Contribuciones a la teoría del valor en juegos cooperativos con ...
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24.4. Valores pseudo-probabilísticos .................................1674.5. La propiedad de simetría espacial ............................. 178Conclusiones ....................................................191Símbolos y notación básica ....................................197Bibliografía ......................................................201
REFORZAMIENTOEl resultado de <strong>la</strong> vio<strong>la</strong>ción de <strong>la</strong>s reg<strong>la</strong>s y el reg<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong> escue<strong>la</strong>, basada <strong>en</strong> frecu<strong>en</strong>cia y seriedad, puede ser el repr<strong>en</strong>der, e<strong>la</strong>dvertir, <strong>la</strong> det<strong>en</strong>ción, <strong>la</strong> destitución de privilegios, <strong>la</strong> susp<strong>en</strong>ión o expulsión. El castigo fisico no está autorizado. Los padres seráninformados e involucrados <strong>en</strong> los asuntos que no sean casos de rutinas y otros m<strong>en</strong>ores. En todos los casos de susp<strong>en</strong>sión o expulsión,debido a los pasos <strong>del</strong> procedimi<strong>en</strong>to, no serán m<strong>en</strong>os que aguellos requeridos por <strong>la</strong>s politicas <strong>del</strong> Distrito y <strong>la</strong>s leyes. Además de <strong>la</strong>sreg<strong>la</strong>s y el reg<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to <strong>del</strong> Distrito Esco<strong>la</strong>r No 9 de Til<strong>la</strong>mook p<strong>la</strong>smadas aqui, esperamos que los alumnos obedezcan <strong>la</strong>s leyes <strong>del</strong>Estado de Oregon y <strong>la</strong>s leyes de los Estados Unidos. En <strong>la</strong> propiedad de <strong>la</strong> escue<strong>la</strong>, <strong>la</strong>s vio<strong>la</strong>ciones de <strong>la</strong>s leyes públicas <strong>en</strong> <strong>la</strong>ssigui<strong>en</strong>tes categorias, serán el resultado de <strong>la</strong>s acciones disciplinarias tomadas por <strong>la</strong>s autoridades de <strong>la</strong> escue<strong>la</strong> sean o no, pres<strong>en</strong>tadas<strong>con</strong> cargo criminal: inc<strong>en</strong>dio premeditado; asalto; robo <strong>con</strong> al<strong>la</strong>nami<strong>en</strong>to; am<strong>en</strong>azas de bombas; extorsión o chantaje; <strong>la</strong>trocinio;vandalismo; robo; v<strong>en</strong>tas; <strong>la</strong> posesión o uso de bebidas alcohólicas o drogas ilegales; el traspaso a <strong>la</strong> propiedad privada; <strong>la</strong> interfer<strong>en</strong>ciailicita o <strong>la</strong> persecución a <strong>la</strong>s autoridades de <strong>la</strong> escue<strong>la</strong>.Com<strong>en</strong>tarios/Preguntas pued<strong>en</strong> ser dirigidas a: al Superint<strong>en</strong>d<strong>en</strong>te Randy Schild, (503) 842-2558 ext 2. Agosto 20098
Capítulo 1Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong>simplesEste capítulo está dedicado al estudio de los <strong>juegos</strong> simples. Se com<strong>en</strong>zaráhaci<strong>en</strong>do una revisión de <strong>con</strong>ceptos y resultadosbásicosre<strong>la</strong>tivosalos<strong>juegos</strong>TU. Más ade<strong>la</strong>nte, se analizarán <strong>con</strong> más detalle los <strong>juegos</strong> simples, c<strong>en</strong>trandoeste análisis <strong>en</strong> el estudio de distintos índices de poder.1.1 Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> utilidadtransferibleDefinición 1.1.1 Un juego cooperativo <strong>con</strong> utilidad transferible es un par(N,v) donde N = {1, 2, ..., n} es el <strong>con</strong>junto de jugadores y v :2 N −→ R esuna función que verifica que v (∅) =0.La función v se d<strong>en</strong>omina función característica <strong>del</strong> juego. Dada una coaliciónT ⊆ N,v (T ) repres<strong>en</strong>ta el pago que se pued<strong>en</strong> asegurar los jugadores de T ,indep<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te de cómo actú<strong>en</strong> el resto de los jugadores.Vamos a d<strong>en</strong>otar por TU (N) el <strong>con</strong>junto de todos los <strong>juegos</strong> <strong>cooperativos</strong> <strong>con</strong>utilidad transferible <strong>en</strong> los que el <strong>con</strong>junto de jugadores es N = {1, 2,... ,n}.En algunas ocasiones, id<strong>en</strong>tificaremos un juego (N,v) <strong>con</strong> su función característicav por cuestiones de simplicidad <strong>en</strong> <strong>la</strong> notación.Un juego (N,v) de TU (N) se dice que es superaditivo si para todo par decoaliciones S, T ⊆ N, tal que S∩T = ∅ se ti<strong>en</strong>e que v (T ∪ S) ≥ v (T )+v (S) .7
8 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesUn juego (N,v) de TU (N) se dice que es monótono si v (T ) ≤ v (S) , paratodo par de coaliciones S, T ⊆ N tal que T ⊆ S.Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) :• Se dice que un jugador i ∈ N es un títere siv (S ∪ i) =v (S)+v(i), para cualquier coalición S ⊆ N\i.• Se dice que i ∈ N es un jugador nulo siv (S ∪ i) =v (S) , para cualquier coalición S ⊆ N\i.• Se dice que dos jugadores i, j ∈ N son simétricos si v (S ∪ i) =v (S ∪ j) ,para cualquier coalición S ⊆ N\{i, j} .• Un soporte para el juego es una coalición T que verifica v (S) =v (S ∩ T ) , para cualquier coalición S ⊆ N.Se dirá que un juego (N,v) de TU (N) es un juego de unanimidad si existeuna coalición S tal que:½ 1 si S ⊆ Tv (T )=0 <strong>en</strong> otro casoEn este caso, se d<strong>en</strong>otará por u S su función característica. En Shapley (1953)se demuestra que dado un <strong>con</strong>junto N finito, <strong>la</strong> familia de todos los <strong>juegos</strong> deunanimidad que pued<strong>en</strong> definirse, <strong>con</strong>stituye una base <strong>del</strong> espacio vectorialTU (N). En <strong>con</strong>creto, se demuestra el sigui<strong>en</strong>te resultado.Teorema 1.1.1 Si (N,v) ∈ TU (N) <strong>en</strong>toncesv =Xc S u S , (1.1)S∈2 N \∅donde c S (coord<strong>en</strong>ada de unanimidad) es el número realc S = X (−1) s−t v (T ) .T ⊆SAdemás, (1.1) es <strong>la</strong> única forma de expresar v como combinación lineal <strong>del</strong>os<strong>juegos</strong>deunanimidad © u S /S ∈ 2 N \∅ ª .
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> utilidad transferible 9Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) , suponi<strong>en</strong>do que existe algún tipo de acuerdo<strong>en</strong>tre los jugadores, existe una cantidad v (N) que los jugadores ti<strong>en</strong><strong>en</strong> pararepartirse <strong>en</strong>tre todos ellos. Esto puede hacerse de cualquier forma, peroparece lógico suponer que ningún jugador aceptará un pago m<strong>en</strong>or de lo quepuede obt<strong>en</strong>er por sí solo. T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta esto se obti<strong>en</strong>e un sub<strong>con</strong>juntode R n que <strong>con</strong>ti<strong>en</strong>e a todos los vectores de pago “razonables”. Este <strong>con</strong>juntose d<strong>en</strong>omina <strong>con</strong>junto de imputaciones.Definición 1.1.2 Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) se dice que un vectorx ∈ R n es una imputación si satisface <strong>la</strong>s dos <strong>con</strong>diciones sigui<strong>en</strong>tes:i) x i ≥ v (i) , para todo i ∈ N.Pii) n x i = v (N).i=1Dado un juego (N,v) ∈ TU (N) se d<strong>en</strong>otará por I (N,v) el <strong>con</strong>junto deimputaciones de dicho juego.Es evid<strong>en</strong>te que dadas dos imputaciones x y z distintas y t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta<strong>la</strong> segunda propiedad, existirán jugadores que prefieranunadeel<strong>la</strong>sfr<strong>en</strong>tea<strong>la</strong> otra. Se formalizará esta idea <strong>con</strong> <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te definición.Definición 1.1.3 Sean (N,v) ∈ TU (N) y x, z ∈ I (N,v). Se dice que xdomina a z atravésdeS ∈ 2 N \∅ si se verifica:i) x i >z i , para todo i ∈ S.ii) P i∈Sx i ≤ v (S) .La primera <strong>con</strong>dición establece que los jugadores de S prefier<strong>en</strong> el <strong>valor</strong> queles asigna el vector x al correspondi<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el vector z, mi<strong>en</strong>tras que <strong>la</strong>segunda <strong>con</strong>dición establece que el vector x es factible para S, <strong>en</strong> el s<strong>en</strong>tido deque <strong>la</strong> cantidad total propuesta por x para los jugadores de S no es superiora <strong>la</strong> cantidad que los jugadores de S pued<strong>en</strong> garantizarse, v (S).Se dice que x domina a z si existe una coalición S ∈ 2 N \∅ tal que x dominaa z atravésdeS.En Gillies (1953) se introduce el <strong>con</strong>cepto de núcleo.
10 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesDefinición 1.1.4 Se define el núcleo de un juego (N,v) ∈ TU (N) ysed<strong>en</strong>otará por Nu(N,v) como el sigui<strong>en</strong>te sub<strong>con</strong>junto de I (N,v),(Nu(N,v) = x ∈ I (N,v) / X )x i ≥ v (S) , para toda coalición S ∈ 2 N .i∈SDado un <strong>con</strong>junto finito N, pued<strong>en</strong> <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse <strong>juegos</strong> de TU (N) <strong>en</strong> los queel núcleo es vacío y otros <strong>en</strong> los que está formado por más de un vectorde pagos. Si el juego es superaditivo, el núcleo coincide <strong>con</strong> el <strong>con</strong>junto deimputaciones no dominadas.El núcleo, al igual que el <strong>con</strong>junto estable definido por von Neumann y Morg<strong>en</strong>stern(1944), selecciona vectores de pagos t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que el vectoro <strong>con</strong>junto de vectores seleccionado sea estable. En esta memoria, el estudiose c<strong>en</strong>trará <strong>en</strong> soluciones que asignan a cada juego un único vector de pagosy que se determinan buscando que el resultado final sea “justo”. Para ello,se propon<strong>en</strong> diversas propiedades y se trata de caracterizar una solución apartir de estas propiedades. En primer lugar, se establece el <strong>con</strong>cepto desolución sobre TU (N).Definición 1.1.5 Una solución sobre TU(N) es una aplicaciónf : TU (N) −→ R nque a cada juego (N,v) ∈ TU (N) le hace corresponder un vector de R n ,donde <strong>la</strong> compon<strong>en</strong>te i-ésima <strong>del</strong> vector repres<strong>en</strong>ta el pago que recibe el jugadori.Se com<strong>en</strong>zará <strong>en</strong>unciando algunas propiedades empleadas <strong>en</strong> <strong>la</strong> literaturapara caracterizar una solución f : TU (N) −→ R n .Efici<strong>en</strong>cia (EFI) . Una solución f : TU (N) −→ R n es efici<strong>en</strong>te si para todojuego (N,v) ∈ TU (N) , se ti<strong>en</strong>e qu<strong>en</strong>Xf i (N,v) =v (N) .i=1
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> utilidad transferible 13<strong>con</strong>tribuciones marginales que dicho jugador hace a todas <strong>la</strong>s coaliciones a<strong>la</strong>s que se une. En el capítulo 4 se verá que estas soluciones pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> a unafamilia de soluciones, d<strong>en</strong>ominada <strong>la</strong> familia de los <strong>valor</strong>es probabilísticos.Para el <strong>valor</strong> de Shapley los pesos asignados a cada coalición dep<strong>en</strong>d<strong>en</strong> desu tamaño, mi<strong>en</strong>tras que <strong>en</strong> el <strong>valor</strong> de Banzhaf todas <strong>la</strong>s coaliciones sonequiprobables.En 1985, Young caracterizó el <strong>valor</strong> de Shapley empleando <strong>la</strong> propiedad demonotonía fuerte.Teorema 1.1.4 La única solución f definida <strong>en</strong> TU (N) que satisface MF,SIM y EFI es el <strong>valor</strong> de Shapley.Es inmediato comprobar que el <strong>valor</strong> de Banzhaf también satisface <strong>la</strong> propiedadde monotonía fuerte. En el sigui<strong>en</strong>te teorema, proponemos una nuevacaracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf, <strong>del</strong> que se omite <strong>la</strong> demostración porser simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> <strong>del</strong> teorema 1.1.4.Teorema 1.1.5 La única solución f definida <strong>en</strong> TU (N) que satisface MF,SIM y PT es el <strong>valor</strong> de Banzhaf.Otras caracterizaciones <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf pued<strong>en</strong> verse <strong>en</strong> Lehrer (1988)o <strong>en</strong> Nowak (1997). Otra caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley fue obt<strong>en</strong>idapor Hart y Mas-Colell (1989). A <strong>con</strong>tinuación, se describirá el procedimi<strong>en</strong>topara obt<strong>en</strong>er estos <strong>valor</strong>es mediante <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal <strong>del</strong> juego.Ext<strong>en</strong>siones multilinealesUna de <strong>la</strong>s principales dificultades re<strong>la</strong>cionadas <strong>con</strong> <strong>la</strong>s soluciones pres<strong>en</strong>tadasanteriorm<strong>en</strong>te es que para su cálculo se necesita realizar <strong>la</strong> suma de un númerogrande de términos, aunque <strong>la</strong> función característica sea una función s<strong>en</strong>cil<strong>la</strong>.La ext<strong>en</strong>sión multilineal de un juego TU proporciona una herrami<strong>en</strong>ta útilpara el cálculo de diversas soluciones.La función característica v de un juego cooperativo (N,v), es una funcióncuyo dominio es 2 N , <strong>la</strong> familia de todos los sub<strong>con</strong>juntos de N. Dichodominio, puede <strong>con</strong>siderarse también como el <strong>con</strong>junto de todos losvectores de R n , (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) donde cada compon<strong>en</strong>te es 0 o 1, yaquecada sub<strong>con</strong>junto S ∈ 2 N está <strong>en</strong> correspond<strong>en</strong>cia biunívoca <strong>con</strong> el vectorde R n cuyas compon<strong>en</strong>tes son x i = 1 si i ∈ S, y x i = 0 si i /∈ S.
14 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesEs decir, puede id<strong>en</strong>tificarse 2 N <strong>con</strong> el <strong>con</strong>junto de vértices <strong>del</strong> cubo unitario<strong>en</strong> el espacio R n , {0, 1} N . Por lo tanto, <strong>la</strong> función característica v esuna función real definida <strong>en</strong> los vértices <strong>del</strong> cubo unitario. Ow<strong>en</strong> (1972b)propuso ext<strong>en</strong>der dicha función a todo el cubo unitario, es decir, al <strong>con</strong>junto[0, 1] N = {(x 1 ,x 2 ,... ,x n ):0≤ x i ≤ 1,i=1, 2,... ,n} . Se d<strong>en</strong>otaráestecubounitarioporI N ypore S el S-vértice <strong>del</strong> cubo unitario, es decir,e S = ¡ e S 1 ,e S 2 ,... ,<strong>en</strong>¢ S dado por:½ 1 si i ∈ Se S i =0 si i/∈ SExist<strong>en</strong> muchas formas de ext<strong>en</strong>der <strong>la</strong> función característica a I N ;<strong>la</strong>propuestapor Ow<strong>en</strong> es <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te.Definición 1.1.6 Sea (N,v) ∈ TU (N). Se define <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilinealde v como <strong>la</strong> función h definida por:⎧⎫h (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X ⎨YY ⎬x⎩ i (1 − x j ) v (S) , (1.2)⎭S⊆N i∈Spara todo x i , 0 ≤ x i ≤ 1,i=1, 2,... ,n.Puede darse a esta ext<strong>en</strong>sión una interpretación probabilística. Si S es unacoalición aleatoria, de tal forma que un jugador i ti<strong>en</strong>e una probabilidad x i depert<strong>en</strong>ecer a S, para i =1, 2,... ,n,y además se supone que estos sucesos sonindep<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tes, t<strong>en</strong>emos <strong>en</strong>tonces que <strong>la</strong> probabilidad de que una coaliciónparticu<strong>la</strong>r S se forme, vi<strong>en</strong>e dada por <strong>la</strong> cantidad que aparece <strong>en</strong>tre l<strong>la</strong>ves <strong>en</strong><strong>la</strong> expresión (1.2). Por lo que si se define <strong>la</strong> variable aleatoria Y =“Gananciade una coalición” se ti<strong>en</strong>e que P (Y = v (S)) = P (se <strong>con</strong>stituye S) , <strong>en</strong>tonces:j/∈Sh (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=E [Y ] ,donde E d<strong>en</strong>ota <strong>la</strong> esperanza matemática. Ow<strong>en</strong> (1972b) determinó, “<strong>en</strong>cierto modo”, <strong>la</strong> unicidad de esta ext<strong>en</strong>sión. Se reproduce tal unicidad <strong>en</strong> elsigui<strong>en</strong>te teorema.
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simples 15Teorema 1.1.6 Sea v una función definida <strong>en</strong> todos los sub<strong>con</strong>juntos de N.Entonces, existe una única función multilineal, h, definida <strong>en</strong> I N ,queverificaque h ¡ e S¢ = v (S) , para todo S ⊆ N. Esta función es⎧⎫h (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X ⎨YY ⎬x⎩ i (1 − x j )⎭ v (S) ,S⊆N i∈Spara todo x i , 0 ≤ x i ≤ 1,i=1, 2,... ,n.A partir de <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal se pued<strong>en</strong> calcu<strong>la</strong>r los <strong>valor</strong>es de Shapley(Ow<strong>en</strong>, 1972b) y de Banzhaf (Ow<strong>en</strong>, 1975). Reproducimos aquí dichosresultados.Teorema 1.1.7 Sea (N,v) ∈ TU (N) y h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) su ext<strong>en</strong>sión multilineal.El <strong>valor</strong> de Shapley de un jugador i ∈ N <strong>en</strong> dicho juego vi<strong>en</strong>e dadopor:Z 1∂hϕ i (N,v) = (t, t, . . . , t) dt.0 ∂x iTeorema 1.1.8 Sea (N,v) ∈ TU (N) y h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) su ext<strong>en</strong>sión multilineal.El <strong>valor</strong> de Banzhaf de un jugador i ∈ N <strong>en</strong> dicho juego vi<strong>en</strong>e dadopor:j/∈Sβ i (N,v) = ∂h µ 1∂x i 2 , 1 2 ,... ,1 .21.2 Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simplesUna subfamilia muy importante de <strong>juegos</strong> <strong>cooperativos</strong> <strong>con</strong> utilidad transferiblees <strong>la</strong> formada por los <strong>juegos</strong> simples, que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> numerosas aplicaciones,especialm<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el campo de <strong>la</strong> política. A <strong>con</strong>tinuación, se pres<strong>en</strong>tan los<strong>con</strong>ceptos y resultados fundam<strong>en</strong>tales sobre <strong>juegos</strong> simples que se emplearána lo <strong>la</strong>rgo de esta memoria.Definición 1.2.1 Un juego (N,v) de TU (N) se dice que es simple si:i) Para toda S ⊆ N,v (S) =0o v (S) =1.ii) v (N) =1.iii) v es un juego monótono.
16 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesSe d<strong>en</strong>otará por SI (N) el <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de jugadoresN yporSI el <strong>con</strong>junto de todos los <strong>juegos</strong> simples.Dado un juego simple (N,v), una coalición S se d<strong>en</strong>omina ganadora siv (S) = 1. En caso <strong>con</strong>trario se dice que S es una coalición perdedora.Se d<strong>en</strong>otará por W el <strong>con</strong>junto de todas <strong>la</strong>s coaliciones ganadoras, es decir,W = {S ⊆ N/v (S) =1} . Es evid<strong>en</strong>te que N es un elem<strong>en</strong>to de W yquesiS ∈ W y S ⊆ T, <strong>en</strong>tonces T ∈ W. Una coalición ganadora es minimal si no<strong>con</strong>ti<strong>en</strong>e a ninguna otra coalición ganadora. Se d<strong>en</strong>otará por W m el <strong>con</strong>juntode todas <strong>la</strong>s coaliciones ganadoras minimales, es decir,W m = {S ∈ W/v (T )=0, para toda coalición T ⊂ S} .En algunas ocasiones se empleará <strong>la</strong> notación M (v) para referirnos al <strong>con</strong>juntode coaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong> juego (N,v) . Un juego simplepuede caracterizarse dando el <strong>con</strong>junto de coaliciones ganadoras, o también,dando el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras. Por lo tanto, puededefinirse un juego simple como un par (N,W) donde W es el <strong>con</strong>junto decoaliciones ganadoras, o como un par (N,W m ) donde W m es el <strong>con</strong>junto decoaliciones minimales ganadoras.D<strong>en</strong>tro de los <strong>juegos</strong> simples desempeñan un papel importante los <strong>juegos</strong>propiosylos<strong>juegos</strong>decisivos.Definición 1.2.2 Se dice que un juego simple (N,v) es un juego propio sipara cualquier par de coaliciones ganadoras S, T ∈ W, se ti<strong>en</strong>e que S ∩T 6= ∅.Para un juego simple, que el juego sea superaditivo es equival<strong>en</strong>te a que eljuego sea propio.Definición 1.2.3 Se dice que un juego simple (N,v) es un juego decisivo sipara cualquier coalición S ⊆ N, se ti<strong>en</strong>e que S ∈ W o N\S ∈ W.A <strong>con</strong>tinuación se proporcionan varias definiciones <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong>simples, algunas de <strong>la</strong>s cuales ya se pres<strong>en</strong>taron anteriorm<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el <strong>con</strong>textog<strong>en</strong>eral de los <strong>juegos</strong> TU, pero se reproduc<strong>en</strong> aquí para mostrar <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ciónque guardan <strong>con</strong> el <strong>con</strong>junto de coaliciones ganadoras W .Dado un juego (N,v) ∈ SI (N) :
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simples 17• Se dice que dos jugadores i, j ∈ N son jugadores simétricos si para todacoalición S ⊆ N\{i, j} tal que S/∈ W ,seti<strong>en</strong>eque:⎧⎨⎩S ∪ {i} ∈ W y S ∪ {j} ∈ WoS ∪ {i} /∈ W y S ∪ {j} /∈ W• Se dice que un jugador i ∈ N es un jugador nulo si para toda S ⊆ N\ital que S/∈ W, se ti<strong>en</strong>e que S ∪ {i} /∈ W.• Se dice que i ∈ N es un títere si:⎧⎨{{i}} = W mo⎩Para toda S ⊆ N\i tal que S/∈ W se ti<strong>en</strong>e que S ∪ {i} /∈ W• Se dice que i ∈ N es un dictador si S ∈ W si y sólo si i ∈ S.• Se dice que i ∈ N es un jugador <strong>con</strong> veto si S ∈ W implica que i ∈ S.En un juego simple, un títere puede ser un dictador y <strong>en</strong>tonces v(i) =1, oun jugador nulo, <strong>en</strong> cuyo caso v(i) =0.Definición 1.2.4 Un juego (N,v) ∈ SI (N) se dice que es de mayoría ponderadasi existe un <strong>con</strong>junto de pesos w 1 ,w 2 , ..., w n para los jugadores, <strong>con</strong>wP i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, y una cantidad q ∈ R + tales que S ∈ W si y sólo siw i ≥ q. A <strong>la</strong> cantidad q se le d<strong>en</strong>omina mayoría <strong>del</strong> juego.i∈SHabitualm<strong>en</strong>te un juego de mayoría ponderada se repres<strong>en</strong>ta por[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ] .Un par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to puede verse como un juego de mayoría ponderada, <strong>en</strong> el quelos jugadores son los partidos políticos, los pesos son el número de escaños <strong>del</strong>os que dispone cada partido y <strong>la</strong> mayoría <strong>del</strong> juego coincide <strong>con</strong> el númeromínimo de votos necesarios para ganar una votación. Si el criterio es <strong>la</strong>mayoría simple q = <strong>en</strong>t(t) +1,dondet es <strong>la</strong> mitad <strong>del</strong> número total deescaños <strong>del</strong> par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to (si x ∈ R, <strong>en</strong>t(x) d<strong>en</strong>otará <strong>la</strong> parte <strong>en</strong>tera de x).
18 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simples1.2.1 Índices de poderCuando se trabaja <strong>con</strong> <strong>juegos</strong> simples, <strong>en</strong> lugar de hab<strong>la</strong>r de solución, sesuele utilizar el término índice de poder, de acuerdo a <strong>la</strong>s situaciones quemo<strong>del</strong>iza, ya que los <strong>juegos</strong> simples se emplean normalm<strong>en</strong>te como mo<strong>del</strong>osde organismos de decisión donde los acuerdos suel<strong>en</strong> tomarse por votación.El interés de estos <strong>juegos</strong> suele c<strong>en</strong>trarse <strong>en</strong> <strong>con</strong>ocer el poder o influ<strong>en</strong>cia queti<strong>en</strong>e un jugador sobre el resultado final <strong>del</strong> mismo. Si bi<strong>en</strong> puede emplearsecualquier <strong>con</strong>cepto de solución definido <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> TU,exist<strong>en</strong> otros de aplicabilidad exclusiva a este ámbito, es más, inicialm<strong>en</strong>teel <strong>valor</strong> de Banzhaf se p<strong>la</strong>nteó sólo para <strong>juegos</strong> simples, hasta que Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong>1975 ext<strong>en</strong>dió este <strong>con</strong>cepto a <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> TU. Numerosos trabajos <strong>en</strong><strong>teoría</strong> de <strong>juegos</strong> están dedicados al estudio de índices de poder. En Laruelle(1999), puede <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse una panorámica sobre este tema.Definición 1.2.5 Un índice de poder sobre SI(N) es una aplicaciónf : SI (N) −→ R nque a cada juego (N,v) ∈ SI (N) le hace corresponder un vector de R n ,donde<strong>la</strong> compon<strong>en</strong>te i-ésima <strong>del</strong> vector repres<strong>en</strong>ta el poder que ti<strong>en</strong>e el jugador i.Losresultadosvistos<strong>en</strong>losteoremas1.1.2 y 1.1.3 para el <strong>valor</strong> de Shapleyy el <strong>valor</strong> de Banzhaf no sirv<strong>en</strong> para caracterizar los índices de poder correspondi<strong>en</strong>tes<strong>en</strong> <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> simples. La propiedad de aditividadno se puede aplicar <strong>en</strong> esta familia, ya que <strong>la</strong> suma de dos <strong>juegos</strong> simples noes un juego simple.Dubey (1975), obtuvo una caracterización axiomática <strong>del</strong> índice de poder deShapley, cambiando <strong>la</strong> propiedad de aditividad por una propiedad simi<strong>la</strong>ry razonable d<strong>en</strong>tro <strong>del</strong> <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> simples. Esta propiedad sed<strong>en</strong>omina propiedad de transfer<strong>en</strong>cia. Con esta misma propiedad, Dubeyy Shapley (1979) obtuvieron una caracterización <strong>del</strong> índice de poder deBanzhaf. Para establecer <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia se hace necesaria<strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te definición.Definición 1.2.6 Dados (N,v) , (N,w) ∈ SI (N), sedefin<strong>en</strong> los <strong>juegos</strong> simples(N,v ∨ w) y (N,v ∧ w) de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te forma:(v ∨ w)(S) =max{v(S),w(S)}
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simples 19o de forma equival<strong>en</strong>te:(v ∧ w)(S) =min{v(S),w(S)}(v ∨ w)(S) =½ 1 si v (S) =1o w (S) =10 si v (S) =0y w (S) =0(v ∧ w)(S) =½ 1 si v (S) =1y w (S) =10 si v (S) =0o w (S) =0A <strong>con</strong>tinuación, se pres<strong>en</strong>tan un par de propiedades que verifican estos nuevos<strong>juegos</strong>.Proposición 1.2.1 Sean (N,v) , (N,w) ∈ SI (N) . Siambos<strong>juegos</strong>sonpropios<strong>en</strong>tonces el juego (N,v ∧ w) también es propio.A <strong>con</strong>tinuación, se verá un ejemplo <strong>en</strong> el que el juego (N,v ∨ w) no es propioaunque sí lo son los <strong>juegos</strong> (N,v) y (N,w) .Ejemplo 1.2.1 Considér<strong>en</strong>se los <strong>juegos</strong> simples propios (N,v) y (N,w) ,donde N = {1, 2, 3, 4} y el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong>juego (N,v) es: {{1, 2} , {1, 3} , {1, 4}} yel<strong>con</strong>juntodecoalicionesminimalesganadoras <strong>del</strong> juego (N,w) es: {{1, 2} , {2, 3} , {2, 4}} .En este caso el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras de (N,v ∨ w)es: {{1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4}} yseverifica que:por lo que (N,v ∨ w) no es propio.{1, 3} ∩ {2, 4} = ∅En el sigui<strong>en</strong>te resultado se prueba que <strong>la</strong> operación ∧ es distributiva respectoa ∨.Proposición 1.2.2 Dados (N,v 1 ) , (N,v 2 ) ,... ,(N,v r ) , (N,w) ∈ SI(N) severifica:(v 1 ∨ v 2 ∨ ...∨ v r ) ∧ w =(v 1 ∧ w) ∨ (v 2 ∧ w) ∨ ...(v r ∧ w) .
20 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesDemostraciónLa demostración se hará por inducción <strong>en</strong> r.Sea r =2. Por una parte, se ti<strong>en</strong>e que:((v 1 ∨ v 2 ) ∧ w)(S) =min{max {v 1 (S),v 2 (S)} ,w(S)} =½w(S) si w(S) ≤ max {v 1 (S),v 2 (S)}max {v 1 (S),v 2 (S)} si w(S) ≥ max {v 1 (S),v 2 (S)}Por otro <strong>la</strong>do:((v 1 ∧ w) ∨ (v 2 ∧ w))(S) =max{min {v 1 (S),w(S)} , min {v 2 (S),w(S)}} =½w(S) si w(S) ≤ max {v 1 (S),v 2 (S)}max {v 1 (S),v 2 (S)} si w(S) ≥ max {v 1 (S),v 2 (S)}<strong>con</strong> lo que el resultado estaría probado para r =2.Supóngase que se ha demostrado el resultado para cualquier <strong>valor</strong> de r m<strong>en</strong>oro igual a k − 1; se verá que es cierto para k.(v 1 ∨ v 2 ∨ ... ∨ v k−1 ∨ v k ) ∧ w =((v 1 ∨ v 2 ∨ ... ∨ v k−1 ) ∧ w) ∨ (v k ∧ w) =(v 1 ∧ w) ∨ (v 2 ∧ w) ∨ ... ∨ (v k ∧ w) ,donde <strong>en</strong> <strong>la</strong> primera igualdad se aplica lo probado para r =2, y <strong>en</strong> <strong>la</strong> segundaigualdad se utiliza <strong>la</strong> hipótesis de inducción.¤Obsérvese que dados dos <strong>juegos</strong> simples (N,v) y (N,w) se verifica que v +w =(v ∨ w)+(v ∧ w) . Se <strong>en</strong>uncia ahora <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te propiedad, introducidapor Dubey (1975):Transfer<strong>en</strong>cia (TR). Un índice de poder f : SI (N) −→ R n satisface <strong>la</strong>propiedad de transfer<strong>en</strong>cia (o aditividad para <strong>juegos</strong> simples) si para todopar de <strong>juegos</strong> (N,v) y (N,w) ∈ SI (N) , se ti<strong>en</strong>e quef (N,v)+f(N,w) =f (N,v ∨ w)+f(N,v ∧ w).Dubey (1975) caracterizó el <strong>valor</strong> de Shapley para <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> simples(<strong>con</strong>ocido <strong>con</strong> el nombre de índice de poder de Shapley-Shubik(1954)) alprobar el sigui<strong>en</strong>te resultado.
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simples 21Teorema 1.2.1 El único índice de poder f : SI (N) −→ R n que verifica <strong>la</strong>spropiedades TR,JN,SIM y EFI es el <strong>valor</strong> de Shapley.El <strong>valor</strong> de Shapley asigna a un jugador i, <strong>la</strong> media aritmética de <strong>la</strong>s <strong>con</strong>tribucionesque dicho jugador hace a <strong>la</strong>s coaliciones formadas por los jugadoresque preced<strong>en</strong> a i <strong>en</strong> <strong>la</strong>s n! permutaciones posibles de los jugadores. Comopara <strong>juegos</strong> simples v (S) =1si S ∈ W y v(S) =0<strong>en</strong> otro caso, se ti<strong>en</strong>e quev(S∪i)−v(S) =1si el jugador i hace ganadora a S,si<strong>en</strong>dov(S∪i)−v(S) =0<strong>en</strong> cualquier otro caso. Por lo tanto:ϕ i (N,v) = XS∈S(i)s!(n − s − 1)!,n!donde S (i) ={S ⊆ N\i/S /∈ W y S ∪ i ∈ W } .Al <strong>con</strong>junto de pares de coaliciones (S, S ∪ i) donde S ∈ S (i) , se le d<strong>en</strong>omina<strong>con</strong>junto de “swings” para el jugador i; es decir, un swing para un jugador ies un par de coaliciones (S, S ∪ i) donde S ⊆ N\i, talesqueS es perdedorami<strong>en</strong>tras que S ∪ i es ganadora.Definición 1.2.7 Sea (N,v) un juego simple y σ una permutación de N.Para i ∈ N, Pr (i, σ) es el <strong>con</strong>junto de jugadores j tales que σ (j)
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simples 23Esta serie f a (t) se d<strong>en</strong>omina función g<strong>en</strong>eratriz de <strong>la</strong> sucesión a, y puedeser finita o infinita. En esta serie, <strong>la</strong> variable t no ti<strong>en</strong>e significado propioysólosirveparaid<strong>en</strong>tificar a j como el coefici<strong>en</strong>te correspondi<strong>en</strong>te a t j <strong>en</strong> eldesarrollo de f a (t) . Por este motivo, aunque <strong>en</strong> <strong>la</strong> mayoría de los problemascombinatorios <strong>la</strong> serie f a (t) es finita,<strong>la</strong>cuestiónre<strong>la</strong>tivaa<strong>la</strong><strong>con</strong>verg<strong>en</strong>ciade <strong>la</strong> serie no es una cuestión relevante si t se interpreta como una variableformal. Para facilitar <strong>la</strong> compr<strong>en</strong>sión de este <strong>con</strong>cepto, se proporcionan dosejemplos. El primero se corresponde <strong>con</strong> una sucesión finita.Ejemplo 1.2.2 Considérese el producto finito de binomios linealesnYnX(1 + x r t)= a r t r ,r=1r=0donde a o =1yparar>0, a r está dado porXa r =x i1 x i2 ...x ir .1≤i 1
24 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesLas funciones g<strong>en</strong>eratrices proporcionan un método para el recu<strong>en</strong>to <strong>del</strong>número de elem<strong>en</strong>tos c (r) de un <strong>con</strong>junto finito, cuando estos elem<strong>en</strong>tosti<strong>en</strong><strong>en</strong> una <strong>con</strong>figuración que dep<strong>en</strong>de de una característica r. Así, <strong>en</strong> elprimer ejemplo se vio que los coefici<strong>en</strong>tes binomiales ¡ nr¢pued<strong>en</strong> obt<strong>en</strong>ersemediante <strong>la</strong> función (1 + t) n , ya que coincid<strong>en</strong> <strong>con</strong> los coefici<strong>en</strong>tes de <strong>la</strong> serieformal.Más ade<strong>la</strong>nte, se emplearán funciones g<strong>en</strong>eratrices de varias variables, porejemploS (x, y, z) = X k≥0X Xc (k, j, l) x k y j z l ,donde c (k, j, l) son números reales que dep<strong>en</strong>d<strong>en</strong> de k, j y l.j≥0Para un estudio más detal<strong>la</strong>do de los fundam<strong>en</strong>tos teóricos de <strong>la</strong>s funcionesg<strong>en</strong>eratrices y otros métodos de análisis combinatorio, puede <strong>con</strong>sultarse eltrabajo de Ríbnikov (1998).l≥0Funciones g<strong>en</strong>eratrices y <strong>juegos</strong> de mayoría ponderadaComo se vio anteriorm<strong>en</strong>te, un juego de mayoría ponderada es un <strong>juegos</strong>imple que puede repres<strong>en</strong>tarse abreviadam<strong>en</strong>te por [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ] . Se d<strong>en</strong>otarápor w (S) a<strong>la</strong>cantidad P w i y se hará <strong>la</strong> suposición de que los pesosi∈Sson números <strong>en</strong>teros.La sigui<strong>en</strong>te proposición determina el número de swings de un jugador i <strong>en</strong>un juego simple de mayoría ponderada.Proposición 1.2.3 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ] . Entonces el número de swings <strong>del</strong> jugador i ∈ N esigual aη i (v) =q−1Xk=q−w ib i k,si<strong>en</strong>do b i k el número de coaliciones S ⊆ N tales que i/∈ S y w (S) =k.
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simples 25El índice de poder de Banzhaf-Coleman de un jugador i ∈ N <strong>en</strong> un juego(N,v) es igual a β i (N,v) =η i (v) /2 n−1 . El sigui<strong>en</strong>te resultado debido aBrams y Affuso (1976) proporciona una función g<strong>en</strong>eratriz que permite elcálculo de los números {b i k } k≥0 .Proposición 1.2.4 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces para un jugador i ∈ N, <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratrizde los números {b i k } k≥0, definidos anteriorm<strong>en</strong>te, vi<strong>en</strong>e dada porB i (x) =nYj=1,j6=i(1 + x w j) .Se va a ilustrar <strong>con</strong> un ejemplo <strong>la</strong> utilidad de esta proposición para el cálculo<strong>del</strong> índice de poder de Banzhaf-Coleman.Ejemplo 1.2.4 El Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares está <strong>con</strong>stituido por 59miembros. Después de <strong>la</strong>s elecciones <strong>del</strong> 13 de junio de 1999, este Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>toestá compuesto por 28 miembros <strong>del</strong> PP, 16 miembros <strong>del</strong> PSOE, 5 miembros<strong>del</strong> partido socialista-regionalista PSM−EN, 4 miembros de EU−EV ,una coalición de comunistas y otros partidos de izquierda, 3 miembros <strong>del</strong> partidode c<strong>en</strong>tro-regionalista UM,y3 miembros de PACTE,unacoalicióndepartidos progresistas que pres<strong>en</strong>taron candidatura sólo <strong>en</strong> algunas is<strong>la</strong>s. Sevan a emplear estos resultados, aunque más ade<strong>la</strong>nte se formaron cinco grupospar<strong>la</strong>m<strong>en</strong>tarios correspondi<strong>en</strong>tes <strong>con</strong> PP (28) ,PSOE(17) ,PSM−EN(5) ,Mixto(5) y EU − EV (4) . Los 5 miembros <strong>del</strong> grupo mixto son los tresrepres<strong>en</strong>tantes de UM y dos de PACTE. El tercer miembro de PACTE seintegró <strong>en</strong> el grupo <strong>del</strong> PSOE.Puede repres<strong>en</strong>tarse este Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador1 es el PP, el jugador 2 es el PSOE, el jugador 3 es el PSM − EN,el jugador 4 es EU − EV , el jugador 5 es UM y el jugador 6 es el PACTE.Para calcu<strong>la</strong>r el número de swings <strong>del</strong> jugador 1, <strong>con</strong>sidérese <strong>la</strong> función:B 1 (x) = ¡ 1+x 16¢¡ 1+x 5¢¡ 1+x 4¢¡ 1+x 3¢2 =x 31 +2x 28 + x 27 + x 26 + x 25 +2x 24 +2x 23 + x 22 + x 21 + x 20 +2x 19 +
26 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesx 16 + x 15 +2x 12 + x 11 + x 10 + x 9 +2x 8 +2x 7 + x 6 + x 5 + x 4 +2x 3 +1.Entonces, se obti<strong>en</strong>e que η 1 (v) =P 29 b 1 kk=2=30, de forma simi<strong>la</strong>r se ti<strong>en</strong>eque η 2 (v) =η 3 (v) =η 4 (v) =η 5 (v) =η 6 (v) =2yelíndicedepoderdeBanzhaf-Coleman es igual aβ (N,v) =(15/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16) .A <strong>con</strong>tinuación, se analizará el índice de poder de Shapley-Shubik.índice <strong>en</strong> un juego simple (N,v) es igual a:ϕ i (N,v) =X{S⊆N\{i}/S /∈W y S∪i∈W }s!(n − s − 1)!n!=EsteXn−1j=0j!(n − j − 1)!d in!j,donde d i j repres<strong>en</strong>ta el número de swings para el jugador i <strong>en</strong> coaliciones detamaño j. Sigui<strong>en</strong>do un razonami<strong>en</strong>to simi<strong>la</strong>r al que se hizo anteriorm<strong>en</strong>te,se ti<strong>en</strong>e que, para cualquier <strong>valor</strong> de j <strong>en</strong>tre 0 y n − 1,d i j =q−1Xk=q−w ia i kj,si<strong>en</strong>do a i kj el número de coaliciones S ⊆ N formadas por j jugadores tales quei/∈ S y w (S) =k. El sigui<strong>en</strong>te resultado, debido a David G. Cantor (1962),proporciona © ª una función g<strong>en</strong>eratriz que permite el cálculo de los númerosai .kj k≥0,j≥0Proposición 1.2.5 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces para un jugador i ∈ N, <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratrizde los números © ªa i kj , definidos anteriorm<strong>en</strong>te, vi<strong>en</strong>e dada pork≥0,j≥0S i (x, z) =nYj=1,j6=i(1 + x w jz) .
Conceptos básicos de <strong>juegos</strong> simples 27A partir de esta proposición, se deduce que⎡ ⎤n−1 w(N)X XS i (x, z) = ⎣ a i kjx k ⎦ z j .j=0Para determinar el índice de poder de Shapley-Shubik es necesario calcu<strong>la</strong>rlos <strong>valor</strong>es d i j que pued<strong>en</strong> id<strong>en</strong>tificarse por un polinomio de <strong>la</strong> formaycomod j i =q−1 Pk=q−w ia i kjk=0Xn−1g i (z) = d i jz j ,, se ti<strong>en</strong>e quej=0j=0"Xn−1Xn−1Xq−1g i (z) = d i jz j =j=0k=q−w ia i kj#z j .Por tanto, para determinar los coefici<strong>en</strong>tes de g i (z) es sufici<strong>en</strong>te <strong>con</strong> seleccionarlos coefici<strong>en</strong>tes de los monomios x k z j <strong>en</strong> los que el expon<strong>en</strong>te k de <strong>la</strong>variable x tome <strong>valor</strong>es <strong>en</strong>tre q − w i y q − 1.Se ilustrará este procedimi<strong>en</strong>to <strong>con</strong> los datos correspondi<strong>en</strong>tes al Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>tode <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares.Ejemplo 1.2.5 El Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares se correspondía <strong>con</strong>[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3].En este caso, se va a calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Shapley-Shubik correspondi<strong>en</strong>teal jugador 2; paraello,se<strong>con</strong>sidera<strong>la</strong>función:S 2 (x, z) = ¡ 1+x 28 z ¢¡ 1+x 5 z ¢¡ 1+x 4 z ¢¡ 1+x 3 z ¢2 =x 43 z 5 +2x 40 z 4 + x 39 z 4 + x 38 z 4 + x 15 z 4 + x 37 z 3 +2x 36 z 3 +2x 35 z 3 + x 34 z 3 +2x 12 z 3 + x 11 z 3 + x 10 z 3 + x 33 z 2 + x 32 z 2 +
28 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simples2x 31 z 2 + x 9 z 2 +2x 8 z 2 +2x 7 z 2 + x 6 z 2 + x 28 z + x 5 z + x 4 z +2x 3 z +1.Se elig<strong>en</strong> ahora los coefici<strong>en</strong>tes de los monomios x k z j <strong>en</strong> los que el expon<strong>en</strong>tek de <strong>la</strong> variable x tome <strong>valor</strong>es <strong>en</strong>tre 14 y 29 (<strong>en</strong> este caso son sólo dos x 15 z 4y x 28 z), por lo queg 2 (z) =5Xd 2 jz j = z 4 + z,j=0y finalm<strong>en</strong>te, el índice de poder de Shapley-Shubik <strong>del</strong> jugador 2 es igual aϕ 2 (N,v) =5Xj=0j!(n − j − 1)!d 2 j =n!4!(6 − 4 − 1)!1+6!1!(6 − 1 − 1)!1= 1 6! 15 .De modo simi<strong>la</strong>r, se obt<strong>en</strong>dría el índice de poder de Shapley-Shubik de losrestantes jugadoresϕ (N,v) =(2/3, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15) .1.3 Nuevos resultados sobre el índice de poderde Deegan-PackelAdemás de los índices de poder de Shapley-Shubik y de Banzhaf-Coleman,<strong>en</strong> <strong>la</strong> literatura pued<strong>en</strong> <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse otros índices para obt<strong>en</strong>er una medida<strong>del</strong> poder de los jugadores <strong>en</strong> un juego simple. En esta sección se va aanalizar el índice de poder introducido por Deegan y Packel <strong>en</strong> 1979, queproporciona una medida cuantitativa <strong>del</strong> poder de los distintos jugadorescuando se <strong>con</strong>sidera que el comportami<strong>en</strong>to de los mismos satisface ciertas<strong>con</strong>diciones.En <strong>la</strong> caracterización <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel, sus autores emplearonpropiedades comunes <strong>con</strong> el índice de poder de Shapley-Shubik, comoson: efici<strong>en</strong>cia, jugador nulo y simetría; y una nueva propiedad, d<strong>en</strong>ominadapropiedad de fusión.El índice de poder de Deegan-Packel recoge <strong>la</strong> idea de que el poder de unjugador se basa exclusivam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> su participación <strong>en</strong> <strong>la</strong> formación de coalicionesminimales ganadoras, y que, apriori, todas estas coaliciones minimales
Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 29ganadoras son igualm<strong>en</strong>te p<strong>la</strong>usibles. Para definir este índice de poder, sesupone que el comportami<strong>en</strong>to de los jugadores está determinado por <strong>la</strong>ssigui<strong>en</strong>tes <strong>con</strong>diciones.• Minimalidad: Sólo originan una “victoria” <strong>la</strong>s coaliciones minimalesganadoras.• Equiprobabilidad: Todas <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras sonequiprobables.• Solidaridad: Los jugadores que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> una coalición “victoriosa”se divid<strong>en</strong> el “botín” a partes iguales.Estas <strong>con</strong>diciones parec<strong>en</strong> razonables <strong>en</strong> muchos casos. La <strong>con</strong>dición de minimalidades aplicable <strong>en</strong> el s<strong>en</strong>tido de que los jugadores racionales quier<strong>en</strong>maximizar su poder y, por lo tanto, sólo se formarán coaliciones minimalesganadoras. La <strong>con</strong>dición de equiprobabilidad dice que todas <strong>la</strong>s coalicionesminimales ganadoras juegan el mismo papel y, finalm<strong>en</strong>te, <strong>la</strong> propiedadde solidaridad establece que todos los jugadores de una coalición minimalganadora sean tratados por igual.Definición 1.3.1 El índice de poder de Deegan-Packel de un jugador i <strong>en</strong> eljuego simple (N,v) vi<strong>en</strong>e dado por:ρ i (N,v) =1|M (v)|XS∈M i (v)1|S| ,<strong>en</strong> donde M (v) es el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras yM i (v) ={S ∈ M (v) /i ∈ S}.Se puede comprobar fácilm<strong>en</strong>te que <strong>la</strong> definición <strong>del</strong> índice de poder deDeegan-Packel ρ para un jugador i es<strong>con</strong>sist<strong>en</strong>te<strong>con</strong><strong>la</strong>stres<strong>con</strong>dicionesanteriores. En primer lugar, sólo se <strong>con</strong>sideran <strong>la</strong>s coaliciones minimalesganadoras que <strong>con</strong>ti<strong>en</strong><strong>en</strong> al jugador i (minimalidad), y todas estas coalicionesminimales ganadoras son tratadas <strong>del</strong> mismo modo (equiprobabilidad). Paracada coalición S ∈ M i (v), el término 1/ |S| indica que el pago para el jugadori es el mismo que para los restantes |S|−1 jugadores <strong>en</strong> S (solidaridad). Obsérveseque <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> de unanimidad, el índice de poder de Deegan-Packelcoincide <strong>con</strong> el índice de poder de Shapley-Shubik.
30 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesEste <strong>valor</strong> también ti<strong>en</strong>e una interpretación probabilística. Supongamos queel pago correspondi<strong>en</strong>te a un jugador i pert<strong>en</strong>eci<strong>en</strong>te a una coalición minimalganadora S es 1/ |S| y que cada coalición minimal ganadora ti<strong>en</strong>e unaprobabilidad 1/ |M (v)| de formarse. Entonces <strong>la</strong> esperanza matemática <strong>del</strong>pago correspondi<strong>en</strong>te al jugador i es precisam<strong>en</strong>te ρ i .Este índice verifica <strong>la</strong>s tres <strong>con</strong>diciones anteriores, pero es interesante tratarel problema de su unicidad, es decir, buscar un <strong>con</strong>junto de propiedadesrazonables que sirvan para caracterizarlo unívocam<strong>en</strong>te. Como <strong>en</strong> este mo<strong>del</strong>osólo son de interés <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras, será necesariohacer una restricción de los <strong>juegos</strong> simples que se pued<strong>en</strong> combinar.Definición 1.3.2 Dos<strong>juegos</strong>simples(N,v) y (N,w) son fusionables si paracualquier par de coaliciones S ∈ M (v) y T ∈ M (w) , se ti<strong>en</strong>e que S * T yT * S.Esta <strong>con</strong>dición de fusión establece que <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras<strong>del</strong> juego (N,v ∨ w) son precisam<strong>en</strong>te <strong>la</strong> unión de <strong>la</strong>s coaliciones minimalesganadoras de los <strong>juegos</strong> (N,v) y (N,w). Además, es evid<strong>en</strong>te que si dos <strong>juegos</strong>(N,v) y (N,w) son fusionables se ti<strong>en</strong>e que |M (v ∨ w)| = |M (v)|+|M (w)| .En el sigui<strong>en</strong>te ejemplo se prueba que el <strong>valor</strong> de Deegan-Packel no verifica<strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia.Ejemplo 1.3.1 Considér<strong>en</strong>se dos <strong>juegos</strong> simples (N,v) y (N,w) donde N ={1, 2, 3}, M (v) ={{1, 2} , {2, 3}} y M (w) ={1, 3} .El índice de Deegan-Packel para los <strong>juegos</strong> anteriores esρ (N,v) =(1/4, 1/2, 1/4) ,ρ(N,w) =(1/2, 0, 1/2) .Se ti<strong>en</strong>e que M (v ∨ w) = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} y M (v ∧ w) = {1, 2, 3}obt<strong>en</strong>iéndose <strong>en</strong>tonces queρ (N,v ∨ w) =ρ (N,v ∧ w) =(1/3, 1/3, 1/3) ,por lo que no se verifica <strong>la</strong> igualdadρ (N,v)+ρ (N,w) =ρ (N,v ∨ w)+ρ (N,v ∧ w) .
