capítulo uno: señales y sistemas - Universidad Rafael Urdaneta

SEÑALES Y SISTEMAS3

José MoronSEÑALES Y SISTEMAS4

Universidad Rafael UrdanetaAutoridades RectoralesDr. Jesús Esparza Bracho, RectorIng. Maulio Rodríguez, Vicerrector AcadémicoIng. Salvador Conde, SecretarioNancy Villarroel M.L.S. Directora de BibliotecaOctubre 2010.2010© Universidad Rafael UrdanetaPortada: Luz Elena HernándezDiseño y maquetación: Lcda. Vanessa PeraltaUniversidad Rafael Urdaneta, Fondo Editorial BibliotecaVereda del Lago, Maracaibo, Venezuela.ISBN****************:Deposito Legal: *******************5

ÍNDICECAPÍTULO UNO: SEÑALES Y SISTEMAS1.1 Introducción.……………………………………………………………………………………... 171.2 Señales y Clasificación de Señales…………………………………………………………........ 181.3 Señales Periódicas y No Periódicas…………………………………………………………........ 231.4 Señales de Potencia y de Energía……………………………………………………………........ 261.5 Transformaciones de la Variable Independiente…………………………………………………. 301.6 Escalamiento en el Tiempo………………………………………………………………………. 341.7 Señales Pares e Impares………………………………………………………………………….. 371.8 Señales de Tiempo Continuo Básicas……………………………………………………………. 401.8.1 Señales Exponenciales Complejas……………………………………………………….. 401.8.2 Señales Exponenciales Complejas Generales……………………………………………. 461.8.3 La Función Escalón Unitario…………………………………………………………….. 471.8.4 La Función Impulso Unitario……………………………………………………………. 471.9 Señales de Tiempo Discreto Básicas……………………………………………………………... 531.9.1 Secuencias Exponenciales Complejas Generales……………………………………...... 531.9.2 Secuencias Exponenciales Reales……………………………………………………….. 531.9.3 Señales Sinusoidales……………………………………………………………………... 541.9.4 Señales Exponenciales Complejas Generales……………………………………………. 551.9.5 Periodicidad de las Exponenciales Complejas………………………………………....... 561.9.6 Periodicidad de la Exponencial Compleja……………………………………………….. 561.9.7 La Secuencia Escalón Unitario…………………………………………………………... 581.9.8 La Secuencia Impulso Unitario…………………………………………………………... 591.10 Sistemas y Clasificación de Sistemas…………………………………………………………….. 606

1.10.1 Sistemas en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto………………………………........ 621.10.2 Sistemas Con y Sin Memoria……………………………………………………………. 641.10.3 Invertibilidad y Sistemas Inversos……………………………………………………….. 651.10.4 Sistemas Causales……………………………………………………………………....... 661.10.5 Sistemas Estables……………………………………………………………………........ 681.10.6 Invariabilidad en el Tiempo…………………………………………………………........ 691.10.7 Sistemas Lineales……………………………………………………………………....... 721.11 Interconexión de Sistemas……………………………………………………………………....... 74Problemas……………………………………………………………………………………........ 77CAPÍTULO DOS: SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO2.1 Introducción……………………………………………………………………………………… 862.2 Sistemas LIT en Tiempo Discreto………………………………………………………………… 872.2.1 La Representación de Señales de Tiempo Discreto Mediante Impulsos Unitarios…...... 872.3 Sistemas LIT Discretos: la Suma de Convolución……………………………………………....... 892.3.1 Propiedades de la Suma de Convolución……………………………………………........ 1002.3.2 Respuesta al Escalón…………………………………………………………………....... 1042.4 Sistemas de Tiempo Continuo: la Integral de Convolución………………………………………. 1052.4.1 Propiedades de la Integral de Convolución………………………………………………. 1062.4.2 Evaluación de la Integral de Convolución……………………………………………...... 1072.4.3 Respuesta al Escalón…………………………………………………………………....... 1122.5 Propiedades de los Sistemas LIT………………………………………………………………....... 1122.5.1 Sistemas LIT Con y Sin Memoria……………………………………………………...... 1132.5.2 Causalidad………………………………………………………………………………... 1132.5.3 Estabilidad……………………………………………………………………………….. 1162.5.4 Invertibilidad……………………………………………………………………………... 1187

2.6 Funciones Propias de Sistemas LIT de Tiempo Continuo…………………………………….......2.7 Funciones Propias de Sistemas LIT de Tiempo Discreto………………………………………….1192.8 Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales………………………………………………… 1212.8.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes……………………...... 1222.8.2 Linealidad……………………………………………………………………………....... 1242.8.3 Causalidad……………………………………………………………………………...... 1242.8.4 Invariabilidad en el Tiempo…………………………………………………………........ 1242.8.5 Respuesta al Impulso…………………………………………………………………….. 1252.9 Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias……………………………………………….. 1322.9.1 Solución Homogénea de la Ecuación en Diferencias……………………………………. 1342.9.2 La Solución Particular……………………………………………………………………. 1372.9.3 Determinación de la Respuesta al Impulso………………………………………………. 1412.10 Simulación de Sistemas…………………………………………………………………………… 1432.10.1 Componentes Básicas: Sistemas de Tiempo Continuo………………………………….. 1432.10.2 Diagramas de Simulación: Sistemas de Tiempo Continuo………………………………. 1452.10.3 Componentes Básicas: Sistemas de Tiempo Discreto…………………………………… 1482.11 Representación Mediante Variables de Estado: Tiempo Continuo……………………………….. 1522.11.1 Definiciones……………………………………………………………………………… 1532.11.2 Solución General de la Ecuación de Estado…………………………………………....... 1552.11.3 Solución de la Ecuación de Estado Mediante Integración………………………………. 1582.11.4 Método de los Valores y Vectores Característicos………………………………………. 1602.11.5 Solución Mediante Diagonalización de Matrices……………………………………...... 1682.11.6 Solución por Reducción a la Forma Canónica de Jordan……………………………...... 172Problemas…………………………………………………………………………………………. 181CAPÍTULO TRES: ANÁLISIS DE FOURIER (TIEMPO CONTINUO)8

Introducción………………………………………………………………………………………………. 1953.1 Respuesta de Sistemas LIT a Exponenciales Complejas………………………………………….. 1973.2 Representación de Señales Usando Series de Fourier…………………………………………….. 1993.2.1 Señales Periódicas y Combinaciones Lineales de Exponenciales Complejas…………...... 1993.2.2 Series de Fourier……………………………………………………………………………. 2023.2.3. Condiciones para la Convergencia de las Series de Fourier……………………………....... 2113.3 Propiedades de las Series de Fourier……………………………………………………………… 2173.3.1 Efectos de la Simetría……………………………………………………………………….. 2173.3.2 Linealidad…………………………………………………………………………………... 2193.3.3 Diferenciación………………………………………………………………………………. 2193.3.4 Teorema de la Potencia de Parseval………………………………………………………… 2203.3.5 Integración en el Tiempo……………………………………………………………………. 2213.3.6 Manipulación de Señales……………………………………………………………………. 2223.4 Transformadas de Fourier y Espectros Continuos………………………………………………… 2233.4.1 La Transformada de Fourier………………………………………………………………... 2243.4.2 Convergencia de las Transformadas de Fourier……………………………………………. 2293.4.3 Ejemplos de Transformadas de Fourier en Tiempo Continuo……………………………… 2313.5 La Transformada de Señales Periódicas…………………………………………………………... 2353.5.1 Los Coeficientes de la Serie de Fourier como Muestras de la Transformada…………….. 2353.5.2 La Transformada de Fourier de Señales Periódicas……………………………………….. 2383.6 Propiedades Adicionales de la Transformada de Fourier…………………………………………. 2413.6.1 Retardo en el Tiempo y Cambio de Escala…………………………………………………. 2413.6.2 Diferenciación en el Dominio del Tiempo…………………………………………………. 2443.6.3 Integración en el Dominio del Tiempo……………………………………………………... 2443.6.4 Dualidad…………………………………………………………………………………….. 2453.6.5 La Relación de Parseval…………………………………………………………………….. 2479

3.7 La Propiedad de Convolución…………………………………………………………………….. 2493.7.1 Las Funciones Escalón y Signo…………………………………………………………….. 2513.8 Modulación………………………………………………………………………………………... 2533.9 Generación de Otros Pares de Transformadas…………………………………………………….. 2563.10 Densidad Espectral de Potencia…………………………………………………………………… 259Problemas…………………………………………………………………………………………. 264CAPÍTULO CUATRO: ANÁLISIS DE FOURIER (TIEMPO DISCRETO)4.1 Introducción……………………………………………………………………………………….. 2804.2 Señales Periódicas………………………………………………………………………………… 2804.3 Serie de Fourier Discreta………………………………………………………………………….. 2814.3.1 Secuencias Periódicas……………………………………………………………………… 2814.3.2 Representación en Serie de Fourier Discreta………………………………………………. 2824.3.3 Convergencia de la Serie de Fourier Discreta……………………………………………... 2864.4 Propiedades de la Serie de Fourier Discreta………………………………………………………. 2874.4.1 Periodicidad de los Coeficientes de Fourier……………………………………………….. 2874.4.2 Dualidad……………………………………………………………………………………. 2874.4.3 Otras Propiedades………………………………………………………………………….. 2884.4.4 Secuencias Pares e Impares………………………………………………………………... 2884.5 Teorema de Parseval………………………………………………………………………………. 2904.6 La Transformada de Fourier Discreta……………………………………………………………... 2924.6.1 Transformación de la Serie de Fourier Discreta en la Transformada de Fourier………….. 2924.6.2 Par de Transformadas de Fourier…………………………………………………………... 2944.6.3 Espectros de Fourier……………………………………………………………………….. 2954.6.4 Convergencia de X()……………………………………………………………………... 2964.7 Propiedades de la Transformada de Fourier………………………………………………………. 29710

4.7.1 Periodicidad………………………………………………………………………………... 2974.7.2 Linealidad………………………………………………………………………………….. 2974.7.3 Desplazamiento o Corrimiento en el Tiempo……………………………………………… 2974.7.4 Desplazamiento en Frecuencia…………………………………………………………….. 2994.7.5 Conjugación………………………………………………………………………………... 3004.7.6 Inversión en el Tiempo…………………………………………………………………….. 3004.7.7 Escalamiento en el Tiempo………………………………………………………………… 3004.7.8 Dualidad……………………………………………………………………………………. 3014.7.9 Diferenciación en Frecuencia……………………………………………………………… 3024.7.10 Diferencias…………………………………………………………………………………. 3034.7.11 Acumulación……………………………………………………………………………….. 3044.7.12 Convolución………………………………………………………………………………... 3054.7.13 Multiplicación o Modulación……………………………………………………………… 3064.7.14 Propiedades Adicionales…………………………………………………………………… 3074.7.15 Relación de Parseval……………………………………………………………………….. 3084.8 La Respuesta de Frecuencia de Sistemas LIT Discretos………………………………………….. 3084.8.1 Sistemas LIT Caracterizados por Ecuaciones de Diferencias……………………………... 3014.8.2 Naturaleza Periódica de la Respuesta de Frecuencia………………………………………. 3104.9 Respuesta del Sistema a Muestras de Sinusoides de Tiempo Continuo…………………………... 3114.9.1 Respuestas del Sistema…………………………………………………………………….. 3114.10 La Transformada de Fourier Discreta……………………………………………………………… 3124.10.1 Definición………………………………………………………………………………….. 3134.10.2 Relación entre la TFD y la Serie de Fourier de Tiempo Discreto………………………… 3154.10.3 Relación entre la TFD y la Transformada de Fourier……………………………………… 3154.10.4 Propiedades de la TFD...…………………………………………………………………… 316Problemas…………………………………………………………………………………………. 32111

CAPÍTULO 5: LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE5.1 Introducción……………………………………………………………………………………….. 3285.2 Definición de la Transformada de Laplace………………………………………………………... 3295.3 Condiciones para la Existencia de la Transformada de Laplace………………………………….. 3325.3.1 Funciones Seccionalmente Continuas……………………………………………………... 3325.3.2 Región de Convergencia de la Transformada……………………………………………… 3375.4 Teoremas de la Derivada y de la Integral…………………………………………………………. 3375.4.1 La Transformada de Laplace Bilateral…………………………………………………….. 3395.4.2 La Función Impulso………………………………………………………………………... 3395.4.3 El Teorema de la Derivada………………………………………………………………… 3405.4.4 El Teorema de la Integral………………………………………………………………….. 3435.4.5 Traslación Compleja……………………………………………………………………….. 3435.5 El Problema de Inversión………………………………………………………………………….. 3455.5.1 Inversión de Transformadas Racionales (Fracciones Parciales)…………………………... 3475.5.2 Inversión de Funciones Impropias…………………………………………………………. 3525.6 Los Valores Inicial y Final de f(t) a partir de F(s)……………………………………………….. 3535.6.1 El Teorema del Valor Inicial………………………………………………………………. 3535.6.2 El Teorema del Valor Final………………………………………………………………... 3555.7 Teoremas Adicionales…………………………………………………………………………….. 3565.7.1 El Teorema de Traslación Real o de Desplazamiento……………………………………... 3565.7.2 El Teorema de Escala……………………………………………………………………… 3585.7.3 Derivadas de Transformadas………………………………………………………………. 3595.7.4 La Transformada de una Función Periódica……………………………………………….. 3615.8 Aplicación de la Transformada de Laplace a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias……………… 3625.9 La Convolución…………………………………………………………………………………… 36612

5.10 Propiedades de la Integral de Convolución……………………………………………………….. 3705.11 Ecuaciones Diferenciales e Integrales…………………………………………………………….. 3725.12 Polos y Ceros de la Transformada………………………………………………………………… 377Problemas…………………………………………………………………………………………. 379CAPÍTULO 6: LA TRANSFORMADA Z6.1 Introducción……………………………………………………………………………………...... 3836.2 La Transformada Z..................................................................................................................... 3836.2.1. Definición………………………………………………………………………………… 3846.2.2. La Región de Convergencia de la Transformada Z ……………………………………… 3856.2.3. Propiedades de la Región de Convergencia……………………………………………… 3896.3 Transformadas Z de Secuencias Importantes……………………………………………………... 3916.3.1. Secuencia Impulso unitario [n]…………………………………………………………. 3916.3.2. Secuencia Escalón Unitario u[n]…………………………………………………………. 3916.3.3. Funciones Sinusoidales…………………………………………………………………... 3916.3.4. Tabla de Transformadas Z………………………………………………………………... 3926.4 Propiedades de la Transformada Z ……………………………………………………………….. 3926.4.1 Linealidad………………………………………………………………………………… 3926.4.2 Desplazamiento (Corrimiento) en el Tiempo o Traslación Real………………………… 3956.4.3 Inversión en el Tiempo…………………………………………………………………... 3966.4.4 Multiplicación pornz 0 o Corrimiento en Frecuencia…………………………………….. 3966.4.5 Multiplicación por n (o Diferenciación en el Dominio de z)…………………………….. 3986.4.6 Acumulación……………………………………………………………………………... 3996.4.7 Convolución……………………………………………………………………………… 3996.5 La Transformada Z Inversa……………………………………………………………………… 4006.5.1. Fórmula de Inversión…………………………………………………………………….. 40013

6.5.2. Uso de Tablas de Pares de Trasformadas Z……………………………………………… 4016.5.3. Expansión en Series de Potencias………………………………………………………... 4016.5.4. Expansión en Fracciones Parciales………………………………………………………. 4036.6 La Función del Sistema: Sistemas LIT de Tiempo Discreto…………………………………….... 4086.6.1. La Función del Sistema…………………………………………………………………... 4086.6.2. Caracterización de Sistemas LIT de Tiempo Discreto…………………………………… 412Causalidad……………………………………………………………………………….. 412Estabilidad……………………………………………………………………………….. 412Sistemas Causales y Estables……………………………………………………………. 4136.6.3. Función del Sistema para Sistemas LIT Descritos por Ecuaciones de DiferenciasLineales con Coeficientes Constantes……………………………………………………6.6.4. Interconexión de Sistemas……………………………………………………………….. 4166.7 La Transformada Z Unilateral…………………………………………………………………….. 4196.7.1. Definición………………………………………………………………………………… 4196.7.2. Propiedades Básicas……………………………………………………………………… 4196.7.3. La Función del Sistema………………………………………………………………….. 4206.7.4. Valores Inicial y Final……………………………………………………………………. 420Teorema del Valor Inicial………………………………………………………………... 420Teorema del Valor Final………………………………………………………………… 4206.8 La Transformada de Laplace y la Transformada Z ………………………………………………. 423Pares Ordinarios de Transformadas Z.......................................................................................... 424Problemas…………………………………………………………………………………………. 426413CAPÍTULO 7: MODULACIÓN DE AMPLITUD7.1 Introducción………………………………………………………………………………………..4327.1.1 Necesidad de la Modulación……………………………………………………………….. 4337.2 Tipos de Modulación Analógica…………………………………………………………………... 43414

7.3 Transmisión de Señales de Banda Base Analógicas………………………………………………. 4357.3.1 Distorsión de la Señal en la Transmisión en la Banda Base………………………………. 4367.3.2 Distorsión Lineal…………………………………………………………………………... 4377.3.3 Compensación……………………………………………………………………………… 4387.3.4 Distorsión No Lineal y Compansión………………………………………………………. 4397.4 Esquemas de Modulación Lineales OC…………………………………………………………… 4417.4.1 Modulación de Banda Lateral Doble (DSB)………………………………………………. 4417.4.2 Modulación de Amplitud Ordinaria………………………………………………………... 4487.4.3 Índice de Modulación……………………………………………………………………… 4497.4.4 Potencia y Ancho de Banda de la Señal Transmitida……………………………………… 4497.4.5 Demodulación de Señales AM…………………………………………………………….. 4527.4.6 Modulación de Banda Lateral Única (SSB)……………………………………………….. 4567.4.7 Modulación de Banda Lateral Residal (VSB)……………………………………………... 4657.5 Conversión de Frecuencias (Mezclado)…………………………………………………………… 4677.6 Multicanalización por División de Frecuencias…………………………………………………... 470Problemas…………………………………………………………………………………………. 473Referencias………………………………………………………………………………………... 48315

CAPÍTULO UNOSEÑALES Y SISTEMAS16

CAPÍTULO UNO: SEÑALES Y SISTEMAS1.1 IntroducciónLos conceptos de señales y sistemas surgen en una gran variedad de campos y las ideas y técnicasasociadas con estos conceptos juegan un papel importante en áreas tan diversas de la ciencia y la tecnologíacomo las comunicaciones, la aeronáutica, sistemas de generación y distribución de energía, diseño decircuitos, acústica, etc. En este capítulo introducimos la idea básica sobre la descripción y representaciónmatemática de señales y sistemas y sus clasificaciones. También se definen varias señales básicasimportantes, especialmente sobre sistemas lineales, las cuales son esenciales para nuestros estudiosposteriores.El análisis de un sistema lineal se facilita frecuentemente utilizando un tipo específico de señales deexcitación o una determinada representación de señales. Por esta razón, es conveniente incluir el análisis deseñales y sus propiedades en un estudio de sistemas lineales. Además del análisis nos interesa también lasíntesis de sistemas. De hecho, la síntesis o diseño de sistemas constituye la parte creativa de la ingeniería.De aquí que para abordar el diseño de sistemas primero se debe aprender a analizarlos. Este texto estáorientado principalmente al análisis de ciertos tipos de sistemas lineales; sin embargo, debido a que lostópicos de diseño y análisis están íntimamente relacionados, este estudio proporciona las bases para undiseño elemental.El análisis de sistemas puede dividirse en tres aspectos:1. El desarrollo de un modelo matemático apropiado para el problema físico bajo consideración. Estaparte del análisis se dedica a la obtención de “ecuaciones dinámicas”, condiciones iniciales o defrontera, valores de parámetros, etc. En este proceso es donde el juicio, la experiencia y laaexperimentación se combinan para lograr el desarrollo de un modelo apropiado. En esta forma, esteprimer aspecto es el más difícil de desarrollar formalmente.2. Después de obtener un modelo apropiado, se resuelven las ecuaciones resultantes para encontrarsoluciones de diversas formas.3. Luego, la solución del modelo matemático se relaciona o interpreta en función del problema físico. Esconveniente que el desarrollo del modelo sea lo más exacto posible de manera que se puedan hacerinterpretaciones y predicciones significativas concernientes al sistema físico. No obstante, se debe17

señalar que mientras más exacto sea un modelo, mayor es la dificultad para obtener una soluciónmatemática y una realización física.1.2 Señales y Clasificación de SeñalesLos términos señales y sistemas, en la forma en que se usan generalmente, tienen diferentes significados.En consecuencia, cualquier intento para dar una definición general precisa, o una definición en el contextode la ingeniería no sería muy productivo. Normalmente el significado de estos términos se extrae delcontenido del texto. Una señal es una función de una variedad de parámetros, uno de los cuales esusualmente el tiempo, que representa una cantidad o variable física, y típicamente contiene información odatos sobre la conducta o naturaleza de un fenómeno. Las señales pueden describir una variedad muyamplia de fenómenos físicos. Aunque las señales pueden representarse en muchas formas, en todos loscasos, la información en una señal está contenida en un patrón que varía en alguna manera. Por ejemplo, elmecanismo vocal humano produce sonidos creando fluctuaciones en la presión acústica. Diferentes sonidos,usando un micrófono para convertir la presión acústica en una señal eléctrica, corresponden a diferentespatrones en las variaciones de la presión acústica; el sistema vocal humano produce sonidos inteligibles,generando secuencias particulares de estos patrones. Otros ejemplos son una imagen monocromática; eneste caso es importante el patrón de variaciones en el brillo y los diferentes matices existentes entre loscolores blanco y negro.Matemáticamente, una señal se puede representar como una función de una o más variablesindependientes. Por ejemplo, una señal de audio puede representarse mediante la presión acústica enfunción del tiempo, y una imagen como una función del brillo de dos variables espaciales. En estas notassólo consideraremos señales que involucran una sola variable independiente. Una señal se denotará por x(t).Por conveniencia, generalmente nos referiremos a la variable independiente como el tiempo, aun cuandoella no represente al tiempo en operaciones específicas. Por ejemplo, las señales que representanvariaciones de cantidades físicas con la profundidad, tales como la densidad, porosidad y resistividadeléctrica, se usan en geofísica para estudiar la estructura de la tierra. También, el conocimiento de lasvariaciones en la presión del aire, la temperatura y la velocidad del viento con la altitud son de extremaimportancia en investigaciones meteorológicas.Has dos tipos básicos de señales: señales en tiempo continuo o señales analógicas y señales en tiempodiscreto o digitales. Una señal x(t) es una señal en tiempo continuo si la variable independiente t es unavariable continua y, por ende, estas señales están definidas para un continuo de valores de esa variable; es18

decir, el valor de x(t) es especificado en todo instante t de un intervalo de tiempo dado, ya sea mediante unaexpresión matemática o gráficamente por medio de una curva; en otras palabras, la variable independientepuede tomar cualquier valor real. Si la variable independiente t es una variable discreta, es decir, x(t) estádefinida en puntos del tiempo discretos, entonces x(t) es una señal en tiempo discreto, a menudo generadapor muestreo de una señal de tiempo continuo. Como una señal de tiempo discreto está definida solamenteen tiempos discretos, con frecuencia se identifica como una secuencia de números, denotada por {x n } ox[n], donde, para nuestros propósitos, n es un entero. En la Fig. 1.1 se ilustran una señal de tiempo continuoy una de tiempo discreto. La música proveniente de un disco compacto es una señal analógica, pero lainformación almacenada en el disco compacto está en forma digital. Ésta debe procesarse y convertirse enforma analógica antes de que pueda escucharse.Una señal de tiempo discreto x[n] puede representar un fenómeno para el cual la variable independiente esinherentemente discreta. Por ejemplo, el promedio diario de los valores de cierre de la bolsa de valores es,por su naturaleza, una señal que evoluciona en puntos discretos en el tiempo (es decir, el cierre del día).Una señal de tiempo discreto, x[n], también puede obtenerse mediante el muestreo de una señal de tiempocontinuo x(t) para obtener los valoresx(t)x[n]30 t –3 –2 –1 0 1 2 3 4 n(a)(b)Figura 1.1. Señales de tiempo continuo y de tiempo discreto.x t0 x t1 x t n( ), ( ), , ( ), o en una forma abreviada comoox [0], x [1], , x [ n],x0 x1 x n, , , , y a los valores x n se les denomina muestras; el intervalo de tiempo entre muestras se llama el intervalo demuestreo. Cuando estos intervalos son iguales (muestreo uniforme), entoncesx x [ n] x [ nT ]ns19

donde la constante T s es el intervalo de muestreo. Un dispositivo que convierta información analógica aforma digital mediante cuantización (redondeo) se denomina un convertidor analógico-digital.Una señal de tiempo discreto con muestreo uniforme puede ser especificada de dos maneras:1. Podemos especificar una regla para calcular el n-ésimo valor de la secuencia. Por ejemplo,x[ n] xnn1n 020 n 0o{ x } ,0,0,1, , , , , n1 1 12 4 2n2. Podemos dar una lista explícita de los valores de la secuencia. Por ejemplo, la secuencia mostrada enla Fig. 1.1b puede escribirse como{ x } { ,0,0,2,3,3,2,1,0,0, }no{ x } {2,3,3,2,1}nSe usa la flecha para indicar el término correspondiente a n = 0. Se usará la convención de que si noaparece la flecha, entonces el primer término corresponde a n = 0 y todos los valores son iguales acero para n < 0.Ejemplo 1. Dada la señal en tiempo continuo especificada por1 t 1 t 1xt () 0 t 1Determine la secuencia de tiempo discreto resultante obtenida mediante muestreo uniforme de x(t) con unintervalo de muestreo de (a) 0.25 s; (b) 0.5 s.20

