- \ v - Real Academia de Ciencias Exactas, FÃÂsicas y Naturales
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v TRATADODE TRIGONOMETRÍAPLANA GENERAL,CON LA CONSTRUCCIÓN,y ufo <strong>de</strong> las Tablas <strong>de</strong> los Logarith-'mos, y <strong>de</strong>l Canon Trigonométrico<strong>de</strong> Senos, Tangentes, y Secanteslogarithmicas.DEDICADOA LOS SEÍIORES CAVALLEROSMayordomo, y Diputados <strong>de</strong> la Univeríidad<strong>de</strong> Marcantes , y <strong>de</strong>l <strong>Real</strong>Colegio Seminario <strong>de</strong> Señor SanTelmo <strong>de</strong> Sevilla.DISPUESTO l.POR DON JUAN SÁNCHEZ RECIENTE,Pnsbytero, Maeflro <strong>de</strong> MalhtmalU-is tndicho <strong>Real</strong> Colegio.CON LICENCIA : En Mndrid, en la Oficina<strong>de</strong> Manuel Martin, Calle <strong>de</strong> la Cruz.Año <strong>de</strong> 1739. i»* - ""O _ Om
V¿LOS MVT ILV'STKBSSeñores Don Nicolás Solano <strong>de</strong> León, DonGabriel Cordoves Pintado, y Don Gregorio<strong>de</strong> los Ríos, Caballero <strong>de</strong>l Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>Cal atraca, ¿Mayordomo, y Diputados <strong>de</strong>la IJnherfidad <strong>de</strong> Mareantes, y <strong>Real</strong> Co*- legw Seminario <strong>de</strong> Señor San Telmoextramuros <strong>de</strong> la Ciudad<strong>de</strong> Sevilla.SI Thalés Milefio, <strong>de</strong> quien refiereLaercio, citado por Beyerlink,?o/no 5. fol. 3 o 3. traxo a la Grecia elprimero la Geometría, que practicabanlos Egypcios en las dimeníiones<strong>de</strong> los campos, que bañaba el Nilo,para la diftribucion <strong>de</strong> las tierras, quepertenecían a cada uno <strong>de</strong> ellos, tantofe colmó <strong>de</strong> alegría por la invención<strong>de</strong> inferibir el Triangulo en elCirculo,que en acción <strong>de</strong> gracias ofrefició
•.I •ció a las Müfas por vi£tima un Buey,que fuera acción digna <strong>de</strong> alabanza,¿el vanó culto no la <strong>de</strong>fdorara. Misfe&o, reconocido, a .los favores <strong>de</strong>V.S. no con cegueda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> fuperfticiofo;si con cxceílbs<strong>de</strong> fino , y obfequente,ofrece a las Aras <strong>de</strong> la Benevolenciamas grata el fruto <strong>de</strong> lustareas, y<strong>de</strong>fvelos, queparala educación<strong>de</strong> la Juventud, que en efte <strong>Real</strong>Seminario fe cria , ha juzgado poiconvaiiente. No es la invención <strong>de</strong>el triangulo inferipto en el circulo, laque motiva efte, tal qual obfequio; sila correfpn<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong>bida a lo fino<strong>de</strong>mi rendimiento, a V. S. <strong>de</strong>bido, queno me <strong>de</strong>xa la menor libertad; antessi por todos modos me obliga a tomarpor Patrono a V. S. como lo dioa enter<strong>de</strong>r Boecio en la <strong>de</strong>dicación <strong>de</strong>fus Comentarios (ante Procemium inTop.Top. Ciccr.) diciendo: 0¡üod enimmiams ex animo dütgentibus jucundms inK-.nm poteft, c¡uam infórmate Era tolo elafefto, quien dirigía fu Don, y <strong>de</strong>poíitaren fu Amigo, y bien Hechor algunaprenda , en que fe vincularte lo.confiante <strong>de</strong> fu obfcquio, y afanes<strong>de</strong>fueftudio, pareciendole, que enfolo efto confeguia el mejor logro <strong>de</strong>fu obra: pues, <strong>de</strong>fnuda <strong>de</strong> otros particularesfines, folo pretendía ei<strong>de</strong>íempeno<strong>de</strong> fu carino : Vt difaphnarumliberahum fumptum penm nojlrxapud tefemper pignus amichi* remaneret.{Vbifupr'a) Porque, como bien advertía, todas las cofas fenecen , o porleyes<strong>de</strong>locaduco,óporloinconltante<strong>de</strong> la Fortuna , quando íolo las• letfasfe in<strong>de</strong>mnizan, contagiándotealo perpetuo : Como coivadmiraaonÍ5dc -
'APROBACIÓN DEL M. R. P. PRESEN?.Fr. Pedro Vázquez, Tinoco, Colegial perpetuoen el Mayor <strong>de</strong> Santo Tbomas <strong>de</strong> Sevilla, <strong>de</strong>l Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> Predicadores, Doblar enTbcologta <strong>de</strong>l Clauftra <strong>de</strong> Graduados <strong>de</strong> fu! Mayor Colegio, y Catbedr ático, que fue, <strong>de</strong>fu <strong>Real</strong>, y Militar <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>de</strong> Matbemaücaspor el Rey nuejlro Señor.POR comifsion <strong>de</strong>l Señor Doftor Don GcroiiymoBarreda y Yebra, Canónigo <strong>de</strong>la Santa Metropolitana Igleiia <strong>de</strong> Compórtela, Inquifidor en el Santo Tribunal <strong>de</strong> Sevilla,y fu Partido, y Juez <strong>de</strong> Imprentas <strong>de</strong> efta Ciudad, y fu Reynado , fe me remitió a la ceniuraun breve Compendio <strong>de</strong> TrigonometríaPlana, fu Autor Don Juan Sánchez Reciente,Prcsbytero , y Cathedratico <strong>de</strong> Mathematicas<strong>de</strong>l <strong>Real</strong> Seminario <strong>de</strong> San Tclmo, que hay enefta Ciudad: y en eñe punto, contra el Autor,y en contra mía, fe ofrece elle reparo , <strong>de</strong>que , por Sacerdotes, no es nueílro oficio matar:y or<strong>de</strong>naildofc ellas Faculta<strong>de</strong>s a eflb, parece, que ni el Autor <strong>de</strong>bia tomar tal oficio,ni yo haver emprendido tales <strong>Ciencias</strong> , paraahora <strong>de</strong> eñe dar cenfura. A elle argumento<strong>de</strong> muchos repetido , para ocultar el lunar <strong>de</strong>no haver ellos emprendido ellas Faculta<strong>de</strong>s,Telpondo:Que el oficio <strong>de</strong>l Sacerdote, es, enfeñaralas almas, que caminen al Cielo: LabiaenimtnimSacerdotis eu/todientfcienthm, &Jegemrequirent ex ore ejus: quia Ángelus DomintExercituum efl. (Malaebias z. v.-j.) Etta Cien»cia faben todos, que es la Sagrada Theologia,frgun que incluye todas fus efpecies: y eltaTheología, que en el fentir <strong>de</strong> todos , es participación<strong>de</strong> la Sabiduría <strong>de</strong> Dios, como cnfeñami Angélico Maeftro x. p- q- »• »«• 7- lcfunda fobre las fíete columnas <strong>de</strong> las fíete ArtesLiberales : Sapientia adificavttfm domum,exáditcolumnasfeptem. (Prov.9. v.i.)Y para mas fignificarefto, dicen diverfos ComentadoresSagrados , que el perpendículo,que fe le dio a Zorobabél, Caudillo <strong>de</strong>l Pueblo<strong>de</strong> Dios , para que gobernalle la imbrica<strong>de</strong>l fegundo Templo, que tenia fíete ojos;Quia ecce lapis, quetn <strong>de</strong>dit eoram.pf^M trhpi<strong>de</strong>m unum feptem oculifunt. ( 'lachar, .?•v. 9. ) En que citan reprefentadaslaficte ArtesLiberales, que ha <strong>de</strong> tener el pertecto edificador<strong>de</strong> los Templos vivos <strong>de</strong> Dios , quefon las almas: Nefcitis , quia tempitm Deteftis, é- fpiritus Dei habitat invobisH 1 • Comí.3. v. 16.) Entre las quales fíete Artes Liberalesfaben hafta los principiantes <strong>de</strong> la Lo rgica,que las quatro fon las Faculta<strong>de</strong>s Mathematicasmas fundamentales. Los mas encumbradosEdificadores <strong>de</strong> eftos Templos vivos <strong>de</strong>Dios fueron los Santos Padres, y Doctores <strong>de</strong>la Igleiia, pues mírele en fus Obras, quantosr.nos
nos dicen, que florecieron en las Mathematicas.El Águila <strong>de</strong> los Doctores es San Aguftin,<strong>de</strong> quien dicen fus cfcriptos, que fue enellas Faculta<strong>de</strong>s coníumadifsimo. SanBafilioMagno , mayor Luminar entre los Padres <strong>de</strong>la Igleiia Griega , lo mifmo. De el afirma SanGregorio Nifeno, que fu hermano Baiilio lehizo gran ventaja en la inteligencia <strong>de</strong> las SagradasEfcripturas, por lo doctifsimo, quefue en las Mathematicas. El Venerable Bedadice: Que por ellas (en que fue doctifsimo,como dicen fus Obras ) alcanzó gran<strong>de</strong>s arcanosen la Sagrada Efcriptura. Del mifmoBoecio, San ieverino Martyr, dice en fusObras , que en ellas Faculta<strong>de</strong>s fue doctifsimo.Lo mifmo mi Angélico Doctor SantoThomás, llamado el Alma <strong>de</strong> los Doctores<strong>de</strong> la Iglefia. Lo proprio mi San Alberto Magno; y <strong>de</strong>xo <strong>de</strong> eftos mas célebres muchilsimos.Por eftas razones un Autor Francés antiguo, que eferibió un crecido tomo, en queprueba las Faculta<strong>de</strong>s , que ha <strong>de</strong> tenet elque haya <strong>de</strong> fer Doctor en Thcologia , largamenteeílablece, que ha <strong>de</strong> fer en las Mathematicasdocto. Para otra ocaíion <strong>de</strong>xo otrasmuy individuales ptuebas , y vamos a algunasenfeñanzas , que ha <strong>de</strong> hacer en el PuebloChriftiano el Sacerdote.Lo primero ha <strong>de</strong> apartar á los Fieles <strong>de</strong>errores, y todas culpas: Detlina i malo, &faefacbonum. (Pfalm. $p) Entre eflos maleshay, lo primero , los Gentiles fon muchosdados á las Mathematicas , como hoy fe vé enel Imperio <strong>de</strong> la China , y a cada uno fe le ha<strong>de</strong> entrar a conquiílar por fu genio , comoenfeña mi Angélico Maeftro. ( 1.1. q- IO « Urtí• 4.) Por una Eftrclla fueron conducidos losJ Reyes Magos , gran<strong>de</strong>s Mathematicos , alconocimiento <strong>de</strong> Chrifto Señor Nueftro a»cien nacido , atemperandofe á fu genio, dicenlos Comentadores Sagrados. Lofegundo: En las <strong>Ciencias</strong> Mathematicas , y en toadas, los <strong>Naturales</strong> fundan mucho fus errorescontra nuellra Fe Catholica los Infieles. Dexolargas, pruebas <strong>de</strong> ello: Luego para rebatirlos<strong>de</strong>be el Sacerdote eílár con gran<strong>de</strong> inteligencia<strong>de</strong> las Mathematicas : Paratl ftnperadfatisfaBionem omni pofeenti vos rationem<strong>de</strong> ea , qua in vobis efl fpe. ( 1. Petri 3.v. 15.) <strong>de</strong> lo que fe vea á mi Angélico Doctor( 2. 2. q.2. art. 10.) Y lo tercero : Debei dirigir á los Monarchas , y á los Militares*que <strong>de</strong>fien<strong>de</strong>n al Pueblo Chriftiano con lasarmas materiales •> y fi ignora las Mathematicas, no conocerá las muchifsimas, y gravifíimasculpas, que cometen por el abufo, ymala inteligencia <strong>de</strong> ellas. Y afsi mi AngélicoDoctor en el opufeulo 20. pone quatro libros<strong>de</strong>l gobierno <strong>de</strong> los Principes , que comentael Padre Salcedo, Clérigo Menor, en quecon
4con lo doctifsimo , que fue el Santo en lasMathematicas, <strong>de</strong>fcubre mucho <strong>de</strong> ellos <strong>de</strong>fectos: Luego el Sacerdote , para evitar todasellas dalles <strong>de</strong> culpas , <strong>de</strong>be fer docto enJas Mathematicas , y no es locura , que á ellasfe apliquen para los finesdichos.Vamos al fin<strong>de</strong> enfeñarlas: Mirefe, quantolosSantos Padtes , y Doctores citados , eficrÜbenen fus Obras <strong>de</strong> las Mathematicas, paraenfeñarlas al Pueblo Chriftiano : Luego eslicito á un Sacerdote enfeñarlas. Lofegundo:Quando las Mathematicas no tuvieran los finesreferidos , para que es juftifsimo las emprendanlos Sacerdotes , y enfeñen , y folotuvieran el fin <strong>de</strong> la guerra, que nadie conce<strong>de</strong>efto , veaelfabio, y pru<strong>de</strong>nte Lector á mi AngélicoMaellro , y á fus Comentadores 2. 2.q. 40. art. :. ad 2. adon<strong>de</strong> hallara: Que,aunque al Sacerdote le cflé prohibido , fuera<strong>de</strong> grave uccefsidad , el guerrear , que no leeftá prohibido concurra a todo lo difpofitivoá la batalla : y afsi, Sacerdotes doctos les dicen, coníultados, á los Monarchas, que tal,o tal guerra les es licita: que a otros los perfuadanvayan á tal guerra. Mirefe, quantasveces fe ha perfuadido en los Pulpitos vayanálaConquifta <strong>de</strong> la Tierra Santa. En la AntiguaLey los Sacerdotes tocaban los Clarines, induciendo álos <strong>de</strong>más , a que pelearan*(Jojtte 6. ¡ Y, vi <strong>de</strong>clarado cu el fitio <strong>de</strong> mi£4-patria Badajoz, año <strong>de</strong> 1705. no havia incur^rido en irregularidad un Clérigo, que apuntóun canon, que hizo gran eílrago en los enemigos, por efta doctrina , el que el foloapuntó, y no fe metió en mas , y el Artillerodilparó. De cito <strong>de</strong>xo mucho : y el enfeñarellas Faculta<strong>de</strong>s , es mera difpoficion , y,no guerrear: Luego es licito, que un Sacerdoteenfeñe eftas Faculta<strong>de</strong>s , aun para el fui<strong>de</strong> guerrear.Lo qmirto , y ultimo a Aunque no tuvieranlas Mathematicas mas fin que el actualguerrear ( que nadie ha <strong>de</strong> conce<strong>de</strong>r eflo) veafea los Comentadores <strong>de</strong> mi Angélico rtoétora. 2. q. 10. art. 2. y entre ellos al doctifsimoMaeftro Bañez, adon<strong>de</strong> fe hallará: Que encafo <strong>de</strong> grave necefsidad, es licito a los Sacerdotes,y á losObifposel guerrear en la guerraIjuila, <strong>de</strong> que podia traer muchifsimos ateta*piares , y folo diré efto, que refiere la Elcuela<strong>de</strong> Palas, hablando <strong>de</strong>l Methodo <strong>de</strong> Fortificar<strong>de</strong>l Ilufttifsimo Caramuél, adon<strong>de</strong> dicesO^e efte Señor, fiendo Ob'tfpo <strong>de</strong> Praga en laUngria, con fus Mathematicas <strong>de</strong>fendió tresveces la tal Plaza <strong>de</strong> tres litios fuertes , que Jepufieron los Hereges : pues nadie con<strong>de</strong>na,que uno elle difpuefto , para aventar un granmal, que le pue<strong>de</strong> venir en una gran ncceísidad:Luego aun para efte fin no es locura,que un Sacerdote empréndalas Mathematicas;^si
si cofa muy conforme á una cuerda razón.Por mera curiofidad eftudié las Mathematicas, íiendo feglar : y <strong>de</strong> muchos Sacerdotesinflado, las eníeñé , con Cédula <strong>de</strong>l Rey,diez años en efte mi Mayor Colegio , concurriendobañantes Difcipulos, <strong>de</strong> los que hayal ptefente en el fervicio <strong>de</strong>l Rey , con honrofosempleos , no pocos. Dexo efto: y acabadas<strong>de</strong> leer Artes , y Theología en efte mi MayorColegio , me apliqué á las Mifsiones , enque eftas Faculra<strong>de</strong>s me han férvido mucho,para inteligencia <strong>de</strong> las Sagradas Efcripturas,y <strong>de</strong> dogmas , con que rebatir engaños infernales: Y en virtud <strong>de</strong> efto , tengo leído efteCompendio <strong>de</strong> Trigonometría Plana, y nohallo en él cofa contra nueftra Santa Fé , nicontra las buenas coflumbres , ni <strong>de</strong> las regalías<strong>Real</strong>es ; lo hallo con las condiciones, queenfeña mi Angélico Maeftro, en el Opufculo68. en que á un Militar le dá methodo,<strong>de</strong> como ha <strong>de</strong> eftudiar, que es breve, compendiofo, claro, y con otras partidas , que tienenen las Mathematicas los Doctos cn^ Artes, y Philofofia , <strong>de</strong> las que fueron Princiípes , no puros Mathematicos, fe las hallaron,enleñaron, y eferibieron con grandifsímo Heno<strong>de</strong> Philofofia , como fe dice en fus vidas,los mas encumbrados <strong>de</strong> las Mathematicas,cftá en el tratado <strong>de</strong> los Sólidos , que fon lflsfeis Cuerpos Regulares ¿ llamados Platónicos:eos: porque el gran Philofofo, el divino Pía*ton , fue el Autor <strong>de</strong> ellos, <strong>de</strong> los que tratala Geometría en los Libros once, y doce: Elgran Philofofo Ariftoteles , llenó <strong>de</strong> Theorcmas, y Problemas , la Geometia: El Tratado<strong>de</strong> la Elphera fe le <strong>de</strong>be al gran PhilofofoArchime<strong>de</strong>s , y afsi <strong>de</strong> lo reliante <strong>de</strong> las Mathematicas: y con efta luz, <strong>de</strong> que catecen,los que no han eftudiado la Philofofia, eferibe,y enfeña el Autor <strong>de</strong> efte Compendio, lasMathematicas. Y afsi, por tan útil, y con:eftas ventajas , foy <strong>de</strong> fentir , que V. S. <strong>de</strong>á el Autor la licencia , que pi<strong>de</strong>, mediante'lo qual fea impreffo efte Compendio. Afsi loliento , falvo meliori. Y para que confie eftemi fentit, lo firmé <strong>de</strong> mi nombre en efte miMayor Colegio <strong>de</strong> Santo Thomás <strong>de</strong> Sevill*en p. <strong>de</strong> Julio <strong>de</strong> 1742.Fr. Pedro Vázquez TinoconL1CEN-
)E UN DISCÍPULO DEL AUTORen alabanza <strong>de</strong> fu Trigonometría.SONETO.Oronente <strong>de</strong> Apolo los Laureles,i Premio <strong>de</strong> tu faber bien merecido:Pues tu Trigonometría ha enriquecidoDel aplaufo , y la fama los Carteles.•Fatiguen tus eferiptos Prenfas fieles,a Brillando <strong>de</strong> tu ingenio lo lucido,Y en laminas <strong>de</strong> bronce ya elculpidoTu nombre efmalteu dieftros los fínceles*fio te alabe mi pluma, que es locuraí Elevarfe a tan alta bizarría,Sin temer , qual otro Icaro , quemarfcáJpues tu aplaufo immortal ya fe aflegura^Y mi alabanza corta ( fiendo mia \No merece tan alto fublimarfe.,!íf1 IUCENCIA DEL SEÜOR JUEZ.EL Lie. D. Geronymo Antonio <strong>de</strong> Barred*y Yebra, Canónigo <strong>de</strong> la Santa Igleiia <strong>de</strong>leñor Santiago <strong>de</strong> Galicia , <strong>de</strong>l Coufcjo <strong>de</strong> fuMaceftad,fu Inquifidor en el Tribunal <strong>de</strong>l SantoOficio <strong>de</strong> la Inquificion <strong>de</strong> efta Ciudad <strong>de</strong>Sevilla , Superinten<strong>de</strong>nte délas Lnprentas, yLibrerías <strong>de</strong> ella, y fu Reynado.Doy licencia,para que por una vez fe puedaimprimir , é imprima un Librito , cuyo tituloes : Tratado <strong>de</strong> Trigonometría general, fu AutorDcW luán Sánchez Reciente, Presbytero,Maeftro <strong>de</strong> Mathematicas en el <strong>Real</strong> ColegioSeminario <strong>de</strong> Señor San Telmo <strong>de</strong> dicha dudad• atento á no contener cofa alguna contranueftra Santa Eé, y buenas coftumbres, fobreque por comifsion mia , ha dado fu cenfurati M. R. P. Pref. Fr. Pedro Vázquez Tinoco,Colecul perpetuo en el Mayor <strong>de</strong> Santo Thomás<strong>de</strong> Aquino <strong>de</strong> efta Ciudad: con tal, que alprincipio <strong>de</strong> cada uno, que fe imprima, fe pongadicha cenfura, y ella mi licencia. Dada enSevilla , eftando en el <strong>Real</strong> Cadillo <strong>de</strong> la Incuilicion<strong>de</strong> Triana, á diez y nueve <strong>de</strong> Junio<strong>de</strong> mil fetecientos y quarenta y dos anos.Lie. D. Gtrmimo Antonio <strong>de</strong> Barreday Tebra.por mand. <strong>de</strong> fu SeñorialMatbias Tortolcro.SO-PRO-
• IPROLOGO AL LECTOR.MUchos fon, Amigo Le&or, loslibros, que fe hallan impreífos,que rratan <strong>de</strong> Trigonometría, don<strong>de</strong>lfe pue<strong>de</strong> apren<strong>de</strong>r todo lo que conducea efta materia, por lo que pue<strong>de</strong>parecer cofa fuperflua, facar a luz el:prefente Tratados pero nolofera,fiatien<strong>de</strong>s al motivo que me afsifte, quees la educación <strong>de</strong> los Colegiales <strong>de</strong>l<strong>Real</strong> Seminario <strong>de</strong> Señor San Telmo,extramuros <strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Sevilla, losque entran a eftudiar efta Facultad finconocimiento alguno <strong>de</strong> otra; fino fulamenteinítruidos en el Arte <strong>de</strong> leer,y eferibír: y por tanto , es neceífariofundamentarlos en todo lo conducentea la Navegación, que es fu principalinftituto. Y aunque fe hallan muchos[ios libros, que tienen todos losfunmentosque fe pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>fear, fon|n crecidos en fus volúmenes, que fei|ipbfsibilitan para el ufo <strong>de</strong> ellos; otroslibros hay <strong>de</strong> Trigonometría, pero tancfcncifos, y breves, que -por cífo mifio,fe hacen impracticables para ellos,fíbr razón <strong>de</strong> no po<strong>de</strong>r enten<strong>de</strong>rfe, fino<strong>de</strong> los baftantcmentc verfados endicha Facultad. Y afsi me ha fido prediodiíponer el prefente Tratado, don<strong>de</strong>hallaras la conftruccion, y ufo <strong>de</strong>Ms Tablas <strong>de</strong> los números Logarithmieos,y las <strong>de</strong> los Senos, Tangentes, yapeantes Lop-arithmicas, con el modo<strong>de</strong> corregir qualefquiera <strong>de</strong> que ufa-As ; fi no eftuvieren fielmente confluidas, y juntamente la refolucion <strong>de</strong>íbdo genero <strong>de</strong> triángulos, afsi reótan-;ulos, como obliquangulos, para queque-
I~t— — •.» «•»»» .v» VUUUEU1UV j UdlCbien empleado el trabajo, que en dif »f^^ ^ -ponerlo he tenido, para tu mayor apro- •7* WW * W ****«W*W*W««vechamiento. VALE. |- ^ n á _ _TRATADODE TRIGONOMETRÍA.INTRODUCCIÓN.,a^UeA Trigonometría (que es unaparte <strong>de</strong> la Geometría) es unaciencia , que enfeña medir, yrefolver triángulos. Y porquecftos pue<strong>de</strong>n fer planos , ó efphencos,fe divi<strong>de</strong> la TrigoiSnS?»?Paila ' y^Pheriea. Trigonomeíostrian"?' «**» * ^folucion <strong>de</strong>per ce pia na COn tres lineas redas. Trígono-tTRA- I ¿9Cr losma «g«lp S efphericos/formados e»,"A un 3
Una ¡fuperfícíc efphcrica eófí tfcl arcos <strong>de</strong> ciwpulo máximo.En una, y otra Trigonometría, para Isrefolucion <strong>de</strong> unos, y otros triángulos, nosValemos <strong>de</strong> las tablas <strong>de</strong>l Canon trigonométrico, que fe compone <strong>de</strong> números, en don<strong>de</strong>fe halla la razón, que tienen las redas, pueftasen un circulo, con fu radio, ú femidianietro, que llaman tablas <strong>de</strong> Senos , Tangenres, y Secantes, fean <strong>Naturales</strong>, 6 Logarithtnicas.Pero porque los Senos , Tangentes , fSecantes Natutales , que antiguamente eftat>anen ufo, eran muy moleftos en fus operaciones, por canfa <strong>de</strong> las gran<strong>de</strong>s multiplitaciones,y divífiones , ufamos al prefente <strong>de</strong>los Senos, Tangentes, y Secantes Logaríth»micas, por caufa <strong>de</strong> la gran<strong>de</strong> facilidad , quetienen en fu ufo : pues folo fe reduce a fumar, y reliar muy pocos números, cuya invenciónfe <strong>de</strong>be al célebre ingenio <strong>de</strong>l CaballeroJuan Nepero , <strong>de</strong> Nación Efcozcs , yal zelo , y trabajo , que pulieron en lu mayorperfección Henrique Brixio, y Adriano Ulac,(que las <strong>de</strong>xaron <strong>de</strong>l modo, que hoy las gomamos.Para proce<strong>de</strong>r con toda la claridad, quelíos fuere pofsible en efte Tratado, y comotoi<strong>de</strong> el buen or<strong>de</strong>n , y methodo , comentaremospor la Trigonometría plana , que(dividiremos eg tyes partes, fin la primera fe.aplicará la naturaleza <strong>de</strong> las lineas, que íeiconfi<strong>de</strong>ran en el circulo. En la fegunda fe«tratará <strong>de</strong> la conftruccion <strong>de</strong> las tablas <strong>de</strong>Jos Senos , Tangentes , y Secantes <strong>Naturales</strong>,y Logarithmicas , y <strong>de</strong> la <strong>de</strong> los números Loíjarithmicos,6 <strong>de</strong> los Logarithmos. Y en latercera fe dará el ufo <strong>de</strong> dichas Tablas, y lafcfolucion general <strong>de</strong> toda efpecie <strong>de</strong> triángulos, confi<strong>de</strong>rados abfolutamente.¿ Nota, que las citas, que fe pondrán en«1 cuerpo <strong>de</strong> efte Tr'arado , fon <strong>de</strong>l Libro <strong>de</strong>jos Elementos Geométricos <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s , lasque eftarán contenidas <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un parenwfis,y las <strong>de</strong>más, que eftuvieren fuera, feria«le elte prefente Tratado.PARTE PRIMERA.CAPITULO ÚNICO.•«5 LOS SENOS, TANGENTES^Secantes, y Cuerdas*DIFINICIONES.SEnos , Tangentes, Secantes , y Cuerdaífon unas recias , que fe confi<strong>de</strong>ran enm circulo , para refolver qualquiera triangulo.Y porque unas fe confi<strong>de</strong>rap <strong>de</strong>ntro<strong>de</strong>lA acir-
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l circulo', ©tras fuera, f. otras* tienenuna parte <strong>de</strong>ntro, y otra fuera , fe le»aproprian diferentes nombres , para conocerlascon mayor diílincion , y claridad. Y afsi,las que fe hallan <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l circulo , fe <strong>de</strong>nominanSenos, 6Cuerdas: Las que fe hallanfuera <strong>de</strong>l circulo, fe llaman Tangentes: Y lasflue tienen parte <strong>de</strong>ntro, y parte fuera , tienennombre <strong>de</strong> Secantes.Todos los Mathematicos divi<strong>de</strong>n la circunferencia<strong>de</strong> qualquier circulo en ¡6o. partes, que llaman grados, cada grado en do.minutos, cada minuto en 6o. fegundos , ycadafegundo. en 6o. terceros, y afsi en a<strong>de</strong>lanteen quartos, quintos., &c Efto fupuef*to , figuen ahora las <strong>de</strong>finiciones.i. .Valor <strong>de</strong> un ángulo , ó medida <strong>de</strong> unángulo re&ilineo es, el numero <strong>de</strong> grados,o <strong>de</strong> grados, y minutos , que contiene el arco<strong>de</strong>l circulo contenido entre las dos redas,que forman dicho ángulo , quando dichoateo fe formo , haciendo centro en el cbn¿tado <strong>de</strong> las. tales lineas ,^ que forman dichoángulo. Como el valor, 6 medida <strong>de</strong>l ánguloP B C. (Fig. i-) es el arco P. C. <strong>de</strong> 30. grs.pues formófe dicho arco con la diftancíaBC. haciendo centro en B. don<strong>de</strong> fe juntanlas redas BC. - y -B P. para formar dicho ángulo?BC.i ?, Complemento <strong>de</strong> un ángulo , u <strong>de</strong> uaftréco es, el numefo <strong>de</strong> gf. 6 <strong>de</strong> gf. y min. quefaltan al ángulo, ü al arco , para cumplir elquadrante , ó el femicireulo. Si el ángulo estobtufo, fu complemento ferá al femicirculoj'lomo fi es el ángulo A B D. fu complementojal femicireulo ferá el ángulo DBG. 6 el arco!§) C. ferá complemento <strong>de</strong>l arco A R D. Peroi el ángulo es agudo , fu complemento fe-Ja." al quadrante, 6 al femicireulo : Como elpngulo PBC. fu complemento al quadranteferá P B E. y fu complemento al femicireuloJera el ángulo P B A. y fi fe dá el arco P C.«complemento al quadrante feráPDE. y alJmicírculoferáPDRA.3. Cuerda, 6 fubtenfa <strong>de</strong> un arco , es lareda, que junta los extremos <strong>de</strong>l mifmó ar*co. Como A L. es cuerda, 6 fubtenfa <strong>de</strong> el#rco AML y también es cuerda , ó fubtenfa<strong>de</strong>l arco A E C L. De don<strong>de</strong> fe infiere , qu««a cuerda, que pafla por el centro <strong>de</strong> un circuílo , es diámetro <strong>de</strong>l mifmo circulo, y cuerdaael femicireulo ; pero la que no paíTaipor el¡entro <strong>de</strong>l circulo, es cuerda <strong>de</strong> dos arcos,uno mayor, y otro menor, que el femicireulo.4. Cuerda <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong>l complemento es»,'lareda, que junta los extremos <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong>icomplemento. Como L C. es cuerda <strong>de</strong> elarco LcC. complemento al femiciteulo <strong>de</strong>larco L M A.. A| Se-
5 • Seno redó, ú primero <strong>de</strong> un arco, es Ureda, que <strong>de</strong> un extremo <strong>de</strong> un arco cae perpendicularmentefobre el radio , íi diámetro,que fe termina en el otto extremo. ComoJDG. es feno primero <strong>de</strong>l arco D C. y tambiénes feno primero <strong>de</strong>l arco DEA. Porquequalquiera feno divi<strong>de</strong> el femicireulo en dos 'fegmentos, y por eflo es feno primero <strong>de</strong> ambos, refpedo <strong>de</strong> tener las circunftancias neceflariaspara ello, que fon las que explica fu<strong>de</strong>finición.Nota, que el feno primero <strong>de</strong> qualquierarco es la mitad <strong>de</strong> la cuerda <strong>de</strong>l arco duplo<strong>de</strong>l mifmo arco. Como el feno redo DG.<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 6o. grs. D C. es mitad <strong>de</strong> la cuerdaD L. <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 120. grs. D C L. Porqueíiendo A C. diámetro, que paíTa por el centroB. y cae fobre la cuerda Di. haciendo coaella ángulos redos, la cortará por medio enG - (i- P-3-).: Nota también , que fiempre, que fe dixerefeno , fin otro additamento, fe <strong>de</strong>be enten<strong>de</strong>rfeno redo, íi primero : Porque paraque fe entienda otro , fe <strong>de</strong>be explicar , diciendo: Seno fegundo, feno <strong>de</strong> complemento , úfeno verfo. Y efto mifmo <strong>de</strong>be quedar advertidopara las Tangentes, y Secantes.6 . Seno fegundo <strong>de</strong> un arco es el fenoprimero <strong>de</strong> fu complemento al quadrante, opor <strong>de</strong>fedo t ü por excefib* Como DF. que esfenof^enoprímero <strong>de</strong> el arco DE. también es fetoofegundo <strong>de</strong>l arco D C y <strong>de</strong>l arco D R A.toero con efta diferencia , que es feno fegundo<strong>de</strong>l arco D C. por <strong>de</strong>fe&o : pues fiendo E C.or excefib.Nota , que el feno primero <strong>de</strong> un arco esleño fegundo <strong>de</strong> fu complemento á el quadrante, y el feno fegundo <strong>de</strong> un ateo es tam-•Jbien feno primero <strong>de</strong> fu complemento á el¿quadrante ; como D G. feno primero <strong>de</strong>l arco•D C. es también feno fegundo <strong>de</strong>l ateo D E„iiY porque también el feno D G. es primero¡<strong>de</strong>l arco D R A. es también feno fegundo <strong>de</strong>•?1 arco DE. en el primer cafo por <strong>de</strong>fedo, f|en el fegundo cafo por excefib. Y el mifmofeno fegundo D F. <strong>de</strong>l arco D C. y <strong>de</strong>l arcoP R A. es feno primero <strong>de</strong>l arcoD E. que escomplemento al quadrante <strong>de</strong>l arco D C.por <strong>de</strong>fedo , y complemento al quadrante <strong>de</strong>el arco D R A. por excefib.Nota, que los arcos mayores <strong>de</strong> 90. grs.;¿ tienen los mifmos fenos, que los arcos <strong>de</strong>fus complementos al femicireulo.. Como el& 4 feno
'fiL_9feno <strong>de</strong>l «reoDRA.<strong>de</strong> x JO. grs. es laconocido, refpedo <strong>de</strong> fer igual á BG. (34.D G. <strong>de</strong>l arco D C. <strong>de</strong> 60. grs. complemento1. ) fi fe aña<strong>de</strong> al radio A B. compondráal femicireulo <strong>de</strong>l dicho arco <strong>de</strong> 120. grs.G. feno verfo <strong>de</strong> dicho arco D R A. Y reído<strong>de</strong> que con el conocimiento <strong>de</strong> los fe-7. Seno total, feno todo , ú Radio es élfeno <strong>de</strong>l quadrante, ó <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 90. grs¿3bs fcgundos venimos en conocimiento <strong>de</strong>Como E B'. es feno primero <strong>de</strong>l arco E A. y tes fenos verfos , fe omite en el Canon Trigo<strong>de</strong>larco E C. que ambos fon quadrantes <strong>de</strong> ¿bmetrico la conftruccion <strong>de</strong> la tabla <strong>de</strong> los90. grs. y es mitad <strong>de</strong>l Diámetro E B d. que fonos verfos.es lo mifmo que radio <strong>de</strong>l circulo..3; 9. Tangente primera <strong>de</strong> un arco es la8. Seno verfo , ú fagita, es la parte <strong>de</strong> elíida, que fe levanta perpendicularmente fofeÜ-eel diámetro , ú fobre el radio , tocandodiámetro contenida entre el feno redo déun arco , y el mifmo arco. Como G C. que cf-. m arco en un extremo, y fe termina en latá contenida entie el feno redo G D. y el arcoD C. es feno verfo <strong>de</strong>l mifmo arco D-C. y «$»r el otro extremo. Como H C. es tangente 1..Ada , quefaliendo <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l arco, paflapor la mifma razón A B G. es feno verfo <strong>de</strong>l <strong>de</strong>l arco D C. como también E Y. es tangente,arco D R A.0. <strong>de</strong>l arco DE.Nota, que el feno 2. <strong>de</strong> un ángulo agudo3 10. Tangente 2. <strong>de</strong> un arco es la tangentefumado con el feno verfo <strong>de</strong> dicho ánguloi. <strong>de</strong> fu complemento al quadrante, como E Y.es igual al radio. Y afsi, fiendo conocido el4|ue es 1. <strong>de</strong>l arco D E. es 2. <strong>de</strong>larcoDC. yfeno fegundo <strong>de</strong> un ángulo agudo, fífe relata<strong>de</strong> el radio, el refiduo ferá valor <strong>de</strong>lla reda HC.que es i.<strong>de</strong>l arco DC. es 2. <strong>de</strong>l ario-DE. Defenodon<strong>de</strong>fe infiere , que la tangente.verfo <strong>de</strong> dicho ángulo. Porque conocidoDF. *• <strong>de</strong> ufl arco , cs *• <strong>de</strong> . fu complemento al quafenofegundo<strong>de</strong>lángulo agudo, ú arcoD Cque cs igual á B G. ( 34. p. r. ) fi fe refta <strong>de</strong> elradio B C. quedará GC. que es feno verfo<strong>de</strong>l mifmo arco D C. Pero el feno fegundo<strong>de</strong> un ángulo obtufo, ú <strong>de</strong> un arco mayorque po. grs. fi fe fuma con el radio, dará elfeno verlo <strong>de</strong> dicho ángulo, ú arco. ComoD F, fenb fegundo <strong>de</strong>l arco D R A. fi fe dico-erante, y al contrarioNota, que los arcos mayores que 90. grs.tienen las mifmas tangentes , que los arcos <strong>de</strong>fus complementos al femicireulo. Como HC.(tangente primera <strong>de</strong>l arco DC. es tambiénIprimera <strong>de</strong>l arco D R A. y la E Y. tangente 2.<strong>de</strong>l arco D C. es también fegunda <strong>de</strong>l arcoRA.Se-
•I16ir. Secante primera <strong>de</strong> un arco es la rtc>ta, que, faliendo <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l arco, corta almifmo arco, y fe termina en la tangente primera<strong>de</strong> dicho arco. Como B H. es fecanteprimera <strong>de</strong>l arco D C. -y - B Y. es fecanteprimera<strong>de</strong>marco D E.12. Secante fegunda <strong>de</strong> un arco es la recta,que, faliendo <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l arco , corta almifmo arco, y fe termina en la tangente fegunda<strong>de</strong>l dicho arco. Como B Y. es fecantefegunda <strong>de</strong>l arco D C. y B H. es fecante fe.gunda <strong>de</strong>l arco D E. De lo dicho fe infiere,que la fecante primera <strong>de</strong> un arco es fecantefegunda <strong>de</strong> fu complemento al quadrante,y al contrario.Nota, que los arcos mayores que 90. grs»tienen las mifmas fecantes , que los arcos <strong>de</strong>fus complementos al femicireulo, como quedanotado en los fenos , y tangentes. ComoB H. fecante primera <strong>de</strong>l arco D G es tambiénprimera <strong>de</strong>l arco D R A. -y- B Y*fecante fegunda <strong>de</strong>l arco DC,cs también fegunda <strong>de</strong> elarco D R A.,•B* *£3* «o*PAK«PARTESEGUNDA.11„E LA CONSTRUCCIÓNfe las tablas <strong>de</strong> los Senos, Tangentes,2y Secantes naturales, y loganthrrucasy <strong>de</strong> los Logarithmos.CAPITULO PRIMERO.|¡E LOS FUNDAMENTOS DEL CANON,I Trigonométrico, u <strong>de</strong> el Canon <strong>de</strong> los Senos.ESte Canon Trigonométrico contiene las tablas<strong>de</strong> los Senos , Tangentes, y Segantes<strong>de</strong> todos los arcos <strong>de</strong>l circulo , <strong>de</strong>f<strong>de</strong>f. minuto hafta 90. grados, fegun la correfpon<strong>de</strong>ncia, que tienen .con el radio <strong>de</strong> el circulo, el qual fe divi<strong>de</strong> en un numero <strong>de</strong>terminado<strong>de</strong> partes ; y porque , fiendo mayorJfte numero , falen las operaciones mas ajuf-.^adas.fuponemos el radio dividido en 100000.J>artes, y á efte refpedo fon las que correspon<strong>de</strong>ná los Senos, Tangentes , y Secantes,aunque para hallarlas con mayor precifion,fe añadirán al radio cinco ceros, pero <strong>de</strong>f-^pues <strong>de</strong> acabadas las operaciones, fe quitarans<strong>de</strong>l todo 5. números <strong>de</strong> házia mano <strong>de</strong>recha<strong>de</strong>l operante, y los que quedaren fe pondrán•n las tablas; mas con la. advertencia, que
tií el primero dé los cuíco números', que eJ f un quadrado <strong>de</strong> otro, y <strong>de</strong>l refiduo faquc
S4PROPOSICIÓN II.Dado el feno primero <strong>de</strong> un ano , bollar el fenofegundo <strong>de</strong>l mifmo arco.SEa conocido el feno primero D G. <strong>de</strong>l aricoD P C. <strong>de</strong> 6o. grs. y fe quiere conocerfu feno fegundo D F. Reftefe el quadradd<strong>de</strong>l feno primero conocido D G. <strong>de</strong>l quadrado<strong>de</strong>l Radio, que es B D. y el refiduo feráquadrado <strong>de</strong> B G. igual á D F. (34. p. 1.) fenofegundo,que fe bufca. v. g. El feno dado D G.cs mitad <strong>de</strong> la cuerda D L. <strong>de</strong>l arco DCL <strong>de</strong>ti 20. grs. como queda dicho en la DefiniciónI5. efta es igual á la cuerda A L. también <strong>de</strong>.120. grs. que en la Propoficion 1. fe halló fer'<strong>de</strong> 173205,08076. Luego fu mitad, que es«6602,54038. ferá valor <strong>de</strong>l feno D G. y fu(quadrado es: 7 5 ©0000000,269 5 3 °5444- queleftado <strong>de</strong>l quadrado <strong>de</strong>l radio : 10000000-000,0000000000. quedarán : 2+99999999,73046945 56. cuya raíz quadrada , añadiendola unidad , por caufa <strong>de</strong> fer numero mayor,que 4.CI que fe figue <strong>de</strong> los cinco números,que fe <strong>de</strong>ben apartar , quedará en 50000,00000. valor <strong>de</strong> la B G. b <strong>de</strong> la D F. feno 2.,<strong>de</strong>l arco DPC que fe pretendía.Porque en el triangulo BDG. el ánguloen G. es rcdo.por la <strong>de</strong>fin. 5. Luego el quadrado<strong>de</strong> B D. radio , y opuefto al ángulo redo,•1 es«s igual á los quadrados juntos <strong>de</strong> los ladotfj D G. - B G. que componen el ángulo redoR(47. p. 1.) Luego reliando el quadrado DG.í<strong>de</strong>l quadrado <strong>de</strong> B D. el refiduo ferá quadrado<strong>de</strong> B G. Pero B G. es igual a D F. (3 4 .p. t.)Luego el quadrado <strong>de</strong> B G. es igual al <strong>de</strong>• P F. (46. p. 1.) Luego fu raíz quadrada feráyalor <strong>de</strong> D F. feno 2. <strong>de</strong>l arco D P C.PROPOSICIÓN III.todo el feno <strong>de</strong> un arco , bailar el feno <strong>de</strong> lamitad <strong>de</strong>l mifmo arco.SEa el feno D G. <strong>de</strong>l arco DPC. <strong>de</strong> 60.gr?.'conocido, y fe quiere conocer el feno d©Ja mitad <strong>de</strong> efte arco> que es el feno r. <strong>de</strong>l arco<strong>de</strong> 30. grs. Tirefe la reda D C. cuerda <strong>de</strong>íiarec. dado <strong>de</strong> 60. grs. y á ella <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el centroV. tírele la perpendicular BOP.(i2.p.i.) qu e•cortara a la cuerda DC. por medio en O.Ifc. p. 3.) y ferá D O. feno 1. <strong>de</strong>l arco D P. <strong>de</strong>30. grs. por fer mitad <strong>de</strong> la cuerda DC.<strong>de</strong>Í r ^2' C ° m ° qUeda notado en la <strong>de</strong>f. 5. Yreí pedo <strong>de</strong> que dicha cuerda es igual al radio,que vale : 100000,00000. fu mitad:. 50000,00000. ferá valor <strong>de</strong> la reda D O.feno 1, <strong>de</strong>l arco D P. mitad <strong>de</strong>l ateo D C. queI fe bufeaba.Pero para bailaría con operación numeñ-
JÜ•rica, afsi efta mitad , cómo otra qualquiérájfe ha <strong>de</strong> bufcar primeramente fu, feno 2. y eftefe reliará <strong>de</strong>l radio, y quedara el feno verfo<strong>de</strong>l mifmo arco,y quadrando los dos fenos i.yverfo , fe fumarán fus quadrados , y <strong>de</strong> la fumale facará la raiz quadrada , y la mirad <strong>de</strong>ella raiz ferá valor <strong>de</strong>l feno, que fe preten<strong>de</strong>,v. g. El feno redo <strong>de</strong> 60. grs. que es D G. vale: 86602,54038. por lapropof. 1. fu quadradoes: 7500000000,2695305444. El feno2. <strong>de</strong> dicho arco fe halló, por la prop. 2. <strong>de</strong>joooojooooo. redado <strong>de</strong> el Radio B C*100000,00000. queda G C. <strong>de</strong> 50000,00000. íu quadrado es: 2500000000,0000-000000. fumado con él quadrado <strong>de</strong>l feno "1.dado ,importa: 10000000000,2695305444.,valor <strong>de</strong>l quadrado <strong>de</strong> DC. cuya raiz quadrada, que es r00000,00000. dá el valor <strong>de</strong>DC. y fu mitad: 50000,00000. valor <strong>de</strong>D O. feno 1. <strong>de</strong> la mitad <strong>de</strong>l arco dado DPC.que fe pretendía.Porque en el triangulo D G C. fe tieneconocido el lado D G. y el G C. y el ánguloredocomprchendido. Luego (47. p. 1.) losdos quadrados <strong>de</strong> los lados DG. -y- GC. juntosfon iguales ai quadrado <strong>de</strong> la D C. Luegofacando la raíz quadrada <strong>de</strong> la fuma <strong>de</strong> los dichosdos quadrados, ferá.valor <strong>de</strong> laDC.Luego fu mitad ferá valor <strong>de</strong> la DO. feno 1.<strong>de</strong> la mitad <strong>de</strong>l arco dado D P C. que es, &c.PRO-Tlanagenerah %»PROPOSICIÓNIV.Dado el feno <strong>de</strong> un ano, bailar el fino d,Jarco duplo.lera C7 r > • " P r Opof. 2. quejferaCZ. que ferá imial ¿ Rn / ,redaD G. que es feno d c ^ ' n ^ í *v C<strong>de</strong>l arco dado C P n,„i .du P l °. p o r ^ e r m ^ ^ ^ ^ T ^ ' 7 ^«i primero por fer B O ni A',\uef. i o <strong>de</strong>l i ^ 7 "" P^P end^ular á D Q*& : cl'anila/ rCBU ° do P ° r U <strong>de</strong>f ' '« d *laC '^,CS:* » u. ala D| C, a D G. quc es> &c,8 PRO.'
j$ TrigonometríaPROPOSICIÓN V.Dados los fenos <strong>de</strong> dos arcos, bailar el fén*<strong>de</strong> la fuma <strong>de</strong> ambos.SEan dados los dos fenos, uno N V. <strong>de</strong>l arcoN A. <strong>de</strong> 30. grs. y otro R S. <strong>de</strong>l arcoR N. <strong>de</strong> otros 30. grs. y le bufca el valor <strong>de</strong>lfeno R Q^<strong>de</strong>l arco R N A. <strong>de</strong> 60. grs. que es lafuma <strong>de</strong> ambos arcos dados. Tirefe por S. laSX. paralela áNV.y laST. paralela áAB.(31. p. 1.) Bufquenfe los fenos íegundos <strong>de</strong> losarcos dados, por la prop. 2. que lerán BV. <strong>de</strong>lfeno N V. -y- B S. <strong>de</strong>l fenoRS. y formenfe dosanalogías , cada una con el radio, feno 2. y fenoprimero , y los dos quartos términos fumados, darán el valor <strong>de</strong> el feno primero , que febufca , <strong>de</strong> la fuma <strong>de</strong> ambos arcos : v. g. Co¿mo el radio BN. que vale 100000,00000.aB S. feno fegundo <strong>de</strong> el arco R N. que vale86602,54038. afsiNV. feno primero <strong>de</strong>l arcoA N. que es: 50000,00000. áSX. que faldrápor quarto termino: 43301,27019. quefepondrán á parte. Pero SX. es igual á TQ¿_(34.p.i.)luegoTQ^valdrálo mifmo.quc es:43301,27019.Dcfpues fe dirá: Como B A. radio iooooo;oocoo. á B V. feno fegundo <strong>de</strong>l arco A N. quées: 86602,54038. alsiRS. feno primero <strong>de</strong>.el arco R N. que vale: 50000,00000. a RT. y,V- .. Jfal«Plana general.19Maldra por quarto termino 4;301,27019. que^fumado con el valor <strong>de</strong> TQ^ 43301,27019.jantes hallado, importará: 86602,54038. valor<strong>de</strong>l feno RCL <strong>de</strong>l arco RNA. fuma <strong>de</strong> los dosarcos dados, que fe pretendía.Porque rodos los triángulos formados enjel quadrante ABE. f on equiángulos , y fetnejantes, conviene á íaber : Los dos triángulosBaQ^-y- RaS. tienen los ángulos en CL-;f- S. redos, e iguales por la <strong>de</strong>fin. 5. y los veracales-a- iguales. (15. p. !.>) Luego el terfcero<strong>de</strong>l uno es igual al tercero <strong>de</strong>l ocro: Lúegofon femejantes. (4. prop. «5.) También losJúngalos RaS. aST, - y . RST. f on t£]11¡an .Sidos, y femejantes. (8. p.
' ! , ! • 'IaoTrigonometríaPROPOSICIÓN VI.Dados ks fenos <strong>de</strong> dos arcos, bailar el feno<strong>de</strong> la diferencia <strong>de</strong> ambos.SEan conocidos los fenos: uno N V. <strong>de</strong>l ar.co N A. <strong>de</strong> 30. grs. y otto R 0_<strong>de</strong> el arcoR A. <strong>de</strong> 60. grs. y febufca el feno <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong>la diferencia <strong>de</strong> ambos. Bufquenfe los leñosfesundos<strong>de</strong> los arcos dados por la Prop. 2. yen los triángulos BVN. -y-BQj. femejantes, como queda <strong>de</strong>monftrado en la Prop. antece<strong>de</strong>nte,fe bufcaráel lado 0.a. que fe rcftará<strong>de</strong> la R O. conocida por fupoficion. Del--pues en los triángulos B N V. - y - RaS. fe hulearáel lado R S. que fe pretendía: v. g. 1 n-meramentc el feno NV. <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 30. grs,es ya conocido , y dado, cuyo valor es: 50000,00000. fu feno fegundo es también halladopor la Prop. 2. y fu valor es: 86602,5403»;£1 feno R Q-_<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 60. grs. dado , y conocido, es: 86602,54038. fufcno fegundo es:.50000,00000. Digafe pues: Como BV. leñofegundo <strong>de</strong> el arco A N. dado : 86602 540?8.á- N V. feno dado: 50000,00000. alsiJi L^.feno fegundo <strong>de</strong> el arco RA. 50000,00000.á-Qa.y faldrá por quarto termino: 2SH67,5IM S : que refiado <strong>de</strong> la RO^conocida, y dada,feráel refiduo : 57735,°^- 1 uec . s el ¡Etor <strong>de</strong> la R a. Defpues fe dirá: Como el radie,Plana general.B N. 100000,00000. a B V. feno fegundo <strong>de</strong>larco A N. conocido , y dado : 86602,54038..afsi R a. conocida por la operación antece<strong>de</strong>nte: 57735,02693. á-RS. feno primero <strong>de</strong>la diferencia <strong>de</strong> los dos arcos dados , y vendrái por quarto termino: 50000,00000. que es loque fe pretendía.- Porque íiendo k>s triángulos B N V - BaQ^.RaS. femejantes, como eftá <strong>de</strong>monftrado en•*a Prop. antece<strong>de</strong>nte, tendrán proporcionaleslos lados , que comprehen<strong>de</strong>n iguales ángulos(4.p.6.)Luego ferá: ComoBV. -á- V N..afsi B Q^- á - Qa. y como B N. - a - B V. af«Ra - á - RS. que es, &c.2 iPROPOSICIÓN VII.AConfiruir la Tabla, 6 Canon <strong>de</strong> los fenos,Ntes <strong>de</strong> dar principio á la conftruccion<strong>de</strong> las Tablas, fe <strong>de</strong>be notar:'• Que en qualefquiera circuios fon pro-°rcionales el radio <strong>de</strong> el uno al radio <strong>de</strong> eltr ° , como la cuerda , feno, tangente, ó fecante<strong>de</strong>l uno en <strong>de</strong>terminado numero <strong>de</strong> grs.o <strong>de</strong> grs. y min. ala cuerda , feno tangente, ófecante <strong>de</strong>l otro <strong>de</strong>l mifmo numero <strong>de</strong> grs. 0<strong>de</strong> grs. y min. Y también ferán proporcionalesel radio <strong>de</strong>l uno ala cuerda , feno, tangente, ó fecante <strong>de</strong>l mifmo , como el tadioB 3<strong>de</strong>l
Iií* Trigonometría<strong>de</strong>l otro a la cuerda, feno, tangente, ó fe- 1cante <strong>de</strong>l otro , con tal, que la cuerda , feno,tangente , ó fecante <strong>de</strong>l uno fea <strong>de</strong> igual numero<strong>de</strong> grs. con la cuerda , feno, tangente,ó fecante <strong>de</strong>l otro , cada qual á fu correfpondicnte.(4. p. 6.)2. También fe <strong>de</strong>be notar , que los fenos<strong>de</strong> los arcos muy pequeños tienen la mifmarazón, que los niifmos arcos, <strong>de</strong> quien fon fenos.Porque , aunque no es razón precifa enfuerza <strong>de</strong> <strong>de</strong>monftracion Mathematica, es razóncierta en la prádica, refpedo <strong>de</strong> no po-.<strong>de</strong>rfe feñalar diferencia fenfible.3. También fe nota, que la cuerda <strong>de</strong> 60»grs. fiempre es igual al radie. Porque conftandola circunferencia <strong>de</strong>l circulo <strong>de</strong> 360.grs. ferá dicha cuerda , la que une los extremos<strong>de</strong> la fexta parce , y por configuicnte ferálado <strong>de</strong> un hexágono inferipto en el circulo,.cjue (i- cor. 15. p. 4. ) es igual al radio.' 4. También fe nota, que el quadrado <strong>de</strong>la cuerda <strong>de</strong> 90. grs. es duplo <strong>de</strong>l quadrado.<strong>de</strong>l radio. Porque fi en un quadrante fé rrala cuerda <strong>de</strong> 90. grs. formará con los lados <strong>de</strong>ldicho quadrante un triangulo Ifoceles redangulo.Y porque el quadrado <strong>de</strong>l lado opueftoal ángulo redo (que es dicha cuerda <strong>de</strong>90. grs.) cs igual á los dos quadrados <strong>de</strong> loslados , que comprchen<strong>de</strong>n el ángulo redo(que fon los dos radios) (47.. p. t.) y eftos fonigua-• Plana general. 23iguales (<strong>de</strong>f. 15. 1.) luego fus quadrados ferántambién iguales. (46. p. 1.) Luego el quadrado<strong>de</strong> la cuerda <strong>de</strong> 90. grs. cs duplo <strong>de</strong> uno<strong>de</strong> el'os, que es el radio.Todo lo dicho en las notas antece<strong>de</strong>ntes,bien' entendido , pallaremos a la conftruccion<strong>de</strong> las Tablas <strong>de</strong> los fenos naturales, hallael numero <strong>de</strong> diez min. para fu total inteligencia, <strong>de</strong>xando al efludiofo , que pueda prorI feguirlas , fi quiere tomar el trabajo , el queI por ahora fe omite, refpedo <strong>de</strong> eftár mas fácileslas <strong>de</strong> los fenos logarithmicos , que fonlas que ufan todos los Authores mo<strong>de</strong>rnos , yI feráen el or<strong>de</strong>n figuientc:Refpedo <strong>de</strong> que el radio vale 100000,00000. y es igual á la cuerda <strong>de</strong> 60. grs. co-1 mo queda notado, valdrá dicha cuerda <strong>de</strong>60. grs. 100000,00000. y fu mitad , que cs50000,00000. ferá valor <strong>de</strong>l feno <strong>de</strong> 30. grs.como queda dicho en la <strong>de</strong>f. 5. y fe notarán kparte en la tabla figuienteel valor <strong>de</strong>l radío, y\ <strong>de</strong>l feno <strong>de</strong> 30. grs.Con efte feno <strong>de</strong> 30. grs. hallado , fe bufcarafofeno fegundo por la Prop. 2. y fe vera,que esfu valor: 86602,54038. que cs fenoprimero <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 60. grs. que fe pondrá enla tabla.Con eftos dos fenos , primero , y fegundo<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 30. grs. fe bufeará el feno primero<strong>de</strong> la mitad <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 30. grs. por la Pro-B 4P0!
