- \ v - Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

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v TRATADODE TRIGONOMETRÍAPLANA GENERAL,CON LA CONSTRUCCIÓN,y ufo de las Tablas de los Logarith-'mos, y del Canon Trigonométricode Senos, Tangentes, y Secanteslogarithmicas.DEDICADOA LOS SEÍIORES CAVALLEROSMayordomo, y Diputados de la Univeríidadde Marcantes , y del RealColegio Seminario de Señor SanTelmo de Sevilla.DISPUESTO l.POR DON JUAN SÁNCHEZ RECIENTE,Pnsbytero, Maeflro de MalhtmalU-is tndicho Real Colegio.CON LICENCIA : En Mndrid, en la Oficinade Manuel Martin, Calle de la Cruz.Año de 1739. i»* - ""O _ Om

V¿LOS MVT ILV'STKBSSeñores Don Nicolás Solano de León, DonGabriel Cordoves Pintado, y Don Gregoriode los Ríos, Caballero del Orden deCal atraca, ¿Mayordomo, y Diputados dela IJnherfidad de Mareantes, y Real Co*- legw Seminario de Señor San Telmoextramuros de la Ciudadde Sevilla.SI Thalés Milefio, de quien refiereLaercio, citado por Beyerlink,?o/no 5. fol. 3 o 3. traxo a la Grecia elprimero la Geometría, que practicabanlos Egypcios en las dimeníionesde los campos, que bañaba el Nilo,para la diftribucion de las tierras, quepertenecían a cada uno de ellos, tantofe colmó de alegría por la invenciónde inferibir el Triangulo en elCirculo,que en acción de gracias ofrefició

•.I •ció a las Müfas por vi£tima un Buey,que fuera acción digna de alabanza,¿el vanó culto no la defdorara. Misfe&o, reconocido, a .los favores deV.S. no con ceguedades de fuperfticiofo;si con cxceílbsde fino , y obfequente,ofrece a las Aras de la Benevolenciamas grata el fruto de lustareas, ydefvelos, queparala educaciónde la Juventud, que en efte RealSeminario fe cria , ha juzgado poiconvaiiente. No es la invención deel triangulo inferipto en el circulo, laque motiva efte, tal qual obfequio; sila correfpndencia debida a lo finodemi rendimiento, a V. S. debido, queno me dexa la menor libertad; antessi por todos modos me obliga a tomarpor Patrono a V. S. como lo dioa enterder Boecio en la dedicación defus Comentarios (ante Procemium inTop.Top. Ciccr.) diciendo: 0¡üod enimmiams ex animo dütgentibus jucundms inK-.nm poteft, c¡uam infórmate Era tolo elafefto, quien dirigía fu Don, y depoíitaren fu Amigo, y bien Hechor algunaprenda , en que fe vincularte lo.confiante de fu obfcquio, y afanesdefueftudio, pareciendole, que enfolo efto confeguia el mejor logro defu obra: pues, defnuda de otros particularesfines, folo pretendía eideíempenode fu carino : Vt difaphnarumliberahum fumptum penm nojlrxapud tefemper pignus amichi* remaneret.{Vbifupr'a) Porque, como bien advertía, todas las cofas fenecen , o porleyesdelocaduco,óporloinconltantede la Fortuna , quando íolo las• letfasfe indemnizan, contagiándotealo perpetuo : Como coivadmiraaonÍ5dc -

'APROBACIÓN DEL M. R. P. PRESEN?.Fr. Pedro Vázquez, Tinoco, Colegial perpetuoen el Mayor de Santo Tbomas de Sevilla, del Orden de Predicadores, Doblar enTbcologta del Clauftra de Graduados de fu! Mayor Colegio, y Catbedr ático, que fue, defu Real, y Militar Academia de Matbemaücaspor el Rey nuejlro Señor.POR comifsion del Señor Doftor Don GcroiiymoBarreda y Yebra, Canónigo dela Santa Metropolitana Igleiia de Compórtela, Inquifidor en el Santo Tribunal de Sevilla,y fu Partido, y Juez de Imprentas de efta Ciudad, y fu Reynado , fe me remitió a la ceniuraun breve Compendio de TrigonometríaPlana, fu Autor Don Juan Sánchez Reciente,Prcsbytero , y Cathedratico de Mathematicasdel Real Seminario de San Tclmo, que hay enefta Ciudad: y en eñe punto, contra el Autor,y en contra mía, fe ofrece elle reparo , deque , por Sacerdotes, no es nueílro oficio matar:y ordenaildofc ellas Facultades a eflb, parece, que ni el Autor debia tomar tal oficio,ni yo haver emprendido tales Ciencias , paraahora de eñe dar cenfura. A elle argumentode muchos repetido , para ocultar el lunar deno haver ellos emprendido ellas Facultades,Telpondo:Que el oficio del Sacerdote, es, enfeñaralas almas, que caminen al Cielo: LabiaenimtnimSacerdotis eu/todientfcienthm, &Jegemrequirent ex ore ejus: quia Ángelus DomintExercituum efl. (Malaebias z. v.-j.) Etta Cien»cia faben todos, que es la Sagrada Theologia,frgun que incluye todas fus efpecies: y eltaTheología, que en el fentir de todos , es participaciónde la Sabiduría de Dios, como cnfeñami Angélico Maeftro x. p- q- »• »«• 7- lcfunda fobre las fíete columnas de las fíete ArtesLiberales : Sapientia adificavttfm domum,exáditcolumnasfeptem. (Prov.9. v.i.)Y para mas fignificarefto, dicen diverfos ComentadoresSagrados , que el perpendículo,que fe le dio a Zorobabél, Caudillo del Pueblode Dios , para que gobernalle la imbricadel fegundo Templo, que tenia fíete ojos;Quia ecce lapis, quetn dedit eoram.pf^M trhpidem unum feptem oculifunt. ( 'lachar, .?•v. 9. ) En que citan reprefentadaslaficte ArtesLiberales, que ha de tener el pertecto edificadorde los Templos vivos de Dios , quefon las almas: Nefcitis , quia tempitm Deteftis, é- fpiritus Dei habitat invobisH 1 • Comí.3. v. 16.) Entre las quales fíete Artes Liberalesfaben hafta los principiantes de la Lo rgica,que las quatro fon las Facultades Mathematicasmas fundamentales. Los mas encumbradosEdificadores de eftos Templos vivos deDios fueron los Santos Padres, y Doctores dela Igleiia, pues mírele en fus Obras, quantosr.nos

nos dicen, que florecieron en las Mathematicas.El Águila de los Doctores es San Aguftin,de quien dicen fus cfcriptos, que fue enellas Facultades coníumadifsimo. SanBafilioMagno , mayor Luminar entre los Padres dela Igleiia Griega , lo mifmo. De el afirma SanGregorio Nifeno, que fu hermano Baiilio lehizo gran ventaja en la inteligencia de las SagradasEfcripturas, por lo doctifsimo, quefue en las Mathematicas. El Venerable Bedadice: Que por ellas (en que fue doctifsimo,como dicen fus Obras ) alcanzó grandes arcanosen la Sagrada Efcriptura. Del mifmoBoecio, San ieverino Martyr, dice en fusObras , que en ellas Facultades fue doctifsimo.Lo mifmo mi Angélico Doctor SantoThomás, llamado el Alma de los Doctoresde la Iglefia. Lo proprio mi San Alberto Magno; y dexo de eftos mas célebres muchilsimos.Por eftas razones un Autor Francés antiguo, que eferibió un crecido tomo, en queprueba las Facultades , que ha de tenet elque haya de fer Doctor en Thcologia , largamenteeílablece, que ha de fer en las Mathematicasdocto. Para otra ocaíion dexo otrasmuy individuales ptuebas , y vamos a algunasenfeñanzas , que ha de hacer en el PuebloChriftiano el Sacerdote.Lo primero ha de apartar á los Fieles deerrores, y todas culpas: Detlina i malo, &faefacbonum. (Pfalm. $p) Entre eflos maleshay, lo primero , los Gentiles fon muchosdados á las Mathematicas , como hoy fe vé enel Imperio de la China , y a cada uno fe le hade entrar a conquiílar por fu genio , comoenfeña mi Angélico Maeftro. ( 1.1. q- IO « Urtí• 4.) Por una Eftrclla fueron conducidos losJ Reyes Magos , grandes Mathematicos , alconocimiento de Chrifto Señor Nueftro a»cien nacido , atemperandofe á fu genio, dicenlos Comentadores Sagrados. Lofegundo: En las Ciencias Mathematicas , y en toadas, los Naturales fundan mucho fus errorescontra nuellra Fe Catholica los Infieles. Dexolargas, pruebas de ello: Luego para rebatirlosdebe el Sacerdote eílár con grande inteligenciade las Mathematicas : Paratl ftnperadfatisfaBionem omni pofeenti vos rationemde ea , qua in vobis efl fpe. ( 1. Petri 3.v. 15.) de lo que fe vea á mi Angélico Doctor( 2. 2. q.2. art. 10.) Y lo tercero : Debei dirigir á los Monarchas , y á los Militares*que defienden al Pueblo Chriftiano con lasarmas materiales •> y fi ignora las Mathematicas, no conocerá las muchifsimas, y gravifíimasculpas, que cometen por el abufo, ymala inteligencia de ellas. Y afsi mi AngélicoDoctor en el opufeulo 20. pone quatro librosdel gobierno de los Principes , que comentael Padre Salcedo, Clérigo Menor, en quecon

4con lo doctifsimo , que fue el Santo en lasMathematicas, defcubre mucho de ellos defectos: Luego el Sacerdote , para evitar todasellas dalles de culpas , debe fer docto enJas Mathematicas , y no es locura , que á ellasfe apliquen para los finesdichos.Vamos al finde enfeñarlas: Mirefe, quantolosSantos Padtes , y Doctores citados , eficrÜbenen fus Obras de las Mathematicas, paraenfeñarlas al Pueblo Chriftiano : Luego eslicito á un Sacerdote enfeñarlas. Lofegundo:Quando las Mathematicas no tuvieran los finesreferidos , para que es juftifsimo las emprendanlos Sacerdotes , y enfeñen , y folotuvieran el fin de la guerra, que nadie concedeefto , veaelfabio, y prudente Lector á mi AngélicoMaellro , y á fus Comentadores 2. 2.q. 40. art. :. ad 2. adonde hallara: Que,aunque al Sacerdote le cflé prohibido , fuerade grave uccefsidad , el guerrear , que no leeftá prohibido concurra a todo lo difpofitivoá la batalla : y afsi, Sacerdotes doctos les dicen, coníultados, á los Monarchas, que tal,o tal guerra les es licita: que a otros los perfuadanvayan á tal guerra. Mirefe, quantasveces fe ha perfuadido en los Pulpitos vayanálaConquifta de la Tierra Santa. En la AntiguaLey los Sacerdotes tocaban los Clarines, induciendo álos demás , a que pelearan*(Jojtte 6. ¡ Y, vi declarado cu el fitio de mi£4-patria Badajoz, año de 1705. no havia incur^rido en irregularidad un Clérigo, que apuntóun canon, que hizo gran eílrago en los enemigos, por efta doctrina , el que el foloapuntó, y no fe metió en mas , y el Artillerodilparó. De cito dexo mucho : y el enfeñarellas Facultades , es mera difpoficion , y,no guerrear: Luego es licito, que un Sacerdoteenfeñe eftas Facultades , aun para el fuide guerrear.Lo qmirto , y ultimo a Aunque no tuvieranlas Mathematicas mas fin que el actualguerrear ( que nadie ha de conceder eflo) veafea los Comentadores de mi Angélico rtoétora. 2. q. 10. art. 2. y entre ellos al doctifsimoMaeftro Bañez, adonde fe hallará: Que encafo de grave necefsidad, es licito a los Sacerdotes,y á losObifposel guerrear en la guerraIjuila, de que podia traer muchifsimos ateta*piares , y folo diré efto, que refiere la Elcuelade Palas, hablando del Methodo de Fortificardel Ilufttifsimo Caramuél, adonde dicesO^e efte Señor, fiendo Ob'tfpo de Praga en laUngria, con fus Mathematicas defendió tresveces la tal Plaza de tres litios fuertes , que Jepufieron los Hereges : pues nadie condena,que uno elle difpuefto , para aventar un granmal, que le puede venir en una gran ncceísidad:Luego aun para efte fin no es locura,que un Sacerdote empréndalas Mathematicas;^si

si cofa muy conforme á una cuerda razón.Por mera curiofidad eftudié las Mathematicas, íiendo feglar : y de muchos Sacerdotesinflado, las eníeñé , con Cédula del Rey,diez años en efte mi Mayor Colegio , concurriendobañantes Difcipulos, de los que hayal ptefente en el fervicio del Rey , con honrofosempleos , no pocos. Dexo efto: y acabadasde leer Artes , y Theología en efte mi MayorColegio , me apliqué á las Mifsiones , enque eftas Faculrades me han férvido mucho,para inteligencia de las Sagradas Efcripturas,y de dogmas , con que rebatir engaños infernales: Y en virtud de efto , tengo leído efteCompendio de Trigonometría Plana, y nohallo en él cofa contra nueftra Santa Fé , nicontra las buenas coflumbres , ni de las regalíasReales ; lo hallo con las condiciones, queenfeña mi Angélico Maeftro, en el Opufculo68. en que á un Militar le dá methodo,de como ha de eftudiar, que es breve, compendiofo, claro, y con otras partidas , que tienenen las Mathematicas los Doctos cn^ Artes, y Philofofia , de las que fueron Princiípes , no puros Mathematicos, fe las hallaron,enleñaron, y eferibieron con grandifsímo Henode Philofofia , como fe dice en fus vidas,los mas encumbrados de las Mathematicas,cftá en el tratado de los Sólidos , que fon lflsfeis Cuerpos Regulares ¿ llamados Platónicos:eos: porque el gran Philofofo, el divino Pía*ton , fue el Autor de ellos, de los que tratala Geometría en los Libros once, y doce: Elgran Philofofo Ariftoteles , llenó de Theorcmas, y Problemas , la Geometia: El Tratadode la Elphera fe le debe al gran PhilofofoArchimedes , y afsi de lo reliante de las Mathematicas: y con efta luz, de que catecen,los que no han eftudiado la Philofofia, eferibe,y enfeña el Autor de efte Compendio, lasMathematicas. Y afsi, por tan útil, y con:eftas ventajas , foy de fentir , que V. S. deá el Autor la licencia , que pide, mediante'lo qual fea impreffo efte Compendio. Afsi loliento , falvo meliori. Y para que confie eftemi fentit, lo firmé de mi nombre en efte miMayor Colegio de Santo Thomás de Sevill*en p. de Julio de 1742.Fr. Pedro Vázquez TinoconL1CEN-

)E UN DISCÍPULO DEL AUTORen alabanza de fu Trigonometría.SONETO.Oronente de Apolo los Laureles,i Premio de tu faber bien merecido:Pues tu Trigonometría ha enriquecidoDel aplaufo , y la fama los Carteles.•Fatiguen tus eferiptos Prenfas fieles,a Brillando de tu ingenio lo lucido,Y en laminas de bronce ya elculpidoTu nombre efmalteu dieftros los fínceles*fio te alabe mi pluma, que es locuraí Elevarfe a tan alta bizarría,Sin temer , qual otro Icaro , quemarfcáJpues tu aplaufo immortal ya fe aflegura^Y mi alabanza corta ( fiendo mia \No merece tan alto fublimarfe.,!íf1 IUCENCIA DEL SEÜOR JUEZ.EL Lie. D. Geronymo Antonio de Barred*y Yebra, Canónigo de la Santa Igleiia deleñor Santiago de Galicia , del Coufcjo de fuMaceftad,fu Inquifidor en el Tribunal del SantoOficio de la Inquificion de efta Ciudad deSevilla , Superintendente délas Lnprentas, yLibrerías de ella, y fu Reynado.Doy licencia,para que por una vez fe puedaimprimir , é imprima un Librito , cuyo tituloes : Tratado de Trigonometría general, fu AutorDcW luán Sánchez Reciente, Presbytero,Maeftro de Mathematicas en el Real ColegioSeminario de Señor San Telmo de dicha dudad• atento á no contener cofa alguna contranueftra Santa Eé, y buenas coftumbres, fobreque por comifsion mia , ha dado fu cenfurati M. R. P. Pref. Fr. Pedro Vázquez Tinoco,Colecul perpetuo en el Mayor de Santo Thomásde Aquino de efta Ciudad: con tal, que alprincipio de cada uno, que fe imprima, fe pongadicha cenfura, y ella mi licencia. Dada enSevilla , eftando en el Real Cadillo de la Incuilicionde Triana, á diez y nueve de Juniode mil fetecientos y quarenta y dos anos.Lie. D. Gtrmimo Antonio de Barreday Tebra.por mand. de fu SeñorialMatbias Tortolcro.SO-PRO-

• IPROLOGO AL LECTOR.MUchos fon, Amigo Le&or, loslibros, que fe hallan impreífos,que rratan de Trigonometría, dondelfe puede aprender todo lo que conducea efta materia, por lo que puedeparecer cofa fuperflua, facar a luz el:prefente Tratados pero nolofera,fiatiendes al motivo que me afsifte, quees la educación de los Colegiales delReal Seminario de Señor San Telmo,extramuros de la Ciudad de Sevilla, losque entran a eftudiar efta Facultad finconocimiento alguno de otra; fino fulamenteinítruidos en el Arte de leer,y eferibír: y por tanto , es neceífariofundamentarlos en todo lo conducentea la Navegación, que es fu principalinftituto. Y aunque fe hallan muchos[ios libros, que tienen todos losfunmentosque fe pueden defear, fon|n crecidos en fus volúmenes, que fei|ipbfsibilitan para el ufo de ellos; otroslibros hay de Trigonometría, pero tancfcncifos, y breves, que -por cífo mifio,fe hacen impracticables para ellos,fíbr razón de no poder entenderfe, finode los baftantcmentc verfados endicha Facultad. Y afsi me ha fido prediodiíponer el prefente Tratado, dondehallaras la conftruccion, y ufo deMs Tablas de los números Logarithmieos,y las de los Senos, Tangentes, yapeantes Lop-arithmicas, con el modode corregir qualefquiera de que ufa-As ; fi no eftuvieren fielmente confluidas, y juntamente la refolucion deíbdo genero de triángulos, afsi reótan-;ulos, como obliquangulos, para queque-

I~t— — •.» «•»»» .v» VUUUEU1UV j UdlCbien empleado el trabajo, que en dif »f^^ ^ -ponerlo he tenido, para tu mayor apro- •7* WW * W ****«W*W*W««vechamiento. VALE. |- ^ n á _ _TRATADODE TRIGONOMETRÍA.INTRODUCCIÓN.,a^UeA Trigonometría (que es unaparte de la Geometría) es unaciencia , que enfeña medir, yrefolver triángulos. Y porquecftos pueden fer planos , ó efphencos,fe divide la TrigoiSnS?»?Paila ' y^Pheriea. Trigonomeíostrian"?' «**» * ^folucion deper ce pia na COn tres lineas redas. Trígono-tTRA- I ¿9Cr losma «g«lp S efphericos/formados e»,"A un 3

Una ¡fuperfícíc efphcrica eófí tfcl arcos de ciwpulo máximo.En una, y otra Trigonometría, para Isrefolucion de unos, y otros triángulos, nosValemos de las tablas del Canon trigonométrico, que fe compone de números, en dondefe halla la razón, que tienen las redas, pueftasen un circulo, con fu radio, ú femidianietro, que llaman tablas de Senos , Tangenres, y Secantes, fean Naturales, 6 Logarithtnicas.Pero porque los Senos , Tangentes , fSecantes Natutales , que antiguamente eftat>anen ufo, eran muy moleftos en fus operaciones, por canfa de las grandes multiplitaciones,y divífiones , ufamos al prefente delos Senos, Tangentes, y Secantes Logaríth»micas, por caufa de la grande facilidad , quetienen en fu ufo : pues folo fe reduce a fumar, y reliar muy pocos números, cuya invenciónfe debe al célebre ingenio del CaballeroJuan Nepero , de Nación Efcozcs , yal zelo , y trabajo , que pulieron en lu mayorperfección Henrique Brixio, y Adriano Ulac,(que las dexaron del modo, que hoy las gomamos.Para proceder con toda la claridad, quelíos fuere pofsible en efte Tratado, y comotoide el buen orden , y methodo , comentaremospor la Trigonometría plana , que(dividiremos eg tyes partes, fin la primera fe.aplicará la naturaleza de las lineas, que íeiconfideran en el circulo. En la fegunda fe«tratará de la conftruccion de las tablas deJos Senos , Tangentes , y Secantes Naturales,y Logarithmicas , y de la de los números Loíjarithmicos,6 de los Logarithmos. Y en latercera fe dará el ufo de dichas Tablas, y lafcfolucion general de toda efpecie de triángulos, confiderados abfolutamente.¿ Nota, que las citas, que fe pondrán en«1 cuerpo de efte Tr'arado , fon del Libro dejos Elementos Geométricos de Euclides , lasque eftarán contenidas dentro de un parenwfis,y las demás, que eftuvieren fuera, feria«le elte prefente Tratado.PARTE PRIMERA.CAPITULO ÚNICO.•«5 LOS SENOS, TANGENTES^Secantes, y Cuerdas*DIFINICIONES.SEnos , Tangentes, Secantes , y Cuerdaífon unas recias , que fe confideran enm circulo , para refolver qualquiera triangulo.Y porque unas fe confiderap dentrodelA acir-

dentro del circulo', ©tras fuera, f. otras* tienenuna parte dentro, y otra fuera , fe le»aproprian diferentes nombres , para conocerlascon mayor diílincion , y claridad. Y afsi,las que fe hallan dentro del circulo , fe denominanSenos, 6Cuerdas: Las que fe hallanfuera del circulo, fe llaman Tangentes: Y lasflue tienen parte dentro, y parte fuera , tienennombre de Secantes.Todos los Mathematicos dividen la circunferenciade qualquier circulo en ¡6o. partes, que llaman grados, cada grado en do.minutos, cada minuto en 6o. fegundos , ycadafegundo. en 6o. terceros, y afsi en adelanteen quartos, quintos., &c Efto fupuef*to , figuen ahora las definiciones.i. .Valor de un ángulo , ó medida de unángulo re&ilineo es, el numero de grados,o de grados, y minutos , que contiene el arcodel circulo contenido entre las dos redas,que forman dicho ángulo , quando dichoateo fe formo , haciendo centro en el cbn¿tado de las. tales lineas ,^ que forman dichoángulo. Como el valor, 6 medida del ánguloP B C. (Fig. i-) es el arco P. C. de 30. grs.pues formófe dicho arco con la diftancíaBC. haciendo centro en B. donde fe juntanlas redas BC. - y -B P. para formar dicho ángulo?BC.i ?, Complemento de un ángulo , u de uaftréco es, el numefo de gf. 6 de gf. y min. quefaltan al ángulo, ü al arco , para cumplir elquadrante , ó el femicireulo. Si el ángulo estobtufo, fu complemento ferá al femicirculoj'lomo fi es el ángulo A B D. fu complementojal femicireulo ferá el ángulo DBG. 6 el arco!§) C. ferá complemento del arco A R D. Peroi el ángulo es agudo , fu complemento fe-Ja." al quadrante, 6 al femicireulo : Como elpngulo PBC. fu complemento al quadranteferá P B E. y fu complemento al femicireuloJera el ángulo P B A. y fi fe dá el arco P C.«complemento al quadrante feráPDE. y alJmicírculoferáPDRA.3. Cuerda, 6 fubtenfa de un arco , es lareda, que junta los extremos del mifmó ar*co. Como A L. es cuerda, 6 fubtenfa de el#rco AML y también es cuerda , ó fubtenfadel arco A E C L. De donde fe infiere , qu««a cuerda, que pafla por el centro de un circuílo , es diámetro del mifmo circulo, y cuerdaael femicireulo ; pero la que no paíTaipor el¡entro del circulo, es cuerda de dos arcos,uno mayor, y otro menor, que el femicireulo.4. Cuerda del arco del complemento es»,'lareda, que junta los extremos del arco deicomplemento. Como L C. es cuerda de elarco LcC. complemento al femiciteulo delarco L M A.. A| Se-

5 • Seno redó, ú primero de un arco, es Ureda, que de un extremo de un arco cae perpendicularmentefobre el radio , íi diámetro,que fe termina en el otto extremo. ComoJDG. es feno primero del arco D C. y tambiénes feno primero del arco DEA. Porquequalquiera feno divide el femicireulo en dos 'fegmentos, y por eflo es feno primero de ambos, refpedo de tener las circunftancias neceflariaspara ello, que fon las que explica fudefinición.Nota, que el feno primero de qualquierarco es la mitad de la cuerda del arco duplodel mifmo arco. Como el feno redo DG.del arco de 6o. grs. D C. es mitad de la cuerdaD L. del arco de 120. grs. D C L. Porqueíiendo A C. diámetro, que paíTa por el centroB. y cae fobre la cuerda Di. haciendo coaella ángulos redos, la cortará por medio enG - (i- P-3-).: Nota también , que fiempre, que fe dixerefeno , fin otro additamento, fe debe entenderfeno redo, íi primero : Porque paraque fe entienda otro , fe debe explicar , diciendo: Seno fegundo, feno de complemento , úfeno verfo. Y efto mifmo debe quedar advertidopara las Tangentes, y Secantes.6 . Seno fegundo de un arco es el fenoprimero de fu complemento al quadrante, opor defedo t ü por excefib* Como DF. que esfenof^enoprímero de el arco DE. también es fetoofegundo del arco D C y del arco D R A.toero con efta diferencia , que es feno fegundodel arco D C. por defe&o : pues fiendo E C.or excefib.Nota , que el feno primero de un arco esleño fegundo de fu complemento á el quadrante, y el feno fegundo de un ateo es tam-•Jbien feno primero de fu complemento á el¿quadrante ; como D G. feno primero del arco•D C. es también feno fegundo del ateo D E„iiY porque también el feno D G. es primero¡del arco D R A. es también feno fegundo de•?1 arco DE. en el primer cafo por defedo, f|en el fegundo cafo por excefib. Y el mifmofeno fegundo D F. del arco D C. y del arcoP R A. es feno primero del arcoD E. que escomplemento al quadrante del arco D C.por defedo , y complemento al quadrante deel arco D R A. por excefib.Nota, que los arcos mayores de 90. grs.;¿ tienen los mifmos fenos, que los arcos defus complementos al femicireulo.. Como el& 4 feno

'fiL_9feno del «reoDRA.de x JO. grs. es laconocido, refpedo de fer igual á BG. (34.D G. del arco D C. de 60. grs. complemento1. ) fi fe añade al radio A B. compondráal femicireulo del dicho arco de 120. grs.G. feno verfo de dicho arco D R A. Y reídode que con el conocimiento de los fe-7. Seno total, feno todo , ú Radio es élfeno del quadrante, ó del arco de 90. grs¿3bs fcgundos venimos en conocimiento deComo E B'. es feno primero del arco E A. y tes fenos verfos , fe omite en el Canon Trigodelarco E C. que ambos fon quadrantes de ¿bmetrico la conftruccion de la tabla de los90. grs. y es mitad del Diámetro E B d. que fonos verfos.es lo mifmo que radio del circulo..3; 9. Tangente primera de un arco es la8. Seno verfo , ú fagita, es la parte de elíida, que fe levanta perpendicularmente fofeÜ-eel diámetro , ú fobre el radio , tocandodiámetro contenida entre el feno redo déun arco , y el mifmo arco. Como G C. que cf-. m arco en un extremo, y fe termina en latá contenida entie el feno redo G D. y el arcoD C. es feno verfo del mifmo arco D-C. y «$»r el otro extremo. Como H C. es tangente 1..Ada , quefaliendo del centro del arco, paflapor la mifma razón A B G. es feno verfo del del arco D C. como también E Y. es tangente,arco D R A.0. del arco DE.Nota, que el feno 2. de un ángulo agudo3 10. Tangente 2. de un arco es la tangentefumado con el feno verfo de dicho ánguloi. de fu complemento al quadrante, como E Y.es igual al radio. Y afsi, fiendo conocido el4|ue es 1. del arco D E. es 2. delarcoDC. yfeno fegundo de un ángulo agudo, fífe relatade el radio, el refiduo ferá valor della reda HC.que es i.del arco DC. es 2. del ario-DE. Defenodondefe infiere , que la tangente.verfo de dicho ángulo. Porque conocidoDF. *• de ufl arco , cs *• de . fu complemento al quafenofegundodelángulo agudo, ú arcoD Cque cs igual á B G. ( 34. p. r. ) fi fe refta de elradio B C. quedará GC. que es feno verfodel mifmo arco D C. Pero el feno fegundode un ángulo obtufo, ú de un arco mayorque po. grs. fi fe fuma con el radio, dará elfeno verlo de dicho ángulo, ú arco. ComoD F, fenb fegundo del arco D R A. fi fe dico-erante, y al contrarioNota, que los arcos mayores que 90. grs.tienen las mifmas tangentes , que los arcos defus complementos al femicireulo. Como HC.(tangente primera del arco DC. es tambiénIprimera del arco D R A. y la E Y. tangente 2.del arco D C. es también fegunda del arcoRA.Se-

•I16ir. Secante primera de un arco es la rtc>ta, que, faliendo del centro del arco, corta almifmo arco, y fe termina en la tangente primerade dicho arco. Como B H. es fecanteprimera del arco D C. -y - B Y. es fecanteprimerademarco D E.12. Secante fegunda de un arco es la recta,que, faliendo del centro del arco , corta almifmo arco, y fe termina en la tangente fegundadel dicho arco. Como B Y. es fecantefegunda del arco D C. y B H. es fecante fe.gunda del arco D E. De lo dicho fe infiere,que la fecante primera de un arco es fecantefegunda de fu complemento al quadrante,y al contrario.Nota, que los arcos mayores que 90. grs»tienen las mifmas fecantes , que los arcos defus complementos al femicireulo, como quedanotado en los fenos , y tangentes. ComoB H. fecante primera del arco D G es tambiénprimera del arco D R A. -y- B Y*fecante fegunda del arco DC,cs también fegunda de elarco D R A.,•B* *£3* «o*PAK«PARTESEGUNDA.11„E LA CONSTRUCCIÓNfe las tablas de los Senos, Tangentes,2y Secantes naturales, y loganthrrucasy de los Logarithmos.CAPITULO PRIMERO.|¡E LOS FUNDAMENTOS DEL CANON,I Trigonométrico, u de el Canon de los Senos.ESte Canon Trigonométrico contiene las tablasde los Senos , Tangentes, y Segantesde todos los arcos del circulo , defdef. minuto hafta 90. grados, fegun la correfpondencia, que tienen .con el radio de el circulo, el qual fe divide en un numero determinadode partes ; y porque , fiendo mayorJfte numero , falen las operaciones mas ajuf-.^adas.fuponemos el radio dividido en 100000.J>artes, y á efte refpedo fon las que correspondená los Senos, Tangentes , y Secantes,aunque para hallarlas con mayor precifion,fe añadirán al radio cinco ceros, pero def-^pues de acabadas las operaciones, fe quitaransdel todo 5. números de házia mano derechadel operante, y los que quedaren fe pondrán•n las tablas; mas con la. advertencia, que

tií el primero dé los cuíco números', que eJ f un quadrado de otro, y del refiduo faquc

S4PROPOSICIÓN II.Dado el feno primero de un ano , bollar el fenofegundo del mifmo arco.SEa conocido el feno primero D G. del aricoD P C. de 6o. grs. y fe quiere conocerfu feno fegundo D F. Reftefe el quadradddel feno primero conocido D G. del quadradodel Radio, que es B D. y el refiduo feráquadrado de B G. igual á D F. (34. p. 1.) fenofegundo,que fe bufca. v. g. El feno dado D G.cs mitad de la cuerda D L. del arco DCL deti 20. grs. como queda dicho en la DefiniciónI5. efta es igual á la cuerda A L. también de.120. grs. que en la Propoficion 1. fe halló fer'de 173205,08076. Luego fu mitad, que es«6602,54038. ferá valor del feno D G. y fu(quadrado es: 7 5 ©0000000,269 5 3 °5444- queleftado del quadrado del radio : 10000000-000,0000000000. quedarán : 2+99999999,73046945 56. cuya raíz quadrada , añadiendola unidad , por caufa de fer numero mayor,que 4.CI que fe figue de los cinco números,que fe deben apartar , quedará en 50000,00000. valor de la B G. b de la D F. feno 2.,del arco DPC que fe pretendía.Porque en el triangulo BDG. el ánguloen G. es rcdo.por la defin. 5. Luego el quadradode B D. radio , y opuefto al ángulo redo,•1 es«s igual á los quadrados juntos de los ladotfj D G. - B G. que componen el ángulo redoR(47. p. 1.) Luego reliando el quadrado DG.ídel quadrado de B D. el refiduo ferá quadradode B G. Pero B G. es igual a D F. (3 4 .p. t.)Luego el quadrado de B G. es igual al de• P F. (46. p. 1.) Luego fu raíz quadrada feráyalor de D F. feno 2. del arco D P C.PROPOSICIÓN III.todo el feno de un arco , bailar el feno de lamitad del mifmo arco.SEa el feno D G. del arco DPC. de 60.gr?.'conocido, y fe quiere conocer el feno d©Ja mitad de efte arco> que es el feno r. del arcode 30. grs. Tirefe la reda D C. cuerda deíiarec. dado de 60. grs. y á ella defde el centroV. tírele la perpendicular BOP.(i2.p.i.) qu e•cortara a la cuerda DC. por medio en O.Ifc. p. 3.) y ferá D O. feno 1. del arco D P. de30. grs. por fer mitad de la cuerda DC.deÍ r ^2' C ° m ° qUeda notado en la def. 5. Yreí pedo de que dicha cuerda es igual al radio,que vale : 100000,00000. fu mitad:. 50000,00000. ferá valor de la reda D O.feno 1, del arco D P. mitad del ateo D C. queI fe bufeaba.Pero para bailaría con operación numeñ-

JÜ•rica, afsi efta mitad , cómo otra qualquiérájfe ha de bufcar primeramente fu, feno 2. y eftefe reliará del radio, y quedara el feno verfodel mifmo arco,y quadrando los dos fenos i.yverfo , fe fumarán fus quadrados , y de la fumale facará la raiz quadrada , y la mirad deella raiz ferá valor del feno, que fe pretende,v. g. El feno redo de 60. grs. que es D G. vale: 86602,54038. por lapropof. 1. fu quadradoes: 7500000000,2695305444. El feno2. de dicho arco fe halló, por la prop. 2. dejoooojooooo. redado de el Radio B C*100000,00000. queda G C. de 50000,00000. íu quadrado es: 2500000000,0000-000000. fumado con él quadrado del feno "1.dado ,importa: 10000000000,2695305444.,valor del quadrado de DC. cuya raiz quadrada, que es r00000,00000. dá el valor deDC. y fu mitad: 50000,00000. valor deD O. feno 1. de la mitad del arco dado DPC.que fe pretendía.Porque en el triangulo D G C. fe tieneconocido el lado D G. y el G C. y el ánguloredocomprchendido. Luego (47. p. 1.) losdos quadrados de los lados DG. -y- GC. juntosfon iguales ai quadrado de la D C. Luegofacando la raíz quadrada de la fuma de los dichosdos quadrados, ferá.valor de laDC.Luego fu mitad ferá valor de la DO. feno 1.de la mitad del arco dado D P C. que es, &c.PRO-Tlanagenerah %»PROPOSICIÓNIV.Dado el feno de un ano, bailar el fino d,Jarco duplo.lera C7 r > • " P r Opof. 2. quejferaCZ. que ferá imial ¿ Rn / ,redaD G. que es feno d c ^ ' n ^ í *v Cdel arco dado C P n,„i .du P l °. p o r ^ e r m ^ ^ ^ ^ T ^ ' 7 ^«i primero por fer B O ni A',\uef. i o del i ^ 7 "" P^P end^ular á D Q*& : cl'anila/ rCBU ° do P ° r U def ' '« d *laC '^,CS:* » u. ala D| C, a D G. quc es> &c,8 PRO.'

j$ TrigonometríaPROPOSICIÓN V.Dados los fenos de dos arcos, bailar el fén*de la fuma de ambos.SEan dados los dos fenos, uno N V. del arcoN A. de 30. grs. y otro R S. del arcoR N. de otros 30. grs. y le bufca el valor delfeno R Q^del arco R N A. de 60. grs. que es lafuma de ambos arcos dados. Tirefe por S. laSX. paralela áNV.y laST. paralela áAB.(31. p. 1.) Bufquenfe los fenos íegundos de losarcos dados, por la prop. 2. que lerán BV. delfeno N V. -y- B S. del fenoRS. y formenfe dosanalogías , cada una con el radio, feno 2. y fenoprimero , y los dos quartos términos fumados, darán el valor de el feno primero , que febufca , de la fuma de ambos arcos : v. g. Co¿mo el radio BN. que vale 100000,00000.aB S. feno fegundo de el arco R N. que vale86602,54038. afsiNV. feno primero del arcoA N. que es: 50000,00000. áSX. que faldrápor quarto termino: 43301,27019. quefepondrán á parte. Pero SX. es igual á TQ¿_(34.p.i.)luegoTQ^valdrálo mifmo.quc es:43301,27019.Dcfpues fe dirá: Como B A. radio iooooo;oocoo. á B V. feno fegundo del arco A N. quées: 86602,54038. alsiRS. feno primero de.el arco R N. que vale: 50000,00000. a RT. y,V- .. Jfal«Plana general.19Maldra por quarto termino 4;301,27019. que^fumado con el valor de TQ^ 43301,27019.jantes hallado, importará: 86602,54038. valordel feno RCL del arco RNA. fuma de los dosarcos dados, que fe pretendía.Porque rodos los triángulos formados enjel quadrante ABE. f on equiángulos , y fetnejantes, conviene á íaber : Los dos triángulosBaQ^-y- RaS. tienen los ángulos en CL-;f- S. redos, e iguales por la defin. 5. y los veracales-a- iguales. (15. p. !.>) Luego el terfcerodel uno es igual al tercero del ocro: Lúegofon femejantes. (4. prop. «5.) También losJúngalos RaS. aST, - y . RST. f on t£]11¡an .Sidos, y femejantes. (8. p.

' ! , ! • 'IaoTrigonometríaPROPOSICIÓN VI.Dados ks fenos de dos arcos, bailar el fenode la diferencia de ambos.SEan conocidos los fenos: uno N V. del ar.co N A. de 30. grs. y otto R 0_de el arcoR A. de 60. grs. y febufca el feno del arco dela diferencia de ambos. Bufquenfe los leñosfesundosde los arcos dados por la Prop. 2. yen los triángulos BVN. -y-BQj. femejantes, como queda demonftrado en la Prop. antecedente,fe bufcaráel lado 0.a. que fe rcftaráde la R O. conocida por fupoficion. Del--pues en los triángulos B N V. - y - RaS. fe hulearáel lado R S. que fe pretendía: v. g. 1 n-meramentc el feno NV. del arco de 30. grs,es ya conocido , y dado, cuyo valor es: 50000,00000. fu feno fegundo es también halladopor la Prop. 2. y fu valor es: 86602,5403»;£1 feno R Q-_del arco de 60. grs. dado , y conocido, es: 86602,54038. fufcno fegundo es:.50000,00000. Digafe pues: Como BV. leñofegundo de el arco A N. dado : 86602 540?8.á- N V. feno dado: 50000,00000. alsiJi L^.feno fegundo de el arco RA. 50000,00000.á-Qa.y faldrá por quarto termino: 2SH67,5IM S : que refiado de la RO^conocida, y dada,feráel refiduo : 57735,°^- 1 uec . s el ¡Etor de la R a. Defpues fe dirá: Como el radie,Plana general.B N. 100000,00000. a B V. feno fegundo delarco A N. conocido , y dado : 86602,54038..afsi R a. conocida por la operación antecedente: 57735,02693. á-RS. feno primero dela diferencia de los dos arcos dados , y vendrái por quarto termino: 50000,00000. que es loque fe pretendía.- Porque íiendo k>s triángulos B N V - BaQ^.RaS. femejantes, como eftá demonftrado en•*a Prop. antecedente, tendrán proporcionaleslos lados , que comprehenden iguales ángulos(4.p.6.)Luego ferá: ComoBV. -á- V N..afsi B Q^- á - Qa. y como B N. - a - B V. af«Ra - á - RS. que es, &c.2 iPROPOSICIÓN VII.AConfiruir la Tabla, 6 Canon de los fenos,Ntes de dar principio á la conftruccionde las Tablas, fe debe notar:'• Que en qualefquiera circuios fon pro-°rcionales el radio de el uno al radio de eltr ° , como la cuerda , feno, tangente, ó fecantedel uno en determinado numero de grs.o de grs. y min. ala cuerda , feno tangente, ófecante del otro del mifmo numero de grs. 0de grs. y min. Y también ferán proporcionalesel radio del uno ala cuerda , feno, tangente, ó fecante del mifmo , como el tadioB 3del

Iií* Trigonometríadel otro a la cuerda, feno, tangente, ó fe- 1cante del otro , con tal, que la cuerda , feno,tangente , ó fecante del uno fea de igual numerode grs. con la cuerda , feno, tangente,ó fecante del otro , cada qual á fu correfpondicnte.(4. p. 6.)2. También fe debe notar , que los fenosde los arcos muy pequeños tienen la mifmarazón, que los niifmos arcos, de quien fon fenos.Porque , aunque no es razón precifa enfuerza de demonftracion Mathematica, es razóncierta en la prádica, refpedo de no po-.derfe feñalar diferencia fenfible.3. También fe nota, que la cuerda de 60»grs. fiempre es igual al radie. Porque conftandola circunferencia del circulo de 360.grs. ferá dicha cuerda , la que une los extremosde la fexta parce , y por configuicnte ferálado de un hexágono inferipto en el circulo,.cjue (i- cor. 15. p. 4. ) es igual al radio.' 4. También fe nota, que el quadrado dela cuerda de 90. grs. es duplo del quadrado.del radio. Porque fi en un quadrante fé rrala cuerda de 90. grs. formará con los lados deldicho quadrante un triangulo Ifoceles redangulo.Y porque el quadrado del lado opueftoal ángulo redo (que es dicha cuerda de90. grs.) cs igual á los dos quadrados de loslados , que comprchenden el ángulo redo(que fon los dos radios) (47.. p. t.) y eftos fonigua-• Plana general. 23iguales (def. 15. 1.) luego fus quadrados ferántambién iguales. (46. p. 1.) Luego el quadradode la cuerda de 90. grs. cs duplo de unode el'os, que es el radio.Todo lo dicho en las notas antecedentes,bien' entendido , pallaremos a la conftruccionde las Tablas de los fenos naturales, hallael numero de diez min. para fu total inteligencia, dexando al efludiofo , que pueda prorI feguirlas , fi quiere tomar el trabajo , el queI por ahora fe omite, refpedo de eftár mas fácileslas de los fenos logarithmicos , que fonlas que ufan todos los Authores modernos , yI feráen el orden figuientc:Refpedo de que el radio vale 100000,00000. y es igual á la cuerda de 60. grs. co-1 mo queda notado, valdrá dicha cuerda de60. grs. 100000,00000. y fu mitad , que cs50000,00000. ferá valor del feno de 30. grs.como queda dicho en la def. 5. y fe notarán kparte en la tabla figuienteel valor del radío, y\ del feno de 30. grs.Con efte feno de 30. grs. hallado , fe bufcarafofeno fegundo por la Prop. 2. y fe vera,que esfu valor: 86602,54038. que cs fenoprimero del arco de 60. grs. que fe pondrá enla tabla.Con eftos dos fenos , primero , y fegundodel arco de 30. grs. fe bufeará el feno primerode la mitad del arco de 30. grs. por la Pro-B 4P0!

24 Trigonometríapof. 3. que es el feno primero de 15. grs. y fuvalor: 25881,90451. que fe pondrá en la tabla, y defpues fe bufcará el feno fegundo delarco de 1 5. grs. por la Propof. 2. que ferá fenoprimero de 75. gis. y fu valor : 9^59 z >'i^26 Z'que fe pondrá en la rabia.Defpues con eftos fenos de 15. grs. primero,y fegundo, fe bufcaaá el feno de la mitaddel arco , que es 7. grs. y 30. minutos, que es:13052,61922. y fu feno fegundo , que ferá fuvalor: 99144,48614. que ferá feno primerodel arco de 82. grs. y 30. m. los quales fe pondránen la tabla , y para las operaciones-ferviránlas mifmas Propoficiones 2. y 3.Y por las mifmas Propoficiones fe bufcaráel feno primero del arco mitad de 7. grs._ y•30. min. que es el arco de 3. grs. y 45. mm.y fu valor : 6540,31292. y el feno fegundo deefte arco de 3. grs. y45.minut. que ferá fenoprimero del arco de 86. grs. y 15 • min. y fu valorferá: 9978 5,89 2 3 2.que también fe pondránen la tabla.Defpues fe profeguirá, facando mitades,hafta llegar alfeno de r.min. que á efte arco llamamosmínimo, en quien no fe diferencia lenfiblementeelfeno de! arco,de quien esfeno,comoqueda dicho en la nota 2. y afsi por la Prop. f.fe bufcará con el feno de 3. grs. y 45- min - c *feno de fu mitad , que es el de 1. gr. 52. m. ytfo.feg. y fu valor: 3271,90828. que fe pondráenPlana general. 2 5—— 100000,00000.50000,00000.• •—86602,54038.25881,90451.96592,5 8 263-•7-g. 3o.m . 13052,61922^99144,48614.6540,31292..99785,89232.30.feg. •— 3271,90828.15. 1636,17316.7. 30. tere.—• 8 r8,11396.3- 45- — 409,06040,7- t. 52. 3o.quart. — 204,53063.3- 30. 56. 15. 102,26537.:. 45. 28. 7. 30.qui.—51,13269.o. 52.44. 3.45. 25,56635.i. 00. 00. 00. 00. 29,08882.Jn la tabla prefente , y fe bufcará el feno de fuahitad , que es el de 56. min. y 15. fegundos,liie ferá : 1636,17316. y la mitad de efte, quefe el de 28. min. 7. fegundos, y 30. tercerosque vale: 818, u 196. y el de la mitad de efte,fue es de 14, min. 3. fegundos, y 45. terceros,í ue va 'e : 409,06040. defpues el de la mitadde efte, que es de 7. min. 1. fegundo , 5 2. tercos, 30. quartos, que vale : 204,53063. y•on efie fe bufcará el de fu mitad , que es 3.«n. 30. fegundos, 56. terceros, i5. quartos,que

•26 Trigonometríaque vale: 102,26537. y la mitad de efte, quecs 1. min. 45. fegundos, 28. terceros, 7. quartos,30. quintos,y fu valor: 51,13 269. y finalmentefe bufcará la mitad de eñe arco, que esde 52. fegundos, 44. terceros, 3. quartos, 45.quintos, que valdrá: 2 5,5663 5. todos los qualesparecen en la tabla prefente.Y refpedo de que no hemos llegado á hallarel valor de un minuto en todas las operacionesprecedentes , que es , lo que fe pretendía,fe procurará hailar con la ultima mitadhallada en la forma figuicnte.La ultima mitad, que fe halló , que es elfeno del arco de 52. fegundos, 44. terceros,3. quartos, 45. quintos, fe reducirá á la ínfimaefpecie , que es á minutos quintos, multiplicandolos 52. fegundos por 60. añadiendo44. terceros , y harán 3164. terceros , y eftosmultiplicados por 60. añadiendo 3. quartos,producen 189843. quartos, y eftos multiplicadospot 60. añadiendo 45. quintos, producirán11390625. quintos. Reduzgafe también1. min. á quintos, que multiplicado por 60.fon 60. fegundos, y eftos por 60. fon 3600.terceros, y eftos por 60. hacen 216000. quartos,y eftos por 60. producirán 12960000.quintos.Defpues fe formará una regla de tres, diciendo:Como el arco de 52.fegundos, 44»*terceros , 3. quartos, 45. quintos , que vafesi*Plana general. 2711390625. quintos al ateo de un min. que vale1296.0000. quintos; afsi el feno del arco| de 52. fegundos, 44. terceros, 3. quartos, 45.quint. que fe halló fer 25,56635. al feno deun minuto , que fe bufca , y vendrá al quartotérmino: 29,08882. que es el valor del feno[primero de un minuto. Con efte feno de unminuto, y con los hallados antes, que todos eftánen la tabla antecedente, fe hallarán los de-•nás,que faltan hafta el feno de 90. grs. valienidofepara ello de las Propoficiones antecedenttes, en la forma figuiente.Dado el feno de 1. min. fe hallará por laprop. 4. el feno de 2. min. y con efte el de 4.y con efte el de 8. bufeando fiempre el feno•del arco duplo, quantas veces fuere necefiairio,para conftruir las tablas de los fenos. Dcf-I pues fe bufcarán por la propof. 2. los fenos de\, fus complementos. Y también los fenos de lasfumas, y diferencias de dos arcos, por las propof.5. y 6. como fuere neceflario.Para hallar el feno de 45. grs. fe quadraráel radio, y fe duplicará el quadrado , y de efteduplo fe facará la raíz quadrada, que dará elvalor de la cuerda de 90. grs. y la mitad de eftacuerda ferá valor del feno de 45. grs. comoqueda dicho en la def. 5. La prádica de fabricardichas tablas, que ferá hafta los 10. min.\[ como ya queda dicho, es la figuiente.Primcraiuepte fe hará la divifion de lasta-^*T I

m2 8 TrigonometríaPlana general.'- nptablas , formando una frente de otra , y cada dé las "cabezas de las tablas deben componer«na contendrá fíete columnas, en las primerasde cada una, ó en la primera de las pri­Ipondc la fegunda 89. y defpues de concluida89. grs. Y afsi en la 1. que tiene o. corref.1meras , y ultima de las fcgundas , fe pondrán la primera tabla con los 60. min. que hacenlos minut. en las tres primeras figuientes fe fcn grado , fe pone en la cabeza de la r. tablapondrán los fenos, tangentes, y focantes naturales, y en las otras tres reliantes los fenos, modo figuen las demás tablas , como fe vetn grado, y en la 2. fe ponen 88. grs. y de eftetangentes, y fecantes logarithmicas, notando pradicado en ellas.cada columna con fu nombre en la frente, ó fi Comenzando pues la conftruccion de digastablas , fe pondrá por feno primero de o..cabeza de ella , y fobre todos los nombresdichos fe pondrá •en la frente de la tabla el |n la columna de los fenos o. y por feno primerode 89. grs. y 60. min. que es lo mifmo,numero de grs. que debe fuponer. Y porquela primera tabla no fupone grado alguno, fe que 90 p. ie pondrá en la fegunda tabla elpondrá-o. y en la fegunda fu correfpondicntefe pondrá 89. grs.pondrán las en tablas folamcnte los numeva.ordel radio , que cs : 100000,00000. peroLuceo fe pondrán los min. en la 1. colum- # s '

$0* Trigonometríafo, porque los cinco números , que fe han dequitar, es el primero 9- y mayor que 4. fe añadiráuna unidad al feno, y quedará 100000.por valor del feno 1. de 89. grs. y 59. min.Con ellos dos fenos primero, y fegundo delarco de un min. fe bufcará el feno de el arcoduplo, que es el de 4. min. por la propof. 4.y fe hallará fer: 5«,i77 6 4- q uefe pondrá en fulugar enfrente de 2. min. en la primera tabla.Defpues fe bufcará fu feno 4. que es primerode 89. grs. y 58. min. que ferá:99999,í>8307.que fe pondrá en la 2. tabla enfrente de 58.min. del modo, que queda dicho en el feno de89. grs. y 59. min. y afsi ferá : 100000.Defpues fe bufcará el feno del arco duplode 2. min. que es el de 4. min. y fehallará, quecs: 116,3 5 5 26. que fe pondrá en íu lugar,quitadoslos cinco números enfrente de 4. min. yfe bufcará también fu feno 2. que ferá primerode 89.grs. y 56.min.y fu valor: 99999,91^1}-y fe pondrá en la rabia 2. enfrente de 56. min.que ferá: 100000.Defpues fe bufcará el feno del arco duplode 4.min. que es el arco de 8. min. 232,71036..que, quitando los cinco números últimos, quedaráen 233. fegun queda advertido ; y tambiénfe bufcará fu feno 2. que cs primero de8 9 .grs. y 5 2. min. que ferá: 99999,7 :s í , 22.quefe pondrá en fu lugar, y quedará: 100000. enfrentede 5 2. min. y lo mifmo fe hará con el leñoPlana general. jpno de S. min. Y de efte mifmo modo fe profeguiránlas operaciones de bufcar los fenos delos arcos duplos, que fueren neceflarias, y colocarlosen fus debidos lugares.Í L , Defpues con el feno de 1. min. y de a.min.;e bufcará por la proporf. 5. el feno de 3. min.' fe hallara fer : 87,26645. y fepondrán en laTbla 1. en fu lugar : 87. defpues fe bufcaráfu feno 2. que es 1. de 89.grs. y 57.min. y fefallara fer: 99999,96192. y fe pondrá en fu|igar: 100000. Luego fe profeguirá, bufean-#0 los fenos de los arcos duplos , fegun fuere•eceirano , como yá queda dicho.Jufcara el feno de j.m.n y faUra: 145,44405.•e qiuen quitando los cinco números , queda»f 45- que fepondrá en fu lugar. Luego fe faca-Ja.lu feno 2 que es i.de89.grs. v 55-min. que£ra: 99999,89423. y ^dará en 100000. quefc pondrá en fu ugar. Defpues fe bufcará el^eno de el arco duplo de 5. min. que es el delo. min. yfaldrá: 290,88779. de quien qui-¡nÍ?MC1IKO mmieros > 7 augmentando la•niüad por_ razón del num. 8. primero de13Araun*? . qU,Un >

'si Trigonometría ,Defpues con los fenosde 3. - y * 4- n. *bufcará el feno de 7.min. que fera: %i£*J**que fe pondrá , lo que le correfponde en fu fegar, que es enfrente de 7. min. «4. y halladoS e n el feno 2.que es i.de 89.grs.y53.mm.y fu valor :99999,79^9;

•,*Trigonometríamin. y la tangente de fu .complementa a elquadrante , que cs la de 90-grs. teft^Jgrá 60-jnin. ferá infinita: efto.es-, no terminada : porqueefta tangente es paralela con el radio , quetermina los 90.grs. del quadrante , y afsi fepondrá en la columna de las tangentes de 1*2. tabla enfrente de 60. miu. efta voz:infnita.Bufqucfe ahora la tangente de i.nún^añadanfe10. ceros al feno primero : ao-.oB^Sa, ypartafe entre fu feno fegundo: 99999,995 7 6 -y vendrá al rocíente 29,08882. valor de latangente 1. que fe pondrá en fu lugar, quitandolos 5,números, y quedara 29. Para hallarla tangente 2. executeíe lo contrario, elloes: añádanle io.ceros al feno fegundo: 99999-99576. y partanfe entre el valor del feno primero• 29,08882. y vendrá al cociente -343+-74672,74368. por valor de la tangente 2. de1. min- y i- de 8o.gts. y 59.mm. que fe pondráen fu lugar, haviendola quitado los 5. números, y quedará en : 343774

j6 Trigonometríacante primera BH. Porque en los triangulo»BGD.-BCH. las rectas DG.-HC fon perpendicularesá la BC por las def. del feno, y tangente, y por tanto hacen ángulos re¿tos conla BC. ( io. def. i.) yferán paralelas (2S.p.i.)Luego en el triangulo BCH.por fer la DG. paralelaá la HC cortará proporcionalmente loslados BC-y-BG. ( 2.p.6, ) Luego fm: comoBG. iguala DE. ( 34.p. i. ) a BC afsi BC o fuigualBD. (i5.dcf.i.)áBRDigo lo fegundo , que el radio BC es me-Uio proporcional entre el feno i. DG. y lai fecante2. BY. Porque, fiendo los ángulos BFD.y BEY. redos, por las def. del feno, y tangente: ferán iguales^, (t 2. ax.) y el ángulo externoBFD. igual al interno BEY. opuefto , y•déla mifma parte : luego la FD. es paralela ala EY. (28.p. 1.) Y porque al lado EY. efta tiradala paralela DF. cortará efta los lados BE.y BY. proporcionalmente. ( 2. p. 6.) Luegoferá: comoBF. igualáDG.(34-P-*-K

