Xd i rlt r z l = tz 2 + t,r=0 l=0y el índice de poder de Owen del jugador 6 se calcularíaΦ 6 (N,v,P) =2Xr=02Xl=0r!(m − r − 1)!m!l!(p j − l − 1)!d i rl =p j !1!1! 0!2!3! 3! 1+1!1! 2!0!3! 3! 1=1 9 .De modo similar, se calcularía el índice de Owen de los restantes jugadores:Φ (N,v,P) =(1/3, 1/9, 1/6, 1/9, 1/6, 1/9) .

Funciones generatrices 115Índice de poder de Deegan-Packel coalicionalEn esta subsección se indicará cómo podría obtenerse el índice de poder deDeegan-Packel coalicional de un juego de mayoría ponderada y con unionesapriori(N,v,P) empleando funciones generatrices.Recuérdese que dado (N,v,P) ∈ SU (N) , con P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugador i ∈ P j vienedado por la siguiente expresiónζ i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P j | .Para calcular el índice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugadori ∈ P j es necesario calcular el número de coaliciones minimales ganadoras,(|M (v)|) , y para cada coalición minimal ganadora S a la que pertenece i, elnúmero de uniones apriorique tienen intersección no vacía con S (|m (S)|)y el número de jugadores de P j que pertenecen a S (|S ∩ P j |) .En este caso, es preciso emplear una función de m + n +1 variables, unapara los pesos, otra indicadora de unión para cada una de las m uniones apriori, yfinalmente, otra variable indicadora de jugador para cada uno delos n jugadores.Para calcular el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, en primerlugar, se empleará una función generatriz que permita calcular el cardinaldel total de coaliciones posibles. Entre éstas, se elegirán las ganadoras y,finalmente, las minimales ganadoras.El siguiente resultado proporciona una función generatriz que permite elcálculo de los números {c kz1 z 2 ...z ny 1 y 2 ...y m} , donde k ≥ 0, z i =0o z i =1, parai =1, 2,... ,n e y j =0o y j =1, para j =1, 2,... ,m.Las cantidades c kz1 z 2 ...z n y 1 y 2 ...y m, donde z i =1si i ∈ S, z i =0si i/∈ S, y j =1si j ∈ R e y j =0si j /∈ R es el número de coaliciones formadas por losjugadores de S, de tal forma que estén representadas las uniones R ⊆ M yde peso k. Es evidente que los números {c kz1 z 2 ...z n y 1 y 2 ...y m} son iguales a 1(es posible formar una coalición con esas características) o a 0 (no es posibleformar dicha coalición).

116 ValoresenjuegosconunionesaprioriTeorema 2.7.5 Sea (N,v,P) un juego simple de mayoría ponderada conuniones a priori donde v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. La función generatriz de losnúmeros {c kz1 z 2 ...z n y 1 y 2 ...y m},definidos anteriormente viene dada pornY ¡S (x, z 1 ,z 2 ,...z n ,y 1 ,y 2 ,... ,y m )= 1+xw j¢z j y p(j) ,j=1donde p (j) es la unión a la que pertenece el jugador j.A partir de la expresión anterior se obtienen todas las coaliciones posibles.En un primer paso, para trabajar sólo con las coaliciones ganadoras debeneliminarse aquellos monomios en los que la potencia de la variable x seamenor que q.En un segundo paso, y de modo similar a como se hizo para la extensión multilinealdel índice de poder de Deegan-Packel coalicional y para el método decálculo del índice de poder de Deegan-Packel empleando funciones generatrices,deben eliminarse todos los monomios que puedan dividirse por algúnotro monomio de los que constituyen esta función. El número de monomiosde la función resultante es el número de coaliciones minimales ganadoras deljuego, |M (v)| .Finalmente, para obtener el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalde un jugador i ∈ P j , bastará con seleccionar aquellos términos en los queaparezca la variable z i . La potencia de la variable y j indica el número de jugadoresde P j que constituyen dicha coalición minimal ganadora, y el númerode variables y l distintas que aparezcan indica el número de uniones apriorique tienen intersección no vacía con dicha coalición.Se va a ilustrar el procedimiento anterior calculando el índice de poder deDeegan-Packel coalicional correspondiente al Parlamento de las Islas Baleares.Ejemplo 2.7.4 Este Parlamento se representa como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3], yse considera la estructura de uniones a priori dada por:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .En primer lugar se calcula la función S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )=6Y ¡1+xw j¢z j y p(j) =j=1

Funciones generatrices 117¡1+x 28 z 1 y 1¢¡1+x 16 z 2 y 2¢¡1+x 5 z 3 y 3¢¡1+x 4 z 4 y 2¢¡1+x 3 z 5 y 3¢¡1+x 3 z 6 y 2¢.Para no alargar excesivamente este trabajo, no se recogen los cálculos intermedios.En un segundo paso, de la función anterior se eligen aquellostérminos en los que la potencia de la variable x sea mayor o igual que 30. Deéstos, se eligen ahora aquellos que no puedan ser divididos por otros términos,con lo que al final se tendría:x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 y 3 2y 2 3 + x 44 z 1 z 2 y 1 y 2 + x 33 z 1 z 3 y 1 y 3 +x 32 z 1 z 4 y 1 y 2 + x 31 z 1 z 5 y 1 y 3 + x 31 z 1 z 6 y 1 y 2 .Por lo tanto, |M (v)| =6, el número de términos de la expresión anterior.Para calcular el índice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugadori ∈ P j basta con sumar aquellos monomios en los que aparece la variable z idividido entre el producto del exponente correspondiente de la variable y j yel número de variables y l distintas que aparezcan. Finalmente se divide elresultado entre |M (v)| .Así para calcular el índice de poder del jugador 2 se tiene que z 2 aparece en dosmonomios, dividiendo entre los dos productos correspondientes, obtenemos1 1+ 11= 2, que dividido a su vez entre |M (v)| es igual a 1.2 3 2 3 9De forma similar se obtendría el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalde los restantes jugadores:ζ (N,v,P) =(5/12, 1/9, 1/8, 1/9, 1/8, 1/9) .Índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoPara finalizar esta sección se indicará cómo podría obtenerse el valor deDeegan-Packel coalicional simétrico de un juego simple de mayoría ponderadayconunionesapriori(N,v,P) empleando funciones generatrices.Recuérdese que dado (N,v,P) ∈ SU (N) , con P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j

118 Valoresenjuegosconunionesaprioriviene dado por la siguiente expresiónΛ i (N,v,P) =1|M (v P )|XS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P j | .Para calcular el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico deun jugador i ∈ P j es necesario calcular el número de coaliciones minimalesganadoras del juego cociente, ¡¯¯M ¡ v P ¢¯¯¢ . Además, para cada S ∈ M i (v) ,cuyo representante en el cociente (m (S)) sea minimal ganadora, el número decoaliciones minimales ganadoras T en (N,v) tal que m (T )=m (S)(|P (S)|) ,el número de uniones aprioricon representantes en S (|m (S)|) yelnúmerode jugadores de P j que pertenecen a S (|S ∩ P j |) .En este caso, es necesario emplear dos funciones generatrices. En primerlugar, se empleará una función generatriz que permita calcular todas lascoaliciones ganadoras en el juego cociente, para elegir después las minimalesganadoras de este juego cociente. La segunda función generatriz es la descritaen el teorema 2.7.5; permitirá calcular todas las coaliciones posibles del juego.Entre éstas, se eligirán las minimales ganadoras cuyo representante en elcociente sea minimal ganadora.El siguiente resultado proporciona una función generatriz que permite elcálculo de los números {c jky1 y 2 ...y m} , donde j ≥ 0,k ≥ 0, y i =0o y i =1,para i =1, 2,... ,m.Las cantidades c jky1 y 2 ...y m, donde y i =1si i ∈ R e y i =0si i/∈ R es el númerode coaliciones en el juego cociente formadas por j uniones aprioriy de pesok. Es evidente que estas cantidades son iguales a 1 (es posible formar unacoalición de uniones aprioricon esas características) o a 0 (no es posibleformar dicha coalición).Teorema 2.7.6 Sea (N,v,P) un juego simple de mayoría ponderada conuniones a priori donde v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. La función generatriz de losnúmeros {c jky1 y 2 ...y m} j≥0,k≥0, definidos anteriormente viene dada porS (x, y 1 ,y 2 ,... ,y m ,t)=mY ¡1+xw(P j ) y j t ¢ .j=1

Funciones generatrices 119El resultado anterior es similar al que se vio en la proposición 1.3.1 para elíndice de poder de Deegan-Packel. Siguiendo un razonamiento idéntico al quese hizo en ese caso, se obtendrían todas las coaliciones minimales ganadorasen el juego cociente.A partir de la función generatriz definida en el teorema 2.7.5 deben efectuarselos mismos pasos que los vistos anteriormente para el índice de poderde Deegan-Packel coalicional, y al final deben eliminarse aquellas coalicionesminimales ganadoras cuyo representante en el cociente no sea minimal ganadora.Es evidente que el cálculo de los índices de poder coalicionales de Deegan-Packel empleando los procedimientos descritos en estas dos últimas subseccionesson bastante tediosos, pero pueden programarse para realizar los cálculosmediante un ordenador. El interés de estos resultados, al igual que parael caso no coalicional, reside en que sirve para comprobar que estos índicesde poder también se pueden calcular empleando funciones generatrices, aligual que sucedía con los índices de poder de Owen y de Banzhaf-Owen.Para finalizar el capítulo, se ilustrará el procedimiento anterior, calculandoel índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico correspondiente alParlamento de las Islas Baleares.Ejemplo 2.7.5 Este Parlamento se representa como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3], yseconsideralaestructuradeunionesaprioridadapor:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .En primer lugar, se calcula la función S (x, y 1 ,y 2 ,y 3 ,t)S (x, y 1 ,y 2 ,y 3 ,t)=3Y ¡1+xw(P j ) y j t ¢ =j=1¡1+x 28 y 1 t ¢¡ 1+x 23 y 2 t ¢¡ 1+x 8 y 3 t ¢ .Después de realizar los cálculos intermedios y elegir sólo las coaliciones minimalesganadoras, quedarían los términosx 51 y 1 y 2 t 2 + x 36 y 1 y 3 t 2 + x 31 y 2 y 3 t 2 .

120 ValoresenjuegosconunionesaprioriDe aquí se deduce que el número de coaliciones minimales ganadoras deljuego cociente es ¯¯M ¡ v P ¢¯¯ =3y que son las formadas por dos uniones apriori cualesquiera.Después se calcula la función S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )nY ¡S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )= 1+xw j¢z j y p(j) =j=1¡1+x 28 z 1 y 1¢¡1+x 16 z 2 y 2¢¡1+x 5 z 3 y 3¢¡1+x 4 z 4 y 2¢¡1+x 3 z 5 y 3¢¡1+x 3 z 6 y 2¢.Tal y como se describió anteriormente, se eligen los términos correspondientesa coaliciones minimales ganadoras:x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 y 3 2y 2 3 + x 44 z 1 z 2 y 1 y 2 + x 33 z 1 z 3 y 1 y 3 +x 32 z 1 z 4 y 1 y 2 + x 31 z 1 z 5 y 1 y 3 + x 31 z 1 z 6 y 1 y 2 .En este caso, todas estas coaliciones minimales ganadoras inducen coalicionesminimales ganadoras en el cociente (ya que las variables y l que aparecenen cada uno de los términos se corresponden con las uniones a priori queconstituyen una coalición minimal ganadora en el cociente). Para calcular elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P jbasta con considerar aquellos monomios en los que aparece la variable z i .Para cada uno de ellos se obtiene el inverso del producto entre el exponentede y j y el número de variables y l que aparecen (incluyendo y j ). Finalmente,se suman estos valores y se divide el resultado entre ¯¯M ¡ v ¢¯¯ P .Por ejemplo, para calcular el índice de poder de Deegan-Packel del jugador 3se tiene que z 3 aparece en dos monomios, dividiendo entre los dos productoscorrespondientes, se obtiene 1 1+ 1 1= 1, que dividido entre ¯¯M ¡ v ¢¯¯ P es2 2 2 2 2igual a 1.6De forma similar, se obtendría el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico de los restantes jugadores:Λ (N,v,P) =(1/3, 1/9, 1/6, 1/9, 1/6, 1/9) .

Capítulo 3Valores en juegos concomunicación restringidaEn la teoría clásica de los juegos cooperativos se supone que todos los jugadorespueden comunicarse libremente. Para estos juegos se estudiaron enel primer capítulo diversas soluciones, como el valor de Shapley o el valor deBanzhaf.En otras situaciones los jugadores actúan de forma no cooperativa, perotambién son posibles situaciones intermedias, en las que existe comunicación,pero ésta se encuentra restringida. En este capítulo se estudiarán situacionesen las que la restricción en la comunicación está modelizada por un grafo.En este modelo, la existencia de un arco del grafo entre dos jugadores indicaque pueden comunicarse directamente. Si dos jugadores no están unidos porun arco no pueden comunicarse directamente, aunque sí puede ser posiblela comunicación a través de otros jugadores. En 1977, Myerson propuso ycaracterizó un nuevo valor en este contexto, conocido con el nombre de valorde Myerson.El valor de Myerson puede caracterizarse mediante las propiedades de eficienciaen componentes y justicia. Myerson definió el juego de comunicaciónasociado a estas situaciones y demostró que el valor de Shapley de este juegocoincide con el valor de Myerson del juego original. Por ello, puede considerarseque el valor de Myerson es una extensión del valor de Shapley.En el capítulo anterior, se definió el valor de Banzhaf coalicional simétrico;una extensión del valor de Banzhaf en el contexto de los juegos cooperativos121

122 Valores en juegos con comunicación restringidacon un sistema de uniones apriori. Para caracterizarlo, se empleó, entreotras, la propiedad de poder total coalicional. Esta propiedad se obteníamodificando la propiedad del poder total, teniendo en cuenta la existenciadel sistema de uniones.En la primera parte de este capítulo se propondrá y caracterizará un nuevovalor mediante la propiedad de justicia y otra modificación de la propiedaddel poder total, construida en este caso, teniendo en cuenta la existencia derestricciones en la comunicación. También se probará que este nuevo valorcoincide con el valor de Banzhaf del juego de comunicación asociado.Más adelante, se propondrá y caracterizará un nuevo índice de poder parala familia de juegos simples con comunicación restringida mediante grafos,empleando la propiedad de eficiencia en componentes y una modificaciónde la propiedad de justicia. Para definir esta nueva propiedad se tendrá encuenta el número de coaliciones minimales ganadoras. También se probaráque este índice de poder coincide con el índice de poder de Deegan-Packeldel juego de comunicación asociado.3.1 El valor de MyersonEn esta sección se introducirá el valor propuesto por Myerson en 1977. Enprimer lugar, presentaremos los conceptos necesarios.Definición 3.1.1 Sea N = {1, 2,... ,n} un conjunto finito no vacío. Ungrafo no orientado sin lazos en N es un conjunto de pares no ordenados deelementos distintos. Cada uno de estos pares no ordenados i : j se denominaarco. (Nótese que i : j = j : i, ya que los pares son no ordenados).Se denotará por g N el grafo completo sobre N yporGR (N) el conjunto degrafos no orientados definidos en N, esdecir:g N = {i : j/i ∈ N,j ∈ N,i 6= j} y GR (N) = © g/g ⊆ g Nª .Dados S ⊆ N, g ∈ GR (N) y un par de elementos i ∈ N y j ∈ N, sedicequei y j están conectados en S por g si i = j osiexistek ≥ 1 y un subconjunto{i 0 ,i 1 ,... ,i k } ⊆ S tales quei 0 = i, i k = j, i h−1 : i h ∈ g, para todo h =1, 2,... ,k.