24 Trigonometríapof. 3. que es el feno primero <strong>de</strong> 15. grs. y fuvalor: 25881,90451. que fe pondrá en la tabla, y <strong>de</strong>fpues fe bufcará el feno fegundo <strong>de</strong>larco <strong>de</strong> 1 5. grs. por la Propof. 2. que ferá fenoprimero <strong>de</strong> 75. gis. y fu valor : 9^59 z >'i^26 Z'que fe pondrá en la rabia.Defpues con eftos fenos <strong>de</strong> 15. grs. primero,y fegundo, fe bufcaaá el feno <strong>de</strong> la mitad<strong>de</strong>l arco , que es 7. grs. y 30. minutos, que es:13052,61922. y fu feno fegundo , que ferá fuvalor: 99144,48614. que ferá feno primero<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 82. grs. y 30. m. los quales fe pondránen la tabla , y para las operaciones-ferviránlas mifmas Propoficiones 2. y 3.Y por las mifmas Propoficiones fe bufcaráel feno primero <strong>de</strong>l arco mitad <strong>de</strong> 7. grs._ y•30. min. que es el arco <strong>de</strong> 3. grs. y 45. mm.y fu valor : 6540,31292. y el feno fegundo <strong>de</strong>efte arco <strong>de</strong> 3. grs. y45.minut. que ferá fenoprimero <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 86. grs. y 15 • min. y fu valorferá: 9978 5,89 2 3 2.que también fe pondránen la tabla.Defpues fe profeguirá, facando mita<strong>de</strong>s,hafta llegar alfeno <strong>de</strong> r.min. que á efte arco llamamosmínimo, en quien no fe diferencia lenfiblementeelfeno <strong>de</strong>! arco,<strong>de</strong> quien esfeno,comoqueda dicho en la nota 2. y afsi por la Prop. f.fe bufcará con el feno <strong>de</strong> 3. grs. y 45- min - c *feno <strong>de</strong> fu mitad , que es el <strong>de</strong> 1. gr. 52. m. ytfo.feg. y fu valor: 3271,90828. que fe pondráenPlana general. 2 5—— 100000,00000.50000,00000.• •—86602,54038.25881,90451.96592,5 8 263-•7-g. 3o.m . 13052,61922^99144,48614.6540,31292..99785,89232.30.feg. •— 3271,90828.15. 1636,17316.7. 30. tere.—• 8 r8,11396.3- 45- — 409,06040,7- t. 52. 3o.quart. — 204,53063.3- 30. 56. 15. 102,26537.:. 45. 28. 7. 30.qui.—51,13269.o. 52.44. 3.45. 25,56635.i. 00. 00. 00. 00. 29,08882.Jn la tabla prefente , y fe bufcará el feno <strong>de</strong> fuahitad , que es el <strong>de</strong> 56. min. y 15. fegundos,liie ferá : 1636,17316. y la mitad <strong>de</strong> efte, quefe el <strong>de</strong> 28. min. 7. fegundos, y 30. tercerosque vale: 818, u 196. y el <strong>de</strong> la mitad <strong>de</strong> efte,fue es <strong>de</strong> 14, min. 3. fegundos, y 45. terceros,í ue va 'e : 409,06040. <strong>de</strong>fpues el <strong>de</strong> la mitad<strong>de</strong> efte, que es <strong>de</strong> 7. min. 1. fegundo , 5 2. tercos, 30. quartos, que vale : 204,53063. y•on efie fe bufcará el <strong>de</strong> fu mitad , que es 3.«n. 30. fegundos, 56. terceros, i5. quartos,que
•26 Trigonometríaque vale: 102,26537. y la mitad <strong>de</strong> efte, quecs 1. min. 45. fegundos, 28. terceros, 7. quartos,30. quintos,y fu valor: 51,13 269. y finalmentefe bufcará la mitad <strong>de</strong> eñe arco, que es<strong>de</strong> 52. fegundos, 44. terceros, 3. quartos, 45.quintos, que valdrá: 2 5,5663 5. todos los qualesparecen en la tabla prefente.Y refpedo <strong>de</strong> que no hemos llegado á hallarel valor <strong>de</strong> un minuto en todas las operacionesprece<strong>de</strong>ntes , que es , lo que fe pretendía,fe procurará hailar con la ultima mitadhallada en la forma figuicnte.La ultima mitad, que fe halló , que es elfeno <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 52. fegundos, 44. terceros,3. quartos, 45. quintos, fe reducirá á la ínfimaefpecie , que es á minutos quintos, multiplicandolos 52. fegundos por 60. añadiendo44. terceros , y harán 3164. terceros , y eftosmultiplicados por 60. añadiendo 3. quartos,producen 189843. quartos, y eftos multiplicadospot 60. añadiendo 45. quintos, producirán11390625. quintos. Reduzgafe también1. min. á quintos, que multiplicado por 60.fon 60. fegundos, y eftos por 60. fon 3600.terceros, y eftos por 60. hacen 216000. quartos,y eftos por 60. producirán 12960000.quintos.Defpues fe formará una regla <strong>de</strong> tres, diciendo:Como el arco <strong>de</strong> 52.fegundos, 44»*terceros , 3. quartos, 45. quintos , que vafesi*Plana general. 2711390625. quintos al ateo <strong>de</strong> un min. que vale1296.0000. quintos; afsi el feno <strong>de</strong>l arco| <strong>de</strong> 52. fegundos, 44. terceros, 3. quartos, 45.quint. que fe halló fer 25,56635. al feno <strong>de</strong>un minuto , que fe bufca , y vendrá al quartotérmino: 29,08882. que es el valor <strong>de</strong>l feno[primero <strong>de</strong> un minuto. Con efte feno <strong>de</strong> unminuto, y con los hallados antes, que todos eftánen la tabla antece<strong>de</strong>nte, fe hallarán los <strong>de</strong>-•nás,que faltan hafta el feno <strong>de</strong> 90. grs. valienidofepara ello <strong>de</strong> las Propoficiones antece<strong>de</strong>nttes, en la forma figuiente.Dado el feno <strong>de</strong> 1. min. fe hallará por laprop. 4. el feno <strong>de</strong> 2. min. y con efte el <strong>de</strong> 4.y con efte el <strong>de</strong> 8. bufeando fiempre el feno•<strong>de</strong>l arco duplo, quantas veces fuere necefiairio,para conftruir las tablas <strong>de</strong> los fenos. Dcf-I pues fe bufcarán por la propof. 2. los fenos <strong>de</strong>\, fus complementos. Y también los fenos <strong>de</strong> lasfumas, y diferencias <strong>de</strong> dos arcos, por las propof.5. y 6. como fuere neceflario.Para hallar el feno <strong>de</strong> 45. grs. fe quadraráel radio, y fe duplicará el quadrado , y <strong>de</strong> efteduplo fe facará la raíz quadrada, que dará elvalor <strong>de</strong> la cuerda <strong>de</strong> 90. grs. y la mitad <strong>de</strong> eftacuerda ferá valor <strong>de</strong>l feno <strong>de</strong> 45. grs. comoqueda dicho en la <strong>de</strong>f. 5. La prádica <strong>de</strong> fabricardichas tablas, que ferá hafta los 10. min.\[ como ya queda dicho, es la figuiente.Primcraiuepte fe hará la divifion <strong>de</strong> lasta-^*T I
m2 8 TrigonometríaPlana general.'- nptablas , formando una frente <strong>de</strong> otra , y cada dé las "cabezas <strong>de</strong> las tablas <strong>de</strong>ben componer«na contendrá fíete columnas, en las primeras<strong>de</strong> cada una, ó en la primera <strong>de</strong> las priIpondc la fegunda 89. y <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> concluida89. grs. Y afsi en la 1. que tiene o. corref.1meras , y ultima <strong>de</strong> las fcgundas , fe pondrán la primera tabla con los 60. min. que hacenlos minut. en las tres primeras figuientes fe fcn grado , fe pone en la cabeza <strong>de</strong> la r. tablapondrán los fenos, tangentes, y focantes naturales, y en las otras tres reliantes los fenos, modo figuen las <strong>de</strong>más tablas , como fe vetn grado, y en la 2. fe ponen 88. grs. y <strong>de</strong> eftetangentes, y fecantes logarithmicas, notando pradicado en ellas.cada columna con fu nombre en la frente, ó fi Comenzando pues la conftruccion <strong>de</strong> digastablas , fe pondrá por feno primero <strong>de</strong> o..cabeza <strong>de</strong> ella , y fobre todos los nombresdichos fe pondrá •en la frente <strong>de</strong> la tabla el |n la columna <strong>de</strong> los fenos o. y por feno primero<strong>de</strong> 89. grs. y 60. min. que es lo mifmo,numero <strong>de</strong> grs. que <strong>de</strong>be fuponer. Y porquela primera tabla no fupone grado alguno, fe que 90 p. ie pondrá en la fegunda tabla elpondrá-o. y en la fegunda fu correfpondicntefe pondrá 89. grs.pondrán las en tablas folamcnte los numeva.or<strong>de</strong>l radio , que cs : 100000,00000. peroLuceo fe pondrán los min. en la 1. colum- # s '
$0* Trigonometríafo, porque los cinco números , que fe han <strong>de</strong>quitar, es el primero 9- y mayor que 4. fe añadiráuna unidad al feno, y quedará 100000.por valor <strong>de</strong>l feno 1. <strong>de</strong> 89. grs. y 59. min.Con ellos dos fenos primero, y fegundo <strong>de</strong>larco <strong>de</strong> un min. fe bufcará el feno <strong>de</strong> el arcoduplo, que es el <strong>de</strong> 4. min. por la propof. 4.y fe hallará fer: 5«,i77 6 4- q uefe pondrá en fulugar enfrente <strong>de</strong> 2. min. en la primera tabla.Defpues fe bufcará fu feno 4. que es primero<strong>de</strong> 89. grs. y 58. min. que ferá:99999,í>8307.que fe pondrá en la 2. tabla enfrente <strong>de</strong> 58.min. <strong>de</strong>l modo, que queda dicho en el feno <strong>de</strong>89. grs. y 59. min. y afsi ferá : 100000.Defpues fe bufcará el feno <strong>de</strong>l arco duplo<strong>de</strong> 2. min. que es el <strong>de</strong> 4. min. y fehallará, quecs: 116,3 5 5 26. que fe pondrá en íu lugar,quitadoslos cinco números enfrente <strong>de</strong> 4. min. yfe bufcará también fu feno 2. que ferá primero<strong>de</strong> 89.grs. y 56.min.y fu valor: 99999,91^1}-y fe pondrá en la rabia 2. enfrente <strong>de</strong> 56. min.que ferá: 100000.Defpues fe bufcará el feno <strong>de</strong>l arco duplo<strong>de</strong> 4.min. que es el arco <strong>de</strong> 8. min. 232,71036..que, quitando los cinco números últimos, quedaráen 233. fegun queda advertido ; y tambiénfe bufcará fu feno 2. que cs primero <strong>de</strong>8 9 .grs. y 5 2. min. que ferá: 99999,7 :s í , 22.quefe pondrá en fu lugar, y quedará: 100000. enfrente<strong>de</strong> 5 2. min. y lo mifmo fe hará con el leñoPlana general. jpno <strong>de</strong> S. min. Y <strong>de</strong> efte mifmo modo fe profeguiránlas operaciones <strong>de</strong> bufcar los fenos <strong>de</strong>los arcos duplos, que fueren neceflarias, y colocarlosen fus <strong>de</strong>bidos lugares.Í L , Defpues con el feno <strong>de</strong> 1. min. y <strong>de</strong> a.min.;e bufcará por la proporf. 5. el feno <strong>de</strong> 3. min.' fe hallara fer : 87,26645. y fepondrán en laTbla 1. en fu lugar : 87. <strong>de</strong>fpues fe bufcaráfu feno 2. que es 1. <strong>de</strong> 89.grs. y 57.min. y fefallara fer: 99999,96192. y fe pondrá en fu|igar: 100000. Luego fe profeguirá, bufean-#0 los fenos <strong>de</strong> los arcos duplos , fegun fuere•eceirano , como yá queda dicho.Jufcara el feno <strong>de</strong> j.m.n y faUra: 145,44405.•e qiuen quitando los cinco números , queda»f 45- que fepondrá en fu lugar. Luego fe faca-Ja.lu feno 2 que es i.<strong>de</strong>89.grs. v 55-min. que£ra: 99999,89423. y ^dará en 100000. quefc pondrá en fu ugar. Defpues fe bufcará el^eno <strong>de</strong> el arco duplo <strong>de</strong> 5. min. que es el <strong>de</strong>lo. min. yfaldrá: 290,88779. <strong>de</strong> quien qui-¡nÍ?MC1IKO mmieros > 7 augmentando la•niüad por_ razón <strong>de</strong>l num. 8. primero <strong>de</strong>13Araun*? . qU,Un >
'si Trigonometría ,Defpues con los fenos<strong>de</strong> 3. - y * 4- n. *bufcará el feno <strong>de</strong> 7.min. que fera: %i£*J**que fe pondrá , lo que le correfpon<strong>de</strong> en fu fegar, que es enfrente <strong>de</strong> 7. min. «4. y halladoS e n el feno 2.que es i.<strong>de</strong> 89.grs.y53.mm.y fu valor :99999,79^9;
•,*Trigonometríamin. y la tangente <strong>de</strong> fu .complementa a elquadrante , que cs la <strong>de</strong> 90-grs. teft^Jgrá 60-jnin. ferá infinita: efto.es-, no terminada : porqueefta tangente es paralela con el radio , quetermina los 90.grs. <strong>de</strong>l quadrante , y afsi fepondrá en la columna <strong>de</strong> las tangentes <strong>de</strong> 1*2. tabla enfrente <strong>de</strong> 60. miu. efta voz:infnita.Bufqucfe ahora la tangente <strong>de</strong> i.nún^añadanfe10. ceros al feno primero : ao-.oB^Sa, ypartafe entre fu feno fegundo: 99999,995 7 6 -y vendrá al rocíente 29,08882. valor <strong>de</strong> latangente 1. que fe pondrá en fu lugar, quitandolos 5,números, y quedara 29. Para hallarla tangente 2. executeíe lo contrario, elloes: añádanle io.ceros al feno fegundo: 99999-99576. y partanfe entre el valor <strong>de</strong>l feno primero• 29,08882. y vendrá al cociente -343+-74672,74368. por valor <strong>de</strong> la tangente 2. <strong>de</strong>1. min- y i- <strong>de</strong> 8o.gts. y 59.mm. que fe pondráen fu lugar, haviendola quitado los 5. números, y quedará en : 343774
j6 Trigonometríacante primera BH. Porque en los triangulo»BGD.-BCH. las rectas DG.-HC fon perpendicularesá la BC por las <strong>de</strong>f. <strong>de</strong>l feno, y tangente, y por tanto hacen ángulos re¿tos conla BC. ( io. <strong>de</strong>f. i.) yferán paralelas (2S.p.i.)Luego en el triangulo BCH.por fer la DG. paralelaá la HC cortará proporcionalmente loslados BC-y-BG. ( 2.p.6, ) Luego fm: comoBG. iguala DE. ( 34.p. i. ) a BC afsi BC o fuigualBD. (i5.dcf.i.)áBRDigo lo fegundo , que el radio BC es me-Uio proporcional entre el feno i. DG. y lai fecante2. BY. Porque, fiendo los ángulos BFD.y BEY. redos, por las <strong>de</strong>f. <strong>de</strong>l feno, y tangente: ferán iguales^, (t 2. ax.) y el ángulo externoBFD. igual al interno BEY. opuefto , y•déla mifma parte : luego la FD. es paralela ala EY. (28.p. 1.) Y porque al lado EY. efta tiradala paralela DF. cortará efta los lados BE.y BY. proporcionalmente. ( 2. p. 6.) Luegoferá: comoBF. igualáDG.(34-P-*-K
-;..;-74-.7;. MÍ---í«S-r. IO.OOOO. H.^l
4° TrigonometríaTCAPITULODe los Logarithmof.ni.Oda reíolncion en qualquier trianguloíe hace mediante el conocimiento <strong>de</strong>las cuerdas, o fobtenfas <strong>de</strong> el circulo fenos, tangentes , y focantes con el ufo <strong>de</strong>la regla <strong>de</strong> tres ó <strong>de</strong> proporción, la queda a conocer el 4. termino : Y como eftaoperaciones no pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>xar <strong>de</strong> fer muy moleñas, don<strong>de</strong>, a<strong>de</strong>más déla fatiga, y canfancio<strong>de</strong> la cabeza, eftá, aun el mas dieftroAnthmerico , expueftb a no facarlas tanprecifas, como fe <strong>de</strong>fean , y fon menefteríl or eite motivo , queriendo nofotros evitarefta moleftia, y fatiga, y la ocafion <strong>de</strong> errarlas operaciones , Apondremos otros númerosartificiales , que.,.,fegun la admirableinvención | <strong>de</strong>l Caballero Juan Nepero, fe llamanLogarithmos ,. don<strong>de</strong>, fe fubftituye la fuma-enlugar <strong>de</strong> la multiplicación : y la operación<strong>de</strong> reliar en lugar <strong>de</strong> la <strong>de</strong>; partir. Y<strong>de</strong> efte modo quedarán las operaciones masfáciles, exaclas, y breves : para lo qual nosayudara el conocimiento <strong>de</strong> las figuientesDEFINICIONES.} Logarithmos fon unos números artificiales,que proce<strong>de</strong>n en progrefsion arith-me-Plana general. 4 1metica , que fe fubftituyen, y correfpon<strong>de</strong>n iotros números, que proce<strong>de</strong>n en progrefsiongeométrica.2. Progrefsion cs una ferie , ú or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>números continuada con algún excefib <strong>de</strong>tino á otro. Y es en dos maneras, que fon:Arithmetica, y Geométrica.3. Progrefsion Arithmetica es una ferie<strong>de</strong> números continuada con excefib <strong>de</strong> igualdad<strong>de</strong> uno á otro. Efte excefib pue<strong>de</strong> fer <strong>de</strong>augmento , ü <strong>de</strong> diminución. Será <strong>de</strong> augmento, quando el primer termino es menor,que el fegundo , y efte menor, que el 3. &ccomo en el exemplo prefente , en que eftánlos números: 1.3. 5. 7. 9. u. 13. 15. pueftosen progrefsion arithmetica , con el exceffo<strong>de</strong> 2. <strong>de</strong> un termino á otro , que es el expolíente<strong>de</strong> la progrefsion : y efta fe llama progrefsion-Arithmetica afcen<strong>de</strong>nte.Será también el excefib <strong>de</strong> diminución,quando el termino n fuere mayor, que elfegundo, y efte mayor, que el tercero, &c.don<strong>de</strong> el excedo: |.so. i 7 . 14. 11. 8. 5. a.<strong>de</strong> un.termino á otro cs 3. y efta fe' llamaprogrefsion Arithmetica <strong>de</strong>feen<strong>de</strong>nte , y el 3.cs también exponente <strong>de</strong> la progrefsion.4. Progrefsion Geométrica es una ferie<strong>de</strong> números continuada con excefib<strong>de</strong> igualda<strong>de</strong>n la multiplicación :" ó fea el excedo <strong>de</strong>augmento, ú <strong>de</strong> diminución. Efte excefib <strong>de</strong>Iausí-
4* Trigonometríaaugmento fe hallará en la progrefsion, quandoel termino r. es menor , que el,2. y fe llamaprogrefsion afcen<strong>de</strong>ntc, y partiendo el numerofegundo entre el primero, el tociente es el expolíente<strong>de</strong> la progrefsion , como en el exempioprefente : | i. 4.. 16. 64. 256. 1024.cuyos términos efián en progrefsion.geometricaafcen<strong>de</strong>ntc,y el expolíente es 4,porque,partiendoel 2. termino entre el 1. y lo mifmoqualquier termino entré fu antece<strong>de</strong>nte , faleal reciente 4. y afsi tiene igualdad en el exceffopor la .multiplicación : porque, multiplicandoel 1. termino por 4. produce el 2. teriniíw,y efte multiplicado por 4. produce el ?.y aí.si <strong>de</strong> los <strong>de</strong>más.; por cuya razón la dichaprogrefsion fe llama también afcen<strong>de</strong>ntc or<strong>de</strong>nadaen razón feíbqnadrnpla , por efta» fegtüdosxodoslos. términos, y fer contenidosen los immediaros figuientes 4. veces.Pero, el excefib en diminución fe conoce,quando ,el termino 1. cs mayor , que el 2. yentonces fe llama- pmgrefsion <strong>de</strong>feen<strong>de</strong>nte, ypara conocer el expolíente, que dá nombre ála progrefsion j fe partirá el primero terminoentre el fegundo , u otro qualquiera entre fu¡inmediato figuiente , y el tociente ferá elexponiente: | 243. 81. 27. 3. 9. i.- que febufca. Loque executado en la prefente ptogreísion, fale al tociente 3. que es el exponente; y por efto , y lo referido antes¡, fe llamarápro-Plana general. '43progrefsioa or<strong>de</strong>nada <strong>de</strong>feen<strong>de</strong>nte en razóntripla. .Supongafe. ahora una progrefsion geométrica, qualquiera que fea , como la puefta en"la columna A. <strong>de</strong> la tabla prefente , que escontinuada en razón fubdupla : y en lugar <strong>de</strong>los términos <strong>de</strong> efta progrefsion fubftituyamosotros en progrefsion arithmetica , comola <strong>de</strong> la columna B. cuyo exponcute es 2. ola <strong>de</strong> la columna C cuyo exponente cs 3. eftosnúmeros fubftitnidos fe llaman Logarij^h-. mos , y fe obra con ellos , fumando , u reftando, como en los <strong>de</strong> la progrefsion geométrica,. multiplicando , u partiendo : y el 1110-. do es el figuiente.. . Formefe una re-¿la <strong>de</strong> tres, dlcien-• do: Si 2. vienen <strong>de</strong>1.4. el numero .8,.<strong>de</strong> don<strong>de</strong> vendrá?-Obrefe por la regla• genera!, multipli-A. B. C.1,— rrrr i... _o.2. 3. T-3"4.—r-- 5- ] 6..£.,r 7- H 9-¡6. —9. —-—12,r~——Efe—- 1 *"- cando el 2. termino4. por. el tercero 8. y producen 3 2.y partanfc¡2.entre el 1. termino 2. y viene al 4. termino16. Eftas operaciones fe executan co»mayor facilidad por los logárithmos , tomandolos números correfpondientes á los númerosdados en la regla <strong>de</strong> tres , y fumandoel fegundo y tercero, y <strong>de</strong> la fuma reliandoeltcr.mi < •-——-i II
fci'44 Trigonometríael i. y el refiduo , buícado en la progrefsionarithmetica, dará en la gcomettica el termino, que fe bufca, que es el 4. como fepracticaráen los cxemplos figuientes.La regla <strong>de</strong> 3. <strong>de</strong>cia : Si 2. vienen <strong>de</strong> 4. elnumero 8. <strong>de</strong> don<strong>de</strong> vendrá ? Tomenfe en lacolumna B. los números correfpondientes a' los dados en la progrefsion geométrica , ycorrefpon<strong>de</strong>rá al 2. el numero 3. al 4. correfpon<strong>de</strong>5. y al 8. correfpondc 7. Sumenfeel fegundo , y tercero termino , que fon5. y 7. y hacen 12. <strong>de</strong> quien fe refta el 1.que es 3. y ferá el refiduo 9. bufquefe enla progrefsion arithmetica B. y correfpon<strong>de</strong>ráen la geométrica A. 16. que es lo mifmo,que antes fe halló por las operaciones <strong>de</strong>multiplicar, y-partir.Tomenfe también- en la progrefsion arithtrieticaC. los números correfpondientes álos dados en la regla- <strong>de</strong> 3. que eran 2. 4. 8.y ferárt : 3. 6. 9. fumenfe fegundo 6. y tercero9. y harán 1 5. <strong>de</strong> quien reliando 3. que csel i. quedarán 12. que bufeado en C correfpon<strong>de</strong>en la columna A. á 16.- y es lomifmo, que en las operacionesantece<strong>de</strong>ntes.CA»Plana general.CAPITULOIV.45DE LA NATURALEZA,y propriedad <strong>de</strong> los Logarichmos.PROPOSICIÓN PRIMERA.EN QUALQUIER PROGRESSIONarithmetica ¡afuma <strong>de</strong> los medies es iguala la fuma <strong>de</strong> los extremos.SEa la progrefsion arithmetica la prefenteafeen<strong>de</strong>nte continuada háfla fíete términos, cuyo exponente es 2. Digo , que la fu-| ma I 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. <strong>de</strong> el primero 1.1con ultimo 13. que hace 14. es igual á lafuma <strong>de</strong>l feg. 3. conelfexto II. y también ¿la fuma <strong>de</strong>l tercero 5. con el quinto 9. queliemprees 14. y al duplo <strong>de</strong> el termino quarto,que es 7. que también hace 14.De don<strong>de</strong> fe ligue , que dados tres términosarithmeticos proporcionales , fumandolos términos fegundo , y tetcero , y <strong>de</strong> lafuma redado el 1. el refiduo ferá el terminoquarto , que fe bufca: v.'g. Denfe los términos8. 10. 12. fumenfe los últimos 10. y 1 2. yhacen 22. <strong>de</strong> quien reliando 8. quedan 14,que cs el 4. termino.. Lo mifmo focedla 4 aunque los tetmi-' nos
4^ Trigonometríanos no fean continuos proporcionales : v.g.Sean los términos 8.10. ao. la fuma <strong>de</strong> los dosúltimos es 30. <strong>de</strong> quien reliando el primero8. quedan 22. por el quarto termino , quefe bufca.Pero fi fe quifierc bufcar el tercero termi-*no, dados el 1. y 2. dupliquefe efte, y <strong>de</strong>l duploreftefe el 1. y el refiduo ferá el 3. V.g. Seatfdados 1 2.y 20. el duplo <strong>de</strong> 20. es-40. <strong>de</strong> quierereliando 12. quedan 28. tercero termino, quefe pretendía.PROPOSICIÓNII.En qualquier a progrefsion geométrica el pmduílo<strong>de</strong> los extremos es igual al producto<strong>de</strong> los medios.SEa propuefta la progrefsion geométrica afcen<strong>de</strong>ntccontinua en razón íubdunlabada 5. términos. Digo , que el produéto'<strong>de</strong>los extremos 2. por 32. que es 64. cs igual alproducto <strong>de</strong> los medios 4. por 16. que cs también6¡. y al produéfo <strong>de</strong> 8. por si mifmo,quetambién es 64. que es el quadrado <strong>de</strong> 8.De don<strong>de</strong> fe infiere la praftica<strong>de</strong> la regla <strong>de</strong>tres, ó <strong>de</strong> proporción: Porque dados 3. términosgeométricamente proporcionales , feancontinuos , ó no lo fean , multiplicando el feguudopor el tercero, y partiendo el productocn-Plana general. 4^entre el primero, el tociente dará el quarto terminov. g. Sean dado? los términos 4. 8. 16..multiplicados 16. por \ 2. 4. 8. 16. 32. 8„producen 128. que partidos entre 4. viene alrocíente 32. quarto termino, que fe bufca.Sean también dados los 3. términos 5.25.145.,el p.rodufto <strong>de</strong>l 2. por el tercero es: 3625.quepartidos entre el 1. termino 5. viene al tociente: 7 2 5- quarto termino, que fe bufca.Pero fi fe quiere bufcar el tercero terminageométrico , dados el 1. y 2. fe quadrará el 2&termino , y fu quadrado fe partirá entre el 1. j».el tociente dará el 4. rermino: v.g. Sean dadoslos términos: 5. 25. quadrefe el 25. y ferá fuquadrado 625. partafe entre el 1. termino 5*y vendrá al rocíente 125. valor <strong>de</strong>l 3. termi*«o , que fe pretendía.PROPOSICIÓNIII.De ¡afirmación <strong>de</strong> los Logaritbmos.LOs Logarithmos, <strong>de</strong> que al prefente tratamos,fon en dos maneras, que fon: Directos, y Retrogados. Logarithmos directosfon,los que proce<strong>de</strong>n con igual excefib <strong>de</strong> augmento,u <strong>de</strong> diminución, al modo, que los términos<strong>de</strong> la progrefsion geométrica crecen, ódiminuyen. Los Retrogados fon , los que proce<strong>de</strong>ncon excefib <strong>de</strong> augmento, quando hpro-I
4S Trigonometríaprogrefsion geométrica diminuye; ó los queproce<strong>de</strong>n con excefib <strong>de</strong> diminución, quandola progrefsion geométrica crece en fus términos.Efto fupuefto » eligiremos los Logarithmosdirectos, por fer fus operaciones masfáciles para los no Cürfados en las operacionesalgébricas : y también eligiremos en las.progresiones geométricas, y arithmeticas,aquellas , que los Authores <strong>de</strong> mas fama han«fado ^ por haverlas hallado mas conformes!y afsi eligiremos <strong>de</strong> las geométricas, la queproce<strong>de</strong> en razón fub<strong>de</strong>cupla, cuyos terminasfon : 1. 10. 100. &c. como parece enJa tabla figuiente: y entre las arithmeticas,la que comienza en o. y profigue excediendofeen la unidad, á quien fe añadirán fíeteceros , para que con mayor exactitud puedanhallarfe los términos intermedios <strong>de</strong> laprogrefsion geométrica, y el modo es el figuiente.Formefe primeramente la progrefsiongeométrica afeen<strong>de</strong>nte en razón fub<strong>de</strong>cupla,y tomefe por primero termino 1. quemultiplicado por 10. hacen 10. y efte multiplicadopor 10. produce 100. y efte por IO»Iproducen 1000. y afsi fe feguírá hafta 11*términos con la multiplicación <strong>de</strong> 10. porfer fupuefta la progefsion en razón fub<strong>de</strong>?cupla*PePlana general. 49Defpues fe pondrán enfrente los términosnaturales <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1. hafta 11. Y últimamentefe pondrán enfrente unos <strong>de</strong> otros los 1 r.términos <strong>de</strong> la progrefsion Arithmetica corref^bndicntcsá los <strong>de</strong> la progrefsion Geométrica, comenzando <strong>de</strong>f<strong>de</strong> o. hafta 1 o. los qualesvan fegregados<strong>de</strong> los Prog.Geom. Trons. Prog.Aritb.ceros , que fe . .<strong>de</strong>ben añadir , por 1.medio <strong>de</strong> un pun- 10.to, para <strong>de</strong>notar 100.la caraeterifti- 1000.ca, afsi llama- 10000.da : porque 100000.es carácter, 1000000.ó feñal, 10000000.que dá 100000000.a cono- 1000000000.cer, 10000000000.quán-I.2.3-4-5^6.7'8.9.10.11.0.0000000.I.OOOOOOO.2.0000000.3.0000000.4.000COOO.5.0000000.6.0000000.•7.0000000.S.OOOCOOO.9.0000000.IO.OOOOOOO.tos números , ó cifras tiene el numero <strong>de</strong> laprogrefsion Geométrica correfpondicntc, elqual fiempre tiene uno mas, que las unidad<strong>de</strong>s, que tuviere la caracteríftica. Y afsi quandola caracteríftica cs o. <strong>de</strong>nota , que el termino, que le correfpon<strong>de</strong> en la progrefsiongeométrica, tiene un numero : y quando lacaratteriftica es 4. dá á enten<strong>de</strong>r , que fu ccrrefpondienteen dicha progrclsiou gcome-Dtri-fe
Ijo TrigonometríaPlana general. 5 rtrica , tiene 5. números, y afsi fe <strong>de</strong>be tenes ráel quarto termino : 3. 0000000. corrcfpondienteá 1000. en la progrefsion geométrica, yentendido en las <strong>de</strong>más caraéterífticas.<strong>de</strong> efte modo fe fabricará la tabla hafta losCAPITULO V.«1. términos , como en ella parece.DE LA FABRICA DELogarithmos.LOSPROPOSICIÓN PRIMERA*Dado el Logar ithmo <strong>de</strong>l primero, y fegundo termino<strong>de</strong> una progrefsion geométrica , bailar leíLogarithmos <strong>de</strong> los <strong>de</strong>más términos <strong>de</strong>dicha progrefsion.SEan dados los términos primero , y fegundo<strong>de</strong> la progrefsion geométrica 1. - y -10. y los términos logaritlimicos lus correfpondientes: o.0000000. - y - 1,0000000.y fe quieren hallar los <strong>de</strong>más términos reftanrtes. Reftefe el menor termino <strong>de</strong>l mayor enla progrefsion arithmetica , y ferá el refiduo*1.0000000. el que añadido al fegundo termino, u fumado con el fegundo termino, daráel tercero termino: 2. eóooooo. que correfpon<strong>de</strong>á 100. <strong>de</strong> la progrefsion geométrica: y añadiendo fiempreefte excefib al terminoultimo, refpecto <strong>de</strong> fer la progrefsion afcen<strong>de</strong>ntc, dará el figuiente : y afsi fumando:a. 0000000. con el excefif© 1. 0000000. dataPROPOSICIÓN II.lt>ados los términos exiremos geométricamente[proporcionales , en qualquier a progrefsion geométrica, y dados fus logarithmos, hallarlos logarithmos intermedios.SEan dados los términos extremos : 1. -y-10000000000. <strong>de</strong> la progrefsion geométrica, y fus logarithmos correfpondientesfean: o. 0000000. -y-10. 0000000. comoparece en la tabla antece<strong>de</strong>nte , y fe pi<strong>de</strong>nlos logarithmos intermedios , fien do 11.el numero <strong>de</strong> los términos. Reftefe el menor<strong>de</strong>l mayor, y partafe el refiduo entre el numero<strong>de</strong> los términos menos 1. y el tocientedará la diferencia <strong>de</strong>l termino 1. al 2. y <strong>de</strong> efteal 3. &c. la que añadida al 1. termino, daráel 2. termino , f añadida á efte , dará el 3.&c. Por lo qual , reliando o. ooóoooo. <strong>de</strong>:10. 0000000. queda en el refiduo : 10. ooóoooo.que partido entre 10. potque los términosfon 11. faldrá al rocíente: i. 0000000.diferencia <strong>de</strong> los términos , que añadida áDiel
5 3 Trigonometríael i. termino: o. ooooooo. dará el fegundotermino : i. ooooooo. y añadida á efte, dará;a. ooooooo. termino 3. y <strong>de</strong> efte modo le hallaránlos .<strong>de</strong>más términos hafta los 11. términos, que es lo que fe pedia.PROPOSICIÓNIII.Hallar los Logarithmos <strong>de</strong> todos los numerofcomprebendidos entre dos términos <strong>de</strong> unaprogrefsion geométrica , y losSimmediatos.Ean dados los dos primeros términos <strong>de</strong> laprogrefsion geométrica 1. -y- 10. y faslogarithmos correfpondientes : o. ooooooo. -y- 1. ooooooo. y le preten<strong>de</strong> fabcr, quales fean,los logarithmos <strong>de</strong> los términos comprebendidosentre r. -y- 10. que fon ocho , conviene,á faber : 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Añádanleá los términos dados <strong>de</strong> la progrefsiongeométrica fiete ceros, para que lalgan mas,ajuftadas las opera:.ones, y póngale en unatabla, como la prefente en A. -y-B. y b.ifquefeentre ellos un medio geométrico ^multiplicandoel uno por el otro , y <strong>de</strong>l productolaquefe la raíz quadrada, y efta ferá el mediogeométrico , que fe bufca , que ferá:3. i622 77 6. quefe pondrá entre los dos términosdados en C en la dicha tabla , comoparece. Pero porque , para proce<strong>de</strong>r feguida-men-Plana general ¿i(mente en el modo <strong>de</strong> hallar eftos términos1 intermedios , fe <strong>de</strong>be bufcar, lo que corref-Ipondcal termino <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong>l 1. que es 2. elque fe ha <strong>de</strong> fuponer con fiete ceros , comotambién fe añadieron á los términos dados1.-y- 10. y el medio geométrico , que fe ha[hallado ahora C es mayor , que J 2. ooooooo.'fe infiere, que fe hallará 2.0000000. entre1. ooooooo. yC. 3. 1622776. Y por efto[fe bufcará entre A. - y - C otro medio geométrico, <strong>de</strong>l mifmo modo, que el antece<strong>de</strong>nte,y faldrá D. que es n. 7782794. que fepondrálenlata-'bla enI tre A. -y-C comoencllaeftápuefto.Y porqueeftemedieD. esmenor,que elque febufca,que es:A.CB.A.D-CD.E.CD.F.E.3.0000000.I. ooooooo.J. I¿22 77 6.IO.OOOOOOO.I.OOOOOOO.1.7782794.3.1622776.1.7782794.a-371?7?7-3.162277a.1.7782794.2.0535250.2-37*37*7-0. ooooooo.0. 5000000.1. ooooooo.0. ooooooo.0. 2 5 00000.0. 5000000.—0. 2500000.0. 3750000.0. 5000000.0. 2500000.0. 3125 000.0. 3 7 50000.Vi 00-
I54 Trigonometríaoooooo. fe bufcará entreD.-y-C. uno rtü*ñor , y otro mayor , otro medio geométrico,queferáE. 2. í7 i 37í7 . quefepondritambién en la tabla entre D. -y- C. y porquees mayor , que: 2. ooooooo. que fe bufca, feinfiere , que efte fe ppdrá hallar entre D. -y-E. y afsi fe profeguirá, facando otro mediogeométrico entre D. menor, y E. mayor , yfaldrá F. que también es mayor, que el termino, que fe bufca, que cs : 2. ooooooo.que fe pondrá en la tabla, y <strong>de</strong> efte modo feirán continuando las operaciones <strong>de</strong> facarmedios geométricos entre el próximo menor,y mayor á: 2.0000000. hafta que falgapor medio geométrico el mifmo termino:a.ooooooo. quefe bufca,Haviendo hallado el medio geométrico»2. ooooooo, que correfpon<strong>de</strong> al numero 2.fe tomatán fus logarithmos correfpondientesá los dos términos dados primero A. -y-B. que fon ; o. ooooooo. ry-i. ooooooo. entrepilos fe facará un medio arithmetico,fumando ambos términos, y <strong>de</strong> la fuma , queís : 1. ooooooo. facando la mitad, que es;o. 5000000. ferá el medio arithmetico , quecorrefpon<strong>de</strong> á C. que fe pondrá en la tabla,cada uno frente <strong>de</strong> fu correfpondiente. Defpuesfe tomarán los logarithmos correfpondientesá-A-y-C que fon: 0.0000000.-y-o. 5000000. y fe colocarán en la tabla,pa-Plana general. • Í5 m«ara facar entre ellos otro medio arithmetico, que ferá: 0.2500000. y correfpon<strong>de</strong> aD. y <strong>de</strong> efte modo fe profeguirá , facandomedios arithmeticos, guardando liempre elmifmo or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> poner el logarismo correfpondientefrente <strong>de</strong>l mifmo termino , comofe pue<strong>de</strong> ver en la tabla, en quefe hallapor medio geométrico: o. 3750000. entreo. 2500000. -y- o. 5000000. que correfpon<strong>de</strong>á E. y el que correfpon<strong>de</strong> á F. fe halla entrelos correfpondientes á D, - y - E. que es:o. 3125000. y <strong>de</strong> efte modo fe profeguirá, fa-I cando tantos medios arithmeticos ,_ quantosfe han facado geométricos , y el ultimo ferá:' o. 3010300. que es el logarithmo, que correfpon<strong>de</strong>al dicho numero 2. ooooooo. <strong>de</strong>cuyo logarirhmo, quitando los tres últimosnúmeros, que fon 300. refpe&o <strong>de</strong> que hemosdado valor al radio: 100000. quedan:o. 3010. por logarithmo correfpondiente al«minero 2. haviendole quitado los fiete ceros, que antes fe le añadieron. Pero para quelas operaciones <strong>de</strong> hallar los <strong>de</strong>más términosintermedios fe hagan con mayor precifion,fe <strong>de</strong>xarán por ahora los números todos, quefalieron en el ultimo medio arithmetico ; peroirán fegregados <strong>de</strong> los que han <strong>de</strong> ferviren la tabla <strong>de</strong> los logarithmos, por medio <strong>de</strong>una coma, para fu mayor diflincion, comoparece en la tabla puefta al fin <strong>de</strong> efta propo-D 4 . *"
5^ Trigonometríalición , en que fe pondrán los logarithmos <strong>de</strong>los dos temimos primeros dados, i.-y-io.:y el que ahora fe ha hallado , correfpondienteal num. 2.Con el mifmo or<strong>de</strong>n , que fe ha guardado,para hallar el logarithmo correfpondiente alnumero abfoluto 2. fe hallarán los <strong>de</strong> los <strong>de</strong>masnúmeros primos, que fon aquellos, á quienes_ fofamentemi<strong>de</strong> la unidad , y no fon producidos<strong>de</strong> otros números: como el 3. el 5. yel 7. Y executando la doctrina dada, faldrá portermino logarithmico, correfpondiente al numeroabfoluto 3. en el ultimo medio arithmetico: o. 4 77 i2i2. que fepondrá también en latabla figuiente.Al_ num. 7. corrcfpon<strong>de</strong>rá el ultimo medioarithmetico : o. 8450980. que fe pondráen la tabla figuiente, como en ella parece, y tallanque hallar los logarithmos <strong>de</strong> 4. 5.6. _ 8. 9. q U e fe bufcarán <strong>de</strong>l modo figuiente.Primeramente fe bufcará el logarithmocorrefpondiente al numero 4. duplicando ellogarithmo correfpondiente al numero 2.que es o. 3010300. y fo duplo: o. 6020600. cslogarithmico correípondiente á el numero 4.que también fepondrá en la tabla, y la razón <strong>de</strong>efta operación le dará en la propoficion 6. figuiente,Defpues fe figue el logarithmo <strong>de</strong>l numeroPlana general.SfVo 5. cuya doctrina le dará en la propoficiori5. figuiente , y fe hace por ahora , tomando ellogarithmo correfpondiente al numero 10. y,<strong>de</strong> él fe tomará la mitad . que es el logarithmo,que correfpon<strong>de</strong> al numero abfoluto 3. y ferelia <strong>de</strong>l logarithmo <strong>de</strong> 10. y el refiduo feráel logarithmo correfpondiente al numero abfoluto5. que ferá: o, 6989700. quefe pondráen la tabla en fu lugar.Luego fe bufcará el logarithmo correfpondienteal numero abfoluto 6. fumando los logarithmos, que correfpon<strong>de</strong>n á los númerosabfolutos 2. -y- 3. y ferá : o. 7781 512. que fepondrá en fu lugar en la tabla , y también fedará la razón <strong>de</strong> efta operación en la propoficion4. figuiente.Defpues fe bufcará el logarithmo, quecorrefpon<strong>de</strong> al numero abfoluto 9. <strong>de</strong>l modo, que fe bufeo el correfpondiente al numero6, y íi explicará, en la propoficion 6. queferá , to nando el logarithmo correfpondienteal numero 3. y fu duplo, que es: 0.9542424.es el logarithmo , que ccrrefpcivle al dichonumero 9. que fe pondrá en la tabla.Últimamente fe bufcará el logarithmo,que correspon<strong>de</strong> al numero abfoluto 8. tomandoel logara limo ,• que correfpon<strong>de</strong> á elnumero abfoiuto 2. y fu triplo ferá el logarithmo, que correfpon<strong>de</strong> al numero abfoluto8. cuya razón fe dará en la propoficion 6.figuiente.Con.I,i
58 TrigonometríaCon eftos logarithmoscorrefpondientesáN Logarithmos.los diez números l o. oooo, 000.abfolutos:i.2.3.2 o. 3010, 300.4- 5.6.7.8.9.10,s 0.4771, 212.que eftán puef-£ 4 1 o. 6020,600.os en Ja prefentetabla, que5 I o. 6989, 700.fe repetirá al fin<strong>de</strong> efte Tratado;0.7781,512.pero con folos 7 o. 8450, 980,8quatro númeroso. 9030, 900.<strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> la cara£ieriftica, <strong>de</strong>—0.9542,424.10I I. 0000, 000.*ando los tres , que fe hallan <strong>de</strong>fpues dc'la coma,reípecto <strong>de</strong> que el radio lo hemos fupuefto<strong>de</strong> 100000. fe podrá continuar, quantoquifiere el operante; pero nofotros la continuaremosfolamente hafta el numeró abfoluto:1000. por fer muy fun<strong>de</strong>nte , para obrarenJas operaciones Trigonométricas ; a<strong>de</strong>másque, h tal vez fe necefsitáre <strong>de</strong> mayor nume-,ro le dará <strong>de</strong>fpues regla, para hallar fu logarithmocorrefpondiente : y el modo<strong>de</strong>feguir«icha tabla, es el figuiente.Tomenfe los logarithnxs <strong>de</strong> 2. -y- 6. yWnfe, y Ja foma ferá logarithn-o <strong>de</strong> 12.1 ce 2. - y - y. fumados darán el logarithmo
** Trigonometría<strong>de</strong> los números 10. y 8. y la diferencia <strong>de</strong>«nos, y Ja femidiferencia , que o. 9031 - 8ícra mayor, <strong>de</strong> la que corref- 1. 0000 - 1 o.pon<strong>de</strong> a la, que <strong>de</strong>be haverentre 10. - y „ u. Tómenletambién los logarithmos<strong>de</strong> 12. -y . I4. | a diferenciaentre ellos , y la femidiferen-Cia, que ferá menor <strong>de</strong> la quecorrefpon<strong>de</strong> entre 10. -y n.La primera femidiferenciacs : 485. Ja fegunda: 33 5. Súmenteeftas dos femidiferenrcias , que importan 820. faquefela mitad, que cs: 410. yfumefe con el logarithmo <strong>de</strong>10. y hará el logarithmo <strong>de</strong>!ii. que fe diferencia <strong>de</strong>l queefta puefto en las tablas <strong>de</strong>I.I.1.I.9694850792146166933582041000000410los logarithmos en 4. diez milefimas partes,que 1 en la práctica es <strong>de</strong>l todo <strong>de</strong>ípreciable,y mientras mayor fuere el numero , ferámenor el error, como fe verá en el exempíofiguiente:Se preten<strong>de</strong> bufcar el logarithmo, quecorrefpon<strong>de</strong> al numero 29. Bufquenfc los logarithmospróximos immediatos menores,<strong>de</strong>xando uno intermedio , que fon los <strong>de</strong> losnúmeros 26. - y - 28. tomefe la diferencia <strong>de</strong>ellos, y la femidiferencia , que es : 161. mayor,#12-14.*——.IO.ir-Plana general.r 6iyor, que la que fe bufca: Tomenfe tambiénlos dos logarithmos próximosmayores, <strong>de</strong>xando tam1. 44-72 28.1. 4150 26*bién otro intermedio , quefon los <strong>de</strong> los números 30. - 322y - 32, faquefe la diferencia 161 *<strong>de</strong> ellos , y la femidiferencia,que cs : 140. que ferá menor, que la que fe bufca : fu5051 3 2 -477 * 30.menfe eftas dos femidiferencias, que hacen : 301. faquefela mitad , que es : 15 r - 140 *280diferencia, que fe bufca , quefumada con el logarithmo<strong>de</strong> 28. importa: 1. 4623. quefe diferencia <strong>de</strong> el puefto enlas tablas en fola 1. diez301I5i4472 2Ímilefima parte, como parece 1. 4623 29.en el excmplo : Para la práctica<strong>de</strong> los logarithmos en el modo <strong>de</strong> bufearlos,ferviránlas Propoficiones figuientes.PROPOSICIÓN IV.Dados los Logarithmos <strong>de</strong> dos.,0 mas numeros,baAllar el logarithmo <strong>de</strong>l producto <strong>de</strong>dichos números.SEan dados los números 2. - y - 3. y fus logarithmosA. - y - B. y fe pi<strong>de</strong> <strong>de</strong>l producto6. fu logarithmo. Súmenle los logarithmos
*6i Trigonometríamos dados A. - y - B. y lafuma C es el logarithmo<strong>de</strong>l num.6. producto<strong>de</strong> los dos números dados2. - y - 3. que fe bufcaba.Nota, que aunqueA.-o.B.-o.C.-o.•Aaa3010. - 2.4771.-3..7781.-6^en la tabla logarithmica fe halla por lpgarithmo<strong>de</strong>l dicho num.6. - 0.7782. y aqui no falemas, que : 0.7781. no es yerro ni en una, niotra parte : porque en la tabla, quando fe formó, como fue con mayor numero <strong>de</strong> números, y fe quitaron los , que havia mas <strong>de</strong>los , que fe han elegido para fu formación , elprimero <strong>de</strong> los , que fe quitaron era 5.y por efta razón fe augmentó el logarithmoen una unidad, y ahora fe ha obrado con fololos números <strong>de</strong> dicha tabla, y por efto falela unidad menos; pero efto importa nadapara las operaciones trigonométricas.Sean también dados los numer. 2.-3.-4.-y fus logarithmos A.-B.-C. y fe preten<strong>de</strong>faber , qual fea el logarithmo <strong>de</strong> 24. producto<strong>de</strong> todos ellos. Sumenfelos tres logarithmosdados, y la fumaD. es el logarithmo<strong>de</strong> 24. productoA. -o.B. -o.C-o.3OIO. - 2,477 I -"3'6021.-4.D.-1. 3802.- 24.<strong>de</strong> la multiplicacióndy a». - ¿, - 4. unG$ por otros,.PRO-Plana general.PROPOSICIÓN V.'6%Dados los logarithmos <strong>de</strong> dos números, bailar,el logarithmo <strong>de</strong>l tociente <strong>de</strong> la partición<strong>de</strong> uno entre otro.SEan dados los logarithmos A. - y - B. <strong>de</strong>10. y 2. y fe <strong>de</strong>fea faber el logarithmo <strong>de</strong>C -0.6990. -5.el num. 5. tociente <strong>de</strong> la partición <strong>de</strong> 10. enA.- 1.0000.-1 o.B - 0.3010, - 2.tre 2. Reftefe el menorB. <strong>de</strong>l mayor A. y el refiduoC. ferá logarithmo<strong>de</strong>l numero 5. tociente<strong>de</strong> la partición <strong>de</strong>l numeromayor 10. entre el menor 2. La razón <strong>de</strong>efta operación , y <strong>de</strong> la executada en la propoficionantece<strong>de</strong>nte cs : porque en las operacioneslogarithmicas el fumar , y reftar, correfpon<strong>de</strong>en números abfolutos á multiplicar, y partir , como queda antes referido.PROPOSICIÓNVI.Hallar ¡os Logarithmos <strong>de</strong> las potejia<strong>de</strong>s,y raizes.DAdo el logarithmo <strong>de</strong> un numero abfoluto, fi le duplica, dará el logarithmo<strong>de</strong> fu quadrado, y fi fe triplica, dará elIp-
'\o> Trigonometríalogarithmo <strong>de</strong> fu cubo: A.- o. 3010. -IVV» g. Sea el logarithmo' —•• — . i ,„ ^dado A. <strong>de</strong>l num. 2. y fe B. - O. 6o 20. -4.pi<strong>de</strong> el logarithmo <strong>de</strong> fuquadrado 4. y el <strong>de</strong> fu cubo8. Dupliquefe el loC.-o. 9030. -8.garithmo A. y ferá fu c uplo B. logarithmo<strong>de</strong> fu quadrado 4. Y tripliquefe el mifmo logarithmoA. y ferá C. el logarithmo <strong>de</strong> fitcubo 8. y <strong>de</strong> efte modo fe hallaron los logarithmos<strong>de</strong> los diez números pueftos cu la tablaantece<strong>de</strong>nte en la propof. 3. y fe podránhallar los reliantes , hafta completar el numero,que fe quifiere.Dado también el quadrado, u cubo <strong>de</strong>qualquiera numero abfoluto, fe hallará furaíz , tomando el logarithmo <strong>de</strong>l quadradodado, y <strong>de</strong> él fu mitad corrcfpon<strong>de</strong>rá á laraíz quadrada , y tomandola tercia parte <strong>de</strong>l loD.-o. 6021. -4.garithmo <strong>de</strong>l cubo, corrcfpon<strong>de</strong>rátambién á laE. -o» 3010. -2.raiz cubica: v. gr. Sea F.-o. 9031.-8.dado el logarithmo D. <strong>de</strong>el'numero quadrado 4. 1 G.-o. 3010.-a.y fe bufca el logarithmo<strong>de</strong> fu raiz 2. Saquefe la mitad <strong>de</strong>l logarithmoD. dado, que es E. que ferá logarithmo <strong>de</strong> 2.raiz quadrada <strong>de</strong> 4.Sea también dado el logarithmo F. <strong>de</strong> elnu-Tlana general. 6fftümero cubico 8. y fe quiere faber el logarithmo<strong>de</strong> fu raiz cubica : faquefe la terciaparte <strong>de</strong>l logarithmo dado F. que ferá G. y esel logarithmo, que fe bufca.PROPOSICIÓN VILI §íallar el logarithmo <strong>de</strong>l medio proporcionalSentre dos logarithmos dados.Ean dados los logarithmos A. - y - B. <strong>de</strong>los números 2. y S. y fe bufca el logarithmo<strong>de</strong>l medio proporcional geemnrico,que cs 4. fumenfe ambos I A. o. 3010. 2.logarithmos dados A. -y- B. B. o. 9031. 8.y la fuma es C. <strong>de</strong> quien i ..tomando la mitad, que es C 1. 2041..D. es medio arithmetico ,entre los logarithmos da- D. 0.6021. 4..dos , correfpondiente á el | —.numero ^ ^abfoluto 4. medio proporcionalgeométrico entre los dos números dados 2.,y 8. que fe pretendía.PROPOSICIÓN VIII.Del ufo <strong>de</strong> la tabla <strong>de</strong> los logarithmos.* J jf. I.Vado un numero abfoluto <strong>de</strong> los contenidos r»la tabla logaritbmica , bailar fu Joga-'-.. fithmo correfpondiente.OUpuefta la conftruccion <strong>de</strong> la tabla loga*V^ nthmjca bafta el numero 1000. que es el. fi fn-.&N.
66 Trigonometríafun<strong>de</strong>nte para las operaciones trigonométricas, ó mayor, fegun fuere el gufto <strong>de</strong> elque la fabricare. Y fupuefto también, que fecompone <strong>de</strong> 2. columnas , y que la primeracontiene los números abfolutos, y la fegundalos logarithmos, que les correfpon<strong>de</strong>n,ahora fe dcfea faber el logarithmo , que correfpon<strong>de</strong>á qualquiera numero abfoluto dado: v. g. Sea dicho numero dado 135. y fequiere faber, que íogaritlimo le correfpon<strong>de</strong>.Bufquefe en la primera columna el dichonumero abfoluto 135. y fe hallará en la mifmalinea en la fegunda columna: 2. 130,$.,que ferá el logarithmo, que fe bufca.$. II.Dado un numero abfoluto , mayor, que los contenidosen la tabla logar itbmica, bailar fulogarithmo correfpondiente.SEa dado el numero 1497. y fe <strong>de</strong>fea fabeffu logarithmo. Refpecto <strong>de</strong> que efte numerodado es mayor, que.los queeftán en latabla logarithmica , fe apartará el ultimonumero 7. y quedarán 149* que fe pondrán»aparte, y el 7. fe pondrá <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> una ijique fignifica mas , por numerador <strong>de</strong> un quebrado,cuyo <strong>de</strong>nominador ferá la unidadcoa tantos ceros, quantos números tuviereelPlanageneral. 6yel numerador : y porque el numerador tieneun numero , ferá el <strong>de</strong>nominador10. ;y queda,1497rá el dicho numer. 1497 149^1en 149^^ Bufquefe elF. 3.1752.1497.E.A.B.C202.1732. 149.:2.1761. 150..logarithmo <strong>de</strong> 149. queferá A. Tomefe también.«1 logarithmo <strong>de</strong>l num.próximo mayor 150. queferá B. tomefe la diferencia<strong>de</strong> eftos dos logarithmos,que esC ymultipliquefepor el 7. nume7rador <strong>de</strong> el quebrado, y E, 20(3producen 2 03. que fe partiráentre el <strong>de</strong>nominador „<strong>de</strong> el quebrado, que por fer 10. fe quitará unnumero <strong>de</strong> mano <strong>de</strong>recha , y quedará 20. portociente, como patece en E. que fe pondrá fobreA. para fumarlo con A. y la fuma F. es ellogarithmo, que fe bufca, haviendo augmentadola caracteriftica <strong>de</strong> tantas unida<strong>de</strong>s,como huviere números en el numerador <strong>de</strong>lquebrado, ú ceros en el <strong>de</strong>nominador, qu»por fer uno, quedará el logarithmo correfpondienteal dicho numero abfoluto 1497. elque efta en F. que es : 3. 1752. como pareceen el exemplo. Efto fupuefto fe hallarán loslogarithfljQs. correfpondientes á los fenos natu-Ea 1»,29
s68 Trigonometríarales, en el modo, que dice la Propofido»figuiente.PROPOSICIÓNIX-Hallar los logarithmos correfpondientesÁ los finos,PAra hallar los logarithmos correfport-*dientes á los fenos naturales, fe tomaránpor números abfolutos los números, quecontienen los fenos naturales, que quedanpueftos en la tabla <strong>de</strong>l cap. 2. propof. 2. y febufcarán fus logarithmos correfpondientes<strong>de</strong>l modo , que queda dicho en la ptopof. an-»tccc<strong>de</strong>nte , y fe irá conftruyendo, con lo quercfultáre, la tabla <strong>de</strong> los fenos logarithmicos.,Pero porque el feno natural <strong>de</strong> o. es o. darápor feno logarithmico el mifmo o. que fepondrá en fu lugar en la tabla referida antece<strong>de</strong>ntemente, y fe bufcarán los logarithmos<strong>de</strong> los <strong>de</strong>más fenos en el modo figuiente.Para hallar el feno logarithmico <strong>de</strong> i*minuto, fe tomarán los números , quefe bailaroncorrefpon<strong>de</strong>r al feno natural <strong>de</strong> 1. minut.en la 2. part. prop. 7. que fon: 29,08882.1como parece en A. <strong>de</strong> quien fe tomarán lostres primeros números por entero , y con losreftarttes fe formará el quebrado, como fe4ixo en la prop. antece<strong>de</strong>nte, como parecee*Planageneral. 69en B. Defpues fe bufcará en la tabla loga-irithmica el loga- A. 29, 08882.ríthmo, que correfpon<strong>de</strong>al numer.enrero290. que es C.y á fu próximo mayor291. que es D.fe tomará la diferencia<strong>de</strong> ambos, queesE. quefe multiplicarápor 888 a. numerador<strong>de</strong>l quebrado,queesF.produciráG. <strong>de</strong> quien quitandolos quatro últimosnúmeros, porcaufa <strong>de</strong> los 4. números, que tiene elnumerador , ó losquatro ceros , que .B.H.G.C.D.E.F.G.290*ioooo.6.4637 2S 1,08882.,1$2. 46242. 4639158882444IO8882ij(3*308882.290.291.-tiene el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>l quebrado,quedan 13*que añadidos á C. logarithmo <strong>de</strong>l entero , yaugmentada la catacteriftica <strong>de</strong> quatro unidaoes,por los quatro números <strong>de</strong>l numerador<strong>de</strong>l quebrado, ó los quatro ceros <strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador, hace H. que es el logarithmo , quecotrefpondc al feno logarithmico <strong>de</strong> 1. minuto,que fe pondrá en dicha tabla <strong>de</strong>l dichocap. 2.. prop.2.Bufquefe ahora el feno logarithmico <strong>de</strong>lE1com-
7 o Trigonometríacomplemento <strong>de</strong> 1. min. y porque el feno 9f<strong>de</strong> o. es primero <strong>de</strong> 90. grs. y efte es igual alradio , fe pondrá en la rabia por feno 2. <strong>de</strong> o.el valor que fe tiene dado al radio, que es:10.0000. Y para hallar el feno 2. <strong>de</strong> r. min.fe tomarán los números , que correfpondieronen los fenos naturales en dicha prop. 7*<strong>de</strong> la 2. parte, que fueron : 99999,99^6. y feobrará con tilos, como fe obró con los <strong>de</strong>lfeno 1. antece<strong>de</strong>nte, y quedará como en B*Bufquefe el logarithmo<strong>de</strong> elentero, que esC. el <strong>de</strong> fu próximomayor, queesD. la diferencia<strong>de</strong> ambos,que<strong>de</strong>s E. multipliquefeporel numerador<strong>de</strong> el quebradoF. y produce G.que partido entreel <strong>de</strong>nominador, que fehace , quitandofiete nume—A. 99999,99576.B. 999^999957^-—• ' 1 1 — -iooooooo.H.ro. oóoo. 99999,9957^:G. 4C. C 2. 9996.D. 5. oooo.E.F.4999957 60.3(9998304.999.IOOO.ros , quedan 3. en G. y porque el primer numeroes mayor, que 4. fe añadirá al 3. una¡Unidad, y queda en 4. que fumado con C. yaña-..Plana general. 71añadidas las fiete unida<strong>de</strong>s á la caraéteriftica,por los fiete números <strong>de</strong>l numerador <strong>de</strong> elquebrado , ó por los fiete ceros <strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador, hacen H. que es el feno logarithmico,que correfpon<strong>de</strong> al feno fegundo <strong>de</strong> 'ivtriiin. ó primero <strong>de</strong> 89. grs. y 59. min. que fepondrá en la tabla dicha •, como en ella parecefigurado.De efte mifmo modo fe facaránlos fertot'rogarithmicos <strong>de</strong> los <strong>de</strong>más minutos hafta los10. min. y lo mifmo en los fenos <strong>de</strong> fus complementos, y quedarán los que eftán puéftósen dicha tabla <strong>de</strong>l cap. 2. prop- 2.También fe pue<strong>de</strong>n hallar con mayor facilidadlos logarithmos <strong>de</strong> los fenos délos arcosduplos , fuponiendo conocido el fenoprimero, y fegundo <strong>de</strong>l arco, que es mitad<strong>de</strong>l arco, que fe bufca, fumando eftos dosfenos 1. y 2. logarithmico, y <strong>de</strong> la futríaredando el logarithmo<strong>de</strong> el numeroabfoluto 50000. quees mitad <strong>de</strong>l radio, yvale: 9.6990,y ei re_A. 6. 4637. 00.B. 10. 0000. 89.C. 16. 4637D. 9. 6990o IV59.E. 6. 7647. 00 02.fuluo ferá el logarithmo<strong>de</strong>l arco total, que fe bufca. v. g. Defeconocido yá el feno 1. <strong>de</strong> 1. minut. que es A.y fu feno 2. que es B. la fuma <strong>de</strong> ambos es d<strong>de</strong> quien reftando: 9. 6990. que vale la mitadE4<strong>de</strong>l
jV T- Trigonometría<strong>de</strong>l radio, queda E. que es el logáritnmtalfeno <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 2. min. duplo <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> i 4como parece en el exemplo , y <strong>de</strong> efte modofe pue<strong>de</strong> profeguir la conftruccion <strong>de</strong> la tabla<strong>de</strong> los fenos logarithmicos.Paja hallar el logarithmo <strong>de</strong> la mitad <strong>de</strong>el radio, fe obrará, tomando el radio,queA. 10.0000B. 0.3010 2.es A. y reliando <strong>de</strong> elel logarithmo <strong>de</strong>l numeroabfoluto 2. porquefe ha <strong>de</strong> partiré!radio entre 2. como feC 9. 6990. 5000.—explicará <strong>de</strong>fpues en e ufo general <strong>de</strong> la rabialoganthmica, y el refiduo C es logarithmocorrefpondiente á 50000. mitad <strong>de</strong>l radio,como parece en el exemplo , y es el numero,_ que fe <strong>de</strong>be tomar , para hallar, con lasoperaciones femejantes á la antece<strong>de</strong>nte , lo*leños logarithmicos <strong>de</strong> los arcos duplos.La razón <strong>de</strong> efto es, porque fon proporcionalesla mitad <strong>de</strong>l radio al feno <strong>de</strong> la mitad<strong>de</strong> un arco , como el feno <strong>de</strong>l complemento><strong>de</strong> la dicha mitad al feno <strong>de</strong> todo el ateo ; ycomo en eftas operaciones, el fumar equivaleal multiplicar, y el reftar al partir , comoya queda dich» antes , fe fuman los dos tetminos2. y Jm y <strong>de</strong> la fuma fe refta el 1. y elrefiduo es el 4. termino, que fe bufca: y la dcmonftraclon<strong>de</strong> la proporción referida, ferá lafiguiente en la figura j.SeaPlana general. 73Sea el arco LC <strong>de</strong> 60. grs. y fe quiere faber, qual fea fu feno logarithmico LG. fiendoconocido el feno primero Cg. <strong>de</strong>l arcoCe. <strong>de</strong> 30. grs. y el feno fegundo Ln. <strong>de</strong>l mif«mo arco Ce. mitad <strong>de</strong>l arco LC. fea tambiénCG. mitad <strong>de</strong>l radio BC. y titenfe las teda»CL. -AL. y dividanfe por medio en g. -y-entn. (10. p. 1. ) y tirenfe <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el centro B. lasrectas Bge. - BnM. que ferán perpendiculares1 á las rectas CL. - AL. (3. p. 3.) y también feráCg. feno <strong>de</strong>l arco Ce. - y - Ln. feno <strong>de</strong>l arcoLM. que ambos fon mita<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los arcosCL. - y - AL. por la <strong>de</strong>finición 5. Peto Ln. e»igual áBg. ( 34. p. 1.) y Lu. es feno 2. <strong>de</strong> elarco Le. que es igual al arco Ce. luego también-Bg. es feno 2. <strong>de</strong>l arco Ce. Digo pues: que comoCG. mitad <strong>de</strong>l radio , á Cg. feno 1. <strong>de</strong> elarco Ce. <strong>de</strong> 30. grs. mitad <strong>de</strong>l arco CL. <strong>de</strong> 60..grs. afsi Bg. feno 2. <strong>de</strong>l mifmo arco Ce. al feno1. LG. <strong>de</strong>l arco total CL. que fe bufca.Porque los triángulos ALC. - AGL. fonequiángulos , refpedo <strong>de</strong> que el ángulo ALC.<strong>de</strong>l mayor triangulo es recto en el femicircuh»( J 1 * p. 1. ) y el ángulo AGL. en el menor estambién recto , por la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l feno 1. elángulo en A. es común á entrambos triángulos:luego el ángulo ACL. <strong>de</strong>l mayor es igualal ALG. <strong>de</strong>l menor ( 32. p. 1.) Luego eftosdos triángulos tienen proporcionales los lados, que comprehen<strong>de</strong>n iguales ángulos;(4*
74 Trigonometría(4. p. 6.) Luego ferá : como CA. - á - CL. encJ mayor, afsi LA. -á-LG. en el menor. Y :alternando (16. p. 5.) f cr á comoCA. - á- LA.afsi CL.-á- LG. Pero como CA. -á- LA.afsi cs BC mitad <strong>de</strong> AC - á - Ln. mitad <strong>de</strong> LA..í15. p. 5.) Luego también ferá: comoBC. 3Ln. afsi CL.-á-LG( n. p. 5.) Ycomo BC.a %. igual a Ln. como queda <strong>de</strong>monftrado,afsi CL. aLG. Y alternando (16. p.y. coí?°*? C ;Í CJL afsI B á8-LG - Pero comoBC. a CL. afsi CG. mitad <strong>de</strong> BC. á Cg. mitad<strong>de</strong> CL (r 5 p. 5. ) Luego ferá: comoUJ. mitad <strong>de</strong>l radio á Cg. feno r. <strong>de</strong>l arco Ce.mitad <strong>de</strong>l arco CL. <strong>de</strong> 60. grs. afsi Bg. feno^ <strong>de</strong>l mifmo arco Ce. <strong>de</strong> 3 o. grs. áLG. feno¡J.- dd arco CL. <strong>de</strong> 60. grs. quefe bufca,PROPOSICIÓN X.Hallar los logarithmos correfpondientes d lastangentes.PARA refolver efta propoficion nos valdremosile la propoficion 1. <strong>de</strong>l cap. 2.don<strong>de</strong> fe dice, que en qualquier arco es proporcionalel feno 2. al feno r. como el radioá la tangente 1. <strong>de</strong>l mifmo arco. Y por efta razón, fi fe fuman los términos fegundo, y tercero, efto es, el feno 1. y el radio, y <strong>de</strong> efta fumafe refta el primer termino, que es el feno2,Plana general. 75'2. <strong>de</strong>l mifmo arco , el refiduo ferá tangente 1.<strong>de</strong>l mifmo arco : v. g. Quierefe faber, qual feala tangente r. <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> i¿ min. (porque parala <strong>de</strong> o. y la <strong>de</strong> fu complemento fervirá la'mifma operación , que fe hizo en las tangentesnaturales ;) y fuponiendo yá conftruída latabla <strong>de</strong> los fenos logarithmicos, fe bufcaráen la tabla el febio2. <strong>de</strong>l 1. min.que es A. y tambiénel feno r.que es B. junta-A. 10.0000. 89.59.,B. 16. 4637. 00. 1.C. 6.46j7.tang.00. 1»mente con el valor <strong>de</strong>l radio , y redando A..<strong>de</strong> B. fale al refiduo C. que es la tangente <strong>de</strong>larco <strong>de</strong> 1. min. que fe pondrá en la tabla enfu lugar correfpondiente.Para hallar la tangente 2. <strong>de</strong>l mifmo arco<strong>de</strong> 1. min. fe to- J D. 6. 463 7. 00. r.mará el feno r. E. 20.0000. 89.59.<strong>de</strong> un min. que es j • • •••D. y también el j F. 13. 5363.tawij.89.59.feno 2. que es E. 'juntamente con el valor <strong>de</strong>l radio, <strong>de</strong> quienredando D. quedará F. por valor <strong>de</strong> la tangente2. <strong>de</strong> 1. min. que también fe pondrá enfu lugar correfpondiente en la tabla. Y eftemodo eftá también fundado en la mifma propoficionantece<strong>de</strong>nte ; pero con el or<strong>de</strong>n ihverfo,efto cs : Como el feno 1. <strong>de</strong> un arco alfeno 2. <strong>de</strong>l mifmo arco: afsi el radio ala tangen-H^I
!*?** Trigonometríagente 2. <strong>de</strong>l mifmo arco. Y á efte modo fe hanJullado las tangentes primeras , y fegundas <strong>de</strong>los arcos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> i. hafta 10. min. pueftosenlatabla, y fe podrá profeguir hafta concluirla.PROPOSICIÓNXI-Hallar los Logarithmos correfpondientes ilas Secantes.LA mifma operación , que queda hecha ertla propoficion 2. <strong>de</strong>l cap. 2. para hallarlas lecantes naturales, nos ha <strong>de</strong> fervir, paraJullar las fogarithmicas, pero con efta folaQuerencia ; que como en las naturales fe obró»multiplicando , y partiendo , en eftas fe ópera-Ja., fumando , y reftando. Y afsi fopnefta yafabricada la tabla <strong>de</strong> las fecantes naturales, yque <strong>de</strong>l mifmo modo fe hallarán las logarithvmicas<strong>de</strong> o. y <strong>de</strong> fu complemento S9. 59. fe«ira, para hallar la fecante primera : Como el«no 2. <strong>de</strong> un arco al radio , afsi el radio á la«cante 1. <strong>de</strong> dicho ateo. Y para hallar la fecante2. fe dirá: Como el feno 1. <strong>de</strong> Un arcoaJ radio, afsi el radio á la fecante 2. <strong>de</strong> dichoarco. Pero , para obrar con mayor facilidad,fe tomará el duplo <strong>de</strong>l radio , y reftando <strong>de</strong> elel feno 2. <strong>de</strong> qualquier arco , dará el refiduola fecante primera <strong>de</strong> dicho arco ; pero, fi ferefta dd duplo <strong>de</strong>j rjyfto. d feno primero , elPlana general*fefiduo dará la A. 20.0000.1fecante 2. v. gr. B. 10.0000.Sea el duplo <strong>de</strong>lradioA. fea tambiénel feno 2.<strong>de</strong> i.min.B.querefiado <strong>de</strong> A.queda C que esfecante primera .<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 1. jminuto.89-59*C. 10.0000. Sec. 00. i*DE.F.20.0000.6.463-7.0013.5363. Sec. 89.rVre-59-Sea también D. el duplo <strong>de</strong>l fadio , y feaE. el feno 1. <strong>de</strong> el arco <strong>de</strong> 1. minut. reftefeefte <strong>de</strong> aquel -, y queda F. que es fecante 2. <strong>de</strong>lmifmo arco <strong>de</strong> 1. min. que fe pondrá en lstabla antes referida juntamente con la fecante1. como en ella parece, cada cofa en fulugar correfpondiente. De e<strong>de</strong> mifmo modofe fabricó la dicha tabla, hafta los 10. minutos, que contiene, y fe pue<strong>de</strong> continuar haftafinalizarla.COROLARIO.DE lo dicho en la propoficion antece<strong>de</strong>ntefe infiere el modo <strong>de</strong> hallar las fecanteslogatithmicas, quando faltaren en el• Libro, que trabajare el Eftudioío. Porquereftando el feno 2. <strong>de</strong>l arco , <strong>de</strong> quien <strong>de</strong>feafaber U fecante logarithmica, <strong>de</strong>l duplo <strong>de</strong>lra-Ié
•7$"Trigonometríaradio, el refiduo dará la fecante, que pretendía.De efto no ponemos exemplo , por fer el.mifmo,que queda puefto en la propof. anteced.Pero fi fe eduviere operando, y faliere en algunaoperación por 4. termino alguna fecantelogarithmica, y no tuviere fecantcs el libro,por don<strong>de</strong> trabajare, fe obrará por la operacióninverfa , redando dicha fecante <strong>de</strong>l duplo<strong>de</strong>l radio , y el refiduo dará el feno 2. logarithmico<strong>de</strong>l mifmo arco.v.g.Supongamos, queen una operación , que A.fe hacia , falió por 4. B.termino A. y ha <strong>de</strong> ferfecante logarithmica,y no tiene fecantcs el13-20.5363.0000.C. 6. 463 7. o. 1..libro, por don<strong>de</strong> trabajamos. Reftefe A. <strong>de</strong>lJupio <strong>de</strong>l radio, que es B. y el refiduo Cbufcado en la tabla <strong>de</strong> los fenos , fe hallará,que es 1. <strong>de</strong> 1. min. y 2.<strong>de</strong> 89. grs. y 59. min.ÍY por tanto diré : que dicha fecante es primera<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 89. grs. y 59. min. y fegundadd arco <strong>de</strong> 1. min.i- Nota, que para reftar qualquier feno,tangente, ó fecante <strong>de</strong>l radio , u <strong>de</strong>l duplo<strong>de</strong>l radío, no es neceflario efcribírla : puesbailará tenerla en la memoria, refpecto <strong>de</strong>fer todos ceros; excepta la caracteriftica, queen el radio es 10. y en fu duplo es 20. y haciéndolo<strong>de</strong>l modo dicho , fe obrará con mayorfacilidad.No-Plana general. 792. Nota también, que para certificarte dolas tablas que tuvieres para tu ufo, fi eftán.bien fabricadas, ó <strong>de</strong>feduofas, por caufa <strong>de</strong> laserratas, que fon quafi ncceflárias en las imprefíiones<strong>de</strong> los libros , y mas don<strong>de</strong> fe hallan números<strong>de</strong>bes obfervar la diferencia <strong>de</strong> dos fenosimmediatos,y fi fuere igual á la diferencia <strong>de</strong> lasíccanres fccantes Ae <strong>de</strong> Senos.?«.... . «_1.fus coni-¿e-cantes..[ plementos,eftos fenos,,Y fecantescdarán biéajudados.v.g. Sean losfenos <strong>de</strong> losarcos <strong>de</strong> 1.y <strong>de</strong> 2. min.y las fecantes<strong>de</strong> fuscomplementos, cuyasdiferenciasen ambaspartes es:3010. igual6. 463 7 . 01. I 13. 5363.89 596 '7 6 47- 02. j 13. 235J.89 58o. 3010. «A. 00. 3010.Secantes. 2. Senos.10. 0000. 4. I 10. 0000. 89 5¿10.0000. 5. I 10.0000. 89 55.00. 0000. -A. 00. 0000.Tangentes. 3. Tangentes.7- J668. 8 I T2. 12.6332.8952'7. 4180. 9,] 12. 5820.89 5Po. 0512. JL 00. 0512.en todo.3. Nota también, que la diferencia <strong>de</strong>oos íecantesimmediatas ha <strong>de</strong> fer igual aladife-
Ir *> ü t Trigonometría'diferencia <strong>de</strong> los fenos <strong>de</strong> fus complementó»,como en el fegundo exemplo, que no fe halladiferencia alguna.4. Nota también, que la diferencia <strong>de</strong> dostangentes ímmediatas ha <strong>de</strong> fer igual á la diferencia<strong>de</strong> las tangentes <strong>de</strong> fus complementos,como en el 3. exemplo fe manifieda, quefehalla en una, y otra parte ji 2. por diferencia.5. Nota también , que el feno 1. fumadocon la fecante <strong>de</strong> fu complemento, ha <strong>de</strong> ¡m-7. s62 7 .f en . 00. 5.I2 - %373-fen. 89.55.20. 0000.10. 0000. fec.%9.10. 0000. fie. 00.20. 0000.712,3088.6912.20. OOOO.portar el duplo <strong>de</strong> elradio. Lo mifmo ha<strong>de</strong> importar el feno2. con la fecante <strong>de</strong>fu complemento, ula fecante 1. con elfeno <strong>de</strong> fu complemento.Y últimamentela tángete i.y 2.fumadashan <strong>de</strong> hacer elduplo <strong>de</strong>l radio, comofe manifieda en lostres exemplos prefentes:yteniendo las tablastodas eftas cir- J - • • .—• _ —cunftancias , que quedan advertidas en eftas Notas,eftarán bien , y fielmente conftruídas, y fepodrá ufar <strong>de</strong> ellas con toda feguridad; y fi nolo eftuvieren , fe podrán corregir, para quegue<strong>de</strong>n <strong>de</strong> buen ufo.PAR-PARTEPlana general. %tTERCERA,DEL USO DÉ LAS TABLAS<strong>de</strong> los Senos, y Logarithmos, y <strong>de</strong>la fefolucion <strong>de</strong> los crian*gulos planos»POrque <strong>de</strong>l buen ufo <strong>de</strong> las tablas <strong>de</strong> lasfenos logarithmicos, y <strong>de</strong> la <strong>de</strong> los logarithmos, pen<strong>de</strong> la feguridad en ias refolu^cíones trigonométricas , fe hace necefiariotratar <strong>de</strong> dicho ufo : y para efto t también esprecifo conocer el artificio, eon que eftán fabricadas, para que , mediante efte conocemiento, fe entre con mayor facilidad j y alientoen las operaciones <strong>de</strong> ellas» Y afsi , paraconocer el maravillofo artificio <strong>de</strong> dichastablas , fervirá el Capítulofiguiente.^•8*F«Clft• CA-
II82 Trigonometría.CAPITULOPRIMERO.DE LA EXPLICACIÓN DElas Tablas <strong>de</strong> los fenos logarithmicos,tangentes, y fccantes.EL Canon Trigonométrico fe compone<strong>de</strong> dos tablas , una enfrente <strong>de</strong> otra. Lar. contiene los minutos, y grs. y min. <strong>de</strong>f<strong>de</strong>o, hafta 45. grs. y ert la fegunda éftán al principiolos 90* grs. que contiene un quadrante, yligue diminuyendo pof minutos f hafta concluircon 45. grs. Cada tabla <strong>de</strong> eftas fe compone<strong>de</strong> 4. columnas* y juntas haced en cadaplana 8, columnas, <strong>de</strong> fuerte , que en cadaplana éftán puedas las dos tablas ; pero divididas<strong>de</strong> forma , que no fe confunda una coaotra. En la cabeza <strong>de</strong> la primera fe ponen losgrados <strong>de</strong>f<strong>de</strong> o. hada 45. pero en la cabeza<strong>de</strong> la fegunda fe ponen los grados , <strong>de</strong>f<strong>de</strong>90. hafta 45. Ert la primera columna <strong>de</strong> laprimera cabla * y en la ultima <strong>de</strong> la fegunda,fe ponen en las frentes una m. para <strong>de</strong>notar,que firven , parí poner los minutos ; perocon lá diferencia, que los <strong>de</strong> la 1. comienzanen o. y fe van augmentando hafta 60. yen la 2. es al contrario, porque comienzanen 60. y fe van diminuyendo , hafta llegarPlana general. $$a o. Y eftán con tan admirable difpoficionfabricadas , que fi fe juntan los grados, yminutos <strong>de</strong> la primera tabla 4 con los grados,y minutos <strong>de</strong> li fegunda, fiempre importarán90. grs. tomándolos en una mifma linea orizontal,efto es, á lo largo <strong>de</strong> la plana, enun renglón. . . • 'La fegunda columna <strong>de</strong> la í. tabla, yla primera <strong>de</strong> la 2. tienen en las frentes eferip-, to: Senos, porque firven para los fenos logarithmicos.La tercera columna <strong>de</strong> la 1. tabla, y la fegunda <strong>de</strong> la 2. tienen eri la frente:Tang. para <strong>de</strong>notar , que litvcn para las tangenteslogarichmicas. Y la quarta columna<strong>de</strong> U í. tabla, y la tercera <strong>de</strong> la 2. tienenpor titulo: Sec. que dá á enten<strong>de</strong>r, que firvenpara las focantes logarithmicas. Y afsi tomandoen la r. tabla qualquier feno., tangente, ófecante, le correfpon<strong>de</strong> en la 2. tabla el feno,tangente, ó fecante <strong>de</strong> fu complemento.'1Y al contrario fi fe toma en la 2. tabla el feno1. tangente!, ó fecante 1. <strong>de</strong> qualquierarco, ú augulo, le correfpon<strong>de</strong> en la 1. tablael feno 2. tangente 2. ó fecante 2. <strong>de</strong>lmifmo arco, u ángulo. Todo efto es neceffarioque<strong>de</strong> bien entendido , para elbuen ufo <strong>de</strong> edas tablas, quefe explicará en el capitulofiguiente.ICA-
S 4TrigonometríaCAPITULOII.DEL USO DE LAS TABLAS«el Canon Trigonométrico.PROPOSICIÓN PRIMERA.Dado el valor <strong>de</strong> un arco , u ángulo en grs. t>mimt. hallar fu fino, tangente , ffecante logarithmica.SEA dado el arco , u ángulo <strong>de</strong> 24. gfs. y45- min. y fepi<strong>de</strong> fu feno 1. y 2. tan¿¡- y a. y fecante 1. y 2. Bufquefe en las ta*blas,la que tuviere por titulo 24. grs. y en la 1.columna los 45» m. y fehallará, figuiendo la lineaen la 2. columna, que tiene por eabe?a ¡5V-MOS: 9. 6219. que es el feno 1. y en la j,colnn>na por la linea tranfverfal, fe hallará.' 9. 6657,que es tangente í. porque tiene por titulo:Tang. y en la 4. columna, que tiene por titu-^lo : Sec. fe hallará: 10. 0418. que es la fecante1. <strong>de</strong> dicho arco dado. También fe verá,que fu tabla correfpondiente tiene por ca-^65. grs. y que, figuiendo la linea tranfverfal, don<strong>de</strong> fe hallaron antes los ¿5. min*le correfpon<strong>de</strong>n en efta 2. tabla 15. min. enla columna <strong>de</strong> los min. y que juntando los34. grs. y 4j. min,. antes dados, con eftos <strong>de</strong>eftaPlana general. 8 jefta tabla 65. grs. y 15, min. hacen 90. grs. yafsi fe infiere , que eftos 65. grs, y 15. minut,fon complemento al quadrante <strong>de</strong> los 24.grs. y 45. min. Pues figuiendo la linea tranfverfalen. la 2. tabla, fe hallará en la 1. columna: 9.9582. que es feno 2. <strong>de</strong> dicho arcodado : pues en la frente <strong>de</strong> la columna tioaiefenos , y en la 2. cpjumna, que es. la <strong>de</strong>las tangentes t fe hallarás IO. 3363. que estangente 2. Y finalmente en la 3. columna,que reprefenta las fecantes,fe hallará:ip. 3-781,.que es la fecante 2. <strong>de</strong>l arco, djeho dado.Sea también dado el arco, ú ángulo <strong>de</strong> 142.grs. y 34. minut. y fe qu; erc faber ^ ^lean fus fenos, tangentes, y fecantcs p.rimcws,y fegundas. Siempre, que fe dierq arcomayor, ó ángulo mayor, que el quadrant.6,ie reliará el tal arco , u ángulo <strong>de</strong> 180. grs,que vale el femicireulo •. y lo que viniere alrefiduo, fervirá para bufcar d feno , tangente, o fecante, v lo que fe hallare, ferá fenotangente, o fecante <strong>de</strong>l arco, u angulaoadp. Y afsi refrío <strong>de</strong> que el arco dado e*<strong>de</strong>i 4 2 . grs. y 34, min. reliado <strong>de</strong> 180. grs.J clu M37.grs. y 26. min. Bufquefe pues elie"0, tangente, y fecante 1. y 2. <strong>de</strong> efte refino,como fe hizo en la operación antece<strong>de</strong>nte, y f c hallará por feno 1. <strong>de</strong>l dicho arco: 9. 7838, y por tangente i¡, 9. 8839. y-por fecante ^
86 TrigonometríaHará : 9. 8998. la tangente 2. ferá : 10. r 161.-.y por fecante 2, fe hallará 10.2162. que esIb que fe pedía,PROPOSICIÓNII.Dado el fino, tangente, o fecante logarithmica,bailar fu arco correfpondiente en gradosf y minutos.$. 1.Dado el Seno.SEa dado el feno : 9. 6219. y fe quiere faber<strong>de</strong> qué arco, u ángulo fea feno 1. y2. Bufquefe en las tablas , guardando el or<strong>de</strong>nfiguiente : Primeramente fe bufcará enla columna <strong>de</strong> los fenos en las tablas , la caraéteriftiea9- Defpues <strong>de</strong> hallada , fe bufcaráel primer numero 6. luego el num. figuiente2. <strong>de</strong>fpues el tercero T. y últimamente febufcará el ultimo numero 9. <strong>de</strong> fuerte, quetodos eftén en una partida juntos , con el or<strong>de</strong>n, que tienen entre si; pero fi no fehallarejuftamente, fe tomará el mas próximo,fea mayor , ó menor : y hallado yá <strong>de</strong> un modo, ü <strong>de</strong> otro , fe verá , qué numero <strong>de</strong> grs. fe"halla en la cabeza <strong>de</strong> la rabia , don<strong>de</strong> fe hallóel tal feno dado, y qué minutos le córref-pon-Plana general.pon<strong>de</strong>n en la columna <strong>de</strong> los minutos, y tomandoel numero <strong>de</strong> grs. <strong>de</strong> la cabeza <strong>de</strong> larabia, y los minutos corjefpQndíentes alfenodado, ferá el arco, ü ángulo, á quien correfpon<strong>de</strong>dicho feno. Todo ,1o que <strong>de</strong>xamos dicho,haviendolo executado , fe haUÓ dicho feno dadoen la tabla ¿ que tiene én la cabeza 24. grs ;y en la cplunma <strong>de</strong> los minutos correfpon<strong>de</strong> a45. min. y afsi fe refpon<strong>de</strong> , que dicho feno esprimero <strong>de</strong>l arco ¿e 24. grs. y 45- min. Y porquefu tabla correfpondiente tiene en fu cabeza65, grs. y el dicho feno dado correfpon<strong>de</strong> enefta tabla á 15. min. fe dirá también, que es feno2. <strong>de</strong> el ángulo <strong>de</strong> 65. grs. y 15» min- Y eftemifmo or<strong>de</strong>n fe <strong>de</strong>be obfervar , para hallarlosarcos , ó ángulos <strong>de</strong> las tangentes , y fecantesen las columnas <strong>de</strong> las tangentes, y focantes.Pero fi con el feno dado fe pi<strong>de</strong> un arco,ü ángulo mayor <strong>de</strong> 90. grs. fe redará el arco,ü. ángulo, hallado por dicha operación,<strong>de</strong> 180. grs. y el refiduo dará el valor dd arco, ú ángulo , que fepi<strong>de</strong>. Y porque fe halloel arco <strong>de</strong> 24. grs. y 45. min. redado^ <strong>de</strong> 180.quedan 155, grs. y 15* minut. y afsi fe dirá:que dicho feno dado es feno primero <strong>de</strong> elarco <strong>de</strong> 155. grs. y 15- nñnut. y fegundo <strong>de</strong>clareo <strong>de</strong> 65, grs. y 15. min, que eslo queexce<strong>de</strong> al quadrante el arco <strong>de</strong> 15 5- g rs *. f* 5. min. como queda notado en la <strong>de</strong>fime6tF4s 7fl
, 83 -Trigonometría6. <strong>de</strong> la r. parte, De efte mifmo modo fe buftcarán las tangentes , y focantes <strong>de</strong> los arcos, qángulos mayores que 90, grs,.$• IhDada la Tangente*SEA dada la tangente: 9. 6681. Bufquefeen la columna dé las tangentes , <strong>de</strong>l mo.do dicho en el §. antece<strong>de</strong>nte, y fe hallará:í>. 6680. próxima menor, y 9. 568 3. próximamayor , y no fe hallará- precifamente:9. 66% 1. que es la tangente dada: y por tantofe tomará para la práctica la <strong>de</strong> : 9. 66&0.que es mas próxima, que la <strong>de</strong> : 9. 5683. fegunqueda dicho en el $. antece<strong>de</strong>nte, y fe dirá, que es la tangente dada, tangente 1. <strong>de</strong>larco <strong>de</strong> 24. grs. y 58. min. y tangente 2. <strong>de</strong>el arco <strong>de</strong> 65. gr. y 2. minur. Pero, fi fe pi<strong>de</strong>arco mayor <strong>de</strong> 90. grs, fe dirá, que también.es tangente primera <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> Í55. grs. ys. min. y fegunda <strong>de</strong> el mifmo arco <strong>de</strong> 65*'gr. y 2. min. como antes; pero con efta di*lerenda , que en el primer cafo es tangen*te 2, por <strong>de</strong>feéro , y en efte cafo fegundoes tangente z. porexceflo.>.ra.Plana general. 899. m.SDada la Secante*EA dada la fecante : 10. 0570. Bufquefe enla columna <strong>de</strong> las fecantcs <strong>de</strong>l modo dichoen el §. 1, y fe hallará con toda precifionen la tabla,que tiene cu la cabeza 28. grs. y quecorrefpon<strong>de</strong> en la columna <strong>de</strong> los min. á 43.en la 1. tabla, y en la 2. correfpon<strong>de</strong> á 17. mirnut, y efta tiene por cabeza 61. gr. Por tantofe dirá 1 que la fecante dada, lo es 1. <strong>de</strong>l arco»íi ángulo <strong>de</strong> 28. grs. y 43. min. y 2. <strong>de</strong>l ángulo<strong>de</strong> 61, grs. y 17. rota. Pero,fi fe pi<strong>de</strong> ángulomayor, que el quadrante, fe rcfpon<strong>de</strong>rá: quees fecante 1. <strong>de</strong>l ángulo <strong>de</strong> 1 51 .grs. y 17.ms. y2. <strong>de</strong>l mifmo ángulo antes dicho <strong>de</strong> 61. grs. y17. min. con la advertencia dada en el jf, antece<strong>de</strong>nte.PROPOSICIÓN in.Dado el valor <strong>de</strong> un arco , u ángulo en grados,minutos, y fegundos, hallar fu fino,Stangente, y ficante.EA dado el arco <strong>de</strong> 47. grs. 24. ms. y 36.feg. y fe <strong>de</strong>fea faber fu feno 1. y 2. fu tangente1. y 2, y f u fecante 1. y 2. Par-a quemejor fe cpmprehenda la folucion <strong>de</strong> eftapropoficion , fe dividirá en tres partes, buscandoprimero los fenos, <strong>de</strong>fpues las tángenos,y finalmente las fecantcs en losparragrafosfiguientes.
