Tema 3. SeÃ±ales y sistemas en tiempo discreto. IntroducciÃ³n: â¢ Las ...

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Clasificación de Sistemas DiscretosSistemas Lineales:Si y 1 [n] es la salida de un sistema ante una entrada x 1 [n] e y 2 [n] es la salidade un sistema ante una entrada x 2 [n], entonces, si el sistema es lineal, anteuna entrada x[ n]= α x1[n]+ β x2[n], la salida es y[ n]= α y1[n]+ β y2[n]siendo α,β , x 1 [n] e x 2 [n] arbitrarios.Un sistema lineal verifica el principio de superposición.Ej1: Promediado de dos muestras: y [ n]= 0.5( x(n)+ x(n − 1) )Para dos entradas arbitrarias las salidas serán:y1[ n]= 0.5( x1( n)+ x1(n −1)),y2[n]= 0.5( x2( n)+ x2( n −1))Para una entrada x[ n]= α x1[n]+ β x2[n]α, β ∈RLa salida es:y1[n]= 0.5( α x1[n]+ β x2[n]+ α x1[n −1]+ β x2[n −1]) == α(0.5( x ( n)+ x ( n −1)) + β (0.5( x ( n)+ x ( n −1)))1Luego el sistema es lineal1Ej2: AcumuladorPara dos entradas arbitrarias las salidas serán:ynn1[ n]= ∑ x1[], y2[n]= ∑ x2λ=−∞λ=−∞λ [ λ]Para una entrada x[ n]= α x1[n]+ β x2[n]α, β ∈ RLa salida es:2nnn1nλ= −∞λ=−∞λ=−∞( α x [ λ ] + β x [ λ]) = α x [ λ]+ β x [ λ]= α y [ n]+ β y [ ]y[ n]= ∑2 ∑ ∑1212Luego el sistema es linealEj: Acumulador causalPara dos entradas arbitrarias tenemos:ynn1[ n]= y1[−1]+ ∑ x1[λ ] y2[n]= y2[−1]+ ∑ x2[λ]λ=0λ=0Para una entrada x n]= α x [ n]+ β x [ ]La salida es:[1 2ny[n]= y[−1]+n∑λ=0( α x1 [ λ]+ β x2[λ])Si ahora calculamos α y n]+ β y [ ] obtenemos1[ 2n2INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.18 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010
α y1[n]+ β y2[n]= α(y1[−1]+ ∑ x1[λ])+ β ( y2[−1]+ ∑ xnλ=0= ( α y1[−1]+ β y2[−1])+ ( α∑x1[λ]+ β∑nλ=0nλ=0x [ λ])2nλ=02[ λ])=Para que se verifique y[ n]= α y1[n]+ β y2[n]se debe cumplir,y[ −1]= α y1[−1]+ β y2[−1]para cualquier valor de α, β luego solo si lascondiciones iniciales son nulas el sistema será lineal en otro caso no loserá.2Ejercicio. Determina si el sistema y [ n]= x [ n]− x[n −1]x[n + 1]es lineal.INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.19 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010
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