-;..;-74-.7;. MÍ---í«S-r. IO.OOOO. H.^l

4° TrigonometríaTCAPITULODe los Logarithmof.ni.Oda reíolncion en qualquier trianguloíe hace mediante el conocimiento delas cuerdas, o fobtenfas de el circulo fenos, tangentes , y focantes con el ufo dela regla de tres ó de proporción, la queda a conocer el 4. termino : Y como eftaoperaciones no pueden dexar de fer muy moleñas, donde, además déla fatiga, y canfanciode la cabeza, eftá, aun el mas dieftroAnthmerico , expueftb a no facarlas tanprecifas, como fe defean , y fon menefteríl or eite motivo , queriendo nofotros evitarefta moleftia, y fatiga, y la ocafion de errarlas operaciones , Apondremos otros númerosartificiales , que.,.,fegun la admirableinvención | del Caballero Juan Nepero, fe llamanLogarithmos ,. donde, fe fubftituye la fuma-enlugar de la multiplicación : y la operaciónde reliar en lugar de la de; partir. Yde efte modo quedarán las operaciones masfáciles, exaclas, y breves : para lo qual nosayudara el conocimiento de las figuientesDEFINICIONES.} Logarithmos fon unos números artificiales,que proceden en progrefsion arith-me-Plana general. 4 1metica , que fe fubftituyen, y correfponden iotros números, que proceden en progrefsiongeométrica.2. Progrefsion cs una ferie , ú orden denúmeros continuada con algún excefib detino á otro. Y es en dos maneras, que fon:Arithmetica, y Geométrica.3. Progrefsion Arithmetica es una feriede números continuada con excefib de igualdadde uno á otro. Efte excefib puede fer deaugmento , ü de diminución. Será de augmento, quando el primer termino es menor,que el fegundo , y efte menor, que el 3. &ccomo en el exemplo prefente , en que eftánlos números: 1.3. 5. 7. 9. u. 13. 15. pueftosen progrefsion arithmetica , con el exceffode 2. de un termino á otro , que es el expolíentede la progrefsion : y efta fe llama progrefsion-Arithmetica afcendente.Será también el excefib de diminución,quando el termino n fuere mayor, que elfegundo, y efte mayor, que el tercero, &c.donde el excedo: |.so. i 7 . 14. 11. 8. 5. a.de un.termino á otro cs 3. y efta fe' llamaprogrefsion Arithmetica defeendente , y el 3.cs también exponente de la progrefsion.4. Progrefsion Geométrica es una feriede números continuada con excefibde igualdaden la multiplicación :" ó fea el excedo deaugmento, ú de diminución. Efte excefib deIausí-

4* Trigonometríaaugmento fe hallará en la progrefsion, quandoel termino r. es menor , que el,2. y fe llamaprogrefsion afcendentc, y partiendo el numerofegundo entre el primero, el tociente es el expolíentede la progrefsion , como en el exempioprefente : | i. 4.. 16. 64. 256. 1024.cuyos términos efián en progrefsion.geometricaafcendentc,y el expolíente es 4,porque,partiendoel 2. termino entre el 1. y lo mifmoqualquier termino entré fu antecedente , faleal reciente 4. y afsi tiene igualdad en el exceffopor la .multiplicación : porque, multiplicandoel 1. termino por 4. produce el 2. teriniíw,y efte multiplicado por 4. produce el ?.y aí.si de los demás.; por cuya razón la dichaprogrefsion fe llama también afcendentc ordenadaen razón feíbqnadrnpla , por efta» fegtüdosxodoslos. términos, y fer contenidosen los immediaros figuientes 4. veces.Pero, el excefib en diminución fe conoce,quando ,el termino 1. cs mayor , que el 2. yentonces fe llama- pmgrefsion defeendente, ypara conocer el expolíente, que dá nombre ála progrefsion j fe partirá el primero terminoentre el fegundo , u otro qualquiera entre fu¡inmediato figuiente , y el tociente ferá elexponiente: | 243. 81. 27. 3. 9. i.- que febufca. Loque executado en la prefente ptogreísion, fale al tociente 3. que es el exponente; y por efto , y lo referido antes¡, fe llamarápro-Plana general. '43progrefsioa ordenada defeendente en razóntripla. .Supongafe. ahora una progrefsion geométrica, qualquiera que fea , como la puefta en"la columna A. de la tabla prefente , que escontinuada en razón fubdupla : y en lugar delos términos de efta progrefsion fubftituyamosotros en progrefsion arithmetica , comola de la columna B. cuyo exponcute es 2. ola de la columna C cuyo exponente cs 3. eftosnúmeros fubftitnidos fe llaman Logarij^h-. mos , y fe obra con ellos , fumando , u reftando, como en los de la progrefsion geométrica,. multiplicando , u partiendo : y el 1110-. do es el figuiente.. . Formefe una re-¿la de tres, dlcien-• do: Si 2. vienen de1.4. el numero .8,.de donde vendrá?-Obrefe por la regla• genera!, multipli-A. B. C.1,— rrrr i... _o.2. 3. T-3"4.—r-- 5- ] 6..£.,r 7- H 9-¡6. —9. —-—12,r~——Efe—- 1 *"- cando el 2. termino4. por. el tercero 8. y producen 3 2.y partanfc¡2.entre el 1. termino 2. y viene al 4. termino16. Eftas operaciones fe executan co»mayor facilidad por los logárithmos , tomandolos números correfpondientes á los númerosdados en la regla de tres , y fumandoel fegundo y tercero, y de la fuma reliandoeltcr.mi < •-——-i II

fci'44 Trigonometríael i. y el refiduo , buícado en la progrefsionarithmetica, dará en la gcomettica el termino, que fe bufca, que es el 4. como fepracticaráen los cxemplos figuientes.La regla de 3. decia : Si 2. vienen de 4. elnumero 8. de donde vendrá ? Tomenfe en lacolumna B. los números correfpondientes a' los dados en la progrefsion geométrica , ycorrefponderá al 2. el numero 3. al 4. correfponde5. y al 8. correfpondc 7. Sumenfeel fegundo , y tercero termino , que fon5. y 7. y hacen 12. de quien fe refta el 1.que es 3. y ferá el refiduo 9. bufquefe enla progrefsion arithmetica B. y correfponderáen la geométrica A. 16. que es lo mifmo,que antes fe halló por las operaciones demultiplicar, y-partir.Tomenfe también- en la progrefsion arithtrieticaC. los números correfpondientes álos dados en la regla- de 3. que eran 2. 4. 8.y ferárt : 3. 6. 9. fumenfe fegundo 6. y tercero9. y harán 1 5. de quien reliando 3. que csel i. quedarán 12. que bufeado en C correfpondeen la columna A. á 16.- y es lomifmo, que en las operacionesantecedentes.CA»Plana general.CAPITULOIV.45DE LA NATURALEZA,y propriedad de los Logarichmos.PROPOSICIÓN PRIMERA.EN QUALQUIER PROGRESSIONarithmetica ¡afuma de los medies es iguala la fuma de los extremos.SEa la progrefsion arithmetica la prefenteafeendente continuada háfla fíete términos, cuyo exponente es 2. Digo , que la fu-| ma I 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. de el primero 1.1con ultimo 13. que hace 14. es igual á lafuma del feg. 3. conelfexto II. y también ¿la fuma del tercero 5. con el quinto 9. queliemprees 14. y al duplo de el termino quarto,que es 7. que también hace 14.De donde fe ligue , que dados tres términosarithmeticos proporcionales , fumandolos términos fegundo , y tetcero , y de lafuma redado el 1. el refiduo ferá el terminoquarto , que fe bufca: v.'g. Denfe los términos8. 10. 12. fumenfe los últimos 10. y 1 2. yhacen 22. de quien reliando 8. quedan 14,que cs el 4. termino.. Lo mifmo focedla 4 aunque los tetmi-' nos

4^ Trigonometríanos no fean continuos proporcionales : v.g.Sean los términos 8.10. ao. la fuma de los dosúltimos es 30. de quien reliando el primero8. quedan 22. por el quarto termino , quefe bufca.Pero fi fe quifierc bufcar el tercero termi-*no, dados el 1. y 2. dupliquefe efte, y del duploreftefe el 1. y el refiduo ferá el 3. V.g. Seatfdados 1 2.y 20. el duplo de 20. es-40. de quierereliando 12. quedan 28. tercero termino, quefe pretendía.PROPOSICIÓNII.En qualquier a progrefsion geométrica el pmduílode los extremos es igual al productode los medios.SEa propuefta la progrefsion geométrica afcendentccontinua en razón íubdunlabada 5. términos. Digo , que el produéto'delos extremos 2. por 32. que es 64. cs igual alproducto de los medios 4. por 16. que cs también6¡. y al produéfo de 8. por si mifmo,quetambién es 64. que es el quadrado de 8.De donde fe infiere la prafticade la regla detres, ó de proporción: Porque dados 3. términosgeométricamente proporcionales , feancontinuos , ó no lo fean , multiplicando el feguudopor el tercero, y partiendo el productocn-Plana general. 4^entre el primero, el tociente dará el quarto terminov. g. Sean dado? los términos 4. 8. 16..multiplicados 16. por \ 2. 4. 8. 16. 32. 8„producen 128. que partidos entre 4. viene alrocíente 32. quarto termino, que fe bufca.Sean también dados los 3. términos 5.25.145.,el p.rodufto del 2. por el tercero es: 3625.quepartidos entre el 1. termino 5. viene al tociente: 7 2 5- quarto termino, que fe bufca.Pero fi fe quiere bufcar el tercero terminageométrico , dados el 1. y 2. fe quadrará el 2&termino , y fu quadrado fe partirá entre el 1. j».el tociente dará el 4. rermino: v.g. Sean dadoslos términos: 5. 25. quadrefe el 25. y ferá fuquadrado 625. partafe entre el 1. termino 5*y vendrá al rocíente 125. valor del 3. termi*«o , que fe pretendía.PROPOSICIÓNIII.De ¡afirmación de los Logaritbmos.LOs Logarithmos, de que al prefente tratamos,fon en dos maneras, que fon: Directos, y Retrogados. Logarithmos directosfon,los que proceden con igual excefib de augmento,u de diminución, al modo, que los términosde la progrefsion geométrica crecen, ódiminuyen. Los Retrogados fon , los que procedencon excefib de augmento, quando hpro-I

4S Trigonometríaprogrefsion geométrica diminuye; ó los queproceden con excefib de diminución, quandola progrefsion geométrica crece en fus términos.Efto fupuefto » eligiremos los Logarithmosdirectos, por fer fus operaciones masfáciles para los no Cürfados en las operacionesalgébricas : y también eligiremos en las.progresiones geométricas, y arithmeticas,aquellas , que los Authores de mas fama han«fado ^ por haverlas hallado mas conformes!y afsi eligiremos de las geométricas, la queprocede en razón fubdecupla, cuyos terminasfon : 1. 10. 100. &c. como parece enJa tabla figuiente: y entre las arithmeticas,la que comienza en o. y profigue excediendofeen la unidad, á quien fe añadirán fíeteceros , para que con mayor exactitud puedanhallarfe los términos intermedios de laprogrefsion geométrica, y el modo es el figuiente.Formefe primeramente la progrefsiongeométrica afeendente en razón fubdecupla,y tomefe por primero termino 1. quemultiplicado por 10. hacen 10. y efte multiplicadopor 10. produce 100. y efte por IO»Iproducen 1000. y afsi fe feguírá hafta 11*términos con la multiplicación de 10. porfer fupuefta la progefsion en razón fubde?cupla*PePlana general. 49Defpues fe pondrán enfrente los términosnaturales defde 1. hafta 11. Y últimamentefe pondrán enfrente unos de otros los 1 r.términos de la progrefsion Arithmetica corref^bndicntcsá los de la progrefsion Geométrica, comenzando defde o. hafta 1 o. los qualesvan fegregadosde los Prog.Geom. Trons. Prog.Aritb.ceros , que fe . .deben añadir , por 1.medio de un pun- 10.to, para denotar 100.la caraeterifti- 1000.ca, afsi llama- 10000.da : porque 100000.es carácter, 1000000.ó feñal, 10000000.que dá 100000000.a cono- 1000000000.cer, 10000000000.quán-I.2.3-4-5^6.7'8.9.10.11.0.0000000.I.OOOOOOO.2.0000000.3.0000000.4.000COOO.5.0000000.6.0000000.•7.0000000.S.OOOCOOO.9.0000000.IO.OOOOOOO.tos números , ó cifras tiene el numero de laprogrefsion Geométrica correfpondicntc, elqual fiempre tiene uno mas, que las unidaddes, que tuviere la caracteríftica. Y afsi quandola caracteríftica cs o. denota , que el termino, que le correfponde en la progrefsiongeométrica, tiene un numero : y quando lacaratteriftica es 4. dá á entender , que fu ccrrefpondienteen dicha progrclsiou gcome-Dtri-fe

Ijo TrigonometríaPlana general. 5 rtrica , tiene 5. números, y afsi fe debe tenes ráel quarto termino : 3. 0000000. corrcfpondienteá 1000. en la progrefsion geométrica, yentendido en las demás caraéterífticas.de efte modo fe fabricará la tabla hafta losCAPITULO V.«1. términos , como en ella parece.DE LA FABRICA DELogarithmos.LOSPROPOSICIÓN PRIMERA*Dado el Logar ithmo del primero, y fegundo terminode una progrefsion geométrica , bailar leíLogarithmos de los demás términos dedicha progrefsion.SEan dados los términos primero , y fegundode la progrefsion geométrica 1. - y -10. y los términos logaritlimicos lus correfpondientes: o.0000000. - y - 1,0000000.y fe quieren hallar los demás términos reftanrtes. Reftefe el menor termino del mayor enla progrefsion arithmetica , y ferá el refiduo*1.0000000. el que añadido al fegundo termino, u fumado con el fegundo termino, daráel tercero termino: 2. eóooooo. que correfpondeá 100. de la progrefsion geométrica: y añadiendo fiempreefte excefib al terminoultimo, refpecto de fer la progrefsion afcendentc, dará el figuiente : y afsi fumando:a. 0000000. con el excefif© 1. 0000000. dataPROPOSICIÓN II.lt>ados los términos exiremos geométricamente[proporcionales , en qualquier a progrefsion geométrica, y dados fus logarithmos, hallarlos logarithmos intermedios.SEan dados los términos extremos : 1. -y-10000000000. de la progrefsion geométrica, y fus logarithmos correfpondientesfean: o. 0000000. -y-10. 0000000. comoparece en la tabla antecedente , y fe pidenlos logarithmos intermedios , fien do 11.el numero de los términos. Reftefe el menordel mayor, y partafe el refiduo entre el numerode los términos menos 1. y el tocientedará la diferencia del termino 1. al 2. y de efteal 3. &c. la que añadida al 1. termino, daráel 2. termino , f añadida á efte , dará el 3.&c. Por lo qual , reliando o. ooóoooo. de:10. 0000000. queda en el refiduo : 10. ooóoooo.que partido entre 10. potque los términosfon 11. faldrá al rocíente: i. 0000000.diferencia de los términos , que añadida áDiel

5 3 Trigonometríael i. termino: o. ooooooo. dará el fegundotermino : i. ooooooo. y añadida á efte, dará;a. ooooooo. termino 3. y de efte modo le hallaránlos .demás términos hafta los 11. términos, que es lo que fe pedia.PROPOSICIÓNIII.Hallar los Logarithmos de todos los numerofcomprebendidos entre dos términos de unaprogrefsion geométrica , y losSimmediatos.Ean dados los dos primeros términos de laprogrefsion geométrica 1. -y- 10. y faslogarithmos correfpondientes : o. ooooooo. -y- 1. ooooooo. y le pretende fabcr, quales fean,los logarithmos de los términos comprebendidosentre r. -y- 10. que fon ocho , conviene,á faber : 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Añádanleá los términos dados de la progrefsiongeométrica fiete ceros, para que lalgan mas,ajuftadas las opera:.ones, y póngale en unatabla, como la prefente en A. -y-B. y b.ifquefeentre ellos un medio geométrico ^multiplicandoel uno por el otro , y del productolaquefe la raíz quadrada, y efta ferá el mediogeométrico , que fe bufca , que ferá:3. i622 77 6. quefe pondrá entre los dos términosdados en C en la dicha tabla , comoparece. Pero porque , para proceder feguida-men-Plana general ¿i(mente en el modo de hallar eftos términos1 intermedios , fe debe bufcar, lo que corref-Ipondcal termino defpues del 1. que es 2. elque fe ha de fuponer con fiete ceros , comotambién fe añadieron á los términos dados1.-y- 10. y el medio geométrico , que fe ha[hallado ahora C es mayor , que J 2. ooooooo.'fe infiere, que fe hallará 2.0000000. entre1. ooooooo. yC. 3. 1622776. Y por efto[fe bufcará entre A. - y - C otro medio geométrico, del mifmo modo, que el antecedente,y faldrá D. que es n. 7782794. que fepondrálenlata-'bla enI tre A. -y-C comoencllaeftápuefto.Y porqueeftemedieD. esmenor,que elque febufca,que es:A.CB.A.D-CD.E.CD.F.E.3.0000000.I. ooooooo.J. I¿22 77 6.IO.OOOOOOO.I.OOOOOOO.1.7782794.3.1622776.1.7782794.a-371?7?7-3.162277a.1.7782794.2.0535250.2-37*37*7-0. ooooooo.0. 5000000.1. ooooooo.0. ooooooo.0. 2 5 00000.0. 5000000.—0. 2500000.0. 3750000.0. 5000000.0. 2500000.0. 3125 000.0. 3 7 50000.Vi 00-

I54 Trigonometríaoooooo. fe bufcará entreD.-y-C. uno rtü*ñor , y otro mayor , otro medio geométrico,queferáE. 2. í7 i 37í7 . quefepondritambién en la tabla entre D. -y- C. y porquees mayor , que: 2. ooooooo. que fe bufca, feinfiere , que efte fe ppdrá hallar entre D. -y-E. y afsi fe profeguirá, facando otro mediogeométrico entre D. menor, y E. mayor , yfaldrá F. que también es mayor, que el termino, que fe bufca, que cs : 2. ooooooo.que fe pondrá en la tabla, y de efte modo feirán continuando las operaciones de facarmedios geométricos entre el próximo menor,y mayor á: 2.0000000. hafta que falgapor medio geométrico el mifmo termino:a.ooooooo. quefe bufca,Haviendo hallado el medio geométrico»2. ooooooo, que correfponde al numero 2.fe tomatán fus logarithmos correfpondientesá los dos términos dados primero A. -y-B. que fon ; o. ooooooo. ry-i. ooooooo. entrepilos fe facará un medio arithmetico,fumando ambos términos, y de la fuma , queís : 1. ooooooo. facando la mitad, que es;o. 5000000. ferá el medio arithmetico , quecorrefponde á C. que fe pondrá en la tabla,cada uno frente de fu correfpondiente. Defpuesfe tomarán los logarithmos correfpondientesá-A-y-C que fon: 0.0000000.-y-o. 5000000. y fe colocarán en la tabla,pa-Plana general. • Í5 m«ara facar entre ellos otro medio arithmetico, que ferá: 0.2500000. y correfponde aD. y de efte modo fe profeguirá , facandomedios arithmeticos, guardando liempre elmifmo orden de poner el logarismo correfpondientefrente del mifmo termino , comofe puede ver en la tabla, en quefe hallapor medio geométrico: o. 3750000. entreo. 2500000. -y- o. 5000000. que correfpondeá E. y el que correfponde á F. fe halla entrelos correfpondientes á D, - y - E. que es:o. 3125000. y de efte modo fe profeguirá, fa-I cando tantos medios arithmeticos ,_ quantosfe han facado geométricos , y el ultimo ferá:' o. 3010300. que es el logarithmo, que correfpondeal dicho numero 2. ooooooo. decuyo logarirhmo, quitando los tres últimosnúmeros, que fon 300. refpe&o de que hemosdado valor al radio: 100000. quedan:o. 3010. por logarithmo correfpondiente al«minero 2. haviendole quitado los fiete ceros, que antes fe le añadieron. Pero para quelas operaciones de hallar los demás términosintermedios fe hagan con mayor precifion,fe dexarán por ahora los números todos, quefalieron en el ultimo medio arithmetico ; peroirán fegregados de los que han de ferviren la tabla de los logarithmos, por medio deuna coma, para fu mayor diflincion, comoparece en la tabla puefta al fin de efta propo-D 4 . *"

5^ Trigonometríalición , en que fe pondrán los logarithmos delos dos temimos primeros dados, i.-y-io.:y el que ahora fe ha hallado , correfpondienteal num. 2.Con el mifmo orden , que fe ha guardado,para hallar el logarithmo correfpondiente alnumero abfoluto 2. fe hallarán los de los demasnúmeros primos, que fon aquellos, á quienes_ fofamentemide la unidad , y no fon producidosde otros números: como el 3. el 5. yel 7. Y executando la doctrina dada, faldrá portermino logarithmico, correfpondiente al numeroabfoluto 3. en el ultimo medio arithmetico: o. 4 77 i2i2. que fepondrá también en latabla figuiente.Al_ num. 7. corrcfponderá el ultimo medioarithmetico : o. 8450980. que fe pondráen la tabla figuiente, como en ella parece, y tallanque hallar los logarithmos de 4. 5.6. _ 8. 9. q U e fe bufcarán del modo figuiente.Primeramente fe bufcará el logarithmocorrefpondiente al numero 4. duplicando ellogarithmo correfpondiente al numero 2.que es o. 3010300. y fo duplo: o. 6020600. cslogarithmico correípondiente á el numero 4.que también fepondrá en la tabla, y la razón deefta operación le dará en la propoficion 6. figuiente,Defpues fe figue el logarithmo del numeroPlana general.SfVo 5. cuya doctrina le dará en la propoficiori5. figuiente , y fe hace por ahora , tomando ellogarithmo correfpondiente al numero 10. y,de él fe tomará la mitad . que es el logarithmo,que correfponde al numero abfoluto 3. y ferelia del logarithmo de 10. y el refiduo feráel logarithmo correfpondiente al numero abfoluto5. que ferá: o, 6989700. quefe pondráen la tabla en fu lugar.Luego fe bufcará el logarithmo correfpondienteal numero abfoluto 6. fumando los logarithmos, que correfponden á los númerosabfolutos 2. -y- 3. y ferá : o. 7781 512. que fepondrá en fu lugar en la tabla , y también fedará la razón de efta operación en la propoficion4. figuiente.Defpues fe bufcará el logarithmo, quecorrefponde al numero abfoluto 9. del modo, que fe bufeo el correfpondiente al numero6, y íi explicará, en la propoficion 6. queferá , to nando el logarithmo correfpondienteal numero 3. y fu duplo, que es: 0.9542424.es el logarithmo , que ccrrefpcivle al dichonumero 9. que fe pondrá en la tabla.Últimamente fe bufcará el logarithmo,que corresponde al numero abfoluto 8. tomandoel logara limo ,• que correfponde á elnumero abfoiuto 2. y fu triplo ferá el logarithmo, que correfponde al numero abfoluto8. cuya razón fe dará en la propoficion 6.figuiente.Con.I,i

58 TrigonometríaCon eftos logarithmoscorrefpondientesáN Logarithmos.los diez números l o. oooo, 000.abfolutos:i.2.3.2 o. 3010, 300.4- 5.6.7.8.9.10,s 0.4771, 212.que eftán puef-£ 4 1 o. 6020,600.os en Ja prefentetabla, que5 I o. 6989, 700.fe repetirá al finde efte Tratado;0.7781,512.pero con folos 7 o. 8450, 980,8quatro númeroso. 9030, 900.defpues de la cara£ieriftica, de—0.9542,424.10I I. 0000, 000.*ando los tres , que fe hallan defpues dc'la coma,reípecto de que el radio lo hemos fupueftode 100000. fe podrá continuar, quantoquifiere el operante; pero nofotros la continuaremosfolamente hafta el numeró abfoluto:1000. por fer muy fundente , para obrarenJas operaciones Trigonométricas ; ademásque, h tal vez fe necefsitáre de mayor nume-,ro le dará defpues regla, para hallar fu logarithmocorrefpondiente : y el mododefeguir«icha tabla, es el figuiente.Tomenfe los logarithnxs de 2. -y- 6. yWnfe, y Ja foma ferá logarithn-o de 12.1 ce 2. - y - y. fumados darán el logarithmo

** Trigonometríade los números 10. y 8. y la diferencia de«nos, y Ja femidiferencia , que o. 9031 - 8ícra mayor, de la que corref- 1. 0000 - 1 o.ponde a la, que debe haverentre 10. - y „ u. Tómenletambién los logarithmosde 12. -y . I4. | a diferenciaentre ellos , y la femidiferen-Cia, que ferá menor de la quecorrefponde entre 10. -y n.La primera femidiferenciacs : 485. Ja fegunda: 33 5. Súmenteeftas dos femidiferenrcias , que importan 820. faquefela mitad, que cs: 410. yfumefe con el logarithmo de10. y hará el logarithmo de!ii. que fe diferencia del queefta puefto en las tablas deI.I.1.I.9694850792146166933582041000000410los logarithmos en 4. diez milefimas partes,que 1 en la práctica es del todo deípreciable,y mientras mayor fuere el numero , ferámenor el error, como fe verá en el exempíofiguiente:Se pretende bufcar el logarithmo, quecorrefponde al numero 29. Bufquenfc los logarithmospróximos immediatos menores,dexando uno intermedio , que fon los de losnúmeros 26. - y - 28. tomefe la diferencia deellos, y la femidiferencia , que es : 161. mayor,#12-14.*——.IO.ir-Plana general.r 6iyor, que la que fe bufca: Tomenfe tambiénlos dos logarithmos próximosmayores, dexando tam­1. 44-72 28.1. 4150 26*bién otro intermedio , quefon los de los números 30. - 322y - 32, faquefe la diferencia 161 *de ellos , y la femidiferencia,que cs : 140. que ferá menor, que la que fe bufca : fu­5051 3 2 -477 * 30.menfe eftas dos femidiferencias, que hacen : 301. faquefela mitad , que es : 15 r - 140 *280diferencia, que fe bufca , quefumada con el logarithmode 28. importa: 1. 4623. quefe diferencia de el puefto enlas tablas en fola 1. diez301I5i4472 2Ímilefima parte, como parece 1. 4623 29.en el excmplo : Para la prácticade los logarithmos en el modo de bufearlos,ferviránlas Propoficiones figuientes.PROPOSICIÓN IV.Dados los Logarithmos de dos.,0 mas numeros,baAllar el logarithmo del producto dedichos números.SEan dados los números 2. - y - 3. y fus logarithmosA. - y - B. y fe pide del producto6. fu logarithmo. Súmenle los logarithmos

*6i Trigonometríamos dados A. - y - B. y lafuma C es el logarithmodel num.6. productode los dos números dados2. - y - 3. que fe bufcaba.Nota, que aunqueA.-o.B.-o.C.-o.•Aaa3010. - 2.4771.-3..7781.-6^en la tabla logarithmica fe halla por lpgarithmodel dicho num.6. - 0.7782. y aqui no falemas, que : 0.7781. no es yerro ni en una, niotra parte : porque en la tabla, quando fe formó, como fue con mayor numero de números, y fe quitaron los , que havia mas delos , que fe han elegido para fu formación , elprimero de los , que fe quitaron era 5.y por efta razón fe augmentó el logarithmoen una unidad, y ahora fe ha obrado con fololos números de dicha tabla, y por efto falela unidad menos; pero efto importa nadapara las operaciones trigonométricas.Sean también dados los numer. 2.-3.-4.-y fus logarithmos A.-B.-C. y fe pretendefaber , qual fea el logarithmo de 24. productode todos ellos. Sumenfelos tres logarithmosdados, y la fumaD. es el logarithmode 24. productoA. -o.B. -o.C-o.3OIO. - 2,477 I -"3'6021.-4.D.-1. 3802.- 24.de la multiplicacióndy a». - ¿, - 4. unG$ por otros,.PRO-Plana general.PROPOSICIÓN V.'6%Dados los logarithmos de dos números, bailar,el logarithmo del tociente de la particiónde uno entre otro.SEan dados los logarithmos A. - y - B. de10. y 2. y fe defea faber el logarithmo deC -0.6990. -5.el num. 5. tociente de la partición de 10. en­A.- 1.0000.-1 o.B - 0.3010, - 2.tre 2. Reftefe el menorB. del mayor A. y el refiduoC. ferá logarithmodel numero 5. tocientede la partición del numeromayor 10. entre el menor 2. La razón deefta operación , y de la executada en la propoficionantecedente cs : porque en las operacioneslogarithmicas el fumar , y reftar, correfpondeen números abfolutos á multiplicar, y partir , como queda antes referido.PROPOSICIÓNVI.Hallar ¡os Logarithmos de las potejiades,y raizes.DAdo el logarithmo de un numero abfoluto, fi le duplica, dará el logarithmode fu quadrado, y fi fe triplica, dará elIp-

'\o> Trigonometríalogarithmo de fu cubo: A.- o. 3010. -IVV» g. Sea el logarithmo' —•• — . i ,„ ^dado A. del num. 2. y fe B. - O. 6o 20. -4.pide el logarithmo de fuquadrado 4. y el de fu cubo8. Dupliquefe el lo­C.-o. 9030. -8.garithmo A. y ferá fu c uplo B. logarithmode fu quadrado 4. Y tripliquefe el mifmo logarithmoA. y ferá C. el logarithmo de fitcubo 8. y de efte modo fe hallaron los logarithmosde los diez números pueftos cu la tablaantecedente en la propof. 3. y fe podránhallar los reliantes , hafta completar el numero,que fe quifiere.Dado también el quadrado, u cubo dequalquiera numero abfoluto, fe hallará furaíz , tomando el logarithmo del quadradodado, y de él fu mitad corrcfponderá á laraíz quadrada , y tomandola tercia parte del lo­D.-o. 6021. -4.garithmo del cubo, corrcfponderátambién á laE. -o» 3010. -2.raiz cubica: v. gr. Sea F.-o. 9031.-8.dado el logarithmo D. deel'numero quadrado 4. 1 G.-o. 3010.-a.y fe bufca el logarithmode fu raiz 2. Saquefe la mitad del logarithmoD. dado, que es E. que ferá logarithmo de 2.raiz quadrada de 4.Sea también dado el logarithmo F. de elnu-Tlana general. 6fftümero cubico 8. y fe quiere faber el logarithmode fu raiz cubica : faquefe la terciaparte del logarithmo dado F. que ferá G. y esel logarithmo, que fe bufca.PROPOSICIÓN VILI §íallar el logarithmo del medio proporcionalSentre dos logarithmos dados.Ean dados los logarithmos A. - y - B. delos números 2. y S. y fe bufca el logarithmodel medio proporcional geemnrico,que cs 4. fumenfe ambos I A. o. 3010. 2.logarithmos dados A. -y- B. B. o. 9031. 8.y la fuma es C. de quien i ..tomando la mitad, que es C 1. 2041..D. es medio arithmetico ,entre los logarithmos da- D. 0.6021. 4..dos , correfpondiente á el | —.numero ^ ^abfoluto 4. medio proporcionalgeométrico entre los dos números dados 2.,y 8. que fe pretendía.PROPOSICIÓN VIII.Del ufo de la tabla de los logarithmos.* J jf. I.Vado un numero abfoluto de los contenidos r»la tabla logaritbmica , bailar fu Joga-'-.. fithmo correfpondiente.OUpuefta la conftruccion de la tabla loga*V^ nthmjca bafta el numero 1000. que es el. fi fn-.&N.

66 Trigonometríafundente para las operaciones trigonométricas, ó mayor, fegun fuere el gufto de elque la fabricare. Y fupuefto también, que fecompone de 2. columnas , y que la primeracontiene los números abfolutos, y la fegundalos logarithmos, que les correfponden,ahora fe dcfea faber el logarithmo , que correfpondeá qualquiera numero abfoluto dado: v. g. Sea dicho numero dado 135. y fequiere faber, que íogaritlimo le correfponde.Bufquefe en la primera columna el dichonumero abfoluto 135. y fe hallará en la mifmalinea en la fegunda columna: 2. 130,$.,que ferá el logarithmo, que fe bufca.$. II.Dado un numero abfoluto , mayor, que los contenidosen la tabla logar itbmica, bailar fulogarithmo correfpondiente.SEa dado el numero 1497. y fe defea fabeffu logarithmo. Refpecto de que efte numerodado es mayor, que.los queeftán en latabla logarithmica , fe apartará el ultimonumero 7. y quedarán 149* que fe pondrán»aparte, y el 7. fe pondrá defpues de una ijique fignifica mas , por numerador de un quebrado,cuyo denominador ferá la unidadcoa tantos ceros, quantos números tuviereelPlanageneral. 6yel numerador : y porque el numerador tieneun numero , ferá el denominador10. ;y queda,1497rá el dicho numer. 1497 149^1en 149^^ Bufquefe elF. 3.1752.1497.E.A.B.C202.1732. 149.:2.1761. 150..logarithmo de 149. queferá A. Tomefe también.«1 logarithmo del num.próximo mayor 150. queferá B. tomefe la diferenciade eftos dos logarithmos,que esC ymultipliquefepor el 7. nume­7rador de el quebrado, y E, 20(3producen 2 03. que fe partiráentre el denominador „de el quebrado, que por fer 10. fe quitará unnumero de mano derecha , y quedará 20. portociente, como patece en E. que fe pondrá fobreA. para fumarlo con A. y la fuma F. es ellogarithmo, que fe bufca, haviendo augmentadola caracteriftica de tantas unidades,como huviere números en el numerador delquebrado, ú ceros en el denominador, qu»por fer uno, quedará el logarithmo correfpondienteal dicho numero abfoluto 1497. elque efta en F. que es : 3. 1752. como pareceen el exemplo. Efto fupuefto fe hallarán loslogarithfljQs. correfpondientes á los fenos natu-Ea 1»,29

s68 Trigonometríarales, en el modo, que dice la Propofido»figuiente.PROPOSICIÓNIX-Hallar los logarithmos correfpondientesÁ los finos,PAra hallar los logarithmos correfport-*dientes á los fenos naturales, fe tomaránpor números abfolutos los números, quecontienen los fenos naturales, que quedanpueftos en la tabla del cap. 2. propof. 2. y febufcarán fus logarithmos correfpondientesdel modo , que queda dicho en la ptopof. an-»tcccdente , y fe irá conftruyendo, con lo quercfultáre, la tabla de los fenos logarithmicos.,Pero porque el feno natural de o. es o. darápor feno logarithmico el mifmo o. que fepondrá en fu lugar en la tabla referida antecedentemente, y fe bufcarán los logarithmosde los demás fenos en el modo figuiente.Para hallar el feno logarithmico de i*minuto, fe tomarán los números , quefe bailaroncorrefponder al feno natural de 1. minut.en la 2. part. prop. 7. que fon: 29,08882.1como parece en A. de quien fe tomarán lostres primeros números por entero , y con losreftarttes fe formará el quebrado, como fe4ixo en la prop. antecedente, como parecee*Planageneral. 69en B. Defpues fe bufcará en la tabla loga-irithmica el loga- A. 29, 08882.ríthmo, que correfpondeal numer.enrero290. que es C.y á fu próximo mayor291. que es D.fe tomará la diferenciade ambos, queesE. quefe multiplicarápor 888 a. numeradordel quebrado,queesF.produciráG. de quien quitandolos quatro últimosnúmeros, porcaufa de los 4. números, que tiene elnumerador , ó losquatro ceros , que .B.H.G.C.D.E.F.G.290*ioooo.6.4637 2S 1,08882.,1$2. 46242. 4639158882444IO8882ij(3*308882.290.291.-tiene el denominador del quebrado,quedan 13*que añadidos á C. logarithmo del entero , yaugmentada la catacteriftica de quatro unidaoes,por los quatro números del numeradordel quebrado, ó los quatro ceros del denominador, hace H. que es el logarithmo , quecotrefpondc al feno logarithmico de 1. minuto,que fe pondrá en dicha tabla del dichocap. 2.. prop.2.Bufquefe ahora el feno logarithmico delE1com-

7 o Trigonometríacomplemento de 1. min. y porque el feno 9fde o. es primero de 90. grs. y efte es igual alradio , fe pondrá en la rabia por feno 2. de o.el valor que fe tiene dado al radio, que es:10.0000. Y para hallar el feno 2. de r. min.fe tomarán los números , que correfpondieronen los fenos naturales en dicha prop. 7*de la 2. parte, que fueron : 99999,99^6. y feobrará con tilos, como fe obró con los delfeno 1. antecedente, y quedará como en B*Bufquefe el logarithmode elentero, que esC. el de fu próximomayor, queesD. la diferenciade ambos,quedes E. multipliquefeporel numeradorde el quebradoF. y produce G.que partido entreel denominador, que fehace , quitandofiete nume—A. 99999,99576.B. 999^999957^-—• ' 1 1 — -iooooooo.H.ro. oóoo. 99999,9957^:G. 4C. C 2. 9996.D. 5. oooo.E.F.4999957 60.3(9998304.999.IOOO.ros , quedan 3. en G. y porque el primer numeroes mayor, que 4. fe añadirá al 3. una¡Unidad, y queda en 4. que fumado con C. yaña-..Plana general. 71añadidas las fiete unidades á la caraéteriftica,por los fiete números del numerador de elquebrado , ó por los fiete ceros del denominador, hacen H. que es el feno logarithmico,que correfponde al feno fegundo de 'ivtriiin. ó primero de 89. grs. y 59. min. que fepondrá en la tabla dicha •, como en ella parecefigurado.De efte mifmo modo fe facaránlos fertot'rogarithmicos de los demás minutos hafta los10. min. y lo mifmo en los fenos de fus complementos, y quedarán los que eftán puéftósen dicha tabla del cap. 2. prop- 2.También fe pueden hallar con mayor facilidadlos logarithmos de los fenos délos arcosduplos , fuponiendo conocido el fenoprimero, y fegundo del arco, que es mitaddel arco, que fe bufca, fumando eftos dosfenos 1. y 2. logarithmico, y de la futríaredando el logarithmode el numeroabfoluto 50000. quees mitad del radio, yvale: 9.6990,y ei re_A. 6. 4637. 00.B. 10. 0000. 89.C. 16. 4637D. 9. 6990o IV59.E. 6. 7647. 00 02.fuluo ferá el logarithmodel arco total, que fe bufca. v. g. Defeconocido yá el feno 1. de 1. minut. que es A.y fu feno 2. que es B. la fuma de ambos es dde quien reftando: 9. 6990. que vale la mitadE4del

jV T- Trigonometríadel radio, queda E. que es el logáritnmtalfeno del arco de 2. min. duplo del arco de i 4como parece en el exemplo , y de efte modofe puede profeguir la conftruccion de la tablade los fenos logarithmicos.Paja hallar el logarithmo de la mitad deel radio, fe obrará, tomando el radio,queA. 10.0000B. 0.3010 2.es A. y reliando de elel logarithmo del numeroabfoluto 2. porquefe ha de partiré!radio entre 2. como feC 9. 6990. 5000.—explicará defpues en e ufo general de la rabialoganthmica, y el refiduo C es logarithmocorrefpondiente á 50000. mitad del radio,como parece en el exemplo , y es el numero,_ que fe debe tomar , para hallar, con lasoperaciones femejantes á la antecedente , lo*leños logarithmicos de los arcos duplos.La razón de efto es, porque fon proporcionalesla mitad del radio al feno de la mitadde un arco , como el feno del complemento>de la dicha mitad al feno de todo el ateo ; ycomo en eftas operaciones, el fumar equivaleal multiplicar, y el reftar al partir , comoya queda dich» antes , fe fuman los dos tetminos2. y Jm y de la fuma fe refta el 1. y elrefiduo es el 4. termino, que fe bufca: y la dcmonftraclonde la proporción referida, ferá lafiguiente en la figura j.SeaPlana general. 73Sea el arco LC de 60. grs. y fe quiere faber, qual fea fu feno logarithmico LG. fiendoconocido el feno primero Cg. del arcoCe. de 30. grs. y el feno fegundo Ln. del mif«mo arco Ce. mitad del arco LC. fea tambiénCG. mitad del radio BC. y titenfe las teda»CL. -AL. y dividanfe por medio en g. -y-entn. (10. p. 1. ) y tirenfe defde el centro B. lasrectas Bge. - BnM. que ferán perpendiculares1 á las rectas CL. - AL. (3. p. 3.) y también feráCg. feno del arco Ce. - y - Ln. feno del arcoLM. que ambos fon mitades de los arcosCL. - y - AL. por la definición 5. Peto Ln. e»igual áBg. ( 34. p. 1.) y Lu. es feno 2. de elarco Le. que es igual al arco Ce. luego también-Bg. es feno 2. del arco Ce. Digo pues: que comoCG. mitad del radio , á Cg. feno 1. de elarco Ce. de 30. grs. mitad del arco CL. de 60..grs. afsi Bg. feno 2. del mifmo arco Ce. al feno1. LG. del arco total CL. que fe bufca.Porque los triángulos ALC. - AGL. fonequiángulos , refpedo de que el ángulo ALC.del mayor triangulo es recto en el femicircuh»( J 1 * p. 1. ) y el ángulo AGL. en el menor estambién recto , por la definición del feno 1. elángulo en A. es común á entrambos triángulos:luego el ángulo ACL. del mayor es igualal ALG. del menor ( 32. p. 1.) Luego eftosdos triángulos tienen proporcionales los lados, que comprehenden iguales ángulos;(4*

74 Trigonometría(4. p. 6.) Luego ferá : como CA. - á - CL. encJ mayor, afsi LA. -á-LG. en el menor. Y :alternando (16. p. 5.) f cr á comoCA. - á- LA.afsi CL.-á- LG. Pero como CA. -á- LA.afsi cs BC mitad de AC - á - Ln. mitad de LA..í15. p. 5.) Luego también ferá: comoBC. 3Ln. afsi CL.-á-LG( n. p. 5.) Ycomo BC.a %. igual a Ln. como queda demonftrado,afsi CL. aLG. Y alternando (16. p.y. coí?°*? C ;Í CJL afsI B á8-LG - Pero comoBC. a CL. afsi CG. mitad de BC. á Cg. mitadde CL (r 5 p. 5. ) Luego ferá: comoUJ. mitad del radio á Cg. feno r. del arco Ce.mitad del arco CL. de 60. grs. afsi Bg. feno^ del mifmo arco Ce. de 3 o. grs. áLG. feno¡J.- dd arco CL. de 60. grs. quefe bufca,PROPOSICIÓN X.Hallar los logarithmos correfpondientes d lastangentes.PARA refolver efta propoficion nos valdremosile la propoficion 1. del cap. 2.donde fe dice, que en qualquier arco es proporcionalel feno 2. al feno r. como el radioá la tangente 1. del mifmo arco. Y por efta razón, fi fe fuman los términos fegundo, y tercero, efto es, el feno 1. y el radio, y de efta fumafe refta el primer termino, que es el feno2,Plana general. 75'2. del mifmo arco , el refiduo ferá tangente 1.del mifmo arco : v. g. Quierefe faber, qual feala tangente r. del arco de i¿ min. (porque parala de o. y la de fu complemento fervirá la'mifma operación , que fe hizo en las tangentesnaturales ;) y fuponiendo yá conftruída latabla de los fenos logarithmicos, fe bufcaráen la tabla el febio2. del 1. min.que es A. y tambiénel feno r.que es B. junta-A. 10.0000. 89.59.,B. 16. 4637. 00. 1.C. 6.46j7.tang.00. 1»mente con el valor del radio , y redando A..de B. fale al refiduo C. que es la tangente delarco de 1. min. que fe pondrá en la tabla enfu lugar correfpondiente.Para hallar la tangente 2. del mifmo arcode 1. min. fe to- J D. 6. 463 7. 00. r.mará el feno r. E. 20.0000. 89.59.de un min. que es j • • •••D. y también el j F. 13. 5363.tawij.89.59.feno 2. que es E. 'juntamente con el valor del radio, de quienredando D. quedará F. por valor de la tangente2. de 1. min. que también fe pondrá enfu lugar correfpondiente en la tabla. Y eftemodo eftá también fundado en la mifma propoficionantecedente ; pero con el orden ihverfo,efto cs : Como el feno 1. de un arco alfeno 2. del mifmo arco: afsi el radio ala tan­gen-H^I

!*?** Trigonometríagente 2. del mifmo arco. Y á efte modo fe hanJullado las tangentes primeras , y fegundas delos arcos defde i. hafta 10. min. pueftosenlatabla, y fe podrá profeguir hafta concluirla.PROPOSICIÓNXI-Hallar los Logarithmos correfpondientes ilas Secantes.LA mifma operación , que queda hecha ertla propoficion 2. del cap. 2. para hallarlas lecantes naturales, nos ha de fervir, paraJullar las fogarithmicas, pero con efta folaQuerencia ; que como en las naturales fe obró»multiplicando , y partiendo , en eftas fe ópera-Ja., fumando , y reftando. Y afsi fopnefta yafabricada la tabla de las fecantes naturales, yque del mifmo modo fe hallarán las logarithvmicasde o. y de fu complemento S9. 59. fe«ira, para hallar la fecante primera : Como el«no 2. de un arco al radio , afsi el radio á la«cante 1. de dicho ateo. Y para hallar la fecante2. fe dirá: Como el feno 1. de Un arcoaJ radio, afsi el radio á la fecante 2. de dichoarco. Pero , para obrar con mayor facilidad,fe tomará el duplo del radio , y reftando de elel feno 2. de qualquier arco , dará el refiduola fecante primera de dicho arco ; pero, fi ferefta dd duplo dej rjyfto. d feno primero , elPlana general*fefiduo dará la A. 20.0000.1fecante 2. v. gr. B. 10.0000.Sea el duplo delradioA. fea tambiénel feno 2.de i.min.B.querefiado de A.queda C que esfecante primera .del arco de 1. jminuto.89-59*C. 10.0000. Sec. 00. i*DE.F.20.0000.6.463-7.0013.5363. Sec. 89.rVre-59-Sea también D. el duplo del fadio , y feaE. el feno 1. de el arco de 1. minut. reftefeefte de aquel -, y queda F. que es fecante 2. delmifmo arco de 1. min. que fe pondrá en lstabla antes referida juntamente con la fecante1. como en ella parece, cada cofa en fulugar correfpondiente. De ede mifmo modofe fabricó la dicha tabla, hafta los 10. minutos, que contiene, y fe puede continuar haftafinalizarla.COROLARIO.DE lo dicho en la propoficion antecedentefe infiere el modo de hallar las fecanteslogatithmicas, quando faltaren en el• Libro, que trabajare el Eftudioío. Porquereftando el feno 2. del arco , de quien defeafaber U fecante logarithmica, del duplo delra-Ié

•7$"Trigonometríaradio, el refiduo dará la fecante, que pretendía.De efto no ponemos exemplo , por fer el.mifmo,que queda puefto en la propof. anteced.Pero fi fe eduviere operando, y faliere en algunaoperación por 4. termino alguna fecantelogarithmica, y no tuviere fecantcs el libro,por donde trabajare, fe obrará por la operacióninverfa , redando dicha fecante del duplodel radio , y el refiduo dará el feno 2. logarithmicodel mifmo arco.v.g.Supongamos, queen una operación , que A.fe hacia , falió por 4. B.termino A. y ha de ferfecante logarithmica,y no tiene fecantcs el13-20.5363.0000.C. 6. 463 7. o. 1..libro, por donde trabajamos. Reftefe A. delJupio del radio, que es B. y el refiduo Cbufcado en la tabla de los fenos , fe hallará,que es 1. de 1. min. y 2.de 89. grs. y 59. min.ÍY por tanto diré : que dicha fecante es primeradel arco de 89. grs. y 59. min. y fegundadd arco de 1. min.i- Nota, que para reftar qualquier feno,tangente, ó fecante del radio , u del duplodel radío, no es neceflario efcribírla : puesbailará tenerla en la memoria, refpecto defer todos ceros; excepta la caracteriftica, queen el radio es 10. y en fu duplo es 20. y haciéndolodel modo dicho , fe obrará con mayorfacilidad.No-Plana general. 792. Nota también, que para certificarte dolas tablas que tuvieres para tu ufo, fi eftán.bien fabricadas, ó defeduofas, por caufa de laserratas, que fon quafi ncceflárias en las imprefíionesde los libros , y mas donde fe hallan númerosdebes obfervar la diferencia de dos fenosimmediatos,y fi fuere igual á la diferencia de lasíccanres fccantes Ae de Senos.?«.... . «_1.fus coni-¿e-cantes..[ plementos,eftos fenos,,Y fecantescdarán biéajudados.v.g. Sean losfenos de losarcos de 1.y de 2. min.y las fecantesde fuscomplementos, cuyasdiferenciasen ambaspartes es:3010. igual6. 463 7 . 01. I 13. 5363.89 596 '7 6 47- 02. j 13. 235J.89 58o. 3010. «A. 00. 3010.Secantes. 2. Senos.10. 0000. 4. I 10. 0000. 89 5¿10.0000. 5. I 10.0000. 89 55.00. 0000. -A. 00. 0000.Tangentes. 3. Tangentes.7- J668. 8 I T2. 12.6332.8952'7. 4180. 9,] 12. 5820.89 5Po. 0512. JL 00. 0512.en todo.3. Nota también, que la diferencia deoos íecantesimmediatas ha de fer igual aladife-

Ir *> ü t Trigonometría'diferencia de los fenos de fus complementó»,como en el fegundo exemplo, que no fe halladiferencia alguna.4. Nota también, que la diferencia de dostangentes ímmediatas ha de fer igual á la diferenciade las tangentes de fus complementos,como en el 3. exemplo fe manifieda, quefehalla en una, y otra parte ji 2. por diferencia.5. Nota también , que el feno 1. fumadocon la fecante de fu complemento, ha de ¡m-7. s62 7 .f en . 00. 5.I2 - %373-fen. 89.55.20. 0000.10. 0000. fec.%9.10. 0000. fie. 00.20. 0000.712,3088.6912.20. OOOO.portar el duplo de elradio. Lo mifmo hade importar el feno2. con la fecante defu complemento, ula fecante 1. con elfeno de fu complemento.Y últimamentela tángete i.y 2.fumadashan de hacer elduplo del radio, comofe manifieda en lostres exemplos prefentes:yteniendo las tablastodas eftas cir- J - • • .—• _ —cunftancias , que quedan advertidas en eftas Notas,eftarán bien , y fielmente conftruídas, y fepodrá ufar de ellas con toda feguridad; y fi nolo eftuvieren , fe podrán corregir, para quegueden de buen ufo.PAR-PARTEPlana general. %tTERCERA,DEL USO DÉ LAS TABLASde los Senos, y Logarithmos, y dela fefolucion de los crian*gulos planos»POrque del buen ufo de las tablas de lasfenos logarithmicos, y de la de los logarithmos, pende la feguridad en ias refolu^cíones trigonométricas , fe hace necefiariotratar de dicho ufo : y para efto t también esprecifo conocer el artificio, eon que eftán fabricadas, para que , mediante efte conocemiento, fe entre con mayor facilidad j y alientoen las operaciones de ellas» Y afsi , paraconocer el maravillofo artificio de dichastablas , fervirá el Capítulofiguiente.^•8*F«Clft• CA-

II82 Trigonometría.CAPITULOPRIMERO.DE LA EXPLICACIÓN DElas Tablas de los fenos logarithmicos,tangentes, y fccantes.EL Canon Trigonométrico fe componede dos tablas , una enfrente de otra. Lar. contiene los minutos, y grs. y min. defdeo, hafta 45. grs. y ert la fegunda éftán al principiolos 90* grs. que contiene un quadrante, yligue diminuyendo pof minutos f hafta concluircon 45. grs. Cada tabla de eftas fe componede 4. columnas* y juntas haced en cadaplana 8, columnas, de fuerte , que en cadaplana éftán puedas las dos tablas ; pero divididasde forma , que no fe confunda una coaotra. En la cabeza de la primera fe ponen losgrados defde o. hada 45. pero en la cabezade la fegunda fe ponen los grados , defde90. hafta 45. Ert la primera columna de laprimera cabla * y en la ultima de la fegunda,fe ponen en las frentes una m. para denotar,que firven , parí poner los minutos ; perocon lá diferencia, que los de la 1. comienzanen o. y fe van augmentando hafta 60. yen la 2. es al contrario, porque comienzanen 60. y fe van diminuyendo , hafta llegarPlana general. $$a o. Y eftán con tan admirable difpoficionfabricadas , que fi fe juntan los grados, yminutos de la primera tabla 4 con los grados,y minutos de li fegunda, fiempre importarán90. grs. tomándolos en una mifma linea orizontal,efto es, á lo largo de la plana, enun renglón. . . • 'La fegunda columna de la í. tabla, yla primera de la 2. tienen en las frentes eferip-, to: Senos, porque firven para los fenos logarithmicos.La tercera columna de la 1. tabla, y la fegunda de la 2. tienen eri la frente:Tang. para denotar , que litvcn para las tangenteslogarichmicas. Y la quarta columnade U í. tabla, y la tercera de la 2. tienenpor titulo: Sec. que dá á entender, que firvenpara las focantes logarithmicas. Y afsi tomandoen la r. tabla qualquier feno., tangente, ófecante, le correfponde en la 2. tabla el feno,tangente, ó fecante de fu complemento.'1Y al contrario fi fe toma en la 2. tabla el feno1. tangente!, ó fecante 1. de qualquierarco, ú augulo, le correfponde en la 1. tablael feno 2. tangente 2. ó fecante 2. delmifmo arco, u ángulo. Todo efto es neceffarioquede bien entendido , para elbuen ufo de edas tablas, quefe explicará en el capitulofiguiente.ICA-

S 4TrigonometríaCAPITULOII.DEL USO DE LAS TABLAS«el Canon Trigonométrico.PROPOSICIÓN PRIMERA.Dado el valor de un arco , u ángulo en grs. t>mimt. hallar fu fino, tangente , ffecante logarithmica.SEA dado el arco , u ángulo de 24. gfs. y45- min. y fepide fu feno 1. y 2. tan¿¡- y a. y fecante 1. y 2. Bufquefe en las ta*blas,la que tuviere por titulo 24. grs. y en la 1.columna los 45» m. y fehallará, figuiendo la lineaen la 2. columna, que tiene por eabe?a ¡5V-MOS: 9. 6219. que es el feno 1. y en la j,colnn>na por la linea tranfverfal, fe hallará.' 9. 6657,que es tangente í. porque tiene por titulo:Tang. y en la 4. columna, que tiene por titu-^lo : Sec. fe hallará: 10. 0418. que es la fecante1. de dicho arco dado. También fe verá,que fu tabla correfpondiente tiene por ca-^65. grs. y que, figuiendo la linea tranfverfal, donde fe hallaron antes los ¿5. min*le correfponden en efta 2. tabla 15. min. enla columna de los min. y que juntando los34. grs. y 4j. min,. antes dados, con eftos deeftaPlana general. 8 jefta tabla 65. grs. y 15, min. hacen 90. grs. yafsi fe infiere , que eftos 65. grs, y 15. minut,fon complemento al quadrante de los 24.grs. y 45. min. Pues figuiendo la linea tranfverfalen. la 2. tabla, fe hallará en la 1. columna: 9.9582. que es feno 2. de dicho arcodado : pues en la frente de la columna tioaiefenos , y en la 2. cpjumna, que es. la delas tangentes t fe hallarás IO. 3363. que estangente 2. Y finalmente en la 3. columna,que reprefenta las fecantes,fe hallará:ip. 3-781,.que es la fecante 2. del arco, djeho dado.Sea también dado el arco, ú ángulo de 142.grs. y 34. minut. y fe qu; erc faber ^ ^lean fus fenos, tangentes, y fecantcs p.rimcws,y fegundas. Siempre, que fe dierq arcomayor, ó ángulo mayor, que el quadrant.6,ie reliará el tal arco , u ángulo de 180. grs,que vale el femicireulo •. y lo que viniere alrefiduo, fervirá para bufcar d feno , tangente, o fecante, v lo que fe hallare, ferá fenotangente, o fecante del arco, u angulaoadp. Y afsi refrío de que el arco dado e*dei 4 2 . grs. y 34, min. reliado de 180. grs.J clu M37.grs. y 26. min. Bufquefe pues elie"0, tangente, y fecante 1. y 2. de efte refino,como fe hizo en la operación antecedente, y f c hallará por feno 1. del dicho arco: 9. 7838, y por tangente i¡, 9. 8839. y-por fecante ^

86 TrigonometríaHará : 9. 8998. la tangente 2. ferá : 10. r 161.-.y por fecante 2, fe hallará 10.2162. que esIb que fe pedía,PROPOSICIÓNII.Dado el fino, tangente, o fecante logarithmica,bailar fu arco correfpondiente en gradosf y minutos.$. 1.Dado el Seno.SEa dado el feno : 9. 6219. y fe quiere faberde qué arco, u ángulo fea feno 1. y2. Bufquefe en las tablas , guardando el ordenfiguiente : Primeramente fe bufcará enla columna de los fenos en las tablas , la caraéteriftiea9- Defpues de hallada , fe bufcaráel primer numero 6. luego el num. figuiente2. defpues el tercero T. y últimamente febufcará el ultimo numero 9. de fuerte, quetodos eftén en una partida juntos , con el orden, que tienen entre si; pero fi no fehallarejuftamente, fe tomará el mas próximo,fea mayor , ó menor : y hallado yá de un modo, ü de otro , fe verá , qué numero de grs. fe"halla en la cabeza de la rabia , donde fe hallóel tal feno dado, y qué minutos le córref-pon-Plana general.ponden en la columna de los minutos, y tomandoel numero de grs. de la cabeza de larabia, y los minutos corjefpQndíentes alfenodado, ferá el arco, ü ángulo, á quien correfpondedicho feno. Todo ,1o que dexamos dicho,haviendolo executado , fe haUÓ dicho feno dadoen la tabla ¿ que tiene én la cabeza 24. grs ;y en la cplunma de los minutos correfponde a45. min. y afsi fe refponde , que dicho feno esprimero del arco ¿e 24. grs. y 45- min. Y porquefu tabla correfpondiente tiene en fu cabeza65, grs. y el dicho feno dado correfponde enefta tabla á 15. min. fe dirá también, que es feno2. de el ángulo de 65. grs. y 15» min- Y eftemifmo orden fe debe obfervar , para hallarlosarcos , ó ángulos de las tangentes , y fecantesen las columnas de las tangentes, y focantes.Pero fi con el feno dado fe pide un arco,ü ángulo mayor de 90. grs. fe redará el arco,ü. ángulo, hallado por dicha operación,de 180. grs. y el refiduo dará el valor dd arco, ú ángulo , que fepide. Y porque fe halloel arco de 24. grs. y 45. min. redado^ de 180.quedan 155, grs. y 15* minut. y afsi fe dirá:que dicho feno dado es feno primero de elarco de 155. grs. y 15- nñnut. y fegundo declareo de 65, grs. y 15. min, que eslo queexcede al quadrante el arco de 15 5- g rs *. f* 5. min. como queda notado en la defime6tF4s 7fl

, 83 -Trigonometría6. de la r. parte, De efte mifmo modo fe buftcarán las tangentes , y focantes de los arcos, qángulos mayores que 90, grs,.$• IhDada la Tangente*SEA dada la tangente: 9. 6681. Bufquefeen la columna dé las tangentes , del mo.do dicho en el §. antecedente, y fe hallará:í>. 6680. próxima menor, y 9. 568 3. próximamayor , y no fe hallará- precifamente:9. 66% 1. que es la tangente dada: y por tantofe tomará para la práctica la de : 9. 66&0.que es mas próxima, que la de : 9. 5683. fegunqueda dicho en el $. antecedente, y fe dirá, que es la tangente dada, tangente 1. delarco de 24. grs. y 58. min. y tangente 2. deel arco de 65. gr. y 2. minur. Pero, fi fe pidearco mayor de 90. grs, fe dirá, que también.es tangente primera del arco de Í55. grs. ys. min. y fegunda de el mifmo arco de 65*'gr. y 2. min. como antes; pero con efta di*lerenda , que en el primer cafo es tangen*te 2, por defeéro , y en efte cafo fegundoes tangente z. porexceflo.>.ra.Plana general. 899. m.SDada la Secante*EA dada la fecante : 10. 0570. Bufquefe enla columna de las fecantcs del modo dichoen el §. 1, y fe hallará con toda precifionen la tabla,que tiene cu la cabeza 28. grs. y quecorrefponde en la columna de los min. á 43.en la 1. tabla, y en la 2. correfponde á 17. mirnut, y efta tiene por cabeza 61. gr. Por tantofe dirá 1 que la fecante dada, lo es 1. del arco»íi ángulo de 28. grs. y 43. min. y 2. del ángulode 61, grs. y 17. rota. Pero,fi fe pide ángulomayor, que el quadrante, fe rcfponderá: quees fecante 1. del ángulo de 1 51 .grs. y 17.ms. y2. del mifmo ángulo antes dicho de 61. grs. y17. min. con la advertencia dada en el jf, antecedente.PROPOSICIÓN in.Dado el valor de un arco , u ángulo en grados,minutos, y fegundos, hallar fu fino,Stangente, y ficante.EA dado el arco de 47. grs. 24. ms. y 36.feg. y fe defea faber fu feno 1. y 2. fu tangente1. y 2, y f u fecante 1. y 2. Par-a quemejor fe cpmprehenda la folucion de eftapropoficion , fe dividirá en tres partes, buscandoprimero los fenos, defpues las tángenos,y finalmente las fecantcs en losparragrafosfiguientes.