II00Trigonometría,^ . f o ^ columna délos fenos enlas tablas el fe no t . <strong>de</strong> 47. CT° ,,multiplicará S por I 5L?" ^ ^los min. fegundosdados, que fou 36.J' producirán 73,que partidos entreóo. viene al to<strong>de</strong>ntej.yunqul,-,.to,y<strong>de</strong>fpreciandoel un quinto, porqueno Jlega ámenlo,fe tomará 1.que es D. el qualfumadoconelfenoA. importará E.que eje! feno pri- f -47 ' *+ *!•a r.A. 9. 8669, 47. 24.»• P. 8671.47, 25.los l ¡ ir^0n<strong>de</strong> . multiplicar J a diferencia <strong>de</strong>w dos fenos immediatos por el numero <strong>de</strong>°s fegundos dados, y partir el produéro entre60.Plana general. . '91"í>o. proviene <strong>de</strong> que en eda operación edáincluida una regla <strong>de</strong> tres , que dice: Si 60.minutos fegundos, que hay <strong>de</strong> diferencia entre47. grs. y 24. min.. y 47. grs. y 25. min.correfpon<strong>de</strong> á 2. diferencia <strong>de</strong> ambos fenos,los minutos dados 36. fegundos á qué correfpon<strong>de</strong>rán? Y refpedo que en femejantes reglas<strong>de</strong> tres fe opera , multiplicando el 2. terminopor el j.y fu produéro fe parte entre el r. terminotehace en el cafo prefente la multiplicación<strong>de</strong> la dicha di- K. 9, 8304. 2. 47. 24.36.,ferencia <strong>de</strong> losdos fenos, quees el 2.terminopor los fegundosdados, quees el 3. termino, y el productofe parteentre 60. quees el primerotermino : paraque, fumado eltociente conY.F. 9.G. 9.1.8505.8304.H. uI*.2. 47.2. 47.& 60.o. >¡t24.2 5-3-el menor feno<strong>de</strong> los dos , falga el feno , que fe bufca, engrs. min. y feg. Eda mifma operación fe <strong>de</strong>behacer fiempre , que fe bufeáre qualquier tangente1. ó fecante r. en grs. min. y feg.Para hallar el feno 2. <strong>de</strong>l arco dado <strong>de</strong> 47.grs..II
1Plana general. 988.D¿, COROLARIO..tía-operado en eftas dos operaciones<strong>de</strong>que el quebradoes mayor, q ue<strong>de</strong> bufcar el feno ,. y 2. fe infiere , quelili f° mar J ° S fcnos P roxfni ° me 52(8. I 6(0.«ór, y medio. Y fumadoD. 9. con A. importaE. que es la04 8**4-.mayor <strong>de</strong>l arco dado en grs. m. y feg, tomaru diferencia, y multiplicarla por los fegundos«lado S) y elI produefo partirlo entre 60. y elrocíente fe fomará con el menor <strong>de</strong> los dosfe-1tangente primera, jque fe-pi<strong>de</strong>.1*Para
9 KPara hallalafegunda,fi antesfe halló latangente 1.Trigonometría& io. 9J24.t. 2. 6.G 9.2 2,1H. io. 9515, t. 2, 6. 22.48.y la diferencia9. <strong>de</strong> las dos tangentes, tomefela tangente 2. <strong>de</strong> 6. grs. y 22. minutos,que es F. y <strong>de</strong> ella fe reliará G. diferenciaantes hallada entre las dos tangentes, y elrefiduo H. ferá la tangente 2. que fe bufca.Efta operación tiene fu fundamento, enlo que <strong>de</strong>xamos dicho en la 2. patt. capit. 5,propof. _ 11. en el Corolario, nota 4. que ladiferencia <strong>de</strong> dos tangentes immediatas fiemprees igual á la diferencia <strong>de</strong> las rangentes <strong>de</strong>fus complementos. Pero fi fe bufca la tangente2. _ antes <strong>de</strong> hallar la 1. fe hallará <strong>de</strong> elmodo dicho, para hallar el feno s. en el jf. 1*antece<strong>de</strong>nte.$. III.SHallar las Secantes.Ea dado el arco, u ángulo <strong>de</strong> 84. grs. 6.m.y 50. feg. Bufquefe en la columna <strong>de</strong> lasleeantes la 1. <strong>de</strong> 84. grs. y 6. min. que es A. yla immediata mayor, que es B. fu diferencia,que es C. multiplíqucfe por los fegundosdados50. y producen 650. partanfe entre 60. y vieneal tociente 10. y 5. fextos, que fe tomatán 11..como en D. fumenfe con A. y hacen £. queesles la fecante11. <strong>de</strong> 84. grs,16. min. y 50.[feg. que fepedia.Para bailar1 la fecan-^te 2. fe obrará<strong>de</strong> d modoexplicado, y pradicadoen el §,1. para hallarel feno 2.Bufcando laPlanageneral. 95E. ro. 9891 .fie. $4. 6. 50.D.A.B.G10*ro.11.988o,/«-.9S93. fie.1J.5o65(084. 6.84. 7.|6(o.— cfecante 2, <strong>de</strong> 84. grs.y 6. min. que es F. y la 2.F. 10. 0013. fi c ?2~dc84.6'.YolO. 10. 0di3./ff,2,<strong>de</strong>84. 7.Je 84, gs.ly 7. min.|quees G.porqueno tiene-00 0000[diferencía una <strong>de</strong> otra, fe tomará la <strong>de</strong> F.por lecante 2. <strong>de</strong>l arco , u ángulo <strong>de</strong> 84. grs.. mm. y 50. feg. como parece en el exemploI prefente. Y edo mifmo fe obfervará, quandofueren ambos fenos , ó tangentesiguales, fean primeros, ófegundos.PRO!
%-9 6 TrigonometríaPROPOSICIÓN IV.Dado un fino , tangente, ¿ficante , hallar fuarco torr efundiente en grados, minut os %y figundos.#. I.SHallar ios arcos <strong>de</strong> ¡os finos*Ea dado el feno : 7.3 J47. y f c p ¡d e fo afaco correfpondiente en grs. minut. y feg,aísipara el feno 1. como para el 2. Bufquefeen Iacolumna <strong>de</strong> los fenos el feno dado > y nofe hallará con los mlfmos números, que tic*ne, y porque no fe D* 459*halla en las tablas»pongafe en A. tomefefu próximo meB. 7- 3088. o 7A* 7- 3547-0 747,nor, que es B. tomefetambién fu próxiC. 7- 3668. o 8mo mayor, que es 2 754(o I 58(0 E.C. faquefe la diferencia<strong>de</strong>l próximo menorC. al dado A.que4 .23a 47 %< r29>ferá D» faquefe tam*bien la diferencia <strong>de</strong>el próximo menoral próximo mayor,que es £. que fervirá <strong>de</strong> partidor <strong>de</strong>l productoPlana general. 97I to <strong>de</strong> D. por 60. que ferá : 27540. y hecha lapartición, viene al tociente 47. y 14. veinteI y nueve abos, que porque el quebrado es• I menor-, que medio , fe <strong>de</strong>fpreciará , y tomandofolamente los 47. <strong>de</strong> el rocíente , feránfegundos a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> los minutos , que cor-• refpon<strong>de</strong>n a Di que fon o. 7. y todo ferá : o-7. 47- que ferael arco correfpondiente al fenodado, fi fe pi<strong>de</strong> arco menor,que el quadrante, como pa<strong>de</strong>ceen A. Redando ahora[el valor <strong>de</strong>l arco , u ángulobailado <strong>de</strong> 90. grs. f a l e al ,refiduo 89. grs. 52 m. yiJt90.o.00.7-00.47.89. 52. *jMfcg . valor ddco <strong>de</strong> quien es feno 2. el arco dado.Elle es el modo mas común <strong>de</strong> hallar elvalor <strong>de</strong> los arcos <strong>de</strong> los fenosdados ; pero , fi fe pidie- o,180. 00. 00*.| re el valor <strong>de</strong> fu arco mayor,7- 47«que el quadrante , fe redará179. 52. 13.el arco hallado <strong>de</strong> 180. grs.Ijd refiduo 179. grs. 52. m¡1)> y f ¿Jcomo conftaen«!^C°'r qUC e pi<strong>de</strong> > los exemposprefentes.Dee<strong>de</strong> mifmo modo fe <strong>de</strong>beny fecales 3 arC ° S ' Ó angU ' OS dc ,aS tan S entcs ->„.. $. ILSE, A I a los arcos <strong>de</strong>\ las tangentes.Ea dada la tangente : 10.9515.yfe pi<strong>de</strong>níus arcos, o anguloSi B uíquefe en f a co _Glum-
9* Trigonometríalumna <strong>de</strong> las tangentes la dada , y porque ntffe halla fe pon- Ddrá en A. tomefefu próxima A. 10. 95i5- 8j 37 u¡menor B. y fu B. 10. 9Ji3« 8 3 37próxima mayor C. 10. 95*4- 8 3 3 8C. faquenfe lasdiferencias D. yI 20(1 1. E.E. multipliquefeD. por 60. y10II 1—producirá 120. 10 IO>Jí T-que partidos entreE. 11. vieneIIal tociente 10. y 10. onzabos, que fe tomarán11. que agregados á losgrs. y m. <strong>de</strong> la próxima menorB. hacen 83. grs. 37.min. y n. feg. valor <strong>de</strong> elarco <strong>de</strong> la tangente A. fiendoprimera ; y íiendo fegundaferá 6". grados 22. minut.y 49. feg. pero, fi fe pi<strong>de</strong>arco mayor <strong>de</strong> 90. grs. feráfu valor 96. grs. 22. minut.y 49. feg.po81La razón <strong>de</strong> multiplicar la diferencia <strong>de</strong>la tangente menor á la dada por 60. y partire<strong>de</strong> produdo entre la diferencia <strong>de</strong> la-menorá la mayor , es : porque edas dos diferenciasconftituycn un quebrado, fiendo la primera61808ü96003722003722004?00II149Plana general. 99'diferencia, v. g. 2. numerador , y la fegundadiferencia , v. 3. 11. <strong>de</strong>nominador, que hacen2. onzabos <strong>de</strong>más <strong>de</strong> lo que vale la tangentepróxima menor B. que junto hacen : 83. grs.37. min. y 2. onzabos <strong>de</strong> minuto. Y como,I para reducir un quebrado á <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>-^ terminado, fe multiplica el numerador porel <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>terminado, y el produdole parte entre el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>l quebrado,I ( como <strong>de</strong>cimos en nuedro tratado <strong>de</strong> Arithmetica) y un minuto vale 60. fegundos, femultiplica el numerador 2. por 60. que es el<strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>terminado <strong>de</strong> los min. feg. yfu produdo fe parte entre n. que es el <strong>de</strong>nominador<strong>de</strong>l quebrado. También fe pue<strong>de</strong>formar una regla <strong>de</strong> tres , diciendo : Si r 1. <strong>de</strong>nominador<strong>de</strong>l quebrado , dá 2. p0r numerador, 60. <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> los min. feg. quenumerador dará? Y faldrán los mifmos 10. y10. onzabos , que para la prádica fon 11. comoen la operación antece<strong>de</strong>nte. Y eda es Utazón también para los fenos, y fecantes..§. III.Hallar los arcos <strong>de</strong> tas Secantes,SEa dada la fecante i i o, 9890. V fequierenfaber los arcos, <strong>de</strong> quien fea fecante t. y2. Bufquefe en las tablas en la columna <strong>de</strong> lasGafe-
100fecantes, y nofe hallará precifa, pongafeen A.^ tomenfefus immediatas, menor B.y mayor C.tomenfe fus diferenciasD. yE. multipliquefeD. por 60. yproducirá 600.partanfe entreE. y faldrá altociente 45.<strong>de</strong>fpreciando elquebrado por jfer menor, que Imedio , y agre- Iguenfe á losgrs. y min. <strong>de</strong>B. y ferá'la fecantedada 1.TrigonometríaD. ro.A. 10.9S90. f. 84 6. 46,' B. 10. 9880. f. 84. €.C. 10. 9893. f. 84. 7.180. 0.0. 00.84. 6. 4(5.95- 53- 14.<strong>de</strong>l arco <strong>de</strong> 84. -grs. 6. min. y 46. feg. pidiendofe el arcomenor, que el quadrante ; pero , fi fe pi<strong>de</strong>mayor, ferá <strong>de</strong> 95. grs. 53. minut. y14* 'eg. y también ferá fecante 2. <strong>de</strong>l arco <strong>de</strong>5- grs. 53. min. y 14. feg. como confia <strong>de</strong>las operaciones prefentes.CA-Plana general»101CAPITULO III.DE EL USO DE LA TABLAA<strong>de</strong> los Logarithmos.unque en la parte fegunda cap. 5. prop.8. efta puefto efte mifmo capitulo, ahoracs precio repetirlo, para dar el ufo <strong>de</strong> efta^mir rabI f. wbla con mas generalidad, porqueaui le dio folamente lo neceffario para laconftruccion <strong>de</strong> las tablas <strong>de</strong>l Canon Trigonométricoy aqui fe pondrá, rodo lo que conducepara la total inteligencia <strong>de</strong> ella , mediantelas propoficiones figuientes.PROPOSICIÓN PRIMERA.Dado un numero abfoluto, bailar fu logarithmocorrefpondiente.SEa dado el numero abfoluto 135. y fequiere faber fu logarithmo. Bufquefe en lai- columna <strong>de</strong> la tabla, y hallado que fea, fe vera,queen la 2. columna tiene enfrente: 2. 1303.que es el logarithmo , que fe bufca.PROPOSICIÓN II.uaao un logarithmo, hallar fu numero abfolutocorrefpondiente.Sfca dado el logarithmo: 2. 4728. y fe pi<strong>de</strong>íu numero abfoluto. Bufquefe en la 2.columna <strong>de</strong> l a tabla, y haviendoie hallado,C? fe
^^102 Trigonometríafe verá, que en la i. columna le correfpon<strong>de</strong>297. y efte ferá el numero, que fe bufca.Nota, que fi el logarithmo dado no fe hallarepredfo en las rabias, fe tomará el maspróximo, ora fea mayor, ora fea menor, y elnumero abfoluto correfpondiente á el tomado,ferá el numero , que fe bufca, á el modo,que queda notado, para hallar los fenos;PROPOSICIÓN III.Dado un numero abfoluto mayor, que los contenidosen la tabla <strong>de</strong> los logarithmos,bailar fu logarithmo correfpondiente.SEA el numero abfoluto dado 24568. y fe•preten<strong>de</strong> faber fu logarithmo. Qm'tcnfc<strong>de</strong>l numero abfoluto dado los números, quetuviere <strong>de</strong>más, <strong>de</strong> los que contiene la tabla,que feran 68. que fe apartarán <strong>de</strong> los orrosCon una >J< y quedarán por numerador <strong>de</strong>un quebrado , cuyo <strong>de</strong>nominador ferá la unidadcon tantos ceros, quantos números tuviereel numerador, que ahora ferán IQO. <strong>de</strong>fpuesfe bufcará el logarithmo correfpondientea los números, que quedaron , que eran245- como fe dixoenla propoficion 1. y feráA. luego fe tomará fu próximo mayor , y feráB. fe facará la diferencia <strong>de</strong> ambos , que ferá*-••-y fe multiplicará por el numerador <strong>de</strong> elquebrado 68. y el produdo fe partirá entre c!dc-Plana general. 103ücnominador', que fe hará con mayor facilidad, quitando tantos números, como cerostuviere el <strong>de</strong>nominador, que fon dos : yafsi el produdo ferá:xi 56. <strong>de</strong> quien apartandodos númerosquedan 11. pero porquelos números apartadosfon mas <strong>de</strong> medio, fe tomarán 12,como en D. eftos fefumarán con el logarithmo<strong>de</strong>l numeroprimeramente tomado,quees A. añadiendoá la cara<strong>de</strong>rifticados unida<strong>de</strong>s, por fer2. los números <strong>de</strong> elF.D.A.B.C.4-245. »f
: ' :PRO--^-'04 ( TrigonometríaY le vera , que la mayor caracteriftica <strong>de</strong> la t£bla es 3. pero <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> ella fe Jigüe o. en losloganrhmos , y. por efto bufcare la cara<strong>de</strong>riíli!dado C °l T ?r mm - e *° S dd [ °S¿odado po o qual fe quitarán por ahora tre,unida<strong>de</strong>s a la cara<strong>de</strong>ridica, y Redará comon A - f ^c » Ia tabla, y no hallándolacontodaprec.f,on,feto-|E.mará fu próximo menor 'B. q correfpon<strong>de</strong> á 239.que fe pondrá á parte enF. <strong>de</strong>fpues fe tomará ellogarithmo próximo mayor.,- que es C. correfpondienteá 240. tomefela diferencia <strong>de</strong>l primeromenor al próximo mayor,_quecsi8.y la diferencia<strong>de</strong>l próximo menoral dado con la cara<strong>de</strong>ridica2. que es 14.afiadanfe á eda diferenciatantos ceros, como csla diferencia <strong>de</strong> las cara<strong>de</strong>ridicasdada, y elepda,quees3.yhallaráfela diferencia E. augmen- —I4OO0.*¡ 3798.2- 3784-' *!9**- -3802. 240.«da en tres ceros , que Importa 14000. partanfcellos entre 18. y vendrá al tociente: 777y 7- novenos, que valen : 778. por fer el que-Plana general.rofprado mas <strong>de</strong> medio , y pueftos <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> losnúmeros <strong>de</strong>l logarithmo próximo menor,que fe pufieron en F. harán 239778. que es elnumero abfoluto correfpondiente á el loga-irithmo dado , que es lo que fe pretendía.Nota, que haviendo diminuido la caracteriftica, lo que fuere neceffario, para hallacel logarithmo en las tablas , fi fe hallarejuftamente , fe tomará fu numero abfolutocorrefpondiente , y fe le añadirán tantos ceros, como fuere la diferencia <strong>de</strong> las cara<strong>de</strong>ridicas,y ferá el numero abfoluto , que fepreten<strong>de</strong>, v. g. Sea el numeto logarithmicodado 5 5. 3784. diminuida la cara<strong>de</strong>ridicaen tres unida<strong>de</strong>s, queda: 2. 3784. que bufcadoen la tabla , fe halla juftamente , y cor*refpondc al numero abfoluto 239. á quienañadidos tres ceros , porque la diferencia <strong>de</strong>las cara<strong>de</strong>rifticas 5. y 2. es tres , importa:239000. que es el numero abfoluto correfpondienteal logarithmo : 5. 3784..dado.
'$06TrigonometríaPlana general.*o T•PROPOSICIÓN V.PROPOSICIÓNVLiDado un numero abfoluto quebrado, hallar fulogarithmo correfpondiente.EL logarithmo , que faliere en" efta operación, ha <strong>de</strong> fer precifamcnte <strong>de</strong>fedivo, ü negativo, y la razón es: porque la unidad, que es un entero, tiene por logarithmonada, 6 ceros: luego el numero quebrado,que es parte <strong>de</strong> un entero, tendrá por logarithmomenos, que nada, yá efto llamamoslogarithmo <strong>de</strong>fedivo, ú negativo. Y afsi, parafaber , que logarithmo correfpon<strong>de</strong> á elnumero quebrado 3. quartos , fe tomará ellogarithmo <strong>de</strong> fu numerador 3. que es A. y fetomará también el logarithmo <strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador,que esB. yladiferenda<strong>de</strong> ambos,que es C.ferá el logarithmo correfpondienteá el num. quebrado3.quart. que fe pretendíaj pero fe notarácon una raya antes <strong>de</strong> lacara<strong>de</strong>ridica, que es la nota <strong>de</strong> los númerosnegativos, b <strong>de</strong>fedivos, como pareceen el exemplo.PRO-Dado un logarithmo negativo, ü <strong>de</strong>fe£tivo,ba*llar fu numero abfoluto quebrado.SEa dado el logarithmo negativo:—o. 1250^y fe <strong>de</strong>fea faber á que numero abfolu-A.B.o. 1250.0.9031. 8.C. 0.7781.6A "*8 4to correfponda. Parahacer efta operación, fe reliará ellogarithmo dado A.<strong>de</strong> qualquíera <strong>de</strong> latabla logarithmica,y el numero abfolutocorrefpondiente ferá <strong>de</strong>nominador, y elrefiduo fe bufcará en la tabla, y el numero abfolutocorrefpondiente ferá el numerador <strong>de</strong>lquebrado , que fe bufca. v. g. El logarithmo B.que fe tomo, fue el correfpondiente á 8. quefervirá <strong>de</strong> <strong>de</strong>nominador , y el refiduo C. bufcadoen la tabla , correfpon<strong>de</strong> á 6. que firve<strong>de</strong> numerador, y hace el quebrado 6. odav.que reducido á minimos términos, es 3.quartosd quebrado , que fe bufcaba.PRO-
IIPROPOSICIÓN vir.rPDado un numero abfoluto enentero,y quebrado,bailar fu logarithmo correfpondiente.QEa el numero dado 84. y 3. 0d av . Buf-S es A! fo ganthm ° dd " Umer ° e,1tero 8 +"próximo mayor, que es»• faquefe ladiferencia <strong>de</strong>ambos, que esC. muítipli-,.quefe por 3.numerad, <strong>de</strong>lquebrado , yproduce 15 j.•
a,. _ Trigonometríay90. abos, qne junto con el entero ántto«<strong>de</strong>nte dará el numero abfoluto 2?*"?y 90. abos que correfpon<strong>de</strong> juftamentf á eloSánTo^/ 05 pcro para ,a F*E» 2quitaran los primeros números <strong>de</strong> hacia lamano <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> el operante, y quedará c„3; novenos que reducido ferá i. re?c. y af s i¿dira,q„ e el numero, que fe pi<strong>de</strong> esJT*y i. tere, como parece en el exemplo prefente:PROPOSICIÓN IX.PHallar el complemento logarithmico.earithmnd 6 1\ ? Cra i ! ? n ' ÍC reflara eI *-garithmo <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong>l radio , y el refi.frh f 3 n ^emento logarithmico q£fe bufca. Pero fe hará con mayor fecilidldS fica tvn 7 • ' •' Cer °'P ° r el MediatoferencahIft a^r C,,tC ', ye dk" ornará la dilerenciahaílaIO. y en los <strong>de</strong>más figuientes hafta9. y dará el complemento lo- A. ' 2.9542..ganthmico, que febufca. v.gr. B. 10.0000.bea dado el logarirhmo A. <strong>de</strong>quien fe ha <strong>de</strong> facar el complementologarithmico. Pon-c. 7.0458.gafe con el radio B. y reftefe A.«no<strong>de</strong> otro, y el refiduo C. feráel complemento logarith- J C. 7.0458.2.954 3 »nuco, que fe bufca. Mas fácil:. SeaPlana general. rtgSea otra vez A. el logarithmo dado. DigafesDe 2.a 10. van 8. De 4. á 9. van 5. De 5„a 9. van 4. De 9. á 9. es nada. De 2. i 9 *van 7. y ferá C. lo que queda por complementologarithmico, y fo mifmo, que antes.1. Nota, que fi el logarithmo dado freirémayor, que el radio, como fuce<strong>de</strong> en las^tangentesmayores, que 45. grs. y cn ]asfe.cantes fe redara el logarithmo dado <strong>de</strong>l duplo<strong>de</strong>l radio, ú fe hará la operación cn elI-iniimo modo, que en el exemplo antece<strong>de</strong>nte, no haciendo cafo <strong>de</strong>l numero , que repreíentala <strong>de</strong>cena en la cara<strong>de</strong>riftica, comoJl nr* t\\,vipr* olí. .-I .. «^,1» no huviera allí tal nume- D. 11. 7654*^°- v - g- ^ el logarithmoE. 20. O00O..dado D. el duplo <strong>de</strong>l radio& E. reftefe uno <strong>de</strong> otro, y eljrefiduoF.es el complementologarithmico, que fe bufca. D. ir. 7654^.Mas fácil : Tomenfe las diferencias<strong>de</strong> los números <strong>de</strong>l F, 8. 2346.\ logarithmo dado A, en elprimero hafta 10. y en los <strong>de</strong>más hafta 9. co-2 c í° dcl numcro > V a rc P rcre » Ca J *<strong>de</strong>zena en l a cara<strong>de</strong>riftba, y quedará F. <strong>de</strong>^acienl^(>e^nC l e I XCn, P ,0 2 ' antecé<strong>de</strong>melocomplemento logarithmico, que fe bufca.«J* •tambIen > que quando en lasoperaciones trigonométricas ¡ nKrVm ; ere c{«dio, feran mas fáciles. Porque, fi fe hallareen
«t i f Trigonometríatm el primero termino, fe fumará el 2. y 3.1y <strong>de</strong> la fuma fe quitará la unidad á la cara<strong>de</strong>rifticaházia la izquierda <strong>de</strong>l operante, y el refiduoferá el4. termino, que fe bufca.3. Si el radio fe hallare cn el 2. termino,fe añadirá la unidad á la cara<strong>de</strong>ridica, háziala izquierda, al 3. termino, y <strong>de</strong> edo fe reftaráel 1. termino , y el refiduo ferá el 4. termino, que fe bufca.4. Si el radio fe hallare en el 3. termino,fe añadirá á la caracteriftica <strong>de</strong>l 2. terminoházia la izquierda la unidad, y <strong>de</strong> efto fe reftaráel 1. termino , y el refiduo ferá el 4. termino, que fe bufca.5. Pero fi en la operación trigonométricano interviniere , b no fe hallare el radio , fefumará el 2. y 3. termino, y <strong>de</strong> la fuma feredará el 1. termino, y el refiduo ferá el 4.termino, que fe bufca. Eda es la regla general, que fe obferva en las operaciones trigonométricas.O fe tomata el complementologarithmico <strong>de</strong>l 1. termino , y efte complementofe fumatá con el 2. y 3. termino,y la fuma , quitando la unidad á la caracterifticaházia la izquierda , ferá el 4. ter-• mino , que fe bufca. Todo fe practicarácn las Propoficionesfiguientes.PRO»ISEan 1Plana general»PROPOSICIÓN X-Dados dos números , bailar el terceroproporcional.dados los numetos 9- y 2 7- Y **preten<strong>de</strong> faber, qual fea el 3. proporcional;En efta Propoficion eftá incluida laproporción figuiente : Como 9- á 27. afsi 27..á quien ? Bufquefe el logarithmo <strong>de</strong> 9. quees Á. y el <strong>de</strong> 2 7. que esB. y repitafe , porquetambién fe repite en lala proporción : fumenfe2. y 3. termino , queimportatá C. <strong>de</strong> quienfe reftará A. y el refiduoD. es el logarithmo <strong>de</strong>lA.B.B.iif0. 954 2 -1. 4314.1. 43*4-C. 2. 8628.9-27.27..D. r. 9086. 8n4. tetmino , quefe bufca , y correfpon<strong>de</strong> á 8 r«y es el 3. numero proporcional, que fe bufcafca,y el modo <strong>de</strong> operar por la regla generaLPROPOSICIÓNXLDados qualefquiera tres números, hallar elnumero 4. proporcional.SEan dados los números proporcionales4. 8. 16. y fe<strong>de</strong>fea faber el 4- proporcional.Bufouenfe en la tabla los loganth-
ii4 Trigonometríamos <strong>de</strong> 4. que cs A. el <strong>de</strong> 8. que es B. y el <strong>de</strong>1 ó. que cs'C. y tomefe D. 9. JP7Pelcomplemento logarithmico,que íerá D. A. o. 6021.( y afsi lo podrán hacerlos principiantes, porhuir las equivocaciones, que fepue<strong>de</strong>n ofrecer) y fumenfe D. B. yC. y harán E. quitada .la unidad á la cara<strong>de</strong>riftica hacia la izquierda<strong>de</strong>l operante , que ferá el 4. terminoproporcional, que fe bufca , y correfpon<strong>de</strong>¿32. como parece cn el exemplo, obrandocon el complemento logarithmico ; pero, paraios que fe hallan mas a<strong>de</strong>lantados en ellasoperaciones trigonométricas, no Cs ncccíTarioeferibir el complemento logarithmico;fino llevarlo <strong>de</strong> memoria, y fumarlo con el2. y 3. termino, y <strong>de</strong> F. 1.0792. 12.la fuma quitar la unidadá la cara<strong>de</strong>riftica,hacia la izquierda ; ydará el logarithmo, quefe preten<strong>de</strong> : v. g. Sean |G.H.1. 55^3- 36.1. 3222. 21..Y. 1. 7993-
lió •Trigonometríafon Redangulo v y Obliquangulo. Y efte'eifotras dos, q,efon: Obtufángulo , y Acutan^guio ; pero fi fe comi<strong>de</strong>ra el triangulo CIitres maneras , ferán : Redangulo , Obmfangulo, y Acutangulo : y es lo mifmo ,.. que enJa divifion <strong>de</strong>l tmngnlo en dos maneras.3- También-fe confi<strong>de</strong>ra el triangulopor lo refped.vo á lados, y ángulos juntamente, y en efta confi<strong>de</strong>radon el trianeutóEquilátero fiempre ferá Acutangulo ; L- 0el Yfoceles , y Efcaleno podrán fer rcdan R u-los, obtufarigulos , y acutañgulos, para cuyamc;or inteligencia, fe podrá ver el Tratado<strong>de</strong> Artillería.- 4. Qualquier triangulo fe podrá refol-V«r j j, Je dieren conocidas tres cofas <strong>de</strong> laaJas, <strong>de</strong> que confia dicho triangulo , como noíean los tres ángulos : Porque pue<strong>de</strong>n darfe¡nhmtos triángulos equiángulos , teniendolos lados muy diferentes, y también-los eftpacios, o áreas: Como condará.:, formandoun triangulo, y tirando <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> el oualquieraparalela, ¿paralelas, á qualquier*. <strong>de</strong>los lados.fTí.5- Si fe dieren conocidos los tres lados<strong>de</strong> un triangulo, fe podrá rcfolver : Porque yaencierra efpacio <strong>de</strong>terminado.6. Si fe dieren conocidos dos lados, yun ángulo , u dos ángulos , y un lado <strong>de</strong> qualquiertriangulo, también fe podrá• refoiver,•Plana general.II7f no íiendo los datos <strong>de</strong> qualquiera <strong>de</strong> los"uforCfcndos ' nofe P° drá rsíolver el »*«-7- También fe <strong>de</strong>be fuponcr,que en c 1 trianguloredangulo , los lados , que forman elángulo redo, fe ll aman generalmente lados«.pierna* ; y CJ q Uefe opone al didlo angul(jRR , 'cr? f?* Vpothenufa. v. g. Las lincasÍZ y , A "í tmn § ul ° BEF. (Fh. 2.) fe Hamanfados q piernas s y la linca BF. fe llamanypothenufa.8. Lado adjacente á un ángulo es aquel,que juntamente- con otro lado forma el tal1S B ' V ' Í,ad0BE ' Yacente *l antJ¿ Y r m^n CS adiaccnte «' ángulo E. ydos <strong>de</strong>W •'d ?< en ? n<strong>de</strong>r <strong>de</strong>los ***** £ggulos'repe
V, 8 ci •rri g°nometrUr 2 -. W triangulo, que tuviere dos, 6 tresíos' Z 7tnang^° Yf Ce!es tíene° *»angu-IJ. Qualquier triangulo , que tuviereIguales 2 U l ° ' T tÍe " e dos an S u, °*iguaies, es Yfoceles : y el que tuviere tres ángulosiguales , ferá Equilátero. Efto es fi fuere equiángulo, ferá Equilátero. 'Bft?cL E " S üa V icr triangulo el lado mayorfe opone a mayor ángulo. (xS ,, , m,cuieí'tnW l q r" era d ° S Jados **•• <strong>de</strong> 1»¿-Süi?; di } 1"; fe . fi S« , que fi en un triano?osdoc !T Jad0 ,gl,aI ' ° ma y° r • * ue,osanpn£c - En qu 4 aJ, 3V iera triangulo todos tresángulo ; Un tos fon iguales á dos redos , quevalen tR 0 . grs ( ^ De fc .^1eülos I?' ? U - qU o r tt,sua « aio fe dá » dos ángulosiguales a r8o. grs. ó mayores , cdánmalPlana general. 119.* mal dados los términos. También fe infiere,i que cada ángulo, <strong>de</strong> los que contiene un trian-| guio Equilátero, vale 60. grs. que es la tercia1 parte <strong>de</strong> dos redos, b las dos tercias partes <strong>de</strong>un redo. También fe infiere , que los ángulosagudos <strong>de</strong> un triangulo Yfoceles redangulo, cadauno vale 45. grs. que es la mitad <strong>de</strong> un recto.Y últimamente fe infiere, que , haviendoconocido dos ángulos <strong>de</strong> qualquier triangulo,fe conocerá el tercero, redando el valor ddlos dos ángulos <strong>de</strong> 180. grs. y el refiduo ferávalor <strong>de</strong>l tercero , que falta.Supjiedas,y entendidas edas noticias,podráclEdudiofo ocurrir á qualquier falacia, con queel adverfario pretenda hacer, que fe aparte ddverda<strong>de</strong>ro camino , y con ellas refolverá qualefquieratriángulos, y para ello obfervará lasreglas figuientes.CAPITULO V.DE LAS REGLAS GENERALES PARAlas refoluciones <strong>de</strong> los Triángulos.REGLA PRIMERA.BN Q.UAL(¿UIER TRIANGULO SONproporcionales los lados con los fenos <strong>de</strong> los angulasopueftos. fig.a.EN el Triangulo Equilátero ABC. Digo,queél lado BC. tiene la mifma razón al fenoH4<strong>de</strong>l
tío Trigonometría<strong>de</strong>l ángulo A. que el lado AC. al feno'<strong>de</strong>l ánguloB. El arco BC. es medido <strong>de</strong>l ángulo A.,fórmele el arco AC. con el intervalo AB. que esel radio, y ferá también el arco AC. medida <strong>de</strong>lángulo B. Del punto C. cayga la perpendicularCD. á la BA.. (i 2. p. i.) que ferá feno r. <strong>de</strong>larco BC. y <strong>de</strong>l arco AC. por la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>lfeno i. y quedarán formados dos triángulosBDC. y ADC. que fon equiángulos : porquelos ángulos en D. fon redos (10. <strong>de</strong>f. i.) y porconsiguiente iguales (i2.ax.) A<strong>de</strong>más el ánguloen B. <strong>de</strong>l un triangulo es igual al ánguloen A. <strong>de</strong>l otro: por fer ángulos <strong>de</strong>l trianguloequilátero. ( 32. p. 1.) Y por la mifma el tercerángulo en C. <strong>de</strong>l uno es igual al terceroen C. <strong>de</strong>l otro. Luego, porque fon equiánguloslos dos triángulos , tienen proporcionaleslos lados, que comprehen<strong>de</strong>n iguales ángulos:(4. p. 6.) Luego es : como el lado BC. á CD.feno <strong>de</strong>l ángulo A. afsi AC. á CD. feno <strong>de</strong>lángulo B. que fon los fenos <strong>de</strong> los ángulosopueftos. Luego en qualquier triangulo equiláterofon proporcionales los lados con los*fenos <strong>de</strong> los ángulos opueftos.Sea también propuefto el triangulo YfocelesBAH. Digo, que fon proporcionales AB. á elfeno <strong>de</strong>l ángulo H. como AH. al feno <strong>de</strong>l ánguloB. Hagafe centro en los puntos B. y H.y con el intervalo BA. <strong>de</strong>feribanfe los áreos'AF. y AG. y <strong>de</strong>l punto .A. cayga la AE. per-uen-IltPlana general.féndicular á laBH. (12. p. 1.) y ferá dichaAE. feno recto <strong>de</strong> los dos arcos AG. AR y<strong>de</strong> los ángulos B. y H. por la <strong>de</strong>finición<strong>de</strong> el feno redo, y quedarán formados dostriángulos BEA. y HEA. que ferán equiángulos: porque los ángulos en E. fon iguales,,y retaos (10. <strong>de</strong>f. y 12. ax. 1.) y los ángulos enB. yH. ¡guales (5. p. 1.) luego los tercerosen A. también fon iguales (32. p. 1.) Luegotienen proporcionales los lados , que comprehen<strong>de</strong>niguales ángulos (4. p. 6.) Luegoferá : como AB. á AE. feno <strong>de</strong>l ángulo H.afsi AH. á AE. feno <strong>de</strong>l ángulo B. que fon fenos<strong>de</strong> los ángulos opueftos. Luego en qualquiertriangulo Yfoceles fon proporcionaleslos lados con los fenos <strong>de</strong> los ángulos opueftos.Nota, que <strong>de</strong> qnalquiera cfpecie : , quefea el triangulo Yfoceles, efto es : Redangulo,Obtufangulo, ú Obliquangulo, fiempre le <strong>de</strong>mondrará<strong>de</strong>l mifmo modo , que tiene la mifmaproporción.Sea finalmente propuedo el triangulo EfcalcnoBAL. (fig. 3.) Digo, que también fonproporcionales el lado AB. al feno <strong>de</strong>l ánguloL. como el lado AL. al feno <strong>de</strong>l ángulo B.Alarguefe el lado BA. házia Y. ( 2. pod.) ycortefe BY. igual á AL. (3. p. 1.) y con elintervalo AY. ó AL. haciendo centro en B..y en L. <strong>de</strong>feribanfe los arcos YK. AF. (3-poft.)y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> los puntos A. Y. caygan las A£. YH..peri
ir122,. , Trigonometríaperpendiculares á la BL. (i 2 . p. u) v ferá A Efeno i. <strong>de</strong> ángulo L v l,VH r ' ií 'lo B ñor UA c x ,r Y a YH ' fe no i .<strong>de</strong>l ánguloÁ H A ^ Í ?r ' , D '*S°' 1 Be fo *0«>-¡IlúAlví"r 0 ^ f^0 L " afsí A^- ó fu'gualAL. a YH. feno <strong>de</strong> el ángulo B.i orque cn los triángulos BAE. BYH iosnguJos c E y H f¿ redQs m t ac on y t, mblcn ígua , cs ax< FSS^-t*£5á¡BY! esl"¡, f rAr <strong>de</strong>i angU, ° °P ucfto B 'P «odi D f f r > * P ° r «oní^don. Luegol*\P-5 ' > fera : eomo el lado AB. a AE fe»° <strong>de</strong>l ángulo opuedo L. afsiAL áYH freos con los fenos <strong>de</strong> los ángulos opueftos feaeI tmngulo redangulo, u obliquangufo £u *fe fiL ! S ,as <strong>de</strong>m f "piones d? efta reglaporc¡onal^? e ir lqUÍerCrÍ;In g ul0 fo " P«>-Sos Sos opueftos, on ed S ad que ° S es, C °" &c.loS fenos <strong>de</strong>l °* anPL !'q " e fcdleren conocidos dos lados tHX!° opuefto ' udos **•»> y »¿RE-Plana general.REGLAII.MUIEN QUALQUIER TRIANGULO LA SUMA<strong>de</strong> dos lados tiene la mifma razón a la diferencia<strong>de</strong> los. mifmos, que ¡a tangente <strong>de</strong> ¡afimifuma <strong>de</strong> los ángulos opuefios d la tangen'te <strong>de</strong> la femidiferencia <strong>de</strong> los mifmos ángulos»SEa el triangulo MCA. Digo, que íiendo conocidoslos lados MA. AC. y el ánguloMAC. comprehendido entre ellos, ferá la fuma<strong>de</strong> dichos lados áfu diferencia,como la tangente<strong>de</strong> la femifuma<strong>de</strong> los ángulos opueftos ACM*AMC. á la tangente <strong>de</strong> la femidiferencia <strong>de</strong> losmifmos ángulos» Del lado CA. alargado cortefeAL. igual á MA. y LP. iguala CA. (3. p. 1.)y tircfe la ML. y por AP. tirenfe las paralelasAN. PO. á la CM. ( 31. p. 1.) tirefe la AO. ypor A. la AY. perpendicular á la ML. (12.p. 1.)y haciendo centro en A. con el intervalo AY.<strong>de</strong>feribafe el circulo CYR. ( 3. poft.)Siendo AL. igual á AM. por conftruccion,ferá CAL. fuma <strong>de</strong> los dos lados CA. AM. yCendo también LP. igual á CA. ferá AP. diferencia<strong>de</strong> dichos lados. También el ánguloMAL. externo es igual á los dos internosopneftos ACM. AMC. ( 31. p. 1. ) luego elani
11*"* 2 4 Trigonometríaángulo MAL. es fuma <strong>de</strong> los dos ángulosopueftos ACM. AMC. Y porque el trianguloMAL. es Yfoceles por conftruccion, y <strong>de</strong>l ang.vertical A.fe tiro á la bale LM.la perpendicularAY. cortará dicha bafe por medio cn Y. y tambiénel ang. vertical A.(cor.3.p.3.)y ferácl ang.MAY. la femifuma <strong>de</strong> los dosangnl. opueftosen C. y en M. Y porque también las AN. PO.fon por conftruccion paralelas á MC. y la PL. espor conftruccion igual á la CA. ferá también (2.p. 6.)OL. igual á la MN. Luego también quedaráYO. igualá NY.( 3. ax.) y el ángulo OAY..igual al NAY.(4. P- J •)y también el ang. LAO.igual al MAN. (j.zx.) Pero el angul. MAN. esigual al CMA.(29.p. r.) luego también el angul,LAO. ferá igual alCMA. (i.ax.) Lucgoel ang..NAO. es la diferencia <strong>de</strong> los dos angul. en C»y en M. <strong>de</strong>l trlaug. CAM. Pero el ang. NAY..cs mitad <strong>de</strong>l angul. NAO. diferencia <strong>de</strong> los dosdichos angul. como eítá <strong>de</strong>monftrado: luego elangul. NAY. es la femidiferencia <strong>de</strong> dichosangul. Y también por la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> la tangenteferá MY. tangente <strong>de</strong> la femifuma <strong>de</strong> los angul.opueftos á los lados dados, MA. AC. y laNY.ferá tangente <strong>de</strong> la femidiferencia <strong>de</strong> dichosangul. Tenemos pues <strong>de</strong>monftrado, que CAL.es la fuma <strong>de</strong> los lados conocidos : AP. la diferencia<strong>de</strong> ellos : el angul. MAY. femifuma <strong>de</strong>los ángulos opueftos: NAY. femidiferencia:MY. tangente <strong>de</strong> la femifuma , y NY. tangentePlana general.'12?te <strong>de</strong> la femidiferencia. Efto fupuefto, feguirala conclufion <strong>de</strong>l intento.Porque en el triangulo CLM. las AN. PO.ifon paralelas á CM. por conftruccion: fera(2. p. 6.) como CL. á AP. afsi, ML. á NO..pero (15. p.' 5.) como ML. á NO. afsi MY. áNY. Luego fea (11. p- 5«) ¿orno CL. fuma <strong>de</strong>los lados conocidos MA. AC. á AP. diferencia<strong>de</strong> ellos , afsi MY. tangente <strong>de</strong> la femifuma<strong>de</strong> los ángulos opueftos , á NY. tangente<strong>de</strong>. la femidiferencia <strong>de</strong> dichos ángulos , quees lo que fe havia <strong>de</strong> dcmonftrar.Por efta regla fe refolverá qualquier triangulo, en que fe dieren conocidos dos lados, y el ángulo comprehendido entre ellos-.Porque , reftando el valor <strong>de</strong>l ángulo conocido<strong>de</strong> 180. grs. valor <strong>de</strong> todos tres ángulos*el refiduo ferá fuma <strong>de</strong> los otros dos, y la mitadlera la femifuma <strong>de</strong> los dichos dos ángulos, que fon los opueftos á los lados conocidos, y formando la proporción dcmonftradaen efta regla, faldrá por quarto terminola femidiferencia <strong>de</strong> dichos dos ángulos , qutañadida á la femifuma, dará el ángulo mayor, que ferá el opueftb al mayor lado , yreliada dicha femidiferencia <strong>de</strong> la mifma femifuma,dará el ángulo menor , opuefto almenor lado. Y haviendo hallado el valor <strong>de</strong>todos tres ángulos , fe bufcará el tercero lado,ufando <strong>de</strong> la dodrina dada en la Regla1,1I
•X26 Trigonometríai. y <strong>de</strong> efte modo fe rcfolverá qualquier triangulocon las condiciones pueftas en el titulo<strong>de</strong> efta 2. Regla.REGLAIII.EN QUALQUIER TRIANGULO EL LADOmayor tiene d ¡afuma <strong>de</strong> ¡os otros lados ¡a mifmarazón, que la diferencia <strong>de</strong> dichos dos ladosa la diferencia <strong>de</strong> los figmentos, que hace en ellado mayor la perpendicular tirada <strong>de</strong>f<strong>de</strong> elvértice fobre la bofe, ó lado mayor, fig. 4.SEA dado el triangulo BAL. y cn d feanconocidos los tres lados. Digo, que feránproporcionales el lado mayor BL. (que fe tomarápor bafe ) á la fuma <strong>de</strong> los otros dos ladosBA. AL. como la diferencia <strong>de</strong> dichosdos lados á la diferencia <strong>de</strong> los fegmentos,quecn la bafe BL. hace la perpendicular AE.,tirada <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el vértice A.Tomefe el intervalo AB. y haciendo centroen A. <strong>de</strong>feribafe el circulo BCYH. y alargúeleel lado LA. hafta la circunferencia C.y tirefe <strong>de</strong>f<strong>de</strong> A. la perpendicular AE. (12.p. 1.) y <strong>de</strong>l punto L. tirefe al circulo la tangenteLY. (17. p. 3.)Y porque <strong>de</strong>l punto L. tomado fuera <strong>de</strong>lcirculo , fe ha tirado la tangente LY. y las fecantesLAC. LHB. ferá el redangulo CLR.igual\Plana general. 12 7igual al quadrado <strong>de</strong> la tangente LY. Y tambiénel redangulo CLH. ferá igual al quadrado<strong>de</strong> la mifma LY. ( S6. p. 3.) Luego elrectángulo CLR. cs igual al redangulo BLH.(i.ax. 1. )También las redas AB. AC. fon igualesf n j re s ' (* *• d ef- r.) Luego CL. es fuma <strong>de</strong> loslados M..AL. y por la mifma razón AC. esjgua a AR Luego LR. es la diferencia <strong>de</strong>los lados AB. AL., También porque AE. es perpendicular foorettri. la dividirá en dos partes iguales en*. ( 3. P ; 3- ) y ferá LH. la diferencia <strong>de</strong> laspartes , o fegmentos BE. £ L . Pero pot lo <strong>de</strong>monftradoconfia , que los redangulos CLR.BLH. fon iguales: luego tendrán reciproco*os lados, que comprehen<strong>de</strong>n Iguales an ñ u-í°r S - Ví *T « } ^ego fcra: Coino BL - a CL -alsi LRaLH. luego ferá: Como BL. ladomayor <strong>de</strong>l triangulo BAL. dado á CL. fuma<strong>de</strong> los otros dos lados: afsi LR. diferencia<strong>de</strong> dichos dos lados á LH. diferenda <strong>de</strong> lostegmentos que fobre la bafe BL. hace laperpendicular AE. tirada <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el vértice A.que es lo ^ue fe havia <strong>de</strong> <strong>de</strong>monftrar.i or eda regla fe refolverá qualquier triangulo,en que fe dieren conocidos los tresauos, y nmgun ángulo. Yhaviendo halladola d ferenca <strong>de</strong> ios fegmentos <strong>de</strong> la bafe , fereliara <strong>de</strong> toda la bafe, ó lado mayor, y elre-
If i 28 Trigonometríarefiduo fe dividirá por medio , y efta mitadferá el fegmento menor, adjacente al mayorángulo : y fumando efte fegmento menor conla dicha diferencia <strong>de</strong> los fegmentos, dará elfegmento mayor, adjacente al menor angiirlo : y quedará el triangulo propuefto divididoen dos triángulos redangulos , que cada unotiene conocidos dos lados , y el ángulo rcéto,que fe podrán refolver por la Regla 1. ó porlas figuientes.Si el triangulo dado fuere Equilátero, nohabrá necefsidad <strong>de</strong> refolverlo: Porque conios lados conocidos , quedan también conocidoslos ángulos; pues todos fon iguales entresí, y cada uno <strong>de</strong> 60. grs. (32. p. 1.)Si fuere Yfoceles, haviendo tirado la perpendicular<strong>de</strong>f<strong>de</strong> el vértice á la bafe , dividirála bafe en dos partes iguales, y configuientémentcen dos triángulos redangulos ; ( 3.p. 3. ). en quienes fe hallan conocidos dos lados, y el ángulo redo , que fe refolverán porla Regla 1. b por. qualquiera <strong>de</strong> las figuientes.REGLA IV.EN QUALQUIER TRIANGULO RECTANgulola bypotkenufa tiene d qualquiera <strong>de</strong> loslados la mifma razón, que el radio alfeno <strong>de</strong>lSángulo opuefto a dicho lado. fig. 2.Ea el triangulo redangulo dado BFE. enque fe dan conocidos la hypothenufaBF.Plana general. $29BF. y el lado FE. Digo, que la hypothenufaBF. tiene al lado FE. la mifma razón, que el radioBD. al feno DG. <strong>de</strong>l ángulo B. opuefto aldicho lado FE. Porque los triángulos BFE*BDG. fon equiángulos : pues el ángulo en B.>es común á entrambos triángulos , el ánguloBhF. <strong>de</strong>l uno es redo, por fupolicion, y elO
*J»Án"igonometnaREGLA Y.EN QUALQUIER TRIANGULO REGTAÑguioel lado adjacente d un ángulo tiene la mimarazón al lado opue/to d dicho ángulo,qmtel•radio día tangente <strong>de</strong>l mifmo ángulo, fig.z.SEA el triangulo redangulo dado el BFE.D.go^, que el lado BE. adjacente al ánguloB. tiene la mifma raron al lado FE.opuefto a dicho ángulo B. que el radio BC ála tangente CH. <strong>de</strong>l ángulo mifmo B.lorque los triangulas BEF, BCH, fonequiángulos, refpedo <strong>de</strong> tener el ángulo B. comúny los angul. en E. C, fon redo", el U poríupoí.c.on y el 2 por l a <strong>de</strong>f. déla tangentei,;ii neg0 R°V, gUaieS -- f I2 ' ^ Luego-eTan!guo enF. dd un triangulo es también igual«I ángulo en H. <strong>de</strong>l otro triangulo. ( s¿, p b ,Luego dichos triángulos tienen propordo-Sftl r '*?r comprehen<strong>de</strong>n iguales an-SüñcVié* T ueg0 fer¿: C9md BE - a FE *'aisi su a HC. Luego también : Como BE.lado adjacente al ángulo B. á FE, lado opueftoa dicho ángulo : afsi BC. radio, á HC. tangente<strong>de</strong>l ángulo B. cwe es, Sec.( Con el conocimiento dd ángulo B. fe f a -*» el ángulo F. reftando el ángulo B. <strong>de</strong> elqua-Ptana general. 13».quadrante* Y para conocer la hypothenufa,fe ufará <strong>de</strong> la Regla i, diciendo : Como el leño<strong>de</strong>l ángulo h. a fu lado opuefto FE. afsid radio á la hypothenufa BF.Por efta regla fe refolverá qualquier trian*guio redangulo, en qué fe dieren conocidoalos lados, que comprehen<strong>de</strong>n el ángulo redo,REGLAVI.EN QUALQUIER TRIANGULO RECTANgi'.loqualquiera <strong>de</strong> los lados , que comprehen<strong>de</strong>nti ángulo reíio, tiene la mifma razón a\la hypothenufa, que el radio d la fecante <strong>de</strong>lángulo comprehendido <strong>de</strong> dicho lado, v <strong>de</strong> lahypothenufa. fig.i. -SEA dado el triangulo BFE. en que fe danconocidos al lado BE. y la hypothenufaBF- Digo, que el lado BE. tiene á la hvpotnenufaBF. la mifma razón , que el radio'BC.a la fecante BH. <strong>de</strong>l ángulo B. comprehendido.<strong>de</strong> el lado BE. y <strong>de</strong> la hypothenufa BF.Porque lefc triángulos BFE. y BHC. fon,equiángulos, como eftá <strong>de</strong>monftrado en . laRegla antece<strong>de</strong>nte. Y también , porque fien-,do las rectas FE. HC. paralelas ( 28. p. 1.) fe.ranproporcionales (2. y 4. p. 6.) BE. áBF. comoBC. áBH. Luego ferá: Como BE. lado,que forma el ángulo "redo, á BF. hypothenu-.I 2la,1
13 a Trigonometríad, afsi BC. radio a BH. fecante <strong>de</strong>l ángulo B»contenido entre el dicho lado BE. y la hypothenufaBF. que es , &c.Defpues <strong>de</strong> conocido el ángulo B. fe fabráel ángulo F. tomando el feno 2. <strong>de</strong>l ánguloB. Y para conocer el lado EF. fe ufari<strong>de</strong> la 1. Regla , con la analogía figuiente : Co.-.«no el radio á la hypothenufa BF. afsi el feno<strong>de</strong>l ángulo B. á fu lado opuefto FE.Por efta regla fe refolverá qualquier trianguloredangulo , en que fe dieren conocido»un lado, y la hypothenufa.CAPITULOVLÍ>E LA RESOLUCIÓNTriángulos Planos.DE LOSHAvIendo yá <strong>de</strong>xado notado, que los trian*gulos planos tienen tres confi<strong>de</strong>racíonesrefpedo <strong>de</strong> los lados , fe tratará en elCapitulo prefente <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> ellas , enque fe propondrán los mas <strong>de</strong> los calos * queJfnelen ocurrir en fus propoficiones para refolyerlas, y figuiendo el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> fu divifion,fe comenzará por el trianguloEquilátero.MPRO-mnPROPOSICIÓNTi ana general. 13»PRIMERA*De la refolucion-<strong>de</strong>l triangulo EquiláterosEN el Triangulo Equilátero ficmpre feránconocidos fus tres ángulos : Porque todosfon igules entre si, y á 1-80. grs. y porconfiguienre cada uno vale 60. grs. (5. y3•-• p. 1.) Y afsi, para que fe pueda refolvcr, fe<strong>de</strong>be dar precifamente uno <strong>de</strong> fus lados , yCon efte folo conocimiento, quedará refucilo: Porque por fer Equilátero, todos los lado»han <strong>de</strong> fer iguales , y afsi los otros lados valdránlo mifmo , que el conocido.Nota, que en eftas refoluciones fe acofw.tumbran feñalar los términos conocidos con?una rayita, fean lados , b fean ángulos, y lo»términos, que fe <strong>de</strong>fean conocer, fe feñalancon un o. paraque fe proceda en las refolucionesfin alguna equivocación, mediante, queCon eftas feñales quedan diftintos. unos términos<strong>de</strong> otros. Lo que fe <strong>de</strong>be tener prefente e$íodaslas refoluciones.PROPOSICIÓN II.toe Ja refolucion <strong>de</strong>l triangulo Tfoceles.\ESte triangulo Yfoceles fe ha <strong>de</strong> confi<strong>de</strong>*rar , b como Redangulo , ú como Obtuangulo> u como Acutangulo , en cuya con»1} &i
134 Trigonometríafi<strong>de</strong>racion fe dividirá efta propoficion en treíparágrafos , que ferán los figuientes./. I.De la Refolucion <strong>de</strong>l triangulo TfocelesRectángulo, fig. 5-EN el triangulo Yfoceles redangulo fiemprcferán conocidos fus tres anguloi:Porque , por fer redangulo, un ángulo feráredo , u <strong>de</strong> 90. grs. Y, por fer Yfoceles, cadauno <strong>de</strong> los otros ángulos ferá femiredo, u <strong>de</strong>45. grs. (cor. 2. 32. p. 1. ) y eftos ángulos,que por fer femiredos, b <strong>de</strong> 45. grs. Ion iguales, ferán los opueftos á los lados iguales , y dángulo redo fe opondrá á la hypothenufa. Eftofupuefto , fe pue<strong>de</strong> proponer efte triangulopara fu refolucion con el conocimiento <strong>de</strong>todos tres lados , con el <strong>de</strong> dos , b con el <strong>de</strong>«no folo ,. y fe rcfolverá <strong>de</strong>l modo figuiente*j. Si fe dieren conocidos todos tres lados^tío havrá que hacer refolucion, porque co»los datos queda refuclto , refpedo <strong>de</strong> que yafe tienen-conocidos los tres ángulos.2. Quando fe dieren conocidos dos lados,pue<strong>de</strong> haver dos propueftas ; porque pue<strong>de</strong>nfer los dos lados <strong>de</strong>figualcs, blos iguales. Si lo»lados dados fueren <strong>de</strong>figuales , tampoco haynecefsidad <strong>de</strong> refolucion : Porque con los datosPlana general. 13 5tos queda refueko el triangulo, rcfpedo_ <strong>de</strong>fer Yfoceles , y afsi fe dirá , que lo que fe dierepor valor <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los latios iguales, ferátambién valor <strong>de</strong>l otro lado fu igual: y losángulos fe fuponen fabidos. Luego yá quedarelucho.3. Pero fi los lados, que fe dieren,.fueren,ios ¡guales, fe necefsita <strong>de</strong> refolver , y para.ello fe valdrá, <strong>de</strong> la 1. Regla: v. g..Sea el triangulo dado ABC. en que fe danconocidos los dos lados iguales AB. BC. yfe quiere conocer la hypothenufa AC- feanlos lados cada uno <strong>de</strong> 56.. pies. Caftellanos*Digafe : Como elfeno, I A. 9. 849545 oo*<strong>de</strong>l ángulo C. <strong>de</strong> 45. B. 11. 7482 56 pies*grs.que es A. áfu lado,opuefto AB. <strong>de</strong> 56. C, 1... 8987 79 pies»pies, que es B. afsi elradio , que eftá yá fumado con B. como quedanotado , al valor <strong>de</strong> la hypothenufa AC. qu*as C. que vale 79. pies.4. Si fe diere conocido folo un lado.u ferála hypothenufa, b uno <strong>de</strong>. los dos. iguales*Si fuere la hypothenufa, v. g. AC. <strong>de</strong> valor<strong>de</strong> 100. pies , y fe pi<strong>de</strong>el valor <strong>de</strong> cada uno,<strong>de</strong> los lados iguales, feD. 2. 0000 100 .E. 9.. s 4í>5 45 00dirá por la 1. regla: Co- j F. 1. 8495 7ipiesemo el radio á la hypo- | ;thenufa <strong>de</strong> 100. pk:s, que cs D. afsi el feno ddÍ4&'
tfjí Trigonometríaángulo A. <strong>de</strong> 45. grs. á fu lado opuefto BC. qtiefaldrá <strong>de</strong> 71. pies: y efto mifmo valdrá el ladoAB. refpedo <strong>de</strong> fer iguales los lados AB. y BG5. Pero, fiel lado, que fe dá conocido, fuereuno <strong>de</strong> los dos iguales AB. BC. fe refolveráel triangulo con la mifma proporción*que queda hecha en el num. tercero.Plana general. . '37fcalla diferencia en dios -y afsi fe tirara£Perpendicular EG. ala bafe DF. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el an|ulo vertical E. Ci..f¿) l ^ £ ± 'do en dos triángulos redangulos, y la perpendiculardividirá la bafe por medio/cor. 3.. p.3. ) y ferán conocidos en cada triangulo doslados: el uno <strong>de</strong> 64. pies, y el otro la mitad <strong>de</strong>la bafe <strong>de</strong>l total,que ferá <strong>de</strong> 50. pies, y tamb enquedará conocido el ángulo redo en cada tr ángulo, que fe refolverán por la regla 1. dicien-G.Hí. II.De la refolucion <strong>de</strong>l triangulo Tfoceles obttfángulo,figura 6.LAS refoluciones <strong>de</strong> efte triangulo fon lasmifmas , que las <strong>de</strong>l acutangulo. Y afsiytodo quanto fe dixere <strong>de</strong>l obtufangulo , fe <strong>de</strong>beenten<strong>de</strong>r dicho <strong>de</strong>l acutangulo. Pero, porfeguir el or<strong>de</strong>n , que fe lleva , fe pondrán enefte $. las <strong>de</strong>l obtufangulo , en que fe din conocidostodos tres lados: b dos lados, y unángulo: y en el $. figuiente las <strong>de</strong>l acutangulo, don<strong>de</strong> fe dan conocidos dos ángulos, yvn lado.1. Sea el triangulo Yfoceles obtufanguloDEF. en que fe dan conocidos todos tres lados: los dos iguales , DE. EF. cada uno <strong>de</strong>Ó4. pies , y la bafe DF. <strong>de</strong> 100. pies , y fe pi<strong>de</strong>el valor <strong>de</strong> los ángulos. Para la refolucion<strong>de</strong> efte, y <strong>de</strong> los <strong>de</strong>más triángulos, en que•fe dan conocidos rodos tres lados , nos <strong>de</strong>bemosvalet <strong>de</strong> la regla 3. pero, porque en efteYfoceles, tiene los dos lados iguales no feha-*2 „ ^ . « » TVT: n T 1. Rc\6i. 6±.do: Como el lado DE.8062. 64.b EF. <strong>de</strong> 64.pies , que 11 6990. 50.es G. al radio : afsi ellado DG. b GF. mitad Y. 9. 8928. Jl. 33<strong>de</strong> la bafe dada 100. I —-7- 'que vale 50. y es H. junto con el radio, al feno<strong>de</strong>l ángulo E. en uno,y otro triangulo, ylaldrael <strong>de</strong> ji.grs. y 2?.min. el qual duplicado feralíos. grs. y 46. min. valor <strong>de</strong>l ángulo DbK yreliado efte ángulo <strong>de</strong> iSo.grs. que valen todoslos 3. <strong>de</strong>l triangulo, quedará 77. y M-mm. porvalor <strong>de</strong> los ángulos fobre la bafe DF. y porqueeftos han <strong>de</strong> fer iguales, (5. p- *•) la «fad, quees 38.grs. y 37. min. cs valor <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong>ellos, y queda refuelto el triangulo.Si fe quificre fa- K.ber el valor <strong>de</strong> la L.perpendicular EG. fedirá por la regla r.Como el radio á la1. 8062. 649. 7953- 3 8 37