Solución: Es más fácil resolver este problema gráficamente. La señal x(t) se grafica en la Fig. 1.2a. LasFigs. 1.2b y c muestran gráficos de las secuencias de las muestras resultantes obtenidas para los intervalosde muestreo especificados.x(t)1x[n) = x(n/4)–1 0 1 t–3 –2 –1 0 1 2 3 4 n(a)(b)x[n) = x(n/2)–4–20 2 4n(c)Figura 1.2. Las señales para el Ejemplo 1.(a) T s = 0.25 s. De la Fig. 1.2b obtenemosxn [ ] { ,0,0.25,0.5,0.75,1,0.75,0.5,0.25,0, }(b) T s = 0.5 s. De la Fig. 1.2c, obtenemosxn [ ] { ,0,0.5,1,0.5,0, }Con frecuencia, se procesan señales para producir nuevas señales para diferentes propósitos. Acontinuación se da un ejemplo de cómo se generan nuevas señales a partir de señales conocidas.Ejemplo 2. Usando las señales de tiempo discreto x 1 [n] y x 2 [n] mostradas en la Fig. 1.3, represente cadauna de las siguientes señales mediante una gráfica y mediante una secuencia de números.y [ n] x [ n] x [ n]; (b) y2[ n] 2 x1[ n]; (c) y3 [ n] x1 [ n] x2[ n].(a)1 1 221

32x 1[n]2x 2[n]–1 0 1 2 3 4 5 6 7 n–2–1–3 0 1 234 nFigura 1.3. Señales para el Ejemplo 2Solución:(a) y 1 [n] se dibuja en la Fig. 1.4a. A partir ella obtenemosy [ n] { ,0, 2, 2,3,4,3, 2,0,2,2,0, }1(b) y 2 [n] se dibuja en la Fig. 1.4b. De ella obtenemosy [ ] {,0,2,4,6,0,0,4,4,0, }2n (c) y 3 [n] se dibuja en la Fig. 1.4c. De ella obtenemosy [ n] { ,0,2,4,0, }3 y 1[n]y 2[n]y 3[n]–3–2–130 1 2 4 5 6 n –1 0 1 2 3 4 5 6 7 n –1 0 1 2 37(a) (b) (c)nFigura 1.422

1.3 Señales Periódicas y No-PeriódicasUna señal periódica de tiempo continua x(t) tiene la propiedad de que existe un número positivo T para elcualxt xt T para todo t(0.1)x(t). . . . . .–T 0 T tFigura 1.5En este caso decimos que la señal x(t) es periódica con período T. En la Fig. 1.5 se ilustra un ejemplo deesta clase de señales. Observe que una señal periódica repite un mismo patrón durante un tiempo múltiplode T y continúa haciéndolo por tiempo infinito.De la figura se deduce que si x(t) es periódica con período T, entoncesx( t) x( t mT )(0.2)para todo T y cualquier entero m. Por ello, x(t) también es periódica con período 2T, 3T, . El períodofundamental T 0 es el mínimo valor de T para el cual se cumple la Ec. (0.1). Observe que esta definición deT 0 funciona excepto cuando x(t) es una constante. En este caso, el período fundamental no está definidopuesto que x(t) es periódica para cualquier selección de T (es decir, no hay un valor positivo mínimo). LaEc. (0.2) dice simplemente que si la señal se desplaza un número entero de períodos hacia la derecha ohacia la izquierda no cambia la forma de la onda. La frecuencia fundamental (cíclica) f 0 es el recíproco delperíodo fundamental, f 0 = 1/T 0 , y se mide en hertz (ciclos por segundo). La frecuencia fundamental enradianes por segundo es 0 = 2f 0 = 2/T 0 . Finalmente, a una señal que no exhiba periodicidad se le referirácomo una señal no periódica o aperiódica.Ejemplos conocidos de señales periódicas son las señales sinusoidales; como ejemplo está la señalx( t) Asen ( t )023

dondeA = amplitud.ω 0 = frecuencia angular (rad/s). = ángulo de fase inicial con respecto al origen del tiempo (rad).Observe quesisen[ ( t T ) ] sen( t T ) sen( t )0 0 0 0 o0Tm2Así que el período fundamental T 0 de x(t) está dado por2T m , m un entero positivoT002 0Ejemplo 3. Sean x 1 (t) y x 2 (t) dos señales periódicas con períodos fundamentales T 1 y T 2 , respectivamente.¿Cuáles son las condiciones para que la suma z(t) = x 1 (t) + x 2 (t) sea periódica y cuál es el períodofundamental de z(t)?Solución: Puesto que x 1 (t) y x 2 (t) son periódicas con períodos fundamentales T 1 y T 2 , respectivamente, setiene queEntonces,x ( t) x ( t T ) x ( t mT ) , m un entero positivo1 1 1 1 1x ( t) x ( t T ) x ( t nT ) , n un entero positivo2 2 2 2 2z( t) x ( t mT ) x ( t nT )1 1 2 2Para que z(t) sea periódica con período T, se necesita quey entonces se debe cumplir que 1 2 1 1 2 2z( t) z t T x ( t T ) x ( t T ) x ( t mT ) x ( t nT )mT1 nT2 T(0.3)24

oTT12n número racional(0.4)mEn otras palabras, la suma de dos señales periódicas es periódica solamente si la relación entre sus periodosrespectivos es un número racional. El período fundamental es entonces el mínimo común múltiplo de T 1 yT 2 , y está dado por la Ec. (0.3) si los enteros m y n son primos relativos. Si la relación T 1 /T 2 es un númeroirracional, entonces las señales x 1 (t) y x 2 (t) no tienen un período común y z(t) no puede ser periódica.Las señales periódicas de tiempo discreto se definen en forma similar. Específicamente, una señal detiempo discreto x[n] es periódica con período N, si existe un entero positivo N para el cualEn la Fig. 1.6 se ilustra un ejemplo de este tipo de señal.xn xn N para toda n(0.5)x[n]. . .. . .nFigura 1.6. Una señal de tiempo discreto periódica.El período fundamental N 0 de x[n] es el menor entero positivo N para el cual se cumple la Ec. (0.5).cualquier secuencia (señal de tiempo discreto) que no sea periódica se conoce como una secuencia noperiódica(o aperiódica).25

1.4 Señales de Potencia y de EnergíaEn muchas aplicaciones, no en todas, las señales que consideraremos están directamente relacionadas concantidades físicas que representan potencia y energía. Por ejemplo, si v(t) e i(t) son, respectivamente, elvoltaje y la corriente en un resistor de resistencia R, entonces la potencia instantánea p(t) viene dada por12 2p( t) v( t) i( t) v ( t) Ri ( t)(0.6)RLa energía total disipada en el intervalo de tiempo t 1t t 2está dada pory la potencia promedio en ese intervalo estt22 t2 12 2 (0.7)p( t) dt v ( t) dt Ri ( t)dt Rt1 tt11tt12 t12 21 1 1 1p( t ) dt v ( t ) dt Ri ( t ) dtt t t t R t t (0.8)2 1 t2 1 2 11 tt222En una forma similar, la potencia disipada por fricción es p( t) bv ( t), donde v(t) es la velocidad, ypodemos definir la energía y la potencia promedio en un intervalo de tiempo dado en la misma forma queen las Ecs. (0.7) y (0.8).Se acostumbra usar una terminología parecida para cualquier señal, ya sea de tiempo continuo x(t) o detiempo discreto x[n], normalizando la energía y la potencia promedio de una señal arbitraria (en el caso deseñales eléctricas, esto se hace tomando un valor de R = 1 ). Adicionalmente, con frecuencia seráconveniente considerar señales de valores complejos. En este caso, la energía total normalizada en elintervalo t 1t t 2se define comot22xtdt(0.9)t1La potencia promedio normalizada se obtiene dividiendo la Ec. (0.9) por la longitud o duración t 2 t 1delintervalo. En la misma forma, la energía total normalizada para una señal de tiempo discreto x[n] en elintervalo n 1 n n 2 , se define comon22 x[ n](0.10)nn1y al dividir la Ec. (0.10) por el número de puntos en el intervalo, ( n2 n 11), se obtiene la potenciapromedio en ese intervalo.26

Adicionalmente, en muchos sistemas nos interesa examinar la potencia y la energía de señales en unintervalo de tiempo infinito. En estos casos, definimos la energía total normalizada E como los límites delas Ecs. (0.9) y (0.10) conforme el intervalo de tiempo aumenta indefinidamente. Para tiempo continuo,tenemosy en tiempo discreto,T2 2E lím x ( t) dt x ( t)dtT T (0.11)N2 2E lím x[ n] x[ n] (0.12)N n N n De la misma forma se puede definir la potencia promedio normalizada en un intervalo infinito comopara tiempo continuo ypara tiempo discreto.PT12P lím x ( t)dt(0.13)T 2T TN12 lím x[ n](0.14)N2N1nNCon base en las definiciones dadas por las Ecs. (1.11) a (1.14), se pueden definir tres clases importantesde señales:1. Se dice que x[t] o x[n] es una señal de energía si y sólo si 0 < E < (energía finita). Una señal de estetipo debe tener una potencia promedio igual a cero, ya que, en el caso de tiempo continuo, por ejemplo,de la Ec. (1.13) vemos quePElím 0T 2T2. Se dice que una señal x(t) o x[n] es una señal de potencia si y sólo si 0 < P < (potencia promediofinita). Entonces, si P > 0, por necesidad E . Esto tiene sentido, ya que si se tiene una energíapromedio por unidad de tiempo diferente de cero (es decir, potencia promedio diferente de cero),entonces integrando o sumando en un intervalo de tiempo infinito produce una cantidad de energíainfinita.3. Las señales que no satisfacen ninguna de las dos propiedades anteriores se conocen, por supuesto,como señales que no son ni de energía ni de potencia.27

Se deben señalar las propiedades que contemplan una energía nula. Es claro que si x(t) = 0, la energía E es cero, pero lo contrario no es estrictamente cierto. Sólo es posible decir que si E = 0, entonces x(t) esigual a cero “casi en todas partes”. Desde un punto de vista puramente matemático, la propiedad E = 0 nodefine una sola señal sino una clase de señales equivalentes. En estas notas no consideramos este punto devista, y todos los elementos de esta clase de señales equivalentes son considerados como una sola señal. Porlo tanto, una señal de energía nula es también considerada como una señal igual a cero.Ejemplo 4. Si x(t) es una señal periódica con período fundamental T 0 , entonces la integral en la Ec. (1.13)tiene el mismo valor para cualquier intervalo de longitud T 0 . Tomando el límite en una forma tal que 2T seaun múltiplo entero del período, es decir, 2T = mT 0 , entonces la energía total en un intervalo de longitud 2Tes m veces la energía en un período. Como consecuencia, la potencia promedio esT0 T0 1 2 12P lím m x ( t) dtx ( t)dtmmT0 T 0 0 0Observe que una señal periódica es de potencia si su contenido de energía por período es finito.EJEMPLO 5. Considere las señales en la Fig. 1.7. Se quiere clasificar cada señal calculando la energía yla potencia en cada caso.Ax 1(t)Aexp( t)x 2(t)A0t0t 1T 0tFigura 1.7. Señales de energía y de potencia.Solución: La señal en la Fig. 1.7a es aperiódica y su energía total es22AE A exp( 2 t)dt 2028

la cual es finita. La potencia promedio es2 T212AP lím A exp( 2 t) dt lím 0T2T T2T0En consecuencia, la señal en la Fig. 1.7a es una señal de energía con una energía igual a A 2 /2 y potenciapromedio cero.La señal en la Fig. 1.7b es periódica con período T 0 . Su potencia promedio esT0 t121 2 1 2 22 A P x2() t dt A dt A dt T 0T0 0 T0t01 2Así que x 2 (t) es una señal de potencia con energía infinita y potencia promedio igual a 2 A T 0.Ejemplo 6. Considere las dos señales aperiódicas mostradas en la Fig. 1.8. Estas dos señales son ejemplosde señales de energía.x 1 (t)Ax 2 (t)AAexpat /20 /2(a)t0(b)tFigura 1.8. Ejemplos de señales de energía.La función pulso rectangular rect(t/) mostrada en la Fig. 1.8a está estrictamente limitada en el tiempo, yaque x 1 (t) es igual a cero para t fuera de la duración del pulso. La otra señal está asintóticamente limitada enel sentido de que x(t) 0 conforme t . En cualquiera de los casos, la potencia promedio es igual acero. La energía para la señal x 1 (t) es29

y para x 2 (t) es 2TE lím x ( t)dt A dt A 2 2 21 1T T 2T2 22AA1 lím exp( 2 ) lím [1 exp( 2 )]T Taa TE A a t dt aTPuesto que E 1 y E 2 son finitas, las señales x 1 (t) y x 2 (t) son señales de energía.Aquí se debe señalar que la energía como la define la Ec. (0.11) o la Ec. (0.12) no indica la energía realde la señal a que la energía de la señal depende no sólo de la señal sino también de la carga. Lainterpretamos como la energía normalizada disipada en un resistor de 1 ohmio si a éste se le aplicase unvoltaje x(t) o si por el pasase una corriente x(t). Observaciones similares aplican a la potencia de la señaldefinida en la Ec. (0.13) o en la Ec. (0.14). Por lo planteado, las ecuaciones para la energía o la potencia notienen las dimensiones correctas. Las unidades dependen de la naturaleza de la señal. Por ejemplo, si x(t) esuna señal de voltaje, entonces su energía E tiene unidades de V 2 s (voltios al cuadrado-segundos) y supotencia P tiene unidades de V 2 (voltios al cuadrado)1.5 Transformaciones de la Variable IndependienteEn muchas ocasiones es importante considerar analítica y gráficamente señales relacionadas por unamodificación de la variable independiente, mediante operaciones tales como desplazamiento o corrimiento einversión. Por ejemplo, como se ilustra en la Fig. 1.9, la señal x[n] se obtiene a partir de la señal x[n] poruna reflexión o inversión en n = 0 (es decir, una inversión de la señal).x[n]x[–n](a)n(b)nFigura 1.9. Inversión en tiempo discreto.30

De igual forma, como se muestra en la Fig. 1.10, x(t) se obtiene a partir de la señal x(t) por reflexión en t= 0. Entonces, si x(t) representa una señal de audio en un grabador de cinta, la señal x(t) es la mismagrabación reproducida en reversa.Esta operación se conoce como reflexión y es equivalente a “doblar” la señal (rotación de 180º) en torno ala línea t 0 o simplemente a intercambiar el “pasado” y el “futuro” de la señal de tiempo. Observe quecualquier cosa que suceda en la Fig. 1.10(a) en el instante t también ocurre en la Fig. 1.10(b) en el instantet. Como esta operación significa intercambiar el “pasado” y el “futuro”, es obvio que ningún sistema físicopuede ejecutarla.x(t)x(–t)0 t 0 t –t 00t(a)(b)Figura 1.10. Inversión en tiempo continuo.Otra operación es la de desplazamiento. La señal x( t t 0)representa una versión desplazada de x(t), Fig.1.11. El desplazamiento en el tiempo es t 0 , donde t 0 es un número real. Si t 0 > 0, entonces la señal esretrasada en t 0 unidades de tiempo. Físicamente, t 0 no puede tomar valores negativos, pero desde un puntode vista analítico, x(t t 0 ), t 0 < 0, representa una réplica adelantada de la señal x(t). Las señales que estánrelacionadas en esta forma (t 0 > 0) surgen en aplicaciones tales como el radar, sonar, sistemas decomunicación y procesamiento de señales sísmicas. Un sistema cuya señal de salida es idéntica a la de suentrada pero retrasada por una constante se denomina una unidad de retardo. Por otra parte, si la señal desalida es idéntica a la de entrada pero avanzada por una constante, el sistema se denomina un predictor. Sinembargo, un sistema que prediga (adivine) es físicamente imposible de construir.x(t)x(t – t 0 )–t 1 0 t 1 t 0 t 0 – t 1 t 0 t 0 + t 1t(a)(b)Figura 1.11. Desplazamiento de una señal de tiempo continuo.31

Ejemplo 7. Considere la señal x(t) mostrada en la Fig. 1.12. Se desea graficar x(t 2) y x(t + 3).1x(t)Solución: Es fácil verificar queFigura 1.12 t1 1 t 0 1 0 t2x()t t 3 2 t 3 0 otros valores de tPara realizar la operación de desplazamiento, se reemplaza t por t 2 en la expresión para x(t):o, equivalentemente,–1 0 1 2 3 ( t 2) 1 1 t 2 0 1 0 t 2 2x( t2) ( t 2) 3 2 t 2 3 0 otros valores de t t1 1 t 2 1 2 t4xt ( 2) t 3 4 t 5 0 otros valores de ttx(t–2)x(t+3)1 10 1 2 3 4 5t–4 –3 –2 –1 0t(a)(b)Figura 1.13La señal x(t) se grafica en la Fig. 1.13a y puede describirse como la función x(t) desplazada dos unidadeshacia la derecha. En la misma forma se puede demostrar que32

t 4 4 t 3 1 3 t 1x( t3) t 1 t 0 0 otros valores de tEsta última señal se grafica en la Fig. 1.13b y representa una versión de x(t) desplazada tres unidades haciala izquierda.Ejemplo 8. Se desea dibujar x(t) y x(3 t) si x(t) es como se muestra en la Fig. 1.14.1x(t)–1 0 12tFigura 1.14Solución: La señal x(t) se puede escribir comoReemplazando ahora t por t, se obtiene t1 1 t 0x( t ) 1 0 t 2 0 otros valores de t t 1 1 t 0 t 1 0 t 1x( t ) 1 0 t 2 1 2 t 0 0 otros valores de t 0 otros valores de tLa señal x(t) se muestra en la Fig. 1.15a.1x(–t)1x(3–t)–2 –1 0 1(a)t0 1Figura 1.152 3 4(b)t33

En la misma forma se puede demostrar que 4 t 3 t 4x(3 t ) 1 1 t 3 0 otros valores de ty x(3 t) es como se muestra en la Fig. 1.15b.La figura es primero reflejada y luego trasladada. Este resultado se obtiene escribiendo la operacióncompleta comox(3 t) x t 3Observe que si primero desplazamos la señal y luego reflejamos la señal desplazada, se obtiene comoresultado la señal x(t 3) (Fig. 1.16).De lo anterior se deduce que las operaciones de inversión y desplazamiento no son conmutativas. Noobstante, una señal puede ser invertida y retardada simultáneamente. Las operaciones son equivalentes areemplazar t o n por –t + t 0 o nn0. Para ver esto, consideramos una señal de tiempo continuo x(t) que sedesea invertir y trasladar por t 0 unidades de tiempo. Para producir la señal invertida reemplazamos t por –ten x(t), lo que resulta en x(–t). La señal invertida x(–t) es entonces retrasada por t 0 unidades para obtenerx[ ( t t )] x( t t ) , como se afirmó.0 0x(–t–3)1–5 –4 –3 –2 –1 0 tFigura 1.161.6 Escalamiento en el TiempoLa operación de compresión o expansión en el tiempo se conoce como escalamiento en el tiempo.Considere, por ejemplo, las señales x(t), x(3t) y x(t/2), mostradas en la Fig. 1.17. Como se puede ver, x(3t)puede describirse como x(t) comprimida por un factor de 3. En forma similar, x(t/2) puede describirse comoexpandida por un factor de 2. Se dice que ambas funciones, x(3t) y x(t/2), son versiones de x(t) escaladas enel tiempo.34

En general, si la variable independiente es escalada por un parámetro , entonces x(t) es una versióncomprimida de x(t) si 1y es una versión expandida de x(t) si 1. Si consideramos a x(t) como sifuese la señal de salida de un grabador de video, por ejemplo, entonces x(3t) se obtiene cuando la grabaciónse reproduce a tres veces la velocidad con la cual fue grabada, y x(t/2) se obtiene cuando la grabación sereproduce a la mitad de esa velocidad. También se puede decir, por ejemplo, que lo que le pase a x(t) en elinstante t, también le sucederá a x(t/2) en el instante t/2.Ax(t) x(3t) x(t/2)AA–1 0 1 t – 1/3 1/3 t –20 2 tFigura 1.17. Ejemplos de escalamiento en el tiempo.Ejemplo 9. Se desea graficar la señal x(3t 6), donde x(t) es la señal del Ejemplo 7. Usando la definiciónde x(t) dada en el Ejemplo 7, obtenemos 5 3t5 t 23 1 2 t8 3x(3t6) 8 3t 9 t 3 3 0 otros valores deLa señal x(3t 6) se grafica en la Fig. 1.18 y puede considerarse como x(t) comprimida por un factor de 3(o escalada en el tiempo por un factor de 1/3) y luego desplazada dos unidades hacia la derecha; observeque si x(t) es desplazada primero y luego escalada por una factor de 1/3, hubiésemos obtenido una señaldiferente; en consecuencia, las operaciones de desplazamiento y de escalamiento en el tiempo no sonconmutativas. El resultado obtenido se puede justificar escribiendo la operación en la forma siguiente:x(3t 6) x(3( t 2))la cual indica que se ejecuta primero la operación de escalamiento y después la de desplazamiento.t35