II00Trigonometría,^ . f o ^ columna délos fenos enlas tablas el fe no t . de 47. CT° ,,multiplicará S por I 5L?" ^ ^los min. fegundosdados, que fou 36.J' producirán 73,que partidos entreóo. viene al todentej.yunqul,-,.to,ydefpreciandoel un quinto, porqueno Jlega ámenlo,fe tomará 1.que es D. el qualfumadoconelfenoA. importará E.que eje! feno pri- f -47 ' *+ *!•a r.A. 9. 8669, 47. 24.»• P. 8671.47, 25.los l ¡ ir^0nde . multiplicar J a diferencia dew dos fenos immediatos por el numero de°s fegundos dados, y partir el produéro entre60.Plana general. . '91"í>o. proviene de que en eda operación edáincluida una regla de tres , que dice: Si 60.minutos fegundos, que hay de diferencia entre47. grs. y 24. min.. y 47. grs. y 25. min.correfponde á 2. diferencia de ambos fenos,los minutos dados 36. fegundos á qué correfponderán? Y refpedo que en femejantes reglasde tres fe opera , multiplicando el 2. terminopor el j.y fu produéro fe parte entre el r. terminotehace en el cafo prefente la multiplicaciónde la dicha di- K. 9, 8304. 2. 47. 24.36.,ferencia de losdos fenos, quees el 2.terminopor los fegundosdados, quees el 3. termino, y el productofe parteentre 60. quees el primerotermino : paraque, fumado eltociente conY.F. 9.G. 9.1.8505.8304.H. uI*.2. 47.2. 47.& 60.o. >¡t24.2 5-3-el menor fenode los dos , falga el feno , que fe bufca, engrs. min. y feg. Eda mifma operación fe debehacer fiempre , que fe bufeáre qualquier tangente1. ó fecante r. en grs. min. y feg.Para hallar el feno 2. del arco dado de 47.grs..II

1Plana general. 988.D¿, COROLARIO..tía-operado en eftas dos operacionesdeque el quebradoes mayor, q uede bufcar el feno ,. y 2. fe infiere , quelili f° mar J ° S fcnos P roxfni ° me 52(8. I 6(0.«ór, y medio. Y fumadoD. 9. con A. importaE. que es la04 8**4-.mayor del arco dado en grs. m. y feg, tomaru diferencia, y multiplicarla por los fegundos«lado S) y elI produefo partirlo entre 60. y elrocíente fe fomará con el menor de los dosfe-1tangente primera, jque fe-pide.1*Para

9 KPara hallalafegunda,fi antesfe halló latangente 1.Trigonometría& io. 9J24.t. 2. 6.G 9.2 2,1H. io. 9515, t. 2, 6. 22.48.y la diferencia9. de las dos tangentes, tomefela tangente 2. de 6. grs. y 22. minutos,que es F. y de ella fe reliará G. diferenciaantes hallada entre las dos tangentes, y elrefiduo H. ferá la tangente 2. que fe bufca.Efta operación tiene fu fundamento, enlo que dexamos dicho en la 2. patt. capit. 5,propof. _ 11. en el Corolario, nota 4. que ladiferencia de dos tangentes immediatas fiemprees igual á la diferencia de las rangentes defus complementos. Pero fi fe bufca la tangente2. _ antes de hallar la 1. fe hallará de elmodo dicho, para hallar el feno s. en el jf. 1*antecedente.$. III.SHallar las Secantes.Ea dado el arco, u ángulo de 84. grs. 6.m.y 50. feg. Bufquefe en la columna de lasleeantes la 1. de 84. grs. y 6. min. que es A. yla immediata mayor, que es B. fu diferencia,que es C. multiplíqucfe por los fegundosdados50. y producen 650. partanfe entre 60. y vieneal tociente 10. y 5. fextos, que fe tomatán 11..como en D. fumenfe con A. y hacen £. queesles la fecante11. de 84. grs,16. min. y 50.[feg. que fepedia.Para bailar1 la fecan-^te 2. fe obraráde d modoexplicado, y pradicadoen el §,1. para hallarel feno 2.Bufcando laPlanageneral. 95E. ro. 9891 .fie. $4. 6. 50.D.A.B.G10*ro.11.988o,/«-.9S93. fie.1J.5o65(084. 6.84. 7.|6(o.— cfecante 2, de 84. grs.y 6. min. que es F. y la 2.F. 10. 0013. fi c ?2~dc84.6'.YolO. 10. 0di3./ff,2,de84. 7.Je 84, gs.ly 7. min.|quees G.porqueno tiene-00 0000[diferencía una de otra, fe tomará la de F.por lecante 2. del arco , u ángulo de 84. grs.. mm. y 50. feg. como parece en el exemploI prefente. Y edo mifmo fe obfervará, quandofueren ambos fenos , ó tangentesiguales, fean primeros, ófegundos.PRO!

%-9 6 TrigonometríaPROPOSICIÓN IV.Dado un fino , tangente, ¿ficante , hallar fuarco torr efundiente en grados, minut os %y figundos.#. I.SHallar ios arcos de ¡os finos*Ea dado el feno : 7.3 J47. y f c p ¡d e fo afaco correfpondiente en grs. minut. y feg,aísipara el feno 1. como para el 2. Bufquefeen Iacolumna de los fenos el feno dado > y nofe hallará con los mlfmos números, que tic*ne, y porque no fe D* 459*halla en las tablas»pongafe en A. tomefefu próximo me­B. 7- 3088. o 7A* 7- 3547-0 747,nor, que es B. tomefetambién fu próxi­C. 7- 3668. o 8mo mayor, que es 2 754(o I 58(0 E.C. faquefe la diferenciadel próximo menorC. al dado A.que4 .23a 47 %< r29>ferá D» faquefe tam*bien la diferencia deel próximo menoral próximo mayor,que es £. que fervirá de partidor del productoPlana general. 97I to de D. por 60. que ferá : 27540. y hecha lapartición, viene al tociente 47. y 14. veinteI y nueve abos, que porque el quebrado es• I menor-, que medio , fe defpreciará , y tomandofolamente los 47. de el rocíente , feránfegundos además de los minutos , que cor-• refponden a Di que fon o. 7. y todo ferá : o-7. 47- que ferael arco correfpondiente al fenodado, fi fe pide arco menor,que el quadrante, como padeceen A. Redando ahora[el valor del arco , u ángulobailado de 90. grs. f a l e al ,refiduo 89. grs. 52 m. yiJt90.o.00.7-00.47.89. 52. *jMfcg . valor ddco de quien es feno 2. el arco dado.Elle es el modo mas común de hallar elvalor de los arcos de los fenosdados ; pero , fi fe pidie- o,180. 00. 00*.| re el valor de fu arco mayor,7- 47«que el quadrante , fe redará179. 52. 13.el arco hallado de 180. grs.Ijd refiduo 179. grs. 52. m¡1)> y f ¿Jcomo conftaen«!^C°'r qUC e pide > los exemposprefentes.Deede mifmo modo fe debeny fecales 3 arC ° S ' Ó angU ' OS dc ,aS tan S entcs ->„.. $. ILSE, A I a los arcos de\ las tangentes.Ea dada la tangente : 10.9515.yfe pideníus arcos, o anguloSi B uíquefe en f a co _Glum-

9* Trigonometríalumna de las tangentes la dada , y porque ntffe halla fe pon- Ddrá en A. tomefefu próxima A. 10. 95i5- 8j 37 u¡menor B. y fu B. 10. 9Ji3« 8 3 37próxima mayor C. 10. 95*4- 8 3 3 8C. faquenfe lasdiferencias D. yI 20(1 1. E.E. multipliquefeD. por 60. y10II 1—producirá 120. 10 IO>Jí T-que partidos entreE. 11. vieneIIal tociente 10. y 10. onzabos, que fe tomarán11. que agregados á losgrs. y m. de la próxima menorB. hacen 83. grs. 37.min. y n. feg. valor de elarco de la tangente A. fiendoprimera ; y íiendo fegundaferá 6". grados 22. minut.y 49. feg. pero, fi fe pidearco mayor de 90. grs. feráfu valor 96. grs. 22. minut.y 49. feg.po81La razón de multiplicar la diferencia dela tangente menor á la dada por 60. y partirede produdo entre la diferencia de la-menorá la mayor , es : porque edas dos diferenciasconftituycn un quebrado, fiendo la primera61808ü96003722003722004?00II149Plana general. 99'diferencia, v. g. 2. numerador , y la fegundadiferencia , v. 3. 11. denominador, que hacen2. onzabos demás de lo que vale la tangentepróxima menor B. que junto hacen : 83. grs.37. min. y 2. onzabos de minuto. Y como,I para reducir un quebrado á denominador de-^ terminado, fe multiplica el numerador porel denominador determinado, y el produdole parte entre el denominador del quebrado,I ( como decimos en nuedro tratado de Arithmetica) y un minuto vale 60. fegundos, femultiplica el numerador 2. por 60. que es eldenominador determinado de los min. feg. yfu produdo fe parte entre n. que es el denominadordel quebrado. También fe puedeformar una regla de tres , diciendo : Si r 1. denominadordel quebrado , dá 2. p0r numerador, 60. denominador de los min. feg. quenumerador dará? Y faldrán los mifmos 10. y10. onzabos , que para la prádica fon 11. comoen la operación antecedente. Y eda es Utazón también para los fenos, y fecantes..§. III.Hallar los arcos de tas Secantes,SEa dada la fecante i i o, 9890. V fequierenfaber los arcos, de quien fea fecante t. y2. Bufquefe en las tablas en la columna de lasGafe-

100fecantes, y nofe hallará precifa, pongafeen A.^ tomenfefus immediatas, menor B.y mayor C.tomenfe fus diferenciasD. yE. multipliquefeD. por 60. yproducirá 600.partanfe entreE. y faldrá altociente 45.defpreciando elquebrado por jfer menor, que Imedio , y agre- Iguenfe á losgrs. y min. deB. y ferá'la fecantedada 1.TrigonometríaD. ro.A. 10.9S90. f. 84 6. 46,' B. 10. 9880. f. 84. €.C. 10. 9893. f. 84. 7.180. 0.0. 00.84. 6. 4(5.95- 53- 14.del arco de 84. -grs. 6. min. y 46. feg. pidiendofe el arcomenor, que el quadrante ; pero , fi fe pidemayor, ferá de 95. grs. 53. minut. y14* 'eg. y también ferá fecante 2. del arco de5- grs. 53. min. y 14. feg. como confia delas operaciones prefentes.CA-Plana general»101CAPITULO III.DE EL USO DE LA TABLAAde los Logarithmos.unque en la parte fegunda cap. 5. prop.8. efta puefto efte mifmo capitulo, ahoracs precio repetirlo, para dar el ufo de efta^mir rabI f. wbla con mas generalidad, porqueaui le dio folamente lo neceffario para laconftruccion de las tablas del Canon Trigonométricoy aqui fe pondrá, rodo lo que conducepara la total inteligencia de ella , mediantelas propoficiones figuientes.PROPOSICIÓN PRIMERA.Dado un numero abfoluto, bailar fu logarithmocorrefpondiente.SEa dado el numero abfoluto 135. y fequiere faber fu logarithmo. Bufquefe en lai- columna de la tabla, y hallado que fea, fe vera,queen la 2. columna tiene enfrente: 2. 1303.que es el logarithmo , que fe bufca.PROPOSICIÓN II.uaao un logarithmo, hallar fu numero abfolutocorrefpondiente.Sfca dado el logarithmo: 2. 4728. y fe pideíu numero abfoluto. Bufquefe en la 2.columna de l a tabla, y haviendoie hallado,C? fe

^^102 Trigonometríafe verá, que en la i. columna le correfponde297. y efte ferá el numero, que fe bufca.Nota, que fi el logarithmo dado no fe hallarepredfo en las rabias, fe tomará el maspróximo, ora fea mayor, ora fea menor, y elnumero abfoluto correfpondiente á el tomado,ferá el numero , que fe bufca, á el modo,que queda notado, para hallar los fenos;PROPOSICIÓN III.Dado un numero abfoluto mayor, que los contenidosen la tabla de los logarithmos,bailar fu logarithmo correfpondiente.SEA el numero abfoluto dado 24568. y fe•pretende faber fu logarithmo. Qm'tcnfcdel numero abfoluto dado los números, quetuviere demás, de los que contiene la tabla,que feran 68. que fe apartarán de los orrosCon una >J< y quedarán por numerador deun quebrado , cuyo denominador ferá la unidadcon tantos ceros, quantos números tuviereel numerador, que ahora ferán IQO. defpuesfe bufcará el logarithmo correfpondientea los números, que quedaron , que eran245- como fe dixoenla propoficion 1. y feráA. luego fe tomará fu próximo mayor , y feráB. fe facará la diferencia de ambos , que ferá*-••-y fe multiplicará por el numerador de elquebrado 68. y el produdo fe partirá entre c!dc-Plana general. 103ücnominador', que fe hará con mayor facilidad, quitando tantos números, como cerostuviere el denominador, que fon dos : yafsi el produdo ferá:xi 56. de quien apartandodos númerosquedan 11. pero porquelos números apartadosfon mas de medio, fe tomarán 12,como en D. eftos fefumarán con el logarithmodel numeroprimeramente tomado,quees A. añadiendoá la caraderifticados unidades, por fer2. los números de elF.D.A.B.C.4-245. »f

: ' :PRO--^-'04 ( TrigonometríaY le vera , que la mayor caracteriftica de la t£bla es 3. pero defpues de ella fe Jigüe o. en losloganrhmos , y. por efto bufcare la caraderiíli!dado C °l T ?r mm - e *° S dd [ °S¿odado po o qual fe quitarán por ahora tre,unidades a la caraderidica, y Redará comon A - f ^c » Ia tabla, y no hallándolacontodaprec.f,on,feto-|E.mará fu próximo menor 'B. q correfponde á 239.que fe pondrá á parte enF. defpues fe tomará ellogarithmo próximo mayor.,- que es C. correfpondienteá 240. tomefela diferencia del primeromenor al próximo mayor,_quecsi8.y la diferenciadel próximo menoral dado con la caraderidica2. que es 14.afiadanfe á eda diferenciatantos ceros, como csla diferencia de las caraderidicasdada, y elepda,quees3.yhallaráfela diferencia E. augmen- —I4OO0.*¡ 3798.2- 3784-' *!9**- -3802. 240.«da en tres ceros , que Importa 14000. partanfcellos entre 18. y vendrá al tociente: 777y 7- novenos, que valen : 778. por fer el que-Plana general.rofprado mas de medio , y pueftos defpues de losnúmeros del logarithmo próximo menor,que fe pufieron en F. harán 239778. que es elnumero abfoluto correfpondiente á el loga-irithmo dado , que es lo que fe pretendía.Nota, que haviendo diminuido la caracteriftica, lo que fuere neceffario, para hallacel logarithmo en las tablas , fi fe hallarejuftamente , fe tomará fu numero abfolutocorrefpondiente , y fe le añadirán tantos ceros, como fuere la diferencia de las caraderidicas,y ferá el numero abfoluto , que fepretende, v. g. Sea el numeto logarithmicodado 5 5. 3784. diminuida la caraderidicaen tres unidades, queda: 2. 3784. que bufcadoen la tabla , fe halla juftamente , y cor*refpondc al numero abfoluto 239. á quienañadidos tres ceros , porque la diferencia delas caraderifticas 5. y 2. es tres , importa:239000. que es el numero abfoluto correfpondienteal logarithmo : 5. 3784..dado.

'$06TrigonometríaPlana general.*o T•PROPOSICIÓN V.PROPOSICIÓNVLiDado un numero abfoluto quebrado, hallar fulogarithmo correfpondiente.EL logarithmo , que faliere en" efta operación, ha de fer precifamcnte defedivo, ü negativo, y la razón es: porque la unidad, que es un entero, tiene por logarithmonada, 6 ceros: luego el numero quebrado,que es parte de un entero, tendrá por logarithmomenos, que nada, yá efto llamamoslogarithmo defedivo, ú negativo. Y afsi, parafaber , que logarithmo correfponde á elnumero quebrado 3. quartos , fe tomará ellogarithmo de fu numerador 3. que es A. y fetomará también el logarithmo del denominador,que esB. yladiferendade ambos,que es C.ferá el logarithmo correfpondienteá el num. quebrado3.quart. que fe pretendíaj pero fe notarácon una raya antes de lacaraderidica, que es la nota de los númerosnegativos, b defedivos, como pareceen el exemplo.PRO-Dado un logarithmo negativo, ü defe£tivo,ba*llar fu numero abfoluto quebrado.SEa dado el logarithmo negativo:—o. 1250^y fe defea faber á que numero abfolu-A.B.o. 1250.0.9031. 8.C. 0.7781.6A "*8 4to correfponda. Parahacer efta operación, fe reliará ellogarithmo dado A.de qualquíera de latabla logarithmica,y el numero abfolutocorrefpondiente ferá denominador, y elrefiduo fe bufcará en la tabla, y el numero abfolutocorrefpondiente ferá el numerador delquebrado , que fe bufca. v. g. El logarithmo B.que fe tomo, fue el correfpondiente á 8. quefervirá de denominador , y el refiduo C. bufcadoen la tabla , correfponde á 6. que firvede numerador, y hace el quebrado 6. odav.que reducido á minimos términos, es 3.quartosd quebrado , que fe bufcaba.PRO-

IIPROPOSICIÓN vir.rPDado un numero abfoluto enentero,y quebrado,bailar fu logarithmo correfpondiente.QEa el numero dado 84. y 3. 0d av . Buf-S es A! fo ganthm ° dd " Umer ° e,1tero 8 +"próximo mayor, que es»• faquefe ladiferencia deambos, que esC. muítipli-,.quefe por 3.numerad, delquebrado , yproduce 15 j.•

a,. _ Trigonometríay90. abos, qne junto con el entero ántto«dente dará el numero abfoluto 2?*"?y 90. abos que correfponde juftamentf á eloSánTo^/ 05 pcro para ,a F*E» 2quitaran los primeros números de hacia lamano derecha de el operante, y quedará c„3; novenos que reducido ferá i. re?c. y af s i¿dira,q„ e el numero, que fe pide esJT*y i. tere, como parece en el exemplo prefente:PROPOSICIÓN IX.PHallar el complemento logarithmico.earithmnd 6 1\ ? Cra i ! ? n ' ÍC reflara eI *-garithmo del valor del radio , y el refi.frh f 3 n ^emento logarithmico q£fe bufca. Pero fe hará con mayor fecilidldS fica tvn 7 • ' •' Cer °'P ° r el MediatoferencahIft a^r C,,tC ', ye dk" ornará la dilerenciahaílaIO. y en los demás figuientes hafta9. y dará el complemento lo- A. ' 2.9542..ganthmico, que febufca. v.gr. B. 10.0000.bea dado el logarirhmo A. dequien fe ha de facar el complementologarithmico. Pon-c. 7.0458.gafe con el radio B. y reftefe A.«node otro, y el refiduo C. feráel complemento logarith- J C. 7.0458.2.954 3 »nuco, que fe bufca. Mas fácil:. SeaPlana general. rtgSea otra vez A. el logarithmo dado. DigafesDe 2.a 10. van 8. De 4. á 9. van 5. De 5„a 9. van 4. De 9. á 9. es nada. De 2. i 9 *van 7. y ferá C. lo que queda por complementologarithmico, y fo mifmo, que antes.1. Nota, que fi el logarithmo dado freirémayor, que el radio, como fucede en las^tangentesmayores, que 45. grs. y cn ]asfe.cantes fe redara el logarithmo dado del duplodel radio, ú fe hará la operación cn elI-iniimo modo, que en el exemplo antecedente, no haciendo cafo del numero , que repreíentala decena en la caraderiftica, comoJl nr* t\\,vipr* olí. .-I .. «^,1» no huviera allí tal nume- D. 11. 7654*^°- v - g- ^ el logarithmoE. 20. O00O..dado D. el duplo del radio& E. reftefe uno de otro, y eljrefiduoF.es el complementologarithmico, que fe bufca. D. ir. 7654^.Mas fácil : Tomenfe las diferenciasde los números del F, 8. 2346.\ logarithmo dado A, en elprimero hafta 10. y en los demás hafta 9. co-2 c í° dcl numcro > V a rc P rcre » Ca J *dezena en l a caraderiftba, y quedará F. de^acienl^(>e^nC l e I XCn, P ,0 2 ' antecédemelocomplemento logarithmico, que fe bufca.«J* •tambIen > que quando en lasoperaciones trigonométricas ¡ nKrVm ; ere c{«dio, feran mas fáciles. Porque, fi fe hallareen

«t i f Trigonometríatm el primero termino, fe fumará el 2. y 3.1y de la fuma fe quitará la unidad á la caraderifticaházia la izquierda del operante, y el refiduoferá el4. termino, que fe bufca.3. Si el radio fe hallare cn el 2. termino,fe añadirá la unidad á la caraderidica, háziala izquierda, al 3. termino, y de edo fe reftaráel 1. termino , y el refiduo ferá el 4. termino, que fe bufca.4. Si el radio fe hallare en el 3. termino,fe añadirá á la caracteriftica del 2. terminoházia la izquierda la unidad, y de efto fe reftaráel 1. termino , y el refiduo ferá el 4. termino, que fe bufca.5. Pero fi en la operación trigonométricano interviniere , b no fe hallare el radio , fefumará el 2. y 3. termino, y de la fuma feredará el 1. termino, y el refiduo ferá el 4.termino, que fe bufca. Eda es la regla general, que fe obferva en las operaciones trigonométricas.O fe tomata el complementologarithmico del 1. termino , y efte complementofe fumatá con el 2. y 3. termino,y la fuma , quitando la unidad á la caracterifticaházia la izquierda , ferá el 4. ter-• mino , que fe bufca. Todo fe practicarácn las Propoficionesfiguientes.PRO»ISEan 1Plana general»PROPOSICIÓN X-Dados dos números , bailar el terceroproporcional.dados los numetos 9- y 2 7- Y **pretende faber, qual fea el 3. proporcional;En efta Propoficion eftá incluida laproporción figuiente : Como 9- á 27. afsi 27..á quien ? Bufquefe el logarithmo de 9. quees Á. y el de 2 7. que esB. y repitafe , porquetambién fe repite en lala proporción : fumenfe2. y 3. termino , queimportatá C. de quienfe reftará A. y el refiduoD. es el logarithmo delA.B.B.iif0. 954 2 -1. 4314.1. 43*4-C. 2. 8628.9-27.27..D. r. 9086. 8n4. tetmino , quefe bufca , y correfponde á 8 r«y es el 3. numero proporcional, que fe bufcafca,y el modo de operar por la regla generaLPROPOSICIÓNXLDados qualefquiera tres números, hallar elnumero 4. proporcional.SEan dados los números proporcionales4. 8. 16. y fedefea faber el 4- proporcional.Bufouenfe en la tabla los loganth-

ii4 Trigonometríamos de 4. que cs A. el de 8. que es B. y el de1 ó. que cs'C. y tomefe D. 9. JP7Pelcomplemento logarithmico,que íerá D. A. o. 6021.( y afsi lo podrán hacerlos principiantes, porhuir las equivocaciones, que fepueden ofrecer) y fumenfe D. B. yC. y harán E. quitada .la unidad á la caraderiftica hacia la izquierdadel operante , que ferá el 4. terminoproporcional, que fe bufca , y correfponde¿32. como parece cn el exemplo, obrandocon el complemento logarithmico ; pero, paraios que fe hallan mas adelantados en ellasoperaciones trigonométricas, no Cs ncccíTarioeferibir el complemento logarithmico;fino llevarlo de memoria, y fumarlo con el2. y 3. termino, y de F. 1.0792. 12.la fuma quitar la unidadá la caraderiftica,hacia la izquierda ; ydará el logarithmo, quefe pretende : v. g. Sean |G.H.1. 55^3- 36.1. 3222. 21..Y. 1. 7993-

lió •Trigonometríafon Redangulo v y Obliquangulo. Y efte'eifotras dos, q,efon: Obtufángulo , y Acutan^guio ; pero fi fe comidera el triangulo CIitres maneras , ferán : Redangulo , Obmfangulo, y Acutangulo : y es lo mifmo ,.. que enJa divifion del tmngnlo en dos maneras.3- También-fe confidera el triangulopor lo refped.vo á lados, y ángulos juntamente, y en efta confideradon el trianeutóEquilátero fiempre ferá Acutangulo ; L- 0el Yfoceles , y Efcaleno podrán fer rcdan R u-los, obtufarigulos , y acutañgulos, para cuyamc;or inteligencia, fe podrá ver el Tratadode Artillería.- 4. Qualquier triangulo fe podrá refol-V«r j j, Je dieren conocidas tres cofas de laaJas, de que confia dicho triangulo , como noíean los tres ángulos : Porque pueden darfe¡nhmtos triángulos equiángulos , teniendolos lados muy diferentes, y también-los eftpacios, o áreas: Como condará.:, formandoun triangulo, y tirando dentro de el oualquieraparalela, ¿paralelas, á qualquier*. delos lados.fTí.5- Si fe dieren conocidos los tres ladosde un triangulo, fe podrá rcfolver : Porque yaencierra efpacio determinado.6. Si fe dieren conocidos dos lados, yun ángulo , u dos ángulos , y un lado de qualquiertriangulo, también fe podrá• refoiver,•Plana general.II7f no íiendo los datos de qualquiera de los"uforCfcndos ' nofe P° drá rsíolver el »*«-7- También fe debe fuponcr,que en c 1 trianguloredangulo , los lados , que forman elángulo redo, fe ll aman generalmente lados«.pierna* ; y CJ q Uefe opone al didlo angul(jRR , 'cr? f?* Vpothenufa. v. g. Las lincasÍZ y , A "í tmn § ul ° BEF. (Fh. 2.) fe Hamanfados q piernas s y la linca BF. fe llamanypothenufa.8. Lado adjacente á un ángulo es aquel,que juntamente- con otro lado forma el tal1S B ' V ' Í,ad0BE ' Yacente *l antJ¿ Y r m^n CS adiaccnte «' ángulo E. ydos deW •'d ?< en ? nder delos ***** £ggulos'repe

V, 8 ci •rri g°nometrUr 2 -. W triangulo, que tuviere dos, 6 tresíos' Z 7tnang^° Yf Ce!es tíene° *»angu-IJ. Qualquier triangulo , que tuviereIguales 2 U l ° ' T tÍe " e dos an S u, °*iguaies, es Yfoceles : y el que tuviere tres ángulosiguales , ferá Equilátero. Efto es fi fuere equiángulo, ferá Equilátero. 'Bft?cL E " S üa V icr triangulo el lado mayorfe opone a mayor ángulo. (xS ,, , m,cuieí'tnW l q r" era d ° S Jados **•• de 1»¿-Süi?; di } 1"; fe . fi S« , que fi en un triano?osdoc !T Jad0 ,gl,aI ' ° ma y° r • * ue,osanpn£c - En qu 4 aJ, 3V iera triangulo todos tresángulo ; Un tos fon iguales á dos redos , quevalen tR 0 . grs ( ^ De fc .^1eülos I?' ? U - qU o r tt,sua « aio fe dá » dos ángulosiguales a r8o. grs. ó mayores , cdánmalPlana general. 119.* mal dados los términos. También fe infiere,i que cada ángulo, de los que contiene un trian-| guio Equilátero, vale 60. grs. que es la tercia1 parte de dos redos, b las dos tercias partes deun redo. También fe infiere , que los ángulosagudos de un triangulo Yfoceles redangulo, cadauno vale 45. grs. que es la mitad de un recto.Y últimamente fe infiere, que , haviendoconocido dos ángulos de qualquier triangulo,fe conocerá el tercero, redando el valor ddlos dos ángulos de 180. grs. y el refiduo ferávalor del tercero , que falta.Supjiedas,y entendidas edas noticias,podráclEdudiofo ocurrir á qualquier falacia, con queel adverfario pretenda hacer, que fe aparte ddverdadero camino , y con ellas refolverá qualefquieratriángulos, y para ello obfervará lasreglas figuientes.CAPITULO V.DE LAS REGLAS GENERALES PARAlas refoluciones de los Triángulos.REGLA PRIMERA.BN Q.UAL(¿UIER TRIANGULO SONproporcionales los lados con los fenos de los angulasopueftos. fig.a.EN el Triangulo Equilátero ABC. Digo,queél lado BC. tiene la mifma razón al fenoH4del

tío Trigonometríadel ángulo A. que el lado AC. al feno'del ánguloB. El arco BC. es medido del ángulo A.,fórmele el arco AC. con el intervalo AB. que esel radio, y ferá también el arco AC. medida delángulo B. Del punto C. cayga la perpendicularCD. á la BA.. (i 2. p. i.) que ferá feno r. delarco BC. y del arco AC. por la definición delfeno i. y quedarán formados dos triángulosBDC. y ADC. que fon equiángulos : porquelos ángulos en D. fon redos (10. def. i.) y porconsiguiente iguales (i2.ax.) Además el ánguloen B. del un triangulo es igual al ánguloen A. del otro: por fer ángulos del trianguloequilátero. ( 32. p. 1.) Y por la mifma el tercerángulo en C. del uno es igual al terceroen C. del otro. Luego, porque fon equiánguloslos dos triángulos , tienen proporcionaleslos lados, que comprehenden iguales ángulos:(4. p. 6.) Luego es : como el lado BC. á CD.feno del ángulo A. afsi AC. á CD. feno delángulo B. que fon los fenos de los ángulosopueftos. Luego en qualquier triangulo equiláterofon proporcionales los lados con los*fenos de los ángulos opueftos.Sea también propuefto el triangulo YfocelesBAH. Digo, que fon proporcionales AB. á elfeno del ángulo H. como AH. al feno del ánguloB. Hagafe centro en los puntos B. y H.y con el intervalo BA. deferibanfe los áreos'AF. y AG. y del punto .A. cayga la AE. per-uen-IltPlana general.féndicular á laBH. (12. p. 1.) y ferá dichaAE. feno recto de los dos arcos AG. AR yde los ángulos B. y H. por la definiciónde el feno redo, y quedarán formados dostriángulos BEA. y HEA. que ferán equiángulos: porque los ángulos en E. fon iguales,,y retaos (10. def. y 12. ax. 1.) y los ángulos enB. yH. ¡guales (5. p. 1.) luego los tercerosen A. también fon iguales (32. p. 1.) Luegotienen proporcionales los lados , que comprehendeniguales ángulos (4. p. 6.) Luegoferá : como AB. á AE. feno del ángulo H.afsi AH. á AE. feno del ángulo B. que fon fenosde los ángulos opueftos. Luego en qualquiertriangulo Yfoceles fon proporcionaleslos lados con los fenos de los ángulos opueftos.Nota, que de qnalquiera cfpecie : , quefea el triangulo Yfoceles, efto es : Redangulo,Obtufangulo, ú Obliquangulo, fiempre le demondrarádel mifmo modo , que tiene la mifmaproporción.Sea finalmente propuedo el triangulo EfcalcnoBAL. (fig. 3.) Digo, que también fonproporcionales el lado AB. al feno del ánguloL. como el lado AL. al feno del ángulo B.Alarguefe el lado BA. házia Y. ( 2. pod.) ycortefe BY. igual á AL. (3. p. 1.) y con elintervalo AY. ó AL. haciendo centro en B..y en L. deferibanfe los arcos YK. AF. (3-poft.)y defde los puntos A. Y. caygan las A£. YH..peri

ir122,. , Trigonometríaperpendiculares á la BL. (i 2 . p. u) v ferá A Efeno i. de ángulo L v l,VH r ' ií 'lo B ñor UA c x ,r Y a YH ' fe no i .del ánguloÁ H A ^ Í ?r ' , D '*S°' 1 Be fo *0«>-¡IlúAlví"r 0 ^ f^0 L " afsí A^- ó fu'gualAL. a YH. feno de el ángulo B.i orque cn los triángulos BAE. BYH iosnguJos c E y H f¿ redQs m t ac on y t, mblcn ígua , cs ax< FSS^-t*£5á¡BY! esl"¡, f rAr dei angU, ° °P ucfto B 'P «odi D f f r > * P ° r «oní^don. Luegol*\P-5 ' > fera : eomo el lado AB. a AE fe»° del ángulo opuedo L. afsiAL áYH freos con los fenos de los ángulos opueftos feaeI tmngulo redangulo, u obliquangufo £u *fe fiL ! S ,as dem f "piones d? efta reglaporc¡onal^? e ir lqUÍerCrÍ;In g ul0 fo " P«>-Sos Sos opueftos, on ed S ad que ° S es, C °" &c.loS fenos del °* anPL !'q " e fcdleren conocidos dos lados tHX!° opuefto ' udos **•»> y »¿RE-Plana general.REGLAII.MUIEN QUALQUIER TRIANGULO LA SUMAde dos lados tiene la mifma razón a la diferenciade los. mifmos, que ¡a tangente de ¡afimifuma de los ángulos opuefios d la tangen'te de la femidiferencia de los mifmos ángulos»SEa el triangulo MCA. Digo, que íiendo conocidoslos lados MA. AC. y el ánguloMAC. comprehendido entre ellos, ferá la fumade dichos lados áfu diferencia,como la tangentede la femifumade los ángulos opueftos ACM*AMC. á la tangente de la femidiferencia de losmifmos ángulos» Del lado CA. alargado cortefeAL. igual á MA. y LP. iguala CA. (3. p. 1.)y tircfe la ML. y por AP. tirenfe las paralelasAN. PO. á la CM. ( 31. p. 1.) tirefe la AO. ypor A. la AY. perpendicular á la ML. (12.p. 1.)y haciendo centro en A. con el intervalo AY.deferibafe el circulo CYR. ( 3. poft.)Siendo AL. igual á AM. por conftruccion,ferá CAL. fuma de los dos lados CA. AM. yCendo también LP. igual á CA. ferá AP. diferenciade dichos lados. También el ánguloMAL. externo es igual á los dos internosopneftos ACM. AMC. ( 31. p. 1. ) luego elani

11*"* 2 4 Trigonometríaángulo MAL. es fuma de los dos ángulosopueftos ACM. AMC. Y porque el trianguloMAL. es Yfoceles por conftruccion, y del ang.vertical A.fe tiro á la bale LM.la perpendicularAY. cortará dicha bafe por medio cn Y. y tambiénel ang. vertical A.(cor.3.p.3.)y ferácl ang.MAY. la femifuma de los dosangnl. opueftosen C. y en M. Y porque también las AN. PO.fon por conftruccion paralelas á MC. y la PL. espor conftruccion igual á la CA. ferá también (2.p. 6.)OL. igual á la MN. Luego también quedaráYO. igualá NY.( 3. ax.) y el ángulo OAY..igual al NAY.(4. P- J •)y también el ang. LAO.igual al MAN. (j.zx.) Pero el angul. MAN. esigual al CMA.(29.p. r.) luego también el angul,LAO. ferá igual alCMA. (i.ax.) Lucgoel ang..NAO. es la diferencia de los dos angul. en C»y en M. del trlaug. CAM. Pero el ang. NAY..cs mitad del angul. NAO. diferencia de los dosdichos angul. como eítá demonftrado: luego elangul. NAY. es la femidiferencia de dichosangul. Y también por la definición de la tangenteferá MY. tangente de la femifuma de los angul.opueftos á los lados dados, MA. AC. y laNY.ferá tangente de la femidiferencia de dichosangul. Tenemos pues demonftrado, que CAL.es la fuma de los lados conocidos : AP. la diferenciade ellos : el angul. MAY. femifuma delos ángulos opueftos: NAY. femidiferencia:MY. tangente de la femifuma , y NY. tangentePlana general.'12?te de la femidiferencia. Efto fupuefto, feguirala conclufion del intento.Porque en el triangulo CLM. las AN. PO.ifon paralelas á CM. por conftruccion: fera(2. p. 6.) como CL. á AP. afsi, ML. á NO..pero (15. p.' 5.) como ML. á NO. afsi MY. áNY. Luego fea (11. p- 5«) ¿orno CL. fuma delos lados conocidos MA. AC. á AP. diferenciade ellos , afsi MY. tangente de la femifumade los ángulos opueftos , á NY. tangentede. la femidiferencia de dichos ángulos , quees lo que fe havia de dcmonftrar.Por efta regla fe refolverá qualquier triangulo, en que fe dieren conocidos dos lados, y el ángulo comprehendido entre ellos-.Porque , reftando el valor del ángulo conocidode 180. grs. valor de todos tres ángulos*el refiduo ferá fuma de los otros dos, y la mitadlera la femifuma de los dichos dos ángulos, que fon los opueftos á los lados conocidos, y formando la proporción dcmonftradaen efta regla, faldrá por quarto terminola femidiferencia de dichos dos ángulos , qutañadida á la femifuma, dará el ángulo mayor, que ferá el opueftb al mayor lado , yreliada dicha femidiferencia de la mifma femifuma,dará el ángulo menor , opuefto almenor lado. Y haviendo hallado el valor detodos tres ángulos , fe bufcará el tercero lado,ufando de la dodrina dada en la Regla1,1I

•X26 Trigonometríai. y de efte modo fe rcfolverá qualquier triangulocon las condiciones pueftas en el titulode efta 2. Regla.REGLAIII.EN QUALQUIER TRIANGULO EL LADOmayor tiene d ¡afuma de ¡os otros lados ¡a mifmarazón, que la diferencia de dichos dos ladosa la diferencia de los figmentos, que hace en ellado mayor la perpendicular tirada defde elvértice fobre la bofe, ó lado mayor, fig. 4.SEA dado el triangulo BAL. y cn d feanconocidos los tres lados. Digo, que feránproporcionales el lado mayor BL. (que fe tomarápor bafe ) á la fuma de los otros dos ladosBA. AL. como la diferencia de dichosdos lados á la diferencia de los fegmentos,quecn la bafe BL. hace la perpendicular AE.,tirada defde el vértice A.Tomefe el intervalo AB. y haciendo centroen A. deferibafe el circulo BCYH. y alargúeleel lado LA. hafta la circunferencia C.y tirefe defde A. la perpendicular AE. (12.p. 1.) y del punto L. tirefe al circulo la tangenteLY. (17. p. 3.)Y porque del punto L. tomado fuera delcirculo , fe ha tirado la tangente LY. y las fecantesLAC. LHB. ferá el redangulo CLR.igual\Plana general. 12 7igual al quadrado de la tangente LY. Y tambiénel redangulo CLH. ferá igual al quadradode la mifma LY. ( S6. p. 3.) Luego elrectángulo CLR. cs igual al redangulo BLH.(i.ax. 1. )También las redas AB. AC. fon igualesf n j re s ' (* *• d ef- r.) Luego CL. es fuma de loslados M..AL. y por la mifma razón AC. esjgua a AR Luego LR. es la diferencia delos lados AB. AL., También porque AE. es perpendicular foorettri. la dividirá en dos partes iguales en*. ( 3. P ; 3- ) y ferá LH. la diferencia de laspartes , o fegmentos BE. £ L . Pero pot lo demonftradoconfia , que los redangulos CLR.BLH. fon iguales: luego tendrán reciproco*os lados, que comprehenden Iguales an ñ u-í°r S - Ví *T « } ^ego fcra: Coino BL - a CL -alsi LRaLH. luego ferá: Como BL. ladomayor del triangulo BAL. dado á CL. fumade los otros dos lados: afsi LR. diferenciade dichos dos lados á LH. diferenda de lostegmentos que fobre la bafe BL. hace laperpendicular AE. tirada defde el vértice A.que es lo ^ue fe havia de demonftrar.i or eda regla fe refolverá qualquier triangulo,en que fe dieren conocidos los tresauos, y nmgun ángulo. Yhaviendo halladola d ferenca de ios fegmentos de la bafe , fereliara de toda la bafe, ó lado mayor, y elre-

If i 28 Trigonometríarefiduo fe dividirá por medio , y efta mitadferá el fegmento menor, adjacente al mayorángulo : y fumando efte fegmento menor conla dicha diferencia de los fegmentos, dará elfegmento mayor, adjacente al menor angiirlo : y quedará el triangulo propuefto divididoen dos triángulos redangulos , que cada unotiene conocidos dos lados , y el ángulo rcéto,que fe podrán refolver por la Regla 1. ó porlas figuientes.Si el triangulo dado fuere Equilátero, nohabrá necefsidad de refolverlo: Porque conios lados conocidos , quedan también conocidoslos ángulos; pues todos fon iguales entresí, y cada uno de 60. grs. (32. p. 1.)Si fuere Yfoceles, haviendo tirado la perpendiculardefde el vértice á la bafe , dividirála bafe en dos partes iguales, y configuientémentcen dos triángulos redangulos ; ( 3.p. 3. ). en quienes fe hallan conocidos dos lados, y el ángulo redo , que fe refolverán porla Regla 1. b por. qualquiera de las figuientes.REGLA IV.EN QUALQUIER TRIANGULO RECTANgulola bypotkenufa tiene d qualquiera de loslados la mifma razón, que el radio alfeno delSángulo opuefto a dicho lado. fig. 2.Ea el triangulo redangulo dado BFE. enque fe dan conocidos la hypothenufaBF.Plana general. $29BF. y el lado FE. Digo, que la hypothenufaBF. tiene al lado FE. la mifma razón, que el radioBD. al feno DG. del ángulo B. opuefto aldicho lado FE. Porque los triángulos BFE*BDG. fon equiángulos : pues el ángulo en B.>es común á entrambos triángulos , el ánguloBhF. del uno es redo, por fupolicion, y elO

*J»Án"igonometnaREGLA Y.EN QUALQUIER TRIANGULO REGTAÑguioel lado adjacente d un ángulo tiene la mimarazón al lado opue/to d dicho ángulo,qmtel•radio día tangente del mifmo ángulo, fig.z.SEA el triangulo redangulo dado el BFE.D.go^, que el lado BE. adjacente al ánguloB. tiene la mifma raron al lado FE.opuefto a dicho ángulo B. que el radio BC ála tangente CH. del ángulo mifmo B.lorque los triangulas BEF, BCH, fonequiángulos, refpedo de tener el ángulo B. comúny los angul. en E. C, fon redo", el U poríupoí.c.on y el 2 por l a def. déla tangentei,;ii neg0 R°V, gUaieS -- f I2 ' ^ Luego-eTan!guo enF. dd un triangulo es también igual«I ángulo en H. del otro triangulo. ( s¿, p b ,Luego dichos triángulos tienen propordo-Sftl r '*?r comprehenden iguales an-SüñcVié* T ueg0 fer¿: C9md BE - a FE *'aisi su a HC. Luego también : Como BE.lado adjacente al ángulo B. á FE, lado opueftoa dicho ángulo : afsi BC. radio, á HC. tangentedel ángulo B. cwe es, Sec.( Con el conocimiento dd ángulo B. fe f a -*» el ángulo F. reftando el ángulo B. de elqua-Ptana general. 13».quadrante* Y para conocer la hypothenufa,fe ufará de la Regla i, diciendo : Como el leñodel ángulo h. a fu lado opuefto FE. afsid radio á la hypothenufa BF.Por efta regla fe refolverá qualquier trian*guio redangulo, en qué fe dieren conocidoalos lados, que comprehenden el ángulo redo,REGLAVI.EN QUALQUIER TRIANGULO RECTANgi'.loqualquiera de los lados , que comprehendenti ángulo reíio, tiene la mifma razón a\la hypothenufa, que el radio d la fecante delángulo comprehendido de dicho lado, v de lahypothenufa. fig.i. -SEA dado el triangulo BFE. en que fe danconocidos al lado BE. y la hypothenufaBF- Digo, que el lado BE. tiene á la hvpotnenufaBF. la mifma razón , que el radio'BC.a la fecante BH. del ángulo B. comprehendido.de el lado BE. y de la hypothenufa BF.Porque lefc triángulos BFE. y BHC. fon,equiángulos, como eftá demonftrado en . laRegla antecedente. Y también , porque fien-,do las rectas FE. HC. paralelas ( 28. p. 1.) fe.ranproporcionales (2. y 4. p. 6.) BE. áBF. comoBC. áBH. Luego ferá: Como BE. lado,que forma el ángulo "redo, á BF. hypothenu-.I 2la,1

13 a Trigonometríad, afsi BC. radio a BH. fecante del ángulo B»contenido entre el dicho lado BE. y la hypothenufaBF. que es , &c.Defpues de conocido el ángulo B. fe fabráel ángulo F. tomando el feno 2. del ánguloB. Y para conocer el lado EF. fe ufaride la 1. Regla , con la analogía figuiente : Co.-.«no el radio á la hypothenufa BF. afsi el fenodel ángulo B. á fu lado opuefto FE.Por efta regla fe refolverá qualquier trianguloredangulo , en que fe dieren conocido»un lado, y la hypothenufa.CAPITULOVLÍ>E LA RESOLUCIÓNTriángulos Planos.DE LOSHAvIendo yá dexado notado, que los trian*gulos planos tienen tres confideracíonesrefpedo de los lados , fe tratará en elCapitulo prefente de cada una de ellas , enque fe propondrán los mas de los calos * queJfnelen ocurrir en fus propoficiones para refolyerlas, y figuiendo el orden de fu divifion,fe comenzará por el trianguloEquilátero.MPRO-mnPROPOSICIÓNTi ana general. 13»PRIMERA*De la refolucion-del triangulo EquiláterosEN el Triangulo Equilátero ficmpre feránconocidos fus tres ángulos : Porque todosfon igules entre si, y á 1-80. grs. y porconfiguienre cada uno vale 60. grs. (5. y3•-• p. 1.) Y afsi, para que fe pueda refolvcr, fedebe dar precifamente uno de fus lados , yCon efte folo conocimiento, quedará refucilo: Porque por fer Equilátero, todos los lado»han de fer iguales , y afsi los otros lados valdránlo mifmo , que el conocido.Nota, que en eftas refoluciones fe acofw.tumbran feñalar los términos conocidos con?una rayita, fean lados , b fean ángulos, y lo»términos, que fe defean conocer, fe feñalancon un o. paraque fe proceda en las refolucionesfin alguna equivocación, mediante, queCon eftas feñales quedan diftintos. unos términosde otros. Lo que fe debe tener prefente e$íodaslas refoluciones.PROPOSICIÓN II.toe Ja refolucion del triangulo Tfoceles.\ESte triangulo Yfoceles fe ha de confide*rar , b como Redangulo , ú como Obtuangulo> u como Acutangulo , en cuya con»1} &i

134 Trigonometríafideracion fe dividirá efta propoficion en treíparágrafos , que ferán los figuientes./. I.De la Refolucion del triangulo TfocelesRectángulo, fig. 5-EN el triangulo Yfoceles redangulo fiemprcferán conocidos fus tres anguloi:Porque , por fer redangulo, un ángulo feráredo , u de 90. grs. Y, por fer Yfoceles, cadauno de los otros ángulos ferá femiredo, u de45. grs. (cor. 2. 32. p. 1. ) y eftos ángulos,que por fer femiredos, b de 45. grs. Ion iguales, ferán los opueftos á los lados iguales , y dángulo redo fe opondrá á la hypothenufa. Eftofupuefto , fe puede proponer efte triangulopara fu refolucion con el conocimiento detodos tres lados , con el de dos , b con el de«no folo ,. y fe rcfolverá del modo figuiente*j. Si fe dieren conocidos todos tres lados^tío havrá que hacer refolucion, porque co»los datos queda refuclto , refpedo de que yafe tienen-conocidos los tres ángulos.2. Quando fe dieren conocidos dos lados,puede haver dos propueftas ; porque puedenfer los dos lados defigualcs, blos iguales. Si lo»lados dados fueren defiguales , tampoco haynecefsidad de refolucion : Porque con los datosPlana general. 13 5tos queda refueko el triangulo, rcfpedo_ defer Yfoceles , y afsi fe dirá , que lo que fe dierepor valor de uno de los latios iguales, ferátambién valor del otro lado fu igual: y losángulos fe fuponen fabidos. Luego yá quedarelucho.3. Pero fi los lados, que fe dieren,.fueren,ios ¡guales, fe necefsita de refolver , y para.ello fe valdrá, de la 1. Regla: v. g..Sea el triangulo dado ABC. en que fe danconocidos los dos lados iguales AB. BC. yfe quiere conocer la hypothenufa AC- feanlos lados cada uno de 56.. pies. Caftellanos*Digafe : Como elfeno, I A. 9. 849545 oo*del ángulo C. de 45. B. 11. 7482 56 pies*grs.que es A. áfu lado,opuefto AB. de 56. C, 1... 8987 79 pies»pies, que es B. afsi elradio , que eftá yá fumado con B. como quedanotado , al valor de la hypothenufa AC. qu*as C. que vale 79. pies.4. Si fe diere conocido folo un lado.u ferála hypothenufa, b uno de. los dos. iguales*Si fuere la hypothenufa, v. g. AC. de valorde 100. pies , y fe pideel valor de cada uno,de los lados iguales, feD. 2. 0000 100 .E. 9.. s 4í>5 45 00dirá por la 1. regla: Co- j F. 1. 8495 7ipiesemo el radio á la hypo- | ;thenufa de 100. pk:s, que cs D. afsi el feno ddÍ4&'

tfjí Trigonometríaángulo A. de 45. grs. á fu lado opuefto BC. qtiefaldrá de 71. pies: y efto mifmo valdrá el ladoAB. refpedo de fer iguales los lados AB. y BG5. Pero, fiel lado, que fe dá conocido, fuereuno de los dos iguales AB. BC. fe refolveráel triangulo con la mifma proporción*que queda hecha en el num. tercero.Plana general. . '37fcalla diferencia en dios -y afsi fe tirara£Perpendicular EG. ala bafe DF. defde el an|ulo vertical E. Ci..f¿) l ^ £ ± 'do en dos triángulos redangulos, y la perpendiculardividirá la bafe por medio/cor. 3.. p.3. ) y ferán conocidos en cada triangulo doslados: el uno de 64. pies, y el otro la mitad dela bafe del total,que ferá de 50. pies, y tamb enquedará conocido el ángulo redo en cada tr ángulo, que fe refolverán por la regla 1. dicien-G.Hí. II.De la refolucion del triangulo Tfoceles obttfángulo,figura 6.LAS refoluciones de efte triangulo fon lasmifmas , que las del acutangulo. Y afsiytodo quanto fe dixere del obtufangulo , fe debeentender dicho del acutangulo. Pero, porfeguir el orden , que fe lleva , fe pondrán enefte $. las del obtufangulo , en que fe din conocidostodos tres lados: b dos lados, y unángulo: y en el $. figuiente las del acutangulo, donde fe dan conocidos dos ángulos, yvn lado.1. Sea el triangulo Yfoceles obtufanguloDEF. en que fe dan conocidos todos tres lados: los dos iguales , DE. EF. cada uno deÓ4. pies , y la bafe DF. de 100. pies , y fe pideel valor de los ángulos. Para la refolucionde efte, y de los demás triángulos, en que•fe dan conocidos rodos tres lados , nos debemosvalet de la regla 3. pero, porque en efteYfoceles, tiene los dos lados iguales no feha-*2 „ ^ . « » TVT: n T 1. Rc\6i. 6±.do: Como el lado DE.8062. 64.b EF. de 64.pies , que 11 6990. 50.es G. al radio : afsi ellado DG. b GF. mitad Y. 9. 8928. Jl. 33de la bafe dada 100. I —-7- 'que vale 50. y es H. junto con el radio, al fenodel ángulo E. en uno,y otro triangulo, ylaldrael de ji.grs. y 2?.min. el qual duplicado feralíos. grs. y 46. min. valor del ángulo DbK yreliado efte ángulo de iSo.grs. que valen todoslos 3. del triangulo, quedará 77. y M-mm. porvalor de los ángulos fobre la bafe DF. y porqueeftos han de fer iguales, (5. p- *•) la «fad, quees 38.grs. y 37. min. cs valor de cada uno deellos, y queda refuelto el triangulo.Si fe quificre fa- K.ber el valor de la L.perpendicular EG. fedirá por la regla r.Como el radio á la1. 8062. 649. 7953- 3 8 37

íx 3° Trigonometríahypothenufa DE. b EF. afsi el feno de el ánguloD. o F. de 38. grs. y 37. m¡„. á i a per .pendicular EG. y faldrá 40. pies por valor deoicna perpendicular , que fe bufeaba..2. Sean en d mifmo. triangulo conocido!los dos lados iguales DE. EF. cada, uno de50. pies x y fea también conocido el ángulo£• adjacente á ellos de 12.0. grs. y fe quierenconocer los términos, que faltan. Reftefe elvalor del ángulo dado 1.20. de 180. valor detodos tres ángulos, y el refiduo 60. ferá valor,de los otros dos: y, porque ha*de feriguales,tomefe la mitad de 60. que es 3-0. y ferávalor de cada uno de ellos. Con el conocimiento,de todos tres ángulos, y de los 2. lado»iguales, fe hallará la bafe por la regla 1. diciendo:Como N.o.. 3010el feno de el ánguloD..b F. de O. 9. 6990 30. g..30. grs. quq es P. I. 6990 50. p.O. á fo ladoopuefto, DE. b Q¿ 9- 9375 120-A.60. g.EF. de 50. pies, Ique es P. afsi el [ &• 1. 9375 8 7* P» '•feno de el ángulo E, de 120., grs.. bdc 6o¡.grs,( qiieesel nfifmo , como queda advertidoen la definición del feno 1. ) que es Q¿_i la bateopucíla, DF. que fale de 87, pies.Nota, que.en efta operación eftá tomadoel complemento logarithmico, como quedadi-iB^^^^Hx 3 9Plana generaldicho en la propoficion 9. del cap. 3. P*« q uelas operaciones no fean tan mokftas , y le podráhacer , como queda maninefto en ella, tomandoel complemento á 10. en el primernumero fignificativo , que es d o. y en los demás, hafta 9. y mmar efte complemento, quees N. con los dos términos P. y QÍ_ y -la luanaR. ferá el quarto termino , que fe bufca,haviendo quitado la unidad á la caraderifticahacía la izquierda del operante: y de efte modopodrá ufar el principiante , hafta eftar masexperto , que en tal cafo , lo podrá tomar dememoria, y fumarlo con el 2. y 3. termino,y quitar la unidad ala caraderiftica del 4. termino, como fe prádicará en las_ refolucionesfiguientes, quando no interviniere el radiocn las analogías , b proporciones.3. Sean en el mifmo triangulo conocidoslos dos lados DE. y EF. cada uno de ?6,pies, y el ángulo D. adjacente al lado DE.y opuefto al lodo EF. y fu valor 28. grados.Con eftos términos conocidos queda tambiénconocido el. ángulo F. de.28. grs. refpedo det 1 • l «v C * £. ..O m-afer el triangulo Yfoceles, que fuma­T. 1. 5 5¿3 36 pies.S. 9. .6716 28. grs.dos entrambos importan56. grados,V. 9. 9¡%6 56 grs.los qudes refiados., X. 1. .8033 6a pies.de 180. quedarán«24. por valor del ángulo'E. y para fu refolur\CW\cion,