32 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesNueva caracterización <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-PackelEn Young (1985) se proporciona una caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapleyempleando <strong>la</strong> propiedad de monotonía fuerte <strong>en</strong> lugar de <strong>la</strong> propiedad deaditividad. Nowak (1997) obtuvo una caracterización simi<strong>la</strong>r para el <strong>valor</strong>de Banzhaf usando además <strong>la</strong> propiedad de “<strong>del</strong>egación” introducida porLehrer (1988).En el resto de esta sección se van a pres<strong>en</strong>tar nuevos resultados refer<strong>en</strong>tes alíndice de poder de Deegan-Packel. En primer lugar, se obt<strong>en</strong>drá una nuevacaracterización de este índice de poder empleando una propiedad simi<strong>la</strong>r amonotonía fuerte <strong>en</strong> lugar de <strong>la</strong> propiedad de fusión. A esta propiedad se led<strong>en</strong>ominará propiedad de monotonía minimal.Definición 1.3.3 Un índice de poder f : SI (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedadde monotonía minimal (MM) si para todo par de <strong>juegos</strong> (N,v) , (N,w) ∈SI (N), se ti<strong>en</strong>e quef i (N,w) |M (w)| ≥ f i (N,v) |M (v)| ,para todo jugador i ∈ N tal que M i (v) ⊆ M i (w) .En el sigui<strong>en</strong>te ejemplo se prueba que el índice de poder de Shapley-Shubikno satisface esta propiedad.Ejemplo 1.3.3 Sean (N,v) , (N,w) dos <strong>juegos</strong> simples donde N = {1, 2, 3}y los <strong>con</strong>juntos de coaliciones minimales ganadoras son M (v) ={{1, 2}} yM (w) ={{1, 2} , {2, 3}} , respectivam<strong>en</strong>te. En este caso, M 1 (v) ⊆ M 1 (w) ,pero ϕ 1 (N,w) |M (w)| = 1 3 y ϕ 1 (N,v) |M (v)| = 1 2 .La naturaleza de <strong>la</strong> propiedad de monotonía minimal se basa <strong>en</strong> <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>teidea: si para un jugador i toda coalición pert<strong>en</strong>eci<strong>en</strong>te a M i (v) tambiénpert<strong>en</strong>ece a M i (w) parece lógico que <strong>en</strong> el juego (N,w) dicho jugador t<strong>en</strong>gamayor poder que <strong>en</strong> el juego (N,v) (después de normalizarlo por el númerode coaliciones minimales ganadoras de cada uno de los <strong>juegos</strong>).Nótese que si un índice de poder f : SI (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedadde monotonía minimal, <strong>en</strong>tonces cumple <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te igualdad:f i (N,w) |M (w)| = f i (N,v) |M (v)| ,
Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 33para todo par de <strong>juegos</strong> (N,v) , (N,w) ∈ SI (N) y para todo jugador i ∈ Ntal que M i (v) =M i (w).En el sigui<strong>en</strong>te resultado se propone una nueva caracterización <strong>del</strong> índice depoder de Deegan-Packel.Teorema 1.3.2 El único índice de poder f : SI (N) −→ R n que verifica<strong>la</strong>s propiedades de MM,JN,SIM y EFI es el índice de poder de Deegan-Packel.DemostraciónSe com<strong>en</strong>zará probando <strong>la</strong> exist<strong>en</strong>cia. En Deegan-Packel (1979) se demuestraque el <strong>valor</strong> de Deegan-Packel satisface <strong>la</strong> propiedad de jugador nulo,simetría y efici<strong>en</strong>cia. Para demostrar que satisface <strong>la</strong> propiedad de monotoníaminimal, supóngase un par de <strong>juegos</strong> (N,v) , (N,w) ∈ SI (N), yunjugador i ∈ N tal que M i (v) ⊆ M i (w) . Entoncesρ i (N,v) =1|M (v)|XS∈M i (v)1|S| .Por otro <strong>la</strong>do,ρ i (N,w) =1|M (w)|XS∈M i (w)1|S| =1|M (w)|XS∈M i (v)1|S| + 1|M (w)|XS∈M i (w)\M i (v)1|S| .Por lo tanto,ρ i (N,w) |M (w)| =XS∈M i (v)XS∈M i (v)1|S| +XS∈M i (w)\M i (v)1|S| = ρ i (N,v) |M (v)| .1|S| ≥
34 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesSe verá ahora <strong>la</strong> unicidad. La demostración se hará por inducción <strong>en</strong> |M (v)| .Si |M (v)| =1, <strong>en</strong>tonces v = u S para alguna coalición S ⊆ N. Si una soluciónf satisface <strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia, simetría y jugador nulo, se ti<strong>en</strong>e quef i (N,v) =½ 1|S|si i ∈ S0 si i/∈ SPor lo tanto, <strong>la</strong> solución es única cuando |M (v)| =1. Supóngase que elresultado está probado para cualquier <strong>valor</strong> de |M (v)| desde 1 hasta p − 1 yse verá que es cierto para |M (v)| = p. Sea <strong>en</strong>tonces un juego (N,v) ∈ SI (N)tal que M (v) ={S 1 ,S 2 ,... ,S p }.Sea R = S 1 ∩ S 2 ∩ ... ∩ S p yseai /∈ R tal que M i (v) 6= ∅ (c<strong>la</strong>ram<strong>en</strong>teexiste por ser |M (v)| > 1). Considérese el juego (N,v 0 ) ∈ SI (N) tal queM (v 0 )={S ∈ M (v) /i ∈ S} .Como M i (v) =M i (v 0 ) , por <strong>la</strong> propiedad de monotonía minimal, se ti<strong>en</strong>equef i (N,v) |M (v)| = f i (N,v 0 ) |M (v 0 )| ,<strong>en</strong>tonces, por hipótesis de inducción, f i (N,v) es única cuando i/∈ R.Falta demostrar <strong>la</strong> unicidad cuando i ∈ R = S 1 ∩ S 2 ∩ ...∩ S p .Por <strong>la</strong> propiedad de simetría, f i (N,v) debe ser igual a una <strong>con</strong>stante c paratodos los jugadores de R. Como <strong>la</strong> solución es efici<strong>en</strong>te y es única para todoslos jugadores que no están <strong>en</strong> R, esta <strong>con</strong>stante c ti<strong>en</strong>e que ser única.¤La ext<strong>en</strong>sión multilineal y el índice de poder de Deegan-PackelEn esta sección se verá cómo se puede obt<strong>en</strong>er el índice de poder de Deegan-Packel de un juego (N,v) ∈ SI (N) a partir de su ext<strong>en</strong>sión multilineal. Enel sigui<strong>en</strong>te lema, demostrado <strong>en</strong> Ow<strong>en</strong> (1972b), se proporciona un métodos<strong>en</strong>cillo para calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal de un juego a partir de suexpresión como combinación lineal de <strong>juegos</strong> de unanimidad.
Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 35Lema 1.3.3 Si un juego v puedeescribirsede<strong>la</strong>formav = Pc S u S ,<strong>en</strong>tonces<strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal de v es de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te forma:h (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X Yc S x i ,S⊆N i∈Sdonde N = {1, 2,... ,n} y <strong>la</strong>s cantidades c S son <strong>con</strong>stantes.S⊆NAnteriorm<strong>en</strong>te<strong>en</strong><strong>la</strong>expresión(1.1)sevioquetodojuego(N,v) ∈ TU (N)puede escribirse como combinación lineal de <strong>juegos</strong> de unanimidad. En elcaso particu<strong>la</strong>r <strong>en</strong> el que (N,v) sea un juego simple, se ti<strong>en</strong>e quev = X c S u S .S⊆NS∈WPor lo tanto, aplicando el lema 1.3.3, se obti<strong>en</strong>e que <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilinealde un juego simple (N,v) es de <strong>la</strong> formah (x 1 ,x 2 ,... ,x n )= X Yc S x i ,S⊆N i∈SS∈Wdonde, a partir de (1.1), se ti<strong>en</strong>e que c S =1si S ∈ M (v) .A <strong>con</strong>tinuación, se describe el procedimi<strong>en</strong>to para obt<strong>en</strong>er el índice de poderde Deegan-Packel de un juego simple a partir de su ext<strong>en</strong>sión multilineal.T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> facilidad de cálculo de este índice de poder a partir<strong>del</strong> <strong>con</strong>ocimi<strong>en</strong>to <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras, este resultadono ti<strong>en</strong>e mucha utilidad práctica, pero se incluye porque se <strong>con</strong>siderainteresante y para ver su semejanza <strong>con</strong> el procedimi<strong>en</strong>to para calcu<strong>la</strong>r otrosíndices de poder a partir de <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal <strong>del</strong> juego.Teorema 1.3.4 Sea (N,v) un juego simple. Puede calcu<strong>la</strong>rse el índice depoder de Deegan-Packel ρ i de un jugador i ∈ N <strong>en</strong> dicho juego, sigui<strong>en</strong>do lossigui<strong>en</strong>tes pasos:1. Obt<strong>en</strong>er <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) <strong>del</strong> juego (N,v).Q2. En <strong>la</strong> expresión anterior eliminar aquellos monomios de <strong>la</strong> forma c Sx ii∈Spara los que c S 6=1. Conestosehaobt<strong>en</strong>idounanuevafunciónmultilineall (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) .
36 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simples3. Sea p el mínimo número de términos de los monomios Q i∈Sx i que quedan<strong>en</strong> <strong>la</strong> función l obt<strong>en</strong>ida <strong>en</strong> el paso anterior. Desde k = p +1 hasta k = neliminar aquellos monomios <strong>con</strong> k términos que sean divisibles por algúnmonomiode<strong>la</strong>funciónl <strong>con</strong> número de términos desde p hasta k − 1. Conesto obt<strong>en</strong>emos una función g.4. Finalm<strong>en</strong>te, para obt<strong>en</strong>er el índice de poder de Deegan-Packel ρ i ,deunjugador i ∈ N, basta <strong>con</strong> calcu<strong>la</strong>rDemostraciónρ i (N,v) =Sea (N,v) ∈ SI (N) e i ∈ N.1g (1, 1,... ,1)Z 10∂g∂x i(t, . . . , t) dt.Es inmediato comprobar que <strong>la</strong> función g que se obti<strong>en</strong>e después <strong>del</strong> paso 3es igual ag (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=X YSe ti<strong>en</strong>e que g (1, 1,... ,1) =PS∈M(v)Por otra parte,Z 1∂g(t,... ,t) dt =∂x i0Z 1<strong>con</strong> lo se finaliza <strong>la</strong> demostración.¤0S∈M(v) k∈S1=|M (v)| .XS∈M i (v)x kt |S|−1 dt =XS∈M i (v)1|S| ,Como ac<strong>la</strong>ración <strong>del</strong> teorema anterior, com<strong>en</strong>tar que el motivo por el que seaplican los pasos 2 y 3 es porque es necesario eliminar de <strong>la</strong> expresión de <strong>la</strong>ext<strong>en</strong>sión multilineal aquellos términos que se correspond<strong>en</strong> <strong>con</strong> coalicionesganadoras no minimales. Se ilustrará el procedimi<strong>en</strong>to descrito <strong>en</strong> el teoremaanterior para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel de los distintospartidos que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> el Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares.Ejemplo 1.3.4 El Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares puede repres<strong>en</strong>tarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3]. Se va a calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong>jugador 1(PP) empleando el procedimi<strong>en</strong>to descrito <strong>en</strong> el resultado anterior.
Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 37En primer lugar, puede comprobarse fácilm<strong>en</strong>te que este juego simple v puedeescribirse <strong>en</strong> términos de <strong>juegos</strong> de unanimidad de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te forma, dondeS = {1} y T = {2, 3, 4, 5, 6}.v = X R⊆T|R|=1u S∪R + u T − X R⊆T|R|=2u S∪R + X R⊆T|R|=3u S∪R − X R⊆T|R|=4u S∪R .Aplicando el lema 1.3.3, se ti<strong>en</strong>e que <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal de este juegoes:h (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 − x 1 x 2 x 4 − x 1 x 2 x 5 − x 1 x 2 x 6 − x 1 x 3 x 4 −x 1 x 3 x 5 − x 1 x 3 x 6 − x 1 x 4 x 5 − x 1 x 4 x 6 − x 1 x 5 x 6 +x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 6 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 6 +x 1 x 2 x 5 x 6 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 6 + x 1 x 3 x 5 x 6 + x 1 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 − x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 − x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 − x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 − x 1 x 3 x 4 x 5 x 6 .Después de aplicar el paso 2, eliminando aquellos monomios <strong>con</strong> coefici<strong>en</strong>tedistinto de 1, se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> función l,l (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 +x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 6 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 6 +x 1 x 2 x 5 x 6 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 6 + x 1 x 3 x 5 x 6 + x 1 x 4 x 5 x 6 .
38 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesEliminando de los monomios que forman <strong>la</strong> función l aquellos que pued<strong>en</strong>ser divididos por algún otro monomio de l, se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te función gg (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .Finalm<strong>en</strong>te, para evaluar el poder <strong>del</strong> PP por medio <strong>del</strong> índice de Deegan-Packel, se aplica el paso 4, calcu<strong>la</strong>ndog (1, 1, 1, 1, 1, 1) = 6 yZ 10∂g∂x 1(t, . . . , t) dt =Z 105tdt = 5 2 ,es decir, ρ 1 (N,v) =5/12.De forma simi<strong>la</strong>r se obt<strong>en</strong>dría que el índice de poder de Deegan-Packel de losrestantes partidos sería igual a 7/60.La función g<strong>en</strong>eratriz y el índice de poder de Deegan-PackelPara finalizar este capítulo se verá cómo se puede calcu<strong>la</strong>r el índice de poderde Deegan-Packel <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> de mayoría ponderada empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices.Dado un juego simple (N,v) tanto el índice de poder de Banzhaf-Colemancomo el índice de poder de Shapley-Shubik de un jugador i ∈ N son sumasponderadas <strong>del</strong> número de swings para el citado jugador, es decir, coalicionesperdedoras que pasan a ser ganadoras cuando se incorpora el jugador i. Sinembargo, para el índice de poder de Deegan-Packel de un jugador i sólo ti<strong>en</strong><strong>en</strong>influ<strong>en</strong>cia aquellos swings para i (S, S ∪ i) tales que S ∪ i sea una coaliciónminimal ganadora.Para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel <strong>en</strong> un juego de mayoríaponderada, <strong>en</strong> primer lugar, se empleará una función g<strong>en</strong>eratriz que permitacalcu<strong>la</strong>r el cardinal <strong>del</strong> total de coaliciones posibles; <strong>en</strong>tre éstas, se elegirán<strong>la</strong>s ganadoras y, finalm<strong>en</strong>te, <strong>la</strong>s minimales ganadoras. Para realizar esto, esnecesario emplear n+2 variables, una indicadora de cada uno de los jugadores,otra que indique el número de jugadores que forman parte de <strong>la</strong> coalición yotra que indique el peso de dicha coalición.
Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 39Dado un juego simple (N,v) , d<strong>en</strong>otando por m i s (v) el número de coalicionesminimales ganadoras S a <strong>la</strong>s que pert<strong>en</strong>ece el jugador i ∈ N, formadas por sjugadores, el índice de poder de Deegan-Packel de i <strong>en</strong> dicho juego es igual aρ i (N,v) =1|M (v)|nXs=1m i s (v).sEl sigui<strong>en</strong>te resultado proporciona una función g<strong>en</strong>eratriz que permite elcálculo de los números © c jk(zi ) i∈Nªj≥0,k≥0 , <strong>con</strong> z i =0o z i =1, para i =1, 2,... ,n donde c jk(zi ) i∈Nes el número de coaliciones formadas por los jjugadores de S = {j/z j =1} y de peso k. Es evid<strong>en</strong>te que estas cantidadesc jk(zi ) i∈Nson iguales a 1 (es posible formar una coalición <strong>con</strong> esas características)o a 0 (no es posible formar dicha coalición).Proposición 1.3.1 Sea (N,v) un juego simple de mayoría ponderada dadopor [q; w 1 ,w 2 ,...,w n ]. La función g<strong>en</strong>eratriz de los números © c jk(zi ) i∈Nªj≥0,k≥0 ,<strong>con</strong> z i =0o z i =1, para i =1, 2,... ,n, definidos anteriorm<strong>en</strong>te vi<strong>en</strong>e dadaporS (x, z 1 ,z 2 ,...z n ,t)=nY(1 + x w jz j t) .A partir de <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratriz anterior, para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder deDeegan-Packel, <strong>en</strong> primer lugar, deb<strong>en</strong> eliminarse aquellos monomios <strong>en</strong> losque <strong>la</strong> pot<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong> variable x sea m<strong>en</strong>or que q, pues interesa determinar<strong>la</strong>s coaliciones ganadoras.En un segundo paso, y de modo simi<strong>la</strong>r a como se hizo para <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>siónmultilineal deb<strong>en</strong> eliminarse aquellos monomios que puedan dividirse poralgún otro monomio de los que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> esta función. El número demonomios de <strong>la</strong> función resultante coincide <strong>con</strong> el número de coalicionesminimales ganadoras <strong>del</strong> juego, |M (v)| .Finalm<strong>en</strong>te, para obt<strong>en</strong>er el <strong>valor</strong> de Deegan-Packel de un jugador i ∈ Nbasta <strong>con</strong> seleccionar aquellos términos de <strong>la</strong> función anterior <strong>en</strong> los queaparezca <strong>la</strong> variable z i . La pot<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong> variable t indicará el número dejugadores que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> dicha coalición minimal ganadora.j=1
40 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simplesAl igual que sucedía <strong>con</strong> <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal, el procedimi<strong>en</strong>to descritoanteriorm<strong>en</strong>te para el cálculo <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel <strong>en</strong> <strong>juegos</strong>de mayoría ponderada ti<strong>en</strong>e poca utilidad práctica, aunque podría programarsepara realizar los cálculos mediante un ord<strong>en</strong>ador. Este resultadotambién es interesante porque sirve para comprobar que este índice tambiénse puede calcu<strong>la</strong>r empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices, al igual que sucedía <strong>con</strong>los índices de Shapley-Shubik y Banzhaf-Coleman. Para finalizar este capítulo,se ilustrará el procedimi<strong>en</strong>to anterior calcu<strong>la</strong>ndo el índice de poder deDeegan-Packel de los distintos partidos que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> el Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>sIs<strong>la</strong>s Baleares.Ejemplo 1.3.5 El Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares puede repres<strong>en</strong>tarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador 1 es el PP, el jugador 2 es el PSOE,el jugador 3 es el PSM − EM, el jugador 4 es EU − EV , el jugador 5 esUM y el jugador 6 es el PACTE.En primer lugar se calcu<strong>la</strong> <strong>la</strong> función S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,t)S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,t)=nY(1 + x w jz j t)=j=1¡1+x 28 z 1 t ¢¡ 1+x 16 z 2 t ¢¡ 1+x 5 z 3 t ¢¡ 1+x 4 z 4 t ¢¡ 1+x 3 z 5 t ¢¡ 1+x 3 z 6 t ¢ =x 59 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 6 + x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 43 z 1 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 54 z 1 z 2 z 4 z 5 z 6 t 5 +x 55 z 1 z 2 z 3 z 5 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 t 5 + x 15 z 3 z 4 z 5 z 6 t 4 +x 26 z 2 z 4 z 5 z 6 t 4 + x 27 z 2 z 3 z 5 z 6 t 4 + x 28 z 2 z 3 z 4 z 6 t 4 + x 28 z 2 z 3 z 4 z 5 t 4 + x 38 z 1 z 4 z 5 z 6 t 4 +x 39 z 1 z 3 z 5 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 5 t 4 + x 50 z 1 z 2 z 5 z 6 t 4 + x 51 z 1 z 2 z 4 z 6 t 4 +
Nuevos resultados sobre el índice de poder de Deegan-Packel 41x 51 z 1 z 2 z 4 z 5 t 4 + x 52 z 1 z 2 z 3 z 6 t 4 + x 52 z 1 z 2 z 3 z 5 t 4 + x 53 z 1 z 2 z 3 z 4 t 4 + x 10 z 4 z 5 z 6 t 3 +x 11 z 3 z 5 z 6 t 3 + x 11 z 3 z 4 z 6 t 3 + x 12 z 3 z 4 z 5 t 3 + x 22 z 2 z 5 z 6 t 3 + x 23 z 2 z 4 z 6 t 3 +x 23 z 2 z 4 z 5 t 3 + x 24 z 2 z 3 z 6 t 3 + x 24 z 2 z 3 z 5 t 3 + x 25 z 2 z 3 z 4 t 3 + x 34 z 1 z 5 z 6 t 3 +x 35 z 1 z 4 z 6 t 3 + x 35 z 1 z 4 z 5 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 6 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 5 t 3 + x 37 z 1 z 3 z 4 t 3 +x 47 z 1 z 2 z 6 t 3 + x 47 z 1 z 2 z 5 t 3 + x 48 z 1 z 2 z 4 t 3 + x 49 z 1 z 2 z 3 t 3 +x 44 z 1 z 2 t 2 + x 33 z 1 z 3 t 2 + x 32 z 1 z 4 t 2 + x 31 z 1 z 5 t 2 + x 31 z 1 z 6 t 2 +x 21 z 2 z 3 t 2 + x 20 z 2 z 4 t 2 + x 19 z 2 z 5 t 2 + x 19 z 2 z 6 t 2 + x 9 z 3 z 4 t 2 +x 8 z 3 z 5 t 2 + x 8 z 3 z 6 t 2 + x 7 z 4 z 5 t 2 + x 7 z 4 z 6 t 2 + x 6 z 5 z 6 t 2 +x 28 z 1 t + x 16 z 2 t + x 5 z 3 t + x 4 z 4 t + x 3 z 5 t + x 3 z 6 t +1.De <strong>la</strong> función anterior se elig<strong>en</strong> aquellos términos <strong>en</strong> los que <strong>la</strong> pot<strong>en</strong>cia de<strong>la</strong> variable x sea mayor o igual que 30, esdecir,x 59 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 6 + x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 43 z 1 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 +x 54 z 1 z 2 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 55 z 1 z 2 z 3 z 5 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 6 t 5 + x 56 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 t 5 +x 38 z 1 z 4 z 5 z 6 t 4 + x 39 z 1 z 3 z 5 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 6 t 4 + x 40 z 1 z 3 z 4 z 5 t 4 +x 50 z 1 z 2 z 5 z 6 t 4 + x 51 z 1 z 2 z 4 z 6 t 4 + x 51 z 1 z 2 z 4 z 5 t 4 + x 52 z 1 z 2 z 3 z 6 t 4 +x 52 z 1 z 2 z 3 z 5 t 4 + x 53 z 1 z 2 z 3 z 4 t 4 + x 34 z 1 z 5 z 6 t 3 + x 35 z 1 z 4 z 6 t 3 +
42 Índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> simples+x 35 z 1 z 4 z 5 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 6 t 3 + x 36 z 1 z 3 z 5 t 3 + x 37 z 1 z 3 z 4 t 3+x 47 z 1 z 2 z 6 t 3 + x 47 z 1 z 2 z 5 t 3 + x 48 z 1 z 2 z 4 t 3 + x 49 z 1 z 2 z 3 t 3+x 44 z 1 z 2 t 2 + x 33 z 1 z 3 t 2 + x 32 z 1 z 4 t 2 + x 31 z 1 z 5 t 2 + x 31 z 1 z 6 t 2 .De los términos anteriores se elig<strong>en</strong> aquellos que no pued<strong>en</strong> ser divididos porotros términos, <strong>con</strong> lo que al final quedarían los términos:x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 t 5 + x 44 z 1 z 2 t 2 + x 33 z 1 z 3 t 2 + x 32 z 1 z 4 t 2 + x 31 z 1 z 5 t 2 + x 31 z 1 z 6 t 2 .Por lo tanto, |M (v)| =6, el número de términos de <strong>la</strong> expresión anterior.Para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de un jugador i ∈ N basta <strong>con</strong> sumar aquellosmonomios <strong>en</strong> los que aparece <strong>la</strong> variable z i dividido <strong>en</strong>tre <strong>la</strong> pot<strong>en</strong>ciacorrespondi<strong>en</strong>te de <strong>la</strong> variable t, y dividir el resultado final <strong>en</strong>tre |M (v)| . Asípara calcu<strong>la</strong>r el índice de poder <strong>del</strong> jugador 4 se ti<strong>en</strong>e que z 4 aparece <strong>en</strong> dosmonomios, dividi<strong>en</strong>do <strong>en</strong>tre el expon<strong>en</strong>te correspondi<strong>en</strong>te de <strong>la</strong> variable t, seobti<strong>en</strong>e 1/5+1/2 =7/10, que dividido <strong>en</strong>tre |M (v)| es igual a 7/60.De forma simi<strong>la</strong>r se obt<strong>en</strong>dría el índice de poder de Deegan-Packel de losrestantes jugadores:ρ (N,v) =(5/12, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60) .
Capítulo 2Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> uniones aprioriEn los mo<strong>del</strong>os <strong>con</strong>siderados <strong>en</strong> el capítulo anterior se puede formar cualquiercoalición, ya que no existe ninguna restricción <strong>en</strong> <strong>la</strong> cooperación <strong>en</strong>tre losjugadores. Sin embargo, para repres<strong>en</strong>tar ciertas situaciones de forma másadecuada es preciso tratar <strong>con</strong> nuevos mo<strong>del</strong>os.Uno de estos mo<strong>del</strong>os es el de los <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> un sistema de uniones.Un sistema de uniones es una partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores que describeuna estructura de coaliciones apriori. En <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes secciones seestudiarán varias soluciones para estos <strong>juegos</strong> y se propondrán herrami<strong>en</strong>taspara su cálculo, como <strong>la</strong>s ext<strong>en</strong>siones multilineales para cualquier juego TU oherrami<strong>en</strong>tas basadas <strong>en</strong> <strong>la</strong> utilización de funciones g<strong>en</strong>eratrices, para <strong>juegos</strong>de mayoría ponderada.2.1 El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>En primer lugar, pres<strong>en</strong>taremos algunos <strong>con</strong>ceptos y resultados básicos.Definición 2.1.1 Un juego TU <strong>con</strong> un sistema de uniones es una terna(N,v,P), donde(N,v) es un juego TU y P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } es una particiónde N que proporciona el sistema de uniones asociado.Se d<strong>en</strong>otará por U (N) el <strong>con</strong>junto de todos los <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> sistema deuniones y <strong>con</strong>junto de jugadores N, yporU el <strong>con</strong>junto de todos los <strong>juegos</strong>TU <strong>con</strong> sistema de uniones.43
44 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriDado un <strong>con</strong>junto N = {1, 2, ..., n} , se utilizará <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te notación:• Se d<strong>en</strong>otará por P (N) el <strong>con</strong>junto de <strong>la</strong>s particiones de N.• Se d<strong>en</strong>otará por P n <strong>la</strong> partición de N dada por {{1} , {2} , ..., {n}} ,(<strong>en</strong> este caso, diremos que el sistema de uniones es el trivial).• Se d<strong>en</strong>otará por P N <strong>la</strong> partición de N dada por {N} , (aunque <strong>en</strong>algunos trabajos se <strong>con</strong>sidera que este sistema de uniones también estrivial, para nosotros el sistema de uniones trivial será sólo P n , aquel<strong>en</strong> el que cada jugador es una unión).• Dado un jugador i ∈ N, se d<strong>en</strong>otará por P (i) el <strong>con</strong>junto de <strong>la</strong>s particionesde N, <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que el jugador i <strong>con</strong>stituye una coalición apriori,es decir, P ∈ P (i) si existe P k ∈ P tal que P k = {i} .Definición 2.1.2 Una solución sobre U(N) es una aplicaciónf : U (N) −→ R nque a cada juego (N,v,P) ∈ U (N) le asigna un vector de R n , <strong>en</strong> el que cadacompon<strong>en</strong>te repres<strong>en</strong>ta el pago que recibe el jugador correspondi<strong>en</strong>te.El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>, propuesto y caracterizado por Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong> 1977 es una modificación<strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley adaptada al <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> <strong>cooperativos</strong><strong>con</strong> un sistema de uniones apriori.En primer lugar, se define el juego coci<strong>en</strong>te asociado a un juego <strong>con</strong> unionesapriori.Definición 2.1.3 Sea (N,v,P) ∈ U(N) <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } . Se defineel juego coci<strong>en</strong>te asociado a (N,v,P) como el juego ¡ M,v ¢ P ∈ TU(M) talque v P (R) =v( S P k ), para todo R ⊆ M, si<strong>en</strong>do M = {1, 2, ..., m} .k∈RDiremos que dos uniones distintas P k ,P s ∈ P son simétricas <strong>en</strong> el juego(N,v,P) ∈ U (N) si k y s son jugadores simétricos <strong>en</strong> el juego ¡ M,v ¢ P .En el capítulo anterior se vio que el <strong>valor</strong> de Shapley satisface <strong>la</strong> propiedadde simetría. Cuando se introduce un sistema de uniones apriori,parece
El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> 45lógico sustituir esta propiedad por dos nuevas propiedades: una propiedadde simetría d<strong>en</strong>tro de cada unión y una propiedad de simetría <strong>en</strong>tre uniones.Simetría <strong>en</strong> cada unión (SU). Una solución f : U (N) −→ R n es simétrica<strong>en</strong> cada unión si para todo (N,v,P) ∈ U(N), se ti<strong>en</strong>e quef i (N,v,P) =f j (N,v,P) ,para todo par de jugadores simétricos i, j ∈ P k ,<strong>con</strong>P k ∈ P.Esta propiedad establece que si dos jugadores de <strong>la</strong> misma unión aprioridesempeñan el mismo papel <strong>en</strong> el juego (N,v) <strong>en</strong>tonces recib<strong>en</strong> el mismopago.Simetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (SC) . Una solución f : U (N) −→ R n es simétrica<strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te si para todo (N,v,P) ∈ U(N), se ti<strong>en</strong>e queXf i (N,v,P) = X f i (N,v,P) ,i∈P k i∈P spara todo par de uniones simétricas P k ,P s ∈ P.Esta propiedad determina que dos uniones que se comportan de igual forma<strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te obti<strong>en</strong><strong>en</strong> el mismo pago.A <strong>con</strong>tinuación, reescribimos <strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia, jugador nulo, soportey aditividad <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> sistema de uniones.Las designaremos de igual modo que <strong>la</strong>s propiedades análogas <strong>en</strong> el <strong>con</strong>textog<strong>en</strong>eralde<strong>juegos</strong>TU.Efici<strong>en</strong>cia (EFI) . Una solución f : U (N) −→ R n es efici<strong>en</strong>te si para todojuego (N,v,P) ∈ U (N) , se ti<strong>en</strong>e qu<strong>en</strong>Xf i (N,v,P) =v (N) .i=1Jugador nulo (JN). Una solución f : U (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedaddejugadornulosiparatodojuego(N,v,P) ∈ U (N) yparatodojugadornulo <strong>en</strong> (N,v) ,i∈ N, se ti<strong>en</strong>e que f i (N,v,P) =0.
46 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriSoporte (SOP). Una solución f : U (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedad desoporte (SOP) si para todo juego (N,v,P) ∈ U (N) y para todo soporteT de (N,v) se ti<strong>en</strong>e queXf i (N,v,P) =v (T ) .i∈TAl igual que para los <strong>juegos</strong> TU, para <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> sistemade uniones es equival<strong>en</strong>te que una solución satisfaga <strong>con</strong>juntam<strong>en</strong>te<strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia y jugador nulo o que satisfaga <strong>la</strong> propiedad desoporte.Aditividad (ADI). Una solución f : U (N) −→ R n es aditiva si para todopar de <strong>juegos</strong> (N,v,P) ∈ U (N) y (N,w,P) ∈ U (N) , se ti<strong>en</strong>e quef (N,v + w, P) =f (N,v,P)+f (N,w,P) ,donde para cualquier coalición T ⊆ N,(v + w)(T )=v (T )+w (T ) .Empleando algunas de <strong>la</strong>s propiedades anteriores, Ow<strong>en</strong> probó el sigui<strong>en</strong>teresultado.Teorema 2.1.1 La única solución f sobre U (N) verificando <strong>la</strong>s propiedadesde EFI,JN,SU,SC y ADI es el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>. Dado un juego(N,v,P) ∈ U (N) , dicha solución asigna a cada jugador i ∈ N el númeroreal Φ i (N,v,P) dado por:X X 1 1 1µ µ (v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) ,p k m m − 1 pk − 1R⊆M\k T ⊆P k \ir tdonde Q = ∪r∈RP r y P k ∈ P es <strong>la</strong> unión tal que i ∈ P k .El <strong>valor</strong> de Shapley puede <strong>en</strong>t<strong>en</strong>derse como una solución sobre el sub<strong>con</strong>juntode U formado por todas <strong>la</strong>s ternas (N,v,P n ) ∈ U (N) para todo N finito,es decir, puede p<strong>en</strong>sarse que el <strong>valor</strong> de Shapley es una solución para <strong>juegos</strong>TU <strong>con</strong> sistema de uniones, pero que está definido sólo para el caso <strong>en</strong> queel sistema de uniones es el trivial. Visto de esta forma, el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>serviría para g<strong>en</strong>eralizar el <strong>valor</strong> de Shapley <strong>en</strong> los casos <strong>en</strong> los que el sistemade uniones no es el trivial. Basándose <strong>en</strong> esta idea, <strong>en</strong> Vázquez Brage (1998)se introduce el <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong> coalicional de Shapley.
El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> 47Definición 2.1.4 Un <strong>valor</strong> coalicional de Shapley es una aplicación f queasigna a cada (N,v,P) ∈ U (N) un elem<strong>en</strong>to de R n verificando que, paratodo (N,v,P n ) ∈ U (N) ,f(N,v,P n )=ϕ (N,v) (recuérdese que ϕ d<strong>en</strong>ota el<strong>valor</strong> de Shapley).Es fácil comprobar que el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> es un <strong>valor</strong> coalicional de Shapley.En Vázquez Brage (1998), se proporcionan nuevas caracterizaciones para el<strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>, empleando el <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong> coalicional de Shapley y <strong>la</strong>spropiedades de juego coci<strong>en</strong>te, <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones ymonotonía fuerte.La propiedad de juego coci<strong>en</strong>te establece que lo que ganan los jugadoresde una coalición aprioricoincide <strong>con</strong> lo que gana <strong>la</strong> coalición <strong>en</strong> el juegococi<strong>en</strong>te.Juego coci<strong>en</strong>te (JC) . Una solución f : U (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedadde juego coci<strong>en</strong>te si para todo (N,v,P) ∈ U(N) yparatodoP k ∈ P, se ti<strong>en</strong>equeXi∈P kf i (N,v,P) =f k¡M, v P ,P m¢ .En el teorema 1.1.4 se recordó <strong>la</strong> caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley, obt<strong>en</strong>idapor Young <strong>en</strong> 1985, empleando <strong>la</strong> propiedad de monotonía fuerte. Se <strong>en</strong>unciaesta propiedad <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> sistema de uniones, aligual que para propiedades anteriores, <strong>la</strong> designaremos <strong>del</strong> mismo modo.Monotonía fuerte (MF) . Una solución f : U (N) −→ R n satisface <strong>la</strong>propiedad de monotonía fuerte si para todo par de <strong>juegos</strong> (N,v,P) ∈ U(N) y(N,w,P) ∈ U (N) tales que v (T ∪ i) − v (T ) ≥ w (T ∪ i) − w (T ) para todoi ∈ N yparatodoT ⊆ N\i, se ti<strong>en</strong>e que f i (N,v,P) ≥ f i (N,w,P).La propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones establece que <strong>la</strong>ganancia (o pérdida) que supone para un jugador i que un jugador j abandone<strong>la</strong> unión P k a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> ambos, es igual a <strong>la</strong> que sufre el jugador j,cuando es el jugador i el que decide abandonar <strong>la</strong> unión P k .Esdecir:<strong>Contribuciones</strong> equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones (CEU) . Una solución f :U (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s
48 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriuniones si para todo juego (N,v,P) ∈ U(N), para toda coalición P k ∈ P ypara todo par de jugadores i, j ∈ P k, se verifica quef i (N,v,P) − f i (N,v,P −j )=f j (N,v,P) − f j (N,v,P −i ) ,donde P −i es el sistema de uniones que resulta cuando el jugador i deja <strong>la</strong>unión a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ece, para formar una unión unitaria, es decir,P −i = {P 1 , ..., P k−1 ,P k \i, P k+1 , ..., P m , {i}} ,y P −j se define de modo análogo.Es interesante hacer notar que <strong>en</strong> esta propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradasno se produce abandono <strong>del</strong> juego por parte de ningún jugador, sinoque un jugador deja <strong>la</strong> unión a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ece, para formar una unión unitaria.Esta propiedad refleja <strong>la</strong> idea de que todos los jugadores de una unióndeb<strong>en</strong> b<strong>en</strong>eficiarse <strong>del</strong> mismo modo por formar dicha unión.Con los <strong>con</strong>ceptos anteriores, se pres<strong>en</strong>tan tres caracterizaciones <strong>del</strong> <strong>valor</strong> deOw<strong>en</strong> (Vázquez-Brage, 1998).Teorema 2.1.2 El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> es <strong>la</strong> única solución sobre U (N) que verifica<strong>la</strong>s propiedades de EFI,SU,SC y MF.Teorema 2.1.3 El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> es el único <strong>valor</strong> coalicional de Shapleysobre U que verifica <strong>la</strong>s propiedades de CEU y JC.Teorema 2.1.4 El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> es <strong>la</strong> única solución sobre U (N) que verifica<strong>la</strong>s propiedades de EFI,JN,SC,ADI y CEU.Otras caracterizaciones <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> pued<strong>en</strong> <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse <strong>en</strong> Winter(1992) y Calvo, Lasaga y Winter (1996).Anteriorm<strong>en</strong>tesehadefinido el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> desde un punto de vista axiomático,es decir, como el único <strong>valor</strong> que satisface una serie de propiedadesque se <strong>con</strong>sideran p<strong>la</strong>usibles d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> sistema deuniones. Además, puede darse <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te interpretación al <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>:supóngase que <strong>en</strong> un juego TU <strong>con</strong> sistema de uniones exist<strong>en</strong> dos niveles d<strong>en</strong>egociación; primero <strong>en</strong>tre uniones y después <strong>en</strong>tre jugadores de <strong>la</strong> mismaunión. El reparto <strong>en</strong>tre uniones se hace asignando a cada unión su <strong>valor</strong>de Shapley <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te. La cantidad asignada a cada unión <strong>en</strong> esteprimer reparto se divide <strong>en</strong>tre los jugadores de cada unión t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>tasus posibilidades de abandonar esa unión y <strong>en</strong>trar a formar parte de otrasuniones.
El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> 492.2 El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong>De acuerdo a <strong>la</strong> interpretación dada al <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>, com<strong>en</strong>tada al final de<strong>la</strong> sección anterior, Ow<strong>en</strong> (1981) propuso una ext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhafpara <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> un sistema de uniones. En este caso, elreparto <strong>en</strong> los niveles de negociación se hace empleando el <strong>valor</strong> de Banzhaf.Se d<strong>en</strong>ominará a esta solución <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> y se d<strong>en</strong>otará por Ψ.Definición 2.2.1 Dado un juego (N,v,P) ∈ U (N), el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> asigna a cada jugador i ∈ N el número real Ψ i (N,v,P) dado por:X X 1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) ,2 m−1 2 p k−1R⊆M\k T ⊆P k \idonde Q = S P r y P k ∈ P es <strong>la</strong> unión tal que i ∈ P k .r∈REl <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> no fue caracterizado hasta el año 2001, <strong>en</strong> elque aparec<strong>en</strong> dos axiomatizaciones de este <strong>valor</strong> (Albizuri, 2001) y (Amer,Carreras y Giménez, 2001). Ambas caracterizaciones emplean, <strong>en</strong>tre otras,<strong>la</strong> d<strong>en</strong>ominada propiedad de <strong>del</strong>egación, que ya fue empleada por Lehrer <strong>en</strong>1988 para obt<strong>en</strong>er una caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf sin utilizar e<strong>la</strong>xioma de aditividad.En esta sección pres<strong>en</strong>tamos otra caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong>empleando el <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf. En el teorema 2.1.3se vio una caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> empleando el <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong>coalicional de Shapley.En el primer capítulo se proporcionaron caracterizaciones de los <strong>valor</strong>es deShapley y de Banzhaf <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que <strong>la</strong> única difer<strong>en</strong>cia residía <strong>en</strong> que el <strong>valor</strong>de Shapley satisface efici<strong>en</strong>cia mi<strong>en</strong>tras que el <strong>valor</strong> de Banzhaf satisface <strong>la</strong>propiedad de poder total. El <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> es una ext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> <strong>valor</strong> deShapley para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> uniones apriori. Este <strong>valor</strong> satisface <strong>la</strong>s propiedadesde simetría <strong>en</strong> cada unión y simetría <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te, que se pued<strong>en</strong> interpretarcomo una ext<strong>en</strong>sión de <strong>la</strong> propiedad de simetría que satisface el <strong>valor</strong>de Shapley. Parece lógico suponer que de modo simi<strong>la</strong>r, al introducir unamodificación <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> sistema de uniones,dicha modificación debería verificar <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te.Sin embargo, el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> no verifica esta propiedadcomo se comprueba <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo:
50 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriEjemplo 2.2.1 Considérese el juego TU (N,u N ) , donde N = {1, 2, 3, 4, 5} yu N es el juego de unanimidad de <strong>la</strong> coalición total N. Tomando <strong>la</strong> estructurade coaliciones P = {P 1 ,P 2 },dondeP 1 = {1, 2, 3} y P 2 = {4, 5} es fácilcomprobar que el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> para el juego (N,u N ,P) esΨ (N,u N ,P)=(1/8, 1/8, 1/8, 1/4, 1/4) .El juego coci<strong>en</strong>te u P N es el juego de unanimidad <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de jugadoresM = {1, 2}. En este juego, los dos jugadores son simétricos, pero <strong>en</strong> el juego(N,u N ,P) se ti<strong>en</strong>e que P Ψ i (N,u N ,P) 6= P Ψ i (N,u N ,P).i∈P 1 i∈P 2En primer lugar se introducirá el <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong> coalicional, <strong>del</strong> que comocaso particu<strong>la</strong>r se obt<strong>en</strong>drían el <strong>valor</strong> coalicional de Shapley y el <strong>valor</strong> coalicionalde Banzhaf. Un <strong>valor</strong> coalicional de un determinado <strong>valor</strong> debe coincidir<strong>con</strong> este <strong>valor</strong> si el sistema de uniones es el trivial, es decir, aquel <strong>en</strong> elque cada jugador <strong>con</strong>stituye una unión.Definición 2.2.2 Dado un <strong>valor</strong> f sobre (N,v) , un <strong>valor</strong> coalicional de fes una aplicación g que asigna a cada (N,v,P) ∈ U (N) un elem<strong>en</strong>to de R nverificando que, para todo (N,v,P n ) ∈ U (N) ,g(N,v,P n )=f (N,v) .Definición 2.2.3 Un <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf es una aplicación f queasigna a cada (N,v,P) ∈ U (N) un elem<strong>en</strong>to de R n verificando que, paratodo (N,v,P n ) ∈ U (N) ,f(N,v,P n )=β (N,v) .En <strong>la</strong> nueva caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> se emplearán, además<strong>del</strong> <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf, dos nuevas propiedades, d<strong>en</strong>ominadaspropiedad de indifer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones y propiedad de juego coci<strong>en</strong>tepara coaliciones formadas por un único jugador.Definición 2.2.4 Una solución f : U (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedad deindifer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones (IU) si para todo juego (N,v,P) ∈ U (N) , paratoda unión P k ∈ P y para todo par de jugadores i, j ∈ P k , (i 6= j) se verificaquef i (N,v,P) =f i (N,v,P −j ) .Esta propiedad dice que si un jugador decide de modo uni<strong>la</strong>teral dejar <strong>la</strong>unión a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ece, el pago obt<strong>en</strong>ido por el resto de los jugadores dedicha unión sigue si<strong>en</strong>do el mismo.
El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> 51Definición 2.2.5 Una solución f : U (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedadde juego coci<strong>en</strong>te para coaliciones formadas por un único jugador (JCU) sipara todo jugador i ∈ N, para todo P ∈ P (i) yparatodojuego(N,v,P) ∈U(N), se ti<strong>en</strong>e quef i (N,v,P) =f k¡M, v P ,P m¢ ,donde k ∈ M = {1, 2,... ,m} es <strong>la</strong> unión tal que P k = {i} .Esta propiedad establece que si una coalición aprioriestá formada por unúnico jugador, el pago obt<strong>en</strong>ido por ese jugador coincide <strong>con</strong> el pago asignadoa <strong>la</strong> coalición correspondi<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el juego <strong>en</strong>tre uniones apriori.Lema 2.2.1 El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> es un <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf.DemostraciónDado (N,v,P n ) ∈ U (N), seti<strong>en</strong>equeparatodoi ∈ N, se verifica que existek ∈ {1, 2,... ,n} tal que P k = {i}. Comom = n y p k =1, <strong>en</strong>toncesΨ i (N,v,P n )=XXR⊆M\k T ⊆P k \i1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) =2 m−1 2 p k−1donde Q = Sr∈RXS⊆N\iP r .¤12 n−1 (v (S ∪ i) − v (S)) = β i (N,v) ,Lema 2.2.2 El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> verifica <strong>la</strong> propiedad de indifer<strong>en</strong>cia<strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ U (N) , <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } .Dado P k ∈ P e i, j ∈ P k puede <strong>con</strong>siderarseP −j = © P 0 1,P 0 2,... ,P 0 m+1ª,
52 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioridonde P 0l = P l ,paratodol ∈ {1,... ,k− 1,k+1,... ,m} ,P 0 k = P k\j, P 0 m+1 ={j} . Si M 0 = {1, 2,... ,m+1}, seti<strong>en</strong>equeΨ i (N,v,P −j )=XR⊆M 0 \kX 1 12 m0 −12 (v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) = p0T ⊆Pk 0 \i k −1 (2.1)XXR⊆M\k T ⊆P k \idonde <strong>en</strong> (2.1) Q = S1 12 m−1 2 (v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) = Ψ p i (N,v,P) ,k−1r∈RP r .¤Lema 2.2.3 El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> verifica <strong>la</strong> propiedad de juego coci<strong>en</strong>tepara coaliciones formadas por un único jugador.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ U (N) , <strong>con</strong> P ∈ P (i), es decir, P k = {i} para algún k ∈{1, 2,... ,m}. Entonces, se ti<strong>en</strong>e queΨ i (N,v,P) =XR⊆M\kXXR⊆M\k T ⊆P k \i1X(v (Q ∪ i) − v (Q)) =2m−1 1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) = (2.2)2 m−1 2 p k−1R⊆M\k12 m−1 ¡v P (R ∪ k) − v P (R) ¢ =¡β ¢ ¡k M,vP= Ψ i M,v P ,P m¢ ,donde <strong>en</strong> (2.2) Q = S P r .¤r∈REn el sigui<strong>en</strong>te resultado, se caracteriza el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> como <strong>la</strong>única ext<strong>en</strong>sión posible <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf al <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> TU<strong>con</strong> sistema de uniones verificando <strong>la</strong>s dos propiedades anteriores.Teorema 2.2.4 El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> es el único <strong>valor</strong> coalicional deBanzhaf que verifica IU y JCU.
El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> 53DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:En los tres lemas anteriores se demostró que el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> es un<strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf y que satisface IU y JCU.Unicidad:Supóngase que exist<strong>en</strong> dos <strong>valor</strong>es coalicionales de Banzhaf f 1 y f 2 verificandoIU y JCU.Puede <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse <strong>en</strong>tonces un juego (N,v) ∈ TU (N) , y para este juego,una partición P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } ∈ P (N) , <strong>con</strong>elmáximonúmerodecoaliciones apriorital que f 1 i (N,v,P) 6= f 2 i (N,v,P) , para algún jugadori ∈ N.Por ser ambas soluciones <strong>valor</strong>es coalicionales de Banzhaf, necesariam<strong>en</strong>tem 1, sea <strong>en</strong>tonces j ∈ P k , tal que j 6= i. Por <strong>la</strong> propiedad deindifer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesfi 1 (N,v,P) =fi 1 (N,v,P −j ) y fi 2 (N,v,P) =fi 2 (N,v,P −j ) .Por <strong>la</strong> maximalidad de <strong>la</strong> partición P, se ti<strong>en</strong>e quefi 1 (N,v,P −j )=fi 2 (N,v,P −j ) ,<strong>con</strong> lo que fi 1 (N,v,P) =fi 2 (N,v,P) , lo que es absurdo.¤Más ade<strong>la</strong>nte se compararán, mediante un par de ejemplos, el <strong>valor</strong> deOw<strong>en</strong>, el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> y una nueva versión coalicional <strong>del</strong> <strong>valor</strong> deBanzhaf, que se introduce a <strong>con</strong>tinuación.
54 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesapriori2.3 El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétricoEn esta sección se va a proponer y a caracterizar una ext<strong>en</strong>sión alternativa<strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> <strong>cooperativos</strong> <strong>con</strong> utilidadtransferible y sistema de uniones. Este <strong>valor</strong>, al que d<strong>en</strong>ominaremos <strong>valor</strong> deBanzhaf coalicional simétrico, satisface <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> el juegococi<strong>en</strong>te. Algunos de los resultados de esta sección y de secciones sigui<strong>en</strong>tesaparec<strong>en</strong> <strong>en</strong> Alonso, Colm<strong>en</strong>ero y Fiestras (2001) y Alonso y Fiestras (2001).En primer lugar, se propondrá una modificación de <strong>la</strong> propiedad de podertotal, t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que <strong>la</strong> exist<strong>en</strong>cia de uniones apriorilimita <strong>la</strong> cooperación<strong>en</strong>tre los jugadores. Para definir esta nueva propiedad se emplearáel <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong> coalicional y <strong>la</strong> propiedad de juego coci<strong>en</strong>te.Si quiere proponerse un <strong>valor</strong> f : U (N) −→ R n que satisfaga <strong>la</strong> propiedadde juego coci<strong>en</strong>te, debe cumplir que para cualquier juego (N,v,P) ∈ U (N)<strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } ,Xf i (N,v,P) = X Xf i (N,v,P) = X ¡f k M, v P ,P m¢ . (2.3)i∈Nk∈M i∈P k k∈MSi este <strong>valor</strong> es un <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf, debe coincidir <strong>con</strong> el <strong>valor</strong>de Banzhaf cuando el sistema de unioneseseltrivial,porlotanto,X ¡f k M,v P ,P m¢ = X ¡β ¢ k M,vP. (2.4)k∈M k∈MComo el <strong>valor</strong> de Banzhaf satisface <strong>la</strong> propiedad de poder total, se obti<strong>en</strong>e<strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te igualdadX ¡β ¢ k M,vP= 1 X X £v P (T ∪ k) − v P (T ) ¤ . (2.5)2 m−1k∈Mk∈M T ⊆M\kConsiderando <strong>la</strong>s igualdades (2.3), (2.4) y (2.5) se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te propiedad,a <strong>la</strong> que se d<strong>en</strong>ominará propiedad <strong>del</strong> poder total coalicional.Definición 2.3.1 Una solución f : U (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde poder total coalicional (PTC) si para todo (N,v,P) ∈ U (N) <strong>con</strong> P ={P k /k ∈ M = {1,... ,m}} se cumple queXf i (N,v,P) = 1 X X £v P (T ∪ k) − v P (T ) ¤ .2 m−1i∈Nk∈M T ⊆M\k
El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico 55Ahora, puede caracterizarse un nuevo <strong>valor</strong> <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te resultado.Teorema 2.3.1 Existe una única solución f : U (N) −→ R n verificando <strong>la</strong>spropiedades de PTC,JN,SU,SC y ADI. Esta solución se d<strong>en</strong>otará por Πy se d<strong>en</strong>ominará <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico.Dado un juego (N,v,P) ∈ U (N) , esta solución asigna a cada jugador i ∈ Nel número realΠ i (N,v,P) =XXR⊆M\k T ⊆P k \idonde Q = Sr∈RDemostraciónExist<strong>en</strong>cia:1 t!(p k − t − 1)!(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) , (2.6)2 m−1 p k !P r y P k ∈ P es <strong>la</strong> unión tal que i ∈ P k .En primer lugar se comprobará que Π verifica <strong>la</strong>s propiedades <strong>en</strong>umeradas<strong>en</strong> el teorema. Se com<strong>en</strong>zará <strong>con</strong> <strong>la</strong> propiedad de poder total coalicional.Dado (N,v,P) ∈ U (N) , se ti<strong>en</strong>e queXΠ i (N,v,P) = X XΠ i (N,v,P) =i∈N k∈M i∈P kXXk∈M R⊆M\k1 X2 m−1Xi∈P k T ⊆P k \it!(p k − t − 1)!p k !Dados P k ∈ P y R ⊆ M\k, <strong>con</strong>sidérese Q = S[v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] . (2.7)r∈RP r yeljuegoTU ¡ P k , ṽ Q¢ ∈TU (P k ) , <strong>con</strong> función característica ṽ Q (T )=v (Q ∪ T ) − v (Q) , para todoT ⊆ P k .