íx 3° Trigonometríahypothenufa DE. b EF. afsi el feno <strong>de</strong> el ánguloD. o F. <strong>de</strong> 38. grs. y 37. m¡„. á i a per .pendicular EG. y faldrá 40. pies por valor <strong>de</strong>oicna perpendicular , que fe bufeaba..2. Sean en d mifmo. triangulo conocido!los dos lados iguales DE. EF. cada, uno <strong>de</strong>50. pies x y fea también conocido el ángulo£• adjacente á ellos <strong>de</strong> 12.0. grs. y fe quierenconocer los términos, que faltan. Reftefe elvalor <strong>de</strong>l ángulo dado 1.20. <strong>de</strong> 180. valor <strong>de</strong>todos tres ángulos, y el refiduo 60. ferá valor,<strong>de</strong> los otros dos: y, porque ha*<strong>de</strong> feriguales,tomefe la mitad <strong>de</strong> 60. que es 3-0. y ferávalor <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> ellos. Con el conocimiento,<strong>de</strong> todos tres ángulos, y <strong>de</strong> los 2. lado»iguales, fe hallará la bafe por la regla 1. diciendo:Como N.o.. 3010el feno <strong>de</strong> el ánguloD..b F. <strong>de</strong> O. 9. 6990 30. g..30. grs. quq es P. I. 6990 50. p.O. á fo ladoopuefto, DE. b Q¿ 9- 9375 120-A.60. g.EF. <strong>de</strong> 50. pies, Ique es P. afsi el [ &• 1. 9375 8 7* P» '•feno <strong>de</strong> el ángulo E, <strong>de</strong> 120., grs.. bdc 6o¡.grs,( qiieesel nfifmo , como queda advertidoen la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l feno 1. ) que es Q¿_i la bateopucíla, DF. que fale <strong>de</strong> 87, pies.Nota, que.en efta operación eftá tomadoel complemento logarithmico, como quedadi-iB^^^^Hx 3 9Plana generaldicho en la propoficion 9. <strong>de</strong>l cap. 3. P*« q uelas operaciones no fean tan mokftas , y le podráhacer , como queda maninefto en ella, tomandoel complemento á 10. en el primernumero fignificativo , que es d o. y en los <strong>de</strong>más, hafta 9. y mmar efte complemento, quees N. con los dos términos P. y QÍ_ y -la luanaR. ferá el quarto termino , que fe bufca,haviendo quitado la unidad á la cara<strong>de</strong>rifticahacía la izquierda <strong>de</strong>l operante: y <strong>de</strong> efte modopodrá ufar el principiante , hafta eftar masexperto , que en tal cafo , lo podrá tomar <strong>de</strong>memoria, y fumarlo con el 2. y 3. termino,y quitar la unidad ala cara<strong>de</strong>riftica <strong>de</strong>l 4. termino, como fe prádicará en las_ refolucionesfiguientes, quando no interviniere el radiocn las analogías , b proporciones.3. Sean en el mifmo triangulo conocidoslos dos lados DE. y EF. cada uno <strong>de</strong> ?6,pies, y el ángulo D. adjacente al lado DE.y opuefto al lodo EF. y fu valor 28. grados.Con eftos términos conocidos queda tambiénconocido el. ángulo F. <strong>de</strong>.28. grs. refpedo <strong>de</strong>t 1 • l «v C * £. ..O m-afer el triangulo Yfoceles, que fumaT. 1. 5 5¿3 36 pies.S. 9. .6716 28. grs.dos entrambos importan56. grados,V. 9. 9¡%6 56 grs.los qu<strong>de</strong>s refiados., X. 1. .8033 6a pies.<strong>de</strong> 180. quedarán«24. por valor <strong>de</strong>l ángulo'E. y para fu refolur\CW\cion,
I; x 4 0 Trigonometríacion, fe operará por la Regla i, diciendo : Comoel feno <strong>de</strong>l ánguloD. <strong>de</strong> 28. grs. que es S.á fu lado opuefto EF. <strong>de</strong> ^6. pies, que es T. afsiel feno <strong>de</strong>l ángulo E. <strong>de</strong> 124. grs. b <strong>de</strong> 56. grs*( como queda advertido) que es V, á fu ladoopuefto DE. que es X. y correfpon<strong>de</strong> á 64. pies,¡que fe pretendía.4- En el mifmo triangulo <strong>de</strong>nfe conocítíosdos lados dcfiguales DE. <strong>de</strong> 58. pies, yDF. <strong>de</strong> 96. pies, y el ángulo adjacente á ellos~ e 34* grs. y 9. min. Digo, que efte trianguloqueda refudto con los mifmos datos. Porgueel lado EF. ferá <strong>de</strong> 58. pies, refpedo <strong>de</strong> ,fer Yfoceles dicho triangulo: y por la nfif-*na razón el ángulo F. ferá <strong>de</strong> 34. grs. y 9. ms.que, fumados, hacen 68, grs. y 18. in, y eftosrefiados <strong>de</strong> 180. grs. íale al refiduo 111.grs, y 42. min, valor <strong>de</strong>l 3. ángulo E.5- Si en dicho triangulo fe dieran los doslados DE. y DF. <strong>de</strong>figuales , y el ángulo E,adjacente a uno , y opuefto á otro , quenaratambién refudto el triangulo, cómoen el numero antece<strong>de</strong>nte: fiendo el ladoEF. igual á DE. y reftando el valor <strong>de</strong>l ánguloE. dado <strong>de</strong> 180. grs. y el refiduo partidopor medio , ferá cada mitad valor décadauno <strong>de</strong> los otros Idos ángulos,que también <strong>de</strong>ben feriguales.Plana general. 14ajf. III.toe la refolucion <strong>de</strong>l triangulo TfccelesHAcutangulo. fig. 7.Aviendo propuefto en el parágrafo antece<strong>de</strong>ntelas refoluciones con el conocimiento<strong>de</strong> tres lados; y dos lados , y unángulo: propondremos cn el prefente en eltriangulo Yfoceles acutangulo las propoficionescon el conocimiento <strong>de</strong> dos ángulos*I y un lado : pues , como queda dicho , lo(que refolvieremos cn efte acutangulo , fe <strong>de</strong>betener entendido en el obtufangulo, y alI contrario. Efto fupuefto.I 1. Sea propuefto el triangulo Yfocelesacutangulo HGY. en que fe íuponen cono-Icidos los dos ángulos H. Y. cada uno <strong>de</strong> 53..jgrs. y 8. min. y el lado HY. adjacente á di-|chos ángulos , valga 54. pies. Primeramentefe<strong>de</strong>be conocer el ángulo G. fumando, los.Wos ángulos H. Y. que ferá 106. grs. y 16. mi-Inut. y elfos refiados <strong>de</strong> 180. quedan 73. grs.'[y. 44. min. por valor <strong>de</strong>l ángulo G. <strong>de</strong>fpuesle refolverá el triangulo, valiéndonos <strong>de</strong> laRegla 1. con la analogiafiguiente : Comoel feno <strong>de</strong>l ánguloG. <strong>de</strong> 73. grs.y 44. min. que esA. al lado opueftoA. 9. PB23 73 44B. 1. 7324 54 pies.'C. 9- P031 53 8D. r. 6532 45 pies.HY. <strong>de</strong> 5. pies , que es B. afsi el feno <strong>de</strong>l angul
14 2- Trigonometríaguio H. b Y. <strong>de</strong> 55. grs. y min. que es Cá fu lado opuefto HG. b GY. que es D. <strong>de</strong>45. pies.2. Sea el mifmo triangulo , en que fe <strong>de</strong>nconocidos los dos ángulos H. Y. cada uno<strong>de</strong> 50. grs. y el lado HG. opuefto al ánguloY. <strong>de</strong> 40. pies. En efta propuefta queda conocidoel lado GY. <strong>de</strong> 40. pies , por fer Yfocelesel triangulo: y para conocer el ángulo G-fc fuman los dos ángulos dados , y hace 100.que reliados <strong>de</strong> 180. queda 80. por fu valor.Para haliar el valor <strong>de</strong> el lado HY.' feE.F.G.88426021993450 grs.40 pies.80 grs.H. 1. 7113 j 1 pies.formará por la Regia1. la analogíaliguienre: Como elfeno <strong>de</strong>l ángulo Y.<strong>de</strong> 5 o. grs. que esE. á fu lado opueftoHG. <strong>de</strong> 40. pies , que es F. afsi el feno <strong>de</strong>lángulo G. <strong>de</strong> 80. grs. que es G. á fu ladoopuefto HY. <strong>de</strong> 51. pies, que es H.3. En el mifmo triangulo lean conocidos losángulosH. G.el 1. K. 9. 9573 65 grs.<strong>de</strong>6j.yel2.<strong>de</strong> 50. L. 5798 38 pies.yelladoGH.adja- M. 8843 50 grs.cente á ellos <strong>de</strong>3-8.pies.Por la propueftaqueda conoddoN. 1. 5068 32 piestambién el ángulo Y. <strong>de</strong> 65. grados,y d lado GY. ¿Í 38, pies , y falo queda.Plana general.I,,da,que conocer el lado HY.que por la Reglar,fe conocerá, mediante la analogia figuiente'Como el feno <strong>de</strong> el ángulo Y. <strong>de</strong> 6 5 .grs. quecs 1C. a fu lado opuefto HG. <strong>de</strong> 38. pies quees L. afsi el feno <strong>de</strong>l ángulo G. <strong>de</strong> 5o.grs! quecs M. a fu lado opuefto HY. <strong>de</strong> 3 2. pies, que•cs N. y lo que fe pretendia.4- Sea también en el mifmo triangulob•op.ocdo el lado HY. <strong>de</strong> 83. pi es , y i os an .gufosG<strong>de</strong>55.yelY.<strong>de</strong>6 2 ¿.y\/ 0 . , m: ^-uyos datos queda también conocido el art-« lados HG y GY. fe dirá por la R^la 1.orno d feno <strong>de</strong> el O. 9.913* 51 g¿.1gul0G.<strong>de</strong> 55. -P. i.9 44 ?88p¡ es .S; q 0 u ;^HÍ ^ ^ o _ _frnguo Y. <strong>de</strong> 62. g fs . y 3a. minut. que es Q.a fu lado opuefto HG. que es R. <strong>de</strong> 95. pies-ylo mifmo valdrá GY. refpedo <strong>de</strong> fer^uafes) quedará concluida la operación.PROPOSICIÓN III.W I* refdmion <strong>de</strong> el triangulo Ef caleño.P^nnM d trÍa " gUl °"quangulo , fo dividirá ellaEfCalcn ° fe t*¿propoficirn
I144 Trigonometríaen dos parágrafos: en el primero fe propon-idrán los Problemas pertenecientes al redan*guio : y en el fegundo , los que pertenecieren Ial obliquangulo, y ferá en el or<strong>de</strong>n figuiente.- Ji. LDe la refolucion <strong>de</strong> el triangulo E/calinaRecJangulo.TOdas las propoficiones, que fe pue<strong>de</strong>nhacer en el triangulo Efealeno (y lo jmifmo en qualquier triangulo) pue<strong>de</strong>n fercn una <strong>de</strong> cinco maneras: Porque fe pue<strong>de</strong>ndar todos tres lados conocidos : dos lados, yun ángulo adjacente : dos lados, y un ánguloopuefto : dos ángulos , y un lado adjacente: y idos ángulos , y un lado opuefto.,Y fegun eftas confi<strong>de</strong>raciones , fe propondránlos Problemas figuientes.PROBLEMAPRIMERO.Dados tres lados <strong>de</strong> un triangulo Efialeno Res?tángulo , conocer todos tres ángulos, fig. 8.EN el triangulo redangulo Efealeno MLRfean conocidos el lado ML. <strong>de</strong> 70. pies,"elMN. <strong>de</strong> 90. y elLN. <strong>de</strong> 50. Refpedo <strong>de</strong> queel triangulo propuefto cs redangulo en L..&co-Plana general. 145conocerán los otros dos ángulos por la Regla1. con la figuiente analogía : Como el lado, ú hypothenufa NM. <strong>de</strong> 90. pies, que es A.A. 1. ©54= 9oB. 11. 6990 50. , , • • - - *C ©. 744 8 33 45!al radio: afsi el lado LN.<strong>de</strong> 50. pies al feno <strong>de</strong>lángulo M, El logarithmoB. es el <strong>de</strong> 50. pies,juntamente con el radio,y lo que correfpon<strong>de</strong> al feno <strong>de</strong>l ángulo M.csC. que es feno <strong>de</strong> }¡. grs. y 45. min. cuyocomplemento en la tabla le correfpon<strong>de</strong> 56.grs. y 15. minut. valor <strong>de</strong>l ángulo N. yquedará refudto el triangulo propuefto.PROBLEMAII.Dados los lados, que comprehen<strong>de</strong>n el angulareíio, conocer los otros ángulos, y lahypothenufa»SEan conocidos en el mifmo trianguloLMN. el lado ML. <strong>de</strong> 66. pies , y etlado LN. <strong>de</strong> 45. y el ángulo adjacente á dichoslados tedo. Efta refolucion fe pue<strong>de</strong>hacer por la Regla a, b por la 5. Ambasfe pradicarán , para excrcicio <strong>de</strong>l principiante; pero la refolucion por la Regla 5. quepondremos <strong>de</strong>fpues, es mas fácil, y breve,que^ la que fe hace por la Regla a. que »%la figuiente.KTo-^^••••^H
146 TrigonometríaTomenfe los dos lados conocidos ML.66. y LN. 45. y fumados impor- 31taran til. y reliado uno <strong>de</strong> otro,quedará 21. como parece al mar- 66gen. Defpues fe reftará el ángulo 45L. conocido <strong>de</strong> 180. grs. y refpec- . • • • > —to, <strong>de</strong> que cs 90. grs.' quedarán ntotros 90. grs* por Valor <strong>de</strong> los dos —ángulos M. y R D. 2. 0453 i ti. pies.cuyamitad45.fi;- E. ir. 322a ai.pies.irá femifuma<strong>de</strong> losángulos opueftos F.á los lados conocidos.9 2769 tang. ío 43.Luego fe dirá : Comola fuma <strong>de</strong> los dos lados co34 -7nocidos i tu pies , que esD. á la diferencia <strong>de</strong> ellos21. afsi la tangente <strong>de</strong> la femifuma<strong>de</strong> los ángulos .opueftos45. ( que por fer igual al radio4510554? '43eftá junta con el 2. tj-rmino en E. Jalarangente<strong>de</strong> la femidiferencia <strong>de</strong> los mifmos ángulos, que es F. y correfpon<strong>de</strong> á 1 o. grs. y43. min. la qual, fumada con la femifuma45. grs.importa.55. grs. y 43. min. valor <strong>de</strong>el mayor ángulo, opuefto al mayor lado,que es el ángulo N. Y reliada la femidiferencia10. grs. y 43. min. <strong>de</strong> la femifuma 45.grs. ferá el refiduo 34. grs. y 17. min. valor'<strong>de</strong>Plana general. 147<strong>de</strong> el menor ángulo M. opuefto al menorlado LN.Para conocer la hypothenufa MN. fe dirápor la Regla 1. Como el feno <strong>de</strong>l ánguloN. <strong>de</strong> 55. grs. y 43.min. que es G. a fu ladoopuefto ML. <strong>de</strong> 66.pies, que cs H. afsi elradio, que eftá tambiénG.H.9. 917 111. 8195— - . . • • -Y. 1. 9024 8055 43.66.incluido en H. á la hypothenufa MN. que esY. que vale 80. pies.Mas fácilmente fe refolverá el triangulo pro*,puefto por laRegla 5. diciendo : Como el ladoLN.<strong>de</strong> 45.pies, que I L. I. 6532 $5 pies»es L. al lado LM. M. 11. S195 6&pies»<strong>de</strong> 66, pies : afsi I ——— • ——el radio ( que es | R lo. 1663 /. 5 5 43M. con el logarith- | — 'mo <strong>de</strong> LM. ) á la tangente <strong>de</strong>l ángulo N«que es N. y correfpon<strong>de</strong> á 5 5- g
148 TrigonometríaPROBLEMAIII.toados dos lados ,y e¡ ángulo adjacente oblique,conocer los <strong>de</strong>más ángulos > y eltercer lado.-QjEan en el triangulo MLR conocidos elO kido LN. <strong>de</strong> 44. pies , y la hypothenufaMN. <strong>de</strong> 87.-pies, y el ángulo R adjacenteá dichosMos <strong>de</strong> 59. grs. y 37. min. Reftefed ángulo <strong>de</strong> 59. grs. y 37. min. que cs el an-guio N. <strong>de</strong> el quadrante^el refiduo 30. grs.y 23. min. ferá valorA. 1, 9395. 87.Ü.9- 93 5 S. 59- 37*<strong>de</strong>l ángulo M. Y pa- | C. 1. 8753. 75.ra conocer el lado j —— -ML. fe dirá por laRegla i. Como el radio á lahypothenufa MN. <strong>de</strong> 87. pies, que es A. afsi dfeno <strong>de</strong>l ángulo N. <strong>de</strong> 59. g. y 37. ms. que esB. á fu lado opuefto ML. que es C. y vale 7 5. pies.PROBLEMAIV.Dados <strong>de</strong>s lad.s, y el ángulo retío, opuefto aune<strong>de</strong> ellos, conocer ¡es <strong>de</strong>más angulos ty el tercer lado.EN el mifmo triangulo MLR fea el ánguloL. redo, y el lado LN. <strong>de</strong> ¡9. pies , y lahypothenufa MN. <strong>de</strong> 78. pies. Efte triangulo feRefolverá por laRegla 1, dicicfidoiComolahy-po-^HBPlana general. 149pothenufa MN. <strong>de</strong> 78. pies, que es D- airadlo,*afsi el lado LN. <strong>de</strong> 7,9. pies al feno <strong>de</strong>l ángulo M..fu opuefto,que cs F. ( y la fuma <strong>de</strong>l radio , y ellogarithmo <strong>de</strong> 39. es.E.) y valdrá F. 30. grs. y'fu feno 2. que cs el <strong>de</strong>J60. grs. ferá valor <strong>de</strong>Sel ángulo N, Defpues|fe dirá ppr la Regla 1.lomo el radio ¿la hyD. 1. 8921.E. 11. 5911.78 pies.39 piesF. 9. 6990. 30 grs,.pothcnufa.MR<strong>de</strong> 78, pics,que es G. afsi el feno<strong>de</strong>l ángulo N. <strong>de</strong> 60. G. 1. 8921. 78 pies.grs, que es H.á fu lado H. 9- 9375- 60 grs.,1 opuefto ML.quees Y. • • — — — = -• • "«W fu valor 68. pies, y Y. 1. 8296. 68 pies.!|qucda refudto el trian-'gulp propuefto.^ También fe pue<strong>de</strong> refolver por la Regla 4.:diciendo 1 Como lahypothenufa MN. <strong>de</strong>7 8 « pies, que es L.al lado LN. <strong>de</strong> 19.L. 1. 8921. 78 p.M, 11, 59U» 6£p*R 9. 6990. 30 g*pies: afsi el radio,que es M, juntamente con el logarithmo <strong>de</strong>39. al feno <strong>de</strong> el anploM. opuefto al P. II, 8921. 78 fi,O. 1. 5911. 19 ?•lado LN. que Cs <strong>de</strong>! 3°- grs, y es N. Defpuesfe bufcará elQ¡_ 10. 3©io.f.6og.laladoML. con la mifma analogia, que cn elcafo antece<strong>de</strong>nte, y faldrá lo mifmo.K* Taaw
íjo TrigonometríaL- También fe pue<strong>de</strong> rcfolver por la Regla 6.»diciendo: Como el lado LN. <strong>de</strong> ¡9. pies que esO. á la hypothenufa MN, <strong>de</strong> 78. pies , que esP. junto con el radio ; afsi el radio ala fecante<strong>de</strong>l ángulo N, comprehendido entre la hypothenufa,y el dicho lado, que es Q¿.y vale 60. grs.Defpues fe hallará el lado ML. con la mifmaproporción , que cn el cafo primero, y quedarárefuelto el triangulo.PROBLEMA V.toados los lados , y un ángulo agudo opueflo duno <strong>de</strong> ellos , conocer los otros ángulos , yel tercer lado.EN el mifmo triangulo MLN. fean conocidosel lado LN, <strong>de</strong> 37. pies , y ML. <strong>de</strong>58. pies , y el ángulo N. opuefto á ML. <strong>de</strong> 57.gts. y 30, rnin. Con eftos datos queda conoddoel ángulo M. que R. 9. 9260. 57. 30ferá el complemento S. n. 7634. 58.al quadrante, que es32. grs, y 3.0. minut. T, 1. 8374. 69.Y para conocer la hypothenufa, fe dirá por laRegla 1. Como elfeno <strong>de</strong>¡ ángulo N. <strong>de</strong> 57. grs* y 30. min. quees R. á fu lado opuefto ML. <strong>de</strong> 5 8. pies,que es S. junto con el radio afsi el radioá la hypothenufa MN. quees T. <strong>de</strong> 69. pies.PRO-Plana general.PROBLEMAVt1.51Dadas dos ángulos agudos, y el lado adjacented ellos, conocer los <strong>de</strong>más lados , y eltercer ángulo.SEA cn el mifmo triangulo MLN. conocidoel ángulo M. <strong>de</strong> 25. grs. y 45. min: y el-ángulo N, <strong>de</strong> 64.gis. y 15, min. y la hypothenulaMN, <strong>de</strong> 112.pies, y el ángulo L. fe fuponcredo. Efte triangulo fe refuclvc por la^Ecvg'a i. y fe pue<strong>de</strong>n hallar los dos lados á unñu fino tiempo, diciendo: Como el radio á laA. 2.049.2. 112B. 9'6i 7 9. 25 45hypo~rthenufaMR<strong>de</strong> ii2C 1.6871. 482.0492 1129.9540.64.1%,'2.0038. iorpies, que es A. y fe pondrá en dos partes, co-r.mo eftá en el exemplo : afsi el feno <strong>de</strong>l ánguloM. <strong>de</strong> 25. grs, y 45. min. y afsi el feno <strong>de</strong>l ánguloN, <strong>de</strong> 64. grs. y 1 5, mi 11. que fe pondráncada uno <strong>de</strong>baxo <strong>de</strong> A. como parece en B. al,lado opuefto LR en la primera proporcion,_Y a * - a do opuefto ML. cn la Í. y fale C. quecorrefpon<strong>de</strong> en la 1. á 48. pies, y en. la 2. á¿iOi.pi^s, y quedará concluida la .'refolucion.K 4PRO*
I 5*TrigonometríaPROBLEMAVILDados dos ángulos, uno retío, y otro agudo, v elfado adjacente d ellos, conocer los otros lados,y el tercer ángulo.DEnfe conocidos cn el mifmo trianguloML^. d ángulo L. redo, y el ángulo N.üe 56. grs. y l3. ra¡„. y ej ] ado L N. adjacentea el os <strong>de</strong> 94- P'es. Con eftos datos fe bufcaráen Ia S> tablas <strong>de</strong> los fenos el feno <strong>de</strong> 56. grj.y 12. m¡n. y fu feno 2. 3!. grs. y 4g. m; n . ferivalor <strong>de</strong>l ángulo M. Luego fe hallarán loslados por Ja Regla 1. diciendo: Como el feno.<strong>de</strong>l ángulo M. <strong>de</strong> 33.g". y 48. min. que esp- á fu lado opueftoLN.<strong>de</strong> 94, pies, que csE. afsi el radio, queD.E.9- 7453 33 4811. 973i' 94 P*F. 2. 1278. i69p,eftá en E. á la hypothenufa MN. que es F. <strong>de</strong>ii6
1 54 Trigonometríay el ángulo M. <strong>de</strong> 11, grs. y 45. min. y d lado(LR <strong>de</strong> 98. pies. Réf- j T. 9. 3089 11 45• pedo <strong>de</strong> fer el trianiguloredangulo, fe-¡rá el ángulo L. recto.Luego fe dirápor la Regla 1. Co-V. 1. 9912 9S pies.X. 9. 9908 78 tjZ. 2. 6731 471 pies.mo el feno <strong>de</strong>l ángulo M. <strong>de</strong> n. grs. y 45.min. que es T. á fu lado opuefto LN. <strong>de</strong> 98.pies , que es V. afsi el feno <strong>de</strong>l ángulo N. <strong>de</strong>78. grs. y 15. min. que es X, á fu lado opueftoML. <strong>de</strong> 471. pies,que es Z. Tambiénfe dirá: Como elfeno <strong>de</strong>l ángulo M.<strong>de</strong> 11. grs.y 45. ms.A. 9. 3089 11 45B. ii. 99*z 98 pies.C. 2, 6823 481 pies.— — o — • / -fj.ino. 1 .—;que es A. afolado opuefto LN. <strong>de</strong> 98. pies,que es B. afsi el radio á la hypothenufa MN.que es C. y Vale 481. pies , y quedará refueltqel triangulo propuefto,• $- n,toe la refolucion <strong>de</strong>l triangulo EfialenoQbliquangulo,REfpedo <strong>de</strong> que en las refoluciones <strong>de</strong>lparágrafo antece<strong>de</strong>nte hemos feguidoel ufo común , para bufcar el valor <strong>de</strong> los logarithmos, <strong>de</strong> los fenos , tangentes, y focantes,Plana gene**?* tiíftes, tomando el mas próximo , quando no fehallaba juftamente,, <strong>de</strong>terminamos en efte-paragrafotomarlos con la mayor predfion,que fea pofslble, tomando en los logarithmoslos quebrados , <strong>de</strong>más <strong>de</strong> los enteros, ycn los fenos , tangentes , y fecantcs los minutosfegundos, <strong>de</strong>más <strong>de</strong>jos minutos primeros, para que por efte medio tenga el Eftudiofola prádica, <strong>de</strong> lo que queda dicho en eftamateria , quando quifierc valerfe <strong>de</strong> elia, parala juftificacion <strong>de</strong> las refoluciones , quetuviere executado.PROBLEMA PRIMERO.toados tres lados <strong>de</strong> un triangulo Efialeno Oblicuángulo, conocer los ángulos. fig> 9-SEA el triangulo obliquangulo propueftoOPQ^en que fe dan conocidos fus treslados: OP. <strong>de</strong> 64. pies ; PQt.<strong>de</strong> 55- y OQ¡_<strong>de</strong>72. pies. Para refolver efte triangulo, fe tomará por bafe el ladomayor OQ^ <strong>de</strong> 72. pies. Defpuesfe pondrán aparte los otros doslados, para fumarlos , y reliarlos,y 119. ferá fuma <strong>de</strong> ambos, y 9.ferá diferencia <strong>de</strong> ellos , comoparece al margen.6455119. Defpues fe dirá por la Regla 3. Como el lado
l• •Trigonometría«• 85732. 0755o. 95427*'9•*.,,r.t~I. 1724 i 4 >i(.J00I.I,I.2631724146117613°Q14*x 4*530o,156do mayor, ó bafe OQ^<strong>de</strong> 72. pies , ala fuma<strong>de</strong> los otros dos ladosOP. y PCL 119. ps:afsi la diferencia <strong>de</strong> losmifmas lados 9.p. á ladiferencia <strong>de</strong> los fegmétos,quehace la perpendicularPR, fobre labafe OQi tirada <strong>de</strong>f<strong>de</strong>elangul. <strong>de</strong>l vértice P.y hecha la operación,fale por quarto tetmino:1.172 4. que correfpon<strong>de</strong>á 14. pies , mas 263. trecientos abos <strong>de</strong>otro, como confia <strong>de</strong> la operación <strong>de</strong>l margenaHaviendo hallado la diferencia<strong>de</strong> los fegmentos 14)5^263,trefeientos abos, fe reftará <strong>de</strong>toda la bafe 72, y faldrá al refiduo57*37^refcientos abos,<strong>de</strong> quien tomando la mitad28 >5& 3 37- feifeientos abos, fcráelfegmento menor QR. adjacenteal mayor ángulo Q^ y fumandoelle valor <strong>de</strong>l fegmentomenor con la diferencia <strong>de</strong> losfegmentos antes hallada, hará43.pics,y 263. feifeientos abos,que es valor <strong>de</strong> el fegmento ma 4 -yorn263*4»i
Il15% TrigonometríaComo el lado menor , b hypothenufa PQ¿. <strong>de</strong>55. pies, al radio: | 1.7404 55 337afsi el fegmento 11.4557 28 í¡
46o Trigonometríaque ferápor la Regla 2. fe fumarán , y reftaránlos dos lados conocidos, y ferá la fu- 24ma <strong>de</strong> ellos 142. y fu diferencia ferá •* •*24. Defpues fe reftará el valor <strong>de</strong>l 83ángulo P. conocido 80. grs. <strong>de</strong>l va- 59lor <strong>de</strong> dos redos, que es 180. grs. y • •• —el refiduo 100. ferá valor <strong>de</strong> los dos 142ángulos O. Qi_y fu mitad 50. valor -<strong>de</strong> la femifuma <strong>de</strong> dichos ángulos, opueftos*los lados OP. y PQ^.Efto fupuefto, fe dirá: Como la fuma <strong>de</strong>los dos lados OP. y 2. 1523 142PQ¿_ 142. pies á fu r. 3802 24diferencia 24. pies: 10. 07621ang. 50afsi la tangente <strong>de</strong> lafemifuma <strong>de</strong> los ángulos9. 3041 t. 11 23 17opueftos O. yQ¿_ que es 50. á latangente <strong>de</strong> la femidiferencia<strong>de</strong> los mifmos 9. 303© 11 -39. 3041 11 23 17ángulos, y hecha la 9. 3046 11 24operación, viene porquarto termino la tangente»dc 11. grs.13. minut. y 17. fegundos.Haviendo halladoel valor <strong>de</strong> la tangente<strong>de</strong> la femidiferencia, fe añadirá á120 I 7051o 1738 36" 43115033 1761 33 17UPlana general. 161la femifuma, y dará ¡ 9. 9434 61 2361.grs.23.min. y 17. 9.9435 61 24fegundos, por valor11• • -' ' 1<strong>de</strong>l ángulo Q^opuef-16 al mayor lado OP. 17y.refiada también lamifma tangente <strong>de</strong> la 17 60emifuma dará 38.*7rs. 16. minutos , yo #E43 • feg. valor <strong>de</strong> el60ngulo O. opuefto alenor lado. PQ^. Co-' 9.9434 61 23 17o todo parece en 1.9191 83 .pies.os exemplos <strong>de</strong> el 9. 9934 .80 grs.Inargen.Refta ahora conocerel lado OQi. y2J,1.9691 93para dio fe dirá porla regla 1. Como el5feno <strong>de</strong>l ángulo Qj. 1. 9691 93 j$ y 3- veinte y tres abos, conio^onfta<strong>de</strong> la: operación* •PRO-
í6i . TrigonometríaPROBLEMA III.Dados dos lados ,yun ángulo opuefto auno <strong>de</strong>ellos , conocer ¡os <strong>de</strong>más ángulos, y el tercerlado.SEan en el triangulo mifmo OPQt. conocí'dos el lado 0(J_<strong>de</strong> 85. pies, el OP. <strong>de</strong> 79.pies, y el ángulo Q^ opuefto al lado OP. fea<strong>de</strong> 65. grs. y 30. min. Efte Problema fe refolverápor la Regla 1. di<strong>de</strong>ndo: Como él ladoOP. <strong>de</strong> 79. pies al feno<strong>de</strong>l ángulo opuefto Q^ <strong>de</strong>65. grs. y 30. min. afsi ellado OQj. <strong>de</strong> 85. pies, alfeno <strong>de</strong>l ángulo P. que ferá<strong>de</strong> 78.grs. y 15.min. ypara conocer el ánguloO: fe fumarán los dos ángulosQ^P. y harán 143.grs. y 45. m. que refiados<strong>de</strong> i8o.,grs. el refiduo 36.grs.y i5-m. ferá valor<strong>de</strong> el ángulo O. Defpuesfe dirá : Como elfeno <strong>de</strong>l ángulo Q^ <strong>de</strong>r. 8976 79 pies.9. 9590 65 60.1. 9294 85 pies.9. 9908 78 159.9590 65 301.8976 79 pies»9.7718 36 IJ1I.7IO4 51 *:—1— 7 - 328._ _ -8 ,1.7104.51 i¡ji • '• -1. 7076. 51 84 J6$. grs.-y~30.min. áfu t. 7160. 53lado opuefto OP.<strong>de</strong> 79ps.- afsi el feno <strong>de</strong>l án84.gulo O. <strong>de</strong> 36. grs. y 15»m. á fu lado opueftoPQg_que ferá <strong>de</strong> 51.píes, y un tercio, como pa-jrece ai margen.8PRQ^Plana general'.PROBLEMAIV.. m.udosdos ángulos, yel Jado adjacente d elkí,conocer los <strong>de</strong>mds lados , y el tercer anvguio. Fig.q.EA el triangulo ABC. en que fe dan cono-1 cidos el ángulo B, <strong>de</strong> 45. grs. el ángulo<strong>de</strong> 2
|J5A Trigonometríai fu lado opuefto BL. <strong>de</strong> 120. pies ¡ afsi el feno<strong>de</strong>l ángulo L, <strong>de</strong> 29. grs. y 24. min. á fu ladoopuefto AB. que ferá <strong>de</strong> 61. pies, y,j z. fetentay MU abos, que es, lo que fe pretendia. aPROBLEMA V.toados dos ángulos, y un lado opuefto d uno diellos y conocer los <strong>de</strong>mds lados, y el tercerángulo. Fig.4..EN el triangulo ABL. fe dan conocidoálos dos ángulos A. <strong>de</strong> 108. grs. y 48. m.y L. <strong>de</strong> 18. grs. y 13. min. y el ladoAB. <strong>de</strong>100. pies. Primeramente fe bufcará el valor<strong>de</strong>l ángulo B. fumando los. dos ángulos conocidosA. y L. que importan 127. grs. y i.mui.'que reliados <strong>de</strong> 180. grs. quedan 5 2. grs. f|59. min. por valor <strong>de</strong>l ángulo BPara conocer los 9. 495oOtros 2. lados, feufará 2. 0000<strong>de</strong> la Regla h dicien- 9- 902318 13100 pies.52 5?- 83. 4073 225 >J( —do , para hallar el ladoAL. Como el feno<strong>de</strong>l ángulo L. <strong>de</strong> 18.grs. y 13. min. á fu lado opuefto <strong>de</strong> 1pies:afsi él feno <strong>de</strong>l ángulo B. <strong>de</strong> 5 2-grs. y 59-m.a fu lado opuefto AL. 225. pies, y 8. diez yfiete abos.vPlana general.*¿fY parad lado BL. fe dirá: Como el feno9.4950 18 132. 0000 100 píes*9.97 o2 7 l 1%<strong>de</strong>l ángulo L. <strong>de</strong> 18.grs.y 13, min. afoladoopuefto AB.dc 100.pies: afsi el feno <strong>de</strong> elángulo A. <strong>de</strong> 108. grs.y 48.min. b<strong>de</strong> 71.grs.— — — - •- 6>2.4812 303 »J* *—7y 12.min. que es lo mifmo , áfu lado opueftoBL. que ferá <strong>de</strong> 302. pies, y 6. feptimos, quees, lo que fe bufcaba, y queda enteramente refudto el triangulo propuefto.SIGUE LA TABLA<strong>de</strong> los Logarithmos correfpondientesá los Númerosabfolutos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> i.hafta1000.HN.I**
"1
•N. Lngarit.i Si Ii.l577182 1-260118318418*187188189190191'9il 91'94'95196'«7198199200101! 202IO; 1-30751 IO4. 1.309:6lOf204107: IOS t.31811O9 2.32011IO2.1625í.16481.2672z.i¿751.27182.27412,27652.27882.28 102.283 32.18561.28781.19002.292?1.19451.29672.29891.3O10~ —1.30$2.2.305-42.3 \i%• — *1.315512.3 1 SO2.3222|N. \Logarit.\21 I2122132142J2216£ r?2t8219120221212ti?224125226117n8119230• —M'13:113134*3 51362.31432.32632.52841.33042-3345LJ3652.3 Í851.5404Lililí2. 3 4 4 42.34641.34832.3 5022^511í -iHi2.35601-3Í79•-• < 5.9$1^36r72.36562.3655!-3. tf 7 52.3692i-37'i2.3729i?7 1-3 747238 1.37*61-35 «.3784140 2.3801•|N. \L»zar¡t.11412421431441451461471482492_50 2-3979251152*r?2541.4065•21256 1.4081M7258159 2.4133160 2.4*50.__261 2.4166261 2.+18?16; 2.4200264il f266167168ZÍ92702.38ZO2.3838i.?8j-á1,3874iv 3 8921-39091.39272-3945t.39^2*'\9972.40 r 42.4031'1.40481.4O992.41 t62.42c61.41321.41492.42652.428 r1.41981.4314N. \LctariÍ.\171 2-4330171 ' L.4346173 1.4461174 t.4378175176177278179280iTi281183i»4lil286is 71 288j 2S91 • ; 290! 1'•«_291»9*29"'•439?t.44092.44152.44402.44542-44722-44872.45012.45171-4H3i-454-81.45*41-4H92.45942.46091.46242.46392.44542.4665194 1.468319 5 2.469$29 si-47"1 i*7 2.471!I-98U.474- t'99|i.4757ÍT? O»! 1-4771\301 1 .478601 1.48005N. \Logarir-03 • 1.4814¡04 1.4829Í05 1.4843$06307308309$ro3"312?'33'43'5316 1-49? 7317x.501 13i'8 1.50143i95 20• * •3i>2.48572.48712.4886t.4900i.45"42.49182.4941t.49542.4970i.49 g 31.5038i.5051— •! "••• «1.5065?ii 2.5075313 1.5091314 t-f'o¡31 1.51 19— — — •••? 16 i-5'331' J i«5'45li S i-í'5»325>|i.fi7 t3?o|i.5'8 f^^Logarit^33' 1 .519»331 2 .52113 33 ».5H4334' •ti373f 5 .515034 '..514337 t.5176338 2.5189??9 t-53«i3 4 oÍi-53'í34i 1.5 31&34*- 1.534o134? 1-5 3 5?I?442.53663 4Í 2.53783463473483 493503 5'35"2.53911-54032.5416A •2.5418 |2-5 441 I2-545 32.5445?53 2.5478HA 2.5490?fl 1.55023 5 6 i-5f'4 — " '357 i-5fi735 > VÍ539119 i.fíí «•3 40 i.5563
N.\Logar¡t. \H.\ Logarh^ | N. |£ 0 ¿„W/. I ; I £•34i 1-55753*i 2-558734? 1-55991*4-1.. f ¿ xi\ 6 f 4.5613-3 663*7?48365370'37'•17137?3 74375'. 3743 773783 79?8o^^~~381:382383I84?85—3«4387J«8389" • ^ • — —2.76352.5647*-í*y81.5.6 701.5482trsr- -f —2,56941-5705*-57'72-57192-5740"* — — ' —.2-57522-57*31-57751.57861-5798— •- — —2.5809i.f8n2-5831;a. 5.8431-58552.58662.58771.5-8881.589939©| i-Jj"i|39139*3333 94395— • » •3943973*8399400—_40140240?404405.406407408409410• 141'4.124'341441541 64'74'841942012 ..5.9211-593?1.59441-59 5 51.5966« w w1-59772-5988T-^9991.60101.6O11• — —-.2.60?I2-604;2,6055I.J6O64I.6O75, '2.6085Z.ÍO961.6107I-61172.6I2S— 1 -• ..!-í.6J?8i-*',492.61602.61702.6rSo.2.61912.62012.62 i 21.61111.62324114224»?41442542-64274284!04? 14?243343443_543*4? 743 843944044144244 344444 54444474482.624?1.625?1.42632.6*742.62842.62942.63O41.6314i.
-• IIN.54'54i543544£45544547548549£5f>55i5 5*11}5 541J1116Í175583 5956054i56156?5*4iil5665473 68569570Lcgarit.\ |N. \Logarit.\ | N. [Logarit.2.73322.73401-7.34?2-7354\á-X 6 42-7372i-i? 802.7? 882-739«1Í74O4i.74rii-74'92.74271-743 52^74432.74512-74591.74661-74742.7481— i— • • . . . .2.74902-74972.75052.751?1-75102.75281.7536i'75431.75512-755957'57i57?57412111611157857958058i58258?5S4585• . -586587588589590*•' ii —1911915935945951965972.75*61-75742.7f8i1.75892j£972-7 042.74iiI.76192.76272-7 4? 42.7641-2.76492.76572.76642-7*722.76792.76862.7*942.77012.7709— 1 — — —2-77'42.77132-77312-77382.77451.77521.774o598|2.7747599|t-7774600 1.7782601601*o?60460 f6066076086096 JOSt-t6n61;6r44.56r64l 7618619610•Í11¿2 26*?62442j6266176186196]&1-77892.7794Z.7S0?t.78101.78.18%.iw%.1.78?!2.78??1.7846!¿!ÍJ1.78602.78672.78752.78822.7889' • • —2.78942.790?2.79101.79172.7914 — ••••-2. 7 9?I1.79381.7945t-79521-79592.79661-797?2.79802-75>8r1.799-3
•N.71'7217237247257-ií'7i7728729730TTT7"}2733734tu73473773873974074'742743744111744'74774S749>7Í
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II,io.Grados.m |. Sen. | Tang.1 1\ Sec.89. Grados.Sen. I Tang. \ Sec.ójo.oooo o. ooool 1 o.oooo|l 1 o^oooojlninut.1J6.4637^16.764716.94087.04587.14271 11 %14u1617181910II122314257-44?j7.5O517-54297-57777-6,0997-4?987.Ó67S7-49417.71-907-74157^76487-78597.S0617-81557-84397-84i 76.46376.76476.94087.065-87.162726 7.8787 7-878717 7-895I 95t28 7-9109 7-9109IO.OOOOIO-OOOOr o-oooo10.000010.00007-i4'9 7.2419 10.00007.3088 7.3088 r o. 00007-3 468 7-3468 10.00007.4180 7-4'80 1 o-00007.4637 io.oooo7.50517-Í4--97-57777-6099Ilíll}7.66787-69427-71907-74157-76487.7SÓO7-80617.81557-84397£*t710.0000IO.OOOO10.0000tb. 0000IO.OOOOIO.OOOOIO.OOOO10.000010.0000IO.OOOO10.000010.000010.000010.0000io.oooo10.000010.000010.00001917.916117.9161110.00005017.9408.l7.9409'10.0000}10.0000 13-534?10.000010.0000I o-oooo10-000010-000010.000010.000010.000010.0000IO.OOOO10.000010.000010.000010.000010.000010.000010.000010-0000 11.257510.0000ro.000010.000010-0000ro.ooooIO-OOOOIOÍOOOI10.000013-235315.059212.934211:1} 2111.7581I 2. 691 z12.653112.5820'2.494912.457112.4123n.390112.360212.332112.305811.3 &IO12:111}12.114012.193812.1745I 2.1 56112.138312.111311.104912.0891rninuc13.53*313-235513-059211.954211-8373 v12.758112.491 212.4332ir.5810'2.534?12-494912.457'12.421?I2.39OI11.340112.332111.305811.2 8 1 o12-157512.135212.214112.193912.1745li.1561"•JL1ÍÍ11.121312.1049II.0891ro.ooooIO.OOOO l Il-0738 i I2.0739ro.oooo. ii.o>-9'|'*-05 - 9iv>o. Graclos.I Sea. I Tang. | Sec.87. Grados.Sen. I Tang. \ Sec. 11.|o¡7 : 94Q8|7-9409|io-oooo)lio.oooo|i2.059i|ii o^il^d7-95 5' .7-95 51 10.0000 10.0000 I 2.0449J I 2. 0.14S 2?217-9689,7.9669 10.0000 10.0000 I2.O3I 1112.0? II 283|7-98ii 7.91,13 10.0000 IO-OOOO 12.0177 12.0178 27•7-9952 7-99)2 ro.oooo IO-OOOO 11.0048 n.0048 26^O07J,l.{.oO7S 10.0000 IO-OOOO 11.9911 11.9922'"1B.02O0l8.oIoO ¡0.000010.0000 11.9800 it.9800 1418.0519ls.0j 19 10.000010.0000 11.9681 ir.9681 2|S-043íÍ8.043> 10.0000IO.OOOO 11.9565 11.9565 1210.0000p|8.0548JS.o;4,gro.oooo 11.9451 11.9451 11oi^oójsjg^o^ ÍO.OOOO 10.0000 11.934220ü'llll1 [0.0/65^.0765 10Í00OO 10.0000 11.9135 11-9235 '9•¡0.007018.0870 10.0000 10.0000 11.91 ;o 11.9130 18;8.097 2¡6.097i 10.0000 10.0000 11.9018 n.902818, '71.07.1 8-1072 10.0000 10.000011.8928 11.8928 16518..1169 8^170 10.0000 10.0000 11.8 8 5_o Z0.126,l— U l J0.116510.0000 [ 1.873 5 "•873 5. '48-1358 8.1359 1 0.0000 IO-OOOO [11.8641 11.8641 •38.1450 8.145 o 10.0000 io.oooo'ii 1.85 50 11-8550 I 2g - I 5?9 8.1540 10.0000 IO-OOOO ti.8460 11-8461. IIi- i6i 7 8.1617 IO-OOOOlio.00001010.0000á -'7i3|8-i7-i? 10.0000 (io.oooo5.j 7971 . '798 10.0000 IO.OOOO*-'8So8., 8ijolO.OOOi 9-9999^'9*1 8.196110.0001 9-99995íl^204il8. I04I10.000157|!.2i96 8, 1Ií610.00015 8 8-ii7i|8.ii 7l 10.000159 8.ij 4 6.8.i3 4 st2°l 8 -24i.9i8.24i 9 ,i Q . OOQ1" 'lili11.8187II.81Ó2Í1.812011.S038'r-795.g11.788011.8187 911.8105 8n.811011.805910.00019-9999 ft'fziS9-9999II.78SI9-9999* 1.1.7804 r 1.78049-9999 11.7728 ir-7729io.ooot|( 9-99999-9999M z4 I311.76.54,11.765411 \l"_-7f^rjij.7 5 StjO.J
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44-Grados. II 45. Grados.m|- Sen. | Tang. | Sec. || Sen. | TáMg. i Sec. | m i Imi Sen. | Tang. \ Sec. \\•0(9- 8418 ^9-9848 10. 14? 1.19.8569110.0151110. r$%i , 6o •5019.845719.9914110.14681 y.8 5 32|io..o0 76tio. 1543I301 y.041 y 9-98512 9*8420y.8 56810.1581(59 I; 1 9.8458 9.992710-1580^=*y2834_56789101111M'4^_516171819IO2122*3*4,_i26*7189.84229-84*39-84249.8426y-84279.84289.8429i-L-ll. 19-84;!9.84;;9-84359.84369-8437y.84;y9.84409.84419-84429_-S444 9*9899'9.8445:0.84469-84489-8449.9-84509,84519-84539.84549-9853.9-9%l69,98589-98619.98649.98669-9*699.9871-itaLlt9.98709.98799.98819.98849.98869.98899*9891!9-98y 4y.98y69.990I9-99049.99079.99099.99H9-99149-99Í79-99199.9911*9 9.845550I9.8457 9-99*410.1432'10.14;;I0.l4;410-14;'10.143710.143810.143910.144010.144110^144310.144410.1445IO.144710.144810.1449.10.145010.145110.145;10.145410-145510.1456IO.145810.1459ro.146010.146110.146;10.146410.146510.146610.1468y-85*79-$5*69.85649.85639-85629.85619.85609.855S-1_11_9.85 $69-°í1$9.855;9*855*9-85519*85509*8548,9-% 1419.85469^5459.8544y.SS4*9.8541:9.85409*85399*85379.853*9.85359.8534jy.853*iO.Oi4y10.O147I o.014410.0142lo.or 3y10.013610.01 s410-013110.01 2910.012610.612410.0121IO.OI lyIO.OI1610.01141O.011110.0109ro.010610.0104IO.OIOIio.ooyyro.ooy610.009;10.009110.008810.008610.008310.008110.007810.007610.157?10.157710.157610.157410.157;10.157210.157110.156910.1568ici'56710.156510.156410.156510.156110-156010.155910.155810.155*I0-X555IO-I554IO-I55*IO.I55Iro.i55°10.134910.1547r 0-154*io.i54510-154^•3*- 9*&4591711? 3 9.8460[
oONOONUNOONUYUNOONUYOYUNO**"**»««íDioj ONUYONOYUNO Trino, y Un»ONUYONINOYUNOONUYONIRINOYUNOONUYONIRTRINOYUNOONUYON I RT S TRI NOYUNOONUYONIRTSOSTRINOYUNOONUYONIRT S OIO STRINOYUNOONUYONIRTSOIDIOSTRINOYUNOONUYONIRTSOÍD NDIOS TRI NOYUNOGNUYONIRTSOIDNENDIO STR I NOYUNOos*CREDO IN DEUM TRINUM, ET UNUJipil laus, & gloria in fascula fsculorum.Amen.^+-|-'|r'$--^-$;'i¿"$"|- qní •$••« >5< •^•£-£-3-^-£"£'!--£--&-&-4*|$ TRATADO •«*|$ DE TRIGONOMETRÍA%% NÁUTICA, %%**%¿«* Y DE LA CONSTRUCCIÓN, *»*£|»1{ y ufo <strong>de</strong> las EfcalasPlana.y Artificial, y <strong>de</strong> *£{
«htfrtfc»*'A LOS MVT 1LVSTR.ES.Señores Don Nicolás Solano <strong>de</strong> León, Don.Gabriel Cordones Pintado, y Don Gregorio<strong>de</strong> los Ríos, Caballero <strong>de</strong>l Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>Calatraya, Mayordomo, y Diputados <strong>de</strong>U Vn¿\>erfidad <strong>de</strong> Mareantes, y <strong>Real</strong> Co-,legio Seminario <strong>de</strong> Señor San Telmoextramuros <strong>de</strong> la Ciudad<strong>de</strong> Sevilla.Ninguna cofa me pue<strong>de</strong> aílegu-,rar mas bien las medras en eftaíegunda Obra, que haver reconocidola aceptación, con que V. S. fe ha-ugnado <strong>de</strong> proteger la primera , y re--ibirla como fuya: lo que no dudo íuc-- e da con efta íegunda: Pues, como,)bferv6 el Petrarcha, (ln Prafat. aiep. reif am% ) ¿i j ia y obra, que fe <strong>de</strong>baperficionar mas prefto, ni que tengamas feliz exico, que la que logra la grafi,'cia
-•••!.*.cia <strong>de</strong> el Dedicando: Promptum opus y& felicifsimifucceffus noffe collocutoris fuimimum ajfuevift ingenio fcire, quid ülumaudire libeat, e>< quid te loqui <strong>de</strong>ceat. Obfervacion,que fundó muy bien Epicuro,Cicerón, y Séneca: Pues aquel dicej que, para el mas cierto <strong>de</strong>íempeño'<strong>de</strong>fus Epiftolas, fe las <strong>de</strong>dicó a folastres Perfonas, en cuya benevolenciaconfiaba el mejor logro <strong>de</strong> fus trabajos.Epicurus (í<strong>de</strong>m ibi<strong>de</strong>m.) Philo*fopbus \wlgo infamis, fed' Magnorum inmo Virgilio {Georgtc. 4. mprlncip.)Mecenas, hanc etiam afpice partem.confiando, que por fu materia nofera.menos grata a V. S.Pues fi fe merecieron las Obras <strong>de</strong>fPoeta Homero tanto aprecio con AlejandroMagno, porque ( como advierteTextor (Tom. 1. Epit. Uter. mu fite^runt amavtif. ) las tenia como viatico,para la difeiplina Militar, a que eftabatotalmente entregado: Alexan<strong>de</strong>r quumdicio magnus, Epiftolas fuas duobus, aut#í legendi, & difeendi percupidus, lili a-tribus tnfcrtpfit, ldomneo y Polieno, & Me*«m Homeri {quam rei Militaris Viaticm fokbat appellare) Ariftótele exponen-tbodoro. Toü<strong>de</strong>m penes fuas Cicero. Y yotengo obfervado, que Virgilio a otros u ¡perdidiat. Efta prefente Obra, quetres Héroes <strong>de</strong>dicóíus Obras, que fon cs > como viatico <strong>de</strong> la Navegación, afolión, Mecenas, y Augufto Cefar. Y^en tanto contribuye V. S. con el ef.Tiendo V. S.el Mecenas <strong>de</strong> mi refpccto,viendo mi Obra tan favorecida <strong>de</strong> ra cuya inftruccion fe dirige, efpero"^o con que provee la Juventud, pa-fu dignación, y aprecio, le repito, comoc °nfeguira el colmo, que <strong>de</strong>íco, con la5 3, pro.
IIIDe V. S. obfcqucntifsimo ficrvo,y Capellán,D. Juan Sánchez. Reciente.protección <strong>de</strong> V.S. cuya vida guar<strong>de</strong>Dios, yprofpere en fu fantifsima gracia.APRO-APROBACIÓN DEL M.R.P.Fr.jOSEPH,Franco <strong>de</strong>l Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> Predicadores, Cathedrático<strong>de</strong> Aftronomi» en la Univerfidad <strong>de</strong>P«fia Ciudad <strong>de</strong> Sevilla.OR comifsion <strong>de</strong>l Señor Licenciado DonGcronymo Antonio <strong>de</strong> Barreda y Yebra,Canónigo <strong>de</strong> k Santa Apoftolica, y MetropolitanaIg.efia <strong>de</strong> Señor Santiago , Inquilidor<strong>de</strong>l Santo Tribunal <strong>de</strong> Sevilla, y Juez <strong>de</strong> Imprentas<strong>de</strong> ella, y fu Rcynado, he vifto, y leídoeñe libro, comptiefto por Don Juan Sánchez-Reciente , Maeftro <strong>de</strong> Mathematicas cn el <strong>Real</strong>Colegio, y Seminario <strong>de</strong> Señor San Telmo Extramuros<strong>de</strong> dicha Ciudad. Y puedo <strong>de</strong>cir,con mas razón-, que Plinio (Lib.9.e.38.) haviendoleído el <strong>de</strong> fu amigo Saturnino : Es ellelibro perfecVifsimo en la difpoficion numéricasfe halla en la materia <strong>de</strong> que trata , quanto fepue<strong>de</strong> <strong>de</strong>fear. Ha fido para mí <strong>de</strong> gran complacenciafu lectura, por la verda<strong>de</strong>ra amiftad,cjue á fu Author profeílb , ratificando mi concepto<strong>de</strong> Docto , con que lo venero. Y aunquees moleíto , y fofpechofo el juicio entrea,r), gos; y aun mas que entre enemigos , enopinión <strong>de</strong> Séneca : {ln Pro*m.) Efta exempto<strong>de</strong>efta fofpecha efte libro , cn que todas fusclaufulas eftán pidiendo <strong>de</strong> jufticia la aprobaron, y alabanza, fin necefsitar <strong>de</strong> eolio age-*>o. Que es lo miftjio , que <strong>de</strong>cia el Señor SanAmbrofio (j n Exam.hb.i. c.9.)en femejanteoca-
*****II;i ii.fecafion i Plus meo efl, quod próbetur afpe&ti;quam quod fcrmonibtis laudari pofsit, fuo utitttrtejlimonio; non fuffr agio alieno. Efcribe paraformar perfectos Pilotos, a los que ahora enfeñaNiños, con que fe conftituyc el Maeftro,que <strong>de</strong>féaba, y huleaba Ifaías, (eap.¡¡. v. 18.)UbiDoíiorparvulorum* Y mereciendo por fuseícriptos en laMonarchia Literaria la Corona,fegun fencir <strong>de</strong> Julio Cefar.que <strong>de</strong>cia: (V. lllufl.Palaf. in Not.ep.i7,.) Si vis regnare,fcribe.Como dignos aplaufos, y eftimaciones, <strong>de</strong> losique carecía, por fer fus méritos folo conocidos•<strong>de</strong> pocos en lo oculto <strong>de</strong> fu Cacheara: afsi me loadvierte Symaco Patricio: \\In Adver.adConft.)Lau<strong>de</strong>ntur incogniti, ut torum merita in ocultefita , tefiimoniisfplendor irradiet. Por lo qualpuedo <strong>de</strong>cir con Cafiodoro: (Lib. dt Divin.leSl. cap. 16. ) Quot verba tot pramia. Y porqueÍiendo la materia <strong>de</strong> efte libro inftruir conperfección á los Pilotos en la Náutica, mediantela qual configuc efte Reyno muchos interelcs,y fu extenfion, como la <strong>de</strong> la Religión Chriftiana,y no tener cofa alguna contra nueftraSanta Fe , y buenas coftumbres es muy digno fe<strong>de</strong> alo público. Afsi lo liento &c. cn efte <strong>Real</strong>Convento <strong>de</strong> San Pablo, Sevilla, y Agollo 24»<strong>de</strong> 1742. años.LICENCIA DEL SEfiOR JUEZ.EL Lie. D. Geronymo Antonio <strong>de</strong> Barí eda y Yebra,Canónigo <strong>de</strong> la Sanca Igleiia <strong>de</strong>l Señor Santiago<strong>de</strong> Galicia, <strong>de</strong>l Confejo <strong>de</strong> fu Mageftad , fu In-«piiidor en el Tribunal <strong>de</strong>l Santo Oficio <strong>de</strong> la Inquifícion<strong>de</strong> efta Ciudad <strong>de</strong> Sevilla, Superinten<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> lasImprentas, y Librerías <strong>de</strong> ella, y fu Reynado.Doy licencia , para que por una vez fe pueda imprimir, c imprima un Tratado <strong>de</strong> Trigonometría Náutica, y <strong>de</strong> la Conftruccion , / ufo <strong>de</strong> las Efcalas Plana»y Artificial , y <strong>de</strong> la Tabla <strong>de</strong> Partel Meridionales i y algunosProblemai curio/os, para la educación <strong>de</strong> los Colegiales<strong>de</strong>l <strong>Real</strong> Seminario <strong>de</strong> SanTelmo , comouefto poE•O- Juan Sánchez Reciente , Presbytero , Maeftro <strong>de</strong>Mathematicas <strong>de</strong> el: atento a no contener cofa algúnz ,contra nueftra Santa Fe , y buenas coftumbres , fobreque <strong>de</strong> comifsion mia ha dado fu Cenfura el M. R. P."L Fr. Jofeph Franco,<strong>de</strong> el Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> Predic3dores,
•DE UN DISCÍPULO DEL AUTORen alabanza <strong>de</strong> fu Trigonometría.SONETO.QUé importa, Eucli<strong>de</strong>s, que tu amor enciendas,Para falir con todo lucimiento?*• Que importa, Homero, que tu entendimientoTodo el dia lo gaftes en contiendas?Qué importa, Ptholomeo, que pretendasSalir con el tiopheo , y vencimiento?Ni, Archime<strong>de</strong>s, que importa, <strong>de</strong> que al vientoEfparzas tu fonido en varias fendas?Si como, qual Pegafo, que ligeroSe remontó <strong>de</strong> un falto hafta el Parnafo,RECIENTE corre hoy con tal elmero,Que pue<strong>de</strong>s inferir en efte cafo,Que ha llegado hafta el colmo verda<strong>de</strong>ro,Siendo <strong>de</strong> todos ¿1 (<strong>de</strong> aqui no pafo.)ALAL LECTOR.HAviendo eferipto, Amigo Lector, uriTratado <strong>de</strong> Trigonometría Generalpara la enfeñanza <strong>de</strong> los Colegiales<strong>de</strong> el <strong>Real</strong> Seminario <strong>de</strong> Señor San Telmo, extramuros <strong>de</strong> Sevilla , y Íiendo elprincipal Inftituto <strong>de</strong> eftos el exercicio <strong>de</strong>¡a Navegación, y la obligación mia elinftruirlos en ella , me ha parecido precifo, para cumplimiento <strong>de</strong> uno , y otro,facar ii la pública luz el prefente Tratado<strong>de</strong> Trigonometría Náutica, para que aplicandoa efta, lo que en aquella tuvieresaprendido , puedas con mayor facilidadlexecutar tus <strong>de</strong>rrotas, y llegar con felicidadal Puerto <strong>de</strong>feado : Pues en él hadarasmuchos problemas Náutico? refuel-J°s por la Trigonometría, y a<strong>de</strong>mas, el^odo <strong>de</strong> corregir los pimtos, que fe exentarencon el conocimiento <strong>de</strong> las corantev^da,, 6 con el <strong>de</strong> la Latitud obfer-como también la conftruccion , yuí ° <strong>de</strong> ks Efcalas , Plana, y Artificial,c °n muchos problemas rcfueltos , afsiP°r una , como por otra , con la conftruc-
truccion , y ufo <strong>de</strong> la Tabla <strong>de</strong> Latitu<strong>de</strong>screcidas, ó <strong>de</strong> Partes Meridionales, fabricadascon toda la perfección, que me"ha íido pofsible , todo a fin , <strong>de</strong> que,hallesen folo efte Tratado, quanto fuereneccffario , y conducente a la Navegación, en el modo <strong>de</strong> dirigir el viage quehace la Nao , y faber el fitio cn que fehalla, <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> concluida qualquieracingladura. Y finalmente , hallaras unaTabla nueva <strong>de</strong> las Longitu<strong>de</strong>s, y Latitu<strong>de</strong>s<strong>de</strong> los Lugares <strong>de</strong> nueftra Navegacióna las Indias Occi<strong>de</strong>ntales, afsi <strong>de</strong> lasCoilas <strong>de</strong> Efpaña, como <strong>de</strong> las <strong>de</strong> la America, para que te aproveches <strong>de</strong> ellas,que es el mayor <strong>de</strong>feo, que puedo tener.y que te conferve Dios muchos años eflfu fanta gracia. VALE.TRA-Pag. i.TRATADODE TRIGONOMETRÍANÁUTICA.PRIMERA PARTE.DE LA RESOLUCIÓN DE LOStriángulos rectángulos aplicados a laNavegación.í^ Odas las operaciones trigonométricas,- que fe praétícan enel ufo <strong>de</strong> la Navegación, fereducen á refolver un triangulorectángulo, dando algunostérminos conocidos, quei lo menos han <strong>de</strong> fer tres, como <strong>de</strong>cimos cn
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V4 TrigonometríaPorque>fieiidoel ánguloB. recio, por fupolición, y reprefentando A. el ángulo <strong>de</strong>l rumbo, como queda dicho, necesariamente elanguío C. <strong>de</strong>be fer complemento al quadrante, para que todos tres ángulos <strong>de</strong> dichotriangulo ABC. fean iguales á dos rectos»( J2v p. i. )En eftas refoluciones náuticas fedá á loslados fu valor en millas , 6 minutos ; perocon efta diferencia: que á los lados , quereprefentan las diferencias <strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong>meridiano, fe <strong>de</strong>be dar en minutos ; pero á lahvpothcnufa, que reprefenta la diftancia > fedará fu valor en millas. Y la razón es: Porquelas diferencias <strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong> meridianofe cuentan por grados , y minutos; perola diftancia fe cuenta por millas , 6 por leguas.Y afsi como tfo» min. componen ungrado <strong>de</strong> la Equinocial, afsi también 6o. mi-"lías componen un grado <strong>de</strong> la Equinocial, 6fea terreftre , ó marítimo , que vale 15. leguasAlemanas, ü Olanaeias. También vale 17. ymed. leguas E péñolas : y afsimifmo 20. leg*Francefas, 6 Ingicfas : cuyas refoluciones, oreducciones fe facilitarán baftantemente , teiiiendoprefentes los números<strong>de</strong> elAiem. Elpañ. Franc. millas.6 7 8 24.margen , <strong>de</strong> los qnales el 6. reprefenta las leguasAlemanas , u Oian<strong>de</strong>fas: el 7. las Efpa-ño-Nautktt. 5fiólas : el 8. las Francefas , 6 Ingicfas : y el 24.:las millas correfpondientes a las leguas expreíTadasen dichos números : pues todosquatro numeres tienen una mifma diftancia.Con cuya inteligencia fe reducirán con fum*ma facilidad ks leguas <strong>de</strong> una efpccie á las<strong>de</strong> otra, ó á millas ; 6 al contrario, formanmandouna regla <strong>de</strong> tres fimple, fiendo elprimero termino uno <strong>de</strong> los prefentes , quecorrefpon<strong>de</strong> á la efpecic <strong>de</strong> lo que fe quinetereducir : El fegundo termino ferá otro <strong>de</strong>ios dichos quatro, correfpondiente- a la efpecie,a que fe ha <strong>de</strong> reducir : El tercero terminoferá, el que fe quiere reducir : y lo quefaliere al quarto termino, ferá, el que fe bufca,como mejor fe enten<strong>de</strong>rá con el exemplo)figuiente.Se quieren reducir 144. millas á leguasEfpaííolas. Digafe.Como 24. millas á 7.•leguas Efpanolas.afsi j'* 44- millas á quan-*as leguas Efpaüolasr^or don<strong>de</strong> confta,.