El valor de Myerson 123Obsérvese que g = ∅, representa el caso en que no se puede establecer comunicaciónentre ningún par de jugadores. Dado g ∈ GR (N) y S ⊆ N,se denotará por S/g el conjunto de componentes conexas de S asociadas algrafo g, esdecir,S/g = {{k/j y k están conectados en S por g} /j ∈ S} .S/g es una partición de S formada por subconjuntos maximales de elementosde S conectados por g. Si S/g = S, se dirá que S es una componenteconectada por g. Nótese que S/g N = S, para cualquier coalición S ⊆ N.Definición 3.1.2 Se define un juego TU con comunicación como una terna(N,v,g) donde (N,v) ∈ TU (N) y g ∈ GR (N).Se denotará por C (N) el conjunto de todos los juegos TU con comunicacióny conjunto de jugadores N.Definición 3.1.3 Dado un juego TU con comunicación (N,v,g) , se denominajuego de comunicación asociado a (N,v,g) al juego (N,v/g) ∈ TU (N)dado por:v/g (T )= Xv (R) .R∈T/gA la vista de la definición del juego de comunicación, es evidente que v/g N =v. La función característica del juego de comunicación v/g asigna a unacoalición T ⊆ N la suma de los valores asignados por la función v alapartición de T formada por las componentes conexas de T asociadas a g.Se ilustrarán estas ideas mediante un ejemplo sencillo.Ejemplo 3.1.1 Sea (N,v) ∈ TU (N) donde N = {1, 2, 3, 4} y v es el juegodefinido por:• v (T )=2si {1, 2} ⊆ T,|T | ≤ 3• v (N) =4

124 Valores en juegos con comunicación restringida• v (T )=0en cualquier otro caso1. Si se considera el grafo de comunicación g = {1 :2} ,3124el juego de comunicación asociado (N,v/g) seríadelaforma:• v/g (T )=2si {1, 2} ⊆ T• v/g (T )=0en cualquier otro casoya que la función característica del juego de comunicación asigna a lacoalición totalv/g (N) = Xv (R) =v ({1, 2})+v ({3})+v ({4}) =2.R∈N/g2. Si se considera el grafo de comunicación g = {1 :3, 2:3},3124el juego de comunicación asociado (N,v/g) seríadelaforma:• v/g (T )=2si {1, 2, 3} ⊆ T• v/g (T )=0en cualquier otro caso

El valor de Myerson 125ya que ahora los jugadores 1 y 2 necesitan al jugador 3 para podercomunicarse y el jugador 4 es un jugador nulo.3. Finalmente, si el grafo de comunicación fuese g = {1 :3, 3:4} ,3124el juego de comunicación asociado (N,v/g) sería:v/g (T )=0para cualquier coalición T ⊆ Nya que ahora los jugadores 1 y 2 no podrían comunicarse y la funcióncaracterística asignaría una cantidad igual a 0 a cualquier coalición.Definición 3.1.4 Una solución sobre C (N) es una aplicaciónf : C (N) −→ R nque a cada juego (N,v,g) ∈ C (N) le asigna un vector de R n ,enelquecadacomponente se corresponde con el pago que recibe el jugador correspondiente.En una situación con comunicación se proponen, entre otras, las siguientespropiedades:Eficiencia en componentes (EFIC). Una solución f : C (N) −→ R n verificala propiedad de eficiencia en componentes si para todo juego (N,v,g) ∈C (N) yparatodoS ∈ N/g, se cumple queXf i (N,v,g) =v (S) .i∈SEsta propiedad establece que si S es una componente conexa de N asociadaal grafo g, entonces los jugadores de S obtienen v (S) que es la cantidad queles garantiza la función característica del juego.

126 Valores en juegos con comunicación restringidaDado g ∈ GR (N) , para todo i : j ∈ g se define el grafo g\i : j ∈ GR (N)como el grafo que se obtiene a partir de g eliminando el arco i : j, esdecirg\i : j = {h : k ∈ g/ h : k 6= i : j} .Estabilidad (EST). Una solución f : C (N) −→ R n es estable si para todojuego (N,v,g) ∈ C (N) yparatodoi : j ∈ g, setienequef i (N,v,g) ≥ f i (N,v,g\i : j) ,f j (N,v,g) ≥ f j (N,v,g\i : j) .Según esta propiedad, la comunicación directa entre dos jugadores no puedeser perjudicial para ninguno de ellos.Justicia (JUS). Una solución f : C (N) −→ R n es justa si para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) yparatodoi : j ∈ g, setienequef i (N,v,g) − f i (N,v,g\i : j) =f j (N,v,g) − f j (N,v,g\i : j) .La propiedad de justicia establece que si dos jugadores dejan de comunicarsedirectamente, ambos pierden (o ganan) lo mismo. Con estas propiedadesMyerson (1977) obtuvo el siguiente resultado.Teorema 3.1.1 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificandolas propiedades de EFIC y JUS. Si el juego es superaditivo, también verificaEST. Esta función coincide con el valor de Shapley del juego de comunicaciónasociado, es decir, f (N,v,g) = ϕ (N,v/g) , para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) .Si se considera el juego de comunicación ¡ N,v,g N¢ , se verifica que v/g N = vy, en consecuencia, el valor de Myerson coincide con el valor de Shapley.3.2 El valor de Banzhaf para juegos con comunicaciónrestringidaA continuación se propondrá una modificación del valor de Banzhaf parajuegos con comunicación restringida mediante grafos.Se verá que este nuevo valor puede caracterizarse empleando la propiedadde justicia y una modificación de la propiedad de poder total, a la que sedenominará poder total con comunicación restringida.

El valor de Banzhaf para juegos con comunicación restringida 127El poder total en situaciones con comunicación restringidaPara obtener un nuevo valor para situaciones con comunicación restringida,que extienda al valor de Banzhaf, parece lógico utilizar una modificación de lapropiedad de poder total. Esta propiedad va a desempeñar un papel similaral jugado por la propiedad de eficiencia en componentes que satisface el valorde Myerson.Se recuerda que la propiedad de poder total establece que dado un juego(N,v) ∈ TU (N) , se tiene queXi∈Nf i (N,v) = 12 n−1 Xi∈NX[v (T ) − v (T \i)] . (3.1)Ahora,Pdado (N,v,g) ∈ C (N), debe proponerse un valor razonable paraf i (N,v,g), donde S ∈ N/g.i∈SEn primer lugar, la cantidad 1/2 n−1 que aparece en la expresión (3.1) porqueentre los n jugadores se suponía que existía una cooperación total, parecelógico sustituirla por 1/2 s−1 , ya que ahora sólo intervienen los jugadores dela componente conexa S.Si en (3.1) se consideraba la suma en todos los jugadores i ∈ N yentodaslas subcoaliciones de N alasquepertenecei, enunasituaciónconcomunicación,la suma debe incluir únicamente a los jugadores i ∈ S y a aquellassubcoaliciones de S a las que pertenece i.Finalmente, las coaliciones T y T \i no obtienen v (T ) y v (T \i) , sino que laexistencia de restricciones en la comunicación modelizadas mediante el grafog, les otorgaría respectivamenteXXv (R) y v (R) ,R∈T/gT ⊆Ni∈TR∈(T \i)/ges decir, el valor asignado por la función característica del juego de comunicaciónv/g.Con todas estas consideraciones se propone la propiedad de poder total concomunicación restringida.

128 Valores en juegos con comunicación restringidaDefinición 3.2.1 Una solución f : C (N) −→ R n verifica la propiedadde poder total con comunicación restringida (PTCR) si para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) yparatodoS ∈ N/g, se cumple que:⎡⎤Xf i (N,v,g) = 1 X X⎣ Xv (R) −Xv (R) ⎦ .2 s−1i∈Si∈ST ⊆Si∈TR∈T/gR∈(T \i)/gEn la expresión anterior, nótese que si R ∈ T/g e i /∈ R, entonces R ∈(T \i) /g. Con esta nueva propiedad y las propiedades de justicia y estabilidad,se caracteriza un nuevo valor en el contexto de juegos con comunicaciónrestringida.Teorema 3.2.1 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificandolas propiedades de PTCR y JUS. Si el juego es superaditivo, también satisfaceEST. Esta función coincide con el valor de Banzhaf del juego decomunicación asociado, es decir, f (N,v,g) =β (N,v/g) , para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) .DemostraciónExistencia:En primer lugar se comprobará que f (N,v,g) = β (N,v/g) satisface lapropiedad de poder total con comunicación restringida.Dados (N,v) ∈ TU (N) y g ∈ GR (N), paracadaS ∈ N/g, sedefine unnuevo juego con función característica v S , dada porv S (T )=Xv (R) , para todo T ⊆ N.R∈(T ∩S)/gSi dos jugadores están conectados en T por g también lo están en N, porloque,XT/g = ∪ (T ∩ S) /g y v/g = v S .S∈N/gS∈N/gComo v S (T )=v S (T ∩ S) para cualquier coalición T ,setienequeS es unsoporte ¡ para v S y cualquier jugador i /∈ S es un jugador nulo. Entoncesβ ¢ i N,vS=0, si i/∈ S.

El valor de Banzhaf para juegos con comunicación restringida 129Empleando las propiedades de jugador nulo y poder total que verifica el valorde Banzhaf, se tiene que para cualquier T ∈ N/g,X ¡β ¢ i N,vT= Xi∈Ni∈Tβ i¡N,vT ¢ = 12 n−1 Xi∈TX £v T (L) − v T (L\i) ¤ .Como el valor de Banzhaf es lineal, y teniendo en cuenta que si S, T ∈ N/g,se verifica que S ∩ T = ∅, para cualquier S ∈ N/g se cumple queXβ i (N,v/g) = Xi∈SXT ∈N/g i∈SL⊆Ni∈Lβ i¡N,vT ¢ = 12 n−1 Xi∈SX £v S (L) − v S (L\i) ¤ =L⊆Ni∈L1 X2 n−1i∈S⎡X⎣L⊆Ni∈LXR∈(L∩S)/gv (R) −Dado i ∈ S, severifica la siguiente igualdad{L ⊆ N/i ∈ L} = [XR∈((L∩S)\i)/gP L 0,L 0 ⊆Si∈L 0⎤v (R) ⎦ . (3.2)donde el conjunto P L 0 está formado por aquellas coaliciones cuyos representantesen S son precisamente los jugadores de L 0 ,esdecir,dadoL 0 ⊆ S talque i ∈ L 0 P L 0 = {L ⊆ N/L ∩ S = L 0 } .Dada una coalición L tal que i ∈ L, se obtiene un único conjunto P L 0 dado porP L 0 = {L 0 ∪ R/R ⊆ N\S} , con L 0 = L∩S. El cardinal de P L 0 es |P L 0| =2 n−s .Para cualquier V ∈ P L 0, se verifica que V ∩ S = L 0 y (V ∩ S) \i = L 0 \i. Portanto, para cualquier V ∈ P L 0 se tiene queXXv (R) −v (R) =Xv (R) −Xv (R) .R∈(V ∩S)/gR∈((V ∩S)\i)/gR∈L 0 /gR∈(L 0 \i)/g

130 Valores en juegos con comunicación restringidaPor lo que volviendo a la expresión (3.2) se obtiene la siguiente igualdadXβ i (N,v/g) =1 X2 n−1⎡X⎣ Xi∈S L 0 ⊆S V ∈P Li∈L 0 01 X2 n−1i∈S L 0 ⊆S1 X2 s−1⎡⎣i∈SXR∈(V ∩S)/g⎡X2 n−s ⎣ Xi∈L 0R∈L 0 /g⎡X⎣ Xi∈S L 0 ⊆S R∈L 0 /gi∈L 0v (R) −v (R) −v (R) −XR∈((V \i)∩S)/gXR∈(L 0 \i)/gXR∈(L 0 \i)/g⎤⎤v (R) ⎦⎦ =⎤v (R) ⎦ =⎤v (R) ⎦ .Con lo que estaría demostrado que β (N,v/g) verifica la propiedad de podertotal con comunicación restringida.A continuación se prueba que β (N,v/g) también satisface justicia. Dados(N,v) ∈ TU (N), g ∈ GR (N) e i : j ∈ g, sedefine el juegow = v/g − v/(g\i : j) .Nótese que S/g = S/ (g\i : j) si {i, j} * S, porlotantosii/∈ S o j/∈ S, seobtiene quew (S) = Xv (T ) −Xv (T )=0.T ∈S/gT ∈S/(g\i:j)Por lo que las únicas coaliciones en las que la función característica puedeno anularse son aquellas que contienen a los dos jugadores i y j. Así pues,los jugadores i, j son jugadores simétricos en (N,w) . En ese caso, como elvalor de Banzhaf satisface la propiedad de simetría se sigue que β i (N,w) =β j (N,w).

El valor de Banzhaf para juegos con comunicación restringida 131Finalmente, por la linealidad de β,β i (N,v/g) − β i (N,v/(g\i : j)) = β i (N,w) =Unicidad:β j (N,w) =β j (N,v/g) − β j (N,v/(g\i : j)) .Supóngase que existen dos soluciones f 1 y f 2 verificando PTCR y JUS.Pueden encontrarse entonces (N,v) ∈ TU (N) y g ∈ GR (N) con el mínimonúmero de arcos tal que f 1 (N,v,g) 6= f 2 (N,v,g).Si g = ∅, entonces las componentes conexas de N/g son los jugadores y porla propiedad de poder total con comunicación restringida tenemos quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , para cualquier i ∈ N.Supongamos g 6= ∅. Sea i ∈ N.•{i} ∈ N/g entonces f 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , por la propiedad depoder total con comunicación restringida.• Existe j ∈ N tal que i : j ∈ g, por la minimalidad de g se tiene quef 1 k (N,v,g\i : j) =f 2 k (N,v,g\i : j) , para cualquier k ∈ N.Como ambas soluciones satisfacen la propiedad de justicia, se obtiene:f 1 i (N,v,g) − f 1 j (N,v,g) =f 1 i (N,v,g\i : j) − f 1 j (N,v,g\i : j) =fi 2 (N,v,g\i : j) − fj 2 (N,v,g\i : j) =fi 2 (N,v,g) − fj 2 (N,v,g) .Por lo quefi 1 (N,v,g) − fi 2 (N,v,g) =fj 1 (N,v,g) − fj 2 (N,v,g) , (3.3)para cualquier par de jugadores i, j conectados directamente por g.

132 Valores en juegos con comunicación restringidaPor lo tanto, dada S ∈ N/g y cualquier par de jugadores i, j ∈ S, tambiénse verifica la expresión (3.3). Como consecuencia,f 1 i (N,v,g) − f 2 i (N,v,g) =d S (g) , para cualquier i ∈ S,donde d S (g) depende sólo de S y g, peronodei. Pero por la propiedad depoder total con comunicación restringida, se tiene queXfi 1 (N,v,g) = X fi 2 (N,v,g) ,i∈Si∈Sy entonces,0= X i∈S¡f1i (N,v,g) − f 2 i (N,v,g) ¢ = |S| d S (g) ,por tanto, d S (g) =0.Con lo que se llega a quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , para cualquier i ∈ N.Se omite la demostración de que la solución propuesta es estable para juegossuperaditivos, pues se sigue un procedimiento análogo al empleado paraprobar que el valor de Myerson es estable para juegos superaditivos. Esto esdebido a que tanto el valor de Shapley como el valor de Banzhaf son valoresprobabilísticos, que es la única característica del valor de Shapley que seemplea en dicha demostración.¤El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de este valor.Ejemplo 3.2.1 Considérese un juego con comunicación (N,v,g) ∈ C (N)donde N = {1, 2, 3}, v es el juego de mayoría, es decir:• v (T )=1si |T | ≥ 2• v (T )=0en cualquier otro caso

El valor de Banzhaf para juegos con comunicación restringida 133y el grafo de comunicación g = {1 :3} .312El valor de Banzhaf del juego (N,v) es igual a:β (N,v) =(1/2, 1/2, 1/2) .El juego de comunicación (N,v/g) viene dado por• v/g (T )=1si {1, 3} ⊆ T• v/g (T )=0en cualquier otro casoPor lo tanto el valor de Banzhaf del juego (N,v/g) es igual a:β (N,v/g) =(1/2, 0, 1/2) .Sevioenelcapítuloanteriorcómolapropiedaddecontribucionesequilibradasen las uniones puede emplearse para caracterizar el valor de Owen,el valor de Banzhaf coalicional simétrico y el índice de poder de Deegan-Packel coalicional. Myerson (1980) había definido una propiedad similar enel contexto de los juegos con comunicación restringida mediante grafos. Estapropiedad se denomina contribuciones equilibradas en el grafo y con ellaMyerson obtuvo otra caracterización del valor de Myerson.La propiedad de contribuciones equilibradas en el grafo proporciona unarelación entre el valor obtenido por un jugador en un juego con un sistemade comunicación y el valor obtenido por dicho jugador si toma la decisión dedejar de comunicarse con el resto de los jugadores.Para formalizar estas ideas se hace necesario introducir nueva notación. Asídado g ∈ GR (N), se denotará, para cualquier jugador i ∈ N, porg −i alelemento de GR (N) dado por g −i = {j : h ∈ g/j 6= i, h 6= i}.Contribuciones equilibradas en el grafo (CEG). Una solución f : C (N)−→ R n verifica la propiedad de contribuciones equilibradas en el grafo si para

134 Valores en juegos con comunicación restringidatodo juego (N,v,g) ∈ C (N) y para todo par de jugadores i, j ∈ N, se cumpleque:f i (N,v,g) − f i (N,v,g −j )=f j (N,v,g) − f j (N,v,g −i ) .La pérdida (o ganancia) que para el jugador j supone el aislamiento deljugador i coincide con la que experimenta el jugador i si se aisla el jugadorj. Con esta propiedad, Myerson (1980) obtiene el siguiente resultado.Teorema 3.2.2 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificando laspropiedades EFIC y CEG. Esta función es el valor de Myerson.Se verá que puede obtenerse un resultado similar para la modificación delvalor de Banzhaf que se propuso anteriormente para aquellas situaciones enlas que existe comunicación restringida mediante un grafo. Para empezar,se probará que el valor β (N,v/g) satisface la propiedad de contribucionesequilibradas en el grafo.Lema 3.2.3 El valor β (N,v/g) verifica CEG.DemostraciónDado (N,v,g) ∈ C (N) e i, j ∈ N, considérese el juego w definido por:w = v/g − v/g −i − v/g −j + v (i) u {i} + v (j) u {j} ,donde u {i} y u {j} son los juegos de unanimidad con soportes {i} y {j}, respectivamente.Sea S ⊆ N\{i, j} . Como j /∈ S, v/g −j (S ∪ i) = v/g (S ∪ i). Ademásv/g −i (S ∪ i) =v/g (S)+v (i) , ya que i/∈ S.Entonces,w (S ∪ i) =v/g (S ∪ i) − v/g (S) − v (i) − v/g (S ∪ i)+v (i) =−v/g (S) .Análogamente, w (S ∪ j) =−v/g (S). Por ello, los jugadores i, j son simétricosen (N,w) y como el valor de Banzhaf verifica simetría, se tiene queβ i (N,w) =β j (N,w) .

