Jóvenes a la Investigación 2009 - CNyN - UNAM

Jóvenes a la Investigación 2009 15 de junio – 3 de julio del 2009Estudio del entrelazamiento térmico de 2 espines acoplados por intercambio con eltérmino anisotrópico Dzyaloshinski-Moriya y campo magnético inhomogéneo externoGerardo Enrique Villarreal García 1 , Fernando Rojas Iñiguez 21Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey. Monterrey, N.L.2Centro de Nanociencias y Nanotecnología,UNAM. Ensenada, B.C.La computación cuántica es el siguiente paso en el desarrollo tecnológico de la computación ahora denominada computación clásica. Una de sus características principales es el fenómeno deentrelazamiento. El presente trabajo tiene como objetivo estudiar el comportamiento del grado de entrelazamiento de un sistema cuántico compuesto por 2 espines entrelazados tomando encuenta el término anisotrópico Dzyaloshinski-Moriya (DM) en presencia de un campo magnético inhomogéneo externo, en función de los siguientes parámetros: campo magnético (B),constante de inhomogeneidad (b), los componentes del vector DM en las coordenadas [x,y,z] (β x ,β y ,β z ), así como la temperatura a la que se encuentra el sistema (T). A partir de los resultadosse concluyó que a temperaturas bajas existe una relación inversamente proporcional entre la concurrencia y “b”, además que conforme aumentan β x , β y o β z en cualquiera de sus componentesaumenta el entrelazamiento del sistema. En el caso de sistemas mixtos, la temperatura crítica es independiente de la magnitud del campo magnético aplicado, pero muestra uncomportamiento aproximadamente cuadrático ante variaciones de cualquier componente del término DM y de la constante de inhomogeneidad b.I. MotivaciónLa computación cuántica promete ser una verdadera revolución en el procesamiento yenvío de información gracias a sus peculiares propiedades como lo es entrelazamiento[1]. ¿De qué manera afecta un campo magnético, o la temperatura de los alrededores aun sistema de partículas consideradas entrelazadas? ¿Podemos controlar dichapropiedad? ¿Se puede presentar a temperatura ambiente? Las respuestas a estaspreguntas son de vital importancia para el futuro desarrollo de técnicas como lacriptografía cuántica, la teleportación de estados cuánticos o la generación de códigosuperdenso. Actualmente se ha estudiado el efecto del término DM a lo largo de eje z [2].II. Marco TeóricoEl sistema que consideramos esta en un espacio de 2 qubits, donde cada spin del electrónserá uno de los qubits. Estos estados serán los siguientes:↑ = 0 ↓ = 1 1 ()Para 2 qubits la base computacional entonces es:↑ ⊗↑ = 00 ↓ ⊗↓ = 11 ↓ ⊗↑ = 10 ↓ ⊗↑ = 01 () 2Los operadores de espín para los 3 componentes espaciales se conocen como Matrices dePauli:σ x = h ⎡ 0 1 ⎤⎢ ⎥ σ y = h ⎡ 0 −i ⎤⎢ ⎥ σ z = h ⎡ 1 0 ⎤⎢ ⎥ () 32 ⎣ 1 0 ⎦ 2 ⎣ i 0 ⎦ 2 ⎣ 0 −1 ⎦Dado que trabajaremos en el espacio de 2 qubits es necesario generar los operadores deespín para este espacio para cada una de las partículas:⎡ 0 0 1 0 ⎤⎡ 0 0 −1 0 ⎤⎡ 1 