56 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriEntonces, el <strong>valor</strong> de Shapley de un jugador i ∈ P k <strong>en</strong> el juego ¡ P k , ṽ Q¢ esigual a:XT ⊆P k \iϕ i¡Pk , ṽ Q¢ =t!(p k − t − 1)!p k !XT ⊆P k \iXT ⊆P k \it!(p k − t − 1)!p k !£ṽQ (T ∪ i) − ṽ Q (T ) ¤ = (2.8)[v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q) − (v (Q ∪ T ) − v (Q))] =t!(p k − t − 1)!p k ![v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] .Por <strong>la</strong> efici<strong>en</strong>cia <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley, se obti<strong>en</strong>eXi∈P kϕ i¡Pk , ṽ Q¢ =ṽ Q (P k )=v (Q ∪ P k ) − v (Q) =XXi∈P k T ⊆P k \it!(p k − t − 1)!p k ![v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] .Insertando este resultado <strong>en</strong> <strong>la</strong> expresión anterior (2.7), se ti<strong>en</strong>e que:XΠ i (N,v,P) = X X 12 [v (Q ∪ P k) − v (Q)] =m−1i∈N k∈M1 X2 m−1R⊆M\kXk∈M R⊆M\k£v P (R ∪ k) − v P (R) ¤ .A partir de <strong>la</strong> expresión (2.6) es fácil comprobar que Π verifica <strong>la</strong>s propiedadesde jugador nulo y simetría <strong>en</strong> cada unión.Se ha demostrado que <strong>la</strong> cantidad total que obti<strong>en</strong><strong>en</strong> los jugadores de P k esigual a:XΠ i (N,v,P) = 1 X £v P (R ∪ k) − v P (R) ¤ . (2.9)2 m−1 i∈P kR⊆M\k
El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico 57Entonces, este <strong>valor</strong> satisface <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te: dadasdos uniones simétricas P k ,P s ∈ P ,seti<strong>en</strong>equev P (R ∪ k) =v P (R ∪ s) , paratodo R ⊆ M\{k, s} . Además, v P (R ∪ k) =v P (T ∪ s) , donde T =(R\s)∪k,para todo R ⊆ M\k y s ∈ R. De <strong>la</strong> expresión (2.9), se deduce queXΠ i (N,v,P) = X Π j (N,v,P) .i∈P k j∈P sFinalm<strong>en</strong>te, <strong>la</strong> expresión (2.6) es lineal <strong>en</strong> v, y <strong>en</strong>tonces, <strong>la</strong> solución es aditiva.Unicidad:Es sufici<strong>en</strong>te demostrar que cualquier solución f que satisface <strong>la</strong>s propiedades<strong>en</strong>umeradas <strong>en</strong> el teorema coincide <strong>con</strong> Π para los <strong>juegos</strong> de unanimidad.La propiedad de aditividad y el hecho de que <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> deunanimidad <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> una base de <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> TU, garantizan<strong>la</strong> unicidad de este <strong>valor</strong>.Considérese un <strong>con</strong>junto finito N y el juego de unanimidad u T ,<strong>con</strong>T ⊆ N.Dada una partición P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } ∈ P (N) tomandom (T )={j ∈ M/P j ∩ T 6= ∅} y T 0 j = P j ∩ T.El juego coci<strong>en</strong>te ¡ ¢M,u P T queda definido como½ 1 si m (T ) ⊆ Ru P T (R) =0 si m (T ) * Rpara todo R ⊆ M.Supóngase <strong>en</strong>tonces una solución f que cump<strong>la</strong> <strong>la</strong>s propiedades <strong>con</strong>sideradas<strong>en</strong> el teorema.Como f satisface <strong>la</strong> propiedad de jugador nulo, f i (N,u T ,P)=0, para todojugador i /∈ T. Más aún, por <strong>la</strong>s propiedades de poder total coalicional,jugador nulo y simetría <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te, se ti<strong>en</strong>e queX½f i (N,u T ,P)=i∈P k0 si k/∈ m (T )12 |m(T )|−1 si k ∈ m (T )
58 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioripara todo k ∈ M.Una solución f que satisface <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones, otorgaatodojugadorquepert<strong>en</strong>eceaT k 0 <strong>la</strong> misma cantidad. Por lo tanto,(0 si i/∈ Tf i (N,u T ,P)=1t 0 k2|m(T )|−1 sii ∈ T 0 kPor otro <strong>la</strong>do, si i/∈ T es fácil probar que Π i (N,u T ,P)=0.Cuandoi ∈ T<strong>en</strong>tonces i ∈ Tk0 = T ∩ P k y u T (Q ∪ S ∪ i) − u T (Q ∪ S) =1si y sólo siQ = S P r donde m (T ) \k ⊆ R ⊆ M\k, yTk 0\i ⊆ S ⊆ P k\i. Por lo tanto, sir∈Ri ∈ T 0 k ,Π i (N,u T ,P)=Xm(T )\k⊆R⊆M\kXT 0 k \i⊆S⊆P k\i1 s!(p k − s − 1)!=2 m−1 p k !1.t 0 k2|m(T )|−1En <strong>con</strong>secu<strong>en</strong>cia, f y Π coincid<strong>en</strong> para cualquier juego (N,u T ,P) y<strong>la</strong>demostraciónqueda finalizada.¤Este resultado reve<strong>la</strong> que <strong>la</strong>s propiedades que satisface el <strong>valor</strong> coalicional deBanzhaf simétrico y el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> son muy simi<strong>la</strong>res. La única difer<strong>en</strong>ciaes que el primero verifica <strong>la</strong> propiedad de poder total coalicional, mi<strong>en</strong>trasque el segundo satisface <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia. Nótese que esto está <strong>en</strong>correspond<strong>en</strong>cia <strong>con</strong> <strong>la</strong>s difer<strong>en</strong>cias <strong>en</strong>tre el <strong>valor</strong> de Banzhaf y el <strong>valor</strong> deShapley vistas <strong>en</strong> el primer capítulo.Es interesante hacer notar que el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico secorresponde <strong>con</strong> un <strong>valor</strong> que <strong>con</strong>siste <strong>en</strong> repartir <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te deacuerdo al <strong>valor</strong> de Banzhaf (expresión (2.9)) y d<strong>en</strong>tro de cada una de <strong>la</strong>scoaliciones se reparte esta cantidad de acuerdo <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Shapley (expresión(2.8)). Nuestra int<strong>en</strong>ción al definir este <strong>valor</strong> era obt<strong>en</strong>er una nuevaext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf que verificase <strong>la</strong>s propiedades de simetría <strong>en</strong>el coci<strong>en</strong>te y juego coci<strong>en</strong>te. Por lo tanto, esta nueva ext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> <strong>valor</strong> deBanzhaf recoge algunas de <strong>la</strong>s propiedades interesantes que satisface el <strong>valor</strong>de Ow<strong>en</strong>, a difer<strong>en</strong>cia <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong>. Más ade<strong>la</strong>nte, se hará unacomparación de estos <strong>valor</strong>es mediante un ejemplo.
El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico 59En el teorema 2.1.2 se vio una caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> empleando<strong>la</strong> propiedad de monotonía fuerte. De forma parecida, puede obt<strong>en</strong>erse otracaracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico, sustituy<strong>en</strong>do <strong>la</strong>propiedad de efici<strong>en</strong>cia por <strong>la</strong> de poder total coalicional, de <strong>la</strong> que se omite<strong>la</strong> demostración por ser simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> de los teoremas 2.1.2 y 2.3.1.Teorema 2.3.2 El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico es <strong>la</strong> única soluciónsobre U (N) verificando <strong>la</strong>s propiedades de PTC,SU,SC y MF.En el teorema 2.1.3 se caracteriza el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> como el único <strong>valor</strong>coalicional de Shapley que satisface <strong>la</strong>s propiedades de juego coci<strong>en</strong>te y <strong>con</strong>tribucionesequilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones. Ahora, se va a probar que el <strong>valor</strong>de Banzhaf coalicional simétrico satisface propiedades análogas.Lema 2.3.3 El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico es un <strong>valor</strong> coalicionalde Banzhaf y satisface <strong>la</strong> propiedad de juego coci<strong>en</strong>te.Demostración(1) Dado un juego (N,v) ∈ TU (N), <strong>con</strong>sidérese el sistema de uniones trivialP n yeljuego(N,v,P n ). Como el cardinal de cada unión P k es igual a 1,sustituy<strong>en</strong>do <strong>en</strong> (2.6), se obti<strong>en</strong>e que Π i (N,v,P n )=β i (N,v). Esto quieredecir que Π es un <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf.(2) De <strong>la</strong> expresión (2.9) se deduce que el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicionalsimétrico satisface <strong>la</strong> propiedad de juego coci<strong>en</strong>te.¤Lema 2.3.4 El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico verifica <strong>la</strong> propiedadde <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ U(N), <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } y M = {1, 2,... ,m} . SeaP k ∈ P e i, j ∈ P k .Por <strong>la</strong> expresión (2.6) se ti<strong>en</strong>e queΠ i (N,v,P) =
60 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriXXR⊆M\k T ⊆P k \iXXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}XXR⊆M\k T ⊆P k \i/j∈TXXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}XXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}donde Q = Sr∈R1 1 12 m−1 p kµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =pk − 1t1 1 12 m−1 p k1 1 12 m−1 p k1 1 12 m−1 p k1 1 12 m−1 p kµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +pk − 1tµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =pk − 1tµ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +pk − 1tµ [v (Q ∪ T ∪ j ∪ i) − v (Q ∪ T ∪ j)] ,pk − 1t +1P r . Considerando ahoraP −j = © P 0 1,P 0 2, ..., P 0 m+1ª,donde P 0l = P l , para todo l ∈ {1, ..., k − 1,k+1, ..., m} ,P 0 k = P k \j,P 0 m+1 = {j} y M 0 = {1, 2, ..., m +1}.Entonces, puede escribirseXR⊆M 0 \kΠ i (N,v,P −j )=X 1 1 1µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =2 m pT ⊆Pk 0 k − 1 pk − 2\it
El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico 61XXR⊆M 0 \{k,m+1} T ⊆P k \{i,j}1µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +p k − 1 pk − 2t1 12 mXR⊆M 0 \k/m+1∈RXT ⊆P k \{i,j}1 12 m p k − 11µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] =pk − 2tXXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}XXR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}1 12 m1µ [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +p k − 1 pk − 2t1µ [v (Q ∪ T ∪ j ∪ i) − v (Q ∪ T ∪ j)] .p k − 1 pk − 2t1 12 mDe esta forma:Π i (N,v,P) − Π i (N,v,P −j )=X XA 1 [v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] +R⊆M\k T ⊆P k \{i,j}X XA 2 [v (Q ∪ T ∪ j ∪ i) − v (Q ∪ T ∪ j)] ,R⊆M\k T ⊆P k \{i,j}dondeA 1 = 1 1 1µ − 1 12 m−1 p k pk − 1 2 m p k − 1t1µ pk − 2t
62 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriyA 2 = 1 1 1µ − 1 12 m−1 p k pk − 1 2 m p k − 1t +11µ .pk − 2tPuede escribirse A 1 = B −C y A 2 = D−C. Se va a comprobar que A 1 +A 2 =0, oloqueeslomismo,queB + D =2C.⎛⎞B + D = 1 1⎜1 12 m−1 p k⎝µ + µ ⎟pk − 1 pk − 1 ⎠ =t t +11 1 t!(p k − t − 1)! + (t +1)!(p k − t − 2)!=2 m−1 p k (p k − 1)!1 1 t!(p k − t − 2)! (p k − t − 1) + (t +1)t!(p k − t − 2)!2 m−1 p k (p k − 1)!=1 1 t!(p k − t − 2)! (p k − t − 1+t +1)=2 m−1 p k (p k − 1)!Por lo tanto,A 1X1 1 t!(p k − t − 2)!=2 m−1 p k − 1 (p k − 2)!2 12 m p k − 11µ =2C.pk − 2tΠ i (N,v,P) − Π i (N,v,P −j )=XR⊆M\k T ⊆P k \{i,j}[v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )] −
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 63X X[v (Q ∪ T ∪ j ∪ i)+v (Q ∪ T ∪ j)] .A 1R⊆M\k T ⊆P k \{i,j}Como esta expresión dep<strong>en</strong>de de i <strong>del</strong> mismo modo que dep<strong>en</strong>de de j, <strong>en</strong>toncesse ti<strong>en</strong>e que:Π i (N,v,P) − Π i (N,v,P −j )=Π j (N,v,P) − Π j (N,v,P −i )y <strong>la</strong> demostración está finalizada.¤Teorema 2.3.5 El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico (Π) es el único<strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf que satisface <strong>la</strong>s propiedades de CEU y JC.DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:Se sigue de los dos lemas anteriores que el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicionalsimétrico es un <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf que satisface CEU y JC.Unicidad:La demostración es inmediata empleando razonami<strong>en</strong>tos simi<strong>la</strong>res a los utilizados<strong>en</strong> Vázquez-Brage (1996), donde se demuestra que existe un único<strong>valor</strong> coalicional de Shapley que satisface <strong>la</strong>s propiedades de juego coci<strong>en</strong>tey <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones.¤Puede <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse otra caracterización de Π simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> caracterización <strong>del</strong><strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> <strong>del</strong> teorema 2.1.4, empleando <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribucionesequilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones, sin verlo como un <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf.Se omite <strong>la</strong> demostración por emplear razonami<strong>en</strong>tos simi<strong>la</strong>res a los de resultadosanteriores.Teorema 2.3.6 El <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico es <strong>la</strong> única soluciónsobre U (N) que verifica <strong>la</strong>s propiedades de PTC, JN, SC, ADI y CEU.Empleando <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> lugar de <strong>la</strong> propiedad de aditividad,obt<strong>en</strong>emos una caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétricopara los <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> uniones apriori. Esta caracterización es simi<strong>la</strong>ra <strong>la</strong> obt<strong>en</strong>idad <strong>en</strong> Vázquez-Brage (1998), para el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>juegos</strong>simples.
64 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriTeorema 2.3.7 El único índice de poder f : SU (N) −→ R n que verifica<strong>la</strong>s propiedades de PTC,JN,SU,SC y TR es el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicionalsimétrico.DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:Se probó anteriorm<strong>en</strong>te que Π satisface <strong>la</strong>s cuatro primeras propiedades.Además, como se verifica que (v ∨ w) +(v ∧ w) = v + w y Π verifica <strong>la</strong>propiedad de aditividad también satisface <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia.Unicidad:Se sigue <strong>la</strong> demostración utilizada por Dubey, (1975) para demostrar <strong>la</strong> unicidad<strong>del</strong> índice de poder de Shapley-Shubik, t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta como sevio anteriorm<strong>en</strong>te, que el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> deunanimidad está caracterizado por <strong>la</strong>s cuatro primeras propiedades.¤También puede caracterizarse Π para <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> simples a partir<strong>del</strong> teorema 2.3.5 <strong>en</strong> el que se caracteriza este nuevo <strong>valor</strong> como el único <strong>valor</strong>coalicional de Banzhaf <strong>con</strong> <strong>la</strong>s propiedades de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong><strong>la</strong>s uniones y juego coci<strong>en</strong>te.Para finalizar esta sección, se incluy<strong>en</strong> dos ejemplos <strong>en</strong> los que se comparanlos <strong>valor</strong>es de Ow<strong>en</strong>, Banzhaf-Ow<strong>en</strong> y Banzhaf coalicional simétrico.El Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s BalearesEl Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares está <strong>con</strong>stituido por 59 miembros, sucomposición resultante de <strong>la</strong>s elecciones <strong>del</strong> 13 de junio de 1999 puede repres<strong>en</strong>tarsecomo [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador 1 es el PP,eljugador2es el PSOE, el jugador 3 es el PSM − EN, eljugador4 es EU − EV ,eljugador 5 es UM y el jugador 6 es el PACTE.Las coaliciones minimales ganadoras son:{PP,PSOE} , {PP, EU − EV } , {PP, PACTE} , {PP,UM}
66 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriExcepto para el PP, el poder total correspondi<strong>en</strong>te a cada partido es mayor.La coalición de gobierno está formada por los partidos de izquierda y por lospartidos regionalistas.En este ejemplo, el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> y el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétricoreflejan <strong>la</strong> simetría exist<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tre <strong>la</strong>s uniones <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te. El <strong>valor</strong>de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> no satisface esta propiedad (por ejemplo, <strong>la</strong> segunda y <strong>la</strong>tercera unión son simétricas, pero <strong>la</strong> segunda unión recibe 3/8 y <strong>la</strong> terceraunión recibe 1/2).El Consejo de <strong>la</strong> Unión EuropeaEl Consejo de <strong>la</strong> Unión Europea está compuesto por un repres<strong>en</strong>tante decada estado miembro, <strong>en</strong> estos mom<strong>en</strong>tos son 15 los estados miembros repres<strong>en</strong>tados<strong>en</strong> este Consejo.Algunas de <strong>la</strong>s decisiones que debe aprobar el Consejo de <strong>la</strong> Unión Europeati<strong>en</strong><strong>en</strong> que ser por unanimidad (es necesario el voto favorable de los 15miembros), mi<strong>en</strong>tras que otras se aprueban por mayoría simple (es sufici<strong>en</strong>teel voto favorable de 8 miembros).Si repres<strong>en</strong>tamos estas reg<strong>la</strong>s de decisión mediante un juego simple, todos losmiembros <strong>en</strong> el Consejo son simétricos. El índice de poder de Shapley-Shubikasigna <strong>en</strong> los dos sistemas de votación un poder igual a 1/15, mi<strong>en</strong>trasqueel índice de poder de Banzhaf-Coleman asigna a cada estado una cantidadigual a 1/2 14 cuando el sistema de votación es por unanimidad y 3432/2 14cuando el sistema de votación es mediante mayoría simple.Pero, <strong>en</strong> muchas ocasiones, existe una estructura de cooperación apriorique permite <strong>con</strong>siderar este Consejo como un juego simple <strong>con</strong> un sistema deuniones. Por ejemplo, si se <strong>con</strong>sideran tres uniones <strong>con</strong>stituidas cada una deel<strong>la</strong>s por 5 miembros, está c<strong>la</strong>ro que todas <strong>la</strong>s uniones son simétricas y todoslos jugadores que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> estas uniones también son simétricos.En este <strong>con</strong>texto, hay dos niveles de negociación, por ejemplo <strong>en</strong> el caso deunanimidad, <strong>en</strong> una primera etapa sólo <strong>la</strong>s decisiones de los repres<strong>en</strong>tantesde <strong>la</strong>s 3 uniones son importantes y es más fácil alcanzar un acuerdo que <strong>en</strong> <strong>la</strong>primera situación donde era necesario el voto positivo de los 15 miembros. El<strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> asigna <strong>en</strong> cada uno de los dos sistemas de votación un poder
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 67de 1/15 a cada estado. Nótese que aunque <strong>la</strong> situación es cualitativam<strong>en</strong>tedifer<strong>en</strong>te de <strong>la</strong> primera, porque existe una estructura de uniones apriori,el<strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> coincide <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Shapley tanto si el sistema de votaciónes por mayoría o por unanimidad.El índice de Banzhaf coalicional simétrico le asigna a cada estado miembroun poder de 1/20, cuando el sistema de votación es por unanimidad y 1/10cuando el sistema de votación es por mayoría simple de los estados miembros.La suma de los índices de poder de los partidos que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> una unióncoincide <strong>con</strong> el índice de poder de Banzhaf-Coleman correspondi<strong>en</strong>te <strong>en</strong> eljuego coci<strong>en</strong>te. En el caso de unanimidad, el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> leasignaacadaestadounpoderigua<strong>la</strong>1/2 6 yunpoderigua<strong>la</strong>12/2 6 cuandoel sistema de votación es por mayoría simple. A difer<strong>en</strong>cia <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> deBanzhaf coalicional simétrico, <strong>en</strong> ninguno de los dos casos coincide <strong>con</strong> el<strong>valor</strong> de Banzhaf de cada unión <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te.2.4 El índice de poder de Deegan-Packel coalicionalEn esta sección y <strong>en</strong> <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te se van a proponer dos versiones coalicionales<strong>del</strong>índicedepoderdefinido por Deegan y Packel, para el caso <strong>en</strong> que juntoal juego simple, se t<strong>en</strong>ga una partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de los jugadores que determineun sistema de uniones apriori. ElíndicedepoderdeDeegan-Packelse basa <strong>en</strong> suponer que el comportami<strong>en</strong>to de los jugadores está determinadopor tres <strong>con</strong>diciones: minimalidad, equiprobabilidad y solidaridad.En <strong>la</strong> primera versión coalicional <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel, semant<strong>en</strong>drán <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones de minimalidad y equiprobabilidad pero se introduciráuna modificación <strong>en</strong> <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de solidaridad, t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>taque existe una partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores. Se van a proponer dosnuevas <strong>con</strong>diciones para sustituir<strong>la</strong>, que respetan <strong>la</strong> filosofía <strong>del</strong> índice depoder de Deegan-Packel no coalicional. Estas nuevas <strong>con</strong>diciones son:• Solidaridad <strong>en</strong>tre uniones a priori: Las uniones a priori que<strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> una coalición “victoriosa” se divid<strong>en</strong> el “botín” a partesiguales.
68 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesapriori• Solidaridad d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s uniones apriori: Losjugadoresdeunaunión apriorique forman parte de una coalición victoriosa divid<strong>en</strong> <strong>la</strong>parte que les corresponde <strong>del</strong> “botín” a partes iguales.Al igual que sucedía <strong>con</strong> <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de solidaridad, <strong>la</strong>s nuevas <strong>con</strong>dicionesparec<strong>en</strong> razonables <strong>en</strong> multitud de ocasiones: <strong>la</strong> solidaridad <strong>en</strong>tre uniones apriori es una propiedad que determina que cada una de <strong>la</strong>s uniones a priorijuega el mismo papel d<strong>en</strong>tro de una coalición minimal ganadora <strong>en</strong> <strong>la</strong> queestén repres<strong>en</strong>tadas; y <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de solidaridad d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s uniones apriori establece que cada uno de los jugadores de una unión juegan el mismopapel d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong> coalición minimal ganadora a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> los citadosjugadores.Definición 2.4.1 Dado (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , sedefine el índice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugador i ∈ P kcomo:ζ i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | ,donde M = {1, 2,... ,m} y m (S) ={j ∈ M/P j ∩ S 6= ∅} .Se puede comprobar que <strong>la</strong> definición <strong>del</strong> índice ζ para un jugador i ∈ P kes <strong>con</strong>sist<strong>en</strong>te <strong>con</strong> <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones anteriores. Es evid<strong>en</strong>te que, al igual queel índice de poder de Deegan-Packel, verifica <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones de minimalidad1y equiprobabilidad. Para cada coalición S ∈ M i (v), eltérmino indicaque aquel<strong>la</strong>s uniones apriorique ti<strong>en</strong><strong>en</strong> al m<strong>en</strong>os un jugador <strong>en</strong> <strong>la</strong>|m(S)|coalición minimal ganadora S juegan el mismo papel. Así pues, este índiceverifica <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de solidaridad <strong>en</strong>tre uniones apriori. Además, el término1|S∩P kindica que el pago para el jugador i es el mismo que para los|restantes |S ∩ P k | − 1 jugadores de S ∩ P k . Por tanto, satisface <strong>la</strong> <strong>con</strong>diciónde solidaridad d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s uniones apriori.Al igual que el índice de poder no coalicional, este índice ti<strong>en</strong>e una interpretaciónprobabilística. Supongamos que el pago correspondi<strong>en</strong>te a un jugadori ∈ P k que pert<strong>en</strong>ece a una coalición minimal ganadora S es ,|m(S)| |S∩P k |1 11ya que todas <strong>la</strong>s uniones repres<strong>en</strong>tadas <strong>en</strong> S obti<strong>en</strong><strong>en</strong> y<strong>la</strong>cantidad|m(S)|obt<strong>en</strong>ida por cada unión P k se <strong>la</strong> repart<strong>en</strong> los jugadores de S ∩ P k de formasolidaria. Si además todas <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras ti<strong>en</strong><strong>en</strong> una
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 691probabilidad de formarse, <strong>la</strong> esperanza matemática <strong>del</strong> pago correspondi<strong>en</strong>teal jugador i es precisam<strong>en</strong>te ζ i|M(v)|.Otros <strong>valor</strong>es coalicionales, como el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> o el <strong>valor</strong> de Banzhafcoalicional simétrico, satisfac<strong>en</strong> <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te. Sinembargo, esto no ocurre para el índice de poder de Deegan-Packel coalicional,ya que <strong>la</strong> propiedad de minimalidad es incompatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> propiedad desimetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te. Se verá esto <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo.Ejemplo 2.4.1 Considérese el juego simple <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de jugadoresN = {1, 2, 3, 4, 5}, <strong>con</strong> sistema de uniones <strong>con</strong>stituido por 3 uniones a prioriP = {P 1 ,P 2 ,P 3 } <strong>con</strong> P 1 = {1} ,P 2 = {2, 3} y P 3 = {4, 5}, y<strong>con</strong>juntodecoaliciones minimales ganadoras M (v) ={{1, 2} , {1, 3} , {1, 4, 5}}.En el juego coci<strong>en</strong>te, que ti<strong>en</strong>e como coaliciones minimales ganadoras aM ¡ v P ¢ = {{P 1 ,P 2 } , {P 1 ,P 3 }}, <strong>la</strong>s uniones a priori P 2 y P 3 son jugadoressimétricos, por lo que cualquier <strong>valor</strong> que verifique <strong>la</strong> propiedad de simetría<strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te les otorgaría <strong>la</strong> misma cantidad a <strong>la</strong>s dos uniones.Sin embargo, esto no es compatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de minimalidad, según<strong>la</strong> cual <strong>la</strong>s tres coaliciones minimales ganadoras son equiprobables, por lo que<strong>la</strong> probabilidad asignada a cada una de el<strong>la</strong>s es 1/3. Estounidoa<strong>la</strong>sdos<strong>con</strong>diciones de solidaridad determina que el “botín” que recib<strong>en</strong> P 2 y P 3 nopuede ser el mismo. Puede comprobarse que para este juego, el índice ζ esigual aζ (N,v,P) =(1/2, 1/6, 1/6, 1/12, 1/12) .Con este mismo ejemplo, se ve que el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalno verifica <strong>la</strong> propiedad de juego coci<strong>en</strong>te. De acuerdo a este índicede poder3Xζ i (N,v,P) = 1 3 yi=25Xζ i (N,v,P) = 1 6 .i=4Sin embargo, el índice de poder de Deegan-Packel (ρ) empleado para medirel poder de cada unión <strong>en</strong> el juego ¡ M,v P ¢ asigna a <strong>la</strong>s uniones P 2 y P 3 el<strong>valor</strong> 1/4.
70 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriPara el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, <strong>la</strong> simetría <strong>en</strong>tre dosuniones apriorivi<strong>en</strong>e determinada por el “comportami<strong>en</strong>to simétrico” deestas uniones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras. Para caracterizar esteíndice se introduce <strong>la</strong> definición de uniones apriorifuertem<strong>en</strong>te simétricas,que recoge <strong>la</strong>s ideas incluidas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones de solidaridad <strong>en</strong>tre uniones apriori, minimalidad y equiprobabilidad. Antes de formalizar esta definición,es necesario introducir el sigui<strong>en</strong>te <strong>con</strong>cepto.Definición 2.4.2 Dado (N,v,P) ∈ SU (N), <strong>con</strong>P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } yuna coalición perdedora S ⊆ N\P k , se dirá que T ⊆ P k , <strong>con</strong> P k ∈ P haceminimal ganadora a S si v (S ∪ T )=1y v (S ∪ R) =0, para toda coaliciónR ⊂ T. Es decir, todos los jugadores de T son necesarios y sufici<strong>en</strong>tes para<strong>con</strong>vertir a S <strong>en</strong> una coalición ganadora.Definición 2.4.3 Dado (N,v,P) ∈ SU (N), <strong>con</strong>P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m }, dosuniones a priori P k ,P j ∈ P son fuertem<strong>en</strong>te simétricas si dada una coaliciónperdedora S ⊆ N\{P k ,P j } , el número de subcoaliciones de P k que hac<strong>en</strong>minimal ganadora a S coincide <strong>con</strong> el número de subcoaliciones de P j quehac<strong>en</strong> minimal ganadora a S. Es decir, dada S ⊆ N\{P k ,P j } <strong>con</strong> v (S) =0los <strong>con</strong>juntos:M Pk (S) ={T ⊆ P k /v (S ∪ T )=1y v (S ∪ R) =0, ∀R ⊂ T }M Pj (S) ={L ⊆ P j /v (S ∪ L) =1y v (S ∪ F )=0, ∀F ⊂ L}ti<strong>en</strong><strong>en</strong> el mismo cardinal.Vamos a reformu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> propiedad de fusión <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> simples<strong>con</strong> uniones apriori(emplearemos el mismo nombre para designar<strong>la</strong>). Así,diremos que dos <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> uniones apriori(N,v,P) y (N,w,P)son fusionables si lo son los <strong>juegos</strong> simples (N,v) y (N,w) .Fusión (FUS). Un índice de poder f : SU (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedadde fusión si para todo par de <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> uniones a priori (N,v,P) y(N,w,P) fusionables, se ti<strong>en</strong>e quef (N,v ∨ w, P) =|M (v)| f (N,v,P)+|M (w)| f (N,w,P).|M (v ∨ w)|
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 71Antes de caracterizar el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, se introduce<strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te propiedad, a <strong>la</strong> que se d<strong>en</strong>ominará propiedad de simetríafuerte, basada <strong>en</strong> <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de solidaridad <strong>en</strong>tre uniones apriori. Segúnesta propiedad dos coaliciones fuertem<strong>en</strong>te simétricas recib<strong>en</strong> el mismo pago.Definición 2.4.4 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde simetría fuerte (SF) si para todo (N,v,P) ∈ SU (N) y para todo par decoaliciones fuertem<strong>en</strong>te simétricas P k ,P j ∈ P se cumple queXi∈P kf i (N,v,P) = X i∈P jf i (N,v,P) .Teorema 2.4.1 El único índice de poder f : SU (N) −→ R n que satisface<strong>la</strong>s propiedades de JN,SU,SF,EFI y FUS es el índice de poder de Deegan-Packel coalicional.DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:Sea (N,v,P) ∈ SU(N), <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } y M = {1, 2, ..., m} .Se va a probar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional verifica<strong>la</strong>s propiedades <strong>en</strong>unciadas <strong>en</strong> el teorema.Si i ∈ N es un jugador nulo <strong>en</strong>tonces M i (v) =∅, por lo que ζ i (N,v,P) =0ya que no hay ningún término <strong>en</strong> el sumatorio.Si dos jugadores i, j ∈ P k son simétricos, <strong>en</strong>tonces:ζ i (N,v,P) − ζ j (N,v,P) =1|M (v)|1|M (v)|XT ∈M j (v)\M i (v)XS∈M i (v)\M j (v)1 1|m (T )| |T ∩ P k | .1 1|m (S)| |S ∩ P k | −Existe una biyección <strong>en</strong>tre los <strong>con</strong>juntos M i (v) \M j (v) y M j (v) \M i (v) yaque si una coalición S ∈ M i (v) \M j (v) <strong>en</strong>tonces T = S\i ∪ j∈ M j (v) \M i (v) y, recíprocam<strong>en</strong>te si T ∈ M j (v) \M i (v) <strong>en</strong>tonces
72 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriS = T \j ∪ i ∈ M i (v) \M j (v) . Como |m (S)| = |m (T )| y |S ∩ P k |= |T ∩ P k | se ti<strong>en</strong>e que ζ i (N,v,P) − ζ j (N,v,P) =0.Para cualquier unión P k ∈ P ,seti<strong>en</strong>equeX1 X Xζ i (N,v,P) =|M (v)|i∈P ki∈P k S∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | .Dada una coalición S ∈ M i (v) , <strong>con</strong> i ∈ P k hay exactam<strong>en</strong>te |S ∩ P k | términosque <strong>con</strong>tribuy<strong>en</strong> a <strong>la</strong> suma anterior como1 1 1|M(v)| |m(S)| |S∩P k, por lo que al|sumar <strong>en</strong> P k se obti<strong>en</strong>eX1 X 1ζ i (N,v,P) =|M (v)| |m (S)| , (2.10)i∈P ksi<strong>en</strong>do M Pk (v) ={S ∈ M (v) /S ∩ P k 6= ∅} .S∈M Pk (v)Sean P k ,P j ∈ P un par de uniones apriorifuertem<strong>en</strong>te simétricas. Se ti<strong>en</strong>eque:Xi∈P kζ i (N,v,P) − X i∈P jζ i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M Pk (v)\M Pj (v)1|m (S)| −1|M (v)|XS 0 ∈M Pj (v)\M Pk (v)1|m (S 0 )| .Existe una biyección <strong>en</strong>tre M Pk (v) \M Pj (v) y M Pj (v) \M Pk (v) ya que paracada coalición S ∈ M Pk (v) \M Pj (v) existe una única coalición T ⊆ P j , talque S 0 = T ∪ S\(S ∩ P k ) ∈ M Pj (v) \M Pk (v) , por ser P k y P j fuertem<strong>en</strong>tesimétricas. Además, se ti<strong>en</strong>e que |m (S)| = |m (S 0 )|. De modo simi<strong>la</strong>r, dadaS 0 ∈ M Pj (v) \M Pk (v) existe una única coalición S ∈ M Pk (v) \M Pj (v) talque |m (S)| = |m (S 0 )| , por lo que P ζ i (N,v,P) − P ζ i (N,v,P) =0.i∈P k i∈P jPara probar <strong>la</strong> efici<strong>en</strong>cia, <strong>con</strong>sidérese una coalición S ∈ M (v) ytodoslostérminosde <strong>la</strong> suma P ζ i (N,v,P) <strong>en</strong> los cuales intervi<strong>en</strong>e S. Hay precisam<strong>en</strong>tei∈N
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 73|S| términos (uno para cada i ∈ S), de los cuales |S ∩ P k | términos son de1 1 1<strong>la</strong> forma|M(v)| |m(S)| |S∩P kpara cada k ∈ m (S) . Entonces cada k ∈ m (S)|1 1<strong>con</strong>tribuye <strong>con</strong> a <strong>la</strong> suma total, como hay precisam<strong>en</strong>te |m (S)||M(v)| |m(S)|1términosdeesaforma,sevequecadaS ∈ M (v) <strong>con</strong>tribuye <strong>con</strong> a<strong>la</strong>|M(v)|suma. Como hay |M (v)| <strong>con</strong>tribuciones, se ti<strong>en</strong>e que P ζ i (N,v,P) =1.Finalm<strong>en</strong>te, el <strong>valor</strong> propuesto verifica <strong>la</strong> propiedad de fusión ya que paratodo k ∈ M, para todo jugador i ∈ P k yparatodoparde<strong>juegos</strong>(N,v,P) y(N,w,P) fusionables se ti<strong>en</strong>e queζ i (N,v ∨ w, P) =⎡1⎣ X|M (v ∨ w)|S∈M i (v)1|M (v ∨ w)|XS∈M i (v∨w)1 1|m (S)| |S ∩ P k | + XS∈M i (w)i∈N1 1|m (S)| |S ∩ P k | =⎤1 1⎦ =|m (S)| |S ∩ P k |Unicidad:|M (v)| ζ i (N,v,P)+|M (w)| ζ i (N,w,P).|M (v ∨ w)|Se probará, <strong>en</strong> primer lugar, que cualquier índice de poder f que verifique<strong>la</strong>s propiedades <strong>del</strong> <strong>en</strong>unciado <strong>del</strong> teorema, coincide <strong>con</strong> ζ <strong>en</strong>los<strong>juegos</strong>deunanimidad.Dado un juego de unanimidad u S , es evid<strong>en</strong>te que |M (u S )| = 1 ya queM (u S )={S}.Para un juego de unanimidad u S , dos uniones aprioriP k ,P j ∈ P tales queS ∩ P k 6= ∅ y S ∩ P j 6= ∅, son fuertem<strong>en</strong>te simétricas. Si un jugador i/∈ S,<strong>en</strong>tonces i es un jugador nulo.Por <strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia, jugador nulo, simetría d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s unionesy simetría fuerte se ti<strong>en</strong>e que:f i (N,u S ,P)=½ 1 1|m(S)| |S∩P k |si i ∈ S ∩ P k0 si i/∈ S,
74 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioripor lo tanto, coincide <strong>con</strong> ζ <strong>en</strong> los <strong>juegos</strong> de unanimidad.Consideremos ahora un juego (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de coalicionesminimales ganadoras M (v) ={S 1 ,S 2 , ..., S p } (por lo tanto, |M (v)| = p).Entonces v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sp .Por medio <strong>del</strong> axioma de fusión se ti<strong>en</strong>e que:f i (N,v,P) =1|M (v)|1|M (v)|XS∈M i (v)pX|M (u Sk )| f i (N,u Sk ,P)=k=11 1|m (S)| |S ∩ P k | = ζ i (N,v,P) ,<strong>en</strong> donde se ha utilizado <strong>la</strong> expresión de f obt<strong>en</strong>ida anteriorm<strong>en</strong>te y el hechode que |M (u Sk )| =1.¤En secciones previas de este capítulo se pres<strong>en</strong>taron caracterizaciones <strong>del</strong><strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> y <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico empleandoel <strong>con</strong>cepto de <strong>valor</strong> coalicional de Banzhaf. Más ade<strong>la</strong>nte, se obti<strong>en</strong>e unanueva caracterización para el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalusando <strong>la</strong> propiedad de <strong>valor</strong> coalicional de Deegan-Packel.En primer lugar, se demostrará que este índice, al igual que el <strong>valor</strong> deOw<strong>en</strong> y el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico satisface <strong>la</strong> propiedad de<strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones. Además, se prueba que es uníndice de poder coalicional de Deegan-Packel, es decir, coincide <strong>con</strong> el índicedepoderdeDeegan-Packelsielsistema de uniones es el trivial.Lema 2.4.2 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional verifica <strong>la</strong> propiedadde <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU(N), <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 ,...,P m } y M = {1, 2,...,m} .© Sean P k ∈ P eª i, j ∈ P k . Puede <strong>con</strong>siderarse <strong>en</strong>tonces <strong>la</strong> partición P −j =P01 ,P2, 0 .., Pm+10 donde P0l = P l , para todo l ∈ M\k, Pk 0 = P k\j y Pm+1 0 ={j} .
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional 75Dada una coalición S, m (S) = {l ∈ {1, 2, ..., m} /P l ∩ S 6= ∅} ym 0 (S) ={l ∈ {1, 2, ..., m +1} /Pl 0 ∩ S 6= ∅} . Obsérvese que para cualquierS ⊆ N\j, se ti<strong>en</strong>e que m (S) =m 0 (S) .ζ i (N,v,P) − ζ i (N,v,P −j )=1|M (v)|⎡1⎣|M (v)|⎡1⎣|M (v)|XS∈M i (v)XS∈M i (v)\M j (v)XS∈M i (v)\M j (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | − 1|M (v)|XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | + XS∈M i (v)∩M j (v)1 1|m 0 (S)| |S ∩ Pk 0| + XS∈M i (v)∩M j (v)1 1|m 0 (S)| |S ∩ Pk 0| =⎤1 1⎦ −|m (S)| |S ∩ P k |⎤1 1|m 0 (S)| |S ∩ Pk 0| ⎦En <strong>la</strong> expresión anterior, téngase <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que si S ∈ M i (v) \M j (v) ,|m (S)| = |m 0 (S)| y |S ∩ P k | = |S ∩ P 0 k |,mi<strong>en</strong>trasquesiS ∈ M i (v)∩M j (v) ,|m (S)| = |m 0 (S)| − 1 y |S ∩ P k | = |S ∩ P 0 k | +1.De aquí se deduce que:ζ i (N,v,P) − ζ i (N,v,P −j )=1|M (v)|1|M (v)|XS∈M i (v)∩M j (v)XS∈M i (v)∩M j (v)1 1|m (S)| |S ∩ P k | −1 1|m (S)| +1|S ∩ P k | − 1 .Como esta expresión dep<strong>en</strong>de de i <strong>del</strong> mismo modo que dep<strong>en</strong>de de j, <strong>en</strong>toncesse ti<strong>en</strong>e que:ζ i (N,v,P) − ζ i (N,v,P −j )=ζ j (N,v,P) − ζ j (N,v,P −i ) .¤Lema 2.4.3 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional es un índice depoder coalicional de Deegan-Packel.
76 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriDemostraciónSea (N,v,P n ) ∈ SU (N) , dado un jugador i, se ti<strong>en</strong>e que existe un único k ∈{1, 2,... ,m} tal que P k = {i} ysiS ∈ M i (v) , |m (S)| = |S| y |S ∩ P k | =1.Entonces:ζ i (N,v,P n 1 X 1 1)=|M (v)| |m (S)| |S ∩ P k | =1|M (v)|XS∈M i (v)S∈M i (v)1|S| = ρ i (N,v) .¤En el ejemplo 2.4.1 se demostró que el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional no verifica <strong>la</strong> propiedad <strong>del</strong> juego coci<strong>en</strong>te. Se va a definir paracada juego (N,v,P) ∈ U (N) una “familia de <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociada”.El cardinal de esta familia es |M (v)|, el número de coaliciones minimalesganadoras.Definición 2.4.5 Dado (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> M (v) ={S 1 ,S 2 ,... , S p }y P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , se define <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociada a(N,v,P) como ©¡ M,u m(S)¢ªS∈M(v) donde M = {1, 2,... ,m} y u m(S) es eljuego de unanimidad <strong>en</strong> m (S) .El sub<strong>con</strong>junto de M que repres<strong>en</strong>ta a una coalición S ∈ M (v) , <strong>en</strong> el juego<strong>en</strong>tre uniones apriori,esm (S), ya que ahora cada unión apriories unúnico jugador. Parece lógico que exista una re<strong>la</strong>ción <strong>en</strong>tre lo que ganan losjugadores de una unión <strong>en</strong> el juego inicial y lo que gana esta unión <strong>en</strong> <strong>la</strong>familia de <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociada. T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que por <strong>la</strong> <strong>con</strong>diciónde equiprobabilidad, todas <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras ti<strong>en</strong><strong>en</strong><strong>la</strong> misma probabilidad de formarse, se propone <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te propiedad, a <strong>la</strong>que se d<strong>en</strong>ominará propiedad de <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociada.Esta propiedad establece que lo que gana una unión <strong>en</strong> el juego inicial es lomismo que <strong>la</strong> media de lo que gana <strong>la</strong> unión <strong>en</strong> <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>teasociada.Definición 2.4.6 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociada (JCA) si para todo juego (N,v,P)∈ U (N) yparatodoP k ∈ P se cumple queXi∈P kf i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M(v)f k¡M,um(S) ,P m¢ .
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 77Esta propiedad ti<strong>en</strong>e una interpretación probabilística. Dado (N,v,P) ∈SU (N) , si el pago correspondi<strong>en</strong>te ¡ a <strong>la</strong> unión P k ∈ P <strong>en</strong> el juego asociadoa una coalición S ∈ M (v) es f k M,um(S) ,P m¢ , como todas <strong>la</strong>s coalicionesminimales ganadoras de (N,v) son equiprobables, <strong>en</strong>tonces <strong>la</strong> esperanza de<strong>la</strong>s cantidades anteriores es el pago que recibirán los jugadores que forman<strong>la</strong> unión P k .Con <strong>la</strong>s propiedades anteriores, se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te caracterización <strong>del</strong>índice de poder de Deegan-Packel coalicional.Teorema 2.4.4 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional es el únicoíndice de poder coalicional de Deegan-Packel que verifica CEU y JCA.DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:En los lemas 2.4.2 y 2.4.3 se demostró que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional verifica CEU y que es un <strong>valor</strong> coalicional de Deegan-Packel, respectivam<strong>en</strong>te.En <strong>la</strong> expresión (2.10) se vio que, dado (N,v,P) ∈ SU (N) , para P k ∈ P seti<strong>en</strong>e que:Por otra parte,1|M (v)|XXS∈M(v)i∈P kζ i (N,v,P) =1|M (v)|ζ k¡M, um(S) ,P m¢ =XS∈M(v)S∩P k 6=∅1|M (v)|<strong>con</strong> lo que quedaría demostrada <strong>la</strong> exist<strong>en</strong>cia.Unicidad:1|m (S)| .XS∈M(v)S∩P k 6=∅1|m (S)| ,Supóngase que existe otro índice de poder coalicional de Deegan-Packel f,distinto de ζ, verificando <strong>la</strong>s propiedades de <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>teasociada y <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones.
78 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriPuede <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse <strong>en</strong>tonces (N,v) ∈ SI (N) y P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } ∈P (N) <strong>con</strong> el máximo número de uniones tal que f (N,v,P) 6= ζ (N,v,P) .Este número m necesariam<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong>e que ser m<strong>en</strong>or que n porque ambosíndices son índices de poder coalicionales de Deegan-Packel.Por <strong>la</strong> propiedad de <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociada, para todo P k ∈ P ,se ti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te igualdadXi∈P kf i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M(v)f k¡M,um(S) ,P m¢ .Como f y ζ son dos índices de poder coalicionales de Deegan-Packelf k¡M,um(S) ,P m¢ = ζ k¡M,um(S) ,P m¢ = ρ k¡M,um(S)¢, para todo k ∈ M,y, por lo tanto,Xi∈P kf i (N,v,P) = X i∈P kζ i (N,v,P) ,es decir, los dos índices coincid<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones.El resto de <strong>la</strong> demostración de <strong>la</strong> unicidad es idéntica a <strong>la</strong> de los teoremas2.1.3 y 2.3.5, por lo tanto, se omite.¤2.5 El índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétricoA <strong>con</strong>tinuación, se va a proponer otra ext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> índice de poder deDeegan-Packel que a difer<strong>en</strong>cia <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel coalicional,satisface <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te.De <strong>la</strong>s tres <strong>con</strong>diciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que se basa el índice de poder de Deegan-Packel:minimalidad, equiprobabilidad y solidaridad, <strong>la</strong>s dos primeras se mant<strong>en</strong>ían<strong>en</strong> el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, mi<strong>en</strong>tras que <strong>la</strong> <strong>con</strong>diciónde solidaridad se sustituía por <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones de solidaridad <strong>en</strong>tre uniones apriori y solidaridad d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s uniones apriori.
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 79En esta versión coalicional <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel se manti<strong>en</strong><strong>en</strong>estas dos <strong>con</strong>diciones de solidaridad, pero se modificará <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de minimalidady se sustituirá <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de equiprobabilidad por dos nuevas<strong>con</strong>diciones. Así se ti<strong>en</strong>e:• Minimalidad <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te: Sólo originan una “victoria” <strong>la</strong>scoaliciones minimales ganadoras, cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te, esdecir, aquel<strong>la</strong>s uniones apriori<strong>con</strong> algún jugador <strong>en</strong> dicha coalición,sea una coalición minimal ganadora <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te.• Equiprobabilidad <strong>en</strong>tre coaliciones minimales ganadoras <strong>en</strong> elcoci<strong>en</strong>te: Todas <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>teson equiprobables.• Equiprobabilidad <strong>en</strong>tre coaliciones minimales ganadoras “idénticas<strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te”: Todas <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras,cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te es <strong>la</strong> misma coalición minimal ganadora<strong>en</strong> dicho juego coci<strong>en</strong>te, son equiprobables.En el sigui<strong>en</strong>te ejemplo se hará una interpretación de estas <strong>con</strong>diciones:Ejemplo 2.5.1 Supóngase un juego simple (N,v) <strong>con</strong> N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}y M (v) ={S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 } donde S 1 = {1, 2} ,S 2 = {1, 3, 4} ,S 3 = {1, 5, 6} ,S 4 = {1, 3, 5} y S 5 = {2, 3, 4, 5, 6} . Si <strong>en</strong> este juego está definido un sistemade uniones a priori P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } donde P 1 = {1} ,P 2 = {2, 3, 4} y P 3 ={5, 6}, el juego coci<strong>en</strong>te ¡ M,v P ¢ ti<strong>en</strong>e como coaliciones minimales ganadorasa: {{P 1 ,P 2 } , {P 1 ,P 3 } , {P 2 ,P 3 }} .Las <strong>con</strong>diciones anteriores establec<strong>en</strong>:Por <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de minimalidad <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te <strong>la</strong> coalición minimalganadora S 4 no origina una victoria porque su repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te,{P 1 ,P 2 ,P 3 } , no es una coalición minimal ganadora <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te.Por <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de equiprobabilidad <strong>en</strong>tre coaliciones minimales ganadoras<strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te {P 1 ,P 2 } , {P 1 ,P 3 } y {P 2 ,P 3 } son equiprobables.Finalm<strong>en</strong>te, por <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de equiprobabilidad <strong>en</strong>tre coaliciones minimalesganadoras idénticas <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te, <strong>la</strong>s coaliciones S 1 y S 2 que dan lugar a{P 1 ,P 2 } , una coalición minimal ganadora <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te, son equiprobables.