1x(t)0 15/3 2 8/3 3Figura 1.18tEjemplo 10. El tiempo que le toma a una señal para alcanzar 90% de su valor final, T 90 , es unacaracterística muy importante. Determine T 90 para las señales siguientes: (a) x(t); (b) x(2t); x(t/2), dondex( t) 1 e t .Solución(a) El valor final de x(t) es igual a 1. Para hallar el tiempo requerido por la función para alcanzar el valorde 0.90, tenemos que resolver la ecuaciónla cual produce T 90 = 2.3.(b) Para la señal x(2t) tenemos que resolverla cual produce T 90 = 1.15.(c) La señal x(t/2) tiene un T 90 dado por0.90 10.90 190e T2T90e 0.901 e T902la cual resulta en T 90 = 4.6.Estos resultados eran de esperarse. En la parte (b) comprimimos la señal por un factor de 2, y en laparte (c) la expandimos por el mismo factor.En conclusión, para cualquier señal general x(t), la transformación (múltiple) de la variable independienteen la format puede realizarse de la manera siguiente:x( t ) x( ( t )donde se supone que y son números reales. Las operaciones deben ejecutarse en el orden siguiente:36

1. Escale por . Si es negativo, refleje también con respecto al eje real.2. Desplace hacia la derecha por si y son de signos diferentes y hacia la derecha si tienen elmismo signo.El orden de las operaciones es importante. Observe que las operaciones de reflexión y escalamiento en eltiempo son conmutativas, mientras que las de desplazamiento y reflexión o las de desplazamiento yescalamiento, como ya se mencionó, no lo son. Observe también que no definimos la operación deescalamiento en el tiempo para una señal de tiempo discreto (¿por qué?).1.7 Señales Pares e ImparesAdicionalmente a su uso en la representación de fenómenos físicos (como en el ejemplo del grabador), lareflexión es extremadamente útil para examinar las propiedades de simetría que pueda poseer una señal.Una señal x(t) o x[n] se conoce como una señal par si es idéntica a su reflexión respecto del origen, es decir,six ( t ) x ( t )x[ n] x[ n](0.15)lo que equivale a decir que una señal par, x(t) o x[n], es invariante bajo la operación de reflexión (oinversión) en el tiempo..Una señal se denomina impar six( t ) x( t )x[ n] x[ n](0.16)Observe que una señal impar debe ser necesariamente igual a cero en el origen. En la Fig. 1.19 se muestranejemplos de una señal par y una impar.x(t)x[n]0 t0nFigura 1.19. Ejemplos de una función par y una impar.37

Un hecho importante es que cualquier señal, que no sea par ni impar, puede ser expresada como una sumade dos señales, una de las cuales es la parte par y la otra la parte impar. Para ver esto, considere la señal1xp( t ) [ x( t) x( t)]2la cual se conoce como la parte par de x(t). En forma similar, la parte impar de x(t) está dada por1xi( t ) [ x( t) x( t)]2Es muy sencillo comprobar que, efectivamente, la parte par es par y que la parte impar es impar, y que x(t)es la suma de las dos. Para el caso de tiempo discreto se cumplen definiciones completamente análogas. Enresumen, tenemos las siguientes identidades:x( t ) x ( t ) x ( t )px[ n] x [ n] x [ n]pii(0.17)1xp( t ) [ x ( t ) x ( t)]21xp[ n] [ x[ n] x[ n]21xi( t ) [ x ( t ) x ( t)]21xi[ n] { x[ n] x[ n]}2(0.18)(0.19)Observe que la suma de dos señales pares es par y de dos señales impares es impar, y también que elproducto de dos señales pares o dos impares es una señal par y que el producto de una señal par y una señalimpar es una señal impar; también se puede demostrar que la derivada de cualquier función par es impar, yla derivada de una función par es impar (la demostración de todo lo anterior se deja como un ejercicio).Ejemplo 11. Considere la señal x(t) definida por1, t 0xt () 0, t 0Las partes par e impar de esta señal, conocida como la función escalón, están dadas por38

1xp() t para todo t, excepto en t = 02 1 , t 0 2xi() t 1 , t 0 2El único problema aquí radica en el valor de las funciones en x = 0. Si definimos x ( 0)1 2 , entoncesLas señales x p (t) y x i (t) se grafican en la Fig. 1.20.xp1(0) y xi(0) 02x p (t)x i (t)1/21/20 t0–1/2tFigura 1.20. Descomposición de la función escalón en sus partes par e impar.Ejemplo 12. Considere la señalLa parte par de x(t) está dada por Aexp( t ), t 0xt ( ) 0, t 0y la parte impar por1 Aexp( t ) t 021xp( t ) Aexpt1 Aexp( t ) t 0221 exp( t), t 02xi() t 1 exp( t). t 02 Las señales x p (t) y x i (t) se muestran en la Fig. 1.21.39

½ Ax p(t)x i(t)½ A0 t0 t–½ AFigura 1.21jtEjemplo 13. Determine las componentes par e impar de x()t e .Solución: La parte par esy la parte impar es12( ) jt jtx t e e cos tp12( ) jt jtx t e e j sen ti1.8 Señales en Tiempo Continuo BásicasEn esta sección se introducen varias señales de tiempo continuo de particular importancia. Estas señalesno sólo ocurren frecuentemente en la naturaleza, sino que ellas también sirven como bloques básicos para laconstrucción de otras señales. En éste y en los capítulos subsiguientes encontraremos que al construirseñales de esta forma se podrán examinar y comprender más profundamente las propiedades de señales ysistemas.1.8.1 Señales Exponenciales ComplejasLa señal exponencial compleja de tiempo continuo es de la formastx()t Ae(0.20)donde A y s son, en general, números complejos. Dependiendo del valor de estos parámetros, la exponencialcompleja puede tomar varias características diferentes. En el análisis a continuación, para simplificar, setomará A = 1.Si s se restringe a ser puramente imaginaria, s = j 0 por ejemplo, se obtiene la señal40

j0t( ) cos0sen0Usando ahora la identidad de Euler, esta señal puede ser definida comox t e t j t(0.21)j0t( ) cos0sen0x t e t j t(0.22)O sea que x(t) es una señal compleja cuyas partes real e imaginaria son cos 0tysen0t, respectivamente.Una propiedad importante de la señal exponencial compleja es su periodicidad. Para comprobar esto,recuerde de la Sec. 1.3 que una función x(t) será periódica con período T sio, para la función exponencialPuesto quex( t) x( t T )e e(0.23)j 0 t j 0 ( t T )e e ej0 ( tT ) j0t j0Tse concluye que para tener periodicidad, se debe cumplir quej 0Te 1Si 0 = 0, entonces x(t) = 1, la cual es periódica para cualquier valor de T. Si 0 0 , entonces el períodofundamental T 0 de x(t) esT02 (0.24)0te j 0tAsí que las señales e j 0ytienen el mismo período fundamental. Observe también que x(t) esperiódica para cualquier valor de 0 .Una señal íntimamente relacionada con la señal exponencial compleja periódica es la sinusoidalx( t) Acos( t )(0.25)0ilustrada en la Fig. 1.22 y ya estudiada en la Sección 1.3.AA cosx(t)T02 0 tFigura 1.2241

Las señales sinusoidales y las exponenciales complejas también se usan para describir las característicasde muchos procesos físicos – en particular, sistemas físicos en los cuales se conserva la energía. Porejemplo, la respuesta natural de una red constituida solamente por inductores y capacitores o el movimientoarmónico simple de un sistema mecánico consistente de una masa conectada por un resorte a un soporteestacionario. Las variaciones de la presión acústica correspondientes a un solo tono musical también sonsinusoidales.Como ya se vio, si se usa la relación de Euler, la exponencial compleja en la Ec. (1.21) puede escribirseen términos de señales sinusoidales con el mismo período fundamental, es decir,j 0te cos0t j sen0t (0.26)En forma similar, la señal sinusoidal en la Ec. (1.26) puede escribirse en función de exponencialescomplejas periódicas con el mismo período fundamental: Aj A Acos( 0t ) e e e e 2 2 j0t j j0t(0.27)Observe que las dos exponenciales en la Ec. (1.28) tienen amplitudes complejas. Alternativamente, unasinusoide puede expresarse en función de una señal exponencial compleja comoAcos( t ) ARee j( 0t)0 (0.28)donde A es real y “Re” se lee “la parte real de”. También se usará la notación “Im” para denotar “la parteimaginaria de”. EntoncesAsen ( t ) AIm e j t( 0 )0 (0.29)De la Ec. (1.25) vemos que el período fundamental T 0 de una señal sinusoidal o de una señal exponencialperiódica (ambas funciones de tiempo continuo) es inversamente proporcional a 0, a la cual llamaremosla frecuencia fundamental (rad/s). De la Fig. 1.23 vemos gráficamente lo que esto significa. Si disminuimosla magnitud de 0 , el ritmo de oscilación se hace más lento y, por tanto, el período aumenta. Ocurrenefectos exactamente opuestos si se aumenta la magnitud de 0 . Considere ahora el caso cuando 0 = 0.Como ya se mencionó, aquí x(t) representa una constante y, por ello, es periódica con período T paracualquier valor positivo de T, lo que significa que el período de una señal constante no está definido. Porotra parte, no hay ambigüedad al definir la frecuencia fundamental de una constante como igual a cero; esdecir, la tasa de oscilación de una constante es igual a cero (período infinito).42

x 11( t) cos tx 22( t) cos ttt(a)x 33( t) cos t(b)(c)t 1 > 2 > 3T 1 < T 2 < T 3Figura 1.23Las señales periódicas – y en particular, la señal exponencial compleja en la Ec. (1.21) y la señalsinusoidal en la Ec. (1.26) – proporcionan ejemplos importantes de señales con energía total infinita peropotencia promedio finita. Por ejemplo, considere la exponencial periódica de la Ec. (1.21) y suponga quecalculamos la energía total y la potencia promedio en un período:T0 T0j20tperíodo (1) 0 (0.30)E e dt dt TP0 0período1 Eperíodo 1(0.31)T0Puesto que hay un número infinito de períodos conforme t varía de a +, la energía total integradapara todo el tiempo es infinita. Sin embargo, cada período de la señal es idéntico a los demás. Como lapotencia promedio de la señal por período es igual a 1, promediando en periodos múltiples producirá unpromedio igual a 1; es decir,T1j20tlím 1T 2T TPe dt(0.32)Ejemplo 14. Algunas veces es deseable expresar la suma de dos exponenciales complejas como el productode una sola exponencial compleja. Por ejemplo, suponga que se quiere graficar la magnitud de la señalx()t e ej 2t j 3t43

Para hacer esto, primero extraemos un factor común del lado derecho de la ecuación, tomando comofrecuencia de ese factor el promedio de las dos frecuencias de las exponenciales en la suma, y se obtienex t e e ej 2.5 t j0.5 t j0.5t( ) ( )la cual, por la relación de Euler, se puede escribir como2.5( ) 2 j tx t e cos0.5ty de aquí se obtiene directamente la expresión para la magnitud de x(t):x( t) 2 cos 0.5tAsí que xt () es lo que se conoce comúnmente como una sinusoide rectificada de onda completa, comose muestra en la Fig. 1.24.. . .2x(t). . .0 2tFigura 1.24Para la señal compleja definida en la Ec. (1.20), si A es real y s = (también real), entonces la expresiónpara la señal se reduce ax()t Ae t(0.33)vale decir, x(t) es una función exponencial real. Si > 0, entonces x(t) es una exponencial creciente, unaforma usada en la descripción de muchos procesos físicos diferentes, incluyendo las reacciones en cadenaen explosiones atómicas y en reacciones químicas complejas. Si < 0, entonces x(t) es una exponencialdecreciente, la cual también se usa para describir fenómenos tales como el proceso de decaimientoradiactivo y las respuestas de redes eléctricas formadas por resistores-capacitores (RC) o resistoresinductores(RL). Observe también que para = 0, x(t) es una constante. En la Fig. 1.25 se ilustran curvastípicas para > 0 y < 0.44

x(t)x(t)A > 0 A < 0ttFigura 1.25Las exponenciales complejas jugarán un papel importante en mucho de nuestro tratamiento sobre señalesy sistemas, principalmente porque sirven como bloques sumamente útiles en la construcción de otrasseñales. Con frecuencia hallaremos de utilidad el considerar conjuntos de exponenciales complejasrelacionadas armónicamente – es decir, conjuntos de exponenciales periódicas con un período común T 0 .Específicamente, ya vimos que una condición necesaria para que la exponencial complejaperiódica con período T 0 es quej Te 0 1lo que implica que T 0 debe ser un múltiplo de 2, es decir,Entonces, si definimos la frecuencia fundamentaljte seaT0 2 k , k 0, 1, 2, (0.34)20 (0.35)Tvemos que, para satisfacer la Ec. (1.34), debe ser un múltiplo entero de 0 . Es decir, un conjunto deexponenciales complejas relacionadas armónicamente es un conjunto de exponenciales periódicas confrecuencias fundamentales que son múltiplos de una sola frecuencia positiva 0 :0jk0t ( ) , 0, 1, 2, (0.36)kt e kPara k = 0, () t es una constante, mientras que para cualquier otro valor de k, () t es periódica conkfrecuencia fundamental k 0y período fundamentalT0kk20k(0.37)el k-ésimo armónico () t todavía es periódico con período T 0 , a medida que recorre k de sus períodoskfundamentales durante cualquier intervalo de duración T 0 .45

1.8.2 Señales Exponenciales Complejas GeneralesEl caso más general de una señal exponencial compleja puede expresarse e interpretarse en función de loscasos examinados hasta ahora: la exponencial real y la exponencial compleja periódica. Específicamente,considere una señal exponencial complejarectangular; es decir,stAe , donde A se expresa en forma polar y s en formayEntonces,A sjA e jst j ( j) t t j( t )Ae A e e A e e(0.38)Usando la identidad de Euler, se puede expandir esta relación para obtenerst t tAe A e cos( t ) j A e sen( t )(0.39)Así que para = 0, las partes real e imaginaria de una exponencial compleja son señales sinusoidales. Para > 0, ellas corresponden a señales sinusoidales multiplicadas por una exponencial real creciente y, para 0 < 0ttFigura 1.26. Señales sinusoidales multiplicadas por señales exponenciales.Las señales sinusoidales multiplicadas por exponenciales decrecientes comúnmente se conocen comosinusoides amortiguadas. Ejemplos de ellas se encuentran en la respuesta de redes eléctricas compuestas deresistores-inductores-capacitores (RLC) y en sistemas mecánicos que contienen fuerzas de amortiguamiento46

y de restauración (el amortiguamiento de los automóviles, por ejemplo). Estos sistemas poseen mecanismosque disipan energía (resistores, fricción, etc.).1.8.3 La Función Escalón UnitarioLa función escalón unitario u(t) se define como1 t 0ut () 0 t 0(0.40)y se muestra en la Fig. 1.27a. Observe que es discontinua en t = 0 y que el valor en t = 0 no está definido.En la misma forma se define la función escalón unitario desplazado u(t t 0 ):y la cual se muestra en la Fig. 1.27b.1u( t t0) 0t t0t t0(0.41)u(t) u(t – t 0)1 10 t 0 t 0t(a)(b)Figura 2.27. La función escalón unitario.1.8.4 La Función Impulso UnitarioEn aplicaciones de modelado prácticas, con frecuencia encontramos discontinuidades en una señal x(t) detiempo continuo. Una señal así no posee derivadas finitas en sus discontinuidades. No obstante, por razonesconceptuales y operacionales, es deseable incluir la derivada de la señal x(t) en nuestras consideraciones;por lo tanto, introducimos el concepto de la función impulso unitario. Esta función, también conocida comola función delta de Dirac, se denota por () t y se representa gráficamente mediante una flecha vertical,como en la Fig. 1.28.(t)0tFigura 1.2847

Tradicionalmente, (t) se define como el límite de una función convencional seleccionada adecuadamentey la cual tiene un área unitaria en un intervalo de tiempo infinitesimal, como la función ilustrada en la Fig.1.29.En un sentido matemático estricto, la función impulso es un concepto bastante sofisticado. Sin embargo,para las aplicaciones de interés es suficiente comprender sus propiedades formales y aplicarlascorrectamente. En lo que se expone a continuación se presentan estas propiedades, recalcando no el rigorsino la facilidad operacional. En las aplicaciones prácticas de algunos modelos, con frecuencia encontramosdiscontinuidades abruptas en una señal f(t) (como la de la Fig. 1.29). Esta señal no posee derivadas finitasen esas discontinuidades. No obstante, muchas veces es deseable incluir las derivadas de la señal ennuestras consideraciones. Es aquí donde tiene su aplicación el concepto de la función impulso unitario.Antes de enunciar algunas de las propiedades de la función impulso considere la función dada por 0, t 01xn( t ) n, 0 t n 1 0, t nPara n =1, 2 y 3, los pulsos x 1 (t), x 2 (t) y x 3 (t) se muestran en la Fig. 1.29(b). Conforme n aumenta, laanchura del pulso disminuye y la altura aumenta. Como consecuencia, el área del pulso para toda n es iguala la unidad:0xn( t) dt 1,1 nEn el límite, conforme n → ∞, para un número positivo, tenemos quelím x ( t) dt 1n0n48

f(t)4x n(t)21(a)t0 ¼ ½ 1(b)tFigura 1.29. Funciones modelos para obtener una función impulso.lo que nos da una forma de definir la función impulso unitario como( t) lím x ( t)nLa función impulso (t), también conocida como función delta de Dirac, tiene las siguientes propiedades:1. Es una señal de área unitaria con valor cero en todas partes excepto en el origen:n 0, t 0()t no está definida en t 0(0.42)( t ) dt 1(0.43)Pero una función ordinaria que es igual a cero en todas partes excepto en el origen debe tener unaintegral de valor cero (en el sentido de la integral de Riemann). Así que (t) no puede ser unafunción ordinaria y matemáticamente se define por( t) ( t ) dt (0)(0.44)donde (t) es una función continua en el origen. Esta propiedad se conoce como la propiedad deselección o de filtrado de la función impulso unitario.Una definición alterna de (t) está dada por49

(0), ab 0( t) ( t) dt 0, ab 0(0.45)a no definida, a 0 o b0Observe que la Ec. (1.45) o la Ec. (1.46) es una expresión simbólica y no debe ser considerada unaintegral de Riemann ordinaria. En este sentido, a (t) se le refiere con frecuencia como una funcióngeneralizada y a (t) como una función de prueba. Tome nota que la función impulso es unafunción ficticia con propiedades “ideales” que ninguna función real posee.2. La función delta es la derivada de la función escalón unitario, es decir,d u () t()t (0.46)dtLa demostración de esta propiedad se deja como un ejercicio para el lector. Esta última ecuacióntambién puede usarse para definir la función (t) como t ( ) d u( t )(0.47)Al igual que (t), la función delta retrasada, (t – t 0 ), se define por( t) ( t t0) dt ( t0)(0.48)A continuación se presentan algunas consecuencias de las propiedades anteriores:De la propiedad de la definición en (1.44), se tiene que la función (t) es una función par; es decir,También,( t) ( t)(0.49)1( at ) ( t )(0.50)aLa función (t – t 0 ) es la derivada de la función escalón unitario retrasado:Si (t) es continua en t = 0,y si es continua en t = t 0 ,d u ( t t)0( tt0) (0.51)dt( t) ( t) (0) ( t)(0.52)( t) ( t t ) ( t ) ( t t )(0.53)0 0 050

Estas dos últimas ecuaciones representa la propiedad de muestro de la función delta, es decir, lamultiplicación de cualquier función (t) por la función delta resulta en una muestra de la función en losinstantes donde la función delta no es cero. El estudio de los sistemas en tiempo discreto se base en estapropiedad.Una función impulso de nésimo orden se define como la nésima derivada de u(t), es decirn( n ) ( ) d t u ( t ) (0.54)dtLa función '(t) se denomina doblete, ''(t) triplete, y así sucesivamente.Usando las Ecs. (1.47) y (1.48), se obtiene que cualquier función continua x(t) puede expresarse comoEsta identidad es básica. Diferenciándola con respecto a t, se obtienex( t) x ( ) ( t )d(0.55)y para t = 0,x( t) x ( ) ( t )d(0.56)x(0) x ( ) ( )d(0.57)Puesto que (t) es una función par, su derivada ()t , el doblete, es impar, es decir,( t) ( t)(0.58)por lo que al usar esta propiedad, la Ec. (1.55) se convierte enTambién se puede demostrar que (¡hágalo Ud.!)x ( t) ( t) dt x (0)(0.59)x ( ) ( t ) d x ( t)(0.60)Si g(t) es una función generalizada, su n-ésima derivada generalizadamediante la siguiente relación:(g ) ( t) d g( t)dtn n nse define51

( n ) n ( n )( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) t g t dt t g t dt(0.61)donde (t) es una función de prueba que puede ser diferenciada un número arbitrario de veces y se anulafuera de algún intervalo fijo. Como una aplicación de la Ec. (1.59) y la Ec. (1.58), si g( t) ( t), entonces( n ) n ( n )( t) ( t x) dt ( 1) ( x)(0.62)De la Ec. (1.46) se tiene que la función escalón unitario u(t) puede expresarse comotu( t) ( )d(0.63)Ejemplo 15. Halle y dibuje la primera derivada de las señales siguientes:(a) x( t) u( t) u( t a) a 0(b) x( t) t[ u( t) u( t a)] a 0Solución:(a) Usando la Ec. (1.46), tenemos queEntonces,u( t) ( t)y u( t a) ( t a)x( t) u( t) u( t a) ( t) ( t a)Las señales x(t) y x (t)se dibujan en la Fig. 1.30.(b) Usando la regla para la derivada del producto de dos funciones y el resultado de la parte (a), se obtienePero, por las Ecs. (1.51) y (1.52),x( t) u( t) u( t a) t[ ( t) ( t a)]Y, por ello,t ( t) (0) ( t) 0 y t ( t a) a( t a)x( t) u( t) u( t a) a( t a)Las señales x(t) y x (t)se grafican en la Fig. 1.30b.52

1x(t)ax(t)0 a t 0x'(t)(t)a0 0t1x'(t)aatt(a)(t –a)(b)(t – a)Figura 1.301.9 Señales de Tiempo Discreto Básicas1.9.1 Secuencias Exponenciales Complejas GeneralesIgual que en tiempo continuo, una señal importante en tiempo discreto es la secuencia exponencialcomplejanx[ n] A (0.64)donde A y son, en general, cantidades complejas. Esto podría expresarse alternativamente en la formadonde e .x[ n] Ae n(0.65)Aunque la forma de la secuencia exponencial compleja dada en la Ec. (1.63) es más parecida a la formade la función exponencial en tiempo continuo, a menudo es más conveniente expresarla en la forma de laEc. (1.62).1.9.2 Secuencias Exponenciales RealesSi en la Ec. (1.62) A y son reales, podemos tener diferentes tipos de conducta para las secuencias, comose ilustra en la Fig. 1.31. Si 1, la magnitud de la señal crece exponencialmente con n, mientras que si 1, tenemos una exponencial decreciente. Adicionalmente, si es positiva, todos los valores detienen el mismo signo, pero si es negativa, entonces los signos de x[n] se alternan. Observe también que si = 1, entonces x[n] es una constante, mientras que si = 1, el valor de x[n] se alterna entra +A y A. LasnA53

exponenciales en tiempo discreto de valores reales con frecuencia se usan para describir el crecimiento deuna población en función de su tasa de generación, el retorno de una inversión en función del día, mes, etc. > 1 < 1(a)(b)–1 < < 0 < –1(c)(d)Figura 1.311.9.3 Señales SinusoidalesOtra exponencial compleja importante se obtiene usando la forma dada en la Ec. (1.63) y restringiendo a ser puramente imaginaria (de modo que 1). Específicamente, considere la expresiónx[ n]j 0n e (0.66)Igual que en el caso de tiempo continuo, esta señal está íntimamente relacionada con la señal sinusoidalx[ n] Acos( n )(0.67)Si tomamos al parámetro n como adimensional, entonces 0 y tienen las dimensiones de radianes. En laFig. 1.32 se ilustra un ejemplo de una secuencia sinusoidal.0x n] cos n6[–669–90312n54

yLa relación de Euler nos permite escribirFigura 1.32j0ne cos0n j sen0n (0.68)Acos( n ) e e e e(0.69)1 jj0n 1 j j0n0 2 2Las señales en las Ecs. (1.64) y (1.65) son ejemplos de señales de tiempo discreto con energía total infinitaj 0npero potencia promedio finita. Por ejemplo, puesto que e 1, toda muestra de la señal en la Ec. (1.64)contribuye con 1 a la energía de la señal, por lo que la energía total paraque la potencia promedio para algún período de tiempo es obviamente igual a 1. n es infinita, mientras1.9.4 Señales Exponenciales Complejas GeneralesLa exponencial compleja de tiempo discreto general puede escribirse e interpretarse en función de señalesexponenciales reales y de señales sinusoidales. Específicamente, si escribimos A y en forma polar,yA jA e j 0e EntoncesnnA A cos( n ) j A sen ( n )(0.70)0 0nAsí que para 1, las partes real e imaginaria de una secuencia exponencial compleja son sinusoides.Para 1, ellas corresponden a secuencias sinusoidales multiplicadas por una exponencial decreciente(Fig. 1.33a), mientras que para 1, ellas corresponden a secuencias sinusoidales multiplicadas porexponenciales crecientes (Fig. 1.33b).11nn(a)(b)55