0 0 0 ⎤σ x1 = σ x ⊗ I = h ⎢⎥⎢0 0 0 1⎥2 ⎢ 1 0 0 0 ⎥⎢⎣ 0 1 0 0 ⎥⎦σ y1 = σ y ⊗ I = ih 2⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 −11 0 0 00 1 0 0⎥⎥⎥⎥⎦σ z1 = σ z ⊗ I = h ⎢⎥⎢0 1 0 0⎥2 ⎢ 0 0 −1 0 ⎥⎢⎣ 0 0 0 −1 ⎥⎦S r 1V. ResultadosSe generaron rutinas para calcular concurrencia, eigenfunciones y eigenvalores enMatlab que sirvieron para comprobar los resultados teóricos.Comenzaremos estudiando el estado base. Como primer caso para probar losresultados teóricos tomaremos las condiciones de β x =β y =0. Los primeros 2eigenestados con sus respectivas energías se pueden escribir como:ψ 1 = c 2 1 01 + c 3 1 10E 1 = Jh24⎛−1− 2 1+ β 2 + ⎞⎜4b2z⎝J 2 h 2 ⎟ C( ψ 1 )≠ 0⎠( 13)ψ 2 = 11E 2 = Jh24 − Bh C ( ψ 2 )= 0Donde las constantes c 1 2 y c1 3 son funciones exclusivamente de b y β z , y dependiendode sus valores ψ 1 o ψ 2 pueden ser el estado base. La condición que determina elestado esta dad por la Eq. 14.B = Jh22⎛1 + 1+ β 2 + ⎞⎜4b2z⎝J 2 h 2 ⎟ ( 14)⎠Figura 2. Concurrencia vs B vs β z para β x =β y =b=0. Sepuede apreciar un comportamiento hiperbólico, lo cualcumple con la expresión (14)La Figura 2 muestra la relación de la concurrencia en función de los parámetros By β z, y corrobora su dependencia según la función mostrada.Para conocer más sobre los efectos de los parámetros en la concurrencia, losresultados se presentan en la Figura 3.⎡ 0 1 0 0 ⎤σ x 2 = I ⊗ σ x = h ⎢⎥⎢1 0 0 0⎥2 ⎢ 0 0 0 1 ⎥⎢⎣ 0 0 1 0 ⎥⎦⎡ 0 −1 0 0 ⎤σ y2 = I ⊗ σ y = ih ⎢⎥⎢1 0 0 0⎥2 ⎢ 0 0 0 −1 ⎥⎢⎣ 0 0 1 0 ⎥⎦⎡ 1 0 0 0 ⎤σ z2 = I ⊗ σ z = h ⎢⎥⎢0 −1 0 0⎥ () 42 ⎢ 0 0 1 0 ⎥⎢⎣ 0 0 0 −1 ⎥⎦III. Modelo MatemáticoEl Hamiltoniano para este sistema queda determinado por los siguientes términos:H = J ( S r 1 ⋅ S r 2)+ ur β ⋅( S r 1 × S r 2)( )S 1z+ (B − b)S 2z () 5( )+ B + bDonde “J” es la constante de intercambio, el vector “ß” (β x ,β y ,β z ) [3] es el términoanisotrópico DM, “B” es el campo magnético orientado en el eje z y “b” es una constanteque proporciona la inhomogeneidad al campo, S r 1 = ( σ 1x,σ 1y,σ 1z ) y Sr 2 = ( σ 2 x,σ 2 y,σ 2 z )Considerando la naturaleza matricial de los operadores en la Eq. 4, el Hamiltoniano toma laforma:⎡ Jh 24 + Bh Jh 2⎤⎢( iβ x + β y ) Jh2 ( −iβ x − β y ) 0 ⎥⎢44⎥⎢ Jh 2Jh( −iβ x + β y )244 + bh Jh 2(4 1 + iβ Jhz)2⎥⎢( iβ x + β y ) ⎥4H = ⎢⎥ () 6S r 1 S r ⎢ Jh 2Jh( iβ x − β y )2(44 1− iβ Jhz)2 Jh2⎥2⎢− bh2 ( −iβ x − β y ) ⎥⎢4 4⎥B bB⎢Jh 20 ( −iβ x + β y ) Jh2Jh( iβ x − β y )2⎢444 − Bh⎥⎥⎣⎢⎦⎥ψ = ψ B,b,β x,β y,β Figura 1. Diagrama de un par de( z )espines acoplados en un reservorio aDonde se debe cumplir que H ψ = E ψ y E = E( B,b,β x,β y,β temperatura Tz )IV. Medidas de EntrelazamientoPara medir el grado de entrelazamiento utilizaremos una cantidad denominada concurrencia ,la cuál va de 0 a 1 y puede calcularse de la siguiente manera [4]:A) Sistemas puros: C( ψ )= ψ %ψ donde %ψ = σ yψ * () 7dicha operación se le denomina inversión temporal.Si consideramos el caso más general en que una partícula tenga probabilidad de estar encualquier estado del espacio de 2 qubits, es