80 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriA <strong>con</strong>tinuación, se propondrá un nuevo <strong>valor</strong> que sea <strong>con</strong>sist<strong>en</strong>te <strong>con</strong> <strong>la</strong>s<strong>con</strong>diciones anteriores. En primer lugar, se introduce <strong>la</strong> notación necesaria.Dado un juego (N,v,P) ∈ SU (N) , <strong>con</strong> M (v) = {S 1 ,S 2 ,... ,S l }, P ={P 1 ,P 2 ,... ,P m } y M = {1, 2,... ,m}:• Se d<strong>en</strong>otará por M ¡ v P ¢ el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras<strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te, es decir,M ¡ v P ¢ = © R ⊆ M/v P (R) =1y v P (R 0 )=0para todo R 0 ⊂ R ª .• Dada una unión apriorik ∈ M se d<strong>en</strong>otará por M k¡vP ¢ el <strong>con</strong>junto decoaliciones minimales ganadoras <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te a <strong>la</strong>s que pert<strong>en</strong>ecek.• Se d<strong>en</strong>otará por M (v, P) el sub<strong>con</strong>junto de M (v) formado por aquel<strong>la</strong>scoaliciones cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te sea una coaliciónminimal ganadora, es decir,M (v, P) = © S ∈ M (v) /m (S) ∈ M ¡ v P ¢ª .• Dado S ∈ M (v, P) , se d<strong>en</strong>otará por P (S) el sub<strong>con</strong>junto de coalicionesS 0 ∈ M (v, P) que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> el mismo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te,es decir, que cumpl<strong>en</strong> que m (S) =m (S 0 ) .• Dado i ∈ N, se d<strong>en</strong>otará por M i (v, P) el sub<strong>con</strong>junto formado por <strong>la</strong>scoaliciones de M (v, P) a <strong>la</strong>s que pert<strong>en</strong>ece i, por lo tanto,M i (v, P) ={S ∈ M (v, P) /i ∈ S} = © S ∈ M i (v) /m (S) ∈ M ¡ v P ¢ª .Empleando <strong>la</strong> notación anterior, se define un nuevo índice de poder, al quese d<strong>en</strong>ominará índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico.Definición 2.5.1 Dado (N,v,P) ∈ SU (N), sedefine el índice de poder deDeegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P k como:Λ i (N,v,P) =1|M (v P )|XS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | . (2.11)
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 81Este índice Λ es <strong>con</strong>sist<strong>en</strong>te <strong>con</strong> <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones que se establecieron anteriorm<strong>en</strong>te:Sólo <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras que originan una coaliciónminimal ganadora <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te ti<strong>en</strong><strong>en</strong> influ<strong>en</strong>cia, (minimalidad <strong>en</strong>1el juego coci<strong>en</strong>te) y, t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> cantidad , todas el<strong>la</strong>s son|M(v P )|tratadas de forma equiprobable (equiprobabilidad <strong>en</strong>tre coaliciones minimalesganadoras <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te). Todas <strong>la</strong>s coaliciones que originan <strong>la</strong> misma1coalición minimal ganadora <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te son tratadas <strong>del</strong> mismo modo|P (S)|(equiprobabilidad <strong>en</strong>tre coaliciones minimales ganadoras idénticas <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te).Finalm<strong>en</strong>te, como ocurría para el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional ζ, el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico Λ,´y soli-³cumple <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones de solidaridad <strong>en</strong>tre uniones apriori³ ´daridad d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s uniones apriori .1|S∩P k |1|m(S)|Este índice también ti<strong>en</strong>e una interpretación probabilística. Supongamos queel pago correspondi<strong>en</strong>te a un jugador i ∈ P k que pert<strong>en</strong>ece a una coaliciónminimal ganadora S cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te sea minimal ganadora1 1es|m(S)| |S∩P k, yaquetodas<strong>la</strong>sunionesapriorirepres<strong>en</strong>tadas <strong>en</strong> S obti<strong>en</strong><strong>en</strong>y <strong>la</strong> cantidad obt<strong>en</strong>ida por cada unión P|1|m(S)| k se <strong>la</strong> repart<strong>en</strong> deforma solidaria los jugadores de S ∩ P k . Si además una coalición minimalganadora S cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te sea minimal ganadora ti<strong>en</strong>e1 1una probabilidad de formarse, <strong>la</strong> esperanza matemática <strong>del</strong> pago|M(v P )| |P (S)|correspondi<strong>en</strong>te al jugador i es precisam<strong>en</strong>te Λ i .A difer<strong>en</strong>cia <strong>con</strong> el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, se verámás ade<strong>la</strong>nte que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricosatisface <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te. T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong>influ<strong>en</strong>cia <strong>del</strong> juego coci<strong>en</strong>te <strong>en</strong> <strong>la</strong> definición de este índice de poder, paracaracterizarlo se van a emplear dos propiedades de fusión; una <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>tey otra, d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s uniones apriori.Definición 2.5.2 Dos <strong>juegos</strong> (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) son fusionables<strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te si para cualquier par de coaliciones R ∈ M ¡ v ¢ P y R 0 ∈M ¡ w ¢ P , se ti<strong>en</strong>e que R * R 0 y R 0 * R. En este caso, es fácil comprobar queM ¡ v P ∨ w ¢ P = M³(v ´∨ w) P = M ¡ v ¢ P ∪M ¡ w ¢ P <strong>con</strong> M ¡ v ¢ P ∩M ¡ w ¢ P =∅.Es decir, dos <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> uniones apriorison fusionables <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te,si son fusionables los <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>tes asociados.
82 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriDefinición 2.5.3 Dos <strong>juegos</strong> (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) son fusionables<strong>en</strong> uniones a priori si los <strong>juegos</strong> (N,v) y (N,w) son fusionables y, además,dadas dos coaliciones S ∈ M (v) y T ∈ M (w) , se ti<strong>en</strong>e que m (S) =m (T ) .Para que dos <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> uniones apriorisean fusionables <strong>en</strong> uniones apriori, es necesario que el <strong>con</strong>junto de uniones <strong>con</strong> repres<strong>en</strong>tantes <strong>en</strong> cualquiercoalición minimal ganadora de ambos <strong>juegos</strong> sea el mismo, es decir, si dos<strong>juegos</strong> (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) son fusionables <strong>en</strong> uniones aprioriimplica que v P = w P = u R , para algún R ⊆ M, pero el recíproco no escierto, <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral. Nótese también que dos <strong>juegos</strong> (N,v,P) , (N,w,P) ∈SU (N) fusionables <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te no son fusionables <strong>en</strong> uniones aprioriy, recíprocam<strong>en</strong>te. T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong>s dos definiciones anteriores, se<strong>en</strong>uncian <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes propiedades.Definición 2.5.4 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde fusión <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (FUSC) si para cualquier par de <strong>juegos</strong> fusionables<strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) se cumple que¯¯M ¡ v ¢¯¯ P f (N,v,P)+¯¯M ¡ w ¢¯¯ P f (N,w,P)f (N,(v ∨ w) ,P)=.|M(v P ∨ w P )|Definición 2.5.5 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde fusión <strong>en</strong> uniones a priori (FUSU) si para cualquier par de <strong>juegos</strong> fusionables<strong>en</strong> uniones a priori (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) se cumple quef (N,v ∨ w, P) =|M (v)| f (N,v,P)+|M (w)| f (N,w,P).|M (v ∨ w)|Si <strong>la</strong> solución buscada satisface <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de minimalidad <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te,hay que t<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que algunas coaliciones minimales ganadoras <strong>en</strong> eljuego original no t<strong>en</strong>drán influ<strong>en</strong>cia si su repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>t<strong>en</strong>o es minimal. Se verá <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo.Ejemplo 2.5.2 Supóngase un juego (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>en</strong> el que N ={1, 2, 3, 4} ,M(v) = {S 1 ,S 2 } donde S 1 = {1, 2} y S 2 = {1, 3, 4} y P ={P 1 ,P 2 ,P 3 } donde P 1 = {1} ,P 2 = {2, 3} y P 3 = {4} . Al pasar al juegococi<strong>en</strong>te los repres<strong>en</strong>tantes de S 1 y S 2 son {P 1 ,P 2 } y {P 1 ,P 2 ,P 3 } respectivam<strong>en</strong>te.Como el segundo repres<strong>en</strong>tante no es una coalición minimal ganadorauna solución f que satisfaga <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de minimalidad <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>tedebería cumplir que f (N,v,P) =f (N,w,P) , donde M (w) ={S 1 } .
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 83La sigui<strong>en</strong>te propiedad, a <strong>la</strong> que se d<strong>en</strong>ominará propiedad de indep<strong>en</strong>d<strong>en</strong>ciade coaliciones ganadoras no minimales <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te se basa <strong>en</strong> el efecto nuloque <strong>en</strong> el resultado final <strong>del</strong> juego ti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras<strong>en</strong> el juego original cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te no es minimal ganadora.Definición 2.5.6 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde indep<strong>en</strong>d<strong>en</strong>cia de coaliciones ganadoras no minimales <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (IMC)si dado (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> alguna coalición S ∈ M (v) tal que m (S) /∈M ¡ v P ¢ <strong>en</strong>tonces se cumple quedonde M (v ∗ S)=M (v) \S.f (N,v,P) =f (N,v ∗ S,P) ,En el sigui<strong>en</strong>te resultado se caracteriza el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional simétrico.Teorema 2.5.1 El único índice de poder f : SU (N) −→ R n que satisface<strong>la</strong>s propiedades de JN,SU,SC,EFI,IMC,FUSC y FUSU es el índice depoder de Deegan-Packel coalicional simétrico.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU(N), donde P = {P 1 ,P 2 , ..., P m } y M = {1, 2, ..., m} .Exist<strong>en</strong>cia:Se va a probar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoΛ verifica <strong>la</strong>s propiedades anteriores.Si i ∈ N es un jugador nulo, <strong>en</strong>tonces M i (v, P) =∅, por lo que Λ i (N,v,P) =0, ya que no hay ningún término <strong>en</strong> el sumatorio.Si dos jugadores i, j ∈ P k son simétricos, <strong>en</strong>tonces:1|M (v P )|Λ i (N,v,P) − Λ j (N,v,P) =XS∈M i (v,P)\M j (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | −
84 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesapriori1|M (v P )|XS 0 ∈M j (v,P)\M i (v,P)1 1 1|P (S 0 )| |m (S 0 )| |S 0 ∩ P k | .Existe una biyección <strong>en</strong>tre M i (v, P) \M j (v, P) y M j (v, P) \M i (v, P) yaque si una coalición S ∈ M i (v, P) \M j (v, P) <strong>en</strong>tonces S 0 =(S\i) ∪ j ∈M j (v, P) \M i (v, P) y, recíprocam<strong>en</strong>te, si S 0 ∈ M j (v, P) \M i (v, P) <strong>en</strong>toncesS =(S 0 \j) ∪ i ∈ M i (v, P) \M j (v, P) . Como |m (S)| = |m (S 0 )| , |P (S)| =|P (S 0 )| y |S ∩ P k | = |S 0 ∩ P k | se ti<strong>en</strong>e que Λ i (N,v,P) − Λ j (N,v,P) =0.Dada una unión P k ∈ P ,seti<strong>en</strong>equeX1 X XΛ i (N,v,P) =|M (v P )|i∈P k i∈P kS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | .Dado S ∈ M i (v, P), <strong>con</strong>i ∈ P k , hay exactam<strong>en</strong>te |S ∩ P k | términos que1 1 1<strong>con</strong>tribuy<strong>en</strong>a<strong>la</strong>sumatotalcomo , porloquealsumar<strong>en</strong>|M(v P )| |P (S)| |m(S)|P k se obti<strong>en</strong>eX1 X 1 1Λ i (N,v,P) =|M (v P )| |P (S)| |m (S)| =i∈P k1|M (v P )|S∈M(v,P)S∩P k 6=∅XR∈M k (v P )1|R| . (2.12)Es decir, <strong>la</strong> cantidad que asigna <strong>la</strong> solución Λ a una unión P k ∈ P coincide<strong>con</strong> el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> jugador k ∈ M <strong>en</strong> el juegococi<strong>en</strong>te, como el índice de poder de Deegan-Packel es simétrico, se ti<strong>en</strong>e quesi dos uniones P k ,P j ∈ P son simétricas <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te, se verifica queXi∈P kΛ i (N,v,P) = X i∈P jΛ i (N,v,P) ,<strong>con</strong> lo que el índice Λ satisface <strong>la</strong> propiedad de simetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te. De(2.12) se deduce además que el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico satisface <strong>la</strong> propiedad de juego coci<strong>en</strong>te.Como el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico satisface <strong>la</strong>propiedad de juego coci<strong>en</strong>te y el índice de poder de Deegan-Packel es efici<strong>en</strong>te,
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 85se ti<strong>en</strong>e que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico satisface<strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia.Se va a probar que Λ satisface <strong>la</strong> propiedad de indep<strong>en</strong>d<strong>en</strong>cia de coalicionesganadoras no minimales <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te: si (N,v,P) ∈ SU (N) es tal queexiste S ∈ M (v) tal que m (S) /∈ M ¡ v ¢ P y tomamos vS ∗ como el juego talque M (vS)=M ∗ (v) \S, seti<strong>en</strong>equeM (v, P) =M (vS,P) ∗ y ¯¯M ¡ v ¢¯¯ ¯P =¯M ¡ vS¢¯¯. ∗P Por lo tanto, a partir de <strong>la</strong> expresión (2.11), <strong>en</strong> <strong>la</strong> definición 2.5.1Λ (N,v,P) =Λ (N,vS,P) ∗ .El índice Λ satisface <strong>la</strong> propiedad de fusión <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te ya que dado un parde <strong>juegos</strong> (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) fusionables <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te, se ti<strong>en</strong>eque para todo jugador i ∈ P k1Λ i (N,v ∨ w, P) =³¯´¯¯¯¯M (v ∨ w) PXS∈M i (v∨w,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =1³¯´¯¯¯¯M (v ∨ w) PXS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | +1³¯´¯¯¯X 1 1 1¯M (v ∨ w) P |P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =S∈M i (w,P)¯¯M ¡ v ¢¯¯ P Λ i (N,v,P)+¯¯M ¡ w ¢¯¯ P Λ i (N,w,P).|M(v P ∨ w P )|El <strong>valor</strong> propuesto verifica <strong>la</strong> propiedad de fusión <strong>en</strong> uniones apriori,yaque dado un par de <strong>juegos</strong> (N,v,P) , (N,w,P) ∈ SU (N) fusionables <strong>en</strong>uniones apriori,seti<strong>en</strong>eque¯¯M ¡ v ¢¯¯ P = ¯¯M ¡ w ¢¯¯ ³P ¯´¯¯¯ = ¯M (v ∨ w) P =1. Además, para cualquier S ∈ M (v) , |P (S)| = |M (v)|, para cualquierS ∈ M (w) , |P (S)| = |M (w)| y para cualquier S ∈ M (v ∨ w) , |P (S)| =|M (v ∨ w)| = |M (v)| + |M (w)| . Por tanto1Λ i (N,v ∨ w, P) =³¯´¯¯¯X 1 1 1¯M (v ∨ w) P |P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =S∈M i (v∨w,P)
86 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesapriori⎡1⎣|M (v ∨ w)|1|M (v ∨ w)|XS∈M i (v,P)XS∈M i (v∨w,P)1 1|m (S)| |S ∩ P k | =1 1|m (S)| |S ∩ P k | + XS∈M i (w,P)⎤1 1⎦ =|m (S)| |S ∩ P k |Unicidad:|M (v)| Λ i (N,v,P)+|M (w)| Λ i (N,w,P).|M (v ∨ w)|Supóngase que existe otro índice f verificando <strong>la</strong>s propiedades <strong>en</strong>umeradas<strong>en</strong> el <strong>en</strong>unciado <strong>del</strong> teorema. Considérese un juego (N,v,P) ∈ SU (N) y seaM (v) ={S 1 ,S 2 , ..., S p } el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras (porlo tanto, |M (v)| = p). T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que este índice f satisface IMCpuede suponerse que el repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te de cada coaliciónS ∈ M (v) , es una coalición minimal ganadora <strong>en</strong> ¡ M,v P ¢ .En primer lugar, se verá que f y Λ coincid<strong>en</strong> <strong>en</strong> cualquier juego de unanimidad.Sea (N,u S ,P) <strong>con</strong> S ⊆ N. En este caso, es evid<strong>en</strong>te que |M (u S )|=1, porque M (u S )={S}.Además, dos uniones aprioriP k ,P j ∈ P tales que S ∩ P k 6= ∅ y S ∩ P j 6= ∅,son simétricas <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te. Si un jugador i/∈ S, <strong>en</strong>tonces i es un jugadornulo.Por <strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia, jugador nulo, simetría d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong>s unionesysimetría<strong>en</strong>elcoci<strong>en</strong>teseti<strong>en</strong>eque:f i (N,u S ,P)=½ 1 1|m(S)| |S∩P k |expresión que coincide <strong>con</strong> Λ i (N,u S ,P).si i ∈ S ∩ P k0 si i/∈ SConsideremos <strong>la</strong> partición de M (v) dada por {T 1 ,T 2 ,... ,T r } de tal formaque dos coaliciones S l ,S l 0 ∈ M (v) están <strong>en</strong> el mismo elem<strong>en</strong>to de <strong>la</strong> partición,
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 87T h , si y sólo si m (S l )=m (S l 0) . Se ti<strong>en</strong>e que v = v T1 ∨ v T2 ∨ ... ∨ v Tr dondev Th = u Th1 ∨ u Th2 ∨ ...∨ u Thth y T h = © ªT h1 ,T h2 ,... ,T hth ⊆ M (v) para todoh ∈ R = {1, 2,... ,r} .A partir de <strong>la</strong> propiedad de fusión <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te se ti<strong>en</strong>e que:f i (N,v,P) =1|M (v P )|rX ¯¯M ¡ v¢¯¯T P hf i (N,v Th ,P) . (2.13)h=1Como f también satisface <strong>la</strong> propiedad de fusión <strong>en</strong> uniones apriori,seti<strong>en</strong>equef i (N,v Th ,P)= 1|T h |t hXl=1´f i³N,u Thl ,P = 1|T h |X1S∈M i (v,P)/P (S)=T h1|m (S)| |S ∩ P k | .T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que ¯¯M ¡ v P T h¢¯¯ =1, para todo h ∈ R, <strong>la</strong> expresión (2.13)es igual a:1|M (v P )|1|M (v P )|XS∈M i (v,P)rXh=11|T h |X1S∈M i (v,P)/P (S)=T h1|m (S)| |S ∩ P k | =1 1 1|m (S)| |S ∩ P k | |P (S)| = Λ i (N,v,P) .¤En secciones anteriores se <strong>en</strong>unciaron resultados <strong>en</strong> los que se caracterizabandiversas soluciones coalicionales (<strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>, <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong>,<strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico,...) empleando <strong>en</strong>tre otras <strong>la</strong> propiedadde ser <strong>valor</strong> coalicional <strong>del</strong> <strong>valor</strong> para <strong>juegos</strong> TU al que exti<strong>en</strong>d<strong>en</strong>. Se veráque el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico es un índicecoalicional de Deegan-Packel y se propondrá otra caracterización basándose<strong>en</strong> este hecho.Es fácil comprobar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétri<strong>con</strong>o satisface <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones. Sin
88 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriembargo, satisface <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te propiedad, a <strong>la</strong> que se d<strong>en</strong>ominará <strong>con</strong>tribucionesponderadas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones. Esta propiedad se basa <strong>en</strong> razonami<strong>en</strong>tossimi<strong>la</strong>res a <strong>la</strong> propiedad de monotonía minimal, <strong>con</strong> <strong>la</strong> que se obtuvo unanueva caracterización <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel.Definición 2.5.7 Un índice de poder f : SU (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde <strong>con</strong>tribuciones ponderadas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones (CPU) si para todo juego (N,v,P)∈ SU (N) , para todo P k ∈ P y para todo par de jugadores i, j ∈ P k , (i 6= j)se cumple que¯¯M ¡ v P ¢¯¯ f i (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −j ¢¯¯ f i (N,v,P −j )=¯¯M ¡ v P ¢¯¯ f j (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −i ¢¯¯ f j (N,v,P −i ) .Enlossigui<strong>en</strong>teslemas,seprobaráqueelíndicedepoderdeDeegan-Packelcoalicional simétrico satisface <strong>la</strong> propiedad anterior y que es un índice depoder coalicional de Deegan-Packel. Al probar que satisface CPU se estádemostrando que no satisface <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones, ya que <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral ¯¯M ¡ v ¢¯¯ P 6= ¯¯M ¡ v P −i¢¯¯ y ¯¯M ¡ v P −i¢¯¯¯6=¯M ¡ v P −j¢¯¯ .Lema 2.5.2 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico verifica<strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribuciones ponderadas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU(N), <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 ,...,P m } y M = {1, 2,...,m} .Sean P k ∈ P e i, j ∈ P k . Considérese P −j = © P 0 1,P 0 2, .., P 0 m+1ªdonde P0l = P l ,para todo l ∈ M\k, P 0 k = P k\j y P 0 m+1 = {j} .Dada una coalición S, seanm (S) ={l ∈ {1, 2, ..., m} /P l ∩ S 6= ∅} ,P (S) ={T ∈ M (v, P) /m (T )=m (S)} ,m 0 (S) ={l ∈ {1, 2, ..., m +1} /P 0l ∩ S 6= ∅} y
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 89P 0 (S) ={T ∈ M (v, P −j ) /m 0 (S) =m 0 (T )} .Obsérvese que si S ⊆ N\j, se ti<strong>en</strong>e que m (S) =m 0 (S) .XS∈M i (v,P)¯¯M ¡ v P ¢¯¯ Λ i (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −j ¢¯¯ Λ i (N,v,P −j )=1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | − XS 0 ∈M i (v,P −j )1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ P k | =XS∈M i (v,P)\M j (v,P)XS∈M i (v,P)∩M j (v,P)XS 0 ∈M i (v,P −j )\M j (v,P −j )XS 0 ∈M i (v,P −j )∩M j (v,P −j )1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | +1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | −1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ Pk 0| −1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ Pk 0|.Se puede comprobar que M i (v, P) \M j (v, P) = M i (v, P −j ) \M j (v, P −j ) .Además, si S ∈ M i (v, P) \M j (v, P) , se ti<strong>en</strong>e que |m (S)| = |m 0 (S)| , |P (S)| =|P 0 (S)| y |S ∩ P k | = |S ∩ P 0 k |.De aquí se deduce que:¯¯M ¡ v P ¢¯¯ Λ i (N,v,P) − ¯¯M ¡ v P −j ¢¯¯ Λ i (N,v,P −j )=X 1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | −S∈M i (v,P)∩M j (v,P)
90 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriXS 0 ∈M i (v,P −j )∩M j (v,P −j )1 1 1|P 0 (S 0 )| |m 0 (S 0 )| |S 0 ∩ Pk 0|.Como se verifica que M i (v, P −j ) ∩ M j (v, P −j )=M j (v, P −i ) ∩ M i (v, P −i ) , sefinaliza <strong>la</strong> demostración.¤Lema 2.5.3 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico es uníndice de poder coalicional de Deegan-Packel.DemostraciónSea (N,v,P n ) ∈ SU (N) , <strong>en</strong> este caso M ¡ v P n ¢= M (v) , por lo que dadoun jugador i, se ti<strong>en</strong>e que M i (v) = M i (v, P) . Además, existe un únicok ∈ {1, 2,... ,m} tal que P k = {i} ysiS ∈ M i (v) ,m(S) =S, |P (S)| =1y |S ∩ P k | =1. Entonces:Λ i (N,v,P n )=1|M (v P n )|1|M (v)|XS∈M i (v,P)XS∈M i (v)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P k | =1|S| = ρ i (N,v) .¤Teorema 2.5.4 El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoes el único índice de poder coalicional de Deegan-Packel que verifica CPU yJC.Se omite <strong>la</strong> demostración de este resultado anterior por emplear argum<strong>en</strong>tosanálogos a los utilizados <strong>en</strong> <strong>la</strong> demostración de los teoremas 2.1.3, 2.3.5 y2.4.4.En el sigui<strong>en</strong>te ejemplo, correspondi<strong>en</strong>te al Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de Cataluña, se comparanel índice de poder de Deegan-Packel coalicional y el índice de poderde Deegan-Packel coalicional simétrico.Ejemplo 2.5.3 La composición <strong>del</strong> Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de Cataluña (formado por135 escaños), resultante de <strong>la</strong>s elecciones de 1999 es <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te: CIU (56escaños), PSOE (50 escaños), ERC (12 escaños), PP (12 escaños) e IC(5 escaños).
El índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico 91Las coaliciones minimales ganadoras son:{{CIU,ERC} , {CIU,PSOE} , {CIU,PP} , {PSOE,ERC,PP}} .Vamos a <strong>con</strong>siderar dos sistemas de uniones a priori, dados por:P 1 = {{CIU}, {PP} , {PSOE} , {ERC,IC}}P 2 = {{CIU} , {PP} , {PSOE,ERC,IC}}En <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te tab<strong>la</strong> se pres<strong>en</strong>tan el índice de poder de Deegan-Packel y elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional para los dos sistemas de uniones<strong>con</strong>siderados.Partido ρ ζ (P 1 ) ζ (P 2 )CIU 0.375 0.375 0.375PSOE 0.208 0.208 0.187PP 0.208 0.208 0.250ERC 0.208 0.208 0.187IC 0 0 0Se observa que <strong>con</strong> el primer sistema de uniones el índice ζ coincide <strong>con</strong> ρ, yaque todas <strong>la</strong>s uniones a priori ti<strong>en</strong><strong>en</strong> como máximo un repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> cadacoalición minimal ganadora. Sin embargo, <strong>con</strong> el segundo sistema de uniones,el <strong>valor</strong> de PSOE y ERC se ve afectado porque forman parte de <strong>la</strong> mismaunión y de una de <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras. La difer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> elpago recibido <strong>la</strong> recoge el PP, que es el otro partido que forma <strong>la</strong> coaliciónminimal ganadora a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> PSOE y ERC.En <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te tab<strong>la</strong> se pres<strong>en</strong>tan el índice de poder de Deegan-Packel y elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico para los dos sistemasde uniones <strong>con</strong>siderados.Partido ρ Λ (P 1 ) Λ (P 2 )CIU 0.375 0.375 0.333PSOE 0.208 0.208 0.167PP 0.208 0.208 0.333ERC 0.208 0.208 0.167IC 0 0 0
92 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriAl igual que sucedía para el índice de poder de Deegan-Packel coalicional,se observa que <strong>con</strong> el primer sistema de uniones el índice Λ coincide <strong>con</strong> ρ,ya que todas <strong>la</strong>s uniones a priori ti<strong>en</strong><strong>en</strong> como máximo un repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong>cada coalición minimal ganadora. Sin embargo, <strong>con</strong> el segundo sistema deuniones, <strong>la</strong>s tres uniones a priori son simétricas <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te, por loque obti<strong>en</strong><strong>en</strong> el mismo <strong>valor</strong>. Como PSOE y ERC son jugadores simétricosambos recib<strong>en</strong> a su vez el mismo <strong>valor</strong>.Es interesante hacer notar que el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico p<strong>en</strong>aliza a <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras {CIU,ERC}y {CIU,PSOE} <strong>con</strong> respecto a <strong>la</strong>s demás. Esto se debe a que originan <strong>la</strong>misma coalición minimal ganadora <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te.2.6 Ext<strong>en</strong>siones multilinealesEn el capítulo anterior se vio cómo pued<strong>en</strong> calcu<strong>la</strong>rse los <strong>valor</strong>es de Shapleyy de Banzhaf y el índice de poder de Deegan-Packel empleando <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>siónmultilineal. Se com<strong>en</strong>zará esta sección reproduci<strong>en</strong>do los resultados quepermit<strong>en</strong> calcu<strong>la</strong>r el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> (Ow<strong>en</strong> y Winter, 1992) y el <strong>valor</strong> deBanzhaf-Ow<strong>en</strong> (Carreras y Magaña, 1994) utilizando <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal.Teorema 2.6.1 Sea (N,v,P) un juego cooperativo <strong>con</strong> sistema de unionesdonde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es <strong>la</strong> partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N quedetermina <strong>la</strong> estructura de coaliciones a priori. Puede calcu<strong>la</strong>rse el <strong>valor</strong> deOw<strong>en</strong> de un jugador i ∈ P j , Φ i , sigui<strong>en</strong>do los sigui<strong>en</strong>tes pasos:1. Obt<strong>en</strong>er <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) <strong>del</strong> juego (N,v) .2. Para todo l 6= j yparatodok ∈ P l , reemp<strong>la</strong>zar <strong>la</strong> variable x k por y l . Seobti<strong>en</strong>e así una nueva función de x i , donde i ∈ P j e y l , donde l 6= j.3. En <strong>la</strong> función obt<strong>en</strong>ida anteriorm<strong>en</strong>te, reducir todos los expon<strong>en</strong>tes a 1,es decir, reemp<strong>la</strong>zar cada y<strong>la</strong> <strong>con</strong> a ≥ 1, por y l . Conestosehaobt<strong>en</strong>idounanueva función multilineal g³(x i ) i∈Pj, (y l ) l6=j´.4. En <strong>la</strong> función g sustituir cada y l por r e integrar <strong>con</strong> respecto a r, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do³Z 1 ³´α j (x i ) i∈Pj´= g (x i ) i∈Pj,r,r,... ,r dr0
Ext<strong>en</strong>siones multilineales 935. Finalm<strong>en</strong>te, para obt<strong>en</strong>er el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>, Φ i ,calcu<strong>la</strong>rΦ i (N,v,P) =Z 10∂α j∂x i(t, . . . , t) dt.Teorema 2.6.2 Sea (N,v,P) un juego cooperativo <strong>con</strong> sistema de unionesdonde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es <strong>la</strong> partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N quedetermina <strong>la</strong> estructura de coaliciones a priori. Puede calcu<strong>la</strong>rse el <strong>valor</strong> deBanzhaf-Ow<strong>en</strong> de un jugador i ∈ P j , Ψ i , sigui<strong>en</strong>do los sigui<strong>en</strong>tes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los <strong>del</strong> teorema anterior.4. Derivar <strong>la</strong> función g respecto a x i .5. El <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> se obti<strong>en</strong>e sustituy<strong>en</strong>do, <strong>en</strong> <strong>la</strong> función obt<strong>en</strong>ida<strong>en</strong> el paso anterior, cada x k <strong>con</strong> k ∈ P j ycaday l por 1/2.La ext<strong>en</strong>sión multilineal y el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétricoA <strong>con</strong>tinuación, se describe el procedimi<strong>en</strong>to para obt<strong>en</strong>er el <strong>valor</strong> de Banzhafcoalicional simétrico a partir de <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal.Teorema 2.6.3 Sea (N,v,P) un juego cooperativo <strong>con</strong> sistema de unionesdonde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es <strong>la</strong> partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N quedetermina <strong>la</strong> estructura de coaliciones a priori. Puede calcu<strong>la</strong>rse el <strong>valor</strong>de Banzhaf coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j , Π i , sigui<strong>en</strong>do lossigui<strong>en</strong>tes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los de los teoremas 2.6.1 y 2.6.2.4. En <strong>la</strong> función g obt<strong>en</strong>ida <strong>en</strong> el paso³anterior, sustituir cada y l por 1/2. Seobti<strong>en</strong>e <strong>en</strong>tonces una nueva función α j (x k ) k∈Pj´g³(x k ) k∈Pj, (1/2, 1/2,... ,1/2) l6=j´.5. Finalm<strong>en</strong>te, el <strong>valor</strong> Π i se obt<strong>en</strong>dría comoΠ i (N,v,P) =Z 10∂α j∂x i(t, t, . . . , t) dt, definida por α j³(x k ) k∈Pj´=
94 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriDemostraciónSea (N,v,P) ∈ U (N) e i ∈ P j .Sea h (x 1 ,x 2 ,... ,x n ) <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal <strong>del</strong> juego (N,v). Aplicandolos pasos 2 y 3 puede comprobarse que los sumandos correspondi<strong>en</strong>tes acoaliciones S tales que S ∩P l 6= ∅ y S c ∩P l 6= ∅ para l 6= j, se anu<strong>la</strong>n. Esto esdebido a que <strong>en</strong> el paso 2 los sumandos correspondi<strong>en</strong>tes a estas coalicionesincluy<strong>en</strong> términos de <strong>la</strong> forma ky a 1l(1 − y l ) a 2, <strong>con</strong> a 1 ,a 2 ∈ N. Al realizar elpaso 3 estos términos se anu<strong>la</strong>n ya que se <strong>con</strong>viert<strong>en</strong> <strong>en</strong> k (y l − y l ).Por lo tanto, después <strong>del</strong> paso 3 <strong>la</strong>s coaliciones S para <strong>la</strong>s cuales el términocorrespondi<strong>en</strong>te de <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal no se anu<strong>la</strong> son de <strong>la</strong> formaS = Q ∪ T,donde T ⊆ P j y Q = S P l , <strong>con</strong> L ⊆ M\j . La función que se obti<strong>en</strong>el∈Ldespués de aplicar el paso 3 es:g³(x k ) k∈Pj, (y j ) j6=l´=XXT ⊆P j L⊆M\j⎡⎣ Y k∈Tx kYk∈P j \T(1 − x k ) Y l∈Ly lYl/∈L∪j⎤(1 − y l ) ⎦ v (Q ∪ T ) .Sustituy<strong>en</strong>do cada y l por 1/2 (paso 4) seti<strong>en</strong>eque:⎡⎤³α j (x k ) k∈Pj´= X X⎣ Y Y1x k (1 − x k ) ⎦ v (Q ∪ T ) .2 m−1 T ⊆P j L⊆M\j k∈T k∈P j \T³Derivando ahora <strong>la</strong> función α j (x k ) k∈Pj´respecto a x i .∂α³j(x k )∂x k∈Pj´=iXXT ⊆P j \i L⊆M\j⎡⎣ Y k∈Tx kYk∈P j \(T ∪i)(1 − x k )12 m−1 ⎤⎦ {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} .
Ext<strong>en</strong>siones multilineales 95Finalm<strong>en</strong>te, por el paso 5,Z 1Z 10XXT ⊆P j \i L⊆M\j⎡⎣ Y k∈Tt0Yk∈P j \(T ∪i)∂α j∂x i(t, t, . . . , t) dt =(1 − t)⎤1⎦ {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} dt =2 m−1X XT ⊆P j \i L⊆M\jZ1 1t |T | (1 − t) p j−|T |−1 dt {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} =2 m−10XXT ⊆P j \i L⊆M\jXXT ⊆P j \i L⊆M\j1 |T |!(p j − |T | − 1)!{v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} =2 m−1 p j !1 1 12 m−1 p jµ {v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )} = Π i (N,v,P) .¤pj − 1|T |A <strong>con</strong>tinuación, se ilustrará el procedimi<strong>en</strong>to descrito <strong>en</strong> el resultado anterior,calcu<strong>la</strong>ndo el índice de poder de Banzhaf coalicional simétrico, <strong>en</strong> el <strong>juegos</strong>imple que se puede <strong>con</strong>siderar al estudiar el Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Balearesresultante de <strong>la</strong>s elecciones <strong>del</strong> año 1999.Ejemplo 2.6.1 Este juego puede repres<strong>en</strong>tarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] ,donde el jugador 1 es el PP, el jugador 2 es el PSOE, el jugador 3 es elPSM − EM, el jugador 4 es EU − EV , el jugador 5 es UM y el jugador6 es el PACTE. Supondremos que <strong>la</strong> estructura de uniones a priori es <strong>la</strong>sigui<strong>en</strong>te:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .
96 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriEnelejemplo1.3.4,sevioqueeste<strong>juegos</strong>implepuedeescribirsede<strong>la</strong>sigui<strong>en</strong>teforma, donde S = {1} y T = {2, 3, 4, 5, 6}.v = X R⊆T|R|=1u S∪R + u T − X R⊆T|R|=2u S∪R + X R⊆T|R|=3u S∪R − X R⊆T|R|=4u S∪R .Aplicando el lema 1.3.3, <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal de este juego es:h (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 − x 1 x 2 x 4 − x 1 x 2 x 5 − x 1 x 2 x 6 − x 1 x 3 x 4 −x 1 x 3 x 5 − x 1 x 3 x 6 − x 1 x 4 x 5 − x 1 x 4 x 6 − x 1 x 5 x 6 +x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 3 x 6 + x 1 x 2 x 4 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 6 +x 1 x 2 x 5 x 6 + x 1 x 3 x 4 x 5 + x 1 x 3 x 4 x 6 + x 1 x 3 x 5 x 6 + x 1 x 4 x 5 x 6 −x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 − x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 − x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 − x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 − x 1 x 3 x 4 x 5 x 6 .Se va a calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Banzhaf coalicional simétrico para eljugador 2. T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que el jugador 2 pert<strong>en</strong>ece a <strong>la</strong> segunda unióna priori, aplicando el segundo paso, se sustituye x 1 por y 1 (primera unión) yx 3 y x 5 por y 3 (tercera unión) obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te función:y 1 x 2 + y 1 x 6 + y 1 x 4 +2y 1 y 3 + x 2 x 4 x 6 y 2 3 −y 1 x 2 x 4 − y 1 x 2 x 6 − 2y 1 y 3 x 2 − 2y 1 y 3 x 4 − 2y 1 y 3 x 6 − y 1 x 4 x 6 − y 1 y 2 3 +2y 1 x 2 y 3 x 4 + y 1 x 2 y 2 3 +2y 1 x 2 x 6 y 3 + y 1 x 2 x 4 x 6 + y 1 y 2 3x 4 +2y 1 y 3 x 4 x 6 + y 1 x 6 y 2 3 −y 1 x 2 x 4 y 2 3 − y 1 x 2 x 4 x 6 y 3 − y 1 x 2 x 6 y 2 3 − y 1 x 2 x 4 x 6 y 3 − y 1 x 4 x 6 y 2 3.
Ext<strong>en</strong>siones multilineales 97En el paso 3 se reduc<strong>en</strong> todos los expon<strong>en</strong>tes a 1, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> función gg (y 1 ,x 2 ,x 4 ,x 6 ,y 3 )=y 1 x 2 + y 1 x 6 + y 1 x 4 + y 1 y 3 + x 2 x 4 x 6 y 3 −y 1 x 2 x 4 − y 1 x 2 x 6 − y 1 y 3 x 4 − y 1 y 3 x 6 − y 1 x 4 x 6 + y 1 x 2 y 3 x 4 −y 1 x 2 y 3 + y 1 x 2 x 6 y 3 + y 1 x 2 x 4 x 6 + y 1 y 3 x 4 x 6 − 2y 1 x 2 x 4 x 6 y 3 .En el paso 4 se sustituye y 1 e y 3 por 1/2, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> función α 2α 2 (x 2 ,x 4 ,x 6 )= 1 4 x 2 + 1 4 x 4 + 1 4 x 6 − 1 4 x 2x 4 − 1 4 x 2x 6 − 1 4 x 4x 6 + 1 2 x 2x 4 x 6 + 1 4 .Derivando <strong>la</strong> función anterior respecto a x 2 , se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te expresión:14 − 1 4 x 4 − 1 4 x 6 + 1 2 x 4x 6 ,por lo que el <strong>valor</strong> <strong>del</strong> jugador 2 se calcu<strong>la</strong>ría finalm<strong>en</strong>te aplicando el paso 5,<strong>del</strong> sigui<strong>en</strong>te modo,Z 1µ 14 − 1 2 t + 1 2 t2 dt = 1 6 .0De forma simi<strong>la</strong>r, podría calcu<strong>la</strong>rse el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico<strong>del</strong> resto de los jugadores:Π (N,v,P) =(1/2, 1/6, 1/4, 1/6, 1/4, 1/6) .La ext<strong>en</strong>sión multilineal y el índice de poder de Deegan-PackelcoalicionalEn esta subsección, se describirá el procedimi<strong>en</strong>to para obt<strong>en</strong>er el índice depoder de Deegan-Packel coalicional de un juego simple <strong>con</strong> uniones apriori(N,v,P) a partir de su ext<strong>en</strong>sión multilineal.Teorema 2.6.4 Sea (N,v,P) un juego simple <strong>con</strong> uniones a priori dondeP = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es <strong>la</strong> partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N que determina<strong>la</strong>estructuradecoalicionesapriori.Puedecalcu<strong>la</strong>rseelíndicede
98 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioripoder de Deegan-Packel coalicional de un jugador i ∈ P j ,ζ i , <strong>en</strong> dicho juego,sigui<strong>en</strong>do los sigui<strong>en</strong>tes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los necesarios para obt<strong>en</strong>er el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego (N,v) , descritos <strong>en</strong> el teorema 1.3.4, obt<strong>en</strong>iéndose <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>tefuncióng (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=X Yx k .S∈M(v) k∈S4. En <strong>la</strong> función g, paratodol 6= j yparatodok ∈ P l reemp<strong>la</strong>zar <strong>la</strong> variablex k por y l . Se ha <strong>con</strong>struido así una función g 1 de x k , <strong>con</strong> k ∈ P j e y l , don<strong>del</strong> 6= j.5. En <strong>la</strong> función g 1 reducir todos los expon<strong>en</strong>tes a 1, esdecir,reemp<strong>la</strong>zarcada yl a <strong>con</strong> a ∈ N, por y l . Se obti<strong>en</strong>e así una función g 2 .6. A partir de g 2 calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> función g 3 de x k , <strong>con</strong> k ∈ P j <strong>del</strong> sigui<strong>en</strong>te modo:Z 1 ³g 3 ((x k ) k∈Pj)= g 2 t,... ,t,(x k ) k∈Pj´dt.07. Finalm<strong>en</strong>te, el índice de poder de Deegan-Packel coalicional ζ i se obti<strong>en</strong>ecalcu<strong>la</strong>ndoZ11∂g 3ζ i (N,v,P) =(t, . . . , t) dt.g (1, 1,... ,1) 0 ∂x iDemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU (N) e i ∈ P j .A partir de <strong>la</strong> función g queseobti<strong>en</strong>edespués<strong>del</strong>paso3, t<strong>en</strong>emos queg (1, 1,... ,1) =XS∈M(v)1=|M (v)| .Después de los pasos 4 y 5, se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> función,³g 2 (x k ) k∈Pj, (y l ) l6=j´= X YYy l x k .S∈M(v) l∈m(S)\j k∈P j ∩S
Ext<strong>en</strong>siones multilineales 99Una vez efectuado el paso 6, se obti<strong>en</strong>eZ 1 ³g 3 ((x k ) k∈Pj)= g 2 t, . . . , t, (x k ) k∈Pj´dt =0Z 1 Xt Y|m(S)|−10S∈M(v)k∈P j ∩Sx k dt =XS∈M(v)Finalm<strong>en</strong>te, después <strong>del</strong> paso 7,Z 10∂g 3∂x i(t,... ,t) dt =1|m (S)|Z 101|m (S)|XS∈M i (v)Yk∈P j ∩Sx k .t |S∩P j|−1 dt =XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P j | ,<strong>con</strong> lo que se finaliza <strong>la</strong> demostración.¤En el sigui<strong>en</strong>te ejemplo se ilustrará el procedimi<strong>en</strong>to descrito <strong>en</strong> el teoremaanterior para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel coalicional.Ejemplo 2.6.2 El Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares puede repres<strong>en</strong>tarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3]. Se va a calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional <strong>del</strong> jugador 1(PP) empleando el procedimi<strong>en</strong>to descrito <strong>en</strong> el resultadoanterior. Supóngase que el sistema de uniones a priori vi<strong>en</strong>e dadoporP = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .Como se vio <strong>en</strong> el ejemplo 1.3.4 después de aplicar el paso 3, se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong>sigui<strong>en</strong>te funcióng (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .En el paso 4, se sustituy<strong>en</strong> x 2 ,x 4 y x 6 por y 2 (segunda unión) y x 3 y x 5 pory 3 (tercera unión) obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te funcióng 1 (x 1 ,y 2 ,y 3 )=x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 1 y 2 + y 3 2y 2 3.
100 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriEn el paso 5, se reduc<strong>en</strong> todos los expon<strong>en</strong>tes a 1, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> funciónEn el paso 6, se calcu<strong>la</strong>g 3 (x 1 )=Z 10g 2 (x 1 ,y 2 ,y 3 )=3x 1 y 2 +2x 1 y 3 + y 2 y 3 .g 2 (x 1 ,t,t) dt =Z 10¡5tx1 + t 2¢ dt = 5 2 x 1 + 1 3 .Finalm<strong>en</strong>te, para evaluar el índice de poder de Deegan-Packel coalicional <strong>del</strong>jugador 1, se aplica el paso 7ζ 1 (N,v,P) =Z11∂g 3(t) dt = 5 g (1, 1, 1, 1, 1, 1) 0 ∂x 1 12 .De forma simi<strong>la</strong>r se obt<strong>en</strong>dría el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalde los restantes jugadores:ζ (N,v,P) =(5/12, 1/9, 1/8, 1/9, 1/8, 1/9) .La ext<strong>en</strong>sión multilineal y el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional simétricoEn esta subsección se verá cómo se puede obt<strong>en</strong>er el índice de poder deDeegan-Packel coalicional simétrico de un juego simple <strong>con</strong> uniones apriori(N,v,P) a partir de su ext<strong>en</strong>sión multilineal.Teorema 2.6.5 Sea (N,v,P) un juego simple <strong>con</strong> uniones a priori dondeP = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } es <strong>la</strong> partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N que determina<strong>la</strong>estructuradecoalicionesapriori.Puedecalcu<strong>la</strong>rseelíndicedepoder de Deegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j , Λ i , <strong>en</strong>dicho juego, sigui<strong>en</strong>do los sigui<strong>en</strong>tes pasos:1. 2. 3. Idénticos a los necesarios para obt<strong>en</strong>er el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego (N,v) , descritos <strong>en</strong> el teorema 1.3.4, obt<strong>en</strong>iéndose <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>tefuncióng (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=X Yx k .S∈M(v) k∈S
Ext<strong>en</strong>siones multilineales 1014. Para todo l ∈ {1, 2,... ,m} yparatodok ∈ P l ,reemp<strong>la</strong>zarx k por y l .Seobti<strong>en</strong>e así una función de y l , donde l =1, 2,... ,m. En esta función reducirtodos los expon<strong>en</strong>tes a 1, esdecir,reemp<strong>la</strong>zarcaday <strong>la</strong> <strong>con</strong> a ≥ 1, pory l . Sihay varios monomios iguales, suprimir todos excepto 1.5. Sea t el mínimo número de términos de los monomios Q y l donde R ⊆{1, 2,... ,m} que quedan <strong>en</strong> <strong>la</strong> función obt<strong>en</strong>ida <strong>en</strong> el paso anterior. Desdek = t +1 hasta k = m, eliminar aquellos monomios <strong>con</strong> k términos que seandivisibles por algún otro monomio de esta función <strong>con</strong> número de términosdesde t hasta k − 1. Se obti<strong>en</strong>e así una función g 1 (y 1 ,y 2 ,... ,y m ).6. En <strong>la</strong> función g, eliminar aquellos términos que al reemp<strong>la</strong>zar cada x kpor y l , para todo l ∈ {1, 2,... ,m} y reducir todos los expon<strong>en</strong>tes a 1, nocoincidan <strong>con</strong> algún término de g 1 .7.QEn <strong>la</strong> función obt<strong>en</strong>ida <strong>en</strong> el paso anterior dividir cada uno de los términosx i ,S ⊆ N por el número de sumandos que dan lugar al mismo términoi∈Sde g 1 . Obt<strong>en</strong>emos así una función g 2 .8. En <strong>la</strong> función g 2 sustituir, para todo l 6= j yparatodok ∈ P l , <strong>la</strong> variablex k por y l . Se obti<strong>en</strong>e así una función g 3 que dep<strong>en</strong>de de x k , donde k ∈ P j ey l , <strong>con</strong> l 6= j.9. En <strong>la</strong> función g 3 reducir todos los expon<strong>en</strong>tes a 1, esdecir,reemp<strong>la</strong>zarcada yl a <strong>con</strong> a ∈ N, por y l . Se obti<strong>en</strong>e así una función g 4 .10. A partir de g 4 calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> función g 5 de x k , <strong>con</strong> k ∈ P j <strong>del</strong> sigui<strong>en</strong>temodo:Z 1´g 5 ((x k ) k∈Pj)= g 4³(x k ) k∈Pj,t,... ,t dt.0l∈R11. Finalm<strong>en</strong>te, el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico ζ ise obti<strong>en</strong>e calcu<strong>la</strong>ndoΛ i (N,v,P) =Z11∂g 5(t,... ,t) dt.g 1 (1, 1,... ,1) 0 ∂x iDemostraciónLa función g 1 que resulta <strong>del</strong> paso 5, se correspondería <strong>con</strong> <strong>la</strong> obt<strong>en</strong>ida después<strong>del</strong> paso 3 para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego coci<strong>en</strong>te
102 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesapriori¡M,vP ¢ , que es igual a:Se ti<strong>en</strong>e que g 1 (1, 1,... ,1) =g 1 (y 1 ,y 2 ,... ,y m )=PR∈M(v P )Yy l .XR⊆M l∈RR∈M(v P )1=¯¯M ¡ v P ¢¯¯ .En el paso 6 se eliminan <strong>en</strong> <strong>la</strong> función g los términos correspondi<strong>en</strong>tes aaquel<strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras cuyos repres<strong>en</strong>tantes <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>t<strong>en</strong>o son minimales ganadoras, es decir se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> funciónX Yx k .S∈M(v,P) k∈SEn el paso 7, se divide cada uno de los términos Q x k de <strong>la</strong> función anterior<strong>en</strong>tre |P (S)|, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>dog 2 (x 1 ,x 2 ,... ,x n )=XS∈M(v,P)k∈S1 Yx k .|P (S)|Despúes de los pasos 8 y 9, se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> función³g 4 (x k ) k∈Pj, (y l ) l6=j´= X 1 Y|P (S)|En el paso 10, se calcu<strong>la</strong>Z 10XS∈M(v,P)g 5 ((x k ) k∈Pj)=S∈M(v,P)Z 11Y|P (S)| t|m(S)|−10k∈P j ∩Sk∈SYy l x k .l∈m(S)\j k∈P j ∩S´g 4³(x k ) k∈Pj,t,... ,t dt =x k dt =XS∈M(v,P)1 1|P (S)| |m (S)|Yk∈P j ∩Sx k .Finalm<strong>en</strong>te, después <strong>del</strong> paso 11,Z 1∂g 51 1(t, . . . , t) dt =∂x i |P (S)| |m (S)|0Z 10XS∈M i (v,P)t |S∩P j|−1 dt =
Ext<strong>en</strong>siones multilineales 103XS∈M i (v,P)<strong>con</strong> lo se finaliza <strong>la</strong> demostración.¤1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P j | ,Al igual que sucedía para el índice de poder de Deegan-Packel no coalicional,t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> facilidad de cálculo de los dos índices de poder coalicionalesde Deegan-Packel a partir <strong>del</strong> <strong>con</strong>ocimi<strong>en</strong>to de los <strong>con</strong>juntos decoaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong> juego simple y <strong>del</strong> juego coci<strong>en</strong>te, el resultadoanterior y el refer<strong>en</strong>te al índice de poder de Deegan-Packel coalicionalno ti<strong>en</strong><strong>en</strong> mucha utilidad práctica. Se incluy<strong>en</strong> para ver su semejanza <strong>con</strong> elprocedimi<strong>en</strong>to de cálculo de otros índices de poder coalicionales a partir de<strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal <strong>del</strong> juego. Para finalizar esta sección, se empleará d<strong>en</strong>uevo el Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder deDeegan-Packel coalicional simétrico, mediante el procedimi<strong>en</strong>to descrito <strong>en</strong>el teorema anterior.Ejemplo 2.6.3 El Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares puede repres<strong>en</strong>tarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3]. Se va a calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packelcoalicional simétrico <strong>del</strong> jugador 2(PSOE). Se recuerda que el sistema deuniones a priori vi<strong>en</strong>e dado porP = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .Como se vio <strong>en</strong> el ejemplo 1.3.4, <strong>la</strong> función g queseobti<strong>en</strong>edespuésdeaplicar el paso 3 es:g (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )=x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 1 x 5 + x 1 x 6 + x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .En el paso 4, se sustituye x 1 por y 1 (primera unión), x 2 ,x 4 y x 6 por y 2(segunda unión) y, x 3 y x 5 por y 3 (tercera unión), se reduc<strong>en</strong> todos los expon<strong>en</strong>tesa 1 y, cuando hay varios monomios iguales, eliminamos todos m<strong>en</strong>osuno, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>doy 1 y 2 + y 1 y 3 + y 2 y 3 + y 1 y 2 y 3 .En el paso 5, se elimina el último término, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> función g 1g 1 (y 1 ,y 2 ,y 3 )=y 1 y 2 + y 1 y 3 + y 2 y 3 .