I; x 4 0 Trigonometríacion, fe operará por la Regla i, diciendo : Comoel feno del ánguloD. de 28. grs. que es S.á fu lado opuefto EF. de ^6. pies, que es T. afsiel feno del ángulo E. de 124. grs. b de 56. grs*( como queda advertido) que es V, á fu ladoopuefto DE. que es X. y correfponde á 64. pies,¡que fe pretendía.4- En el mifmo triangulo denfe conocítíosdos lados dcfiguales DE. de 58. pies, yDF. de 96. pies, y el ángulo adjacente á ellos~ e 34* grs. y 9. min. Digo, que efte trianguloqueda refudto con los mifmos datos. Porgueel lado EF. ferá de 58. pies, refpedo de ,fer Yfoceles dicho triangulo: y por la nfif-*na razón el ángulo F. ferá de 34. grs. y 9. ms.que, fumados, hacen 68, grs. y 18. in, y eftosrefiados de 180. grs. íale al refiduo 111.grs, y 42. min, valor del 3. ángulo E.5- Si en dicho triangulo fe dieran los doslados DE. y DF. defiguales , y el ángulo E,adjacente a uno , y opuefto á otro , quenaratambién refudto el triangulo, cómoen el numero antecedente: fiendo el ladoEF. igual á DE. y reftando el valor del ánguloE. dado de 180. grs. y el refiduo partidopor medio , ferá cada mitad valor décadauno de los otros Idos ángulos,que también deben feriguales.Plana general. 14ajf. III.toe la refolucion del triangulo TfccelesHAcutangulo. fig. 7.Aviendo propuefto en el parágrafo antecedentelas refoluciones con el conocimientode tres lados; y dos lados , y unángulo: propondremos cn el prefente en eltriangulo Yfoceles acutangulo las propoficionescon el conocimiento de dos ángulos*I y un lado : pues , como queda dicho , lo(que refolvieremos cn efte acutangulo , fe debetener entendido en el obtufangulo, y alI contrario. Efto fupuefto.I 1. Sea propuefto el triangulo Yfocelesacutangulo HGY. en que fe íuponen cono-Icidos los dos ángulos H. Y. cada uno de 53..jgrs. y 8. min. y el lado HY. adjacente á di-|chos ángulos , valga 54. pies. Primeramentefedebe conocer el ángulo G. fumando, los.Wos ángulos H. Y. que ferá 106. grs. y 16. mi-Inut. y elfos refiados de 180. quedan 73. grs.'[y. 44. min. por valor del ángulo G. defpuesle refolverá el triangulo, valiéndonos de laRegla 1. con la analogiafiguiente : Comoel feno del ánguloG. de 73. grs.y 44. min. que esA. al lado opueftoA. 9. PB23 73 44B. 1. 7324 54 pies.'C. 9- P031 53 8D. r. 6532 45 pies.HY. de 5. pies , que es B. afsi el feno del angul

14 2- Trigonometríaguio H. b Y. de 55. grs. y min. que es Cá fu lado opuefto HG. b GY. que es D. de45. pies.2. Sea el mifmo triangulo , en que fe denconocidos los dos ángulos H. Y. cada unode 50. grs. y el lado HG. opuefto al ánguloY. de 40. pies. En efta propuefta queda conocidoel lado GY. de 40. pies , por fer Yfocelesel triangulo: y para conocer el ángulo G-fc fuman los dos ángulos dados , y hace 100.que reliados de 180. queda 80. por fu valor.Para haliar el valor de el lado HY.' feE.F.G.88426021993450 grs.40 pies.80 grs.H. 1. 7113 j 1 pies.formará por la Regia1. la analogíaliguienre: Como elfeno del ángulo Y.de 5 o. grs. que esE. á fu lado opueftoHG. de 40. pies , que es F. afsi el feno delángulo G. de 80. grs. que es G. á fu ladoopuefto HY. de 51. pies, que es H.3. En el mifmo triangulo lean conocidos losángulosH. G.el 1. K. 9. 9573 65 grs.de6j.yel2.de 50. L. 5798 38 pies.yelladoGH.adja- M. 8843 50 grs.cente á ellos de3-8.pies.Por la propueftaqueda conoddoN. 1. 5068 32 piestambién el ángulo Y. de 65. grados,y d lado GY. ¿Í 38, pies , y falo queda.Plana general.I,,da,que conocer el lado HY.que por la Reglar,fe conocerá, mediante la analogia figuiente'Como el feno de el ángulo Y. de 6 5 .grs. quecs 1C. a fu lado opuefto HG. de 38. pies quees L. afsi el feno del ángulo G. de 5o.grs! quecs M. a fu lado opuefto HY. de 3 2. pies, que•cs N. y lo que fe pretendia.4- Sea también en el mifmo triangulob•op.ocdo el lado HY. de 83. pi es , y i os an .gufosGde55.yelY.de6 2 ¿.y\/ 0 . , m: ^-uyos datos queda también conocido el art-« lados HG y GY. fe dirá por la R^la 1.orno d feno de el O. 9.913* 51 g¿.1gul0G.de 55. -P. i.9 44 ?88p¡ es .S; q 0 u ;^HÍ ^ ^ o _ _frnguo Y. de 62. g fs . y 3a. minut. que es Q.a fu lado opuefto HG. que es R. de 95. pies-ylo mifmo valdrá GY. refpedo de fer^uafes) quedará concluida la operación.PROPOSICIÓN III.W I* refdmion de el triangulo Ef caleño.P^nnM d trÍa " gUl °"quangulo , fo dividirá ellaEfCalcn ° fe t*¿propoficirn

I144 Trigonometríaen dos parágrafos: en el primero fe propon-idrán los Problemas pertenecientes al redan*guio : y en el fegundo , los que pertenecieren Ial obliquangulo, y ferá en el orden figuiente.- Ji. LDe la refolucion de el triangulo E/calinaRecJangulo.TOdas las propoficiones, que fe puedenhacer en el triangulo Efealeno (y lo jmifmo en qualquier triangulo) pueden fercn una de cinco maneras: Porque fe puedendar todos tres lados conocidos : dos lados, yun ángulo adjacente : dos lados, y un ánguloopuefto : dos ángulos , y un lado adjacente: y idos ángulos , y un lado opuefto.,Y fegun eftas confideraciones , fe propondránlos Problemas figuientes.PROBLEMAPRIMERO.Dados tres lados de un triangulo Efialeno Res?tángulo , conocer todos tres ángulos, fig. 8.EN el triangulo redangulo Efealeno MLRfean conocidos el lado ML. de 70. pies,"elMN. de 90. y elLN. de 50. Refpedo de queel triangulo propuefto cs redangulo en L..&co-Plana general. 145conocerán los otros dos ángulos por la Regla1. con la figuiente analogía : Como el lado, ú hypothenufa NM. de 90. pies, que es A.A. 1. ©54= 9oB. 11. 6990 50. , , • • - - *C ©. 744 8 33 45!al radio: afsi el lado LN.de 50. pies al feno delángulo M, El logarithmoB. es el de 50. pies,juntamente con el radio,y lo que correfponde al feno del ángulo M.csC. que es feno de }¡. grs. y 45. min. cuyocomplemento en la tabla le correfponde 56.grs. y 15. minut. valor del ángulo N. yquedará refudto el triangulo propuefto.PROBLEMAII.Dados los lados, que comprehenden el angulareíio, conocer los otros ángulos, y lahypothenufa»SEan conocidos en el mifmo trianguloLMN. el lado ML. de 66. pies , y etlado LN. de 45. y el ángulo adjacente á dichoslados tedo. Efta refolucion fe puedehacer por la Regla a, b por la 5. Ambasfe pradicarán , para excrcicio del principiante; pero la refolucion por la Regla 5. quepondremos defpues, es mas fácil, y breve,que^ la que fe hace por la Regla a. que »%la figuiente.KTo-^^••••^H

146 TrigonometríaTomenfe los dos lados conocidos ML.66. y LN. 45. y fumados impor- 31taran til. y reliado uno de otro,quedará 21. como parece al mar- 66gen. Defpues fe reftará el ángulo 45L. conocido de 180. grs. y refpec- . • • • > —to, de que cs 90. grs.' quedarán ntotros 90. grs* por Valor de los dos —ángulos M. y R D. 2. 0453 i ti. pies.cuyamitad45.fi;- E. ir. 322a ai.pies.irá femifumade losángulos opueftos F.á los lados conocidos.9 2769 tang. ío 43.Luego fe dirá : Comola fuma de los dos lados co­34 -7nocidos i tu pies , que esD. á la diferencia de ellos21. afsi la tangente de la femifumade los ángulos .opueftos45. ( que por fer igual al radio4510554? '43eftá junta con el 2. tj-rmino en E. Jalarangentede la femidiferencia de los mifmos ángulos, que es F. y correfponde á 1 o. grs. y43. min. la qual, fumada con la femifuma45. grs.importa.55. grs. y 43. min. valor deel mayor ángulo, opuefto al mayor lado,que es el ángulo N. Y reliada la femidiferencia10. grs. y 43. min. de la femifuma 45.grs. ferá el refiduo 34. grs. y 17. min. valor'dePlana general. 147de el menor ángulo M. opuefto al menorlado LN.Para conocer la hypothenufa MN. fe dirápor la Regla 1. Como el feno del ánguloN. de 55. grs. y 43.min. que es G. a fu ladoopuefto ML. de 66.pies, que cs H. afsi elradio, que eftá tambiénG.H.9. 917 111. 8195— - . . • • -Y. 1. 9024 8055 43.66.incluido en H. á la hypothenufa MN. que esY. que vale 80. pies.Mas fácilmente fe refolverá el triangulo pro*,puefto por laRegla 5. diciendo : Como el ladoLN.de 45.pies, que I L. I. 6532 $5 pies»es L. al lado LM. M. 11. S195 6&pies»de 66, pies : afsi I ——— • ——el radio ( que es | R lo. 1663 /. 5 5 43M. con el logarith- | — 'mo de LM. ) á la tangente del ángulo N«que es N. y correfponde á 5 5- g

148 TrigonometríaPROBLEMAIII.toados dos lados ,y e¡ ángulo adjacente oblique,conocer los demás ángulos > y eltercer lado.-QjEan en el triangulo MLR conocidos elO kido LN. de 44. pies , y la hypothenufaMN. de 87.-pies, y el ángulo R adjacenteá dichosMos de 59. grs. y 37. min. Reftefed ángulo de 59. grs. y 37. min. que cs el an-guio N. de el quadrante^el refiduo 30. grs.y 23. min. ferá valorA. 1, 9395. 87.Ü.9- 93 5 S. 59- 37*del ángulo M. Y pa- | C. 1. 8753. 75.ra conocer el lado j —— -ML. fe dirá por laRegla i. Como el radio á lahypothenufa MN. de 87. pies, que es A. afsi dfeno del ángulo N. de 59. g. y 37. ms. que esB. á fu lado opuefto ML. que es C. y vale 7 5. pies.PROBLEMAIV.Dados des lad.s, y el ángulo retío, opuefto aunede ellos, conocer ¡es demás angulos ty el tercer lado.EN el mifmo triangulo MLR fea el ánguloL. redo, y el lado LN. de ¡9. pies , y lahypothenufa MN. de 78. pies. Efte triangulo feRefolverá por laRegla 1, dicicfidoiComolahy-po-^HBPlana general. 149pothenufa MN. de 78. pies, que es D- airadlo,*afsi el lado LN. de 7,9. pies al feno del ángulo M..fu opuefto,que cs F. ( y la fuma del radio , y ellogarithmo de 39. es.E.) y valdrá F. 30. grs. y'fu feno 2. que cs el deJ60. grs. ferá valor deSel ángulo N, Defpues|fe dirá ppr la Regla 1.lomo el radio ¿la hyD. 1. 8921.E. 11. 5911.78 pies.39 piesF. 9. 6990. 30 grs,.pothcnufa.MRde 78, pics,que es G. afsi el fenodel ángulo N. de 60. G. 1. 8921. 78 pies.grs, que es H.á fu lado H. 9- 9375- 60 grs.,1 opuefto ML.quees Y. • • — — — = -• • "«W fu valor 68. pies, y Y. 1. 8296. 68 pies.!|qucda refudto el trian-'gulp propuefto.^ También fe puede refolver por la Regla 4.:diciendo 1 Como lahypothenufa MN. de7 8 « pies, que es L.al lado LN. de 19.L. 1. 8921. 78 p.M, 11, 59U» 6£p*R 9. 6990. 30 g*pies: afsi el radio,que es M, juntamente con el logarithmo de39. al feno de el anploM. opuefto al P. II, 8921. 78 fi,O. 1. 5911. 19 ?•lado LN. que Cs de! 3°- grs, y es N. Defpuesfe bufcará elQ¡_ 10. 3©io.f.6og.laladoML. con la mifma analogia, que cn elcafo antecedente, y faldrá lo mifmo.K* Taaw

íjo TrigonometríaL- También fe puede rcfolver por la Regla 6.»diciendo: Como el lado LN. de ¡9. pies que esO. á la hypothenufa MN, de 78. pies , que esP. junto con el radio ; afsi el radio ala fecantedel ángulo N, comprehendido entre la hypothenufa,y el dicho lado, que es Q¿.y vale 60. grs.Defpues fe hallará el lado ML. con la mifmaproporción , que cn el cafo primero, y quedarárefuelto el triangulo.PROBLEMA V.toados los lados , y un ángulo agudo opueflo duno de ellos , conocer los otros ángulos , yel tercer lado.EN el mifmo triangulo MLN. fean conocidosel lado LN, de 37. pies , y ML. de58. pies , y el ángulo N. opuefto á ML. de 57.gts. y 30, rnin. Con eftos datos queda conoddoel ángulo M. que R. 9. 9260. 57. 30ferá el complemento S. n. 7634. 58.al quadrante, que es32. grs, y 3.0. minut. T, 1. 8374. 69.Y para conocer la hypothenufa, fe dirá por laRegla 1. Como elfeno de¡ ángulo N. de 57. grs* y 30. min. quees R. á fu lado opuefto ML. de 5 8. pies,que es S. junto con el radio afsi el radioá la hypothenufa MN. quees T. de 69. pies.PRO-Plana general.PROBLEMAVt1.51Dadas dos ángulos agudos, y el lado adjacented ellos, conocer los demás lados , y eltercer ángulo.SEA cn el mifmo triangulo MLN. conocidoel ángulo M. de 25. grs. y 45. min: y el-ángulo N, de 64.gis. y 15, min. y la hypothenulaMN, de 112.pies, y el ángulo L. fe fuponcredo. Efte triangulo fe refuclvc por la^Ecvg'a i. y fe pueden hallar los dos lados á unñu fino tiempo, diciendo: Como el radio á laA. 2.049.2. 112B. 9'6i 7 9. 25 45hypo~rthenufaMRde ii2C 1.6871. 482.0492 1129.9540.64.1%,'2.0038. iorpies, que es A. y fe pondrá en dos partes, co-r.mo eftá en el exemplo : afsi el feno del ánguloM. de 25. grs, y 45. min. y afsi el feno del ánguloN, de 64. grs. y 1 5, mi 11. que fe pondráncada uno debaxo de A. como parece en B. al,lado opuefto LR en la primera proporcion,_Y a * - a do opuefto ML. cn la Í. y fale C. quecorrefponde en la 1. á 48. pies, y en. la 2. á¿iOi.pi^s, y quedará concluida la .'refolucion.K 4PRO*

I 5*TrigonometríaPROBLEMAVILDados dos ángulos, uno retío, y otro agudo, v elfado adjacente d ellos, conocer los otros lados,y el tercer ángulo.DEnfe conocidos cn el mifmo trianguloML^. d ángulo L. redo, y el ángulo N.üe 56. grs. y l3. ra¡„. y ej ] ado L N. adjacentea el os de 94- P'es. Con eftos datos fe bufcaráen Ia S> tablas de los fenos el feno de 56. grj.y 12. m¡n. y fu feno 2. 3!. grs. y 4g. m; n . ferivalor del ángulo M. Luego fe hallarán loslados por Ja Regla 1. diciendo: Como el feno.del ángulo M. de 33.g". y 48. min. que esp- á fu lado opueftoLN.de 94, pies, que csE. afsi el radio, queD.E.9- 7453 33 4811. 973i' 94 P*F. 2. 1278. i69p,eftá en E. á la hypothenufa MN. que es F. deii6

1 54 Trigonometríay el ángulo M. de 11, grs. y 45. min. y d lado(LR de 98. pies. Réf- j T. 9. 3089 11 45• pedo de fer el trianiguloredangulo, fe-¡rá el ángulo L. recto.Luego fe dirápor la Regla 1. Co-V. 1. 9912 9S pies.X. 9. 9908 78 tjZ. 2. 6731 471 pies.mo el feno del ángulo M. de n. grs. y 45.min. que es T. á fu lado opuefto LN. de 98.pies , que es V. afsi el feno del ángulo N. de78. grs. y 15. min. que es X, á fu lado opueftoML. de 471. pies,que es Z. Tambiénfe dirá: Como elfeno del ángulo M.de 11. grs.y 45. ms.A. 9. 3089 11 45B. ii. 99*z 98 pies.C. 2, 6823 481 pies.— — o — • / -fj.ino. 1 .—;que es A. afolado opuefto LN. de 98. pies,que es B. afsi el radio á la hypothenufa MN.que es C. y Vale 481. pies , y quedará refueltqel triangulo propuefto,• $- n,toe la refolucion del triangulo EfialenoQbliquangulo,REfpedo de que en las refoluciones delparágrafo antecedente hemos feguidoel ufo común , para bufcar el valor de los logarithmos, de los fenos , tangentes, y focantes,Plana gene**?* tiíftes, tomando el mas próximo , quando no fehallaba juftamente,, determinamos en efte-paragrafotomarlos con la mayor predfion,que fea pofslble, tomando en los logarithmoslos quebrados , demás de los enteros, ycn los fenos , tangentes , y fecantcs los minutosfegundos, demás dejos minutos primeros, para que por efte medio tenga el Eftudiofola prádica, de lo que queda dicho en eftamateria , quando quifierc valerfe de elia, parala juftificacion de las refoluciones , quetuviere executado.PROBLEMA PRIMERO.toados tres lados de un triangulo Efialeno Oblicuángulo, conocer los ángulos. fig> 9-SEA el triangulo obliquangulo propueftoOPQ^en que fe dan conocidos fus treslados: OP. de 64. pies ; PQt.de 55- y OQ¡_de72. pies. Para refolver efte triangulo, fe tomará por bafe el ladomayor OQ^ de 72. pies. Defpuesfe pondrán aparte los otros doslados, para fumarlos , y reliarlos,y 119. ferá fuma de ambos, y 9.ferá diferencia de ellos , comoparece al margen.6455119. Defpues fe dirá por la Regla 3. Como el lado

l• •Trigonometría«• 85732. 0755o. 95427*'9•*.,,r.t~I. 1724 i 4 >i(.J00I.I,I.2631724146117613°Q14*x 4*530o,156do mayor, ó bafe OQ^de 72. pies , ala fumade los otros dos ladosOP. y PCL 119. ps:afsi la diferencia de losmifmas lados 9.p. á ladiferencia de los fegmétos,quehace la perpendicularPR, fobre labafe OQi tirada defdeelangul. del vértice P.y hecha la operación,fale por quarto tetmino:1.172 4. que correfpondeá 14. pies , mas 263. trecientos abos deotro, como confia de la operación del margenaHaviendo hallado la diferenciade los fegmentos 14)5^263,trefeientos abos, fe reftará detoda la bafe 72, y faldrá al refiduo57*37^refcientos abos,de quien tomando la mitad28 >5& 3 37- feifeientos abos, fcráelfegmento menor QR. adjacenteal mayor ángulo Q^ y fumandoelle valor del fegmentomenor con la diferencia de losfegmentos antes hallada, hará43.pics,y 263. feifeientos abos,que es valor de el fegmento ma 4 -yorn263*4»i

Il15% TrigonometríaComo el lado menor , b hypothenufa PQ¿. de55. pies, al radio: | 1.7404 55 337afsi el fegmento 11.4557 28 í¡

46o Trigonometríaque ferápor la Regla 2. fe fumarán , y reftaránlos dos lados conocidos, y ferá la fu- 24ma de ellos 142. y fu diferencia ferá •* •*24. Defpues fe reftará el valor del 83ángulo P. conocido 80. grs. del va- 59lor de dos redos, que es 180. grs. y • •• —el refiduo 100. ferá valor de los dos 142ángulos O. Qi_y fu mitad 50. valor -de la femifuma de dichos ángulos, opueftos*los lados OP. y PQ^.Efto fupuefto, fe dirá: Como la fuma delos dos lados OP. y 2. 1523 142PQ¿_ 142. pies á fu r. 3802 24diferencia 24. pies: 10. 07621ang. 50afsi la tangente de lafemifuma de los ángulos9. 3041 t. 11 23 17opueftos O. yQ¿_ que es 50. á latangente de la femidiferenciade los mifmos 9. 303© 11 -39. 3041 11 23 17ángulos, y hecha la 9. 3046 11 24operación, viene porquarto termino la tangente»dc 11. grs.13. minut. y 17. fegundos.Haviendo halladoel valor de la tangentede la femidiferencia, fe añadirá á120 I 7051o 1738 36" 43115033 1761 33 17UPlana general. 161la femifuma, y dará ¡ 9. 9434 61 2361.grs.23.min. y 17. 9.9435 61 24fegundos, por valor11• • -' ' 1del ángulo Q^opuef-16 al mayor lado OP. 17y.refiada también lamifma tangente de la 17 60emifuma dará 38.*7rs. 16. minutos , yo #E43 • feg. valor de el60ngulo O. opuefto alenor lado. PQ^. Co-' 9.9434 61 23 17o todo parece en 1.9191 83 .pies.os exemplos de el 9. 9934 .80 grs.Inargen.Refta ahora conocerel lado OQi. y2J,1.9691 93para dio fe dirá porla regla 1. Como el5feno del ángulo Qj. 1. 9691 93 j$ y 3- veinte y tres abos, conio^onftade la: operación* •PRO-

í6i . TrigonometríaPROBLEMA III.Dados dos lados ,yun ángulo opuefto auno deellos , conocer ¡os demás ángulos, y el tercerlado.SEan en el triangulo mifmo OPQt. conocí'dos el lado 0(J_de 85. pies, el OP. de 79.pies, y el ángulo Q^ opuefto al lado OP. feade 65. grs. y 30. min. Efte Problema fe refolverápor la Regla 1. didendo: Como él ladoOP. de 79. pies al fenodel ángulo opuefto Q^ de65. grs. y 30. min. afsi ellado OQj. de 85. pies, alfeno del ángulo P. que feráde 78.grs. y 15.min. ypara conocer el ánguloO: fe fumarán los dos ángulosQ^P. y harán 143.grs. y 45. m. que refiadosde i8o.,grs. el refiduo 36.grs.y i5-m. ferá valorde el ángulo O. Defpuesfe dirá : Como elfeno del ángulo Q^ der. 8976 79 pies.9. 9590 65 60.1. 9294 85 pies.9. 9908 78 159.9590 65 301.8976 79 pies»9.7718 36 IJ1I.7IO4 51 *:—1— 7 - 328._ _ -8 ,1.7104.51 i¡ji • '• -1. 7076. 51 84 J6$. grs.-y~30.min. áfu t. 7160. 53lado opuefto OP.de 79ps.- afsi el feno del án­84.gulo O. de 36. grs. y 15»m. á fu lado opueftoPQg_que ferá de 51.píes, y un tercio, como pa-jrece ai margen.8PRQ^Plana general'.PROBLEMAIV.. m.udosdos ángulos, yel Jado adjacente d elkí,conocer los demds lados , y el tercer anvguio. Fig.q.EA el triangulo ABC. en que fe dan cono-1 cidos el ángulo B, de 45. grs. el ángulode 2

|J5A Trigonometríai fu lado opuefto BL. de 120. pies ¡ afsi el fenodel ángulo L, de 29. grs. y 24. min. á fu ladoopuefto AB. que ferá de 61. pies, y,j z. fetentay MU abos, que es, lo que fe pretendia. aPROBLEMA V.toados dos ángulos, y un lado opuefto d uno diellos y conocer los demds lados, y el tercerángulo. Fig.4..EN el triangulo ABL. fe dan conocidoálos dos ángulos A. de 108. grs. y 48. m.y L. de 18. grs. y 13. min. y el ladoAB. de100. pies. Primeramente fe bufcará el valordel ángulo B. fumando los. dos ángulos conocidosA. y L. que importan 127. grs. y i.mui.'que reliados de 180. grs. quedan 5 2. grs. f|59. min. por valor del ángulo BPara conocer los 9. 495oOtros 2. lados, feufará 2. 0000de la Regla h dicien- 9- 902318 13100 pies.52 5?- 83. 4073 225 >J( —do , para hallar el ladoAL. Como el fenodel ángulo L. de 18.grs. y 13. min. á fu lado opuefto de 1pies:afsi él feno del ángulo B. de 5 2-grs. y 59-m.a fu lado opuefto AL. 225. pies, y 8. diez yfiete abos.vPlana general.*¿fY parad lado BL. fe dirá: Como el feno9.4950 18 132. 0000 100 píes*9.97 o2 7 l 1%del ángulo L. de 18.grs.y 13, min. afoladoopuefto AB.dc 100.pies: afsi el feno de elángulo A. de 108. grs.y 48.min. bde 71.grs.— — — - •- 6>2.4812 303 »J* *—7y 12.min. que es lo mifmo , áfu lado opueftoBL. que ferá de 302. pies, y 6. feptimos, quees, lo que fe bufcaba, y queda enteramente refudto el triangulo propuefto.SIGUE LA TABLAde los Logarithmos correfpondientesá los Númerosabfolutos defde i.hafta1000.HN.I**

"1

•N. Lngarit.i Si Ii.l577182 1-260118318418*187188189190191'9il 91'94'95196'«7198199200101! 202IO; 1-30751 IO4. 1.309:6lOf204107: IOS t.31811O9 2.32011IO2.1625í.16481.2672z.i¿751.27182.27412,27652.27882.28 102.283 32.18561.28781.19002.292?1.19451.29672.29891.3O10~ —1.30$2.2.305-42.3 \i%• — *1.315512.3 1 SO2.3222|N. \Logarit.\21 I2122132142J2216£ r?2t8219120221212ti?224125226117n8119230• —M'13:113134*3 51362.31432.32632.52841.33042-3345LJ3652.3 Í851.5404Lililí2. 3 4 4 42.34641.34832.3 5022^511í -iHi2.35601-3Í79•-• < 5.9$1^36r72.36562.3655!-3. tf 7 52.3692i-37'i2.3729i?7 1-3 747238 1.37*61-35 «.3784140 2.3801•|N. \L»zar¡t.11412421431441451461471482492_50 2-3979251152*r?2541.4065•21256 1.4081M7258159 2.4133160 2.4*50.__261 2.4166261 2.+18?16; 2.4200264il f266167168ZÍ92702.38ZO2.3838i.?8j-á1,3874iv 3 8921-39091.39272-3945t.39^2*'\9972.40 r 42.4031'1.40481.4O992.41 t62.42c61.41321.41492.42652.428 r1.41981.4314N. \LctariÍ.\171 2-4330171 ' L.4346173 1.4461174 t.4378175176177278179280iTi281183i»4lil286is 71 288j 2S91 • ; 290! 1'•«_291»9*29"'•439?t.44092.44152.44402.44542-44722-44872.45012.45171-4H3i-454-81.45*41-4H92.45942.46091.46242.46392.44542.4665194 1.468319 5 2.469$29 si-47"1 i*7 2.471!I-98U.474- t'99|i.4757ÍT? O»! 1-4771\301 1 .478601 1.48005N. \Logarir-03 • 1.4814¡04 1.4829Í05 1.4843$06307308309$ro3"312?'33'43'5316 1-49? 7317x.501 13i'8 1.50143i95 20• * •3i>2.48572.48712.4886t.4900i.45"42.49182.4941t.49542.4970i.49 g 31.5038i.5051— •! "••• «1.5065?ii 2.5075313 1.5091314 t-f'o¡31 1.51 19— — — •••? 16 i-5'331' J i«5'45li S i-í'5»325>|i.fi7 t3?o|i.5'8 f^^Logarit^33' 1 .519»331 2 .52113 33 ».5H4334' •ti373f 5 .515034 '..514337 t.5176338 2.5189??9 t-53«i3 4 oÍi-53'í34i 1.5 31&34*- 1.534o134? 1-5 3 5?I?442.53663 4Í 2.53783463473483 493503 5'35"2.53911-54032.5416A •2.5418 |2-5 441 I2-545 32.5445?53 2.5478HA 2.5490?fl 1.55023 5 6 i-5f'4 — " '357 i-5fi735 > VÍ539119 i.fíí «•3 40 i.5563

N.\Logar¡t. \H.\ Logarh^ | N. |£ 0 ¿„W/. I ; I £•34i 1-55753*i 2-558734? 1-55991*4-1.. f ¿ xi\ 6 f 4.5613-3 663*7?48365370'37'•17137?3 74375'. 3743 773783 79?8o^^~~381:382383I84?85—3«4387J«8389" • ^ • — —2.76352.5647*-í*y81.5.6 701.5482trsr- -f —2,56941-5705*-57'72-57192-5740"* — — ' —.2-57522-57*31-57751.57861-5798— •- — —2.5809i.f8n2-5831;a. 5.8431-58552.58662.58771.5-8881.589939©| i-Jj"i|39139*3333 94395— • » •3943973*8399400—_40140240?404405.406407408409410• 141'4.124'341441541 64'74'841942012 ..5.9211-593?1.59441-59 5 51.5966« w w1-59772-5988T-^9991.60101.6O11• — —-.2.60?I2-604;2,6055I.J6O64I.6O75, '2.6085Z.ÍO961.6107I-61172.6I2S— 1 -• ..!-í.6J?8i-*',492.61602.61702.6rSo.2.61912.62012.62 i 21.61111.62324114224»?41442542-64274284!04? 14?243343443_543*4? 743 843944044144244 344444 54444474482.624?1.625?1.42632.6*742.62842.62942.63O41.6314i.

-• IIN.54'54i543544£45544547548549£5f>55i5 5*11}5 541J1116Í175583 5956054i56156?5*4iil5665473 68569570Lcgarit.\ |N. \Logarit.\ | N. [Logarit.2.73322.73401-7.34?2-7354\á-X 6 42-7372i-i? 802.7? 882-739«1Í74O4i.74rii-74'92.74271-743 52^74432.74512-74591.74661-74742.7481— i— • • . . . .2.74902-74972.75052.751?1-75102.75281.7536i'75431.75512-755957'57i57?57412111611157857958058i58258?5S4585• . -586587588589590*•' ii —1911915935945951965972.75*61-75742.7f8i1.75892j£972-7 042.74iiI.76192.76272-7 4? 42.7641-2.76492.76572.76642-7*722.76792.76862.7*942.77012.7709— 1 — — —2-77'42.77132-77312-77382.77451.77521.774o598|2.7747599|t-7774600 1.7782601601*o?60460 f6066076086096 JOSt-t6n61;6r44.56r64l 7618619610•Í11¿2 26*?62442j6266176186196]&1-77892.7794Z.7S0?t.78101.78.18%.iw%.1.78?!2.78??1.7846!¿!ÍJ1.78602.78672.78752.78822.7889' • • —2.78942.790?2.79101.79172.7914 — ••••-2. 7 9?I1.79381.7945t-79521-79592.79661-797?2.79802-75>8r1.799-3

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* • ,••4*-Grados. || 47. Grados.ral Sen. 1 Tan?. 1 Sec. l| Sen. | Tang. \ Sec. |rooi9.82 5 5l9-9544 l iO.i289l|9-87ii|l0.O456|lO.l745jÍ0i 9.8257 9-9547 10. Iiyo y.8710 10.0453l10.174.lr92 9-8258 9-y54y IO.I2y2 y.8708 10.0451 10.174115»i 9-8259 y-yí5* 10.l2y? 9.8707 10.0448 10.1741 574 y- 8 2 6-j, 9.9555 I0.1iy4 9.8706 10.0445 io.i7;9j;-»*95!9-9*l89-8297|y.y6nIO. nyt!10.1 iy7ro.ii^y10.130010.130110.1302ro.130310.130410.1305'o. 1;0610.1308i0.r;oyto.1310•0.IJIIro.i;i-¡ro.i 5I 310.131410.1316' 0.131710.13 18IO.I3iyIO.1320IO.132 1IO.I32310.13249.87049*87039.87019-87009-%6999~1%69~%9.0697y.86y6S".86y59-86949-86929-86yi9.86yoy.868yy.8688iy.86879.86869-86849-868;9.8682y.86819.86809.S6799-8677y.867610.0440ro.0438ro.04;510.04,310.043010.042810.042510.042;10.04201O.O41810.0415-rO.0412ro.0410ro.040710.040510.0402r 0.0400i0.o;y710.0; 95io.o;yoio.o;S8io.o;8510.038aro.0379io.i7;610.175510.1734IO.I7;210.17;110.173°10-171810-17*710.17251 o. 172410.17*310-1721IO-172010.171810^71710.171610.171410-171;10.171J10.171010.170910.170710.170610.170510.1703Hf,.r-4»«I4-14¿4j44414^4 14"P,íSiI-'J43'% l1-|0II

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44-Grados. II 45. Grados.m|- Sen. | Tang. | Sec. || Sen. | TáMg. i Sec. | m i Imi Sen. | Tang. \ Sec. \\•0(9- 8418 ^9-9848 10. 14? 1.19.8569110.0151110. r$%i , 6o •5019.845719.9914110.14681 y.8 5 32|io..o0 76tio. 1543I301 y.041 y 9-98512 9*8420y.8 56810.1581(59 I; 1 9.8458 9.992710-1580^=*y2834_56789101111M'4^_516171819IO2122*3*4,_i26*7189.84229-84*39-84249.8426y-84279.84289.8429i-L-ll. 19-84;!9.84;;9-84359.84369-8437y.84;y9.84409.84419-84429_-S444 9*9899'9.8445:0.84469-84489-8449.9-84509,84519-84539.84549-9853.9-9%l69,98589-98619.98649.98669-9*699.9871-itaLlt9.98709.98799.98819.98849.98869.98899*9891!9-98y 4y.98y69.990I9-99049.99079.99099.99H9-99149-99Í79-99199.9911*9 9.845550I9.8457 9-99*410.1432'10.14;;I0.l4;410-14;'10.143710.143810.143910.144010.144110^144310.144410.1445IO.144710.144810.1449.10.145010.145110.145;10.145410-145510.1456IO.145810.1459ro.146010.146110.146;10.146410.146510.146610.1468y-85*79-$5*69.85649.85639-85629.85619.85609.855S-1_11_9.85 $69-°í1$9.855;9*855*9-85519*85509*8548,9-% 1419.85469^5459.8544y.SS4*9.8541:9.85409*85399*85379.853*9.85359.8534jy.853*iO.Oi4y10.O147I o.014410.0142lo.or 3y10.013610.01 s410-013110.01 2910.012610.612410.0121IO.OI lyIO.OI1610.01141O.011110.0109ro.010610.0104IO.OIOIio.ooyyro.ooy610.009;10.009110.008810.008610.008310.008110.007810.007610.157?10.157710.157610.157410.157;10.157210.157110.156910.1568ici'56710.156510.156410.156510.156110-156010.155910.155810.155*I0-X555IO-I554IO-I55*IO.I55Iro.i55°10.134910.1547r 0-154*io.i54510-154^•3*- 9*&4591711? 3 9.8460[

oONOONUNOONUYUNOONUYOYUNO**"**»««íDioj ONUYONOYUNO Trino, y Un»ONUYONINOYUNOONUYONIRINOYUNOONUYONIRTRINOYUNOONUYON I RT S TRI NOYUNOONUYONIRTSOSTRINOYUNOONUYONIRT S OIO STRINOYUNOONUYONIRTSOIDIOSTRINOYUNOONUYONIRTSOÍD NDIOS TRI NOYUNOGNUYONIRTSOIDNENDIO STR I NOYUNOos*CREDO IN DEUM TRINUM, ET UNUJipil laus, & gloria in fascula fsculorum.Amen.^+-|-'|r'$--^-$;'i¿"$"|- qní •$••« >5< •^•£-£-3-^-£"£'!--£--&-&-4*|$ TRATADO •«*|$ DE TRIGONOMETRÍA%% NÁUTICA, %%**%¿«* Y DE LA CONSTRUCCIÓN, *»*£|»1{ y ufo de las EfcalasPlana.y Artificial, y de *£{

«htfrtfc»*'A LOS MVT 1LVSTR.ES.Señores Don Nicolás Solano de León, Don.Gabriel Cordones Pintado, y Don Gregoriode los Ríos, Caballero del Orden deCalatraya, Mayordomo, y Diputados deU Vn¿\>erfidad de Mareantes, y Real Co-,legio Seminario de Señor San Telmoextramuros de la Ciudadde Sevilla.Ninguna cofa me puede aílegu-,rar mas bien las medras en eftaíegunda Obra, que haver reconocidola aceptación, con que V. S. fe ha-ugnado de proteger la primera , y re--ibirla como fuya: lo que no dudo íuc-- e da con efta íegunda: Pues, como,)bferv6 el Petrarcha, (ln Prafat. aiep. reif am% ) ¿i j ia y obra, que fe debaperficionar mas prefto, ni que tengamas feliz exico, que la que logra la grafi,'cia

-•••!.*.cia de el Dedicando: Promptum opus y& felicifsimifucceffus noffe collocutoris fuimimum ajfuevift ingenio fcire, quid ülumaudire libeat, e>< quid te loqui deceat. Obfervacion,que fundó muy bien Epicuro,Cicerón, y Séneca: Pues aquel dicej que, para el mas cierto deíempeño'defus Epiftolas, fe las dedicó a folastres Perfonas, en cuya benevolenciaconfiaba el mejor logro de fus trabajos.Epicurus (ídem ibidem.) Philo*fopbus \wlgo infamis, fed' Magnorum in­mo Virgilio {Georgtc. 4. mprlncip.)Mecenas, hanc etiam afpice partem.confiando, que por fu materia nofera.menos grata a V. S.Pues fi fe merecieron las Obras defPoeta Homero tanto aprecio con AlejandroMagno, porque ( como advierteTextor (Tom. 1. Epit. Uter. mu fite^runt amavtif. ) las tenia como viatico,para la difeiplina Militar, a que eftabatotalmente entregado: Alexander quumdicio magnus, Epiftolas fuas duobus, aut#í legendi, & difeendi percupidus, lili a-tribus tnfcrtpfit, ldomneo y Polieno, & Me*«m Homeri {quam rei Militaris Viaticm fokbat appellare) Ariftótele exponen-tbodoro. Toüdem penes fuas Cicero. Y yotengo obfervado, que Virgilio a otros u ¡perdidiat. Efta prefente Obra, quetres Héroes dedicóíus Obras, que fon cs > como viatico de la Navegación, afolión, Mecenas, y Augufto Cefar. Y^en tanto contribuye V. S. con el ef.Tiendo V. S.el Mecenas de mi refpccto,viendo mi Obra tan favorecida de ra cuya inftruccion fe dirige, efpero"^o con que provee la Juventud, pa-fu dignación, y aprecio, le repito, comoc °nfeguira el colmo, que deíco, con la5 3, pro.

IIIDe V. S. obfcqucntifsimo ficrvo,y Capellán,D. Juan Sánchez. Reciente.protección de V.S. cuya vida guardeDios, yprofpere en fu fantifsima gracia.APRO-APROBACIÓN DEL M.R.P.Fr.jOSEPH,Franco del Orden de Predicadores, Cathedráticode Aftronomi» en la Univerfidad deP«fia Ciudad de Sevilla.OR comifsion del Señor Licenciado DonGcronymo Antonio de Barreda y Yebra,Canónigo de k Santa Apoftolica, y MetropolitanaIg.efia de Señor Santiago , Inquilidordel Santo Tribunal de Sevilla, y Juez de Imprentasde ella, y fu Rcynado, he vifto, y leídoeñe libro, comptiefto por Don Juan Sánchez-Reciente , Maeftro de Mathematicas cn el RealColegio, y Seminario de Señor San Telmo Extramurosde dicha Ciudad. Y puedo decir,con mas razón-, que Plinio (Lib.9.e.38.) haviendoleído el de fu amigo Saturnino : Es ellelibro perfecVifsimo en la difpoficion numéricasfe halla en la materia de que trata , quanto fepuede defear. Ha fido para mí de gran complacenciafu lectura, por la verdadera amiftad,cjue á fu Author profeílb , ratificando mi conceptode Docto , con que lo venero. Y aunquees moleíto , y fofpechofo el juicio entrea,r), gos; y aun mas que entre enemigos , enopinión de Séneca : {ln Pro*m.) Efta exemptodeefta fofpecha efte libro , cn que todas fusclaufulas eftán pidiendo de jufticia la aprobaron, y alabanza, fin necefsitar de eolio age-*>o. Que es lo miftjio , que decia el Señor SanAmbrofio (j n Exam.hb.i. c.9.)en femejanteoca-

*****II;i ii.fecafion i Plus meo efl, quod próbetur afpe&ti;quam quod fcrmonibtis laudari pofsit, fuo utitttrtejlimonio; non fuffr agio alieno. Efcribe paraformar perfectos Pilotos, a los que ahora enfeñaNiños, con que fe conftituyc el Maeftro,que deféaba, y huleaba Ifaías, (eap.¡¡. v. 18.)UbiDoíiorparvulorum* Y mereciendo por fuseícriptos en laMonarchia Literaria la Corona,fegun fencir de Julio Cefar.que decia: (V. lllufl.Palaf. in Not.ep.i7,.) Si vis regnare,fcribe.Como dignos aplaufos, y eftimaciones, de losique carecía, por fer fus méritos folo conocidos•de pocos en lo oculto de fu Cacheara: afsi me loadvierte Symaco Patricio: \\In Adver.adConft.)Laudentur incogniti, ut torum merita in ocultefita , tefiimoniisfplendor irradiet. Por lo qualpuedo decir con Cafiodoro: (Lib. dt Divin.leSl. cap. 16. ) Quot verba tot pramia. Y porqueÍiendo la materia de efte libro inftruir conperfección á los Pilotos en la Náutica, mediantela qual configuc efte Reyno muchos interelcs,y fu extenfion, como la de la Religión Chriftiana,y no tener cofa alguna contra nueftraSanta Fe , y buenas coftumbres es muy digno fede alo público. Afsi lo liento &c. cn efte RealConvento de San Pablo, Sevilla, y Agollo 24»de 1742. años.LICENCIA DEL SEfiOR JUEZ.EL Lie. D. Geronymo Antonio de Barí eda y Yebra,Canónigo de la Sanca Igleiia del Señor Santiagode Galicia, del Confejo de fu Mageftad , fu In-«piiidor en el Tribunal del Santo Oficio de la Inquifícionde efta Ciudad de Sevilla, Superintendente de lasImprentas, y Librerías de ella, y fu Reynado.Doy licencia , para que por una vez fe pueda imprimir, c imprima un Tratado de Trigonometría Náutica, y de la Conftruccion , / ufo de las Efcalas Plana»y Artificial , y de la Tabla de Partel Meridionales i y algunosProblemai curio/os, para la educación de los Colegialesdel Real Seminario de SanTelmo , comouefto poE•O- Juan Sánchez Reciente , Presbytero , Maeftro deMathematicas de el: atento a no contener cofa algúnz ,contra nueftra Santa Fe , y buenas coftumbres , fobreque de comifsion mia ha dado fu Cenfura el M. R. P."L Fr. Jofeph Franco,de el Orden de Predic3dores,

•DE UN DISCÍPULO DEL AUTORen alabanza de fu Trigonometría.SONETO.QUé importa, Euclides, que tu amor enciendas,Para falir con todo lucimiento?*• Que importa, Homero, que tu entendimientoTodo el dia lo gaftes en contiendas?Qué importa, Ptholomeo, que pretendasSalir con el tiopheo , y vencimiento?Ni, Archimedes, que importa, de que al vientoEfparzas tu fonido en varias fendas?Si como, qual Pegafo, que ligeroSe remontó de un falto hafta el Parnafo,RECIENTE corre hoy con tal elmero,Que puedes inferir en efte cafo,Que ha llegado hafta el colmo verdadero,Siendo de todos ¿1 (de aqui no pafo.)ALAL LECTOR.HAviendo eferipto, Amigo Lector, uriTratado de Trigonometría Generalpara la enfeñanza de los Colegialesde el Real Seminario de Señor San Telmo, extramuros de Sevilla , y Íiendo elprincipal Inftituto de eftos el exercicio de¡a Navegación, y la obligación mia elinftruirlos en ella , me ha parecido precifo, para cumplimiento de uno , y otro,facar ii la pública luz el prefente Tratadode Trigonometría Náutica, para que aplicandoa efta, lo que en aquella tuvieresaprendido , puedas con mayor facilidadlexecutar tus derrotas, y llegar con felicidadal Puerto defeado : Pues en él hadarasmuchos problemas Náutico? refuel-J°s por la Trigonometría, y ademas, el^odo de corregir los pimtos, que fe exentarencon el conocimiento de las corantev^da,, 6 con el de la Latitud obfer-como también la conftruccion , yuí ° de ks Efcalas , Plana, y Artificial,c °n muchos problemas rcfueltos , afsiP°r una , como por otra , con la conftruc-

truccion , y ufo de la Tabla de Latitudescrecidas, ó de Partes Meridionales, fabricadascon toda la perfección, que me"ha íido pofsible , todo a fin , de que,hallesen folo efte Tratado, quanto fuereneccffario , y conducente a la Navegación, en el modo de dirigir el viage quehace la Nao , y faber el fitio cn que fehalla, defpues de concluida qualquieracingladura. Y finalmente , hallaras unaTabla nueva de las Longitudes, y Latitudesde los Lugares de nueftra Navegacióna las Indias Occidentales, afsi de lasCoilas de Efpaña, como de las de la America, para que te aproveches de ellas,que es el mayor defeo, que puedo tener.y que te conferve Dios muchos años eflfu fanta gracia. VALE.TRA-Pag. i.TRATADODE TRIGONOMETRÍANÁUTICA.PRIMERA PARTE.DE LA RESOLUCIÓN DE LOStriángulos rectángulos aplicados a laNavegación.í^ Odas las operaciones trigonométricas,- que fe praétícan enel ufo de la Navegación, fereducen á refolver un triangulorectángulo, dando algunostérminos conocidos, quei lo menos han de fer tres, como decimos cn

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V4 TrigonometríaPorque>fieiidoel ánguloB. recio, por fupolición, y reprefentando A. el ángulo del rumbo, como queda dicho, necesariamente elanguío C. debe fer complemento al quadrante, para que todos tres ángulos de dichotriangulo ABC. fean iguales á dos rectos»( J2v p. i. )En eftas refoluciones náuticas fedá á loslados fu valor en millas , 6 minutos ; perocon efta diferencia: que á los lados , quereprefentan las diferencias de latitud, y demeridiano, fe debe dar en minutos ; pero á lahvpothcnufa, que reprefenta la diftancia > fedará fu valor en millas. Y la razón es: Porquelas diferencias de latitud, y de meridianofe cuentan por grados , y minutos; perola diftancia fe cuenta por millas , 6 por leguas.Y afsi como tfo» min. componen ungrado de la Equinocial, afsi también 6o. mi-"lías componen un grado de la Equinocial, 6fea terreftre , ó marítimo , que vale 15. leguasAlemanas, ü Olanaeias. También vale 17. ymed. leguas E péñolas : y afsimifmo 20. leg*Francefas, 6 Ingicfas : cuyas refoluciones, oreducciones fe facilitarán baftantemente , teiiiendoprefentes los númerosde elAiem. Elpañ. Franc. millas.6 7 8 24.margen , de los qnales el 6. reprefenta las leguasAlemanas , u Oiandefas: el 7. las Efpa-ño-Nautktt. 5fiólas : el 8. las Francefas , 6 Ingicfas : y el 24.:las millas correfpondientes a las leguas expreíTadasen dichos números : pues todosquatro numeres tienen una mifma diftancia.Con cuya inteligencia fe reducirán con fum*ma facilidad ks leguas de una efpccie á lasde otra, ó á millas ; 6 al contrario, formanmandouna regla de tres fimple, fiendo elprimero termino uno de los prefentes , quecorrefponde á la efpecic de lo que fe quinetereducir : El fegundo termino ferá otro deios dichos quatro, correfpondiente- a la efpecie,a que fe ha de reducir : El tercero terminoferá, el que fe quiere reducir : y lo quefaliere al quarto termino, ferá, el que fe bufca,como mejor fe entenderá con el exemplo)figuiente.Se quieren reducir 144. millas á leguasEfpaííolas. Digafe.Como 24. millas á 7.•leguas Efpanolas.afsi j'* 44- millas á quan-*as leguas Efpaüolasr^or donde confta,.

tfTrigonometríacion por viá de Arithmetica, como en elprimer exemplo , o por Tri- 1 3802 Mgonometria , como en el o. 8451 7fegundo , íiempre fale por 2. 1584 1441 quarto término 42. leguas — --•Efpañólas, á que quedan 1. 62 JJ 42reducidas las 144. millas . —dadas. De efte modo ferefolverán todas lasreducciones, que fe ofrecieren , el qual, porfer tan claro, y fácil, no neccfsita de masexemplos: pues haviendo entendido los dos,que fe han executado , quedarán tambiénlos demás , que fe propuíieren.CAPITULOPRIMERO.DE LA RESOLUCIÓN DElos Triángulos planos rectanguloi ufandocn ellos de la longitud plaña.PROBLEMAPRIMERO.Dadiü.en un triangulo rectángulo la diferenciade latitud , diferencia de longitud , y difianiia,conocer el ángulo delrif^o. Fig. 1.UN Piloto navego 140. millas de diftancia,y tuvo de diferencia de latitud125. min. que hacen 2. grs. y 5. min. y de diferencia'de longitud plana, 6 aparcamientode-Natítica.' 7de meridiano ¿4. min. que hacen un gr; y. 4.m¡n. y quiere faber, qual fea el ángulo delrumbo.Sea en'el triangulo ABC. el lado AB, la[ diferencia de latitud de 125, el lado BC. ladiferencia - de longitud, 6 apartamiento demeridiano de 64. min, y AC. la diftancia de :140. millas. Digafe por la primera regla dela Trigonometría ge- | 2. 1461 140neral; Como AC de 11. 8062 64140. millas al radio: ¡ ——afsi BC. de 64. min. alfeno del ángulo delo. 66ox, 27 12rumbo A.,que fale de 27. grs. y 12. min. y fucomplemento ferá de 62. grs. y 48. min. quees el ángulo C.1. Nota, que .para dar los tres lados dequalquier triangulo rectángulo, es ncceffariocriarlo antes : Porque fi no eftá criado.aunque parezca que- 2. 1461 140dar refuelto por la ope- 9. 9491 6% 4§;ración femejante á laantecedente, no lo que­2. 0P52 125dará : Y afsi es me- 1nefter aíiegurarfc, haciendo otra ope/acion,como la figuiente , diciendo por la primerare g'a : Como el radio á la diftancia AC. de'40. millas : afsi el feno de complemento C.,de 62. grs. y 48. min. á la diferencia-de latitudAB. que fale de 125. min. que por igua*A 4lar,M

8 Trigonometríaar, i los quefe dieron en la própueíra, ténferirá eftár bien dados los términos.2. _ Nota también , que íiempre , que enun triangulo rectángulo-la diferencia de latitudfe diere igual al apartamiento de meridiano, no havrá que hacer operación alguna,para conocer el ángulo del rumbo : Porque enefte cafo ficmpreferá de 45. grs. como tambiénel ángulo del complemento. (2. Cor. 32. p. i.)PROBLEMAII.Dada la diferencia de latitud , y apartamientode meridiano , bailar el rumbo , y ladiftancia. Fi b" I.UN Piloto hallo en una cingladura r. gr*58. min. de diferencia de latitud, reprefentadaen el lado AB. del triangulo ABC.y tuvo de apartamiento de meridiano BC. de4

I,"I10Trigonometríavegadas, diciendo : Si 7. leguas igualan á 24.muías , 48. leguas á quantas millas igualarán?Y fale por quarto termino 16$. millas, valorAC. Defpues fe dirá por la regla pri-2. 21.53 i(5511. ¿532 45mera , como la diftancianavegada AC. de16$. millas al radio: afsiBC. apartamienrode meridiano45. min. al fenop. 4J

I1* Trigonometría.guas Efpañolas, que hacen 123. millas, y fepretende faber la diferencia de latitud, yapartamiento de meridiano : Efte problema ferefolverá por la regla 1, bivfcando ¿ un mif­2.0914123 2.0914 123S>- 7447 13 4.5 9.9198 5

1114 Trigonometríagrs. y 55 min. que hacen 135. min. afsi e!radio á la diftancia AC que es de 162. millas..Para hallar el apartamiento de meridiano, fe dirá : Como el feno del ángulo C delcomplemento del rumbo a la diferencia delatitud dada AB. de 135. min. afsi el fenodel ángulo A. dado de a. grs. y 45. min. alapartamiento de meridiano BC de 90. min.que es, &c.PROBLEMA VI I.iDado el rumbo , y apartamiento de Meridiano,conocer la diftancia , y diferencia deHlatitud. Fig. 1.izo un Piloto fu derrota por el 6. rumbo, reprefentado en A. y tuvo de Apartamientode Meridiano 3. grs. y 6. min. quehacen 185. min. reprefentado en BC. y quierefaber la diftancia AC. y la diferencia delatitud AB. Efte problema fe refolverá delmifmo modo , que el antecedente immediato,que fe dexa por refolver , para que el Eftudiofolo refuelva, donde hallará por diftancia201. millas, y por diferencia de latitud 77. m.PROBLEMA VIII.Dadas algunas cingladuras, conocer el rumbo diretío, y diftancia directa. Fig. 1.EraL prefente problema fe propone-, p*-exercicio del Principiante , en que ha- 4Hará los problemas antecedentes dados p&. Náutica. lt.diftmtos bordos , en donde pretende faber elPiloto , quanta fea la diftancia navegada direc*-tamente deide el punto, que comenzó fu derrotaen e 1 primer bordo , halla el punco llegadoen el ultimo , y el rumbo directo , que navieraexecutado j h huviera navegado defde unoa otro punto.Un Piloto falló de la latitud Norte 2 0 .grs.y de a longitud de 340. grs. y el dia figuienteobíervo el Sol, y f e halló en * ri; gr yJ8. m. de latitud, y tuvo de augmento demeridiano 4que hace 118. m. y 46. rp. de apartamientode meridiano , refolvió el problema, y hallóde ángulo del rumbo 21. grs. y ,S.m.y dediitancia navegada 127. millas.'El Operante pondrá todo ln dado, y halladoen efta cingladura en la cabla finiente,formada de 6. columnas , con íosWy , que alh fe ponen , cada cofa cn fu U,-¿ a r, legua el orden explicado cn el TrataJto de Navegación. Efto es : En la columna de'osrumbos fe pondrán 21. grs. y „, n.in.la vaP - lmCV r- hn h fe S unda ¿ qw es deg diftanoas, fe pondrán las 127. mill as .n i a tercera, que reprefenta Norte , fe pon-2* tl8 - min. que es la diferencia de latí.íiacIItemtfpheno del Norte.En laquar-