decir que:ψ i iiii= c 100 + c 201 + c 310 + c 411 () 8Entonces la concurrencia se puede escribir como:C( ψ i)= 2 c i c i 1 4− c i i2c 3 () 9B) Para sistemas mixtos dónde existe un flujo de calor desde un reservorio a unatemperatura T, Hill y Wootter generaliza la forma de calcular la concurrencia mediante lamatriz de densidad [4].C( ψ )= max( 0,λ 4− λ 3− λ 2− λ 1 ) ( 10)donde las λ son los eigenvalores en orden decreciente del resultado de:ρσ ( 1y⊗ σ 2 y )ρ * ( σ 1y⊗ σ 2y ) ( 11)Siendo ρ la matriz de densidad definida en la base computacional de la Eq. 2:ρ = e −βE i∑ ∑c *ijc i kj k β = 1 ( 12)i j,kk BTdonde k B es la constante de Boltzman y T es la temperatura del sistema.Centro de Nanociencias y Nanotecnología de la UNAMba) b) c) d)Figura 3. a) Concurrencia vs β x para distintos valores de “b”. b) Concurrencia en función de β x y b. c) Concurrencia vs β z paradistintos valores de B. d) Concurrencia en función de β z y B.Nótese cómo en la Figura 3 a) la concurrencia es menor para valores mayores de b.En la Figura 3 b) podemos ver que la forma de obtener mayores concurrencias esdisminuir b y aumentar β x . En las Figuras 3 c) y d) se puede notar cómo a mayor B,menor es la concurrencia, mientras que lo contario ocurre para β z .Consideramos ahora el sistema mixto a una temperatura T, se presentan acontinuación los resultados de concurrencia en función de temperatura junto a B, β x yb respectivamente en la Figura 4.a) b) c)Figura 4. a) Grafica Concurrencia vs T vs B. b) Gráfica Concurrencia vs T vs β x . c) Gráfica Concurrencia vs T vs bDe los resultados anteriores se puede rescatar un concepto interesante: existeuna temperatura crítica (Tc) a la cual la propiedad de entrelazamientodesaparece por completo, y dicho valor depende de parámetros como “b” o eltérmino DM, pero no de la intensidad del campo magnético B.Se analizó la dependencia de Tc para los diferentes parámetros:a) b) c) d)Figura 5. Gráficas de Temperatura crítica vs B (a), β x (b), β z (c) y b(d) respectivamenteSe puede ver una relación cuadrática para todos los parámetros excepto para elcampo magnético, es decir Tc : b 2 , B 2 ,β 2 2x,β zConclusiones:Estudiamos el entrelazamiento en un sistema de espines acoplados con término DM, deintercambio y campo magnético externo inhomogéneo y observamos cómo el grado deentrelazamiento se ve afectado por la temperatura y cómo los parámetros pueden hacerque la temperatura crítica aumente, en particular el término DM.Bibliografía[1]Aczel,A. 2002. Entrelazamiento. El mayor misterio de la física. Crítica, Barcelona.[2]Asoudeh, M. y Karimipour, V. Thermal Entanglement of spins in an homogeneous magnetic field. Phys. Rev. Lett. 78:022308 (2005)[3] Guerrero, R. y Rojas, F. Effect of the Dzyaloshunski-Moriya in the quantum (swap) α gate produced with exchange coupling.Phys. Rev. Lett. 77: 012331 (2008). Tesis Doctorado CICESE 2008.[4] Hiil, S. y W.K. Wootters. 1997. Entanglement of a pair of quantum bits. Phys. Rev. Lett.78: 5022-5025.Ensenada, BC, México