104 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriEn este caso <strong>en</strong> el paso 6, no se debe eliminar ningún término. En el paso7, se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> funcióng 2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ,x 6 )= x 1x 23+ x 1x 32+ x 1x 43+ x 1x 52+ x 1x 63+ x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 .En el paso 8, se sustituye x 1 por y 1 (primera unión) y, x 3 y x 5 por y 3 (terceraunión) obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te funcióng 3 (y 1 ,x 2 ,x 4 ,x 6 ,y 3 )= y 1x 23+ y 1 y 3 + y 1x 43+ y 1x 63+ x 2 x 4 x 6 y 2 3.En el paso 9, se reduc<strong>en</strong> todos los expon<strong>en</strong>tes a 1, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>la</strong> funcióng 4 (y 1 ,x 2 ,x 4 ,x 6 ,y 3 )= y 1x 23En el paso 10, se calcu<strong>la</strong>Z 10g 5 (x 2 ,x 4 ,x 6 )=+ y 1 y 3 + y 1x 43Z 10+ y 1x 63g 4 (t, t, x 2 ,x 4 ,x 6 ) dt =+ x 2 x 4 x 6 y 3 .µx2 t3 + t2 + x 4t3 + x 6t3 + x 2x 4 x 6 t dt = 1 6 x 2 + 1 6 x 4 + 1 6 x 6 + 1 2 x 2x 4 x 6 + 1 3 .Finalm<strong>en</strong>te, para evaluar el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico <strong>del</strong> jugador 2, se aplica el paso 11Λ 2 (N,v,P) =1g 1 (1, 1, 1)Z 10∂g 5∂x 2(t, t, t) dt = 1 9 .De forma simi<strong>la</strong>r, se obt<strong>en</strong>drá el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico de los restantes jugadores:Λ (N,v,P) =(1/3, 1/9, 1/6, 1/9, 1/6, 1/9) .2.7 Funciones g<strong>en</strong>eratricesEn esta sección se verá cómo es posible, empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices,calcu<strong>la</strong>r diversos índices de poder <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> de mayoría ponderada <strong>con</strong>uniones apriori.
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 105El índice de poder de Banzhaf-Ow<strong>en</strong>Recuérdese que el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> es una solución f : U (N) −→ R nque dado un juego (N,v,P) ∈ U (N) asigna a cada jugador i ∈ N el númeroreal:Ψ i (N,v,P) =donde Q = Sr∈RXXR⊆M\j T ⊆P j \i1 1(v (Q ∪ T ∪ i) − v (Q ∪ T )) , (2.14)2 m−1 2 p j−1P r y P j ∈ P es <strong>la</strong> unión tal que i ∈ P j .En primer lugar, se com<strong>en</strong>zará dando dos definiciones que sólo se emplearán<strong>en</strong> esta sección, y que se utilizarán para facilitar <strong>la</strong> introducción de nuevosresultados.Definición 2.7.1 Dado (N,v,P) ∈ U (N), donde P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , sedice que una coalición S ⊆ N es compatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructuraSde unionesaprioriP para <strong>la</strong> unión P j ,siS es de <strong>la</strong> forma S = P k ∪ T ,<strong>con</strong>T ⊆ P j .k∈R⊆M\jDado (N,v,P) ∈ U (N) , d<strong>en</strong>otaremos por C(j, P ) el <strong>con</strong>junto de coalicionescompatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de coaliciones para <strong>la</strong> unión P j .Definición 2.7.2 Dado (N,v,P) ∈ SU (N) se define un swing compatible<strong>con</strong> P, para un jugador i ∈ P j , como un par de coaliciones (S ∪ i, S) tal queS es perdedora, S ∈ C(j, P ) y S ∪ i es ganadora.Se repres<strong>en</strong>tará por η i (N,v,P) el número de swings compatibles <strong>con</strong> P paraun jugador i, <strong>en</strong> el juego simple <strong>con</strong> uniones apriori(N,v,P) .En un juego simple, para un jugador i ∈ P j , <strong>la</strong>s cantidades v (S ∪ i) − v (S)donde S ∈ C(j, P ) son iguales a 1 sólo si el jugador i hace ganadora a <strong>la</strong>coalición S, si<strong>en</strong>do igual a 0 <strong>en</strong> el resto de los casos. Por lo tanto, sustituy<strong>en</strong>do<strong>en</strong> (2.14), el índice de poder de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> de un jugador i ∈ P j es igua<strong>la</strong>l número de swings compatibles <strong>con</strong> P para i, dividido <strong>en</strong>tre 2 m+p j−2 , esdecir:Ψ i (N,v,P) = η i (N,v,P)2 m+p j−2.
106 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriPor ello, para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong> un juego simple<strong>con</strong> uniones apriories sufici<strong>en</strong>te calcu<strong>la</strong>r el número de swings compatibles<strong>con</strong> P para cada uno de los jugadores.El sigui<strong>en</strong>te resultado determina el número de swings, compatibles <strong>con</strong> P,para un jugador <strong>en</strong> un juego simple de mayoría ponderada <strong>con</strong> uniones apriori (N,v,P).Teorema 2.7.1 Sea (N,v,P) un juego simple <strong>con</strong> uniones a priori y de mayoríaponderada <strong>con</strong> v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ]. El número de swings compatiblespara un jugador i ∈ P j <strong>en</strong> dicho juego vi<strong>en</strong>e dado por:η i (N,v,P) =q−1Xk=q−w ib i k,si<strong>en</strong>do b i kel número de coaliciones S ∈ C(j, P ) tales que i/∈ S y w(S) =k.DemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j .Las coaliciones compatibles para <strong>la</strong> unión P j , a <strong>la</strong>s que no pert<strong>en</strong>ece i, <strong>con</strong>peso compr<strong>en</strong>dido <strong>en</strong>tre q − w i y q − 1 son coaliciones perdedoras. Si a unade estas coaliciones se incorpora el jugador i, el peso de <strong>la</strong> coalición es por lom<strong>en</strong>os igual a q, por lo que se <strong>con</strong>vierte <strong>en</strong> una coalición ganadora.Si b i k d<strong>en</strong>ota el número de coaliciones S compatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura decoaliciones para <strong>la</strong> unión P j que no incluy<strong>en</strong> al jugador i y que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> pesok compr<strong>en</strong>dido <strong>en</strong>tre q − w i y q − 1, los swings compatibles para el jugador i<strong>en</strong> el juego (N,v,P) se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> sumando los números {b i k } k≥0para <strong>valor</strong>esde k compr<strong>en</strong>didos <strong>en</strong>tre q − w i y q − 1. Por tanto, η i (N,v,P) =q−1 Pb i k .¤k=q−w iEl sigui<strong>en</strong>te resultado proporciona una función que permite determinar losnúmeros {b i k } k≥0anteriores y calcu<strong>la</strong>r el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> demayoría ponderada <strong>con</strong> uniones apriori.Teorema 2.7.2 Sea (N,v,P) un juego simple <strong>con</strong> uniones a priori y demayoría ponderada <strong>con</strong> v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces dado un jugador
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 107i ∈ P j , <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratriz de los números {b i k } k≥0, definidos anteriorm<strong>en</strong>tevi<strong>en</strong>e dada por:B i (x) =mY¡ ¢ pY j1+xw(P r )(1 + x w j l) ,r=1,r6=jj l =1,j l 6=idonde w (P r )= P w j y P j = © ªj 1 ,j 2 , ..., j pjj∈P rDemostraciónSea (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j .Considérese <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te función¡1+xw(P 1 ) ¢ ... ¡ 1+x w(P j−1) ¢¡ 1+x w(P j+1) ¢ ... ¡ 1+x w(Pm)¢ (1 + x w j 1) ...(2.15)... ¡ 1+x w jp j¢=1+XYx w l=1+Xx P l∈S w l=1+Xx w(S) .S∈C(j,P ) l∈SS∈C(j,P )S∈C(j,P )Agrupando <strong>la</strong>s pot<strong>en</strong>cias <strong>del</strong> mismo ord<strong>en</strong>, y haci<strong>en</strong>do k = w (S), resulta que<strong>la</strong> función anterior es igual a:w(N)Xk=0b k x k ,donde b 0 =1y b k , para k>0 es el número de coaliciones compatibles <strong>con</strong><strong>la</strong> estructura de uniones aprioripara <strong>la</strong> unión P j <strong>con</strong> peso k. Paracalcu<strong>la</strong>rlos números {b i k } k≥0 , basta suprimir <strong>en</strong> (2.15) el factor (1 + xw i) .¤Ejemplo 2.7.1 Se va a calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> para eljuego simple de mayoría ponderada correspondi<strong>en</strong>te al Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>sBaleares. Este juego puede repres<strong>en</strong>tarse como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] . Considerando<strong>la</strong> estructura de uniones a priori dada por:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} ,
108 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriPara calcu<strong>la</strong>r el número de swings para el jugador 4, hay que <strong>con</strong>struir <strong>la</strong>función:B 4 (x) = ¡ 1+x 28¢¡ 1+x 8¢¡ 1+x 16¢¡ 1+x 3¢ =x 55 + x 52 + x 47 + x 44 + x 39 + x 36 + x 31 + x 28 + x 27 +Entonces, se obti<strong>en</strong>e que η 4 (v) =x 24 + x 19 + x 16 + x 11 + x 8 + x 3 +1.P 29 b 4 kk=26que η 1 (v) =η 3 (v) =η 4 (v) =η 5 (v) =η 6 (v) =2.=2. De forma simi<strong>la</strong>r, se t<strong>en</strong>dríaSe obt<strong>en</strong>dría de modo inmediato que el índice de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> es igual a:Ψ (N,v,P) =(1/2, 1/8, 1/4, 1/8, 1/4, 1/8) .El índice de poder de Banzhaf coalicional simétricoPara <strong>con</strong>struir <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratriz que permita calcu<strong>la</strong>r el índice de poderde Banzhaf coalicional simétrico <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> de mayoría ponderada, hay quet<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta un argum<strong>en</strong>to simi<strong>la</strong>r al que se utilizó para el cálculo de <strong>la</strong>función g<strong>en</strong>eratriz que permitía obt<strong>en</strong>er el índice de poder de Shapley-Shubik.En este caso, dado un juego (N,v,P) ∈ SU (N) , el índice de poder deBanzhaf coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j , es igual a:Π i (N,v,P) =X{S∈C(i,P )/S /∈W yS∪i∈W }1 |S ∩ P j |!(p j − |S ∩ P j | − 1)!=2 m−1 p j !p j −1Xl=01 l!(p j − l − 1)!d i2 m−1 p j !l,
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 109donde d i l repres<strong>en</strong>ta el número de swings (S ∪ i, S) compatibles <strong>con</strong> P parael jugador i, <strong>en</strong> el juego (N,v,P), de tal forma que el número de jugadoresde S que pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> a P j es l. Sigui<strong>en</strong>do un razonami<strong>en</strong>to simi<strong>la</strong>r al que sehizo para el índice de poder de Shapley-Shubik, se ti<strong>en</strong>e que, para cualquier<strong>valor</strong> de l <strong>en</strong>tre 0 y p j − 1,d i l =q−1Xk=q−w ia i kl,si<strong>en</strong>do a i kl el número de swings compatibles <strong>con</strong> P para el jugador i, <strong>en</strong>(N,v,P) <strong>con</strong> peso k que <strong>con</strong>ti<strong>en</strong><strong>en</strong> l jugadores de <strong>la</strong> unión P j .Teorema 2.7.3 Sea (N,v,P) un juego simple <strong>con</strong> uniones a priori y de mayoríaponderada <strong>con</strong> v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. Entonces dado un jugador i ∈ P j ,<strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratriz de los números {a i kl } k≥0,l≥0, definidos anteriorm<strong>en</strong>te,vi<strong>en</strong>e dada por:DemostraciónS i (x, z) =mYr=1,r6=j¡ ¢ pY j1+xw(P r )j l =1,j l 6=i(1 + x w j lz) .Sea (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j si<strong>en</strong>do P j =©i1 ,i 2 ,... ,i pjª.Considérese <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te función¡1+xw(P 1 ) ¢ ... ¡ 1+x w(P j−1) ¢¡ 1+x w(P j+1) ¢ ... ¡ 1+x w(Pm)¢ (1 + x w j 1z) ...(2.16)... ¡ 1+x w jp j z¢=1+X1+ XS∈C(j,P )Yx w kS∈C(i,P ) k∈S\P jx P k∈S w kz |S∩P j| =1+Yk∈S∩P jx w kz =XS∈C(j,P )x w(S) z |S∩P j| .
110 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriAgrupando <strong>la</strong>s pot<strong>en</strong>cias <strong>del</strong> mismo ord<strong>en</strong>, y haci<strong>en</strong>do k = w (S), resulta queel término anterior es igual a:w(N)Xk=0p jXa kl x k z ll=0donde a 00 =1y a kl cuando al m<strong>en</strong>os uno de los índices k o l es mayor que 0,es el número de coaliciones compatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de coaliciones para<strong>la</strong> unión P j <strong>con</strong> peso k yque<strong>con</strong>ti<strong>en</strong><strong>en</strong>l jugadores de P j . Para calcu<strong>la</strong>r losnúmeros {a i kl } k≥0,l≥0 , basta suprimir <strong>en</strong> (2.16) el factor (1 + xw i) .¤Empleando <strong>la</strong> proposición anterior se pued<strong>en</strong> calcu<strong>la</strong>r los números {a i kl } k≥0,l≥0 .Ahora bi<strong>en</strong>, para determinar el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico es necesariocalcu<strong>la</strong>r los <strong>valor</strong>es d i l que pued<strong>en</strong> id<strong>en</strong>tificarse por un polinomio de <strong>la</strong>formaycomod i l =q−1 Pk=q−w ia i klg i (z) =, se ti<strong>en</strong>e queg i (z) =Por <strong>la</strong> proposición anteriorp j −1Xl=0S i (x, z) =d i lz l =p j −1Xl=0⎡⎣p j −1Xl=0p j −1Xl=0Xd i lz l ,w(N)−w ik=0" q−1 Xk=q−w ia i kl#z l .a i klx k ⎤⎦ z l ,de lo que se deduce que para determinar los coefici<strong>en</strong>tes de g i (z) es sufici<strong>en</strong>te,para cada pot<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong> variable z <strong>en</strong> S i (x, z) , seleccionar los coefici<strong>en</strong>tesde los monomios x k z l <strong>en</strong> los que el expon<strong>en</strong>te k de <strong>la</strong> variable x tome <strong>valor</strong>es<strong>en</strong>tre q − w i y q − 1.Ejemplo 2.7.2 Se va a calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Banzhaf coalicionalsimétrico para el juego de mayoría ponderada correspondi<strong>en</strong>te al Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 111de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares. Recuérdese que este juego puede repres<strong>en</strong>tarse como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] y que <strong>con</strong>sideramos <strong>la</strong> estructura de uniones a priori dadapor:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} ,Para calcu<strong>la</strong>r el número de swings compatibles para el jugador 3, hayque<strong>con</strong>siderar <strong>la</strong> función:S 3 (x, z) = ¡ 1+x 28¢¡ 1+x 23¢¡ 1+x 3 z ¢ =x 54 z + x 31 z + x 26 z + x 3 z + x 51 + x 28 + x 23 +1.Se elig<strong>en</strong> ahora los coefici<strong>en</strong>tes de los monomios x k z j <strong>en</strong> los que el expon<strong>en</strong>tek de <strong>la</strong> variable x tome <strong>valor</strong>es <strong>en</strong>tre 25 y 29 (<strong>en</strong> este caso son sólo dos x 26 zy x 28 ), por lo queg 3 (z) =1Xd 3 jz j = z +1,j=0y el índice de poder de Banzhaf coalicional simétrico <strong>del</strong> jugador 3 se calcu<strong>la</strong>ríaΠ 3 (N,v,P) = 1 2 21Xj=0j!(2− j − 1)!d 3 j = 1 1!0!2! 4 2! 1+1 0!1!4 2! 1=1 4 .De modo simi<strong>la</strong>r, podría calcu<strong>la</strong>rse este índice para los restantes jugadores:Π (N,v,P) =(1/2, 1/6, 1/4, 1/6, 1/4, 1/6) .Índice de poder de Ow<strong>en</strong>A <strong>con</strong>tinuación, se describirá el procedimi<strong>en</strong>to para calcu<strong>la</strong>r el índice de poderde Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> de mayoría ponderada empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices.En este caso, dado un juego (N,v,P) ∈ SU (N) , el índice de poder de Ow<strong>en</strong>de un jugador i de P j , vi<strong>en</strong>e dado por:Φ i (N,v,P) =
112 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriX{S∈C(i,P )/S/∈W yS∪i∈W }|m j (S)|!(m − |m j (S)| − 1)! |S ∩ P j |!(p j − |S ∩ P j | − 1)!m!p j !=m−1Xr=0p j −1Xl=0r!(m − r − 1)!m!l!(p j − l − 1)!d ip j !rl,donde m j (S) ={k ∈ M\j/P k ⊆ S} y d i rl repres<strong>en</strong>ta el número de swings(S ∪ i, S) compatibles <strong>con</strong> P para el jugador i ∈ P j <strong>en</strong> el juego (N,v,P), detal forma que <strong>en</strong> S están <strong>con</strong>t<strong>en</strong>idas r uniones aprioridistintas de P j yelnúmero de elem<strong>en</strong>tos de S que pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> a P j es l. Sigui<strong>en</strong>do un razonami<strong>en</strong>tosimi<strong>la</strong>r al que se hizo para el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico,se ti<strong>en</strong>e que, para cualquier <strong>valor</strong> de r <strong>en</strong>tre 0 y m −1, y<strong>del</strong> <strong>en</strong>tre 0 y p j −1,d i rl =k=q−1Xk=q−w ia i klr,si<strong>en</strong>do a i klr el número de swings compatibles <strong>con</strong> P para el jugador i, <strong>en</strong>coalicionesdepesok, que <strong>con</strong>ti<strong>en</strong><strong>en</strong> l jugadores de <strong>la</strong> coalición P j y r unionesaprioridistintas de P j .Teorema 2.7.4 Sea (N,v,P) un juego simple <strong>con</strong> coaliciones a priori y demayoría ponderada donde v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ]. Entonces dado un jugadori ∈ P j , <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratriz de los números {a i klr } k≥0,l≥0,r≥0definidos anteriorm<strong>en</strong>tevi<strong>en</strong>e dada por:DemostraciónS i (x, z, t) =mYr=1,r6=j¡1+xw(P r ) t ¢ pY jj k =1,j k 6=i(1 + x w j k z) .Sea (N,v,P) ∈ SU (N) <strong>con</strong> v =[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ] e i ∈ P j .Considérese <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te función¡1+xw(P 1 ) t ¢ ... ¡ 1+x w(P j−1) t ¢¡ 1+x w(P j+1) t ¢ ... ¡ 1+x w(Pm) t ¢ (1 + x w j 1z) ...(2.17)
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 113... ¡ 1+x w ¢ X Y ¡jp j z =1+ xw(P r ) t ¢ Y(x w kz)=k∈S∩P j1+ XS∈C(j,P )S∈C(j,P ) r∈m j (S)x P k∈S w kt |m j(S)| z |S∩P j| =1+XS∈C(j,P )x w(S) t |m j(S)| z |S∩P j| .Agrupando <strong>la</strong>s pot<strong>en</strong>cias <strong>del</strong> mismo ord<strong>en</strong>, y haci<strong>en</strong>do k = w (S), resulta que<strong>la</strong> función anterior es igual a:w(N)Xk=0m−1X Xa klr x k t r z lr=0p jl=0donde a 000 =1y a klr , cuando al m<strong>en</strong>os uno de los índices k, l o r es mayorque 0, es el número de coaliciones compatibles <strong>con</strong> el sistema de uniones parael jugador i <strong>con</strong> peso k que<strong>con</strong>ti<strong>en</strong>ear coaliciones distintas de P j y<strong>con</strong>ljugadores de P j . Para calcu<strong>la</strong>r los números {a i klr } k≥0,l≥0,r≥0, basta suprimir<strong>en</strong> (2.17) el factor (1 + x w i) .¤En <strong>la</strong> proposición anterior, se pres<strong>en</strong>ta un método para el cálculo de losnúmeros {a i klr } k≥0,l≥0,r≥0. De modo simi<strong>la</strong>r a como ocurría para el <strong>valor</strong> deBanzhaf coalicional simétrico, para determinar el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong> es necesariocalcu<strong>la</strong>r los <strong>valor</strong>es d i rl que pued<strong>en</strong> id<strong>en</strong>tificarseporunpolinomiode<strong>la</strong>formaycomod i rl =q−1 Pk=q−w ia i klrm−1Xg i (z, t) =r=0Por <strong>la</strong> proposición anteriorm−1Xg i (z,t) =, se ti<strong>en</strong>e quep j −1Xl=0m−1XS i (x, z, t) =r=0p j −1Xl=0m−1Xd i rlz l t r =r=0p j −1Xl=0⎡⎣r=0d i rlt r z l ,p j −1XXl=0w(N)−w ik=0" q−1 Xk=q−w ia i klra i klrx k ⎤⎦ t r z l ,#t r z l .
114 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioride lo que se deduce que para determinar los coefici<strong>en</strong>tes de g i (z, t) es sufici<strong>en</strong>te,para cada par de pot<strong>en</strong>cias de <strong>la</strong> variable z y t <strong>en</strong> S i (x, z, t) , seleccionarlos coefici<strong>en</strong>tes de los monomios x k t r z l <strong>en</strong> los que el expon<strong>en</strong>te k de <strong>la</strong>variable x tome <strong>valor</strong>es <strong>en</strong>tre q − w i y q − 1.Ejemplo 2.7.3 Sigui<strong>en</strong>do <strong>con</strong> el ejemplo anterior que se repres<strong>en</strong>taba como[30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] , <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones a priori dada por:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .Para calcu<strong>la</strong>r el número de swings compatibles para el jugador 6, <strong>con</strong>sidérese<strong>la</strong> función:S 6 (x, z, t) = ¡ 1+x 28 t ¢¡ 1+x 8 t ¢¡ 1+x 16 z ¢¡ 1+x 4 z ¢ =x 56 tz 2 + x 48 tz 2 + x 28 tz 2 + x 20 z 2 + x 52 tz + x 44 tz + x 40 tz +x 32 tz + x 24 tz + x 12 tz + x 16 z + x 4 z + x 36 t + x 28 t + x 8 t +1.Se elig<strong>en</strong> ahora los coefici<strong>en</strong>tes de los monomios x k t r z l <strong>en</strong> los que el expon<strong>en</strong>tek de <strong>la</strong> variable x tome <strong>valor</strong>es <strong>en</strong>tre 27 y 29 (son dos x 28 tz 2 y x 28 t), por loqueg 6 (z,t) =2X 2Xd i rlt r z l = tz 2 + t,r=0 l=0y el índice de poder de Ow<strong>en</strong> <strong>del</strong> jugador 6 se calcu<strong>la</strong>ríaΦ 6 (N,v,P) =2Xr=02Xl=0r!(m − r − 1)!m!l!(p j − l − 1)!d i rl =p j !1!1! 0!2!3! 3! 1+1!1! 2!0!3! 3! 1=1 9 .De modo simi<strong>la</strong>r, se calcu<strong>la</strong>ría el índice de Ow<strong>en</strong> de los restantes jugadores:Φ (N,v,P) =(1/3, 1/9, 1/6, 1/9, 1/6, 1/9) .
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 115Índice de poder de Deegan-Packel coalicionalEn esta subsección se indicará cómo podría obt<strong>en</strong>erse el índice de poder deDeegan-Packel coalicional de un juego de mayoría ponderada y <strong>con</strong> unionesapriori(N,v,P) empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices.Recuérdese que dado (N,v,P) ∈ SU (N) , <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugador i ∈ P j vi<strong>en</strong>edado por <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te expresiónζ i (N,v,P) =1|M (v)|XS∈M i (v)1 1|m (S)| |S ∩ P j | .Para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugadori ∈ P j es necesario calcu<strong>la</strong>r el número de coaliciones minimales ganadoras,(|M (v)|) , y para cada coalición minimal ganadora S a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ece i, elnúmero de uniones apriorique ti<strong>en</strong><strong>en</strong> intersección no vacía <strong>con</strong> S (|m (S)|)y el número de jugadores de P j que pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> a S (|S ∩ P j |) .En este caso, es preciso emplear una función de m + n +1 variables, unapara los pesos, otra indicadora de unión para cada una de <strong>la</strong>s m uniones apriori, yfinalm<strong>en</strong>te, otra variable indicadora de jugador para cada uno <strong>del</strong>os n jugadores.Para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel coalicional, <strong>en</strong> primerlugar, se empleará una función g<strong>en</strong>eratriz que permita calcu<strong>la</strong>r el cardinal<strong>del</strong> total de coaliciones posibles. Entre éstas, se elegirán <strong>la</strong>s ganadoras y,finalm<strong>en</strong>te, <strong>la</strong>s minimales ganadoras.El sigui<strong>en</strong>te resultado proporciona una función g<strong>en</strong>eratriz que permite elcálculo de los números {c kz1 z 2 ...z ny 1 y 2 ...y m} , donde k ≥ 0, z i =0o z i =1, parai =1, 2,... ,n e y j =0o y j =1, para j =1, 2,... ,m.Las cantidades c kz1 z 2 ...z n y 1 y 2 ...y m, donde z i =1si i ∈ S, z i =0si i/∈ S, y j =1si j ∈ R e y j =0si j /∈ R es el número de coaliciones formadas por losjugadores de S, de tal forma que estén repres<strong>en</strong>tadas <strong>la</strong>s uniones R ⊆ M yde peso k. Es evid<strong>en</strong>te que los números {c kz1 z 2 ...z n y 1 y 2 ...y m} son iguales a 1(es posible formar una coalición <strong>con</strong> esas características) o a 0 (no es posibleformar dicha coalición).
116 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriTeorema 2.7.5 Sea (N,v,P) un juego simple de mayoría ponderada <strong>con</strong>uniones a priori donde v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. La función g<strong>en</strong>eratriz de losnúmeros {c kz1 z 2 ...z n y 1 y 2 ...y m},definidos anteriorm<strong>en</strong>te vi<strong>en</strong>e dada pornY ¡S (x, z 1 ,z 2 ,...z n ,y 1 ,y 2 ,... ,y m )= 1+xw j¢z j y p(j) ,j=1donde p (j) es <strong>la</strong> unión a <strong>la</strong> que pert<strong>en</strong>ece el jugador j.A partir de <strong>la</strong> expresión anterior se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> todas <strong>la</strong>s coaliciones posibles.En un primer paso, para trabajar sólo <strong>con</strong> <strong>la</strong>s coaliciones ganadoras deb<strong>en</strong>eliminarse aquellos monomios <strong>en</strong> los que <strong>la</strong> pot<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong> variable x seam<strong>en</strong>or que q.En un segundo paso, y de modo simi<strong>la</strong>r a como se hizo para <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal<strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel coalicional y para el método decálculo <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices,deb<strong>en</strong> eliminarse todos los monomios que puedan dividirse por algúnotro monomio de los que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> esta función. El número de monomiosde <strong>la</strong> función resultante es el número de coaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong>juego, |M (v)| .Finalm<strong>en</strong>te, para obt<strong>en</strong>er el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalde un jugador i ∈ P j , bastará <strong>con</strong> seleccionar aquellos términos <strong>en</strong> los queaparezca <strong>la</strong> variable z i . La pot<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong> variable y j indica el número de jugadoresde P j que <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> dicha coalición minimal ganadora, y el númerode variables y l distintas que aparezcan indica el número de uniones apriorique ti<strong>en</strong><strong>en</strong> intersección no vacía <strong>con</strong> dicha coalición.Se va a ilustrar el procedimi<strong>en</strong>to anterior calcu<strong>la</strong>ndo el índice de poder deDeegan-Packel coalicional correspondi<strong>en</strong>te al Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares.Ejemplo 2.7.4 Este Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to se repres<strong>en</strong>ta como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3], yse <strong>con</strong>sidera <strong>la</strong> estructura de uniones a priori dada por:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .En primer lugar se calcu<strong>la</strong> <strong>la</strong> función S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )=6Y ¡1+xw j¢z j y p(j) =j=1
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 117¡1+x 28 z 1 y 1¢¡1+x 16 z 2 y 2¢¡1+x 5 z 3 y 3¢¡1+x 4 z 4 y 2¢¡1+x 3 z 5 y 3¢¡1+x 3 z 6 y 2¢.Para no a<strong>la</strong>rgar excesivam<strong>en</strong>te este trabajo, no se recog<strong>en</strong> los cálculos intermedios.En un segundo paso, de <strong>la</strong> función anterior se elig<strong>en</strong> aquellostérminos <strong>en</strong> los que <strong>la</strong> pot<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong> variable x sea mayor o igual que 30. Deéstos, se elig<strong>en</strong> ahora aquellos que no puedan ser divididos por otros términos,<strong>con</strong> lo que al final se t<strong>en</strong>dría:x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 y 3 2y 2 3 + x 44 z 1 z 2 y 1 y 2 + x 33 z 1 z 3 y 1 y 3 +x 32 z 1 z 4 y 1 y 2 + x 31 z 1 z 5 y 1 y 3 + x 31 z 1 z 6 y 1 y 2 .Por lo tanto, |M (v)| =6, el número de términos de <strong>la</strong> expresión anterior.Para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel coalicional de un jugadori ∈ P j basta <strong>con</strong> sumar aquellos monomios <strong>en</strong> los que aparece <strong>la</strong> variable z idividido <strong>en</strong>tre el producto <strong>del</strong> expon<strong>en</strong>te correspondi<strong>en</strong>te de <strong>la</strong> variable y j yel número de variables y l distintas que aparezcan. Finalm<strong>en</strong>te se divide elresultado <strong>en</strong>tre |M (v)| .Así para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder <strong>del</strong> jugador 2 se ti<strong>en</strong>e que z 2 aparece <strong>en</strong> dosmonomios, dividi<strong>en</strong>do <strong>en</strong>tre los dos productos correspondi<strong>en</strong>tes, obt<strong>en</strong>emos1 1+ 11= 2, que dividido a su vez <strong>en</strong>tre |M (v)| es igual a 1.2 3 2 3 9De forma simi<strong>la</strong>r se obt<strong>en</strong>dría el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalde los restantes jugadores:ζ (N,v,P) =(5/12, 1/9, 1/8, 1/9, 1/8, 1/9) .Índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoPara finalizar esta sección se indicará cómo podría obt<strong>en</strong>erse el <strong>valor</strong> deDeegan-Packel coalicional simétrico de un juego simple de mayoría ponderaday<strong>con</strong>unionesapriori(N,v,P) empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices.Recuérdese que dado (N,v,P) ∈ SU (N) , <strong>con</strong> P = {P 1 ,P 2 ,... ,P m } , elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P j
118 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesapriorivi<strong>en</strong>e dado por <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te expresiónΛ i (N,v,P) =1|M (v P )|XS∈M i (v,P)1 1 1|P (S)| |m (S)| |S ∩ P j | .Para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico deun jugador i ∈ P j es necesario calcu<strong>la</strong>r el número de coaliciones minimalesganadoras <strong>del</strong> juego coci<strong>en</strong>te, ¡¯¯M ¡ v P ¢¯¯¢ . Además, para cada S ∈ M i (v) ,cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (m (S)) sea minimal ganadora, el número decoaliciones minimales ganadoras T <strong>en</strong> (N,v) tal que m (T )=m (S)(|P (S)|) ,el número de uniones apriori<strong>con</strong> repres<strong>en</strong>tantes <strong>en</strong> S (|m (S)|) yelnúmerode jugadores de P j que pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> a S (|S ∩ P j |) .En este caso, es necesario emplear dos funciones g<strong>en</strong>eratrices. En primerlugar, se empleará una función g<strong>en</strong>eratriz que permita calcu<strong>la</strong>r todas <strong>la</strong>scoaliciones ganadoras <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te, para elegir después <strong>la</strong>s minimalesganadoras de este juego coci<strong>en</strong>te. La segunda función g<strong>en</strong>eratriz es <strong>la</strong> descrita<strong>en</strong> el teorema 2.7.5; permitirá calcu<strong>la</strong>r todas <strong>la</strong>s coaliciones posibles <strong>del</strong> juego.Entre éstas, se eligirán <strong>la</strong>s minimales ganadoras cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> elcoci<strong>en</strong>te sea minimal ganadora.El sigui<strong>en</strong>te resultado proporciona una función g<strong>en</strong>eratriz que permite elcálculo de los números {c jky1 y 2 ...y m} , donde j ≥ 0,k ≥ 0, y i =0o y i =1,para i =1, 2,... ,m.Las cantidades c jky1 y 2 ...y m, donde y i =1si i ∈ R e y i =0si i/∈ R es el númerode coaliciones <strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te formadas por j uniones aprioriy de pesok. Es evid<strong>en</strong>te que estas cantidades son iguales a 1 (es posible formar unacoalición de uniones apriori<strong>con</strong> esas características) o a 0 (no es posibleformar dicha coalición).Teorema 2.7.6 Sea (N,v,P) un juego simple de mayoría ponderada <strong>con</strong>uniones a priori donde v =[q; w 1 ,w 2 , ..., w n ]. La función g<strong>en</strong>eratriz de losnúmeros {c jky1 y 2 ...y m} j≥0,k≥0, definidos anteriorm<strong>en</strong>te vi<strong>en</strong>e dada porS (x, y 1 ,y 2 ,... ,y m ,t)=mY ¡1+xw(P j ) y j t ¢ .j=1
Funciones g<strong>en</strong>eratrices 119El resultado anterior es simi<strong>la</strong>r al que se vio <strong>en</strong> <strong>la</strong> proposición 1.3.1 para elíndice de poder de Deegan-Packel. Sigui<strong>en</strong>do un razonami<strong>en</strong>to idéntico al quese hizo <strong>en</strong> ese caso, se obt<strong>en</strong>drían todas <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras<strong>en</strong> el juego coci<strong>en</strong>te.A partir de <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratriz definida <strong>en</strong> el teorema 2.7.5 deb<strong>en</strong> efectuarselos mismos pasos que los vistos anteriorm<strong>en</strong>te para el índice de poderde Deegan-Packel coalicional, y al final deb<strong>en</strong> eliminarse aquel<strong>la</strong>s coalicionesminimales ganadoras cuyo repres<strong>en</strong>tante <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te no sea minimal ganadora.Es evid<strong>en</strong>te que el cálculo de los índices de poder coalicionales de Deegan-Packel empleando los procedimi<strong>en</strong>tos descritos <strong>en</strong> estas dos últimas subseccionesson bastante tediosos, pero pued<strong>en</strong> programarse para realizar los cálculosmediante un ord<strong>en</strong>ador. El interés de estos resultados, al igual que parael caso no coalicional, reside <strong>en</strong> que sirve para comprobar que estos índicesde poder también se pued<strong>en</strong> calcu<strong>la</strong>r empleando funciones g<strong>en</strong>eratrices, aligual que sucedía <strong>con</strong> los índices de poder de Ow<strong>en</strong> y de Banzhaf-Ow<strong>en</strong>.Para finalizar el capítulo, se ilustrará el procedimi<strong>en</strong>to anterior, calcu<strong>la</strong>ndoel índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico correspondi<strong>en</strong>te alPar<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares.Ejemplo 2.7.5 Este Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to se repres<strong>en</strong>ta como [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3], yse<strong>con</strong>sidera<strong>la</strong>estructuradeunionesaprioridadapor:P = {{1} , {2, 4, 6} , {3, 5}} .En primer lugar, se calcu<strong>la</strong> <strong>la</strong> función S (x, y 1 ,y 2 ,y 3 ,t)S (x, y 1 ,y 2 ,y 3 ,t)=3Y ¡1+xw(P j ) y j t ¢ =j=1¡1+x 28 y 1 t ¢¡ 1+x 23 y 2 t ¢¡ 1+x 8 y 3 t ¢ .Después de realizar los cálculos intermedios y elegir sólo <strong>la</strong>s coaliciones minimalesganadoras, quedarían los términosx 51 y 1 y 2 t 2 + x 36 y 1 y 3 t 2 + x 31 y 2 y 3 t 2 .
120 Valores<strong>en</strong><strong>juegos</strong><strong>con</strong>unionesaprioriDe aquí se deduce que el número de coaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong>juego coci<strong>en</strong>te es ¯¯M ¡ v P ¢¯¯ =3y que son <strong>la</strong>s formadas por dos uniones apriori cualesquiera.Después se calcu<strong>la</strong> <strong>la</strong> función S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )nY ¡S (x, z 1 ,z 2 ,... ,z 6 ,y 1 ,y 2 ,y 3 )= 1+xw j¢z j y p(j) =j=1¡1+x 28 z 1 y 1¢¡1+x 16 z 2 y 2¢¡1+x 5 z 3 y 3¢¡1+x 4 z 4 y 2¢¡1+x 3 z 5 y 3¢¡1+x 3 z 6 y 2¢.Tal y como se describió anteriorm<strong>en</strong>te, se elig<strong>en</strong> los términos correspondi<strong>en</strong>tesa coaliciones minimales ganadoras:x 31 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 y 3 2y 2 3 + x 44 z 1 z 2 y 1 y 2 + x 33 z 1 z 3 y 1 y 3 +x 32 z 1 z 4 y 1 y 2 + x 31 z 1 z 5 y 1 y 3 + x 31 z 1 z 6 y 1 y 2 .En este caso, todas estas coaliciones minimales ganadoras induc<strong>en</strong> coalicionesminimales ganadoras <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (ya que <strong>la</strong>s variables y l que aparec<strong>en</strong><strong>en</strong> cada uno de los términos se correspond<strong>en</strong> <strong>con</strong> <strong>la</strong>s uniones a priori que<strong>con</strong>stituy<strong>en</strong> una coalición minimal ganadora <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te). Para calcu<strong>la</strong>r elíndice de poder de Deegan-Packel coalicional simétrico de un jugador i ∈ P jbasta <strong>con</strong> <strong>con</strong>siderar aquellos monomios <strong>en</strong> los que aparece <strong>la</strong> variable z i .Para cada uno de ellos se obti<strong>en</strong>e el inverso <strong>del</strong> producto <strong>en</strong>tre el expon<strong>en</strong>tede y j y el número de variables y l que aparec<strong>en</strong> (incluy<strong>en</strong>do y j ). Finalm<strong>en</strong>te,se suman estos <strong>valor</strong>es y se divide el resultado <strong>en</strong>tre ¯¯M ¡ v ¢¯¯ P .Por ejemplo, para calcu<strong>la</strong>r el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> jugador 3se ti<strong>en</strong>e que z 3 aparece <strong>en</strong> dos monomios, dividi<strong>en</strong>do <strong>en</strong>tre los dos productoscorrespondi<strong>en</strong>tes, se obti<strong>en</strong>e 1 1+ 1 1= 1, que dividido <strong>en</strong>tre ¯¯M ¡ v ¢¯¯ P es2 2 2 2 2igual a 1.6De forma simi<strong>la</strong>r, se obt<strong>en</strong>dría el índice de poder de Deegan-Packel coalicionalsimétrico de los restantes jugadores:Λ (N,v,P) =(1/3, 1/9, 1/6, 1/9, 1/6, 1/9) .
Capítulo 3Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong>comunicación restringidaEn <strong>la</strong> <strong>teoría</strong> clásica de los <strong>juegos</strong> <strong>cooperativos</strong> se supone que todos los jugadorespued<strong>en</strong> comunicarse librem<strong>en</strong>te. Para estos <strong>juegos</strong> se estudiaron <strong>en</strong>el primer capítulo diversas soluciones, como el <strong>valor</strong> de Shapley o el <strong>valor</strong> deBanzhaf.En otras situaciones los jugadores actúan de forma no cooperativa, perotambién son posibles situaciones intermedias, <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que existe comunicación,pero ésta se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra restringida. En este capítulo se estudiarán situaciones<strong>en</strong> <strong>la</strong>s que <strong>la</strong> restricción <strong>en</strong> <strong>la</strong> comunicación está mo<strong>del</strong>izada por un grafo.En este mo<strong>del</strong>o, <strong>la</strong> exist<strong>en</strong>cia de un arco <strong>del</strong> grafo <strong>en</strong>tre dos jugadores indicaque pued<strong>en</strong> comunicarse directam<strong>en</strong>te. Si dos jugadores no están unidos porun arco no pued<strong>en</strong> comunicarse directam<strong>en</strong>te, aunque sí puede ser posible<strong>la</strong> comunicación a través de otros jugadores. En 1977, Myerson propuso ycaracterizó un nuevo <strong>valor</strong> <strong>en</strong> este <strong>con</strong>texto, <strong>con</strong>ocido <strong>con</strong> el nombre de <strong>valor</strong>de Myerson.El <strong>valor</strong> de Myerson puede caracterizarse mediante <strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia<strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes y justicia. Myerson definió el juego de comunicaciónasociado a estas situaciones y demostró que el <strong>valor</strong> de Shapley de este juegocoincide <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Myerson <strong>del</strong> juego original. Por ello, puede <strong>con</strong>siderarseque el <strong>valor</strong> de Myerson es una ext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley.En el capítulo anterior, se definió el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico;una ext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> <strong>cooperativos</strong>121
122 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida<strong>con</strong> un sistema de uniones apriori. Para caracterizarlo, se empleó, <strong>en</strong>treotras, <strong>la</strong> propiedad de poder total coalicional. Esta propiedad se obt<strong>en</strong>íamodificando <strong>la</strong> propiedad <strong>del</strong> poder total, t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> exist<strong>en</strong>cia<strong>del</strong> sistema de uniones.En <strong>la</strong> primera parte de este capítulo se propondrá y caracterizará un nuevo<strong>valor</strong> mediante <strong>la</strong> propiedad de justicia y otra modificación de <strong>la</strong> propiedad<strong>del</strong> poder total, <strong>con</strong>struida <strong>en</strong> este caso, t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> exist<strong>en</strong>cia derestricciones <strong>en</strong> <strong>la</strong> comunicación. También se probará que este nuevo <strong>valor</strong>coincide <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Banzhaf <strong>del</strong> juego de comunicación asociado.Más ade<strong>la</strong>nte, se propondrá y caracterizará un nuevo índice de poder para<strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> comunicación restringida mediante grafos,empleando <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes y una modificaciónde <strong>la</strong> propiedad de justicia. Para definir esta nueva propiedad se t<strong>en</strong>drá <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>ta el número de coaliciones minimales ganadoras. También se probaráque este índice de poder coincide <strong>con</strong> el índice de poder de Deegan-Packel<strong>del</strong> juego de comunicación asociado.3.1 El <strong>valor</strong> de MyersonEn esta sección se introducirá el <strong>valor</strong> propuesto por Myerson <strong>en</strong> 1977. Enprimer lugar, pres<strong>en</strong>taremos los <strong>con</strong>ceptos necesarios.Definición 3.1.1 Sea N = {1, 2,... ,n} un <strong>con</strong>junto finito no vacío. Ungrafo no ori<strong>en</strong>tado sin <strong>la</strong>zos <strong>en</strong> N es un <strong>con</strong>junto de pares no ord<strong>en</strong>ados deelem<strong>en</strong>tos distintos. Cada uno de estos pares no ord<strong>en</strong>ados i : j se d<strong>en</strong>ominaarco. (Nótese que i : j = j : i, ya que los pares son no ord<strong>en</strong>ados).Se d<strong>en</strong>otará por g N el grafo completo sobre N yporGR (N) el <strong>con</strong>junto degrafos no ori<strong>en</strong>tados definidos <strong>en</strong> N, esdecir:g N = {i : j/i ∈ N,j ∈ N,i 6= j} y GR (N) = © g/g ⊆ g Nª .Dados S ⊆ N, g ∈ GR (N) y un par de elem<strong>en</strong>tos i ∈ N y j ∈ N, sedicequei y j están <strong>con</strong>ectados <strong>en</strong> S por g si i = j osiexistek ≥ 1 y un sub<strong>con</strong>junto{i 0 ,i 1 ,... ,i k } ⊆ S tales quei 0 = i, i k = j, i h−1 : i h ∈ g, para todo h =1, 2,... ,k.
El <strong>valor</strong> de Myerson 123Obsérvese que g = ∅, repres<strong>en</strong>ta el caso <strong>en</strong> que no se puede establecer comunicación<strong>en</strong>tre ningún par de jugadores. Dado g ∈ GR (N) y S ⊆ N,se d<strong>en</strong>otará por S/g el <strong>con</strong>junto de compon<strong>en</strong>tes <strong>con</strong>exas de S asociadas algrafo g, esdecir,S/g = {{k/j y k están <strong>con</strong>ectados <strong>en</strong> S por g} /j ∈ S} .S/g es una partición de S formada por sub<strong>con</strong>juntos maximales de elem<strong>en</strong>tosde S <strong>con</strong>ectados por g. Si S/g = S, se dirá que S es una compon<strong>en</strong>te<strong>con</strong>ectada por g. Nótese que S/g N = S, para cualquier coalición S ⊆ N.Definición 3.1.2 Se define un juego TU <strong>con</strong> comunicación como una terna(N,v,g) donde (N,v) ∈ TU (N) y g ∈ GR (N).Se d<strong>en</strong>otará por C (N) el <strong>con</strong>junto de todos los <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> comunicacióny <strong>con</strong>junto de jugadores N.Definición 3.1.3 Dado un juego TU <strong>con</strong> comunicación (N,v,g) , se d<strong>en</strong>ominajuego de comunicación asociado a (N,v,g) al juego (N,v/g) ∈ TU (N)dado por:v/g (T )= Xv (R) .R∈T/gA <strong>la</strong> vista de <strong>la</strong> definición <strong>del</strong> juego de comunicación, es evid<strong>en</strong>te que v/g N =v. La función característica <strong>del</strong> juego de comunicación v/g asigna a unacoalición T ⊆ N <strong>la</strong> suma de los <strong>valor</strong>es asignados por <strong>la</strong> función v a<strong>la</strong>partición de T formada por <strong>la</strong>s compon<strong>en</strong>tes <strong>con</strong>exas de T asociadas a g.Se ilustrarán estas ideas mediante un ejemplo s<strong>en</strong>cillo.Ejemplo 3.1.1 Sea (N,v) ∈ TU (N) donde N = {1, 2, 3, 4} y v es el juegodefinido por:• v (T )=2si {1, 2} ⊆ T,|T | ≤ 3• v (N) =4
124 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida• v (T )=0<strong>en</strong> cualquier otro caso1. Si se <strong>con</strong>sidera el grafo de comunicación g = {1 :2} ,3124el juego de comunicación asociado (N,v/g) seríade<strong>la</strong>forma:• v/g (T )=2si {1, 2} ⊆ T• v/g (T )=0<strong>en</strong> cualquier otro casoya que <strong>la</strong> función característica <strong>del</strong> juego de comunicación asigna a <strong>la</strong>coalición totalv/g (N) = Xv (R) =v ({1, 2})+v ({3})+v ({4}) =2.R∈N/g2. Si se <strong>con</strong>sidera el grafo de comunicación g = {1 :3, 2:3},3124el juego de comunicación asociado (N,v/g) seríade<strong>la</strong>forma:• v/g (T )=2si {1, 2, 3} ⊆ T• v/g (T )=0<strong>en</strong> cualquier otro caso
El <strong>valor</strong> de Myerson 125ya que ahora los jugadores 1 y 2 necesitan al jugador 3 para podercomunicarse y el jugador 4 es un jugador nulo.3. Finalm<strong>en</strong>te, si el grafo de comunicación fuese g = {1 :3, 3:4} ,3124el juego de comunicación asociado (N,v/g) sería:v/g (T )=0para cualquier coalición T ⊆ Nya que ahora los jugadores 1 y 2 no podrían comunicarse y <strong>la</strong> funcióncaracterística asignaría una cantidad igual a 0 a cualquier coalición.Definición 3.1.4 Una solución sobre C (N) es una aplicaciónf : C (N) −→ R nque a cada juego (N,v,g) ∈ C (N) le asigna un vector de R n ,<strong>en</strong>elquecadacompon<strong>en</strong>te se corresponde <strong>con</strong> el pago que recibe el jugador correspondi<strong>en</strong>te.En una situación <strong>con</strong> comunicación se propon<strong>en</strong>, <strong>en</strong>tre otras, <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tespropiedades:Efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes (EFIC). Una solución f : C (N) −→ R n verifica<strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes si para todo juego (N,v,g) ∈C (N) yparatodoS ∈ N/g, se cumple queXf i (N,v,g) =v (S) .i∈SEsta propiedad establece que si S es una compon<strong>en</strong>te <strong>con</strong>exa de N asociadaal grafo g, <strong>en</strong>tonces los jugadores de S obti<strong>en</strong><strong>en</strong> v (S) que es <strong>la</strong> cantidad queles garantiza <strong>la</strong> función característica <strong>del</strong> juego.
126 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaDado g ∈ GR (N) , para todo i : j ∈ g se define el grafo g\i : j ∈ GR (N)como el grafo que se obti<strong>en</strong>e a partir de g eliminando el arco i : j, esdecirg\i : j = {h : k ∈ g/ h : k 6= i : j} .Estabilidad (EST). Una solución f : C (N) −→ R n es estable si para todojuego (N,v,g) ∈ C (N) yparatodoi : j ∈ g, seti<strong>en</strong>equef i (N,v,g) ≥ f i (N,v,g\i : j) ,f j (N,v,g) ≥ f j (N,v,g\i : j) .Según esta propiedad, <strong>la</strong> comunicación directa <strong>en</strong>tre dos jugadores no puedeser perjudicial para ninguno de ellos.Justicia (JUS). Una solución f : C (N) −→ R n es justa si para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) yparatodoi : j ∈ g, seti<strong>en</strong>equef i (N,v,g) − f i (N,v,g\i : j) =f j (N,v,g) − f j (N,v,g\i : j) .La propiedad de justicia establece que si dos jugadores dejan de comunicarsedirectam<strong>en</strong>te, ambos pierd<strong>en</strong> (o ganan) lo mismo. Con estas propiedadesMyerson (1977) obtuvo el sigui<strong>en</strong>te resultado.Teorema 3.1.1 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificando<strong>la</strong>s propiedades de EFIC y JUS. Si el juego es superaditivo, también verificaEST. Esta función coincide <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Shapley <strong>del</strong> juego de comunicaciónasociado, es decir, f (N,v,g) = ϕ (N,v/g) , para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) .Si se <strong>con</strong>sidera el juego de comunicación ¡ N,v,g N¢ , se verifica que v/g N = vy, <strong>en</strong> <strong>con</strong>secu<strong>en</strong>cia, el <strong>valor</strong> de Myerson coincide <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Shapley.3.2 El <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicaciónrestringidaA <strong>con</strong>tinuación se propondrá una modificación <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf para<strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida mediante grafos.Se verá que este nuevo <strong>valor</strong> puede caracterizarse empleando <strong>la</strong> propiedadde justicia y una modificación de <strong>la</strong> propiedad de poder total, a <strong>la</strong> que sed<strong>en</strong>ominará poder total <strong>con</strong> comunicación restringida.