Figura 1.331.9.5 Periodicidad de las Exponenciales ComplejasAunque hay muchas semejanzas entre las señales exponenciales de tiempo continuo y las de tiempone j 0discreto, también hay diferencias importantes. Una de ellas se relaciona con la señal . En la Secciónj 01.8.1 se señalaron las dos propiedades siguientes de su contraparte de tiempo continuo : (1) Mientraste j 0mayor sea la magnitud de 0 , más grande será la tasa de oscilación de la señal; y (2)te es periódica paracualquier valor de 0 . Ahora se describirán las versiones en tiempo discreto de estas propiedades y, como severá, hay diferencias bien definidas entre ellas y sus equivalentes en tiempo continuo.El hecho de que la primera de estas propiedades sea distinta en tiempo discreto, es una consecuenciadirecta de otra diferencia extremadamente importante entre las exponenciales complejas de tiempo discretoy las de tiempo continuo. Específicamente, considere la exponencial compleja con frecuencia igual a0 2k , donde k es un entero:puesto queej 2k nj( 0 2 k ) n j0n j 2k nj0ne e e e(0.71) 1. De la Ec. (1.69) vemos que la secuencia exponencial compleja con frecuencia 0 esla misma que las secuencias con frecuencias iguales a 0 2 , 0 4 , etc. Así que tenemos unate j 0situación muy diferente de la del caso en tiempo continuo, donde las señalesne j 0distintos valores de 0 . En tiempo discreto, las señalesson todas distintas parano son todas distintas. Como lo indica la Ec.(1.69); las señales que están separadas por 2 radianes son idénticas y, por ello, al tratar con secuenciasexponenciales en tiempo discreto, solamente necesitamos considerar un intervalo de longitud 2 en el cualseleccionar 0 . En la mayoría de los casos se usará el intervalo 0 0 2 o el intervalo 0 .ne j 0Debido a la periodicidad implicada por la Ec. (1.69), la señalno tiene una tasa de oscilación queaumenta continuamente conforme 0 aumenta en magnitud. Más bien, a medida que aumentamos 0 desde0, obtenemos señales con tasas de oscilación crecientes hasta alcanzar el valor 0 = . De allí en adelante,al continuar aumentando 0 , disminuye la tasa de oscilación hasta llegar al valor 0 = 2 que es la mismaque en 0 = 0. ¡el proceso comienza de nuevo!1.9.6 Periodicidad de la Exponencial Complejane j 0Para que la señalsea periódica con período N > 0, se debe cumplir que56

o, equivalentemente, quee ej0 ( nN ) j0nEsta ecuación se satisface si 0 N es un múltiplo entero de 2, es decir,j 0 Ne 1(0.72)u m m un entero positivo0N 20m un número racional2N(0.73)ne j 0Por ello, la secuenciano es periódica para cualquier valor de 0 ; es decir, si 0 satisface la condiciónde periodicidad en la Ec. (1.71), 0 0 y si N y m no tienen factores en común, el período fundamental N 0ne j 0de la secuenciaestá dado por2N0 m 0(0.74)ne j 0De acuerdo con la Ec. (1.71), la señales periódica si 0 /2 es un número racional, y no lo es paracualquier otro valor. Estas mismas observaciones también son válidas para sinusoides de tiempo discreto.Por ejemplo, la secuencia en la Fig. 1.34, x[ n] cos n 6 12, pero la secuencia dada por x[ n] cos n2no lo es.x, es periódica con período fundamental igual a[ n] cos n6–9–6–360 3 9nFigura 1.34Ejemplo 16. Seaj( 79 ) nx[ n] eEntonces0 79 7 m 2218 NAsí pues, x[n] es periódica y su período fundamental, obtenido al hacer m = 7, es igual a 18.57

Si x[n] es la suma de dos secuencias periódicas x 1 [n] y x 2 [n], las cuales tienen periodos fundamentales N 1 yN 2 , respectivamente, entonces simN1 kN2 N(0.75)donde m y k son enteros, x[n] es periódica con período N (¡demuéstrelo!). Puesto que siempre podemosencontrar enteros m y k que satisfagan la Ec. (1.73), se deduce que la suma de dos secuencias periódicas estambién periódica y su período fundamental es el mínimo común múltiplo de N 1 y N 2 .Igual que en el caso de tiempo continuo, en el análisis de sistemas y señales en tiempo discreto también esmuy importante considerar conjuntos de exponenciales relacionadas armónicamente – es decir,exponenciales periódicas con un período común N 0 . De la Ec. (1.71) sabemos que éstas son precisamentelas señales con frecuencias que son múltiplos de 2/N 0 . Es decir,2k n e k (0.76)jk0n[ ] ,0, 0, 1, 2,N0En el caso de tiempo continuo, todas las exponenciales complejas relacionadas armónicamente,ej k ( 2 T0), k 0, 1, 2, , son distintas. Sin embargo, debido a la Ec. (1.69), éste no es el caso entiempo discreto. Específicamente, (0.77)j( k N0 )( 2 N0 ) n j k ( 2 N0) nk N[ n] e e [ ]0knla cual implica que sólo hay N 0 exponenciales periódicas distintas en el conjunto dado por la Ec. (1.74) y,por ello, se tiene que [ n] [ n], [ n] [ n], , [ n] [ n], (0.78)0 N0 1 N0 1k N0k1.9.7 La Secuencia Escalón UnitarioLa secuencia escalón unitario u[n] se define como1, n 0u[ n] 0, n 0(0.79)58

la cual se muestra en la Fig. 1.35a. Observe que el valor de u[n] está definido en n = 0 (a diferencia de lafunción escalón unitario de tiempo continuo, que no lo está en t = 0). En forma similar, la secuencia escalónunitario desplazado u[n k] se define comoy se muestra en la Fig. 1.35b.1,u[ n k] 0,nknk(0.80)u[n ]u[n – k]1. . . . . . . . . . . . . . .1–2 –1 0 1 2 3 nkn(a)Figura 1.35(b)1.9.8 La Secuencia Impulso UnitarioUna de las señales más sencillas de tiempo discreto es la secuencia impulso unitario (o muestra unitaria),la cual se define como1 n 0[ n](0.81) 0 n 0y se ilustra en la Fig. 1.36a. En forma similar, la secuencia impulso unitario desplazado (o muestra unitariaque ocurre en n = k, [n k] se define comola cual se muestra en la Fig. 1.36b.1[ n k] 0nknk(0.82)[n ][n – k]1 1. . . . . . . . . . . .. . .–2 –1 0 1 2 3 n–1 0 1 k(a)(b)Figura 1.36n59

A diferencia de la función impulso unitario de tiempo continuo (t), [n] se define para todos los valoresde n sin complicaciones o dificultades analíticas; observe que la magnitud del impulso discreto es siemprefinita. A partir de las definiciones (1.79) y (1.80) se ve rápidamente quex[ n] [ n] x[0] [ n]x[ n] [ n k] x[ k] [ n k]las cuales representan la propiedad de selección de la secuencia impulso unitario, es decir, la secuenciaimpulso unitario puede usarse para tomar muestras de la señal x[n].La relación en tiempo discreto entre el impulso y el escalón unitarios viene dada por la llamada primeradiferencia; ella es[ n] u[ n] u[ n 1](0.83)Inversamente, el escalón unitario es la suma acumulada de la muestra unitaria; es decir,nu[ n] [ m](0.84)mObserve en la Ec. (1.82) que la suma acumulada es igual a 0 para n < 0 y 1 para n 0 , Adicionalmente, sise cambia la variable de la sumatoria de m a k = n m, la Ec. (1.82) se convierte enu[ n] [ n k ](0.85)k0En la Ec. (1.83) el valor diferente de cero de [ n k]ocurre cuando k = n, así que de nuevo vemos que lasumatoria es 0 para n < 0 y 1 para n 0. Una interpretación de la Ec. (1.83) es verla como unasuperposición de impulsos retardados, es decir, podemos considerar la ecuación como la suma de unimpulso unitario [ n]en n = 0, un impulso unitario [ n 1] en n = 1, otro, [ n 2]en n = 2, etc.1.10 Sistemas y Clasificación de SistemasLos sistemas físicos en el sentido más amplio son un conjunto de componentes o bloques funcionalesinterconectados para alcanzar un objetivo deseado. Para nuestros propósitos, un sistema es un modelomatemático que relaciona las señales de entrada (excitaciones) al sistema con sus señales de salida60

(respuestas). Por ejemplo, un sistema de alta fidelidad toma una señal de audio grabada y reproduce esaseñal. Si el sistema tiene controles de tono, se puede cambiar la calidad tonal de la señal reproducida; enotras palabras, el sistema procesa la señal de entrada. De igual modo, la red sencilla de la Fig. 1.37 se puedeconsiderar como un sistema que procesa un voltaje de entrada v e (t) y produce un voltaje de salida v s (t). Unsistema de realzamiento de imágenes transforma una imagen de entrada en una imagen de salida conalgunas propiedades deseadas como, por ejemplo, un mayor contraste entre los colores.Rv eCv sFigura 1.37Si x y y son las señales de entrada y de salida, respectivamente, de un sistema, entonces el sistema seconsidera como una transformación de x en y. Esta representación se denota pory T[ x](0.86)donde T es el operador que representa alguna regla bien definida mediante la cual la excitación x estransformada en la respuesta y. La relación (1.84) se ilustra en la Fig. 1.38a para el caso de un sistema deuna sola entrada y una sola salida. La Fig. 1.38b ilustra un sistema con entradas y salidas múltiples. En estasnotas solamente nos ocuparemos de sistemas con una sola entrada y una sola salida.SistemaT(a)x 1y 1Sistema.T.x n(b)y nFigura 1.3861

1.10.1 Sistemas en Tiempo Continuo y en Tiempo DiscretoUn sistema en tiempo continuo es un sistema en el cual las señales de entrada y de salida son de tiempocontinuo (Fig. 1.39a). Si las señales de entrada y de salida son de tiempo discreto, entonces el sistema sellama un sistema en tiempo discreto (Fig. 1.40b). Ambos sistemas también se denotarán simbólicamente porx ( t ) y ( t ) (a) x n y n(b)(0.87)x(t) Sistema dey(t) x[n] Sistema de y[n]tiempo continuotiempo discreto(a)(b)Figura 1.39Ejemplo 17. Considere la red RC de la Fig. 1.37. Si tomamos al voltaje v e (t) como la señal de entrada y alvoltaje v s (t) como la señal de salida, entonces, aplicando la ley de Ohm, la corriente que pasa por el resistorR esve( t ) vs( t )i()t REsta corriente está relacionada con el voltaje en el capacitor, v s (t), pord vs() ti () t C dty de estas dos últimas relaciones, obtenemos la ecuación diferencial que conecta la entrada con la salida:d vs( t ) 1 1 vs( t) ve( t)(0.88)dt RC RCEn general, los sistemas en tiempo continuo en una sola variable están descritos por ecuacionesdiferenciales ordinarias. En el Ejemplo 17, la ecuación diferencial ordinaria es una con coeficientesconstantes, lineal y de primer orden, de la formad y () ta y ( t ) b x( t )(0.89)dt62

en la cual x(t) es la entrada y y(t) es la salida y a y b son constantes.Ejemplo 18. Un ejemplo sencillo de un sistema de tiempo discreto, lo da un modelo simplificado para elbalance mensual de una cuenta bancaria de ahorros. Específicamente, sea y[n] el balance al final del n-ésimo mes y suponga que y[n] evoluciona mensualmente de acuerdo con la ecuaciónoy[ n] 1.01 y[ n 1] x[ n]y[ n] 1.01 y[ n 1] x[ n](0.90)donde x[n] representa el depósito neto (es decir, depósitos menos retiros) durante el n-ésimo mes y eltérmino 1.01y[n] modela el hecho del aporte del 1% de interés mensualLa Ec. (1.88) es un ejemplo de una ecuación en diferencias lineal de primer orden y de coeficientesconstantes, vale decir, una ecuación en diferencias de la formay[ n] a y[ n 1] b x[ n]Como lo sugieren los Ejemplos 17 y 18, las descripciones matemáticas de sistemas provenientes de unagran variedad de aplicaciones, con frecuencia tienen mucho en común, y este hecho es una de las mayoresmotivaciones para el desarrollo de herramientas que faciliten el análisis de señales y sistemas. Aquí la clavedel éxito está en identificar clases de sistemas que posean dos características importantes:1. Los sistemas deben tener propiedades y estructuras que se puedan explotar para obtener una mejorcomprensión de su comportamiento y para desarrollar herramientas efectivas para el análisis.2. Los sistemas de importancia práctica deben poder modelarse con la mayor precisión posible usandomodelos teóricos básicos.La mayor parte de este texto está enfocada en la primera de estas características y su aplicación a sistemaslineales e invariantes en el tiempo (sistemas LIT). En la próxima sección se introducirán las propiedadesque caracterizan este tipo de sistemas como también otras propiedades básicas de mucha importancia.La segunda característica mencionada es de una importancia obvia para que cualquier técnica de análisistenga valor práctico. Los sistemas que estudiaremos pueden modelar bastante bien una gran variedad de63

sistemas físicos. Sin embargo, un punto crítico es que cualquiera sea el modelo utilizado para analizar unsistema físico, ese modelo es una idealización y, por consiguiente, cualquier análisis basado en el modeloserá tan bueno como lo sea el modelo. En el caso de resistores y capacitores reales, por ejemplo, losmodelos idealizados son bastante precisos para muchas aplicaciones y proporcionan resultados yconclusiones útiles, siempre y cuando las variables físicas – voltajes y corrientes – permanezcan dentro delas bandas de operación establecidas por los modelos. Por ello, es importante en la práctica de ingenieríatener siempre presente los intervalos de validez de las suposiciones hechas para elaborar el modelo ytambién asegurarnos que cualquier análisis o diseño no viola esas suposiciones.1.10.2 Sistemas Con y Sin MemoriaSe dice que un sistema es instantáneo o sin memoria si su salida en cualquier instante depende solamentede su excitación en ese instante, no de ningún valor pasado o futuro de la excitación. Si esto no es así, sedice que el sistema tiene memoria. Un ejemplo de un sistema sin memoria es un resistor R; con la entradax(t) tomada como la corriente y el voltaje tomado como la salida y(t), la relación de entrada-salida (ley deOhm) para el resistor esy( t) R x( t)(0.91)Un sistema que no es instantáneo se dice dinámico y que tiene memoria. Así pues, la respuesta de unsistema dinámico depende no sólo de la excitación presente sino también de los valores de la entradapasada. Un ejemplo de un sistema con memoria es un capacitor C con la corriente como la entrada x(t) y elvoltaje como la salida y(t); entonces,t1y ( t) x ( )d (0.92)C En tiempo discreto, un ejemplo de un sistema con memoria es un acumulador, en el cual las secuencias deentrada y salida están relacionadas por0ny[ n] x[ k ](0.93)ky otro ejemplo es un retardoy[ n] x[ n 1](0.94)64

El concepto de memoria en un sistema, expuesto someramente, corresponde a la presencia de algúnmecanismo que permite el almacenamiento de información sobre los valores de la excitación en tiemposdiferentes del presente. Por ejemplo, el retardo en la Ec. (1.92) retiene el valor pasado inmediato. Delmismo modo, el acumulador de la Ec. (1.91), “recuerda” la información sobre todas las excitaciones hastael momento presente; la relación (1.91) puede escribirse en la forma equivalenten1y [ n] x{ k ] x[ n]koy[ n] y[ n 1] x[ n](0.95)En estas dos últimas ecuaciones se observa que para obtener la salida en el tiempo presente, el acumuladordebe recordar la suma acumulada de los valores previos, y esa suma es exactamente el valor precedente dela salida del acumulador.1.10.3 Invertibilidad y Sistemas InversosSe dice que un sistema es invertible si excitaciones distintas producen respuestas distintas. Como seilustra en la Fig. 1.40a, si un sistema es invertible, entonces existe un sistema inverso, el cual, al serexcitado con la salida del sistema invertible, reproduce la señal original; es decir, en un sistema invertiblesiempre es posible recuperar la entrada si se conoce la salida; si las excitaciones diferentes (únicas)producen respuestas diferentes (únicas), entonces es posible, en principio, si se da la respuesta, asociarlacon la excitación que la produjo.Un ejemplo de un sistema de tiempo continuo invertible esy( t) 2 x( t)(0.96)y su inverso es w t1 y t(0.97)2Los dos sistemas se ilustran en la Fig. 1.40b.Otro ejemplo de un sistema invertible es el acumulador de la Ec. (1.91). En este sistema, la diferenciaentre dos valores sucesivos es precisamente el último valor de la entrada. En consecuencia, para este caso elsistema inverso es65

w[ n] y[ n] y[ n 1](0.98)como se muestra en la Fig. 1.40c.x(t) Sistema y(t) y(t) Sistemainvertibleinvertiblex(t)x(t)y( t) 2x(t)y(t)y(t)1w( t) y(t)2w(t) = x(t)x[n]nky [ n] x[k]y[n]y[n]w[n] = x[n]w[ n] y[n] y[n 1]Figura 1.40Ejemplos de sistemas no invertibles sonyn 0(0.99)y2y ( t) x ( t)(0.100)En el primer caso, Ec. (1.97), el sistema produce la secuencia cero para cualquier entrada y, en elsegundo caso, Ec. (1.98), no se puede determinar el signo de la función de entrada a partir del conocimientode la señal de salida. Observe que en el primer caso, siinvertible.yn c , donde c es una constante, el sistema no esEl concepto de invertibilidad es muy importante. Un ejemplo bastante claro proviene de los sistemas paracodificación utilizados en una gran variedad de aplicaciones en los sistemas de comunicación. En esossistemas, se codifica primero la señal que se va a transmitir; para que el sistema no cometa errores (sistemaideal), debe ser posible recuperar completamente la señal original a partir de la señal codificada. En otraspalabras, el codificador debe ser invertible.1.10.4 Sistemas Causales66

El término causalidad connota la existencia de una relación causa-efecto. Se dice que un sistema escausal si su salida en cualquier instante arbitrario depende solamente de los valores de la entrada en eseinstante y en el pasado. Es decir, la salida de un sistema causal en el tiempo presente depende sólo de losvalores presente y pasados de la entrada. A estos sistemas también se les refiere como no-anticipativos, yaque el sistema no anticipa, ni depende de valores futuros de la entrada. Como consecuencia, si dos entradasa un sistema causal son idénticas hasta algún punto en el tiempo t 0 o n 0 , entonces las salidascorrespondientes a esas entradas también deben ser idénticas. Todos los sistemas físicos son causales ya queno pueden ver el futuro y anticipar una excitación. El circuito RC de la Fig. 1.37 es un sistema causal puestoque, por ejemplo, el voltaje en el capacitor responde solamente a los valores presentes y pasados del voltajede la fuente.Un sistema se denomina no-causal, si no es causal. Ejemplos de sistemas no-causales sony( t) x( t 1)(0.101)y[ n] x[ n](0.102)Observe que todos los sistemas sin memoria son causales; sin embargo, lo inverso no es cierto.Aunque los sistemas causales son de gran importancia, ellos no constituyen los únicos sistemas designificación práctica. Por ejemplo, la causalidad no es con frecuencia una restricción esencial enaplicaciones en las cuales la variable independiente no es el tiempo, como, por ejemplo, en elprocesamiento de imágenes. También, en el procesamiento de datos grabados con anterioridad, comosucede a menudo con señales de voz, geofísicas o meteorológicas, para nombrar algunas, no estamos enmodo alguno restringidos a un procesamiento causal. Como otro ejemplo, en muchas aplicaciones,incluyendo el análisis histórico de la bolsa de valores o de estudios demográficos, podríamos estarinteresados en determinar alguna tendencia de variación lenta, la cual podría contener fluctuaciones de altafrecuencia con respecto a la tendencia. En este caso, un enfoque común es promediar los datos parasuavizarlos y mantener solamente la tendencia. Un ejemplo de un sistema causal que promedia está dadoporM1y[ n] x[ n k](0.103)2M1kMPara comprobar la causalidad de un sistema es importante observar cuidadosamente la relación deentrada-salida. Como ilustración, se comprobará la causalidad de dos sistemas específicos. Ejemplo 19. Elprimer sistema lo define la Ec. (1.100), y[ n] x[ n]. Observe que la salida y[n 0 ], para un tiempo positivo67

n 0 , depende sólo del valor de la señal de entrada x[ n0] en el tiempo ( n0), el cual es negativo y, portanto, está en el pasado de n 0 . Aquí podría surgir la tentación de concluir que el sistema es causal. Noobstante, debemos ser cuidadosos y proceder a comprobar la relación de entrada-salida para todo el tiempo.En particular, para n 0 < 0, vemos que n0 0 y y n0 x n0 , y la salida en n 0 < 0 depende delvalor futuro de la entrada. Por lo tanto, el sistema es no-causal.También es importante distinguir cuidadosamente los efectos sobre la entrada de cualesquiera otrasfunciones usadas para definir un sistema. Por ejemplo, considere el sistema definido por la relacióny( t) x( t)cos( t 1)(0.104)En este caso, la salida en cualquier instante t, y(t), depende de la entrada x(t) multiplicada por un númeroque varía con el tiempo. Es decir, solamente el valor presente de x(t) influye en el valor presente de la saliday(t) y concluimos entonces que este sistema es causal (y ¡sin memoria!).1.10.5 Sistemas EstablesBásicamente, un sistema estable es aquél en el cual pequeñas excitaciones producen respuestas que nodivergen (no aumentan sin límite). Considere, por ejemplo, el péndulo en la Fig. 1.41a, en el cual laexcitación es la fuerza aplicada x(t) y la respuesta es la desviación angular y(t) con respecto a la normal. Eneste caso, la gravedad aplica una fuerza que tiende a regresar al péndulo a la posición vertical (posición deequilibrio) y las pérdidas por fricción tienden a frenar el movimiento oscilatorio. Es obvio que si la fuerzaaplicada es pequeña, la desviación resultante también lo será. Además, al dejar de aplicar esa fuerza, elpéndulo regresará a su posición de equilibrio. En contraste, para el péndulo invertido en la Fig. 1.41b, lagravedad ejerce una fuerza que tiende a aumentar cualquier desviación de la posición de equilibrio. Porello, la aplicación de cualquier fuerza, por muy pequeña que sea, conduce a un aumento de la desviación yhace que el péndulo caiga y no regrese a la posición original.El sistema de la Fig. 1.41a es un ejemplo de un sistema estable, mientras que el de la Fig. 1.41b, esinestable. La estabilidad de los sistemas físicos resulta de la presencia de mecanismos que disipan energía.El circuito RC de la Fig. 1.37 es un sistema estable porque el resistor disipa energía, la respuesta está68

acotada para un voltaje de la fuente acotado y al desaparecer la excitación proporcionada por la fuente,desaparece la respuesta.x(t)y(t)y(t)x(t)(a)(b)Figura 1.41Los ejemplos mencionados dan una idea intuitiva del concepto de estabilidad. Expresado másformalmente, un sistema es estable si para una entrada acotada, la salida correspondiente también estáacotada. Es decir, si la entrada está definida porentonces la salida está definida pordonde k 1 y k 2 son constantes reales finitas.x k 1(0.105)y k 2(0.106)Para demostrar que un sistema es estable, una estrategia válida es buscar una excitación acotada específicay verificar si la salida resultante está acotada o no. Considere, por ejemplo, el sistema descrito por larelacióny[ n] n x[ n](0.107)Si seleccionamos una entrada constante, x[n] = k, la respuesta del sistema será y[n] = kn, que no estáacotada, puesto que sea cual sea el valor (finito) de k, y [n]excederá ese valor para algún valor de n.Esta propiedad y las anteriores, serán analizadas con mayor detalle en capítulos posteriores.1.10.6 Invariabilidad en el TiempoConceptualmente, un sistema es invariable en el tiempo si su conducta y sus características son fijas en eltiempo. El circuito RC de la Fig. 1.37 es un sistema con esta propiedad si los valores de los parámetros R y69