tfTrigonometríacion por viá <strong>de</strong> Arithmetica, como en elprimer exemplo , o por Tri- 1 3802 Mgonometria , como en el o. 8451 7fegundo , íiempre fale por 2. 1584 1441 quarto término 42. leguas — --•Efpañólas, á que quedan 1. 62 JJ 42reducidas las 144. millas . —dadas. De efte modo ferefolverán todas lasreducciones, que fe ofrecieren , el qual, porfer tan claro, y fácil, no neccfsita <strong>de</strong> masexemplos: pues haviendo entendido los dos,que fe han executado , quedarán tambiénlos <strong>de</strong>más , que fe propuíieren.CAPITULOPRIMERO.DE LA RESOLUCIÓN DElos Triángulos planos rectanguloi ufandocn ellos <strong>de</strong> la longitud plaña.PROBLEMAPRIMERO.Dadiü.en un triangulo rectángulo la diferencia<strong>de</strong> latitud , diferencia <strong>de</strong> longitud , y difianiia,conocer el ángulo <strong>de</strong>lrif^o. Fig. 1.UN Piloto navego 140. millas <strong>de</strong> diftancia,y tuvo <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud125. min. que hacen 2. grs. y 5. min. y <strong>de</strong> diferencia'<strong>de</strong> longitud plana, 6 aparcamiento<strong>de</strong>-Natítica.' 7<strong>de</strong> meridiano ¿4. min. que hacen un gr; y. 4.m¡n. y quiere faber, qual fea el ángulo <strong>de</strong>lrumbo.Sea en'el triangulo ABC. el lado AB, la[ diferencia <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong> 125, el lado BC. ladiferencia - <strong>de</strong> longitud, 6 apartamiento <strong>de</strong>meridiano <strong>de</strong> 64. min, y AC. la diftancia <strong>de</strong> :140. millas. Digafe por la primera regla <strong>de</strong>la Trigonometría ge- | 2. 1461 140neral; Como AC <strong>de</strong> 11. 8062 64140. millas al radio: ¡ ——afsi BC. <strong>de</strong> 64. min. alfeno <strong>de</strong>l ángulo <strong>de</strong>lo. 66ox, 27 12rumbo A.,que fale <strong>de</strong> 27. grs. y 12. min. y fucomplemento ferá <strong>de</strong> 62. grs. y 48. min. quees el ángulo C.1. Nota, que .para dar los tres lados <strong>de</strong>qualquier triangulo rectángulo, es ncceffariocriarlo antes : Porque fi no eftá criado.aunque parezca que- 2. 1461 140dar refuelto por la ope- 9. 9491 6% 4§;ración femejante á laantece<strong>de</strong>nte, no lo que2. 0P52 125dará : Y afsi es me- 1nefter aíiegurarfc, haciendo otra ope/acion,como la figuiente , diciendo por la primerare g'a : Como el radio á la diftancia AC. <strong>de</strong>'40. millas : afsi el feno <strong>de</strong> complemento C.,<strong>de</strong> 62. grs. y 48. min. á la diferencia-<strong>de</strong> latitudAB. que fale <strong>de</strong> 125. min. que por igua*A 4lar,M
8 Trigonometríaar, i los quefe dieron en la própueíra, ténferirá eftár bien dados los términos.2. _ Nota también , que íiempre , que enun triangulo rectángulo-la diferencia <strong>de</strong> latitudfe diere igual al apartamiento <strong>de</strong> meridiano, no havrá que hacer operación alguna,para conocer el ángulo <strong>de</strong>l rumbo : Porque enefte cafo ficmpreferá <strong>de</strong> 45. grs. como tambiénel ángulo <strong>de</strong>l complemento. (2. Cor. 32. p. i.)PROBLEMAII.Dada la diferencia <strong>de</strong> latitud , y apartamiento<strong>de</strong> meridiano , bailar el rumbo , y ladiftancia. Fi b" I.UN Piloto hallo en una cingladura r. gr*58. min. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud, reprefentadaen el lado AB. <strong>de</strong>l triangulo ABC.y tuvo <strong>de</strong> apartamiento <strong>de</strong> meridiano BC. <strong>de</strong>4
I,"I10Trigonometríavegadas, diciendo : Si 7. leguas igualan á 24.muías , 48. leguas á quantas millas igualarán?Y fale por quarto termino 16$. millas, valorAC. Defpues fe dirá por la regla pri-2. 21.53 i(5511. ¿532 45mera , como la diftancianavegada AC. <strong>de</strong>16$. millas al radio: afsiBC. apartamienro<strong>de</strong> meridiano45. min. al fenop. 4J
I1* Trigonometría.guas Efpañolas, que hacen 123. millas, y fepreten<strong>de</strong> faber la diferencia <strong>de</strong> latitud, yapartamiento <strong>de</strong> meridiano : Efte problema ferefolverá por la regla 1, bivfcando ¿ un mif2.0914123 2.0914 123S>- 7447 13 4.5 9.9198 5
1114 Trigonometríagrs. y 55 min. que hacen 135. min. afsi e!radio á la diftancia AC que es <strong>de</strong> 162. millas..Para hallar el apartamiento <strong>de</strong> meridiano, fe dirá : Como el feno <strong>de</strong>l ángulo C <strong>de</strong>lcomplemento <strong>de</strong>l rumbo a la diferencia <strong>de</strong>latitud dada AB. <strong>de</strong> 135. min. afsi el feno<strong>de</strong>l ángulo A. dado <strong>de</strong> a. grs. y 45. min. alapartamiento <strong>de</strong> meridiano BC <strong>de</strong> 90. min.que es, &c.PROBLEMA VI I.iDado el rumbo , y apartamiento <strong>de</strong> Meridiano,conocer la diftancia , y diferencia <strong>de</strong>Hlatitud. Fig. 1.izo un Piloto fu <strong>de</strong>rrota por el 6. rumbo, reprefentado en A. y tuvo <strong>de</strong> Apartamiento<strong>de</strong> Meridiano 3. grs. y 6. min. quehacen 185. min. reprefentado en BC. y quierefaber la diftancia AC. y la diferencia <strong>de</strong>latitud AB. Efte problema fe refolverá <strong>de</strong>lmifmo modo , que el antece<strong>de</strong>nte immediato,que fe <strong>de</strong>xa por refolver , para que el Eftudiofolo refuelva, don<strong>de</strong> hallará por diftancia201. millas, y por diferencia <strong>de</strong> latitud 77. m.PROBLEMA VIII.Dadas algunas cingladuras, conocer el rumbo diretío, y diftancia directa. Fig. 1.EraL prefente problema fe propone-, p*-exercicio <strong>de</strong>l Principiante , en que ha- 4Hará los problemas antece<strong>de</strong>ntes dados p&. Náutica. lt.diftmtos bordos , en don<strong>de</strong> preten<strong>de</strong> faber elPiloto , quanta fea la diftancia navegada direc*-tamente <strong>de</strong>i<strong>de</strong> el punto, que comenzó fu <strong>de</strong>rrotaen e 1 primer bordo , halla el punco llegadoen el ultimo , y el rumbo directo , que navieraexecutado j h huviera navegado <strong>de</strong>f<strong>de</strong> unoa otro punto.Un Piloto falló <strong>de</strong> la latitud Norte 2 0 .grs.y <strong>de</strong> a longitud <strong>de</strong> 340. grs. y el dia figuienteobíervo el Sol, y f e halló en * ri; gr yJ8. m. <strong>de</strong> latitud, y tuvo <strong>de</strong> augmento <strong>de</strong>meridiano 4que hace 118. m. y 46. rp. <strong>de</strong> apartamiento<strong>de</strong> meridiano , refolvió el problema, y halló<strong>de</strong> ángulo <strong>de</strong>l rumbo 21. grs. y ,S.m.y <strong>de</strong>diitancia navegada 127. millas.'El Operante pondrá todo ln dado, y halladoen efta cingladura en la cabla finiente,formada <strong>de</strong> 6. columnas , con íosWy , que alh fe ponen , cada cofa cn fu U,-¿ a r, legua el or<strong>de</strong>n explicado cn el TrataJto <strong>de</strong> Navegación. Efto es : En la columna <strong>de</strong>'osrumbos fe pondrán 21. grs. y „, n.in.la vaP - lmCV r- hn h fe S unda ¿ qw es <strong>de</strong>g diftanoas, fe pondrán las 127. mill as .n i a tercera, que reprefenta Norte , fe pon-2* tl8 - min. que es la diferencia <strong>de</strong> latí.íiacIItemtfpheno <strong>de</strong>l Norte.En laquar-
I16 Trigonometríaquarta , que reprefenta Sur, pondrá oo. porqueno pa<strong>de</strong>zca equivocación alguna. En laquinta, que reprefenta Lefte , pondrá los 46.m. <strong>de</strong> apartamiento <strong>de</strong> meridiano , porquees en augmento. Y últimamente en la fexta,que reprefenta Oeftc , pondrá 00. por quitartoda equivocación. Y por la mifma razón pondráen los términos dados, ó conocidos, quefon : diferencia <strong>de</strong> latitud , y^ apartamiento<strong>de</strong> meridiano, una crucecita , ó eftrella , paraque mejor fe diftingan unos términos <strong>de</strong>otros. Y <strong>de</strong> efte modo' fe obrará en las <strong>de</strong>máscingladuras figuientes.a ungí»""'"- ..p-....-.— tDefpues figuió dicho Piloto fu viage enque navegó 48. leguas Efpañolas, que correfpondcná i¿5. millas, las que fe pondránen la columna <strong>de</strong> las diftancias con 1-*eftrelüta, ó cruz : y tuvo <strong>de</strong> apartamiento<strong>de</strong> mcrídiano cn augmento 45. min. que fepondrán en la columna L. pero fi menguara,ó diminuyera, fe pufiera en la columna O-Defpues con eftos datos obró dicho Piloto,como en el problema ?. y halló <strong>de</strong> angu^<strong>de</strong>l rumbo 15. g-' y 5*. P> >' <strong>de</strong> ^°Z.<strong>de</strong> latkud 158. m. que- pufo cada cola enfu lugar , pero para poner la latitud , fe ? K 'guntará,fi creció, u menguó: porque fi er*ció , fe <strong>de</strong>be poner enría columna N. y u me»guó fe pondrá en la : S. rcípedo <strong>de</strong> haver navegado cn el hemifphcrio <strong>de</strong>l Norte: ]M •Náutica. 17viendo refpondido, que creció, fe pondrá enN. y. en las <strong>de</strong>más columnas 00. *»Defpues dio otro bordo dicho Piloto , cnque caminó 57. leguas Efpañolas, que corrcfpon<strong>de</strong>ná195.millas, con diferencia <strong>de</strong> latitud,en diminución i.gr. y 4
18 TrigonometríaÚltimamente el Piloto dicho hizo otracingladura por el rumbo Leínor<strong>de</strong>fte , quevale «57. gr. y 30. m. y tuvo <strong>de</strong> apartamiento<strong>de</strong> meridiano 3-gr. y 6.va. que hacen i&
I20 Trigonometría1. Nota, que como fe ha practicado enlos Problemas antece<strong>de</strong>ntes en el modo <strong>de</strong>tomar los minutos , <strong>de</strong> los lados conocidos,ó <strong>de</strong> hallar fu valor correfpondiente en lastablas <strong>de</strong> los Logarithmos ,fe <strong>de</strong>be executaren todas las refoluciones , que fe ofrecieren,,y quando fe dan por valor <strong>de</strong> dichos ladosgrs. y ms. fe reducen los grs. á ms. y eftos febufean en dicha tabla , y <strong>de</strong>fpues , que fe hallael valor <strong>de</strong> los lados en min. eftos fe reducená grs. y ferá la diferencia <strong>de</strong> latitud, óapartamiento <strong>de</strong> meridiano.2. Nota también , que eftas diferencias<strong>de</strong> latitud , ó <strong>de</strong> meridiano fe han <strong>de</strong> añadir,ó quitar á la latitud , ó longitud falida, cadauna con fu termino correfpondiente , fegunel quadrante por don<strong>de</strong> fe navegare, fegunqueda enfeñado en nueftro Tratado <strong>de</strong> Navegación: Porque por lo que mira á la longitudíiempre fe fumará la diferencia <strong>de</strong> meridiano,quando fe navegare cn el 1. u en el 2. quadrante, y fe reftará en el 3. ü en el 4. Peropor lo refpeétivo á la latitud , fi fe navegareen el emifpherio <strong>de</strong>l Norte , fe fumará !»diferencia <strong>de</strong> latitud en el 1. ii 4. quadrante,y fe reftará cn el 2. u 3. Pero , fi fe navegareen el emifpherio <strong>de</strong>l Sur, fe reftará en el 1»ii 4. quadrante ,. y fe fumará en el 2. ii 3.Efto fupuefto , fe podrá faber el lugar <strong>de</strong>U N,ao, fabiendo, que la navegación fe exc-cu-Nautica. 21tuto, en el emifpherio <strong>de</strong>l Norte: porque lalatitud falida fue <strong>de</strong> la efpecie Norte , y porquela diferencia <strong>de</strong> latitud civ la ultima refolucionquedó en la columna N. y la diferencia<strong>de</strong> meridiano cn la columna L. fe infierehaver navegado por el 1. quadrante, yque fe <strong>de</strong>ben fumar las diferencias <strong>de</strong> latitud,y dc meridiano. Y porque la diferencia <strong>de</strong>latitud fue dc 181. m. que reducidos á grs.fon 3. g. y 1. m. fumados con la latitud falida20.g. hacen 2 3.g. y i.m. <strong>de</strong> latitud llegada..Y reduciendo también á grs. 248. m. <strong>de</strong> apartamiento<strong>de</strong> meridiano, harán 4-g. y S.m. quefumados con la longitud falida 340. g. hacen344.g. y 8.m. <strong>de</strong> longitud llegada, por loque correfpon<strong>de</strong> á lo plano : y quedará enteramenterefuelto el Problema.CAPITULOII.De la corrección <strong>de</strong> la Pbantasta.EN nueftro Tratado <strong>de</strong> Navegación <strong>de</strong>xamosdicho, quan débiles fundamentos^nga la fantasía <strong>de</strong>l Piloto, mediante los"¡verfos acaecimientos, que pue<strong>de</strong>n fobrevenirle,y ahora <strong>de</strong>cimos lo mifmo: Pues fiempreferá <strong>de</strong>fectuofa ; fino es que, <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong>-•aver obfervado el Sol, concordare la latitudobfervada con la hallada por la fantasía?B3pe-
22Trigonometríapcrofi no concuerdan ambas latitu<strong>de</strong>s, havrineceiTanamente <strong>de</strong>fecto cn el rumbo , u en ladiitancia, o en ambas colas. Y afsi <strong>de</strong>betener gran cuidado el Piloto , para conocer lacaufa <strong>de</strong> dicho <strong>de</strong>fecto , corrigiéndolo conel termino, dc que tuviere mayor fatisfáccion,y con la latitud obfervada. Efto es , fi efllcierto el Pi oto, que el <strong>de</strong>fecto eftá en la diftancia,<strong>de</strong>be corregirla con el rumbo, y diferencia<strong>de</strong> latitud obfervada, y jumamentecorregirá e apartam. <strong>de</strong> merid. Pero fi atribuyereel <strong>de</strong>fedo al rumbo, lo corregirá yjuntamente el apartam. <strong>de</strong> merid. con la diftancanavegada, y la diferencia dc latitudobfervada. Mas , fi el Piloto no pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminaren qual <strong>de</strong> los términos (rumbo, ydiftancia) efta el <strong>de</strong>fecto déla cingladura,ferviran las reglas figuientes,REGLAS PARA LAS CORRECCIONES<strong>de</strong> la Fantasía.*• TVJAvegando en qualquier quadran-1 \ te por Norte-Sur, i. ü s. rombo,íe corregirá con el rumbo, y diferencia<strong>de</strong> latitud obfervada la diftancia, y apartamiento<strong>de</strong> Meridiano.2. Navegando por el Lcfte-Oeftc, 6. ú1- rumbo <strong>de</strong> qualquier quadrante , fe corregirácon l a diftancia navegada, y diferencia<strong>de</strong>Náutica. *3He latitud obfervada, el rumbo , y apartamiento<strong>de</strong> meridiano. .3. Navegando en qualquier quadrantepor el tercero, quarto, ü quinto rumbo , tehará una corrección compuefta <strong>de</strong> las nosantece<strong>de</strong>ntes. Efto es: fi fe navegare por eltercero rumbo , fe corregirá con el rumbo ,_ ydiferencia <strong>de</strong> latitud obfervada la diftanciatque fe hará, filmándola diftancia <strong>de</strong> fantasíacon la que fale por efta operación , y
^r . , Trigonometrían n S C 7° S \í cl modo '
"^•^fftllH «*"I'2
IIIIII F'2 8 _ Trigonometríael radio á la diftancia <strong>de</strong> fantasía 70. afsi elfeno <strong>de</strong>l rum. hallado por la operación antece<strong>de</strong>nte, que es 23. 54. al apart. <strong>de</strong> merid.<strong>de</strong> 28. y fumando eftos 2. apart. importan71. cuya femifuma 36. ferá el merid. corregido.Luego fe dirá: Como la diferencia <strong>de</strong>latitud obfervada KQ. <strong>de</strong> 6a. al apart. <strong>de</strong>mendian. corregido PQj.<strong>de</strong> 36. afsi el radioa la tang. <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. K. <strong>de</strong> 29. 22. Yluego fe dirá s Como el feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>lrom. K.<strong>de</strong>2 5 >. 22. al apart. <strong>de</strong> merid. corregidoPQ. <strong>de</strong> 30. afsi el radio á la diftanciacorrregida KP. <strong>de</strong> 73.REGLAIII.EXEMPLO IV. Fig, 4 .UN Piloto navegó por el 4. rumbo <strong>de</strong>l2. quadrante, que reprefenta el trianguloRST. fegun fu fantasía 100. millas, q"
•5 o TrigonometríaBe45.g. al apart. <strong>de</strong> merid.-8o. que fepondrá'aparte. Defpues fe bufcará el otro apart. <strong>de</strong>merid. diciendo primeramente : Como la diftancia<strong>de</strong> fantasía loo. al radio : afsi la dirérencia<strong>de</strong> latitud obfervada 8o. al feno <strong>de</strong>!complemento <strong>de</strong>l rum. que ferá <strong>de</strong> 53. y 8. Yluego fe dirá: Como el feno <strong>de</strong>l complemento53. y 8. ala diferencia <strong>de</strong> latitud So. afsiel feno <strong>de</strong>l rumbo 3
'3 2 Trigonometría¡je?, y 52-al apart. <strong>de</strong> merid. <strong>de</strong> ¿ó. que fe pondráaparte. Defpues fe bufeatá el otro, elqual ferá también <strong>de</strong> 80. reípecto <strong>de</strong> que ladiferencia <strong>de</strong> latitud obfervada. es 80. y elang. <strong>de</strong>l rum. y <strong>de</strong> comp. fon cada uno <strong>de</strong> 45.g. Y porque los apart. <strong>de</strong> merid. cío. y 80.importan 140. ferá la femifuma 70. el merid.corregido VX. el qual con la diferencia <strong>de</strong> latitudobfervada RV. 80. dará el ang. <strong>de</strong>l rito.corregido R. <strong>de</strong> 4*1. y 11. y la diftancia corregidaRX. <strong>de</strong> 106. obrando <strong>de</strong> el mifmo modo, que fe hizo en la 2. corrección antece<strong>de</strong>nte.REGLA III.EXEMPLO III. Fig. 5.CAminó un Piloto fegun fu fantasía porel 5. rum. <strong>de</strong>l 4. quadrante diftancia dt$>o. millas, y haviendo refuelto fu triangulo»que es ABC. halló <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud'AB. <strong>de</strong> 5o.m. y <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. AC <strong>de</strong>,75.m. Defpues obfervó el Sol, y halló por fuInftrurriento
i34 Trigonometría, latitud obfervada le hallará el rum. corregido, y diftancia corregida con las analogía*figuientes.tPara el rumbo fe dirá: Como la diferencia<strong>de</strong> latitud obfervada BE. 6o. al apart. <strong>de</strong>merid.DE.78. afsi el radio á la tang.<strong>de</strong>l ang.<strong>de</strong>l rum.B. <strong>de</strong> 5 2. y 26. Y para la diftancia fedirá: Como el feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. B. <strong>de</strong>52. y 26. alapart.<strong>de</strong> merid.DE.<strong>de</strong> 78.afsi elradio á la diftancia BD.<strong>de</strong> 9«.que ferá la cor*regida.CAPITULOIII.De la reducción di lo plano d~ lo efpbtria*EN todos los problemas antece<strong>de</strong>ntes feha obrado con la longitud pUua , quellaman comunmente apart. <strong>de</strong> merid. la queno correfpon<strong>de</strong> con la longitud fenalada enel Globo Terráqueo por don<strong>de</strong> fe exeCutatodo camino en a n..\ igacion : y afsi, paraque correfp..iidü , trataremos en el prefentecapitulo ¿el modo <strong>de</strong> reducir efte apart. <strong>de</strong>merid. á longitud efpherica, y las diftanciasnavegadas por lo Equinocial, ó porgu&lquier paralelo , á g. y m. <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>fpherica. Para cuya inteligenciaferyirán los problemasfiguientes,^Náutica.PROBLEMAPRIMERO.3 jjDada la diferencia <strong>de</strong> longitud plana en qualquierparalelo, bailar la longitud efpbtrica,que le correfpon<strong>de</strong>. Fig.6.UN Piloto navegó por el paralelo <strong>de</strong> 6o¿g. 100. millas maritiinas <strong>de</strong> diftancia*corregida yá, como eftá hecho en el capituloprece<strong>de</strong>nte, y quiere faber, quantos min. fonlos correfpondientes, fegun lo efpherico,parahallar la longitud efpherica, ó tugar <strong>de</strong> laNao, <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> concluida fu cingladura.Antes <strong>de</strong> refolver efte problema, fe <strong>de</strong>betener entendido: que ficmpre, que fe navegarepor circulo máximo, que ferá, quando fecaminare por qualquier merid. ü por la equinocial, las millas <strong>de</strong> diftancia, que fe halla-*ten , ferán m. cquinociales j pero fí fe hiciere'ja navegación por qualquier paralelo á laequinocial, no correfpon<strong>de</strong>rán las millas dcdiftancia navegadas con los m. <strong>de</strong>l tal parale-,° • Porque , aunque en la Carta plana <strong>de</strong> g.:'guales , todos los paralelos á la EquinocialIon iguales á ella, y entre sí; no lo fon en el^-lobo Terráqueo: Y afsilos g. <strong>de</strong> qualquier-Paralelo ferán menores , que los <strong>de</strong> la Equi-°e-al, fegun efluvieren mas diftantes <strong>de</strong> laquinocialjy por configuiente contendrá caa£• <strong>de</strong> qualquier paralelo menos millas , c>C* le-III
'%6 Trigonometríaleguas, que cada g. <strong>de</strong> la Equinocial, refpccto'<strong>de</strong> que cada parálelo contiene el mifmo numerodc g. que tiene la Equinocial,que es <strong>de</strong>$
3 8 TrigonometríaJa longitud falida , fi fe navegó por el J. 3por el 4. quadrante , dará la longitud efphericallegada , correfpondiente al Globo Terráqueo,que es el lugar <strong>de</strong> la Nao.También fe pue<strong>de</strong> hacer la reducciónpor la proporción figuiente : Como el radioá la fecante <strong>de</strong>l paralelo, por don<strong>de</strong> fe navegó,que es el <strong>de</strong>
'ad ^ Trigonometríaducción <strong>de</strong> longitud efpherica, ó plana, oTdiftancia verda<strong>de</strong>ra, y que efte fe execuca correl ufo <strong>de</strong> las Tabias dc Partes Meridionales,yeftár eftas yá muy introducidas entre los Profelfbres<strong>de</strong> la Navegación , fe hace precifotratar dc fu fabrica, y ufo en cite Problema.iY afsi, <strong>de</strong>cimos , que eftas tablas fe exponen*pata faber, lo que <strong>de</strong>ben crecer los gs. <strong>de</strong> losMeridianos , para que puedan correfpon<strong>de</strong>rcon los grs. <strong>de</strong> los paralelos á la Equinocial:;los que en las Cartas dc Marear fe poneniguales á los <strong>de</strong> la Equinocial, no <strong>de</strong>biendoíer afsi; fino'menores , fegun fueren mas diftantes<strong>de</strong> ella: y por efta razón fe llaman Latitu<strong>de</strong>screcidas, ó Partes Meridionales, cuyafabrica fe funda en la analogia puefta cr»los dos Probl. anteced, Y afsi ferá la proporción: Como el radio á la fecante <strong>de</strong>l paralelo, que fe bufca : afsi 6o. m. que tiene ungrado <strong>de</strong> la Equinocial, á los que correfpon<strong>de</strong>n<strong>de</strong> augmento en dicho paralelo. Y efte 4^termino , que faliere , fe fumará con lo queliuviere falido en el paralelo antece<strong>de</strong>nte , yla fuma ferán las Part.Merid. correfpondientesá dicho paralelo : lo que mejor fe entcnxken la práctica figuiente.Formenfelas tablas dc 11. columnas: 1*1. reprefentará los min. <strong>de</strong> los grs. y las 10."reliantes, los g. <strong>de</strong> las latitu<strong>de</strong>s, ó paralelos.En las frentes <strong>de</strong> las tablas fe pone por titulo:Par-Nautica.' 4?Partes Meridionales,ó Latitu<strong>de</strong>s crecldas.Uscolumnas tienen los paralelos,ó latitu<strong>de</strong>s,quefe juntarán con los ms. <strong>de</strong> la 1. columna,, fegunfuere neceífario. Y porque en la Equinocialcorrefpondcn á cada grado 60. m. fepondránen la columna, que tiene por titulo.0. los min. que le corrcfpon<strong>de</strong>n , efto es , ai.m. 1. á 2. 2. hafta t5o. ms. que correfpon<strong>de</strong>nádo.min. Defpues en la columna <strong>de</strong> i.g.-fe verá enfrente <strong>de</strong> o. min. queje correfpon<strong>de</strong>60. ( porque efte no tiene diferencia fenliblecon la Equinocial) y fe profeguirá añadiendoíiempre 60. á cada min. <strong>de</strong> la Equinocialantece<strong>de</strong>nte hafta acabar la dicha columna,efto es, á i.g. y 1. m. 61. yái. g. y 2.m. 62. y afsi en i- g-y oo.m. fe ponen 120.que correfpou<strong>de</strong>n á 2. gs. en fu columna enfrente<strong>de</strong> o. Y <strong>de</strong> efte modo feprofeguirá haftallegar ala columna <strong>de</strong> 7.g.añadiendoficmpredo. m- á los min. antece<strong>de</strong>ntes, y quedaránen la columna <strong>de</strong> 7. g. y o. el num. 420.Defpues fe verá en la tabla <strong>de</strong> los loga-•rithmos la diferencia <strong>de</strong>l <strong>de</strong> 60. al <strong>de</strong> di. y fehallará fer <strong>de</strong> 71. cuya mitad es 35- y med.fe tomarán 3 6. que fe bufcarán en la tabla dclas Secantes logarithmicas, <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> lo quevale el radio, que es 1 o. oooo. Efto es, la fe-Ca nte,que tenga 10. 0036. que ferála <strong>de</strong> 7. g.y * o.m.y fedirá:Como el radio álafecantc <strong>de</strong>7-g-y 19.rn.afsi los oo.m. que correfpon<strong>de</strong> áca-VI
í? J .rr & onot »ttriacada grado <strong>de</strong> la Equinocial,á los que correfpon<strong>de</strong>na dicho paralelo, y fe hallará mas <strong>de</strong>*>- ymed._po r l oquefe t0marán ^ . ftosle han <strong>de</strong> añadir a cada min. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 7,f>,, y x o,nu hafta que correfpondan 6z. <strong>de</strong> augmenen1.32ara , rau y fac!I nte , bufeandocn las <strong>de</strong>cantes, la que tuviere 71. que ferála1 o. g. y 18. m. á quien también correapon<strong>de</strong>iidi.juftos.Defpues fe bufcará la diferencia entrelos oganthmos<strong>de</strong>o-i. y d 2 . y fe hallarántambién 7,. y tomando fus 3. quart/quefon54- (u otro qualquier quebrado mayor , quemedio) y agregados á los 71. antece<strong>de</strong>ntes,facen 125 que afeados en las Secantes, feTn, ? ^ fl* y 4°- *• A hora fe dirá;Cono eiradioá la Secante <strong>de</strong> i3.g. y 4o.m.»M «so.m. que correfpon<strong>de</strong>n á la Equinocial,a 'os correfpondientes á dicho paralelo, y fe-«V« r U J '" as <strong>de</strong> medi o-y fe tomarán d2.1o»que le hayran <strong>de</strong> añadir.á los que correfpon*ocn a cada minuco antece<strong>de</strong>nte.Defpues fe verá la diferencia <strong>de</strong> logantemo <strong>de</strong> d 2 .á d3.que ferá d9.cuyos 2.terc.4
44 TrigonometríaPartes Meridionales, que correfpon<strong>de</strong>n á laslatitu<strong>de</strong>s , y juntamente la diferencia <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>n Partes Meridionales entre dichas latitu<strong>de</strong>s:Y afsi es <strong>de</strong> notar, que para facar ladiferencia <strong>de</strong> latitud entre dos latitu<strong>de</strong>s dadas,fi ambas fon <strong>de</strong> una efpecie, fe hará, reftandola menor <strong>de</strong> la mayor, y el refiduo ferá, lo que correfpon<strong>de</strong> <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>n Partes Meridionales; pero fi fueren dcdiftinta efpecie , la fuma <strong>de</strong> ambas ferála di-*ferencia dc latitud entre dichas latitu<strong>de</strong>s.Otro ufo tienen eftas tablas,y es,para facarla media paralela entre dos latitu<strong>de</strong>s dadas,que fe hace; Tomándola mitad <strong>de</strong> la diferencia<strong>de</strong> latitud en Partes Meridionales,y fumada con las partes <strong>de</strong> la menor latitud,y la fuma bufeada en las tablas , dará la mediaparalela : y efto fe hace, quando yá fe hahallado la diferencia <strong>de</strong> laticud en Partes Meridionales; pero fi fe dan las partes correfpondientesá ambas latitu<strong>de</strong>s, fe fumarán, yla mitad <strong>de</strong> efta fuma fe bufcará en las tablas,y dará la latitud media,correfpoiidiente en lacabeza <strong>de</strong> las columnas á los gs. y en la i. co»lumna á los m. a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> los dichos gs.PROBLEMA IV.Hallarla media paralela entre dos latitu<strong>de</strong>sdadas <strong>de</strong> una mifma efpecie.UN Piloto falió <strong>de</strong> la latitud Norte <strong>de</strong> a 7*grados y 1 s.nún.y llegó a la dc 29-S rS "Náutica. 45 la media paralela <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> dosmodos. El 1. es fumar ambas latitudcs¿ y <strong>de</strong>la fuma tomar la mitad , que ferá la mediaparalela : ó facar la diferencia <strong>de</strong> ambas latitu<strong>de</strong>s, y la mitad<strong>de</strong> efta diferenciafumada con la latí»tud menor,lafumadará la media paralela)como pareceen el 1. exemplo.El 2. modo cs , elque queda pueftotn el Problema antece<strong>de</strong>nteen el ufo<strong>de</strong> la tabla <strong>de</strong> las1.2 7g-aog-5¿ 5*2d15 m.31 m.22II23 ¿d *id99i8d235di1781 *163821781 *"artes Meridionales , tomo parece en el 1*exemplo ^ que dápor media paralela entreks latitu<strong>de</strong>s dadas la <strong>de</strong> 28. gs. y 2d. ms. lómifm 0 , que en el exem pío primero.Hallada yá la media paralela, fe dirá: Cernoel feno 2, <strong>de</strong>l medio paralelo 38. g.y 26:m.I
4
I••Hnffr48 Trigonometríalas dos latitu<strong>de</strong>s dadas, fale por diferencia 9*g. y 45. m. y la femidiferencia4* g. y 53. m»¡es la media paralela , que fe bufca.Sí fe qnifierc hacer efta operación porlas Partes Merid. fe bufcarán las correfpondientesá cada una <strong>de</strong> las dos latitu<strong>de</strong>s dadas,?y fe reftará la menor <strong>de</strong> lamayor, y fe tomará la femidiferencia<strong>de</strong> ambas, que febufcará en las tablas, y hallada,dará la media paralela,que fe preten<strong>de</strong>. Como fevé en el exemplo prefente, c on<strong>de</strong> la diferencia <strong>de</strong> ambas latitu<strong>de</strong>s es doi. que correfpon<strong>de</strong>Z9. g. y 58. m. y la femidiferencia 301..correfpon<strong>de</strong> á 5. g. y 1. m. que es la mediaparalela , que fe bufca : y efta fiempre ferá"mas cierta , que la hallada en el exemplo antece<strong>de</strong>nte,y algo mayor: pues fe diferencia<strong>de</strong> ella en 8. m. Eftos modos <strong>de</strong> facar la mediaparalela entre dos latitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> diverfa efpeciefolo fe diferencia <strong>de</strong> los, que quedan!explicados en el problema 4. quando fon <strong>de</strong>una mifma efpecie en que alli fe fumó la femidiferenciacon la latitud menor; y aquíno hay nccefsidad <strong>de</strong> efto : porque reliandouna <strong>de</strong> otra , queda el refiduo <strong>de</strong> la efpeciemayor : y afsi facando la mitad <strong>de</strong> efte refiduo, queda por media paralela kDefpues fe dirá: Como el feno 2.
I •50 Trigonometríaparalela Geométrica , y digafe: Como el rá-*dio al feno 2. <strong>de</strong> la latitud media 4-g. 5 3. m»afsi 227. m. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> longitud efphe--rica al apart. <strong>de</strong> merid. que ferá 2 2d. Lo mifmofaldrá con la medía paralela, hallada por.las partes Meridionales, que fue la <strong>de</strong> 5. grs
:'5 2 Trigonometríafuma 453¿. cuya mitad 2 2d8.bufcadaen lastablas, correfpondcrá á la latitud <strong>de</strong> 3 5.g. y,2o.m. que fediferencia <strong>de</strong> la antece<strong>de</strong>nte en\i 8. minutos.PROBLEMA IX.'Hallar la media paralela entre la Equinocial,y un paralelo d ella.PRetendc un Piloto faber, qual fea la lati-itud media entre la Equinocial, y el Polo.Elíjale una diftancia qualquiera , comodo.millas: Con efta diftancia, y cada una <strong>de</strong>las latitu<strong>de</strong>s, como fi fueran rumbos, fe bufcaráfu apartam. <strong>de</strong> meridiano. Y porque laEquinocial tomada como rumbo, no hace ángulocon el meridiano ; pues nole correfpon<strong>de</strong>gr. ni m. alguno, ferá lo mifmo, quecaminar por un meridiano; y afsi no tendráapart. <strong>de</strong> merid. Y porque al Polo le corref-,pon<strong>de</strong>n 90.gs. ferá el ang. <strong>de</strong>l rum. 90.gs.(que correfpon<strong>de</strong> navegar por la Equinocial^ó un paralelo: y afsi tendrá dc apart. <strong>de</strong> me*rid. do. ms. que es el numero dc millas , quefe eligió por diftancia, y tomando la mitad^que fon 3o.ferán los min. que correfpon<strong>de</strong>nal meridiano medio. Digafe pues : Como ladiftancia do. millas al radio : afsi los 30.n1»<strong>de</strong> meridiano medio al feno <strong>de</strong>l ángulo <strong>de</strong>lrum. que es 30. gs. que reftados <strong>de</strong> la mayor,latitud 90. quedan do. gs. por la media para-Náutica* í>ralela, refpe&o, que la latitud menor es ruwda, reprefentada en la Equinocial.Otro Exemplo.SE procura faber la media paralela entre laEquinocial, y el paralelo <strong>de</strong> do. gs. Ladiftancia, que fe elige es do. millas, y aponiendo, que al ang. reprefentado en la Equinocialno le correfpon<strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. fehallará el correfpondiente al paralelo ele do.ig. diciendo: Como el radio á la diftancia do.?millas: afsi el feno <strong>de</strong> do.gs. al apart. <strong>de</strong> me -ridiano 52. cuya mitad 2d.m. es el meridianomedio. Luego fe dirá : Como la diftancia do.,millas alradio:afsi los 2d.<strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid.:alfeno <strong>de</strong>lang.dclrum.<strong>de</strong> 25.g.y 41.m. quereftados <strong>de</strong> la mayor latitud do.gs. el refiduo'34.g. y 19.n1. es la media paralela que fepretendía.Por las tablas meridionales fale 3 5.g.y 20-m.porque á do.gs. correfpon<strong>de</strong>n 45 37. cuyamitad 22d9. correfpon<strong>de</strong>ná35. gr. y 20. m.PROBLEMA X.Dado un paralelo d la Equinocial, bailar lasmillas correfpondientes d cada grado <strong>de</strong>ltal paraleloEN el paralelo <strong>de</strong> 40. g. fe preten<strong>de</strong> faber,quantas millas correfpon<strong>de</strong>n á cada gr*Dígale ;Com.o el radio al feno h 4el para^II
154 Trigonometríalelo dado 40. g. a-si las do. millas, que coirefpon<strong>de</strong>na cada gr. <strong>de</strong> la Equinocial, á lascorrefpondientes á cada gr. <strong>de</strong> dicho paralelo,que ferán 4d. Y ufando <strong>de</strong> las fecantesrfedírá: Como la fecante <strong>de</strong>l paralelo dado<strong>de</strong> 40.gs.al radio: afsi do.m. que correfpon<strong>de</strong>ná cada gr. <strong>de</strong> la Equinocial, á los correfpondientesá cada gr.<strong>de</strong> efte paralelo: que ferántambién 46. como en la proporción antece<strong>de</strong>nte.PROBLEMAXI.'Dadas las millas,que correfpon<strong>de</strong>n d ungr. <strong>de</strong>un paralelo, hallar, qué paralelo es.SEA un gr. dc cierto paralelo á la Equinocial,que tiene 4d. millas, y fe pregunta,qué paralelo es ? Digafe : Como do. millas,que correfpon<strong>de</strong>n á un gr. <strong>de</strong> la Equinocial,a 4d. millas,que contiene el gr. <strong>de</strong>l paralelo,que fe bufca: afsi el radio al feno 2. <strong>de</strong>l dichoparalelo, que ferá <strong>de</strong> 39.g. y 57.n1. Tambiénfe pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cir : Como 4d. millas, que contieneel gr. <strong>de</strong>l paralelo dado.á do. que contieneun gr. <strong>de</strong> la Equinocial : afsi él radio ála fecante <strong>de</strong>l paralelo, que fe bufca, y faldrátambién 39. g. y 57.n1. La razón <strong>de</strong> no falirajuftada efta proporción con la antece<strong>de</strong>nte,pues fe diferencia cn 3.m.es,porque cn la antece<strong>de</strong>ntefe tomó el logarithmo nías pro-xi-\Nautiea. y \">Jumó á 46\ ms. pues le faltaban 3. unida<strong>de</strong>s,como confiará, haciendo las operaciones dclas analogías prefent.es.PROBLEMA XII. -Dada la diftancia navegada en un parale o J,la diferencia <strong>de</strong> longitud efphenca, bailarel paralelo, por don<strong>de</strong>fe banavegado.NAveeó un Piloto Semillas dc diftanciapor cierto paralelo , y tuvo <strong>de</strong> diferencia<strong>de</strong> longitud efphenca 100. m. y <strong>de</strong>feafaber, por qué paralelo navego? Efte Problemacs como el antece<strong>de</strong>nte , y para refolverlofe dirá: Como la diferencia <strong>de</strong> longituddada 100. ms. á la diftancia navegada80. millas: afsi el radio alfeno 2. <strong>de</strong>l paralelo,por don<strong>de</strong> fe navegó, que ferá <strong>de</strong> 3
IMM'i$ Trigonometríados cn las refoluciones Trigonometricásrpi*TO fi el operante ufa <strong>de</strong> eftas refoluciones,con las proporciones puedas en el problemai. <strong>de</strong> efte capitulo ferán mas ajuftadas, y paraexecutarlo , fe <strong>de</strong>ben faber ambas latitu<strong>de</strong>s,falida , y llegada : ó á lo menos fe ha <strong>de</strong> co,Jiocer la falida ; y fi augmenta, ó diminuyelatitud, con la diferencia dc latitud en minutos,para conocer la llegada ; ó al contrarío.Defpues fe ha <strong>de</strong> facar la media paralelaentre las dos latitu<strong>de</strong>s, como queda dichocn los problemas antece<strong>de</strong>ntes ;ycon eftosprincipios , podrá refolver el problema ufando<strong>de</strong> las mifmas analogías, que quedanjuchas, que fon las que firven, para conftruirla tabla <strong>de</strong> Part. Merid. como queda explicado:lasque fe práftican en los cafos figuientes.i- Un Piloto halló en una cingladura 2.g- y 15- m. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud, y haviendofalido. <strong>de</strong> latitud Norte 3o.g. y 43. m.augmentando latitud , <strong>de</strong>fea faber, lo que correfpon<strong>de</strong> dc diferenciadé latitud cn Partes Merid.Bufquefe Ja latitud llegada , fumandola falida con la diferencia,y hacen 32.g. y 58.ms. Bufquefetambién la media paralela, comoen el Problema 4. que ferá 31 ,g.3023*141i55808y 51, m. Y digafe: Como el radío á la (ec. <strong>de</strong>3 x -g.y 5i.m.¡fsilgs a.g. yi£.quecorrefpon-;jrfíen5 rNáutica. ¥f'<strong>de</strong>n á 13 5. ms. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud, á los.que <strong>de</strong>be tener en Partes Meridionales , queferán 159-m. que fe bufeaban-2 Luego dice el dicho Piloto , que. navegandoen el emifpherio <strong>de</strong>l Sur diminuyendolatitud, falió <strong>de</strong> la latitud <strong>de</strong>jo.,gs. v 4?-ms. y halló dc diferencia <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>n ms! los mifmos 2. gs. y 1j> «* y ffj"gfaber, qué le correfpon<strong>de</strong> en Partes Meridionales.Bufquefe la latitud llegada , comoantes , y ferá 28. gs. y »8.ms. tomenfe lasPartes Meridionales correfpondientes a ambaslatitu<strong>de</strong>s, y la diferencia entre ellas 155-ferá, lo que correfpon<strong>de</strong> á la diferencia <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>n Partes Meridionales : y tomando amitad <strong>de</strong> eftas partes, y fumadas con las¡<strong>de</strong>la menor , importarán 18di. que bulcadasen las tablas, fe hallará correspon<strong>de</strong>r a 29.gs. y 36. ms. que es la media paralela.I Defpues fupone dicho Piloto haverfalido <strong>de</strong> laEquinocial, y que tuvo la m-lmadiferencia <strong>de</strong> latitud a.gs. y x*-f* P occuya razón fe infiere , que la latitud llegadaes 2. §s . y x y .ms. que ferá Norte fi caminopor el 1.0 por el 4. quadrante : o Sur fi fuecaminando por el 2. ó por el J. quadrante.Tomefe la media paralela , que fera un gr. y8. ms. y digafe: Como el feno 2. <strong>de</strong> la mediaparalela <strong>de</strong> i.gr. y 8-m. al radio: afa los-3 5-m.<strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud dada alos correí-
—***m.IBMHM58 ^ Trigonometríarefpopdientes en Partes Meridionales,que forttambién 135. Por don<strong>de</strong> confia no haver diferencia<strong>de</strong> una á otra.4. Últimamente fupone dicho Pilotohaver falido <strong>de</strong> la latitud Norte i.g. y 34.n1.y llegado á la latitud Sur 3.g. y 12. m. Coneftos datos fe facará la diferencia <strong>de</strong> latitud,que por fer cada una <strong>de</strong> diverfa efpecie , fera. 4* g- >' 4d.m. y también fe facará la mediaparalela, como en el Probl. d. y ferá <strong>de</strong>49. ms. y afsi fe dirá: Como el radio á la fecante<strong>de</strong>_ la media paralela dc 49. m. afsi ladiferencia <strong>de</strong> latitud en min. conocida <strong>de</strong>28d. á los correfpondientes en Partes Meridionales,que también ferán 28d.Nota,que haviendo hallado cn qualquiertríang.re&ang. las dos diferencias <strong>de</strong> latitud,y <strong>de</strong> meridiano, fi fe halla conocida la longitu<strong>de</strong>fpherica, fe conocerá la diferencia <strong>de</strong>latitud en part. merid. por una regla <strong>de</strong> treslimpie ; y al contrario: Si fe conoce la diferencia<strong>de</strong> latitud en part. merid. fe conocerála diferencia dc longitud efplierica.Tambien,fien qualquier tríang.re&ang. fe dan conocidaslas dos diferencias <strong>de</strong> longitud efpherica,ydc latitud en part. merid. y juntamente ladiferencia <strong>de</strong> latitud en min. fe conocerá porla mifma regla <strong>de</strong> tres el apart. <strong>de</strong> merid. y *|fe dá conocido el apart.<strong>de</strong> mericLfe conocerátambién la diferencia <strong>de</strong> latitud en minutos.UNáutica. 59La nota antece<strong>de</strong>nte tiene fu fundamentoen la 4. Propoficion <strong>de</strong>l libr. d. <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s,comofeverá en la Fig.1. en el trianguloABC. don<strong>de</strong> AB. reprefenta la diferencia <strong>de</strong>latitud en min. BC.elapart.<strong>de</strong> merid. AD.enel triangulo ADE. la diferencia <strong>de</strong> latitud enpartes meridionales; y la DE.la-diferencia <strong>de</strong>longitud efpherica.Y porque en el triang. ADE. al lado DE.,eftá tirada la paralela BC. ferán los triang.;ADE. y ABC. equiang. ( 2?. p. 1.) y femejantes(1 .cor.4. p.d.) Luego ferá: Como AB.áBC. afsi AD. áDE. (4. p. 6.) y como DE.áDA. afsi BC a BA. y al contrario, que cslo que fe havia. <strong>de</strong> <strong>de</strong>monftrar, y lo que fepracticará en los exemplos figuientes.Un Piloto navegó en el 1. quadrante 8o-.-rnillas,reprefentadas en AC. <strong>de</strong> la Fig-1 -porel 2. rumbo , y halló <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud74-ms. que vale AB.y <strong>de</strong> apart.<strong>de</strong> merid.31;ms. que vale BC. y <strong>de</strong>fpues bufeo las partesmetid. correfpondientes , y halló, que eran80. y para hallar la diferencia dc longitu<strong>de</strong>fpherica, que preten<strong>de</strong>, dirá •- Como AB. dé74- diferencia <strong>de</strong> latitud en ms. á BC. <strong>de</strong> 31.diferencia <strong>de</strong> meridiano : afsi AD. <strong>de</strong> 80. diferencia<strong>de</strong> latitud en Partes Merid. a DE.34- diferencia <strong>de</strong> longitud efpherica, que fepretendía. La operación prefente, y las fifiíúentes,fe podrán hacer por la regla <strong>de</strong> tresArith-I
hre ° Trigonometría .(Arithmetica, ó por las tablas <strong>de</strong> los logarithmos.Si dando conocidas las diferencias dc latitu<strong>de</strong>n min. y <strong>de</strong> meridiano , fe conocieretambién la diferencia <strong>de</strong> longitud efpherica. DE. <strong>de</strong> i4.ms. para hallar las part. merid. fedirá: Como la diferencia <strong>de</strong> meridiano BC<strong>de</strong> J.I. á la diferencia <strong>de</strong> latitud en min. AB.<strong>de</strong> 74. afsi DE. diferencia <strong>de</strong> longitud efphericadc r34.n1. á DA. diferencia <strong>de</strong> latitud enpart. merid. que fe bufean , que ferán 81.Dandofe la diferencia <strong>de</strong> latitud cn part.merid. 80. m. y la diferencia <strong>de</strong> longitud cfplier.34.reprefentadasen AD.yDE.y la diferenciadc latitud en ms. AB.dc 74.m. fe hallaráel apart. <strong>de</strong> merid. diciendo: Como AD.diferencia <strong>de</strong> latitud cn pare, merid. 80. áDE. diferencia dc longitud efpherica 34. afs¡AB. diferencia <strong>de</strong>'latitud en min. 74. á BC,apartamiento <strong>de</strong> merid. que fe bufca 32.Si fe dieren conocidos AD. 80. ms. diferencia<strong>de</strong> latitud en part, merid. DE. 34. diferencia<strong>de</strong> longitud cfphcr. y BC. 31. diferencia<strong>de</strong> meridiano , y fe quificre conocerAB.diferencia <strong>de</strong> latitud en min. fe dirá: ComoDE. <strong>de</strong> 34. á AD. <strong>de</strong> 80. afsiBC dc3*-a la diferencia dc latitud en min. AB. <strong>de</strong> 7 j'quefe bufca.i. Nota, que aunque parece no concuerdaneftas operaciones unas con otras,refcNáutica* 6t,pecio <strong>de</strong> que fe diferencian algunos teifminoíen una unidad, no eftán mal executadosíporque fe han tomado los números en enteros, como fe practica en la Navegaciónpor evitar proligidad; pero fife tomaren losnúmeros en entero , y quebrado , 110 havráíduda,<strong>de</strong>que faldrán muy ajuftadas.2. Nota también, que fi a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> loatres términos , que fe dan conocidos en las*operaciones antece<strong>de</strong>ntes , fe tuviere conocidouno <strong>de</strong> los ángulos agudos, fe hallarael 4. tetmino, que faltare, ufando <strong>de</strong> la regla1. <strong>de</strong> las refoluciones <strong>de</strong> los triángulos <strong>de</strong>la Trigonometría general.CAPITULOIV.DEL EXERCÍCIO DE LOS PROBLE,mas Náuticos.EL <strong>de</strong>feo <strong>de</strong>l mayor aprovechamiento <strong>de</strong>los principiantes en la TrigonometríaNáutica, nos obliga , á que en el Capituloprefente fe propongan aquellos Problemas,que con mayor frequencia fe pra
••* - "^I m ' llas ' al radi0: afsi d a P arc - «e""*"-. 4j. ni. alfeno <strong>de</strong>Ungt ¿d rum> c]ucferái
1;•••- .*..g4 Trigonometríaferá <strong>de</strong> ij.g. y 50.111. Defpues fe hallará ladiferencia <strong>de</strong> latitud, diciendo : Como el radioala diftancia \6j.millas : afsi el feno<strong>de</strong>lcomp. <strong>de</strong>l rum. 74. g.y 1 o. m. ala diferencia<strong>de</strong> latitud 159-m.que hacen 2.g.y 39.111. losqualcs fumados con la latitud falida 40. g. importan42. g. y 39- m. <strong>de</strong> latitud llegada.Bufquefe ahora la media paralela, fumandola femidiferencia <strong>de</strong> latitud i.g. y 20. m.,con la menor latitud 40. g. y hacen 41. g. y20. m. y con efta fe hadará la diferencia <strong>de</strong>longitud efpherica.diciendo: Como el feno 2.<strong>de</strong> la latitud medía <strong>de</strong> 41.g. y ao.m. al radio: afsi los 45. m. <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. á losm. <strong>de</strong> diferencia dc long. efpherica, que ferán<strong>de</strong>que correfpon<strong>de</strong>n á i.g. que fumado conla long. falida i.g.y 48. m. hacen 2.g. y 48.m. <strong>de</strong> long. llegada: y íiendo la latitud llegada42.g.y 39.m. fe dirá,que el lugar délaNao es az.g.y 39-m. Norte, y a.g. y A&.to*<strong>de</strong> loogitud,que es loque fe pretendía faber,PROBLEMA III.Dada la diferencia <strong>de</strong> latitud, y diftancia, conocerel rum. apartamiento <strong>de</strong> Merid. dife?renda <strong>de</strong> long. efpherica, y lugar<strong>de</strong> la Nao.SAlió un Piloto <strong>de</strong> la latitud Sur. 8. g. Y15.m. y navegó 57- leguas E , f l ,an Spor el 4. quadrante, y también la long tufeU¿a fue <strong>de</strong> 3. gs. y 43- ms- y tuvo <strong>de</strong> d^Náutica. ¿5renda <strong>de</strong> latitud i.g. y 46.m. y quiere faber,,lo que pi<strong>de</strong> el Problema.Formefe el triang. re
I66 Trigonometríaminó por él Nor<strong>de</strong>fte 4. al Leñe 36. leguasEfpañolas, y quiere faber, lo que propone elProblema.Formefe un triangulo rectángulo , en quefe <strong>de</strong>a conocidos el rum. <strong>de</strong> 5d.gs. y rj.m. yjla diftancia <strong>de</strong> 3d.leguas Efpañolas , que correfpon<strong>de</strong>ná 123. millas, y bufquefe la diferencia<strong>de</strong> latitud, y apart. <strong>de</strong> merid. diciendo:Como el radio á la diftancia <strong>de</strong> 123, millas:afsi el feno 2. <strong>de</strong>l rum. 33. gs. y 45. ms. á ladiferencia <strong>de</strong> latitud d8. ni. Y como el radioa la diftancia <strong>de</strong> 123. millas: afsi el feno <strong>de</strong>lrum. 5d.gs.y ij-ms. alapart. <strong>de</strong> merid. 102.ms. Y <strong>de</strong>fpues fe bufcará la media paralela,que ferá d.gs. y d.ms. y con ella fe bufcará ladiferencia <strong>de</strong> longitud efpherica, d¡ciendo:Comoel feno 2. <strong>de</strong> la medía paralela <strong>de</strong> d. gs. y6. ms. al radio: afsi la diferencia <strong>de</strong> meridianoÜ02. á la diferencia <strong>de</strong> longitud efphericaIi03.m. Defpues fe bufcará el lugar <strong>de</strong> laNao, que fe hallará en %. gr. y 3:. ms. <strong>de</strong> latitud<strong>de</strong>l Sur, y en 43. ms. <strong>de</strong> longitud: porjquefumada la diferencia <strong>de</strong> longitnd efpheritca1 .gr. y 43. ms. con longitud falida 3 5
'III58. Trigonometríala diferencia <strong>de</strong> meridiano hallada, rcfpectodc no hallarte diferencia fenfible entre lo plano, y efpherico en la paralela media entre dichaslatitu<strong>de</strong>s, falida, y llegada.PROBLEMAVI.pado el rumbo ,y apartamiento <strong>de</strong> meridiano fbailar la diftancia, diferencia <strong>de</strong> latitud, y<strong>de</strong> longitud ,y el lugar <strong>de</strong> la Nao.HAllabafe un Piloto en 30.g. y 45.m. dtflatitud Norte, y eñ 3 5 2.g. dc longitud,,y gobernó por el 6. rum. <strong>de</strong>l 1. quadrante^harta que halló <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. 3.g. yd.m. y <strong>de</strong>fea faber todo lo que propone elProblema.Formefe el trlang. rectang. en que fe dáilconocidos el ángulo <strong>de</strong>l rum. y el apart. <strong>de</strong>merid. y fe hallará la diftancia, diciendo: Co-«mo el feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. d7.g. y 30.111. ála diferencia <strong>de</strong> meridiano i8d.m. afsi el radioá la diftancia <strong>de</strong> 201.millas. Y como el feno<strong>de</strong>l rum. <strong>de</strong> d^.g.y 30.n1. al apart. <strong>de</strong> merid.iSd.m. afsi el feno<strong>de</strong>compl. 22. g. y3o.m. á la diferencia <strong>de</strong> latitud 77.n1. con laqual, y la latitud falida, fe hallará la llegada3 2,g. y 2. m. y también la media paralela 31*g. y 24.n1. Y <strong>de</strong>fpues fe hallará la diferencia<strong>de</strong> longitud-efpherica, diciendo : Como6í>Náutica.el feno 2. <strong>de</strong> la medía paralela 3 i.g. y 2 4- s -al radío : aísi la diferencia <strong>de</strong> meridiano ri-d..ta. ala diferencia <strong>de</strong> longitud efpherica 21b.«1. que fumados con la longitud falida , haten355-g. y 38.111. <strong>de</strong> longitud llegada, quecon la latitud llegada 3?-g- y 2 - m íerae' "gar <strong>de</strong> la Nao.PROBLEMAVILDada la diferencia <strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong> longitud, Wllar el rumbo, diftancia, y apartamiento<strong>de</strong> meridiano»SAUó un Piloto <strong>de</strong> la latitud Norte 3
•L70 Trigonometríacidos las dos difetencias <strong>de</strong> latitud, y longitud,ycon el conocimiento dc la latitud media,fe reducirá la longitud efpherica á plana , óapart. <strong>de</strong> merid. diciendo ; Como el radio alfeno 2. <strong>de</strong> la media paralela 3 5,g. y 3 i.m.afsi,la diferencia <strong>de</strong> longitud efpherica 57. m. á ladiferencia <strong>de</strong> longitud plana a6, ms. Luego febufcará el rumbo,dicíendo:Como la diferencia<strong>de</strong> latitud 118. ms. al apart. d.e merid. 4d.n1.,afsi el radio á la tang. <strong>de</strong>l ang.<strong>de</strong>! rum. 21. gs.y28. ms. Y últimamente fe huleará la diftancia,dicíendo:Como el feno <strong>de</strong>l ang.<strong>de</strong>l rum. 2 i.g.y 28. al apart. <strong>de</strong> merid. 4d. ni. afsi el radio ála diftancia <strong>de</strong> i27.millas,quees lo quefe pretendía,PROBLEMA VIII.:Qado el rumbo, y diferencia <strong>de</strong> longitud,hallarla diferencia <strong>de</strong> latitud, diftancia , yapartamiento <strong>de</strong> meridiano, y lugar<strong>de</strong> la Nao.EStaba un Piloto en 30.gr. y 45. m. <strong>de</strong> latitudNorte, y en 3 5 8. g. <strong>de</strong> longitud, y.caminó por el Lefnor<strong>de</strong>fte , hafta que halló dcdiferencia <strong>de</strong> longitud 21 j.ms. que valen 3.g.y 35.m.y pi<strong>de</strong> lo que propone elProblema.Bufquefe primero la diferencia <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>n Part. Merid. diciendo : Como el feno<strong>de</strong>l ang.<strong>de</strong>l rum.d7.g. y 30. m. á la diferencia<strong>de</strong> longitud 215. ms. afsi el feno <strong>de</strong> comple-^men-Náutica.' . 7 1mentó 2í,g. 30. á la diferencia <strong>de</strong> latitud enPartes Meridionales 8
L V7 2 - Trigonometrldguas Efpañolas, y fe quiere faber la diferffrtcfjÉ<strong>de</strong> merid. y <strong>de</strong> long, antes que el rumbo dcuno a otro lugar.Efte Problema fe refolverá fundando furefolucion en la propoficion 47. <strong>de</strong>l 1. <strong>de</strong>Euclidcs : y para 'ello fe reducirán las leguast millas, y ferán 19 5, Defpues fe bufca la diferencia<strong>de</strong> latitud, reftando una latitud déotra , y ferá 1, g. y 4d.n1. que hacen lod. ms*quadrenfe eftos iod, y ferá fu quadradoi i2 3d. reftefe efte quadrado <strong>de</strong>l quadrado <strong>de</strong>la diftancia ip;. que es 38025, y faldrá porrefiduo 2d7S
1Iki•Mili IIi 74 f» , . TrigonometríabkfjA lugar <strong>de</strong>l Sol , fe <strong>de</strong>be también funonerla Eclyptica dividida en 4. quadr. que fon eli. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> Aries a Cáncer: el 2. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> Cáncer ¿Libra: el 3.<strong>de</strong>f<strong>de</strong> Libra á Capricornio: y el 4.<strong>de</strong> <strong>de</strong> Capricornio á Aríes. Quando el Sol fehallare cn el 1. quadr, ó en 4. fu próximoEquinocio cs Aries; pero fi fe hallare en el 2.quadr. o en el 3 ferá fu próximo EquinocioLibra. Si cl Sol fe hallare en el 1. quadrante óen el 3 fe contarán los g. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> Aries en el1.y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> Libra en el 3.y dará la diftancia <strong>de</strong>lpróximo Equinocio ; pero ñ fe hallare en el2. quadrante , ó en el 4. fe contarán <strong>de</strong>f<strong>de</strong>Cáncer cn cl 2. y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> Capricornio en el 4.v el refiduo hafta 90. g. ferá la diftancia, quenene el Sol <strong>de</strong>f<strong>de</strong> cl próximo Equinocio , loque fe practicará en los exemplos figuientes.t. Suponefe hallarfe el Sol en 28. g. <strong>de</strong>Aries, y fe pi<strong>de</strong> fu Declinación. Refijcdo <strong>de</strong>que fe ha <strong>de</strong> contar la diftancia <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio<strong>de</strong> Aries, ferán 28. g. los quedifta<strong>de</strong>lpróximo Equinocio : y afsi fe dirá: Como elradio al feno déla máxima Declinación 23.g. y 3o.m. afsi el feno <strong>de</strong> 28. g. que difta elSol <strong>de</strong>l próximo Equinocio, al feno <strong>de</strong> la Declinación10. g. y 47.n1. que ferá Septentrional,porque Aries es figno feptcntríonal.2. Suponefe cftár el Sol en 1 o.g.<strong>de</strong> Aquano, y fe pi<strong>de</strong> fu Declinación. Refpedo <strong>de</strong>que Aquano cs <strong>de</strong>l quarto quadrante fe con-ta-Nautica. . 7%taran los g. <strong>de</strong> diftancia <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong>Capricornio, y ferán 40. g..los 30. <strong>de</strong> Capricornio, y los 10. <strong>de</strong> Aquano, los quales reftadosdc 90. g. quedan 50. <strong>de</strong> dii.ancia <strong>de</strong>lpróximo Equinocio Aríes. Y afsife dirá: Comoel radio al feno <strong>de</strong> la máxima Declina,cion <strong>de</strong>l Sol 23-g. y 30-m. afsi el feno <strong>de</strong> 50,g. diftancia <strong>de</strong> el Sol al próximo Equinocio,al feno <strong>de</strong> la Declinación, que fe bulca dc 17.47. que ferá Meridional, porque Aquano esíigíio Meridional. En efte Problema tiene fufundamento la conftruccion <strong>de</strong> las tablas dclas <strong>de</strong>clinaciones <strong>de</strong>l Sol para los 4. anos,quefon Bifexto, primero, fegundo, y tercero <strong>de</strong>f,pues <strong>de</strong>l bifexto, notando, que,quando fe hallaveel Sol en el 1. quadrante, o cn el 2. tendrála Declinación Septentrional, y quandoen el 3. quadrante ó en el 4. ferá Meridional*PROBLEMA ILDada la maximaDcclinacion <strong>de</strong>l Sol, y la par*ticular <strong>de</strong> qualquier dia, bailar fu lugaren la Eclyptica.HAUabafe cl Sol en 10. g. y 47- m - <strong>de</strong> DeclinaciónNorte , y fe ?•& fu lugar enla Eclyptica. En efte cafo pue<strong>de</strong> eftar el Solen el 1. quadrante,ó en el 2. y por efto tendrá¿os refoluciones. Y afsi fe preguntata : cnqual
''£«..;..".-,*.• • Trigonometríaqual <strong>de</strong> los dos fe hallaba el Sol; y haviendoreípondido, que iba augmentando fu Declinación,fe infiere, que eftabaencl i. quadrante.Y por efto fe dirá, Como el feno <strong>de</strong> la máximaDeclinación <strong>de</strong> e! Sol 2 3. 30. al radio: afsi? , c °> 7-a P^'nacíon dada 10.47. al lugar<strong>de</strong>l Sol diftante<strong>de</strong>l próximo Equinocio <strong>de</strong> 27*,59. que ferán tantos gr, <strong>de</strong>l figno <strong>de</strong> Aries.H-dlabafe el Sol en 17, 47. <strong>de</strong> Declinaciónsur , y fe pi<strong>de</strong> fu lugar en la Eclyptica, Tanwbien pue<strong>de</strong> tener efte Problema dos refpueftas;porque fe pue<strong>de</strong> hallar el Sol en el 3, quadrante,o en el 4. y fe preguntará, en qual <strong>de</strong> ellosle halla? Y haviendo refpondido, que fe ibaacercando á la Equinocial, fe inferirá, que eftabaen el 4. quadrante. Y afsi fe dirá ¡ Comocl íeno <strong>de</strong> la máxima Declinación <strong>de</strong>l Sol 23,So. al radio: afsi el feno <strong>de</strong> la Declinación da-J a }1- 47» al lugar <strong>de</strong>l Sol en la Eclyptica, quelera 49. 5P. q lle re ft a dos <strong>de</strong> 00. g. quedarán.40. 1. que comprehen<strong>de</strong>n el figno <strong>de</strong> Capri^comió, y 10,g. y un. d ? Aquario.PROBLEMA U\.Dada la altura<strong>de</strong>Poto, y la Declinación dclSol<strong>de</strong> qualquier dia, hallar la Amplitud Ortiva,Eü Occidua.Nía altura<strong>de</strong> Polo <strong>de</strong> 37. 30. teniendoel Sol <strong>de</strong> Declinación Septentrional 1 8 *24.Náutica. 7744. fe quiere faber fu Amplitud ortiva,y occidua.Digafe : Como el feno 2. <strong>de</strong> la altura <strong>de</strong>Polo 37.g. y 30.n1. al radio : afsi cl feno <strong>de</strong>la Declinación dada 18. 24. al feno <strong>de</strong> la Amplitudortiva, ú occidua <strong>de</strong> 23.g. y 27. m. <strong>de</strong>la efpecie <strong>de</strong> la Declinación. Pot que fiemprela Amplitud íigue la efpecie <strong>de</strong> la Declinación:jr afsi ferá <strong>de</strong> la efpecie <strong>de</strong>l Norte.En efte Problema fe funda la conftruccion<strong>de</strong> las tablas <strong>de</strong> las Amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l Sol, formandola mifma analogia para cada uno dc losg. dc Declinación.PROBLEMAIV.Dada la altura <strong>de</strong> Polo, y la Amplitud <strong>de</strong>l Soi<strong>de</strong> qualquier dia, hallar fu Declinación.EN la altura <strong>de</strong> Polo <strong>de</strong> 37. 30. tenia elSol <strong>de</strong> Amplitud ortiva Septentrional23. 27. y fe quiere faber fu Declinación. Digafe: Como cl radio al feno 2. <strong>de</strong> la altura <strong>de</strong>Polo 37. 30. afsi el feno <strong>de</strong> la Amplitud ortivaSeptentrional dada 23. 27. al feno <strong>de</strong> la•Declinación <strong>de</strong>l Sol 18. 24. que ferá Septentrional, como lo era también la Amplitud.PROBLEMA V.I Dada la Amplitud <strong>de</strong>l Sol, y la Declinación dioii-alquicr dia, hallar la'altura <strong>de</strong> Poto.T^Enia el Sol <strong>de</strong> Amplitud 23. 27. y déX Declinación Septentrional i8.g. 24.n1,I. fepreten<strong>de</strong> faber la altura dc P«lo. Digafe'.Co-"
-tpf*''78 TrigonometríaComo el feno <strong>de</strong> la Amplitud dada 2 3. iy¡al feno <strong>de</strong> la Declinación dada 18. 24. afsi elradio al feno 2. <strong>de</strong> la altura <strong>de</strong> Polo 37. ¿in<strong>de</strong> la efpecie <strong>de</strong>l Norte , que fe bufca.PROBLEMA VI.Dada la máxima Declinación <strong>de</strong>l Sol, y fu lugaren la Eclyptica,hallar fu Afeenfion re51 a.HAllafe el Sol en 2 8.g. <strong>de</strong> Aries, y fapuef.ta la máxima Declinación 23. 30. f epreten<strong>de</strong> faber fu Afeenfion recia. Digafe:Como el feno 2. <strong>de</strong> la máxima Declinación<strong>de</strong>l Sol 23. 30. al radio: afsi la tang. 2. <strong>de</strong>llugar <strong>de</strong>l Sol 28. gs. a la tang. 2. <strong>de</strong> la Afeenfionreéta 2d. grados , qüefe bufca.Nota, que eftos grs. que han falido <strong>de</strong> Afeenfionreda en efta operación , fon tales, poreftárelSolen el 1. quadrante ; perolife hallaraen el 2. quadrante , fe havrán <strong>de</strong> añadirpo. gs. al termino, que faliere ; y fife haftárecn el 3. quadrante, fe añadirán 180. gs. y fi fehallare en el 4. quadrante , fe añadirán 270^y la fuma ferán los grs. dc Afeenfion recia,que fe preten<strong>de</strong>.PROBLEMA VILDada ta máxima Declinación <strong>de</strong>l Sol, y laparthcular <strong>de</strong> cada dia,hallarfu Afeenfion refla. tEStaba el Sol en 10. gs. y 47.ms. <strong>de</strong> DeclinaciónNorte, y fupuefta la máxima DcNáutica. 79clínacíort , fe pi<strong>de</strong> fu Afeenfion recia. Digafe:Como el radio á la tang. dc la Declinacióndada 10. gs. y 47. ms. ¡afsi la tangente 2. <strong>de</strong>la máxima Declinación 23. 30. al feno <strong>de</strong>la Afeenfion recia 25. 55». Si fe hallare elSol en el 1. quadrante -, pero fien el 2. ferá115. 59. la Afeenfion recia, que fe preten<strong>de</strong>.PROBLEMAVIII.Dado el lugar <strong>de</strong>l Sol en la Eclyptica, o diftancia<strong>de</strong>l próximo Equinocio ,y la Declinación<strong>de</strong> qualquier dia , bailar fu afeenfionrecta.EStaba el Sol en 28, gs. <strong>de</strong> Aries, que es ladiftancia <strong>de</strong>l próximo Equinocio , y tenia<strong>de</strong> Declinación Norte to. g. y 47. ms.y fepi<strong>de</strong> fu Afeenfion reda. Digafe : Como elfeno 2. <strong>de</strong> la Declinación dada 10. 47. al radio:afsi el feno 2. <strong>de</strong> la diftancia <strong>de</strong>l Sol alpróximo Equinocio 28. grs. al feno 2. <strong>de</strong> la•Afeenfion recia 2d. g. y t. minuto.,PROBLEMA IX.Dada ¡a altura <strong>de</strong> Polo ,y la Declinación <strong>de</strong>l Sol.Ehallar ¡a diferencia Afcenfional.N Ja altura <strong>de</strong> P0Í037. 30. Norte, teniendoel Sol <strong>de</strong> Declinación Norte 10.8 , y f 47-m-.ft quiere faber la diferencia Al>cen-
8 o Trigonometríacenfional. Dígale : Como el radio á la tang¿<strong>de</strong> la Declinación dada ío. 47. afsi la tangente<strong>de</strong> la altura <strong>de</strong> Polo 37. 30. al feno <strong>de</strong> ladiferencia Afeenfional, que fe bufca 8.g. jj24. m.PROBLEMA X.Vada la altura <strong>de</strong> Polo, la Afeenfion recta, y L\diferencia Afeenfional, hallar la Afeenfionobliqua.QÜando la altura <strong>de</strong> Polo, y Declinación<strong>de</strong>l Sol fon dc una efpecie, fe reftará la" diferencia Afeenfional dc la Afeenfionrc
• " < * : :81 Trigonometría9o.g. y la fuma, ó refiduo, ferá valor <strong>de</strong>l arcofemidiurno cn g. y m. y reducido á horasdará la hora dc ponerfeel Sol, y refiadas eftashoras <strong>de</strong> 12. dará el refiduo la hora <strong>de</strong> falir clSol: y eftas reducidas á g. y m. ferá valor <strong>de</strong>larco feminociurno ¡ v.g. La diferencia Afeenfionales 8. 24. y refpecio dc que Declinación, y altura <strong>de</strong> Polo fon <strong>de</strong> una efpecie,9o8 24.agregando 90.. g. 'ferán 98. 24. quees el valor <strong>de</strong>l arcofemidiurno:el qualreducido á horas, yms.<strong>de</strong> tiempo.partíendolos
8 4 Trigonometríareducidos á g. partiéndolos entre do. viene altociente 13.g. y i2.m. y últimamente, multiplicándolas1 o. horas por 15.importan 1 50.g. á quien añadiendo los 13. g. y 12. m. importatodo idj. grs. y 12. m. que cs el valor<strong>de</strong>l arco nocturno.PROBLEMAXII.Dada la altura <strong>de</strong> Polo, y la Declinación <strong>de</strong>l Sol,bailar la hora <strong>de</strong> falir, y ponerfe el Sol.EN la altura dc Polo <strong>de</strong> 37-gs. y jo.mimNorte, teniendo cl Sol <strong>de</strong> Decli naciónlo.g. y 47:m.tambiert <strong>de</strong>l Norte, fequiere faber, lo que propone el Problema. Digafe:Como el radio á la tangente <strong>de</strong> la Dedicación<strong>de</strong>l Sol 1 o. 47. afsi la tangente <strong>de</strong> la ; hura<strong>de</strong> Polo 37. 30. al feno 2. d: la hora <strong>de</strong> falirel Sol, que ferá 81. 36. que reducido áhoras , y minutos <strong>de</strong> tiempo, ferá lo que fepreten<strong>de</strong> , íiendo <strong>de</strong> una efpecie Declinación,y altTrra; -pero (\ fon <strong>de</strong> contraria efpecie,faldrá por quarto termino la hora <strong>de</strong>ponerle el Sol: y reftando la hora halbda<strong>de</strong>12. horas ,'el refiduo dará la hora <strong>de</strong> ponerleel Sol.Y refpecio <strong>de</strong> que fon <strong>de</strong> una mifma cfpeeieen el cafo propuefto , fi fe reducen »horas, y min. los 81. ¡6. correlpon<strong>de</strong>rán «Nautict.5. horas, 26. grados, y 24.minutos , que ferá la hora , aque fale el Sol en dicho Pueblocon femé jante Decli najcion Septentrional. Y refrendóla<strong>de</strong> 12. horas,faldráal tociente d. horas, ? 3.minutos, y 3d. fegundos,que ferá la hora <strong>de</strong> ponerfeel Sol. Pero fi la Declinación, y altura <strong>de</strong> Polo fueren<strong>de</strong> diverfa efpecie , ferialo contrario : Efto es,qwt en dicho Pueblo, teniendo10, grados, y 47. minutos<strong>de</strong> Declinación Meridional, faldrá el Sol á las d.horas, 33. minutos, y 36. fegundos, y fe pondrá á las ?.horas, 2d. minutos, y 24. fegundos.-CAPITULO5 2d 2411 OO OOPROBLEMAp Kl N * E R °¡ e MDada ¡a diftancia,y la fuma **fr tnn r¿T.titnd, y apartamiento <strong>de</strong> meridiano , M*arel rumbo, y valor <strong>de</strong> cada cofa. t'S;J" ,.U N Piloto dice , VxM n¿ ?TTtxoo. millas dc diftancia» hallo.<strong>de</strong> J-DE ALGUNOS PROBLEMAS CURIOSO*-UP^MBB-
¿u\Trigonometríaferencía <strong>de</strong> latitud, y meridiano 140. ms. yquiere faber , quanto fea cada cofa <strong>de</strong> por si,y qué rumbo fue , el que hizo.Efte Problema, afsi propuefto, y refuelto,faldrá <strong>de</strong> diferene <strong>de</strong> latitud , y apart. <strong>de</strong> merid.70, por cada uno, y <strong>de</strong> ang. <strong>de</strong>l ruin. 45.gr. don<strong>de</strong> el lado BC. fea <strong>de</strong> 140.n1. y por C.formefe cl ang. BCG. dc 45.g. y divídale BC.por medio en A. y por A. levancefe la perpendicularAD. y tirefe la BD. que reprefenta ladiftancia dé 100. ms. y quedará el trianguloBAD. en que BD. cs <strong>de</strong> 100. millas, y los ladosBA. y AD. iguales, y ambos valen 140.luego cada uno valdrá 70. y los ang. <strong>de</strong>l ruiny<strong>de</strong>l compl. ferá cada uno dc 45. grs.Pero li fe diere mayor diftancia , comp110. millas, y la mifma fuma dc 14a <strong>de</strong> diferencia<strong>de</strong> latitud , y meridiano, y que feauna mayor, que otra, fe refolverá <strong>de</strong>l modofiguiente : Defpues <strong>de</strong> formado cl ang. BCG.<strong>de</strong> 45.gs. fe tirará la BG. ó BF. que reprefentala diftancia <strong>de</strong> 110- y por G. y F. fe tiraranla.s perpendiculares GK. y FL. á la BC. y quedaranformados dos triang. BGK. y BFL. incluidosen el triang. BGC-cn que eftán conocidos2. lados, y un ang. que fon BG. ¿óno. yBC. <strong>de</strong> 140.yelang.en C. dc45- g s
IÍS Trigonometríaimportaba 140. y pi<strong>de</strong> lo que dice el Problema,Formefe el triang. BAC. re&ang. en A. yfea AC. d? 75. ms. diferencia dc latitud , yAB. 140. fuma <strong>de</strong> diftancia, y apart. <strong>de</strong> merid.y bufquefe el valor <strong>de</strong>l ang. B. diciendosComo el lado BA. <strong>de</strong> 140. al lado AC. <strong>de</strong> 75.afsi el radio á la tang. <strong>de</strong>l ang. B. <strong>de</strong> 28. 1,,,Tírele ahora <strong>de</strong>l ang. Cía reda CD. haciendoel ang. BCD. igual al ang, B. (aj.p. J.) ynítÍ 4 r CI ? , J ÍgUal á BD '
T%Ú7ÍTA dradio¿^^ndaAH.<strong>de</strong> Náutica.. 9-i6r.gel . fc " Q , d e
i• t "P9f92 _ Trigonometríaque ferá Ja latitud lauda , á quien agregando131.n1, <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud en partes meridionales, harán 4030. que correfpon<strong>de</strong>n á5 5"g.y 33-m, que es lo mifmo, que antes, condiferencia <strong>de</strong> un m. creciendo latitud, como»queda notado antes,PROBLEMA V.Dada la diftancia, y el refiduo entre la difieren-»úa <strong>de</strong> latitud ,y apartam. <strong>de</strong> merid. bailar itrumb. diferencia <strong>de</strong> latitud , y apart- <strong>de</strong>meridiano. Fig. 11,NAvego un Piloto 100. millas <strong>de</strong> diñan,cu , y fe acuerda, que entre la diferencia<strong>de</strong> latitud, y apartam. <strong>de</strong> merid. havia 20*m. y quiere faber lo propuefto en el Problema.Formefe el triang. Yfoceles re£rang.ABC.