I16 Trigonometríaquarta , que reprefenta Sur, pondrá oo. porqueno padezca equivocación alguna. En laquinta, que reprefenta Lefte , pondrá los 46.m. de apartamiento de meridiano , porquees en augmento. Y últimamente en la fexta,que reprefenta Oeftc , pondrá 00. por quitartoda equivocación. Y por la mifma razón pondráen los términos dados, ó conocidos, quefon : diferencia de latitud , y^ apartamientode meridiano, una crucecita , ó eftrella , paraque mejor fe diftingan unos términos deotros. Y de efte modo' fe obrará en las demáscingladuras figuientes.a ungí»""'"- ..p-....-.— tDefpues figuió dicho Piloto fu viage enque navegó 48. leguas Efpañolas, que correfpondcná i¿5. millas, las que fe pondránen la columna de las diftancias con 1-*eftrelüta, ó cruz : y tuvo de apartamientode mcrídiano cn augmento 45. min. que fepondrán en la columna L. pero fi menguara,ó diminuyera, fe pufiera en la columna O-Defpues con eftos datos obró dicho Piloto,como en el problema ?. y halló de angu^del rumbo 15. g-' y 5*. P> >' de ^°Z.de latkud 158. m. que- pufo cada cola enfu lugar , pero para poner la latitud , fe ? K 'guntará,fi creció, u menguó: porque fi er*ció , fe debe poner enría columna N. y u me»guó fe pondrá en la : S. rcípedo de haver navegado cn el hemifphcrio del Norte: ]M •Náutica. 17viendo refpondido, que creció, fe pondrá enN. y. en las demás columnas 00. *»Defpues dio otro bordo dicho Piloto , cnque caminó 57. leguas Efpañolas, que corrcfpondená195.millas, con diferencia de latitud,en diminución i.gr. y 4

18 TrigonometríaÚltimamente el Piloto dicho hizo otracingladura por el rumbo Leínordefte , quevale «57. gr. y 30. m. y tuvo de apartamientode meridiano 3-gr. y 6.va. que hacen i&

I20 Trigonometría1. Nota, que como fe ha practicado enlos Problemas antecedentes en el modo detomar los minutos , de los lados conocidos,ó de hallar fu valor correfpondiente en lastablas de los Logarithmos ,fe debe executaren todas las refoluciones , que fe ofrecieren,,y quando fe dan por valor de dichos ladosgrs. y ms. fe reducen los grs. á ms. y eftos febufean en dicha tabla , y defpues , que fe hallael valor de los lados en min. eftos fe reducená grs. y ferá la diferencia de latitud, óapartamiento de meridiano.2. Nota también , que eftas diferenciasde latitud , ó de meridiano fe han de añadir,ó quitar á la latitud , ó longitud falida, cadauna con fu termino correfpondiente , fegunel quadrante por donde fe navegare, fegunqueda enfeñado en nueftro Tratado de Navegación: Porque por lo que mira á la longitudíiempre fe fumará la diferencia de meridiano,quando fe navegare cn el 1. u en el 2. quadrante, y fe reftará en el 3. ü en el 4. Peropor lo refpeétivo á la latitud , fi fe navegareen el emifpherio del Norte , fe fumará !»diferencia de latitud en el 1. ii 4. quadrante,y fe reftará cn el 2. u 3. Pero , fi fe navegareen el emifpherio del Sur, fe reftará en el 1»ii 4. quadrante ,. y fe fumará en el 2. ii 3.Efto fupuefto , fe podrá faber el lugar deU N,ao, fabiendo, que la navegación fe exc-cu-Nautica. 21tuto, en el emifpherio del Norte: porque lalatitud falida fue de la efpecie Norte , y porquela diferencia de latitud civ la ultima refolucionquedó en la columna N. y la diferenciade meridiano cn la columna L. fe infierehaver navegado por el 1. quadrante, yque fe deben fumar las diferencias de latitud,y dc meridiano. Y porque la diferencia delatitud fue dc 181. m. que reducidos á grs.fon 3. g. y 1. m. fumados con la latitud falida20.g. hacen 2 3.g. y i.m. de latitud llegada..Y reduciendo también á grs. 248. m. de apartamientode meridiano, harán 4-g. y S.m. quefumados con la longitud falida 340. g. hacen344.g. y 8.m. de longitud llegada, por loque correfponde á lo plano : y quedará enteramenterefuelto el Problema.CAPITULOII.De la corrección de la Pbantasta.EN nueftro Tratado de Navegación dexamosdicho, quan débiles fundamentos^nga la fantasía del Piloto, mediante los"¡verfos acaecimientos, que pueden fobrevenirle,y ahora decimos lo mifmo: Pues fiempreferá defectuofa ; fino es que, defpues de-•aver obfervado el Sol, concordare la latitudobfervada con la hallada por la fantasía?B3pe-

22Trigonometríapcrofi no concuerdan ambas latitudes, havrineceiTanamente defecto cn el rumbo , u en ladiitancia, o en ambas colas. Y afsi debetener gran cuidado el Piloto , para conocer lacaufa de dicho defecto , corrigiéndolo conel termino, dc que tuviere mayor fatisfáccion,y con la latitud obfervada. Efto es , fi efllcierto el Pi oto, que el defecto eftá en la diftancia,debe corregirla con el rumbo, y diferenciade latitud obfervada, y jumamentecorregirá e apartam. de merid. Pero fi atribuyereel defedo al rumbo, lo corregirá yjuntamente el apartam. de merid. con la diftancanavegada, y la diferencia dc latitudobfervada. Mas , fi el Piloto no puede determinaren qual de los términos (rumbo, ydiftancia) efta el defecto déla cingladura,ferviran las reglas figuientes,REGLAS PARA LAS CORRECCIONESde la Fantasía.*• TVJAvegando en qualquier quadran-1 \ te por Norte-Sur, i. ü s. rombo,íe corregirá con el rumbo, y diferenciade latitud obfervada la diftancia, y apartamientode Meridiano.2. Navegando por el Lcfte-Oeftc, 6. ú1- rumbo de qualquier quadrante , fe corregirácon l a diftancia navegada, y diferenciadeNáutica. *3He latitud obfervada, el rumbo , y apartamientode meridiano. .3. Navegando en qualquier quadrantepor el tercero, quarto, ü quinto rumbo , tehará una corrección compuefta de las nosantecedentes. Efto es: fi fe navegare por eltercero rumbo , fe corregirá con el rumbo ,_ ydiferencia de latitud obfervada la diftanciatque fe hará, filmándola diftancia de fantasíacon la que fale por efta operación , y

^r . , Trigonometrían n S C 7° S \í cl modo '

"^•^fftllH «*"I'2

IIIIII F'2 8 _ Trigonometríael radio á la diftancia de fantasía 70. afsi elfeno del rum. hallado por la operación antecedente, que es 23. 54. al apart. de merid.de 28. y fumando eftos 2. apart. importan71. cuya femifuma 36. ferá el merid. corregido.Luego fe dirá: Como la diferencia delatitud obfervada KQ. de 6a. al apart. demendian. corregido PQj.de 36. afsi el radioa la tang. del ang. del rum. K. de 29. 22. Yluego fe dirá s Como el feno del ang. delrom. K.de2 5 >. 22. al apart. de merid. corregidoPQ. de 30. afsi el radio á la diftanciacorrregida KP. de 73.REGLAIII.EXEMPLO IV. Fig, 4 .UN Piloto navegó por el 4. rumbo del2. quadrante, que reprefenta el trianguloRST. fegun fu fantasía 100. millas, q"

•5 o TrigonometríaBe45.g. al apart. de merid.-8o. que fepondrá'aparte. Defpues fe bufcará el otro apart. demerid. diciendo primeramente : Como la diftanciade fantasía loo. al radio : afsi la dirérenciade latitud obfervada 8o. al feno de!complemento del rum. que ferá de 53. y 8. Yluego fe dirá: Como el feno del complemento53. y 8. ala diferencia de latitud So. afsiel feno del rumbo 3

'3 2 Trigonometría¡je?, y 52-al apart. de merid. de ¿ó. que fe pondráaparte. Defpues fe bufeatá el otro, elqual ferá también de 80. reípecto de que ladiferencia de latitud obfervada. es 80. y elang. del rum. y de comp. fon cada uno de 45.g. Y porque los apart. de merid. cío. y 80.importan 140. ferá la femifuma 70. el merid.corregido VX. el qual con la diferencia de latitudobfervada RV. 80. dará el ang. del rito.corregido R. de 4*1. y 11. y la diftancia corregidaRX. de 106. obrando de el mifmo modo, que fe hizo en la 2. corrección antecedente.REGLA III.EXEMPLO III. Fig. 5.CAminó un Piloto fegun fu fantasía porel 5. rum. del 4. quadrante diftancia dt$>o. millas, y haviendo refuelto fu triangulo»que es ABC. halló de diferencia de latitud'AB. de 5o.m. y de apart. de merid. AC de,75.m. Defpues obfervó el Sol, y halló por fuInftrurriento

i34 Trigonometría, latitud obfervada le hallará el rum. corregido, y diftancia corregida con las analogía*figuientes.tPara el rumbo fe dirá: Como la diferenciade latitud obfervada BE. 6o. al apart. demerid.DE.78. afsi el radio á la tang.del ang.del rum.B. de 5 2. y 26. Y para la diftancia fedirá: Como el feno del ang. del rum. B. de52. y 26. alapart.de merid.DE.de 78.afsi elradio á la diftancia BD.de 9«.que ferá la cor*regida.CAPITULOIII.De la reducción di lo plano d~ lo efpbtria*EN todos los problemas antecedentes feha obrado con la longitud pUua , quellaman comunmente apart. de merid. la queno correfponde con la longitud fenalada enel Globo Terráqueo por donde fe exeCutatodo camino en a n..\ igacion : y afsi, paraque correfp..iidü , trataremos en el prefentecapitulo ¿el modo de reducir efte apart. demerid. á longitud efpherica, y las diftanciasnavegadas por lo Equinocial, ó porgu&lquier paralelo , á g. y m. de longitudefpherica. Para cuya inteligenciaferyirán los problemasfiguientes,^Náutica.PROBLEMAPRIMERO.3 jjDada la diferencia de longitud plana en qualquierparalelo, bailar la longitud efpbtrica,que le correfponde. Fig.6.UN Piloto navegó por el paralelo de 6o¿g. 100. millas maritiinas de diftancia*corregida yá, como eftá hecho en el capituloprecedente, y quiere faber, quantos min. fonlos correfpondientes, fegun lo efpherico,parahallar la longitud efpherica, ó tugar de laNao, defpues de concluida fu cingladura.Antes de refolver efte problema, fe debetener entendido: que ficmpre, que fe navegarepor circulo máximo, que ferá, quando fecaminare por qualquier merid. ü por la equinocial, las millas de diftancia, que fe halla-*ten , ferán m. cquinociales j pero fí fe hiciere'ja navegación por qualquier paralelo á laequinocial, no correfponderán las millas dcdiftancia navegadas con los m. del tal parale-,° • Porque , aunque en la Carta plana de g.:'guales , todos los paralelos á la EquinocialIon iguales á ella, y entre sí; no lo fon en el^-lobo Terráqueo: Y afsilos g. de qualquier-Paralelo ferán menores , que los de la Equi-°e-al, fegun efluvieren mas diftantes de laquinocialjy por configuiente contendrá caa£• de qualquier paralelo menos millas , c>C* le-III

'%6 Trigonometríaleguas, que cada g. de la Equinocial, refpccto'de que cada parálelo contiene el mifmo numerodc g. que tiene la Equinocial,que es de$

3 8 TrigonometríaJa longitud falida , fi fe navegó por el J. 3por el 4. quadrante , dará la longitud efphericallegada , correfpondiente al Globo Terráqueo,que es el lugar de la Nao.También fe puede hacer la reducciónpor la proporción figuiente : Como el radioá la fecante del paralelo, por donde fe navegó,que es el de

'ad ^ Trigonometríaducción de longitud efpherica, ó plana, oTdiftancia verdadera, y que efte fe execuca correl ufo de las Tabias dc Partes Meridionales,yeftár eftas yá muy introducidas entre los Profelfbresde la Navegación , fe hace precifotratar dc fu fabrica, y ufo en cite Problema.iY afsi, decimos , que eftas tablas fe exponen*pata faber, lo que deben crecer los gs. de losMeridianos , para que puedan correfpondercon los grs. de los paralelos á la Equinocial:;los que en las Cartas dc Marear fe poneniguales á los de la Equinocial, no debiendoíer afsi; fino'menores , fegun fueren mas diftantesde ella: y por efta razón fe llaman Latitudescrecidas, ó Partes Meridionales, cuyafabrica fe funda en la analogia puefta cr»los dos Probl. anteced, Y afsi ferá la proporción: Como el radio á la fecante del paralelo, que fe bufca : afsi 6o. m. que tiene ungrado de la Equinocial, á los que correfpondende augmento en dicho paralelo. Y efte 4^termino , que faliere , fe fumará con lo queliuviere falido en el paralelo antecedente , yla fuma ferán las Part.Merid. correfpondientesá dicho paralelo : lo que mejor fe entcnxken la práctica figuiente.Formenfelas tablas dc 11. columnas: 1*1. reprefentará los min. de los grs. y las 10."reliantes, los g. de las latitudes, ó paralelos.En las frentes de las tablas fe pone por titulo:Par-Nautica.' 4?Partes Meridionales,ó Latitudes crecldas.Uscolumnas tienen los paralelos,ó latitudes,quefe juntarán con los ms. de la 1. columna,, fegunfuere neceífario. Y porque en la Equinocialcorrefpondcn á cada grado 60. m. fepondránen la columna, que tiene por titulo.0. los min. que le corrcfponden , efto es , ai.m. 1. á 2. 2. hafta t5o. ms. que correfpondenádo.min. Defpues en la columna de i.g.-fe verá enfrente de o. min. queje correfponde60. ( porque efte no tiene diferencia fenliblecon la Equinocial) y fe profeguirá añadiendoíiempre 60. á cada min. de la Equinocialantecedente hafta acabar la dicha columna,efto es, á i.g. y 1. m. 61. yái. g. y 2.m. 62. y afsi en i- g-y oo.m. fe ponen 120.que correfpouden á 2. gs. en fu columna enfrentede o. Y de efte modo feprofeguirá haftallegar ala columna de 7.g.añadiendoficmpredo. m- á los min. antecedentes, y quedaránen la columna de 7. g. y o. el num. 420.Defpues fe verá en la tabla de los loga-•rithmos la diferencia del de 60. al de di. y fehallará fer de 71. cuya mitad es 35- y med.fe tomarán 3 6. que fe bufcarán en la tabla dclas Secantes logarithmicas, defpues de lo quevale el radio, que es 1 o. oooo. Efto es, la fe-Ca nte,que tenga 10. 0036. que ferála de 7. g.y * o.m.y fedirá:Como el radio álafecantc de7-g-y 19.rn.afsi los oo.m. que correfponde áca-VI

í? J .rr & onot »ttriacada grado de la Equinocial,á los que correfpondena dicho paralelo, y fe hallará mas de*>- ymed._po r l oquefe t0marán ^ . ftosle han de añadir a cada min. defde 7,f>,, y x o,nu hafta que correfpondan 6z. de augmenen1.32ara , rau y fac!I nte , bufeandocn las decantes, la que tuviere 71. que ferála1 o. g. y 18. m. á quien también correapondeiidi.juftos.Defpues fe bufcará la diferencia entrelos oganthmosdeo-i. y d 2 . y fe hallarántambién 7,. y tomando fus 3. quart/quefon54- (u otro qualquier quebrado mayor , quemedio) y agregados á los 71. antecedentes,facen 125 que afeados en las Secantes, feTn, ? ^ fl* y 4°- *• A hora fe dirá;Cono eiradioá la Secante de i3.g. y 4o.m.»M «so.m. que correfponden á la Equinocial,a 'os correfpondientes á dicho paralelo, y fe-«V« r U J '" as de medi o-y fe tomarán d2.1o»que le hayran de añadir.á los que correfpon*ocn a cada minuco antecedente.Defpues fe verá la diferencia de logantemo de d 2 .á d3.que ferá d9.cuyos 2.terc.4

44 TrigonometríaPartes Meridionales, que correfponden á laslatitudes , y juntamente la diferencia de latituden Partes Meridionales entre dichas latitudes:Y afsi es de notar, que para facar ladiferencia de latitud entre dos latitudes dadas,fi ambas fon de una efpecie, fe hará, reftandola menor de la mayor, y el refiduo ferá, lo que correfponde de diferencia de latituden Partes Meridionales; pero fi fueren dcdiftinta efpecie , la fuma de ambas ferála di-*ferencia dc latitud entre dichas latitudes.Otro ufo tienen eftas tablas,y es,para facarla media paralela entre dos latitudes dadas,que fe hace; Tomándola mitad de la diferenciade latitud en Partes Meridionales,y fumada con las partes de la menor latitud,y la fuma bufeada en las tablas , dará la mediaparalela : y efto fe hace, quando yá fe hahallado la diferencia de laticud en Partes Meridionales; pero fi fe dan las partes correfpondientesá ambas latitudes, fe fumarán, yla mitad de efta fuma fe bufcará en las tablas,y dará la latitud media,correfpoiidiente en lacabeza de las columnas á los gs. y en la i. co»lumna á los m. además de los dichos gs.PROBLEMA IV.Hallarla media paralela entre dos latitudesdadas de una mifma efpecie.UN Piloto falió de la latitud Norte de a 7*grados y 1 s.nún.y llegó a la dc 29-S rS "Náutica. 45 la media paralela de uno de dosmodos. El 1. es fumar ambas latitudcs¿ y dela fuma tomar la mitad , que ferá la mediaparalela : ó facar la diferencia de ambas latitudes, y la mitadde efta diferenciafumada con la latí»tud menor,lafumadará la media paralela)como pareceen el 1. exemplo.El 2. modo cs , elque queda pueftotn el Problema antecedenteen el ufode la tabla de las1.2 7g-aog-5¿ 5*2d15 m.31 m.22II23 ¿d *id99i8d235di1781 *163821781 *"artes Meridionales , tomo parece en el 1*exemplo ^ que dápor media paralela entreks latitudes dadas la de 28. gs. y 2d. ms. lómifm 0 , que en el exem pío primero.Hallada yá la media paralela, fe dirá: Cernoel feno 2, del medio paralelo 38. g.y 26:m.I

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I••Hnffr48 Trigonometríalas dos latitudes dadas, fale por diferencia 9*g. y 45. m. y la femidiferencia4* g. y 53. m»¡es la media paralela , que fe bufca.Sí fe qnifierc hacer efta operación porlas Partes Merid. fe bufcarán las correfpondientesá cada una de las dos latitudes dadas,?y fe reftará la menor de lamayor, y fe tomará la femidiferenciade ambas, que febufcará en las tablas, y hallada,dará la media paralela,que fe pretende. Como fevé en el exemplo prefente, c onde la diferencia de ambas latitudes es doi. que correfpondeZ9. g. y 58. m. y la femidiferencia 301..correfponde á 5. g. y 1. m. que es la mediaparalela , que fe bufca : y efta fiempre ferá"mas cierta , que la hallada en el exemplo antecedente,y algo mayor: pues fe diferenciade ella en 8. m. Eftos modos de facar la mediaparalela entre dos latitudes de diverfa efpeciefolo fe diferencia de los, que quedan!explicados en el problema 4. quando fon deuna mifma efpecie en que alli fe fumó la femidiferenciacon la latitud menor; y aquíno hay nccefsidad de efto : porque reliandouna de otra , queda el refiduo de la efpeciemayor : y afsi facando la mitad de efte refiduo, queda por media paralela kDefpues fe dirá: Como el feno 2.

I •50 Trigonometríaparalela Geométrica , y digafe: Como el rá-*dio al feno 2. de la latitud media 4-g. 5 3. m»afsi 227. m. de diferencia de longitud efphe--rica al apart. de merid. que ferá 2 2d. Lo mifmofaldrá con la medía paralela, hallada por.las partes Meridionales, que fue la de 5. grs

:'5 2 Trigonometríafuma 453¿. cuya mitad 2 2d8.bufcadaen lastablas, correfpondcrá á la latitud de 3 5.g. y,2o.m. que fediferencia de la antecedente en\i 8. minutos.PROBLEMA IX.'Hallar la media paralela entre la Equinocial,y un paralelo d ella.PRetendc un Piloto faber, qual fea la lati-itud media entre la Equinocial, y el Polo.Elíjale una diftancia qualquiera , comodo.millas: Con efta diftancia, y cada una delas latitudes, como fi fueran rumbos, fe bufcaráfu apartam. de meridiano. Y porque laEquinocial tomada como rumbo, no hace ángulocon el meridiano ; pues nole correfpondegr. ni m. alguno, ferá lo mifmo, quecaminar por un meridiano; y afsi no tendráapart. de merid. Y porque al Polo le corref-,ponden 90.gs. ferá el ang. del rum. 90.gs.(que correfponde navegar por la Equinocial^ó un paralelo: y afsi tendrá dc apart. de me*rid. do. ms. que es el numero dc millas , quefe eligió por diftancia, y tomando la mitad^que fon 3o.ferán los min. que correfpondenal meridiano medio. Digafe pues : Como ladiftancia do. millas al radio : afsi los 30.n1»de meridiano medio al feno del ángulo delrum. que es 30. gs. que reftados de la mayor,latitud 90. quedan do. gs. por la media pa­ra-Náutica* í>ralela, refpe&o, que la latitud menor es ruwda, reprefentada en la Equinocial.Otro Exemplo.SE procura faber la media paralela entre laEquinocial, y el paralelo de do. gs. Ladiftancia, que fe elige es do. millas, y aponiendo, que al ang. reprefentado en la Equinocialno le correfponde apart. de merid. fehallará el correfpondiente al paralelo ele do.ig. diciendo: Como el radio á la diftancia do.?millas: afsi el feno de do.gs. al apart. de me -ridiano 52. cuya mitad 2d.m. es el meridianomedio. Luego fe dirá : Como la diftancia do.,millas alradio:afsi los 2d.de apart. de merid.:alfeno delang.dclrum.de 25.g.y 41.m. quereftados de la mayor latitud do.gs. el refiduo'34.g. y 19.n1. es la media paralela que fepretendía.Por las tablas meridionales fale 3 5.g.y 20-m.porque á do.gs. correfponden 45 37. cuyamitad 22d9. correfpondená35. gr. y 20. m.PROBLEMA X.Dado un paralelo d la Equinocial, bailar lasmillas correfpondientes d cada grado deltal paraleloEN el paralelo de 40. g. fe pretende faber,quantas millas correfponden á cada gr*Dígale ;Com.o el radio al feno h 4el para^II

154 Trigonometríalelo dado 40. g. a-si las do. millas, que coirefpondena cada gr. de la Equinocial, á lascorrefpondientes á cada gr. de dicho paralelo,que ferán 4d. Y ufando de las fecantesrfedírá: Como la fecante del paralelo dadode 40.gs.al radio: afsi do.m. que correfpondená cada gr. de la Equinocial, á los correfpondientesá cada gr.de efte paralelo: que ferántambién 46. como en la proporción antecedente.PROBLEMAXI.'Dadas las millas,que correfponden d ungr. deun paralelo, hallar, qué paralelo es.SEA un gr. dc cierto paralelo á la Equinocial,que tiene 4d. millas, y fe pregunta,qué paralelo es ? Digafe : Como do. millas,que correfponden á un gr. de la Equinocial,a 4d. millas,que contiene el gr. del paralelo,que fe bufca: afsi el radio al feno 2. del dichoparalelo, que ferá de 39.g. y 57.n1. Tambiénfe puede decir : Como 4d. millas, que contieneel gr. del paralelo dado.á do. que contieneun gr. de la Equinocial : afsi él radio ála fecante del paralelo, que fe bufca, y faldrátambién 39. g. y 57.n1. La razón de no falirajuftada efta proporción con la antecedente,pues fe diferencia cn 3.m.es,porque cn la antecedentefe tomó el logarithmo nías pro-xi-\Nautiea. y \">Jumó á 46\ ms. pues le faltaban 3. unidades,como confiará, haciendo las operaciones dclas analogías prefent.es.PROBLEMA XII. -Dada la diftancia navegada en un parale o J,la diferencia de longitud efphenca, bailarel paralelo, por dondefe banavegado.NAveeó un Piloto Semillas dc diftanciapor cierto paralelo , y tuvo de diferenciade longitud efphenca 100. m. y defeafaber, por qué paralelo navego? Efte Problemacs como el antecedente , y para refolverlofe dirá: Como la diferencia de longituddada 100. ms. á la diftancia navegada80. millas: afsi el radio alfeno 2. del paralelo,por donde fe navegó, que ferá de 3

IMM'i$ Trigonometríados cn las refoluciones Trigonometricásrpi*TO fi el operante ufa de eftas refoluciones,con las proporciones puedas en el problemai. de efte capitulo ferán mas ajuftadas, y paraexecutarlo , fe deben faber ambas latitudes,falida , y llegada : ó á lo menos fe ha de co,Jiocer la falida ; y fi augmenta, ó diminuyelatitud, con la diferencia dc latitud en minutos,para conocer la llegada ; ó al contrarío.Defpues fe ha de facar la media paralelaentre las dos latitudes, como queda dichocn los problemas antecedentes ;ycon eftosprincipios , podrá refolver el problema ufandode las mifmas analogías, que quedanjuchas, que fon las que firven, para conftruirla tabla de Part. Merid. como queda explicado:lasque fe práftican en los cafos figuientes.i- Un Piloto halló en una cingladura 2.g- y 15- m. de diferencia de latitud, y haviendofalido. de latitud Norte 3o.g. y 43. m.augmentando latitud , defea faber, lo que correfponde dc diferenciadé latitud cn Partes Merid.Bufquefe Ja latitud llegada , fumandola falida con la diferencia,y hacen 32.g. y 58.ms. Bufquefetambién la media paralela, comoen el Problema 4. que ferá 31 ,g.3023*141i55808y 51, m. Y digafe: Como el radío á la (ec. de3 x -g.y 5i.m.¡fsilgs a.g. yi£.quecorrefpon-;jrfíen5 rNáutica. ¥f'den á 13 5. ms. de diferencia de latitud, á los.que debe tener en Partes Meridionales , queferán 159-m. que fe bufeaban-2 Luego dice el dicho Piloto , que. navegandoen el emifpherio del Sur diminuyendolatitud, falió de la latitud dejo.,gs. v 4?-ms. y halló dc diferencia de latituden ms! los mifmos 2. gs. y 1j> «* y ffj"gfaber, qué le correfponde en Partes Meridionales.Bufquefe la latitud llegada , comoantes , y ferá 28. gs. y »8.ms. tomenfe lasPartes Meridionales correfpondientes a ambaslatitudes, y la diferencia entre ellas 155-ferá, lo que correfponde á la diferencia de latituden Partes Meridionales : y tomando amitad de eftas partes, y fumadas con las¡dela menor , importarán 18di. que bulcadasen las tablas, fe hallará corresponder a 29.gs. y 36. ms. que es la media paralela.I Defpues fupone dicho Piloto haverfalido de laEquinocial, y que tuvo la m-lmadiferencia de latitud a.gs. y x*-f* P occuya razón fe infiere , que la latitud llegadaes 2. §s . y x y .ms. que ferá Norte fi caminopor el 1.0 por el 4. quadrante : o Sur fi fuecaminando por el 2. ó por el J. quadrante.Tomefe la media paralela , que fera un gr. y8. ms. y digafe: Como el feno 2. de la mediaparalela de i.gr. y 8-m. al radio: afa los-3 5-m.de diferencia de latitud dada alos correí-

—***m.IBMHM58 ^ Trigonometríarefpopdientes en Partes Meridionales,que forttambién 135. Por donde confia no haver diferenciade una á otra.4. Últimamente fupone dicho Pilotohaver falido de la latitud Norte i.g. y 34.n1.y llegado á la latitud Sur 3.g. y 12. m. Coneftos datos fe facará la diferencia de latitud,que por fer cada una de diverfa efpecie , fera. 4* g- >' 4d.m. y también fe facará la mediaparalela, como en el Probl. d. y ferá de49. ms. y afsi fe dirá: Como el radio á la fecantede_ la media paralela dc 49. m. afsi ladiferencia de latitud en min. conocida de28d. á los correfpondientes en Partes Meridionales,que también ferán 28d.Nota,que haviendo hallado cn qualquiertríang.re&ang. las dos diferencias de latitud,y de meridiano, fi fe halla conocida la longitudefpherica, fe conocerá la diferencia delatitud en part. merid. por una regla de treslimpie ; y al contrario: Si fe conoce la diferenciade latitud en part. merid. fe conocerála diferencia dc longitud efplierica.Tambien,fien qualquier tríang.re&ang. fe dan conocidaslas dos diferencias de longitud efpherica,ydc latitud en part. merid. y juntamente ladiferencia de latitud en min. fe conocerá porla mifma regla de tres el apart. de merid. y *|fe dá conocido el apart.de mericLfe conocerátambién la diferencia de latitud en minutos.UNáutica. 59La nota antecedente tiene fu fundamentoen la 4. Propoficion del libr. d. de Euclides,comofeverá en la Fig.1. en el trianguloABC. donde AB. reprefenta la diferencia delatitud en min. BC.elapart.de merid. AD.enel triangulo ADE. la diferencia de latitud enpartes meridionales; y la DE.la-diferencia delongitud efpherica.Y porque en el triang. ADE. al lado DE.,eftá tirada la paralela BC. ferán los triang.;ADE. y ABC. equiang. ( 2?. p. 1.) y femejantes(1 .cor.4. p.d.) Luego ferá: Como AB.áBC. afsi AD. áDE. (4. p. 6.) y como DE.áDA. afsi BC a BA. y al contrario, que cslo que fe havia. de demonftrar, y lo que fepracticará en los exemplos figuientes.Un Piloto navegó en el 1. quadrante 8o-.-rnillas,reprefentadas en AC. de la Fig-1 -porel 2. rumbo , y halló de diferencia de latitud74-ms. que vale AB.y de apart.de merid.31;ms. que vale BC. y defpues bufeo las partesmetid. correfpondientes , y halló, que eran80. y para hallar la diferencia dc longitudefpherica, que pretende, dirá •- Como AB. dé74- diferencia de latitud en ms. á BC. de 31.diferencia de meridiano : afsi AD. de 80. diferenciade latitud en Partes Merid. a DE.34- diferencia de longitud efpherica, que fepretendía. La operación prefente, y las fifiíúentes,fe podrán hacer por la regla de tresArith-I

hre ° Trigonometría .(Arithmetica, ó por las tablas de los logarithmos.Si dando conocidas las diferencias dc latituden min. y de meridiano , fe conocieretambién la diferencia de longitud efpherica. DE. de i4.ms. para hallar las part. merid. fedirá: Como la diferencia de meridiano BCde J.I. á la diferencia de latitud en min. AB.de 74. afsi DE. diferencia de longitud efphericadc r34.n1. á DA. diferencia de latitud enpart. merid. que fe bufean , que ferán 81.Dandofe la diferencia de latitud cn part.merid. 80. m. y la diferencia de longitud cfplier.34.reprefentadasen AD.yDE.y la diferenciadc latitud en ms. AB.dc 74.m. fe hallaráel apart. de merid. diciendo: Como AD.diferencia de latitud cn pare, merid. 80. áDE. diferencia dc longitud efpherica 34. afs¡AB. diferencia de'latitud en min. 74. á BC,apartamiento de merid. que fe bufca 32.Si fe dieren conocidos AD. 80. ms. diferenciade latitud en part, merid. DE. 34. diferenciade longitud cfphcr. y BC. 31. diferenciade meridiano , y fe quificre conocerAB.diferencia de latitud en min. fe dirá: ComoDE. de 34. á AD. de 80. afsiBC dc3*-a la diferencia dc latitud en min. AB. de 7 j'quefe bufca.i. Nota, que aunque parece no concuerdaneftas operaciones unas con otras,refcNáutica* 6t,pecio de que fe diferencian algunos teifminoíen una unidad, no eftán mal executadosíporque fe han tomado los números en enteros, como fe practica en la Navegaciónpor evitar proligidad; pero fife tomaren losnúmeros en entero , y quebrado , 110 havráíduda,deque faldrán muy ajuftadas.2. Nota también, que fi además de loatres términos , que fe dan conocidos en las*operaciones antecedentes , fe tuviere conocidouno de los ángulos agudos, fe hallarael 4. tetmino, que faltare, ufando de la regla1. de las refoluciones de los triángulos dela Trigonometría general.CAPITULOIV.DEL EXERCÍCIO DE LOS PROBLE,mas Náuticos.EL defeo del mayor aprovechamiento delos principiantes en la TrigonometríaNáutica, nos obliga , á que en el Capituloprefente fe propongan aquellos Problemas,que con mayor frequencia fe pra

••* - "^I m ' llas ' al radi0: afsi d a P arc - «e""*"-. 4j. ni. alfeno deUngt ¿d rum> c]ucferái

1;•••- .*..g4 Trigonometríaferá de ij.g. y 50.111. Defpues fe hallará ladiferencia de latitud, diciendo : Como el radioala diftancia \6j.millas : afsi el fenodelcomp. del rum. 74. g.y 1 o. m. ala diferenciade latitud 159-m.que hacen 2.g.y 39.111. losqualcs fumados con la latitud falida 40. g. importan42. g. y 39- m. de latitud llegada.Bufquefe ahora la media paralela, fumandola femidiferencia de latitud i.g. y 20. m.,con la menor latitud 40. g. y hacen 41. g. y20. m. y con efta fe hadará la diferencia delongitud efpherica.diciendo: Como el feno 2.de la latitud medía de 41.g. y ao.m. al radio: afsi los 45. m. de apart. de merid. á losm. de diferencia dc long. efpherica, que ferándeque correfponden á i.g. que fumado conla long. falida i.g.y 48. m. hacen 2.g. y 48.m. de long. llegada: y íiendo la latitud llegada42.g.y 39.m. fe dirá,que el lugar délaNao es az.g.y 39-m. Norte, y a.g. y A&.to*de loogitud,que es loque fe pretendía faber,PROBLEMA III.Dada la diferencia de latitud, y diftancia, conocerel rum. apartamiento de Merid. dife?renda de long. efpherica, y lugarde la Nao.SAlió un Piloto de la latitud Sur. 8. g. Y15.m. y navegó 57- leguas E , f l ,an Spor el 4. quadrante, y también la long tufeU¿a fue de 3. gs. y 43- ms- y tuvo de d^Náutica. ¿5renda de latitud i.g. y 46.m. y quiere faber,,lo que pide el Problema.Formefe el triang. re

I66 Trigonometríaminó por él Nordefte 4. al Leñe 36. leguasEfpañolas, y quiere faber, lo que propone elProblema.Formefe un triangulo rectángulo , en quefe dea conocidos el rum. de 5d.gs. y rj.m. yjla diftancia de 3d.leguas Efpañolas , que correfpondená 123. millas, y bufquefe la diferenciade latitud, y apart. de merid. diciendo:Como el radio á la diftancia de 123, millas:afsi el feno 2. del rum. 33. gs. y 45. ms. á ladiferencia de latitud d8. ni. Y como el radioa la diftancia de 123. millas: afsi el feno delrum. 5d.gs.y ij-ms. alapart. de merid. 102.ms. Y defpues fe bufcará la media paralela,que ferá d.gs. y d.ms. y con ella fe bufcará ladiferencia de longitud efpherica, d¡ciendo:Comoel feno 2. de la medía paralela de d. gs. y6. ms. al radio: afsi la diferencia de meridianoÜ02. á la diferencia de longitud efphericaIi03.m. Defpues fe bufcará el lugar de laNao, que fe hallará en %. gr. y 3:. ms. de latituddel Sur, y en 43. ms. de longitud: porjquefumada la diferencia de longitnd efpheritca1 .gr. y 43. ms. con longitud falida 3 5

'III58. Trigonometríala diferencia de meridiano hallada, rcfpectodc no hallarte diferencia fenfible entre lo plano, y efpherico en la paralela media entre dichaslatitudes, falida, y llegada.PROBLEMAVI.pado el rumbo ,y apartamiento de meridiano fbailar la diftancia, diferencia de latitud, yde longitud ,y el lugar de la Nao.HAllabafe un Piloto en 30.g. y 45.m. dtflatitud Norte, y eñ 3 5 2.g. dc longitud,,y gobernó por el 6. rum. del 1. quadrante^harta que halló de apart. de merid. 3.g. yd.m. y defea faber todo lo que propone elProblema.Formefe el trlang. rectang. en que fe dáilconocidos el ángulo del rum. y el apart. demerid. y fe hallará la diftancia, diciendo: Co-«mo el feno del ang. del rum. d7.g. y 30.111. ála diferencia de meridiano i8d.m. afsi el radioá la diftancia de 201.millas. Y como el fenodel rum. de d^.g.y 30.n1. al apart. de merid.iSd.m. afsi el fenodecompl. 22. g. y3o.m. á la diferencia de latitud 77.n1. con laqual, y la latitud falida, fe hallará la llegada3 2,g. y 2. m. y también la media paralela 31*g. y 24.n1. Y defpues fe hallará la diferenciade longitud-efpherica, diciendo : Como6í>Náutica.el feno 2. de la medía paralela 3 i.g. y 2 4- s -al radío : aísi la diferencia de meridiano ri-d..ta. ala diferencia de longitud efpherica 21b.«1. que fumados con la longitud falida , haten355-g. y 38.111. de longitud llegada, quecon la latitud llegada 3?-g- y 2 - m íerae' "gar de la Nao.PROBLEMAVILDada la diferencia de latitud, y de longitud, Wllar el rumbo, diftancia, y apartamientode meridiano»SAUó un Piloto de la latitud Norte 3

•L70 Trigonometríacidos las dos difetencias de latitud, y longitud,ycon el conocimiento dc la latitud media,fe reducirá la longitud efpherica á plana , óapart. de merid. diciendo ; Como el radio alfeno 2. de la media paralela 3 5,g. y 3 i.m.afsi,la diferencia de longitud efpherica 57. m. á ladiferencia de longitud plana a6, ms. Luego febufcará el rumbo,dicíendo:Como la diferenciade latitud 118. ms. al apart. d.e merid. 4d.n1.,afsi el radio á la tang. del ang.de! rum. 21. gs.y28. ms. Y últimamente fe huleará la diftancia,dicíendo:Como el feno del ang.del rum. 2 i.g.y 28. al apart. de merid. 4d. ni. afsi el radio ála diftancia de i27.millas,quees lo quefe pretendía,PROBLEMA VIII.:Qado el rumbo, y diferencia de longitud,hallarla diferencia de latitud, diftancia , yapartamiento de meridiano, y lugarde la Nao.EStaba un Piloto en 30.gr. y 45. m. de latitudNorte, y en 3 5 8. g. de longitud, y.caminó por el Lefnordefte , hafta que halló dcdiferencia de longitud 21 j.ms. que valen 3.g.y 35.m.y pide lo que propone elProblema.Bufquefe primero la diferencia de latituden Part. Merid. diciendo : Como el fenodel ang.del rum.d7.g. y 30. m. á la diferenciade longitud 215. ms. afsi el feno de comple-^men-Náutica.' . 7 1mentó 2í,g. 30. á la diferencia de latitud enPartes Meridionales 8

L V7 2 - Trigonometrldguas Efpañolas, y fe quiere faber la diferffrtcfjÉde merid. y de long, antes que el rumbo dcuno a otro lugar.Efte Problema fe refolverá fundando furefolucion en la propoficion 47. del 1. deEuclidcs : y para 'ello fe reducirán las leguast millas, y ferán 19 5, Defpues fe bufca la diferenciade latitud, reftando una latitud déotra , y ferá 1, g. y 4d.n1. que hacen lod. ms*quadrenfe eftos iod, y ferá fu quadradoi i2 3d. reftefe efte quadrado del quadrado dela diftancia ip;. que es 38025, y faldrá porrefiduo 2d7S

1Iki•Mili IIi 74 f» , . TrigonometríabkfjA lugar del Sol , fe debe también funonerla Eclyptica dividida en 4. quadr. que fon eli. defde Aries a Cáncer: el 2. defde Cáncer ¿Libra: el 3.defde Libra á Capricornio: y el 4.de de Capricornio á Aríes. Quando el Sol fehallare cn el 1. quadr, ó en 4. fu próximoEquinocio cs Aries; pero fi fe hallare en el 2.quadr. o en el 3 ferá fu próximo EquinocioLibra. Si cl Sol fe hallare en el 1. quadrante óen el 3 fe contarán los g. defde Aries en el1.y defde Libra en el 3.y dará la diftancia delpróximo Equinocio ; pero ñ fe hallare en el2. quadrante , ó en el 4. fe contarán defdeCáncer cn cl 2. y defde Capricornio en el 4.v el refiduo hafta 90. g. ferá la diftancia, quenene el Sol defde cl próximo Equinocio , loque fe practicará en los exemplos figuientes.t. Suponefe hallarfe el Sol en 28. g. deAries, y fe pide fu Declinación. Refijcdo deque fe ha de contar la diftancia defde el principiode Aries, ferán 28. g. los quediftadelpróximo Equinocio : y afsi fe dirá: Como elradio al feno déla máxima Declinación 23.g. y 3o.m. afsi el feno de 28. g. que difta elSol del próximo Equinocio, al feno de la Declinación10. g. y 47.n1. que ferá Septentrional,porque Aries es figno feptcntríonal.2. Suponefe cftár el Sol en 1 o.g.de Aquano, y fe pide fu Declinación. Refpedo deque Aquano cs del quarto quadrante fe con-ta-Nautica. . 7%taran los g. de diftancia defde el principio deCapricornio, y ferán 40. g..los 30. de Capricornio, y los 10. de Aquano, los quales reftadosdc 90. g. quedan 50. de dii.ancia delpróximo Equinocio Aríes. Y afsife dirá: Comoel radio al feno de la máxima Declina,cion del Sol 23-g. y 30-m. afsi el feno de 50,g. diftancia de el Sol al próximo Equinocio,al feno de la Declinación, que fe bulca dc 17.47. que ferá Meridional, porque Aquano esíigíio Meridional. En efte Problema tiene fufundamento la conftruccion de las tablas dclas declinaciones del Sol para los 4. anos,quefon Bifexto, primero, fegundo, y tercero def,pues del bifexto, notando, que,quando fe hallaveel Sol en el 1. quadrante, o cn el 2. tendrála Declinación Septentrional, y quandoen el 3. quadrante ó en el 4. ferá Meridional*PROBLEMA ILDada la maximaDcclinacion del Sol, y la par*ticular de qualquier dia, bailar fu lugaren la Eclyptica.HAUabafe cl Sol en 10. g. y 47- m - de DeclinaciónNorte , y fe ?•& fu lugar enla Eclyptica. En efte cafo puede eftar el Solen el 1. quadrante,ó en el 2. y por efto tendrá¿os refoluciones. Y afsi fe preguntata : cnqual

''£«..;..".-,*.• • Trigonometríaqual de los dos fe hallaba el Sol; y haviendoreípondido, que iba augmentando fu Declinación,fe infiere, que eftabaencl i. quadrante.Y por efto fe dirá, Como el feno de la máximaDeclinación de e! Sol 2 3. 30. al radio: afsi? , c °> 7-a P^'nacíon dada 10.47. al lugardel Sol diftantedel próximo Equinocio de 27*,59. que ferán tantos gr, del figno de Aries.H-dlabafe el Sol en 17, 47. de Declinaciónsur , y fe pide fu lugar en la Eclyptica, Tanwbien puede tener efte Problema dos refpueftas;porque fe puede hallar el Sol en el 3, quadrante,o en el 4. y fe preguntará, en qual de ellosle halla? Y haviendo refpondido, que fe ibaacercando á la Equinocial, fe inferirá, que eftabaen el 4. quadrante. Y afsi fe dirá ¡ Comocl íeno de la máxima Declinación del Sol 23,So. al radio: afsi el feno de la Declinación da-J a }1- 47» al lugar del Sol en la Eclyptica, quelera 49. 5P. q lle re ft a dos de 00. g. quedarán.40. 1. que comprehenden el figno de Capri^comió, y 10,g. y un. d ? Aquario.PROBLEMA U\.Dada la alturadePoto, y la Declinación dclSolde qualquier dia, hallar la Amplitud Ortiva,Eü Occidua.Nía alturade Polo de 37. 30. teniendoel Sol de Declinación Septentrional 1 8 *24.Náutica. 7744. fe quiere faber fu Amplitud ortiva,y occidua.Digafe : Como el feno 2. de la altura dePolo 37.g. y 30.n1. al radio : afsi cl feno dela Declinación dada 18. 24. al feno de la Amplitudortiva, ú occidua de 23.g. y 27. m. dela efpecie de la Declinación. Pot que fiemprela Amplitud íigue la efpecie de la Declinación:jr afsi ferá de la efpecie del Norte.En efte Problema fe funda la conftruccionde las tablas de las Amplitudes del Sol, formandola mifma analogia para cada uno dc losg. dc Declinación.PROBLEMAIV.Dada la altura de Polo, y la Amplitud del Soide qualquier dia, hallar fu Declinación.EN la altura de Polo de 37. 30. tenia elSol de Amplitud ortiva Septentrional23. 27. y fe quiere faber fu Declinación. Digafe: Como cl radio al feno 2. de la altura dePolo 37. 30. afsi el feno de la Amplitud ortivaSeptentrional dada 23. 27. al feno de la•Declinación del Sol 18. 24. que ferá Septentrional, como lo era también la Amplitud.PROBLEMA V.I Dada la Amplitud del Sol, y la Declinación dioii-alquicr dia, hallar la'altura de Poto.T^Enia el Sol de Amplitud 23. 27. y déX Declinación Septentrional i8.g. 24.n1,I. fepretende faber la altura dc P«lo. Digafe'.Co-"

-tpf*''78 TrigonometríaComo el feno de la Amplitud dada 2 3. iy¡al feno de la Declinación dada 18. 24. afsi elradio al feno 2. de la altura de Polo 37. ¿inde la efpecie del Norte , que fe bufca.PROBLEMA VI.Dada la máxima Declinación del Sol, y fu lugaren la Eclyptica,hallar fu Afeenfion re51 a.HAllafe el Sol en 2 8.g. de Aries, y fapuef.ta la máxima Declinación 23. 30. f epretende faber fu Afeenfion recia. Digafe:Como el feno 2. de la máxima Declinacióndel Sol 23. 30. al radio: afsi la tang. 2. dellugar del Sol 28. gs. a la tang. 2. de la Afeenfionreéta 2d. grados , qüefe bufca.Nota, que eftos grs. que han falido de Afeenfionreda en efta operación , fon tales, poreftárelSolen el 1. quadrante ; perolife hallaraen el 2. quadrante , fe havrán de añadirpo. gs. al termino, que faliere ; y fife haftárecn el 3. quadrante, fe añadirán 180. gs. y fi fehallare en el 4. quadrante , fe añadirán 270^y la fuma ferán los grs. dc Afeenfion recia,que fe pretende.PROBLEMA VILDada ta máxima Declinación del Sol, y laparthcular de cada dia,hallarfu Afeenfion refla. tEStaba el Sol en 10. gs. y 47.ms. de DeclinaciónNorte, y fupuefta la máxima DcNáutica. 79clínacíort , fe pide fu Afeenfion recia. Digafe:Como el radio á la tang. dc la Declinacióndada 10. gs. y 47. ms. ¡afsi la tangente 2. dela máxima Declinación 23. 30. al feno dela Afeenfion recia 25. 55». Si fe hallare elSol en el 1. quadrante -, pero fien el 2. ferá115. 59. la Afeenfion recia, que fe pretende.PROBLEMAVIII.Dado el lugar del Sol en la Eclyptica, o diftanciadel próximo Equinocio ,y la Declinaciónde qualquier dia , bailar fu afeenfionrecta.EStaba el Sol en 28, gs. de Aries, que es ladiftancia del próximo Equinocio , y teniade Declinación Norte to. g. y 47. ms.y fepide fu Afeenfion reda. Digafe : Como elfeno 2. de la Declinación dada 10. 47. al radio:afsi el feno 2. de la diftancia del Sol alpróximo Equinocio 28. grs. al feno 2. de la•Afeenfion recia 2d. g. y t. minuto.,PROBLEMA IX.Dada ¡a altura de Polo ,y la Declinación del Sol.Ehallar ¡a diferencia Afcenfional.N Ja altura de P0Í037. 30. Norte, teniendoel Sol de Declinación Norte 10.8 , y f 47-m-.ft quiere faber la diferencia Al>cen-

8 o Trigonometríacenfional. Dígale : Como el radio á la tang¿de la Declinación dada ío. 47. afsi la tangentede la altura de Polo 37. 30. al feno de ladiferencia Afeenfional, que fe bufca 8.g. jj24. m.PROBLEMA X.Vada la altura de Polo, la Afeenfion recta, y L\diferencia Afeenfional, hallar la Afeenfionobliqua.QÜando la altura de Polo, y Declinacióndel Sol fon dc una efpecie, fe reftará la" diferencia Afeenfional dc la Afeenfionrc

• " < * : :81 Trigonometría9o.g. y la fuma, ó refiduo, ferá valor del arcofemidiurno cn g. y m. y reducido á horasdará la hora dc ponerfeel Sol, y refiadas eftashoras de 12. dará el refiduo la hora de falir clSol: y eftas reducidas á g. y m. ferá valor delarco feminociurno ¡ v.g. La diferencia Afeenfionales 8. 24. y refpecio dc que Declinación, y altura de Polo fon de una efpecie,9o8 24.agregando 90.. g. 'ferán 98. 24. quees el valor del arcofemidiurno:el qualreducido á horas, yms.de tiempo.partíendolos

8 4 Trigonometríareducidos á g. partiéndolos entre do. viene altociente 13.g. y i2.m. y últimamente, multiplicándolas1 o. horas por 15.importan 1 50.g. á quien añadiendo los 13. g. y 12. m. importatodo idj. grs. y 12. m. que cs el valordel arco nocturno.PROBLEMAXII.Dada la altura de Polo, y la Declinación del Sol,bailar la hora de falir, y ponerfe el Sol.EN la altura dc Polo de 37-gs. y jo.mimNorte, teniendo cl Sol de Decli naciónlo.g. y 47:m.tambiert del Norte, fequiere faber, lo que propone el Problema. Digafe:Como el radio á la tangente de la Dedicacióndel Sol 1 o. 47. afsi la tangente de la ; hurade Polo 37. 30. al feno 2. d: la hora de falirel Sol, que ferá 81. 36. que reducido áhoras , y minutos de tiempo, ferá lo que fepretende , íiendo de una efpecie Declinación,y altTrra; -pero (\ fon de contraria efpecie,faldrá por quarto termino la hora deponerle el Sol: y reftando la hora halbdade12. horas ,'el refiduo dará la hora de ponerleel Sol.Y refpecio de que fon de una mifma cfpeeieen el cafo propuefto , fi fe reducen »horas, y min. los 81. ¡6. correlponderán «Nautict.5. horas, 26. grados, y 24.minutos , que ferá la hora , aque fale el Sol en dicho Pueblocon femé jante Decli najcion Septentrional. Y refrendólade 12. horas,faldráal tociente d. horas, ? 3.minutos, y 3d. fegundos,que ferá la hora de ponerfeel Sol. Pero fi la Declinación, y altura de Polo fuerende diverfa efpecie , ferialo contrario : Efto es,qwt en dicho Pueblo, teniendo10, grados, y 47. minutosde Declinación Meridional, faldrá el Sol á las d.horas, 33. minutos, y 36. fegundos, y fe pondrá á las ?.horas, 2d. minutos, y 24. fegundos.-CAPITULO5 2d 2411 OO OOPROBLEMAp Kl N * E R °¡ e MDada ¡a diftancia,y la fuma **fr tnn r¿T.titnd, y apartamiento de meridiano , M*arel rumbo, y valor de cada cofa. t'S;J" ,.U N Piloto dice , VxM n¿ ?TTtxoo. millas dc diftancia» hallo.de J-DE ALGUNOS PROBLEMAS CURIOSO*-UP^MBB-

¿u\Trigonometríaferencía de latitud, y meridiano 140. ms. yquiere faber , quanto fea cada cofa de por si,y qué rumbo fue , el que hizo.Efte Problema, afsi propuefto, y refuelto,faldrá de diferene de latitud , y apart. de merid.70, por cada uno, y de ang. del ruin. 45.gr. donde el lado BC. fea de 140.n1. y por C.formefe cl ang. BCG. dc 45.g. y divídale BC.por medio en A. y por A. levancefe la perpendicularAD. y tirefe la BD. que reprefenta ladiftancia dé 100. ms. y quedará el trianguloBAD. en que BD. cs de 100. millas, y los ladosBA. y AD. iguales, y ambos valen 140.luego cada uno valdrá 70. y los ang. del ruinydel compl. ferá cada uno dc 45. grs.Pero li fe diere mayor diftancia , comp110. millas, y la mifma fuma dc 14a de diferenciade latitud , y meridiano, y que feauna mayor, que otra, fe refolverá del modofiguiente : Defpues de formado cl ang. BCG.de 45.gs. fe tirará la BG. ó BF. que reprefentala diftancia de 110- y por G. y F. fe tiraranla.s perpendiculares GK. y FL. á la BC. y quedaranformados dos triang. BGK. y BFL. incluidosen el triang. BGC-cn que eftán conocidos2. lados, y un ang. que fon BG. ¿óno. yBC. de 140.yelang.en C. dc45- g s

IÍS Trigonometríaimportaba 140. y pide lo que dice el Problema,Formefe el triang. BAC. re&ang. en A. yfea AC. d? 75. ms. diferencia dc latitud , yAB. 140. fuma de diftancia, y apart. de merid.y bufquefe el valor del ang. B. diciendosComo el lado BA. de 140. al lado AC. de 75.afsi el radio á la tang. del ang. B. de 28. 1,,,Tírele ahora del ang. Cía reda CD. haciendoel ang. BCD. igual al ang, B. (aj.p. J.) ynítÍ 4 r CI ? , J ÍgUal á BD '

T%Ú7ÍTA dradio¿^^ndaAH.de Náutica.. 9-i6r.gel . fc " Q , d e

i• t "P9f92 _ Trigonometríaque ferá Ja latitud lauda , á quien agregando131.n1, de diferencia de latitud en partes meridionales, harán 4030. que correfponden á5 5"g.y 33-m, que es lo mifmo, que antes, condiferencia de un m. creciendo latitud, como»queda notado antes,PROBLEMA V.Dada la diftancia, y el refiduo entre la difieren-»úa de latitud ,y apartam. de merid. bailar itrumb. diferencia de latitud , y apart- demeridiano. Fig. 11,NAvego un Piloto 100. millas de diñan,cu , y fe acuerda, que entre la diferenciade latitud, y apartam. de merid. havia 20*m. y quiere faber lo propuefto en el Problema.Formefe el triang. Yfoceles re£rang.ABC.

