Jóvenes a la Investigación 2009 - CNyN - UNAM

Jóvenes a la Investigación 2009 15 de junio – 3 de julio del 2009Estructura Electrónicade un Sistema UnidimensionalOliver M. López Valencia 1 , Catalina López Bastidas 21Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey2Centro de Nanociencas y Nanotecnología UNAM, Ensenada B.C.Se analizan el espectro de energías y sus respectivas bandas para un electrón en un arreglo unidimensional (un alambre sólido) en un potencial periódico. Se presenta un modelopara la función de onda con ayuda del teorema de Bloch como una función periódica y una onda plana. Dicha función tiene una periodicidad asociada a la red recíproca.Se considera un electrón en el potencial periódico de los iones que conforman elsólido. El arreglo periódico de los átomos forma una red de Bravais.Una red de Bravais es un arreglo periódico en el que una unidad es repetidapara formar un sistema como un cristal. La red indica sólo la geometría de laestructura, independientemente de lo que sean realmente las unidades. Es unarreglo infinito de puntos discretos con una posición y orientación que se ve igualdesde cualquier punto del arreglo.Los vectores que describen los puntos de la red directa son R=na donde n escualquier entero. A la red le corresponde un conjunto de vectores recíprocosdados por G=2pi n/a.Se utiliza el potencial periódico de la figura [1] cuya representación en espaciode Fourier esta dado por la ec. (2). Por la simetría de potencial la serieúnicamente contiene términos con vectores de onda recíprocos G.Ejemplos de una red deBravais.Insertando la ecuación [4] en la ecuación de Schrödinger, se obtiene unconjunto de ecuaciones lineales [5] que puede representarse por una matriz deorden N, donde N es el número de elementos en la base utilizada para laexpansión de la función de onda.La solución al sistema existe si y sólo si el determinante es nulo. Esta condiciónpermite obtener la estructura electrónica, obteniendo entonces la relación entreE y k.Potencial.Fig. 1 Se muestra el potencial representado en la ecuación (1)Un electrón en el alambre sujeto al potencial [1] obedece la ecuación deShcrödinger [3]. Debido a que el potencial es periódico, el teorema de Bloch [4]presenta una solución que consiste en el producto de una onda plana y unafunción periódica con un vector k llamado vector de onda de Bloch que estáasociado al momento cristalino. Se debe ver a k como un número cuánticocaracterístico de la simetría traslacional del potencial periódico, de la mismamanera que el momento p es un número cuántico característico de la mayorsimetría traslacional de un electrón en un potencial libre. La solución [4] estárepresentada en una base de coeficientes Ck.Se observa que las trancisiones entre bandas energéticas o gaps se encuentranen valores de G/2 para k.En la estructura que se muestra en la figura de arriba (izquierda), se analiza Econtra k/2pi, para visualizar las bandas en los valores medios de G, también sehace una comparación para el caso del electrón libre, donde no hay transiciónentre bandas.Se muestra l asuperficie formadapor el determinante ylas curvas de nivel.Agradecimientos:Proyecto PAPIME PE100409CNyN UNAMDr. Catalina LópezDr. Alfonso Serrano HerediaDr. Julio Cesar Gutierrez VegaCentro de Nanociencias y Nanotecnología de la UNAMBibliografía:Ashcroft, N. W. and Mermin, N. D., Solid State Physics,Saunders, 1976.Ibach, Harald, and Hans Luth. Solid State Physics: AnIntroduction to Theory and Experiment. 3rd ed. Berlin:Springer-Verlag, 1991. Print.http://wwwee.ccny.cuny.edu/www/web/crouse/EE339/Lectures/Bravais_Lattice_files/image003.gifEnsenada, BC, México