94 . Trigonometría.tomefe AC. <strong>de</strong> 2 o. m. mitad <strong>de</strong> la diferenciadada,y dividafe por medio en D; la AB.' y feráAD. <strong>de</strong> 30.m. mitad <strong>de</strong>l apart. <strong>de</strong> merid. y tirefela CD. y hallcfe el valpr <strong>de</strong>l ángulo DCAdicíendo'.ComoAC. <strong>de</strong> 20. a DA.'<strong>de</strong> 30. afsiel radio á la tang. <strong>de</strong>l ang. ACD. que ferá dc5d. 19. y el ángulo CDA. <strong>de</strong> 33. 45. Defpuesle hallará la hypothenufa CD. diciendo : Comoel feno <strong>de</strong> el ángulo DCA.<strong>de</strong> 56. 19. á fulado opuefto DA. <strong>de</strong> 30. afsi el radio á la hy -pothenufa CD. <strong>de</strong> 36. Tirefe ahora por D. laEDF.perpendicular á laCD.y cortará á la CA.prolongada en E. y tomefe DF. igual áDE. ytirefe Ja FC. y formará el triangulo YfocelesFCE. tirefe la FG. paralela a la AB. y la FB.paralela á la AG.Y porque el triang. EFC. es Yfoceles, losang. en E. y en F. ferán iguales (5. p. 1.) y losang. en D. fon ¡guales (<strong>de</strong>f. 10. 1. ) luegotambién los ang, en C. ferán iguales ; peroel ECD. es <strong>de</strong> 5d. 10. luego el DCF. ferá también<strong>de</strong> $6. 19. (4.y 32. p. i.) y el total ECF*ferá <strong>de</strong> 112. 3.8. y clFCG. feti <strong>de</strong> d7- 22»(13.p. i.)y el CFG. <strong>de</strong> 22. 3S. (32.p.i.) comotambién, por la mifma, el CFD. <strong>de</strong> 3 3. 41.Bufquefe el valor <strong>de</strong> CF. diciendo : Como elfeno <strong>de</strong>l ang.DFC.<strong>de</strong> 33. ai-k CD.<strong>de</strong> 3d.afsicl radio á FC. <strong>de</strong> dj. que es la diftancia, quefe bufca.Y para hallar la diferencia <strong>de</strong> latitud GOfeNáutica.Áj¡>fe dirá : Como el radio á la diftancia CF <strong>de</strong>¿5. afsicl feno <strong>de</strong>l compl. GFC. <strong>de</strong> 22. Y«ala dilerenc.<strong>de</strong> laritud GC. <strong>de</strong> 2j.y el apart'.<strong>de</strong> merid. GF. fera<strong>de</strong> do. por fer igual áABo fe bufcará, diciendo . Como el radio á lád1uanc.aFC.<strong>de</strong>d5. afs¡ d feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>lrum. d7. 22. al apart.<strong>de</strong> merid. GF. <strong>de</strong> doquees,&c.PROBLEMA VII.Dada U diferencia <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong> dos luanesy la diferencia <strong>de</strong> latitud:, que han <strong>de</strong> tener do)Pilotos, quefalen<strong>de</strong> diehos lugares , hallar fusdift ancias, .que han <strong>de</strong> fer iguales, y la <strong>de</strong> dichoslugares , los rumbos <strong>de</strong> cada Piloto , y ellugar, don<strong>de</strong> <strong>de</strong>ben concurrir.Fig. 13.EStá un lugar en 41. 4d. <strong>de</strong> latitud N. yen 345. 12. <strong>de</strong> longitud , y otro lugaren 41. 36. <strong>de</strong>latitud N. y en 347. 59- <strong>de</strong> lon^g.tud. De eftos dos lugares falcn dos Pilotos,que fe han <strong>de</strong> encontrar en d paralelo <strong>de</strong> 40.gs. caminando iguales diftancias , fe pregunta:Enquegr.<strong>de</strong> longitud fe encontrarán?v»e diítancia hay entre dichos lugares ? Quales {a que han navegado dichos Pilotos ? Y poiquerumbos ? Y las diferencias <strong>de</strong> longitudP'ana, y efpherica <strong>de</strong> cada uno?Bufquefe la diferencia <strong>de</strong> longitud dc dichosJ
96 Trigonometríachos lugares, y fe hallará <strong>de</strong> 2.47. quehacer»Id7« ms. tomenfe también las diferenc. <strong>de</strong> latítud,yferán1.4d. que hacen rod.m.<strong>de</strong>l prime-*ro,y 1. 36. que hacen pd.ms. <strong>de</strong>l fegundo: faquefela diferenc.<strong>de</strong> eftas dos difereiiclas,y ferá<strong>de</strong> 1 o. m. Bufquefe la media paralela entre laslatitu<strong>de</strong>s falidas , y llegada <strong>de</strong> cada Piloto, yferá la <strong>de</strong>l primero 40. 53. y la <strong>de</strong>l fegundo40. 48. y entre eftas bufquefe Otra media, queferá 40. 51. y con efta fe bufcará el apart. <strong>de</strong>merid. correfpondiente , diciendo t ComO dradio al feno 2. <strong>de</strong> la media paralela 40. 51.afsi la longitud efpherica t6j. á ló que correfpon<strong>de</strong><strong>de</strong> apartam. <strong>de</strong> merid. que ferá I2díTírefe la AB. <strong>de</strong> 12d. y <strong>de</strong> fus extremoslevantenfe las perpendiculares AG <strong>de</strong> íod.y BD. <strong>de</strong> 96. diferencias <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>s dadas, ytirefe la DC. diftancia <strong>de</strong> ambos Puertos. TomefeEC. <strong>de</strong> 10. diferencia entre ks diferencias<strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>s, y tirefe la ED. que ferá dc12tí. igual á AB. ( 3 3- P- i-) y en el triang.CED. fe tiene conocido ED. <strong>de</strong> 1 26» y CE.<strong>de</strong>10. y el an
98 Trigonometríacido el ladoCG. <strong>de</strong> 63. y 1. tere, y FG. dc101. y cl ang. CGF. recto , y fe conocerá clang. GCF. diciendo : Como cl lado CG. <strong>de</strong>63. y 1. tere, á GF. <strong>de</strong> 101. afsi el radio alatang. <strong>de</strong>l ang. GC?. <strong>de</strong> 57.58. y elang.CFG.ferá <strong>de</strong> 32. 2. Y para hallar el valor <strong>de</strong> CF,fe dirá: Como el feno <strong>de</strong>l ang.GCF.<strong>de</strong> 57-58.al lado FG. dc roí. afsi el radio á la diftancia<strong>de</strong>l 1. Piloto CF. <strong>de</strong> 119. y medio,cl qualtuvo <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. AF. <strong>de</strong> 5 5. y cl ang.<strong>de</strong>l rum. fe hallará, reftando cl angul. FCG.57. 58. <strong>de</strong>l ang. ACG. 85. 28. y drefiduo27. jo.es cl rum. que executóel 1. Piloto.Y rcfpetto dc que el triang. CFG.es igual,y femejanreal DFG. ( 4. p.i. ) porque los ladosCG. DG. fon iguales por conftruccion,y FG. es común, y los ang. en G. recios (<strong>de</strong>f»10. 1.) é ¡guales (ax. 12.) ferán lasábales CF. yDF.iguales: y los ang. <strong>de</strong>l un triang. á los ddotro. LuegoDF. valdrá 119. y medio, comoCF. y cl ang. DFG.ferá <strong>de</strong> 32. 2. como CFG.y la fuma <strong>de</strong> ambos 6 a. 4. fumada con el valordcCFA.d2.30. compl. <strong>de</strong>l rum-<strong>de</strong>l 1.Piloto,harán 12d. 34. y reftados <strong>de</strong> 180. quedarán53. 2d. por valor <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l compl-<strong>de</strong>le. PÜOto.que es BFD. (13- P-«•) y e\ ang.<strong>de</strong>lrum. ferá 36. 34. que es el ang. BDF. y ladiftancia DF. <strong>de</strong> 119. y medio. Y para conocerel apartam. <strong>de</strong> merid. BF. fe dirá: Comoel radío ¿la diftancia DF. <strong>de</strong> 119. y medio:ai si• * » < * « *Náutica. 99afsi el feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. BDF. <strong>de</strong> 36. 34.al apan\ <strong>de</strong> merid. BF.<strong>de</strong> 71. que fumado conel <strong>de</strong>l primero 5 5. hacen 12d. que era el valor<strong>de</strong> toda la AB.Bufquefe ahora la diferencia <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>fpherica correfpondiente á cada apart. <strong>de</strong>merid. diciendo: Como el feno 2. <strong>de</strong> la mediaparalela 40. 51. al radio: afsi los 5 5. ms.<strong>de</strong> apare, <strong>de</strong> merid. <strong>de</strong>l primero, y los 71. <strong>de</strong>lfegundo Piloto á la diferencia <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>fpherica <strong>de</strong>l primero 73. y á la <strong>de</strong>l fegundo94. que fumadas hacen los mifmos id7- dcdiferencia <strong>de</strong> longitud entre los dos lugares.Solamente refta faber el íitio, don<strong>de</strong> concurrierondichos Pilotos: y para fabcrlo, fefumarán los ms. <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong>l primero, quefon 1. 13. con la longitud falida 345. 12. yharán 34d. 25. y reftando la diferencia <strong>de</strong> longitud<strong>de</strong>l fegundo, que es 1. 34. <strong>de</strong> fu longitudfalida 347. 59. quedarán 34*. 25. que esdon<strong>de</strong> concurrieron en el paralelo <strong>de</strong> 40. gs.PROBLEMA VIII.Dada la diferencia <strong>de</strong> latitud,y longitud;hall»rel rumbo, apartamiento <strong>de</strong> meridiano , diftancia,y lugar <strong>de</strong> la Nao. Fig. 13.SLfponefe un lugar en 54. 38. <strong>de</strong> latitudSur.y en 358. 24. <strong>de</strong> longitud, <strong>de</strong> don<strong>de</strong>íalen dos Pilotos , gobernando por diftíntos1'G \ rum-,
!ioo Trigonometríarumbos, y quadrantes , haífa cl paralelo <strong>de</strong>,50. 48. Sur, caminando iguales diilancias,y el 1. ha <strong>de</strong> llegar á la longitud <strong>de</strong> 355. 48.Pi<strong>de</strong>fe el rumbo, la diftancia, diferencia <strong>de</strong>longitud plana, y efpherica, y el lugar <strong>de</strong> laNao <strong>de</strong>l fegundo Piloto.Bufquefe la diferencia <strong>de</strong> latitud, y fer*-3. 50. que valen 230. ms. Bufquefe tambiénla diferencia <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong>l primero , y ferá3. 3d. que valen \)6. ms. Bufquefe la mediaparalela, que ferá 5 2. 43- y half efe el apart.<strong>de</strong> merid. correfpondiente a 2. 36. que valen156. ms. diciendo : como el radio al feno2. dz 52.4:.afsi 15d. <strong>de</strong> longitud al apart.dc merid. correfpondiente 94. ms - q ue h a <strong>de</strong>tener el 1. Piloto. Y refpe&o, <strong>de</strong> que ambostienen la mifma diferencia <strong>de</strong> latitud , y han<strong>de</strong> hacer la mifma diftancia, t.miran tambiénigual apart. dc merid. Y afsi fetirará larefta CD. que reprefe..tari el paralelo dc50. 48. v fe tomará el punto G. y <strong>de</strong>ldc el fetomará a uno , y otro ¡ado las diftancias GC.y GD. cada una dc 94- ms. que reprefeuranJos do-- aparr. <strong>de</strong> merid. y <strong>de</strong>xefe caer <strong>de</strong> elpunto G. la perpendicular GF. á laCD. y <strong>de</strong>felevalor <strong>de</strong> 2?o. ms. que es la diferencia dcfettad <strong>de</strong> ambos Pilotos, y tirenfe las «¿tasDF. y CF. que reprefentaran las diftanciasiguales. Porque los triar.g. FGC. FGD- f° ncota tote iguales entre si (4. P< l> ¡ * P ar *->Náutica.'ofconocer el an{>. <strong>de</strong>l rumbo, fe dirá: Como lad : Irrncia <strong>de</strong> latitud FG. <strong>de</strong> 230. al apart. <strong>de</strong>merid. GC. ó GD. <strong>de</strong> 94- aísi el , r ° a rtang. <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rumbo CFG, o DtG. <strong>de</strong>a:. 20. Defpues fe bufcarán las diitanciasiguales, diciendo : Como el feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>lalsl cIrum. 22. 20. al apart. <strong>de</strong> merid. 94.radio á las diftancias FC. 6 FD<strong>de</strong> 2 4 9.quc caminarácada Piloto. Y para hallar cl lugardc la Nao <strong>de</strong>l 2. Piloto, fe fumará ia diferenciadc longitud 2. 36. con la longitud falida558. 24. importarán jdi.g. <strong>de</strong> quien quitando?do. gs. que contiene el circulo, queda <strong>de</strong>longitud llegada <strong>de</strong>l 2. Piloto i.gr.en el miíVmo paralelo <strong>de</strong> 50, 48. que es, &c.PROBLEMAIX.fiada la diftancia, que hicieron dos Pilotos, tidiferencia <strong>de</strong> latitud entre ellos, y la diferencia<strong>de</strong> los rumbos, hallar el rumbo <strong>de</strong> cada uno¡las diferencias <strong>de</strong> latitud, y apart.<strong>de</strong> merid. Fi». ia.DE nn Puerto falieron dos Pilotos, naVéJgando por un mifmo quad. el 1. navego'120. millas, y el fegundo 200. y el rumbointermedio fue dc 18. 38. y d 1. tuvo id. m*menos <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud, que el 2. yfe quiere faber lo propuefto cn el Problema,.Gj; i* 1 "
102 TrigonometríaTirefe la AB. y <strong>de</strong>lele valor <strong>de</strong> i20.m. yla AC. <strong>de</strong> 200. millas, diftancias dadas , y e!ang. BAC. fea <strong>de</strong> t8. 38. rumbo intermediodado. Tirefe la BC. y haciendo centro en B.con intervalo <strong>de</strong> id.m. diferencia <strong>de</strong> las diferencias<strong>de</strong> latitud, <strong>de</strong>feribafe el arco D. ypor C. fe tirará á efte arco la tang.CDE. (17.p. 3. )y laBD. al punto <strong>de</strong>l contado , queferá perpendicular á la CE. (18. p. 3.) ypor B. tirefe á la CE. la paralela BF. ( ?i• P-1.) y por A. la AF£. perpendicular á las BF.CDE. ( 12. p. 1. ) y quedarán formados lostriang. AFB. AEC. que fe pi<strong>de</strong>n, y fe refol-Verán en el modo figuiente.En el triang. ABC- fe dan conocidos loslados AB. AC. ycl ang. A. y para conocerlos otros dos ang. reftefe el ang. A. <strong>de</strong> 18o.g.y el refiduo tdr. 22. ferá fuma <strong>de</strong> ambos, yla femifuma ferá 80. 41. Sumenfe , yreften-.fe los dos lados conocidos, y ferá la»fuma320. y la diferencia 80. Digafe ahora: Comola fuma dé eftos lados 3 20. á la diferencia<strong>de</strong> ellos 80. afsi la tang. <strong>de</strong> la femifuma <strong>de</strong>los ang. opueftos 80. 41. á la tang. <strong>de</strong> la femidiferencia<strong>de</strong> dichos ang. <strong>de</strong> 5d. 4,'. 40.que fumada con la femifumadará 137.24. 40.valor <strong>de</strong>l ang. ABC. y refiada dc la mifmafemifuma, dará 23. 57. 20. valor <strong>de</strong>l ánguloBCA. y para conocer el lado BC. fe dirá:Como el feno <strong>de</strong>l ang. BCA. <strong>de</strong> 23. 57. 20.Náutica. 10:i AB. <strong>de</strong> 120. afsi cl feno dd ang. BAC <strong>de</strong>18. 38. á BC <strong>de</strong> 94. )' 2 - quintos.También en el triang. DBG fe hallan conocidoslos dos lados BC dc 94. y 2. quintos,y BD. <strong>de</strong> 16. y el ang. BCD. redo. Y para conocerel ang. BCD. fe dirá: Como la hypothenufaBC <strong>de</strong> 94. y a. quintos al radio: afsiBD.<strong>de</strong> 16. alfeno <strong>de</strong>l ang. BCD. <strong>de</strong> 9. 3-P'que fumado con el ang.BCA. 2 3. 57. 20. importará33. 34- n- v alor <strong>de</strong>l a "f'FCA *compl. <strong>de</strong>l rum. <strong>de</strong>l 2. Piloto, y ferá el rum.<strong>de</strong> 5d. 25. 47.En el triang. AEC<strong>de</strong>l 2. Piloto, fedan conocidoslos tres ang. y la diftancia, y fe hallarála diferencia <strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong> merid. diciendo: Como el radio á la diftancia 200. afsi clfeno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. y el dc comp. á la diferencia<strong>de</strong> latitud 111. y ala diferencia <strong>de</strong>meridiano id7.Últimamente, en el triang. AFB. fe conocela diftancia AB. <strong>de</strong> 120. que es la <strong>de</strong>l 1*Piloto, y cl ang. cn F. redo. Y para conocercl ang.' <strong>de</strong>l rumbo, fe reftará el ang. BAC <strong>de</strong>18. 38. <strong>de</strong>l ang. EAC <strong>de</strong> 5¿- »5- 47- y ferá37. 47. 47. y el <strong>de</strong> fu compl. fera <strong>de</strong> 52. 12.1?. y para las diferencias <strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong> me -.ridiá'.TO,fedirá: Como el radio á la diftanciaAB. <strong>de</strong> 120. afsi el feno<strong>de</strong>l rum. y el <strong>de</strong> complem.á la diferencia <strong>de</strong> latitud 95. V a la dcmeridiano 74. Y la diferencia <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong>lG 4 F»
MH -,„ «M-**-\°4 Trigonometríaprimero 95. fe diferencia <strong>de</strong> la <strong>de</strong>l fegundcjen 1 d. ms. que es, &c,PROBLEMADada la diftancia.quc hicieron dos Pilotos, quefakeron <strong>de</strong> un mifmo meridiano, hallar losrumbos , diferencias <strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong>meridiano. Fig. 15.DOs Pilotos falieton <strong>de</strong> un mifmo meridiano<strong>de</strong> diftíntos lugares -. El 1. gobernópor el 1. quadrante, y camino jd. leguasFrancefas , y encontró al 2. que venia gobernandopor el 2. quadrante. por un rumbo.quehacia ang. «redos con d , que el 1. llevaba, yfiguieron juntos por el mifmo rumbo <strong>de</strong>l 1.y caminaron 20. leguas Alemanas : y dice el*• que al fin<strong>de</strong> la cingladura fe hallo en lamifma latitud, que havia falido, y que <strong>de</strong>f<strong>de</strong>que falió, hafta encontrar al otro Piloto , hitofu diftancia en leguas Efpañolas, y pregunta, quantas fueron las diferencias <strong>de</strong> latitud,y meridiano, y los rumbos.Reduzganfe primeramente las leguai amillas, y ferán las 36. leguas Francefas 108.-millas, y las 20. Alemanas 80. Tirefe la AB.<strong>de</strong> io8.ms. y prolonguefe hafta C v fea BC<strong>de</strong> 80. ms. y toda la ABC <strong>de</strong> 188. ms. por B.leyautefela perpendicular BE. á la AC ( mXNáutica. 105"p. r.) Dividafe AC por medio cn D. { 1 o. p.-1. ) y haciendo centro en D. con la diftanciaDA. <strong>de</strong>feribafe el femicireulo AEC que cortaráá la perpendicular en E. y tirenfe lasredas AE. CE. que formarán el ang. AECredo (31. p. 3.) y reprefentará AE. el merid.,<strong>de</strong> don<strong>de</strong> Calieron los Pilotos, AC. la diftancia<strong>de</strong>l i.yEC la diferencia dc merid. y dang. EAC el <strong>de</strong>l rum. <strong>de</strong>l 1. y el ang. AEB.etrum. <strong>de</strong>l 2. hafta que encontró al 1. EB. ladiftancia , que navegó cn leguas Efpañolas..Y porque <strong>de</strong>fpues figuió , caminando con elí. hafta llegar áC que tiene la mifma latitud,que E. <strong>de</strong> don<strong>de</strong> falió, EC. ferá un parale!oála Equinocial, y la diftancia direda,que ha caminado, y juntamente la difereuciadc merid. Para farisfacer á la propuefta , feufará <strong>de</strong> la Propof. 8.<strong>de</strong>l d.cn que en cl triang.,ÁEC la EB. es media proporcional entre losfegmentos AB. BC y pata conocer fu valor,fe multiplicará AB. 1O8. porBC 80. y <strong>de</strong>lprodudo 8d40. fe facará la raiz quadrada,que ferá 93. ms, que hacen 27. leguas Efpañolas,que vale la EB. diftancia <strong>de</strong>l fegundoPiloto, hafta encontrar al primero.Y porque los triang. AEB. AEC. y CEB.fon femejantes ( 8. p.d.) y el lado AE.es mcu'oproporcional entre ÁC y AB. fe multiplicaráAC 188. por AB. 108. y <strong>de</strong>l producto30^04. fe íacará la raiz, quadrada, queferá
Iíod Trigonometríaferá 143. que ferán ms. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud<strong>de</strong>l 1. Piloto. Y porque por la mifma razónEC. es media proporcional entre CA. yCB. fi fe multiplicare CA. 188. por CB. 80. y<strong>de</strong> fu produdo 15040. fe faca la raiz quadrada,ferá 123. que ferán min. <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid.dc ambos, y diftancia direda <strong>de</strong>l fegundoPiloto. Y para hallar los rumbos fe dirá:Como AB. <strong>de</strong> 108. á BE. <strong>de</strong> 93. afsi el radioá la tang. <strong>de</strong>l ang. BAE.rum. <strong>de</strong>l primero, queferá <strong>de</strong> 40. 44. y fu compl. al quadr. &9. id.valor <strong>de</strong>l ang. AEB. feráel rum. <strong>de</strong>l fegundo,hafta concurrir con el primero.PROBLEMA XI.Dada la diftancia <strong>de</strong> un Piloto, y el rum. <strong>de</strong>otro, que camino la mifma diftanc'a, que baviaentre los dos Puertos, <strong>de</strong> don<strong>de</strong>folieron, que eftabanen un mifmo meridiano, conocer el rumbo<strong>de</strong>l 1. la diftancia <strong>de</strong>l 2. que es igual d la <strong>de</strong>los dos Puertos,¡as diferencias <strong>de</strong> latitud,y apartamiento <strong>de</strong> meridiano.Fig. 8.E N cl cafo propuefto el 1. Piloto navegó1 oo.m. por el 4. quadrante, don<strong>de</strong> encontróal 2. que navegaba por el mifmo cuadrantepor el ang. <strong>de</strong> 70. g. y havia navejiadotanta diftancia, como la que havia entrelos dos Puertos , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> falieron,y fe q L " c "reNáutica.^ --07re faber lo propuefto. Tirefe la BDA. quereprefenta el merid. dc don<strong>de</strong> falieron dichosPilotos, y fea B. el Puerto <strong>de</strong>l 1. y D. el <strong>de</strong>l 2.y tirefe la DC igual á BD. <strong>de</strong> fuerte, que hagael ang. ADC <strong>de</strong> 70. g. rum. <strong>de</strong>l 2. y tirefela CA. perpendicular á la BDA. que teprefentaráel apart. <strong>de</strong> merid. y la BC. ferala diftancia <strong>de</strong>l i.<strong>de</strong> 100. m. Y porque elang. externo ADC es igual á los dos internosB. y BCD. opueftos (32. p.1.) y eftos foniguales( 5. p. 1. ) luego cada uno valdrá 35.g. v ferá el ang.B. el rum. <strong>de</strong>l i. Piloto, y elang. BDC vale 110. g. (13. p- *• )Luego feconocerá el lado BD- ó DC diciendo : Comoel feno <strong>de</strong>l ang. BDC <strong>de</strong> 110. g. al ladoopuefto BC <strong>de</strong> 100. afsi cl íeno <strong>de</strong>l ang. B.<strong>de</strong> 35. á fu lado opuefto DC <strong>de</strong> di. diftancia<strong>de</strong>l 2. y la mifma diftancia havrá entre losdos Puertos B. y D. Defpues fe conocerá laDA. diciendo: Como el radio á la diftancia<strong>de</strong>l 2. Piloto DC <strong>de</strong> di. afsi el feno <strong>de</strong>l ang.DCA. <strong>de</strong> 20. g. ala diferencia <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong>li. DA. dc 21. m. que fumados con BD. di.diftancia <strong>de</strong> los Puertos , hacen 82. que valeBA. diferencia dc latitud <strong>de</strong>l 1. Y para conocerel apart. <strong>de</strong> merid. <strong>de</strong> ambos, que cs AC.fe dirá: Como cl radio á la diftancia DC afsiel feno <strong>de</strong>l rum. <strong>de</strong>l 2. CDA. <strong>de</strong> 70.g. a la diferenciadc merid. AC <strong>de</strong> 57- m * y q ucdar *trfuelt -PRO-
"•«•a*!»''i oíTrigonometría 7*¿ PROBLEMA XIT.ZMfo */ ángulo intermedio entre dos rumbos^que hicieron dos Pilotos , que falieron <strong>de</strong> unPuerto a otros dos Puertos, y la diftancia entre•tilos, y el excejfo <strong>de</strong> las diftancias. que caminaron, hallar quitas millas caminó,cada uno <strong>de</strong> ellos.Fig. rd.DEiin Puerto falieron dos Pilotos por diftíntosrum. y el ang. contenido entreellos era <strong>de</strong> 43,g. y llegaron á otros dosPuertos,qucdiñaba uno <strong>de</strong> otro ioo.milIas;peroel«n Piloto camino mas que el otro id.millas,y íe pi<strong>de</strong> a refolucion <strong>de</strong> lo propuefto.1 irele la reda AB.y fobre ella en A. fórmeleelang.BAD.<strong>de</strong> 48.g,que esel rum.intcrme.dio, y tomefe AD. igual á AB. y tirefe lalu'J 1 uedará armado cl triang. YfocelesA»D. cuyos ang. fobre la bafe DB. fon ¡guajes( J.p. i. ) y porque ambos valen 132. g.tCJ 2. p. 1.) luego cada uno valdrá dd.g. Alar-¿nicle Ja AB. hacia C. y tomefe BC <strong>de</strong> id,exceflo <strong>de</strong> las diftancias.y tirefe la DC que vale100. millas, diftancia dc los dos Puerros,don<strong>de</strong> llegaron , que fon D. y C y el Puerto,<strong>de</strong> don<strong>de</strong> falieron, ferá A. y AD. la diftamtía <strong>de</strong>l uno, y AC. la <strong>de</strong>l otro, que navegó id,millas mas.En cl triang. DBG fe tienen conoc'doelosNáutica. 109los lados DO. <strong>de</strong> 100. y BC <strong>de</strong> i¿. y el ang.DBC dc 1 i4.g. porque eftá conocido el ang*ABD. <strong>de</strong> 56.(13. p. 1.) y para conocer el ang..CDB. fe dirá : Como el lado DC <strong>de</strong> 100. alfeno <strong>de</strong>l ang. DBC.<strong>de</strong> 1 i4-g. afsi el lado BC.<strong>de</strong> 1
no Trigonometríafegundo porcl<strong>de</strong>d2. 12. <strong>de</strong>l fegundo quadrante, y fumadas eftas diftancias , que hicieron,con la que havia enttc los Puertos,<strong>de</strong> don<strong>de</strong> falieron, importan 300. millas, yfe preten<strong>de</strong> faber lo propuefto en el Probl.Tirefe la AB.que reprefenta el meridiano,<strong>de</strong> don<strong>de</strong> falieron, y fea A. cl Puerto <strong>de</strong>l 2. yB. el <strong>de</strong>l 1. y con la AB. en A. hagafe el ang.BAC. <strong>de</strong> d2. i?, y con la mifma AB. en B.hagafe cl ang. ABC. <strong>de</strong> 74. 20. que fon losrumbos dados , y ferá el punto C el Puerto,don<strong>de</strong> concurrieron ambos Pilotos. Alarguefela AB. hazia D. y E. y tomenfe BE. igualá BC: y AD. igual á AC. y tirenfe las rectasEC. DC. y fea toda la DE. <strong>de</strong> 3oo.niillas,que importan las tres diftancias : AB. la <strong>de</strong>los dos Puertos <strong>de</strong> la falida, BE. la <strong>de</strong>l 1.Piloto, y AD. la <strong>de</strong>l 2. y quedarán formadostres triang. cuyos ang. fe conocerán (3 2.p. 1.) Porque en el triang. ABC. con el conocimiento<strong>de</strong> los ang. A. <strong>de</strong> 52. 12. y B. <strong>de</strong>74. 20. hacen 136. 32. y el compl. á dos rectos43. 28. es valor <strong>de</strong>l ang. ACB.También en el triang. EBC Yfoceles porconftruccion, ferán los ang. en E. y C iguales( 5. p. 1.) y por fer iguales al ang. externoABC. <strong>de</strong> 74. 20. ( 32, p. 1. ) valdrá c . adauno 37. 10. Por la mifma razón en el triungul.DAD. los ang. en D. y C vale cada unoJi. d. También el ang. EBC vale 105- 4 o -(-3-Náutica. 111(13. p. 1.) y el DAC. 117. 48. También fumandolos tres ang. parciales en C que fon43. 28. con 37. 10. y 31. d. hacen 111.44.valor <strong>de</strong>l ángulo total DCE.Y porque en efte triang. DCE. fe tienenconocidos los tres ang. y el lado DE. <strong>de</strong> 300.millas , fe hallará el lado EC- diciendo : Comocl feno <strong>de</strong>l ang. DCE. <strong>de</strong> 111. 44. al ladoDE. <strong>de</strong> 300. millas : afsi el feno <strong>de</strong>l ang.D. <strong>de</strong> 31. d. al lado EC <strong>de</strong> 1 d7. Y para DCfe dirá: Como el leño <strong>de</strong>l ang. DCE. <strong>de</strong> 111.44.a! lado DE. <strong>de</strong> 300.afsi el feno<strong>de</strong>l ang. E-dc 37. 10. al lado DC <strong>de</strong> 195-Luego fe refolverá el triang. EBC en quefe conocen todos tres ang. y el lado EC Y paraconocer los otros lados , fe dirá: Como elfeno <strong>de</strong>l ang. EBC. <strong>de</strong> 105. 40. al lado EC.<strong>de</strong> 167. afsi el feno <strong>de</strong>l ang. E. <strong>de</strong> 37. 10. allado BC. <strong>de</strong> 104. diftancia <strong>de</strong>l 1. que es igualáBE.Defpues fe rofolverá el triang. DAC enque quedan conocidos los tres ang. y el ladoDC. <strong>de</strong> que refulcará conocer los otroslados, diciendo: Como el feno <strong>de</strong>l ang. DAC<strong>de</strong> 117. 48. al lado DC <strong>de</strong> 195. afsi el feno<strong>de</strong>l ang. D. <strong>de</strong> 31. 6. al lado AC. <strong>de</strong> 114. diftancia<strong>de</strong>l 2. Piloto, igual á DA. Y fumadaseftas dos diftancias, hacen 218. que redadas<strong>de</strong> las 300. millas dadas, quedan 81. que cs ladiftancía,quc tcnian los Puertos, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> f a _lie-
T12 TrigonometríaJieron , la que fe hallará también , rcfolviéiT»do el triang. ABC y quedará el Problema re*fuelto.PROBLEMA Xrv\Dada la diftancia, que hicieron dos Pilotos, quefalieron<strong>de</strong> un mifmo Puerto,por un mifmo qua«drante, y llegaron d la Equinocial, y ¡a difieren--cia <strong>de</strong> longitud entre ellos , hallar el rumbé<strong>de</strong> cada uno, la diferencia <strong>de</strong> longitud,y latitud. Fig. 8.DOS Pilotos falieron <strong>de</strong> un mifmo Pucr*to, gobernando en el 3. quadrante pordiverfos rumbos , y llegaron á la Equinocial,<strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> haver navegado el primero 185..ms. y el fegundo d5. y tenían entre si <strong>de</strong> diferencia<strong>de</strong> longitud 150. im y fe preten<strong>de</strong> fa*ber, lo que propone el Problema.Sea el punto C. el Puerto <strong>de</strong> don<strong>de</strong> falierondichos Pilotos: tirefe la reda CB. dc 185.m. diftancia <strong>de</strong>l 1. y la BD. que reprefenta láEquinocial 150. diferencia <strong>de</strong> longitud entreambos Pilotos , y tirefe laCD. <strong>de</strong> 65. diftancia<strong>de</strong>l 2. y por C tirefe la CA. perpendicularfobre la BD- alargada hafta A. y fe-J»la CA. diferencia <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong> ambos: laBA.,diferencia <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong>l 1. y la DA. <strong>de</strong>l *«el ángulo BCA. rumbo <strong>de</strong>l 1. y cl DCA. <strong>de</strong>l2. Y aunque fe pue<strong>de</strong>n conocer por la re "giaNáutica.ti$gia 3. fe refolverá por la Propoficion 12. <strong>de</strong>!2. <strong>de</strong> Eucii<strong>de</strong>s en el modo figuiente.El quadr. <strong>de</strong> BC opuelto al ang. obtufoBDC es mayor , que los quadrados <strong>de</strong> BD»,y DC juntos, que forman el ang.obtufo, dosveces el redang. contenido <strong>de</strong> BD. por DA.Para conocer el lado DA. fe quedarán todoslos tres lados conocidos,y ferá el quadrado<strong>de</strong> CB. 34225. el <strong>de</strong> BD. 22500. y el <strong>de</strong>CD. 4225. y la íuma <strong>de</strong> ellos dos últimos36725. reliada <strong>de</strong>l quadrado <strong>de</strong> BC. 34225.dará el refiduo 7 5 00. valor <strong>de</strong> los dos redang.y fu mitad 3750. leía el valor <strong>de</strong>l redang. <strong>de</strong>BD.por DA.y partiendo $7SQ,e_ntreBD. 150*vendrá al tociente 25. por valor <strong>de</strong> AD. y ladiferencia <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong>l fegundo , la qualfumada con BD. 150. importa 175. diferen-.cia <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong>l primero.. Bufquefe el valor <strong>de</strong> CA. por la 47. p. 1 .reftandoel quadrado <strong>de</strong> DA.25.que es d2 5.<strong>de</strong>lquadrado <strong>de</strong> CD.42 2 5. y <strong>de</strong>l refiduo 3doo. faquefela raiz quadrada,que ferá do. diferencia<strong>de</strong> latitud <strong>de</strong> ambos Pilotos. Y para hallar clrum. <strong>de</strong>l primero, fe dirá en el triang. BCA.¡Como diado BC <strong>de</strong> 185. al radio : afsi ellado BA. <strong>de</strong> 17 5. al feno <strong>de</strong>l rum.<strong>de</strong>l primeroBCA. <strong>de</strong> 7 1. 4. Y para hallar el <strong>de</strong>l fegundocn el triang. DCA. fe dita: Como el lado Ddd5. al radio: afsi el lado DA.<strong>de</strong> 25.a! feno <strong>de</strong>lrum.<strong>de</strong>l fegundo DCA.<strong>de</strong> 22.37.que es,&c,.tí». H PRO*
.-'..'.-IÍI4TrigonometríaPROBLEMAXV.Dadas las diftancias, que navegaron dos Pilo*tos,que falieron <strong>de</strong> un mifmo Puerto, y por diftíntosquadr antes, y llegaron a la Equinocial,y dada la diferencia <strong>de</strong> longitud entre ellos, hallarlos rumbos, y diferencias <strong>de</strong> longitud,y latitud <strong>de</strong> cada uno.Fig. 18.DOS Pilotos falieron <strong>de</strong> un mifmo Puer*-to P. y llegaron á la Equinocial, que fereprefentará por OQ^ caminando el 1. por el¡3. quadrante do. millas, que fe fupone PQ^yel 2. por el 2. quadrante 73. millas, que valePO. y faben , que la diferencia <strong>de</strong> longitud,¡que tenían entre si, era OQ^que vale 9 - -m. y,quieren faber lo propuefto en el Problema.Efte Problema fe refolverá por la 13 • prop.<strong>de</strong>l 2. <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s, orando la perpendicularPR. á la OQL Y porque el quadrado <strong>de</strong> laPQt. opuefto al ángulo agudo O. es menor,que los quadrados <strong>de</strong> lasPO. y QO. que formandicho ang. dos veces el redang. contenido<strong>de</strong> QO. por OR. fe quadrarán todos treslados , y ferá el quadrado <strong>de</strong> PO. 5329.7 &<strong>de</strong> QO.8 281 .que fumados importaran 13*10.<strong>de</strong> quien reftando ti quadrado <strong>de</strong> PQs. 3 6oo jquedarán 1001 o. valor <strong>de</strong> dichos dos redang.cuya mitad 5005. ferá valor <strong>de</strong>l un redang-Náutica.- 115<strong>de</strong> QO.porOR v y partiendo 5005. entre OO.91. vendrá al tociente 55. valor <strong>de</strong> OR. diferencia<strong>de</strong> longitud <strong>de</strong>l 2. Piloto. Y reftandoellos 5 5. <strong>de</strong> 91..que vale QO. quedan 36. valpr<strong>de</strong> QR.. diferencia <strong>de</strong> longit. <strong>de</strong>l primero.Defpues fe bufcará por la 47. p. <strong>de</strong>l 1. elvalor <strong>de</strong> PR. diferencia <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong> ambosPilotos, quadtando OR. 5 5. y feráfu quadrado3025. que reliado <strong>de</strong>l quadVá'do <strong>de</strong> PO.53 29. dará el refiduo 2304. quadrado <strong>de</strong> PR.cuya raiz quadrada 48. dará el valor <strong>de</strong> laPlí. diferencia <strong>de</strong> latitud.Para conocer el rumbo <strong>de</strong>l 1. fe dirá : ComoPQ¡_do.diftancia <strong>de</strong>l 1. al radió: aisiQR..diferencia <strong>de</strong> longitud, que es i6. al feno <strong>de</strong>fu rumbo QPR. dé 36. 52. Y para el <strong>de</strong>l *..fe dirá: Como PO: <strong>de</strong> 7?. diftamia <strong>de</strong>l 2. alradio : afsi OR. 55. diferencia <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong>cl 2. á fu rumbo OPR. <strong>de</strong> 48. 54. que es loque fe pretendía. •PROBLEMA XVI.Dada la diferencia <strong>de</strong> latitud, y el rumbo , quehicieron tres Pilotos, que falieron <strong>de</strong> un mifmoPuerto, hallar las dift andas navegadas, y lasque tienen entre si, y los lugares <strong>de</strong>¡as Naos. Fig. 18.EStá un Puerto que es P. en latitud <strong>de</strong> 1.2. Norte , y en longitud <strong>de</strong> 327. 32. dcdon<strong>de</strong> falieron tres Pilotos , navegando porjrUdi-
id Trigonometríadiverfos rumbos, hafta que llegaron á la latitud<strong>de</strong> 3. iS. Sur , que reprefenta QO. el 1..augmentó long. el 2. diminuyó, y el 3. niaugmentó, ni diminuyó ; pero el ang. ínter-,medio <strong>de</strong>l r. al 3- era dc 5 2. g. que reprefentaOPR. y el ang. intermedio <strong>de</strong>l 2. al 3. eradc 40.gs.que fe reprefenta en QPR. Pí<strong>de</strong>le loque fe propone en ti Problema.Refpedo <strong>de</strong> que el i- Piloto augmentólong. y pafsó <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el emifpherio dd Norteal <strong>de</strong>l Sur, navegó por el 2. quadrante , yferáPO. fu diftancia. Y también el 2. dirarnuyólong.y pafsó <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el emifpherio <strong>de</strong>lNorte al Sur, y por efto navegaría en el 3.quadrante, y feráPQ^fu diftancia.^ Y porqueel 3. Piloto no augmentó , ni diminuyó lorrgítud,caminaría por un meridiano , que feraPR. y juntamente fu diftancia, que tambiénferá perpendicular á QO. y quedarán formadosdos triang. redang-Y para conocer la PR. diftancia <strong>de</strong>l 3. Piloto, y diferencia <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong> todos tres, fefumará la laritud falida 1. 2. con la llegada3. 18. y harán 4.20. que correfpon<strong>de</strong>n á 260.m. Y en el triang. OPR. fe tendrán conocidosPR. <strong>de</strong> 2do. el ang. en R. redo, el OPR.<strong>de</strong> 5 2.g. y el O.<strong>de</strong> ¿8.g. Y para conocer OP.diftancia <strong>de</strong>l 1. fe dirá : Como cl feno <strong>de</strong> O.38. g. á PR. <strong>de</strong> 2do. afsi el radio á PO. Be42;. Y para conocer RO- diferencia <strong>de</strong> longitud• Náutica. ( 117hid <strong>de</strong>l 1.fe dírá: Como el radio á la diftanciaPO. <strong>de</strong> 42 2. afsi el feno <strong>de</strong>l rum. 5 2.g. á RO.diferencia <strong>de</strong> long. y diftancia <strong>de</strong>l 1. al 3. <strong>de</strong>Defpues en el triang. QPR. fe tiene conocidoPR.<strong>de</strong> 2do.cl ang. cn R. redo, el QPR.<strong>de</strong> 40.g. y el Q^<strong>de</strong> 5 o. grs. Y para conocer elladoPQ^diftanc-a <strong>de</strong>l 2. fe dirá: Como el feno<strong>de</strong>l ang.PQR.<strong>de</strong> 5P-g.al lado RP.<strong>de</strong> 2do.afsi el radio á la diftancia PQ^<strong>de</strong> 3Í9. Y parael lado QR. diferencia <strong>de</strong> long. <strong>de</strong>l 2. fe dirá:Como cl radio ala diftancia PQ^<strong>de</strong>l 2. afsi elfeno <strong>de</strong>l rumb. 40. g. á la diferencia <strong>de</strong> long.QR. <strong>de</strong> 218. que es la diftancia <strong>de</strong>l 2. al 3. Yla <strong>de</strong>l 2. al i- ferá la fuma délas 2. diftanciasintermedias RO. y QR. que es OQ^<strong>de</strong> 55 r.Y refpedo <strong>de</strong> qué el 1. Piloto augmentólong. y tuvo <strong>de</strong> diferencia 33?. m. que hacen5-g. y ? ?.m. fumados con la long.falida 327.32. hacen ? 53. g. y 5* ni. <strong>de</strong> long. llegada enel para'clo <strong>de</strong> 3. i S. lugar <strong>de</strong> la Nao <strong>de</strong>l 1. Piloto.Y porque el 2. diminuyó, y tuvo <strong>de</strong> diferencia218. m. que hacen 5. 38. fi fe reliandc la long. falida 527. 32. quedan 323. 54..lugar <strong>de</strong> la Nao <strong>de</strong>l 2. en dicho paralelo <strong>de</strong> 3.,18. Y por que el 3. no augmentó , ni diminuyó, ferá cl lugar <strong>de</strong> fu Nao jajr. 32.en cl mifmo pán<strong>de</strong>lo, que es, lo quefe havia <strong>de</strong> bufcar.HjPAR-
*iffTrigonometríaPARTE II.DE LAS CORRIENTES.TAutos fon los acci<strong>de</strong>ntes, e inconí iftancias,que fe le experimentan en la Na-cías,J- vegacion, y tanto el cuidado , y <strong>de</strong>fvelo,que<strong>de</strong>be tener el diedro Piloto, paracumplir evadamente con fu obligación , y llegarcon felicidad al Puerto <strong>de</strong>feado , que, parafolamente referirlas, fe necefsita gaftar muchotiempo ; y aunque en la parte antece<strong>de</strong>ntequeda explicado el modo , que <strong>de</strong>beobfervar,para echar fielmentefu punto, fe neceffitaadvertir , que , quando huvicre halladola longitud plana , <strong>de</strong>be profeguir, y bufcarla longitud efpherica correfpondiente, y cl lugar<strong>de</strong> la Nao ; pero antes necefsita corregirfu fantasía con la obfervacion , v rumbo,fi navegó por cl Norte—Sur i. ó 2. nimbo.O <strong>de</strong>be corregir cl rumbo con la obfervacion, y diftancia, fi navegó por el d. 7. 8.rumbo. O finalmente <strong>de</strong>be corregir la fantasía, y rumbo , con la obfervacion ,' fihizola Navegación por el 3. 4. ó 5. rumbo, <strong>de</strong>lmodo, y con las circunftancias, que quedanpuef-1Nautica»nppueftas en el Tratado <strong>de</strong> Navegación.-Defpues <strong>de</strong>be corregir el rum.<strong>de</strong> la varia*tion, que tuviere la aguja: y dc cl abatimiento<strong>de</strong>l Navio, caufado por los Vientos: fiacafohuviere navegado , fin dar efte refguardo:ó <strong>de</strong>be dar antes efte refguardo , y con eftopodrá hacer fu Navegación diredamente allugar , que <strong>de</strong>fea: Como también queda notadoen dicho Tratado dc Navegación. Y también<strong>de</strong>be el Piloto , xclofo dd cumpiimiemtodc fu empleo, tener conocimiento <strong>de</strong> lasCorrientes , y faber , lo que aparta al Navio<strong>de</strong>l rum. á que lleva la proa ; ó yá^ fea porquela prádica fe lo ha monftrado, ó porque lohalle , mediante la obfervacion , diftancia, yrum. corregido : paralo que fervirán los capítulosfiguientes. En don<strong>de</strong> fe propondráprimeramente , lo que hacen variar el rum*las Corrientes, quando fe tiene conocimiento<strong>de</strong> ellas : y <strong>de</strong>fpues feexplicará el modo <strong>de</strong> co -nocer con la obfervacion, rum. y diftancia,que cantidad fea, la que hacen variar dichasCorrientes el curfo, que lleva la Nao.CAPITULO PRIMERO.»t)e el modo <strong>de</strong> conocer la diftancia verda<strong>de</strong>ra,y el rumbo variado por las corrientes,fabiendo quantasfean.LAS corrientes pue<strong>de</strong>n confi<strong>de</strong>rarfe en i
WWTrigonometríajotras en contra <strong>de</strong> dicho víaie : y otras íntetJ.medias , que ni fon en favor, ni ¿n contra.Quando la corriente es en favor <strong>de</strong>l viajeque hace la Nao , ferá tanto mayor la diftancia, quanta fuere la corriente, v. g. 'Camina*'ba una Nao por el Nor<strong>de</strong>fte 8o. míllas,la corrienteiba también para el Nor<strong>de</strong>fte al mifmotiempo , y era <strong>de</strong> 20. millas : y porque lacorriente es en favor <strong>de</strong>l viaje ; ferá la diftancianavegada 100. millas.Orando fuere la corriente en contra <strong>de</strong>lcurfo <strong>de</strong> la Nao, quanta fuere la corriente,ranta fera menor la diftancia navegada. V. g.En el mifmo exemplo , en que el Navio navegopara el Nor<strong>de</strong>fte, fegun la fantasía, So. millas, era la corriente <strong>de</strong>l Nor<strong>de</strong>fte para el Sudoeffe<strong>de</strong> 20. millas : y porque la corriente5 s ? n . co "^' a <strong>de</strong> cl ri,ni « que executa la Nao,lera la diftancia navegada dc do. millas.. Pero ñ la corriente es intermedia, queViene por el coftado <strong>de</strong> el Navio, por loque fe pue<strong>de</strong> llamar corriente lateral, que noes directamente en pro, ni ert contra <strong>de</strong> elViaje <strong>de</strong> la Nao , fe conocerá c! rumbo variado,y diftancia verda<strong>de</strong>ra por medio<strong>de</strong> los Problemasfiguientes.PRO-Nautica.I2Í,PROBLEMA PRIMERO.Dada la diftancia <strong>de</strong> fantasía, el rumbo nave*.gado , y el curfo <strong>de</strong> la corriente , conocer el •rumbo variado, y diftancia verda-<strong>de</strong>ra.ftg.i9-NAvegó un Piloto por el Oeftc So.mdlas,fegun fu fantasía, y al mifmo tiempocaminaba la corriente parad Norte .jo. millas: pi<strong>de</strong>fe lo propuefto en el Problema.Formefe elquad. ABC. que fera el quarto<strong>de</strong> la Rofa Náutica: por fer el rum. navegadoel Oefte, don<strong>de</strong> C reprefenta el lugar,en que fe comenzó la <strong>de</strong>rrota, BC reprefentael Norte: y CA. d Oefte. Tomefe CD. <strong>de</strong>80. millas, diftancia navegada, y por D. I»vantefe la perpendicular DE. á la AC o tirefeparalela ala CB. que reprefentaráel curfo<strong>de</strong> la corriente, y tomefe en ella DE. <strong>de</strong> 30.;millas , valor <strong>de</strong> la corriente, y tirefe dcl<strong>de</strong>Cpor E. la reda CEF. que reprefentará el rumvariado, cuyo valor es el ang. bU\ y la diltanciaverda<strong>de</strong>ra ferá la CE. y para conocerla, fe refolverá el triang. CED. cn que fe tieneconocido cl ang. EDC redo ( 2 9 .p. 1.) ellado CD. <strong>de</strong> 80. y el DE. <strong>de</strong> 30. y para contfcerel ang. ECD. fe dirá -.Como CD. <strong>de</strong> boaDE.<strong>de</strong> 3o.afsi el radío á latang.<strong>de</strong>l ang.ECD.<strong>de</strong> 2o.g. y 33. m. Y para conocer la diftancia' CE. fe dirá: Como cl feno <strong>de</strong>l ang. ECD. 20.g-
12 * Trigonometríag. y 33. m. al lado ED. <strong>de</strong> 30. afsi el radío ála diftancia EC <strong>de</strong> Í6. millas.. Defpues fe tirará por cl punto E. la EG.paralela á la DC. y quedará el triang. CCE.cn que CG. reprefentará la diferencia <strong>de</strong> latitud,que ferá <strong>de</strong> JO. ms. por fer igual á ED.(34. p. 1.) y la EG. reprefentará el apart. <strong>de</strong>merid. que ferá <strong>de</strong> 80. ms. por fer igual á laDC. y la CE. reprefenta la diftancia, comoantes, que es <strong>de</strong> 8d. y ang. ECG. es el <strong>de</strong>lrum.que ferád
124 TrigonometríaDefpues fe tirará por H. la HK. perpendiculará la AC y formará el triang. BHK,en que fetiene conocido los tres ang. y la diftanciaBH. y para conocer el apart. dc merid»HK. y la diferencia dc latitud BK. fe dirá:Como el radio á la diftancia BH. <strong>de</strong> 82. afsicl feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l-rum. 5?.g. y 2. m. y afsicl feno <strong>de</strong>l compl. 30. 58. á la diferencia <strong>de</strong>merid* HK. <strong>de</strong> 70. y á la diferencia <strong>de</strong> latitudBK. <strong>de</strong> 42.Y bufeando la latitud llegada,y lamedia paralela , fe bufcará <strong>de</strong>fpues la longitu<strong>de</strong>fpherica, y el lugar <strong>de</strong> la Nao.PROBLEMAIII.Dada la diftancia <strong>de</strong>fantaiia<strong>de</strong> 80. millas alSurfiudoefie al mifmo tiempo , que la corrienteiba al Ñor oefte 2 5. millas, pi<strong>de</strong> fe el rumbovariado, y diftancia verda<strong>de</strong>ra.Fig. 21.FOrmenfe los dos quadrantes 3. y 4. <strong>de</strong> h»Rofa Náutica , como parece en la Figura,y tirefe <strong>de</strong>l punto D.la DE.que es el rum.<strong>de</strong> fantasía , y 2, eii el 3. quadrante : y tíreletambién DF. 4.. rum. en el 4. quadrante, queese!curfo <strong>de</strong> la corriente', y en laDS- ruig.<strong>de</strong> fantasía , tomefe la DG. <strong>de</strong> 8o. rmtlas , yporG. tirefe la GH. paralela ala DF. y tomefeen ella GH. <strong>de</strong> a $. millas, y por D. y ""tire-Nautica. 12 51tirefe la DHK. que reprefentará el rum. variado,cuyo valor es el ang. CDK. y la diñan*cia variada ferá la DH. Y para conocerla, ferefolverá el triang. DGH. en fe que tienenconocidos los 2. lados DG. <strong>de</strong> 80. y GH. <strong>de</strong>25. y el ang. DGH. (2p.p. 1.) porque el ang.:FDB.es <strong>de</strong> 45-gs.y el DBE-. <strong>de</strong> d7.gs.y 30.n1..luego cl ang. FDE. valdrá 11 i.g.y 3 o. mv luegoel HGD. valdrá 6-i. gs. y 30. ms.Y para conocer los otros ang.fe dirá: Comola fuma <strong>de</strong> los dos lados DG. y GH.<strong>de</strong>105. á la diferencia <strong>de</strong> ellos 5 5- afsi la tang.,<strong>de</strong> la femifuma<strong>de</strong> los ang. opueftos %6. 15*á la tang. <strong>de</strong> la femidiferenciadc los mifmosang. que es <strong>de</strong> 38. gs. y 3- ms - °. Lie mmadacon la femifuma 5d. y 15* importan 94. gs. yj8.ms. valor <strong>de</strong>l ang. DHG. y reliada <strong>de</strong> lamifma femifumafaldrá iS.gs.y 12. ms. valor<strong>de</strong>!ángulo-HDG.iAhora fe hallará la diftancia,diciendo:Comoel feno <strong>de</strong>l angul.HDG.<strong>de</strong> 18-gs.y 12.minut.á fu lado opuefto GH.<strong>de</strong> 25. afsi d feno<strong>de</strong>l ang. DGH.<strong>de</strong> d7.gs.y ?o.ms. á la diftanciaDH.<strong>de</strong> 74.Defpucs fe tirará la HL. perpendiculará la AC. y fe formará cl triang. DilL.cn que fe tienen conocidos los 3.ang. El ang.L. redo por la conftruccion , y el HDL. dc40.gs.y42.msi valor <strong>de</strong> los 2. ang. HDL. <strong>de</strong>18.gs.v12.ms.yelGDL.<strong>de</strong>22.gs.30.ms.ydang. DHL.<strong>de</strong> 4?.y 18. compl* al quadrante.