94 . Trigonometría.tomefe AC. de 2 o. m. mitad de la diferenciadada,y dividafe por medio en D; la AB.' y feráAD. de 30.m. mitad del apart. de merid. y tirefela CD. y hallcfe el valpr del ángulo DCAdicíendo'.ComoAC. de 20. a DA.'de 30. afsiel radio á la tang. del ang. ACD. que ferá dc5d. 19. y el ángulo CDA. de 33. 45. Defpuesle hallará la hypothenufa CD. diciendo : Comoel feno de el ángulo DCA.de 56. 19. á fulado opuefto DA. de 30. afsi el radio á la hy -pothenufa CD. de 36. Tirefe ahora por D. laEDF.perpendicular á laCD.y cortará á la CA.prolongada en E. y tomefe DF. igual áDE. ytirefe Ja FC. y formará el triangulo YfocelesFCE. tirefe la FG. paralela a la AB. y la FB.paralela á la AG.Y porque el triang. EFC. es Yfoceles, losang. en E. y en F. ferán iguales (5. p. 1.) y losang. en D. fon ¡guales (def. 10. 1. ) luegotambién los ang, en C. ferán iguales ; peroel ECD. es de 5d. 10. luego el DCF. ferá tambiénde $6. 19. (4.y 32. p. i.) y el total ECF*ferá de 112. 3.8. y clFCG. feti de d7- 22»(13.p. i.)y el CFG. de 22. 3S. (32.p.i.) comotambién, por la mifma, el CFD. de 3 3. 41.Bufquefe el valor de CF. diciendo : Como elfeno del ang.DFC.de 33. ai-k CD.de 3d.afsicl radio á FC. de dj. que es la diftancia, quefe bufca.Y para hallar la diferencia de latitud GOfeNáutica.Áj¡>fe dirá : Como el radio á la diftancia CF de¿5. afsicl feno del compl. GFC. de 22. Y«ala dilerenc.de laritud GC. de 2j.y el apart'.de merid. GF. ferade do. por fer igual áABo fe bufcará, diciendo . Como el radio á lád1uanc.aFC.ded5. afs¡ d feno del ang. delrum. d7. 22. al apart.de merid. GF. de doquees,&c.PROBLEMA VII.Dada U diferencia de longitud de dos luanesy la diferencia de latitud:, que han de tener do)Pilotos, quefalende diehos lugares , hallar fusdift ancias, .que han de fer iguales, y la de dichoslugares , los rumbos de cada Piloto , y ellugar, donde deben concurrir.Fig. 13.EStá un lugar en 41. 4d. de latitud N. yen 345. 12. de longitud , y otro lugaren 41. 36. delatitud N. y en 347. 59- de lon^g.tud. De eftos dos lugares falcn dos Pilotos,que fe han de encontrar en d paralelo de 40.gs. caminando iguales diftancias , fe pregunta:Enquegr.de longitud fe encontrarán?v»e diítancia hay entre dichos lugares ? Quales {a que han navegado dichos Pilotos ? Y poiquerumbos ? Y las diferencias de longitudP'ana, y efpherica de cada uno?Bufquefe la diferencia de longitud dc dichosJ

96 Trigonometríachos lugares, y fe hallará de 2.47. quehacer»Id7« ms. tomenfe también las diferenc. de latítud,yferán1.4d. que hacen rod.m.del prime-*ro,y 1. 36. que hacen pd.ms. del fegundo: faquefela diferenc.de eftas dos difereiiclas,y feráde 1 o. m. Bufquefe la media paralela entre laslatitudes falidas , y llegada de cada Piloto, yferá la del primero 40. 53. y la del fegundo40. 48. y entre eftas bufquefe Otra media, queferá 40. 51. y con efta fe bufcará el apart. demerid. correfpondiente , diciendo t ComO dradio al feno 2. de la media paralela 40. 51.afsi la longitud efpherica t6j. á ló que correfpondede apartam. de merid. que ferá I2díTírefe la AB. de 12d. y de fus extremoslevantenfe las perpendiculares AG de íod.y BD. de 96. diferencias de latitudes dadas, ytirefe la DC. diftancia de ambos Puertos. TomefeEC. de 10. diferencia entre ks diferenciasde latitudes, y tirefe la ED. que ferá dc12tí. igual á AB. ( 3 3- P- i-) y en el triang.CED. fe tiene conocido ED. de 1 26» y CE.de10. y el an

98 Trigonometríacido el ladoCG. de 63. y 1. tere, y FG. dc101. y cl ang. CGF. recto , y fe conocerá clang. GCF. diciendo : Como cl lado CG. de63. y 1. tere, á GF. de 101. afsi el radio alatang. del ang. GC?. de 57.58. y elang.CFG.ferá de 32. 2. Y para hallar el valor de CF,fe dirá: Como el feno del ang.GCF.de 57-58.al lado FG. dc roí. afsi el radio á la diftanciadel 1. Piloto CF. de 119. y medio,cl qualtuvo de apart. de merid. AF. de 5 5. y cl ang.del rum. fe hallará, reftando cl angul. FCG.57. 58. del ang. ACG. 85. 28. y drefiduo27. jo.es cl rum. que executóel 1. Piloto.Y rcfpetto dc que el triang. CFG.es igual,y femejanreal DFG. ( 4. p.i. ) porque los ladosCG. DG. fon iguales por conftruccion,y FG. es común, y los ang. en G. recios (def»10. 1.) é ¡guales (ax. 12.) ferán lasábales CF. yDF.iguales: y los ang. del un triang. á los ddotro. LuegoDF. valdrá 119. y medio, comoCF. y cl ang. DFG.ferá de 32. 2. como CFG.y la fuma de ambos 6 a. 4. fumada con el valordcCFA.d2.30. compl. del rum-del 1.Piloto,harán 12d. 34. y reftados de 180. quedarán53. 2d. por valor del ang. del compl-dele. PÜOto.que es BFD. (13- P-«•) y e\ ang.delrum. ferá 36. 34. que es el ang. BDF. y ladiftancia DF. de 119. y medio. Y para conocerel apartam. de merid. BF. fe dirá: Comoel radío ¿la diftancia DF. de 119. y medio:ai si• * » < * « *Náutica. 99afsi el feno del ang. del rum. BDF. de 36. 34.al apan\ de merid. BF.de 71. que fumado conel del primero 5 5. hacen 12d. que era el valorde toda la AB.Bufquefe ahora la diferencia de longitudefpherica correfpondiente á cada apart. demerid. diciendo: Como el feno 2. de la mediaparalela 40. 51. al radio: afsi los 5 5. ms.de apare, de merid. del primero, y los 71. delfegundo Piloto á la diferencia de longitudefpherica del primero 73. y á la del fegundo94. que fumadas hacen los mifmos id7- dcdiferencia de longitud entre los dos lugares.Solamente refta faber el íitio, donde concurrierondichos Pilotos: y para fabcrlo, fefumarán los ms. de longitud del primero, quefon 1. 13. con la longitud falida 345. 12. yharán 34d. 25. y reftando la diferencia de longituddel fegundo, que es 1. 34. de fu longitudfalida 347. 59. quedarán 34*. 25. que esdonde concurrieron en el paralelo de 40. gs.PROBLEMA VIII.Dada la diferencia de latitud,y longitud;hall»rel rumbo, apartamiento de meridiano , diftancia,y lugar de la Nao. Fig. 13.SLfponefe un lugar en 54. 38. de latitudSur.y en 358. 24. de longitud, de dondeíalen dos Pilotos , gobernando por diftíntos1'G \ rum-,

!ioo Trigonometríarumbos, y quadrantes , haífa cl paralelo de,50. 48. Sur, caminando iguales diilancias,y el 1. ha de llegar á la longitud de 355. 48.Pidefe el rumbo, la diftancia, diferencia delongitud plana, y efpherica, y el lugar de laNao del fegundo Piloto.Bufquefe la diferencia de latitud, y fer*-3. 50. que valen 230. ms. Bufquefe tambiénla diferencia de longitud del primero , y ferá3. 3d. que valen \)6. ms. Bufquefe la mediaparalela, que ferá 5 2. 43- y half efe el apart.de merid. correfpondiente a 2. 36. que valen156. ms. diciendo : como el radio al feno2. dz 52.4:.afsi 15d. de longitud al apart.dc merid. correfpondiente 94. ms - q ue h a detener el 1. Piloto. Y refpe&o, de que ambostienen la mifma diferencia de latitud , y hande hacer la mifma diftancia, t.miran tambiénigual apart. dc merid. Y afsi fetirará larefta CD. que reprefe..tari el paralelo dc50. 48. v fe tomará el punto G. y deldc el fetomará a uno , y otro ¡ado las diftancias GC.y GD. cada una dc 94- ms. que reprefeuranJos do-- aparr. de merid. y dexefe caer de elpunto G. la perpendicular GF. á laCD. y defelevalor de 2?o. ms. que es la diferencia dcfettad de ambos Pilotos, y tirenfe las «¿tasDF. y CF. que reprefentaran las diftanciasiguales. Porque los triar.g. FGC. FGD- f° ncota tote iguales entre si (4. P< l> ¡ * P ar *->Náutica.'ofconocer el an{>. del rumbo, fe dirá: Como lad : Irrncia de latitud FG. de 230. al apart. demerid. GC. ó GD. de 94- aísi el , r ° a rtang. del ang. del rumbo CFG, o DtG. dea:. 20. Defpues fe bufcarán las diitanciasiguales, diciendo : Como el feno del ang. delalsl cIrum. 22. 20. al apart. de merid. 94.radio á las diftancias FC. 6 FDde 2 4 9.quc caminarácada Piloto. Y para hallar cl lugardc la Nao del 2. Piloto, fe fumará ia diferenciadc longitud 2. 36. con la longitud falida558. 24. importarán jdi.g. de quien quitando?do. gs. que contiene el circulo, queda delongitud llegada del 2. Piloto i.gr.en el miíVmo paralelo de 50, 48. que es, &c.PROBLEMAIX.fiada la diftancia, que hicieron dos Pilotos, tidiferencia de latitud entre ellos, y la diferenciade los rumbos, hallar el rumbo de cada uno¡las diferencias de latitud, y apart.de merid. Fi». ia.DE nn Puerto falieron dos Pilotos, naVéJgando por un mifmo quad. el 1. navego'120. millas, y el fegundo 200. y el rumbointermedio fue dc 18. 38. y d 1. tuvo id. m*menos de diferencia de latitud, que el 2. yfe quiere faber lo propuefto cn el Problema,.Gj; i* 1 "

102 TrigonometríaTirefe la AB. y delele valor de i20.m. yla AC. de 200. millas, diftancias dadas , y e!ang. BAC. fea de t8. 38. rumbo intermediodado. Tirefe la BC. y haciendo centro en B.con intervalo de id.m. diferencia de las diferenciasde latitud, deferibafe el arco D. ypor C. fe tirará á efte arco la tang.CDE. (17.p. 3. )y laBD. al punto del contado , queferá perpendicular á la CE. (18. p. 3.) ypor B. tirefe á la CE. la paralela BF. ( ?i• P-1.) y por A. la AF£. perpendicular á las BF.CDE. ( 12. p. 1. ) y quedarán formados lostriang. AFB. AEC. que fe piden, y fe refol-Verán en el modo figuiente.En el triang. ABC- fe dan conocidos loslados AB. AC. ycl ang. A. y para conocerlos otros dos ang. reftefe el ang. A. de 18o.g.y el refiduo tdr. 22. ferá fuma de ambos, yla femifuma ferá 80. 41. Sumenfe , yreften-.fe los dos lados conocidos, y ferá la»fuma320. y la diferencia 80. Digafe ahora: Comola fuma dé eftos lados 3 20. á la diferenciade ellos 80. afsi la tang. de la femifuma delos ang. opueftos 80. 41. á la tang. de la femidiferenciade dichos ang. de 5d. 4,'. 40.que fumada con la femifumadará 137.24. 40.valor del ang. ABC. y refiada dc la mifmafemifuma, dará 23. 57. 20. valor del ánguloBCA. y para conocer el lado BC. fe dirá:Como el feno del ang. BCA. de 23. 57. 20.Náutica. 10:i AB. de 120. afsi cl feno dd ang. BAC de18. 38. á BC de 94. )' 2 - quintos.También en el triang. DBG fe hallan conocidoslos dos lados BC dc 94. y 2. quintos,y BD. de 16. y el ang. BCD. redo. Y para conocerel ang. BCD. fe dirá: Como la hypothenufaBC de 94. y a. quintos al radio: afsiBD.de 16. alfeno del ang. BCD. de 9. 3-P'que fumado con el ang.BCA. 2 3. 57. 20. importará33. 34- n- v alor del a "f'FCA *compl. del rum. del 2. Piloto, y ferá el rum.de 5d. 25. 47.En el triang. AECdel 2. Piloto, fedan conocidoslos tres ang. y la diftancia, y fe hallarála diferencia de latitud, y de merid. diciendo: Como el radio á la diftancia 200. afsi clfeno del ang. del rum. y el dc comp. á la diferenciade latitud 111. y ala diferencia demeridiano id7.Últimamente, en el triang. AFB. fe conocela diftancia AB. de 120. que es la del 1*Piloto, y cl ang. cn F. redo. Y para conocercl ang.' del rumbo, fe reftará el ang. BAC de18. 38. del ang. EAC de 5¿- »5- 47- y ferá37. 47. 47. y el de fu compl. fera de 52. 12.1?. y para las diferencias de latitud, y de me -.ridiá'.TO,fedirá: Como el radio á la diftanciaAB. de 120. afsi el fenodel rum. y el de complem.á la diferencia de latitud 95. V a la dcmeridiano 74. Y la diferencia de latitud delG 4 F»

MH -,„ «M-**-\°4 Trigonometríaprimero 95. fe diferencia de la del fegundcjen 1 d. ms. que es, &c,PROBLEMADada la diftancia.quc hicieron dos Pilotos, quefakeron de un mifmo meridiano, hallar losrumbos , diferencias de latitud, y demeridiano. Fig. 15.DOs Pilotos falieton de un mifmo meridianode diftíntos lugares -. El 1. gobernópor el 1. quadrante, y camino jd. leguasFrancefas , y encontró al 2. que venia gobernandopor el 2. quadrante. por un rumbo.quehacia ang. «redos con d , que el 1. llevaba, yfiguieron juntos por el mifmo rumbo del 1.y caminaron 20. leguas Alemanas : y dice el*• que al finde la cingladura fe hallo en lamifma latitud, que havia falido, y que defdeque falió, hafta encontrar al otro Piloto , hitofu diftancia en leguas Efpañolas, y pregunta, quantas fueron las diferencias de latitud,y meridiano, y los rumbos.Reduzganfe primeramente las leguai amillas, y ferán las 36. leguas Francefas 108.-millas, y las 20. Alemanas 80. Tirefe la AB.de io8.ms. y prolonguefe hafta C v fea BCde 80. ms. y toda la ABC de 188. ms. por B.leyautefela perpendicular BE. á la AC ( mXNáutica. 105"p. r.) Dividafe AC por medio cn D. { 1 o. p.-1. ) y haciendo centro en D. con la diftanciaDA. deferibafe el femicireulo AEC que cortaráá la perpendicular en E. y tirenfe lasredas AE. CE. que formarán el ang. AECredo (31. p. 3.) y reprefentará AE. el merid.,de donde Calieron los Pilotos, AC. la diftanciadel i.yEC la diferencia dc merid. y dang. EAC el del rum. del 1. y el ang. AEB.etrum. del 2. hafta que encontró al 1. EB. ladiftancia , que navegó cn leguas Efpañolas..Y porque defpues figuió , caminando con elí. hafta llegar áC que tiene la mifma latitud,que E. de donde falió, EC. ferá un parale!oála Equinocial, y la diftancia direda,que ha caminado, y juntamente la difereuciadc merid. Para farisfacer á la propuefta , feufará de la Propof. 8.del d.cn que en cl triang.,ÁEC la EB. es media proporcional entre losfegmentos AB. BC y pata conocer fu valor,fe multiplicará AB. 1O8. porBC 80. y delprodudo 8d40. fe facará la raiz quadrada,que ferá 93. ms, que hacen 27. leguas Efpañolas,que vale la EB. diftancia del fegundoPiloto, hafta encontrar al primero.Y porque los triang. AEB. AEC. y CEB.fon femejantes ( 8. p.d.) y el lado AE.es mcu'oproporcional entre ÁC y AB. fe multiplicaráAC 188. por AB. 108. y del producto30^04. fe íacará la raiz, quadrada, queferá

Iíod Trigonometríaferá 143. que ferán ms. de diferencia de latituddel 1. Piloto. Y porque por la mifma razónEC. es media proporcional entre CA. yCB. fi fe multiplicare CA. 188. por CB. 80. yde fu produdo 15040. fe faca la raiz quadrada,ferá 123. que ferán min. de apart. de merid.dc ambos, y diftancia direda del fegundoPiloto. Y para hallar los rumbos fe dirá:Como AB. de 108. á BE. de 93. afsi el radioá la tang. del ang. BAE.rum. del primero, queferá de 40. 44. y fu compl. al quadr. &9. id.valor del ang. AEB. feráel rum. del fegundo,hafta concurrir con el primero.PROBLEMA XI.Dada la diftancia de un Piloto, y el rum. deotro, que camino la mifma diftanc'a, que baviaentre los dos Puertos, de dondefolieron, que eftabanen un mifmo meridiano, conocer el rumbodel 1. la diftancia del 2. que es igual d la delos dos Puertos,¡as diferencias de latitud,y apartamiento de meridiano.Fig. 8.E N cl cafo propuefto el 1. Piloto navegó1 oo.m. por el 4. quadrante, donde encontróal 2. que navegaba por el mifmo cuadrantepor el ang. de 70. g. y havia navejiadotanta diftancia, como la que havia entrelos dos Puertos , de donde falieron,y fe q L " c "reNáutica.^ --07re faber lo propuefto. Tirefe la BDA. quereprefenta el merid. dc donde falieron dichosPilotos, y fea B. el Puerto del 1. y D. el del 2.y tirefe la DC igual á BD. de fuerte, que hagael ang. ADC de 70. g. rum. del 2. y tirefela CA. perpendicular á la BDA. que teprefentaráel apart. de merid. y la BC. ferala diftancia del i.de 100. m. Y porque elang. externo ADC es igual á los dos internosB. y BCD. opueftos (32. p.1.) y eftos foniguales( 5. p. 1. ) luego cada uno valdrá 35.g. v ferá el ang.B. el rum. del i. Piloto, y elang. BDC vale 110. g. (13. p- *• )Luego feconocerá el lado BD- ó DC diciendo : Comoel feno del ang. BDC de 110. g. al ladoopuefto BC de 100. afsi cl íeno del ang. B.de 35. á fu lado opuefto DC de di. diftanciadel 2. y la mifma diftancia havrá entre losdos Puertos B. y D. Defpues fe conocerá laDA. diciendo: Como el radio á la diftanciadel 2. Piloto DC de di. afsi el feno del ang.DCA. de 20. g. ala diferencia de latitud deli. DA. dc 21. m. que fumados con BD. di.diftancia de los Puertos , hacen 82. que valeBA. diferencia dc latitud del 1. Y para conocerel apart. de merid. de ambos, que cs AC.fe dirá: Como cl radio á la diftancia DC afsiel feno del rum. del 2. CDA. de 70.g. a la diferenciadc merid. AC de 57- m * y q ucdar *trfuelt -PRO-

"•«•a*!»''i oíTrigonometría 7*¿ PROBLEMA XIT.ZMfo */ ángulo intermedio entre dos rumbos^que hicieron dos Pilotos , que falieron de unPuerto a otros dos Puertos, y la diftancia entre•tilos, y el excejfo de las diftancias. que caminaron, hallar quitas millas caminó,cada uno de ellos.Fig. rd.DEiin Puerto falieron dos Pilotos por diftíntosrum. y el ang. contenido entreellos era de 43,g. y llegaron á otros dosPuertos,qucdiñaba uno de otro ioo.milIas;peroel«n Piloto camino mas que el otro id.millas,y íe pide a refolucion de lo propuefto.1 irele la reda AB.y fobre ella en A. fórmeleelang.BAD.de 48.g,que esel rum.intcrme.dio, y tomefe AD. igual á AB. y tirefe lalu'J 1 uedará armado cl triang. YfocelesA»D. cuyos ang. fobre la bafe DB. fon ¡guajes( J.p. i. ) y porque ambos valen 132. g.tCJ 2. p. 1.) luego cada uno valdrá dd.g. Alar-¿nicle Ja AB. hacia C. y tomefe BC de id,exceflo de las diftancias.y tirefe la DC que vale100. millas, diftancia dc los dos Puerros,donde llegaron , que fon D. y C y el Puerto,de donde falieron, ferá A. y AD. la diftamtía del uno, y AC. la del otro, que navegó id,millas mas.En cl triang. DBG fe tienen conoc'doelosNáutica. 109los lados DO. de 100. y BC de i¿. y el ang.DBC dc 1 i4.g. porque eftá conocido el ang*ABD. de 56.(13. p. 1.) y para conocer el ang..CDB. fe dirá : Como el lado DC de 100. alfeno del ang. DBC.de 1 i4-g. afsi el lado BC.de 1

no Trigonometríafegundo porclded2. 12. del fegundo quadrante, y fumadas eftas diftancias , que hicieron,con la que havia enttc los Puertos,de donde falieron, importan 300. millas, yfe pretende faber lo propuefto en el Probl.Tirefe la AB.que reprefenta el meridiano,de donde falieron, y fea A. cl Puerto del 2. yB. el del 1. y con la AB. en A. hagafe el ang.BAC. de d2. i?, y con la mifma AB. en B.hagafe cl ang. ABC. de 74. 20. que fon losrumbos dados , y ferá el punto C el Puerto,donde concurrieron ambos Pilotos. Alarguefela AB. hazia D. y E. y tomenfe BE. igualá BC: y AD. igual á AC. y tirenfe las rectasEC. DC. y fea toda la DE. de 3oo.niillas,que importan las tres diftancias : AB. la delos dos Puertos de la falida, BE. la del 1.Piloto, y AD. la del 2. y quedarán formadostres triang. cuyos ang. fe conocerán (3 2.p. 1.) Porque en el triang. ABC. con el conocimientode los ang. A. de 52. 12. y B. de74. 20. hacen 136. 32. y el compl. á dos rectos43. 28. es valor del ang. ACB.También en el triang. EBC Yfoceles porconftruccion, ferán los ang. en E. y C iguales( 5. p. 1.) y por fer iguales al ang. externoABC. de 74. 20. ( 32, p. 1. ) valdrá c . adauno 37. 10. Por la mifma razón en el triungul.DAD. los ang. en D. y C vale cada unoJi. d. También el ang. EBC vale 105- 4 o -(-3-Náutica. 111(13. p. 1.) y el DAC. 117. 48. También fumandolos tres ang. parciales en C que fon43. 28. con 37. 10. y 31. d. hacen 111.44.valor del ángulo total DCE.Y porque en efte triang. DCE. fe tienenconocidos los tres ang. y el lado DE. de 300.millas , fe hallará el lado EC- diciendo : Comocl feno del ang. DCE. de 111. 44. al ladoDE. de 300. millas : afsi el feno del ang.D. de 31. d. al lado EC de 1 d7. Y para DCfe dirá: Como el leño del ang. DCE. de 111.44.a! lado DE. de 300.afsi el fenodel ang. E-dc 37. 10. al lado DC de 195-Luego fe refolverá el triang. EBC en quefe conocen todos tres ang. y el lado EC Y paraconocer los otros lados , fe dirá: Como elfeno del ang. EBC. de 105. 40. al lado EC.de 167. afsi el feno del ang. E. de 37. 10. allado BC. de 104. diftancia del 1. que es igualáBE.Defpues fe rofolverá el triang. DAC enque quedan conocidos los tres ang. y el ladoDC. de que refulcará conocer los otroslados, diciendo: Como el feno del ang. DACde 117. 48. al lado DC de 195. afsi el fenodel ang. D. de 31. 6. al lado AC. de 114. diftanciadel 2. Piloto, igual á DA. Y fumadaseftas dos diftancias, hacen 218. que redadasde las 300. millas dadas, quedan 81. que cs ladiftancía,quc tcnian los Puertos, de donde f a _lie-

T12 TrigonometríaJieron , la que fe hallará también , rcfolviéiT»do el triang. ABC y quedará el Problema re*fuelto.PROBLEMA Xrv\Dada la diftancia, que hicieron dos Pilotos, quefalieronde un mifmo Puerto,por un mifmo qua«drante, y llegaron d la Equinocial, y ¡a difieren--cia de longitud entre ellos , hallar el rumbéde cada uno, la diferencia de longitud,y latitud. Fig. 8.DOS Pilotos falieron de un mifmo Pucr*to, gobernando en el 3. quadrante pordiverfos rumbos , y llegaron á la Equinocial,defpues de haver navegado el primero 185..ms. y el fegundo d5. y tenían entre si de diferenciade longitud 150. im y fe pretende fa*ber, lo que propone el Problema.Sea el punto C. el Puerto de donde falierondichos Pilotos: tirefe la reda CB. dc 185.m. diftancia del 1. y la BD. que reprefenta láEquinocial 150. diferencia de longitud entreambos Pilotos , y tirefe laCD. de 65. diftanciadel 2. y por C tirefe la CA. perpendicularfobre la BD- alargada hafta A. y fe-J»la CA. diferencia de latitud de ambos: laBA.,diferencia de longitud del 1. y la DA. del *«el ángulo BCA. rumbo del 1. y cl DCA. del2. Y aunque fe pueden conocer por la re "giaNáutica.ti$gia 3. fe refolverá por la Propoficion 12. de!2. de Euciides en el modo figuiente.El quadr. de BC opuelto al ang. obtufoBDC es mayor , que los quadrados de BD»,y DC juntos, que forman el ang.obtufo, dosveces el redang. contenido de BD. por DA.Para conocer el lado DA. fe quedarán todoslos tres lados conocidos,y ferá el quadradode CB. 34225. el de BD. 22500. y el deCD. 4225. y la íuma de ellos dos últimos36725. reliada del quadrado de BC. 34225.dará el refiduo 7 5 00. valor de los dos redang.y fu mitad 3750. leía el valor del redang. deBD.por DA.y partiendo $7SQ,e_ntreBD. 150*vendrá al tociente 25. por valor de AD. y ladiferencia de longitud del fegundo , la qualfumada con BD. 150. importa 175. diferen-.cia de longitud del primero.. Bufquefe el valor de CA. por la 47. p. 1 .reftandoel quadrado de DA.25.que es d2 5.delquadrado de CD.42 2 5. y del refiduo 3doo. faquefela raiz quadrada,que ferá do. diferenciade latitud de ambos Pilotos. Y para hallar clrum. del primero, fe dirá en el triang. BCA.¡Como diado BC de 185. al radio : afsi ellado BA. de 17 5. al feno del rum.del primeroBCA. de 7 1. 4. Y para hallar el del fegundocn el triang. DCA. fe dita: Como el lado Ddd5. al radio: afsi el lado DA.de 25.a! feno delrum.del fegundo DCA.de 22.37.que es,&c,.tí». H PRO*

.-'..'.-IÍI4TrigonometríaPROBLEMAXV.Dadas las diftancias, que navegaron dos Pilo*tos,que falieron de un mifmo Puerto, y por diftíntosquadr antes, y llegaron a la Equinocial,y dada la diferencia de longitud entre ellos, hallarlos rumbos, y diferencias de longitud,y latitud de cada uno.Fig. 18.DOS Pilotos falieron de un mifmo Puer*-to P. y llegaron á la Equinocial, que fereprefentará por OQ^ caminando el 1. por el¡3. quadrante do. millas, que fe fupone PQ^yel 2. por el 2. quadrante 73. millas, que valePO. y faben , que la diferencia de longitud,¡que tenían entre si, era OQ^que vale 9 - -m. y,quieren faber lo propuefto en el Problema.Efte Problema fe refolverá por la 13 • prop.del 2. de Euclides, orando la perpendicularPR. á la OQL Y porque el quadrado de laPQt. opuefto al ángulo agudo O. es menor,que los quadrados de lasPO. y QO. que formandicho ang. dos veces el redang. contenidode QO. por OR. fe quadrarán todos treslados , y ferá el quadrado de PO. 5329.7 &de QO.8 281 .que fumados importaran 13*10.de quien reftando ti quadrado de PQs. 3 6oo jquedarán 1001 o. valor de dichos dos redang.cuya mitad 5005. ferá valor del un redang-Náutica.- 115de QO.porOR v y partiendo 5005. entre OO.91. vendrá al tociente 55. valor de OR. diferenciade longitud del 2. Piloto. Y reftandoellos 5 5. de 91..que vale QO. quedan 36. valprde QR.. diferencia de longit. del primero.Defpues fe bufcará por la 47. p. del 1. elvalor de PR. diferencia de latitud de ambosPilotos, quadtando OR. 5 5. y feráfu quadrado3025. que reliado del quadVá'do de PO.53 29. dará el refiduo 2304. quadrado de PR.cuya raiz quadrada 48. dará el valor de laPlí. diferencia de latitud.Para conocer el rumbo del 1. fe dirá : ComoPQ¡_do.diftancia del 1. al radió: aisiQR..diferencia de longitud, que es i6. al feno defu rumbo QPR. dé 36. 52. Y para el del *..fe dirá: Como PO: de 7?. diftamia del 2. alradio : afsi OR. 55. diferencia de longitud decl 2. á fu rumbo OPR. de 48. 54. que es loque fe pretendía. •PROBLEMA XVI.Dada la diferencia de latitud, y el rumbo , quehicieron tres Pilotos, que falieron de un mifmoPuerto, hallar las dift andas navegadas, y lasque tienen entre si, y los lugares de¡as Naos. Fig. 18.EStá un Puerto que es P. en latitud de 1.2. Norte , y en longitud de 327. 32. dcdonde falieron tres Pilotos , navegando porjrUdi-

id Trigonometríadiverfos rumbos, hafta que llegaron á la latitudde 3. iS. Sur , que reprefenta QO. el 1..augmentó long. el 2. diminuyó, y el 3. niaugmentó, ni diminuyó ; pero el ang. ínter-,medio del r. al 3- era dc 5 2. g. que reprefentaOPR. y el ang. intermedio del 2. al 3. eradc 40.gs.que fe reprefenta en QPR. Pídele loque fe propone en ti Problema.Refpedo de que el i- Piloto augmentólong. y pafsó defde el emifpherio dd Norteal del Sur, navegó por el 2. quadrante , yferáPO. fu diftancia. Y también el 2. dirarnuyólong.y pafsó defde el emifpherio delNorte al Sur, y por efto navegaría en el 3.quadrante, y feráPQ^fu diftancia.^ Y porqueel 3. Piloto no augmentó , ni diminuyó lorrgítud,caminaría por un meridiano , que feraPR. y juntamente fu diftancia, que tambiénferá perpendicular á QO. y quedarán formadosdos triang. redang-Y para conocer la PR. diftancia del 3. Piloto, y diferencia de latitud de todos tres, fefumará la laritud falida 1. 2. con la llegada3. 18. y harán 4.20. que correfponden á 260.m. Y en el triang. OPR. fe tendrán conocidosPR. de 2do. el ang. en R. redo, el OPR.de 5 2.g. y el O.de ¿8.g. Y para conocer OP.diftancia del 1. fe dirá : Como cl feno de O.38. g. á PR. de 2do. afsi el radio á PO. Be42;. Y para conocer RO- diferencia de longitud• Náutica. ( 117hid del 1.fe dírá: Como el radio á la diftanciaPO. de 42 2. afsi el feno del rum. 5 2.g. á RO.diferencia de long. y diftancia del 1. al 3. deDefpues en el triang. QPR. fe tiene conocidoPR.de 2do.cl ang. cn R. redo, el QPR.de 40.g. y el Q^de 5 o. grs. Y para conocer elladoPQ^diftanc-a del 2. fe dirá: Como el fenodel ang.PQR.de 5P-g.al lado RP.de 2do.afsi el radio á la diftancia PQ^de 3Í9. Y parael lado QR. diferencia de long. del 2. fe dirá:Como cl radio ala diftancia PQ^del 2. afsi elfeno del rumb. 40. g. á la diferencia de long.QR. de 218. que es la diftancia del 2. al 3. Yla del 2. al i- ferá la fuma délas 2. diftanciasintermedias RO. y QR. que es OQ^de 55 r.Y refpedo de qué el 1. Piloto augmentólong. y tuvo de diferencia 33?. m. que hacen5-g. y ? ?.m. fumados con la long.falida 327.32. hacen ? 53. g. y 5* ni. de long. llegada enel para'clo de 3. i S. lugar de la Nao del 1. Piloto.Y porque el 2. diminuyó, y tuvo de diferencia218. m. que hacen 5. 38. fi fe reliandc la long. falida 527. 32. quedan 323. 54..lugar de la Nao del 2. en dicho paralelo de 3.,18. Y por que el 3. no augmentó , ni diminuyó, ferá cl lugar de fu Nao jajr. 32.en cl mifmo pándelo, que es, lo quefe havia de bufcar.HjPAR-

*iffTrigonometríaPARTE II.DE LAS CORRIENTES.TAutos fon los accidentes, e inconí iftancias,que fe le experimentan en la Na-cías,J- vegacion, y tanto el cuidado , y defvelo,quedebe tener el diedro Piloto, paracumplir evadamente con fu obligación , y llegarcon felicidad al Puerto defeado , que, parafolamente referirlas, fe necefsita gaftar muchotiempo ; y aunque en la parte antecedentequeda explicado el modo , que debeobfervar,para echar fielmentefu punto, fe neceffitaadvertir , que , quando huvicre halladola longitud plana , debe profeguir, y bufcarla longitud efpherica correfpondiente, y cl lugarde la Nao ; pero antes necefsita corregirfu fantasía con la obfervacion , v rumbo,fi navegó por cl Norte—Sur i. ó 2. nimbo.O debe corregir cl rumbo con la obfervacion, y diftancia, fi navegó por el d. 7. 8.rumbo. O finalmente debe corregir la fantasía, y rumbo , con la obfervacion ,' fihizola Navegación por el 3. 4. ó 5. rumbo, delmodo, y con las circunftancias, que quedanpuef-1Nautica»nppueftas en el Tratado de Navegación.-Defpues debe corregir el rum.de la varia*tion, que tuviere la aguja: y dc cl abatimientodel Navio, caufado por los Vientos: fiacafohuviere navegado , fin dar efte refguardo:ó debe dar antes efte refguardo , y con eftopodrá hacer fu Navegación diredamente allugar , que defea: Como también queda notadoen dicho Tratado dc Navegación. Y tambiéndebe el Piloto , xclofo dd cumpiimiemtodc fu empleo, tener conocimiento de lasCorrientes , y faber , lo que aparta al Naviodel rum. á que lleva la proa ; ó yá^ fea porquela prádica fe lo ha monftrado, ó porque lohalle , mediante la obfervacion , diftancia, yrum. corregido : paralo que fervirán los capítulosfiguientes. En donde fe propondráprimeramente , lo que hacen variar el rum*las Corrientes, quando fe tiene conocimientode ellas : y defpues feexplicará el modo de co -nocer con la obfervacion, rum. y diftancia,que cantidad fea, la que hacen variar dichasCorrientes el curfo, que lleva la Nao.CAPITULO PRIMERO.»t)e el modo de conocer la diftancia verdadera,y el rumbo variado por las corrientes,fabiendo quantasfean.LAS corrientes pueden confiderarfe en i

WWTrigonometríajotras en contra de dicho víaie : y otras íntetJ.medias , que ni fon en favor, ni ¿n contra.Quando la corriente es en favor del viajeque hace la Nao , ferá tanto mayor la diftancia, quanta fuere la corriente, v. g. 'Camina*'ba una Nao por el Nordefte 8o. míllas,la corrienteiba también para el Nordefte al mifmotiempo , y era de 20. millas : y porque lacorriente es en favor del viaje ; ferá la diftancianavegada 100. millas.Orando fuere la corriente en contra delcurfo de la Nao, quanta fuere la corriente,ranta fera menor la diftancia navegada. V. g.En el mifmo exemplo , en que el Navio navegopara el Nordefte, fegun la fantasía, So. millas, era la corriente del Nordefte para el Sudoeffede 20. millas : y porque la corriente5 s ? n . co "^' a de cl ri,ni « que executa la Nao,lera la diftancia navegada dc do. millas.. Pero ñ la corriente es intermedia, queViene por el coftado de el Navio, por loque fe puede llamar corriente lateral, que noes directamente en pro, ni ert contra de elViaje de la Nao , fe conocerá c! rumbo variado,y diftancia verdadera por mediode los Problemasfiguientes.PRO-Nautica.I2Í,PROBLEMA PRIMERO.Dada la diftancia de fantasía, el rumbo nave*.gado , y el curfo de la corriente , conocer el •rumbo variado, y diftancia verda-dera.ftg.i9-NAvegó un Piloto por el Oeftc So.mdlas,fegun fu fantasía, y al mifmo tiempocaminaba la corriente parad Norte .jo. millas: pidefe lo propuefto en el Problema.Formefe elquad. ABC. que fera el quartode la Rofa Náutica: por fer el rum. navegadoel Oefte, donde C reprefenta el lugar,en que fe comenzó la derrota, BC reprefentael Norte: y CA. d Oefte. Tomefe CD. de80. millas, diftancia navegada, y por D. I»vantefe la perpendicular DE. á la AC o tirefeparalela ala CB. que reprefentaráel curfode la corriente, y tomefe en ella DE. de 30.;millas , valor de la corriente, y tirefe dcldeCpor E. la reda CEF. que reprefentará el rumvariado, cuyo valor es el ang. bU\ y la diltanciaverdadera ferá la CE. y para conocerla, fe refolverá el triang. CED. cn que fe tieneconocido cl ang. EDC redo ( 2 9 .p. 1.) ellado CD. de 80. y el DE. de 30. y para contfcerel ang. ECD. fe dirá -.Como CD. de boaDE.de 3o.afsi el radío á latang.del ang.ECD.de 2o.g. y 33. m. Y para conocer la diftancia' CE. fe dirá: Como cl feno del ang. ECD. 20.g-

12 * Trigonometríag. y 33. m. al lado ED. de 30. afsi el radío ála diftancia EC de Í6. millas.. Defpues fe tirará por cl punto E. la EG.paralela á la DC. y quedará el triang. CCE.cn que CG. reprefentará la diferencia de latitud,que ferá de JO. ms. por fer igual á ED.(34. p. 1.) y la EG. reprefentará el apart. demerid. que ferá de 80. ms. por fer igual á laDC. y la CE. reprefenta la diftancia, comoantes, que es de 8d. y ang. ECG. es el delrum.que ferád

124 TrigonometríaDefpues fe tirará por H. la HK. perpendiculará la AC y formará el triang. BHK,en que fetiene conocido los tres ang. y la diftanciaBH. y para conocer el apart. dc merid»HK. y la diferencia dc latitud BK. fe dirá:Como el radio á la diftancia BH. de 82. afsicl feno del ang. del-rum. 5?.g. y 2. m. y afsicl feno del compl. 30. 58. á la diferencia demerid* HK. de 70. y á la diferencia de latitudBK. de 42.Y bufeando la latitud llegada,y lamedia paralela , fe bufcará defpues la longitudefpherica, y el lugar de la Nao.PROBLEMAIII.Dada la diftancia defantaiiade 80. millas alSurfiudoefie al mifmo tiempo , que la corrienteiba al Ñor oefte 2 5. millas, pide fe el rumbovariado, y diftancia verdadera.Fig. 21.FOrmenfe los dos quadrantes 3. y 4. de h»Rofa Náutica , como parece en la Figura,y tirefe del punto D.la DE.que es el rum.de fantasía , y 2, eii el 3. quadrante : y tíreletambién DF. 4.. rum. en el 4. quadrante, queese!curfo de la corriente', y en laDS- ruig.de fantasía , tomefe la DG. de 8o. rmtlas , yporG. tirefe la GH. paralela ala DF. y tomefeen ella GH. de a $. millas, y por D. y ""tire-Nautica. 12 51tirefe la DHK. que reprefentará el rum. variado,cuyo valor es el ang. CDK. y la diñan*cia variada ferá la DH. Y para conocerla, ferefolverá el triang. DGH. en fe que tienenconocidos los 2. lados DG. de 80. y GH. de25. y el ang. DGH. (2p.p. 1.) porque el ang.:FDB.es de 45-gs.y el DBE-. de d7.gs.y 30.n1..luego cl ang. FDE. valdrá 11 i.g.y 3 o. mv luegoel HGD. valdrá 6-i. gs. y 30. ms.Y para conocer los otros ang.fe dirá: Comola fuma de los dos lados DG. y GH.de105. á la diferencia de ellos 5 5- afsi la tang.,de la femifumade los ang. opueftos %6. 15*á la tang. de la femidiferenciadc los mifmosang. que es de 38. gs. y 3- ms - °. Lie mmadacon la femifuma 5d. y 15* importan 94. gs. yj8.ms. valor del ang. DHG. y reliada de lamifma femifumafaldrá iS.gs.y 12. ms. valorde!ángulo-HDG.iAhora fe hallará la diftancia,diciendo:Comoel feno del angul.HDG.de 18-gs.y 12.minut.á fu lado opuefto GH.de 25. afsi d fenodel ang. DGH.de d7.gs.y ?o.ms. á la diftanciaDH.de 74.Defpucs fe tirará la HL. perpendiculará la AC. y fe formará cl triang. DilL.cn que fe tienen conocidos los 3.ang. El ang.L. redo por la conftruccion , y el HDL. dc40.gs.y42.msi valor de los 2. ang. HDL. de18.gs.v12.ms.yelGDL.de22.gs.30.ms.ydang. DHL.de 4?.y 18. compl* al quadrante.

iad Trigonometría.' Y para hallar cl apart.de merid. y diferenciade latitud, fe dirá: Como el radio á la diftanciaHD. de 74. afsi el feno del ang. HDL.de 40. y 42. ala diferencia de merid. HL. de48. Y como el radio á la diftancia FlD.de 74.afsi cl feno del ang. DHL. de 40. y 18. aladiferencia de latitud DL. de 56. y bufeandodefpues la longitud efpherica , íe hallara ellugar de la Nao.PROBLEMAIV.Dado el rumbo de fantasía Oesfudoefte, y ¡adiftancia 80. millas en el tiempo , que la Corrientecaminaba para el Surfudocfte 30. minlias, bailar el rumbo variado, y diftanciaverdadera. Fig. 22. .FOrmefe el quadrante ABC que es el 3.dela Rofa Náutica , en que fe halla el rum-"bo de fantasía,'}' el curfo de la corriente: el ureprefentado en AD. y el 2. en AE. Tomefeen A.D. la AF. de 80. millas, diftancia de lafantasía, y porF. tirefe la FG. paralela á laAE. y tómele FG. de 30. millas , valor de lacorriente : y por A. y G. tirefe AG. que ferael rumbo variado , y f« valor CAG. y la AO.ferá la diftancia verdadera. Y para conoceruno, y otro, fe refolverá el triang. AFG. enque fe tienen conocidos los lados At. de 00.y EG. de 30. y el ang. AFG. de 13 !-&• l or 'Nautica.'I27que el ang.DAE.es de 45 -gs. pues fi de el ang*redo BAC fe quita el BAD. de 22. y 30. porun lado, y CAE.de 2 2.y 30.por otro: luego elang. DÁE. valdrá 45. pero cl ang. DFG. esigual al DAE. (29. p. 1.) luego también valdrá45.g. y elAFG. 135.grados. (i3-p.i.)Para reíolver el triang. AFG. fe dirá: Comola fuma de los dos lados AF, y FG. 110. ala diferencia de ellos 50. afsi la tang. de lafemifuma de los ang. opueftos 22. 30. á latang. de la femidiferencia dc dichos ang. queferá de 10.g. y 40.m. que fumada, y refiadade la femifuma, dará el valor del ang. FGA.de 33.10. y el deFAG. de 11.50. Defpues fedirá: Como el feno del ang. FAG. dc 11. 50.áfu lado opuefto FG..de 30, afsi el feno delang.GFA.de 135.g. á la diftancia A.G. 104.Tirefe ahora por G. la GK. perpendiculari la AC y formará el triang. AG&« en que fetiene conocido el ang.K. redo, y el AGK. de34.g. y 2o.m. que es igual al BAG. (2

12 g Trigonometríarum.5-?.y 40.al apart.de merid.GK. de 8d. Ydefpues con la media paralela,y la long.efphericafe bufcará el lugar de la Nao.En ¡os 4.Problemas antecedentes fe ha dadocl modo de conocer el rum. variado porlas corrientes, y la diftancia verdadera con elconocimiento del curfo de la corriente : dondefe havrá notado,que fe retarda el viaje,quefe pretende executar. Y afsi, fi d dieftro Pilotoquifiere llegar con mayor velocidad á clPuerto defeado , debe prevenir el curfo de lacorriente, antes de navegar (haviendo tambiénprevenido el rum. con la_ variación de laaguja, y abatimiento del Navio, caufado porlos vientos, como queda explicado en cl Tratadode la Navegación.) Y en efte cafo cs neceflaríoconocer la corriente , y házia dondecamina,y quaiitafea,y juntamente el rum.qucdebe confervar: y para ello ferviránlos 4-Probltm.figuientes.PROBLEMA V.Dado cl curfo de la corriente 30. millas para el• Norte al ifíjfmo tiempo, que el Navio camina,fegun la fitftatU 80. millas, conocer cl rumbo,a qm it ba de dirigir la Proa, para confervarel de 69. gs.y 27. min.Fig-iy*EN eftos Problemas fe debe tener entcndido,oi.epara feñalar la corriente,ha de ferháziaNáutica. 129házia la parte opuefta,y del punto, hafta dondellegare, fe tirará una paralela oculta á elrum. que fe ha dc confervar , y defde el centrodel quad. con la diftancia de la fantasía fecortatá á efta paralela, y por efte punto,y centrodel quad. fe tirará una linca , que repre-

130 Trigonometríala diferencia de latitud CG. de 30. ms. y elapart. de merid. EG. de 80. ms. y la mifmalongitud efpherica, y lugar dc la Nao , que enel Probl. 1. fifue la latitud falida la mifma»PROBLEMA VLDado el curfo de la corriente 20. millas al Nordefte,al tiempo, qui el vi age del Navio era alSuefteSo.millas, conocer el rutíibo, adondefie ha de dirigir h Proa , para confervarel de 56. g.Fig. 2 o¿2.m.EN dicha Figura BÉ. reprefenta el curfode la corriente: BY. cl rumbo, quefe hade confervar, y alargada la BE. hazla M. reprefentaráBM. el curfo contrario de la cor- -riente ,que es Sudoefte; Tomefe BM. dé 20;millas, valor de la corriente, y por M. tirefela MG. paralela a la BY. rumbo, que fe ha deconfervar : y defde B. con el intervalo de 8o.diftancia de fantasía, cortefe la MG. en G< y>or G. tirefe la GH. paralela á la BE. rum.def a corriente, y la BGF. y quedará formado eltriang. BGH. en que fe tiene conocido BG.de 80. GH. de 20. y el ang. BHG.de75. 58.(por la 29-p. 1.) porque el ang.EBD.vah^j.el ang. DBH. comp. al quadrante del ang.CBY. dadode jp. a. es de 30. 58. que juntosANáutica. 131tos con los 45. ddang. EBD.hacen 75. 58.y fe refolverá el triang.BGH. como en elProblema 2. diciendo: Como BG. de 80. alfeno del ang. BHG. de 75. 58. afsi cl ladoGH. de 20. al feno del ang. GBH. de 14. 2.que refiado del ang.CBY. dado de 59. 2. quedadang. CBF. de 45. gs. que es el rumbo , ádonde fe ha de dirigir la Proa. Y para conocerla diftancia, fe dirá: Como el feno delang. GBH. de 14. 2. á GH. de 20. afsi el radioala diftancia BH. de 82.Defpues fe tirará la HK. perpendicular ála AC. y quedará formado el triang. BHK.quefe refolverá como en el Probl. 2. en quefe hallará de diferencia de latitud BK. y demerid. HK. y defpues de hallada la media paralela,y la longitud efpherica, fe hallará tambiénel lugar de la Nao.PROBLEMAVI?.Dado el curfo de la corriente 2 5. millas al No- 1roefte, almifmo tiempo,que el Navio caminaba^fegun la fantasía *Áo.millas,pidefe el rumbo,que fe ha de gobernar, para confervarel de 40.gs. y 39-nts.Fig. a 1.FOrmefe el femicireulo ABCD. que reprefentael 3. y 4. quadrantes de la RolaNáutica, y tirefe la DF. que reprefenta ellaNo»

''Ii3¿ TrigonometríaNoroefte, que es el curfo de la corriente, yalarguefe házia M. y reprefentará DM. elcurfo contrario de la corriente: y tomefeDM.de 2 5. millas, que vale la corriente, y tirefelaDK. que haga con la BC ang. dc 40*«s. y 39.ms. que es d rum. que fe ha de confervar, y tirefe por M. la MG. paralela á laDK. y haciendo centro en D. cortefe eftaparalela con el intervalo dé 80. que ferá cr*G. y por G. tirefe la GH. paralela á laDF. yformará el triang. DHG. donde DH. reprefentarála dift-mcia verdadera, y DG. el rum.adonde fe ha de dirigir la Proa , para conleryar,el que pide el Problema.Y para conocerlo , fe refolverá el triang*DGH. en que fe tiene conocido cl lado DG».te 80. y el GH.dc 2 5. el ang. DHG. igual (..9.p. 1.) alFDH. compuefto de los dos rDS. de45-gs.y BDH.de 49.gs.y 2 i.im.quc vale 94.11. lo mifmo, qué el ang. DHG. y afsi fe dirá:Como el lado DG. de 80. al feno del ang.DHG. de P4- 21. alsi el lado GH. dc 25. alíeno del ang. HDG. de 18.9. Defpues le dirá-Como el feno del ang. HDG. de 18. 9. áHG. de 25. afsi el feno del ang. HGD.de fi /.[30.a la diftancia vctdadcraDH.de 74. Y porquefe tiene conocido el ang-BDH. de 49.21.y ahora feconocioelang.HDG.de 18. 9-la fuma,quc es d7.30.fera valor del ang.Dbfc.luego el refiduo de po. que es 22. 30. es eiNáutica. \3iValor del ang. EDC que es, adonde fe ha dedirigir la Proa, para confervar el rumbo, quefe pide.Defpues fe tirará la HL. perpendicular 3la AC.y quedará formado el triang.DHL.quefe refolverá como en el Problema 3. y fe hallaránlas diferencias de laritud, longitud playa,y efpherica, y el lugar de la Nap^PROBLEMA VHI.~Dado el rumbo de la corriente al Surfudoe/le di3 o- millas,y al mifmo tiempo la diftancia defartftasiade 8o.mií¡as, conocer el rumb.quefe ha.de caminar para confervar el de 5 5-£'y 40.m. Fig. 22.EN el quadrante 3. ABC. tirefe laAE. quereprefenta el Surfudoefte, curio de lacorriente , y alarguefe házia M. y reprefentaráAM, el Ñornordefte, rum. contrario de la• corriente: y tomefe AM. de 30.millas, y tirefetambién la AG. que haga con la AC ang. dcÍ55. g. y 40. m. que es el rum. que fe ha deconfervar : y por M. tirefe la MF. paralela 3la AG. y haciendo centro en A. con el intervalode 80. millas, cortefe á efta paralela, queferá en F. y por F. tirefe la FG. paralela á UAE. que cortará ala AG. enG. y tirefe la AF..que reprefentará el rum. por donde fe ha dcgobernar, para confervar, el que fe- pide, y pa*.rá conocerlo:•

7134 TrigonometríaRefuelvafe el triang. AFG. en que fe ríe-»nen conocidos AF. de 8o.FG.de 30. (34.p. 1.)y el ang. FGA. igual al ang. GAE. (29. p.i.)que feconocerá fu valor ', reftando del ang..CAG. |dado dc 55.g. y 40. m. el ang. CAE,conocido de 22. 30. y cl refiduo 33. 10. feráfu valor, como también del ang. FGA. Digafepues : ComoFA. de 80. alfeno del ang.FGA. de 33. 10. afsi FG. de 30. al feno delang.FAG.de 11. 50. que agregado al ang..CAG. de 55. 40. dará d7. 30- va 'or del ang.CAD.que es, adonde fe ha de dirigir la Proa,para confervar el rumbo, que fe pide.Refta ahora conocer la diftancia AG. y-para faber , quanta fea, fe refolverá, como enel Probl. 4.y fe hallará de 104. que es la AG.ytirando la GK. perpendicular á la AC formaráel triang. AGK. que fe refolverá delmifmo modo, que queda dicho en el Probl. 4.y también fe hallará de el mifeno modo la diferenciadc longitud efpherica, y el lugar dela Nao.CAPITULO II.Del modo de conocer por la obfervacion,rumbo,ydiftancia de fantasía, quantofealoque hacenvariar las corrientes el curfo de la Nao,y la diftancia verdadera.Fig. ip.YA dexamos dicho en cl Capitulo I. ddmodo, que fe deben confiderar las corta•lricn-Nautica. 1J 5rientés , y que quando eran en favor del Navio, augmentaban la diftancia la mifma cantidad,que teniau las corrientes ; y quando cncontra, diminuíanla mifma diftancia : y ahoradecimos , que , para conocer la diftanciajuntamente con la corriente por la obfervacion,fuponiendoyque el rumbo ha de litaryá corregido de abatimiento , y variaciónjio-íiavrá mas, que hacer , que tomar el rum.y la diferencia de latitud, y con ellos formarun triang. redang. y refolvcrlo. Pues tienetres datos conocidos , que fon : La diferenciade latitud, el ang. del rum. el del compl. yademás cl ang. redo, y fe hallará el apart. dcmerid. y la diftancia verdadera , como femanifeftaráen el exemplo figuiente.Un Piloto navegaba por el Oefnoroefteal mifmo tiempo, que la corriente corríapara la mifma parte , y tuvo de diferencia delatitud 30. ms. Formefe cl quadrante ABC. ytirefe la CF. que reprefenta cl Oefnoroefte, ytomefe en la CB. la CQ. de 30. ms. diferenciade latitud dada.y por G. levántele la GE.;perpendicular á la BC que cortará á la Cf.cn E. y formará el triang. CGE, y haviendolorefuelto como cn el Probl. 1, de el Capituloantecedente, fe hallará GE., diferencia dc merid.72. y la diftancia verdadera CE.dc 78.Defpues fe bufcará la longitud efpherica, ylugar dc la Nao.I4Del

-.-#*•*••'jjd TrigonometríaDel mifmo modo fe obrará , quando lacorriente fuere en contra del viage, que hacela Nao; pero fi fuere la corriente lateral,;fe obrará, como fe dice en los Problemas fi*guientes,PROBLEMA PRIMERO.Dada la diftancia de fantasía por el Oefte 8o«tnillas, y la corriente para elNorte,y ¡a diferen*cia de latitud obfervada 30. minutos para eiNorte, conocer quanta fea la corriente,ladiftamia verdadera,y elrumba.variado. Fig. 19.EN.d quadrante ABC tomefe CD. de 8o.jmillas, que es la diftancia navegada porcl Oefte, que fe reprefenta en CA. y en la CB«que reprefenta el Norte, tomefe la CG.de 301ms. diferencia de latitud obfervada para e\Norte: y por G. tirefe la GE. perpendicular ála BC. y por D. la DE. paralela á la mifmaBC que fe cortarán en E, y por C y E. tirefelaCEF. y formará dos triang. CEG. y CED.1totalmente iguales ( 34. p. 1.) Y refoiviendqcl triang. CEG. como en el Probl. 1. del Capituloantecedente, fe hallará cl curfo_ dc lacorriente DE. de 30. millas , que es igual kCG. y la CE. la diftancia verdadera dc 8d.millas:EG.diferencía de merid.que por fer iguali la diftancia de fantasía DC.. ¡fera de 80. msw-íiNáutica*-\rtV también fe hallará elang, del rum- variadaGCE. de 69. gs.y * 7 .ms. Y defpues havien-.4o bufcado la longitud efphenca , fe halla*¿á el lugar de la Nao.PROBLEMA U.toada la diftancia 80. mitas por el rumbo det'Suelte, v la corriente al Nordeftcy la diferen^tia de latitud 42.m.bdzia el Sur,conocer quan,tafea la diftancia verdadera, el curjo de.la corriente, y el rum. variado.Fig. 20.EE el femicireuloADCB. en que fe repre-*fenta con la BD. los dos q«adra«tes 1Uy 2. de la Rofa, tirefe la BE. rumbo dd Ñor.deftc, adonde vá la corriente: y la BF. que reprefentad Sucfte, adonde camina la Nao: tomefeen ella la BG.dc 80. imUas, y por O. ti,refe la GH. paralela al curfo de la comen,te BE.y tornefe en la BC laBK.de 42.ms. d£faénela de laritud dada : y tirefe por K. a aAC la perpendicular KH. que cortara aízGH. en H.y por B.y H. tirefe la BHY. y formarálos triang. BHK,y BGH 7 tambiénlos BNK. y HNG. y refolviendo primeramenteel triang. BNK. en quefe tiene coincidodiado BK. de r-ms-y el ang- K- rectopor conftruccion, y los angul. fobre la hypo-

13 8 Trigonometríathenufa BN. femiredos: el ang. en B. por 11conftruccion de 45.gs. igual al ang.en N. ( ? 2.p. 1.) luego cl lado KN.ferá igual al B.K. (d.p.1 -) y valdrá ai.y para bufcar el valor de BN.fe dirá: Como el feno. del ángulo KBN. de45. gs. a.fu lado opuefto KN. de 42. ms. afsicl radio á la hypothenufa BN. de do. queteftadps de BG. 80 el refiduo NG. ferá de20.Y por que en cl triang. NGH. el ang. enG. es redo (2p.p. 1,) y cl ang. GNH. cs igualal ang. BNK. fu vertical (15.p. i.) y efte es de45-g-ferá también dichoang.GNH.de 45.g.ycl NHG.de otros 45. CJ2.p.i.) Luego los ladosNG. y GH.fon iguales, y cada uno de 20.m. (d.p.i.) Luego.cl triang.BGH.dáconocidoslos lados BG.de 80. y GH.de 2o.y d ang.cn G. redo, y resolviéndolo, como en el Problema2. del Capit. antecedente fe hallará ladiftancia verdadera BH. de 82. millas , y clang. del rum. KBH. de 59. g. y 2.m. y el valorde la corriente GH. de 20. millas, como*¡queda dicho.Y refolviendo últimamente el triangule!KBH. como queda refuelto en el Ptobl. referido,fe hallará KH. apart', de merid. de 70.:min. Y bufeada la latitud media , y lalongitud efpherica, fe hallará ellugar de la Nao.PRO-Nautica*l s9PROBLEMA IILtoada la diftancia de fantasía al Surfudoefteimillas al tiempo, que la corriente caminabadNoroefte,yladiferencia de latitud batía elSur de 56.m. bailar el valor de la comente,el rum. variado, y d'ftanciaverdadera.Fig.21.DEfpues de formados los quadrantes 3. y,4. de la Rofa Náutica en la figura, fe tirarála DF. del Noroefte,adonde:yá la corr.cn.te,ylaDE. del Surfudoefte adonde caminael Navio : y fe tomará en da la diftancia.dcfantasía 80" millas defdeD. aG. y fe tirara laGH. paralela á la DF. y también fe tomaraenlaDClos 5«5. min. diferencia de latitud dadadefde D. áL.ytirefelaLH. perpendiculará laDC que cortará á la GH.cn H. y tirefe laDHK. que ferá el rum. variado, y fu valor elang. LDH. y la diftancia verdadera fera DH,y d valor de la corriente GH. y el apart. demerid. LH. Y para conocer cada cofa de porsi, ferefolveráVri^ramentc el tr.ang.DNL,en que fe tiene conocido DL. de 5d. y los ¿iang. por conftruccion el L. redo, e D. de"-30. clN.de 6n. 3o.y para conocer la tapothjnufaDN. fe dirá: Como el feno de el ang. N.d=d 7 .g.y ? o.min.áDL.de5Í.-afs«eUadoá la hypothenufa DN. de di. que reliada dcla DG.8o.queda GN.de 19-Refuelvafe ahora el triang. GNH. en que