El valor de Banzhaf para juegos con comunicación restringida 135Por ser el valor de Banzhaf linealβ i (N,v/g) − β i (N,v/g −j ) − β i¡N,v/g−i − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢=β j (N,v/g) − β j (N,v/g −i ) − β j¡N,v/g−j − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢.Dada S ⊆ N\i se tiene quev/g −i (S ∪ i) − v (i) u {i} (S ∪ i) − v (j) u {j} (S ∪ i) =v/g (S)+v (i) − v (i) − v (j) u {j} (S) =v/g (S) − v (j) u {j} (S) =v/g −i (S) − v (i) u {i} (S) − v (j) u {j} (S) .Porlotanto,eljugadori es un jugador nulo en v/g −i − v (i) u {i} − v (j) u {j} .Ya que el valor de Banzhaf verifica la propiedad de jugador nulo se obtieneβ i¡N,v/g−i − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢=0.Análogamente, el jugador j es un jugador nulo en v/g −j −v (i) u {i} −v (j) u {j}yentoncesConloquequedaprobadoqueβ j¡N,v/g−j − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢=0.β i (N,v/g) − β i (N,v/g −j )=β j (N,v/g) − β j (N,v/g −i ) ,es decir, la solución propuesta satisface la propiedad de contribuciones equilibradasen el grafo.¤Ahora ya puede enunciarse el siguiente resultado.Teorema 3.2.4 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificando laspropiedades PTCR y CEG. Esta función asigna a cada juego (N,v,G) ∈C (N) , el vector β (N,v/g).

136 Valores en juegos con comunicación restringidaDemostraciónExistencia:En el teorema 3.2.1 se comprobó que β (N,v/g) satisface PTCR yenellema3.2.3 que satisface CEG.Unicidad:En Myerson (1980) se prueba que si un valor satisface CEG entonces satisfaceJUS. Como en el teorema 3.2.1 se probó que existe un único valor quesatisface PTCR y JUS la demostración está finalizada.¤Nota: Al igual que ocurría con el valor de Myerson, como v/g N = v, setiene que en el caso en que la comunicación entre los jugadores es total, estenuevo valor coincide con el valor de Banzhaf, por lo que puede considerarseuna extensión de dicho valor.Para finalizar esta sección, en el siguiente ejemplo se comprobará que losvalores de Shapley y Banzhaf del juego de comunicación no tienen por quéser iguales, aunque lo sean el valor de Banzhaf y el valor de Shapley del juegosin tener en cuenta las restricciones en la comunicación.Ejemplo 3.2.2 Considérese un juego con comunicación (N,v,g) ∈ C (N)donde N = {1, 2, 3}, v es el juego de unanimidad de {1, 2}, esdecir:• v (T )=1si {1, 2} ⊆ T• v (T )=0en cualquier otro casoEl valor de Shapley y el valor de Banzhaf son respectivamente:ϕ (N,v) =β (N,v) =(1/2, 1/2, 0) .Si se considera el siguiente grafo de comunicación g = {1 :3, 2:3} ,312Se tiene que el juego de comunicación (N,v/g) viene dado por:

El índice de Deegan-Packel para juegos con comunicación restringida 137• v/g (N) =1• v/g (T )=0para todo T 6= NPor lo tanto, el valor de Shapley y el valor de Banzhaf del juego (N,v/g) soniguales a:ϕ (N,v/g) =(1/3, 1/3, 1/3) y β (N,v/g) =(1/4, 1/4, 1/4) .En el juego (N,v/g) el jugador 3 no es un jugador nulo. En este juego esmás difícil alcanzar un acuerdo, ya que se necesita la colaboración de todoslos jugadores. Por ese motivo el poder total de este juego es más pequeñoque en el juego original, en este caso 3/4. Ya que el valor de Banzhaf essimétrico, cada jugador obtiene 1/4. Como el valor de Shapley es eficiente ysimétrico otorga 1/3 a cada uno de los jugadores.3.3 El índice de poder de Deegan-Packel parajuegos con comunicación restringidaEn esta sección se propondrá y caracterizará un nuevo valor para juegos simplescon comunicación restringida mediantes grafos, empleando las propiedadesde eficiencia en componentes y dos nuevas propiedades que se proponenen este contexto; las propiedades de juego nulo y la propiedad de justiciaminimal. Más adelante, se verá que este nuevo valor coincide con el índicede poder de Deegan-Packel del juego de comunicación asociado.Se van a considerar únicamente juegos (N,v,g) , donde (N,v) es un juegosimple propio. Por ello, existe una única coalición S ∈ N/g, talqueS ∈ W,o bien, para toda S ∈ N/g, S /∈ W. El caso interesante se corresponde conaquellos juegos simples propios (N,v) ygrafosg ∈ GR (N) tales que (N,v,g)posea una única componente conexa que sea una coalición ganadora. VamosadenotarporCS (N) el conjunto de todos los juegos simples propios concomunicación y conjunto de jugadores N.El índice de poder de Deegan-Packel satisface la propiedad de eficiencia, porloqueparecelógicoqueunamodificación de este índice para situaciones con

138 Valores en juegos con comunicación restringidacomunicación restringida, debería verificar la propiedad de eficiencia en componentes.En el caso particular de juegos simples, la propiedad de eficienciaen componentes se reformula del siguiente modo.Eficiencia en componentes (EFIC). Una solución f : CS (N) −→ R nverifica la propiedad de eficiencia en componentes si para todo juego simpleconPcomunicación restringida (N,v,g) yparatodoS ∈ N/g, se cumple quef i (N,v,g) =1si S ∈ W y P f i (N,v,g) =0si S/∈ W.i∈S i∈SDado (N,v,g) ∈ CS (N) , tal que para toda S ∈ N/g, se tiene que S /∈ Wparece lógico suponer que el índice de poder de cualquier jugador sea iguala 0, por lo que se propone la siguiente propiedad.Juego nulo (JUN). Una solución f : CS (N) −→ R n verifica la propiedadde juego nulo si para todo juego simple con comunicación restringida (N,v,g)tal que v/g =0(o, equivalentemente si M (v/g) =∅) se tiene que f i (N,v,g) =0 para todo i ∈ NLa propiedad de justicia minimalEn el primer capítulo se obtuvo una caracterización del índice de poderde Deegan-Packel empleando la propiedad de monotonía minimal. Estapropiedad se definía a partir de una modificación de la propiedad de monotoníafuerte, introduciendo una ponderación establecida en base al númerode coaliciones minimales ganadoras del juego.Para caracterizar este nuevo índice de poder, se empleará una modificaciónsimilar de la propiedad de justicia, a la que se denominará propiedad dejusticia minimal.Definición 3.3.1 Un índice de poder f : CS (N) −→ R n verifica la propiedadde justicia minimal (JUSM) si para todo juego (N,v,g) ∈ CS (N) yparatodo i : j ∈ g, se tiene que:|M (v/g)| (f i (N,v,g) − f j (N,v,g)) =|M (v/ (g\i : j))| (f i (N,v,g\i : j) − f j (N,v,g\i : j)).

El índice de Deegan-Packel para juegos con comunicación restringida 139Con la propiedad anterior y eficiencia en componentes, se caracteriza unnuevo índice de poder en el contexto de los juegos simples con comunicaciónrestringida mediante grafos.Teorema 3.3.1 Existe un único índice de poder f : CS (N) −→ R n verificandolas propiedades de JUN, EFIC y JUSM. Este índice coincide conel índice de poder de Deegan-Packel del juego de comunicación asociado, esdecir, f (N,v,g) =ρ (N,v/g) , para todo juego (N,v,g) ∈ CS (N) .DemostraciónExistencia:Dado un juego (N,v,g) ∈ CS (N) , veremos que ρ (N,v/g) satisface laspropiedades enunciadas en el teorema.Esta solución satisface la propiedad de juego nulo, pues si v/g =0entoncesρ i (N,v/g) =0, para todo i ∈ N.En el caso de que v/g =0, satisface la propiedad de eficiencia en componentes,ya que por la propiedad de juego nulo se tiene que ρ i (N,v/g) =0,para todo i ∈ N. Por tanto, para cualquier S ∈ N/g, P i∈Sρ i (N,v/g) =0.Supongamos que v/g 6= 0, entonces existe S ∈ N/g tal que S es ganadora.En este caso v/g = v S siendov S (T )=_R∈(T ∩S)/gv (R) , para toda T ⊆ N.Entonces v S = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sk siendo para cada i ∈ {1, 2,... ,k} ,S i unconjunto conexo de S. Puesto que los juegos u S1 ,u S2 ,... ,u Sk son fusionablesy ρ verifica la propiedad de fusión, se tiene que¯¯M ¡ v S¢¯¯ ρ i¡N,vS ¢ =kXj=1ρ i¡N,uSj¢=Xj/i∈S j1|S j | ,ya que si i/∈ S j ,ies un jugador nulo en ¡ N,u Sj¢, todos los jugadores de Sjson simétricos y ρ es eficiente.

140 Valores en juegos con comunicación restringidaPor tanto,X ¡ρ ¢ i N,vS=i∈S1 X|M (v S )|i∈SXj/i∈S j1|S j | = 1|M (v S )|kX X 1|Si∈S j | =1.jQueda pues demostrado que f (N,v,g) =ρ (N,v/g) verifica la propiedad deeficiencia en componentes.Sólo falta probar que ρ (N,v/g) satisface la propiedad de justicia minimal.Dado (N,v,g) ∈ CS (N) e i : j ∈ g, setienequej=1|M (v/g)| (ρ i (N,v,g) − ρ j (N,v,g)) =XS∈M i (v/g)\M j (v/g)1|S| −XS∈M j (v/g)\M i (v/g)1|S| , (3.4)siendo M i (v/g) ={S ∈ M (v/g) /i ∈ S} y M j (v/g) ={S ∈ M (v/g) /j ∈ S} .Si S ∈ M i (v/g) \M j (v/g) entonces S es minimal ganadora en (N,v/g) detal forma que los jugadores de S están conectados por g. Además, i ∈ S yj/∈ S. Por tanto, S está conectada en el grafo g\i : j y es minimal ganadoraen (N,v/(g\i : j)) , es decir, S ∈ M i (v/ (g\i : j)) \M j (v/ (g\i : j)) .Con el mismo razonamiento, si S ∈ M i (v/(g\i : j)) \M j (v/(g\i : j)) entoncesS ∈ M i (v/g) \M j (v/g). Si se tiene que M i (v/g) \M j (v/g) =∅ entoncesM i (v/ (g\i : j)) \M j (v/ (g\i : j)) = ∅, porloqueencualquiercasoM i (v/g) \M j (v/g) =M i (v/(g\i : j)) \M j (v/(g\i : j)) .De forma similar se tiene queM j (v/g) \M i (v/g) =M j (v/ (g\i : j)) \M i (v/(g\i : j)) .Por lo que la expresión (3.4) es igual aX 1|S| −S∈M i (v/(g\i:j))\M j (v/(g\i:j))XS∈M j (v/(g\i:j))\M i (v/(g\i:j))1|S| =

El índice de Deegan-Packel para juegos con comunicación restringida 141Unicidad:|M (v/(g\i : j))| (ρ i (N,v,g\i : j) − ρ j (N,v,g\i : j)).Supóngase que existen dos soluciones f 1 y f 2 verificando EFIC, JUSMy JUN. Puede encontrarse entonces un juego simple propio (N,v) y g ∈GR (N) con el mínimo número de arcos tal que f 1 (N,v,g) 6= f 2 (N,v,g).Si g = ∅, entonces las componentes conexas de N/g son los jugadores y porla propiedad de eficiencia en componentes se obtiene quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , para cualquier i ∈ N.Si g 6= ∅ y |M (v/g)| =0, por la propiedad de juego nulo se tiene quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) =0, para cualquier i ∈ N.Finalmente, supongamos que g 6= ∅ y |M (v/g)| > 0. Dado un jugador i ∈ N.•{i} ∈ N/g entonces f 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , por la propiedad deeficiencia en componentes.• Existe j ∈ N tal que i : j ∈ g, por la minimalidad de g,f 1 k (N,v,g\i : j) =f 2 k (N,v,g\i : j) , para cualquier k ∈ N.Teniendo en cuenta la propiedad de justicia minimal se obtiene|M (v/g)| (f 1 i (N,v,g) − f 1 j (N,v,g)) =|M (v/ (g\i : j))| (f 1 i (N,v,g\i : j) − f 1 j (N,v,g\i : j)) =|M (v/ (g\i : j))| (f 2 i (N,v,g\i : j) − f 2 j (N,v,g\i : j)) =Por lo que|M (v/g)| (f 2 i (N,v,g) − f 2 j (N,v,g)).f 1 i (N,v,g) − f 2 i (N,v,g) =f 1 j (N,v,g) − f 2 j (N,v,g) ,para cualquier par de jugadores i, j conectados por g.Elrestodelademostracióndelaunicidadesidénticaaladelteorema3.2.1y por lo tanto, se omite.¤

142 Valores en juegos con comunicación restringidaLas propiedades de estabilidad minimal y de contribuciones equilibradasminimales en el grafoAnteriormente se demostró que el valor de Banzhaf del juego de comunicación,al igual que ocurría con el valor de Shapley del juego de comunicación,es estable cuando el juego es superaditivo. También se proporcionaroncaracterizaciones de estos valores empleando la propiedad de contribucionesequilibradas en el grafo.En esta subsección se definirán dos propiedades similares a las anteriores yse propondrá otra caracterización para el índice de poder de Deegan-Packeldel juego de comunicación. Estas nuevas propiedades se introducen teniendoen cuenta el número de coaliciones minimales ganadoras, siguiendo la mismafilosofía que las propiedades de monotonía minimal o contribuciones ponderadasen las uniones. Estas propiedades son las siguientes:Definición 3.3.2 Un índice de poder f : CS (N) −→ R n verifica la propiedadde estabilidad minimal (ESTM) si para todo juego (N,v,g) ∈ CS (N) yparatodo i : j ∈ g, se tiene que:|M (v/g)| f i (N,v,g) ≥ |M (v/(g\i : j))| f i (N,v,g\i : j) ,|M (v/g)| f j (N,v,g) ≥ |M (v/(g\i : j))| f j (N,v,g\i : j)Definición 3.3.3 Un índice de poder f : CS (N) −→ R n verifica la propiedadde contribuciones equilibradas minimales en el grafo (CEMG) si para todojuego (N,v,g) ∈ CS (N) y para todo par de jugadores i, j ∈ N, se tiene que:|M (v/g)| f i (N,v,g) − |M (v/g −j )| f i (N,v,g −j )=|M (v/g)| f j (N,v,g) − |M (v/g −i )| f j (N,v,g −i ) .En los dos lemas siguientes, se probará que el índice de poder de Deegan-Packel del juego de comunicación ρ (N,v/g) satisface las propiedades anteriores.Lema 3.3.2 El índice de poder ρ (N,v/g) verifica ESTM.