C son constantes; es de esperar que experimentos idénticos produzcan los mismos resultados sin importar elmomento en que se realicen. Por supuesto, esos resultados no serían los mismos si R o C o ambos cambiancon el tiempo.Esta propiedad puede expresarse en una forma muy sencilla para las señales y sistemas que hemosestudiado hasta ahora. Específicamente, se dice que un sistema es invariable en el tiempo si undesplazamiento en el tiempo (retraso o avance) en la señal de entrada resulta en un desplazamiento igualen la señal de salida. Entonces, para un sistema de tiempo continuo, el sistema no varía con el tiempo six( t t ) y( t t )(0.108)0 0para cualquier valor real t 0 , y, para un sistema de tiempo discreto,x[ n n ] y[ n n ](0.109)0 0para cualquier entero n 0 . Un sistema que no cumpla con la Ec. (0.108) (tiempo continuo) o la Ec. (0.109),se conoce como un sistema variable en el tiempo. Para comprobar si un sistema es invariable en el tiempo,sencillamente comparamos la salida producida por la entrada desplazadaEjemplo 20. El sistema de la Fig. 1.42 se conoce como el elemento retardo unitario. Determine si el sistemaes invariable en el tiempo.Respuesta: Sea y 1 [n] la respuesta a x1[ n] x[ n n0]. Entoncesy tambiény [ n] x[ n n 1]1 0y[ n n ] x[ n n 1] y [ n]0 0 1Por consiguiente, el sistema es invariable en el tiempo.Retardox[n] y[n] = x[n – 1]unitarioFigura 1.42Ejemplo 21. Considere el sistema definido por70

Sea y 1 (t) la respuesta a la entrada x 1 (t); esto esy ( t) sen x( t)1 1y sea y 2 (t) la respuesta a la entrada desplazada x1( t t0); es decir,De la Ec. (0.110) se obtieney, por lo tanto, el sistema es invariable en el tiempo. y () t sen x t(0.110)y ( t) senx t t2 1 0y ( t t ) sen x t t y ( t)1 0 1 0 2Ejemplo 22. Un sistema tiene una relación de entrada-salida dada pory[ n] n x[ n]Determine si el sistema es invariable en el tiempo.Respuesta. Sea y 1 [n] la respuesta a x1[ n] x[ n n0]. EntoncesPeroy el sistema varía con el tiempo.y [ n] n x[ n n ]1 0y[ n n ] ( n n ) x[ n n ] y [ n]0 0 0 1El sistema de este ejemplo representa uno cuya ganancia varía con el tiempo. Si, digamos, el valor de laentrada es igual a 1, no podemos determinar el valor de la salida sin conocer el instante en que se aplicó laexcitación. Continuando con esta idea, considere la señal de entrada x [ n] [ n]1; ésta produce una salidaigual a cero n [ n] 0 2 . Sin embargo, la entrada x [ n] [ n 1]2 produce la saliday [ n ] n [ n 1] [ n 1] . Así que, mientras que x 2[n] es una versión desplazada de x 1 [n], la respuestay 2 [n] no es una versión desplazada de y 1 [n]. Lo que se quiere señalar con esto es que para demostrar si unsistema cumple con la condición (1.106) o la (1.107), sólo basta con encontrar un ejemplo, y sólo uno, queindique lo contrario.71

1.10.7 Sistemas LinealesUn sistema lineal, en tiempo continuo o discreto, es aquél que posee la importante propiedad de lasuperposición. Para esta clase de sistemas, si una entrada consiste de la suma ponderada de varias señales,entonces la salida es la superposición – es decir, la suma ponderada – de las respuestas del sistema a cadauna de esas señales. En forma más precisa, en tiempo continuo, si y 1 (t) es la respuesta a la entrada x 1 (t), yy 2 (t) es la respuesta a x 2 (t), entonces el sistema es lineal si1. La respuesta a x1( t) x2( t)es y 1( t) y 2( t). Propiedad de aditividad.2. La respuesta a x () t es y () t1 1, donde es cualquier constante. Propiedad de homogeneidad o deescalamiento.Las dos propiedades que definen un sistema lineal pueden combinarse en una sola expresión:Tiempo continuo: x1 ( t) x2 ( t) y1 ( t) y2( t)(0.111)Tiempo discreto: x1 [ n] x2 [ n] y1 [ n] y2[ n](0.112)donde y son constantes. Adicionalmente, es muy sencillo demostrar a partir de la definición delinealidad que si xk[ n], k 1, 2, , forman un conjunto de entradas a un sistema lineal de tiempo discretocon salidas correspondientes yk[ n], k 1, 2, , entonces la respuesta a una combinación lineal de estasentradas,esx[ n] kxk[ n](0.113)ky[ n] kyk[ n](0.114)kEste hecho, de mucha importancia en el análisis de sistemas lineales, se conoce como la propiedad desuperposición, y se cumple para sistemas tanto de tiempo continuo como discreto.Una consecuencia directa de la propiedad de superposición es que, para sistemas lineales, una entrada quees cero para todo el tiempo resulta en una salida que también es igual a cero para todo el tiempo (propiedadde homogeneidad).72

Ejemplo 23. Un sistema tiene la relación de entrada-salidaDemuestre que el sistema es no-lineal.Solución: Tenemos queyx2y, por lo tanto,x y x21 1 1x y x22 2 2x x ( x x ) x 2x x x x x2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2Así que el sistema es no-lineal.Ejemplo 24. Considere un sistema cuya relación de entrada-salida está dada pory( t) t x( t)Entonces,y six ( t ) y ( t ) t x ( t )1 1 1x ( t ) y ( t ) t x ( t )2 2 2x ( t) a x ( t) b x ( t)3 1 2donde a y b son constantes arbitrarias, entonces, para la entrada x () 3t se obtieney el sistema es lineal.t x ( t ) at x ( t ) bt x ( t )3 1 2a y ( t ) b y ( t )1 2Ejemplo 25. Considere el sistema cuya relación de entrada-salida está dada por la ecuación linealy = ax + bdonde a y b son constantes. Si b 0, el sistema es no-lineal porque x = 0 implica que y = b 0 (propiedadde homogeneidad). Si b = 0, el sistema es lineal.73

Puede parecer sorprendente que el sistema en el ejemplo anterior no sea lineal puesto que su ecuación dedefinición, y = ax + b, es una línea recta. Por otra parte, como se muestra en la Fig. 1.43, la salida de estesistema puede representarse como la suma de la salida de un sistema lineal y otra señal igual a la respuestade entrada cero del sistema. Para el sistema del ejemplo, el sistema lineal esy = axy la respuesta de entrada cero esy 0 (t) = bHay grandes clases de sistemas que pueden representarse como en la Fig. 1.43 y para los cuales la salidacompleta del sistema consiste de la superposición de la respuesta de un sistema lineal y una respuesta deentrada cero. Estos sistemas corresponden a la clase de sistemas lineales incrementales, es decir, sistemasque responden linealmente a cambios en la entrada. Dicho de otra forma, la diferencia entre las respuestas ados entradas cualesquiera a un sistema lineal incremental es una función lineal de la diferencia entre las dosentradas.y 0 (t)x(t)Sistemalinealy(t)Figura 1.43. Sistema lineal incremental.1.11 Interconexión de SistemasUna idea que se usará a través del texto es el concepto de la interconexión de sistemas. Muchos sistemasreales son conformados como interconexiones de varios subsistemas; un ejemplo es un sistema de audio, elcual involucra la interconexión de un radio receptor, un reproductor de discos compactos o un grabador conun amplificador y una o más bocinas. Considerando tales sistemas como una interconexión de suscomponentes, podemos usar nuestros conocimientos de los componentes y de su interconexión para analizarla operación y conducta del sistema completo. Adicionalmente, al describir un sistema en función de unainterconexión de subsistemas más sencillos, podemos de hecho definir formas útiles para sintetizar sistemascomplejos a partir de bloques de construcción básicos más simples.Aun cuando se puede construir una gran variedad de interconexiones de sistemas, hay varias formasbásicas que se encuentran con mucha frecuencia. Una interconexión en serie o en cascada de dos sistemas74

se ilustra en la Fig. 1.44a. Esta clase de diagramas se conoce como diagramas de bloques. Aquí, la salidadel sistema 1 es la entrada al sistema 2. Un ejemplo de una interconexión en serie es un receptor de radioconectado a un amplificador. En la misma forma se puede definir una interconexión en serie de tres o mássistemas.En la Fig. 1.44b se ilustra una interconexión en paralelo de dos sistemas. Aquí, la señal de entrada seaplica simultáneamente a los sistemas 1 y 2. El símbolo en la figura denota la operación de adición, asíque la salida de la interconexión en paralelo es la suma de la salida de los sistemas 1 y 2. Un ejemplo deesta interconexión es un sistema de audio sencillo, en el cual varios micrófonos alimentan un soloamplificador. Adicionalmente a la interconexión en paralelo sencilla de la Fig. 1.44b, podemos definir lainterconexión en paralelo de más de dos sistemas y podemos combinar interconexiones en cascada y enparalelo para obtener interconexiones más complicadas. Un ejemplo es este tipo de interconexión se ilustraen la Fig. 1.44c.Otro tipo importante de interconexión de sistemas es la llamada interconexión de realimentación; unejemplo de ella se muestra en la Fig. 1.45. Aquí, la salida del sistema 1 es la entrada al sistema 2, mientrasque la salida del sistema 2 es realimentada y sumada a la entrada externa para producir la entrada efectiva alsistema 1.EntradaEntradaSistema 1SalidaSistema 1 Sistema 2EntradaSistema 2(a) (b)SalidaSistema 1 Sistema 2SalidaSistema 4Sistema 3(c)Figura 1.44. Interconexiones.SalidaEntradaSistema 1SalidaSistema 2Figura 1.45. Sistema realimentado.75

Los sistemas realimentados surgen en una gran variedad de aplicaciones. Por ejemplo, el sistema decontrol de la velocidad de crucero de un automóvil mide la velocidad del vehículo y ajusta el flujo decombustible para mantener la velocidad en el nivel deseado. También, los circuitos eléctricos a menudo sonconsiderados como si tuviesen interconexiones realimentadas. Como un ejemplo, considere el circuitomostrado en la Fig. 1.46a. Como se indica en la Fig. 1.46b, este sistema puede analizarse considerándolocomo la interconexión realimentada de los elementos del circuito.i(t )i ( ) i 1 ( t )2 tR Cv(t)i(t)+–i 1 (t)i 2 (t)Capacitort1v ( t) i ( t)dtC 1Resistorv(t)i2 ( t)Rv(t)(a)(b)Figura 1.4676

Problemas1.1. Las siguientes desigualdades se usan con frecuencia en estas notas. Demuestre su validez.(a)N 1n0N 1n , 1 1 N , 1(b)n0n1 , 11(c)n fnn0n n0 1n f 1, 11.2. Halle el menor período positivo T de las siguientes señales:2t 2t 2nt 2ntcos nt, sen nt, cos , sen , cos , senk k k k1.3. Bosqueje las señales siguientes:(a) sen t ,(b) sen 2t 2sen6 t, , t 0(c)4xt () y x( t 2 ) x( t) , 0 t 4(d) x( t) exp t, t , y x( t 2 ) x( t)1.4. Demuestre que si x(t) es periódica con período T, entonces también es periódica con períodonT, n = 2, 3, .1.5. Si x 1 (t) y x 2 (t) tienen período T, demuestre que x 3 (t) = ax 1 (t) +bx 2 (t) (a, b constantes) tiene elmismo período T.1.6. ¿Son periódicas las señales siguientes? Si lo son, determine sus períodos.x( t) sen t 2sen t2 16(a) 3 3(b) x( t) 4exp j 2 t 3exp j3t51.7. Sea x(t) una señal periódica con período fundamental T. Determine cuáles de las siguientesseñales son periódicas y halle sus períodos fundamentales:(a) y ( t) x(2 t)(b) 21 x( t) cos t(c) y ( t) x( t 2)(d) j[( n 4 ) ]2 x[ n] e77

(e)2nxn [ ] cos8 (f) n n nxn [ ] cos sen 2cos 4 8 2 1.8. Si x(t) es una señal periódica en t con período T, demuestre que x(at), a > 0, es una señalperiódica en t con período T/a, y que x(t/b), b > 0, es una señal periódica en t con período bT.Verifique estos resultados para x( t) sen t, a b 2 .1.9. Demuestre que si x[n] es periódica con período N, entonces se cumple que(a)nnNx[ k ] x[ k ](b) x[ k ] x[ k ]k0kNkn0 kn0NnnN 1.10. Determine si las siguientes señales son señales de potencia o de energía o de ninguno de los dostipos. Justifique sus respuestas. (b) r ( t) r ( t 1)(a) x( t) A u ( t a) u ( t a)(c) x( t) exp( at ) u( t), a 0(d) x( t) t u ( t)(e) x( t) u ( t)x( t) Aexp bt , b 0 (f) 1.11. Para una señal de energía x(t) con energía E x , demuestre que la energía de cualquiera de lasseñales x(t), x(t) y x(t T) es E x . Demuestre también que la energía de x(at) y de x( at b ) esE x /a. ¿Cuál es el efecto sobre la energía de la señal si se multiplica por una constante a?1.12. Para la señal x(t) dada como t, 1 t 0x( t ) 1, 1 t 2 0, otros valores de tgrafique y halle expresiones analíticas para las siguientes funciones:(a) xt ( 2)(b) x(3 t)(c) (2 4)tx x t 1(d) 1.13. Repita el Problema 1.11 para la señal1, 1 t 0x( t ) exp( t ) t 0 0 otros valores de t3 278

1.14. Para la señal de tiempo discreto mostrada en la Fig. P1.14, dibuje cada una de las señalessiguientes:(a) x2 n(b) x3n4x n (d)2(c) 31(e) x p [n](f) x i [n](g) x2 n x3n 4 n 8x 4 312–21–1 0–223–1n–3Figura P1.141.15. Grafique las siguientes señales:(a) x 2( t ) r ( t ) r ( t 1) u ( t 2)(b) x ( t) exp( t) u ( t)3(c) x ( t) 2u( t) (t 1)(d) x ( t) u ( t) u ( a t), a 064 (e) x ( t) u (cos t)7 (f) 1x () t x t t 1 (g) x 1 x 3(2 t) 3 21.16. (a) Demuestre quees una señal par.(b) Demuestre quees una señal impar.1xp( t ) x( t ) x( t)21xi( t ) x( t ) x( t)21.17. Determine las partes par e impar de las señales siguientes:(a) x(t) = u(t)(b)j 0nx[ n] e (c) x[ n] [ n]( 2 )1 2 279

1.18. Determine y grafique las partes par e impar de las señales mostradas en la Fig. P1.18.Identifique sus gráficas cuidadosamente.x(t) = –2t, t < 0x(t)1–1012tFigura P1.181.19. Sea x[n] una secuencia arbitraria con partes par e impar denotadas por x p [n] y x i [n],respectivamente. Demuestre que 2 2 2 pin n nx [ n] x [ n] x [ n]1.20. Considere el transmisor FM estéreo sencillo mostrado en la Fig. P1.20.(a) Grafique la señal (I + D) e (I D).(b) Si las salidas de los dos sumadores se añaden, dibuje la forma de onda resultante.(c) Si la señal I D se invierte y se suma a la señal I + D, dibuje la forma de onda resultante.Señal de audioizquierdaAmplificadorISumadorI + DSumadorI – DSeñal de audioderechaAmplificadorD–DInversorI(t)D(t)2 2001 2 3 t–1 –11 2 3 tFigura P1.2080

1.21. Para cada una de las señales mostradas en la Fig. P1.21, escriba una expresión en términos defunciones escalón y rampa unitarios.x 1 (t)1 ax 2 (t)ax 3 (t)0at0ab t a – b –a0 a a + btax 4 (t)ax 5 (t)bx 6 (t)–a0at0ca – cat–a – b –ab/20 a a + bt–aFigura P1.211.22. Sea x[n] una secuencia arbitraria con partes par e impar denotadas por x p [n]y x i [n],respectivamente. Demuestre que 2 2 2 pin n nx [ n] x [ n] x [ n]1.23. Si la duración de x(t) se define como el tiempo en el cual x(t) cae a 1/e del valor en el origen,determine la duración de las siguientes señales:(a) x ( t) Aexp( t T ) u ( t)1(b) x2( t) x1(3 t)(c) x3( t) x1( t 2)1.24. Demuestre las siguientes identidades: (a) t( t) ( t); (b) ( t) ( t).1.25. Verifique si alguna de las expresiones siguientes puede usarse como un modelo matemático deuna función delta.(a)21 tp ( t) lím exp2 21ε02 22p ( t) lím4 t (b)2ε02 2 281

(c) p3 ( t) límε02 21 t(d) p4( t) límexp t ε01 sen (e) p5( t) límε0 tt1.26. Simplifique las expresiones siguiente: sen t (a) () t2 t 2 j5(b) ( )2 4t(c) e cos 3t 60º ( t)(d)sen 2t 2 ( t 2)2 t 4 (e)4 ( 1)j5(f)senk ( ) 1.27. Evalúe las integrales siguientes:(a) ( t 1) ( t 1)dt(b)0 t sen t t dt 2 4(c) cos t u( t 1) ( t ) dt(d) exp(5 t) ( t)dt(e)(f) 2 t t sen ( t ) dt 202 0t sen( t 2) ( t)dt82

1.28. La probabilidad de que una variable aleatoria x sea menor que se determina integrando la funciónde densidad de probabilidades f (x) para obtenerDado quedetermineP x 3(a) (b) Px1.5(c) Px4P( x ) f ( x)dxf ( x) 0.2 ( x 2) 0.3 ( x) 0.2 ( x 1) 0.1 u( x 3) u( x 6)1.29. Grafique la primera y segunda derivadas de las señales siguientes:(a) x(t) = t, 0 < t < 1, y x(t) es periódica con período 2.(b) x(t) = u(t) u(t 2) y x(t) es periódica con período 4. t, 0 t1(c) x( t ) 1, 1 t 2 0, otros valores de t1.30. Dé un ejemplo de un sistema lineal variable en el tiempo tal que con una entrada periódica la salidacorrespondiente no es periódica.1.31. Considere el sistema de tiempo continuo cuya relación de entrada-salida esk0ky( t) a x ( t kT ) a 1Calcule la salida y(t) correspondiente a la entrada x( t) exp( j t). ¿Es este sistema lineal?1.32. Si x(t) y y(t) denotan la entrada y la salida de un sistema, respectivamente, diga si los siguientessistemas son lineales o no, causales o no, variables en el tiempo o no, tienen memoria o no. Justifiquesu respuesta.(a) y( t) tx( t)(b)2y[ n] x [ n](c)dx () ty()t dt(d) y[ n] n x[ n](e) y ( t ) x ( )d(f) y( t) x( t a)t83

(g) y( t) cos x( t)(h) y( t) x( t)cost (i)(j)dy () tdt2ay ( t ) bx ( t ) (k)tT2tT2dy () tay ( t ) bx ( t )dt1y ( t) x ( )dT (l) y ( t) x ( t) ( t kTs)1.33. Demuestre que un sistema que tiene como respuesta la magnitud de su excitación es no lineal, estable,causal y no invertible.1.34. Para los sistemas descritos por las ecuaciones que se dan a continuación, donde la entrada es x(t) y lasalida es y(t), determine cuáles de ellos son invertibles y cuáles no lo son. Para los sistemasinvertibles, halle la relación de entrada salida del sistema inverso.tn(a) y( t) x( )d(b) y( t) x ( t), n un entero(c) y( t) x3t6 (d) y( t) cos x( t)k84