"4-^--•---••--ÍHPMPIP^HBPIP^BBP^P^P^P^HPHHHII 40 Trigonometríafe tiene conocido d lado GN. de rp. d ang.,en N- de d 7 . 30. (15. p. 1,) y el anq. HGNtambiende d 7 . 30. como eftá demonftrado cuel problema 3. luego el 3, ang. en H. valdrá45>g. (32-p. 1.) Y para conocerla HG, fe dirá:Como el feno del ang. H. de 4s.g, á f u ladoopuefto NG.de ip. afsi el feno del ang.Nwde d 7 . 30. á fu lado opuefto GH. de 2 5. valor,de la corriente.Defpues fe conocerá la diftancia DH. reífolviendo el tríang.DGH. como en el Problema3. delCapic. antecedente, y faldrá de 74.-ftiillas.y con el conocimiento del ang. HDG»«le18.1 :,y del GDL. de 2 ?.3o.faldrá el ang.del rum.LDII.de 4o,g.y 42.m. Y finalmente,refolyíendo el triang.HDL. como allí fe dixo,te hallará el apart, de merid. HL, de 48, y la.long, efpherica, y lugar de la Nao.PROBLEMA IV.Dado el rumbo de fantasía Oesfudoefte, y en ella diftancia 80. millas, y el curfo de ¡a corrien*te al Surfudoefte , y la diferencia de latitud de.58. m. bollar el valor de la corriente , delang.de el rumbo,y la diftancia verdadera.Fig. 22,EN el quadrante BAC tirefe la AD. delrum. de fantasía, y la AE. del curfo deh corriente , y tomefe cn la AD. la diftanciana-SiNáutica. 141'•navegada So. millas defde A. áF. y tirefe laFG. paralela á k AE. y tomefe la AK.dc 58.,m. dc la diferencia de latitud dada: y tirefe laKG. perpendicular á la AC que cortará á láFG.en G. y tirefe la AG. que ferá el rum. variado,y la diftancia verdadeta AG. y el curiode la corriente FG.y para conocer fus valoresfe tirará la FL.paralelaá la GK.y en el triang.,AFL. en que fe tiene conocido el lado AF. de80. el ang. eilL.redo, y el ang. en A. de 6-j¿130. y el ang. enF. de 22. 30. fe hallará AL*diciendo . Como el radio á la diftancia AF. de80. afsi el feno del ang. F. de 22. 30. á el ladoAL. de3o< que refiado dc 58. que vafeAK. quedan 28. por valor de LK.Tirenfe la FN. paralela á la LK. y valdrátambién 28. (34. p.i.) y refuelvafe cl triang»FNG. en que fefiérie conocido él Jado FN.de28. y el ang. en N. redo, y los demás ang.F*y G. porque , como eftá demonftrado en el•Problema 4. del Capitulo antecedente, el áilg.GFA.vale 13 5. g. fi del fe quita el ang. AFL»demonftrado yá de 22. 30.quedaelang.LFG.de 112. 30. y quitando dc efte cl ang. LFN.de po. g. queda el GFN. dc 22. 30. Luego élang. cn G. ferádc 6-j. 30. Bufquefe cn dichotnang. el valor de la FG. diciendo : Corno elfeno del ang.G. de d7. 30. á FN. de 28. afsiel radío al valor dc la corriente FG. dé ío.mülas..Con

142 TrigonometríaCon el conocimiento del curfo de la cor*rience 30. millas, y de la diftancia de fanta*sia FA. de 80. y del ang. GFA. de i3 5.gs. fe"refolverá cl .triang. GFA. como en el Problema4. referido, y fe conocerá el valor del ang..FAG. dc n.gs. 50. m. y la diftancia AG. quecs la verdadera de 104..Y haviendo conocido , que el ang. FAG..esde 11. 50. reliado, del ang. FAG. d7. 30..viene al refiduo el ang. GAK. de. 5 5. 40. quees elang. del rum. variado. Y refolviendo cltriang. AGK. en que fe tienen yá conocidoslos 3. angul. y los lados AK. y AG. fe hallaráel GK. que es,el apart. dc merid. de Sd.m.y con la media paralela fe hallará la long. efpherica, y con efta el lugar de la Nao.NOTAS ACERCA DE LASCorrientes.Q. 11. S~\ Uando las Corrientes fon á Popa,no vanan ei rumbo navegado;sí folo la diftancia.2. Quando fon potlaProa, novarían dvalor del rumbo ; pero pueden fuceder trescafos : El 1. que el litio del Navio efte en elquadrante, por donde fe navega. El 2. quedicho lirio fea el mifmo , de donde fe falió.El tercero , que efte en el quadrante opuefto,al que fe navega , que en efte cafo fe van-i lade-Nautica. 143jdenominaelon del rum. aunque no el valor.3-. Si la paralela de corrientes cortare aél Norte-Sur, en el punto , que fenece la diferenciade latitud obfervada: en efte cafod -rum. corregido ferá el Norte-Sur, rcfpcctodel punto falido ; y la diftancia corregidaferá dicha diferencia de latitud obfervada.4» Si, navegando por rumbo obliquo , fehallare la mifma latitud llegada, que la falida: la paralela dc corrientes terminará elíítio del Navio en cl punto , cn que cortare ácl Lefte-Oefte : y el intervalo defde el puntofalido hafta efte dicho punto ¿ es la diftanciacorregida.5. Para mayor claridad fepreviene: Que*defpues de hecha la operación por la (fantasía, fi fe navegare, para augmentar latitud, yfi hirviere diminuido por las corrientes ; ó alcontrarío : yendo á diminuir, fi huviere augmentado: íe pondrá la diferencia de latitudobfervada defde el fitio falido fobre el Norte-Surá la contraria parte de la diferencia delatitud de fantasíajTodo lo demás, que fe puede prevenir fobreefte aftumpto, parece fuperfluo, refpedode que cn la operación Trigonométrica , Ópor la Efeala Plana, fe manifiefta con claridad.Mas es neceflario, que fe advierta, quecomo no hay regla fin excepción, tampococarece de ella efte methodo: Porque, quando

H'144 Trigonometríado la corriente camina para cl Leíle , 6 pa-sra el Oefte, no fe puede venir pot cl en conocimientodel rumbo, y diftancia variada* Yies la razón : Porque , como la Nave exilia er»aquélla feccion , que hace el cutfo de la corrientecon el paralelo de la latitud obfervada, fi la corriente Caminara para el Lefte , aOefte, fucediera, que fu curfo,y el paralelo dedicha latitud coincidirían, fi k latitud obfervadafuera igual á la de fantasía i y fi fueramayor , ó menor, ferian paralelos* Por curyacaufa nunca detetminára el lugar ¿ en que«xifte la Nao.Las Notas precedentes las remitió Don'Pedro Manuel Cedillo, Diredor de la Real•Academia de Caballeros Guardias Marinasde la Ciudad de Cádiz: Y por fer tan fundamentales, no me pareció conveniente el omi-*tirlas : porque pueden fervir mucho para latotal inteligencia de las corrientes»También por efte methüdo fe puede navegardiredamente, dando anres el refguardode la corriente : y conocer, quanta haya (ido,y á que rum. fe ha dc dirigir la Proa , para•confervar el rum. que fe defea , mediante adiferencia de latitud conocida , ó dada, V «parte, adonde camina la corriente, y la dil an*>cia de fantasía. Lo quefe obrará del modo,que fe dirá en los figuientesProblcw*pRQ;aNáutica.PROBLEMA V.N*Dada la diftancia de fantasía 8 o. millas ,y lacorriente para el Norte, y la diferencia de latitud30. m. también para el Norte, conocer dque rumbo fi hade dirigir -la-Proa, para confervarel de d 9. g. y 2j.m, en el 4. quadrante, quanta fea la corriente, y la diftancia .verdadera. Fig. 19.EN el quadrante ABC tirefe la CF. quereprefenta el rum. que fe ha de confer-,var, y tomefe la CG. de 30. m. que es la diferenciade latitud dada: y porG. levántele laGE. perpendicular á la BC. que cortará á laCF. en E. y por E. tirefe la ED. paralela á laCB. que reprefenta él curfo de la corriente^pero fe tirará házia la parte contraria , porquefe Vá á dar el refguardo de ella: y afsi feráháziaelSur: Dclpues defde C con el intervalode 80. cortefe la ED. ó que la toque enD. y por C. y D. tirefe la CD. que aqui coincidecon el rum. dd Oefte: y afsi efte ferá clrum. adonde fe ha de dirigir la Proa, paraconfervar el rum. que fe pide , íiendo la corrienteházia el Norte, que es la DE. de 30.inillas,iguala laCG. diferencia de latitud, y elapartamiento de merid. EG. de 80. (54. p.i.)y la diftancia verdadera CE. de 8d. como to-»11

,*4d Trigonometríado queda dicho en el Problema primero antecedente..Y del mifmo modo, que allí fe di-KO , fe bufcará la long. efpherica , y d lugarde la Nao.PROBLEMA VI.•0ade el curfo de la Nao 8 o. millas, y el de lajrorriente bdzia el Nordefte, y la diferencia defatitud 42.m.bazia el Sur, conocer d que rum-Pofie ba de dirigir la Proa, para confervar elrumbo de 59. g. y. 2. m. y quanta fea lacorriente, y diftancia verdadera.Fig. 20.DEfpues de hechos los dos quadrante»,donde fe contiene la corriente, y elfrum. que fe hade confervar, que fon 1. ya.|de la Rofa Náutica, tirefe la BE. que reprc-Icnta la corriente, y la BY. que reprefenta clrumbo, que fe ha de confervar, y tomefe laCK.de42.rn.de la diferencia de laritud , y lc-«yantefe la KH. perpendicular á la BC. que«toreará á la BY. en H. por donde fe tirará la|iG. paralela ala BE. que es la corriente; petroházia la parte opuefta; y defde B. con ejintervalo de 80. millas cortefe á la BG. ó íino fe pudiere cortar , hagafe un ateo, que la«oque, que ferá en G. y tirefe-kBGF. que feráel rum. adonde fe ha de dirigir la Proa, pairaconfervar , el que fe pide: y el valor de la

«ssaiHfcs»..14Í Trigonometríaroefte , que es házia donde vá la corriente, yla DK. rum.que fe ha de confervar : y cómelela DL. de 5dvui. y tirefe la LH. perpendiculará la DCque cortará á la DK. en H. y por H.tirefe la HG. paralela á la FD. y á la parte• contraria dé la corriente 1 y defde D. con clintervalo de 80. millas córtele á ella paralelaten G.y tirefe la DG. que reprefentará el rum.«donde fe hade gobernar: y GH» ferá el valorde la corriente, y DH. la diftancia verdadera»Refuclvafe primeramente DLH. en que feIdán conocidos todos 3. ang. y el lado DL. yfe hallará HL.dc 48. diferencia de_ merid. y laDH. diftancia verdadera de 74. millas»Refuelvafé defpues el triang.DGH.cn que»Ie tiene conocidos los dos lados DG.de 8o. yDH.de 74. y elang.DHG»dc 94- - 8 « porquecs igual al FDH. (ap.p, 1.) y efte eftá compueffodel ang. FDB. de 45.g. y del BÚti. de 49.ja 8. complem. del ang. que fe ha de confervar,;que hacen los mifmos 9 y 18. y para hallarti ang.HGD-digafec Como GD.de 80. al icnoIdd ang. DHG. de 94.1 ó. aísi el lado DH- de(74. al feno de el ang.HGD. de d7. 17. luegocl ang;HDGferá de 18.25.(32.p.i.jque refiadodel ang. HDC de 40. 42. d refiduo 2 24!i 7. ferávalor del ang. GDC que cs, adondefe ha de encaminar la Proa, para confervar el•um.quefe pide: Y para hallar el valor de la«corriente, fe dirá; Como el feno del ánguloDHG.Náutica. MPDHG. de 94. 18. á DG. de 80. afsi el fenoddcl ang. HDG. de 18. 25. al lado HG. dc lacorriente de 2 j.-Y defpues fe bufcará la long.;efpherica, y el lugar de la Nao.PROBLEMA VIH--Dada ta diftancia de fantasía So. millas, eleurfo de la corriente al Surfudoefte, y la dife-.renda de latitud 58. banda el Sur, conocer elvalor de la corriente, y de ta diftancia verdadera,y del rumbo, adonde fe ba de dirigid¡a Proa, para confervar ei de 5 5-^.y ao.ms. Fig. 3*-.T"?N el triang. BAC. tirefe la AE. que r&Jj, prefenta la corriente , y la AG. que re*prelenta el rumbo, que fe ha de confervar : ytomefe AK. de 58.1TIS. y tirefe laKG. perpenrdicular á la AC y por G, tirefe la GF. paralelaá la AE. házia la parte contraria de la corriente:v defde A. con el intervalo dc 80. cortefela GF. en F. y tirefe la AFD. que es elrumbo, que fe ha dc confervar : FG- valor«de la. corriente, y AG. la diftancia verdadera:que fe conocerá, refolvíendo el triang, AKG. ;con el conocimiento dc todos tres ang. y ellado AK. de 58. y faldrá la diftancia AG. dcH04. y GK. 8d, de apartam. dc meridiano.Defpues fe refolverá el triang, FAG. coaKiei

\¿6 Trigonometríael conocimiento dc-FA.de 8o. y AG. dé tdSpiy el ang. FGA. de 33. 10. porque-cs igual alang. 1 GAE. fu alterno ( 29. P- l*) que vale lomifmo, porque el ang. GAC es dc 55. 40. yel EAC de 22. 30. luego el refiduo GAE. fe*xk de 33:10. y digafe : Como el lado FA. dd80. al feno del ang. AGF. de 33- IO afsí cS-lado GA. de 104. al feno del ang. GFA. que•por fer obtufo ferá de 134. 40. que fumadocon 33. 10. importan id.7. 5 o - y reliados deI180. viene al refiduo 12. gs. y 10. min. valordel ang. FAG. (32.-.. 1.) que fumado con«1 ang. GAC.de 5 5- ao. la fuma 6-¡. 50. esel valor del ang. FAC adonde fe ha de dirigirla Proa , para confervar el rumbo, quefe pide. Dcfpiiei fe hallará el valor de U corrienteen el triang. FAG. diciendo : Como elfeno del ang. FGA. de 3 3. to. á FA. de 80»afsi cl fend del ang. FAG. de 12. 10. al valorde la corriente FG. de'30. Y bureando la longitudefpher. fe hallará el lugar de la Nao.Nota , que , aunque en efte Problema, yen el antecedente immediato fe diferencianlos ang. en los dos triang. que fe rcfuelvenen algunos minutos de los triánguloscorrefpondientes , que quedan refueltos e.Klos Problemas 3. y 4- cs > P or cauU . dc nohaver tomado los logarithmos predios enentero , y quebrado \ pero , aunque fe ha-

fjflg Trigonometríamado Edmundo Gunter, Ingles de Nación*De una, y otra trataremos, poniendo primero,el modo de conftruirias, y defpues el ufo deellas, aplicado á la Navegación, por cftár hoy.muy introducidas, particularmente entre lo*Jjiglefes, y Olandefes.CAPITULO PRIMERO.. "•De la conftruccion de la Efeala^ Plana*.ESta Efeala Plana efta comunmente divididafu fuperficíe en dos partes iguales*toda ella fe compone de dos pies Inglefesdivididos en pulgadas: y porque cada pie coiwtiene doce, tiene la divifion hafta; 2-4, que fot»las que pertenecen á dichos dos pies. La unade dichas parres, que es la mitad de ella, contieneun. pecipie dividido por un lado en milpartes, y por otro en dos mil¿ que firve para :la conftruccion de la Efeala Artificial, y e»-'la otra mitad'eftán difiintas lineas , que com-.ponen efta Efeala, como fon la de los Rum-.bos, de las Cuerdas, de los Senos, de las Tan-'gentes , Scmitangentcs, y Secantes , de Partes%ualcs,y también otras dos lineas de Rumbos, ;y Cuerdas correfpondientes á otra, que repre-.'fenta los min.de long. Cada una de eftas lineastiene fu nombre cn el principio dc cada unade ellas, y las de Partes iguales, que fon ma-yo-Nautiea.J$Jyores unas, que otras, eftán feñaladasCon unaL, que reprefenta Leguas» y la tercera eftá fenaladacon una P.que reprefenta Partes : porque100, de eftas correfponden á la Cuerdade do. grs, De cada una de ellas, excepto dcJas de Partes ¡guales , que fe omiten, por fuclara inteligencia , fe pondrá la conftruccion.en los paragraphos figuientes.,í. I.De la conftruccion de la linea de los Rumbos-Fig. 23,DEferibafe con qualquier intervalo elquad. ABC. y dividafe la circunferenciaAC en ocho partes iguales, porque fon 8.,los Rum.que condene cada quadr. y haciendocentroen C. con el intervalo, de cada unade las divifiones, deferibanfe arcos, que cortená la CB. alargada házia D. y ponganfe entilalos números 1. a. 3. &c. hafta 8.y eftaferá, la qué reprefenta los Rumbos, y fe notarácn la Efeala con efta voz: Rum. lo mifmafe executará para la otra linea de Rumboscorrefpondiente á la de los min, de long. perofe podrá formar con mayor intervalo, queri antecedente , para mayor extenfion dc fusdivifiones : y defpues fe podrá dividir cada"•arte de las 8. tomadas en cl arco AC. en 4.par-

' 'ute\-t")4 . Trigonometríapartes iguales, y transferirlas á la CD. y quedarácada Rumbo dividido en fus 4, quartasitt n.toe latinea de las Cuerdas, Fig. 24,TOmefe el intervalo , ú la diftancia , quefe tomo para formar el quadrante en?3a conftruccion de la linea de los Rum. y conella formefe el quadrante ABC, y dividafe elttreo AC. en nueve partes iguales, y ponganfe.cnella los números 10. 20. 30. &c. y haciendocentro en C paflenfe eftas diftanciasdefde C á cada una de dichas divifiones enla linea CBD. y nótenle con los mifmos números1 o. 20. &c. hafta 90. en la ultima di-?vifion, y pafTefe á la Efeala , que ferá la lincade las Cuerdas, que fe nota con elta voz.Chor*o con efta : Cuer. Y defpues fe dividirá cadaparte de las nueve del arco AC en 10. partesiguales , y fe transferirá del mifmo mododefde C á la linca CD. y quedará en ella 1*divifion de los 90. g. dc que confia el qua*drantc.Del mifmo modo fe hará la otra linea delas Cuerdas correfpondientes á la linea de laLong. tomando la mifma diftancia, que fetomó para formar la linea de los Rumb. quecorrefponden á dicha linea dc Long. y fepondrá cn la Efeala junto á ella.[Náutica»$. III.*tiDe la linea de ¡os Senos. Fig.» 5 *FOrméfe él quadrante ABC con la mifmadiftancia, que fe formaron los dosprimeros quadrantes de los Rumb. y de lasCuerdas, y dividafe cl ateo AC en nueve partes,quereprefentarán los g. decimos del quadrante:,y feíialenfe con los números 10. 20.Ice. y por ellos tirenfe paralelas á la AB. quefe terminarán en la BC que ferá la linca delos Senos , feñalando en ella los números 1 o.20. &c. hafta 90. que fe denota con efta voz:Sin. ó con efta : Sen. Y haciendo la mifma di-«vdfioiien el arco AC de 10. partes en cadauna, y tirando por ellas paralelas á la AB.quefe terminen en laBC feñalaráen ella, las quecorrefponden á cada uno de los g. del quadrantedefde 1. hafta 00. Aunque defde do.;hafta 90. no fe pueden tomar todas las divifiones,-por caufa de no confundir la forma*don de efta linea.$. IV.De la línea de las Tangentes. Fig. id.'Ormefe también con el mifmo intervalo,que los quadrantes antecedentes^d ABC.y

BB •-'' vi \$ Trigonometríay dividafe , como queda hecho en los 2. #,.aiitecedcntes,enfus Jlg. y tirenfe por el centroB. y losgs. decimos recias, que fe termi-,nen en iaCD. paralela á la AB. y feñalenfeenella los números 10. 20. &c. hafta 70511 80*fegun alcanzaren las lineas tiradas del centroP. y defpues, tirando también del mifmo centrorectas por cada nnode los gs. y terminandofeen la CD.. quedará concluida la conftruc-'¿o» «k cft a linea, que fe feñalacon efta voz;Tang.qac fepondrá con las otras en la Efeala,,La linea de las Semítang. aunque no tieneufo fe conftruye con la de las Tang. duplicandolos numeros,que tuviere la de las Tang*con las mifmas divifiones: v. g. Al numero.5.de las Tang. fe pone en efta 1 o. Ai 1 o.correfpondeen efta 20. á 1 y. correfponderá 30*Je y fe feñaiaen la Efeala con eftas 2. letra*§. Ti que quieren decir: Semitangcntes,,/. V,De l* Unea de las Secantes. Fig. 26*ESta linea eftá principiada con la de los Se-»nos , porque tiene con ella el mifmoprincípio,y fe conftruye en la Efeala, alargandoel lado BA. del quad. házia E. y haciendocentro en 11. fe trasfieren á la línea BAE. lasdiftancias defde B. hafta 10. 20. 30. &c. dcla% ,« ^ r - Náutica. ...lal.nea CD. y fe ponen los mifmos ««meros10. 20 30 &c. en la mifma BAE. y f e ta?ran en la Efeala como queda dicho, defpuesde los ¿«OÍ, y le feñalacon efta voz Sed$• VLtoe la linea de 'longitud.Fig. 27,FOrmefe el quad. ABC. con el mifmo in,tervalo, con que f e formaron las fe Cl ndas lincas de los Rumbos, y Cnerdas ÍTiAü.en 6. partes iguales, que reprefentará «da una io. m . de los do. que eíXZy por las divifiones ¿¡fiZSR la jgftme fe terminen en el arco Ar V • ,centro cn A. conel S ^ c L ^ o fterminarán cn A. y defpues lurrelu r ^diviliondecadaímalSr^^'^-j --.•«'•«auni.iii,-en el arco Ar* ... ,~* VO?. M, Long, q Ue swcre ¿ ^Mi- ' 1r

15 8 TrigonometríaMinutos" de Longitud. Y quedará íoncluid*la conftruccion de la Efeala Plana.CAPITULO 1LDéla conftruccion de la Efeala Artificial.YA dexamos dicho, que efta Efcalaes unade las dos fuperficies , que contiene laRe^la , que vulgarmente llaman Efeala Vla.na? y que fervia para la refolucion de lostriang. afsi planos, como efphericos: y quecorrefpondian fus refoluciones, alas quefehacen por el Canon Trigonométrico, y Niwmeros Artificiales, ¿Tabla dé Logarithmos,V que toda ella fe componía de dos pies deInglaterra, divididos en doce pulgadas, quehacen un codo de Inglaterra, que fe componede 24. pulgadas.»K£¿BÍEfta Efeala contiene las lineas de los Senosde los Rumbos, de las Tangentes de losRumbos, las quales no fon necesarias, pues fepueden fuplir por las lineas de Senos y Unientes: y ató fe omitirá fu conftruccion,Sntiene y tambien la linca de los Nuittero»Logarithmicos, la dc los Senos Logamhimeos,la de las Tangentes Logar.thmicas,WPartes Meridionales , V U de Partes^que firven por grados de ^ 7 ^ ^ *i antecedente por grados de los parale fosacuya conftruccion fe dará cn los parágrafo*figuientes,.^L• Náutica, 16- I.*M*Oe ¡a linea de los Números.Dividafe todo el largo de la Efeala, dexandopor cada extremo como cof¡dc media p«lgada,en dos partes igual v Zmelé la mitad , y dividafe" en iooo part °formando un pet.pie, al modo del 1 !2¿en la luperficede la Efeala m«* oZ^telle por una de las mitades dc la linca S(-qmtafc d ultimo numero ^ 1 *• -'«ooo. parres) Tomenfe pues Jos 301. quecorrefponden al numero abfoluto 2 'Tagafe deftle el principio * eíb ^ g«-dondcak,nzare, y allifepondrá2.coTbdivido» ce. la linea : y defde el- adrián? V»í »* vera, que al numero abfoluto »••' - - . J "

16o Trigonometríale correfponden 477- S » &!?££ *petípie, v transfieranfe k efta linea defde n.radonde-llegáre, pongafe e «¡¡JJ*^i feñalará ¿ Defde to. dará 30. y defde jo*ML^Lucgofeverá.que al numero abfoluto J;correfponden 699- par»-, que tomadas en elpetipie, y pueftas en efta linea defde el num. u,Vil feñalará 5. y 50. Y á efte modcp toman-L 778. que correfponde al num. abfoluto *y tornadas en el ]*&& -k ^ y q«da«concluida la divifion de efta linea en mímelosenteros dígitos defde 1.hafta 10. y en númerosartículos defde 1 o. hafta 100.Para dividir los números dígitos en partesdecimas, y los artículos en dígitos > le ve*2que d numero abfoluto rt. le correfpon*d^i.P-cs, y Redando los 1000por caufa, de que la mitad de efta lll,e * 'Koo. fe tomarán folamente las4 M » £ «,d nfrinie v fe transferirán a efta linea {y 10níiTfe haá en todas las demás divifiones).dcfdei.v.o.yfefialarádéfdel.lap^eder,décimo,V defdeío-feñalarael numero tu^'AuLero 12. le * * * ^ * ¡ * £quíen quitando los iooo.quedan 79. q»e ¿de 1. feñalará 2» deein* , y deíd* 10. «Naitica.x6t12. Al num. 13. le correfponden 114. quepuefios defde 1. feñalará 3. decimos , y deíde10. dará 13. Tomando también i46.yoae(-tos defde 1. dará 4.decimos, y defde 10. dará14. También iyd.dará s-decimos,y 15. Afsimífmo204.feúalarán d.dccimos, y id. Como230. feñalará 7. decimos , y 17. Como cambien255. darán 8. decimos, y 18. y finalmen- .te con 279. quedarán feñalados 9- decimos, y19. Y de efte modo fe profeguirá dividiendolos demás números hada 10. en décimas partes, y defde 10. hafta 100. en fus números intermedios.También fe dividirá d intervalo dc 10. a ;it i..en otras 10. partes iguales , por no haverdiferencia fenfiblc, y lo mifmo fe executará)con los demás números figuientes halla 20.Y defde 20. hafta 30. fe podrá dividir cadaintervalo en 5. partes , para que quede la graduaciónclara, y no confufa con la multiplicaciónde tanta linea. Defde 30. a70.fi;.dividirá cada parte en dos , y quedará con-'cluida la conftruccion de efta linea, que fc-BOtará con efta voz • : Num.Nota, que fe ha hecho efta divifion en de-: :cimas partes, para que fe pueda tomar e« ;cftalinea mayor numero de partes , dé las queen ella eftán feñaladas, que fon 1 oo. Y en efte'cafo los números 1. 2. 3. tkc. valdrán ío.,.20. 30. Sec. y las partes decimas de eftos val-Kfc J» Ééa

Ii d» Trigonometríalie ion ertdrán r. 2. 3. 4. 5- &

Id4 Trigonometríaal 9. \e pertenecen 156- Como á i o. tambiert174. Y á 80. le correfponderán 985. Para 20*le tomarán 34a. Y para 70. fe tomarán 940*Al num. 30. le correfponden 500» y al do. lecorrefponden 8dd. Y para4o.fe tomaran 643^Como para 50. fe tomarán 766. Y quedaranfondados todos los números dígitos de losSenos defde i. á 10. y defde efte a 90* todoslos numer. artículos. Y para fcñalar los dígitos, é intermedios de eftos, fe tomaran laspartes correfpondientes de los Senos naturaíesen la linea antecedente de los Números, y,íc transferirán a efta de los Senos.Defpues cada gr. defde 1. hafta 10» fe disidiráen 6. partes » viendo las que le correlpondenen los Senos naturales a cada una,que la primera vale lo.ms.y la fegunda 20.¿c y tomándolas en las lincas de los Num, ytransfiriéndolas á efta, defde 10. hafta 30. ledividirá cada grado en 4. partes, y cada unavaldrá 1 5 .ms. Defde 30.a 4o.en 3.partes,qnccada una valdrá 20.ms. De 40.a 5o.en 2.par-,tes, que cada una ferá medio grado , u de valorde 30.ms. De 5o.á 80.no adm.te div.Hon,por caufa de no confundir la graduación, eo-£10 tampoco de 80. a 90. y. quedara M *fSdo concluida la conftruccion de efta linea,que fe anota en la Efeala con eftayo*;Sím o Sin*.I'' Notifica»$. IILDe ¡alinea délas tangentes*u%DEl mifmo modo, que fe ha conftruidola linea de los Senos , fe conftruirá también!a de las Tangentes, valiéndonos de lasTTablas dc las Tangentes naturales, como en3a antecedente nos firvieron las Tablas delos Senos naturales. Y por tanto, haviendofcñalado cu la Efeala una linea igual á la antecedente, fe verá, que la Tangente naturalde 1. grado, tiene 17. partes, que tomadas enla linca de los Números, y transferida á efta,fe pondrá donde alcanzare , 1. y en el principioo. y de efte modo fe obrará con los demásnúmeros: puesá 2.gs. le correfponden«n la Tangente 3 5. y á la de 3.g. correfponden52.Abd«4.gs.70. Aladc S.gs.87. Alaidcd.gc.105. A la de 7. gs. 1 23. A la de 8.gs.,U41. A ladep.gs. i*8. Aladc 10.gs.17d..donde fe pondrá d num. 10. Y también elnum. So. A la de 20.gs. correfponden 36%.Üonde fe pondrá también 70. A la dé 30.gs rÉorrefpondco 577. donde fe pondrá tambiénéo. Ala de 40.gs. correfponden 839. dondetambién fe pondrá 50. Y finalmente á la de47.gs.le correfponden 1000. partes , que csla longitud de toda la linea: y por tanto ferondi i cn cl finde ella 4 J «LAPCC:§r11 I Ii

idd TrigonometríaDefpues fe pondrán los números dígito^,que falran , defde i o. hafta 45.gs. del mifmomodo , que fe ha hecho cn los antecedentes.Y finalmente fe dividirá cada grado defde 1*haftá 10. en 6. parres, tomando lasque le correfpondenen las Tangentes naturales. Y defde10. hafta 45.gs. fedividirá cada uno en 4.,partes , que de eñe modo quedará clara la graduación, y concluida la conftruccion. de eftalinca, que fe anotará con efta voz: Tang.§. IV.Déla linea de Partes iguales.PAra eonftruir efta linea, que también,firve páralos gs. de la Équinocid , fe tiraráuna linea cn la Efeala del.largo de lasantecedentes : y fedividirá en 2 o. partes iguales, y la 1. divifion fe dividirá en 10. partesiguales , y cada una valdrá 1. gr. de la Equinocial, y cn el finde ella fe pondrá o. y defpuesen las otras divjíiones figuientes, fe pondrán10. 20. 30. &c. fegun fu orden,, y quedaráconcluida fu fábrica , y fe anotará en laEfeala con efta voz : p. Eq.í. V.De la linea de las Partes Meridionales.PAra la conftruccion de efta linea fe neceffitade las tablas de las Partes Meridionales,y dc la linea antecedente de Partesigua-Nautica.x6yiguales : Y afsi haviendo tirado en la Efealauna linea de la long. de la antecedente , feiráá las tablas de las Partes Meridionales, y ferveráen la latitud de 10. g. que le cofrefpon-'den do3. que fe tomarán por m. y reducidosá g. harán 1 o.g. y 3» "V Tomenfe eftos 1 o.g.y•g.m. en la línea de Partes Iguales, y transfiriendofu intervalo á efta Jinea de PartesMeridionales, defde el principio de ella, haftadonde alcanzare, fe pondrá en el princirpió o, y donde alcanzo,io. y de efte modo feirán feñdando los demás g, decimos. ' A lalaritud de 20.g. le correfponden 1224. quereducidos a g« fecorrefponden 2 ó. g. - y 2 4. m..quefe tomará en la linca de Partes iguales,y transferido el intervalo á efia, defde o, feñalarád numero 20.Al paralelo de 30. correfponden 188S.,jque reducidos ág. fon 31 .g. y 28.111. que tomadoscn dicha linea, y transferidos a efta, feíalaráelnumero 30. Al paralelo de 40. correfponden2d24. que hacen 43-g-, y 44- m.con que fe feñalará el numero 40. Al paralelode 50. correfponden 347S, que hacen 57.g. y 58.m. con los que fe feñalará el numero.50. El paralelo de 60, tiene 4537* que hacen75.g, y 37.n1. con que fe feñalará el numero60,Al paralelo dc 70, g, le correfponden5998. que hacen 99- g- y 5 8 «m. con los qna-*L4les.•I

•*"•"i 6 8 Trigonometríales feñalaráel num. 70. Y al paralelo de $6*le correfponden 8490. que hacen 141.g.y 30*m. con los quales fe feñalará el numero 80.con lo que quedará concluida la divifion deella linea, por lo que mira á los números artículos: y para poner los números dígitos,fe ufará del mifmo modo, bufeando. primerolos números cincos : excepto halla el numero¡so. que fe podrá dividir el intervalo de o. á!io. y de 10. á 20. en 10.. parres iguales , porS10 haver halla efte paralelo diferencia, fenfifele: Y afsi porque á 25.de correfponden1550. que hacen 25.g.y 50.113. con ellos fefeñalará el rum. 25. Y á efte modo en los demásnúmeros cincos.Defpues fe tomarán, las partes, que coríefpondená los demás g. que reducidos á g.y tomadas en la linea de Partes iguales,. ytransferido el intervalo á efta, y dividido cadag. en 4. partes iguales, por nO haver diferenciafenfible entre ellas, particularmentenafta el numero 70, quedará concluida laconftruccion de efta linea, que fe anota cn la«Efeala con efta voz: P. Mer.Pero fi fequificre fabricar mas exactamentedefde 70? cn adelante , para dividir elg.entjuatro partes v. g. de 70. á 7.1. fe verán, lasJque correfponden en la tabla de Partes Meridionalesá 70.g. y 15.111. y á 70.g. y 30.n1.K » 7,o.g. y 45.ro. y reducidos á gr. cada unoNáutica. 169Be por si, fe hará lo mifmo, que con los antecedentes: y executado efto mifmo con todoslos demás gs. quedará mas perfectamentefabricada.CAPITULO III.toe losufos de la Efeala Plana , aplicados a ijtNavegación.,EN efte Capitulo fe propondrán los mifmosProblemas, que fe pufieron en la 1.Parte Capitulo 1. y cn la refolucion de ellos,irá embebido el ufo. de las lineas, que componenla Efeala Plana, fegun, lo. pidieren las proporciones, notando , que quando fe dixere;¡Tomefe la Cuerda de 40. ó de yo.g. fe havrádctomar defde el principio de la linea delas Cuerdas hafta el numero 40. ú hafta cl 5 o.Y lo mifmo fe debe tener entendido en lasdemás lineas de los Rumbos, de los Senos, delas Tangentes, y de las Secantes, que efta»fon, las que firven, para dará conocer el valordc los ang. Y para tomar las partes, que correfpondená los g. fe ufará de qualquiera delas lineas de Partes iguales , fegun fe quiííeremayor, 6 menor la figura poniendo la unapunta del compás cn cl numero articulo de laspartes, que fe dieren, ó pidieren, y transfiriendola otra házia el principio, feñalará las partes, que tuviere demás del numero articulo:Co*

170 TrigonometríaComo todo fe verá practicado en las folucioncsfiguientes.PROBLEMA PRIMERO,Dada la diferencia de latitud, y de longitudplana, y la diftancia, conocer el ángulodel Rumbo. Fig. 1,NAvegó un Piloto 140.millas de diftancia,y tuvo de diferencia de laritud ¿25,01.y de diferencia de long. plana d4.n1, y quierefaber el rumbo por donde caminó.Tirefe la linea BA. que reprefenta d Norte-Sur,y vayafe a una linea de Partes iguales,la que guftáre el Operante, y abierto el compás, pongafe la una punta dc d en el numero12, que valdrá 120, y guiando la otra puntaházia cl principio , tomará 5. partes, y ferán1125. las quales. transferirá defde A. haftaB,y por B. levantará la perpendicular BC.á laAB, y tomando en dicha linea de Partes igualesd4. deíde do. házia el principio,donde tomaráquatro partes mas,y las transferirá defdeB. hafta C, y tomando defpues del mifmo modoi4o,millas,y fe transferirá defde A,haftaC.y quedará cerrado cl triang, ABC-Y para conocer el rum* fe tomará la cuerdade do.grs, en la linca dc las Cuerdas, y haciendocentro en A. fe defcribba el arco FG.y tomando el intervalo de E.á G.fc paliará a laiNáutica. 171linea de las Cuerdas, defde el principio, y llegaráhafta 27, g. y i2.m. que es el ang- decl rum, feñalado cn A. y el del comp, ferádctí2,g. y48.n1. reprefentado en C. Aquífe debe advertir la nota 1, puerta en dichocap. 1. de la primera parte, para que el intervalode Ja diftancia AC. ajufte con el de BC.-diferencia de el Meridiano,PROBLEMA II,Dada la diferencia de latitud, y apartitnientode Meridiano , hallar el rumbo , y diftancia.Fig. 1.NAvegó un Piloto por un rum.del 1.quadrante, y dio de diferencia de latitud74.m. y de apart.de Merid. 3 i.m. Tirefe la lineaAB. que reprefenta la linea Norte-Sur , yfetialefe en cllaAB.de 74. ms. tomados en lalinca de Partes iguales, como queda dicho,y por B. levantefe la perpendicular BC. y tomandoen la linea de Partes iguales 3 i,m«. fetranforman defde B.hafta C. y tirando la reCtaAC. quedará cerrado el triang. ABC.Para conocer el rum. tomefe la cuerda dedo.g. en la linea de las Cuerdas , y haciendocentro en A, deferibafe el arco FG. y tomefeel intervalo defde F.á G. y transficrafe ala lineade las Cuerdas defde el principio,y feñalará22,gs, y 3o,mín. que es él 2. rum. porquetransferido efte mifmo intervalo á la linca delos

' 172 Trigonometríalos rumbos defde el principio , feñalará el 2.rumb. Y para hallar la diftancia, fe tomará elintervalo de la recia AC. con el qual fe irá ala linca de Partes iguales, donde feñalará 8o„que cs la diftancia navegada,Y porque defpues por la obfervacion delSol halló 80. ms, de diferencia de latitud, necefsitade corrección. Y para ello,alargarála linea AB. hacia D. y tomando el intervalode 8o.ms. lo transferirá defde A. hafta D.por donde levantará la perpendicular DE. ála AD. ó paralela ala BC. que fe terminaráen la AC. prolongada cn E. porque ufa de laprimera Regla, por no tener fatisfaccion delrumbo, ni de la diftancia, y quedará forma-Ido el triangulo ADE, en que tiene conocidoAD.diferencia dc latitud 8o,m.y el ang.A.del rum.22. gs, y 30, ms. y transfiriendo elintervalo DE. y el de la reCta AE. á la lineade Partes iguales , hallará diferenc. de merid.DE. de 33.ms. y de diftancia corregida AE.de 87. millas.Defpues pretende el Piloto faber el lugarde la Nao. Y para ello fe necefsita faber ellugar falido, y la diferencia de longitud efpherica.Y fupuefto , que dá el lugar falido,fe hallará la media paralela , como fe dixo encl Problema 1. del Capitulo 4. dc la Parte 1.y con ella fe hallará la longitud efpherica , y«vi lugar de lalfla.g. Eerp por la Efeala,buf-ca-Nautíca. 173cara las Partes Meridionales correfpondientesá ambas latitudes, falida , y llegada, ytomará fu diferencia , la que transferirá def*de A. á H. por donde levantará la perpendicularHY. que transferida á la linea de Partes¡guales, feñalará la diferencia dc longitudefpherica.También fe hallará la longitud efphericapor la Efeala con la media paralela , y el modocs el figuiente : Tomefe la cuerda de do*,gs. y haciendo centro en el ang, del compl»del rum. que es el punto E. deferibafe el arcoDO. fobre el lado DE. que reprefenta elapartamiento de meridiano corregido, y tomefela cuerda de la media paralela, y tranf*-fierafe defde D- p°*" el arco hafta O. y por E.y O. tirefe la teéta EO. prolongada hafta L.cn la linea de Norte-Sur ABL. y tomandoel intervalo EL. y transferido á la linea dePartes igudes, dará la diferencia de longitudefpherica, que ferá fiempre igual á la HY.:qué fe tomó con las Partes Meridionales, ycon ella fe bufcará el lugar de la Nao : y lomifmo fe executará con los demás Problemasfiguientes : cuya explicación fe omitirá,porque es la mifma , que queda puerta 1 yporque el principiante fe exercite enfus operaciones,,PRO-7

*74 TrigonometríaPROBLEMA III.Dado el rumbo, y diftancia, hallar la diferenciade latitud, y de meridiano. Fig. 2.NAvegó un Piloto por el 6. rum. del .4.quadrante 78.millas, y quiere faber, loque propone el Problema. Tirefe la linea,FH. que reprefenta el Norte-Sur, y haciendocentro en H. con la cuerda de dd.gs; def-.-cribafedarcqGL. y tomando él d. rumboeii la linea dc los Rumbos , fe transferirá defdeG.llafta L.y por H. y L.fe tirará laHLD.yfe tomará HD.de 78.millas,y por D.fe dexarácaer la perpendic. DF. á la HF. y tomando cl.intervalo HF. feñalará 30.ms.de diferenc. delatitud,y DF.dará 72.ms.de apart.de mérid.. Defpues obfervó el Sol, y halló de diferenc.de latít. 2$.ms. Y porque no concuerda conla operación antecedente, necefsita de corrección: y para ello tomará cn la linea dé Parcesiguales los 2 5.ms. y los transferirá defde H. aG. por donde tirará la paralela GY. á la DF.yhaciendo centro en H. con cl intervalo HD.deferibafe el arco DY. y tirefe la recta HY. yhallará la GY. de 75.ms.difer. de merid. cor-,regido, y el ángulo del rum. corregido de 71-gs.y i8.ms. que fehallará pallando ala lineade las Cuerdas el intervalo del arco GL. defdeG.hafta L. en la reíta HY. Defpues fe bufcaráel lugar dc la Nao como queda dicho.,PRO-K3LNautica. 175PROBLEMAIV.Dado el rumbo ,y diferencia de meridiano, bailarla diferencia de latitud -, y diftancia.N. Fig. 3.Avegó un Piloto por el 3. rumbo del 3.quadr. hafta que tuvo de diferencia demerid. 39.111. y quiere faber lo que proponeel Problema. Tirefe la recta KM. que reprefentael Norte-Sur , y porM. levantefe á ellala perpendicular MN. y tomefe de 39.inih. ycon la cuerda de do.g. y centro N. deferibafeel arco TS. y tomefe en la linca de los Rumb.el 5. ruiíii compl. del rum. dado, y transfierafedefde T* hafta S. y por N. y S. tirefe la NS.prolongada, hafta que corte á la MIC en elpunto K¡ y dará la KM. 58.n1. de diferenc. delatitud, y laKN.70.millas de diftancia:y haciendocentro en K. coil la cuerda de do.grs.y deleriptod arcoRS. y transferido el intervaloRS. á la linea de los Rum. feñalará el 3.que es , el que fedio , y en la de las Cuerdasfeñalará 33.g. y45.n1. queescl vdor de elrumbo dado¿Defpues halló por la obfervacion d4.n1..de diferencia de latitud: y necefsita de corregirfu punto : Y para ello alargará la KM. há-'ziá Q^y tomará KQ¿_ de d4.n1.y por Q¿. tirarála Q£>. paralela i la MN. y dividirá la NO.;por

xj6 Trigonometríapor medió, y con la diftanc. defde K. á eft«punto,haciendo centro en K.dcferibirá el arcoP. y tirará la reCta KP. y formará el triang..KPQ-jque es el corregido: donde hallará KP..de 74.miilas de diftancia, y PQ¡_de 34.m. deapartam. de merid. y tomando el intervalo cnel arco RS. defde R. hállala diftancia KP. y.transferida á la linea de las Cuerdas,íeñalará elang.del rum.de 3o.g.y j.m. Defpues bufcarála long. efpherica, y el lugar de la Nao, comoqueda dicho en los Problemas antecedentes»,PROBLEMA V.Dado el rumbo , y diferencia de latitud, baila?la diftancia, y apartamiento de meridiano.Fig. 4.CAminó un Piloto por el 4.rumbo dd a.quadr. fegun fu fantasía, y halló por laoperación 70.ms. de diferencia de latitud : ypregunta,quales fean los otros términos?Tírelela RS. que reprefenta el Norte-Sur,y tomefeen ella RS.de 70. ms. y con la cuerda de do.gs. haciendo centro en R. deferibafe el arcoMQ^y tomefe en la linea de los Rumbos el 4*rum.y transficrafe defde M.aQ^y porR.y Q¿tirefe la RUY. y por S. levántele la perpendicularST. y formaráel triangulo RS f. en quetallará ST. igual á RS. de 70.111. dc apart. de,merid. y la diftancia RT. de 100. millas.PeC• " Náutica. 177Defpues halló por la obfervacion 80. m. dédifer. de latit. y porque no concuerda con lade la operación , necefsita de corregirle: y paraello podrá ufar de la Corrección , que fe haceen el 3. u en cl 5. rum. que una , y otra fehará en el modo figuiente: alarguefe lá RS. porparte dc la S. y tomefe RV. de 80. m. y por Vitirefe la VY.paralela á la ST.y dividafe laTY.por medio en Z. y haciendo centro en R. corila diftancia RZ. deferibafe el arco ZX. y zUrefe la XR. que es el un mono. 1El otro cs : Defpues de haver tirado la pa-»-ralela VY. como antes, haciendo centro en Rjcon la diftancia RT. formefe el arco TO. ydividafe por medio en P. y tirefe la RPX. yquedará el mifmo triang. RVX. que en eímodo antecedente : donde fe hallará la diftah¿cia RX.de 107. millas: el apart. de merid.VX;de 71. ms. y el ang. del rum. fe hallará paitandola cuerda MN. á la linea de las Cuerdas*donde feñalará 41. gs. y 23. m. Y defpues conla longitud efpherica hallará el lugar dc laNao, del modo , que queda dicho antes.PROBLEMA VI.Dada la diftancia, y apartamiento de meri-• diana, hallar el rumbo , y diferencia de • -Clatitud. Fig. 5.Aminó un Piloto en el 4.quadrante 90,valllas,ytuvodecliter. de merid. 75.ms. y«3*; M pre-,'

«78 Trigonometríapregunta por los demás términos, qué faltan.-Tircfe la rcCta AB. dc qualquier longitud , ypor A. levante a ella la perpendicular AC. ytomefe AC. de 7

18o Trigonometríacaufa de fer el 3. termino 100. y haverfe_ demultiplicar por el fegundo , y defpues, partiendo3 300. que es el producto del fegundo, potcl 3. termino, entre el primer termino 80. vio.ne al tociente 41. y 1. quartillo. Tomenfe los41. y 1. quartillo en la linea de Partes iguales,fenalada con la letra P. y transfierafe á la lineade las Tang. y feñalará la dc 2 2. g. y 30. min,,como queda dicho.Para hallar la diftancia , fe dirá : Como elfeno del ang. del rum. A. de 22. 30. al apart.de merid. DE. de 33. afsi el radio á la diftanciaAE. Tomefe en la linea dc los Senos'el de122. 30. y transfierafe á la linea de Partes igualesP. y feñalará 38. y quedará la regla de tresfiguiente : Como el feno de 22. 30. quecorref»ponde a 2^- al apart. de merid. 33. afsi el radio100. á 87. que fale partiendo 3300. productodel fegundo por el tercero termino , entreel primero 38. Defpues fe hallará la mediaparalela , como queda dicho en el Problema 4.del Cap. 3. de la 1. Parte , ó por la linea dclas Secantes en el modo figuiente.tf. I.'Hallar la media paralela por ¡a linea de lasSecantes.TOmefe en la linea de las Secantes el intervalo, que hay entre las dos latitudes,l dividafe por medio , y tomando ella mitaddefdeNáutica.18 rHefde la menor latitud házia la mayor , feñalarála media paralela.Hallada yá la media paralela , fe bufcarála long. efpherica, reprefentada en la lineaHY. por uno de los modos figuientes.1. Como la diferencia de latitud cn min*AD. dc 80. á la diferencia de merid. DE. de33. afsi la diferencia de latitud en Partes MeridionalesAH. de 89. a la diferencia de long..«fpherica HQ^dc 37./. I.Hallar la longitud efpberiea por la linea de Id• Longitud.t. *~r^Ambien fe puede hallar la. longitudJ[ efpherica por. la linea de las Longitudes, mediante el paralelo por donde, fenavega, ó la latitud media. Y fe hace , tomandoen la linca de las Cuerdas , que eftá juntoá la de la long. la cuerda del paralelo ,0 de lalatitud media, y transfiriéndola a la linea dcLong. defde el numero do. házia el principio,y donde alcanzare la otra punta, feñalarálos ms. correfpondientes á cada g. del paralelo, contados defde el principio de dicha linea, y partiendo las millas de diftancia nave-*gada en cl paralelo , ó los m. de diferencia demerid. entre los que fcqdó d compás ehl*Mi n.

"i 8 2 Trigonometríalinea de Long; el rocíente dará los grs, de di 5 .ferencia de Long. efpherica; y fi huviere refiduoen la partición , Ó no pudiere partirfe ladiftancia , ó diferencia de merid. entre los ms.feñalados en la linea de Long. por fer aquellosmenores que eftos , fe multiplicarán losprimeros por do. m. que tiene un gr. y fe partiráel producto entre los min. de la linea deLong. y el tociente feñalará los min. de diferenciade Long. efpherica.: Lo que fe practicarápara que mejor fe comprehenda, en losdos exemplos figuicnres..Exemplo i. Navegó un Piloto por el paralelode 40. g. 195. millas : y quiere faber ladiferencia de Long. efpherica. Tomefe con clcompás en la linea de las Cuerdas el paralelode 40. y transfierafe á la linea de long. defdedo. y feñalará 4d. m. partanfe los 195-entre4d. y vendrá al tociente 4. que fon g- de long.y quedará cn el refiduo 11. que multiplicadospor do. producen ddo. que partidos entre losmifmos 4d. viene al tociente 14. que fon min.además de los g. y todo hace 4-g. y 14-m. quereducidos a min. fon 254. m. de diferencia¡de long. efpherica.Exemplo 2. Sea efte el del Problem. prefente,en que fe hallan 33.n1. dc apart. de merid.yla media paralela es 2d.g. y 53-m. que tomadaen la linea de las Cuerdas, y transferida á la•de Long. feñala yj.m. y 2. tercios: Y porqueclNáutica. 1*5.ti num. primero 33. es menor , que efte ulfftmo 5 3. y 2. tercios, formará un quebrado íiendoel numero primero numerador , y el fegundodenominador-, y fi quiere partir cl primeroentre él fegundo , viene al tociente o.¡que en la prádica fe dice, no poderfe partir.Y por tanto fe multiplicará 33. por do. yproducirán 1980. que fe partirán entre 53.y 2. tercios : y para hacerlo con mayor facilidad, y quitar el quebrado dd partidor , fereducirá efte á tételos, y la partida dividen*da fe multiplicará por 3.y quedarán 5940. quepartir entre idi, y hecha la operación , vieneal tociente 36. y'144. ciento y fefenta y unabos , que , por fer mas dc medio , fe podrántomar 37. que fon los m. de long. -que le correfpondeni los 33. de apart. dc meridiano*tf. III.' iDada la longitud efpherica en qualquier paralelo,bailarla diftancia, o longitud plana.LA doctrina de efte $. es mverfa de la delantecedente : y por tanto pondremoslos dos mifmos exemplos , que en el fe pufiéronvadvirtiendo , que fe han de bufcar de elmifmo modo los m. que correfponden al paralelo, y defpues •multiplicar los m. dc Ion?,fípherica, por lo$ que fe hallaron corrtfpon-M 4det15'

fi* Trigonometríaidcr a cada grado del paralelo., y el producir*partido entre,do. el tociente dará las millasde diftancia, ó min. de apart. de merid. v. g.Sedán 4-gs. y i4.ms. que valen 254.105. dcdiferencia de longitud efpherica en el paralelode 40. gs. donde á cada grado le correaÍionden 46. ms. equinociales : Multiplicados,05254. por 4d. producen nd84. que partidosentre do.vicne al tociente 194. y n.quinzeabos , que por fer mas de medio, fe puedehacer entero, y ferá el tociente 195. que fonlas millas , que le correfponden de diftanciaen dicho paralelo.Sea también dada en el Problema pre-»fentc la long; efpherica de 37. m. con la mediaparalela de,2d.gs. y 53.ms. donde correfpondeá cada gr. 53.ni. y 2. tercios , que fon40. fegundos. Y haviendo multiplicado los37. por 53. y 2. tercios , producen 1985. quepartidos entre do. viene al tociente 33. (def-.preciando el quebrado , por fer menos dc medio.)que fon min. de apart. dc merid. Tam*bien multiplicando los 37. por los 53.n1. ys4o.fegundos,producen 1985.que partidos entredo.viene también al tociente 33.de diferenciade longitud plana, que es lo mifmo, queantes, defpreciando también el quebrado. ¡3. Tercero modo dc hallar la long. efphericaferá en el triangulo EDL. diciendo,:ComQ cl fejjga, de ln latitud media fá Si-Náutica.í8ffjüt es 63. y 7. valor del ángulo L. que correfpondeá 88. partes, ú radio, que correfpondeá 100. afsi 33. ms. de apart. de merid*que.es DE.á la longitud efpherica LE. dc 37*defpreciando cl quebrado.4. Quarto modo de hallar la longitud efphericaferá: diciendo: Como el radio 100.á la fecantedel ang. de la media paralela 26.,y 5 3.que es el ang. LED.y correfponde, tomadaen la linea de las Secantes , á 112. partes enja dc Partes iguales : afsi la diferenc. de merid.;DE. dc 33-ms. áLE. diferencia de longitudefpherica dc 37.min.Defpues fe hallará el lugar de la Nao , fa«biendo primero la longitud falida : Y íiendopreguntado por ella el Piloto, refpondió , quefue dc 4d.g.y 54.n1. á quien añadiendo los 37.1ms. de diferencia de longitud c.fpher. por havernavegado en cl 1. quadrante , ferán 47. gs*y 3 i.ms. Y fe refponderá : Que d lugar de laNao es , en 27.gs. y 33-111- dc latitud del Norte,)'4?.gs- y 3 i-ms. de longitud. En efte Problemanos hemos detenido, por dar los ufos.de las lincas , que componen la Efeala Plana:,los quales tendrá el Operante prefentes en losProblemas, que fe liguen , donde fe pon-idrán folamente las operaciones necelTariaspara fus refoluciones.PRO-MMBPMHBBHM

Náutica. 1*7,\U Trigonometríara , por caufa , de que el Principiante fe • EN el triang. RVX. eftá conocido el rum.cxercitc en bufcarlos, para fu mayorR. y la diferencia de latitud RV. y paraadelantamiento..conocer la diftancia,íc ¿ira: Como el fen»VKO rdelPROBLEMA II.PROBLEMA III.Dado elrumbode ji.gs.y iS.ms. en éla.qua*Dado el rumbo de 30. g.y 7. ms. en el 3. quaAdrante , y la diferencia de meridiano 37. ms.arante , y la, diftancia navegada -jS.millaSf• ¿altar la diferencia de latitud, y apartamientobailar la diferencia de latitud, ydiftancia. fig. 3-dé meridiano.Fig.2.EEN cl triang. KPQje dá conocido el ang.iN el triang. HGY. fe da conocido el dd rum. K. dc 3o.gs.y 7-ms. y el aparurumbo GHY.de 7i.gs. y i8.ms. y la dc merid. PQj.de 37.111. Y para hallar la diferenciade latitud, fedirá: Como el feno del ang.diftancia HY. de 78, millas : Y para hallar ladiferencia dc latitud , fe dirá : Como el radio,que vale 100. á la diftanciadc 78. millas : afsiel feno del compl. del rumbo , que es 18.y 42. correfponde á 32. partes , á la diferencia•de latitud HG. que ferá de 25. hecha la operaciónde multiplicar el fegundo termino por eltercero , y partir entre cl primero.Para hallar el apart. de merid. fe dirá: Comoel radio 100. á la diftancia HY. 78. afsi ddel rum. K. 30.gs. y 7. ms. que correfponde i50. al apart. de merid. PQ.de 37. afsi el fenodel compl. P. 59-gs. y 53- ms. á quien correfponden8d. á la diferencia de latitud KQj.dcd4-ms. Para hallar la diftancia , fe dirá: Comoel feno del rum. que vale 50. al apart. demerid. PQj.de 37. afsi el radio 100. á la diftanciaKP. de 74. y defpues fe bufcará d lugardc la Nao como en el Problema 1.feno del ang. -del rum. 71.gs. y 18. ni. que•correfponde áí>d.partes, alapar.de mer. GY.PROBLEMA IV.•de 74.Dado elrumbo qi-gs-y 23.ms.enel 2,quadrante,^ Luego fe bufcará la media paralela de qual-«quiera de los modos , que

TS8 Trigonometría3cl compl. X. de 4S. grs. y 37. ms. k quiencorrefponden 75. á la diferencia de latitudRV. de So. afsi cl radio 100. á la diftanciaRX. de 107.Y para d apart. de merid. fe dirá : Comoel radio 100. á la diftancia RX. de 107. afsiel feno del ang. del rum. R. de 41. gs. y 23.m. á quien correfponden 66. k VX. diferenc»de merid. de 71. Luego fe bufcará el lugar dele Nao, como queda dicho.PROBLEMA V.toada la diftancia dc9%- millas en el 4. quadrante,y el apartamiento de meridiano de 77. «i.eonocer el ángulo del rumbo , y diferenciade latitud. Fig. 5.EN ei triang. BED. fe dá conocida la dií-*tanda BE. y el apart. de merid. DE. Ypara conocer el ang. del rum. fe dirá: Comola diftancia BD. de 98.a! radio 100. afsi elapart. dc merid. DE. que es 77. al feno delWig.deirunvB. y falcn 79. partes, que tranfferidasala linca de los Senos , feñalará 52.gs.y 13. ms. por valor del ang. del rumbo. Para¿aliar la diferencia de latitud BE. fe dirá:Como el radio 100. ala diftancia BD. 9' ! * aftld feno del compl. D. que cs JJ. y 47. a quiencorrefponden dr.partes.á la difer.de latit. BE.,de do. Y haviendo blufeado cl lugar de la Nao,co-.Náutica. * 185»como queda dicho antes, quedara concluido elProblema, y el ufo de las lineas, que componenla Efeala Plana: y feguiremoscon la Efeala A»tilicial.CAPITULO V.Del ufo de las lineas que componen la EfealaArtificial. ,EN efte Capitulo pondremos folamente lo»ufos mas precifos de las lineas que cora--ponen la Efeala Artificial, para la refolucionde los triang. planos, aplicados á la Navegación: Porque aunque tiene muchos la linea dcles humeros, como fe ha conftruido por %tabla de los logarithmos, tiene los mifmosufos que ella; y como eftos quedan explicadosen la Trigonometría Plana General, quandofe trató de la tabla de los Logarithmos , pocefio no fe repiten aqui; pero lo que fuere ne-*ceflario para la refolucion de los ProblemasNáuticos , irá explicado en la refolucion dclos Problemas figuientes.PROBLEMA PRIMERO.Dada la diferencia de latitud So.m. y el apart**•miento de meridiano 3 ?. conocer el ángulo delSrumbo, y la diftancia. Fig. 1.;Alió un Piloto de la latitud Norte 26. gs.y 13. m. y de la long. dc 4d.g. y 54J11;f- tuvo de diferencia de latitud 80. m. xepiofen-

ipo TrigonometríaTentada en el triangulo ADE. en el lado AD.y de apart. de merid. DE. de 33.111. y quiere-refolver fu triang. Y para ello, dirá : Como ladiferencia de laritud AD. de 80. ala diterenciade merid. DE. de 33. afsi el radio a latang. del ang. del rum. A. que ferá de 22. g. y•jo.m. Y la práctica de efta refolucion fe fundacn el ufo dc la linea de los Números, y dela de las Tang. que fe dirá en las §§. figuientes.§. I.Del ufo de la linea de los Números.A queda dicho, y notado en el §. primerodel Capitulo 2. de la conftruccion¡de efta linea , que los números pueftos cn ellatoman diferentes vdores , fegun fe necefsita.Lo qual fupuefto , fe debe también advertir,que, quando de los numeros que fe han dctomar, es el primero mayor que el fegundo,el tercero debe fer mayor que el quarto: ytambién quando el primero fuere menor quecl fegundo, el tercero ferá también menorque el quarto: como fe practicará cn los exemplosfiguientes.1. Sean dados los numeros 3. y 8. y fepretende faber, qual fea el tercero proporcional? Tomefe con el compás el intervalo , quehayentre 3. y «. Y porque el numec primerocs menor que cl fegundo , fe transferirá cite,111-Nautiea. 19*^intervalo defde 8. házia el mayor numero, ograduación, y feñalará la otra punta del compásar. y cerca de 2. quintos , que hacen untetcio , que es el num. que fe bufca.i. Sea la proporción: Como?, á 5. afsiso. á quien? Tomefe el intervalo de 9. á 5.-y transfierefe defde 20. házia el principio"^por fer el num. primero 9. mayor, que elfegundo 5. y feñalará la otra punca del cora-,pás 11. y poco mas de 1. décimo, que le correfpondefer 1. noveno , y ferá 11. y 1,novenoel num. 4. de la proporción menor , quecl tercero 20.3. Sea el exemplo propuefto en el Probf.como 80. k 33. afsi el radio á la tangente deVang. del rum. Tomefe el intervalo defde 80.9a 33. y transfierafe á la linea dc las Tangentesdefde la de 45. házia el principio, yfeñalará 22. y 30. y juntamente d7. y 30. Yporque cl i.num. de la proporción es nía,yor ,que el 2. y el 3. cs 45. gs. deberá fer el 4,.termino menor, que 45. Y afsi determinará,que fea i2.gs. y 3o.ms. Y porque aqui eftáembebidod ufo de la linea dc las Tangentes»fe exemplificará en el paragrapho figuiente.E¿r. ir.Del ufo de la linea de las Tangentes.N efta linea fe ha de tomar cl intervalo,;que hirviere entre dos tangentes dadas, ytraní-

192 Trigonometría .transferirlo defde la tercera házia la 4. quefe bufca, al modo , que queda dicho en el parágrafoantecedente ; y fi entre ellas es algunael radio, fe tomará por el radio la dc 45.g. comofe verá en las analogías figuientes.1. Sea como la tang. dc io.g. y 1 5.min.á la de i2.g. y 30.n1. afsi la de 20. 45. á laque fe bufca , que ferá de 24.g. y 5 5.m. porque, haviendo tomado la diftancia , que haydefde la primera á la fegunda tang. y íiendoaquella menor, que efta , fe pufo la una puntadel compás en la tercera 20. y 45. y feguió la otra punta házia la mayor graduación, y feñaló en ella la de 24.g. y 5 5.01. quecs la que fe bufeaba. Y á efte modo fe han déentender todas las demás proporciones , eniJque no interviene el radio , ó la tang. de 45'.g-2. Sea la proporción del Problema: Colino80. á 33. afsi el radio á la tang. del rum.!(que fe executa , como queda dicho cn el parágrafoantecedente, poniendo el radio : quees el tercero termino , en la tang. de 45.g. yíeñalando la otra punta del compás la tang*de 22.g. y 3o.m.3. Quando interviene la tang. de 45. g.