El índice de Deegan-Packel para juegos con comunicación restringida 143DemostraciónTeniendo en cuenta que el índice de poder de Deegan-Packel verifica lapropiedad de monotonía minimal, para demostrar este resultado basta conprobar que dado un juego (N,v,g) ∈ CS (N) , para todo i : j ∈ g, se tieneque M i (v/ (g\i : j)) ⊆ M i (v/g) .Dada una coalición S ∈ M i (v/ (g\i : j)) se tiene que S es una coalición minimalganadora conectada por g\i : j. Del mismo modo se tiene que dicha coaliciónS ∈ M i (v/g) ya que S sigue estando conectada por g. La demostracióndel resultado para el jugador j es idéntica.¤Lema 3.3.3 El índice de poder ρ (N,v/g) verifica CEMG.DemostraciónDado un juego (N,v,g) ∈ CS (N), si|M (v/g)| =0, el resultado es trivial.Si |M (v/g)| > 0, para todo par de jugadores i, j ∈ N, se tiene que:|M (v/g)| ρ i (N,v/g) − |M (v/g −j )| ρ i (N,v/g −j )=XS∈M i (v/g)XS∈M i (v/g)\M j (v/g)XS∈M i (v/g −j )\M j (v/g −j )Se comprueba fácilmente quey1|S| −1|S| +1|S| −XS∈M i (v/g −j )X1|S| =S∈M i (v/g)∩M j (v/g)X1|S| −S∈M i (v/g −j )∩M j (v/g −j )M i (v/g) \M j (v/g) =M i (v/g −j ) \M j (v/g −j )M i (v/g −j ) ∩ M j (v/g −j )=M j (v/g −i ) ∩ M i (v/g −i )=∅.1|S| . (3.5)

144 Valores en juegos con comunicación restringidaDe aquí se sigue que la expresión (3.5) depende de i del mismo modo quedepende de j, por lo que es igual a:X 1|S| −X 1|S| =S∈M j (v/g)S∈M j (v/g −i )|M (v/g)| ρ j (N,v/g) − |M (v/g −i )| ρ j (N,v/g −i ) .¤En el siguiente lema se demostrará que si un índice de poder satisface lapropiedad de contribuciones equilibradas minimales en el grafo entonces satisfacela propiedad de justicia minimal.Lema 3.3.4 Si un índice de poder f : CS (N) −→ R n satisface CEMGentonces satisface JUSM.DemostraciónNótese que si i : j ∈ g, tomando g 0 = g\i : j se tiene que g−i 0 = g −i yg−j 0 = g −j .Como f satisface CEMG, dado un juego (N,v,g) ∈ CS (N), paratodoi : j ∈ g, se tiene que|M (v/g)| f i (N,v,g) − |M (v/ (g\i : j))| f i (N,v,g\i : j) =|M (v/g)| f j (N,v,g) − |M (v/g −i )| f j (N,v,g −i )+|M (v/g −j )| f i (N,v,g −j ) − |M (v/ (g\i : j))| f j (N,v,g\i : j)+|M (v/g −i )| f j (N,v,g −i ) − |M (v/g −j )| f i (N,v,g −j )=|M (v/g)| f j (N,v,g) − |M (v/ (g\i : j))| f j (N,v,g\i : j) .Con lo que f satisface JUSM.¤En el último resultado de este capítulo se proporciona otra caracterizacióndel índice de poder de Deegan-Packel del juego de comunicación.Teorema 3.3.5 Existe un único índice de poder f : CS (N) −→ R n verificandoJUN, EFIC y CEMG. Esteíndiceasignaacadajuego(N,v,g) ∈CS (N) , el vector ρ (N,v/g).

El índice de Deegan-Packel para juegos con comunicación restringida 145DemostraciónExistencia:En el teorema 3.3.1 se comprobó que ρ (N,v/g) satisface JUN y EFIC yenel lema 3.3.3 que satisface CEMG.Unicidad:En el teorema 3.3.1 se probó que existe un único valor que satisface laspropiedades de JUN, EFIC y JUSM, con lo que a partir del lema anterior,la demostración está finalizada.¤Nota: Al igual que ocurría con los valores de Myerson y el valor de Banzhafdel juego de comunicación, si se considera el juego de comunicación ¡ N,v,g N¢ ,se verifica que v/g N = v y, en consecuencia, este nuevo índice de poder coincidecon el índice de poder de Deegan-Packel.A continuación, ilustramos con un ejemplo el cálculo del índice de poder deDeegan-Packel en un juego simple con comunicación.Ejemplo 3.3.1 Dado un juego simple con comunicación (N,v,g) ∈ CS (N)donde N = {1, 2, 3}, el conjunto de coaliciones minimales ganadoras del juego(N,v) viene dado por M (v) ={{1, 2} , {1, 3}} . El índice de Deegan-Packelde este juego es igual a:ρ (N,v) =(1/2, 1/4, 1/4) .Si se considera el grafo de comunicación g = {1 :3, 2:3} ,312el conjunto de coaliciones minimales ganadoras del juego de comunicación(N,v/g) es igual a M (v/g) ={{1, 3}} .Por lo tanto, el índice de poder de Deegan-Packel del juego (N,v/g) es:ρ (N,v/g) =(1/2, 0, 1/2) .

146 Valores en juegos con comunicación restringidaEn el juego de comunicación el jugador 2 está penalizado por no poder comunicarsedirectamente con el jugador 1. El jugador 2 necesita al jugador 3para poder comunicarse con el jugador 1 y obtener una coalición ganadora,pero esta coalición ganadora ya no sería minimal ganadora. La cantidad quepierde el jugador 2 la recibe el jugador 3.Puede efectuarse el cálculo de los valores estudiados en este capítulo, parala familia de juegos con comunicación restringida, a partir de las extensionesmultilineales. Basta tener en cuenta que estos valores coinciden con los valoresde Banzhaf, Shapley y Deegan-Packel del juego de comunicación asociado,para los que se describió el procedimiento de cálculo a partir de la extensiónmultilineal. En el caso particular de juegos de mayoría ponderada, en FernándezGarcía (1998) se describe cómo calcular el valor de Myerson empleandofunciones generatrices. Para finalizar este capítulo, vamos a calcular los tresvalores con comunicación restringida considerados en este capítulo para lospartidos con representación en el Parlamento de las Islas Baleares.Ejemplo 3.3.2 Recordemos que este parlamento puede representarse comoun juego de mayoría ponderada [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador 1 es elPP, el jugador 2 es el PSOE, el jugador 3 es el PSM−EM, el jugador 4 esEU − EV , el jugador 5 es UM y el jugador 6 es el PACTE. Las coalicionesminimales ganadoras son:{PP,PSOE} , {PP, EU − EV } , {PP, PACTE} , {PP,UM}{PP,PSM − EN} y {PSOE,PSM − EN,UM,EU − EV,PACTE} .Los índices de poder de Shapley-Shubik, Banzhaf-Coleman y Deegan-Packelson iguales a:ϕ (N,v) =(2/3, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15)β (N,v) =(15/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16)ρ (N,v) =(5/12, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60)

El índice de Deegan-Packel para juegos con comunicación restringida 147Si se considera el grafo con componentes conexas las asociadas a las unionesa priori en el capítulo anterior, tenemosg = {PSOE : EU − EV,PSOE : PACTE,PSM − EN : UM} ,PPPSOEPSM-ENUMEU-EVPACTEEl juego de comunicación v/g asociado al grafo g esigualaljuegonulo,yaqueN/g = {{PP} , {PSOE,EU − EV,PACTE} , {PSM − EN,UM}} ,está formado por tres coaliciones perdedoras. Entonces,ϕ (N,v/g) =β (N,v/g) =ρ (N,v/g) =0.Supongamos ahora que dejando aislado al PP, los restantes cinco jugadorespueden comunicarse. Por ejemplo, si al grafo anterior se le añade un arcoque comunique PSOE y PSM− EN, se obtiene el sistema de comunicacióndado por el siguiente grafo,PPPSOEPSM-ENUMEU-EVPACTE

148 Valores en juegos con comunicación restringidaAhora, la coalición ganadora {PSOE,EU − EV,PACTE,PSM − EN,UM}está conectada y los índices de poder de Shapley-Shubik, Banzhaf-Coleman yDeegan-Packel del juego de comunicación asociado son iguales a:ϕ (N,v/g) =(0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5)β (N,v/g) =(0, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16)ρ (N,v/g) =(0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5) .

Capítulo 4Juegos espacialesEn este capítulo se estudian los juegos espaciales, que son juegos simplesen los que cada jugador tiene asociado un punto en un espacio euclídeo m-dimensional, que refleja su posición ideológica con respecto a ciertas variablesde interés. Para esta familia de juegos se propondrán soluciones, a las que sedenominarán índices de poder espaciales, que se corresponden con versionesmodificadas de índices de poder estudiados en los capítulos 1 y 2. Tambiénse introduce una familia de valores, a los que se dará el nombre de valorespseudo-probabilísticos, que extiende a la familia de valores probabilísticos.Se verá que algunos de los índices de poder espaciales propuestos, son valorespseudo-probabilísticos.4.1 IntroducciónEn primer lugar se presenta la definición de juego espacial, ilustrándola conun par de ejemplos.Definición ¡ 4.1.1 ¢ Se define un juego espacial m-dimensional como una ternaN,v,{Q i } i∈N tal que (N,v) es un juego simple y {Q i } i∈Nes una colecciónde puntos en R m que refleja las posiciones ideológicas de los jugadores. Llamamosa Q i el punto ideal del jugador i. Supondremos que, al menos, dospuntos ideales son distintos. Denotaremos por E ¡ ¢N, {Q i } i∈N el conjuntode los juegos espaciales con conjunto de jugadores N y con puntos ideales{Q i } i∈N.En un juego espacial, además de la función característica del juego, que determinasi una coalición es ganadora o perdedora, se dispone de información149

150 Juegos espacialesadicional sobre los intereses de los jugadores. Esta información la proporcionala posición de sus puntos ideales. Si dos jugadores tienen sus puntosideales próximos, sus intereses son similares. Los juegos espaciales han sidoestudiados en Owen, (1972a y 1990) y Owen y Shapley (1989). En estos trabajos,se siguen dos objetivos claramente diferenciados, así, en Owen (1990)el interés se centra en la búsqueda de un punto resumen del juego. La finalidadde los otros trabajos es la obtención de índices de poder teniendo encuenta la disposición espacial de los puntos ideales de los jugadores. En estamemoria, estudiaremos los juegos espaciales bajo esta segunda óptica.Ejemplo 4.1.1 Considérese el juego espacial bidimensional dado porN = {1, 2, 3, 4} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3, 4}} ,Q 1 =(1, 1) ,Q 2 =(2, 3) ,Q 3 =(3, 2) y Q 4 =(3, 1) .Q 2Q 3Q 1 Q 4Sin tener en cuenta la posición de los puntos ideales, es decir, analizandosólo la función característica, la situación del jugador 1 es la más ventajosa,ya que hace ganadora a cualquier coalición formada por un único jugador.Claramente, los restantes jugadores desempeñan el mismo papel. Sin embargo,al considerar las posiciones de los puntos ideales de los jugadores 2, 3y 4 no está claro que tengan el mismo poder.Ejemplo 4.1.2 Considérese el juego espacial tridimensional dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2, 3}} ,

Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 151Q 1 =(4, 4, 4) ,Q 2 =(2, 2, 7) y Q 3 =(3, 7, 8) .Q 2 Q 1 Q 3En este caso, como el juego simple es un juego de unanimidad, todos losjugadores desempeñan el mismo papel. Al considerar las posiciones ideológicas,es evidente que los jugadores 1 y 2 tienen intereses similares, por estarpróximos sus puntos ideales.4.2 Índices de poder espaciales de Shapley-ShubikEn esta sección, se van a estudiar “modificaciones espaciales” del índice depoder de Shapley-Shubik. Para calcular un índice de poder en un juegoespacial, habrá que tener en cuenta la información que proporciona la funcióncaracterística del juego y la situación de los puntos ideales.Definición 4.2.1 Un índice de poder espacial sobre E ¡ ¢N,{Q i } i∈N es unaaplicación³f : E N, © Q iª ´−→ R n ,i∈Nque a cada juego (N,v, {Q i } i∈N) le asigna un vector de R n ,enelquecadacomponente representa el poder espacial del jugador correspondiente.

152 Juegos espacialesDado un juego simple (N,v) , el índice de poder de Shapley-Shubik de unjugador i ∈ N coincide con la probabilidad de que dicho jugador sea pívot,suponiendo una distribución uniforme sobre el conjunto de todas las permutacionesdel conjunto de jugadores N. Es decir, se considera que todaslas permutaciones de los jugadores son equiprobables, por lo que tienen unaprobabilidad igual a 1/n!.Sin embargo, al introducir los puntos ideales {Q i } i∈Nesta suposición noparece aceptable, porque al considerar la estructura espacial del juego eslógico suponer que no todas las permutaciones de los jugadores deberíantener la misma probabilidad. Owen (1972a) sugiere que las probabilidadesasignadas a las distintas permutaciones de los jugadores deberían cumplir lassiguientes propiedades.• Si la distancia entre los puntos ideales de dos jugadores es “pequeña”,las probabilidades asignadas a las permutaciones en las que los jugadorescorrespondientes están próximos deben ser mayores que lasasignadas a las permutaciones en las que estén alejados.• Las probabilidades asignadas a las distintas permutaciones deben permanecerinvariantes bajo movimientos rígidos de los puntos ideales, esdecir, traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones.• Una permutación y la permutación inversa deberían tener la mismaprobabilidad.• Las probabilidades asignadas a las diferentes permutaciones deben serfunciones continuas de los puntos ideales, exceptuando posibles discontinuidadesen casos como: dos o más puntos coincidentes, tres o máspuntos alineados, etc.• SilospuntosidealesQ i y Q j de dos jugadores i y j coinciden, el efectosobre las probabilidades de las permutaciones debería ser el mismo quesi se considera a los dos jugadores i y j, como un único jugador.Es posible definir varias asignaciones de probabilidades de las permutacionesde los jugadores que satisfagan las propiedades anteriores. A continuación,se describen las propuestas por Owen (1972a), Shapley (1977) y una tercera,basada en el cálculo de las distancias entre los puntos ideales de los jugadores,que se propone como alternativa a las dos anteriores. A partir de estas

Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 153modificaciones se obtienen índices de poder espaciales. Queremos hacer notarque estos índices de poder espaciales no están caracterizados. Su naturalezareside en considerar que las probabilidades asignadas a las permutacionesde los jugadores dependen de la posición de los puntos ideales, a diferenciadel índice de poder de Shapley-Shubik donde todas las permutaciones de losjugadores se consideran equiprobables.Modificación de OwenEn Owen, (1972a) se propone la siguiente asignación de probabilidades delas permutaciones de los jugadores en un juego espacial.Tomemos un juego espacial m-dimensional (N,v,{Q i } i∈N) donde los puntos{Q i } i∈Ndeterminan una esfera S de dimensión (n − 2). Un punto arbitrariode esta esfera z ∈ S establece una permutación de los jugadores, en base a lasdistancias desde el punto z a sus correspondientes puntos ideales {Q i } i∈N.Ilustraremos esta idea en el siguiente ejemplo.Ejemplo 4.2.1 Considérese el juego espacial bidimensional dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} ,Q 1 =(−0.73, 0.68) ,Q 2 =(−0.43, −0.90) y Q 3 =(0.63, 0.81) .Q 1 Q 3zQ 2el punto z =(−1, 0) establece la permutación 1, 2, 3, yaqueseverifica que:d ¡ z, Q 1¢

154 Juegos espacialesEntonces, a cada permutación de los jugadores, se le asigna una probabilidadqueesproporcionalalamedidadelospuntosdelaesferaS que determinandicha permutación. En el ejemplo anterior, la correspondencia entrepermutaciones de jugadores y arcos de la circunferencia es la indicada en lasiguiente tabla teniendo en cuenta las posiciones de los puntos a, b, c, d, e, fsobre la circunferenciapermutación arco que la define1, 2, 3 de1, 3, 2 ef2, 3, 1 bc2, 1, 3 cd3, 1, 2 fa3, 2, 1 abeQ 1fQ 3 adQ 2cbDado un juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢se define el conjunto Ai comoA i = {z ∈ S/i es pívot en la permutación inducida por z} ,la modificación de las probabilidades propuestas por Owen da lugar al índicede poder espacial dado porf i³N,v, © Q iª i∈N´= μ (A i)μ (S) , (4.1)donde μ es la medida de Lebesgue. Se comprueba fácilmente que los puntosz ∈ S que no determinan un orden estricto de los jugadores constituyenun conjunto de medida cero, por lo que P f i =1. En Owen (1972a), sei∈N

Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 155demuestra que el cociente (4.1) no depende de la dimensión de la esfera S enla que están situados los puntos {Q i } i∈N, por lo que para facilitar los cálculospuede considerarse la esfera de menor dimensión que contenga a estos puntos.Para el ejemplo 4.2.1 este índice de poder espacial es igual a³f N,v, © Q iª ´=(0.42, 0.28, 0.30) .i∈NModificación de ShapleyEsta asignación de probabilidades de las distintas permutaciones de los jugadoresen un juego espacial fue propuesta por Shapley (1977) y se basaen los órdenes determinados por el conjunto de funcionales lineales (R m∗ ,espacio dual de R m ), evaluados en los puntos ideales de los jugadores.Ejemplo 4.2.2 Considérese el juego espacial bidimensional dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} ,donde la situación de los puntos ideales de los jugadores se corresponde conel siguiente gráfico.Q 2bagQ 1 Q 3El funcional representado mediante la flecha, define la permutación de losjugadores 1, 2, 3, ya que se tiene que f (Q 1 )

156 Juegos espacialesPara un juego espacial m-dimensional ¡ N,v,{Q i } i∈N¢, considerando únicamentelos elementos de K (la esfera unitaria de R m∗ ), es decir, los funcionaleslineales f con |f| =1, se define para cada jugador i ∈ N el conjunto B i dela siguiente formaB i = {f ∈ K/i es pívot en la permutación inducida por f} .ApartirdelamedidadeLebesguedeestosconjuntos,lamodificación de lasprobabilidades propuestas por Shapley da lugar al índice de poder espacialdado porf i³N,v, © Q iª ´i∈N= μ (B i)μ (K) . (4.2)Se comprueba fácilmente que si todos los puntos ideales son distintos, lamedida de Lebesgue del subconjunto de K consistente en los elementos queno inducen una permutación con un único pívot es 0, por lo tanto, se tieneque P f i =1.i∈NOwen y Shapley (1989) definen un punto final del juego a partir de la soluciónanterior, al que denominan centro de poder. En ese trabajo estudian diversaspropiedades de este punto.Definición 4.2.2 El centro de poder del juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢es elpuntodadoporP 0 = X f i Q i ,i∈Ndonde f está definida según (4.2).Con la configuración espacial del ejemplo 4.2.2, es fácil comprobar que paraque un funcional f determine la permutación 1, 2, 3 es necesario y suficienteque vaya de izquierda a derecha y que la perpendicular a f trazada desdeel punto Q 2 quede en el interior del ángulo Q 1 Q 2 Q 3 . Este ángulo tieneunamedidaigualaβ radianes, por lo tanto, la medida del conjunto defuncionales que determina la permutación 1, 2, 3 es β. La medida del conjuntoque determina la permutación inversa es también β. Como para este juego,el pívot es el jugador que ocupa la posición central de la permutación se

Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 157tiene que μ (B 2 )=2β. De modo similar, se obtendría que μ (B 1 )=2αy μ (B 2 )=2γ, con lo que la medida del poder espacial que determina lamodificación propuesta por Shapley para este juego espacial es igual a:f³N,v, © Q iª ´ µ α=i∈NΠ , β Π Π, γ .Modificación basada en distanciasLas modificaciones propuestas por Owen y Shapley, asignan distintas probabilidadesa las permutaciones de los jugadores, teniendo en cuenta la configuraciónespacial de los puntos ideales de los jugadores. Estas modificacionespresentan algún inconveniente, como la dificultad de cálculo, (sobre todo lapropuesta por Owen) y, además, en ciertos casos, algunas permutaciones delos jugadores tienen probabilidad nula. Se verá esto en el siguiente ejemplo.Ejemplo 4.2.3 Considérese el juego espacial bidimensional dado porN = {1, 2, 3, 4, 5} ,W m = {{1, 2, 3, 4, 5}} ,Q 1 =(4, 2),Q 2 =(2, 3),Q 3 =(3, 6),Q 4 =(10, 7) y Q 5 =(10, 5) .1098765Q 3Q 4Q 543Q 2 Q 12100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Empleandolamodificación propuesta por Shapley, ningún funcional f ∈ R 5∗determina la permutación de los jugadores 1, 2, 3, 4, 5, queparecebastantelógica teniendo en cuenta la configuración espacial de los puntos ideales. Sin

158 Juegos espacialesembargo, otras permutaciones que parecen menos probables como, por ejemplo,la permutación 1, 5, 2, 4, 3 tienen medida no nula. Esta permutación laestablece, entre otros, el funcional f ∈ R 5∗ definido porf : R 5 −→ Rµ x(x, y) → (−6, 15)yEn el siguiente gráfico se representa el orden establecido por este funcionalf.1098765432Q 4Q 3 P 3P Q 54 P 2 Q 2 P 5 P 1Q 1100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A continuación, se presenta una nueva modificación de las probabilidadesasignadas a las permutaciones de los jugadores. A diferencia de las modificacionespropuestas por Owen y Shapley, ésta proporciona probabilidadpositiva a todas las posibles permutaciones de los jugadores, pero de tal formaque aquellas permutaciones de los jugadores que tienen mayor “longitud”,(es decir, que son tales que para unir los puntos ideales de los jugadorescorrespondientes, es preciso recorrer un camino mayor), tienen menor probabilidadque aquellas permutaciones de longitud menor. En primer lugar,formalizaremos estas ideas.Definición 4.2.3 Dada una permutación σ del conjunto de jugadores N, talque σ (i 1 )

Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 159En el ejemplo 4.2.3 la longitud de la permutación 1, 2, 3, 4, 5 vendrádadaporla longitud de la poligonal:10987654321Q 3Q 2 Q 1Q 4Q 500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Parece lógico suponer que, cuanto mayor es la longitud de una permutaciónmás difícil es que ésta llegue a realizarse. Por lo tanto, la probabilidadasignada a una permutación será inversamente proporcional a su longitud.Así pues, se asigna a cada permutación σ la siguiente probabilidad (dondeΠ (N) es el conjunto de permutaciones de N).P (σ) =1l(σ)P1l(σ)σ∈Π(N)Dado un juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢, si Ci es el subconjunto de Π (N)formado por las permutaciones en las que un jugador i ∈ N es pívot, sedefine un nuevo índice de poder espacial para el jugador i como la suma delas probabilidades de estas permutaciones, es decir,f i³N,v, © Q iª ´= X P (σ) .i∈Nσ∈C iComo se comentó anteriormente, esta modificación otorga probabilidad positivaa todas las permutaciones, ya que no hay información adicional sobreel juego que nos lleve a pensar que ciertas permutaciones son imposibles.Además tiene la ventaja de la facilidad de cálculo y de que puede extendersede modo sencillo a otros modelos. Más adelante, se verá cómo se aplicaríaesta modificación a la familia de juegos con uniones apriori.Parafinalizaresta sección, se ilustrará el cálculo de este índice de poder espacial con losdatos del ejemplo 4.2.1..

160 Juegos espacialesEjemplo 4.2.4 Recordemos las posiciones de los puntos ideales así como lascoaliciones minimales ganadoras.Q 2Q 3Q 1 Q 4En primer lugar, habría que calcular las longitudes de las 24 permutacionesposibles de los 4 jugadores (realmente sólo hace falta calcular 12 porque unapermutación y la inversa tienen la misma longitud). En estas permutaciones,se mira qué jugador es el pívot y se calcularía el índice de poder espacialbasado en distancias, obteniendo:³f N,v, © Q iª ´=(0.464, 0.179, 0.158, 0.199) .i∈NEn este ejemplo, analizando el índice de poder espacial basado en distancias,el jugador 1 (que presenta una posición ventajosa si sólo se tiene en cuenta lafunción característica) es el jugador con más poder. El resto de los jugadores(que desempeñan el mismo papel en la función característica) tienen un podersimilar pero, de tal forma, que el jugador con menos poder, el 3, es el quetiene su punto ideal más alejado del punto ideal del jugador 1.4.3 Índices de poder espaciales de OwenDado un juego simple con uniones a priori (N,v,P) ∈ SU (N) , dondeP = {P 1 ,P 2 ,...P r } , el índice de poder de Owen de un jugador j ∈ P kcoincide con la probabilidad de que dicho jugador sea pívot, suponiendo unadistribución uniforme sobre el subconjunto de Π (N) formado por aquellaspermutaciones que respeten la condición de que entre dos jugadores de lamisma unión apriorino aparece ningún jugador de otra unión apriori.Aligual que para el índice de poder de Shapley-Shubik se supone que todas laspermutaciones posibles son equiprobables sólo que, en este caso, el conjuntode permutaciones posibles son aquellas que respetan la condición anterior.

Índices de poder espaciales de Owen 161Se define un juego espacial m-dimensional con uniones apriori, como unacuaterna (N,v,P, {Q i } i∈N),donde(N,v,{Q i } i∈N) es un juego espacial m-dimensional y P es una partición del conjunto de jugadores que determinala estructura de cooperación apriori. Se denotará por E ¡ ¢N,P,{Q i } i∈Nel conjunto de juegos espaciales con uniones apriori, con conjunto de jugadoresN, conjunto de puntos ideales {Q i } i∈Ny sistema de uniones dadopor la partición P. En esta sección se van a extender las tres modificacionesconsideradas en la sección anterior para el índice de poder de Shapley-Shubikal caso con uniones apriori. En este caso, un índice de poder espacial sobreE ¡ ¢N,P,{Q i } i∈N es una aplicaciónf : E³N,P, © Q iª ´−→ R n ,i∈Nque a cada juego (N,v,P, {Q i } i∈N) le asigna un vector de R n , en el que cadacomponente representa el poder espacial del jugador correspondiente.Modificación de OwenLa modificación propuesta por Owen, en 1972 para el índice de poder deShapley-Shubik puede aplicarse para un juego espacial con uniones aprioride la siguiente forma. Tomemos un juego espacial con uniones apriori(N,v,P,{Q i } i∈N) donde los puntos {Q i } i∈Ndeterminan una esfera S de dimensión(n − 2). Un punto arbitrario de esta esfera z ∈ S determina unapermutación de los jugadores compatible con la estructura de uniones apriori,siempre que la permutación determinada por las distancias desde el puntoz a los correspondientes puntos ideales {Q i } i∈N, sea compatible con la estructurade uniones apriori.Porejemplo,siseverifica qued ¡ z,Q i 1 ¢

162 Juegos espacialesDe forma similar al caso sin uniones apriori, a cada una de estas permutacionesde los jugadores, se les asigna una probabilidad que es proporcional ala medida de los puntos z que determinan esa permutación. De esta forma,si definimos S 0 como el conjunto de puntos de la esfera que determinan unapermutación compatible con la estructura de uniones aprioriyelconjuntoA 0 i comoA 0 i = {z ∈ S 0 /i es pívot en la permutación inducida por z} ,la modificación espacial de poder de Owen viene dada porf i³N,v,P, © Q iª ´= μ (A0 i)i∈N nP,μ (A 0 i )siempre que al menos uno de los conjuntos A 0 i tenga medida no nula (es decir,μ (A 0 i) > 0). Enotrocasonosepodríadefinir.i=1Ejemplo 4.3.1 Considérese el gráfico siguiente, que muestra los puntos idealesde un juego espacial con uniones a priori, donde N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ,P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } con P 1 = {1, 2} ,P 2 = {3, 4, 5} y P 3 = {6, 7, 8}Q 4 Q 6Q 3 Q 8Q 2 Q 7Q 1 zQ 5El punto z determina la permutación, 1, 2, 3, 5, 4, 8, 6, 7 que es compatible conel sistema de uniones a prioriEvidentemente,loscálculosenestecasosonmástediososqueenlassituacionessin uniones apriori. Seilustraráestamodificación en el siguienteejemplo.

Índices de poder espaciales de Owen 163Ejemplo 4.3.2 Considérese el juego espacial bidimensional con uniones apriori dado porN = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,W m = {S ⊆ N/ |S| =4} ,Q 1 =(0.59, 0.81) ,Q 2 =(0.31, 0.95) ,Q 3 =(0.95, −0.31) ,Q 4 =(0.81, −0.59) ,Q 5 =(0.59, −0.81) ,Q 6 =(−0.59, −0.81) .P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } , donde P 1 = {1, 2} ,P 2 = {3, 4, 5} y P 3 = {6}El conjunto de puntos z de la esfera que no dan lugar a una permutacióncompatible con la estructura de uniones a priori, son los representados enoscuro en el siguiente gráfico.Q 2 Q 4Q 5Q 1 Q 3Q 6Si se calcula el índice de poder espacial mediante el procedimiento descritoanteriormente, se obtiene³f N,v,P, © Q iª ´=(0.107, 0, 0.393, 0.250, 0.107, 0.143) .i∈NLos jugadores con más poder son el 3 yel4. Es de destacar que el jugador2 tiene poder igual a cero porque no existe ningún punto de la esfera quedetermine una permutación compatible con el sistema de uniones a priori enla que sea pívot.

164 Juegos espacialesModificación de ShapleySegún la modificación propuesta por Shapley, un funcional f ∈ R m∗ defineuna permutación de los jugadores de la siguiente forma: un jugador i precedeaotrojugadorj si f (Q i ) 0. Un ejemplo de situación en la que este índice se puede calculareslaquesepuedeverenelgráfico que aparece a continuación. En estecaso el funcional lineal perpendicular a esta familia de hiperplanos paralelosdetermina una permutación de los jugadores compatible con la estructura deuniones apriori(evidentemente, no basta con que haya uno solo, sino quees necesario que μ (K 0 ) > 0).Q 9Q 9 Q 1 Q 2Q 8Q 7Q 6Q 5Q 4Q 3Q 1 Q 2

Índices de poder espaciales de Owen 165Dependiendodelaconfiguración espacial de los puntos ideales, puede resultarbastante laborioso el cálculo del índice anterior. Se ilustrará con un ejemplosencillo.Ejemplo 4.3.3 Considérese el juego espacial bidimensional con uniones apriori dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} ,P = {P 1 ,P 2 } , con P 1 = {1, 3} y P 2 = {2} .donde la situación de los puntos ideales de los jugadores se corresponde conel siguiente gráfico.Q 2bagQ 1 Q 3Teniendo en cuenta la estructura de uniones a priori, las únicas permutacionesde los jugadores que no son compatibles con dicha estructura son:1, 2, 3 y 3, 2, 1 (por ejemplo, la determinada por el funcional representado enel gráfico anterior). Por lo tanto, según lo visto anteriormente para el casono coalicional, se tiene que:³f N,v,P, © Q iª ´=(α/ (α + γ) , 0,γ/(α + γ)) .i∈NEs interesante comentar que aunque el jugador 2 no sea pívot en ninguna delas permutaciones compatibles con la estructura de uniones a priori y, por lotanto, tiene un poder igual a 0, su presencia condiciona el poder espacial delos otros jugadores.Modificación basada en distanciasLas dos modificaciones comentadas anteriormente asignan distintas probabilidadesa las permutaciones de los jugadores en situaciones en las que existe

166 Juegos espacialesuna partición del conjunto de jugadores que determina un sistema de unionesapriori.Estasmodificaciones presentan (al igual que para el caso no coalicional)algún inconveniente, como la dificultad de cálculo y que ciertas permutacionestienen probabilidad nula. A estos problemas, se añade el hechode que para ciertas configuraciones geométricas no es posible calcular lasmodificaciones anteriores ya que siguiendo el proceso de cálculo de las probabilidadesde estas permutaciones, el conjunto que determina permutacionesde los jugadores compatibles con el sistema de uniones tiene medida nula.A continuación, vamos a extender al caso con uniones apriorila modificaciónbasada en distancias. Esta modificación puede calcularse siempre y, además,proporciona probabilidad positiva a todas las posibles permutaciones de losjugadores compatibles con la estructura de uniones. Al igual que en el caso nocoalicional, aquellas permutaciones que tienen mayor longitud, es decir, aquellasen las que para unir los puntos ideales de los jugadores correspondienteses preciso recorrer un camino de mayor longitud, tienen menor probabilidadque aquellas que tienen menor longitud.Denotando por Π (P, N) el conjunto de permutaciones de los jugadores deN compatibles con la estructura de uniones aprioriP , la probabilidad asignadaa una permutación será inversamente proporcional a su longitud. Paranormalizar estas probabilidades, se asigna a una permutación σ ∈ Π (P, N)la siguiente probabilidadP 0 (σ) =1l(σ)Pσ∈Π(P,N)1,l(σ)donde l (σ) es la longitud de la permutación σ. Si Ci 0 es el conjunto de permutacionescompatibles con la estructura de uniones en las que el jugadori es pívot, se define un índice de poder espacial de un jugador i ∈ N en eljuego espacial con uniones apriori ¡ N,v,{Q i } i∈N,P ¢ como la suma de lasprobabilidades de las permutaciones compatibles con la estructura de unionesapriorien las que i es pívot, es decir,³f i N,v, © Q iª ,P´= X P 0 (σ) .i∈Nσ∈Ci 0A diferencia de las modificaciones consideradas anteriormente, ésta puedecalcularse siempre (además, de un modo más sencillo). Para finalizar estasección, se ilustrará este índice de poder espacial con el siguiente ejemplo.

Valores pseudo-probabilísticos 167Ejemplo 4.3.4 Con los datos del ejemplo 4.2.4, se considera la siguientepartición del conjunto de jugadores: P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } , donde P 1 = {1} ,P 2 ={2} y P 3 = {3, 4} . En primer lugar, habría que calcular las longitudes delas 12 permutaciones compatibles con la estructura de uniones a priori (realmentesólo hace falta calcular 6 porque una permutación y la inversa tienen lamisma longitud). Al igual que en el caso no coalicional, se busca qué jugadores el pívot y se calcula el índice de poder espacial definido anteriormente,obteniendo³f N,v,P, © Q iª ´=(0.4707, 0.1823, 0.1544, 0.1925) .i∈N4.4 Valores pseudo-probabilísticosAlgunos de los valores estudiados en esta memoria, como el valor de Banzhafo el valor de Shapley, tienen en común que asignan a cada jugador una sumaponderada de sus contribuciones marginales. La diferencia entre estos valoresreside en las ponderaciones otorgadas a estas contribuciones. Estos valoresse denominan valores probabilísticos. En esta sección se introducirá unanueva familia de valores, que extiende a los valores probabilísticos, a la quese denominará familia de valores pseudo-probabilísticos.Definición 4.4.1 Dada una subfamilia T (N) de TU (N) , una solución f :T (N) −→ R n , se dice que es un valor probabilístico, si para cada jugador i ∈N, existe una distribución de probabilidad {p i S : S ⊆ N\i} sobre el conjuntode coaliciones que no contienen a i, de tal forma que, dado (N,v) ∈ T (N),f i (N,v) = Xp i S [v(S ∪ i) − v (S)] . (4.3)S⊆N\iLos valores de Shapley y Banzhaf son valores probabilísticos. Para el valorde Shapley se tiene que, en la expresión (4.3), para cualquier S ⊆ N\i,p i S = 1 n1¡ n−1s¢ =s!(n − s − 1)!,n!mientras que para el valor de Banzhaf, en la expresión (4.3), para cualquierS ⊆ N\i,p i S = 12 n−1 .