El <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 127El poder total <strong>en</strong> situaciones <strong>con</strong> comunicación restringidaPara obt<strong>en</strong>er un nuevo <strong>valor</strong> para situaciones <strong>con</strong> comunicación restringida,que exti<strong>en</strong>da al <strong>valor</strong> de Banzhaf, parece lógico utilizar una modificación de <strong>la</strong>propiedad de poder total. Esta propiedad va a desempeñar un papel simi<strong>la</strong>ral jugado por <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes que satisface el <strong>valor</strong>de Myerson.Se recuerda que <strong>la</strong> propiedad de poder total establece que dado un juego(N,v) ∈ TU (N) , se ti<strong>en</strong>e queXi∈Nf i (N,v) = 12 n−1 Xi∈NX[v (T ) − v (T \i)] . (3.1)Ahora,Pdado (N,v,g) ∈ C (N), debe proponerse un <strong>valor</strong> razonable paraf i (N,v,g), donde S ∈ N/g.i∈SEn primer lugar, <strong>la</strong> cantidad 1/2 n−1 que aparece <strong>en</strong> <strong>la</strong> expresión (3.1) porque<strong>en</strong>tre los n jugadores se suponía que existía una cooperación total, parecelógico sustituir<strong>la</strong> por 1/2 s−1 , ya que ahora sólo intervi<strong>en</strong><strong>en</strong> los jugadores de<strong>la</strong> compon<strong>en</strong>te <strong>con</strong>exa S.Si <strong>en</strong> (3.1) se <strong>con</strong>sideraba <strong>la</strong> suma <strong>en</strong> todos los jugadores i ∈ N y<strong>en</strong>todas<strong>la</strong>s subcoaliciones de N a<strong>la</strong>squepert<strong>en</strong>ecei, <strong>en</strong>unasituación<strong>con</strong>comunicación,<strong>la</strong> suma debe incluir únicam<strong>en</strong>te a los jugadores i ∈ S y a aquel<strong>la</strong>ssubcoaliciones de S a <strong>la</strong>s que pert<strong>en</strong>ece i.Finalm<strong>en</strong>te, <strong>la</strong>s coaliciones T y T \i no obti<strong>en</strong><strong>en</strong> v (T ) y v (T \i) , sino que <strong>la</strong>exist<strong>en</strong>cia de restricciones <strong>en</strong> <strong>la</strong> comunicación mo<strong>del</strong>izadas mediante el grafog, les otorgaría respectivam<strong>en</strong>teXXv (R) y v (R) ,R∈T/gT ⊆Ni∈TR∈(T \i)/ges decir, el <strong>valor</strong> asignado por <strong>la</strong> función característica <strong>del</strong> juego de comunicaciónv/g.Con todas estas <strong>con</strong>sideraciones se propone <strong>la</strong> propiedad de poder total <strong>con</strong>comunicación restringida.
128 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaDefinición 3.2.1 Una solución f : C (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde poder total <strong>con</strong> comunicación restringida (PTCR) si para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) yparatodoS ∈ N/g, se cumple que:⎡⎤Xf i (N,v,g) = 1 X X⎣ Xv (R) −Xv (R) ⎦ .2 s−1i∈Si∈ST ⊆Si∈TR∈T/gR∈(T \i)/gEn <strong>la</strong> expresión anterior, nótese que si R ∈ T/g e i /∈ R, <strong>en</strong>tonces R ∈(T \i) /g. Con esta nueva propiedad y <strong>la</strong>s propiedades de justicia y estabilidad,se caracteriza un nuevo <strong>valor</strong> <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicaciónrestringida.Teorema 3.2.1 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificando<strong>la</strong>s propiedades de PTCR y JUS. Si el juego es superaditivo, también satisfaceEST. Esta función coincide <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Banzhaf <strong>del</strong> juego decomunicación asociado, es decir, f (N,v,g) =β (N,v/g) , para todo juego(N,v,g) ∈ C (N) .DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:En primer lugar se comprobará que f (N,v,g) = β (N,v/g) satisface <strong>la</strong>propiedad de poder total <strong>con</strong> comunicación restringida.Dados (N,v) ∈ TU (N) y g ∈ GR (N), paracadaS ∈ N/g, sedefine unnuevo juego <strong>con</strong> función característica v S , dada porv S (T )=Xv (R) , para todo T ⊆ N.R∈(T ∩S)/gSi dos jugadores están <strong>con</strong>ectados <strong>en</strong> T por g también lo están <strong>en</strong> N, porloque,XT/g = ∪ (T ∩ S) /g y v/g = v S .S∈N/gS∈N/gComo v S (T )=v S (T ∩ S) para cualquier coalición T ,seti<strong>en</strong>equeS es unsoporte ¡ para v S y cualquier jugador i /∈ S es un jugador nulo. Entoncesβ ¢ i N,vS=0, si i/∈ S.
El <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 129Empleando <strong>la</strong>s propiedades de jugador nulo y poder total que verifica el <strong>valor</strong>de Banzhaf, se ti<strong>en</strong>e que para cualquier T ∈ N/g,X ¡β ¢ i N,vT= Xi∈Ni∈Tβ i¡N,vT ¢ = 12 n−1 Xi∈TX £v T (L) − v T (L\i) ¤ .Como el <strong>valor</strong> de Banzhaf es lineal, y t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que si S, T ∈ N/g,se verifica que S ∩ T = ∅, para cualquier S ∈ N/g se cumple queXβ i (N,v/g) = Xi∈SXT ∈N/g i∈SL⊆Ni∈Lβ i¡N,vT ¢ = 12 n−1 Xi∈SX £v S (L) − v S (L\i) ¤ =L⊆Ni∈L1 X2 n−1i∈S⎡X⎣L⊆Ni∈LXR∈(L∩S)/gv (R) −Dado i ∈ S, severifica <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te igualdad{L ⊆ N/i ∈ L} = [XR∈((L∩S)\i)/gP L 0,L 0 ⊆Si∈L 0⎤v (R) ⎦ . (3.2)donde el <strong>con</strong>junto P L 0 está formado por aquel<strong>la</strong>s coaliciones cuyos repres<strong>en</strong>tantes<strong>en</strong> S son precisam<strong>en</strong>te los jugadores de L 0 ,esdecir,dadoL 0 ⊆ S talque i ∈ L 0 P L 0 = {L ⊆ N/L ∩ S = L 0 } .Dada una coalición L tal que i ∈ L, se obti<strong>en</strong>e un único <strong>con</strong>junto P L 0 dado porP L 0 = {L 0 ∪ R/R ⊆ N\S} , <strong>con</strong> L 0 = L∩S. El cardinal de P L 0 es |P L 0| =2 n−s .Para cualquier V ∈ P L 0, se verifica que V ∩ S = L 0 y (V ∩ S) \i = L 0 \i. Portanto, para cualquier V ∈ P L 0 se ti<strong>en</strong>e queXXv (R) −v (R) =Xv (R) −Xv (R) .R∈(V ∩S)/gR∈((V ∩S)\i)/gR∈L 0 /gR∈(L 0 \i)/g
130 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaPor lo que volvi<strong>en</strong>do a <strong>la</strong> expresión (3.2) se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te igualdadXβ i (N,v/g) =1 X2 n−1⎡X⎣ Xi∈S L 0 ⊆S V ∈P Li∈L 0 01 X2 n−1i∈S L 0 ⊆S1 X2 s−1⎡⎣i∈SXR∈(V ∩S)/g⎡X2 n−s ⎣ Xi∈L 0R∈L 0 /g⎡X⎣ Xi∈S L 0 ⊆S R∈L 0 /gi∈L 0v (R) −v (R) −v (R) −XR∈((V \i)∩S)/gXR∈(L 0 \i)/gXR∈(L 0 \i)/g⎤⎤v (R) ⎦⎦ =⎤v (R) ⎦ =⎤v (R) ⎦ .Con lo que estaría demostrado que β (N,v/g) verifica <strong>la</strong> propiedad de podertotal <strong>con</strong> comunicación restringida.A <strong>con</strong>tinuación se prueba que β (N,v/g) también satisface justicia. Dados(N,v) ∈ TU (N), g ∈ GR (N) e i : j ∈ g, sedefine el juegow = v/g − v/(g\i : j) .Nótese que S/g = S/ (g\i : j) si {i, j} * S, porlotantosii/∈ S o j/∈ S, seobti<strong>en</strong>e quew (S) = Xv (T ) −Xv (T )=0.T ∈S/gT ∈S/(g\i:j)Por lo que <strong>la</strong>s únicas coaliciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que <strong>la</strong> función característica pued<strong>en</strong>o anu<strong>la</strong>rse son aquel<strong>la</strong>s que <strong>con</strong>ti<strong>en</strong><strong>en</strong> a los dos jugadores i y j. Así pues,los jugadores i, j son jugadores simétricos <strong>en</strong> (N,w) . En ese caso, como el<strong>valor</strong> de Banzhaf satisface <strong>la</strong> propiedad de simetría se sigue que β i (N,w) =β j (N,w).
El <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 131Finalm<strong>en</strong>te, por <strong>la</strong> linealidad de β,β i (N,v/g) − β i (N,v/(g\i : j)) = β i (N,w) =Unicidad:β j (N,w) =β j (N,v/g) − β j (N,v/(g\i : j)) .Supóngase que exist<strong>en</strong> dos soluciones f 1 y f 2 verificando PTCR y JUS.Pued<strong>en</strong> <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse <strong>en</strong>tonces (N,v) ∈ TU (N) y g ∈ GR (N) <strong>con</strong> el mínimonúmero de arcos tal que f 1 (N,v,g) 6= f 2 (N,v,g).Si g = ∅, <strong>en</strong>tonces <strong>la</strong>s compon<strong>en</strong>tes <strong>con</strong>exas de N/g son los jugadores y por<strong>la</strong> propiedad de poder total <strong>con</strong> comunicación restringida t<strong>en</strong>emos quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , para cualquier i ∈ N.Supongamos g 6= ∅. Sea i ∈ N.•{i} ∈ N/g <strong>en</strong>tonces f 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , por <strong>la</strong> propiedad depoder total <strong>con</strong> comunicación restringida.• Existe j ∈ N tal que i : j ∈ g, por <strong>la</strong> minimalidad de g se ti<strong>en</strong>e quef 1 k (N,v,g\i : j) =f 2 k (N,v,g\i : j) , para cualquier k ∈ N.Como ambas soluciones satisfac<strong>en</strong> <strong>la</strong> propiedad de justicia, se obti<strong>en</strong>e:f 1 i (N,v,g) − f 1 j (N,v,g) =f 1 i (N,v,g\i : j) − f 1 j (N,v,g\i : j) =fi 2 (N,v,g\i : j) − fj 2 (N,v,g\i : j) =fi 2 (N,v,g) − fj 2 (N,v,g) .Por lo quefi 1 (N,v,g) − fi 2 (N,v,g) =fj 1 (N,v,g) − fj 2 (N,v,g) , (3.3)para cualquier par de jugadores i, j <strong>con</strong>ectados directam<strong>en</strong>te por g.
132 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaPor lo tanto, dada S ∈ N/g y cualquier par de jugadores i, j ∈ S, tambiénse verifica <strong>la</strong> expresión (3.3). Como <strong>con</strong>secu<strong>en</strong>cia,f 1 i (N,v,g) − f 2 i (N,v,g) =d S (g) , para cualquier i ∈ S,donde d S (g) dep<strong>en</strong>de sólo de S y g, peronodei. Pero por <strong>la</strong> propiedad depoder total <strong>con</strong> comunicación restringida, se ti<strong>en</strong>e queXfi 1 (N,v,g) = X fi 2 (N,v,g) ,i∈Si∈Sy <strong>en</strong>tonces,0= X i∈S¡f1i (N,v,g) − f 2 i (N,v,g) ¢ = |S| d S (g) ,por tanto, d S (g) =0.Con lo que se llega a quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , para cualquier i ∈ N.Se omite <strong>la</strong> demostración de que <strong>la</strong> solución propuesta es estable para <strong>juegos</strong>superaditivos, pues se sigue un procedimi<strong>en</strong>to análogo al empleado paraprobar que el <strong>valor</strong> de Myerson es estable para <strong>juegos</strong> superaditivos. Esto esdebido a que tanto el <strong>valor</strong> de Shapley como el <strong>valor</strong> de Banzhaf son <strong>valor</strong>esprobabilísticos, que es <strong>la</strong> única característica <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley que seemplea <strong>en</strong> dicha demostración.¤El sigui<strong>en</strong>te ejemplo ilustra el cálculo de este <strong>valor</strong>.Ejemplo 3.2.1 Considérese un juego <strong>con</strong> comunicación (N,v,g) ∈ C (N)donde N = {1, 2, 3}, v es el juego de mayoría, es decir:• v (T )=1si |T | ≥ 2• v (T )=0<strong>en</strong> cualquier otro caso
El <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 133y el grafo de comunicación g = {1 :3} .312El <strong>valor</strong> de Banzhaf <strong>del</strong> juego (N,v) es igual a:β (N,v) =(1/2, 1/2, 1/2) .El juego de comunicación (N,v/g) vi<strong>en</strong>e dado por• v/g (T )=1si {1, 3} ⊆ T• v/g (T )=0<strong>en</strong> cualquier otro casoPor lo tanto el <strong>valor</strong> de Banzhaf <strong>del</strong> juego (N,v/g) es igual a:β (N,v/g) =(1/2, 0, 1/2) .Sevio<strong>en</strong>elcapítuloanteriorcómo<strong>la</strong>propiedadde<strong>con</strong>tribucionesequilibradas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones puede emplearse para caracterizar el <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>,el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico y el índice de poder de Deegan-Packel coalicional. Myerson (1980) había definido una propiedad simi<strong>la</strong>r <strong>en</strong>el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida mediante grafos. Estapropiedad se d<strong>en</strong>omina <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> el grafo y <strong>con</strong> el<strong>la</strong>Myerson obtuvo otra caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Myerson.La propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> el grafo proporciona unare<strong>la</strong>ción <strong>en</strong>tre el <strong>valor</strong> obt<strong>en</strong>ido por un jugador <strong>en</strong> un juego <strong>con</strong> un sistemade comunicación y el <strong>valor</strong> obt<strong>en</strong>ido por dicho jugador si toma <strong>la</strong> decisión dedejar de comunicarse <strong>con</strong> el resto de los jugadores.Para formalizar estas ideas se hace necesario introducir nueva notación. Asídado g ∈ GR (N), se d<strong>en</strong>otará, para cualquier jugador i ∈ N, porg −i alelem<strong>en</strong>to de GR (N) dado por g −i = {j : h ∈ g/j 6= i, h 6= i}.<strong>Contribuciones</strong> equilibradas <strong>en</strong> el grafo (CEG). Una solución f : C (N)−→ R n verifica <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas <strong>en</strong> el grafo si para
134 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidatodo juego (N,v,g) ∈ C (N) y para todo par de jugadores i, j ∈ N, se cumpleque:f i (N,v,g) − f i (N,v,g −j )=f j (N,v,g) − f j (N,v,g −i ) .La pérdida (o ganancia) que para el jugador j supone el ais<strong>la</strong>mi<strong>en</strong>to <strong>del</strong>jugador i coincide <strong>con</strong> <strong>la</strong> que experim<strong>en</strong>ta el jugador i si se ais<strong>la</strong> el jugadorj. Con esta propiedad, Myerson (1980) obti<strong>en</strong>e el sigui<strong>en</strong>te resultado.Teorema 3.2.2 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificando <strong>la</strong>spropiedades EFIC y CEG. Esta función es el <strong>valor</strong> de Myerson.Se verá que puede obt<strong>en</strong>erse un resultado simi<strong>la</strong>r para <strong>la</strong> modificación <strong>del</strong><strong>valor</strong> de Banzhaf que se propuso anteriorm<strong>en</strong>te para aquel<strong>la</strong>s situaciones <strong>en</strong><strong>la</strong>s que existe comunicación restringida mediante un grafo. Para empezar,se probará que el <strong>valor</strong> β (N,v/g) satisface <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribucionesequilibradas <strong>en</strong> el grafo.Lema 3.2.3 El <strong>valor</strong> β (N,v/g) verifica CEG.DemostraciónDado (N,v,g) ∈ C (N) e i, j ∈ N, <strong>con</strong>sidérese el juego w definido por:w = v/g − v/g −i − v/g −j + v (i) u {i} + v (j) u {j} ,donde u {i} y u {j} son los <strong>juegos</strong> de unanimidad <strong>con</strong> soportes {i} y {j}, respectivam<strong>en</strong>te.Sea S ⊆ N\{i, j} . Como j /∈ S, v/g −j (S ∪ i) = v/g (S ∪ i). Ademásv/g −i (S ∪ i) =v/g (S)+v (i) , ya que i/∈ S.Entonces,w (S ∪ i) =v/g (S ∪ i) − v/g (S) − v (i) − v/g (S ∪ i)+v (i) =−v/g (S) .Análogam<strong>en</strong>te, w (S ∪ j) =−v/g (S). Por ello, los jugadores i, j son simétricos<strong>en</strong> (N,w) y como el <strong>valor</strong> de Banzhaf verifica simetría, se ti<strong>en</strong>e queβ i (N,w) =β j (N,w) .
El <strong>valor</strong> de Banzhaf para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 135Por ser el <strong>valor</strong> de Banzhaf linealβ i (N,v/g) − β i (N,v/g −j ) − β i¡N,v/g−i − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢=β j (N,v/g) − β j (N,v/g −i ) − β j¡N,v/g−j − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢.Dada S ⊆ N\i se ti<strong>en</strong>e quev/g −i (S ∪ i) − v (i) u {i} (S ∪ i) − v (j) u {j} (S ∪ i) =v/g (S)+v (i) − v (i) − v (j) u {j} (S) =v/g (S) − v (j) u {j} (S) =v/g −i (S) − v (i) u {i} (S) − v (j) u {j} (S) .Porlotanto,eljugadori es un jugador nulo <strong>en</strong> v/g −i − v (i) u {i} − v (j) u {j} .Ya que el <strong>valor</strong> de Banzhaf verifica <strong>la</strong> propiedad de jugador nulo se obti<strong>en</strong>eβ i¡N,v/g−i − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢=0.Análogam<strong>en</strong>te, el jugador j es un jugador nulo <strong>en</strong> v/g −j −v (i) u {i} −v (j) u {j}y<strong>en</strong>toncesConloquequedaprobadoqueβ j¡N,v/g−j − v (i) u {i} − v (j) u {j}¢=0.β i (N,v/g) − β i (N,v/g −j )=β j (N,v/g) − β j (N,v/g −i ) ,es decir, <strong>la</strong> solución propuesta satisface <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas<strong>en</strong> el grafo.¤Ahora ya puede <strong>en</strong>unciarse el sigui<strong>en</strong>te resultado.Teorema 3.2.4 Existe una única solución f : C (N) −→ R n verificando <strong>la</strong>spropiedades PTCR y CEG. Esta función asigna a cada juego (N,v,G) ∈C (N) , el vector β (N,v/g).
136 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaDemostraciónExist<strong>en</strong>cia:En el teorema 3.2.1 se comprobó que β (N,v/g) satisface PTCR y<strong>en</strong>ellema3.2.3 que satisface CEG.Unicidad:En Myerson (1980) se prueba que si un <strong>valor</strong> satisface CEG <strong>en</strong>tonces satisfaceJUS. Como <strong>en</strong> el teorema 3.2.1 se probó que existe un único <strong>valor</strong> quesatisface PTCR y JUS <strong>la</strong> demostración está finalizada.¤Nota: Al igual que ocurría <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Myerson, como v/g N = v, seti<strong>en</strong>e que <strong>en</strong> el caso <strong>en</strong> que <strong>la</strong> comunicación <strong>en</strong>tre los jugadores es total, est<strong>en</strong>uevo <strong>valor</strong> coincide <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Banzhaf, por lo que puede <strong>con</strong>siderarseuna ext<strong>en</strong>sión de dicho <strong>valor</strong>.Para finalizar esta sección, <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo se comprobará que los<strong>valor</strong>es de Shapley y Banzhaf <strong>del</strong> juego de comunicación no ti<strong>en</strong><strong>en</strong> por quéser iguales, aunque lo sean el <strong>valor</strong> de Banzhaf y el <strong>valor</strong> de Shapley <strong>del</strong> <strong>juegos</strong>in t<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong>s restricciones <strong>en</strong> <strong>la</strong> comunicación.Ejemplo 3.2.2 Considérese un juego <strong>con</strong> comunicación (N,v,g) ∈ C (N)donde N = {1, 2, 3}, v es el juego de unanimidad de {1, 2}, esdecir:• v (T )=1si {1, 2} ⊆ T• v (T )=0<strong>en</strong> cualquier otro casoEl <strong>valor</strong> de Shapley y el <strong>valor</strong> de Banzhaf son respectivam<strong>en</strong>te:ϕ (N,v) =β (N,v) =(1/2, 1/2, 0) .Si se <strong>con</strong>sidera el sigui<strong>en</strong>te grafo de comunicación g = {1 :3, 2:3} ,312Se ti<strong>en</strong>e que el juego de comunicación (N,v/g) vi<strong>en</strong>e dado por:
El índice de Deegan-Packel para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 137• v/g (N) =1• v/g (T )=0para todo T 6= NPor lo tanto, el <strong>valor</strong> de Shapley y el <strong>valor</strong> de Banzhaf <strong>del</strong> juego (N,v/g) soniguales a:ϕ (N,v/g) =(1/3, 1/3, 1/3) y β (N,v/g) =(1/4, 1/4, 1/4) .En el juego (N,v/g) el jugador 3 no es un jugador nulo. En este juego esmás difícil alcanzar un acuerdo, ya que se necesita <strong>la</strong> co<strong>la</strong>boración de todoslos jugadores. Por ese motivo el poder total de este juego es más pequeñoque <strong>en</strong> el juego original, <strong>en</strong> este caso 3/4. Ya que el <strong>valor</strong> de Banzhaf essimétrico, cada jugador obti<strong>en</strong>e 1/4. Como el <strong>valor</strong> de Shapley es efici<strong>en</strong>te ysimétrico otorga 1/3 a cada uno de los jugadores.3.3 El índice de poder de Deegan-Packel para<strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaEn esta sección se propondrá y caracterizará un nuevo <strong>valor</strong> para <strong>juegos</strong> simples<strong>con</strong> comunicación restringida mediantes grafos, empleando <strong>la</strong>s propiedadesde efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes y dos nuevas propiedades que se propon<strong>en</strong><strong>en</strong> este <strong>con</strong>texto; <strong>la</strong>s propiedades de juego nulo y <strong>la</strong> propiedad de justiciaminimal. Más ade<strong>la</strong>nte, se verá que este nuevo <strong>valor</strong> coincide <strong>con</strong> el índicede poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego de comunicación asociado.Se van a <strong>con</strong>siderar únicam<strong>en</strong>te <strong>juegos</strong> (N,v,g) , donde (N,v) es un <strong>juegos</strong>imple propio. Por ello, existe una única coalición S ∈ N/g, talqueS ∈ W,o bi<strong>en</strong>, para toda S ∈ N/g, S /∈ W. El caso interesante se corresponde <strong>con</strong>aquellos <strong>juegos</strong> simples propios (N,v) ygrafosg ∈ GR (N) tales que (N,v,g)posea una única compon<strong>en</strong>te <strong>con</strong>exa que sea una coalición ganadora. Vamosad<strong>en</strong>otarporCS (N) el <strong>con</strong>junto de todos los <strong>juegos</strong> simples propios <strong>con</strong>comunicación y <strong>con</strong>junto de jugadores N.El índice de poder de Deegan-Packel satisface <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia, porloqueparecelógicoqueunamodificación de este índice para situaciones <strong>con</strong>
138 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidacomunicación restringida, debería verificar <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes.En el caso particu<strong>la</strong>r de <strong>juegos</strong> simples, <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia<strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes se reformu<strong>la</strong> <strong>del</strong> sigui<strong>en</strong>te modo.Efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes (EFIC). Una solución f : CS (N) −→ R nverifica <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes si para todo juego simple<strong>con</strong>Pcomunicación restringida (N,v,g) yparatodoS ∈ N/g, se cumple quef i (N,v,g) =1si S ∈ W y P f i (N,v,g) =0si S/∈ W.i∈S i∈SDado (N,v,g) ∈ CS (N) , tal que para toda S ∈ N/g, se ti<strong>en</strong>e que S /∈ Wparece lógico suponer que el índice de poder de cualquier jugador sea igua<strong>la</strong> 0, por lo que se propone <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te propiedad.Juego nulo (JUN). Una solución f : CS (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde juego nulo si para todo juego simple <strong>con</strong> comunicación restringida (N,v,g)tal que v/g =0(o, equival<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te si M (v/g) =∅) se ti<strong>en</strong>e que f i (N,v,g) =0 para todo i ∈ NLa propiedad de justicia minimalEn el primer capítulo se obtuvo una caracterización <strong>del</strong> índice de poderde Deegan-Packel empleando <strong>la</strong> propiedad de monotonía minimal. Estapropiedad se definía a partir de una modificación de <strong>la</strong> propiedad de monotoníafuerte, introduci<strong>en</strong>do una ponderación establecida <strong>en</strong> base al númerode coaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong> juego.Para caracterizar este nuevo índice de poder, se empleará una modificaciónsimi<strong>la</strong>r de <strong>la</strong> propiedad de justicia, a <strong>la</strong> que se d<strong>en</strong>ominará propiedad dejusticia minimal.Definición 3.3.1 Un índice de poder f : CS (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde justicia minimal (JUSM) si para todo juego (N,v,g) ∈ CS (N) yparatodo i : j ∈ g, se ti<strong>en</strong>e que:|M (v/g)| (f i (N,v,g) − f j (N,v,g)) =|M (v/ (g\i : j))| (f i (N,v,g\i : j) − f j (N,v,g\i : j)).
El índice de Deegan-Packel para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 139Con <strong>la</strong> propiedad anterior y efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes, se caracteriza unnuevo índice de poder <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> comunicaciónrestringida mediante grafos.Teorema 3.3.1 Existe un único índice de poder f : CS (N) −→ R n verificando<strong>la</strong>s propiedades de JUN, EFIC y JUSM. Este índice coincide <strong>con</strong>el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego de comunicación asociado, esdecir, f (N,v,g) =ρ (N,v/g) , para todo juego (N,v,g) ∈ CS (N) .DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:Dado un juego (N,v,g) ∈ CS (N) , veremos que ρ (N,v/g) satisface <strong>la</strong>spropiedades <strong>en</strong>unciadas <strong>en</strong> el teorema.Esta solución satisface <strong>la</strong> propiedad de juego nulo, pues si v/g =0<strong>en</strong>toncesρ i (N,v/g) =0, para todo i ∈ N.En el caso de que v/g =0, satisface <strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes,ya que por <strong>la</strong> propiedad de juego nulo se ti<strong>en</strong>e que ρ i (N,v/g) =0,para todo i ∈ N. Por tanto, para cualquier S ∈ N/g, P i∈Sρ i (N,v/g) =0.Supongamos que v/g 6= 0, <strong>en</strong>tonces existe S ∈ N/g tal que S es ganadora.En este caso v/g = v S si<strong>en</strong>dov S (T )=_R∈(T ∩S)/gv (R) , para toda T ⊆ N.Entonces v S = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sk si<strong>en</strong>do para cada i ∈ {1, 2,... ,k} ,S i un<strong>con</strong>junto <strong>con</strong>exo de S. Puesto que los <strong>juegos</strong> u S1 ,u S2 ,... ,u Sk son fusionablesy ρ verifica <strong>la</strong> propiedad de fusión, se ti<strong>en</strong>e que¯¯M ¡ v S¢¯¯ ρ i¡N,vS ¢ =kXj=1ρ i¡N,uSj¢=Xj/i∈S j1|S j | ,ya que si i/∈ S j ,ies un jugador nulo <strong>en</strong> ¡ N,u Sj¢, todos los jugadores de Sjson simétricos y ρ es efici<strong>en</strong>te.
140 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaPor tanto,X ¡ρ ¢ i N,vS=i∈S1 X|M (v S )|i∈SXj/i∈S j1|S j | = 1|M (v S )|kX X 1|Si∈S j | =1.jQueda pues demostrado que f (N,v,g) =ρ (N,v/g) verifica <strong>la</strong> propiedad deefici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes.Sólo falta probar que ρ (N,v/g) satisface <strong>la</strong> propiedad de justicia minimal.Dado (N,v,g) ∈ CS (N) e i : j ∈ g, seti<strong>en</strong>equej=1|M (v/g)| (ρ i (N,v,g) − ρ j (N,v,g)) =XS∈M i (v/g)\M j (v/g)1|S| −XS∈M j (v/g)\M i (v/g)1|S| , (3.4)si<strong>en</strong>do M i (v/g) ={S ∈ M (v/g) /i ∈ S} y M j (v/g) ={S ∈ M (v/g) /j ∈ S} .Si S ∈ M i (v/g) \M j (v/g) <strong>en</strong>tonces S es minimal ganadora <strong>en</strong> (N,v/g) detal forma que los jugadores de S están <strong>con</strong>ectados por g. Además, i ∈ S yj/∈ S. Por tanto, S está <strong>con</strong>ectada <strong>en</strong> el grafo g\i : j y es minimal ganadora<strong>en</strong> (N,v/(g\i : j)) , es decir, S ∈ M i (v/ (g\i : j)) \M j (v/ (g\i : j)) .Con el mismo razonami<strong>en</strong>to, si S ∈ M i (v/(g\i : j)) \M j (v/(g\i : j)) <strong>en</strong>toncesS ∈ M i (v/g) \M j (v/g). Si se ti<strong>en</strong>e que M i (v/g) \M j (v/g) =∅ <strong>en</strong>toncesM i (v/ (g\i : j)) \M j (v/ (g\i : j)) = ∅, porloque<strong>en</strong>cualquiercasoM i (v/g) \M j (v/g) =M i (v/(g\i : j)) \M j (v/(g\i : j)) .De forma simi<strong>la</strong>r se ti<strong>en</strong>e queM j (v/g) \M i (v/g) =M j (v/ (g\i : j)) \M i (v/(g\i : j)) .Por lo que <strong>la</strong> expresión (3.4) es igual aX 1|S| −S∈M i (v/(g\i:j))\M j (v/(g\i:j))XS∈M j (v/(g\i:j))\M i (v/(g\i:j))1|S| =
El índice de Deegan-Packel para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 141Unicidad:|M (v/(g\i : j))| (ρ i (N,v,g\i : j) − ρ j (N,v,g\i : j)).Supóngase que exist<strong>en</strong> dos soluciones f 1 y f 2 verificando EFIC, JUSMy JUN. Puede <strong>en</strong><strong>con</strong>trarse <strong>en</strong>tonces un juego simple propio (N,v) y g ∈GR (N) <strong>con</strong> el mínimo número de arcos tal que f 1 (N,v,g) 6= f 2 (N,v,g).Si g = ∅, <strong>en</strong>tonces <strong>la</strong>s compon<strong>en</strong>tes <strong>con</strong>exas de N/g son los jugadores y por<strong>la</strong> propiedad de efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes se obti<strong>en</strong>e quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , para cualquier i ∈ N.Si g 6= ∅ y |M (v/g)| =0, por <strong>la</strong> propiedad de juego nulo se ti<strong>en</strong>e quef 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) =0, para cualquier i ∈ N.Finalm<strong>en</strong>te, supongamos que g 6= ∅ y |M (v/g)| > 0. Dado un jugador i ∈ N.•{i} ∈ N/g <strong>en</strong>tonces f 1 i (N,v,g) =f 2 i (N,v,g) , por <strong>la</strong> propiedad deefici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes.• Existe j ∈ N tal que i : j ∈ g, por <strong>la</strong> minimalidad de g,f 1 k (N,v,g\i : j) =f 2 k (N,v,g\i : j) , para cualquier k ∈ N.T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> propiedad de justicia minimal se obti<strong>en</strong>e|M (v/g)| (f 1 i (N,v,g) − f 1 j (N,v,g)) =|M (v/ (g\i : j))| (f 1 i (N,v,g\i : j) − f 1 j (N,v,g\i : j)) =|M (v/ (g\i : j))| (f 2 i (N,v,g\i : j) − f 2 j (N,v,g\i : j)) =Por lo que|M (v/g)| (f 2 i (N,v,g) − f 2 j (N,v,g)).f 1 i (N,v,g) − f 2 i (N,v,g) =f 1 j (N,v,g) − f 2 j (N,v,g) ,para cualquier par de jugadores i, j <strong>con</strong>ectados por g.Elrestode<strong>la</strong>demostraciónde<strong>la</strong>unicidadesidénticaa<strong>la</strong><strong>del</strong>teorema3.2.1y por lo tanto, se omite.¤
142 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaLas propiedades de estabilidad minimal y de <strong>con</strong>tribuciones equilibradasminimales <strong>en</strong> el grafoAnteriorm<strong>en</strong>te se demostró que el <strong>valor</strong> de Banzhaf <strong>del</strong> juego de comunicación,al igual que ocurría <strong>con</strong> el <strong>valor</strong> de Shapley <strong>del</strong> juego de comunicación,es estable cuando el juego es superaditivo. También se proporcionaroncaracterizaciones de estos <strong>valor</strong>es empleando <strong>la</strong> propiedad de <strong>con</strong>tribucionesequilibradas <strong>en</strong> el grafo.En esta subsección se definirán dos propiedades simi<strong>la</strong>res a <strong>la</strong>s anteriores yse propondrá otra caracterización para el índice de poder de Deegan-Packel<strong>del</strong> juego de comunicación. Estas nuevas propiedades se introduc<strong>en</strong> t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do<strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta el número de coaliciones minimales ganadoras, sigui<strong>en</strong>do <strong>la</strong> mismafilosofía que <strong>la</strong>s propiedades de monotonía minimal o <strong>con</strong>tribuciones ponderadas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones. Estas propiedades son <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes:Definición 3.3.2 Un índice de poder f : CS (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde estabilidad minimal (ESTM) si para todo juego (N,v,g) ∈ CS (N) yparatodo i : j ∈ g, se ti<strong>en</strong>e que:|M (v/g)| f i (N,v,g) ≥ |M (v/(g\i : j))| f i (N,v,g\i : j) ,|M (v/g)| f j (N,v,g) ≥ |M (v/(g\i : j))| f j (N,v,g\i : j)Definición 3.3.3 Un índice de poder f : CS (N) −→ R n verifica <strong>la</strong> propiedadde <strong>con</strong>tribuciones equilibradas minimales <strong>en</strong> el grafo (CEMG) si para todojuego (N,v,g) ∈ CS (N) y para todo par de jugadores i, j ∈ N, se ti<strong>en</strong>e que:|M (v/g)| f i (N,v,g) − |M (v/g −j )| f i (N,v,g −j )=|M (v/g)| f j (N,v,g) − |M (v/g −i )| f j (N,v,g −i ) .En los dos lemas sigui<strong>en</strong>tes, se probará que el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego de comunicación ρ (N,v/g) satisface <strong>la</strong>s propiedades anteriores.Lema 3.3.2 El índice de poder ρ (N,v/g) verifica ESTM.
El índice de Deegan-Packel para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 143DemostraciónT<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que el índice de poder de Deegan-Packel verifica <strong>la</strong>propiedad de monotonía minimal, para demostrar este resultado basta <strong>con</strong>probar que dado un juego (N,v,g) ∈ CS (N) , para todo i : j ∈ g, se ti<strong>en</strong>eque M i (v/ (g\i : j)) ⊆ M i (v/g) .Dada una coalición S ∈ M i (v/ (g\i : j)) se ti<strong>en</strong>e que S es una coalición minimalganadora <strong>con</strong>ectada por g\i : j. Del mismo modo se ti<strong>en</strong>e que dicha coaliciónS ∈ M i (v/g) ya que S sigue estando <strong>con</strong>ectada por g. La demostración<strong>del</strong> resultado para el jugador j es idéntica.¤Lema 3.3.3 El índice de poder ρ (N,v/g) verifica CEMG.DemostraciónDado un juego (N,v,g) ∈ CS (N), si|M (v/g)| =0, el resultado es trivial.Si |M (v/g)| > 0, para todo par de jugadores i, j ∈ N, se ti<strong>en</strong>e que:|M (v/g)| ρ i (N,v/g) − |M (v/g −j )| ρ i (N,v/g −j )=XS∈M i (v/g)XS∈M i (v/g)\M j (v/g)XS∈M i (v/g −j )\M j (v/g −j )Se comprueba fácilm<strong>en</strong>te quey1|S| −1|S| +1|S| −XS∈M i (v/g −j )X1|S| =S∈M i (v/g)∩M j (v/g)X1|S| −S∈M i (v/g −j )∩M j (v/g −j )M i (v/g) \M j (v/g) =M i (v/g −j ) \M j (v/g −j )M i (v/g −j ) ∩ M j (v/g −j )=M j (v/g −i ) ∩ M i (v/g −i )=∅.1|S| . (3.5)
144 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaDe aquí se sigue que <strong>la</strong> expresión (3.5) dep<strong>en</strong>de de i <strong>del</strong> mismo modo quedep<strong>en</strong>de de j, por lo que es igual a:X 1|S| −X 1|S| =S∈M j (v/g)S∈M j (v/g −i )|M (v/g)| ρ j (N,v/g) − |M (v/g −i )| ρ j (N,v/g −i ) .¤En el sigui<strong>en</strong>te lema se demostrará que si un índice de poder satisface <strong>la</strong>propiedad de <strong>con</strong>tribuciones equilibradas minimales <strong>en</strong> el grafo <strong>en</strong>tonces satisface<strong>la</strong> propiedad de justicia minimal.Lema 3.3.4 Si un índice de poder f : CS (N) −→ R n satisface CEMG<strong>en</strong>tonces satisface JUSM.DemostraciónNótese que si i : j ∈ g, tomando g 0 = g\i : j se ti<strong>en</strong>e que g−i 0 = g −i yg−j 0 = g −j .Como f satisface CEMG, dado un juego (N,v,g) ∈ CS (N), paratodoi : j ∈ g, se ti<strong>en</strong>e que|M (v/g)| f i (N,v,g) − |M (v/ (g\i : j))| f i (N,v,g\i : j) =|M (v/g)| f j (N,v,g) − |M (v/g −i )| f j (N,v,g −i )+|M (v/g −j )| f i (N,v,g −j ) − |M (v/ (g\i : j))| f j (N,v,g\i : j)+|M (v/g −i )| f j (N,v,g −i ) − |M (v/g −j )| f i (N,v,g −j )=|M (v/g)| f j (N,v,g) − |M (v/ (g\i : j))| f j (N,v,g\i : j) .Con lo que f satisface JUSM.¤En el último resultado de este capítulo se proporciona otra caracterización<strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego de comunicación.Teorema 3.3.5 Existe un único índice de poder f : CS (N) −→ R n verificandoJUN, EFIC y CEMG. Esteíndiceasignaacadajuego(N,v,g) ∈CS (N) , el vector ρ (N,v/g).
El índice de Deegan-Packel para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 145DemostraciónExist<strong>en</strong>cia:En el teorema 3.3.1 se comprobó que ρ (N,v/g) satisface JUN y EFIC y<strong>en</strong>el lema 3.3.3 que satisface CEMG.Unicidad:En el teorema 3.3.1 se probó que existe un único <strong>valor</strong> que satisface <strong>la</strong>spropiedades de JUN, EFIC y JUSM, <strong>con</strong> lo que a partir <strong>del</strong> lema anterior,<strong>la</strong> demostración está finalizada.¤Nota: Al igual que ocurría <strong>con</strong> los <strong>valor</strong>es de Myerson y el <strong>valor</strong> de Banzhaf<strong>del</strong> juego de comunicación, si se <strong>con</strong>sidera el juego de comunicación ¡ N,v,g N¢ ,se verifica que v/g N = v y, <strong>en</strong> <strong>con</strong>secu<strong>en</strong>cia, este nuevo índice de poder coincide<strong>con</strong> el índice de poder de Deegan-Packel.A <strong>con</strong>tinuación, ilustramos <strong>con</strong> un ejemplo el cálculo <strong>del</strong> índice de poder deDeegan-Packel <strong>en</strong> un juego simple <strong>con</strong> comunicación.Ejemplo 3.3.1 Dado un juego simple <strong>con</strong> comunicación (N,v,g) ∈ CS (N)donde N = {1, 2, 3}, el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong> juego(N,v) vi<strong>en</strong>e dado por M (v) ={{1, 2} , {1, 3}} . El índice de Deegan-Packelde este juego es igual a:ρ (N,v) =(1/2, 1/4, 1/4) .Si se <strong>con</strong>sidera el grafo de comunicación g = {1 :3, 2:3} ,312el <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong> juego de comunicación(N,v/g) es igual a M (v/g) ={{1, 3}} .Por lo tanto, el índice de poder de Deegan-Packel <strong>del</strong> juego (N,v/g) es:ρ (N,v/g) =(1/2, 0, 1/2) .
146 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaEn el juego de comunicación el jugador 2 está p<strong>en</strong>alizado por no poder comunicarsedirectam<strong>en</strong>te <strong>con</strong> el jugador 1. El jugador 2 necesita al jugador 3para poder comunicarse <strong>con</strong> el jugador 1 y obt<strong>en</strong>er una coalición ganadora,pero esta coalición ganadora ya no sería minimal ganadora. La cantidad quepierde el jugador 2 <strong>la</strong> recibe el jugador 3.Puede efectuarse el cálculo de los <strong>valor</strong>es estudiados <strong>en</strong> este capítulo, para<strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida, a partir de <strong>la</strong>s ext<strong>en</strong>sionesmultilineales. Basta t<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que estos <strong>valor</strong>es coincid<strong>en</strong> <strong>con</strong> los <strong>valor</strong>esde Banzhaf, Shapley y Deegan-Packel <strong>del</strong> juego de comunicación asociado,para los que se describió el procedimi<strong>en</strong>to de cálculo a partir de <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>siónmultilineal. En el caso particu<strong>la</strong>r de <strong>juegos</strong> de mayoría ponderada, <strong>en</strong> FernándezGarcía (1998) se describe cómo calcu<strong>la</strong>r el <strong>valor</strong> de Myerson empleandofunciones g<strong>en</strong>eratrices. Para finalizar este capítulo, vamos a calcu<strong>la</strong>r los tres<strong>valor</strong>es <strong>con</strong> comunicación restringida <strong>con</strong>siderados <strong>en</strong> este capítulo para lospartidos <strong>con</strong> repres<strong>en</strong>tación <strong>en</strong> el Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to de <strong>la</strong>s Is<strong>la</strong>s Baleares.Ejemplo 3.3.2 Recordemos que este par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to puede repres<strong>en</strong>tarse comoun juego de mayoría ponderada [30; 28, 16, 5, 4, 3, 3] donde el jugador 1 es elPP, el jugador 2 es el PSOE, el jugador 3 es el PSM−EM, el jugador 4 esEU − EV , el jugador 5 es UM y el jugador 6 es el PACTE. Las coalicionesminimales ganadoras son:{PP,PSOE} , {PP, EU − EV } , {PP, PACTE} , {PP,UM}{PP,PSM − EN} y {PSOE,PSM − EN,UM,EU − EV,PACTE} .Los índices de poder de Shapley-Shubik, Banzhaf-Coleman y Deegan-Packelson iguales a:ϕ (N,v) =(2/3, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15, 1/15)β (N,v) =(15/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16)ρ (N,v) =(5/12, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60, 7/60)
El índice de Deegan-Packel para <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringida 147Si se <strong>con</strong>sidera el grafo <strong>con</strong> compon<strong>en</strong>tes <strong>con</strong>exas <strong>la</strong>s asociadas a <strong>la</strong>s unionesa priori <strong>en</strong> el capítulo anterior, t<strong>en</strong>emosg = {PSOE : EU − EV,PSOE : PACTE,PSM − EN : UM} ,PPPSOEPSM-ENUMEU-EVPACTEEl juego de comunicación v/g asociado al grafo g esigua<strong>la</strong>ljuegonulo,yaqueN/g = {{PP} , {PSOE,EU − EV,PACTE} , {PSM − EN,UM}} ,está formado por tres coaliciones perdedoras. Entonces,ϕ (N,v/g) =β (N,v/g) =ρ (N,v/g) =0.Supongamos ahora que dejando ais<strong>la</strong>do al PP, los restantes cinco jugadorespued<strong>en</strong> comunicarse. Por ejemplo, si al grafo anterior se le añade un arcoque comunique PSOE y PSM− EN, se obti<strong>en</strong>e el sistema de comunicacióndado por el sigui<strong>en</strong>te grafo,PPPSOEPSM-ENUMEU-EVPACTE
148 Valores <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> comunicación restringidaAhora, <strong>la</strong> coalición ganadora {PSOE,EU − EV,PACTE,PSM − EN,UM}está <strong>con</strong>ectada y los índices de poder de Shapley-Shubik, Banzhaf-Coleman yDeegan-Packel <strong>del</strong> juego de comunicación asociado son iguales a:ϕ (N,v/g) =(0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5)β (N,v/g) =(0, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16, 1/16)ρ (N,v/g) =(0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5) .
Capítulo 4Juegos espacialesEn este capítulo se estudian los <strong>juegos</strong> espaciales, que son <strong>juegos</strong> simples<strong>en</strong> los que cada jugador ti<strong>en</strong>e asociado un punto <strong>en</strong> un espacio euclídeo m-dim<strong>en</strong>sional, que refleja su posición ideológica <strong>con</strong> respecto a ciertas variablesde interés. Para esta familia de <strong>juegos</strong> se propondrán soluciones, a <strong>la</strong>s que sed<strong>en</strong>ominarán índices de poder espaciales, que se correspond<strong>en</strong> <strong>con</strong> versionesmodificadas de índices de poder estudiados <strong>en</strong> los capítulos 1 y 2. Tambiénse introduce una familia de <strong>valor</strong>es, a los que se dará el nombre de <strong>valor</strong>espseudo-probabilísticos, que exti<strong>en</strong>de a <strong>la</strong> familia de <strong>valor</strong>es probabilísticos.Se verá que algunos de los índices de poder espaciales propuestos, son <strong>valor</strong>espseudo-probabilísticos.4.1 IntroducciónEn primer lugar se pres<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> definición de juego espacial, ilustrándo<strong>la</strong> <strong>con</strong>un par de ejemplos.Definición ¡ 4.1.1 ¢ Se define un juego espacial m-dim<strong>en</strong>sional como una ternaN,v,{Q i } i∈N tal que (N,v) es un juego simple y {Q i } i∈Nes una colecciónde puntos <strong>en</strong> R m que refleja <strong>la</strong>s posiciones ideológicas de los jugadores. L<strong>la</strong>mamosa Q i el punto ideal <strong>del</strong> jugador i. Supondremos que, al m<strong>en</strong>os, dospuntos ideales son distintos. D<strong>en</strong>otaremos por E ¡ ¢N, {Q i } i∈N el <strong>con</strong>juntode los <strong>juegos</strong> espaciales <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N y <strong>con</strong> puntos ideales{Q i } i∈N.En un juego espacial, además de <strong>la</strong> función característica <strong>del</strong> juego, que determinasi una coalición es ganadora o perdedora, se dispone de información149
150 Juegos espacialesadicional sobre los intereses de los jugadores. Esta información <strong>la</strong> proporciona<strong>la</strong> posición de sus puntos ideales. Si dos jugadores ti<strong>en</strong><strong>en</strong> sus puntosideales próximos, sus intereses son simi<strong>la</strong>res. Los <strong>juegos</strong> espaciales han sidoestudiados <strong>en</strong> Ow<strong>en</strong>, (1972a y 1990) y Ow<strong>en</strong> y Shapley (1989). En estos trabajos,se sigu<strong>en</strong> dos objetivos c<strong>la</strong>ram<strong>en</strong>te difer<strong>en</strong>ciados, así, <strong>en</strong> Ow<strong>en</strong> (1990)el interés se c<strong>en</strong>tra <strong>en</strong> <strong>la</strong> búsqueda de un punto resum<strong>en</strong> <strong>del</strong> juego. La finalidadde los otros trabajos es <strong>la</strong> obt<strong>en</strong>ción de índices de poder t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> disposición espacial de los puntos ideales de los jugadores. En estamemoria, estudiaremos los <strong>juegos</strong> espaciales bajo esta segunda óptica.Ejemplo 4.1.1 Considérese el juego espacial bidim<strong>en</strong>sional dado porN = {1, 2, 3, 4} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3, 4}} ,Q 1 =(1, 1) ,Q 2 =(2, 3) ,Q 3 =(3, 2) y Q 4 =(3, 1) .Q 2Q 3Q 1 Q 4Sin t<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> posición de los puntos ideales, es decir, analizandosólo <strong>la</strong> función característica, <strong>la</strong> situación <strong>del</strong> jugador 1 es <strong>la</strong> más v<strong>en</strong>tajosa,ya que hace ganadora a cualquier coalición formada por un único jugador.C<strong>la</strong>ram<strong>en</strong>te, los restantes jugadores desempeñan el mismo papel. Sin embargo,al <strong>con</strong>siderar <strong>la</strong>s posiciones de los puntos ideales de los jugadores 2, 3y 4 no está c<strong>la</strong>ro que t<strong>en</strong>gan el mismo poder.Ejemplo 4.1.2 Considérese el juego espacial tridim<strong>en</strong>sional dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2, 3}} ,
Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 151Q 1 =(4, 4, 4) ,Q 2 =(2, 2, 7) y Q 3 =(3, 7, 8) .Q 2 Q 1 Q 3En este caso, como el juego simple es un juego de unanimidad, todos losjugadores desempeñan el mismo papel. Al <strong>con</strong>siderar <strong>la</strong>s posiciones ideológicas,es evid<strong>en</strong>te que los jugadores 1 y 2 ti<strong>en</strong><strong>en</strong> intereses simi<strong>la</strong>res, por estarpróximos sus puntos ideales.4.2 Índices de poder espaciales de Shapley-ShubikEn esta sección, se van a estudiar “modificaciones espaciales” <strong>del</strong> índice depoder de Shapley-Shubik. Para calcu<strong>la</strong>r un índice de poder <strong>en</strong> un juegoespacial, habrá que t<strong>en</strong>er <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> información que proporciona <strong>la</strong> funcióncaracterística <strong>del</strong> juego y <strong>la</strong> situación de los puntos ideales.Definición 4.2.1 Un índice de poder espacial sobre E ¡ ¢N,{Q i } i∈N es unaaplicación³f : E N, © Q iª ´−→ R n ,i∈Nque a cada juego (N,v, {Q i } i∈N) le asigna un vector de R n ,<strong>en</strong>elquecadacompon<strong>en</strong>te repres<strong>en</strong>ta el poder espacial <strong>del</strong> jugador correspondi<strong>en</strong>te.