CAPÍTULO DOSSISTEMAS LINEALES E INVARIANTESEN EL TIEMPO85

CAPÍTULO DOS: SISTEMAS LINEALES E INVARIANTESEN EL TIEMPO2.1 IntroducciónEn este capítulo se introducen y discuten varias propiedades básicas de los sistemas. Dos de ellas, lalinealidad y la invariabilidad en el tiempo, son atributos muy importantes y juegan un papel fundamental enel análisis de señales y sistemas porque muchos procesos físicos poseen estas propiedades y por ello puedenser modelados como sistemas lineales e invariantes en el tiempo (sistemas LIT) y porque esos sistemas LITpueden ser analizados con bastante detalle. Los objetivos primordiales de este texto son desarrollar lacomprensión de las propiedades y herramientas para analizar señales y sistemas LIT y proporcionar unaintroducción a varias de las aplicaciones importantes en las que se usan estas herramientas. En este capítulocomenzamos este desarrollo derivando y examinando una representación fundamental y extremadamenteútil de los sistemas LIT e introduciendo una clase importante de tales sistemas.Una de las principales razones para lo amigable que resulta el análisis de los sistemas LIT es el hecho decumplir con la propiedad de superposición. Por ello, si la entrada x(t) a un sistema LIT de tiempo continuoconsiste de una combinación lineal de señales,x( t) a x ( t) a x ( t) a x ( t) (2.1)1 1 2 2 3 3entonces, por la propiedad de superposición, la salida está dada pory( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) (2.2)1 1 2 2 3 3donde y k (t) es la respuesta del sistema a la excitación x k (t), k = 1, 2, . En consecuencia, si podemosrepresentar la entrada a un sistema LIT en función de un conjunto de señales básicas, podemos entoncesusar la superposición para calcular la salida del sistema en función de sus respuestas a estas señales básicas.Como veremos en la próxima sección, una de las características importantes del impulso unitario, tanto entiempo continuo como discreto, es que puede usarse para representar señales muy generales. Este hecho,unido a las propiedades de superposición e invariabilidad en el tiempo, nos permitirá desarrollar una86

caracterización completa de cualquier sistema LIT en términos de su respuesta a un impulso unitario. Estarepresentación, a la cual se le refiere como la suma de convolución en tiempo discreto y como la integral deconvolución en tiempo continuo, proporciona gran facilidad analítica al tratar sistemas LIT. Posteriormentese discutirá la especificación de las relaciones de entrada-salida de sistemas LIT mediante ecuacionesdiferenciales y ecuaciones de diferencias.2.2 Sistemas LIT en Tiempo Discreto2.2.1 La Representación de Señales en Tiempo Discreto Mediante Impulsos UnitariosLa idea clave para visualizar cómo se puede usar la función impulso unitario para construir cualquierseñal de tiempo discreto es considerar a ésta como una sucesión de impulsos individuales. Para ver cómoesta imagen puede convertirse en una representación matemática, considere la señal en tiempo discretox[n] mostrada en la Fig. 2.1a. En las otras partes de la figura se muestran cinco secuencias de impulsosunitarios escalados y desplazados en el tiempo, donde el escalamiento de cada impulso es igual al valor dex[n] en el instante específico en que ocurre la muestra. Por ejemplo, x[ 1], n 1x[ 1] [ n1} 0, n 1 x[0], n0x[0] [ n} 0, n 0 x[1], n1x[1] [ n1} 0, n 1Por lo tanto, la suma de las tres secuencias en la figura, es decir,x[ 2] [ n 2] x[ 1] [ n 1] x[ n] [ n](2.3)es igual a x[n] para 2 n 0. En forma más general, incluyendo impulsos escalados adicionales,podemos escribir quex[ n] x[ 3] [ n 3} x[ 2] [ n 2} x[ 1] [ n 1] x[0] [ n] x[1] [ n1](2.4)87

x[n]x[–2][n + 2]. . .–4–2 –1012 3 4. . .5n. . .–3–2. . .–1 0 1 2 n(a)(b)x[–1][n + 1]x[0][n]. . .. . .. . .. . .–4 –3–2 –1 0 1 2 n–4 –3–2 –1 0 1 2 n(c)(d)Figura 2.1Para cualquier valor de n, solamente uno de los términos en el lado derecho de la Ec. (2.4) es diferente decero y la ponderación en ese término es precisamente x[n]. Escribiendo esta suma en una forma máscompacta, se obtienex[ n] x[ k ] [ n k ](2.5)kÉsta corresponde a la representación de una secuencia arbitraria como una combinación lineal de impulsosunitarios desplazados, [n k], donde los pesos en esta combinación son los valores x[k]. Como unejemplo, considere la secuencia x[n] = u[n], la secuencia escalón unitario. En este caso, u[k] = 0 para k < 0y u[k] = 1 para k 0 y la Ec. (2.5) se convierte enu[ n] [ n k ]la cual es idéntica a la expresión derivada en la Sec. 1.9.8 [ver la Ec. (1.81)].k0La Ec. (2.5) se conoce como la propiedad de selección del impulso unitario de tiempo discreto. Como lasecuencia [n k] es diferente de cero solamente cuando n = k, la sumatoria en el lado derecho de la Ec.(2.5) “selecciona” a través de la secuencia de valores x[n] y preserva sólo el valor correspondiente a k n.88

2.3 Sistemas LIT Discretos: La Suma de ConvoluciónConsidere un sistema lineal en tiempo discreto y una entrada arbitraria x[n] a ese sistema. Como vimos enla Sec. 2.2, cualquier señal arbitraria x[n] puede expresarse como una combinación lineal de muestrasdesplazadas en la forma de la Ec. (2.5), la cual repetimos aquí por conveniencia;x[ n] x[ k ] [ n k ]kUsando la propiedad de superposición de los sistemas lineales [Ecs. (1.109) y (1.110)], se deduce que lasalida y[n] puede expresarse como una combinación lineal de las respuestas del sistema cuando laexcitación está constituida por muestras unitarias desplazadas en el tiempo. Específicamente, si denotamospor h k [n] la respuesta de un sistema lineal a la muestra unitaria desplazada [n k], entonces la respuestadel sistema a una entrada arbitraria x[n] puede expresarse comoy[ n] x[ k ] h [ n](2.6)kDe acuerdo con la Ec. (2.6), si conocemos la respuesta de un sistema lineal al conjunto de muestrasunitarias desplazadas, entonces podemos construir la respuesta a una entrada arbitraria. Una interpretaciónde la Ec. (2.6) se ilustra en la Fig. 2.2. En la Fig. 2.2a se dibuja una señal particular x[n], la cual esdiferente de cero solamente para n = 1, 0 y 1. Esta señal se aplica a la entrada de un sistema lineal cuyasrespuestas a las señales [n + 1], [n ] y [n 1] se muestran en la Fig. 2.2b. Como x[n] puede escribirsecomo una combinación lineal de [n + 1], [n ] y [n 1], el principio de superposición nos permiteescribir la respuesta a x[n] como una combinación lineal de las respuestas a los impulsos individualesdesplazados. Los impulsos individuales desplazados y escalonados que conforman a x[n] se ilustran en ellado izquierdo de la Fig. 2.2c, mientras que las respuestas a estas señales componentes se dibujan en el ladoderecho.k89

x[n]... ...-1-2 0 1 2nh 1 [n] ](a)h 0 [nh 1 [n]......0n......0n......0nx [ 1][n 1](b) x [ 1]h 1[n]......0 n... ...nx [ 0 ] [n][ 0]h [ n]x 0...... ...0 n01][n ]x 1]h1x [ 1[ [ n]n......n0 0... ...nx[n](c)y[n]...0...n... ...0n(d)Figura 2.2Finalmente, en la Fig. 2.2d se muestra la entrada real x[n], la cual es la suma de sus componentes en laFig. 2.2c y la salida real y[n], la cual, por superposición, es la suma de sus componentes en la Fig. 2.2c. Por90

consiguiente, la respuesta en el tiempo de un sistema lineal es simplemente la superposición de lasrespuestas debidas a cada valor sucesivo de la entrada.En general, por supuesto, las respuestas h [ n ] no tienen que estar relacionadas entre ellas para diferentesvalores de k. No obstante, si el sistema también es invariable en el tiempo, entonceskh [ n] h [ n k ](2.7)k0Específicamente, como [n k] es una versión desplazada de [n], la respuesta h k [n] es una réplicadesplazada en el tiempo de h 0 [n]. Por conveniencia en la notación, no se usará el subíndice en h 0 [n] y sedefinirá la respuesta al impulso (muestra) unitario h[n] comoh[ n] h [ n](2.8)(es decir, [n] h[n]). Entonces, para un sistema LIT, la Ec. (2.6) se convierte en0y[ n] x[ n] h[ n] x[ k ] h[ n k ](2.9)Este último resultado se conoce como la suma de convolución o suma de superposición y la operación enel lado derecho de la Ec. (2.9) se conoce como la convolución de las secuencias x[n] y h[n] y que serepresentará simbólicamente por y[ n] x[ n] h[ n]. Observe que la Ec. (2.9) expresa la respuesta de unsistema LIT a una entrada arbitraria en función de su respuesta al impulso unitario. En éste y en loskpróximos capítulos se desarrollarán algunas de las implicaciones de esta observación.h[k]h[n - k]0(a)kx[k]0 n(b)k0 k(c)Figura 2.391

La interpretación de la Ec. (2.9) es que la respuesta debida a la entrada x[k] en el instante k esxkhn k , y ésta es sencillamente una versión desplazada y escalada de h[n]. La respuesta real es lasuperposición de todas estas respuestas. Para cualquier instante fijo n, la salida y[n] consiste de la suma paratodos los valores de k de los números xkhn k . Como se ilustra en la Fig. 2.3, esta interpretación esuna forna útil de visualizar el cálculo de la respuesta usando la suma de convolución. Específicamente,considere el cálculo de la respuesta para algun valor específico de n. Observe que h[n k] se obtuvomediante una reflexión en torno al origen seguida por un desplazamiento en el tiempo. En la Fig. 2.3a semuestra h[k] y en la Fig. 2.3b se muestra h[n k] como una función de k con n fija. En la Fig. 2.3c se ilustrax[k]. La salida para este valor específico de n se calcula entonces ponderando cada valor de x[k] pora elvalor correspondiente de h[n k] y luego sumando estos productos. El proceso se ilustrará medianteejemplos.Ejemplo 1. Consideremos una entrada x[n] y la respuesta al impulso unitario h[n] dadas pornx[ n] u[ n]h[ n] u[ n]donde 0 < < 1.92

h[k] = u[k]. . . . . .0(a)h[-k] h[-1 - k]k. . .. . . . . .. . .(b)0 -1 0h[1 - k] h[n - k]n > 0. . . . . . . . . . . .0 1(d)h[n - k]kk(c)0 nk(e) x[ k] u[k]kk. . .n < 0. . .. . .. . .n0 0(f)k(g)kFigura 2.4En la Fig. 2.4 se muestran h[k], h[k] y h[1 k], es decir, h[n k] para n = 0, 1 y hn k paracualquier valor positivo arbitrario de n. Finalmente, x[k] se ilustra en la Fig. 2.4g. En la figura se observaque para n < 0 no hay solapamiento entre los puntos que no son iguales a cero en x[k] y h[n k]. Por ello,para n < 0, x[k]h[n k] = 0 para todos los valores de k y, en consecuencia, y[n] = 0 para n < 0. Para n 0, x[k]h[n k] está dada pork , 0 k nx[ k ] h[ n k] 0, otros valores de nEntonces, para n 0,El resultado se grafica en la Fig. 2.5.y[n]nk 0k93

. . .11 nyn [ ] . . .k0kFigura 2.5Ejemplo 2. Considere ahora las dos secuencias x[n] y h[n] dadas por1, 0 n4xn [ ] 0, otros valores de nn , 0 n 6hn [ ] 0, otros valores de nEstas señales se muestran en la Fig. 2.6. Para calcular la convolución de las dos señales, convieneconsiderar cinco intervalos separados para n. Esto se ilustra en la Fig. 2.7.Figura 2.6Intervalo 1. Para n < 0 no hay solapamiento entre las porciones diferentes de cero de x[k] y h[ n k ] y,por lo tanto, y[n] = 0.. . .x[n]Intervalo 2. Para 0 n 4, el producto xkhnkPor lo que en este intervalo, se tiene0 está dado pornk , 0 k nx[ k ] h[ n k] 0, otros valores de ky[ n]h[n]. . . . . .. . .–2 –1 0 1 2 3 4 n1 2 3 4 5 6n–2 –1 0nnk k0n94

Intervalo 3. Para n > 4 pero n 6 0 (es decir, 4 < n 6), x[k]h[n k] está dada porAsí que en este intervalo,nk , 0 k 4x[ k ] h[ n k] 0, otros valores de ky[ n]4k0nkIntervalo 4. Para n > 6 pero n 6 4 (es decir, para 6 < n 10),nk , ( n 6) k 4x[ k ] h[ n k] 0, otros valores de kde modo queyn [ ] 4kn6Intervalo 5. Para (n 6) < 4 o, equivalentemente, n > 10, no hay solapamiento entre las porcionesdiferentes de cero de x[k] y h[n k] y, por tanto,y [ n] 0El resultado gráfico de la convolución se muestra en la Fig. 2.7.nky[n]0 4 6 10nFigura 2.7Estos dos ejemplos ilustran la utilidad de interpretar gráficamente el cálculo de la suma de convolución.En el resto de esta sección examinaremos varias propiedades importantes de la convolución que serán demucha utilidad en diferentes ocasiones.95

Ejemplo 3. SeanEntoncesnnx[ n] u[ n]y h[ n] u[ n]k nky[ n] u[ k ] u[ n k ]kComo u[k] = 0 para k < 0 y u[n k] = 0 para k > n, podemos escribir la sumatoria comoClaramente, y[n] = 0 si n < 0.Para n 0, si = , tenemosnnk nk n 1k[ ] ( )y n k0 k0nny[ n] (1) ( n 1)Si , la sumatoria puede escribirse en forma compacta usando la fórmulak0n2 n1 n21ka akn1n a , a1(2.10)1aSuponiendo que1 1, entonces podemos escribiryn [ ] n1 ( ) 11 1 n1 n1 n1Como un caso especial de este ejemplo, sea = 1, de modo que x[n] representa a la función escalónunitario. La respuesta al escalón para este sistema se obtiene haciendo = 1 en la última expresión paray[n] y es1y[ n]1n1Observe que el Ejemplo 1 es un caso especial de esta relación.Resumiendo, se tiene entonces que la suma de convolución está compuesta de cuatro operacionesbásicas:1. Tomar la imagen especular de h[k] sobre el eje vertical a través del origen para obtener h[k].2. Desplazar h[n] en una cantidad igual al valor de n, en donde la secuencia de salida se evalúa paracalcular h[n k].3. Multiplicar la secuencia desplazada h[n k] por la secuencia de entrada x[k].96

4. Sumar la secuencia de valores resultantes para obtener el valor de la convolución en n.5. Los pasos 1 a 4 se repiten conforme n varía de a + para producir toda la salida h[n].Existe otro algoritmo que se puede usar para evaluar convoluciones discretas (este método esespecialmente útil para secuencias finitas). Suponga que se desea determinar la convolución de x[n] yh[n], en dondey1 n, n 02hn [ ] 0, n 0xn [ ] 3, 2, 1Se puede construir una matriz donde h[n] se localice en la parte superior de la matriz y x[n] ocupe la parteizquierda de la misma, como se indica en la Fig. 2.8. En este caso, la matriz es infinita porque h[n] esinfinita. Los valores dentro de la matriz se obtienen multiplicando los encabezados orrespondientes a la filay a la columna. Para calcular la convolución de las dos secuencias, basta con “girar y sumar” siguiendo laslíneas diagonales punteadas. Así, por ejemplo, el primer término y[0] es igual a 3. El segundo término,y[1], es igual a 2 + 3/2 = 7/2, que es la suma de los términos contenidos entre la primera y la segundadiagonal. Procediendo en esta forma, se obtiene la secuencia de salidayn [ ] 3 k7 11 11 11 112 4 8 16 2En el caso de secuencias bilaterales, el término de orden cero correspondiente a la salida se localiza entrelas diagonales en las cuales se encuentra el término correspondiente a la intersección de los índices de ordencero para las secuencias de las filas y columnas.h[n]313123214341838x[n]21211121214141800000Figura 2.897

Ejemplo 4. Se desea determinar la convolución de la muestra unitaria [n] con una secuencia arbitrariax[n]. De la Ec. (2.9), el n-ésimo término de la secuencia resultante seráy[ n] x[ k ] [ n k ]kSin embargo, cada término de [n k] es cero excepto cuando n = k. En este caso se tiene que [0] 1,por lo que el único término que es diferente de cero en la sumatoria aparece cuandoconsecuencia,y[ n] x[ n]n k y, enEn otras palabras, la convolución de x[n] y [n] reproduce la secuencia x[n].Ejemplo 5. Determinar la convolución de las secuencias x[n] y h[n], donden a , n0x[ n] 0, n 0yn b , n0hn [ ] 0, n 0Solución: La secuencia resultante, y[n], está dada por y[ n] x[ k ] h[ n k ] x[ k ] h[ n k ]knk0Los límites en la última sumatoria se deben a que x[n] = 0 para n < 0 y h[n] = 0 para k > n. Enconsecuencia, 0, n 0y[ n] a b , n 0k nk n k 098

Ejemplo 6. Determinar, empleando la suma de convolución, la salida del circuito digital de la Fig. 2.9,correspondiente a la secuencia de entrada [ ] 3 1 3xn . Suponga que la ganancia G es igual a 1/2.Solución: La ecuación que describe al sistema se puede obtener igualando la salida del sumador y[n] con lasdos entradas, es decir,y[ n] y[ n 1] x[ n](2.11)12x[n]++y[n]Gy[n – 1]GananciaGUnidad deretardoFigura 2.9La Ec. (2.11) es un ejemplo de una ecuación en diferencias. Se supone que el sistema está inicialmente enreposo, de modo que y[1] = 0. Para emplear la suma de convolución, primero se debe calcular la funciónde respuesta al impulso h[n]. Un método para obtener dicha respuesta es emplear la ecuación en diferenciasy determinar la salida en forma iterativa. De la Ec. (2.11) se tiene queh{0} [0] h[ 1] 1 0 1h121 1[1] [1] h[0]] 0 12 2211 1 1h[2] [2] h[1] 0 2 2 24h[ n] [ n] h[ n 1] 1 1n2 21La función de respuesta al impulso es entoncesy la salida estará dada porhn [ ] n12, n 00, n 099

1 y[ n] 3 1 3 , n 0Una forma sencilla de calcular esta convolución es emplear la matriz con el método de “gira y suma”, comose ilustra en la Fig. 2.10. De esta figura se obtiene la secuencia de salida comoyn [ ] 3 n2n1 13 13 13 132 4 8 16 2Este método iterativo tiene la desventaja de que no siempre es posible reconocer la forma del términogeneral. En esos casos, la solución para h[n] no se obtiene en una forma cerrada, como en este ejemplo, ypuede no ser una solución aceptable.h[n]112141811633323438316x[n]1112141811633323438316Figura 2.102.3.1 Propiedades de la Suma de ConvoluciónLa Ec. (2.9) define la convolución de las dos secuencias x[n] y h[n]:y[ n] x[ n] h[ n] x[ k ] h[ n k ](2.12)La primera propiedad básica de la suma de convolución es que es una operación conmutativa, es decir,kx[ n] h [ n] h [ n] x[ n](2.13)Esto se demuestra en una forma directa mediante una sustitución de variables en la Ec. (2.12). Haciendom n k , la Ec. (2.12) se convierte en x[ n] h[ n] x[ k ] h[ n k ] x[ n m] h[ m] h[ n] x[ n]km100

De acuerdo con esta última ecuación, la salida de un sistema LIT con entrada x[n] y respuesta al impulsoh[n] es idéntica a la salida de un sistema LIT con entrada h[n] y respuesta al impulso x[n].Una segunda propiedad útil de la convolución es que es asociativa, es decir, x[ n] h [ n] h [ n] x[ n] h [ n] h [ n] (2.14)1 2 1 2Para demostrar esta propiedad, sean x[ n] h1 [ n] f1 [ n] y h1 [ n] h2 [ n] f2[ n]. Entoncesyf [ n] x[ k ] h [ n k]1 1kx[ n] h [ n] h [ n] f [ m] h [ n m]1 2 1 2m x[ k ] h1[ m k ] h2[ n m]mkSustituyendo r = m k e intercambiando el orden de las sumatorias, tenemosy ahora, puesto quetenemosy, por lo tanto,x[ n] h1 [ n] h2 [ n] x[ k ] h1 [ r] h2[ n k r]krf [ n] h [ r] h [ n r]2 1 2rf [ n k ] h [ r] h [ n k r]2 1 2kx[ n] h [ n] h [ n] x[ k ] f [ n k ]1 2 2k x[ n] f [ n] x[ n] h [ n] h [ n]2 1 2La interpretación de la propiedad asociativa se indica en las Figs. 2.11a y b. Los sistemas mostrados enestos diagramas de bloques son sistemas LIT cuyas respuestas al impulso son las indicadas.101

En la Fig. 2.11a,y[ n] w[ n] h [ n]2 x[ n] h [ n] h [ n]1 2x[n] h 1 [n]w[n] h 2 [n]y[n]x[n]h[ n] h [ n] h [ n]1 2y[n](a)(b)x[n]h[ n] h [ n] h [ n]2 1y[n]x[n]h 2 [n]h 1 [n]y[n](c)Figura 2.11(d)En la Fig. 2.11b,y[ n] x[ n] h[ n] x[ n] h [ n] h [ n]1 2Según la propiedad asociativa, la interconexión en cascada de los dos sistemas en la Fig. 2.11a esequivalente al sistema único en la Fig. 2.11b. También, como una consecuencia de la propiedad asociativaen conjunto con la propiedad conmutativa, la respuesta completa al escalón de sistemas LIT en cascada esindependiente del orden en el cual los sistemas están conectados (Figs. 2.11c y d).Una tercera propiedad de la convolución es la distributiva con respecto a la suma, es decir,x[ n] h [ n] h [ n] x[ n] h [ n] x[ n] h [ n](2.15)1 2 1 2la cual se verifica fácilmente usando la propiedad de linealidad de la suma.De nuevo, esta propiedad tiene una interpretación útil. Considere los dos sistemas LIT en paralelomostrados en la Fig. 2.12a. Los dos sistemas h 1 [n] y h 2 [n] tienen entradas idénticas y sus salidas se suman.Comoyy [ n] x[ n] h [ n]1 1102

y [ n] x[ n] h [ n]2 2la salida del sistema de la Fig. 2.12a esy[ n] x[ n] h [ n] x n] h [ n]1 2que corresponde al lado derecho de la Ec. (2.15). La salida del sistema de la Fig. 2.12b esy[ n] x[ n] h [ n] h [ n]1 2lo que corresponde al lado izquierdo de la Ec. (2.15). En consecuencia, por la propiedad distributiva de laconvolución, una combinación en paralelo de sistemas LIT puede ser reemplazada por un solo sistema LITcuya respuesta al impulso es la suma de las respuestas al impulso individuales de la combinación enparalelo.h 1 [n]y 1[n]x[n]y[n]x[n]h 1 [n] + h 2 [n]y[n]h 2 [n](a)y 2[n](b)Figura 2.12Ejemplo 7. Considere el sistema mostrado en la Fig. 2.13 conh [ n] [ n] a[ n 1]11 h [ n] u[ n]2 2[ ] nh [ ]3n a u nh [ n] ( n 1) u[ n]45nh [ n ] [ n ] nu [ n 1] [ n 2]103

h 1 [n] h 2 [n] h 3 [n]h 4 [n]h 5 [n]Figura 2.13De la figura está claro queh[ n] h [ n] h [ n] h [ n] { h [ n] h [ n]}1 2 3 5 4Para evaluar h[n], calculamos primero la convolución h1[ n] h3[ n]También,5 41 3nh [ n] h [ n] [ n] a[ n 1] a u[ n]nn a u[ n] a u[ n 1] [ n]h [ n] h [ n] [ n] nu[ n 1] [ n 2] ( n 1) u[ n] [ n] [ n 2] u[ n]de modo que2h[ n] [ n] h [ n] [ n] [ n 2] u[ n] h [ n] h [ n 2] s [ n]2 2 2donde s 2 representa la respuesta al escalón correspondiente a h 2 [n]; En consecuencia, tenemos quenn n k 1 1 2 1h[ n] u[ n] u[ n 2] 2 2 2k0Usando la Ec. (2.10), este resultado puede escribirse como1 n2 h[ n] u[ n 2] 2 u[ n]22.3.2 Respuesta al EscalónLa respuesta al escalón s[n] de un sistema LIT de tiempo discreto cuya respuesta al impulso es h[n] seobtiene rápidamente a partir de la Ec. (2.9) comos[ n] h[ n] u[ n] h[ k ] u[ n k ] h[ k ]kn (2.16)k104

puesto que u[k n] = 0 para k > n. De la Ec. (2.16) tenemos queh[ n] s[ n] s[ n 1](2.17)2.4 Sistemas de Tiempo Continuo: La Integral de ConvoluciónEn el dominio del tiempo, un sistema lineal se describe en términos de su respuesta al impulso, la cual sedefine como la respuesta del sistema (con cero condiciones iniciales) a una función impulso unitario ofunción delta (t) aplicada a la entrada del sistema. Si el sistema es invariable en el tiempo, entonces laforma de la respuesta al impulso es la misma sin importar cuando se aplica el impulso unitario al sistema.Así pues, suponiendo que la función impulso unitario se aplica en el instante t = 0, podemos denotar larespuesta al impulso de un sistema LIT por h(t). Suponga que el sistema está sometido a una excitaciónarbitraria x(t). Entonces. igual a como se hizo en la sección precedente, el objetivo de ésta es obtener unacaracterización completa de sistemas LIT de tiempo continuo en función de la respuesta al impulso. Por laEc. (1.51) sabemos quex ( t) x ( ) ( t )d(2.18)La respuesta al impulso h(t) de un sistema LIT de tiempo continuo (representado por ) se define comola respuesta del sistema cuando la entrada es (t), es decir,h()t { ( t )} (2.19)Puesto que el sistema es lineal, la respuesta y(t) del sistema a una excitación arbitraria x(t) puede serexpresada comoy ( t) x( t) x ( ) ( t )dComo el sistema no varía con el tiempo, entoncesy sustituyendo la Ec. (2.21) en la Ec. (2.20), se obtienex ( ) { ( t )}d(2.20)h( t ) ( t )(2.21)y ( t) x ( ) h( t )d(2.22)105