194 Trigonometríaquefe bufeaba. Y a efte modo fe obrará cnlas demás proporciones , en que intervenga latang. de 45. g. Y bolvicndo á la refoluciondd triang. propuefto, para hallarla diftanciaAE. es neceffarío el ufo de la linca de. los.Senos, que fe explicará en cl §. figuiente. .5. III.Del ufb de la linea de los Senos.ESta linea tiene fu ufo como la de losNumetos: por lo qual fe tomará cl intervalocontenido entre los fenos del primero,y fegundo termino , y fe pondrá la,una puntadel compás en el feno del tercero termino»y la otra feñalará el 4. termino ; con la advertenciaque queda dicha en la linea de losNúmeros , que fi el termino primero es-mayorque el fegundo, efto es, fila proporción vade mayor á menor , el tercero feno lera mayor, que el 4. Y por. tanto la punta delcompás , que feñaláre cl 4. feno, fe guiaráházia la menor graduación ; pero fi la proporciónes de menor á mayor , ó afeendente, lapunta del compás que feñaláre el 4. feno, feguiará házia la mayor graduación , como mejorfe entenderá en los exemplos figuientes.1. Se dan los tres fenos de 24. 30. de 18.45. y de 32. 15. y fe bufca otro quarto 010-por-Nautica. 19$porcíonal. Tomefe el intervalo, que hay enla linea de los Senos defde el primero al fegundo, y póngale la una punta del compásen cl tercero, y guíefe la otra házia el principiode la linea, y feñalaráel feno de 24. g. y19.11). quefe bufeaba.2. Sea como el feno de 5o.g. al de d2.g.y 30.m. afsi el feno de 54-g. y 15.m. al 4-que•fe bufca. Tomefe el intervalo entre el i. y 2.termino , y puefto el un pie del compás en eltercero , y guiado el otro házia la mayor graduación, feñalará el feno de 69. grs'. y 58.n1.que fe bufca.3. Sea el propuefto en él,Problema, quedice : Como el feno del rum. 22.gs. y 30.n1.al apare, de merid. de 33. m. afsi d radio a ladiftancia. Efta proporción, y las-feméjantesen que fe hallan en el primero , y fegundo terminoNumeros , y-Senos juntos ( como también, quando fe hallan Numeros, y Tangentes) necefsita de alternarla , para que ambostérminos 1. y 2. fean fenos, o ambos números( y lo mifmo en las otras , cn que huvicretang. pues ambos han de fer tang. ó numer.o han dc fer entrambos términos primero , yfegundo números) ello es, quefe ha de tomarel tercero termino por fegundo, y el fegundopaliará a fer tercero , y quedará la proporciónalternada , como la prefente , en quefe dirá : Como el feno del ang. del rum. 2 2.g.N 2y

-196* Trigonometríay 3o.ms. al radio : afsi el apart. de merid. de23. ms. ala diftancia: y quedarán los primerostérminos Senos , y los dos últimos Números.Y porque interviene el radio cn laproporción, y es igual al feno de 90.gs. fiemprefe tomará efte feno en lugar del radio. Y.afsi, tornando el intervalo defde^ el fenode22. y 30. hafta el de 90. y transferida efta diftanciaala linea de los Numeros defde 33*házia la mayor graduación , feñalará 87. quees la diftancia, que fe bufca.Defpues fe hdlarála media paralela, quefe hará por el ufo dc la linea de Partes Meridionales, ó por qualquiera de los modos,que quedan pueftos en el Capitulo 4. Proble*ma 1. y el de las Partes Meridionales fe ex-«pucará en el 0. figuiente.6. IV.Del ufo de la linea de Partes Meridionales.ESta linea firve, para conocer las PartesMeridiondes, que correfponden á cadagrado de qualquier paralelo , y para hallarla media paralela entre dos latitudes dadas»Y para hallarla entre las que éftán dadas aicl Problema, refpcaode fer la falida dc 2d.gs.y 13.m.de la efpecie dd Norce-.y porque tuvode jüfercutia de lititu4 8o.oi«. krála Ife-2a-Nautica* 197|lcla 27.gs. y 33-ms. Entre eftas dos latitudesfe ha de facar la media paralela. En la lineade Partes Meridionales fe ha de tomarprimeramente la latitud falida , que es 2d.gs.y i3.ms. y efte intervalo fe paffaráá la lineade Partes iguales, que reprefenta los grs. dela Equinocial , y feñalará 27/g. y io.ms. quereducidos ámin. hacen id30. que fe pondráná parte. Defpues fe tomarán los grs. de latitudllegada en la linea de Parres Meridionales, que fon 27.grs. y 33.ms. y transferida.á la linea de Partes iguales , feñalará 28.gs. y41. ms. que reducidos á min. hacen 17 21. queconferidos con los 163b. antecedentes, y refiadouno de otro, viene d refiduo 89. quefon las Partes Meridionales , que corrcfpon- •den á la diferencia de latitud , fenalada enAH. tomando la femidiferencia , que Cs 45. 'y fumada con los min. de la menor latitud,que es 1d30.-l.acen id75- que reducidos a grs.hacen 27. grs. y 5 5-ms. que fe podrán tomar28. en la linea de Partes iguales ; y transferidosá la linea de Partes Meridionales defdeel principio, feñalará 2d.gs. y 5 3-ms. quees la media paralela , que febufca.De otro modo : Tomefe el intervalo cnla linca de Partes Meridionales , comprehen-)dido entre las dos latitudes de 2 6. 13.727.33. y diyidáfe por medio , y poniendo la unapunta dd compás en la menor latitud , yN3tranf-

„"i 9 8 • Trigonometríatransfiriendo la otra házia la mayor , feñalarála latitud media , que ferá 2d.gs. y 53.ms.como antes.Hallada yá la media parelela 2d.gs. y 5 j. :ms. fe bufcará la longitud efpherica, diciendo: Como el feno 2. de la media paralela 2d..gs. y 5 3mis. que es el de d3.gs. y 7.ms. al radio: afsi los 33.ms. de apart. de merid. á loscorrefpondientes de longitud efpherica : Quetomado el intervalo defde cl feno de dj.grs.y 7. ms. hafta el de 90. ytrasferido á la líneade los Numeros defde el de 33. házia arriba,feñalará 37. que añadidos á la longitudfalida 4d.gs. y 54. ms. por navegarfe en cl 1.quadrante, dá la longitud llegada 47.gs. y 31.ms. que con la laritud llegada 27. y 33. feráel lugar de la Nao. Y á efte modo fe bufcarádicho lugar en los Problemas figuientes.PROBLEMAII.toado el rumbo de ji.gs. y 18. ms. en el ¿.quadrante^la diftancia navegada 78.millas hallarla diferencia de latitud, y apartamientode meridiano. Fig. 2.SEa cl triangulo- HGY. en que fe dá conocidoel rumbo H. y la diftancia HY.V; fe quiere hallar la diferencia de latitudHG. Dígafe: Como d radio al feno del com-plc-Nautica. ' *99plem. del ang. del rum. iS.y 42. afet a diftanciade 78. á la diferencia de latitud HG.Tomefe en la linea de los Senos el intervaloentre 1. y 2. termino , y transfierafe a la lineade los Numeros defde 78. házia el pnrMcipio , y feñalará 25. que es la diferencia delaritud, que fe bufca.Para el apartam. de merid. fe dirá: Comoel radio al feno del rum. 71. y i 8 - afsl la r dtancia 78. al apart. de merid. GY. de 74. Luegofe bufcará el lugar de la Nao, como feha dicho cn d Problema 1.PROBLEMAIII.Dado el rumbo 30. gs. y 7- *»s. en el 3. quadrante,y la diferencia de meridiano 37-mshallaríadiferencia de latitud , y diftancia.Fig-3-SEa el triang. KPQ^ en que fedá conocidocl rum. K. y el apart. de merid. PQ_yfe quiere hallar KQ^ diferencia de latitud..Digafe: Como el feno del ang. del rum. 30.gs. y 7. ms. al feno del compl. 59-g s -,y $£•;ms. afsi el apart. de merid. 37. á la diferenciade latitud de d4.Para hallar la diftancia, fe dirá: Como elfeno del ang. del rum. 3°.g- y 7- ms - al . rad .!£afsi el apart. de merid. 37.a la diftancia KbVdc 74. Defpues fe bufcará el lugar de la Nao,N4c °-I

-Ii--.•foo Trigonometríacomo queda dicho, y quedará refuelto el Pro*bl tina.PROBLEMA IV.Dado elrumbo 41. gs, y 23.. ms. en el 2. quá~.drante , y la diferencia de latitud 80. ms. hallarla diftancia, y apartam. de meridiano.Fig. 4.SEa el triang. RVX. en que fe dá conod-^do cl rum. R. y la diferencia de latitudRV. y fe quiere conocer la diftancia RX. yel apart. de merid. VX. Para la diftancia fe dirá: Como el feno del compl. X. de 48. gs. y37. ms. al radio: afsi la diferencia de latitudRV. de 80. á la diftancia RX. de 107.Para el aparr. de merid. fe dirá : Como clradio d feno del ang. del rum. 41.gs.y 23.m.afsi la diftancia de 107. á la dífer. de merid.,VX. de 71. Defpues fe bufcará el lugar de laNao , como queda advertido antes , y quedaráconcluida la refolucion.PROBLEMA V.Dada la diftancia de 98. millas en el 4. quadrante, y el apartamiento de meridiano 77.ms. conocer el rumbo , y diferencia delatitud. Fig. 5.SEa el triang.BDE.y cn d la diftancia conocidaBD. y el apartam. de merid. DE. Y.pa-• Náutica. 20tpáíaconocer el rum. B. fe dirá ? Como la diftanciaBE), de 98. al apart. de merid. DE. 77.afsi el radio al fenodel ang. del rumbo B. de[ja, grs. y 13. ms.^Para la diferencia dc latitud fe dirá: Comoel radio alfeno del compl. D. que es 37*gs. y 47. ms. afsi la diftancia BD. dc 98. á ladiferencia de laritud BE. de do. Y hallado ellugar de la Nao, como en el Problema 1. quedarárefuelto el Problema.PROBLEMAVI.Dadas algunas cingladuras, conocer el rum. directo, la diftancia directa , la longitud efpherica, y lugar de la Nao.Fíg. 28-EN efte Problema (que es el mifmo , quequeda puefto en el Problema 8. de laprimera Parte) fe conftruirá por la Efeala,Plana , y fe refolverá por la Artificial, paraque el Principiante fe excrcite , y conozca laidentidad de las refoluciones hechas por laTrigonometría, y por las Efcalas : pues fiemprequeda una mifma , como también (i le hicieranpor cl Quadrante de Reducción. Y paraello fe fupone , que:Un Piloto falió de un Puerto , que tenía20. grs. de latitud Norte, y 340. gs. dc longyel dia figuienteobfervó cl Sol, y fe halló en21.

- OI Trigonometría•ai-g- y 58.n1. de latitud Norte, y augmento 1de diferencia de muid. 4d. m. y quiere faberla dilbncia navegada , y el rumbo.Tirefe la linea AY. que reprefenta el Norte-Sur, y tomefe AY. 118. m. y por Y. levantefela perpendicular YC. de 46. min. y tirefe'la reda AG y quedará formado el trianguloAYC. en quefe dan conocidos los lados AY.,V YC y para conocer el ang. del rumbo A.fe dirá : Como AY. de 118. á YC. de 4d. afsid radio ala tang. dd ang. del rum..A. de 21.g. y 18. min. Y para la diftancia dirá: Comoclfeno del ang. del rum. A. de 2i.g. y 18.m. al-radio : alsi YC. apart. de merid. de 4d.ala diftancia YC. de 127. millas.^ Defpues navegó id.5.millas por cl quad.primero , y tuvo de apart. de merid. 45.min.y quiere faber, por que rum. navegó , y la diferenciade latitud , que tuvo. Y para ello porC tirará la CE. paralela á la AY. y alargarála YC. házia D. y tomará CD. de 45. y tomandoel intervalo dc i¿5. millas, y haciendo centroen D. cortará la CE. en E. y por E. tirarála EF. paralela, e igual á laCD. y tirando laCF. quedará formado el triang. CEF. en quefe dá conocido EF. de 45. y CE. dc id5.Y pa-Ta conocer el rum. fe dirá : Como la diftanciaCF. de id5. al apart. dc merid. EF. de 45. afsiel-radio al feno del rum. C. dc i5.gs. y 5 2.m.Y para la diferencia dc latitud dirá: Como elra-Nautica. =03radio al feno del comp. F. de 74.g. y 8,minafsila diftancia CF. de id5- a la diferencia dclatitud CE. dei58.mmutos. < 3Defpues dio otro bordo, en que camino195.millas, augmentando long. y diminuyocn la latitud rod.m. y pretende faber lo demás.Y para efto tirará porF. la FD. que esparalelaá la CE. ó ala AY. y tomando el intervalode 1 od. lo transferirá defde F. haftaG.y por G. levantará la perpendicular ^GH..y con el intervalo de 195* millas, haciendocentro en F. cortará la GH. en H. y tirandola FH. quedará formado el triang. FGH. quefe ha de rofolver con cl conocimiento del ladoFG. y la hypothenufa FH. y para conocercl ang. del rum-F. fe dirá : como la diftanciaFH. de 195. á la diferencia de latitud FG. deíod. afsi el radio al feno del ang. del comp.H. de 3 2. y 51. Y por efto ferá cl del rum. F-de 57.g. y 9.m. Y para hallar cl apartamientodp merid. GH. dirá: Como el radio al fenodel ang. del rum. F. de 57«g. y 9-m- afsi ladiftancia FH. de 195. al apart. de merid. GH..de-id4.m.Luego dicho Piloto caminó por cl 5.rum.del quarto quad. 123.millas, y pretende faberla diferencia de latitud, y apart. de merid.Para lo qual levantará por H. á la GH. la perpendicularHB. y haciendo centro en H. conla cuerda dc do.grs. deferibirá el arco BK. ycon

'204 Trigonometría"ion el intervalo del 5.rum. feñalaráBK. y tirarala reda HKL. que ferá dc 123. millas, ypor L. tirará la LB. paralela á laGH. y quedaráformado el triang. HLB. en que fe tieneconocido el ang.H. del rum.y la diftancia HL.lY para conocer el apart. de merid. LB. fe dirá:Como el radio al feno dd ang. del rumb..H. de 5d. grs. y 1j.tífe afsi la diftancia HL. de.123. millas al apart. de merid. LB. de 103. Ypara la diferencia de latitud HB. fe dirá: Comoel radio al feno del comp. L. de 33. grs.y 45.m. afsi la diftancia HL. de 123. á la diferenciade latitud HE. de 69.Defpues profiguió con otra cingladurapor el tercero rum. del tercero quadrantecon diferencia de laritud 135.n1. y preguntapor la diftancia, y apart. de merid. Y para refponderie, del punto L. fe tirará la LM. paralelaala AY. y fe tomará de 135. y defpuescon la cuerda de do. g. y el centro L. fe defcribiráel arco NO. y fe tomará el tercerorum. y fe feñalará defde N. hafta O. y fe tirarála LOP. y por M. la MP. perpendicular ala LM.. y quedará formado el triang. LMP.en que fe dá el rum. L. y la diferencia de latitudLM. Y para conocer la diftancia fe dirá: .Corrió el feno del complemento P. de «,d. g.y 1 í-m. al radio: afsi la diferencia de latitudLM. dc 135.m. á la diftancia LP. de 1 íft.trii- .Has. Y para al apart. dc merid. fe dirá : ComoelNáutica. 205,ti radio al feno del rumbo L. de 33/gs. y 45.ms. afsi la diftancia LP. de 1 d2. al apartamientode meridiano PM. de 90.Finalmente dio el Piloto otra cingladura, caminando por cl Lesnordefte , en quehalló dc apartamiento de meridiano 18d.u1.y quiere faber lo demás. Y para ello fe alargarála PM. házia Q^ y fe tomará PQ^ de i8d„ms. y con la cuerda de tío.grs. y el centro P* :fe deferibirá el arco MN. y fe tomará de 22..grs. y 30.ms. ó el intervalo del fegundo rumbo, que es complemento al quadrante de elrumbo dado Lesnordefte , y fe tirará la PNR..y por Q^la QR. perpendicular á la PQ^-fl porR. la RS. paralela á la núfma : PQ¡_y por P. láPS. paralela á la QR. ó á la AY. y quedaracerrado el triangulo PSR. en que fe dá conocidoel rumbo P. de tíy.grs. y 30.111S. y ládiferencia de meridiano SR. de. i8d. igual áPQ^ Y para conocer la diftancia PR. fe diráíComo el feno del ángulo del rumbo P. dcd7. y 30. al radio: afsi el apartamiento demeridiano SR. de i8tí. á la diftancia PR. de201.millas. Y para la diferencia de latitud,fe dirá: Como el radio al feno del complementoR. de 22. grs. y 30. min. afsi la diftanciaPR. de 201. á la diferencia de latitudPS. de 77.Y porque ahora dicho Piloto quiere faberla diftancia dir-e&a, y d rumbo directa--gien-

'2od Trigonometríamente navegado, fe tirará la recta AR. deíde.el punto A. primero falido , hafta R. que es elultimo punto llegado , y alargará las rectasRS. y ÁY. hafta que concurran en T. y quedaráformado el triangulo ATR. que fe podrárefolver por la Efeala Plana, tomando losintervalos de todos tres lados , y feñalarán ladiferencia de latitud , la de meridiano , y ladiftancia : y haciendo centro en .A. con la-cuerda de do. grados, y deferipto el arcoVX. y transferido efte intervalo á la lineade las Cuerdas, feñalaria el rumbo navegado.Pero porque prometimos refolverlo porla Efeala Artificial, y no hay dado mas, quecl aneulo recto T. y fe neceísitan otros dostérminos para fu relolucion , le ocurrirá a3a Tabla , que eftá puefta en el Problema 8. deel Capitulo i. de la primera Parte , de dondefe tomó el prefente , y donde fe hallará,que la diferencia de laritud AT. vale 181.rhin. y la diferencia de meridiano TR. es de248.ms. y con eftos datos fe hallará el ángulodel rumbo directo, diciendo : Como ladiferencia de laritud 181. al apartamiento demeridiano 248. afsi cl radio ala tangente delángulo del rumbo A. que ferá de 5 ;.grs. y53.m. Y para la diftancia, fe dirá: Comoel feno del ángulo del rumbo A. de 53. grs.y 53.ms. al radio: afsi cl apartamiento deme-Nautica. 207. meridiano TR. de 248. ala diftancia directaAR. de'307. que fe pretendía,Defpues fe bufcará la media paralela porla linea de Partes Meridionales , tomandolas latitudes falida, y llegada: y porque lala falida fue 20. gs. del Norte, y la diferenciaes 181. ms. en augmento , por haverfecaminado en el 1. quadrante, que hacen 3..g. y i.m. ferá la llegada 23. g. y i.m. Tomenfe, pues, cada una en la linea de Part.Merid.y tránsfieranfe á la linea de Partes iguales,y feñalará la falida 1224. partes : y la llegada1419. y reftando una de otra, ferá el refiduo195. cuya mitad 98.agregada á la falida 1224.hacen 1322. que tomadas en la linea dc Partesiguales , y transferido fu intervalo a la dePartes Meridionales , feñalará.21. g. y \\. ms.que ferá la media paralela entre dichas latitudes.Y para hallarla long. efpherica, fe dirá:Como el feno 2. de la media paralela al radio: afsi la diferencia de merid. 248. á la diferenciade long. efpherica , que ferá de 2dd.que reducidos á g. fon 4,g. y 2d.m. que agregadosá la long. falida de 340. g. hacen 344.g. y 2d.n1. Y fe dice : que el lugar de la Naoesen 23.grs. y i.m. de latitud Norte, y en344-g- y 2d.m. de long. que es lo que fe pretendía, y quedará concluido cl Problema.Ahora legraremos con la Tabla de.las..la'ti-tu-1

ao8 Trigonometríatudes, y longitudes de los Lugares de nueftráNavegación, afsi de las Coilas de Efpaña, comode las Indias Occidentales : la qual ha remitidopara efte efecto Don Pedro ManuelCedillo , mi AntcccfTor , y Maeftro Direétorde la Real Academia de Caballeros GuardiasMarinas dc la Ciudad de Cádiz.TABLAS NUEVASDE LAS LATITUDES, Y LONGItudesele los Lugares de nueftrá Navegación, afsi de las Coilas de Efpaña, como de las IndiasOccidentales.Nombres de los Lugares defde ¡os Paffageshafta Gibraltar.Lat. Long.Gs.M. G.M.Los Pafláges. 43 2 3T 5 2 3San Sebaftian. 45 2 * *5 18Guetaria. — 43 2Ó x 4 58;i Cabo Machicaco. 43 37 '4 2»Barra de Bilbao. 43 2d 14 07Punta del Oefte de Santander.43 38Cabo de Peñas. 43 11 oí-55Ribadeo. • 4 J 3609 5JIf-(Í09)Islas de San Cyprían.B'ibero.Cabo de Ortegd. •Cabo Prior. ——Ferrol.Torre de Fierro en la entradade la Coruña. ——»—fslaCezarga, —-———Cormes. • .. • ,•' - > » •C^bo de Belén. ——-Cabo dc Turiana. —-Cabo de Finifterrx. —Corcubion.Muros. 1— - .Isla Salurc enfrente de RioRojo. . •Islas de las Donas. —-———Cabo Facelis en la entrada dej Boyona.—•«Camina de Portugal. •Viana. •—Villa de Conde. —Ciudad de Oporto.Aveiro.Cabo,ó AltodeMondego. —Peniche. •• • — ——.Isla Berlinga. •Cabo de la Roca. —• *¿zCafcais.fiaría .Ir Alcaceba de Lisboa.•Xj** O Ciu-Gs. M.43 4543 5744 0043 ao43 3443 2843 -«943 -143 i343 1243 0643 oj4 1 5¿4* 4442 jd41 ii41 5¿.4 r 4441 24.41 1140 3K40 1419 »919 303* 5238 4938 44Gs.M.09 3809 2 509 0708 44oS 4»0808o3°7070707Q70808oSoSoi08oS08707070707074112Oí3*3°3039,5S0*1 ti080%1013id

(210)Ciudad de Lisboa. -Cabo de Efpichel. —Setubal-Cabo de San Vicente. —•—Lagos. — —jVilla Nueva.Cabo de Santa Maria.• Tavira. -——-—'•—* i - x -Ayamonte.Palos.Punta dé CHipióna.Punta de San Sebaftiatf de Ca-' " dll- .-••': ———- S=,S —Cabo de Trá&lgar. •Isla Tarifa. -——Gibraltar, - • •• ——'Gs. M.,384838 2838 18¡6 5537 °°'37 oo :•Cofia Occidental de Berbería'Zeutá. - ——Tánger. —'•Cabo de Efpartel. -Larache. • •—Sale. +-• -Anafe.Mazagan. •——•-Cafa del Caballero.Cabo de Canrin. —•;Isla Mogodor. —>Santa C uz de Berbería. •Caoo Bojador. ——«—36 5 537 0437 .1037 ii36 5d3d-3S36 1136 0836 07(211) Gs.M.Islas de Canarias, y Madera.Puerto Sanco. « 33 °7Punta del Lefte de la Madera,llamada de S. Lorenzo. — 3 2 46Ciudad del Funchal en dichaIsla.32 40Punta del Oefte de dicha Isla,llamada del Pargo. .32 30Baxo , y Isla del Salvage. —- 30 00Fierro. — — -27 v%Palma. •—•——— -28 52Gomera.- 28 oSPunta de Naga en la Isla Tenerife.28 30Garachico meridiano de lalongitud. '—28 20Gran Canaria en medio. — 2% 00Fuertevcntura en la cabezadel Oefte. • a 8 odFuerteventura en : la cabezadel Lcfte. — 2 8 20Lanzarotc. -^ 3 5Alegranza.45Islas Terceras.Cucrbo.40 00Ffbres en la Punta del Sur. -*•- 39 22F.iyal en el Puefto. ; 38 39iota. • 39 15Punta del Oefte de San Jorge. 39 00V.L.-íhdc San Jorge. 38 #O: Pon-Gs. M.000 38359 )3359 3 5358 55000 1 2358 lñ3.58 it359 15000 24000 00001 od02 2dor 2603, 3$03 44?45 3&345 38347 44149 oá348 15349 02

(*m)Punta del Oeftc dc la Isla delPico.Punta del Leftc de la Isla delPico. ————r i.,Puerto , y Ciudad de Angraen la Isla Tercera.Villa de la Playa en la IslaTercera. • •Punta dc ei Oefte de San M¡-gud, llamada Ferreria. —>Punta del Leftc de S. Miguel.Santa María. .Baxo de.las Hormigas, ——•Vigía. •'•• >. ••Vigía. -—-* ~~,V¡g¡a. p. w^mmyígia. !— r . — .Islas de Barlovento , ó deCaribes.Punta de la Galera en la Islade la Trinidad. —Punta de los Blanquizdes cndicha Isla.Punta de el Gallo en dichaIsla. -—-Isla del Tabaco. -—Isla de la Granada.Granadillos. :Bequia.San Vicente.Gs.M.JS 3938 2539 0039 0738 1538 0037 l 537 - 6Sanio3309 5*09 47II. id12 IO12 3413 0013 10Gs. M v347 5o348 5§3*9 4*350 Cfi35* 04352 18352 1*352 2*4315 i?,314 St313 59315 3?314 183H 43314 5

(2,i 4 ) ' . Gs.M.Punta de la Aguada en.dichaIsla. 18 35Punta dc Mala Pafqua al Surde dicha Lia. —• -. 18 05Detechco. -— —18 30La Mona, -j—¡ — 18 13lila Efpañola al Norte,Cabo de Engaño. —— • 18 42Cabo Sainuiiá. • 19 07Cabo Cibrqn. -Cabo Frunces. —Puerto de Plata.La Ifabela.iPünta ¿c la entrada de la Enfeíiadadel Manzanillo. •—• 19Baiaja. --Isla Tortuga. —Puerto Pe. •Cubo dc ; San Nicolás. —Isla Guanaba.Puerto dc Pitlguao. —¡—Isla Caimito.19 2919 4919 4219 5153XS 4 o20 0519- 5019 53181818Cabo de Doña Maria. iSlila Efpañola por la vanda del Sur.Cabo de San Raphael. 18Isla Saona.• 18Isla Santa Cathalina. 1Río Macuris.Punta de Cauccdo.5-33?42370018 0818 1218 08Ciud.de S.Domingo,C.ipitaI. 1S 15Pun-Gs. M.39 34lio 49309 24309-04308 31307 473«>7 2 4306 52JOd 203P5 58305. 18305 od304 06304 00303 18303 _?s?oj ¡6302 52302 10308 2%308 08307 34307 02jod 4130d 23(215)Punta dc NifaoPunta de Salinas.Enlcnada de Ocoa.Cabo Mongon.Altovelo.Isla Baca.Cayo de San Luis.Punta de Abaco.Cabo de Tiburón. -Isla Nabafa.Baxo de las Hormigas.Las Ranas. • *Punta de Morante én\ la Islajamaica. •• -tí? °5Puerto Real cn dicha Isla. — i 8 00Guitiguite en dicha-isla. — J 7 4 o 1Punta de Peredo en dicha Isla. 1752 8»* 45;Punta del Negrillo en dichaIs!a. , -1827 >9*Q• ' 20 15 3°*. 37Puerto dc Baracoa. —• 20 28 30* 02Punta del Guarico. —20 50 302 08Baia de Ñipe21 Id 301 32Puerto del Padre.21 38 300 2t»Punta de Martinillos. 21 57 299 5 2Cayo Romano. ' 22 12 299 13Cayo Confites22 2d 299 020 4El«I

hté)El Paredón gtande.Baxo de Nicolao. -Cruz del Padre.Punta de Hicacbs.. .Punta de Guanos á la entradaGs. M.•"• 2-2"*• 23- 2 32 3del Puerto de Matanzas. 23Puerro de la Habana.Mariél.a 3= 3Baía Honda.Rio de Puercos.2 322Vigía a! Norte. -Cofia del Sur de drehS Made Cuba.Puerto de Güantanamo. Ut,Punta de Berracos. —lsPuerto de 1 Santiago de CubaCapital. — ¡ -Cabo de Cruz. • , -.,.Manzanillo.La medianía del Cayo dc 12.leguas.Puerto de la Trinidad.fiaia dc Jagua.2 320i9ip09*7*52210°500552 50555¿ti OO20 0020 \621222 2tiBaxo de los Jardines.Isla de Pinos al Leftc. 21Dicha al Oefte.Cabo Corrientes.. Cabo de San Antonio.Baxo de Sancho Pardo.La020200182JIi 252 1 402 2 OO22 IJGs.M.298 2629d 2729d 04! P5 33294 482 '9l 47293 15292 38292 12292 113OI 28301 17.300 J3298 18299 oj29d 28295 30294 48294 33293 50293 03291 57291 17291 00(»I7) „Gs.M.Lá medianía dc los Baxos dcSanta Ifabd. —•Caimanes Chicos. ——Caimán Grande. —-*-—Islas, y Baxos al Norte de laIsla EfpaHola.Baxo de Plata. -—• *Abroxos cn fu medianía; *—Isla de Diego LuengoCaicos al Notte. —•*-Dichos al Sur.Mariguana. • -• —Inagua Chica.•Inagua Grande al Lcfte.-——Dicha al Oeftc. ——El Jumento por fu medianía.Islas, y Baxos al Norte de laIsla de Cuba.Mira por vos. • • -Saman-a. —¡— " "22 5019 4019 2010 38ÍI 1821 301 21 5721 092 2 36íl 44II 3521 20tí 12Triangulo. ' ' -— • • — 24 47Isla Larga al Norte. - • •• 23 13Dicha al Sur.22 20Yuma. —i—-—•Siguatei al Norte.Dicho al Sur. —San Salvador al Norte.Dicho al Sur.Providencia,,Isla2t OO2 3 4 224 V-15 0024 102 5 4424 502J 00Gs. M.291 3829d 07295 003od 40306 10305 4°305 t>3305 03304 07303 4?303 49303 I 2303 l8302 38302 51,302 32302 18302 13301 40300 30300 19298 43299 542975*í

(218)Isla Ñeque al Norte. -Dicha al "Sur.IslaBahama al Lefte.Dicha al Oefte.El Tumbao.Lo mas ál Norte del Placerde Baháma.•«•*.Roca de líác. •Islas de Lobos. - 1 . •>• '•Mimbres.lsla de el Efpíritu Santo dNorte. — r-Dicha- al Sur.Roques. -Cayo Je Sal.Anguillas.Cayo de Guinchos.Cayo de Lobos. —•-Lia de San Andrés. •Mucaras. 1—Isla Verde. —Colla de Tierra.F.irrr.e defde elRio del Orinoco , hafta «lCabo de Cbichibacoa.Bocas del Rio del Orinocolamias al Lefte. - —La mas al Oefte. —-———Punta de Paria.Cabo de Trefpuntas. —Punta de Araya.Gs.M.27 OOM 552d 1827 .032 7 3428 3025 5025 312 y 0025 .od• 2 3 4924 .00• 23 4523 22——• 2 2 5d~ 22 2d22 Od22 2722 23Cu-0909IOIOIO09IO154735(219) GsGs. M.10297 46 Cumaná.:lo29S 18 Cumanagote.loCabo de Codera. —-2 97 22lo196 24La Guaira. ——lo296Puerto Cabello. ——30Coro.11Cabo San Román.12297 28Punta dc la Macolla. .11296 2029d 18Barra de Maracaybo. —-— loCabo de Chichibacoa. 1229d 22Islas por futra de dicbaCofta.297 10Bocas de los Dragos. 1 o297 •3 2IxTeftigos.'29d 02: ll29)La-Sola. —r-,58•29dLos Frailes. — ' ~" ll55Punta de el Leftc dc la Isla298 34Margarita. —r- • ~ II299 093OOPunta del'Oefte de dicha Isla. i*39299 48 Los Hermanos, — '— 11301 id Isla Blanca. — • ' 11Tortuga. ———•1111Orchila. •Vigia. • •——- ^ 13Roques. •11315 i» •Isla de Aves. — 11Buen Ayre. • ' : • 12314 00Curazao.. —- •12313 58-Orna.122I3'¡3*2 id Los Monees..12Coft AM.120048402d27OO5¿4I13171816.id,8164750004706515*02082420Gs.M.312 18311 303-1 o. 333 '9 42308 383

L(220) Gs.M.Cofín de Tierra-Firme defdedicho Cabo de Cbichibacoa haftael de Gracias d Dios, enla Cofia de Honduras.Cabo de la VelaRio de la Hacha. • -Cabo de la Abuja. -Puerto de Santa Marta.Rio grande dc la Magdalena.Punta de Sambar.¡Punta de CanoaCiudad de CartagenaBoca Chica.Isla del Rofario.Isla de San Bernardo.Rio del SínúIsla Fuerte.Punta deCaribanaen la entradadel Golfo del Andariel. oS 08 23 33Cabo de Tiburón en la entradadc dicho Golfo.Puerto dc la Calidonia. —Punta de San Blas.:Nombre dc Dios. •—Puerto Velo.Islas de Naranjos. —Rio de Chagres. ——Boca del Toro.Isla del Efcudo dc Veraguas.Baiaia 0711 3511 2411 1811 0410 5510 4010 2710 2010 1009 5009 2009 x808 3308 3509 3 509 3809 5009 1809 Od09 0809 08Gs. M.34 3Í304 11302 27302 44301 5d301 ro300 47300 40300 36300 2130O 21300 ¡9*99 5J,299 07298 53298 3*297 »8296 4429d S.O29d 03295 38294 IO294 38(221) Gs.M.Baía del Almirante, ••.••. -- 09 IJRio dc San Juan de Nicara-.jjua.11 IJIsla de Mangles, 1 • 12 09Islas de Perlas al Norte.— 13 00RiodeMofquitos. —• • 14 48Cabo de Gracias á Dios. 1 j 12Islas Viciofas al Norte dc di*-cho Cabo. *5 45Islas , y Baxos al Norte deTierra-Firme, y travesíade Cartagena al Cabo deSan Antonio.,Isla de San Andrés. ———Jsla de Santa Cathalina, -Roncador. —————-«Quita fueños. —La Serrana.Comboy.Baxo Nuevo.Placpr,La Serranilla, •Vivora al Leftc. —-—.——.Dicha d Oeftc.Dicha por fu medianía á elSur. iDicha por fu medianía a el12 47Í3 ?í*3 4°14 2814 Ji*5 35id 00?5 t616 16«7 °J17 aoid 42Cofia 17 16Gs. M.% 93 4S,292 41:293 28293 24294 od294 oj294 1$29

(222) Gs.M.Cofia dé Tierra Firme defde eldicho Cabo de Gracias a Dioshafta el de Catoche.Cartago. -5Cabo Camarón. •— :,I 5'Isla Tortuga.Cabo de Honduras.Truxillo.Cayos de Matágeros.Baxo Salmedina. •Triunfo de la Cruz.Puerto de Sal. —Puerto Caballo.Cubo de Tres Puntas.Puerto dc Santo Thomás deCanilla:*5id*515 '1515151515i5Boca del Golfo de Honduras. 15La mediania de las Islas delas Cocinas.idRío de Balis. •—— *7Isla Larga. •r ——•—— idBaia de la Afeenfion. — 19Cabo de Catoche. — 21Lias, y Baxos por fuera dedicha Cofia.Santanilla. '—-——• """* *7Mvíleriofa. • *7Place?. • — * 8Isla Guanaja en fu mediania. idIsla dc Ruatar» en fu medianía. 16Isla18455302304 23836504757354620205o103 20-)58575 3r-Gs.M.T 572813429107289 55;289 23288 22287 40287 0728d 43286 02285 12285 05284 58293 22292 5j292. 3.a289 42;28S 47(223) Gs.M. Gs. M.•IslaUtila en fu medianía.— id 04 288 OJ-Baxo de Chinchorro al Norte. 19 12 288 53Dicho al Sor. • • 1832 288 0$Isla Cofuniud al Norte. — 20 44 .289 13'Dicha al Sur. •••— 10 02: 28S fSIsla dcMugeres.21 idIsla de Contoi. —•— 21 33Cofia dcTiérra Firme defde el dichoC:.bo de Catoche hafta la Enfenadádé Garios,que comprebendetodo el Seno Mexicano.Bocas de Conil. — 1 21 29Rio iie Lagartos. —• *& idSeilan.— -> ¡ 21 12Punta dc Piedra. •— 21 00Cabo de la Dcfconocida. —• 20 42San Fraiicifco de Campeche. 19 45Morro de los Diablos. < 19 40Champeton. 19 05Puerto Efcondidp. r— 18.27Boca de Tris en la Laguna deTermines. -~Rio de Tabafco. ——Rio de Güazaqualcos.Sierras de^San Martin.Rio de Alvarado.Punta de Antón Lizardo. —Vera-Cruz nueva. ——Bernal. — • •—Punta Delgada. —Tur-1818181818181919*920180020r-551040542.!y O»189 08288 25287 602%6 IO284 %%284 43284 25284 17284 22283 5823 5 2,',8a 43281 11280 id2.79 -72.79 12278 47278 I7.278 23

I r(224)Turpa.'Cabo Roxo.* •Rio de Tampico. • ——Rio Brabo , ó del Norte. —Boca del Lago de -S.Bernardo.Cabo del Norte.Cabo Baxo.Boca del Rio de la Palizada.Cabo del Lodo, • ——Isla de Mazacra, ---—Panzacola,Baíade San Joíeph.Cabo de San Blas. •Rio de Apalache.Baia del Efpiritu Santo.Entenada de Carlos.-—•———•Gs.M.2 5 oy21 5522. 3.725 5518 2419 3025 5829 1329 09jo 0530 1429 4529 3030 IJ2 * 3326 22Gs. M«277 1027d 4d2 7 d 18:2 76 34278 27282 I 7283 57284 48I285 0228d 02287 15289 09289 12290 5«*293 03?93 P7¡Islas, y Baxos del Seno Mexicano.El Alacrán al Lefte.Dicho al Oefte. •Baxo de Sifal. • ———Baxo del Negrillo al Norte.Dicho al Sur. -Vigia. '••• 'Vigía.Vigia. -••• ••Vcrmcja.Isla de Arenas.Baxo Nuevo.Tri-22 4022 JO21 2023 432 32 32 5 5524 102 4 1022 4822 001 40*8d 58?85 3$285 02284 20284 38284 22284 15284 45283 22283 08282 43

Rio("5)Triangulo,Arcas.Baxo del Obifpo.Isla de Lobos.Las ToiEuguilIas.Gs.M.2 1 OO—» 20 00— 2o 13~2 5 55— 25 00Cofia de la Florida ; y Cayos dela Cabeza de los Martyres.Gs. Ms.:283 03283 03282 522 7 6 57,292 *$EhCayo Marques. > .-Cayo Largo Cabeza de los Martyres..Cayo Vizcaínos. —•——. ,Rio de Aiz.Cabo Caiíaberál.San Auguftin. ~Rio de San Juan. •San Jorge. —- • •Isla Bermuda. ——.._24 40 I 25.3 282 5 «2 52728293*3 2320036383054*30320294 53S295 ir!294 52-295 2$-.294 43,294 3&295 023*2 54.T:SIGÜENSE LAS TABLASde Partes Meridionales, 6 deLatitudes crecidas..O* I» lH

226 Parta Meridionales,L. | o| i | * | 3 | 4 I 5 I * | 7 | 8 | y ( ío I no60:120| 18o|24o| too'3 60J420I481o1 ir 121 181 z 41130J 361 42I 48*2 61 I 22 r8* 242 J02 362 422 4833 63 " 3 .85 24? 3 03 3*? 423 4841*4 18448 í48 *f 42|6or**4543544545604 66560 f6066074 '•4*44 304 364 424 54*_5 1*511/ 12f ll f 42 5 547 608! < •66 126 186 246 30a 5 66 4; ¿ 487 54« 609 6707 7 «-7127 187 147 307 5*7 42 7 48S 545 610 671S 8 68 12 r88 24S 308 368 48? 5 50 í n 67%? 6? 129 r8? 249 309 36? 4*8 4? O 55i 61* *73ro 10 70 130 190 2J0 310 sJO 4? 1Íl2£ljÍZ 4430r i ri 7i '3* I?I S1 3 11 37- 431 45* 553 614 *7ÍI 2 1 2 7* 15.2 *f* 31» 372 43» 45 3 554 6lf 676-53 7?33 193 *5J 3H 373 43 3 454 555 * l * 6 77'4 >4 74 M4 1*4 *54 3M 371 4341 455 55* 617 678*í 7_í 195 *55 U4 435 49* 618 675'21 121 IVió ir>7* •3* lí>6 *f6 3i8 2fS 318 37S 43 455560 62 1 68*15 19 79 '39 19S> *$•? 3 75 440 roí 5*2 6*3 420 20 80 t40 200 160 320 3 So 441 50* 6*4 68 fíí!3*~2 I 2 I 871-41 201 Z61 ?*- 442 5 0? 6*J 68*3825*422 22 142 202 262443 504 626 6873 225*5*3 *1 '43 203 263 ?83*3 3444 505 566 6*7 68824 ¡Mr 144 2O4 2 ó 4 384 441" 506'fe»45*7 6*8 68?*r *'y Mf 20' Í£Í 3»f446 507 {68 629 690:6 26 146 206" 266 326 386 447 508 56? 63O 69117 --7 147 207 *6 7 3--7 3 87 448 ÍO? 5 70 6,1 69128 28 148 208 268 328 388 44? 510 Í7i 63* 693*5 29.89 14? 209 2S P'32?!38?,450 511 57*633i6?430 30,50ii50i2io 1 »70i3 jol3?o!45il5 1* 57 3 *34|*¡>5l66666166%669¿ Latitudes crecidas.*27¿•I o I 'I.- I 3 I 4 I 5 I * IO| 11> -o|3Q! 5Q|'5Q,--iO *7Oi3 30,i9OÍ45i 5 1 ='T73'«?4I«íj-S5*5334i_5?*3 738554041424344454647+ü495053545J?i?2333435i?373 85544'4"-45444546,106474>849>o91(15191,15*5? 15?-»4-54¿5 f_5j96 I f 6575895100107to-810?1 to1•577 *77158 *l8 '-781591605 5 11 17354 114x 745_f211 271 331 35,!212 272 33* 35*214274üi .21*I6 17621?22027?280*7I33333433513935?3543_5545*45 34*445545 6.336 ??6 4573 37 3 97 45338 358 4553?5 4*0101 1*1 2*1 3 41 40 I 462515102 162 22* 282 342J402 4*35*4.O! 163 ••••5 283 343 40? 4*45*f,04 164 224 284 344 4044*5 ,-26lOf I6f 125 28 5 345 405 466 í-7t66 226 286167 227 28716Í 228 2I 69 22? *S?I70 2;o 2?0¡5 • 5i 111 171 2?1|f* 52 112 172 1?2175MI••34-•3534*4Ó6 46/ 5*8 589 650 711347 407 468. f*? fío *5i 71234* 408 469 f?0 5? 1 6f* 71?345 409 470 5? 1 19 *5 3|7i.4?fO 410 47 * 53? 593 *54l7_i_55* 5* c 16 '7* z-ú 1?* ?{6 4'*.477 538|S9?jáSc. 7*i57 n •17 177 ..*37'*97 , 3 57}4í7 478 5 39 600I66I 7** ,78 r« n3 r78:*3 8|*?8j258(418 479^5'.

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*5* Partes Meridionales,L- I 49 I 50 I 51 1 5* 1 5 3 I 54 I ,1 I 5* I 575478|3 57*l3**9l?7*8|3^7o|3 974l408i|4i?00 Latitudes crecidas. 237M 49 | 50 | 51 I 5* | 5? | 54 1 55 I 5* I 5730i34*9l35*3l3*i, 913717 38i7l3?*o,40*5l4'?5|4*443i 34?i 35*5 3 6*1 3719 3819 3522 40*7 4M5 42 4Í3* 3433 35*7 3**3 3711 3821 39*4 40*9 4137 4*483 5 3434 3 5*8 3**4 37** 3822 39*5 4051 4'39 4*5034 343 5 3 5*9 5**5 37*3 38*3 3926 40?* 4140 42 >' 13_5 343* 3530 3626 37*4 38*5 .35*8 4034 414* 4*533*37383540414*4344454647484550515*53541134373439344034413443344534473449345134533455345 7345934*i34*334*534*734*93471347*5« 347357 347458 347*S9 3 477Ó0I34783531353335343535353735393 5413 5433 5453 5473 5493551355335553557355935*135*33 5*535**3 5*735*8357035713 57*3 6i' 7 "3**93*303*3i3*333*353*3736393*4'3*433*455*473*4?3*513*5 35*5 53*573*59366136633**43**53**7?66S3**937*53 7*737*837*93 7>i3733373537373739374i37435 74Í5 7475 74?575'37J-35755¡757375937*'3.7*537*43 7**3 7*757*8?8*6382838*9385 1?8?23834383*383838403 84*3844384*38483850385*3854385*5858? 860386,39293931393*39333P353?37353?3541354335453947394539fi395 33?5539573959396139*3405 540 5740 3 84039404140434045404740494051405 3405 540574059406140*340*54067406940714.07 3386, >?407 53867Í3971I40774'444146414741484150415*4'544156415841*04'**4'*44 i 6641*841704'7*4'74417*-H7-84180418*418441863 8 6913 97 3)40 794188I1I41904*5{4*574*5?4* 604***4**44266426842704*7*4*744*7*417842804*82+'-844*S642884*904*9*4*944-9*4*?S4*004202

- , ' • . - - •r 2 3 8 Partes Meridionales,L.\ 58 | 5? I .60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 660I430214417 45 3 74**0.4787l4S» 9i fO'5 5l 519915 3431 4304I4415 4539 -*— 4662 4789 4?*i 5058 5'??lf34** 4306 44*1 4541 46645060 f*°* 534?3 4308 44*3 4543 46665063 5*05 55 5*4 4310 44*5 4545 46695066 5208 5 5 555 44*7 4547 46715068 5*101111— • — —Mvatavty*—~ —~5070 — 521* ——. 5 3*o5072 53621 —678?10111 2131443*711433916 43 3» 4449'7 43 3 3 4451181?20212**?*4*5*6*7*84314431543174? 1?4?*l43*343*543*643 3 54137Hit43414343434543474349• —435143 5343 5 5*9l43 5*3»l4?5844*944? 1443 3443 5443 74439444144434445444-744f3445 54457445?446i44*344*544*744*9_^_—447144734474447*4549455145* 3455545 57455945*145*^345*545*74570457*4574457*4578458o458245844*734*754*774*7?4Í814*8?4*854*8746894*9i46944*964*984700470347°54707470?4586J4U'*l}'h f 12i45- 71545?* T?»?45J>4 471?45 ? > 472045 9 7 47**479i4794479747?9— • •••480148034805480748094811481348154817481948**482448*6482848314S3348 3 54837483?48414845——- -48454847484.9485149*549**49*54 2 5 _14533493 549 3 7 507449 35 -507*4941 5_07_84544494*49484? 504?5*4P5549 57495949*'49*4496649*84970497?497 55081508 j508550885o?o50? 3505 5505750??51025*14¡z 165*185220522352265:**852;i5*5?5*355*575*405*4*5*455104152475106 5*495108 5*5*5iii fiSf51141fiifíí.ii-84977457?498 Iví 1*04983|e122498 f ir- 6 -45*58• '5 5*45 5**5 3*85?7i-5 3 7453755 37?n a*5384538*538?53?ilili539*5 398540i54045407—— -—.5260 54105262 541*5264SZ66526854 r 454165418o Latitudes crecidas. *3?L. I 58 I 5> I 60, I *i I ** 1 6 J I ¿ 4 I *5_ 663 0U?5 8|447*|4597|47**|485'Í4985 5,1*415**8,54185' 4360 447 4599 47*4 4854 49&í¡$: 1*7 5*71 54*15* 4362 448o 4601 47** 485* 49? o 51*5- 5*73 54*333 43*4 448* 4604 47*9 4859 455 3 513* 5*7* 54**34 43** 44S4 4606 .473* 48*2 455* 5M5 5*79 54*95_í 4,68 448* 460 4734 48*4 45? ÍM7 5*82 54? *43 70J¿ 4488 4610 473* 4866 50OO 5135 5*84 543 537437* 44? o 4*12 473 8 48* 5003 514* 5*87 54?838 43 74 449* 4*14 4740 4870 50O; 5145 5*50j 544159 43 7 5 4494 4616 ,474* 487* )007 5'47 >*>* 54434044964/3774*rfc 4744 4874 5OO9 5_i4? 5_294 54454' 457? 44? 8 4620 474* 487* yon 5'5i 5*9* 54474* 438i 4500 4622 474 487S 50I3 5*55 5*58 '44943 43 83 450* 475«> 4880 50I; 5155 5 50O f45i44 4385 4504 46;, 47) ••'- 488* 50I7 5i5. ;i04506 46284_f +1*247 54 4-18/ 5O2O 5J-*0 5J06 54574* 438? #08 46)0 47 5"' 4887 502* Ji** nos 54*047 43?i 4510 4*3* 4758 4885 5024 5i«4 5310 54**48 4353 451* 4*55 47*' 485* 50*7 5i«7 531? 54*549 4355 45*4 4*3 7 47*4 48355030 5170 531* 5 «8ÍO 4-3 97 45_l* 415947** 48 ?7 Í211í!7?ílíl 54714518i ¡ 4355 4*4t 47*8 99 5035 517* i?** 54745* 440145* 4*43Oí4775037 5178 5315 547753 440;45** 4*45 477* 49° 5 505? 5180 53*7 547954 440545*4 4*47 4774 49° 5 W ,18* 5 3*5 548irj 4407 45** 4*45 477* 490_7. ,J ;>t_ "iil 5484ílll5*4.. 4*51 4778 4?'-5 '5 8 * 533? 548*57 ¡,-8í.*,f3 478o 4 ¡715*88 5335 5488478* folyi?i 53?8r«4);-545»5? 4415K,|4 7 844?í (5 l- 0 '' 2 l' 1^' 5340|549360|44I7¡45- U787I45'?') \¡ s ? 6 5343¡549*

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