152 Juegos espacialesDado un juego simple (N,v) , el índice de poder de Shapley-Shubik de unjugador i ∈ N coincide <strong>con</strong> <strong>la</strong> probabilidad de que dicho jugador sea pívot,suponi<strong>en</strong>do una distribución uniforme sobre el <strong>con</strong>junto de todas <strong>la</strong>s permutaciones<strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N. Es decir, se <strong>con</strong>sidera que todas<strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores son equiprobables, por lo que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> unaprobabilidad igual a 1/n!.Sin embargo, al introducir los puntos ideales {Q i } i∈Nesta suposición noparece aceptable, porque al <strong>con</strong>siderar <strong>la</strong> estructura espacial <strong>del</strong> juego eslógico suponer que no todas <strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores deberíant<strong>en</strong>er <strong>la</strong> misma probabilidad. Ow<strong>en</strong> (1972a) sugiere que <strong>la</strong>s probabilidadesasignadas a <strong>la</strong>s distintas permutaciones de los jugadores deberían cumplir <strong>la</strong>ssigui<strong>en</strong>tes propiedades.• Si <strong>la</strong> distancia <strong>en</strong>tre los puntos ideales de dos jugadores es “pequeña”,<strong>la</strong>s probabilidades asignadas a <strong>la</strong>s permutaciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que los jugadorescorrespondi<strong>en</strong>tes están próximos deb<strong>en</strong> ser mayores que <strong>la</strong>sasignadas a <strong>la</strong>s permutaciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que estén alejados.• Las probabilidades asignadas a <strong>la</strong>s distintas permutaciones deb<strong>en</strong> permanecerinvariantes bajo movimi<strong>en</strong>tos rígidos de los puntos ideales, esdecir, tras<strong>la</strong>ciones, rotaciones, reflexiones y di<strong>la</strong>taciones.• Una permutación y <strong>la</strong> permutación inversa deberían t<strong>en</strong>er <strong>la</strong> mismaprobabilidad.• Las probabilidades asignadas a <strong>la</strong>s difer<strong>en</strong>tes permutaciones deb<strong>en</strong> serfunciones <strong>con</strong>tinuas de los puntos ideales, exceptuando posibles dis<strong>con</strong>tinuidades<strong>en</strong> casos como: dos o más puntos coincid<strong>en</strong>tes, tres o máspuntos alineados, etc.• SilospuntosidealesQ i y Q j de dos jugadores i y j coincid<strong>en</strong>, el efectosobre <strong>la</strong>s probabilidades de <strong>la</strong>s permutaciones debería ser el mismo quesi se <strong>con</strong>sidera a los dos jugadores i y j, como un único jugador.Es posible definir varias asignaciones de probabilidades de <strong>la</strong>s permutacionesde los jugadores que satisfagan <strong>la</strong>s propiedades anteriores. A <strong>con</strong>tinuación,se describ<strong>en</strong> <strong>la</strong>s propuestas por Ow<strong>en</strong> (1972a), Shapley (1977) y una tercera,basada <strong>en</strong> el cálculo de <strong>la</strong>s distancias <strong>en</strong>tre los puntos ideales de los jugadores,que se propone como alternativa a <strong>la</strong>s dos anteriores. A partir de estas
Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 153modificaciones se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> índices de poder espaciales. Queremos hacer notarque estos índices de poder espaciales no están caracterizados. Su naturalezareside <strong>en</strong> <strong>con</strong>siderar que <strong>la</strong>s probabilidades asignadas a <strong>la</strong>s permutacionesde los jugadores dep<strong>en</strong>d<strong>en</strong> de <strong>la</strong> posición de los puntos ideales, a difer<strong>en</strong>cia<strong>del</strong> índice de poder de Shapley-Shubik donde todas <strong>la</strong>s permutaciones de losjugadores se <strong>con</strong>sideran equiprobables.Modificación de Ow<strong>en</strong>En Ow<strong>en</strong>, (1972a) se propone <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te asignación de probabilidades de<strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores <strong>en</strong> un juego espacial.Tomemos un juego espacial m-dim<strong>en</strong>sional (N,v,{Q i } i∈N) donde los puntos{Q i } i∈Ndeterminan una esfera S de dim<strong>en</strong>sión (n − 2). Un punto arbitrariode esta esfera z ∈ S establece una permutación de los jugadores, <strong>en</strong> base a <strong>la</strong>sdistancias desde el punto z a sus correspondi<strong>en</strong>tes puntos ideales {Q i } i∈N.Ilustraremos esta idea <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo.Ejemplo 4.2.1 Considérese el juego espacial bidim<strong>en</strong>sional dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} ,Q 1 =(−0.73, 0.68) ,Q 2 =(−0.43, −0.90) y Q 3 =(0.63, 0.81) .Q 1 Q 3zQ 2el punto z =(−1, 0) establece <strong>la</strong> permutación 1, 2, 3, yaqueseverifica que:d ¡ z, Q 1¢
154 Juegos espacialesEntonces, a cada permutación de los jugadores, se le asigna una probabilidadqueesproporciona<strong>la</strong><strong>la</strong>medida<strong>del</strong>ospuntosde<strong>la</strong>esferaS que determinandicha permutación. En el ejemplo anterior, <strong>la</strong> correspond<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>trepermutaciones de jugadores y arcos de <strong>la</strong> circunfer<strong>en</strong>cia es <strong>la</strong> indicada <strong>en</strong> <strong>la</strong>sigui<strong>en</strong>te tab<strong>la</strong> t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong>s posiciones de los puntos a, b, c, d, e, fsobre <strong>la</strong> circunfer<strong>en</strong>ciapermutación arco que <strong>la</strong> define1, 2, 3 de1, 3, 2 ef2, 3, 1 bc2, 1, 3 cd3, 1, 2 fa3, 2, 1 abeQ 1fQ 3 adQ 2cbDado un juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢se define el <strong>con</strong>junto Ai comoA i = {z ∈ S/i es pívot <strong>en</strong> <strong>la</strong> permutación inducida por z} ,<strong>la</strong> modificación de <strong>la</strong>s probabilidades propuestas por Ow<strong>en</strong> da lugar al índicede poder espacial dado porf i³N,v, © Q iª i∈N´= μ (A i)μ (S) , (4.1)donde μ es <strong>la</strong> medida de Lebesgue. Se comprueba fácilm<strong>en</strong>te que los puntosz ∈ S que no determinan un ord<strong>en</strong> estricto de los jugadores <strong>con</strong>stituy<strong>en</strong>un <strong>con</strong>junto de medida cero, por lo que P f i =1. En Ow<strong>en</strong> (1972a), sei∈N
Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 155demuestra que el coci<strong>en</strong>te (4.1) no dep<strong>en</strong>de de <strong>la</strong> dim<strong>en</strong>sión de <strong>la</strong> esfera S <strong>en</strong><strong>la</strong> que están situados los puntos {Q i } i∈N, por lo que para facilitar los cálculospuede <strong>con</strong>siderarse <strong>la</strong> esfera de m<strong>en</strong>or dim<strong>en</strong>sión que <strong>con</strong>t<strong>en</strong>ga a estos puntos.Para el ejemplo 4.2.1 este índice de poder espacial es igual a³f N,v, © Q iª ´=(0.42, 0.28, 0.30) .i∈NModificación de ShapleyEsta asignación de probabilidades de <strong>la</strong>s distintas permutaciones de los jugadores<strong>en</strong> un juego espacial fue propuesta por Shapley (1977) y se basa<strong>en</strong> los órd<strong>en</strong>es determinados por el <strong>con</strong>junto de funcionales lineales (R m∗ ,espacio dual de R m ), evaluados <strong>en</strong> los puntos ideales de los jugadores.Ejemplo 4.2.2 Considérese el juego espacial bidim<strong>en</strong>sional dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} ,donde <strong>la</strong> situación de los puntos ideales de los jugadores se corresponde <strong>con</strong>el sigui<strong>en</strong>te gráfico.Q 2bagQ 1 Q 3El funcional repres<strong>en</strong>tado mediante <strong>la</strong> flecha, define <strong>la</strong> permutación de losjugadores 1, 2, 3, ya que se ti<strong>en</strong>e que f (Q 1 )
156 Juegos espacialesPara un juego espacial m-dim<strong>en</strong>sional ¡ N,v,{Q i } i∈N¢, <strong>con</strong>siderando únicam<strong>en</strong>telos elem<strong>en</strong>tos de K (<strong>la</strong> esfera unitaria de R m∗ ), es decir, los funcionaleslineales f <strong>con</strong> |f| =1, se define para cada jugador i ∈ N el <strong>con</strong>junto B i de<strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te formaB i = {f ∈ K/i es pívot <strong>en</strong> <strong>la</strong> permutación inducida por f} .Apartirde<strong>la</strong>medidadeLebesguedeestos<strong>con</strong>juntos,<strong>la</strong>modificación de <strong>la</strong>sprobabilidades propuestas por Shapley da lugar al índice de poder espacialdado porf i³N,v, © Q iª ´i∈N= μ (B i)μ (K) . (4.2)Se comprueba fácilm<strong>en</strong>te que si todos los puntos ideales son distintos, <strong>la</strong>medida de Lebesgue <strong>del</strong> sub<strong>con</strong>junto de K <strong>con</strong>sist<strong>en</strong>te <strong>en</strong> los elem<strong>en</strong>tos qu<strong>en</strong>o induc<strong>en</strong> una permutación <strong>con</strong> un único pívot es 0, por lo tanto, se ti<strong>en</strong>eque P f i =1.i∈NOw<strong>en</strong> y Shapley (1989) defin<strong>en</strong> un punto final <strong>del</strong> juego a partir de <strong>la</strong> soluciónanterior, al que d<strong>en</strong>ominan c<strong>en</strong>tro de poder. En ese trabajo estudian diversaspropiedades de este punto.Definición 4.2.2 El c<strong>en</strong>tro de poder <strong>del</strong> juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢es elpuntodadoporP 0 = X f i Q i ,i∈Ndonde f está definida según (4.2).Con <strong>la</strong> <strong>con</strong>figuración espacial <strong>del</strong> ejemplo 4.2.2, es fácil comprobar que paraque un funcional f determine <strong>la</strong> permutación 1, 2, 3 es necesario y sufici<strong>en</strong>teque vaya de izquierda a derecha y que <strong>la</strong> perp<strong>en</strong>dicu<strong>la</strong>r a f trazada desdeel punto Q 2 quede <strong>en</strong> el interior <strong>del</strong> ángulo Q 1 Q 2 Q 3 . Este ángulo ti<strong>en</strong>eunamedidaigua<strong>la</strong>β radianes, por lo tanto, <strong>la</strong> medida <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto defuncionales que determina <strong>la</strong> permutación 1, 2, 3 es β. La medida <strong>del</strong> <strong>con</strong>juntoque determina <strong>la</strong> permutación inversa es también β. Como para este juego,el pívot es el jugador que ocupa <strong>la</strong> posición c<strong>en</strong>tral de <strong>la</strong> permutación se
Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 157ti<strong>en</strong>e que μ (B 2 )=2β. De modo simi<strong>la</strong>r, se obt<strong>en</strong>dría que μ (B 1 )=2αy μ (B 2 )=2γ, <strong>con</strong> lo que <strong>la</strong> medida <strong>del</strong> poder espacial que determina <strong>la</strong>modificación propuesta por Shapley para este juego espacial es igual a:f³N,v, © Q iª ´ µ α=i∈NΠ , β Π Π, γ .Modificación basada <strong>en</strong> distanciasLas modificaciones propuestas por Ow<strong>en</strong> y Shapley, asignan distintas probabilidadesa <strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores, t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> <strong>con</strong>figuraciónespacial de los puntos ideales de los jugadores. Estas modificacionespres<strong>en</strong>tan algún in<strong>con</strong>v<strong>en</strong>i<strong>en</strong>te, como <strong>la</strong> dificultad de cálculo, (sobre todo <strong>la</strong>propuesta por Ow<strong>en</strong>) y, además, <strong>en</strong> ciertos casos, algunas permutaciones <strong>del</strong>os jugadores ti<strong>en</strong><strong>en</strong> probabilidad nu<strong>la</strong>. Se verá esto <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo.Ejemplo 4.2.3 Considérese el juego espacial bidim<strong>en</strong>sional dado porN = {1, 2, 3, 4, 5} ,W m = {{1, 2, 3, 4, 5}} ,Q 1 =(4, 2),Q 2 =(2, 3),Q 3 =(3, 6),Q 4 =(10, 7) y Q 5 =(10, 5) .1098765Q 3Q 4Q 543Q 2 Q 12100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Empleando<strong>la</strong>modificación propuesta por Shapley, ningún funcional f ∈ R 5∗determina <strong>la</strong> permutación de los jugadores 1, 2, 3, 4, 5, queparecebastantelógica t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> <strong>con</strong>figuración espacial de los puntos ideales. Sin
158 Juegos espacialesembargo, otras permutaciones que parec<strong>en</strong> m<strong>en</strong>os probables como, por ejemplo,<strong>la</strong> permutación 1, 5, 2, 4, 3 ti<strong>en</strong><strong>en</strong> medida no nu<strong>la</strong>. Esta permutación <strong>la</strong>establece, <strong>en</strong>tre otros, el funcional f ∈ R 5∗ definido porf : R 5 −→ Rµ x(x, y) → (−6, 15)yEn el sigui<strong>en</strong>te gráfico se repres<strong>en</strong>ta el ord<strong>en</strong> establecido por este funcionalf.1098765432Q 4Q 3 P 3P Q 54 P 2 Q 2 P 5 P 1Q 1100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A <strong>con</strong>tinuación, se pres<strong>en</strong>ta una nueva modificación de <strong>la</strong>s probabilidadesasignadas a <strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores. A difer<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong>s modificacionespropuestas por Ow<strong>en</strong> y Shapley, ésta proporciona probabilidadpositiva a todas <strong>la</strong>s posibles permutaciones de los jugadores, pero de tal formaque aquel<strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> mayor “longitud”,(es decir, que son tales que para unir los puntos ideales de los jugadorescorrespondi<strong>en</strong>tes, es preciso recorrer un camino mayor), ti<strong>en</strong><strong>en</strong> m<strong>en</strong>or probabilidadque aquel<strong>la</strong>s permutaciones de longitud m<strong>en</strong>or. En primer lugar,formalizaremos estas ideas.Definición 4.2.3 Dada una permutación σ <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores N, talque σ (i 1 )
Índices de poder espaciales de Shapley-Shubik 159En el ejemplo 4.2.3 <strong>la</strong> longitud de <strong>la</strong> permutación 1, 2, 3, 4, 5 v<strong>en</strong>drádadapor<strong>la</strong> longitud de <strong>la</strong> poligonal:10987654321Q 3Q 2 Q 1Q 4Q 500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Parece lógico suponer que, cuanto mayor es <strong>la</strong> longitud de una permutaciónmás difícil es que ésta llegue a realizarse. Por lo tanto, <strong>la</strong> probabilidadasignada a una permutación será inversam<strong>en</strong>te proporcional a su longitud.Así pues, se asigna a cada permutación σ <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te probabilidad (dondeΠ (N) es el <strong>con</strong>junto de permutaciones de N).P (σ) =1l(σ)P1l(σ)σ∈Π(N)Dado un juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢, si Ci es el sub<strong>con</strong>junto de Π (N)formado por <strong>la</strong>s permutaciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que un jugador i ∈ N es pívot, sedefine un nuevo índice de poder espacial para el jugador i como <strong>la</strong> suma de<strong>la</strong>s probabilidades de estas permutaciones, es decir,f i³N,v, © Q iª ´= X P (σ) .i∈Nσ∈C iComo se com<strong>en</strong>tó anteriorm<strong>en</strong>te, esta modificación otorga probabilidad positivaa todas <strong>la</strong>s permutaciones, ya que no hay información adicional sobreel juego que nos lleve a p<strong>en</strong>sar que ciertas permutaciones son imposibles.Además ti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> v<strong>en</strong>taja de <strong>la</strong> facilidad de cálculo y de que puede ext<strong>en</strong>dersede modo s<strong>en</strong>cillo a otros mo<strong>del</strong>os. Más ade<strong>la</strong>nte, se verá cómo se aplicaríaesta modificación a <strong>la</strong> familia de <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> uniones apriori.Parafinalizaresta sección, se ilustrará el cálculo de este índice de poder espacial <strong>con</strong> losdatos <strong>del</strong> ejemplo 4.2.1..
160 Juegos espacialesEjemplo 4.2.4 Recordemos <strong>la</strong>s posiciones de los puntos ideales así como <strong>la</strong>scoaliciones minimales ganadoras.Q 2Q 3Q 1 Q 4En primer lugar, habría que calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s longitudes de <strong>la</strong>s 24 permutacionesposibles de los 4 jugadores (realm<strong>en</strong>te sólo hace falta calcu<strong>la</strong>r 12 porque unapermutación y <strong>la</strong> inversa ti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>la</strong> misma longitud). En estas permutaciones,se mira qué jugador es el pívot y se calcu<strong>la</strong>ría el índice de poder espacialbasado <strong>en</strong> distancias, obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do:³f N,v, © Q iª ´=(0.464, 0.179, 0.158, 0.199) .i∈NEn este ejemplo, analizando el índice de poder espacial basado <strong>en</strong> distancias,el jugador 1 (que pres<strong>en</strong>ta una posición v<strong>en</strong>tajosa si sólo se ti<strong>en</strong>e <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong>función característica) es el jugador <strong>con</strong> más poder. El resto de los jugadores(que desempeñan el mismo papel <strong>en</strong> <strong>la</strong> función característica) ti<strong>en</strong><strong>en</strong> un podersimi<strong>la</strong>r pero, de tal forma, que el jugador <strong>con</strong> m<strong>en</strong>os poder, el 3, es el queti<strong>en</strong>e su punto ideal más alejado <strong>del</strong> punto ideal <strong>del</strong> jugador 1.4.3 Índices de poder espaciales de Ow<strong>en</strong>Dado un juego simple <strong>con</strong> uniones a priori (N,v,P) ∈ SU (N) , dondeP = {P 1 ,P 2 ,...P r } , el índice de poder de Ow<strong>en</strong> de un jugador j ∈ P kcoincide <strong>con</strong> <strong>la</strong> probabilidad de que dicho jugador sea pívot, suponi<strong>en</strong>do unadistribución uniforme sobre el sub<strong>con</strong>junto de Π (N) formado por aquel<strong>la</strong>spermutaciones que respet<strong>en</strong> <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de que <strong>en</strong>tre dos jugadores de <strong>la</strong>misma unión apriorino aparece ningún jugador de otra unión apriori.Aligual que para el índice de poder de Shapley-Shubik se supone que todas <strong>la</strong>spermutaciones posibles son equiprobables sólo que, <strong>en</strong> este caso, el <strong>con</strong>juntode permutaciones posibles son aquel<strong>la</strong>s que respetan <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición anterior.
Índices de poder espaciales de Ow<strong>en</strong> 161Se define un juego espacial m-dim<strong>en</strong>sional <strong>con</strong> uniones apriori, como unacuaterna (N,v,P, {Q i } i∈N),donde(N,v,{Q i } i∈N) es un juego espacial m-dim<strong>en</strong>sional y P es una partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores que determina<strong>la</strong> estructura de cooperación apriori. Se d<strong>en</strong>otará por E ¡ ¢N,P,{Q i } i∈Nel <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> espaciales <strong>con</strong> uniones apriori, <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de jugadoresN, <strong>con</strong>junto de puntos ideales {Q i } i∈Ny sistema de uniones dadopor <strong>la</strong> partición P. En esta sección se van a ext<strong>en</strong>der <strong>la</strong>s tres modificaciones<strong>con</strong>sideradas <strong>en</strong> <strong>la</strong> sección anterior para el índice de poder de Shapley-Shubikal caso <strong>con</strong> uniones apriori. En este caso, un índice de poder espacial sobreE ¡ ¢N,P,{Q i } i∈N es una aplicaciónf : E³N,P, © Q iª ´−→ R n ,i∈Nque a cada juego (N,v,P, {Q i } i∈N) le asigna un vector de R n , <strong>en</strong> el que cadacompon<strong>en</strong>te repres<strong>en</strong>ta el poder espacial <strong>del</strong> jugador correspondi<strong>en</strong>te.Modificación de Ow<strong>en</strong>La modificación propuesta por Ow<strong>en</strong>, <strong>en</strong> 1972 para el índice de poder deShapley-Shubik puede aplicarse para un juego espacial <strong>con</strong> uniones aprioride <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te forma. Tomemos un juego espacial <strong>con</strong> uniones apriori(N,v,P,{Q i } i∈N) donde los puntos {Q i } i∈Ndeterminan una esfera S de dim<strong>en</strong>sión(n − 2). Un punto arbitrario de esta esfera z ∈ S determina unapermutación de los jugadores compatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones apriori,siempre que <strong>la</strong> permutación determinada por <strong>la</strong>s distancias desde el puntoz a los correspondi<strong>en</strong>tes puntos ideales {Q i } i∈N, sea compatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructurade uniones apriori.Porejemplo,siseverifica qued ¡ z,Q i 1 ¢
162 Juegos espacialesDe forma simi<strong>la</strong>r al caso sin uniones apriori, a cada una de estas permutacionesde los jugadores, se les asigna una probabilidad que es proporcional a<strong>la</strong> medida de los puntos z que determinan esa permutación. De esta forma,si definimos S 0 como el <strong>con</strong>junto de puntos de <strong>la</strong> esfera que determinan unapermutación compatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones aprioriyel<strong>con</strong>juntoA 0 i comoA 0 i = {z ∈ S 0 /i es pívot <strong>en</strong> <strong>la</strong> permutación inducida por z} ,<strong>la</strong> modificación espacial de poder de Ow<strong>en</strong> vi<strong>en</strong>e dada porf i³N,v,P, © Q iª ´= μ (A0 i)i∈N nP,μ (A 0 i )siempre que al m<strong>en</strong>os uno de los <strong>con</strong>juntos A 0 i t<strong>en</strong>ga medida no nu<strong>la</strong> (es decir,μ (A 0 i) > 0). Enotrocasonosepodríadefinir.i=1Ejemplo 4.3.1 Considérese el gráfico sigui<strong>en</strong>te, que muestra los puntos idealesde un juego espacial <strong>con</strong> uniones a priori, donde N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ,P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } <strong>con</strong> P 1 = {1, 2} ,P 2 = {3, 4, 5} y P 3 = {6, 7, 8}Q 4 Q 6Q 3 Q 8Q 2 Q 7Q 1 zQ 5El punto z determina <strong>la</strong> permutación, 1, 2, 3, 5, 4, 8, 6, 7 que es compatible <strong>con</strong>el sistema de uniones a prioriEvid<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te,loscálculos<strong>en</strong>estecasosonmástediososque<strong>en</strong><strong>la</strong>ssituacionessin uniones apriori. Seilustraráestamodificación <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>teejemplo.
Índices de poder espaciales de Ow<strong>en</strong> 163Ejemplo 4.3.2 Considérese el juego espacial bidim<strong>en</strong>sional <strong>con</strong> uniones apriori dado porN = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,W m = {S ⊆ N/ |S| =4} ,Q 1 =(0.59, 0.81) ,Q 2 =(0.31, 0.95) ,Q 3 =(0.95, −0.31) ,Q 4 =(0.81, −0.59) ,Q 5 =(0.59, −0.81) ,Q 6 =(−0.59, −0.81) .P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } , donde P 1 = {1, 2} ,P 2 = {3, 4, 5} y P 3 = {6}El <strong>con</strong>junto de puntos z de <strong>la</strong> esfera que no dan lugar a una permutacióncompatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones a priori, son los repres<strong>en</strong>tados <strong>en</strong>oscuro <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te gráfico.Q 2 Q 4Q 5Q 1 Q 3Q 6Si se calcu<strong>la</strong> el índice de poder espacial mediante el procedimi<strong>en</strong>to descritoanteriorm<strong>en</strong>te, se obti<strong>en</strong>e³f N,v,P, © Q iª ´=(0.107, 0, 0.393, 0.250, 0.107, 0.143) .i∈NLos jugadores <strong>con</strong> más poder son el 3 yel4. Es de destacar que el jugador2 ti<strong>en</strong>e poder igual a cero porque no existe ningún punto de <strong>la</strong> esfera quedetermine una permutación compatible <strong>con</strong> el sistema de uniones a priori <strong>en</strong><strong>la</strong> que sea pívot.
164 Juegos espacialesModificación de ShapleySegún <strong>la</strong> modificación propuesta por Shapley, un funcional f ∈ R m∗ defineuna permutación de los jugadores de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te forma: un jugador i precedeaotrojugadorj si f (Q i ) 0. Un ejemplo de situación <strong>en</strong> <strong>la</strong> que este índice se puede calcu<strong>la</strong>res<strong>la</strong>quesepuedever<strong>en</strong>elgráfico que aparece a <strong>con</strong>tinuación. En estecaso el funcional lineal perp<strong>en</strong>dicu<strong>la</strong>r a esta familia de hiperp<strong>la</strong>nos paralelosdetermina una permutación de los jugadores compatible <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura deuniones apriori(evid<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te, no basta <strong>con</strong> que haya uno solo, sino quees necesario que μ (K 0 ) > 0).Q 9Q 9 Q 1 Q 2Q 8Q 7Q 6Q 5Q 4Q 3Q 1 Q 2
Índices de poder espaciales de Ow<strong>en</strong> 165Dep<strong>en</strong>di<strong>en</strong>dode<strong>la</strong><strong>con</strong>figuración espacial de los puntos ideales, puede resultarbastante <strong>la</strong>borioso el cálculo <strong>del</strong> índice anterior. Se ilustrará <strong>con</strong> un ejemplos<strong>en</strong>cillo.Ejemplo 4.3.3 Considérese el juego espacial bidim<strong>en</strong>sional <strong>con</strong> uniones apriori dado porN = {1, 2, 3} ,W m = {{1, 2} , {1, 3} , {2, 3}} ,P = {P 1 ,P 2 } , <strong>con</strong> P 1 = {1, 3} y P 2 = {2} .donde <strong>la</strong> situación de los puntos ideales de los jugadores se corresponde <strong>con</strong>el sigui<strong>en</strong>te gráfico.Q 2bagQ 1 Q 3T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> estructura de uniones a priori, <strong>la</strong>s únicas permutacionesde los jugadores que no son compatibles <strong>con</strong> dicha estructura son:1, 2, 3 y 3, 2, 1 (por ejemplo, <strong>la</strong> determinada por el funcional repres<strong>en</strong>tado <strong>en</strong>el gráfico anterior). Por lo tanto, según lo visto anteriorm<strong>en</strong>te para el casono coalicional, se ti<strong>en</strong>e que:³f N,v,P, © Q iª ´=(α/ (α + γ) , 0,γ/(α + γ)) .i∈NEs interesante com<strong>en</strong>tar que aunque el jugador 2 no sea pívot <strong>en</strong> ninguna de<strong>la</strong>s permutaciones compatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones a priori y, por lotanto, ti<strong>en</strong>e un poder igual a 0, su pres<strong>en</strong>cia <strong>con</strong>diciona el poder espacial <strong>del</strong>os otros jugadores.Modificación basada <strong>en</strong> distanciasLas dos modificaciones com<strong>en</strong>tadas anteriorm<strong>en</strong>te asignan distintas probabilidadesa <strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores <strong>en</strong> situaciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que existe
166 Juegos espacialesuna partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores que determina un sistema de unionesapriori.Estasmodificaciones pres<strong>en</strong>tan (al igual que para el caso no coalicional)algún in<strong>con</strong>v<strong>en</strong>i<strong>en</strong>te, como <strong>la</strong> dificultad de cálculo y que ciertas permutacionesti<strong>en</strong><strong>en</strong> probabilidad nu<strong>la</strong>. A estos problemas, se añade el hechode que para ciertas <strong>con</strong>figuraciones geométricas no es posible calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>smodificaciones anteriores ya que sigui<strong>en</strong>do el proceso de cálculo de <strong>la</strong>s probabilidadesde estas permutaciones, el <strong>con</strong>junto que determina permutacionesde los jugadores compatibles <strong>con</strong> el sistema de uniones ti<strong>en</strong>e medida nu<strong>la</strong>.A <strong>con</strong>tinuación, vamos a ext<strong>en</strong>der al caso <strong>con</strong> uniones apriori<strong>la</strong> modificaciónbasada <strong>en</strong> distancias. Esta modificación puede calcu<strong>la</strong>rse siempre y, además,proporciona probabilidad positiva a todas <strong>la</strong>s posibles permutaciones de losjugadores compatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones. Al igual que <strong>en</strong> el caso nocoalicional, aquel<strong>la</strong>s permutaciones que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> mayor longitud, es decir, aquel<strong>la</strong>s<strong>en</strong> <strong>la</strong>s que para unir los puntos ideales de los jugadores correspondi<strong>en</strong>teses preciso recorrer un camino de mayor longitud, ti<strong>en</strong><strong>en</strong> m<strong>en</strong>or probabilidadque aquel<strong>la</strong>s que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> m<strong>en</strong>or longitud.D<strong>en</strong>otando por Π (P, N) el <strong>con</strong>junto de permutaciones de los jugadores deN compatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones aprioriP , <strong>la</strong> probabilidad asignadaa una permutación será inversam<strong>en</strong>te proporcional a su longitud. Paranormalizar estas probabilidades, se asigna a una permutación σ ∈ Π (P, N)<strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te probabilidadP 0 (σ) =1l(σ)Pσ∈Π(P,N)1,l(σ)donde l (σ) es <strong>la</strong> longitud de <strong>la</strong> permutación σ. Si Ci 0 es el <strong>con</strong>junto de permutacionescompatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que el jugadori es pívot, se define un índice de poder espacial de un jugador i ∈ N <strong>en</strong> eljuego espacial <strong>con</strong> uniones apriori ¡ N,v,{Q i } i∈N,P ¢ como <strong>la</strong> suma de <strong>la</strong>sprobabilidades de <strong>la</strong>s permutaciones compatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de unionesapriori<strong>en</strong> <strong>la</strong>s que i es pívot, es decir,³f i N,v, © Q iª ,P´= X P 0 (σ) .i∈Nσ∈Ci 0A difer<strong>en</strong>cia de <strong>la</strong>s modificaciones <strong>con</strong>sideradas anteriorm<strong>en</strong>te, ésta puedecalcu<strong>la</strong>rse siempre (además, de un modo más s<strong>en</strong>cillo). Para finalizar estasección, se ilustrará este índice de poder espacial <strong>con</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo.
Valores pseudo-probabilísticos 167Ejemplo 4.3.4 Con los datos <strong>del</strong> ejemplo 4.2.4, se <strong>con</strong>sidera <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>tepartición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores: P = {P 1 ,P 2 ,P 3 } , donde P 1 = {1} ,P 2 ={2} y P 3 = {3, 4} . En primer lugar, habría que calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s longitudes de<strong>la</strong>s 12 permutaciones compatibles <strong>con</strong> <strong>la</strong> estructura de uniones a priori (realm<strong>en</strong>tesólo hace falta calcu<strong>la</strong>r 6 porque una permutación y <strong>la</strong> inversa ti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>la</strong>misma longitud). Al igual que <strong>en</strong> el caso no coalicional, se busca qué jugadores el pívot y se calcu<strong>la</strong> el índice de poder espacial definido anteriorm<strong>en</strong>te,obt<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do³f N,v,P, © Q iª ´=(0.4707, 0.1823, 0.1544, 0.1925) .i∈N4.4 Valores pseudo-probabilísticosAlgunos de los <strong>valor</strong>es estudiados <strong>en</strong> esta memoria, como el <strong>valor</strong> de Banzhafo el <strong>valor</strong> de Shapley, ti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> común que asignan a cada jugador una sumaponderada de sus <strong>con</strong>tribuciones marginales. La difer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>tre estos <strong>valor</strong>esreside <strong>en</strong> <strong>la</strong>s ponderaciones otorgadas a estas <strong>con</strong>tribuciones. Estos <strong>valor</strong>esse d<strong>en</strong>ominan <strong>valor</strong>es probabilísticos. En esta sección se introducirá unanueva familia de <strong>valor</strong>es, que exti<strong>en</strong>de a los <strong>valor</strong>es probabilísticos, a <strong>la</strong> quese d<strong>en</strong>ominará familia de <strong>valor</strong>es pseudo-probabilísticos.Definición 4.4.1 Dada una subfamilia T (N) de TU (N) , una solución f :T (N) −→ R n , se dice que es un <strong>valor</strong> probabilístico, si para cada jugador i ∈N, existe una distribución de probabilidad {p i S : S ⊆ N\i} sobre el <strong>con</strong>juntode coaliciones que no <strong>con</strong>ti<strong>en</strong><strong>en</strong> a i, de tal forma que, dado (N,v) ∈ T (N),f i (N,v) = Xp i S [v(S ∪ i) − v (S)] . (4.3)S⊆N\iLos <strong>valor</strong>es de Shapley y Banzhaf son <strong>valor</strong>es probabilísticos. Para el <strong>valor</strong>de Shapley se ti<strong>en</strong>e que, <strong>en</strong> <strong>la</strong> expresión (4.3), para cualquier S ⊆ N\i,p i S = 1 n1¡ n−1s¢ =s!(n − s − 1)!,n!mi<strong>en</strong>tras que para el <strong>valor</strong> de Banzhaf, <strong>en</strong> <strong>la</strong> expresión (4.3), para cualquierS ⊆ N\i,p i S = 12 n−1 .
168 Juegos espacialesAlguno de los <strong>valor</strong>es coalicionales que se estudiaron <strong>en</strong> el capítulo 2 (<strong>valor</strong>de Ow<strong>en</strong>, <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> y <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico)también son <strong>valor</strong>es probabilísticos.Weber (1988) obtuvo una caracterización de los <strong>valor</strong>es probabilísticos, empleando<strong>la</strong>s propiedades de linealidad, positividad y títeres. A <strong>con</strong>tinuación,se introducirán estas propiedades, para una subfamilia T (N) de TU (N) .Linealidad (LIN). Una solución f : T (N) −→ R n eslinealsiparatodoparde <strong>juegos</strong> (N,v) ∈ T (N) y (N,w) ∈ T (N) yparatodonúmerorealc>0,se ti<strong>en</strong>e que• f (N,v + w) =f (N,v)+f (N,w),• f (N,cv) =cf (N,v) .Positividad (POS). Una solución f : T (N) −→ R n es positiva si para todojuego monótono (N,v) ∈ T (N) , se ti<strong>en</strong>e quef (N,v) ≥ 0.Títere (TIT). Una solución f : T (N) −→ R n satisface <strong>la</strong> propiedad detíteressiparatodojuego(N,v) ∈ T (N) yparatodojugadori ∈ N, títere<strong>en</strong> (N,v) , se ti<strong>en</strong>e quef i (N,v) =v (i) .En Weber (1988) se obti<strong>en</strong>e una caracterización de los <strong>valor</strong>es probabilísticos<strong>en</strong> <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> TU y <strong>en</strong> <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> simples.Teorema 4.4.1 Una solución f : TU (N) −→ R n es un <strong>valor</strong> probabilísticosi y sólo si f satisface <strong>la</strong>s propiedades de linealidad, positividad y títeres.Un índice de poder f : S (N) −→ R n es un <strong>valor</strong> probabilístico si y sólo si fsatisface <strong>la</strong>s propiedades de transfer<strong>en</strong>cia, positividad y títeres.Si de <strong>la</strong>s <strong>con</strong>diciones que deb<strong>en</strong> cumplir <strong>la</strong>s <strong>con</strong>stantes {p i S : S ⊆ N\i} paraobt<strong>en</strong>er un <strong>valor</strong> probabilístico se elimina <strong>la</strong> <strong>con</strong>dición de ser positivas, resultanlos <strong>valor</strong>es pseudo-probabilísticos.
Valores pseudo-probabilísticos 169Definición 4.4.2 Dada una subfamilia T (N) de TU (N) , una solución f :T (N) −→ R n , se dice que es un <strong>valor</strong> pseudo-probabilístico si para cadajugador i ∈ N, exist<strong>en</strong> unas <strong>con</strong>stantes {qS i : S ⊆ N\i} de tal forma queXqS i =1yS⊆N\if i (N,v) = XS⊆N\iq i S [v(S ∪ i) − v (S)] . (4.4)De <strong>la</strong> definición anterior se deduce inmediatam<strong>en</strong>te que todo <strong>valor</strong> probabilísticoes un <strong>valor</strong> pseudo-probabilístico. Un <strong>valor</strong> pseudo-probabilísticootorga a un jugador una suma de sus <strong>con</strong>tribuciones marginales multiplicadaspor <strong>con</strong>stantes, pero <strong>en</strong> este caso, <strong>la</strong> única <strong>con</strong>dición que cumpl<strong>en</strong> estas<strong>con</strong>stantes es que sum<strong>en</strong> 1, es decir, no se exige que sean positivas. Estehecho que, <strong>en</strong> principio, parece extraño, es aplicable <strong>en</strong> ciertas situaciones<strong>en</strong> <strong>la</strong>s que un jugador no está interesado <strong>en</strong> co<strong>la</strong>borar <strong>con</strong> alguna coalición.Por ejemplo, <strong>en</strong> un juego espacial es posible que a un jugador no le interesehacer ganadora a una coalición formada por jugadores cuyos puntos idealesse <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tr<strong>en</strong> alejados de su punto ideal. Esto es debido a que sus intereses,determinados por su posición ideológica, no van a ser compartidos por elresto de los jugadores de esta coalición. Se volverá a incidir <strong>en</strong> esta idea <strong>en</strong><strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te sección.De modo implícito, <strong>en</strong> Weber (1988) aparece <strong>la</strong> demostración de <strong>la</strong> caracterizaciónde los <strong>valor</strong>es pseudo-probabilísticos <strong>en</strong> <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> TUy <strong>en</strong> <strong>la</strong> familia de los <strong>juegos</strong> simples. Esta caracterización se obti<strong>en</strong>e a partirde <strong>la</strong> caracterización de los <strong>valor</strong>es probabilísticos, eliminando <strong>la</strong> propiedadde positividad. La citada caracterización de Weber se recoge <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>teresultado.Teorema 4.4.2 Una solución f : TU (N) −→ R n es un <strong>valor</strong> pseudoprobabilísticosi y sólo si f satisface <strong>la</strong>s propiedades de linealidad y títeres.Un índice de poder f : S (N) −→ R n es un <strong>valor</strong> pseudo-probabilístico si ysólo si f satisface <strong>la</strong>s propiedades de transfer<strong>en</strong>cia y títeres.A <strong>con</strong>tinuación, se proporciona un resultado que caracteriza el <strong>valor</strong> de <strong>la</strong>s<strong>con</strong>stantes {q i S : S ⊆ N\i} que aparec<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>la</strong> expresión de un <strong>valor</strong> pseudoprobabilístico,a <strong>la</strong> vez que proporciona un método recursivo para su cálculo.
170 Juegos espacialesEn este método se emplean <strong>la</strong>s soluciones de los <strong>juegos</strong> de unanimidad yse empiezan calcu<strong>la</strong>ndo <strong>la</strong>s <strong>con</strong>stantes re<strong>la</strong>tivas a <strong>la</strong>s coaliciones de tamañomayor.Teorema 4.4.3 Dado un <strong>valor</strong> pseudo-probabilístico f : TU (N) −→ R n <strong>la</strong>s<strong>con</strong>stantes {qS i : S ⊆ N\i} son de <strong>la</strong> forma( Pfi (N,u S∪i ) − qqS i Ti si S ⊂ N\i=T/S⊂T ⊆N\i(4.5)f i (N,u N ) si S = N\iDemostraciónEn primer lugar se demostrará que <strong>la</strong>s <strong>con</strong>stantes {qS i : S ⊆ N\i} obt<strong>en</strong>idasde acuerdo a <strong>la</strong> expresión (4.5), determinan un <strong>valor</strong> pseudo-probabilístico,paraloqueessufici<strong>en</strong>te demostrar que su suma es igual a 1. De <strong>la</strong> expresión(4.5) se ti<strong>en</strong>e queq∅ i = f i (N,u i ) − XqT i .De donde se deduce quePS⊆N\ii es un títere para el juego (N,u i ) .T ⊆N\iT 6=∅q i S = f i (N,u i )=u i (i) =1, ya que el jugadorAhora, se va a demostrar el recíproco; es decir, dado un <strong>valor</strong> pseudoprobabilísticof, que puede escribirse de <strong>la</strong> formaf i (N,v) = XqS i [v(S ∪ i) − v (S)] ,S⊆N\inecesariam<strong>en</strong>te <strong>la</strong> expresión de <strong>la</strong>s <strong>con</strong>stantes {q i S : S ⊆ N\i} que intervi<strong>en</strong><strong>en</strong><strong>en</strong> su desarrollo, ti<strong>en</strong>e que ser de <strong>la</strong> forma (4.5).Si se <strong>con</strong>sidera el juego de unanimidad (N,u N ),esevid<strong>en</strong>tequeu N (S ∪ i) −u N (S) =1si y sólo si S ∪ i = N si<strong>en</strong>do igual a 0 <strong>en</strong> cualquier otro caso.T<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>la</strong> expresión (4.4) es c<strong>la</strong>ro que q i N\i = f i (N,u N ) .Dada una coalición S 6= N y un jugador i/∈ S, para el juego de unanimidad(N,u S∪i ) es evid<strong>en</strong>te que u S∪i (T ∪ i) − u S∪i (T )=1si S ⊆ T ⊆ N\i, <strong>con</strong>lo
Valores pseudo-probabilísticos 171que se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te igualdad:Xf i (N,u S∪i )= qT i = qS∪i i +T/S⊆T ⊆N\iXT/S⊂T ⊆N\i<strong>con</strong> lo que <strong>la</strong> expresión (4.5) es cierta y se finaliza <strong>la</strong> demostración.¤Coro<strong>la</strong>rio 4.4.1 Como casos particu<strong>la</strong>res <strong>del</strong> teorema anterior se obti<strong>en</strong>euna forma recursiva para calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s <strong>con</strong>stantes que aparec<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>la</strong>s expresiones<strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley( 1− Pp i s+1 T si S ⊂ N\ip i S =y <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhafp i S =( 12 s −T/S⊂T ⊆N\i1nPp i TT/S⊂T ⊆N\isi S = N\isi S ⊂ N\i1si S = N\i2 n−1q i T ,Más ade<strong>la</strong>nte, se pres<strong>en</strong>ta un resultado <strong>en</strong> el que se obti<strong>en</strong>e una reformu<strong>la</strong>ciónde <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia, <strong>en</strong> función de <strong>la</strong> solución para los <strong>juegos</strong> deunanimidad de <strong>la</strong>s coaliciones minimales ganadoras. La expresión resultantees simi<strong>la</strong>r, <strong>en</strong> cierto modo, a <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> para el cálculo de <strong>la</strong> probabilidadde <strong>la</strong> unión de un <strong>con</strong>junto de n sucesos. Para demostrar ese resultado sehace necesario el sigui<strong>en</strong>te lema, <strong>en</strong> el que se prueba que <strong>la</strong> citada expresiónestá bi<strong>en</strong> definida, <strong>en</strong> el s<strong>en</strong>tido de que <strong>la</strong> inclusión de coaliciones ganadorasno minimales no afecta al resultado. Este hecho es simi<strong>la</strong>r al que cumple <strong>la</strong>fórmu<strong>la</strong> de cálculo de <strong>la</strong> probabilidad de <strong>la</strong> unión de sucesos ya que, como esbi<strong>en</strong> sabido, <strong>la</strong> adición de un suceso <strong>con</strong>t<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> alguno de los originales noafecta al resultado final.Lema 4.4.4 Dado un índice de poder f : S (N) −→ R n , para todo <strong>juegos</strong>imple (N,v) <strong>con</strong>W m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m } y W = {S 1 ,S 2 ,... ,S m ,S m+1 ,... ,S p } ,
172 Juegos espacialesse cumple lo sigui<strong>en</strong>te. Para cualquier jugador i ∈ N, <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes p−m+1expresiones son equival<strong>en</strong>tesX ¡ ¢ Xf i N,uSj1 −j 1 ∈M 0Xj 1 ∈M 0Xj 2 ∈M 0j 2 >j 1Xj 1 ∈M 0X¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈M 0j 2 >j 1¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 − ...+j 3 ∈M 0j 3 >j 2(−1) m0 +1 f i¡N,uS1 ∪S 2 ∪...∪S m 0¢, (4.6)donde M = {1, 2,... ,m} ,P = {1, 2,... ,p} y M 0 es cualquier sub<strong>con</strong>juntotal que M ⊆ M 0 ⊆ P.DemostraciónEn primer lugar, se probará que el resultado es cierto para M y M 0 , donde|M 0 | = m +1. Supongamos que S m+1 = M 0 \M.Como S m+1 no es una coalición minimal ganadora, existirá una coalición S j<strong>con</strong> j ≤ m, tal que S j ⊂ S m+1 . Vamos a suponer que j =1,<strong>en</strong>toncesseti<strong>en</strong>eque probar queXj 1 ∈M 0Xj 2 ∈M 0j 2 >j 1X( Xj 1 ∈M 0 f i¡N,uSj1¢−Xj 1 ∈M 0X¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈M 0j 2 >j 1¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 + ...+(−1)m 0 +1 ¡ ¢f i N,uS1 ∪S 2 ∪...∪S m+1 ) −j 3 ∈M 0j 3 >j 2( X ¡ ¢ Xf i N,uSj1 −j 1 ∈Mj 1 ∈MX¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈Mj 2 >j 1
Valores pseudo-probabilísticos 173Xj 1 ∈MXj 2 ∈Mj 2 >j 1X¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 + ...+(−1) m+1 f i (N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S m))j 3 ∈Mj 3 >j 2toma el <strong>valor</strong> cero.La difer<strong>en</strong>cia anterior es igual a¡ ¢ X m¡ ¢ X m mX ¡ ¢f i N,uSm+1 − f i N,uSi ∪S m+1 + f i N,uSi ∪S j ∪S m+1 + ...+i=1i=1 j=i+1(−1) m f i¡N,uS1 ∪S 2 ∪...∪S m+1¢.Esta última expresión ti<strong>en</strong>e un total de 2 m términos, de los cuales <strong>la</strong> mitad2 m−1 incluy<strong>en</strong> a S 1 , (<strong>con</strong>junto A), y el resto de términos (<strong>con</strong>junto B), <strong>con</strong>el mismo cardinal 2 m−1 no incluy<strong>en</strong> a S 1 .Se puede establecer una biyección <strong>en</strong>tre los términos <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto A y los <strong>del</strong><strong>con</strong>junto B, de forma que al término f i (N,u S ) ∈ B se le hace corresponderf i (N,u S∪S1 ) ∈ A, esdecirB ←→ Af i (N,u S ) ←→ f i (N,u S∪S1 )Como S m+1 ⊆ S y S m+1 ⊇ S 1 ,seti<strong>en</strong>equeS ∪ S 1 = S, por lo tanto,f i (N,u S )=f i (N,u S∪S1 ) ,como estos términos aparec<strong>en</strong> <strong>con</strong> distinto signo <strong>en</strong> <strong>la</strong> expresión anterior, éstase hace igual a 0.Trivialm<strong>en</strong>te, por hipótesis de inducción, se cumple el resultado para cualquier<strong>valor</strong> de M 0 tal que M ⊆ M 0 ⊆ P .¤A <strong>con</strong>tinuación, se obti<strong>en</strong>e el resultado anunciado anteriorm<strong>en</strong>te. En elsigui<strong>en</strong>te teorema se demuestra que para un índice de poder es equival<strong>en</strong>teque cump<strong>la</strong> <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia o que coincida <strong>con</strong> <strong>la</strong> expresión(4.6). Con esto, se ti<strong>en</strong>e que todos los <strong>valor</strong>es probabilísticos y pseudoprobabilísticosdefinidos <strong>en</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se de <strong>juegos</strong> simples admit<strong>en</strong> dicha expresión.
174 Juegos espacialesTeorema 4.4.5 Un <strong>valor</strong> f : S (N) −→ R n cumple <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>ciasi y solo si dado un juego simple (N,v) tal que W m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m } ,asigna a cada i ∈ N <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te cantidadf i (N,v) = X ¡ ¢ Xf i N,uSj1 −Xj 1 ∈Mj 1 ∈MXj 2 ∈Mj 2 >j 1Xj 1 ∈MX¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 +j 2 ∈Mj 2 >j 1¡ ¢f i N,uSj1 ∪S j2 ∪S j3 − ...+ (4.7)j 3 ∈Mj 3 >j 2donde M = {1, 2,... ,m} .Demostración(−1) m+1 f i (N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S m) ,Supóngase un <strong>valor</strong> f : S (N) −→ R n que satisfaga <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia.Dado un juego simple (N,v), <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadorasW m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m } , puede escribirse de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te formav = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm .La demostración se hará por inducción <strong>en</strong> el cardinal <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto W m .Si m =1<strong>la</strong> expresión (4.7) es cierta trivialm<strong>en</strong>te.Supóngase que el resultado es cierto para cualquier <strong>valor</strong> desde 1 hasta m−1,se probará que es cierto para m.En ese caso v = u S1 ∨u S2 ∨...∨u Sm = v 0 ∨u Sm donde v 0 = u S1 ∨u S2 ∨...∨u Sm−1 ,como f satisface <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia, se ti<strong>en</strong>e que:f (N,v) =f (N,v 0 ∨ u Sm )=f (N,v 0 )+f (N,u Sm ) − f (N,v 0 ∧ u Sm ) . (4.8)Los tres términos que aparec<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>la</strong> parte derecha de <strong>la</strong> expresión (4.8) secorrespond<strong>en</strong> <strong>con</strong> <strong>juegos</strong> donde el número de coaliciones minimales ganadoras
Valores pseudo-probabilísticos 175es m<strong>en</strong>or o igual que m − 1. Empleando <strong>la</strong> hipótesis de inducción y el lema4.4.4 se obti<strong>en</strong>e <strong>la</strong> expresión <strong>en</strong>unciada <strong>en</strong> elteoremayaqueel<strong>con</strong>juntodecoaliciones minimales ganadoras <strong>del</strong> juego (N,v 0 ∧ u Sm ) es un sub<strong>con</strong>juntode{S 1 ∪ S m ,S 2 ∪ S m ,... ,S m−1 ∪ S m } .Para probar el recíproco, supóngase que un <strong>valor</strong> f : S (N) −→ R n asigna acada juego (N,v) <strong>la</strong> cantidad dada por <strong>la</strong> expresión (4.7). Para probar que fsatisface <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia, t<strong>en</strong>dría que probarse que dados dos<strong>juegos</strong> simples (N,v) , (N,w) se cumple <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te igualdadf (N,v)+f (N,w) =f (N,v ∨ w)+f (N,v ∧ w) .Por ser v y w <strong>juegos</strong>simplespued<strong>en</strong>escribirsede<strong>la</strong>forma:v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Smy w = u Sm+1 ∨ u Sm+2 ∨ ...∨ u Sm+rLa demostración se hará por inducción <strong>en</strong> m y r.Para m =1y r =1, se ti<strong>en</strong>e que v = u S y w = u T .Comou S ∧ u T = u S∪T ,<strong>la</strong> expresión (4.7) es equival<strong>en</strong>te a:f (N,u S ∨ u T )=f (N,u S )+f (N,u T ) − f (N,u S ∧ u T ) .Se supone <strong>en</strong>tonces que f satisface <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia para los<strong>valor</strong>es (1, 1) , (2, 1) ,... ,(k − 1, 1) <strong>del</strong> par (m, r) y se va a probar que escierto para (k, 1). Se ti<strong>en</strong>e <strong>en</strong>tonces que:Como f satisface (4.7),Xk+1f(N,v ∨ w) =v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sk−1 ∨ u Sk y w = u Sk+1 .j 1 =1f ¡ ¢ Xk+1N,u Sj1 −Xk+1j 1 =1 j 2 =j 1 +1f ¡ N,u Sj1 ∪S j2¢+Xk+1Xk+1Xk+1j 1 =1 j 2 =j 1 +1 j 3 =j 2 +1f ¡ N,u Sj1 ∪S j2 ∪S j3¢− ...+
176 Juegos espaciales(−1) k f ¡ ¢N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S k+1 .Por otro <strong>la</strong>do:f (v)+f (w) − f(v ∧ w) =f (v)+f (w) − f((u S1 ∧ u Sk+1 ) ∨ ¡ u S2 ∧ u Sk+1¢∨ ...∨ (uSk ∧ v Sk+1 )) =f(v)+f(w) − f(u S1 ∪S k+1∨ u S2 ∪S k+1∨ ...∨ u Sk ∪S k+1)=kXf ¡ ¢kX kXN,u Sj1 − f ¡ ¢N,u Sj1 ∪S j2 +j 1 =1j 1 =1 j 2 =j 1 +1kX kX kXf ¡ ¢N,u Sj1 ∪S j2 ∪S j3 − ...+j 1 =1 j 2 =j 1 +1 j 3 =j 2 +1(−1) k+1 f (N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S k)+f ¡ ¢kXN,u Sk+1 − f(N,u Sj1 ∪S k+1)+j 1 =1kXkXj 1 =1 j 2 =j 1 +1f(N,u Sj1 ∪S j2 ∪S k+1) − ...+(−1) k f ¡ N,u S1 ∪S 2 ∪...∪S k+1¢.que es igual a f (N,v ∨ w). Con lo que está demostrado que el resultado secumple para cualquier par de <strong>la</strong> forma (m, 1), para cualquier <strong>valor</strong> de m.Para finalizar, supóngase que es cierto para un par (m, r), habríaquedemostrarque es cierto para (m, r +1). Tomemos <strong>en</strong>toncesv = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm y w = u Sm+1 ∨ u Sm+2 ∨ ...∨ u Sm+r ∨ u Sm+r+1 .