La Ec. (2.22) indica que un sistema LIT de tiempo continuo está completamente caracterizado por surespuesta al impulso h(t) y se conoce como la integral de convolución o la integral de superposición y es lacontraparte de la Ec. (2.9) para la convolución en tiempo discreto. Tenemos entonces el resultadofundamental que la salida de cualquier sistema LIT de tiempo continuo es la convolución de la entrada x(t)con la respuesta al impulso h(t) del sistema. La respuesta a cualquier entrada x(t) puede calcularse usandola integral de la Ec. (2.22). La Fig. 2.14 ilustra esta definición.La convolución de dos señales x(t) y h(t) se representará simbólicamente pory( t) x( t) h( t)(2.23)(t)x(t)SistemaLITh(t)y(t) = x(t) h(t)Figura 2.142.4.1 Propiedades de la Integral de ConvoluciónLa convolución en tiempo continuo satisface las mismas propiedades ya discutidas para la convolución detiempo discreto. En particular, es conmutativa, asociativa y distributiva:Conmutativa:Asociativa:Distributiva:x( t) h( t) h( t) x( t)(2.24) x( t) h ( t) h ( t) x( t) h ( t) h ( t) (2.25)1 2 1 2x( t) h ( t) h ( t) x( t) h ( t) x( t) h ( t)(2.26)1 2 1 2Estas propiedades tienen las mismas implicaciones que las discutidas para la convolución en tiempodiscreto. Como una consecuencia de la propiedad conmutativa, los papeles de la señal de entrada y de larespuesta al impulso son intercambiables. Por la propiedad asociativa, una combinación en cascada desistemas LIT puede agruparse en un solo sistema cuya respuesta al impulso es la convolución de lasrespuestas al impulso individuales. También, la respuesta al impulso total no es afectada por el orden que106

tienen los sistemas en la conexión en cascada. Finalmente, como un resultado de la propiedad distributiva,una combinación en paralelo de sistemas LIT es equivalente a un solo sistema cuya respuesta al impulso esla suma de las respuestas al impulso individuales en la combinación en paralelo.2.4.2 Evaluación de la Integral de ConvoluciónLa convolución es una operación integral que puede evaluarse analítica, gráfica o numéricamente.Aplicando la propiedad de conmutatividad de la convolución, Ec. (2.24), a la Ec., se obtieney ( t) h( t) x( t) h( ) x( t )d(2.27)la cual en algunos casos puede ser más fácil de evaluar que la Ec. (2.22). De esta última ecuaciónobservamos que el cálculo de la integral de convolución involucra los cuatro pasos siguientes:1. La respuesta al impulso h() es invertida en el tiempo (es decir, reflejada con respecto alorigen) para obtener h() y luego desplazada por t para formar h(t ), la cual es unafunción de con parámetro t.2. Las señal x() y la respuesta al impulso h(t ) se multiplican para todos los valores de con tfijo en algún valor.3. El producto x() h(t ) es integrado en para producir un solo valor de salida y(t).4. Los pasos 1 a 3 se repiten conforme t varía desde hasta para producir toda la salida y(t).Tenga siempre presente que al evaluar la integral, x() y h(t – ) son funciones de y no de t; t es unaconstante con respecto a .Ejemplo 8. La entrada x(t) y la respuesta al impulso h(t) de un sistema LIT de tiempo continuo están dadasporCalcule la salida y(t).Solución: Por la Ec. (2.22)tx( t) u ( t) h( t) e u ( t), 0107

y ( t) x ( ) h( t )dLas funciones x() y ht ( ) se muestran en la Fig. 2.15 para t < 0 y t > 0.De la figura vemos que para t < 0, x() y ht ( ) no se solapan, mientras que para t > 0, se solapandesde 0 hasta t . En consecuencia, para t < 0, y(t) = 0. Para t > 0, tenemostt ( t ) t 1 t( ) 1 y t e d e e d e0 0y podemos escribir la salida y(t) como1ty ( t ) 1 e u ( t )(2.28)x()h()1 100h(t – ) h(t – )11t < 0t > 0t0 0tFigura 2.15Ejemplo 9. Calcule la respuesta y(t) para un sistema LIT de tiempo continuo cuya respuesta al impulso h(t)y la entrada x(t) están dadas porSolución: Por la Ec. (2.22)Así que, tth( t) e u ( t) x( t) e u ( t), 0y ( t) x ( ) h( t )d108

( t)y ( t) e u( ) e u( t ) d Las funciones x() y h(t ) se muestran en la Fig. 2.16a para t < 0 y t > 0.De la Fig. 2.16a vemos que para t < 0, x() y h(t ) se solapan desde = – hasta = t, mientras que parat > 0, se solapan desde = – hasta = 0. En consecuencia, para t < 0, tenemosy para t > 0,tt ( t ) t 2 1t y () t e e d e e d e2 0 0t ( t ) t 2 t 1 t y () t e e d e e dt e2 x()h(t – )t < 0y(t)th(t – )t > 0(b)t(a)tFigura 2.16Combinando las dos últimas relaciones, y(t) se puede escribir como1 ty ( t ) e , 02Este resultado se muestra en la Fig. 2.16b.Ejemplo 10. Evalúe la convolución y( t) x( t) h( t), donde x(t) y h(t) se muestran en la Fig. 2.17,mediante una técnica analítica.109

x(t)h(t)0 1 2 3 t0 1 2tFigura 2.17Solución: Primero expresamos x(t) y h(t) como funciones del escalón unitario:Entonces, por la Ec. (2.22), tenemos quex( t) u( t) u( t 3) h( t) u( t) u( t 2)y ( t) x ( ) h( t )d [ u( ) u( 3)][ u( t ) u( t 2)] d u( ) u( t ) d u( ) u( t 2 )dPuesto que u( 3) u( t ) d u( 3) u( t 2 )d1, 0 t, t 0u ( ) u ( t ) 0, otros valoresde t1, 0 , 2u ( ) u ( t 2 ) t t 0, otros valoresde1, 3 , 3tu ( 3) u ( t ) t t 0, otros valoresdet 1, 3 t2, t 5u ( 3) u ( t 2 ) 0, otros valoresdetpodemos expresar a y(t) comot t2 t t2 y ( t) du( t) du( t 2) du( t 3) du( t 5) 0 0 3 3 t u( t) ( t 2) u( t 2) ( t 3) u( t 3) ( t 5) u( t 5)110

la cual se grafica en la Fig. 2.18.y(t)212u(t)(t – 5)u(t – 5)–101 2 3 4 5 t(t – 2)u(t – 2)(t – 3)u(t – 3)Figura 2.18Intente resolver este ejemplo mediante la técnica gráfica usada en el Ejemplo 9.Ejemplo 11, Si x 1 (t) y x 2 (t) son ambas señales periódicas con un período común T 0 , la convolución de x 1 (t)y x 2 (t) no converge. En este caso, definimos la convolución periódica de x 1 (t) y x 2 (t) como(a) Demuestre que f (t) es periódica con período T 0 .(b) Demuestre queT0f ( t ) x ( t ) x ( t ) x ( ) x ( t )d(2.29)1 2 1 20aT0 1 2(2.30)af ( t ) x ( ) x ( t )dpara cualquier a.Solución:(a) Como x 2 (t) es periódica con período T 0 , tenemos queEntonces, de la Ec. (2.29) tenemosx ( t T ) x ( t )2 0 2T0f ( t T ) x ( ) x ( t T )d0 1 2 00T0 x ( ) x ( t ) d f ( t )01 2111

Así pues, f (t) es periódica con período T 0 .(b) Puesto que ambas x 1 (t) y x 2 (t) son periódicas con el mismo período T 0 , x 1 ()x 2 (t ) es periódica conperíodo T 0 y entonces, igual que toda función periódica x(t) con período T tiene la propiedad de quey para cualquier a real, se tiene queT0aT x ( t) dt x ( t ) dtaT0 aT0 f ( t) x ( ) x ( t ) d x ( ) x ( )d01 2 1 2a2.4.3 Respuesta al EscalónOtra señal que se usa con frecuencia para describir el comportamiento de sistemas LIT de tiempocontinuo es la función escalón unitario. La respuesta al escalón s(t) de un sistema LIT de tiempo continuo(representado por ) se define como la respuesta del sistema cuando la entrada es u(t); es decir,s( t) u ( t)(2.31)En muchas aplicaciones, la respuesta al escalón s(t) también es una caracterización útil del sistema y porello es importante relacionarla con la respuesta al impulso. La respuesta al escalón se puede determinarfácilmente a partir de la integral de convolución, Ec. (2.22):s( t) h( t) u( t) h( ) u( t ) d h( )dt (2.32)Así que la respuesta al escalón s(t) puede obtenerse por integración de la respuesta al impulso h(t).Diferenciando la Ec. (2.32) con respecto a t, se obtiened s () th( t ) s( t ) (2.33)dtEsta ecuación es la contraparte de la Ec. (2.17) en tiempo discreto.2.5 Propiedades de los Sistemas LITEn las secciones anteriores se desarrollaron representaciones muy importantes para los sistemas LIT detiempo discreto y de tiempo continuo. Esta representación en tiempo discreto toma la forma de la suma deconvolución, mientras que su contraparte en tiempo continuo es la integral de convolución. En esta sección112

usamos la caracterización de sistemas LIT en función de sus respuestas al impulso para examinar otraspropiedades de los sistemas.2.5.1 Sistemas LIT Con y Sin MemoriaRecuerde que la salida y(t) de un sistema sin memoria en un instante dado depende solamente de laentrada y(t) en ese mismo instante. Esta relación sólo puede ser de la formay( t) K x( t)(2.34)donde K es una constante (ganancia del sistema). Por ello, la respuesta al impulso correspondiente h(t) essimplementeh( t) K ( t)(2.35)En consecuencia, si ht (0) 0 para t 0 0, el sistema LIT de tiempo continuo tiene memoria.Para sistemas LIT de tiempo discreto sin memoria, la relación equivalente a la Ec. (2.34) esy[ n] K x[ n](2.36)donde K es una constante (ganancia del sistema) y la respuesta al impulso correspondiente h[n] esh[ n] K [ n](2.37)Por lo tanto, si h[n 0 ] ≠ 0 para n 0 ≠ 0, el sistema LIT de tiempo discreto tiene memoria.2.5.2 CausalidadComo ya se estudió en el Cap. 1, un sistema causal no responde a un evento en su entrada hastaque este evento efectivamente ocurra; en otras palabras, la respuesta de un sistema causaldepende solamente de los valores presente y pasados de la excitación. Usando la suma y laintegral de convolución, podemos relacionar esta propiedad con la propiedad correspondiente dela respuesta al impulso de un sistema LIT de tiempo discreto o de tiempo continuo.Específicamente, para que un sistema LIT de tiempo discreto sea causal, su salida y[n] no debedepender de la entrada x[k] para k n. De la ecuación para la suma de convolucióny[ n] x[ k ] h[ n k]k113

se deduce que éste será el caso sih[ n] 0 para n 0(2.38)y, aplicando esta condición, la suma de convolución se convierte enny[ n] x[ k ] h[ n k ] h [ k ] x [ n k ]k (2.39)k0La segunda sumatoria en el lado derecho de la Ec. (2.39) muestra que los únicos valores de x[n] usadospara evaluar la salida y[n] son aquellos para k n.Se dice entonces que cualquier secuencia x[n] es causal siy se llama anticausal six[ n] 0, n 0(2.40)x[ n] 0, n 0(2.41)Entonces, cuando la entrada x[n] es causal, la salida y[n] de un sistema LIT de tiempo discreto está dadaporny[ n] h[ k ] x[ n k ] x[ k ] h [ n k ]k0 k0n (2.42)Para que un sistema LIT de tiempo continuo sea causal se debe cumplir que la respuesta al impulsocumpla con la condicióny, en este caso, la integral de convolución se convierte en0h( t) 0, t 0(2.43)y ( t) h( ) x( t ) d x( ) h( t )dt (2.44)Por la condición de causalidad, Ec. (2.43), cualquier señal x(t) es causal siy se llama anticausal six( t) 0, t 0(2.45)x( t) 0, t 0(2.46)Entonces, cuando la entrada x(t) es causal, la salida y(t) de un sistema LIT causal de tiempo continuo estádada portty ( t) h( ) x( t ) d x ( ) h( t )d (2.47)0 0114

Ejemplo 11. Considere un sistema LIT de tiempo continuo descrito portT21y ( t) x ( )d(2.48)T tT2(a) Determine y dibuje la respuesta al impulso h(t) del sistema.(b) ¿Es causal este sistema?Solución:(a) La Ec. (2.44) puede escribirse comoAhora bien,tT2 tT21 1y ( t) x ( ) d x ( )dTT (2.49)0 0tt0 x ( t) u( t t ) x ( ) u( t t ) d x( )dpor lo que la Ec. (2.49) puede expresarse como1 T 1 T y ( t ) x( t ) u t x( t ) u t T 2 T 21 T T x( t ) u t u t x( t ) h( t )T 2 2y obtenemos 1 T T1 T T , th() t u t u t T 2 2(2.50)T 2 2 0, otros valores de t1h(t)–T/20 T/2 tFigura 2.19(c) De la Ec. (2.50) o de la Fig. 2.19 vemos que h ( t) 0 para t 0 . En consecuencia, elsistema no es causal.115

Ejemplo 12. Considere un sistema LIT de tiempo discreto cuya entrada x[n] y salida y[n] estánrelacionadas por la ecuaciónnkny[ n] 2 x[ k 1]kDetermine si el sistema es causal.Solución: Por definición, la respuesta al impulso h[n] del sistema está dada porn n nkn ( n1) ( n1)[ ] 2 [ 1] 2 [ 1] 2 [ 1] h n k k kCambiando la variable k + 1 = m, obtenemosk k kn1 ( n1) ( n1)h[ n] 2 [ m] 2 u[ n 1]kEn esta última ecuación tenemos que h[ 1] u[0] 1 0 y, por lo tanto, el sistema no es causal.2.5.3 EstabilidadRecuerde de la Sección 1.10.5 que, para nuestros propósitos, un sistema es estable si pequeñasexcitaciones producen respuestas que no divergen (no aumentan sin límite); o dicho de otra forma, elsistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada. Para determinar las condiciones bajolas cuales un sistema LIT de tiempo discreto es estable, considere una excitación x[n] acotada en magnitud,es decir,x[ n] para toda ndonde es una constante (finita). Si aplicamos esta excitación a un sistema LIT cuya respuesta al impulsounitario es h[n], la suma de convolución nos dará una réplica para la magnitud de la respuesta:y[ n] h [ k ] x [ n k ] h[ k ] x [ n kk (2.51)kPero x[ n k ] para todos los valores de k y n, por lo que esta condición y la Ec. (2.51) implican quey[ n] h[ k ] para toda n(2.52)kDe la relación (2.52) se puede concluir que si la respuesta al impulso es absolutamente sumable, es decir, si116

h [ k](2.53)kentonces y[n] está acotada en magnitud y, en consecuencia, el sistema es estable. Por consiguiente, la Ec.(2.53) es una condición suficiente para garantizar la estabilidad de un sistema LIT de tiempo discreto. Dehecho, esta condición también es necesaria, ya que si ella no se cumple, existirían entradas acotadas cuyassalidas no estarían acotadas.Siguiendo un procedimiento similar para los sistemas LIT de tiempo continuo, se obtiene que el sistemaes estable si su respuesta al impulso, h(t) es absolutamente integrable, vale decir, h () t dt (2.54)Ejemplo 13. Considere un sistema LIT de tiempo discreto cuya respuesta al impulso h[n] está dada porDetermine si el sistema es estable.Solución: Tenemos quenh[ n] u[ n]kk 1h [ k ] u[ k ] , 11 k k k0Por lo tanto, el sistema es estable si . 1Ejemplo 14. Para el acumulador en tiempo discreto, su respuesta al impulso es el escalón unitario u[n].Este sistema es inestable porqueku[ k]Es decir, la respuesta al impulso del sumador no es absolutamente sumable. Para el integrador, contraparteen tiempo continuo del acumulador, se obtiene una relación similar:por lo que ambos sistemas son inestables.u( )d d 0117

2.5.4 InvertibilidadConsidere un sistema LIT de tiempo continuo cuya respuesta al impulso es h(t). Como ya vimos, estesistema es invertible solamente si existe un sistema inverso que, al ser conectado en serie (cascada) con elsistema original, produce una respuesta igual a la entrada al primer sistema. También, si un sistema LIT esinvertible, entonces tiene un inverso. Esta cualidad se ilustra en la Fig. 2.20. En la Fig. 2.20a, el sistemaoriginal tiene una respuesta al impulso h(t) y su respuesta a una entrada x(t) es y(t). El sistema inverso, conrespuesta al impulso h 1 (t), produce una salida que es igual a w(t) = x(t), lo que indica que la interconexiónen la Fig. 2.20a produce el sistema identidad de la Fig. 2.20b.x(t)h(t)h 1 (t)w(t) = x(t)(a)x(t)Sistema identidad(t)(b)y(t)Figura 2.20La respuesta del sistema combinado en la Fig. 2.20a es h( t) h1( t)y, por ello, para que h 1 (t) sea larespuesta al impulso del sistema inverso debe satisfacer la condiciónh( t) h ( t) ( t)(2.55)1En tiempo discreto, la respuesta al impulso h 1 [n] del sistema inverso de un sistema LIT cuya respuesta alimpulso es h[n] debe cumplir con una condición similar a la dada por la Ec. (2.55) y ella esh[ n] h [ n] [ n](2.56)1Ejemplo 15. Considere un sistema LIT cuya respuesta al impulso esh[ n] u[ n](2.57)La respuesta de este sistema a una entrada arbitraria x[n] esy[ n] x[ k ] u[ n k]k118

Puesto que u[ n k] 0 para n k 0, esta última ecuación se puede escribir comony[ n] x[ k ](2.58)kEs decir, el sistema es un sumador. Esta ecuación se puede escribir comon1y[ n] x[ k ] xn yn 1 xnkEste sistema es invertible y su inverso está dado porx[ n] y[ n] y[ n 1]Tomando x[n] = [n], la respuesta al impulso del sistema inverso esMediante cálculo directo, se obtieneh[ n] h [ n] u[ n] [ n] [ n 1]1y[ n] x[ n] x[ n 1](2.59)h [ n] [ n] [ n 1]1 (2.60) u[ n] [ n] u[ n] [ n 1] u[ n] u[ n 1] [ n]lo que verifica que los sistemas especificados por las Ecs. (2.57) y (2.59) son inversos.2.6 Funciones Propias de Sistemas LIT de Tiempo ContinuoSea y(t) la salida de un sistema LIT de tiempo continuo cuando la entrada esvariable compleja. Entoncesx t( ) est , donde s es unast e y () t (2.61)en la cual representa la acción del sistema. Puesto que el sistema no varía con el tiempo, tenemos que ( )s( tt0)e y t t0para cualquier t 0 real y arbitrario. Como el sistema es lineal, se tiene también que( ) stst s t t0 st0 st9 st0e e e e e e y t()Por lo tanto,y t t e y tst0( 0) ( )119

Haciendo t = 0, obtenemosy ( t ) y (0) e0st0 (2.62)Puesto que t 0 es arbitrario, cambiando t 0 a t, podemos reescribir la Ec. (2.62) comoosty( t) y(0)e eEn lenguaje matemático, una función x() que satisface la ecuaciónstst st e e(2.63) x( ) x( )(2.64)se denomina una función propia (o función característica) del operador , y la constante se llama unvalor propio (o valor característico) correspondiente a la función propia x().stSi ahora hacemos x()t e en la integral de convolución, hallamos quedonde( ) y ( t) e h( ) e d h( )e dest s t s stst st H ( s) e e(2.65)s H ( s) h( )e d(2.66)Es decir, el valor propio de un sistema LIT de tiempo continuo asociado con la función propiaste está dadopor H(s), la cual es una constante compleja cuyo valor es determinado por el valor de s dado por la Ec.(2.66). Observe en la Ec. (2.64) que y(0) = H(s).2.7 Funciones Propias de Sistemas LIT de Tiempo DiscretoPara sistemas LIT de tiempo discreto representados por , las funciones propias son las exponencialescomplejasnz , donde z es una variable compleja. Es decir,n n z z(2.67)Siguiendo un procedimiento similar al de la Sección 2.6 para sistemas LIT de tiempo continuo, sendetermina que, para una entrada x[ n] z , la respuesta y[n] está dada pory[ n] H ( z) z n zn(2.68)120

donde k H ( z) h[ k ] z(2.69)kAsí que los valores propios de un sistema LIT de tiempo discreto asociados con las funciones propiasestán dados por H(z), la cual es una constante compleja cuyo valor lo determina el valor de z usando la Ec.(2.69).nzEjemplo 16. Considere el sistema LIT de tiempo continuo descrito por la relacióntT21y ( t) x ( )d(2.70)T tT2Se quiere determinar el valor propio del sistema correspondiente a la función propiasSolución: Sustituyendo el valor x( ) e en la Ec. (2.70), se obtieney el valor propio correspondiente atT21ey () t e d e eT sTst este estT2stssT 2 sT21sT 2 sT 2 e esTste .2.8 Sistemas Descritos por Ecuaciones DiferencialesConsidere el circuito RC mostrado en la Fig. 2.21. Este circuito puede considerarse como un sistema detiempo continuo cuya entrada x(t) es igual a la fuente de corriente i(t) y cuya salida y(t) es igual al voltajeen el capacitor.+x( t ) i(t )R C y( t) vC( t)121

Figura 2.21La relación entre la entrada y la salida es descrita por la ecuación diferencialdy ( tC ) 1 y ( t ) x ( t )(2.71)dt REn general, la respuesta de muchos sistemas físicos puede describirse mediante una ecuación diferencial. Enesta sección solamente trataremos sistemas lineales descritos por ecuaciones diferenciales con coeficientesconstantes, su realización o simulación usando sumadores, multiplicadores e integradores y demostraremoscómo se determina la respuesta al impulso de sistemas LIT.2.8.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes ConstantesLa forma general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de N-ésimo orden estádada porN kM kd y ( t) d x ( t )a bk(2.72)kdtk kk0 dtk0donde los coeficientes a i , i = 1, 2, , N y b j , j = 1, 2, , , M, son constantes reales. El orden N se refiere ala mayor derivada de y(t) en la Ec. (2.72). Estas ecuaciones juegan un papel primordial en la descripción delas relaciones de entrada-salida de una amplia variedad de sistemas físicos. Por ejemplo, en el circuito RCde la Fig. 2.21, la entrada y la salida están relacionadas por una ecuación diferencial de primer orden concoeficientes constantes, Ec. (2.71).La solución general de la Ec. (2.72) para una entrada específica x(t) está dada pory( t) y ( t) y ( t)(2.73)pdonde y p (t) es una solución particular que satisface la Ec. (2.71) y y h (t) es una solución homogénea (osolución complementaria) que satisface la ecuación diferencial homogéneak0hN kd yh() t ak 0(2.74)kdtLa forma exacta de y(t) se determina mediante los valores de N condiciones auxiliares especificadas enalgún punto en el tiempo, digamos, t 0 :y( t ), y( t ), , y ( t )(2.75)( N1)0 0 0122