iad Trigonometría.' Y para hallar cl apart.<strong>de</strong> merid. y diferencia<strong>de</strong> latitud, fe dirá: Como el radio á la diftanciaHD. <strong>de</strong> 74. afsi el feno <strong>de</strong>l ang. HDL.<strong>de</strong> 40. y 42. ala diferencia <strong>de</strong> merid. HL. <strong>de</strong>48. Y como el radio á la diftancia FlD.<strong>de</strong> 74.afsi cl feno <strong>de</strong>l ang. DHL. <strong>de</strong> 40. y 18. aladiferencia <strong>de</strong> latitud DL. <strong>de</strong> 56. y bufeando<strong>de</strong>fpues la longitud efpherica , íe hallara ellugar <strong>de</strong> la Nao.PROBLEMAIV.Dado el rumbo <strong>de</strong> fantasía Oesfudoefte, y ¡adiftancia 80. millas en el tiempo , que la Corrientecaminaba para el Surfudocfte 30. minlias, bailar el rumbo variado, y diftanciaverda<strong>de</strong>ra. Fig. 22. .FOrmefe el quadrante ABC que es el 3.<strong>de</strong>la Rofa Náutica , en que fe halla el rum-"bo <strong>de</strong> fantasía,'}' el curfo <strong>de</strong> la corriente: el ureprefentado en AD. y el 2. en AE. Tomefeen A.D. la AF. <strong>de</strong> 80. millas, diftancia <strong>de</strong> lafantasía, y porF. tirefe la FG. paralela á laAE. y tómele FG. <strong>de</strong> 30. millas , valor <strong>de</strong> lacorriente : y por A. y G. tirefe AG. que ferael rumbo variado , y f« valor CAG. y la AO.ferá la diftancia verda<strong>de</strong>ra. Y para conoceruno, y otro, fe refolverá el triang. AFG. enque fe tienen conocidos los lados At. <strong>de</strong> 00.y EG. <strong>de</strong> 30. y el ang. AFG. <strong>de</strong> 13 !-&• l or 'Nautica.'I27que el ang.DAE.es <strong>de</strong> 45 -gs. pues fi <strong>de</strong> el ang*redo BAC fe quita el BAD. <strong>de</strong> 22. y 30. porun lado, y CAE.<strong>de</strong> 2 2.y 30.por otro: luego elang. DÁE. valdrá 45. pero cl ang. DFG. esigual al DAE. (29. p. 1.) luego también valdrá45.g. y elAFG. 135.grados. (i3-p.i.)Para reíolver el triang. AFG. fe dirá: Comola fuma <strong>de</strong> los dos lados AF, y FG. 110. ala diferencia <strong>de</strong> ellos 50. afsi la tang. <strong>de</strong> lafemifuma <strong>de</strong> los ang. opueftos 22. 30. á latang. <strong>de</strong> la femidiferencia dc dichos ang. queferá <strong>de</strong> 10.g. y 40.m. que fumada, y refiada<strong>de</strong> la femifuma, dará el valor <strong>de</strong>l ang. FGA.<strong>de</strong> 33.10. y el <strong>de</strong>FAG. <strong>de</strong> 11.50. Defpues fedirá: Como el feno <strong>de</strong>l ang. FAG. dc 11. 50.áfu lado opuefto FG..<strong>de</strong> 30, afsi el feno <strong>de</strong>lang.GFA.<strong>de</strong> 135.g. á la diftancia A.G. 104.Tirefe ahora por G. la GK. perpendiculari la AC y formará el triang. AG&« en que fetiene conocido el ang.K. redo, y el AGK. <strong>de</strong>34.g. y 2o.m. que es igual al BAG. (2
12 g Trigonometríarum.5-?.y 40.al apart.<strong>de</strong> merid.GK. <strong>de</strong> 8d. Y<strong>de</strong>fpues con la media paralela,y la long.efphericafe bufcará el lugar <strong>de</strong> la Nao.En ¡os 4.Problemas antece<strong>de</strong>ntes fe ha dadocl modo <strong>de</strong> conocer el rum. variado porlas corrientes, y la diftancia verda<strong>de</strong>ra con elconocimiento <strong>de</strong>l curfo <strong>de</strong> la corriente : don<strong>de</strong>fe havrá notado,que fe retarda el viaje,quefe preten<strong>de</strong> executar. Y afsi, fi d dieftro Pilotoquifiere llegar con mayor velocidad á clPuerto <strong>de</strong>feado , <strong>de</strong>be prevenir el curfo <strong>de</strong> lacorriente, antes <strong>de</strong> navegar (haviendo tambiénprevenido el rum. con la_ variación <strong>de</strong> laaguja, y abatimiento <strong>de</strong>l Navio, caufado porlos vientos, como queda explicado en cl Tratado<strong>de</strong> la Navegación.) Y en efte cafo cs neceflaríoconocer la corriente , y házia don<strong>de</strong>camina,y quaiitafea,y juntamente el rum.quc<strong>de</strong>be confervar: y para ello ferviránlos 4-Probltm.figuientes.PROBLEMA V.Dado cl curfo <strong>de</strong> la corriente 30. millas para el• Norte al ifíjfmo tiempo, que el Navio camina,fegun la fitftatU 80. millas, conocer cl rumbo,a qm it ba <strong>de</strong> dirigir la Proa, para confervarel <strong>de</strong> 69. gs.y 27. min.Fig-iy*EN eftos Problemas fe <strong>de</strong>be tener entcndido,oi.epara feñalar la corriente,ha <strong>de</strong> ferháziaNáutica. 129házia la parte opuefta,y <strong>de</strong>l punto, hafta don<strong>de</strong>llegare, fe tirará una paralela oculta á elrum. que fe ha dc confervar , y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el centro<strong>de</strong>l quad. con la diftancia <strong>de</strong> la fantasía fecortatá á efta paralela, y por efte punto,y centro<strong>de</strong>l quad. fe tirará una linca , que repre-
130 Trigonometríala diferencia <strong>de</strong> latitud CG. <strong>de</strong> 30. ms. y elapart. <strong>de</strong> merid. EG. <strong>de</strong> 80. ms. y la mifmalongitud efpherica, y lugar dc la Nao , que enel Probl. 1. fifue la latitud falida la mifma»PROBLEMA VLDado el curfo <strong>de</strong> la corriente 20. millas al Nor<strong>de</strong>fte,al tiempo, qui el vi age <strong>de</strong>l Navio era alSuefteSo.millas, conocer el rutíibo, adon<strong>de</strong>fie ha <strong>de</strong> dirigir h Proa , para confervarel <strong>de</strong> 56. g.Fig. 2 o¿2.m.EN dicha Figura BÉ. reprefenta el curfo<strong>de</strong> la corriente: BY. cl rumbo, quefe ha<strong>de</strong> confervar, y alargada la BE. hazla M. reprefentaráBM. el curfo contrario <strong>de</strong> la cor- -riente ,que es Sudoefte; Tomefe BM. dé 20;millas, valor <strong>de</strong> la corriente, y por M. tirefela MG. paralela a la BY. rumbo, que fe ha <strong>de</strong>confervar : y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> B. con el intervalo <strong>de</strong> 8o.diftancia <strong>de</strong> fantasía, cortefe la MG. en G< y>or G. tirefe la GH. paralela á la BE. rum.<strong>de</strong>f a corriente, y la BGF. y quedará formado eltriang. BGH. en que fe tiene conocido BG.<strong>de</strong> 80. GH. <strong>de</strong> 20. y el ang. BHG.<strong>de</strong>75. 58.(por la 29-p. 1.) porque el ang.EBD.vah^j.el ang. DBH. comp. al quadrante <strong>de</strong>l ang.CBY. dado<strong>de</strong> jp. a. es <strong>de</strong> 30. 58. que juntosANáutica. 131tos con los 45. ddang. EBD.hacen 75. 58.y fe refolverá el triang.BGH. como en elProblema 2. diciendo: Como BG. <strong>de</strong> 80. alfeno <strong>de</strong>l ang. BHG. <strong>de</strong> 75. 58. afsi cl ladoGH. <strong>de</strong> 20. al feno <strong>de</strong>l ang. GBH. <strong>de</strong> 14. 2.que refiado <strong>de</strong>l ang.CBY. dado <strong>de</strong> 59. 2. quedadang. CBF. <strong>de</strong> 45. gs. que es el rumbo , ádon<strong>de</strong> fe ha <strong>de</strong> dirigir la Proa. Y para conocerla diftancia, fe dirá: Como el feno <strong>de</strong>lang. GBH. <strong>de</strong> 14. 2. á GH. <strong>de</strong> 20. afsi el radioala diftancia BH. <strong>de</strong> 82.Defpues fe tirará la HK. perpendicular ála AC. y quedará formado el triang. BHK.quefe refolverá como en el Probl. 2. en quefe hallará <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud BK. y <strong>de</strong>merid. HK. y <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> hallada la media paralela,y la longitud efpherica, fe hallará tambiénel lugar <strong>de</strong> la Nao.PROBLEMAVI?.Dado el curfo <strong>de</strong> la corriente 2 5. millas al No- 1roefte, almifmo tiempo,que el Navio caminaba^fegun la fantasía *Áo.millas,pi<strong>de</strong>fe el rumbo,que fe ha <strong>de</strong> gobernar, para confervarel <strong>de</strong> 40.gs. y 39-nts.Fig. a 1.FOrmefe el femicireulo ABCD. que reprefentael 3. y 4. quadrantes <strong>de</strong> la RolaNáutica, y tirefe la DF. que reprefenta ellaNo»
''Ii3¿ TrigonometríaNoroefte, que es el curfo <strong>de</strong> la corriente, yalarguefe házia M. y reprefentará DM. elcurfo contrario <strong>de</strong> la corriente: y tomefeDM.<strong>de</strong> 2 5. millas, que vale la corriente, y tirefelaDK. que haga con la BC ang. dc 40*«s. y 39.ms. que es d rum. que fe ha <strong>de</strong> confervar, y tirefe por M. la MG. paralela á laDK. y haciendo centro en D. cortefe eftaparalela con el intervalo dé 80. que ferá cr*G. y por G. tirefe la GH. paralela á laDF. yformará el triang. DHG. don<strong>de</strong> DH. reprefentarála dift-mcia verda<strong>de</strong>ra, y DG. el rum.adon<strong>de</strong> fe ha <strong>de</strong> dirigir la Proa , para conleryar,el que pi<strong>de</strong> el Problema.Y para conocerlo , fe refolverá el triang*DGH. en que fe tiene conocido cl lado DG».te 80. y el GH.dc 2 5. el ang. DHG. igual (..9.p. 1.) alFDH. compuefto <strong>de</strong> los dos rDS. <strong>de</strong>45-gs.y BDH.<strong>de</strong> 49.gs.y 2 i.im.quc vale 94.11. lo mifmo, qué el ang. DHG. y afsi fe dirá:Como el lado DG. <strong>de</strong> 80. al feno <strong>de</strong>l ang.DHG. <strong>de</strong> P4- 21. alsi el lado GH. dc 25. alíeno <strong>de</strong>l ang. HDG. <strong>de</strong> 18.9. Defpues le dirá-Como el feno <strong>de</strong>l ang. HDG. <strong>de</strong> 18. 9. áHG. <strong>de</strong> 25. afsi el feno <strong>de</strong>l ang. HGD.<strong>de</strong> fi /.[30.a la diftancia vctdadcraDH.<strong>de</strong> 74. Y porquefe tiene conocido el ang-BDH. <strong>de</strong> 49.21.y ahora feconocioelang.HDG.<strong>de</strong> 18. 9-la fuma,quc es d7.30.fera valor <strong>de</strong>l ang.Dbfc.luego el refiduo <strong>de</strong> po. que es 22. 30. es eiNáutica. \3iValor <strong>de</strong>l ang. EDC que es, adon<strong>de</strong> fe ha <strong>de</strong>dirigir la Proa, para confervar el rumbo, quefe pi<strong>de</strong>.Defpues fe tirará la HL. perpendicular 3la AC.y quedará formado el triang.DHL.quefe refolverá como en el Problema 3. y fe hallaránlas diferencias <strong>de</strong> laritud, longitud playa,y efpherica, y el lugar <strong>de</strong> la Nap^PROBLEMA VHI.~Dado el rumbo <strong>de</strong> la corriente al Surfudoe/le di3 o- millas,y al mifmo tiempo la diftancia <strong>de</strong>fartftasia<strong>de</strong> 8o.mií¡as, conocer el rumb.quefe ha.<strong>de</strong> caminar para confervar el <strong>de</strong> 5 5-£'y 40.m. Fig. 22.EN el quadrante 3. ABC. tirefe laAE. quereprefenta el Surfudoefte, curio <strong>de</strong> lacorriente , y alarguefe házia M. y reprefentaráAM, el Ñornor<strong>de</strong>fte, rum. contrario <strong>de</strong> la• corriente: y tomefe AM. <strong>de</strong> 30.millas, y tirefetambién la AG. que haga con la AC ang. dcÍ55. g. y 40. m. que es el rum. que fe ha <strong>de</strong>confervar : y por M. tirefe la MF. paralela 3la AG. y haciendo centro en A. con el intervalo<strong>de</strong> 80. millas, cortefe á efta paralela, queferá en F. y por F. tirefe la FG. paralela á UAE. que cortará ala AG. enG. y tirefe la AF..que reprefentará el rum. por don<strong>de</strong> fe ha dcgobernar, para confervar, el que fe- pi<strong>de</strong>, y pa*.rá conocerlo:•
7134 TrigonometríaRefuelvafe el triang. AFG. en que fe ríe-»nen conocidos AF. <strong>de</strong> 8o.FG.<strong>de</strong> 30. (34.p. 1.)y el ang. FGA. igual al ang. GAE. (29. p.i.)que feconocerá fu valor ', reftando <strong>de</strong>l ang..CAG. |dado dc 55.g. y 40. m. el ang. CAE,conocido <strong>de</strong> 22. 30. y cl refiduo 33. 10. feráfu valor, como también <strong>de</strong>l ang. FGA. Digafepues : ComoFA. <strong>de</strong> 80. alfeno <strong>de</strong>l ang.FGA. <strong>de</strong> 33. 10. afsi FG. <strong>de</strong> 30. al feno <strong>de</strong>lang.FAG.<strong>de</strong> 11. 50. que agregado al ang..CAG. <strong>de</strong> 55. 40. dará d7. 30- va 'or <strong>de</strong>l ang.CAD.que es, adon<strong>de</strong> fe ha <strong>de</strong> dirigir la Proa,para confervar el rumbo, que fe pi<strong>de</strong>.Refta ahora conocer la diftancia AG. y-para faber , quanta fea, fe refolverá, como enel Probl. 4.y fe hallará <strong>de</strong> 104. que es la AG.ytirando la GK. perpendicular á la AC formaráel triang. AGK. que fe refolverá <strong>de</strong>lmifmo modo, que queda dicho en el Probl. 4.y también fe hallará <strong>de</strong> el mifeno modo la diferenciadc longitud efpherica, y el lugar <strong>de</strong>la Nao.CAPITULO II.Del modo <strong>de</strong> conocer por la obfervacion,rumbo,ydiftancia <strong>de</strong> fantasía, quantofealoque hacenvariar las corrientes el curfo <strong>de</strong> la Nao,y la diftancia verda<strong>de</strong>ra.Fig. ip.YA <strong>de</strong>xamos dicho en cl Capitulo I. ddmodo, que fe <strong>de</strong>ben confi<strong>de</strong>rar las corta•lricn-Nautica. 1J 5rientés , y que quando eran en favor <strong>de</strong>l Navio, augmentaban la diftancia la mifma cantidad,que teniau las corrientes ; y quando cncontra, diminuíanla mifma diftancia : y ahora<strong>de</strong>cimos , que , para conocer la diftanciajuntamente con la corriente por la obfervacion,fuponiendoyque el rumbo ha <strong>de</strong> litaryá corregido <strong>de</strong> abatimiento , y variaciónjio-íiavrá mas, que hacer , que tomar el rum.y la diferencia <strong>de</strong> latitud, y con ellos formarun triang. redang. y refolvcrlo. Pues tienetres datos conocidos , que fon : La diferencia<strong>de</strong> latitud, el ang. <strong>de</strong>l rum. el <strong>de</strong>l compl. ya<strong>de</strong>más cl ang. redo, y fe hallará el apart. dcmerid. y la diftancia verda<strong>de</strong>ra , como femanifeftaráen el exemplo figuiente.Un Piloto navegaba por el Oefnoroefteal mifmo tiempo, que la corriente corríapara la mifma parte , y tuvo <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong>latitud 30. ms. Formefe cl quadrante ABC. ytirefe la CF. que reprefenta cl Oefnoroefte, ytomefe en la CB. la CQ. <strong>de</strong> 30. ms. diferencia<strong>de</strong> latitud dada.y por G. levántele la GE.;perpendicular á la BC que cortará á la Cf.cn E. y formará el triang. CGE, y haviendolorefuelto como cn el Probl. 1, <strong>de</strong> el Capituloantece<strong>de</strong>nte, fe hallará GE., diferencia dc merid.72. y la diftancia verda<strong>de</strong>ra CE.dc 78.Defpues fe bufcará la longitud efpherica, ylugar dc la Nao.I4Del
-.-#*•*••'jjd TrigonometríaDel mifmo modo fe obrará , quando lacorriente fuere en contra <strong>de</strong>l viage, que hacela Nao; pero fi fuere la corriente lateral,;fe obrará, como fe dice en los Problemas fi*guientes,PROBLEMA PRIMERO.Dada la diftancia <strong>de</strong> fantasía por el Oefte 8o«tnillas, y la corriente para elNorte,y ¡a diferen*cia <strong>de</strong> latitud obfervada 30. minutos para eiNorte, conocer quanta fea la corriente,ladiftamia verda<strong>de</strong>ra,y elrumba.variado. Fig. 19.EN.d quadrante ABC tomefe CD. <strong>de</strong> 8o.jmillas, que es la diftancia navegada porcl Oefte, que fe reprefenta en CA. y en la CB«que reprefenta el Norte, tomefe la CG.<strong>de</strong> 301ms. diferencia <strong>de</strong> latitud obfervada para e\Norte: y por G. tirefe la GE. perpendicular ála BC. y por D. la DE. paralela á la mifmaBC que fe cortarán en E, y por C y E. tirefelaCEF. y formará dos triang. CEG. y CED.1totalmente iguales ( 34. p. 1.) Y refoiviendqcl triang. CEG. como en el Probl. 1. <strong>de</strong>l Capituloantece<strong>de</strong>nte, fe hallará cl curfo_ dc lacorriente DE. <strong>de</strong> 30. millas , que es igual kCG. y la CE. la diftancia verda<strong>de</strong>ra dc 8d.millas:EG.diferencía <strong>de</strong> merid.que por fer iguali la diftancia <strong>de</strong> fantasía DC.. ¡fera <strong>de</strong> 80. msw-íiNáutica*-\rtV también fe hallará elang, <strong>de</strong>l rum- variadaGCE. <strong>de</strong> 69. gs.y * 7 .ms. Y <strong>de</strong>fpues havien-.4o bufcado la longitud efphenca , fe halla*¿á el lugar <strong>de</strong> la Nao.PROBLEMA U.toada la diftancia 80. mitas por el rumbo <strong>de</strong>t'Suelte, v la corriente al Nor<strong>de</strong>ftcy la diferen^tia <strong>de</strong> latitud 42.m.bdzia el Sur,conocer quan,tafea la diftancia verda<strong>de</strong>ra, el curjo <strong>de</strong>.la corriente, y el rum. variado.Fig. 20.EE el femicireuloADCB. en que fe repre-*fenta con la BD. los dos q«adra«tes 1Uy 2. <strong>de</strong> la Rofa, tirefe la BE. rumbo dd Ñor.<strong>de</strong>ftc, adon<strong>de</strong> vá la corriente: y la BF. que reprefentad Sucfte, adon<strong>de</strong> camina la Nao: tomefeen ella la BG.dc 80. imUas, y por O. ti,refe la GH. paralela al curfo <strong>de</strong> la comen,te BE.y tornefe en la BC laBK.<strong>de</strong> 42.ms. d£faénela <strong>de</strong> laritud dada : y tirefe por K. a aAC la perpendicular KH. que cortara aízGH. en H.y por B.y H. tirefe la BHY. y formarálos triang. BHK,y BGH 7 tambiénlos BNK. y HNG. y refolviendo primeramenteel triang. BNK. en quefe tiene coincidodiado BK. <strong>de</strong> r-ms-y el ang- K- rectopor conftruccion, y los angul. fobre la hypo-
13 8 Trigonometríathenufa BN. femiredos: el ang. en B. por 11conftruccion <strong>de</strong> 45.gs. igual al ang.en N. ( ? 2.p. 1.) luego cl lado KN.ferá igual al B.K. (d.p.1 -) y valdrá ai.y para bufcar el valor <strong>de</strong> BN.fe dirá: Como el feno. <strong>de</strong>l ángulo KBN. <strong>de</strong>45. gs. a.fu lado opuefto KN. <strong>de</strong> 42. ms. afsicl radio á la hypothenufa BN. <strong>de</strong> do. queteftadps <strong>de</strong> BG. 80 el refiduo NG. ferá <strong>de</strong>20.Y por que en cl triang. NGH. el ang. enG. es redo (2p.p. 1,) y cl ang. GNH. cs igualal ang. BNK. fu vertical (15.p. i.) y efte es <strong>de</strong>45-g-ferá también dichoang.GNH.<strong>de</strong> 45.g.ycl NHG.<strong>de</strong> otros 45. CJ2.p.i.) Luego los ladosNG. y GH.fon iguales, y cada uno <strong>de</strong> 20.m. (d.p.i.) Luego.cl triang.BGH.dáconocidoslos lados BG.<strong>de</strong> 80. y GH.<strong>de</strong> 2o.y d ang.cn G. redo, y resolviéndolo, como en el Problema2. <strong>de</strong>l Capit. antece<strong>de</strong>nte fe hallará ladiftancia verda<strong>de</strong>ra BH. <strong>de</strong> 82. millas , y clang. <strong>de</strong>l rum. KBH. <strong>de</strong> 59. g. y 2.m. y el valor<strong>de</strong> la corriente GH. <strong>de</strong> 20. millas, como*¡queda dicho.Y refolviendo últimamente el triangule!KBH. como queda refuelto en el Ptobl. referido,fe hallará KH. apart', <strong>de</strong> merid. <strong>de</strong> 70.:min. Y bufeada la latitud media , y lalongitud efpherica, fe hallará ellugar <strong>de</strong> la Nao.PRO-Nautica*l s9PROBLEMA IILtoada la diftancia <strong>de</strong> fantasía al Surfudoefteimillas al tiempo, que la corriente caminabadNoroefte,yladiferencia <strong>de</strong> latitud batía elSur <strong>de</strong> 56.m. bailar el valor <strong>de</strong> la comente,el rum. variado, y d'ftanciaverda<strong>de</strong>ra.Fig.21.DEfpues <strong>de</strong> formados los quadrantes 3. y,4. <strong>de</strong> la Rofa Náutica en la figura, fe tirarála DF. <strong>de</strong>l Noroefte,adon<strong>de</strong>:yá la corr.cn.te,ylaDE. <strong>de</strong>l Surfudoefte adon<strong>de</strong> caminael Navio : y fe tomará en da la diftancia.dcfantasía 80" millas <strong>de</strong>f<strong>de</strong>D. aG. y fe tirara laGH. paralela á la DF. y también fe tomaraenlaDClos 5«5. min. diferencia <strong>de</strong> latitud dada<strong>de</strong>f<strong>de</strong> D. áL.ytirefelaLH. perpendiculará laDC que cortará á la GH.cn H. y tirefe laDHK. que ferá el rum. variado, y fu valor elang. LDH. y la diftancia verda<strong>de</strong>ra fera DH,y d valor <strong>de</strong> la corriente GH. y el apart. <strong>de</strong>merid. LH. Y para conocer cada cofa <strong>de</strong> porsi, ferefolveráVri^ramentc el tr.ang.DNL,en que fe tiene conocido DL. <strong>de</strong> 5d. y los ¿iang. por conftruccion el L. redo, e D. <strong>de</strong>"-30. clN.<strong>de</strong> 6n. 3o.y para conocer la tapothjnufaDN. fe dirá: Como el feno <strong>de</strong> el ang. N.d=d 7 .g.y ? o.min.áDL.<strong>de</strong>5Í.-afs«eUadoá la hypothenufa DN. <strong>de</strong> di. que reliada dcla DG.8o.queda GN.<strong>de</strong> 19-Refuelvafe ahora el triang. GNH. en que
"4-^--•---••--ÍHPMPIP^HBPIP^BBP^P^P^P^HPHHHII 40 Trigonometríafe tiene conocido d lado GN. <strong>de</strong> rp. d ang.,en N- <strong>de</strong> d 7 . 30. (15. p. 1,) y el anq. HGNtambien<strong>de</strong> d 7 . 30. como eftá <strong>de</strong>monftrado cuel problema 3. luego el 3, ang. en H. valdrá45>g. (32-p. 1.) Y para conocerla HG, fe dirá:Como el feno <strong>de</strong>l ang. H. <strong>de</strong> 4s.g, á f u ladoopuefto NG.<strong>de</strong> ip. afsi el feno <strong>de</strong>l ang.Nw<strong>de</strong> d 7 . 30. á fu lado opuefto GH. <strong>de</strong> 2 5. valor,<strong>de</strong> la corriente.Defpues fe conocerá la diftancia DH. reífolviendo el tríang.DGH. como en el Problema3. <strong>de</strong>lCapic. antece<strong>de</strong>nte, y faldrá <strong>de</strong> 74.-ftiillas.y con el conocimiento <strong>de</strong>l ang. HDG»«le18.1 :,y <strong>de</strong>l GDL. <strong>de</strong> 2 ?.3o.faldrá el ang.<strong>de</strong>l rum.LDII.<strong>de</strong> 4o,g.y 42.m. Y finalmente,refolyíendo el triang.HDL. como allí fe dixo,te hallará el apart, <strong>de</strong> merid. HL, <strong>de</strong> 48, y la.long, efpherica, y lugar <strong>de</strong> la Nao.PROBLEMA IV.Dado el rumbo <strong>de</strong> fantasía Oesfudoefte, y en ella diftancia 80. millas, y el curfo <strong>de</strong> ¡a corrien*te al Surfudoefte , y la diferencia <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong>.58. m. bollar el valor <strong>de</strong> la corriente , <strong>de</strong>lang.<strong>de</strong> el rumbo,y la diftancia verda<strong>de</strong>ra.Fig. 22,EN el quadrante BAC tirefe la AD. <strong>de</strong>lrum. <strong>de</strong> fantasía, y la AE. <strong>de</strong>l curfo <strong>de</strong>h corriente , y tomefe cn la AD. la diftanciana-SiNáutica. 141'•navegada So. millas <strong>de</strong>f<strong>de</strong> A. áF. y tirefe laFG. paralela á k AE. y tomefe la AK.dc 58.,m. dc la diferencia <strong>de</strong> latitud dada: y tirefe laKG. perpendicular á la AC que cortará á láFG.en G. y tirefe la AG. que ferá el rum. variado,y la diftancia verda<strong>de</strong>ta AG. y el curio<strong>de</strong> la corriente FG.y para conocer fus valoresfe tirará la FL.paralelaá la GK.y en el triang.,AFL. en que fe tiene conocido el lado AF. <strong>de</strong>80. el ang. eilL.redo, y el ang. en A. <strong>de</strong> 6-j¿130. y el ang. enF. <strong>de</strong> 22. 30. fe hallará AL*diciendo . Como el radio á la diftancia AF. <strong>de</strong>80. afsi el feno <strong>de</strong>l ang. F. <strong>de</strong> 22. 30. á el ladoAL. <strong>de</strong>3o< que refiado dc 58. que vafeAK. quedan 28. por valor <strong>de</strong> LK.Tirenfe la FN. paralela á la LK. y valdrátambién 28. (34. p.i.) y refuelvafe cl triang»FNG. en que fefiérie conocido él Jado FN.<strong>de</strong>28. y el ang. en N. redo, y los <strong>de</strong>más ang.F*y G. porque , como eftá <strong>de</strong>monftrado en el•Problema 4. <strong>de</strong>l Capitulo antece<strong>de</strong>nte, el áilg.GFA.vale 13 5. g. fi <strong>de</strong>l fe quita el ang. AFL»<strong>de</strong>monftrado yá <strong>de</strong> 22. 30.quedaelang.LFG.<strong>de</strong> 112. 30. y quitando dc efte cl ang. LFN.<strong>de</strong> po. g. queda el GFN. dc 22. 30. Luego élang. cn G. ferádc 6-j. 30. Bufquefe cn dichotnang. el valor <strong>de</strong> la FG. diciendo : Corno elfeno <strong>de</strong>l ang.G. <strong>de</strong> d7. 30. á FN. <strong>de</strong> 28. afsiel radío al valor dc la corriente FG. dé ío.mülas..Con
142 TrigonometríaCon el conocimiento <strong>de</strong>l curfo <strong>de</strong> la cor*rience 30. millas, y <strong>de</strong> la diftancia <strong>de</strong> fanta*sia FA. <strong>de</strong> 80. y <strong>de</strong>l ang. GFA. <strong>de</strong> i3 5.gs. fe"refolverá cl .triang. GFA. como en el Problema4. referido, y fe conocerá el valor <strong>de</strong>l ang..FAG. dc n.gs. 50. m. y la diftancia AG. quecs la verda<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> 104..Y haviendo conocido , que el ang. FAG..es<strong>de</strong> 11. 50. reliado, <strong>de</strong>l ang. FAG. d7. 30..viene al refiduo el ang. GAK. <strong>de</strong>. 5 5. 40. quees elang. <strong>de</strong>l rum. variado. Y refolviendo cltriang. AGK. en que fe tienen yá conocidoslos 3. angul. y los lados AK. y AG. fe hallaráel GK. que es,el apart. dc merid. <strong>de</strong> Sd.m.y con la media paralela fe hallará la long. efpherica, y con efta el lugar <strong>de</strong> la Nao.NOTAS ACERCA DE LASCorrientes.Q. 11. S~\ Uando las Corrientes fon á Popa,no vanan ei rumbo navegado;sí folo la diftancia.2. Quando fon potlaProa, novarían dvalor <strong>de</strong>l rumbo ; pero pue<strong>de</strong>n fuce<strong>de</strong>r trescafos : El 1. que el litio <strong>de</strong>l Navio efte en elquadrante, por don<strong>de</strong> fe navega. El 2. quedicho lirio fea el mifmo , <strong>de</strong> don<strong>de</strong> fe falió.El tercero , que efte en el quadrante opuefto,al que fe navega , que en efte cafo fe van-i la<strong>de</strong>-Nautica. 143j<strong>de</strong>nominaelon <strong>de</strong>l rum. aunque no el valor.3-. Si la paralela <strong>de</strong> corrientes cortare aél Norte-Sur, en el punto , que fenece la diferencia<strong>de</strong> latitud obfervada: en efte cafod -rum. corregido ferá el Norte-Sur, rcfpccto<strong>de</strong>l punto falido ; y la diftancia corregidaferá dicha diferencia <strong>de</strong> latitud obfervada.4» Si, navegando por rumbo obliquo , fehallare la mifma latitud llegada, que la falida: la paralela dc corrientes terminará elíítio <strong>de</strong>l Navio en cl punto , cn que cortare ácl Lefte-Oefte : y el intervalo <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el puntofalido hafta efte dicho punto ¿ es la diftanciacorregida.5. Para mayor claridad fepreviene: Que*<strong>de</strong>fpues <strong>de</strong> hecha la operación por la (fantasía, fi fe navegare, para augmentar latitud, yfi hirviere diminuido por las corrientes ; ó alcontrarío : yendo á diminuir, fi huviere augmentado: íe pondrá la diferencia <strong>de</strong> latitudobfervada <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el fitio falido fobre el Norte-Surá la contraria parte <strong>de</strong> la diferencia <strong>de</strong>latitud <strong>de</strong> fantasíajTodo lo <strong>de</strong>más, que fe pue<strong>de</strong> prevenir fobreefte aftumpto, parece fuperfluo, refpedo<strong>de</strong> que cn la operación Trigonométrica , Ópor la Efeala Plana, fe manifiefta con claridad.Mas es neceflario, que fe advierta, quecomo no hay regla fin excepción, tampococarece <strong>de</strong> ella efte methodo: Porque, quando
H'144 Trigonometríado la corriente camina para cl Leíle , 6 pa-sra el Oefte, no fe pue<strong>de</strong> venir pot cl en conocimiento<strong>de</strong>l rumbo, y diftancia variada* Yies la razón : Porque , como la Nave exilia er»aquélla feccion , que hace el cutfo <strong>de</strong> la corrientecon el paralelo <strong>de</strong> la latitud obfervada, fi la corriente Caminara para el Lefte , aOefte, fucediera, que fu curfo,y el paralelo <strong>de</strong>dicha latitud coincidirían, fi k latitud obfervadafuera igual á la <strong>de</strong> fantasía i y fi fueramayor , ó menor, ferian paralelos* Por curyacaufa nunca <strong>de</strong>tetminára el lugar ¿ en que«xifte la Nao.Las Notas prece<strong>de</strong>ntes las remitió Don'Pedro Manuel Cedillo, Diredor <strong>de</strong> la <strong>Real</strong>•<strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>de</strong> Caballeros Guardias Marinas<strong>de</strong> la Ciudad <strong>de</strong> Cádiz: Y por fer tan fundamentales, no me pareció conveniente el omi-*tirlas : porque pue<strong>de</strong>n fervir mucho para latotal inteligencia <strong>de</strong> las corrientes»También por efte methüdo fe pue<strong>de</strong> navegardiredamente, dando anres el refguardo<strong>de</strong> la corriente : y conocer, quanta haya (ido,y á que rum. fe ha dc dirigir la Proa , para•confervar el rum. que fe <strong>de</strong>fea , mediante adiferencia <strong>de</strong> latitud conocida , ó dada, V «parte, adon<strong>de</strong> camina la corriente, y la dil an*>cia <strong>de</strong> fantasía. Lo quefe obrará <strong>de</strong>l modo,que fe dirá en los figuientesProblcw*pRQ;aNáutica.PROBLEMA V.N*Dada la diftancia <strong>de</strong> fantasía 8 o. millas ,y lacorriente para el Norte, y la diferencia <strong>de</strong> latitud30. m. también para el Norte, conocer dque rumbo fi ha<strong>de</strong> dirigir -la-Proa, para confervarel <strong>de</strong> d 9. g. y 2j.m, en el 4. quadrante, quanta fea la corriente, y la diftancia .verda<strong>de</strong>ra. Fig. 19.EN el quadrante ABC tirefe la CF. quereprefenta el rum. que fe ha <strong>de</strong> confer-,var, y tomefe la CG. <strong>de</strong> 30. m. que es la diferencia<strong>de</strong> latitud dada: y porG. levántele laGE. perpendicular á la BC. que cortará á laCF. en E. y por E. tirefe la ED. paralela á laCB. que reprefenta él curfo <strong>de</strong> la corriente^pero fe tirará házia la parte contraria , porquefe Vá á dar el refguardo <strong>de</strong> ella: y afsi feráháziaelSur: Dclpues <strong>de</strong>f<strong>de</strong> C con el intervalo<strong>de</strong> 80. cortefe la ED. ó que la toque enD. y por C. y D. tirefe la CD. que aqui coinci<strong>de</strong>con el rum. dd Oefte: y afsi efte ferá clrum. adon<strong>de</strong> fe ha <strong>de</strong> dirigir la Proa, paraconfervar el rum. que fe pi<strong>de</strong> , íiendo la corrienteházia el Norte, que es la DE. <strong>de</strong> 30.inillas,iguala laCG. diferencia <strong>de</strong> latitud, y elapartamiento <strong>de</strong> merid. EG. <strong>de</strong> 80. (54. p.i.)y la diftancia verda<strong>de</strong>ra CE. <strong>de</strong> 8d. como to-»11
,*4d Trigonometríado queda dicho en el Problema primero antece<strong>de</strong>nte..Y <strong>de</strong>l mifmo modo, que allí fe di-KO , fe bufcará la long. efpherica , y d lugar<strong>de</strong> la Nao.PROBLEMA VI.•0a<strong>de</strong> el curfo <strong>de</strong> la Nao 8 o. millas, y el <strong>de</strong> lajrorriente bdzia el Nor<strong>de</strong>fte, y la diferencia <strong>de</strong>fatitud 42.m.bazia el Sur, conocer d que rum-Pofie ba <strong>de</strong> dirigir la Proa, para confervar elrumbo <strong>de</strong> 59. g. y. 2. m. y quanta fea lacorriente, y diftancia verda<strong>de</strong>ra.Fig. 20.DEfpues <strong>de</strong> hechos los dos quadrante»,don<strong>de</strong> fe contiene la corriente, y elfrum. que fe ha<strong>de</strong> confervar, que fon 1. ya.|<strong>de</strong> la Rofa Náutica, tirefe la BE. que reprc-Icnta la corriente, y la BY. que reprefenta clrumbo, que fe ha <strong>de</strong> confervar, y tomefe laCK.<strong>de</strong>42.rn.<strong>de</strong> la diferencia <strong>de</strong> laritud , y lc-«yantefe la KH. perpendicular á la BC. que«toreará á la BY. en H. por don<strong>de</strong> fe tirará la|iG. paralela ala BE. que es la corriente; petroházia la parte opuefta; y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> B. con ejintervalo <strong>de</strong> 80. millas cortefe á la BG. ó íino fe pudiere cortar , hagafe un ateo, que la«oque, que ferá en G. y tirefe-kBGF. que feráel rum. adon<strong>de</strong> fe ha <strong>de</strong> dirigir la Proa, pairaconfervar , el que fe pi<strong>de</strong>: y el valor <strong>de</strong> la
«ssaiHfcs»..14Í Trigonometríaroefte , que es házia don<strong>de</strong> vá la corriente, yla DK. rum.que fe ha <strong>de</strong> confervar : y cómelela DL. <strong>de</strong> 5dvui. y tirefe la LH. perpendiculará la DCque cortará á la DK. en H. y por H.tirefe la HG. paralela á la FD. y á la parte• contraria dé la corriente 1 y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> D. con clintervalo <strong>de</strong> 80. millas córtele á ella paralelaten G.y tirefe la DG. que reprefentará el rum.«don<strong>de</strong> fe ha<strong>de</strong> gobernar: y GH» ferá el valor<strong>de</strong> la corriente, y DH. la diftancia verda<strong>de</strong>ra»Refuclvafe primeramente DLH. en que feIdán conocidos todos 3. ang. y el lado DL. yfe hallará HL.dc 48. diferencia <strong>de</strong>_ merid. y laDH. diftancia verda<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> 74. millas»Refuelvafé <strong>de</strong>fpues el triang.DGH.cn que»Ie tiene conocidos los dos lados DG.<strong>de</strong> 8o. yDH.<strong>de</strong> 74. y elang.DHG»dc 94- - 8 « porquecs igual al FDH. (ap.p, 1.) y efte eftá compueffo<strong>de</strong>l ang. FDB. <strong>de</strong> 45.g. y <strong>de</strong>l BÚti. <strong>de</strong> 49.ja 8. complem. <strong>de</strong>l ang. que fe ha <strong>de</strong> confervar,;que hacen los mifmos 9 y 18. y para hallarti ang.HGD-digafec Como GD.<strong>de</strong> 80. al icnoIdd ang. DHG. <strong>de</strong> 94.1 ó. aísi el lado DH- <strong>de</strong>(74. al feno <strong>de</strong> el ang.HGD. <strong>de</strong> d7. 17. luegocl ang;HDGferá <strong>de</strong> 18.25.(32.p.i.jque refiado<strong>de</strong>l ang. HDC <strong>de</strong> 40. 42. d refiduo 2 24!i 7. ferávalor <strong>de</strong>l ang. GDC que cs, adon<strong>de</strong>fe ha <strong>de</strong> encaminar la Proa, para confervar el•um.quefe pi<strong>de</strong>: Y para hallar el valor <strong>de</strong> la«corriente, fe dirá; Como el feno <strong>de</strong>l ánguloDHG.Náutica. MPDHG. <strong>de</strong> 94. 18. á DG. <strong>de</strong> 80. afsi el fenoddcl ang. HDG. <strong>de</strong> 18. 25. al lado HG. dc lacorriente <strong>de</strong> 2 j.-Y <strong>de</strong>fpues fe bufcará la long.;efpherica, y el lugar <strong>de</strong> la Nao.PROBLEMA VIH--Dada ta diftancia <strong>de</strong> fantasía So. millas, eleurfo <strong>de</strong> la corriente al Surfudoefte, y la dife-.renda <strong>de</strong> latitud 58. banda el Sur, conocer elvalor <strong>de</strong> la corriente, y <strong>de</strong> ta diftancia verda<strong>de</strong>ra,y <strong>de</strong>l rumbo, adon<strong>de</strong> fe ba <strong>de</strong> dirigid¡a Proa, para confervar ei <strong>de</strong> 5 5-^.y ao.ms. Fig. 3*-.T"?N el triang. BAC. tirefe la AE. que r&Jj, prefenta la corriente , y la AG. que re*prelenta el rumbo, que fe ha <strong>de</strong> confervar : ytomefe AK. <strong>de</strong> 58.1TIS. y tirefe laKG. perpenrdicular á la AC y por G, tirefe la GF. paralelaá la AE. házia la parte contraria <strong>de</strong> la corriente:v <strong>de</strong>f<strong>de</strong> A. con el intervalo dc 80. cortefela GF. en F. y tirefe la AFD. que es elrumbo, que fe ha dc confervar : FG- valor«<strong>de</strong> la. corriente, y AG. la diftancia verda<strong>de</strong>ra:que fe conocerá, refolvíendo el triang, AKG. ;con el conocimiento dc todos tres ang. y ellado AK. <strong>de</strong> 58. y faldrá la diftancia AG. dcH04. y GK. 8d, <strong>de</strong> apartam. dc meridiano.Defpues fe refolverá el triang, FAG. coaKiei
\¿6 Trigonometríael conocimiento dc-FA.<strong>de</strong> 8o. y AG. dé tdSpiy el ang. FGA. <strong>de</strong> 33. 10. porque-cs igual alang. 1 GAE. fu alterno ( 29. P- l*) que vale lomifmo, porque el ang. GAC es dc 55. 40. yel EAC <strong>de</strong> 22. 30. luego el refiduo GAE. fe*xk <strong>de</strong> 33:10. y digafe : Como el lado FA. dd80. al feno <strong>de</strong>l ang. AGF. <strong>de</strong> 33- IO afsí cS-lado GA. <strong>de</strong> 104. al feno <strong>de</strong>l ang. GFA. que•por fer obtufo ferá <strong>de</strong> 134. 40. que fumadocon 33. 10. importan id.7. 5 o - y reliados <strong>de</strong>I180. viene al refiduo 12. gs. y 10. min. valor<strong>de</strong>l ang. FAG. (32.-.. 1.) que fumado con«1 ang. GAC.<strong>de</strong> 5 5- ao. la fuma 6-¡. 50. esel valor <strong>de</strong>l ang. FAC adon<strong>de</strong> fe ha <strong>de</strong> dirigirla Proa , para confervar el rumbo, quefe pi<strong>de</strong>. Dcfpiiei fe hallará el valor <strong>de</strong> U corrienteen el triang. FAG. diciendo : Como elfeno <strong>de</strong>l ang. FGA. <strong>de</strong> 3 3. to. á FA. <strong>de</strong> 80»afsi cl fend <strong>de</strong>l ang. FAG. <strong>de</strong> 12. 10. al valor<strong>de</strong> la corriente FG. <strong>de</strong>'30. Y bureando la longitu<strong>de</strong>fpher. fe hallará el lugar <strong>de</strong> la Nao.Nota , que , aunque en efte Problema, yen el antece<strong>de</strong>nte immediato fe diferencianlos ang. en los dos triang. que fe rcfuelvenen algunos minutos <strong>de</strong> los triánguloscorrefpondientes , que quedan refueltos e.Klos Problemas 3. y 4- cs > P or cauU . dc nohaver tomado los logarithmos predios enentero , y quebrado \ pero , aunque fe ha-
fjflg Trigonometríamado Edmundo Gunter, Ingles <strong>de</strong> Nación*De una, y otra trataremos, poniendo primero,el modo <strong>de</strong> conftruirias, y <strong>de</strong>fpues el ufo <strong>de</strong>ellas, aplicado á la Navegación, por cftár hoy.muy introducidas, particularmente entre lo*Jjiglefes, y Olan<strong>de</strong>fes.CAPITULO PRIMERO.. "•De la conftruccion <strong>de</strong> la Efeala^ Plana*.ESta Efeala Plana efta comunmente divididafu fuperficíe en dos partes iguales*toda ella fe compone <strong>de</strong> dos pies Inglefesdivididos en pulgadas: y porque cada pie coiwtiene doce, tiene la divifion hafta; 2-4, que fot»las que pertenecen á dichos dos pies. La una<strong>de</strong> dichas parres, que es la mitad <strong>de</strong> ella, contieneun. pecipie dividido por un lado en milpartes, y por otro en dos mil¿ que firve para :la conftruccion <strong>de</strong> la Efeala Artificial, y e»-'la otra mitad'eftán difiintas lineas , que com-.ponen efta Efeala, como fon la <strong>de</strong> los Rum-.bos, <strong>de</strong> las Cuerdas, <strong>de</strong> los Senos, <strong>de</strong> las Tan-'gentes , Scmitangentcs, y Secantes , <strong>de</strong> Partes%ualcs,y también otras dos lineas <strong>de</strong> Rumbos, ;y Cuerdas correfpondientes á otra, que repre-.'fenta los min.<strong>de</strong> long. Cada una <strong>de</strong> eftas lineastiene fu nombre cn el principio dc cada una<strong>de</strong> ellas, y las <strong>de</strong> Partes iguales, que fon ma-yo-Nautiea.J$Jyores unas, que otras, eftán feñaladasCon unaL, que reprefenta Leguas» y la tercera eftá fenaladacon una P.que reprefenta Partes : porque100, <strong>de</strong> eftas correfpon<strong>de</strong>n á la Cuerda<strong>de</strong> do. grs, De cada una <strong>de</strong> ellas, excepto dcJas <strong>de</strong> Partes ¡guales , que fe omiten, por fuclara inteligencia , fe pondrá la conftruccion.en los paragraphos figuientes.,í. I.De la conftruccion <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong> los Rumbos-Fig. 23,DEferibafe con qualquier intervalo elquad. ABC. y dividafe la circunferenciaAC en ocho partes iguales, porque fon 8.,los Rum.que con<strong>de</strong>ne cada quadr. y haciendocentroen C. con el intervalo, <strong>de</strong> cada una<strong>de</strong> las divifiones, <strong>de</strong>feribanfe arcos, que cortená la CB. alargada házia D. y ponganfe entilalos números 1. a. 3. &c. hafta 8.y eftaferá, la qué reprefenta los Rumbos, y fe notarácn la Efeala con efta voz: Rum. lo mifmafe executará para la otra linea <strong>de</strong> Rumboscorrefpondiente á la <strong>de</strong> los min, <strong>de</strong> long. perofe podrá formar con mayor intervalo, queri antece<strong>de</strong>nte , para mayor extenfion dc fusdivifiones : y <strong>de</strong>fpues fe podrá dividir cada"•arte <strong>de</strong> las 8. tomadas en cl arco AC. en 4.par-
' 'ute\-t")4 . Trigonometríapartes iguales, y transferirlas á la CD. y quedarácada Rumbo dividido en fus 4, quartasitt n.toe latinea <strong>de</strong> las Cuerdas, Fig. 24,TOmefe el intervalo , ú la diftancia , quefe tomo para formar el quadrante en?3a conftruccion <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong> los Rum. y conella formefe el quadrante ABC, y dividafe elttreo AC. en nueve partes iguales, y ponganfe.cnella los números 10. 20. 30. &c. y haciendocentro en C paflenfe eftas diftancias<strong>de</strong>f<strong>de</strong> C á cada una <strong>de</strong> dichas divifiones enla linea CBD. y nótenle con los mifmos números1 o. 20. &c. hafta 90. en la ultima di-?vifion, y pafTefe á la Efeala , que ferá la linca<strong>de</strong> las Cuerdas, que fe nota con elta voz.Chor*o con efta : Cuer. Y <strong>de</strong>fpues fe dividirá cadaparte <strong>de</strong> las nueve <strong>de</strong>l arco AC en 10. partesiguales , y fe transferirá <strong>de</strong>l mifmo modo<strong>de</strong>f<strong>de</strong> C á la linca CD. y quedará en ella 1*divifion <strong>de</strong> los 90. g. dc que confia el qua*drantc.Del mifmo modo fe hará la otra linea <strong>de</strong>las Cuerdas correfpondientes á la linea <strong>de</strong> laLong. tomando la mifma diftancia, que fetomó para formar la linea <strong>de</strong> los Rumb. quecorrefpon<strong>de</strong>n á dicha linea dc Long. y fepondrá cn la Efeala junto á ella.[Náutica»$. III.*tiDe la linea <strong>de</strong> ¡os Senos. Fig.» 5 *FOrméfe él quadrante ABC con la mifmadiftancia, que fe formaron los dosprimeros quadrantes <strong>de</strong> los Rumb. y <strong>de</strong> lasCuerdas, y dividafe cl ateo AC en nueve partes,quereprefentarán los g. <strong>de</strong>cimos <strong>de</strong>l quadrante:,y feíialenfe con los números 10. 20.Ice. y por ellos tirenfe paralelas á la AB. quefe terminarán en la BC que ferá la linca <strong>de</strong>los Senos , feñalando en ella los números 1 o.20. &c. hafta 90. que fe <strong>de</strong>nota con efta voz:Sin. ó con efta : Sen. Y haciendo la mifma di-«vdfioiien el arco AC <strong>de</strong> 10. partes en cadauna, y tirando por ellas paralelas á la AB.quefe terminen en laBC feñalaráen ella, las quecorrefpon<strong>de</strong>n á cada uno <strong>de</strong> los g. <strong>de</strong>l quadrante<strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1. hafta 00. Aunque <strong>de</strong>f<strong>de</strong> do.;hafta 90. no fe pue<strong>de</strong>n tomar todas las divifiones,-por caufa <strong>de</strong> no confundir la forma*don <strong>de</strong> efta linea.$. IV.De la línea <strong>de</strong> las Tangentes. Fig. id.'Ormefe también con el mifmo intervalo,que los quadrantes antece<strong>de</strong>ntes^d ABC.y
BB •-'' vi \$ Trigonometríay dividafe , como queda hecho en los 2. #,.aiitecedcntes,enfus Jlg. y tirenfe por el centroB. y losgs. <strong>de</strong>cimos recias, que fe termi-,nen en iaCD. paralela á la AB. y feñalenfeenella los números 10. 20. &c. hafta 70511 80*fegun alcanzaren las lineas tiradas <strong>de</strong>l centroP. y <strong>de</strong>fpues, tirando también <strong>de</strong>l mifmo centrorectas por cada nno<strong>de</strong> los gs. y terminandofeen la CD.. quedará concluida la conftruc-'¿o» «k cft a linea, que fe feñalacon efta voz;Tang.qac fepondrá con las otras en la Efeala,,La linea <strong>de</strong> las Semítang. aunque no tieneufo fe conftruye con la <strong>de</strong> las Tang. duplicandolos numeros,que tuviere la <strong>de</strong> las Tang*con las mifmas divifiones: v. g. Al numero.5.<strong>de</strong> las Tang. fe pone en efta 1 o. Ai 1 o.correfpon<strong>de</strong>en efta 20. á 1 y. correfpon<strong>de</strong>rá 30*Je y fe feñaiaen la Efeala con eftas 2. letra*§. Ti que quieren <strong>de</strong>cir: Semitangcntes,,/. V,De l* Unea <strong>de</strong> las Secantes. Fig. 26*ESta linea eftá principiada con la <strong>de</strong> los Se-»nos , porque tiene con ella el mifmoprincípio,y fe conftruye en la Efeala, alargandoel lado BA. <strong>de</strong>l quad. házia E. y haciendocentro en 11. fe trasfieren á la línea BAE. lasdiftancias <strong>de</strong>f<strong>de</strong> B. hafta 10. 20. 30. &c. dcla% ,« ^ r - Náutica. ...lal.nea CD. y fe ponen los mifmos ««meros10. 20 30 &c. en la mifma BAE. y f e ta?ran en la Efeala como queda dicho, <strong>de</strong>fpues<strong>de</strong> los ¿«OÍ, y le feñalacon efta voz Sed$• VLtoe la linea <strong>de</strong> 'longitud.Fig. 27,FOrmefe el quad. ABC. con el mifmo in,tervalo, con que f e formaron las fe Cl ndas lincas <strong>de</strong> los Rumbos, y Cnerdas ÍTiAü.en 6. partes iguales, que reprefentará «da una io. m . <strong>de</strong> los do. que eíXZy por las divifiones ¿¡fiZSR la jgftme fe terminen en el arco Ar V • ,centro cn A. conel S ^ c L ^ o fterminarán cn A. y <strong>de</strong>fpues lurrelu r ^divilion<strong>de</strong>cadaímalSr^^'^-j --.•«'•«auni.iii,-en el arco Ar* ... ,~* VO?. M, Long, q Ue swcre ¿ ^Mi- ' 1r
15 8 TrigonometríaMinutos" <strong>de</strong> Longitud. Y quedará íoncluid*la conftruccion <strong>de</strong> la Efeala Plana.CAPITULO 1LDéla conftruccion <strong>de</strong> la Efeala Artificial.YA <strong>de</strong>xamos dicho, que efta Efcalaes una<strong>de</strong> las dos fuperficies , que contiene laRe^la , que vulgarmente llaman Efeala Vla.na? y que fervia para la refolucion <strong>de</strong> lostriang. afsi planos, como efphericos: y quecorrefpondian fus refoluciones, alas quefehacen por el Canon Trigonométrico, y Niwmeros Artificiales, ¿Tabla dé Logarithmos,V que toda ella fe componía <strong>de</strong> dos pies <strong>de</strong>Inglaterra, divididos en doce pulgadas, quehacen un codo <strong>de</strong> Inglaterra, que fe compone<strong>de</strong> 24. pulgadas.»K£¿BÍEfta Efeala contiene las lineas <strong>de</strong> los Senos<strong>de</strong> los Rumbos, <strong>de</strong> las Tangentes <strong>de</strong> losRumbos, las quales no fon necesarias, pues fepue<strong>de</strong>n fuplir por las lineas <strong>de</strong> Senos y Unientes: y ató fe omitirá fu conftruccion,Sntiene y tambien la linca <strong>de</strong> los Nuittero»Logarithmicos, la dc los Senos Logamhimeos,la <strong>de</strong> las Tangentes Logar.thmicas,WPartes Meridionales , V U <strong>de</strong> Partes^que firven por grados <strong>de</strong> ^ 7 ^ ^ *i antece<strong>de</strong>nte por grados <strong>de</strong> los parale fosacuya conftruccion fe dará cn los parágrafo*figuientes,.^L• Náutica, 16- I.*M*Oe ¡a linea <strong>de</strong> los Números.Dividafe todo el largo <strong>de</strong> la Efeala, <strong>de</strong>xandopor cada extremo como cof¡dc media p«lgada,en dos partes igual v Zmelé la mitad , y dividafe" en iooo part °formando un pet.pie, al modo <strong>de</strong>l 1 !2¿en la luperfice<strong>de</strong> la Efeala m«* oZ^telle por una <strong>de</strong> las mita<strong>de</strong>s dc la linca S(-qmtafc d ultimo numero ^ 1 *• -'«ooo. parres) Tomenfe pues Jos 301. quecorrefpon<strong>de</strong>n al numero abfoluto 2 'Tagafe <strong>de</strong>ftle el principio * eíb ^ g«-dondcak,nzare, y allifepondrá2.coTbdivido» ce. la linea : y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el- adrián? V»í »* vera, que al numero abfoluto »••' - - . J "
16o Trigonometríale correfpon<strong>de</strong>n 477- S » &!?££ *petípie, v transfieranfe k efta linea <strong>de</strong>f<strong>de</strong> n.radon<strong>de</strong>-llegáre, pongafe e «¡¡JJ*^i feñalará ¿ Def<strong>de</strong> to. dará 30. y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> jo*ML^Lucgofeverá.que al numero abfoluto J;correfpon<strong>de</strong>n 699- par»-, que tomadas en elpetipie, y pueftas en efta linea <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el num. u,Vil feñalará 5. y 50. Y á efte modcp toman-L 778. que correfpon<strong>de</strong> al num. abfoluto *y tornadas en el ]*&& -k ^ y q«da«concluida la divifion <strong>de</strong> efta linea en mímelosenteros dígitos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1.hafta 10. y en númerosartículos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1 o. hafta 100.Para dividir los números dígitos en partes<strong>de</strong>cimas, y los artículos en dígitos > le ve*2que d numero abfoluto rt. le correfpon*d^i.P-cs, y Redando los 1000por caufa, <strong>de</strong> que la mitad <strong>de</strong> efta lll,e * 'Koo. fe tomarán folamente las4 M » £ «,d nfrinie v fe transferirán a efta linea {y 10níiTfe haá en todas las <strong>de</strong>más divifiones).dcf<strong>de</strong>i.v.o.yfefialarádéf<strong>de</strong>l.lap^e<strong>de</strong>r,décimo,V <strong>de</strong>f<strong>de</strong>ío-feñalarael numero tu^'AuLero 12. le * * * ^ * ¡ * £quíen quitando los iooo.quedan 79. q»e ¿<strong>de</strong> 1. feñalará 2» <strong>de</strong>ein* , y <strong>de</strong>íd* 10. «Naitica.x6t12. Al num. 13. le correfpon<strong>de</strong>n 114. quepuefios <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1. feñalará 3. <strong>de</strong>cimos , y <strong>de</strong>í<strong>de</strong>10. dará 13. Tomando también i46.yoae(-tos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1. dará 4.<strong>de</strong>cimos, y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 10. dará14. También iyd.dará s-<strong>de</strong>cimos,y 15. Afsimífmo204.feúalarán d.dccimos, y id. Como230. feñalará 7. <strong>de</strong>cimos , y 17. Como cambien255. darán 8. <strong>de</strong>cimos, y 18. y finalmen- .te con 279. quedarán feñalados 9- <strong>de</strong>cimos, y19. Y <strong>de</strong> efte modo fe profeguirá dividiendolos <strong>de</strong>más números hada 10. en décimas partes, y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 10. hafta 100. en fus números intermedios.También fe dividirá d intervalo dc 10. a ;it i..en otras 10. partes iguales , por no haverdiferencia fenfiblc, y lo mifmo fe executará)con los <strong>de</strong>más números figuientes halla 20.Y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 20. hafta 30. fe podrá dividir cadaintervalo en 5. partes , para que que<strong>de</strong> la graduaciónclara, y no confufa con la multiplicación<strong>de</strong> tanta linea. Def<strong>de</strong> 30. a70.fi;.dividirá cada parte en dos , y quedará con-'cluida la conftruccion <strong>de</strong> efta linea, que fc-BOtará con efta voz • : Num.Nota, que fe ha hecho efta divifion en <strong>de</strong>-: :cimas partes, para que fe pueda tomar e« ;cftalinea mayor numero <strong>de</strong> partes , dé las queen ella eftán feñaladas, que fon 1 oo. Y en efte'cafo los números 1. 2. 3. tkc. valdrán ío.,.20. 30. Sec. y las partes <strong>de</strong>cimas <strong>de</strong> eftos val-Kfc J» Ééa
Ii d» Trigonometríalie ion ertdrán r. 2. 3. 4. 5- &
Id4 Trigonometríaal 9. \e pertenecen 156- Como á i o. tambiert174. Y á 80. le correfpon<strong>de</strong>rán 985. Para 20*le tomarán 34a. Y para 70. fe tomarán 940*Al num. 30. le correfpon<strong>de</strong>n 500» y al do. lecorrefpon<strong>de</strong>n 8dd. Y para4o.fe tomaran 643^Como para 50. fe tomarán 766. Y quedaranfondados todos los números dígitos <strong>de</strong> losSenos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> i. á 10. y <strong>de</strong>f<strong>de</strong> efte a 90* todoslos numer. artículos. Y para fcñalar los dígitos, é intermedios <strong>de</strong> eftos, fe tomaran laspartes correfpondientes <strong>de</strong> los Senos naturaíesen la linea antece<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> los Números, y,íc transferirán a efta <strong>de</strong> los Senos.Defpues cada gr. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1. hafta 10» fe disidiráen 6. partes » viendo las que le correlpon<strong>de</strong>nen los Senos naturales a cada una,que la primera vale lo.ms.y la fegunda 20.¿c y tomándolas en las lincas <strong>de</strong> los Num, ytransfiriéndolas á efta, <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 10. hafta 30. ledividirá cada grado en 4. partes, y cada unavaldrá 1 5 .ms. Def<strong>de</strong> 30.a 4o.en 3.partes,qnccada una valdrá 20.ms. De 40.a 5o.en 2.par-,tes, que cada una ferá medio grado , u <strong>de</strong> valor<strong>de</strong> 30.ms. De 5o.á 80.no adm.te div.Hon,por caufa <strong>de</strong> no confundir la graduación, eo-£10 tampoco <strong>de</strong> 80. a 90. y. quedara M *fSdo concluida la conftruccion <strong>de</strong> efta linea,que fe anota en la Efeala con eftayo*;Sím o Sin*.I'' Notifica»$. IILDe ¡alinea délas tangentes*u%DEl mifmo modo, que fe ha conftruidola linea <strong>de</strong> los Senos , fe conftruirá también!a <strong>de</strong> las Tangentes, valiéndonos <strong>de</strong> lasTTablas dc las Tangentes naturales, como en3a antece<strong>de</strong>nte nos firvieron las Tablas <strong>de</strong>los Senos naturales. Y por tanto, haviendofcñalado cu la Efeala una linea igual á la antece<strong>de</strong>nte, fe verá, que la Tangente natural<strong>de</strong> 1. grado, tiene 17. partes, que tomadas enla linca <strong>de</strong> los Números, y transferida á efta,fe pondrá don<strong>de</strong> alcanzare , 1. y en el principioo. y <strong>de</strong> efte modo fe obrará con los <strong>de</strong>másnúmeros: puesá 2.gs. le correfpon<strong>de</strong>n«n la Tangente 3 5. y á la <strong>de</strong> 3.g. correfpon<strong>de</strong>n52.Abd«4.gs.70. Aladc S.gs.87. Alaidcd.gc.105. A la <strong>de</strong> 7. gs. 1 23. A la <strong>de</strong> 8.gs.,U41. A la<strong>de</strong>p.gs. i*8. Aladc 10.gs.17d..don<strong>de</strong> fe pondrá d num. 10. Y también elnum. So. A la <strong>de</strong> 20.gs. correfpon<strong>de</strong>n 36%.Üon<strong>de</strong> fe pondrá también 70. A la dé 30.gs rÉorrefpondco 577. don<strong>de</strong> fe pondrá tambiénéo. Ala <strong>de</strong> 40.gs. correfpon<strong>de</strong>n 839. don<strong>de</strong>también fe pondrá 50. Y finalmente á la <strong>de</strong>47.gs.le correfpon<strong>de</strong>n 1000. partes , que csla longitud <strong>de</strong> toda la linea: y por tanto ferondi i cn cl fin<strong>de</strong> ella 4 J «LAPCC:§r11 I Ii
idd TrigonometríaDefpues fe pondrán los números dígito^,que falran , <strong>de</strong>f<strong>de</strong> i o. hafta 45.gs. <strong>de</strong>l mifmomodo , que fe ha hecho cn los antece<strong>de</strong>ntes.Y finalmente fe dividirá cada grado <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 1*haftá 10. en 6. parres, tomando lasque le correfpon<strong>de</strong>nen las Tangentes naturales. Y <strong>de</strong>f<strong>de</strong>10. hafta 45.gs. fedividirá cada uno en 4.,partes , que <strong>de</strong> eñe modo quedará clara la graduación, y concluida la conftruccion. <strong>de</strong> eftalinca, que fe anotará con efta voz: Tang.§. IV.Déla linea <strong>de</strong> Partes iguales.PAra eonftruir efta linea, que también,firve páralos gs. <strong>de</strong> la Équinocid , fe tiraráuna linea cn la Efeala <strong>de</strong>l.largo <strong>de</strong> lasantece<strong>de</strong>ntes : y fedividirá en 2 o. partes iguales, y la 1. divifion fe dividirá en 10. partesiguales , y cada una valdrá 1. gr. <strong>de</strong> la Equinocial, y cn el fin<strong>de</strong> ella fe pondrá o. y <strong>de</strong>fpuesen las otras divjíiones figuientes, fe pondrán10. 20. 30. &c. fegun fu or<strong>de</strong>n,, y quedaráconcluida fu fábrica , y fe anotará en laEfeala con efta voz : p. Eq.í. V.De la linea <strong>de</strong> las Partes Meridionales.PAra la conftruccion <strong>de</strong> efta linea fe neceffita<strong>de</strong> las tablas <strong>de</strong> las Partes Meridionales,y dc la linea antece<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> Partesigua-Nautica.x6yiguales : Y afsi haviendo tirado en la Efealauna linea <strong>de</strong> la long. <strong>de</strong> la antece<strong>de</strong>nte , feiráá las tablas <strong>de</strong> las Partes Meridionales, y ferveráen la latitud <strong>de</strong> 10. g. que le cofrefpon-'<strong>de</strong>n do3. que fe tomarán por m. y reducidosá g. harán 1 o.g. y 3» "V Tomenfe eftos 1 o.g.y•g.m. en la línea <strong>de</strong> Partes Iguales, y transfiriendofu intervalo á efta Jinea <strong>de</strong> PartesMeridionales, <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong> ella, haftadon<strong>de</strong> alcanzare, fe pondrá en el princirpió o, y don<strong>de</strong> alcanzo,io. y <strong>de</strong> efte modo feirán feñdando los <strong>de</strong>más g, <strong>de</strong>cimos. ' A lalaritud <strong>de</strong> 20.g. le correfpon<strong>de</strong>n 1224. quereducidos a g« fecorrefpon<strong>de</strong>n 2 ó. g. - y 2 4. m..quefe tomará en la linca <strong>de</strong> Partes iguales,y transferido el intervalo á efia, <strong>de</strong>f<strong>de</strong> o, feñalarád numero 20.Al paralelo <strong>de</strong> 30. correfpon<strong>de</strong>n 188S.,jque reducidos ág. fon 31 .g. y 28.111. que tomadoscn dicha linea, y transferidos a efta, feíalaráelnumero 30. Al paralelo <strong>de</strong> 40. correfpon<strong>de</strong>n2d24. que hacen 43-g-, y 44- m.con que fe feñalará el numero 40. Al paralelo<strong>de</strong> 50. correfpon<strong>de</strong>n 347S, que hacen 57.g. y 58.m. con los que fe feñalará el numero.50. El paralelo <strong>de</strong> 60, tiene 4537* que hacen75.g, y 37.n1. con que fe feñalará el numero60,Al paralelo dc 70, g, le correfpon<strong>de</strong>n5998. que hacen 99- g- y 5 8 «m. con los qna-*L4les.•I
•*"•"i 6 8 Trigonometríales feñalaráel num. 70. Y al paralelo <strong>de</strong> $6*le correfpon<strong>de</strong>n 8490. que hacen 141.g.y 30*m. con los quales fe feñalará el numero 80.con lo que quedará concluida la divifion <strong>de</strong>ella linea, por lo que mira á los números artículos: y para poner los números dígitos,fe ufará <strong>de</strong>l mifmo modo, bufeando. primerolos números cincos : excepto halla el numero¡so. que fe podrá dividir el intervalo <strong>de</strong> o. á!io. y <strong>de</strong> 10. á 20. en 10.. parres iguales , porS10 haver halla efte paralelo diferencia, fenfifele: Y afsi porque á 25.<strong>de</strong> correfpon<strong>de</strong>n1550. que hacen 25.g.y 50.113. con ellos fefeñalará el rum. 25. Y á efte modo en los <strong>de</strong>másnúmeros cincos.Defpues fe tomarán, las partes, que coríefpon<strong>de</strong>ná los <strong>de</strong>más g. que reducidos á g.y tomadas en la linea <strong>de</strong> Partes iguales,. ytransferido el intervalo á efta, y dividido cadag. en 4. partes iguales, por nO haver diferenciafenfible entre ellas, particularmentenafta el numero 70, quedará concluida laconftruccion <strong>de</strong> efta linea, que fe anota cn la«Efeala con efta voz: P. Mer.Pero fi fequificre fabricar mas exactamente<strong>de</strong>f<strong>de</strong> 70? cn a<strong>de</strong>lante , para dividir elg.entjuatro partes v. g. <strong>de</strong> 70. á 7.1. fe verán, lasJque correfpon<strong>de</strong>n en la tabla <strong>de</strong> Partes Meridionalesá 70.g. y 15.111. y á 70.g. y 30.n1.K » 7,o.g. y 45.ro. y reducidos á gr. cada unoNáutica. 169Be por si, fe hará lo mifmo, que con los antece<strong>de</strong>ntes: y executado efto mifmo con todoslos <strong>de</strong>más gs. quedará mas perfectamentefabricada.CAPITULO III.toe losufos <strong>de</strong> la Efeala Plana , aplicados a ijtNavegación.,EN efte Capitulo fe propondrán los mifmosProblemas, que fe pufieron en la 1.Parte Capitulo 1. y cn la refolucion <strong>de</strong> ellos,irá embebido el ufo. <strong>de</strong> las lineas, que componenla Efeala Plana, fegun, lo. pidieren las proporciones, notando , que quando fe dixere;¡Tomefe la Cuerda <strong>de</strong> 40. ó <strong>de</strong> yo.g. fe havrádctomar <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong>las Cuerdas hafta el numero 40. ú hafta cl 5 o.Y lo mifmo fe <strong>de</strong>be tener entendido en las<strong>de</strong>más lineas <strong>de</strong> los Rumbos, <strong>de</strong> los Senos, <strong>de</strong>las Tangentes, y <strong>de</strong> las Secantes, que efta»fon, las que firven, para dará conocer el valordc los ang. Y para tomar las partes, que correfpon<strong>de</strong>ná los g. fe ufará <strong>de</strong> qualquiera <strong>de</strong>las lineas <strong>de</strong> Partes iguales , fegun fe quiííeremayor, 6 menor la figura poniendo la unapunta <strong>de</strong>l compás cn cl numero articulo <strong>de</strong> laspartes, que fe dieren, ó pidieren, y transfiriendola otra házia el principio, feñalará las partes, que tuviere <strong>de</strong>más <strong>de</strong>l numero articulo:Co*
170 TrigonometríaComo todo fe verá practicado en las folucioncsfiguientes.PROBLEMA PRIMERO,Dada la diferencia <strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong> longitudplana, y la diftancia, conocer el ángulo<strong>de</strong>l Rumbo. Fig. 1,NAvegó un Piloto 140.millas <strong>de</strong> diftancia,y tuvo <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> laritud ¿25,01.y <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> long. plana d4.n1, y quierefaber el rumbo por don<strong>de</strong> caminó.Tirefe la linea BA. que reprefenta d Norte-Sur,y vayafe a una linea <strong>de</strong> Partes iguales,la que guftáre el Operante, y abierto el compás, pongafe la una punta dc d en el numero12, que valdrá 120, y guiando la otra puntaházia cl principio , tomará 5. partes, y ferán1125. las quales. transferirá <strong>de</strong>f<strong>de</strong> A. haftaB,y por B. levantará la perpendicular BC.á laAB, y tomando en dicha linea <strong>de</strong> Partes igualesd4. <strong>de</strong>í<strong>de</strong> do. házia el principio,don<strong>de</strong> tomaráquatro partes mas,y las transferirá <strong>de</strong>f<strong>de</strong>B. hafta C, y tomando <strong>de</strong>fpues <strong>de</strong>l mifmo modoi4o,millas,y fe transferirá <strong>de</strong>f<strong>de</strong> A,haftaC.y quedará cerrado cl triang, ABC-Y para conocer el rum* fe tomará la cuerda<strong>de</strong> do.grs, en la linca dc las Cuerdas, y haciendocentro en A. fe <strong>de</strong>fcribba el arco FG.y tomando el intervalo <strong>de</strong> E.á G.fc paliará a laiNáutica. 171linea <strong>de</strong> las Cuerdas, <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio, y llegaráhafta 27, g. y i2.m. que es el ang- <strong>de</strong>cl rum, feñalado cn A. y el <strong>de</strong>l comp, ferádctí2,g. y48.n1. reprefentado en C. Aquífe <strong>de</strong>be advertir la nota 1, puerta en dichocap. 1. <strong>de</strong> la primera parte, para que el intervalo<strong>de</strong> Ja diftancia AC. ajufte con el <strong>de</strong> BC.-diferencia <strong>de</strong> el Meridiano,PROBLEMA II,Dada la diferencia <strong>de</strong> latitud, y apartitniento<strong>de</strong> Meridiano , hallar el rumbo , y diftancia.Fig. 1.NAvegó un Piloto por un rum.<strong>de</strong>l 1.quadrante, y dio <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud74.m. y <strong>de</strong> apart.<strong>de</strong> Merid. 3 i.m. Tirefe la lineaAB. que reprefenta la linea Norte-Sur , yfetialefe en cllaAB.<strong>de</strong> 74. ms. tomados en lalinca <strong>de</strong> Partes iguales, como queda dicho,y por B. levantefe la perpendicular BC. y tomandoen la linea <strong>de</strong> Partes iguales 3 i,m«. fetranforman <strong>de</strong>f<strong>de</strong> B.hafta C. y tirando la reCtaAC. quedará cerrado el triang. ABC.Para conocer el rum. tomefe la cuerda <strong>de</strong>do.g. en la linea <strong>de</strong> las Cuerdas , y haciendocentro en A, <strong>de</strong>feribafe el arco FG. y tomefeel intervalo <strong>de</strong>f<strong>de</strong> F.á G. y transficrafe ala linea<strong>de</strong> las Cuerdas <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio,y feñalará22,gs, y 3o,mín. que es él 2. rum. porquetransferido efte mifmo intervalo á la linca <strong>de</strong>los
' 172 Trigonometríalos rumbos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio , feñalará el 2.rumb. Y para hallar la diftancia, fe tomará elintervalo <strong>de</strong> la recia AC. con el qual fe irá ala linca <strong>de</strong> Partes iguales, don<strong>de</strong> feñalará 8o„que cs la diftancia navegada,Y porque <strong>de</strong>fpues por la obfervacion <strong>de</strong>lSol halló 80. ms, <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud, necefsita<strong>de</strong> corrección. Y para ello,alargarála linea AB. hacia D. y tomando el intervalo<strong>de</strong> 8o.ms. lo transferirá <strong>de</strong>f<strong>de</strong> A. hafta D.por don<strong>de</strong> levantará la perpendicular DE. ála AD. ó paralela ala BC. que fe terminaráen la AC. prolongada cn E. porque ufa <strong>de</strong> laprimera Regla, por no tener fatisfaccion <strong>de</strong>lrumbo, ni <strong>de</strong> la diftancia, y quedará forma-Ido el triangulo ADE, en que tiene conocidoAD.diferencia dc latitud 8o,m.y el ang.A.<strong>de</strong>l rum.22. gs, y 30, ms. y transfiriendo elintervalo DE. y el <strong>de</strong> la reCta AE. á la linea<strong>de</strong> Partes iguales , hallará diferenc. <strong>de</strong> merid.DE. <strong>de</strong> 33.ms. y <strong>de</strong> diftancia corregida AE.<strong>de</strong> 87. millas.Defpues preten<strong>de</strong> el Piloto faber el lugar<strong>de</strong> la Nao. Y para ello fe necefsita faber ellugar falido, y la diferencia <strong>de</strong> longitud efpherica.Y fupuefto , que dá el lugar falido,fe hallará la media paralela , como fe dixo encl Problema 1. <strong>de</strong>l Capitulo 4. dc la Parte 1.y con ella fe hallará la longitud efpherica , y«vi lugar <strong>de</strong> lalfla.g. Eerp por la Efeala,buf-ca-Nautíca. 173cara las Partes Meridionales correfpondientesá ambas latitu<strong>de</strong>s, falida , y llegada, ytomará fu diferencia , la que transferirá <strong>de</strong>f*<strong>de</strong> A. á H. por don<strong>de</strong> levantará la perpendicularHY. que transferida á la linea <strong>de</strong> Partes¡guales, feñalará la diferencia dc longitu<strong>de</strong>fpherica.También fe hallará la longitud efphericapor la Efeala con la media paralela , y el modocs el figuiente : Tomefe la cuerda <strong>de</strong> do*,gs. y haciendo centro en el ang, <strong>de</strong>l compl»<strong>de</strong>l rum. que es el punto E. <strong>de</strong>feribafe el arcoDO. fobre el lado DE. que reprefenta elapartamiento <strong>de</strong> meridiano corregido, y tomefela cuerda <strong>de</strong> la media paralela, y tranf*-fierafe <strong>de</strong>f<strong>de</strong> D- p°*" el arco hafta O. y por E.y O. tirefe la teéta EO. prolongada hafta L.cn la linea <strong>de</strong> Norte-Sur ABL. y tomandoel intervalo EL. y transferido á la linea <strong>de</strong>Partes igu<strong>de</strong>s, dará la diferencia <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>fpherica, que ferá fiempre igual á la HY.:qué fe tomó con las Partes Meridionales, ycon ella fe bufcará el lugar <strong>de</strong> la Nao : y lomifmo fe executará con los <strong>de</strong>más Problemasfiguientes : cuya explicación fe omitirá,porque es la mifma , que queda puerta 1 yporque el principiante fe exercite enfus operaciones,,PRO-7
*74 TrigonometríaPROBLEMA III.Dado el rumbo, y diftancia, hallar la diferencia<strong>de</strong> latitud, y <strong>de</strong> meridiano. Fig. 2.NAvegó un Piloto por el 6. rum. <strong>de</strong>l .4.quadrante 78.millas, y quiere faber, loque propone el Problema. Tirefe la linea,FH. que reprefenta el Norte-Sur, y haciendocentro en H. con la cuerda <strong>de</strong> dd.gs; <strong>de</strong>f-.-cribafedarcqGL. y tomando él d. rumboeii la linea dc los Rumbos , fe transferirá <strong>de</strong>f<strong>de</strong>G.llafta L.y por H. y L.fe tirará laHLD.yfe tomará HD.<strong>de</strong> 78.millas,y por D.fe <strong>de</strong>xarácaer la perpendic. DF. á la HF. y tomando cl.intervalo HF. feñalará 30.ms.<strong>de</strong> diferenc. <strong>de</strong>latitud,y DF.dará 72.ms.<strong>de</strong> apart.<strong>de</strong> mérid.. Defpues obfervó el Sol, y halló <strong>de</strong> diferenc.<strong>de</strong> latít. 2$.ms. Y porque no concuerda conla operación antece<strong>de</strong>nte, necefsita <strong>de</strong> corrección: y para ello tomará cn la linea dé Parcesiguales los 2 5.ms. y los transferirá <strong>de</strong>f<strong>de</strong> H. aG. por don<strong>de</strong> tirará la paralela GY. á la DF.yhaciendo centro en H. con cl intervalo HD.<strong>de</strong>feribafe el arco DY. y tirefe la recta HY. yhallará la GY. <strong>de</strong> 75.ms.difer. <strong>de</strong> merid. cor-,regido, y el ángulo <strong>de</strong>l rum. corregido <strong>de</strong> 71-gs.y i8.ms. que fehallará pallando ala linea<strong>de</strong> las Cuerdas el intervalo <strong>de</strong>l arco GL. <strong>de</strong>f<strong>de</strong>G.hafta L. en la reíta HY. Defpues fe bufcaráel lugar dc la Nao como queda dicho.,PRO-K3LNautica. 175PROBLEMAIV.Dado el rumbo ,y diferencia <strong>de</strong> meridiano, bailarla diferencia <strong>de</strong> latitud -, y diftancia.N. Fig. 3.Avegó un Piloto por el 3. rumbo <strong>de</strong>l 3.quadr. hafta que tuvo <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong>merid. 39.111. y quiere faber lo que proponeel Problema. Tirefe la recta KM. que reprefentael Norte-Sur , y porM. levantefe á ellala perpendicular MN. y tomefe <strong>de</strong> 39.inih. ycon la cuerda <strong>de</strong> do.g. y centro N. <strong>de</strong>feribafeel arco TS. y tomefe en la linca <strong>de</strong> los Rumb.el 5. ruiíii compl. <strong>de</strong>l rum. dado, y transfierafe<strong>de</strong>f<strong>de</strong> T* hafta S. y por N. y S. tirefe la NS.prolongada, hafta que corte á la MIC en elpunto K¡ y dará la KM. 58.n1. <strong>de</strong> diferenc. <strong>de</strong>latitud, y laKN.70.millas <strong>de</strong> diftancia:y haciendocentro en K. coil la cuerda <strong>de</strong> do.grs.y <strong>de</strong>leriptod arcoRS. y transferido el intervaloRS. á la linea <strong>de</strong> los Rum. feñalará el 3.que es , el que fedio , y en la <strong>de</strong> las Cuerdasfeñalará 33.g. y45.n1. queescl vdor <strong>de</strong> elrumbo dado¿Defpues halló por la obfervacion d4.n1..<strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud: y necefsita <strong>de</strong> corregirfu punto : Y para ello alargará la KM. há-'ziá Q^y tomará KQ¿_ <strong>de</strong> d4.n1.y por Q¿. tirarála Q£>. paralela i la MN. y dividirá la NO.;por
xj6 Trigonometríapor medió, y con la diftanc. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> K. á eft«punto,haciendo centro en K.dcferibirá el arcoP. y tirará la reCta KP. y formará el triang..KPQ-jque es el corregido: don<strong>de</strong> hallará KP..<strong>de</strong> 74.miilas <strong>de</strong> diftancia, y PQ¡_<strong>de</strong> 34.m. <strong>de</strong>apartam. <strong>de</strong> merid. y tomando el intervalo cnel arco RS. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> R. hállala diftancia KP. y.transferida á la linea <strong>de</strong> las Cuerdas,íeñalará elang.<strong>de</strong>l rum.<strong>de</strong> 3o.g.y j.m. Defpues bufcarála long. efpherica, y el lugar <strong>de</strong> la Nao, comoqueda dicho en los Problemas antece<strong>de</strong>ntes»,PROBLEMA V.Dado el rumbo , y diferencia <strong>de</strong> latitud, baila?la diftancia, y apartamiento <strong>de</strong> meridiano.Fig. 4.CAminó un Piloto por el 4.rumbo dd a.quadr. fegun fu fantasía, y halló por laoperación 70.ms. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud : ypregunta,quales fean los otros términos?Tírelela RS. que reprefenta el Norte-Sur,y tomefeen ella RS.<strong>de</strong> 70. ms. y con la cuerda <strong>de</strong> do.gs. haciendo centro en R. <strong>de</strong>feribafe el arcoMQ^y tomefe en la linea <strong>de</strong> los Rumbos el 4*rum.y transficrafe <strong>de</strong>f<strong>de</strong> M.aQ^y porR.y Q¿tirefe la RUY. y por S. levántele la perpendicularST. y formaráel triangulo RS f. en quetallará ST. igual á RS. <strong>de</strong> 70.111. dc apart. <strong>de</strong>,merid. y la diftancia RT. <strong>de</strong> 100. millas.PeC• " Náutica. 177Defpues halló por la obfervacion 80. m. dédifer. <strong>de</strong> latit. y porque no concuerda con la<strong>de</strong> la operación , necefsita <strong>de</strong> corregirle: y paraello podrá ufar <strong>de</strong> la Corrección , que fe haceen el 3. u en cl 5. rum. que una , y otra fehará en el modo figuiente: alarguefe lá RS. porparte dc la S. y tomefe RV. <strong>de</strong> 80. m. y por Vitirefe la VY.paralela á la ST.y dividafe laTY.por medio en Z. y haciendo centro en R. corila diftancia RZ. <strong>de</strong>feribafe el arco ZX. y zUrefe la XR. que es el un mono. 1El otro cs : Defpues <strong>de</strong> haver tirado la pa-»-ralela VY. como antes, haciendo centro en Rjcon la diftancia RT. formefe el arco TO. ydividafe por medio en P. y tirefe la RPX. yquedará el mifmo triang. RVX. que en eímodo antece<strong>de</strong>nte : don<strong>de</strong> fe hallará la diftah¿cia RX.<strong>de</strong> 107. millas: el apart. <strong>de</strong> merid.VX;<strong>de</strong> 71. ms. y el ang. <strong>de</strong>l rum. fe hallará paitandola cuerda MN. á la linea <strong>de</strong> las Cuerdas*don<strong>de</strong> feñalará 41. gs. y 23. m. Y <strong>de</strong>fpues conla longitud efpherica hallará el lugar dc laNao, <strong>de</strong>l modo , que queda dicho antes.PROBLEMA VI.Dada la diftancia, y apartamiento <strong>de</strong> meri-• diana, hallar el rumbo , y diferencia <strong>de</strong> • -Clatitud. Fig. 5.Aminó un Piloto en el 4.quadrante 90,valllas,ytuvo<strong>de</strong>cliter. <strong>de</strong> merid. 75.ms. y«3*; M pre-,'
«78 Trigonometríapregunta por los <strong>de</strong>más términos, qué faltan.-Tircfe la rcCta AB. dc qualquier longitud , ypor A. levante a ella la perpendicular AC. ytomefe AC. <strong>de</strong> 7
18o Trigonometríacaufa <strong>de</strong> fer el 3. termino 100. y haverfe_ <strong>de</strong>multiplicar por el fegundo , y <strong>de</strong>fpues, partiendo3 300. que es el producto <strong>de</strong>l fegundo, potcl 3. termino, entre el primer termino 80. vio.ne al tociente 41. y 1. quartillo. Tomenfe los41. y 1. quartillo en la linea <strong>de</strong> Partes iguales,fenalada con la letra P. y transfierafe á la linea<strong>de</strong> las Tang. y feñalará la dc 2 2. g. y 30. min,,como queda dicho.Para hallar la diftancia , fe dirá : Como elfeno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. A. <strong>de</strong> 22. 30. al apart.<strong>de</strong> merid. DE. <strong>de</strong> 33. afsi el radio á la diftanciaAE. Tomefe en la linea dc los Senos'el <strong>de</strong>122. 30. y transfierafe á la linea <strong>de</strong> Partes igualesP. y feñalará 38. y quedará la regla <strong>de</strong> tresfiguiente : Como el feno <strong>de</strong> 22. 30. quecorref»pon<strong>de</strong> a 2^- al apart. <strong>de</strong> merid. 33. afsi el radio100. á 87. que fale partiendo 3300. producto<strong>de</strong>l fegundo por el tercero termino , entreel primero 38. Defpues fe hallará la mediaparalela , como queda dicho en el Problema 4.<strong>de</strong>l Cap. 3. <strong>de</strong> la 1. Parte , ó por la linea dclas Secantes en el modo figuiente.tf. I.'Hallar la media paralela por ¡a linea <strong>de</strong> lasSecantes.TOmefe en la linea <strong>de</strong> las Secantes el intervalo, que hay entre las dos latitu<strong>de</strong>s,l dividafe por medio , y tomando ella mitad<strong>de</strong>f<strong>de</strong>Náutica.18 rHef<strong>de</strong> la menor latitud házia la mayor , feñalarála media paralela.Hallada yá la media paralela , fe bufcarála long. efpherica, reprefentada en la lineaHY. por uno <strong>de</strong> los modos figuientes.1. Como la diferencia <strong>de</strong> latitud cn min*AD. dc 80. á la diferencia <strong>de</strong> merid. DE. <strong>de</strong>33. afsi la diferencia <strong>de</strong> latitud en Partes MeridionalesAH. <strong>de</strong> 89. a la diferencia <strong>de</strong> long..«fpherica HQ^dc 37./. I.Hallar la longitud efpberiea por la linea <strong>de</strong> Id• Longitud.t. *~r^Ambien fe pue<strong>de</strong> hallar la. longitudJ[ efpherica por. la linea <strong>de</strong> las Longitu<strong>de</strong>s, mediante el paralelo por don<strong>de</strong>, fenavega, ó la latitud media. Y fe hace , tomandoen la linca <strong>de</strong> las Cuerdas , que eftá juntoá la <strong>de</strong> la long. la cuerda <strong>de</strong>l paralelo ,0 <strong>de</strong> lalatitud media, y transfiriéndola a la linea dcLong. <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el numero do. házia el principio,y don<strong>de</strong> alcanzare la otra punta, feñalarálos ms. correfpondientes á cada g. <strong>de</strong>l paralelo, contados <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el principio <strong>de</strong> dicha linea, y partiendo las millas <strong>de</strong> diftancia nave-*gada en cl paralelo , ó los m. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong>merid. entre los que fcqdó d compás ehl*Mi n.