Valores pseudo-probabilísticos 177El juego w puede escribirse de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te formaw = w 1 ∨ w 2 <strong>con</strong>w 1 = u Sm+1 ∨ u Sm+2 ∨ ...∨ u Sm+r y w 2 = u Sm+r+1 .Por lo demostrado anteriorm<strong>en</strong>te, se ti<strong>en</strong>e quef(N,v)+f(N,w) =f(N,v)+f(N,w 1 ∨ w 2 )=f (N,v)+f(N,w 1 )+f (N,w 2 ) − f(N,w 1 ∧ w 2 ).Conloqueseríasufici<strong>en</strong>te demostrar que es cierta <strong>la</strong> igualdadf(N,v ∨ w)+f(N,v ∧ w) =f (N,v)+f(N,w 1 )+f (N,w 2 ) − f(N,w 1 ∧ w 2 ). (4.9)En primer lugar, desarrol<strong>la</strong>ndo f(N,v ∨ w)f(N,v ∨ w) =f (N,v ∨ w 1 ∨ w 2 )=f(N,v ∨ w 1 )+f (N,w 2 ) − f(N,(v ∨ w 1 ) ∧ w 2 )=f(N,v)+f(N,w 1 ) − f(N,v ∧ w 1 )+f(N,w 2 ) − f(N,(v ∧ w 2 ) ∨ (w 1 ∧ w 2 )) =f(N,v)+f(N,w 1 ) − f(N,v ∧ w 1 )+f(N,w 2 ) −f(N,v ∧ w 2 ) − f(N,w 1 ∧ w 2 )+f(N,v ∧ w 1 ∧ w 2 ).Desarrol<strong>la</strong>ndo ahora f(N,v ∧ w)f(N,v ∧ w) =f(N,v ∧ (w 1 ∨ w 2 )) = f(N,(v ∧ w 1 ) ∨ (v ∧ w 2 )) =f(N,v ∧ w 1 )+f(N,v ∧ w 2 ) − f(N,v ∧ w 1 ∧ w 2 ).Sumando estos dos últimas ecuaciones se cumple <strong>la</strong> igualdad (4.9) que sequería demostrar.¤
178 Juegos espacialesCoro<strong>la</strong>rio 4.4.2 Los índices de Shapley-Shubik y de Banzhaf-Coleman deun jugador i ∈ N, <strong>en</strong> el juego simple (N,v) donde W m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m }vi<strong>en</strong><strong>en</strong> dados por:Xj 1 ∈MXj 1 ∈MSj −11(i) − Xj 1 ∈MXj 2 ∈Mj 2 >j 1XX(S j1 ∪ S j2 ) −1 (i)+j 2 ∈Mj 2 >j 1(S j1 ∪ S j2 ∪ S j3 ) −1 (i) − ...+j 3 ∈Mj 3 >j 2donde M = {1, 2,... ,m} y,(−1) m+1 (S j1 ∪ S j2 ∪ ...∪ S jm ) −1 (i) ,S −1 (i) =½ 1|S|si i ∈ S0 si i/∈ Spara el índice de poder de Shapley-Shubik y,½ 1S −1 si i ∈ S(i) = 2 |S|−1 0 si i/∈ Spara el índice de poder de Banzhaf-Coleman.4.5 La propiedad de simetría espacialA <strong>con</strong>tinuación se van a caracterizar diversos índices de poder espaciales empleandopropiedades comunes <strong>con</strong> otros índices de poder y una modificaciónde <strong>la</strong> propiedad de simetría, a <strong>la</strong> que se d<strong>en</strong>ominará propiedad de simetríaespacial.En <strong>la</strong> segunda sección de este capítulo, se estudiaron modificaciones <strong>del</strong> índicede poder de Shapley-Shubik que daban lugar a varios índices de poder espaciales.En esas modificaciones se definíaunaformadeelegir<strong>la</strong>sdistintasprobabilidades de <strong>la</strong>s permutaciones de los jugadores. En esta sección, se vaaseguir<strong>con</strong>unalíneamássimi<strong>la</strong>ra<strong>la</strong>empleada<strong>en</strong>elrestodeestamemoria.
La propiedad de simetría espacial 179Se propondrán diversas propiedades que se <strong>con</strong>sideran adecuadas <strong>en</strong> el <strong>con</strong>textode los <strong>juegos</strong> espaciales, para demostrar a <strong>con</strong>tinuación, que sólo hayun índice de poder espacial que <strong>la</strong>s satisface.En el primer capítulo se estudiaron diversos índices de poder para <strong>la</strong> familiade <strong>juegos</strong> simples, <strong>en</strong> particu<strong>la</strong>r, los índices de poder de Shapley-Shubik,Banzhaf-Coleman y Deegan-Packel. De <strong>en</strong>tre <strong>la</strong>s propiedades que caracterizabanestos índices de poder, <strong>la</strong>s de efici<strong>en</strong>cia, poder total, transfer<strong>en</strong>cia,fusión y jugador nulo, <strong>en</strong> principio, parece que sigu<strong>en</strong> si<strong>en</strong>do adecuadas <strong>en</strong>el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong> espaciales. Esto es debido a que <strong>la</strong> introducción <strong>del</strong>os puntos ideales no afecta a <strong>la</strong> naturaleza de estas propiedades. No puededecirse lo mismo de <strong>la</strong> propiedad de simetría, porque d<strong>en</strong>tro <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>o <strong>del</strong>os <strong>juegos</strong> espaciales, el poder que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> los jugadores simétricos para eljuego simple no ti<strong>en</strong>e por qué coincidir. En un juego espacial, el poder de unjugador estará <strong>con</strong>dicionado por <strong>la</strong> situación de su punto ideal.En un juego de unanimidad u S , parece lógico suponer que el poder de unjugador i ∈ S será mayor si su punto ideal se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra <strong>en</strong> una posicióncercana al resto de <strong>la</strong>s posiciones de los jugadores de S. Portanto,elpoderque ti<strong>en</strong><strong>en</strong> dos jugadores de S <strong>en</strong> el juego de unanimidad u S es inversam<strong>en</strong>teproporcional a <strong>la</strong> suma de <strong>la</strong>s distancias de sus puntos ideales a los puntosideales <strong>del</strong> resto de los jugadores de S. Según esto, <strong>en</strong> un juego de unanimidad,los jugadores <strong>del</strong> soporte <strong>con</strong> objetivos situados <strong>en</strong> posiciones más“c<strong>en</strong>trales” t<strong>en</strong>drán mayor poder. Con esta idea, se define <strong>la</strong> propiedad desimetría espacial.Definición 4.5.1 Un índice espacial de poder f : E ¡ ¢N, {Q i } i∈N −→ Rnsatisface <strong>la</strong> propiedad de simetría espacial si para cualquier juego de unanimidadu S , y para cualquier par de jugadores, l ∈ S, m ∈ S, se ti<strong>en</strong>e que:f l³N,u S , © Q iª ´ Xd(Q l ,Q k )=fi∈Nm³N,u S , © Q iª ´ Xd(Q m ,Q k ).i∈Nk∈Sk∈SPropiedades simi<strong>la</strong>res a <strong>la</strong> anterior, que pued<strong>en</strong> <strong>en</strong>t<strong>en</strong>derse como propiedadesde “simetría ponderada para jugadores <strong>del</strong> soporte <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> de unanimidad”,se emplean <strong>en</strong> Bilbao (1998) y Bilbao et al. (1998) para obt<strong>en</strong>er caracterizacionesde los <strong>valor</strong>es de Shapley y de Banzhaf <strong>en</strong> geometrías <strong>con</strong>vexas.Queremos hacer notar que <strong>la</strong> propiedad anterior no determina que si dos
180 Juegos espacialesjugadores son simétricos <strong>en</strong>tonces siempre t<strong>en</strong>drá mayor poder aquel jugadorcuyo punto ideal se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tre <strong>en</strong> una posición c<strong>en</strong>tral. Esto ocurrirá <strong>en</strong> los<strong>juegos</strong> de unanimidad, pero no necesariam<strong>en</strong>te para todos los <strong>juegos</strong> simples.Empleando <strong>la</strong> propiedad de simetría espacial, <strong>en</strong> lugar de <strong>la</strong> propiedad desimetría, se van a obt<strong>en</strong>er tres índices de poder espaciales: los índices depoder simétricos espaciales de Shapley-Shubik, Banzhaf-Coleman y Deegan-Packel. La difer<strong>en</strong>cia que pres<strong>en</strong>tan estos índices de poder espaciales respectoa los índices de poder originales es <strong>la</strong> forma de repartir el poder <strong>en</strong>tre losjugadoresdeunsoporte<strong>en</strong>los<strong>juegos</strong>deunanimidad.Para simplificar <strong>la</strong> escritura de los distintos resultados que se van a <strong>en</strong>unciar,se empleará <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te notación. Dado un juego (N,v) y una coaliciónS ⊆ N, <strong>la</strong>funciónd −1S: N −→ R asigna a cada jugador j ∈ N <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>tecantidad:d −11Xd(Q⎧⎪ k ,Q j )k∈S ⎨ XS (j) = 1Xi∈S d(Q k ,Q i )⎪ ⎩k∈Ssi j ∈ S, S 6= {j}0 si j/∈ S1 si S = {j}A <strong>la</strong> vista de <strong>la</strong> expresión anterior, se ve que <strong>la</strong> función d −1S: N −→ Res una función normalizada que asigna a cada jugador de S una cantidadinversam<strong>en</strong>te proporcional a <strong>la</strong> distancia de su punto ideal al resto de lospuntos de los jugadores de S, mi<strong>en</strong>tras que asigna 0 a los jugadores que noestán <strong>en</strong> S. Puede interpretarse como una medida de <strong>la</strong> cercanía de cadajugador j ∈ N a <strong>la</strong> coalición S. Esta función está directam<strong>en</strong>te re<strong>la</strong>cionada<strong>con</strong> <strong>la</strong> propiedad de simetría espacial.En el sigui<strong>en</strong>te resultado se caracteriza un índice de poder espacial, sustituy<strong>en</strong>do<strong>la</strong> propiedad de simetría por <strong>la</strong> propiedad de simetría espacial <strong>en</strong> <strong>la</strong>caracterización <strong>del</strong> índice de poder de Shapley-Shubik (ϕ).Teorema 4.5.1 Existe un único índice de poder f : E ¡ N, {Q i } i∈N¢−→ Rnque verifica <strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia, jugador nulo, simetría espacial y
La propiedad de simetría espacial 181transfer<strong>en</strong>cia. Dado un juego espacial (N,v,{Q i } i∈N),estasoluciónasignaa cada jugador l ∈ N el número real:³fl1 N,v, © Q iª ´=i∈NmXi=1d −1S i(l) −mXmXi=1 j=i+1d −1S i ∪S j(l)+mXDemostraciónUnicidad:mXmXi=1 j=i+1 k=j+1d −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 d −1 mSi=1S i(l) ,Dado un juego espacial (N,v, {Q i } i∈N), existe un número finito m de coalicionesminimales ganadoras S 1 ,S 2 ,... ,S m , por lo que el juego v puedeescribirse de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te forma:v = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm .Se defin<strong>en</strong> dos índices n 1 (v) y n 2 (v) <strong>del</strong> sigui<strong>en</strong>te modo:n 1 (v) =min{p ∈ N/existe una coalición minimal ganadora T <strong>con</strong> |T | = p} ,tamaño de <strong>la</strong> coalición minimal ganadora más pequeña,n 2 (v) =número de coaliciones minimales ganadoras T tales que |T | = n 1 (v) .La demostración de este resultado se hace por inducción <strong>en</strong> n 1 (v) y n 2 (v).Para n 1 (v) =n, v = u N y n 2 (v) =1, <strong>en</strong> cuyo caso una solución f que satisfaga<strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia, jugador nulo y simetría espacial, necesariam<strong>en</strong>teasigna a un jugador j ∈ N, <strong>la</strong>cantidadf j (N,u N , © Q iª i∈N )=d−1 N (j) .Supóngase que se ha probado que <strong>la</strong> solución es única cuando n 1 (v) =k +1,k+2,... ,ny n 2 (v) =1, habría que probar que <strong>la</strong> solución es única cuandon 1 (v) =k y n 2 (v) =1.
182 Juegos espacialesSea S <strong>la</strong> única coalición minimal ganadora <strong>con</strong> k jugadores. Si S es <strong>la</strong> únicacoalición minimal ganadora, <strong>en</strong>tonces v = u S y por <strong>la</strong> propiedades de simetríaespacial, efici<strong>en</strong>cia y jugador nulo, necesariam<strong>en</strong>te <strong>la</strong> solución para un jugadorj ∈ N, ti<strong>en</strong>e que v<strong>en</strong>ir dada porf j (N,u S , © Q iª i∈N )=d−1 S (j) .Para demostrar <strong>la</strong> unicidad <strong>en</strong> el caso de que n 2 (v) > 1, se procede como <strong>en</strong><strong>la</strong> demostración de <strong>la</strong> unicidad <strong>del</strong> índice de poder de Shapley-Shubik <strong>en</strong> <strong>la</strong>familia de los <strong>juegos</strong> simples, que aparece <strong>en</strong> Dubey (1975), ya que <strong>en</strong> estemom<strong>en</strong>to sólo se necesita <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia.Exist<strong>en</strong>cia:Dado un juego espacial (N,v,{Q i } i∈N) existe un número finito m de coalicionesminimales ganadoras S 1 ,S 2 ,... ,S m de tal forma que el juego v sepuede escribir de <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te formav = u S1 ∨ u S2 ∨ ...∨ u Sm .Se<strong>con</strong>sidera<strong>la</strong>funciónf 1 : E ¡ N,{Q i } i∈N¢−→ R n , que asigna a un jugadorl ∈ N, <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>te cantidadf 1 l+³N,v, © Q iª ´=i∈NmXmXmXi=1 j=i+1 k=j+1mXi=1d −1S i(l) −mXmXi=1 j=i+1d −1S i ∪S j(l)d −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 d −1 mSi=1S i(l) .A<strong>con</strong>tinuación,secomprobaráqueesteíndicedepoderverifica <strong>la</strong>s propiedadesde jugador nulo, efici<strong>en</strong>cia y simetría espacial, ya que por el teorema 4.4.5satisface <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia.Jugador nulo:Sea i ∈ N, jugador nulo. Entonces i/∈ S j , para todo j =1, 2,... ,m yparacualquier R ⊆ {1, 2,... ,m} ,i /∈ S S j . Por tanto, d −1 SS j(i) =0, <strong>con</strong> lo quej∈Rj∈R¡ ¢N,v,{Q i } i∈N =0.f 1 i
La propiedad de simetría espacial 183Efici<strong>en</strong>cia:Dado un juego espacial (N,v, {Q i } i∈N) <strong>con</strong> W m = {S 1 ,S 2 ,... ,S m }.Si m =1el resultado es trivial.Sea S = S 1 ∪ S 2 ∪ ...S m , <strong>con</strong> m>1. Cualquier i/∈ S es un jugador nulo.Por tanto,Xfl1l∈N³N,v, © Q iª ´= X i∈Nl∈S³fl1 N,v, © Q iª ´=i∈NXl∈SmXi=1d −1S i(l) − X l∈SmXmXi=1 j=i+1d −1S i ∪S j(l)+Xl∈SmXmXmXi=1 j=i+1 k=j+1d −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 X l∈Sd −1 mSi=1S i(l) =mX Xd −1S i(l) −i=1l∈SmXmXXi=1 j=i+1 l∈Sd −1S i ∪S j(l)+mXmXmXXi=1 j=i+1 k=j+1 l∈Sd −1S i ∪S j ∪S k(l)+...+(−1) m+1 X l∈Sd −1 mSi=1S i(l) =mX1 −i=1mX mX1+i=1 j=1+1mX mX mX1 − ...+(−1) m+1 =i=1 j=1+1 k=j+1µ µ µ µ m m m m− + − + ...±1 2 3 4µ mm.
184 Juegos espaciales¡Aplicando repetidam<strong>en</strong>te <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> de Stiegel: m¡n¢=m−1n−1expresión anterior puede escribirse de <strong>la</strong> forma:µ µ µ µ m − 1 m − 1 m − 1 m − 1+ − − +0 1 1 2µ µ µ µ m − 1 m − 1 m − 1 m − 1+ − − + ...±2 3 3 4µ m − 1±m − 1¢+¡ m−1n¢,<strong>la</strong>µ m − 1=mµ µ m − 1 m − 1± =1.0 mPropiedad de simetría espacial:Dado un juego espacial (N,u S , {Q i } i∈N), dados dos jugadores l ∈ S, m ∈ Sse ti<strong>en</strong>e que³fl1 N,u S , © Q iª ´= d −1i∈N S(l)f 1 m³N,u S , © Q iª ´= d −1i∈N S (m) .Por lo que³fl1 N,u S , © Q iª ´ Xd ¡ Q l ,Q k¢ = f 1 i∈Nmk∈S³N,u S , © Q iª i∈N´ Xd ¡ Q m ,Q k¢ .¤k∈SEjemplo 4.5.1 Dado el juego espacial bidim<strong>en</strong>sional <strong>del</strong> ejemplo 4.1.1 <strong>con</strong>puntos ideales y coaliciones minimales ganadoras repres<strong>en</strong>tados <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>tegráficoQ 2Q 3Q 1 Q 4
La propiedad de simetría espacial 185Se ti<strong>en</strong>e que el índice de poder espacial caracterizado <strong>en</strong> el teorema anteriores igual a:f³N,v, © 1 Q iª ´=(0.602, 0.098, 0.2085, 0.0915) .i∈NDe acuerdo <strong>con</strong> este índice, el jugador <strong>con</strong> mayor poder espacial es el 1,debido a su papel “dominante” <strong>en</strong> <strong>la</strong> función característica. Después <strong>del</strong>jugador 1, el jugador <strong>con</strong> mayor poder espacial es el 3, que ocupa una posiciónc<strong>en</strong>tral d<strong>en</strong>tro de <strong>la</strong> coalición minimal ganadora {2, 3, 4}.En el sigui<strong>en</strong>te ejemplo se demuestra que el índice anterior puede asignar un<strong>valor</strong> negativo a alguno de los jugadores queintervi<strong>en</strong><strong>en</strong><strong>en</strong>unjuegoespacial.Ejemplo 4.5.2 Supóngase un juego espacial bidim<strong>en</strong>sional ¡ ¢N,v,{Q i } i∈N ,dado porN = {1, 2, 3, 4} ,W m = {{1, 2, 3} , {1, 2, 4}} ,y donde <strong>la</strong> <strong>con</strong>figuración espacial de los puntos ideales {Q i } i∈Nes <strong>la</strong> sigui<strong>en</strong>teQ 2Q 3Q 4Q 1Q 4(es decir, <strong>la</strong>s distancias d (Q 1 ,Q 2 ) y d (Q 3 ,Q 4 ) son muy pequeñas si <strong>la</strong>s comparamos<strong>con</strong> <strong>la</strong>s distancias d (Q 1 ,Q 3 ), d (Q 1 ,Q 4 ) ,d(Q 2 ,Q 3 ) y d (Q 2 ,Q 4 )).El índice de poder espacial definido anteriorm<strong>en</strong>te es igual a:f³N,v, © 1 Q iª ´=(11/20, 11/20, −1/20, −1/20) .i∈NLos jugadores 3 y 4 ti<strong>en</strong><strong>en</strong> poder negativo. En este caso, el <strong>con</strong>junto de coalicionesminimales ganadoras no es coher<strong>en</strong>te <strong>con</strong> <strong>la</strong> <strong>con</strong>figuración geométricade los puntos ideales. Como los puntos ideales de los jugadores 1 y 2 estánpróximos, ti<strong>en</strong><strong>en</strong> mayor poder espacial <strong>en</strong> los <strong>juegos</strong> de unanimidad de <strong>la</strong>scoaliciones {1, 2, 3} y {1, 2, 4} que los jugadores 3 y 4. Si los jugadores 3 y4 no hicies<strong>en</strong> ganadora a <strong>la</strong> coalición formada por los jugadores 1 y 2, demodo individual, los cuatro jugadores t<strong>en</strong>drían el mismo poder espacial. Losjugadores 3 y 4 no se están comportando de forma adecuada a sus interesesal <strong>con</strong>vertir <strong>en</strong> ganadora a <strong>la</strong> coalición {1, 2}.
186 Juegos espacialesEn el sigui<strong>en</strong>te resultado se caracteriza un índice de poder espacial, sustituy<strong>en</strong>do<strong>la</strong>propiedaddesimetríapor<strong>la</strong>desimetríaespacial<strong>en</strong><strong>la</strong>caracterización<strong>del</strong> índice de poder de Banzhaf-Coleman. Se omite <strong>la</strong> demostraciónde este resultado por emplear argum<strong>en</strong>tos simi<strong>la</strong>res a los empleados <strong>en</strong> elteorema 4.5.1.Teorema 4.5.2 Existe un único índice de poder f : E ¡ N, {Q i } i∈N¢−→ Rnque verifica <strong>la</strong>s propiedades de poder total, jugador nulo, simetría espacial ytransfer<strong>en</strong>cia. Dado un juego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢, esta solución asignaa cada jugador l ∈ N el número real:+f 2 lmX³N,v, © Q iª ´=i∈NmXmXi=1 j=i+1 k=j+1mXi=1|S i | d −1S i(l)−2 |S i|−1mXmXi=1 j=i+1|S i ∪ S j | d −1S i ∪S j(l)2 |S i∪S j |−1mS¯¯¯¯|S i ∪ S j ∪ S k | d −1i=1S i ∪S j ∪S k(l)2 |S i∪S j+ ...+(−1) m+1 ∪S k |−1S i¯¯¯¯ d −1 mS (l)S i2¯mSi=1i=1S i¯¯¯¯¯−1,donde M (v) ={S 1 ,S 2 ,... ,S m } .Al igual que el índice espacial de poder caracterizado <strong>en</strong> el teorema 4.5.1, esteíndice satisface <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia, por lo que queda determinado<strong>con</strong>oci<strong>en</strong>do <strong>la</strong> solución para los <strong>juegos</strong> de unanimidad. Para un juego deunanimidad u S , es inmediato probar que <strong>la</strong> única solución que satisface <strong>la</strong>propiedad de poder total, jugador nulo y simetría espacial es:³fl2 N,u S , © Q iª ´|S| d−1S= (l) .i∈N2 |S|−1Coro<strong>la</strong>rio 4.5.1 Los índices de poder espaciales definidos <strong>en</strong> los teoremas4.5.1 y 4.5.2 son <strong>valor</strong>es pseudo-probabilísticos.La expresión de <strong>la</strong>s <strong>con</strong>stantes para los dos <strong>valor</strong>es anteriores vi<strong>en</strong><strong>en</strong> dadaspor <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes expresiones. Para el definido <strong>en</strong> el teorema 4.5.1,( d−1qS l S∪l (l) − PqTl si S ⊂ N\l=T/S⊂T ⊆N\l(l) si S = N\ld −1N
La propiedad de simetría espacial 187mi<strong>en</strong>tras que para el definido <strong>en</strong> el teorema 4.5.2, <strong>la</strong>s <strong>con</strong>stantes vi<strong>en</strong><strong>en</strong> dadaspor <strong>la</strong> expresión⎧⎨qS l =⎩(|S|+1)d −1S∪l (l)2 |S| −PqTlT/S⊂T ⊆N\lsi S ⊂ N\lnd −1N (l)2 n−1 si S = N\lEn el ejemplo 4.5.2, <strong>en</strong> el que los jugadores 3 y 4 t<strong>en</strong>ían poder espacialnegativo, puede comprobarse ³ ´ que <strong>la</strong> <strong>con</strong>stante refer<strong>en</strong>te a <strong>la</strong> coalición {1, 2}para el jugador 3 q{1,2}3 es igual a −1/5; por lo que este jugador no estaríainteresado <strong>en</strong> hacer ganadora a esta coalición.Sustituy<strong>en</strong>do <strong>la</strong> propiedad de simetría por <strong>la</strong> de simetría espacial <strong>en</strong> <strong>la</strong> caracterización<strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel se obti<strong>en</strong>e un nuevo índicede poder espacial. Al igual que para el anterior, se omite <strong>la</strong> demostración deeste resultado por ser análoga a <strong>la</strong>s vistas anteriorm<strong>en</strong>te.Teorema 4.5.3 Existe un único índice de poder f : E ¡ N,{Q i } i∈N¢−→ Rnque verifica <strong>la</strong>s propiedades de efici<strong>en</strong>cia, jugador nulo, simetría espacial yfusión.En este caso, el índice de poder no es un <strong>valor</strong> pseudo-probabilístico porqu<strong>en</strong>o satisface <strong>la</strong> propiedad de transfer<strong>en</strong>cia. Es fácil comprobar que dado unjuego espacial ¡ N,v,{Q i } i∈N¢este índice de poder asigna a cada jugadorl ∈ N, <strong>la</strong> cantidad³fl3 N,v, © Q iª ´=i∈N1|M (v)|XS∈M l (v)d −1S (l) ,es decir, <strong>en</strong> este caso los jugadores que forman parte de una coalición minimal1ganadora S, <strong>en</strong> lugar de repartir <strong>en</strong> partes iguales, lo hac<strong>en</strong> <strong>en</strong> base a <strong>la</strong>s|M(v)|distancias <strong>en</strong>tre sus puntos ideales, de acuerdo <strong>con</strong> <strong>la</strong> propiedad de simetríaespacial.Para finalizar, <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te ejemplo calcu<strong>la</strong>mos los tres índices de poderespacial que satisfac<strong>en</strong> <strong>la</strong> propiedad de simetría espacial definidos <strong>en</strong> estasección.
188 Juegos espacialesEjemplo 4.5.3 En Schofield et al. (1998) se hace una revisión de los resultadosde algunas elecciones que tuvieron lugar <strong>en</strong> Alemania y Ho<strong>la</strong>nda <strong>en</strong> <strong>la</strong>súltimas tres décadas, pres<strong>en</strong>tando <strong>en</strong> algunos casos, <strong>la</strong>s posiciones ideológicasde los partidos que se pres<strong>en</strong>taron a estas elecciones. Vamos a emplear losresultados electorales de <strong>la</strong>s elecciones alemanas de 1980, <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que obtuvieronrepres<strong>en</strong>tación los partidos CDU (Jugador 1: Demócratas cristianos)<strong>con</strong> 226 escaños, FDP (Jugador 2: Liberales) <strong>con</strong> 53 escaños y SPD (Jugador3: Social Demócratas) <strong>con</strong> 218 escaños. Las posiciones ideológicas,que determinan el punto ideal de cada partido <strong>en</strong> un espacio bidim<strong>en</strong>sional,fueron obt<strong>en</strong>idas por Martin and Quinn (1997). El eje X se corresponde <strong>con</strong><strong>la</strong> dim<strong>en</strong>sión e<strong>con</strong>ómica y el eje Y <strong>con</strong> <strong>la</strong> dim<strong>en</strong>sión social.Las coord<strong>en</strong>adas de los partidos <strong>en</strong> estas dim<strong>en</strong>siones son <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes: <strong>la</strong>sde CDU son: (0.55, 0.40) , <strong>la</strong>s de FPD son (−0.35, −0.30) y<strong>la</strong>sdeSPD(−1.23, −0.90) . Sus puntos ideales están repres<strong>en</strong>tados <strong>en</strong> el sigui<strong>en</strong>te gráfico:21CDU0FDP-1SPD-2-2 -1 012Aunque <strong>la</strong> difer<strong>en</strong>cia de escaños es grande, los tres partidos son simétricostanto si <strong>con</strong>sideramos el juego de unanimidad (son necesarios todos los votospara ganar una votación) o el juego de mayoría (para ganar una votación esnecesario obt<strong>en</strong>er el voto favorable de por lo m<strong>en</strong>os <strong>la</strong> mitad más uno de losmiembros <strong>del</strong> Par<strong>la</strong>m<strong>en</strong>to).Si calcu<strong>la</strong>mos el poder de los jugadores utilizando el índice caracterizado <strong>en</strong>el teorema 4.5.1, obt<strong>en</strong>emosf³N,v, © 1 Q iª ´=(0.281, 0.410, 0.309) , (4.10)i∈N
La propiedad de simetría espacial 189<strong>en</strong> el caso de unanimidad yf³N,v, © 1 Q iª ´=(0.438, 0.180, 0.382) , (4.11)i∈N<strong>en</strong> el caso de mayoría simple.Empleando el índice caracterizado <strong>en</strong> el teorema 4.5.2, obt<strong>en</strong>emosf³N,v, © 2 Q iª ´=(0.2108, 0.3075, 0.2318) , (4.12)i∈N<strong>en</strong> el caso de unanimidad yf³N,v, © 2 Q iª ´=(0.5784, 0.3850, 0.5364) , (4.13)i∈N<strong>en</strong> el caso de mayoría simple.Finalm<strong>en</strong>te, <strong>con</strong> el índice caracterizado <strong>en</strong> el teorema 4.5.3, obt<strong>en</strong>emosf³N,v, © 3 Q iª ´=(0.281, 0.410, 0.309) , (4.14)i∈N<strong>en</strong> el caso de unanimidad yf³N,v, © 3 Q iª ´=(0.333, 0.333, 0.333) , (4.15)i∈N<strong>en</strong> el caso de mayoría simple.En primer lugar vamos a analizar <strong>la</strong>s difer<strong>en</strong>cias <strong>en</strong>tre (4.10) y (4.11). Eljugador más poderoso <strong>en</strong> el caso de unanimidad es el jugador <strong>con</strong> punto idealmás c<strong>en</strong>tral. La idea intuitiva de este hecho reside <strong>en</strong> que por ser necesarioque todos los jugadores se pongan de acuerdo, un punto ideal situado <strong>en</strong> unasituación intermedia otorga mayor poder al jugador correspondi<strong>en</strong>te. Sinembargo, <strong>en</strong> el caso de mayoría, este jugador pasa a ser el m<strong>en</strong>os poderoso,a pesar de que los tres jugadores (al igual que <strong>en</strong> el caso de unanimidad)son jugadores simétricos. Una interpretación coher<strong>en</strong>te <strong>con</strong> estos resultadosaparece <strong>en</strong> Binmore (1994). Su idea tras<strong>la</strong>dada a este ejemplo es <strong>la</strong>sigui<strong>en</strong>te: t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta que los tres jugadores son simétricos, el CDUatraería tanto a los votantes situados a <strong>la</strong> derecha de su punto ideal comoa <strong>la</strong> mitad de los situados <strong>en</strong>tre su punto ideal y el <strong>del</strong> FDP (algo simi<strong>la</strong>rpasaría <strong>con</strong> el SPD pero hacia <strong>la</strong> izquierda). Según esto, el FDP sería el
190 Juegos espacialesjugador <strong>con</strong> m<strong>en</strong>os poder. Evid<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te, ésta es so<strong>la</strong> una de <strong>la</strong>s posiblesinterpretaciones y podrían buscarse otras <strong>en</strong> difer<strong>en</strong>te s<strong>en</strong>tido. Entre <strong>la</strong> literaturasobre interpretaciones de índices de poder destacamos los libros deEnelow y Hinich (1984) y Taylor (1995) y <strong>la</strong> colección de trabajos editadospor Holler (1981).Un com<strong>en</strong>tario simi<strong>la</strong>r valdría para analizar <strong>la</strong>s difer<strong>en</strong>cias <strong>en</strong>tre (4.12) y(4.13), sólo que <strong>en</strong> este caso <strong>la</strong> solución no es efici<strong>en</strong>te y el poder total esmayor <strong>en</strong> el caso de mayoría. En cuanto al índice de poder espacial f 3 ,este coincide <strong>con</strong> f 1 <strong>en</strong> el caso de unanimidad ((4.10) y (4.14)), ya que <strong>la</strong>spropiedades que determinan estas soluciones <strong>en</strong> estos <strong>juegos</strong> son <strong>la</strong>s mismas.En el juego de mayoría (4.15), los tres jugadores ti<strong>en</strong><strong>en</strong> el mismo poder. Estoes debido a que <strong>en</strong> esta solución sólo intervi<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>la</strong>s coaliciones minimalesganadoras (<strong>en</strong> este caso, <strong>con</strong>stituidas por dos jugadores) y que <strong>la</strong> propiedadde simetría espacial coincide <strong>con</strong> <strong>la</strong> propiedad de simetría cuando intervi<strong>en</strong><strong>en</strong>coaliciones de 2 jugadores.
ConclusionesEn este trabajo se estudian diversas soluciones <strong>en</strong> el <strong>con</strong>texto de los <strong>juegos</strong><strong>cooperativos</strong> <strong>con</strong> utilidad transferible. Algunas de estas soluciones ya habíansido estudiadas <strong>en</strong> otros trabajos y lo que se propone son nuevas propiedadeso nuevas herrami<strong>en</strong>tas de cálculo <strong>en</strong> diversas situaciones. En otras ocasiones,se defin<strong>en</strong> nuevas soluciones que se caracterizan empleando propiedades yautilizadas <strong>en</strong> otros trabajos y algunas que se pres<strong>en</strong>tan <strong>en</strong> esta memoria.La mayoría de <strong>la</strong>s soluciones estudiadas se aplican <strong>en</strong> situaciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que <strong>la</strong>cooperación <strong>en</strong>tre los jugadores se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra <strong>con</strong>dicionada. Por lo tanto, setrabaja <strong>en</strong> <strong>con</strong>textos <strong>en</strong> los que existe cierta información adicional a <strong>la</strong> proporcionadapor <strong>la</strong> función característica <strong>del</strong> juego. Estos <strong>con</strong>dicionami<strong>en</strong>tosvi<strong>en</strong><strong>en</strong> dados por <strong>la</strong> exist<strong>en</strong>cia de una estructura de cooperación aprioridadapor una partición <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores, por restricciones <strong>en</strong> <strong>la</strong> comunicación<strong>en</strong>tre los jugadores determinadas por un grafo o por <strong>la</strong> informaciónadicional que proporciona <strong>la</strong> asociación a cada jugador de un punto <strong>en</strong> unespacio euclídeo. Estos tres <strong>con</strong>dicionami<strong>en</strong>tos se abordan <strong>en</strong> los capítulos 2,3 y 4 de esta memoria.En el capítulo 1 se hace una revisión de los <strong>con</strong>ceptos básicos re<strong>la</strong>tivos a <strong>la</strong><strong>teoría</strong> de los <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> utilidad transferible y, <strong>en</strong> particu<strong>la</strong>r, de los <strong>juegos</strong>simples, <strong>con</strong>siderando los <strong>valor</strong>es de Shapley y Banzhaf y el índice de poderde Deegan-Packel. La aportación original a este capítulo reside <strong>en</strong> una nuevacaracterización <strong>del</strong> índice de poder de Deegan-Packel, así como su cálculoempleando <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal y <strong>la</strong> función g<strong>en</strong>eratriz.El capítulo 2 está dedicado al estudio de <strong>juegos</strong> <strong>con</strong> uniones apriori. Paraempezar se hace una revisión de los principales resultados refer<strong>en</strong>tes al <strong>valor</strong>de Ow<strong>en</strong>. A <strong>con</strong>tinuación, se pres<strong>en</strong>ta una nueva caracterización <strong>del</strong> <strong>valor</strong>de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> y se defin<strong>en</strong> y caracterizan un nuevo <strong>valor</strong> coalicional de191
192 ConclusionesBanzhaf y dos índices de poder coalicionales de Deegan-Packel. Además, sedescrib<strong>en</strong> los procedimi<strong>en</strong>tos de cálculo a partir de <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión multilineal<strong>del</strong> juego para el <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico y para los dos índicesde poder coalicionales de Deegan-Packel. Como aportación final <strong>en</strong> este capítulo,para todos los <strong>valor</strong>es <strong>con</strong>siderados, se pres<strong>en</strong>ta un procedimi<strong>en</strong>to decálculo para <strong>juegos</strong> de mayoría ponderada basado <strong>en</strong> <strong>la</strong> utilización de funcionesg<strong>en</strong>eratrices. A lo <strong>la</strong>rgo <strong>del</strong> capítulo se proporcionan numerosos ejemplospara ilustrar los <strong>valor</strong>es estudiados, así como para hacer comparaciones<strong>en</strong>tre ellos.En el capítulo 3 se estudian situaciones <strong>en</strong> <strong>la</strong>s que <strong>la</strong> cooperación <strong>en</strong>tre losjugadores está limitada por <strong>la</strong> pres<strong>en</strong>cia de un grafo de comunicación. El<strong>valor</strong> de Myerson es <strong>la</strong> ext<strong>en</strong>sión <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Shapley <strong>en</strong> este <strong>con</strong>texto. Eneste capítulo se caracterizan ext<strong>en</strong>siones <strong>del</strong> <strong>valor</strong> de Banzhaf y <strong>del</strong> índice depoder de Deegan-Packel para situaciones <strong>con</strong> comunicación restringida.Finalm<strong>en</strong>te, el capítulo 4 está dedicado al estudio de los <strong>juegos</strong> espaciales,que son <strong>juegos</strong> simples <strong>en</strong> los que cada jugador ti<strong>en</strong>e asociada una posición<strong>en</strong> un espacio ideológico. En primer lugar, se hace una revisión de los resultadosobt<strong>en</strong>idos por Shapley y Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong> este <strong>con</strong>texto. A <strong>con</strong>tinuación sepropone una nueva modificación para el índice de poder de Shapley-Shubik,así como <strong>la</strong>s ext<strong>en</strong>siones de varios índices al caso <strong>con</strong> uniones apriori.Másade<strong>la</strong>nte, se introduce una familia de <strong>valor</strong>es, para <strong>la</strong> que se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> diversosresultados, que exti<strong>en</strong>de a <strong>la</strong> familia de <strong>valor</strong>es probabilísticos y a los quese d<strong>en</strong>omina <strong>valor</strong>es pseudo-probabilísticos. Para finalizar, se propone unanueva propiedad, d<strong>en</strong>ominada propiedad de simetría espacial. A partir deel<strong>la</strong>, se defin<strong>en</strong> y caracterizan nuevos índices de poder espaciales, alguno <strong>del</strong>os cuales pert<strong>en</strong>ece a <strong>la</strong> familia de <strong>valor</strong>es pseudo-probabilístico.Evid<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te, el estudio de los puntos anteriores puede ampliarse o inclusodeterminar nuevas líneas de investigación. Así, el trabajo futuro podría <strong>en</strong>caminarsehacia:• La modificación de los <strong>valor</strong>es anteriores para aquellos <strong>juegos</strong> <strong>en</strong> losque existan jugadores incompatibles.• El análisis de los <strong>juegos</strong> espaciales <strong>con</strong> comunicación restringida.
Conclusiones 193• La obt<strong>en</strong>ción de los <strong>valor</strong>es que exti<strong>en</strong>dan el <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong> oel <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétrico para situaciones <strong>con</strong> comunicaciónrestringida.• El estudio de los <strong>valor</strong>es pseudo-probabilísticos <strong>en</strong> situaciones <strong>con</strong> unionesapriori.Para finalizar, <strong>en</strong> <strong>la</strong>s sigui<strong>en</strong>tes tab<strong>la</strong>s se resum<strong>en</strong> <strong>la</strong>s caracterizaciones obt<strong>en</strong>idaspara los distintos <strong>valor</strong>es estudiados <strong>en</strong> esta memoria, comparándo<strong>la</strong>s<strong>con</strong> otras exist<strong>en</strong>tes <strong>en</strong> <strong>la</strong> literatura (si procede).Valor deShapleyEfici<strong>en</strong>ciaSimetríaMonotonía fuerteÍndice de poder deShapley − ShubikEfici<strong>en</strong>ciaJugador nuloSimetríaTransfer<strong>en</strong>ciaÍndice de poder deDeegan − PackelEfici<strong>en</strong>ciaSimetríaJugador nuloFusiónValor deBanzhafPoder totalSimetríaMonotonía fuerteÍndice de poder deBanzhaf − ColemanPoder totalJugador nuloSimetríaTransfer<strong>en</strong>ciaÍndice de poder deDeegan − PackelEfici<strong>en</strong>ciaSimetríaJugador nuloMonotonía minimalValor deBanzhaf− Ow<strong>en</strong>Valor coalicional de BanzhafIndifer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesJuegococi<strong>en</strong>teparacoalicionesdeunjugador
194 ConclusionesValor deOw<strong>en</strong>Efici<strong>en</strong>ciaJugador nuloSimetría <strong>en</strong>cada uniónSimetría <strong>en</strong>el coci<strong>en</strong>teAditividadV alor de Banzhafcoalicional simétricoPoder totalcoalicionalJugador nuloSimetría <strong>en</strong>cada uniónSimetría <strong>en</strong>el coci<strong>en</strong>teAditividadValor deOw<strong>en</strong>Valor coalicional de Shapley<strong>Contribuciones</strong> equilibradas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesJuego coci<strong>en</strong>teValor deBanzhafcoalicional simétricoValor coalicional de Banzhaf<strong>Contribuciones</strong> equilibradas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesJuego coci<strong>en</strong>teValor deOw<strong>en</strong>Efici<strong>en</strong>ciaJugador nulo<strong>Contribuciones</strong> equilibradas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesSimetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>teAditividadValor deBanzhafcoalicional simétricoPoder total coalicionalJugador nulo<strong>Contribuciones</strong> equilibradas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesSimetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>teAditividadValor deOw<strong>en</strong>Efici<strong>en</strong>ciaSimetría <strong>en</strong> cada uniónSimetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>teMonotonía fuerteV alor de Banzhafcoalicional simétricoPoder total coalicionalSimetría <strong>en</strong> cada uniónSimetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>teMonotonía fuerte
Conclusiones 195Índice de poder deDeegan − P ackel coalicionalEfici<strong>en</strong>ciaJugador nuloSimetría <strong>en</strong> cada uniónSimetría fuerteFusiónÍndice de poder de DeeganP ackel coalicional simétricoEfici<strong>en</strong>ciaJugador nuloSimetría <strong>en</strong> cada uniónSimetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>teIndep<strong>en</strong>d<strong>en</strong>cia de coaliciones nominimales <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>teFusión <strong>en</strong> uniones aprioriFusión <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>teÍndice de poder deDeegan − P ackel coalicionalValor coalicional deDeegan-Packel<strong>Contribuciones</strong> equilibradas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesFamilia de los <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociadaÍndice de poder de DeeganP ackel coalicional simétricoValor coalicional deDeegan-Packel<strong>Contribuciones</strong> ponderadas<strong>en</strong> <strong>la</strong>s unionesJuego coci<strong>en</strong>teValor deMyersonV alor de Banzhaf<strong>con</strong> comunicaciónrestringidaÍndice de poder deDeegan − Packel<strong>con</strong> comunicaciónrestringidaEfici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>compon<strong>en</strong>tesEfici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> Poder total <strong>con</strong>compon<strong>en</strong>tes comunicación restringidaJusticia Justicia Justicia minimal
196 ConclusionesValor deMyersonEfici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>compon<strong>en</strong>tes<strong>Contribuciones</strong>equilibradas<strong>en</strong> el grafoValor deBanzhaf<strong>con</strong> comunicaciónrestringidaPoder total <strong>con</strong>comunicación restringida<strong>Contribuciones</strong>equilibradas<strong>en</strong> el grafoÍndice de poder deDeegan − Packel<strong>con</strong> comunicaciónrestringidaEfici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong>compon<strong>en</strong>tes<strong>Contribuciones</strong>equilibradasminimales <strong>en</strong> el grafoÍndice de poder deShapley − Shubiksimétrico espacialÍndice de poder deBanzhaf − Colemansimétrico espacialÍndice de poder deDeegan − Packelsimétrico espacialEfici<strong>en</strong>cia Poder total Efici<strong>en</strong>ciaSimetría espacial Simetría espacial Simetría espacialJugador nulo Jugador nulo Jugador nuloTransfer<strong>en</strong>cia Transfer<strong>en</strong>cia Fusión
Símbolos y notación básicaDado un <strong>con</strong>junto N :|N| d<strong>en</strong>ota el cardinal <strong>del</strong> <strong>con</strong>junto N.Π (N) d<strong>en</strong>ota el <strong>con</strong>junto de <strong>la</strong>s permutaciones de N.2 N d<strong>en</strong>ota el <strong>con</strong>junto de partes de N.Dado un número natural n, n! d<strong>en</strong>ota el factorial de n.⊆: inclusión⊂: inclusión estrictaR: <strong>con</strong>junto de números realesR + : <strong>con</strong>junto de números reales positivosR n : espacio euclídeo n-dim<strong>en</strong>sionalDado un número real x, <strong>en</strong>t (x) d<strong>en</strong>ota <strong>la</strong> parte <strong>en</strong>tera de x(N,v): un juego cooperativo <strong>con</strong> utilidad transferible (un juego TU)TU (N): <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores NSI (N): <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> <strong>con</strong>junto de jugadores Nu S : función característica <strong>del</strong> juego de unanimidad de <strong>la</strong> coalición S(N,v,P): un juego TU <strong>con</strong> sistema de unionesU (N): <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> sistema de unionesSU¡(N): ¢ <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> simples <strong>con</strong> sistema de unionesM, vP: juego coci<strong>en</strong>te asociado a un juego TU <strong>con</strong> sistema de uniones(N,v,g): un juego TU <strong>con</strong> comunicaciónC (N): <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> TU <strong>con</strong> comunicaciónCS (N): <strong>con</strong>junto de <strong>juegos</strong> simples propios <strong>con</strong> comunicación(N,v/g): juego de comunicación asociado a (N,v,g)[q; w 1 ,w 2 ,... ,w n ]: juego de mayoría ponderadaI (N,v): <strong>con</strong>junto de imputaciones <strong>del</strong> juego (N,v)Nu(N,v): núcleo <strong>del</strong> juego (N,v)f: cualquier <strong>con</strong>cepto de soluciónh: ext<strong>en</strong>sión multilineal197
198 Símbolos y notación básicaE: esperanza matemáticaW : <strong>con</strong>junto de coaliciones ganadoras <strong>del</strong> juego simple (N,v)W m o M (v): <strong>con</strong>junto de coaliciones minimales ganadoras de (N,v)Conceptos de solución:ϕ: <strong>valor</strong> de Shapleyβ: <strong>valor</strong> de Banzhafρ: índice de poder de Deegan-PackelΦ: <strong>valor</strong> de Ow<strong>en</strong>Ψ: <strong>valor</strong> de Banzhaf-Ow<strong>en</strong>Π: <strong>valor</strong> de Banzhaf coalicional simétricoζ: índice de poder de Deegan-Packel coalicionalΛ: índice de poder de Deegan-Packel coalicional simétricoPropiedades:EFI : Efici<strong>en</strong>cia (páginas 10 y 45)PT : Poder total (página 11)SIM : Simetría (página 11)JN : Jugador nulo (páginas 11 y 45)SOP : Soporte (páginas 11 y 45)ADI : Aditividad (páginas 11 y 45)MF : Monotonía fuerte (página 11)TR : Transfer<strong>en</strong>cia (página 20)FUS : Fusión(página31y70)MM : Monotonía minimal (página 32)SU : Simetría <strong>en</strong> cada unión (página 45)SC : Simetría <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (página 45)JC : Juego coci<strong>en</strong>te (página 46)MF : Monotonía fuerte (página 46)CEU : <strong>Contribuciones</strong> equilibradas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones (página 47)IU : Indifer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones (página 50)JCU : Juego coci<strong>en</strong>te para coaliciones formadas por un jugador (página 51)PTC : Poder total coalicional (página 54)SF : Simetría fuerte (página 71)JCA : Familia de los <strong>juegos</strong> coci<strong>en</strong>te asociada (página 76)
Símbolos y notación básica 199FUSC : Fusión <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (página 82)FUSU : Fusión <strong>en</strong> uniones apriori(página 82)IMC : Indep<strong>en</strong>d<strong>en</strong>cia de coaliciones no minimales <strong>en</strong> el coci<strong>en</strong>te (página 83)CPU : <strong>Contribuciones</strong> ponderadas <strong>en</strong> <strong>la</strong>s uniones (página 88)EFIC : Efici<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> compon<strong>en</strong>tes (páginas 125 y 138)EST : Estabilidad (página 126)JUS : Justicia (página 126)PTCR : Poder total <strong>con</strong> comunicación restringida (página 128)CEG : <strong>Contribuciones</strong> equilibradas <strong>en</strong> el grafo (página 133)JUSM : Justicia minimal (página 138)JUN : Juegonulo(página138)ESTM : Estabilidad minimal (página 142)CEMG : <strong>Contribuciones</strong> equilibradas minimales <strong>en</strong> el grafo (página 142)LIN : Linealidad (página 168)POS : Positividad (página 168)TIT : Títeres (página 168)Simetría espacial (página 179)
200 Símbolos y notación básica
BibliografíaAlbizuri M. J. (2001): An axiomatization of the modified Banzhaf-Colemanindex, aparecerá próximam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> International Journal of Game Theory.Alonso J. M. (1999): A new value for games with a coalition structure. GamePractice II. Val<strong>en</strong>cia.Alonso J. M., Colm<strong>en</strong>ero J. M. y Fiestras G. (2001): Cálculo <strong>del</strong> <strong>valor</strong> deBanzhaf-Ow<strong>en</strong> <strong>en</strong> <strong>juegos</strong> de mayoría ponderada mediante funciones g<strong>en</strong>eratrices.V Congreso Galego de Estatística e Investigación de Operacións.Ferrol.Alonso J. M. y Fiestras G. (2002): Cálculo de <strong>valor</strong>es coalicionales <strong>en</strong> <strong>juegos</strong>de mayoría ponderada mediante funciones g<strong>en</strong>eratrices. XXV CongresoNacional de Estadística e Investigación Operativa. Úbeda.Alonso-Meijide J. M. and Fiestras-Janeiro G. (2001): Modification of theBanzhaf value for games with a coalition structure, aparecerá próximam<strong>en</strong>te<strong>en</strong> The Annals of Operations Research.Amer R., Carreras F. and Giménez J. M. (2001): The modified Banzhaf valuefor games with coalition structure: an axiomatic characterization, aparecerápróximam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> Mathematical Social Sci<strong>en</strong>ces.Aumann R. J. and Dreze J. H. (1974): Cooperative games with coalitionstructure, International Journal of Game Theory, 3,217-237.Banzhaf III J. F. (1965): Weighted voting does not work: A mathematica<strong>la</strong>nalysis, Rutgers Law Review, 19, 317-343.Bilbao J. M. (1998): Axioms for the Shapley value on <strong>con</strong>vex geometries,European Journal of Operational Research, 110, 368-376.201
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