168 Juegos espacialesAlguno de los valores coalicionales que se estudiaron en el capítulo 2 (valorde Owen, valor de Banzhaf-Owen y valor de Banzhaf coalicional simétrico)también son valores probabilísticos.Weber (1988) obtuvo una caracterización de los valores probabilísticos, empleandolas propiedades de linealidad, positividad y títeres. A continuación,se introducirán estas propiedades, para una subfamilia T (N) de TU (N) .Linealidad (LIN). Una solución f : T (N) −→ R n eslinealsiparatodoparde juegos (N,v) ∈ T (N) y (N,w) ∈ T (N) yparatodonúmerorealc>0,se tiene que• f (N,v + w) =f (N,v)+f (N,w),• f (N,cv) =cf (N,v) .Positividad (POS). Una solución f : T (N) −→ R n es positiva si para todojuego monótono (N,v) ∈ T (N) , se tiene quef (N,v) ≥ 0.Títere (TIT). Una solución f : T (N) −→ R n satisface la propiedad detíteressiparatodojuego(N,v) ∈ T (N) yparatodojugadori ∈ N, títereen (N,v) , se tiene quef i (N,v) =v (i) .En Weber (1988) se obtiene una caracterización de los valores probabilísticosen la familia de los juegos TU y en la familia de los juegos simples.Teorema 4.4.1 Una solución f : TU (N) −→ R n es un valor probabilísticosi y sólo si f satisface las propiedades de linealidad, positividad y títeres.Un índice de poder f : S (N) −→ R n es un valor probabilístico si y sólo si fsatisface las propiedades de transferencia, positividad y títeres.Si de las condiciones que deben cumplir las constantes {p i S : S ⊆ N\i} paraobtener un valor probabilístico se elimina la condición de ser positivas, resultanlos valores pseudo-probabilísticos.

Valores pseudo-probabilísticos 169Definición 4.4.2 Dada una subfamilia T (N) de TU (N) , una solución f :T (N) −→ R n , se dice que es un valor pseudo-probabilístico si para cadajugador i ∈ N, existen unas constantes {qS i : S ⊆ N\i} de tal forma queXqS i =1yS⊆N\if i (N,v) = XS⊆N\iq i S [v(S ∪ i) − v (S)] . (4.4)De la definición anterior se deduce inmediatamente que todo valor probabilísticoes un valor pseudo-probabilístico. Un valor pseudo-probabilísticootorga a un jugador una suma de sus contribuciones marginales multiplicadaspor constantes, pero en este caso, la única condición que cumplen estasconstantes es que sumen 1, es decir, no se exige que sean positivas. Estehecho que, en principio, parece extraño, es aplicable en ciertas situacionesen las que un jugador no está interesado en colaborar con alguna coalición.Por ejemplo, en un juego espacial es posible que a un jugador no le interesehacer ganadora a una coalición formada por jugadores cuyos puntos idealesse encuentren alejados de su punto ideal. Esto es debido a que sus intereses,determinados por su posición ideológica, no van a ser compartidos por elresto de los jugadores de esta coalición. Se volverá a incidir en esta idea enla siguiente sección.De modo implícito, en Weber (1988) aparece la demostración de la caracterizaciónde los valores pseudo-probabilísticos en la familia de los juegos TUy en la familia de los juegos simples. Esta caracterización se obtiene a partirde la caracterización de los valores probabilísticos, eliminando la propiedadde positividad. La citada caracterización de Weber se recoge en el siguienteresultado.Teorema 4.4.2 Una solución f : TU (N) −→ R n es un valor pseudoprobabilísticosi y sólo si f satisface las propiedades de linealidad y títeres.Un índice de poder f : S (N) −→ R n es un valor pseudo-probabilístico si ysólo si f satisface las propiedades de transferencia y títeres.A continuación, se proporciona un resultado que caracteriza el valor de lasconstantes {q i S : S ⊆ N\i} que aparecen en la expresión de un valor pseudoprobabilístico,a la vez que proporciona un método recursivo para su cálculo.

170 Juegos espacialesEn este método se emplean las soluciones de los juegos de unanimidad yse empiezan calculando las constantes relativas a las coaliciones de tamañomayor.Teorema 4.4.3 Dado un valor pseudo-probabilístico f : TU (N) −→ R n lasconstantes {qS i : S ⊆ N\i} son de la forma( Pfi (N,u S∪i ) − qqS i Ti si S ⊂ N\i=T/S⊂T ⊆N\i(4.5)f i (N,u N ) si S = N\iDemostraciónEn primer lugar se demostrará que las constantes {qS i : S ⊆ N\i} obtenidasde acuerdo a la expresión (4.5), determinan un valor pseudo-probabilístico,paraloqueessuficiente demostrar que su suma es igual a 1. De la expresión(4.5) se tiene queq∅ i = f i (N,u i ) − XqT i .De donde se deduce quePS⊆N\ii es un títere para el juego (N,u i ) .T ⊆N\iT 6=∅q i S = f i (N,u i )=u i (i) =1, ya que el jugadorAhora, se va a demostrar el recíproco; es decir, dado un valor pseudoprobabilísticof, que puede escribirse de la formaf i (N,v) = XqS i [v(S ∪ i) − v (S)] ,S⊆N\inecesariamente la expresión de las constantes {q i S : S ⊆ N\i} que intervienenen su desarrollo, tiene que ser de la forma (4.5).Si se considera el juego de unanimidad (N,u N ),esevidentequeu N (S ∪ i) −u N (S) =1si y sólo si S ∪ i = N siendo igual a 0 en cualquier otro caso.Teniendo en cuenta la expresión (4.4) es claro que q i N\i = f i (N,u N ) .Dada una coalición S 6= N y un jugador i/∈ S, para el juego de unanimidad(N,u S∪i ) es evidente que u S∪i (T ∪ i) − u S∪i (T )=1si S ⊆ T ⊆ N\i, conlo

Valores pseudo-probabilísticos 171que se obtiene la siguiente igualdad:Xf i (N,u S∪i )= qT i = qS∪i i +T/S⊆T ⊆N\iXT/S⊂T ⊆N\icon lo que la expresión (4.5) es cierta y se finaliza la demostración.¤Corolario 4.4.1 Como casos particulares del teorema anterior se obtieneuna forma recursiva para calcular las constantes que aparecen en las expresionesdel valor de Shapley( 1− Pp i s+1 T si S ⊂ N\ip i S =y del valor de Banzhafp i S =( 12 s −T/S⊂T ⊆N\i1nPp i TT/S⊂T ⊆N\isi S = N\isi S ⊂ N\i1si S = N\i2 n−1q i T ,Más adelante, se presenta un resultado en el que se obtiene una reformulaciónde la propiedad de transferencia, en función de la solución para los juegos deunanimidad de las coaliciones minimales ganadoras. La expresión resultantees similar, en cierto modo, a la fórmula para el cálculo de la probabilidadde la unión de un conjunto de n sucesos. Para demostrar ese resultado sehace necesario el siguiente lema, en el que se prueba que la citada expresiónestá bien definida, en el sentido de que la inclusión de coaliciones ganadorasno minimales no afecta al resultado. Este hecho es similar al que cumple lafórmula de cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos ya que, como esbien sabido, la adición de un suceso contenido en alguno de los originales noafecta al resultado final.Lema 4.4.4 Dado un índice de poder f : S (N) −→ R n , para todo juegosimple (N,v) conW m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m } y W = {S 1 ,S 2 ,... ,S m ,S m+1 ,... ,S p } ,

172 Juegos espacialesse cumple lo siguiente. Para cualquier jugador i ∈ N, las siguientes p−m+1expresiones son equivalentesX ¡ ¢ Xf i N,uSj1 −j 1 ∈M 0Xj 1 ∈M 0Xj 2 ∈M 0j 2 >j 1Xj 1 ∈M 0X¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈M 0j 2 >j 1¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 − ...+j 3 ∈M 0j 3 >j 2(−1) m0 +1 f i¡N,uS1 ∪S 2 ∪...∪S m 0¢, (4.6)donde M = {1, 2,... ,m} ,P = {1, 2,... ,p} y M 0 es cualquier subconjuntotal que M ⊆ M 0 ⊆ P.DemostraciónEn primer lugar, se probará que el resultado es cierto para M y M 0 , donde|M 0 | = m +1. Supongamos que S m+1 = M 0 \M.Como S m+1 no es una coalición minimal ganadora, existirá una coalición S jcon j ≤ m, tal que S j ⊂ S m+1 . Vamos a suponer que j =1,entoncessetieneque probar queXj 1 ∈M 0Xj 2 ∈M 0j 2 >j 1X( Xj 1 ∈M 0 f i¡N,uSj1¢−Xj 1 ∈M 0X¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈M 0j 2 >j 1¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 + ...+(−1)m 0 +1 ¡ ¢f i N,uS1 ∪S 2 ∪...∪S m+1 ) −j 3 ∈M 0j 3 >j 2( X ¡ ¢ Xf i N,uSj1 −j 1 ∈Mj 1 ∈MX¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈Mj 2 >j 1

Valores pseudo-probabilísticos 173Xj 1 ∈MXj 2 ∈Mj 2 >j 1X¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 + ...+(−1) m+1 f i (N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S m))j 3 ∈Mj 3 >j 2toma el valor cero.La diferencia anterior es igual a¡ ¢ X m¡ ¢ X m mX ¡ ¢f i N,uSm+1 − f i N,uSi ∪S m+1 + f i N,uSi ∪S j ∪S m+1 + ...+i=1i=1 j=i+1(−1) m f i¡N,uS1 ∪S 2 ∪...∪S m+1¢.Esta última expresión tiene un total de 2 m términos, de los cuales la mitad2 m−1 incluyen a S 1 , (conjunto A), y el resto de términos (conjunto B), conel mismo cardinal 2 m−1 no incluyen a S 1 .Se puede establecer una biyección entre los términos del conjunto A y los delconjunto B, de forma que al término f i (N,u S ) ∈ B se le hace corresponderf i (N,u S∪S1 ) ∈ A, esdecirB ←→ Af i (N,u S ) ←→ f i (N,u S∪S1 )Como S m+1 ⊆ S y S m+1 ⊇ S 1 ,setienequeS ∪ S 1 = S, por lo tanto,f i (N,u S )=f i (N,u S∪S1 ) ,como estos términos aparecen con distinto signo en la expresión anterior, éstase hace igual a 0.Trivialmente, por hipótesis de inducción, se cumple el resultado para cualquiervalor de M 0 tal que M ⊆ M 0 ⊆ P .¤A continuación, se obtiene el resultado anunciado anteriormente. En elsiguiente teorema se demuestra que para un índice de poder es equivalenteque cumpla la propiedad de transferencia o que coincida con la expresión(4.6). Con esto, se tiene que todos los valores probabilísticos y pseudoprobabilísticosdefinidos en la clase de juegos simples admiten dicha expresión.

174 Juegos espacialesTeorema 4.4.5 Un valor f : S (N) −→ R n cumple la propiedad de transferenciasi y solo si dado un juego simple (N,v) tal que W m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m } ,asigna a cada i ∈ N la siguiente cantidadf i (N,v) = X ¡ ¢ Xf i N,uSj1 −Xj 1 ∈Mj 1 ∈MXj 2 ∈Mj 2 >j 1Xj 1 ∈MX¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈Mj 2 >j 1¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 − ...+ (4.7)j 3 ∈Mj 3 >j 2donde M = {1, 2,... ,m} .Demostración(−1) m+1 f i (N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S m) ,Supóngase un valor f : S (N) −→ R n que satisfaga la propiedad de transferencia.Dado un juego simple (N,v), con conjunto de coaliciones minimales ganadorasW m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m } , puede escribirse de la siguiente formav = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm .La demostración se hará por inducción en el cardinal del conjunto W m .Si m =1la expresión (4.7) es cierta trivialmente.Supóngase que el resultado es cierto para cualquier valor desde 1 hasta m−1,se probará que es cierto para m.En ese caso v = u S1 ∨u S2 ∨...∨u Sm = v 0 ∨u Sm donde v 0 = u S1 ∨u S2 ∨...∨u Sm−1 ,como f satisface la propiedad de transferencia, se tiene que:f (N,v) =f (N,v 0 ∨ u Sm )=f (N,v 0 )+f (N,u Sm ) − f (N,v 0 ∧ u Sm ) . (4.8)Los tres términos que aparecen en la parte derecha de la expresión (4.8) secorresponden con juegos donde el número de coaliciones minimales ganadoras

Valores pseudo-probabilísticos 175es menor o igual que m − 1. Empleando la hipótesis de inducción y el lema4.4.4 se obtiene la expresión enunciada en elteoremayaqueelconjuntodecoaliciones minimales ganadoras del juego (N,v 0 ∧ u Sm ) es un subconjuntode{S 1 ∪ S m ,S 2 ∪ S m ,... ,S m−1 ∪ S m } .Para probar el recíproco, supóngase que un valor f : S (N) −→ R n asigna acada juego (N,v) la cantidad dada por la expresión (4.7). Para probar que fsatisface la propiedad de transferencia, tendría que probarse que dados dosjuegos simples (N,v) , (N,w) se cumple la siguiente igualdadf (N,v)+f (N,w) =f (N,v ∨ w)+f (N,v ∧ w) .Por ser v y w juegossimplespuedenescribirsedelaforma:v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Smy w = u Sm+1 ∨ u Sm+2 ∨ ...∨ u Sm+rLa demostración se hará por inducción en m y r.Para m =1y r =1, se tiene que v = u S y w = u T .Comou S ∧ u T = u S∪T ,la expresión (4.7) es equivalente a:f (N,u S ∨ u T )=f (N,u S )+f (N,u T ) − f (N,u S ∧ u T ) .Se supone entonces que f satisface la propiedad de transferencia para losvalores (1, 1) , (2, 1) ,... ,(k − 1, 1) del par (m, r) y se va a probar que escierto para (k, 1). Se tiene entonces que:Como f satisface (4.7),Xk+1f(N,v ∨ w) =v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sk−1 ∨ u Sk y w = u Sk+1 .j 1 =1f ¡ ¢ Xk+1N,u Sj1 −Xk+1j 1 =1 j 2 =j 1 +1f ¡ N,u Sj1 ∪S j2¢+Xk+1Xk+1Xk+1j 1 =1 j 2 =j 1 +1 j 3 =j 2 +1f ¡ N,u Sj1 ∪S j2 ∪S j3¢− ...+

176 Juegos espaciales(−1) k f ¡ ¢N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S k+1 .Por otro lado:f (v)+f (w) − f(v ∧ w) =f (v)+f (w) − f((u S1 ∧ u Sk+1 ) ∨ ¡ u S2 ∧ u Sk+1¢∨ ...∨ (uSk ∧ v Sk+1 )) =f(v)+f(w) − f(u S1 ∪S k+1∨ u S2 ∪S k+1∨ ...∨ u Sk ∪S k+1)=kXf ¡ ¢kX kXN,u Sj1 − f ¡ ¢N,u Sj1 ∪S j2 +j 1 =1j 1 =1 j 2 =j 1 +1kX kX kXf ¡ ¢N,u Sj1 ∪S j2 ∪S j3 − ...+j 1 =1 j 2 =j 1 +1 j 3 =j 2 +1(−1) k+1 f (N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S k)+f ¡ ¢kXN,u Sk+1 − f(N,u Sj1 ∪S k+1)+j 1 =1kXkXj 1 =1 j 2 =j 1 +1f(N,u Sj1 ∪S j2 ∪S k+1) − ...+(−1) k f ¡ N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S k+1¢.que es igual a f (N,v ∨ w). Con lo que está demostrado que el resultado secumple para cualquier par de la forma (m, 1), para cualquier valor de m.Para finalizar, supóngase que es cierto para un par (m, r), habríaquedemostrarque es cierto para (m, r +1). Tomemos entoncesv = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm y w = u Sm+1 ∨ u Sm+2 ∨ ...∨ u Sm+r ∨ u Sm+r+1 .