"i 8 2 Trigonometríalinea <strong>de</strong> Long; el rocíente dará los grs, <strong>de</strong> di 5 .ferencia <strong>de</strong> Long. efpherica; y fi huviere refiduoen la partición , Ó no pudiere partirfe ladiftancia , ó diferencia <strong>de</strong> merid. entre los ms.feñalados en la linea <strong>de</strong> Long. por fer aquellosmenores que eftos , fe multiplicarán losprimeros por do. m. que tiene un gr. y fe partiráel producto entre los min. <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong>Long. y el tociente feñalará los min. <strong>de</strong> diferencia<strong>de</strong> Long. efpherica.: Lo que fe practicarápara que mejor fe comprehenda, en losdos exemplos figuicnres..Exemplo i. Navegó un Piloto por el paralelo<strong>de</strong> 40. g. 195. millas : y quiere faber ladiferencia <strong>de</strong> Long. efpherica. Tomefe con clcompás en la linea <strong>de</strong> las Cuerdas el paralelo<strong>de</strong> 40. y transfierafe á la linea <strong>de</strong> long. <strong>de</strong>f<strong>de</strong>do. y feñalará 4d. m. partanfe los 195-entre4d. y vendrá al tociente 4. que fon g- <strong>de</strong> long.y quedará cn el refiduo 11. que multiplicadospor do. producen ddo. que partidos entre losmifmos 4d. viene al tociente 14. que fon min.a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> los g. y todo hace 4-g. y 14-m. quereducidos a min. fon 254. m. <strong>de</strong> diferencia¡<strong>de</strong> long. efpherica.Exemplo 2. Sea efte el <strong>de</strong>l Problem. prefente,en que fe hallan 33.n1. dc apart. <strong>de</strong> merid.yla media paralela es 2d.g. y 53-m. que tomadaen la linea <strong>de</strong> las Cuerdas, y transferida á la•<strong>de</strong> Long. feñala yj.m. y 2. tercios: Y porqueclNáutica. 1*5.ti num. primero 33. es menor , que efte ulfftmo 5 3. y 2. tercios, formará un quebrado íiendoel numero primero numerador , y el fegundo<strong>de</strong>nominador-, y fi quiere partir cl primeroentre él fegundo , viene al tociente o.¡que en la prádica fe dice, no po<strong>de</strong>rfe partir.Y por tanto fe multiplicará 33. por do. yproducirán 1980. que fe partirán entre 53.y 2. tercios : y para hacerlo con mayor facilidad, y quitar el quebrado dd partidor , fereducirá efte á tételos, y la partida divi<strong>de</strong>n*da fe multiplicará por 3.y quedarán 5940. quepartir entre idi, y hecha la operación , vieneal tociente 36. y'144. ciento y fefenta y unabos , que , por fer mas dc medio , fe podrántomar 37. que fon los m. <strong>de</strong> long. -que le correfpon<strong>de</strong>ni los 33. <strong>de</strong> apart. dc meridiano*tf. III.' iDada la longitud efpherica en qualquier paralelo,bailarla diftancia, o longitud plana.LA doctrina <strong>de</strong> efte $. es mverfa <strong>de</strong> la <strong>de</strong>lantece<strong>de</strong>nte : y por tanto pondremoslos dos mifmos exemplos , que en el fe pufiéronvadvirtiendo , que fe han <strong>de</strong> bufcar <strong>de</strong> elmifmo modo los m. que correfpon<strong>de</strong>n al paralelo, y <strong>de</strong>fpues •multiplicar los m. dc Ion?,fípherica, por lo$ que fe hallaron corrtfpon-M 4<strong>de</strong>t15'
fi* Trigonometríaidcr a cada grado <strong>de</strong>l paralelo., y el producir*partido entre,do. el tociente dará las millas<strong>de</strong> diftancia, ó min. <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. v. g.Sedán 4-gs. y i4.ms. que valen 254.105. dcdiferencia <strong>de</strong> longitud efpherica en el paralelo<strong>de</strong> 40. gs. don<strong>de</strong> á cada grado le correaÍion<strong>de</strong>n 46. ms. equinociales : Multiplicados,05254. por 4d. producen nd84. que partidosentre do.vicne al tociente 194. y n.quinzeabos , que por fer mas <strong>de</strong> medio, fe pue<strong>de</strong>hacer entero, y ferá el tociente 195. que fonlas millas , que le correfpon<strong>de</strong>n <strong>de</strong> diftanciaen dicho paralelo.Sea también dada en el Problema pre-»fentc la long; efpherica <strong>de</strong> 37. m. con la mediaparalela <strong>de</strong>,2d.gs. y 53.ms. don<strong>de</strong> correfpon<strong>de</strong>á cada gr. 53.ni. y 2. tercios , que fon40. fegundos. Y haviendo multiplicado los37. por 53. y 2. tercios , producen 1985. quepartidos entre do. viene al tociente 33. (<strong>de</strong>f-.preciando el quebrado , por fer menos dc medio.)que fon min. <strong>de</strong> apart. dc merid. Tam*bien multiplicando los 37. por los 53.n1. ys4o.fegundos,producen 1985.que partidos entredo.viene también al tociente 33.<strong>de</strong> diferencia<strong>de</strong> longitud plana, que es lo mifmo, queantes, <strong>de</strong>fpreciando también el quebrado. ¡3. Tercero modo dc hallar la long. efphericaferá en el triangulo EDL. diciendo,:ComQ cl fejjga, <strong>de</strong> ln latitud media fá Si-Náutica.í8ffjüt es 63. y 7. valor <strong>de</strong>l ángulo L. que correfpon<strong>de</strong>á 88. partes, ú radio, que correfpon<strong>de</strong>á 100. afsi 33. ms. <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid*que.es DE.á la longitud efpherica LE. dc 37*<strong>de</strong>fpreciando cl quebrado.4. Quarto modo <strong>de</strong> hallar la longitud efphericaferá: diciendo: Como el radio 100.á la fecante<strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong> la media paralela 26.,y 5 3.que es el ang. LED.y correfpon<strong>de</strong>, tomadaen la linea <strong>de</strong> las Secantes , á 112. partes enja dc Partes iguales : afsi la diferenc. <strong>de</strong> merid.;DE. dc 33-ms. áLE. diferencia <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>fpherica dc 37.min.Defpues fe hallará el lugar <strong>de</strong> la Nao , fa«biendo primero la longitud falida : Y íiendopreguntado por ella el Piloto, refpondió , quefue dc 4d.g.y 54.n1. á quien añadiendo los 37.1ms. <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> longitud c.fpher. por havernavegado en cl 1. quadrante , ferán 47. gs*y 3 i.ms. Y fe refpon<strong>de</strong>rá : Que d lugar <strong>de</strong> laNao es , en 27.gs. y 33-111- dc latitud <strong>de</strong>l Norte,)'4?.gs- y 3 i-ms. <strong>de</strong> longitud. En efte Problemanos hemos <strong>de</strong>tenido, por dar los ufos.<strong>de</strong> las lincas , que componen la Efeala Plana:,los quales tendrá el Operante prefentes en losProblemas, que fe liguen , don<strong>de</strong> fe pon-idrán folamente las operaciones necelTariaspara fus refoluciones.PRO-MMBPMHBBHM
Náutica. 1*7,\U Trigonometríara , por caufa , <strong>de</strong> que el Principiante fe • EN el triang. RVX. eftá conocido el rum.cxercitc en bufcarlos, para fu mayorR. y la diferencia <strong>de</strong> latitud RV. y paraa<strong>de</strong>lantamiento..conocer la diftancia,íc ¿ira: Como el fen»VKO r<strong>de</strong>lPROBLEMA II.PROBLEMA III.Dado elrumbo<strong>de</strong> ji.gs.y iS.ms. en éla.qua*Dado el rumbo <strong>de</strong> 30. g.y 7. ms. en el 3. quaAdrante , y la diferencia <strong>de</strong> meridiano 37. ms.arante , y la, diftancia navegada -jS.millaSf• ¿altar la diferencia <strong>de</strong> latitud, y apartamientobailar la diferencia <strong>de</strong> latitud, ydiftancia. fig. 3-dé meridiano.Fig.2.EEN cl triang. KPQje dá conocido el ang.iN el triang. HGY. fe da conocido el dd rum. K. dc 3o.gs.y 7-ms. y el aparurumbo GHY.<strong>de</strong> 7i.gs. y i8.ms. y la dc merid. PQj.<strong>de</strong> 37.111. Y para hallar la diferencia<strong>de</strong> latitud, fedirá: Como el feno <strong>de</strong>l ang.diftancia HY. <strong>de</strong> 78, millas : Y para hallar ladiferencia dc latitud , fe dirá : Como el radio,que vale 100. á la diftanciadc 78. millas : afsiel feno <strong>de</strong>l compl. <strong>de</strong>l rumbo , que es 18.y 42. correfpon<strong>de</strong> á 32. partes , á la diferencia•<strong>de</strong> latitud HG. que ferá <strong>de</strong> 25. hecha la operación<strong>de</strong> multiplicar el fegundo termino por eltercero , y partir entre cl primero.Para hallar el apart. <strong>de</strong> merid. fe dirá: Comoel radio 100. á la diftancia HY. 78. afsi d<strong>de</strong>l rum. K. 30.gs. y 7. ms. que correfpon<strong>de</strong> i50. al apart. <strong>de</strong> merid. PQ.<strong>de</strong> 37. afsi el feno<strong>de</strong>l compl. P. 59-gs. y 53- ms. á quien correfpon<strong>de</strong>n8d. á la diferencia <strong>de</strong> latitud KQj.dcd4-ms. Para hallar la diftancia , fe dirá: Comoel feno <strong>de</strong>l rum. que vale 50. al apart. <strong>de</strong>merid. PQj.<strong>de</strong> 37. afsi el radio 100. á la diftanciaKP. <strong>de</strong> 74. y <strong>de</strong>fpues fe bufcará d lugardc la Nao como en el Problema 1.feno <strong>de</strong>l ang. -<strong>de</strong>l rum. 71.gs. y 18. ni. que•correfpon<strong>de</strong> áí>d.partes, alapar.<strong>de</strong> mer. GY.PROBLEMA IV.•<strong>de</strong> 74.Dado elrumbo qi-gs-y 23.ms.enel 2,quadrante,^ Luego fe bufcará la media paralela <strong>de</strong> qual-«quiera <strong>de</strong> los modos , que
TS8 Trigonometría3cl compl. X. <strong>de</strong> 4S. grs. y 37. ms. k quiencorrefpon<strong>de</strong>n 75. á la diferencia <strong>de</strong> latitudRV. <strong>de</strong> So. afsi cl radio 100. á la diftanciaRX. <strong>de</strong> 107.Y para d apart. <strong>de</strong> merid. fe dirá : Comoel radio 100. á la diftancia RX. <strong>de</strong> 107. afsiel feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. R. <strong>de</strong> 41. gs. y 23.m. á quien correfpon<strong>de</strong>n 66. k VX. diferenc»<strong>de</strong> merid. <strong>de</strong> 71. Luego fe bufcará el lugar <strong>de</strong>le Nao, como queda dicho.PROBLEMA V.toada la diftancia dc9%- millas en el 4. quadrante,y el apartamiento <strong>de</strong> meridiano <strong>de</strong> 77. «i.eonocer el ángulo <strong>de</strong>l rumbo , y diferencia<strong>de</strong> latitud. Fig. 5.EN ei triang. BED. fe dá conocida la dií-*tanda BE. y el apart. <strong>de</strong> merid. DE. Ypara conocer el ang. <strong>de</strong>l rum. fe dirá: Comola diftancia BD. <strong>de</strong> 98.a! radio 100. afsi elapart. dc merid. DE. que es 77. al feno <strong>de</strong>lWig.<strong>de</strong>irunvB. y falcn 79. partes, que tranfferidasala linca <strong>de</strong> los Senos , feñalará 52.gs.y 13. ms. por valor <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rumbo. Para¿aliar la diferencia <strong>de</strong> latitud BE. fe dirá:Como el radio 100. ala diftancia BD. 9' ! * aftld feno <strong>de</strong>l compl. D. que cs JJ. y 47. a quiencorrefpon<strong>de</strong>n dr.partes.á la difer.<strong>de</strong> latit. BE.,<strong>de</strong> do. Y haviendo blufeado cl lugar <strong>de</strong> la Nao,co-.Náutica. * 185»como queda dicho antes, quedara concluido elProblema, y el ufo <strong>de</strong> las lineas, que componenla Efeala Plana: y feguiremoscon la Efeala A»tilicial.CAPITULO V.Del ufo <strong>de</strong> las lineas que componen la EfealaArtificial. ,EN efte Capitulo pondremos folamente lo»ufos mas precifos <strong>de</strong> las lineas que cora--ponen la Efeala Artificial, para la refolucion<strong>de</strong> los triang. planos, aplicados á la Navegación: Porque aunque tiene muchos la linea dcles humeros, como fe ha conftruido por %tabla <strong>de</strong> los logarithmos, tiene los mifmosufos que ella; y como eftos quedan explicadosen la Trigonometría Plana General, quandofe trató <strong>de</strong> la tabla <strong>de</strong> los Logarithmos , pocefio no fe repiten aqui; pero lo que fuere ne-*ceflario para la refolucion <strong>de</strong> los ProblemasNáuticos , irá explicado en la refolucion dclos Problemas figuientes.PROBLEMA PRIMERO.Dada la diferencia <strong>de</strong> latitud So.m. y el apart**•miento <strong>de</strong> meridiano 3 ?. conocer el ángulo <strong>de</strong>lSrumbo, y la diftancia. Fig. 1.;Alió un Piloto <strong>de</strong> la latitud Norte 26. gs.y 13. m. y <strong>de</strong> la long. dc 4d.g. y 54J11;f- tuvo <strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> latitud 80. m. xepiofen-
ipo TrigonometríaTentada en el triangulo ADE. en el lado AD.y <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. DE. <strong>de</strong> 33.111. y quiere-refolver fu triang. Y para ello, dirá : Como ladiferencia <strong>de</strong> laritud AD. <strong>de</strong> 80. ala diterencia<strong>de</strong> merid. DE. <strong>de</strong> 33. afsi el radio a latang. <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. A. que ferá <strong>de</strong> 22. g. y•jo.m. Y la práctica <strong>de</strong> efta refolucion fe fundacn el ufo dc la linea <strong>de</strong> los Números, y <strong>de</strong>la <strong>de</strong> las Tang. que fe dirá en las §§. figuientes.§. I.Del ufo <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong> los Números.A queda dicho, y notado en el §. primero<strong>de</strong>l Capitulo 2. <strong>de</strong> la conftruccion¡<strong>de</strong> efta linea , que los números pueftos cn ellatoman diferentes vdores , fegun fe necefsita.Lo qual fupuefto , fe <strong>de</strong>be también advertir,que, quando <strong>de</strong> los numeros que fe han dctomar, es el primero mayor que el fegundo,el tercero <strong>de</strong>be fer mayor que el quarto: ytambién quando el primero fuere menor quecl fegundo, el tercero ferá también menorque el quarto: como fe practicará cn los exemplosfiguientes.1. Sean dados los numeros 3. y 8. y fepreten<strong>de</strong> faber, qual fea el tercero proporcional? Tomefe con el compás el intervalo , quehayentre 3. y «. Y porque el numec primerocs menor que cl fegundo , fe transferirá cite,111-Nautiea. 19*^intervalo <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 8. házia el mayor numero, ograduación, y feñalará la otra punta <strong>de</strong>l compásar. y cerca <strong>de</strong> 2. quintos , que hacen untetcio , que es el num. que fe bufca.i. Sea la proporción: Como?, á 5. afsiso. á quien? Tomefe el intervalo <strong>de</strong> 9. á 5.-y transfierefe <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 20. házia el principio"^por fer el num. primero 9. mayor, que elfegundo 5. y feñalará la otra punca <strong>de</strong>l cora-,pás 11. y poco mas <strong>de</strong> 1. décimo, que le correfpon<strong>de</strong>fer 1. noveno , y ferá 11. y 1,novenoel num. 4. <strong>de</strong> la proporción menor , quecl tercero 20.3. Sea el exemplo propuefto en el Probf.como 80. k 33. afsi el radio á la tangente <strong>de</strong>Vang. <strong>de</strong>l rum. Tomefe el intervalo <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 80.9a 33. y transfierafe á la linea dc las Tangentes<strong>de</strong>f<strong>de</strong> la <strong>de</strong> 45. házia el principio, yfeñalará 22. y 30. y juntamente d7. y 30. Yporque cl i.num. <strong>de</strong> la proporción es nía,yor ,que el 2. y el 3. cs 45. gs. <strong>de</strong>berá fer el 4,.termino menor, que 45. Y afsi <strong>de</strong>terminará,que fea i2.gs. y 3o.ms. Y porque aqui eftáembebidod ufo <strong>de</strong> la linea dc las Tangentes»fe exemplificará en el paragrapho figuiente.E¿r. ir.Del ufo <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong> las Tangentes.N efta linea fe ha <strong>de</strong> tomar cl intervalo,;que hirviere entre dos tangentes dadas, ytraní-
192 Trigonometría .transferirlo <strong>de</strong>f<strong>de</strong> la tercera házia la 4. quefe bufca, al modo , que queda dicho en el parágrafoantece<strong>de</strong>nte ; y fi entre ellas es algunael radio, fe tomará por el radio la dc 45.g. comofe verá en las analogías figuientes.1. Sea como la tang. dc io.g. y 1 5.min.á la <strong>de</strong> i2.g. y 30.n1. afsi la <strong>de</strong> 20. 45. á laque fe bufca , que ferá <strong>de</strong> 24.g. y 5 5.m. porque, haviendo tomado la diftancia , que hay<strong>de</strong>f<strong>de</strong> la primera á la fegunda tang. y íiendoaquella menor, que efta , fe pufo la una punta<strong>de</strong>l compás en la tercera 20. y 45. y feguió la otra punta házia la mayor graduación, y feñaló en ella la <strong>de</strong> 24.g. y 5 5.01. quecs la que fe bufeaba. Y á efte modo fe han déenten<strong>de</strong>r todas las <strong>de</strong>más proporciones , eniJque no interviene el radio , ó la tang. <strong>de</strong> 45'.g-2. Sea la proporción <strong>de</strong>l Problema: Colino80. á 33. afsi el radio á la tang. <strong>de</strong>l rum.!(que fe executa , como queda dicho cn el parágrafoantece<strong>de</strong>nte, poniendo el radio : quees el tercero termino , en la tang. <strong>de</strong> 45.g. yíeñalando la otra punta <strong>de</strong>l compás la tang*<strong>de</strong> 22.g. y 3o.m.3. Quando interviene la tang. <strong>de</strong> 45. g.
194 Trigonometríaquefe bufeaba. Y a efte modo fe obrará cnlas <strong>de</strong>más proporciones , en que intervenga latang. <strong>de</strong> 45. g. Y bolvicndo á la refoluciondd triang. propuefto, para hallarla diftanciaAE. es neceffarío el ufo <strong>de</strong> la linca <strong>de</strong>. los.Senos, que fe explicará en cl §. figuiente. .5. III.Del ufb <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong> los Senos.ESta linea tiene fu ufo como la <strong>de</strong> losNumetos: por lo qual fe tomará cl intervalocontenido entre los fenos <strong>de</strong>l primero,y fegundo termino , y fe pondrá la,una punta<strong>de</strong>l compás en el feno <strong>de</strong>l tercero termino»y la otra feñalará el 4. termino ; con la advertenciaque queda dicha en la linea <strong>de</strong> losNúmeros , que fi el termino primero es-mayorque el fegundo, efto es, fila proporción va<strong>de</strong> mayor á menor , el tercero feno lera mayor, que el 4. Y por. tanto la punta <strong>de</strong>lcompás , que feñaláre cl 4. feno, fe guiaráházia la menor graduación ; pero fi la proporciónes <strong>de</strong> menor á mayor , ó afeen<strong>de</strong>nte, lapunta <strong>de</strong>l compás que feñaláre el 4. feno, feguiará házia la mayor graduación , como mejorfe enten<strong>de</strong>rá en los exemplos figuientes.1. Se dan los tres fenos <strong>de</strong> 24. 30. <strong>de</strong> 18.45. y <strong>de</strong> 32. 15. y fe bufca otro quarto 010-por-Nautica. 19$porcíonal. Tomefe el intervalo, que hay enla linea <strong>de</strong> los Senos <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el primero al fegundo, y póngale la una punta <strong>de</strong>l compásen cl tercero, y guíefe la otra házia el principio<strong>de</strong> la linea, y feñalaráel feno <strong>de</strong> 24. g. y19.11). quefe bufeaba.2. Sea como el feno <strong>de</strong> 5o.g. al <strong>de</strong> d2.g.y 30.m. afsi el feno <strong>de</strong> 54-g. y 15.m. al 4-que•fe bufca. Tomefe el intervalo entre el i. y 2.termino , y puefto el un pie <strong>de</strong>l compás en eltercero , y guiado el otro házia la mayor graduación, feñalará el feno <strong>de</strong> 69. grs'. y 58.n1.que fe bufca.3. Sea el propuefto en él,Problema, quedice : Como el feno <strong>de</strong>l rum. 22.gs. y 30.n1.al apare, <strong>de</strong> merid. <strong>de</strong> 33. m. afsi d radio a ladiftancia. Efta proporción, y las-feméjantesen que fe hallan en el primero , y fegundo terminoNumeros , y-Senos juntos ( como también, quando fe hallan Numeros, y Tangentes) necefsita <strong>de</strong> alternarla , para que ambostérminos 1. y 2. fean fenos, o ambos números( y lo mifmo en las otras , cn que huvicretang. pues ambos han <strong>de</strong> fer tang. ó numer.o han dc fer entrambos términos primero , yfegundo números) ello es, quefe ha <strong>de</strong> tomarel tercero termino por fegundo, y el fegundopaliará a fer tercero , y quedará la proporciónalternada , como la prefente , en quefe dirá : Como el feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. 2 2.g.N 2y
-196* Trigonometríay 3o.ms. al radio : afsi el apart. <strong>de</strong> merid. <strong>de</strong>23. ms. ala diftancia: y quedarán los primerostérminos Senos , y los dos últimos Números.Y porque interviene el radio cn laproporción, y es igual al feno <strong>de</strong> 90.gs. fiemprefe tomará efte feno en lugar <strong>de</strong>l radio. Y.afsi, tornando el intervalo <strong>de</strong>f<strong>de</strong>^ el feno<strong>de</strong>22. y 30. hafta el <strong>de</strong> 90. y transferida efta diftanciaala linea <strong>de</strong> los Numeros <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 33*házia la mayor graduación , feñalará 87. quees la diftancia, que fe bufca.Defpues fe hdlarála media paralela, quefe hará por el ufo dc la linea <strong>de</strong> Partes Meridionales, ó por qualquiera <strong>de</strong> los modos,que quedan pueftos en el Capitulo 4. Proble*ma 1. y el <strong>de</strong> las Partes Meridionales fe ex-«pucará en el 0. figuiente.6. IV.Del ufo <strong>de</strong> la linea <strong>de</strong> Partes Meridionales.ESta linea firve, para conocer las PartesMeridion<strong>de</strong>s, que correfpon<strong>de</strong>n á cadagrado <strong>de</strong> qualquier paralelo , y para hallarla media paralela entre dos latitu<strong>de</strong>s dadas»Y para hallarla entre las que éftán dadas aicl Problema, refpcao<strong>de</strong> fer la falida dc 2d.gs.y 13.m.<strong>de</strong> la efpecie dd Norce-.y porque tuvo<strong>de</strong> jüfercutia <strong>de</strong> lititu4 8o.oi«. krála Ife-2a-Nautica* 197|lcla 27.gs. y 33-ms. Entre eftas dos latitu<strong>de</strong>sfe ha <strong>de</strong> facar la media paralela. En la linea<strong>de</strong> Partes Meridionales fe ha <strong>de</strong> tomarprimeramente la latitud falida , que es 2d.gs.y i3.ms. y efte intervalo fe paffaráá la linea<strong>de</strong> Partes iguales, que reprefenta los grs. <strong>de</strong>la Equinocial , y feñalará 27/g. y io.ms. quereducidos ámin. hacen id30. que fe pondráná parte. Defpues fe tomarán los grs. <strong>de</strong> latitudllegada en la linea <strong>de</strong> Parres Meridionales, que fon 27.grs. y 33.ms. y transferida.á la linea <strong>de</strong> Partes iguales , feñalará 28.gs. y41. ms. que reducidos á min. hacen 17 21. queconferidos con los 163b. antece<strong>de</strong>ntes, y refiadouno <strong>de</strong> otro, viene d refiduo 89. quefon las Partes Meridionales , que corrcfpon- •<strong>de</strong>n á la diferencia <strong>de</strong> latitud , fenalada enAH. tomando la femidiferencia , que Cs 45. 'y fumada con los min. <strong>de</strong> la menor latitud,que es 1d30.-l.acen id75- que reducidos a grs.hacen 27. grs. y 5 5-ms. que fe podrán tomar28. en la linea <strong>de</strong> Partes iguales ; y transferidosá la linea <strong>de</strong> Partes Meridionales <strong>de</strong>f<strong>de</strong>el principio, feñalará 2d.gs. y 5 3-ms. quees la media paralela , que febufca.De otro modo : Tomefe el intervalo cnla linca <strong>de</strong> Partes Meridionales , comprehen-)dido entre las dos latitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> 2 6. 13.727.33. y diyidáfe por medio , y poniendo la unapunta dd compás en la menor latitud , yN3tranf-
„"i 9 8 • Trigonometríatransfiriendo la otra házia la mayor , feñalarála latitud media , que ferá 2d.gs. y 53.ms.como antes.Hallada yá la media parelela 2d.gs. y 5 j. :ms. fe bufcará la longitud efpherica, diciendo: Como el feno 2. <strong>de</strong> la media paralela 2d..gs. y 5 3mis. que es el <strong>de</strong> d3.gs. y 7.ms. al radio: afsi los 33.ms. <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. á loscorrefpondientes <strong>de</strong> longitud efpherica : Quetomado el intervalo <strong>de</strong>f<strong>de</strong> cl feno <strong>de</strong> dj.grs.y 7. ms. hafta el <strong>de</strong> 90. ytrasferido á la línea<strong>de</strong> los Numeros <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el <strong>de</strong> 33. házia arriba,feñalará 37. que añadidos á la longitudfalida 4d.gs. y 54. ms. por navegarfe en cl 1.quadrante, dá la longitud llegada 47.gs. y 31.ms. que con la laritud llegada 27. y 33. feráel lugar <strong>de</strong> la Nao. Y á efte modo fe bufcarádicho lugar en los Problemas figuientes.PROBLEMAII.toado el rumbo <strong>de</strong> ji.gs. y 18. ms. en el ¿.quadrante^la diftancia navegada 78.millas hallarla diferencia <strong>de</strong> latitud, y apartamiento<strong>de</strong> meridiano. Fig. 2.SEa cl triangulo- HGY. en que fe dá conocidoel rumbo H. y la diftancia HY.V; fe quiere hallar la diferencia <strong>de</strong> latitudHG. Dígafe: Como d radio al feno <strong>de</strong>l com-plc-Nautica. ' *99plem. <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. iS.y 42. afet a diftancia<strong>de</strong> 78. á la diferencia <strong>de</strong> latitud HG.Tomefe en la linea <strong>de</strong> los Senos el intervaloentre 1. y 2. termino , y transfierafe a la linea<strong>de</strong> los Numeros <strong>de</strong>f<strong>de</strong> 78. házia el pnrMcipio , y feñalará 25. que es la diferencia <strong>de</strong>laritud, que fe bufca.Para el apartam. <strong>de</strong> merid. fe dirá: Comoel radio al feno <strong>de</strong>l rum. 71. y i 8 - afsl la r dtancia 78. al apart. <strong>de</strong> merid. GY. <strong>de</strong> 74. Luegofe bufcará el lugar <strong>de</strong> la Nao, como feha dicho cn d Problema 1.PROBLEMAIII.Dado el rumbo 30. gs. y 7- *»s. en el 3. quadrante,y la diferencia <strong>de</strong> meridiano 37-mshallaríadiferencia <strong>de</strong> latitud , y diftancia.Fig-3-SEa el triang. KPQ^ en que fedá conocidocl rum. K. y el apart. <strong>de</strong> merid. PQ_yfe quiere hallar KQ^ diferencia <strong>de</strong> latitud..Digafe: Como el feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. 30.gs. y 7. ms. al feno <strong>de</strong>l compl. 59-g s -,y $£•;ms. afsi el apart. <strong>de</strong> merid. 37. á la diferencia<strong>de</strong> latitud <strong>de</strong> d4.Para hallar la diftancia, fe dirá: Como elfeno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. 3°.g- y 7- ms - al . rad .!£afsi el apart. <strong>de</strong> merid. 37.a la diftancia KbVdc 74. Defpues fe bufcará el lugar <strong>de</strong> la Nao,N4c °-I
-Ii--.•foo Trigonometríacomo queda dicho, y quedará refuelto el Pro*bl tina.PROBLEMA IV.Dado elrumbo 41. gs, y 23.. ms. en el 2. quá~.drante , y la diferencia <strong>de</strong> latitud 80. ms. hallarla diftancia, y apartam. <strong>de</strong> meridiano.Fig. 4.SEa el triang. RVX. en que fe dá conod-^do cl rum. R. y la diferencia <strong>de</strong> latitudRV. y fe quiere conocer la diftancia RX. yel apart. <strong>de</strong> merid. VX. Para la diftancia fe dirá: Como el feno <strong>de</strong>l compl. X. <strong>de</strong> 48. gs. y37. ms. al radio: afsi la diferencia <strong>de</strong> latitudRV. <strong>de</strong> 80. á la diftancia RX. <strong>de</strong> 107.Para el aparr. <strong>de</strong> merid. fe dirá : Como clradio d feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. 41.gs.y 23.m.afsi la diftancia <strong>de</strong> 107. á la dífer. <strong>de</strong> merid.,VX. <strong>de</strong> 71. Defpues fe bufcará el lugar <strong>de</strong> laNao , como queda advertido antes , y quedaráconcluida la refolucion.PROBLEMA V.Dada la diftancia <strong>de</strong> 98. millas en el 4. quadrante, y el apartamiento <strong>de</strong> meridiano 77.ms. conocer el rumbo , y diferencia <strong>de</strong>latitud. Fig. 5.SEa el triang.BDE.y cn d la diftancia conocidaBD. y el apartam. <strong>de</strong> merid. DE. Y.pa-• Náutica. 20tpáíaconocer el rum. B. fe dirá ? Como la diftanciaBE), <strong>de</strong> 98. al apart. <strong>de</strong> merid. DE. 77.afsi el radio al feno<strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rumbo B. <strong>de</strong>[ja, grs. y 13. ms.^Para la diferencia dc latitud fe dirá: Comoel radio alfeno <strong>de</strong>l compl. D. que es 37*gs. y 47. ms. afsi la diftancia BD. dc 98. á ladiferencia <strong>de</strong> laritud BE. <strong>de</strong> do. Y hallado ellugar <strong>de</strong> la Nao, como en el Problema 1. quedarárefuelto el Problema.PROBLEMAVI.Dadas algunas cingladuras, conocer el rum. directo, la diftancia directa , la longitud efpherica, y lugar <strong>de</strong> la Nao.Fíg. 28-EN efte Problema (que es el mifmo , quequeda puefto en el Problema 8. <strong>de</strong> laprimera Parte) fe conftruirá por la Efeala,Plana , y fe refolverá por la Artificial, paraque el Principiante fe excrcite , y conozca lai<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> las refoluciones hechas por laTrigonometría, y por las Efcalas : pues fiemprequeda una mifma , como también (i le hicieranpor cl Quadrante <strong>de</strong> Reducción. Y paraello fe fupone , que:Un Piloto falió <strong>de</strong> un Puerto , que tenía20. grs. <strong>de</strong> latitud Norte, y 340. gs. dc longyel dia figuienteobfervó cl Sol, y fe halló en21.
- OI Trigonometría•ai-g- y 58.n1. <strong>de</strong> latitud Norte, y augmento 1<strong>de</strong> diferencia <strong>de</strong> muid. 4d. m. y quiere faberla dilbncia navegada , y el rumbo.Tirefe la linea AY. que reprefenta el Norte-Sur, y tomefe AY. 118. m. y por Y. levantefela perpendicular YC. <strong>de</strong> 46. min. y tirefe'la reda AG y quedará formado el trianguloAYC. en quefe dan conocidos los lados AY.,V YC y para conocer el ang. <strong>de</strong>l rumbo A.fe dirá : Como AY. <strong>de</strong> 118. á YC. <strong>de</strong> 4d. afsid radio ala tang. dd ang. <strong>de</strong>l rum..A. <strong>de</strong> 21.g. y 18. min. Y para la diftancia dirá: Comoclfeno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. A. <strong>de</strong> 2i.g. y 18.m. al-radio : alsi YC. apart. <strong>de</strong> merid. <strong>de</strong> 4d.ala diftancia YC. <strong>de</strong> 127. millas.^ Defpues navegó id.5.millas por cl quad.primero , y tuvo <strong>de</strong> apart. <strong>de</strong> merid. 45.min.y quiere faber, por que rum. navegó , y la diferencia<strong>de</strong> latitud , que tuvo. Y para ello porC tirará la CE. paralela á la AY. y alargarála YC. házia D. y tomará CD. <strong>de</strong> 45. y tomandoel intervalo dc i¿5. millas, y haciendo centroen D. cortará la CE. en E. y por E. tirarála EF. paralela, e igual á laCD. y tirando laCF. quedará formado el triang. CEF. en quefe dá conocido EF. <strong>de</strong> 45. y CE. dc id5.Y pa-Ta conocer el rum. fe dirá : Como la diftanciaCF. <strong>de</strong> id5. al apart. dc merid. EF. <strong>de</strong> 45. afsiel-radio al feno <strong>de</strong>l rum. C. dc i5.gs. y 5 2.m.Y para la diferencia dc latitud dirá: Como elra-Nautica. =03radio al feno <strong>de</strong>l comp. F. <strong>de</strong> 74.g. y 8,minafsila diftancia CF. <strong>de</strong> id5- a la diferencia dclatitud CE. <strong>de</strong>i58.mmutos. < 3Defpues dio otro bordo, en que camino195.millas, augmentando long. y diminuyocn la latitud rod.m. y preten<strong>de</strong> faber lo <strong>de</strong>más.Y para efto tirará porF. la FD. que esparalelaá la CE. ó ala AY. y tomando el intervalo<strong>de</strong> 1 od. lo transferirá <strong>de</strong>f<strong>de</strong> F. haftaG.y por G. levantará la perpendicular ^GH..y con el intervalo <strong>de</strong> 195* millas, haciendocentro en F. cortará la GH. en H. y tirandola FH. quedará formado el triang. FGH. quefe ha <strong>de</strong> rofolver con cl conocimiento <strong>de</strong>l ladoFG. y la hypothenufa FH. y para conocercl ang. <strong>de</strong>l rum-F. fe dirá : como la diftanciaFH. <strong>de</strong> 195. á la diferencia <strong>de</strong> latitud FG. <strong>de</strong>íod. afsi el radio al feno <strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l comp.H. <strong>de</strong> 3 2. y 51. Y por efto ferá cl <strong>de</strong>l rum. F-<strong>de</strong> 57.g. y 9.m. Y para hallar cl apartamientodp merid. GH. dirá: Como el radio al feno<strong>de</strong>l ang. <strong>de</strong>l rum. F. <strong>de</strong> 57«g. y 9-m- afsi ladiftancia FH. <strong>de</strong> 195. al apart. <strong>de</strong> merid. GH..<strong>de</strong>-id4.m.Luego dicho Piloto caminó por cl 5.rum.<strong>de</strong>l quarto quad. 123.millas, y preten<strong>de</strong> faberla diferencia <strong>de</strong> latitud, y apart. <strong>de</strong> merid.Para lo qual levantará por H. á la GH. la perpendicularHB. y haciendo centro en H. conla cuerda dc do.grs. <strong>de</strong>feribirá el arco BK. ycon
'204 Trigonometría"ion el intervalo <strong>de</strong>l 5.rum. feñalaráBK. y tirarala reda HKL. que ferá dc 123. millas, ypor L. tirará la LB. paralela á laGH. y quedaráformado el triang. HLB. en que fe tieneconocido el ang.H. <strong>de</strong>l rum.y la diftancia HL.lY para conocer el apart. <strong>de</strong> merid. LB. fe dirá:Como el radio al feno dd ang. <strong>de</strong>l rumb..H. <strong>de</strong> 5d. grs. y 1j.tífe afsi la diftancia HL. <strong>de</strong>.123. millas al apart. <strong>de</strong> merid. LB. <strong>de</strong> 103. Ypara la diferencia <strong>de</strong> latitud HB. fe dirá: Comoel radio al feno <strong>de</strong>l comp. L. <strong>de</strong> 33. grs.y 45.m. afsi la diftancia HL. <strong>de</strong> 123. á la diferencia<strong>de</strong> latitud HE. <strong>de</strong> 69.Defpues profiguió con otra cingladurapor el tercero rum. <strong>de</strong>l tercero quadrantecon diferencia <strong>de</strong> laritud 135.n1. y preguntapor la diftancia, y apart. <strong>de</strong> merid. Y para refpon<strong>de</strong>rie, <strong>de</strong>l punto L. fe tirará la LM. paralelaala AY. y fe tomará <strong>de</strong> 135. y <strong>de</strong>fpuescon la cuerda <strong>de</strong> do. g. y el centro L. fe <strong>de</strong>fcribiráel arco NO. y fe tomará el tercerorum. y fe feñalará <strong>de</strong>f<strong>de</strong> N. hafta O. y fe tirarála LOP. y por M. la MP. perpendicular ala LM.. y quedará formado el triang. LMP.en que fe dá el rum. L. y la diferencia <strong>de</strong> latitudLM. Y para conocer la diftancia fe dirá: .Corrió el feno <strong>de</strong>l complemento P. <strong>de</strong> «,d. g.y 1 í-m. al radio: afsi la diferencia <strong>de</strong> latitudLM. dc 135.m. á la diftancia LP. <strong>de</strong> 1 íft.trii- .Has. Y para al apart. dc merid. fe dirá : ComoelNáutica. 205,ti radio al feno <strong>de</strong>l rumbo L. <strong>de</strong> 33/gs. y 45.ms. afsi la diftancia LP. <strong>de</strong> 1 d2. al apartamiento<strong>de</strong> meridiano PM. <strong>de</strong> 90.Finalmente dio el Piloto otra cingladura, caminando por cl Lesnor<strong>de</strong>fte , en quehalló dc apartamiento <strong>de</strong> meridiano 18d.u1.y quiere faber lo <strong>de</strong>más. Y para ello fe alargarála PM. házia Q^ y fe tomará PQ^ <strong>de</strong> i8d„ms. y con la cuerda <strong>de</strong> tío.grs. y el centro P* :fe <strong>de</strong>feribirá el arco MN. y fe tomará <strong>de</strong> 22..grs. y 30.ms. ó el intervalo <strong>de</strong>l fegundo rumbo, que es complemento al quadrante <strong>de</strong> elrumbo dado Lesnor<strong>de</strong>fte , y fe tirará la PNR..y por Q^la QR. perpendicular á la PQ^-fl porR. la RS. paralela á la núfma : PQ¡_y por P. láPS. paralela á la QR. ó á la AY. y quedaracerrado el triangulo PSR. en que fe dá conocidoel rumbo P. <strong>de</strong> tíy.grs. y 30.111S. y ládiferencia <strong>de</strong> meridiano SR. <strong>de</strong>. i8d. igual áPQ^ Y para conocer la diftancia PR. fe diráíComo el feno <strong>de</strong>l ángulo <strong>de</strong>l rumbo P. dcd7. y 30. al radio: afsi el apartamiento <strong>de</strong>meridiano SR. <strong>de</strong> i8tí. á la diftancia PR. <strong>de</strong>201.millas. Y para la diferencia <strong>de</strong> latitud,fe dirá: Como el radio al feno <strong>de</strong>l complementoR. <strong>de</strong> 22. grs. y 30. min. afsi la diftanciaPR. <strong>de</strong> 201. á la diferencia <strong>de</strong> latitudPS. <strong>de</strong> 77.Y porque ahora dicho Piloto quiere faberla diftancia dir-e&a, y d rumbo directa--gien-
'2od Trigonometríamente navegado, fe tirará la recta AR. <strong>de</strong>í<strong>de</strong>.el punto A. primero falido , hafta R. que es elultimo punto llegado , y alargará las rectasRS. y ÁY. hafta que concurran en T. y quedaráformado el triangulo ATR. que fe podrárefolver por la Efeala Plana, tomando losintervalos <strong>de</strong> todos tres lados , y feñalarán ladiferencia <strong>de</strong> latitud , la <strong>de</strong> meridiano , y ladiftancia : y haciendo centro en .A. con la-cuerda <strong>de</strong> do. grados, y <strong>de</strong>feripto el arcoVX. y transferido efte intervalo á la linea<strong>de</strong> las Cuerdas, feñalaria el rumbo navegado.Pero porque prometimos refolverlo porla Efeala Artificial, y no hay dado mas, quecl aneulo recto T. y fe neceísitan otros dostérminos para fu relolucion , le ocurrirá a3a Tabla , que eftá puefta en el Problema 8. <strong>de</strong>el Capitulo i. <strong>de</strong> la primera Parte , <strong>de</strong> don<strong>de</strong>fe tomó el prefente , y don<strong>de</strong> fe hallará,que la diferencia <strong>de</strong> laritud AT. vale 181.rhin. y la diferencia <strong>de</strong> meridiano TR. es <strong>de</strong>248.ms. y con eftos datos fe hallará el ángulo<strong>de</strong>l rumbo directo, diciendo : Como ladiferencia <strong>de</strong> laritud 181. al apartamiento <strong>de</strong>meridiano 248. afsi cl radio ala tangente <strong>de</strong>lángulo <strong>de</strong>l rumbo A. que ferá <strong>de</strong> 5 ;.grs. y53.m. Y para la diftancia, fe dirá: Comoel feno <strong>de</strong>l ángulo <strong>de</strong>l rumbo A. <strong>de</strong> 53. grs.y 53.ms. al radio: afsi cl apartamiento <strong>de</strong>me-Nautica. 207. meridiano TR. <strong>de</strong> 248. ala diftancia directaAR. <strong>de</strong>'307. que fe pretendía,Defpues fe bufcará la media paralela porla linea <strong>de</strong> Partes Meridionales , tomandolas latitu<strong>de</strong>s falida, y llegada: y porque lala falida fue 20. gs. <strong>de</strong>l Norte, y la diferenciaes 181. ms. en augmento , por haverfecaminado en el 1. quadrante, que hacen 3..g. y i.m. ferá la llegada 23. g. y i.m. Tomenfe, pues, cada una en la linea <strong>de</strong> Part.Merid.y tránsfieranfe á la linea <strong>de</strong> Partes iguales,y feñalará la falida 1224. partes : y la llegada1419. y reftando una <strong>de</strong> otra, ferá el refiduo195. cuya mitad 98.agregada á la falida 1224.hacen 1322. que tomadas en la linea dc Partesiguales , y transferido fu intervalo a la <strong>de</strong>Partes Meridionales , feñalará.21. g. y \\. ms.que ferá la media paralela entre dichas latitu<strong>de</strong>s.Y para hallarla long. efpherica, fe dirá:Como el feno 2. <strong>de</strong> la media paralela al radio: afsi la diferencia <strong>de</strong> merid. 248. á la diferencia<strong>de</strong> long. efpherica , que ferá <strong>de</strong> 2dd.que reducidos á g. fon 4,g. y 2d.m. que agregadosá la long. falida <strong>de</strong> 340. g. hacen 344.g. y 2d.n1. Y fe dice : que el lugar <strong>de</strong> la Naoesen 23.grs. y i.m. <strong>de</strong> latitud Norte, y en344-g- y 2d.m. <strong>de</strong> long. que es lo que fe pretendía, y quedará concluido cl Problema.Ahora legraremos con la Tabla <strong>de</strong>.las..la'ti-tu-1
ao8 Trigonometríatu<strong>de</strong>s, y longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los Lugares <strong>de</strong> nueftráNavegación, afsi <strong>de</strong> las Coilas <strong>de</strong> Efpaña, como<strong>de</strong> las Indias Occi<strong>de</strong>ntales : la qual ha remitidopara efte efecto Don Pedro ManuelCedillo , mi AntcccfTor , y Maeftro Direétor<strong>de</strong> la <strong>Real</strong> <strong>Aca<strong>de</strong>mia</strong> <strong>de</strong> Caballeros GuardiasMarinas dc la Ciudad <strong>de</strong> Cádiz.TABLAS NUEVASDE LAS LATITUDES, Y LONGItu<strong>de</strong>sele los Lugares <strong>de</strong> nueftrá Navegación, afsi <strong>de</strong> las Coilas <strong>de</strong> Efpaña, como <strong>de</strong> las IndiasOcci<strong>de</strong>ntales.Nombres <strong>de</strong> los Lugares <strong>de</strong>f<strong>de</strong> ¡os Paffageshafta Gibraltar.Lat. Long.Gs.M. G.M.Los Pafláges. 43 2 3T 5 2 3San Sebaftian. 45 2 * *5 18Guetaria. — 43 2Ó x 4 58;i Cabo Machicaco. 43 37 '4 2»Barra <strong>de</strong> Bilbao. 43 2d 14 07Punta <strong>de</strong>l Oefte <strong>de</strong> Santan<strong>de</strong>r.43 38Cabo <strong>de</strong> Peñas. 43 11 oí-55Riba<strong>de</strong>o. • 4 J 3609 5JIf-(Í09)Islas <strong>de</strong> San Cyprían.B'ibero.Cabo <strong>de</strong> Ortegd. •Cabo Prior. ——Ferrol.Torre <strong>de</strong> Fierro en la entrada<strong>de</strong> la Coruña. ——»—fslaCezarga, —-———Cormes. • .. • ,•' - > » •C^bo <strong>de</strong> Belén. ——-Cabo dc Turiana. —-Cabo <strong>de</strong> Finifterrx. —Corcubion.Muros. 1— - .Isla Salurc enfrente <strong>de</strong> RioRojo. . •Islas <strong>de</strong> las Donas. —-———Cabo Facelis en la entrada <strong>de</strong>j Boyona.—•«Camina <strong>de</strong> Portugal. •Viana. •—Villa <strong>de</strong> Con<strong>de</strong>. —Ciudad <strong>de</strong> Oporto.Aveiro.Cabo,ó Alto<strong>de</strong>Mon<strong>de</strong>go. —Peniche. •• • — ——.Isla Berlinga. •Cabo <strong>de</strong> la Roca. —• *¿zCafcais.fiaría .Ir Alcaceba <strong>de</strong> Lisboa.•Xj** O Ciu-Gs. M.43 4543 5744 0043 ao43 3443 2843 -«943 -143 i343 1243 0643 oj4 1 5¿4* 4442 jd41 ii41 5¿.4 r 4441 24.41 1140 3K40 1419 »919 303* 5238 4938 44Gs.M.09 3809 2 509 0708 44oS 4»0808o3°7070707Q70808oSoSoi08oS08707070707074112Oí3*3°3039,5S0*1 ti080%1013id
(210)Ciudad <strong>de</strong> Lisboa. -Cabo <strong>de</strong> Efpichel. —Setubal-Cabo <strong>de</strong> San Vicente. —•—Lagos. — —jVilla Nueva.Cabo <strong>de</strong> Santa Maria.• Tavira. -——-—'•—* i - x -Ayamonte.Palos.Punta dé CHipióna.Punta <strong>de</strong> San Sebaftiatf <strong>de</strong> Ca-' " dll- .-••': ———- S=,S —Cabo <strong>de</strong> Trá&lgar. •Isla Tarifa. -——Gibraltar, - • •• ——'Gs. M.,384838 2838 18¡6 5537 °°'37 oo :•Cofia Occi<strong>de</strong>ntal <strong>de</strong> Berbería'Zeutá. - ——Tánger. —'•Cabo <strong>de</strong> Efpartel. -Larache. • •—Sale. +-• -Anafe.Mazagan. •——•-Cafa <strong>de</strong>l Caballero.Cabo <strong>de</strong> Canrin. —•;Isla Mogodor. —>Santa C uz <strong>de</strong> Berbería. •Caoo Bojador. ——«—36 5 537 0437 .1037 ii36 5d3d-3S36 1136 0836 07(211) Gs.M.Islas <strong>de</strong> Canarias, y Ma<strong>de</strong>ra.Puerto Sanco. « 33 °7Punta <strong>de</strong>l Lefte <strong>de</strong> la Ma<strong>de</strong>ra,llamada <strong>de</strong> S. Lorenzo. — 3 2 46Ciudad <strong>de</strong>l Funchal en dichaIsla.32 40Punta <strong>de</strong>l Oefte <strong>de</strong> dicha Isla,llamada <strong>de</strong>l Pargo. .32 30Baxo , y Isla <strong>de</strong>l Salvage. —- 30 00Fierro. — — -27 v%Palma. •—•——— -28 52Gomera.- 28 oSPunta <strong>de</strong> Naga en la Isla Tenerife.28 30Garachico meridiano <strong>de</strong> lalongitud. '—28 20Gran Canaria en medio. — 2% 00Fuertevcntura en la cabeza<strong>de</strong>l Oefte. • a 8 odFuerteventura en : la cabeza<strong>de</strong>l Lcfte. — 2 8 20Lanzarotc. -^ 3 5Alegranza.45Islas Terceras.Cucrbo.40 00Ffbres en la Punta <strong>de</strong>l Sur. -*•- 39 22F.iyal en el Puefto. ; 38 39iota. • 39 15Punta <strong>de</strong>l Oefte <strong>de</strong> San Jorge. 39 00V.L.-íhdc San Jorge. 38 #O: Pon-Gs. M.000 38359 )3359 3 5358 55000 1 2358 lñ3.58 it359 15000 24000 00001 od02 2dor 2603, 3$03 44?45 3&345 38347 44149 oá348 15349 02
(*m)Punta <strong>de</strong>l Oeftc dc la Isla <strong>de</strong>lPico.Punta <strong>de</strong>l Leftc <strong>de</strong> la Isla <strong>de</strong>lPico. ————r i.,Puerto , y Ciudad <strong>de</strong> Angraen la Isla Tercera.Villa <strong>de</strong> la Playa en la IslaTercera. • •Punta dc ei Oefte <strong>de</strong> San M¡-gud, llamada Ferreria. —>Punta <strong>de</strong>l Leftc <strong>de</strong> S. Miguel.Santa María. .Baxo <strong>de</strong>.las Hormigas, ——•Vigía. •'•• >. ••Vigía. -—-* ~~,V¡g¡a. p. w^mmyígia. !— r . — .Islas <strong>de</strong> Barlovento , ó <strong>de</strong>Caribes.Punta <strong>de</strong> la Galera en la Isla<strong>de</strong> la Trinidad. —Punta <strong>de</strong> los Blanquiz<strong>de</strong>s cndicha Isla.Punta <strong>de</strong> el Gallo en dichaIsla. -—-Isla <strong>de</strong>l Tabaco. -—Isla <strong>de</strong> la Granada.Granadillos. :Bequia.San Vicente.Gs.M.JS 3938 2539 0039 0738 1538 0037 l 537 - 6Sanio3309 5*09 47II. id12 IO12 3413 0013 10Gs. M v347 5o348 5§3*9 4*350 Cfi35* 04352 18352 1*352 2*4315 i?,314 St313 59315 3?314 183H 43314 5
(2,i 4 ) ' . Gs.M.Punta <strong>de</strong> la Aguada en.dichaIsla. 18 35Punta dc Mala Pafqua al Sur<strong>de</strong> dicha Lia. —• -. 18 05Detechco. -— —18 30La Mona, -j—¡ — 18 13lila Efpañola al Norte,Cabo <strong>de</strong> Engaño. —— • 18 42Cabo Sainuiiá. • 19 07Cabo Cibrqn. -Cabo Frunces. —Puerto <strong>de</strong> Plata.La Ifabela.iPünta ¿c la entrada <strong>de</strong> la Enfeíiada<strong>de</strong>l Manzanillo. •—• 19Baiaja. --Isla Tortuga. —Puerto Pe. •Cubo dc ; San Nicolás. —Isla Guanaba.Puerto dc Pitlguao. —¡—Isla Caimito.19 2919 4919 4219 5153XS 4 o20 0519- 5019 53181818Cabo <strong>de</strong> Doña Maria. iSlila Efpañola por la vanda <strong>de</strong>l Sur.Cabo <strong>de</strong> San Raphael. 18Isla Saona.• 18Isla Santa Cathalina. 1Río Macuris.Punta <strong>de</strong> Cauccdo.5-33?42370018 0818 1218 08Ciud.<strong>de</strong> S.Domingo,C.ipitaI. 1S 15Pun-Gs. M.39 34lio 49309 24309-04308 31307 473«>7 2 4306 52JOd 203P5 58305. 18305 od304 06304 00303 18303 _?s?oj ¡6302 52302 10308 2%308 08307 34307 02jod 4130d 23(215)Punta dc NifaoPunta <strong>de</strong> Salinas.Enlcnada <strong>de</strong> Ocoa.Cabo Mongon.Altovelo.Isla Baca.Cayo <strong>de</strong> San Luis.Punta <strong>de</strong> Abaco.Cabo <strong>de</strong> Tiburón. -Isla Nabafa.Baxo <strong>de</strong> las Hormigas.Las Ranas. • *Punta <strong>de</strong> Morante én\ la Islajamaica. •• -tí? °5Puerto <strong>Real</strong> cn dicha Isla. — i 8 00Guitiguite en dicha-isla. — J 7 4 o 1Punta <strong>de</strong> Peredo en dicha Isla. 1752 8»* 45;Punta <strong>de</strong>l Negrillo en dichaIs!a. , -1827 >9*Q• ' 20 15 3°*. 37Puerto dc Baracoa. —• 20 28 30* 02Punta <strong>de</strong>l Guarico. —20 50 302 08Baia <strong>de</strong> Ñipe21 Id 301 32Puerto <strong>de</strong>l Padre.21 38 300 2t»Punta <strong>de</strong> Martinillos. 21 57 299 5 2Cayo Romano. ' 22 12 299 13Cayo Confites22 2d 299 020 4El«I
hté)El Paredón gtan<strong>de</strong>.Baxo <strong>de</strong> Nicolao. -Cruz <strong>de</strong>l Padre.Punta <strong>de</strong> Hicacbs.. .Punta <strong>de</strong> Guanos á la entradaGs. M.•"• 2-2"*• 23- 2 32 3<strong>de</strong>l Puerto <strong>de</strong> Matanzas. 23Puerro <strong>de</strong> la Habana.Mariél.a 3= 3Baía Honda.Rio <strong>de</strong> Puercos.2 322Vigía a! Norte. -Cofia <strong>de</strong>l Sur <strong>de</strong> drehS Ma<strong>de</strong> Cuba.Puerto <strong>de</strong> Güantanamo. Ut,Punta <strong>de</strong> Berracos. —lsPuerto <strong>de</strong> 1 Santiago <strong>de</strong> CubaCapital. — ¡ -Cabo <strong>de</strong> Cruz. • , -.,.Manzanillo.La medianía <strong>de</strong>l Cayo dc 12.leguas.Puerto <strong>de</strong> la Trinidad.fiaia dc Jagua.2 320i9ip09*7*52210°500552 50555¿ti OO20 0020 \621222 2tiBaxo <strong>de</strong> los Jardines.Isla <strong>de</strong> Pinos al Leftc. 21Dicha al Oefte.Cabo Corrientes.. Cabo <strong>de</strong> San Antonio.Baxo <strong>de</strong> Sancho Pardo.La020200182JIi 252 1 402 2 OO22 IJGs.M.298 2629d 2729d 04! P5 33294 482 '9l 47293 15292 38292 12292 113OI 28301 17.300 J3298 18299 oj29d 28295 30294 48294 33293 50293 03291 57291 17291 00(»I7) „Gs.M.Lá medianía dc los Baxos dcSanta Ifabd. —•Caimanes Chicos. ——Caimán Gran<strong>de</strong>. —-*-—Islas, y Baxos al Norte <strong>de</strong> laIsla EfpaHola.Baxo <strong>de</strong> Plata. -—• *Abroxos cn fu medianía; *—Isla <strong>de</strong> Diego LuengoCaicos al Notte. —•*-Dichos al Sur.Mariguana. • -• —Inagua Chica.•Inagua Gran<strong>de</strong> al Lcfte.-——Dicha al Oeftc. ——El Jumento por fu medianía.Islas, y Baxos al Norte <strong>de</strong> laIsla <strong>de</strong> Cuba.Mira por vos. • • -Saman-a. —¡— " "22 5019 4019 2010 38ÍI 1821 301 21 5721 092 2 36íl 44II 3521 20tí 12Triangulo. ' ' -— • • — 24 47Isla Larga al Norte. - • •• 23 13Dicha al Sur.22 20Yuma. —i—-—•Siguatei al Norte.Dicho al Sur. —San Salvador al Norte.Dicho al Sur.Provi<strong>de</strong>ncia,,Isla2t OO2 3 4 224 V-15 0024 102 5 4424 502J 00Gs. M.291 3829d 07295 003od 40306 10305 4°305 t>3305 03304 07303 4?303 49303 I 2303 l8302 38302 51,302 32302 18302 13301 40300 30300 19298 43299 542975*í
(218)Isla Ñeque al Norte. -Dicha al "Sur.IslaBahama al Lefte.Dicha al Oefte.El Tumbao.Lo mas ál Norte <strong>de</strong>l Placer<strong>de</strong> Baháma.•«•*.Roca <strong>de</strong> líác. •Islas <strong>de</strong> Lobos. - 1 . •>• '•Mimbres.lsla <strong>de</strong> el Efpíritu Santo dNorte. — r-Dicha- al Sur.Roques. -Cayo Je Sal.Anguillas.Cayo <strong>de</strong> Guinchos.Cayo <strong>de</strong> Lobos. —•-Lia <strong>de</strong> San Andrés. •Mucaras. 1—Isla Ver<strong>de</strong>. —Colla <strong>de</strong> Tierra.F.irrr.e <strong>de</strong>f<strong>de</strong> elRio <strong>de</strong>l Orinoco , hafta «lCabo <strong>de</strong> Cbichibacoa.Bocas <strong>de</strong>l Rio <strong>de</strong>l Orinocolamias al Lefte. - —La mas al Oefte. —-———Punta <strong>de</strong> Paria.Cabo <strong>de</strong> Trefpuntas. —Punta <strong>de</strong> Araya.Gs.M.27 OOM 552d 1827 .032 7 3428 3025 5025 312 y 0025 .od• 2 3 4924 .00• 23 4523 22——• 2 2 5d~ 22 2d22 Od22 2722 23Cu-0909IOIOIO09IO154735(219) GsGs. M.10297 46 Cumaná.:lo29S 18 Cumanagote.loCabo <strong>de</strong> Co<strong>de</strong>ra. —-2 97 22lo196 24La Guaira. ——lo296Puerto Cabello. ——30Coro.11Cabo San Román.12297 28Punta dc la Macolla. .11296 2029d 18Barra <strong>de</strong> Maracaybo. —-— loCabo <strong>de</strong> Chichibacoa. 1229d 22Islas por futra <strong>de</strong> dicbaCofta.297 10Bocas <strong>de</strong> los Dragos. 1 o297 •3 2IxTeftigos.'29d 02: ll29)La-Sola. —r-,58•29dLos Frailes. — ' ~" ll55Punta <strong>de</strong> el Leftc dc la Isla298 34Margarita. —r- • ~ II299 093OOPunta <strong>de</strong>l'Oefte <strong>de</strong> dicha Isla. i*39299 48 Los Hermanos, — '— 11301 id Isla Blanca. — • ' 11Tortuga. ———•1111Orchila. •Vigia. • •——- ^ 13Roques. •11315 i» •Isla <strong>de</strong> Aves. — 11Buen Ayre. • ' : • 12314 00Curazao.. —- •12313 58-Orna.122I3'¡3*2 id Los Monees..12Coft AM.120048402d27OO5¿4I13171816.id,8164750004706515*02082420Gs.M.312 18311 303-1 o. 333 '9 42308 383
L(220) Gs.M.Cofín <strong>de</strong> Tierra-Firme <strong>de</strong>f<strong>de</strong>dicho Cabo <strong>de</strong> Cbichibacoa haftael <strong>de</strong> Gracias d Dios, enla Cofia <strong>de</strong> Honduras.Cabo <strong>de</strong> la VelaRio <strong>de</strong> la Hacha. • -Cabo <strong>de</strong> la Abuja. -Puerto <strong>de</strong> Santa Marta.Rio gran<strong>de</strong> dc la Magdalena.Punta <strong>de</strong> Sambar.¡Punta <strong>de</strong> CanoaCiudad <strong>de</strong> CartagenaBoca Chica.Isla <strong>de</strong>l Rofario.Isla <strong>de</strong> San Bernardo.Rio <strong>de</strong>l SínúIsla Fuerte.Punta <strong>de</strong>Caribanaen la entrada<strong>de</strong>l Golfo <strong>de</strong>l Andariel. oS 08 23 33Cabo <strong>de</strong> Tiburón en la entradadc dicho Golfo.Puerto dc la Calidonia. —Punta <strong>de</strong> San Blas.:Nombre dc Dios. •—Puerto Velo.Islas <strong>de</strong> Naranjos. —Rio <strong>de</strong> Chagres. ——Boca <strong>de</strong>l Toro.Isla <strong>de</strong>l Efcudo dc Veraguas.Baiaia 0711 3511 2411 1811 0410 5510 4010 2710 2010 1009 5009 2009 x808 3308 3509 3 509 3809 5009 1809 Od09 0809 08Gs. M.34 3Í304 11302 27302 44301 5d301 ro300 47300 40300 36300 2130O 21300 ¡9*99 5J,299 07298 53298 3*297 »8296 4429d S.O29d 03295 38294 IO294 38(221) Gs.M.Baía <strong>de</strong>l Almirante, ••.••. -- 09 IJRio dc San Juan <strong>de</strong> Nicara-.jjua.11 IJIsla <strong>de</strong> Mangles, 1 • 12 09Islas <strong>de</strong> Perlas al Norte.— 13 00Rio<strong>de</strong>Mofquitos. —• • 14 48Cabo <strong>de</strong> Gracias á Dios. 1 j 12Islas Viciofas al Norte dc di*-cho Cabo. *5 45Islas , y Baxos al Norte <strong>de</strong>Tierra-Firme, y travesía<strong>de</strong> Cartagena al Cabo <strong>de</strong>San Antonio.,Isla <strong>de</strong> San Andrés. ———Jsla <strong>de</strong> Santa Cathalina, -Roncador. —————-«Quita fueños. —La Serrana.Comboy.Baxo Nuevo.Placpr,La Serranilla, •Vivora al Leftc. —-—.——.Dicha d Oeftc.Dicha por fu medianía á elSur. iDicha por fu medianía a el12 47Í3 ?í*3 4°14 2814 Ji*5 35id 00?5 t616 16«7 °J17 aoid 42Cofia 17 16Gs. M.% 93 4S,292 41:293 28293 24294 od294 oj294 1$29
(222) Gs.M.Cofia dé Tierra Firme <strong>de</strong>f<strong>de</strong> eldicho Cabo <strong>de</strong> Gracias a Dioshafta el <strong>de</strong> Catoche.Cartago. -5Cabo Camarón. •— :,I 5'Isla Tortuga.Cabo <strong>de</strong> Honduras.Truxillo.Cayos <strong>de</strong> Matágeros.Baxo Salmedina. •Triunfo <strong>de</strong> la Cruz.Puerto <strong>de</strong> Sal. —Puerto Caballo.Cubo <strong>de</strong> Tres Puntas.Puerto dc Santo Thomás <strong>de</strong>Canilla:*5id*515 '1515151515i5Boca <strong>de</strong>l Golfo <strong>de</strong> Honduras. 15La mediania <strong>de</strong> las Islas <strong>de</strong>las Cocinas.idRío <strong>de</strong> Balis. •—— *7Isla Larga. •r ——•—— idBaia <strong>de</strong> la Afeenfion. — 19Cabo <strong>de</strong> Catoche. — 21Lias, y Baxos por fuera <strong>de</strong>dicha Cofia.Santanilla. '—-——• """* *7Mvíleriofa. • *7Place?. • — * 8Isla Guanaja en fu mediania. idIsla dc Ruatar» en fu medianía. 16Isla18455302304 23836504757354620205o103 20-)58575 3r-Gs.M.T 572813429107289 55;289 23288 22287 40287 0728d 43286 02285 12285 05284 58293 22292 5j292. 3.a289 42;28S 47(223) Gs.M. Gs. M.•IslaUtila en fu medianía.— id 04 288 OJ-Baxo <strong>de</strong> Chinchorro al Norte. 19 12 288 53Dicho al Sor. • • 1832 288 0$Isla Cofuniud al Norte. — 20 44 .289 13'Dicha al Sur. •••— 10 02: 28S fSIsla dcMugeres.21 idIsla <strong>de</strong> Contoi. —•— 21 33Cofia dcTiérra Firme <strong>de</strong>f<strong>de</strong> el dichoC:.bo <strong>de</strong> Catoche hafta la Enfenadádé Garios,que compreben<strong>de</strong>todo el Seno Mexicano.Bocas <strong>de</strong> Conil. — 1 21 29Rio iie Lagartos. —• *& idSeilan.— -> ¡ 21 12Punta dc Piedra. •— 21 00Cabo <strong>de</strong> la Dcfconocida. —• 20 42San Fraiicifco <strong>de</strong> Campeche. 19 45Morro <strong>de</strong> los Diablos. < 19 40Champeton. 19 05Puerto Efcondidp. r— 18.27Boca <strong>de</strong> Tris en la Laguna <strong>de</strong>Termines. -~Rio <strong>de</strong> Tabafco. ——Rio <strong>de</strong> Güazaqualcos.Sierras <strong>de</strong>^San Martin.Rio <strong>de</strong> Alvarado.Punta <strong>de</strong> Antón Lizardo. —Vera-Cruz nueva. ——Bernal. — • •—Punta Delgada. —Tur-1818181818181919*920180020r-551040542.!y O»189 08288 25287 602%6 IO284 %%284 43284 25284 17284 22283 5823 5 2,',8a 43281 11280 id2.79 -72.79 12278 47278 I7.278 23
I r(224)Turpa.'Cabo Roxo.* •Rio <strong>de</strong> Tampico. • ——Rio Brabo , ó <strong>de</strong>l Norte. —Boca <strong>de</strong>l Lago <strong>de</strong> -S.Bernardo.Cabo <strong>de</strong>l Norte.Cabo Baxo.Boca <strong>de</strong>l Rio <strong>de</strong> la Palizada.Cabo <strong>de</strong>l Lodo, • ——Isla <strong>de</strong> Mazacra, ---—Panzacola,Baía<strong>de</strong> San Joíeph.Cabo <strong>de</strong> San Blas. •Rio <strong>de</strong> Apalache.Baia <strong>de</strong>l Efpiritu Santo.Entenada <strong>de</strong> Carlos.-—•———•Gs.M.2 5 oy21 5522. 3.725 5518 2419 3025 5829 1329 09jo 0530 1429 4529 3030 IJ2 * 3326 22Gs. M«277 1027d 4d2 7 d 18:2 76 34278 27282 I 7283 57284 48I285 0228d 02287 15289 09289 12290 5«*293 03?93 P7¡Islas, y Baxos <strong>de</strong>l Seno Mexicano.El Alacrán al Lefte.Dicho al Oefte. •Baxo <strong>de</strong> Sifal. • ———Baxo <strong>de</strong>l Negrillo al Norte.Dicho al Sur. -Vigia. '••• 'Vigía.Vigia. -••• ••Vcrmcja.Isla <strong>de</strong> Arenas.Baxo Nuevo.Tri-22 4022 JO21 2023 432 32 32 5 5524 102 4 1022 4822 001 40*8d 58?85 3$285 02284 20284 38284 22284 15284 45283 22283 08282 43
Rio("5)Triangulo,Arcas.Baxo <strong>de</strong>l Obifpo.Isla <strong>de</strong> Lobos.Las ToiEuguilIas.Gs.M.2 1 OO—» 20 00— 2o 13~2 5 55— 25 00Cofia <strong>de</strong> la Florida ; y Cayos <strong>de</strong>la Cabeza <strong>de</strong> los Martyres.Gs. Ms.:283 03283 03282 522 7 6 57,292 *$EhCayo Marques. > .-Cayo Largo Cabeza <strong>de</strong> los Martyres..Cayo Vizcaínos. —•——. ,Rio <strong>de</strong> Aiz.Cabo Caiíaberál.San Auguftin. ~Rio <strong>de</strong> San Juan. •San Jorge. —- • •Isla Bermuda. ——.._24 40 I 25.3 282 5 «2 52728293*3 2320036383054*30320294 53S295 ir!294 52-295 2$-.294 43,294 3&295 023*2 54.T:SIGÜENSE LAS TABLAS<strong>de</strong> Partes Meridionales, 6 <strong>de</strong>Latitu<strong>de</strong>s crecidas..O* I» lH
226 Parta Meridionales,L. | o| i | * | 3 | 4 I 5 I * | 7 | 8 | y ( ío I no60:120| 18o|24o| too'3 60J420I481o1 ir 121 181 z 41130J 361 42I 48*2 61 I 22 r8* 242 J02 362 422 4833 63 " 3 .85 24? 3 03 3*? 423 4841*4 18448 í48 *f 42|6or**4543544545604 66560 f6066074 '•4*44 304 364 424 54*_5 1*511/ 12f ll f 42 5 547 608! < •66 126 186 246 30a 5 66 4; ¿ 487 54« 609 6707 7 «-7127 187 147 307 5*7 42 7 48S 545 610 671S 8 68 12 r88 24S 308 368 48? 5 50 í n 67%? 6? 129 r8? 249 309 36? 4*8 4? O 55i 61* *73ro 10 70 130 190 2J0 310 sJO 4? 1Íl2£ljÍZ 4430r i ri 7i '3* I?I S1 3 11 37- 431 45* 553 614 *7ÍI 2 1 2 7* 15.2 *f* 31» 372 43» 45 3 554 6lf 676-53 7?33 193 *5J 3H 373 43 3 454 555 * l * 6 77'4 >4 74 M4 1*4 *54 3M 371 4341 455 55* 617 678*í 7_í 195 *55 U4 435 49* 618 675'21 121 IVió ir>7* •3* lí>6 *f6 3i8 2fS 318 37S 43 455560 62 1 68*15 19 79 '39 19S> *$•? 3 75 440 roí 5*2 6*3 420 20 80 t40 200 160 320 3 So 441 50* 6*4 68 fíí!3*~2 I 2 I 871-41 201 Z61 ?*- 442 5 0? 6*J 68*3825*422 22 142 202 262443 504 626 6873 225*5*3 *1 '43 203 263 ?83*3 3444 505 566 6*7 68824 ¡Mr 144 2O4 2 ó 4 384 441" 506'fe»45*7 6*8 68?*r *'y Mf 20' Í£Í 3»f446 507 {68 629 690:6 26 146 206" 266 326 386 447 508 56? 63O 69117 --7 147 207 *6 7 3--7 3 87 448 ÍO? 5 70 6,1 69128 28 148 208 268 328 388 44? 510 Í7i 63* 693*5 29.89 14? 209 2S P'32?!38?,450 511 57*633i6?430 30,50ii50i2io 1 »70i3 jol3?o!45il5 1* 57 3 *34|*¡>5l66666166%669¿ Latitu<strong>de</strong>s crecidas.*27¿•I o I 'I.- I 3 I 4 I 5 I * IO| 11> -o|3Q! 5Q|'5Q,--iO *7Oi3 30,i9OÍ45i 5 1 ='T73'«?4I«íj-S5*5334i_5?*3 738554041424344454647+ü495053545J?i?2333435i?373 85544'4"-45444546,106474>849>o91(15191,15*5? 15?-»4-54¿5 f_5j96 I f 6575895100107to-810?1 to1•577 *77158 *l8 '-781591605 5 11 17354 114x 745_f211 271 331 35,!212 272 33* 35*214274üi .21*I6 17621?22027?280*7I33333433513935?3543_5545*45 34*445545 6.336 ??6 4573 37 3 97 45338 358 4553?5 4*0101 1*1 2*1 3 41 40 I 462515102 162 22* 282 342J402 4*35*4.O! 163 ••••5 283 343 40? 4*45*f,04 164 224 284 344 4044*5 ,-26lOf I6f 125 28 5 345 405 466 í-7t66 226 286167 227 28716Í 228 2I 69 22? *S?I70 2;o 2?0¡5 • 5i 111 171 2?1|f* 52 112 172 1?2175MI••34-•3534*4Ó6 46/ 5*8 589 650 711347 407 468. f*? fío *5i 71234* 408 469 f?0 5? 1 6f* 71?345 409 470 5? 1 19 *5 3|7i.4?fO 410 47 * 53? 593 *54l7_i_55* 5* c 16 '7* z-ú 1?* ?{6 4'*.477 538|S9?jáSc. 7*i57 n •17 177 ..*37'*97 , 3 57}4í7 478 5 39 600I66I 7** ,78 r« n3 r78:*3 8|*?8j258(418 479^5'.
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