Valores pseudo-probabilísticos 177El juego w puede escribirse de la siguiente formaw = w 1 ∨ w 2 conw 1 = u Sm+1 ∨ u Sm+2 ∨ ...∨ u Sm+r y w 2 = u Sm+r+1 .Por lo demostrado anteriormente, se tiene quef(N,v)+f(N,w) =f(N,v)+f(N,w 1 ∨ w 2 )=f (N,v)+f(N,w 1 )+f (N,w 2 ) − f(N,w 1 ∧ w 2 ).Conloqueseríasuficiente demostrar que es cierta la igualdadf(N,v ∨ w)+f(N,v ∧ w) =f (N,v)+f(N,w 1 )+f (N,w 2 ) − f(N,w 1 ∧ w 2 ). (4.9)En primer lugar, desarrollando f(N,v ∨ w)f(N,v ∨ w) =f (N,v ∨ w 1 ∨ w 2 )=f(N,v ∨ w 1 )+f (N,w 2 ) − f(N,(v ∨ w 1 ) ∧ w 2 )=f(N,v)+f(N,w 1 ) − f(N,v ∧ w 1 )+f(N,w 2 ) − f(N,(v ∧ w 2 ) ∨ (w 1 ∧ w 2 )) =f(N,v)+f(N,w 1 ) − f(N,v ∧ w 1 )+f(N,w 2 ) −f(N,v ∧ w 2 ) − f(N,w 1 ∧ w 2 )+f(N,v ∧ w 1 ∧ w 2 ).Desarrollando ahora f(N,v ∧ w)f(N,v ∧ w) =f(N,v ∧ (w 1 ∨ w 2 )) = f(N,(v ∧ w 1 ) ∨ (v ∧ w 2 )) =f(N,v ∧ w 1 )+f(N,v ∧ w 2 ) − f(N,v ∧ w 1 ∧ w 2 ).Sumando estos dos últimas ecuaciones se cumple la igualdad (4.9) que sequería demostrar.¤

178 Juegos espacialesCorolario 4.4.2 Los índices de Shapley-Shubik y de Banzhaf-Coleman deun jugador i ∈ N, en el juego simple (N,v) donde W m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m }vienen dados por:Xj 1 ∈MXj 1 ∈MSj −11(i) − Xj 1 ∈MXj 2 ∈Mj 2 >j 1XX(S j1 ∪ S j2 ) −1 (i)+j 2 ∈Mj 2 >j 1(S j1 ∪ S j2 ∪ S j3 ) −1 (i) − ...+j 3 ∈Mj 3 >j 2donde M = {1, 2,... ,m} y,(−1) m+1 (S j1 ∪ S j2 ∪ ...∪ S jm ) −1 (i) ,S −1 (i) =½ 1|S|si i ∈ S0 si i/∈ Spara el índice de poder de Shapley-Shubik y,½ 1S −1 si i ∈ S(i) = 2 |S|−1 0 si i/∈ Spara el índice de poder de Banzhaf-Coleman.4.5 La propiedad de simetría espacialA continuación se van a caracterizar diversos índices de poder espaciales empleandopropiedades comunes con otros índices de poder y una modificaciónde la propiedad de simetría, a la que se denominará propiedad de simetríaespacial.En la segunda sección de este capítulo, se estudiaron modificaciones del índicede poder de Shapley-Shubik que daban lugar a varios índices de poder espaciales.En esas modificaciones se definíaunaformadeelegirlasdistintasprobabilidades de las permutaciones de los jugadores. En esta sección, se vaaseguirconunalíneamássimilaralaempleadaenelrestodeestamemoria.

La propiedad de simetría espacial 179Se propondrán diversas propiedades que se consideran adecuadas en el contextode los juegos espaciales, para demostrar a continuación, que sólo hayun índice de poder espacial que las satisface.En el primer capítulo se estudiaron diversos índices de poder para la familiade juegos simples, en particular, los índices de poder de Shapley-Shubik,Banzhaf-Coleman y Deegan-Packel. De entre las propiedades que caracterizabanestos índices de poder, las de eficiencia, poder total, transferencia,fusión y jugador nulo, en principio, parece que siguen siendo adecuadas enel contexto de los juegos espaciales. Esto es debido a que la introducción delos puntos ideales no afecta a la naturaleza de estas propiedades. No puededecirse lo mismo de la propiedad de simetría, porque dentro del modelo delos juegos espaciales, el poder que tienen los jugadores simétricos para eljuego simple no tiene por qué coincidir. En un juego espacial, el poder de unjugador estará condicionado por la situación de su punto ideal.En un juego de unanimidad u S , parece lógico suponer que el poder de unjugador i ∈ S será mayor si su punto ideal se encuentra en una posicióncercana al resto de las posiciones de los jugadores de S. Portanto,elpoderque tienen dos jugadores de S en el juego de unanimidad u S es inversamenteproporcional a la suma de las distancias de sus puntos ideales a los puntosideales del resto de los jugadores de S. Según esto, en un juego de unanimidad,los jugadores del soporte con objetivos situados en posiciones más“centrales” tendrán mayor poder. Con esta idea, se define la propiedad desimetría espacial.Definición 4.5.1 Un índice espacial de poder f : E ¡ ¢N, {Q i } i∈N −→ Rnsatisface la propiedad de simetría espacial si para cualquier juego de unanimidadu S , y para cualquier par de jugadores, l ∈ S, m ∈ S, se tiene que:f l³N,u S , © Q iª ´ Xd(Q l ,Q k )=fi∈Nm³N,u S , © Q iª ´ Xd(Q m ,Q k ).i∈Nk∈Sk∈SPropiedades similares a la anterior, que pueden entenderse como propiedadesde “simetría ponderada para jugadores del soporte en juegos de unanimidad”,se emplean en Bilbao (1998) y Bilbao et al. (1998) para obtener caracterizacionesde los valores de Shapley y de Banzhaf en geometrías convexas.Queremos hacer notar que la propiedad anterior no determina que si dos

180 Juegos espacialesjugadores son simétricos entonces siempre tendrá mayor poder aquel jugadorcuyo punto ideal se encuentre en una posición central. Esto ocurrirá en losjuegos de unanimidad, pero no necesariamente para todos los juegos simples.Empleando la propiedad de simetría espacial, en lugar de la propiedad desimetría, se van a obtener tres índices de poder espaciales: los índices depoder simétricos espaciales de Shapley-Shubik, Banzhaf-Coleman y Deegan-Packel. La diferencia que presentan estos índices de poder espaciales respectoa los índices de poder originales es la forma de repartir el poder entre losjugadoresdeunsoporteenlosjuegosdeunanimidad.Para simplificar la escritura de los distintos resultados que se van a enunciar,se empleará la siguiente notación. Dado un juego (N,v) y una coaliciónS ⊆ N, lafunciónd −1S: N −→ R asigna a cada jugador j ∈ N la siguientecantidad:d −11Xd(Q⎧⎪ k ,Q j )k∈S ⎨ XS (j) = 1Xi∈S d(Q k ,Q i )⎪ ⎩k∈Ssi j ∈ S, S 6= {j}0 si j/∈ S1 si S = {j}A la vista de la expresión anterior, se ve que la función d −1S: N −→ Res una función normalizada que asigna a cada jugador de S una cantidadinversamente proporcional a la distancia de su punto ideal al resto de lospuntos de los jugadores de S, mientras que asigna 0 a los jugadores que noestán en S. Puede interpretarse como una medida de la cercanía de cadajugador j ∈ N a la coalición S. Esta función está directamente relacionadacon la propiedad de simetría espacial.En el siguiente resultado se caracteriza un índice de poder espacial, sustituyendola propiedad de simetría por la propiedad de simetría espacial en lacaracterización del índice de poder de Shapley-Shubik (ϕ).Teorema 4.5.1 Existe un único índice de poder f : E ¡ N, {Q i } i∈N¢−→ Rnque verifica las propiedades de eficiencia, jugador nulo, simetría espacial y

La propiedad de simetría espacial 181transferencia. Dado un juego espacial (N,v,{Q i } i∈N),estasoluciónasignaa cada jugador l ∈ N el número real:³fl1 N,v, © Q iª ´=i∈NmXi=1d −1S i(l) −mXmXi=1 j=i+1d −1S i ∪S j(l)+mXDemostraciónUnicidad:mXmXi=1 j=i+1 k=j+1d −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 d −1 mSi=1S i(l) ,Dado un juego espacial (N,v, {Q i } i∈N), existe un número finito m de coalicionesminimales ganadoras S 1 ,S 2 ,... ,S m , por lo que el juego v puedeescribirse de la siguiente forma:v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm .Se definen dos índices n 1 (v) y n 2 (v) del siguiente modo:n 1 (v) =min{p ∈ N/existe una coalición minimal ganadora T con |T | = p} ,tamaño de la coalición minimal ganadora más pequeña,n 2 (v) =número de coaliciones minimales ganadoras T tales que |T | = n 1 (v) .La demostración de este resultado se hace por inducción en n 1 (v) y n 2 (v).Para n 1 (v) =n, v = u N y n 2 (v) =1, en cuyo caso una solución f que satisfagalas propiedades de eficiencia, jugador nulo y simetría espacial, necesariamenteasigna a un jugador j ∈ N, lacantidadf j (N,u N , © Q iª i∈N )=d−1 N (j) .Supóngase que se ha probado que la solución es única cuando n 1 (v) =k +1,k+2,... ,ny n 2 (v) =1, habría que probar que la solución es única cuandon 1 (v) =k y n 2 (v) =1.

182 Juegos espacialesSea S la única coalición minimal ganadora con k jugadores. Si S es la únicacoalición minimal ganadora, entonces v = u S y por la propiedades de simetríaespacial, eficiencia y jugador nulo, necesariamente la solución para un jugadorj ∈ N, tiene que venir dada porf j (N,u S , © Q iª i∈N )=d−1 S (j) .Para demostrar la unicidad en el caso de que n 2 (v) > 1, se procede como enla demostración de la unicidad del índice de poder de Shapley-Shubik en lafamilia de los juegos simples, que aparece en Dubey (1975), ya que en estemomento sólo se necesita la propiedad de transferencia.Existencia:Dado un juego espacial (N,v,{Q i } i∈N) existe un número finito m de coalicionesminimales ganadoras S 1 ,S 2 ,... ,S m de tal forma que el juego v sepuede escribir de la siguiente formav = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm .Seconsideralafunciónf 1 : E ¡ N,{Q i } i∈N¢−→ R n , que asigna a un jugadorl ∈ N, la siguiente cantidadf 1 l+³N,v, © Q iª ´=i∈NmXmXmXi=1 j=i+1 k=j+1mXi=1d −1S i(l) −mXmXi=1 j=i+1d −1S i ∪S j(l)d −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 d −1 mSi=1S i(l) .Acontinuación,secomprobaráqueesteíndicedepoderverifica las propiedadesde jugador nulo, eficiencia y simetría espacial, ya que por el teorema 4.4.5satisface la propiedad de transferencia.Jugador nulo:Sea i ∈ N, jugador nulo. Entonces i/∈ S j , para todo j =1, 2,... ,m yparacualquier R ⊆ {1, 2,... ,m} ,i /∈ S S j . Por tanto, d −1 SS j(i) =0, con lo quej∈Rj∈R¡ ¢N,v,{Q i } i∈N =0.f 1 i

La propiedad de simetría espacial 183Eficiencia:Dado un juego espacial (N,v, {Q i } i∈N) con W m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m }.Si m =1el resultado es trivial.Sea S = S 1 ∪ S 2 ∪ ...S m , con m>1. Cualquier i/∈ S es un jugador nulo.Por tanto,Xfl1l∈N³N,v, © Q iª ´= X i∈Nl∈S³fl1 N,v, © Q iª ´=i∈NXl∈SmXi=1d −1S i(l) − X l∈SmXmXi=1 j=i+1d −1S i ∪S j(l)+Xl∈SmXmXmXi=1 j=i+1 k=j+1d −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 X l∈Sd −1 mSi=1S i(l) =mX Xd −1S i(l) −i=1l∈SmXmXXi=1 j=i+1 l∈Sd −1S i ∪S j(l)+mXmXmXXi=1 j=i+1 k=j+1 l∈Sd −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 X l∈Sd −1 mSi=1S i(l) =mX1 −i=1mX mX1+i=1 j=1+1mX mX mX1 − ...+(−1) m+1 =i=1 j=1+1 k=j+1µ µ µ µ m m m m− + − + ...±1 2 3 4µ mm.

184 Juegos espaciales¡Aplicando repetidamente la fórmula de Stiegel: m¡n¢=m−1n−1expresión anterior puede escribirse de la forma:µ µ µ µ m − 1 m − 1 m − 1 m − 1+ − − +0 1 1 2µ µ µ µ m − 1 m − 1 m − 1 m − 1+ − − + ...±2 3 3 4µ m − 1±m − 1¢+¡ m−1n¢,laµ m − 1=mµ µ m − 1 m − 1± =1.0 mPropiedad de simetría espacial:Dado un juego espacial (N,u S , {Q i } i∈N), dados dos jugadores l ∈ S, m ∈ Sse tiene que³fl1 N,u S , © Q iª ´= d −1i∈N S(l)f 1 m³N,u S , © Q iª ´= d −1i∈N S (m) .Por lo que³fl1 N,u S , © Q iª ´ Xd ¡ Q l ,Q k¢ = f 1 i∈Nmk∈S³N,u S , © Q iª i∈N´ Xd ¡ Q m ,Q k¢ .¤k∈SEjemplo 4.5.1 Dado el juego espacial bidimensional del ejemplo 4.1.1 conpuntos ideales y coaliciones minimales ganadoras representados en el siguientegráficoQ 2Q 3Q 1 Q 4

La propiedad de simetría espacial 185Se tiene que el índice de poder espacial caracterizado en el teorema anteriores igual a:f³N,v, © 1 Q iª ´=(0.602, 0.098, 0.2085, 0.0915) .i∈NDe acuerdo con este índice, el jugador con mayor poder espacial es el 1,debido a su papel “dominante” en la función característica. Después deljugador 1, el jugador con mayor poder espacial es el 3, que ocupa una posicióncentral dentro de la coalición minimal ganadora {2, 3, 4}.En el siguiente ejemplo se demuestra que el índice anterior puede asignar unvalor negativo a alguno de los jugadores queintervienenenunjuegoespacial.Ejemplo 4.5.2 Supóngase un juego espacial bidimensional ¡ ¢N,v,{Q i } i∈N ,dado porN = {1, 2, 3, 4} ,W m = {{1, 2, 3} , {1, 2, 4}} ,y donde la configuración espacial de los puntos ideales {Q i } i∈Nes la siguienteQ 2Q 3Q 4Q 1Q 4(es decir, las distancias d (Q 1 ,Q 2 ) y d (Q 3 ,Q 4 ) son muy pequeñas si las comparamoscon las distancias d (Q 1 ,Q 3 ), d (Q 1 ,Q 4 ) ,d(Q 2 ,Q 3 ) y d (Q 2 ,Q 4 )).El índice de poder espacial definido anteriormente es igual a:f³N,v, © 1 Q iª ´=(11/20, 11/20, −1/20, −1/20) .i∈NLos jugadores 3 y 4 tienen poder negativo. En este caso, el conjunto de coalicionesminimales ganadoras no es coherente con la configuración geométricade los puntos ideales. Como los puntos ideales de los jugadores 1 y 2 estánpróximos, tienen mayor poder espacial en los juegos de unanimidad de lascoaliciones {1, 2, 3} y {1, 2, 4} que los jugadores 3 y 4. Si los jugadores 3 y4 no hiciesen ganadora a la coalición formada por los jugadores 1 y 2, demodo individual, los cuatro jugadores tendrían el mismo poder espacial. Losjugadores 3 y 4 no se están comportando de forma adecuada a sus interesesal convertir en ganadora a la coalición {1, 2}.

186 Juegos espacialesEn el siguiente resultado se caracteriza un índice de poder espacial, sustituyendolapropiedaddesimetríaporladesimetríaespacialenlacaracterizacióndel índice de poder de Banzhaf-Coleman. Se omite la demostraciónde este resultado por emplear argumentos similares a los empleados en elteorema 4.5.1.Teorema 4.5.2 Existe un único índice de poder f : E ¡ N, {Q i } i∈N¢−→ Rnque verifica las propiedades de poder total, jugador nulo, simetría espacial ytransferencia. Dado un juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢, esta solución asignaa cada jugador l ∈ N el número real:+f 2 lmX³N,v, © Q iª ´=i∈NmXmXi=1 j=i+1 k=j+1mXi=1|S i | d −1S i(l)−2 |S i|−1mXmXi=1 j=i+1|S i ∪ S j | d −1S i ∪S j(l)2 |S i∪S j |−1mS¯¯¯¯|S i ∪ S j ∪ S k | d −1i=1S i ∪S j ∪S k(l)2 |S i∪S j+ ...+(−1) m+1 ∪S k |−1S i¯¯¯¯ d −1 mS (l)S i2¯mSi=1i=1S i¯¯¯¯¯−1,donde M (v) ={S 1 ,S 2 ,... ,S m } .Al igual que el índice espacial de poder caracterizado en el teorema 4.5.1, esteíndice satisface la propiedad de transferencia, por lo que queda determinadoconociendo la solución para los juegos de unanimidad. Para un juego deunanimidad u S , es inmediato probar que la única solución que satisface lapropiedad de poder total, jugador nulo y simetría espacial es:³fl2 N,u S , © Q iª ´|S| d−1S= (l) .i∈N2 |S|−1Corolario 4.5.1 Los índices de poder espaciales definidos en los teoremas4.5.1 y 4.5.2 son valores pseudo-probabilísticos.La expresión de las constantes para los dos valores anteriores vienen dadaspor las siguientes expresiones. Para el definido en el teorema 4.5.1,( d−1qS l S∪l (l) − PqTl si S ⊂ N\l=T/S⊂T ⊆N\l(l) si S = N\ld −1N

La propiedad de simetría espacial 187mientras que para el definido en el teorema 4.5.2, las constantes vienen dadaspor la expresión⎧⎨qS l =⎩(|S|+1)d −1S∪l (l)2 |S| −PqTlT/S⊂T ⊆N\lsi S ⊂ N\lnd −1N (l)2 n−1 si S = N\lEn el ejemplo 4.5.2, en el que los jugadores 3 y 4 tenían poder espacialnegativo, puede comprobarse ³ ´ que la constante referente a la coalición {1, 2}para el jugador 3 q{1,2}3 es igual a −1/5; por lo que este jugador no estaríainteresado en hacer ganadora a esta coalición.Sustituyendo la propiedad de simetría por la de simetría espacial en la caracterizacióndel índice de poder de Deegan-Packel se obtiene un nuevo índicede poder espacial. Al igual que para el anterior, se omite la demostración deeste resultado por ser análoga a las vistas anteriormente.Teorema 4.5.3 Existe un único índice de poder f : E ¡ N,{Q i } i∈N¢−→ Rnque verifica las propiedades de eficiencia, jugador nulo, simetría espacial yfusión.En este caso, el índice de poder no es un valor pseudo-probabilístico porqueno satisface la propiedad de transferencia. Es fácil comprobar que dado unjuego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢este índice de poder asigna a cada jugadorl ∈ N, la cantidad³fl3 N,v, © Q iª ´=i∈N1|M (v)|XS∈M l (v)d −1S (l) ,es decir, en este caso los jugadores que forman parte de una coalición minimal1ganadora S, en lugar de repartir en partes iguales, lo hacen en base a las|M(v)|distancias entre sus puntos ideales, de acuerdo con la propiedad de simetríaespacial.Para finalizar, en el siguiente ejemplo calculamos los tres índices de poderespacial que satisfacen la propiedad de simetría espacial definidos en estasección.

188 Juegos espacialesEjemplo 4.5.3 En Schofield et al. (1998) se hace una revisión de los resultadosde algunas elecciones que tuvieron lugar en Alemania y Holanda en lasúltimas tres décadas, presentando en algunos casos, las posiciones ideológicasde los partidos que se presentaron a estas elecciones. Vamos a emplear losresultados electorales de las elecciones alemanas de 1980, en las que obtuvieronrepresentación los partidos CDU (Jugador 1: Demócratas cristianos)con 226 escaños, FDP (Jugador 2: Liberales) con 53 escaños y SPD (Jugador3: Social Demócratas) con 218 escaños. Las posiciones ideológicas,que determinan el punto ideal de cada partido en un espacio bidimensional,fueron obtenidas por Martin and Quinn (1997). El eje X se corresponde conla dimensión económica y el eje Y con la dimensión social.Las coordenadas de los partidos en estas dimensiones son las siguientes: lasde CDU son: (0.55, 0.40) , las de FPD son (−0.35, −0.30) ylasdeSPD(−1.23, −0.90) . Sus puntos ideales están representados en el siguiente gráfico:21CDU0FDP-1SPD-2-2 -1 012Aunque la diferencia de escaños es grande, los tres partidos son simétricostanto si consideramos el juego de unanimidad (son necesarios todos los votospara ganar una votación) o el juego de mayoría (para ganar una votación esnecesario obtener el voto favorable de por lo menos la mitad más uno de losmiembros del Parlamento).Si calculamos el poder de los jugadores utilizando el índice caracterizado enel teorema 4.5.1, obtenemosf³N,v, © 1 Q iª ´=(0.281, 0.410, 0.309) , (4.10)i∈N

La propiedad de simetría espacial 189en el caso de unanimidad yf³N,v, © 1 Q iª ´=(0.438, 0.180, 0.382) , (4.11)i∈Nen el caso de mayoría simple.Empleando el índice caracterizado en el teorema 4.5.2, obtenemosf³N,v, © 2 Q iª ´=(0.2108, 0.3075, 0.2318) , (4.12)i∈Nen el caso de unanimidad yf³N,v, © 2 Q iª ´=(0.5784, 0.3850, 0.5364) , (4.13)i∈Nen el caso de mayoría simple.Finalmente, con el índice caracterizado en el teorema 4.5.3, obtenemosf³N,v, © 3 Q iª ´=(0.281, 0.410, 0.309) , (4.14)i∈Nen el caso de unanimidad yf³N,v, © 3 Q iª ´=(0.333, 0.333, 0.333) , (4.15)i∈Nen el caso de mayoría simple.En primer lugar vamos a analizar las diferencias entre (4.10) y (4.11). Eljugador más poderoso en el caso de unanimidad es el jugador con punto idealmás central. La idea intuitiva de este hecho reside en que por ser necesarioque todos los jugadores se pongan de acuerdo, un punto ideal situado en unasituación intermedia otorga mayor poder al jugador correspondiente. Sinembargo, en el caso de mayoría, este jugador pasa a ser el menos poderoso,a pesar de que los tres jugadores (al igual que en el caso de unanimidad)son jugadores simétricos. Una interpretación coherente con estos resultadosaparece en Binmore (1994). Su idea trasladada a este ejemplo es lasiguiente: teniendo en cuenta que los tres jugadores son simétricos, el CDUatraería tanto a los votantes situados a la derecha de su punto ideal comoa la mitad de los situados entre su punto ideal y el del FDP (algo similarpasaría con el SPD pero hacia la izquierda). Según esto, el FDP sería el

190 Juegos espacialesjugador con menos poder. Evidentemente, ésta es sola una de las posiblesinterpretaciones y podrían buscarse otras en diferente sentido. Entre la literaturasobre interpretaciones de índices de poder destacamos los libros deEnelow y Hinich (1984) y Taylor (1995) y la colección de trabajos editadospor Holler (1981).Un comentario similar valdría para analizar las diferencias entre (4.12) y(4.13), sólo que en este caso la solución no es eficiente y el poder total esmayor en el caso de mayoría. En cuanto al índice de poder espacial f 3 ,este coincide con f 1 en el caso de unanimidad ((4.10) y (4.14)), ya que laspropiedades que determinan estas soluciones en estos juegos son las mismas.En el juego de mayoría (4.15), los tres jugadores tienen el mismo poder. Estoes debido a que en esta solución sólo intervienen las coaliciones minimalesganadoras (en este caso, constituidas por dos jugadores) y que la propiedadde simetría espacial coincide con la propiedad de simetría cuando intervienencoaliciones de 2 jugadores.

ConclusionesEn este trabajo se estudian diversas soluciones en el contexto de los juegoscooperativos con utilidad transferible. Algunas de estas soluciones ya habíansido estudiadas en otros trabajos y lo que se propone son nuevas propiedadeso nuevas herramientas de cálculo en diversas situaciones. En otras ocasiones,se definen nuevas soluciones que se caracterizan empleando propiedades yautilizadas en otros trabajos y algunas que se presentan en esta memoria.La mayoría de las soluciones estudiadas se aplican en situaciones en las que lacooperación entre los jugadores se encuentra condicionada. Por lo tanto, setrabaja en contextos en los que existe cierta información adicional a la proporcionadapor la función característica del juego. Estos condicionamientosvienen dados por la existencia de una estructura de cooperación aprioridadapor una partición del conjunto de jugadores, por restricciones en la comunicaciónentre los jugadores determinadas por un grafo o por la informaciónadicional que proporciona la asociación a cada jugador de un punto en unespacio euclídeo. Estos tres condicionamientos se abordan en los capítulos 2,3 y 4 de esta memoria.En el capítulo 1 se hace una revisión de los conceptos básicos relativos a lateoría de los juegos con utilidad transferible y, en particular, de los juegossimples, considerando los valores de Shapley y Banzhaf y el índice de poderde Deegan-Packel. La aportación original a este capítulo reside en una nuevacaracterización del índice de poder de Deegan-Packel, así como su cálculoempleando la extensión multilineal y la función generatriz.El capítulo 2 está dedicado al estudio de juegos con uniones apriori. Paraempezar se hace una revisión de los principales resultados referentes al valorde Owen. A continuación, se presenta una nueva caracterización del valorde Banzhaf-Owen y se definen y caracterizan un nuevo valor coalicional de191

192 ConclusionesBanzhaf y dos índices de poder coalicionales de Deegan-Packel. Además, sedescriben los procedimientos de cálculo a partir de la extensión multilinealdel juego para el valor de Banzhaf coalicional simétrico y para los dos índicesde poder coalicionales de Deegan-Packel. Como aportación final en este capítulo,para todos los valores considerados, se presenta un procedimiento decálculo para juegos de mayoría ponderada basado en la utilización de funcionesgeneratrices. A lo largo del capítulo se proporcionan numerosos ejemplospara ilustrar los valores estudiados, así como para hacer comparacionesentre ellos.En el capítulo 3 se estudian situaciones en las que la cooperación entre losjugadores está limitada por la presencia de un grafo de comunicación. Elvalor de Myerson es la extensión del valor de Shapley en este contexto. Eneste capítulo se caracterizan extensiones del valor de Banzhaf y del índice depoder de Deegan-Packel para situaciones con comunicación restringida.Finalmente, el capítulo 4 está dedicado al estudio de los juegos espaciales,que son juegos simples en los que cada jugador tiene asociada una posiciónen un espacio ideológico. En primer lugar, se hace una revisión de los resultadosobtenidos por Shapley y Owen en este contexto. A continuación sepropone una nueva modificación para el índice de poder de Shapley-Shubik,así como las extensiones de varios índices al caso con uniones apriori.Másadelante, se introduce una familia de valores, para la que se obtienen diversosresultados, que extiende a la familia de valores probabilísticos y a los quese denomina valores pseudo-probabilísticos. Para finalizar, se propone unanueva propiedad, denominada propiedad de simetría espacial. A partir deella, se definen y caracterizan nuevos índices de poder espaciales, alguno delos cuales pertenece a la familia de valores pseudo-probabilístico.Evidentemente, el estudio de los puntos anteriores puede ampliarse o inclusodeterminar nuevas líneas de investigación. Así, el trabajo futuro podría encaminarsehacia:• La modificación de los valores anteriores para aquellos juegos en losque existan jugadores incompatibles.• El análisis de los juegos espaciales con comunicación restringida.

Conclusiones 193• La obtención de los valores que extiendan el valor de Banzhaf-Owen oel valor de Banzhaf coalicional simétrico para situaciones con comunicaciónrestringida.• El estudio de los valores pseudo-probabilísticos en situaciones con unionesapriori.Para finalizar, en las siguientes tablas se resumen las caracterizaciones obtenidaspara los distintos valores estudiados en esta memoria, comparándolascon otras existentes en la literatura (si procede).Valor deShapleyEficienciaSimetríaMonotonía fuerteÍndice de poder deShapley − ShubikEficienciaJugador nuloSimetríaTransferenciaÍndice de poder deDeegan − PackelEficienciaSimetríaJugador nuloFusiónValor deBanzhafPoder totalSimetríaMonotonía fuerteÍndice de poder deBanzhaf − ColemanPoder totalJugador nuloSimetríaTransferenciaÍndice de poder deDeegan − PackelEficienciaSimetríaJugador nuloMonotonía minimalValor deBanzhaf− OwenValor coalicional de BanzhafIndiferencia en las unionesJuegococienteparacoalicionesdeunjugador

194 ConclusionesValor deOwenEficienciaJugador nuloSimetría encada uniónSimetría enel cocienteAditividadV alor de Banzhafcoalicional simétricoPoder totalcoalicionalJugador nuloSimetría encada uniónSimetría enel cocienteAditividadValor deOwenValor coalicional de ShapleyContribuciones equilibradasen las unionesJuego cocienteValor deBanzhafcoalicional simétricoValor coalicional de BanzhafContribuciones equilibradasen las unionesJuego cocienteValor deOwenEficienciaJugador nuloContribuciones equilibradasen las unionesSimetría en el cocienteAditividadValor deBanzhafcoalicional simétricoPoder total coalicionalJugador nuloContribuciones equilibradasen las unionesSimetría en el cocienteAditividadValor deOwenEficienciaSimetría en cada uniónSimetría en el cocienteMonotonía fuerteV alor de Banzhafcoalicional simétricoPoder total coalicionalSimetría en cada uniónSimetría en el cocienteMonotonía fuerte

Conclusiones 195Índice de poder deDeegan − P ackel coalicionalEficienciaJugador nuloSimetría en cada uniónSimetría fuerteFusiónÍndice de poder de DeeganP ackel coalicional simétricoEficienciaJugador nuloSimetría en cada uniónSimetría en el cocienteIndependencia de coaliciones nominimales en el cocienteFusión en uniones aprioriFusión en el cocienteÍndice de poder deDeegan − P ackel coalicionalValor coalicional deDeegan-PackelContribuciones equilibradasen las unionesFamilia de los juegos cociente asociadaÍndice de poder de DeeganP ackel coalicional simétricoValor coalicional deDeegan-PackelContribuciones ponderadasen las unionesJuego cocienteValor deMyersonV alor de Banzhafcon comunicaciónrestringidaÍndice de poder deDeegan − Packelcon comunicaciónrestringidaEficiencia encomponentesEficiencia en Poder total concomponentes comunicación restringidaJusticia Justicia Justicia minimal

196 ConclusionesValor deMyersonEficiencia encomponentesContribucionesequilibradasen el grafoValor deBanzhafcon comunicaciónrestringidaPoder total concomunicación restringidaContribucionesequilibradasen el grafoÍndice de poder deDeegan − Packelcon comunicaciónrestringidaEficiencia encomponentesContribucionesequilibradasminimales en el grafoÍndice de poder deShapley − Shubiksimétrico espacialÍndice de poder deBanzhaf − Colemansimétrico espacialÍndice de poder deDeegan − Packelsimétrico espacialEficiencia Poder total EficienciaSimetría espacial Simetría espacial Simetría espacialJugador nulo Jugador nulo Jugador nuloTransferencia Transferencia Fusión

Símbolos y notación básicaDado un conjunto N :|N| denota el cardinal del conjunto N.Π (N) denota el conjunto de las permutaciones de N.2 N denota el conjunto de partes de N.Dado un número natural n, n! denota el factorial de n.⊆: inclusión⊂: inclusión estrictaR: conjunto de números realesR + : conjunto de números reales positivosR n : espacio euclídeo n-dimensionalDado un número real x, ent (x) denota la parte entera de x(N,v): un juego cooperativo con utilidad transferible (un juego TU)TU (N): conjunto de juegos TU con conjunto de jugadores NSI (N): conjunto de juegos simples con conjunto de jugadores Nu S : función característica del juego de unanimidad de la coalición S(N,v,P): un juego TU con sistema de unionesU (N): conjunto de juegos TU con sistema de unionesSU¡(N): ¢ conjunto de juegos simples con sistema de unionesM, vP: juego cociente asociado a un juego TU con sistema de uniones(N,v,g): un juego TU con comunicaciónC (N): conjunto de juegos TU con comunicaciónCS (N): conjunto de juegos simples propios con comunicación(N,v/g): juego de comunicación asociado a (N,v,g)[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ]: juego de mayoría ponderadaI (N,v): conjunto de imputaciones del juego (N,v)Nu(N,v): núcleo del juego (N,v)f: cualquier concepto de soluciónh: extensión multilineal197

198 Símbolos y notación básicaE: esperanza matemáticaW : conjunto de coaliciones ganadoras del juego simple (N,v)W m o M (v): conjunto de coaliciones minimales ganadoras de (N,v)Conceptos de solución:ϕ: valor de Shapleyβ: valor de Banzhafρ: índice de poder de Deegan-PackelΦ: valor de OwenΨ: valor de Banzhaf-OwenΠ: valor de Banzhaf coalicional simétricoζ: índice de poder de Deegan-Packel coalicionalΛ: índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoPropiedades:EFI : Eficiencia (páginas 10 y 45)PT : Poder total (página 11)SIM : Simetría (página 11)JN : Jugador nulo (páginas 11 y 45)SOP : Soporte (páginas 11 y 45)ADI : Aditividad (páginas 11 y 45)MF : Monotonía fuerte (página 11)TR : Transferencia (página 20)FUS : Fusión(página31y70)MM : Monotonía minimal (página 32)SU : Simetría en cada unión (página 45)SC : Simetría en el cociente (página 45)JC : Juego cociente (página 46)MF : Monotonía fuerte (página 46)CEU : Contribuciones equilibradas en las uniones (página 47)IU : Indiferencia en las uniones (página 50)JCU : Juego cociente para coaliciones formadas por un jugador (página 51)PTC : Poder total coalicional (página 54)SF : Simetría fuerte (página 71)JCA : Familia de los juegos cociente asociada (página 76)

Símbolos y notación básica 199FUSC : Fusión en el cociente (página 82)FUSU : Fusión en uniones apriori(página 82)IMC : Independencia de coaliciones no minimales en el cociente (página 83)CPU : Contribuciones ponderadas en las uniones (página 88)EFIC : Eficiencia en componentes (páginas 125 y 138)EST : Estabilidad (página 126)JUS : Justicia (página 126)PTCR : Poder total con comunicación restringida (página 128)CEG : Contribuciones equilibradas en el grafo (página 133)JUSM : Justicia minimal (página 138)JUN : Juegonulo(página138)ESTM : Estabilidad minimal (página 142)CEMG : Contribuciones equilibradas minimales en el grafo (página 142)LIN : Linealidad (página 168)POS : Positividad (página 168)TIT : Títeres (página 168)Simetría espacial (página 179)

200 Símbolos y notación básica

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