Ejemplo 17. Como un ejemplo, considérese la ecuación diferencial de primer ordend y () ta y( t ) bx ( t )(2.76)dtdonde a y b son constantes arbitrarias y x(t) es una función continua de t. Multiplicando ambos lados de laecuación poro tambiénate , se tiene quela cual puede escribirse en la formae integrando desde t 0 hasta t,Despejando a y(t) en la ecuación anterior se obtiene atd y()t at ate ae y ( t ) be x( t )dt atd y () t at ate a y ( t ) be x( t )dtdatate y( t ) be x( t )dt tt0 tt0 at ae y ( t ) be x ( )d 0 ( ) (0) tatatae y t e y t be x ( ) dt0 y cuando t 0 = 0,t( )att0 at(0) ( )y t e y t be x d(2.77)t0aty ( t) e y (0) be x ( )dtat (2.78)En la Ec. (2.77), la parte correspondiente a la solución homogénea [x(t) = 0] esy t e y t0a ( tt0( ) )h (0)123

2.8.2 LinealidadEl sistema especificado por la Ec. (2.72) es lineal solamente si todas las condiciones auxiliares sonidénticamente iguales a cero (¿por qué?). Si no lo son, entonces la respuesta y(t) de un sistema puedeexpresarse comoy( t) y ( t) y ( t)(2.79)encescdonde y enc (t) se denomina la respuesta de entrada cero y es la respuesta a las condiciones auxiliares; y esc (t)se llama la respuesta de estado cero, y es la respuesta del sistema cuando las condiciones iniciales soniguales a cero. Esto se ilustra en la Fig. 2.22 (ver Sec. 1.10.7).y enc (t)x(t)Sistemalinealy esc (t)y(t)Figura 2.222.8.3 CausalidadPara que el sistema lineal descrito por la Ec. (2.72) sea causal debemos suponer que el sistema estáinicialmente en reposo. Es decir, si x(t) = 0 para t t 0 , entonces suponemos que y(t) = 0 para t t0. Enconsecuencia, la respuesta para t > t 0 puede determinarse a partir de la Ec. (2.72) con las condicionesinicialesN 1d y ( t ) d y( t )y( t) 0tt0dtdtn1tt0 tt0Claramente, si el sistema está en reposo inicial, y enc (t) = 0.2.8.4 Invariabilidad en el TiempoPara que un sistema lineal sea causal, el estado de reposo inicial también implica que el sistema no varíacon el tiempo. Esto se ilustrará mejor mediante un ejemplo.124

Ejemplo 18. Considere el sistema cuya entrada x(t) y salida y(t) están relacionadas por la ecuacióndiferencialdy () ta y ( t ) x( t )dtdonde a es una constante y y(0) = 0. Sea y 1 (t) la respuesta a una entrada x 1 (t) y x 1 (t) = 0 para t 0 . Entoncesdy1() ta y1( t ) x1( t)(2.80)dtyy (0) 01Ahora, sea y 2 (t) la respuesta a la entrada desplazada x2( t) x1( t ) . Puesto que x 1 (t) = 0 para t 0 ,tenemos queEntonces y 2 (t) debe satisfacer la relaciónyAhora bien, de la Ec. (2.80) se tiene quex ( t) 0, t 2dy2() ta y2( t ) x2( t)(2.81)dty ( ) 0(2.82)2dy1( t ) a y1 ( t ) x1 ( t ) x2( )dtSi hacemos y2( t) y1( t ) , entonces, puesto que y (0) 01 , se obtiene2 1 1y ( ) y ( t ) y (0) 0Por lo tanto, se satisfacen las Ecs. (2.81) y (2.82) y se concluye que el sistema no varía con el tiempo.2.8.5 Respuesta al ImpulsoDe la discusión sobre la integral de convolución se sabe que si conocemos la respuesta de un sistema a unimpulso unitario, podemos determinar la respuesta del sistema a una entrada arbitraria. La respuesta alimpulso de un sistema puede determinarse a partir de la ecuación diferencial que describe al sistema, Ec.(2.72). Ella, h(t), se definió como la respuesta y(t) cuando x(t) = (t) y y( t) 0, t 0 , es decir, larespuesta al impulso satisface la ecuación diferencial125

N kM kd h( t) d ( t)a bk(2.83)kdtk kk0 dtk0con el sistema inicialmente en reposo.Ahora estudiaremos un método para determinar la respuesta h(t) de un sistema LIT de tiempocontinuo. Para ilustrar una forma de determinar la respuesta al impulso, considere un sistemadefinido por la ecuación diferencialdonde L es el operador definido porL { y( t)} x( t)(2.84)nn1d d dL an an1 a11 ann0(2.85)dt dt dtLa respuesta s(t) al escalón unitario de la Ec. (2.83) se puede calcular a partir de la ecuación 1, t 0L { s( t)} 0, t 0con las condiciones iniciales apropiadas. Entonces, la respuesta al impulso, h(t), se puede obtener a partirdeds()th()t dtUn método más poderoso se basa en el conocimiento de las soluciones homogéneas de la Ec. (2.84). Paradesarrollar este método, supóngase que se tiene un sistema de segundo orden de la forma2dL { y ( t)} ( D a1D a0){ y ( t)} x( t),D (2.86)dtSi se supone que el sistema está inicialmente en reposo, las condiciones iniciales serány (0) 0y(0) 0(2.87)Entonces, si la función de respuesta al impulso es h(t), la salida y(t) estará dada por la integral deconvolución; es decir,ty ( t) x ( ) h( t )d(2.88)0126

Las Ecs. (2.86) y (2.88) representan dos métodos de cálculo de la respuesta de salida y(t). Empleandoambas ecuaciones como punto de partida, considérense las condiciones impuestas por las Ecs. (2.86) y(2.87) a la función de respuesta al impulso. Diferenciando la Ec. (2.88) con respecto a t, se tiene quey( t) h( t ) x( ) h( t ) x( )dtt0t h(0) x ( t) h( t ) x ( )d(2.89)Las condiciones en la Ec. (2.87) requieren que y'(0) = 0, lo que implica que h(0) = 0 en la Ec. (2.89).Diferenciando de nuevo, se obtiene0ty ( t) h(0) x( t) h( t ) x( )d(2.90)Las Ecs. (2.88), (2.89) y (2.90) son expresiones para y(t), y () t y y() t . Consideremos ahora el resultadode la suma y( t) a1y ( t) a0y( t). Éste esSe observa que sit t t 1 00 0 0h(0) x ( t) h ( t ) x( ) d a h( t ) x( ) d a h( t ) x ( )dt00 h(0) x( t) h ( t ) a h( t ) a h( t ) x( )d1 0(2.91)(a) h(0) 1(2.92)t(b) [ h( t ) a1h ( t ) a0h( t )] x ( ) d 0(2.93)0entonces la Ec. (2.88) será una solución de la Ec. (2.86). La Ec. (2.93) implica que el integrando del primermiembro en la integral del lado derecho de la Ec. (2.91) es igual a cero, puesto que si x ( t) 0 se obtiene lasolución trivial. Si xt ( ) 0 , entonces el término entre corchetes es cero; es decir,oya que el sistema no varía con el tiempo.h( t ) a h( t ) a h( t ) 01 0h( t) a h( t) a h( t) 0(2.94)1 0127

La Ec. (2.94) es la ecuación diferencial homogénea original. Así que la respuesta al impulso puedeobtenerse calculando las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial original sujeta a las condicionesinicialesh(0) 0(2.95)h(0) 1Ejemplo 19. Considere el sistema representado por la ecuación diferencialLa solución homogénea de (2.96) escon condiciones inicialesPor lo tanto,y( t) y( t) x( t)(2.96)h( t) ( c sen t c cos t ) u ( t)1 2h(0) 0, h(0) 1h(0) 0ch(0) 1cy, en consecuencia, la respuesta al impulso del sistema modelado por la Ec. (2.96) esPara verificar este resultado se sustituye la Ec. (2.97) en la Ec. (2.96) con21h( t) sen t u ( t)(2.97)h( t) cos t u( t) sen t ( t) cos t u( t)h( t) sen t u( t) cos t ( t) sen t u( t) ( t)para obtenerh( t) h( t) sen t u( t) ( t) sen t u( t) ( t)Ejemplo 20. Considere un sistema modelado por la ecuación diferencialy( t) 2 y( t) 2 y( t) x( t)La solución homogénea de esta ecuación esth( t) c e sen t c e cos t u ( t) t1 2128

Las constantes c 1 y c 2 se obtienen aplicando las condiciones iniciales:h(0) 0ch(0) 1cy la respuesta al impulso está dada por th( t) e sen t u ( t)21Este método se puede generalizar de manera directa para sistemas de orden n. Para el caso general, laecuación que describe el sistema essujeta a las condiciones iniciales dadas porLa respuesta se expresa comonL { y ( t)} D a D a D a [ y ( t)] x( t)(2.98)n 1n1 1 0y yy ( n 1)(0) (0) (0) 00ty ( t) h( t ) x ( )d(2.99)Igualando a cero las derivadas sucesivas de y(t) en la Ec. (2.99), se obtienePara la derivada n-ésima, obtenemos( n 2 )h(0) h(0) h (0) 0(2.100)t( n ) ( n1) ( n )y ( t) h (0) x( t) h ( t ) x ( ) d Usando el mismo argumento empleado para el caso de segundo orden ya analizado, se encuentraque la función de respuesta al impulso para el sistema de la Ec. (2.98) debe satisfacer la ecuaciónhomogénea0L { ht ( )} 0sujeta a las condiciones iniciales( n 2 )h(0) h(0) h (0) 0 y( nh 1) (0) 1.Ejemplo 21. Considere un sistema modelado por la ecuación diferencialLa solución de la ecuación homogénea esL2 2{ y( t)} ( D 1)( D 1)[ y( t)] x( t)h( t) c e c e c t e c t e u ( t )t t t t1 2 3 4129

Aplicando las condiciones iniciales se obtieneh(0) 0 c c1 2h(0) 0 c c c c1 2 3 4h(0) 0 c c 2c 2c1 2 3 4h(0) 1 c c 3c 3c1 2 3 41 1 1 1De estas ecuaciones se obtiene que c , c , c , c y la respuesta al impulso es1 2 2 2 3 2 4 21t t t th( t ) e e t e t e u ( t )2Para completar esta sección, se extenderá el método a sistemas excitados por una señal de la formaL { xt ( )} en lugar de x(t) y donde L D es un operador diferencial de la forma dada por la Ec. (2.84) y deDmenor orden que L. Sea un sistema descrito por una ecuación de la formaL{ y( t)} L { x( t)}(2.101)Si el sistema L { y( t)} x( t)tiene una respuesta al impulso h() t , la respuesta del sistema modelado porL { y( t)} x( t)está dada por0Dty ( t) h ( t ) x ( )d(2.102)La respuesta al impulso h () t se calcula empleando los métodos descritos anteriormente en esta sección.Sin embargo, el sistema está siendo excitado ahora no por x(t), sino por L { xt ( )} . Suponga que aplicamosel operador L D a ambos lados de la ecuaciónL { y( t)} x( t)DSe obtiene entonces queL { L{ y( t)}} L { x( t)}(2.103)DDEmpleando la propiedad conmutativa de los operadores diferenciales LIT, la Ec. (2.103) se puede escribircomoL{ L { y( t)}} L { x( t)}(2.104)DD130

Comparando las Ecs. (2.101) y (2.103) vemos que L { yD( t )} y ( t ). Se tiene entonces que la salida delsistema original es simplemente el operador L D operando sobre y () t Así que la respuesta al impulso h(t)para el sistema descrito por la Ec. (2.101) debe serh( t) L { h( t)}(2.105)DEjemplo 22. Considere el circuito de la Fig. 2.23 en el que se utiliza una función x(t) cualquiera comoexcitación.x(t)1 Fy(t)Figura 2.23La ecuación diferencial que relaciona la salida con la entrada es2D D y t D x tEl primer paso es determinar la respuesta al impulso h () t del sistema 2 2 { ( )} ( 1){ ( )}(2.106)2 2 { ( )} ( )2D D h t x tEste problema ya se resolvió en el Ejemplo 20 y su respuesta al impulso esth( t) e sen t u ( t)Entonces, la respuesta al impulso de la Ec. (2.106) está dada pory la salida y(t) será th( t) ( D 1){ h( t)} ( D 1){ e sen t u( t)} t t t t e sen t u( t) e cos t u( t) e sen t ( t) e sen t u( t) e tcos t u( t)t ( t)( ) cos( ) ( ) , 0y t e t x d t0131

Si, por ejemplo, x(t) = u(t), la salida serát 1 t t( ) 2 t (1 e sen t e cos t), t 0y ( t) e cos( t )d 0, t 002.9 Sistemas Descritos por Ecuaciones en DiferenciasAnteriormente vimos que un sistema de tiempo continuo puede caracterizarse en función de una ecuacióndiferencial que relaciona la salida y sus derivadas con la entrada y sus derivadas. La contraparte en tiempodiscreto de esta caracterización es la ecuación en diferencias, la cual, para sistemas lineales e invariables enel tiempo, toma la formaNMa y[ n k ] bkx [ n k ], n 0(2.107)kk0 k0donde a k y b k son constantes conocidas. El orden N se refiere al mayor retardo de y[n] en la Ec. (2.107). Enuna forma análoga al caso en tiempo continuo, la solución de la Ec. (2.107) y todas las propiedades de lossistemas, tales como linealidad, causalidad e invariabilidad en el tiempo, pueden desarrollarse siguiendo unmétodo de discusión similar al usado para las ecuaciones diferenciales.Definiendo el operadorkD y[ n] y[ n k ](2.108)podemos escribir la Ec. (2.107) en notación operacional comoNMkakD y n k0 k0k [ ] bkD x[ n](2.109)Una forma alterna de la ecuación en diferencias, Ec. (2.107), se da algunas veces comoNMa y[ n k} bkx [ n k ], n 0(2.110)kk0 k0En esta forma, si el sistema es causal, debemos tener M N.La solución a cualquiera de las Ecs. (2.105) o (2.110) puede determinarse, en analogía con una ecuacióndiferencial, como la suma de dos componentes: (a) la solución homogénea, que depende de las condicionesiniciales que se suponen conocidas, y (b) la solución particular, la cual depende de la entrada.132

Antes de explorar este enfoque para determinar la solución a la Ec. (2.107), consideremos un métodoalterno escribiendo de nuevo la Ec. (2.107) comoMN1 y[ n] bkx [ n k ] aky[ n k ] a0 k0 k1 (2.111)En esta ecuación, los valores x[n k] son conocidos. Si también se conocen los valores y[n k], entoncesy[n] puede determinarse. Haciendo n = 0 en la Ec. (2.111) daMN1 y (0) bkx [ k ] aky[ k] a0 k0 k1 (2.112)Las cantidades y[k], para k = 1, 2, , N, representan las condiciones iniciales para la ecuación endiferencias y por tanto supuestas conocidas. Entonces, como todos los términos en el lado derecho sonconocidos, podemos determinar y[0].Ahora hacemos n = 1 en la Ec. (2.111) para obtener1y(1) a0Mk0b x[1 k]kNk1aky[1 k]y usamos el valor de y[0] determinado anteriormente para resolver por valores sucesivos de n y obtener y[n]por iteración.Usando un argumento similar al anterior, se puede ver que las condiciones necesarias para resolver la Ec.(2.111) son las condiciones iniciales y[0], y[1], , y[N 1]. Comenzando con estas condiciones iniciales,la Ec. (2.111) puede resolverse iterativamente en igual forma. Ésta es la formulación recursiva y la Ec.(2.111) se conoce como una ecuación recursiva ya que ella especifica un procedimiento recursivo paradeterminar la salida en función de la entrada y salidas previas.Ejemplo 23. Considere la ecuación en diferenciascon condiciones iniciales y[1] = 1 y y[2] = 0.Entoncesy[ n] y[ n 1] y[ n 2] 3 1 14 8 2y[ n] y[ n 1] y[ n 2] 3 1 14 8 2nn133

de modo quey y y3 1[0] [ 1] [ 2] 1 4 8471 273 1y[1] y[0] y[ 1] 4 82 161 833 1y[2] y[1] y[0] 4 84 64. . . . . . . . . . .En el caso especial cuando N = 0, de la Ec. (2.111) tenemosM1 y[ n] bkx[ n k ]a 0 k0la cual es una ecuación no-recursiva ya que no se requieren los valores previos de la salida para calcular lasalida presente. Por ello, en este caso, no se necesitan condiciones auxiliares para determinar y[n].Aun cuando el procedimiento iterativo descrito anteriormente puede usarse para obtener y[n] para variosvalores de n, él, en general, el método no produce una expresión analítica para evaluar y[n] para cualquier narbitraria. Ahora consideraremos la solución analítica de la ecuación en diferencias determinando lassoluciones homogénea y particular de la Ec. (2.107)2.9.1 Solución Homogénea de la Ecuación en DiferenciasLa ecuación homogénea correspondiente a la Ec. (2.107) está dada porN aky[ n k] 0(2.113)k0En analogía con nuestra discusión del caso en tiempo continuo, suponemos que la solución a esta ecuaciónviene dada por una función exponencial de la formay [ n] ASustituyendo esta relación en la ecuación en diferencias, se obtieneNk0haAkn kn0134

Entonces, cualquier solución homogénea debe satisfacer la ecuación algebraicaN k ak 0(2.114)k0La Ec. (2.114) es la ecuación característica para la ecuación en diferencias y los valores de quesatisfacen esta ecuación son los valores característicos. Es evidente que hay N raíces características1, 2, , N, y que estas raíces pueden ser distintas o no. Si las raíces son distintas, las solucionescaracterísticas correspondientes son independientes y podemos obtener la solución homogénea y h [n] comouna combinación lineal de términos del tiponi, es decir,y [ n] A A A (2.115)n n nh 1 1 2 2N NSi cualesquiera raíces son repetidas, entonces generamos N soluciones independientes multiplicando lasolución característica correspondiente por la potencia apropiada de n. Por ejemplo, si 1 tiene unamultiplicidad de P 1 , mientras que las otras N – P 1 raíces son distintas, suponemos una solución homogéneade la formay [ n] A A n A n A A (2.116)n n P11n n nh 1 1 2 1 P1 1 P1 1 P11N NEjemplo 24. Considere la ecuacióncon las condiciones inicialesLa ecuación característica esola cual puede factorizarse comoy las raíces características sony[ n] y[ n 1] y[ n 2] 05 16 6y[1] = 2, y[2] = 01 05 1 1 26 62 5 1 06 61 1 2 301 1 , 2 3135

Puesto que estas raíces son distintas, la solución homogénea es de la forma 1 1yh[ n] A1 A2 2 3La sustitución de las condiciones iniciales da entonces las siguientes ecuaciones para las constantesincógnitas A 1 , y A 2 :cuya solución esy la solución homogénea de la ecuación es igual ayh2 A 3 A 2n1 24 A 9 A 01 24A1 3,A23 1 4 1 [ n] 3 2 3 3 nnnEjemplo 25. Considere la ecuacióncon las condiciones inicialesLa ecuación característica esy sus raíces sony[ n] y[ n 1] y[ n 2] y[ n 3] 05 1 14 2 16y[ 1] 6, y[ 2] 6, y[ 3] 21 05 1 1 2 1 34 2 161 1 11 , 2 , 32 2 4Aquí se tiene una raíz repetida. Por consiguiente, escribimos la solución homogénea comon n n 1 1 1 yh[ n] A1 A2 n A3 2 2 4 Sustituyendo las condiciones iniciales y resolviendo las ecuaciones resultantes, obtenemos9 5 1A1 , A2 , A3 2 4 8136

y la solución homogénea esn n n9 1 5 1 1 1 yh[ n] n 2 2 4 2 8 4 2.9.2 La Solución ParticularAhora consideraremos la determinación de la solución particular para la ecuación de diferenciasNMa y[ n k ] bkx [ n k ](2.117)kk0 k0Observamos que el lado derecho de esta ecuación es la suma ponderada de la entrada x[n] y sus versionesretardadas. Por lo tanto, podemos obtener y p [n], la solución particular de la Ec. (2.117), determinandoprimero la solución particular de la ecuaciónNaky [ n k ] x[ n](2.118)k0El uso del principio de superposición nos permite entonces escribirNyp[ n] bky [ n k](2.119)k0Para hallar ~ y [ n ] , suponemos que ella es una combinación lineal de x[n] y sus versiones retardadas x[n – 1],x[n 2], etc. Por ejemplo, si x[n] es una constante, también lo es x[n k] para cualquier k. Por consiguiente,yn [ ] también es una constante. Similarmente, si x[n] es una función exponencial de la formatambién una exponencial de la misma forma. Six[ n] sen n0 esn , yn [ ]entoncesx[ n k ] sen ( n k ) cos k sen n sen k cos n0 0 0 0 0y, como corresponde, tenemosy[ n] Asen n Bcos n0 0137

Se obtiene la misma forma para yn [ ] cuandox[ n] cos nLas constantes incógnitas en la solución supuesta se pueden determinar sustituyendo en la ecuación endiferencias e igualando los términos semejantes.0Ejemplo 26. Considere la ecuación en diferenciascon condiciones iniciales1n3y[ n] y[ n 1] y[ n 2] 2sen48 2y[1] = 2 y y[2] = 4De acuerdo con el procedimiento indicado, suponemos entonces que la solución particular es de la formaEntoncesn nyp[ n] Asen Bcos2 2( n1) ( n1)yp[ n 1] Asen Bcos2 2Usando identidades trigonométricas se puede verificar fácilmente quede modo que( n 1) n ( n 1) nsen cos y cos sen2 2 2 2n nyp[ n 1] Acos Bsen2 2En forma similar se puede demostrar que yp[ n 2] esSustituyendo ahora en la ecuación en diferencias dan nyp[ n 2] Asen Bcos2 2n n n sen cos 2sen4 8 4 82 2 23 3 A B 1 A B A 1 B Igualando los coeficientes de los términos semejantes, se obtienen los valores de las constantes A y B:112 96A , B 85 85138

y la solución particular esyp112 n96 n[ n] sen cos85 2 85 2Para determinar la solución homogénea, escribimos la ecuación característica para la ecuación endiferencias como1 03 1 1 24 8cuyas raíces características son1 11 , 24 2y la solución homogénea está dada porde manera que la solución completa está dada por y [ n] A Ahn 1n1n1 4 2 2n 1 1 112 n96 ny[ n] A1 A2 sen cos 4 2 85 2 85 2Ahora podemos sustituir las condiciones iniciales dadas para resolver por las constantes A 1 y A 2 y seobtiene8 13A1 , A217 5de modo quen8 1 13 1 112 n96 nyn [ ] sen cos17 4 5 2 85 2 85 2nEjemplo 27. Considere el sistema descrito por la ecuación en diferenciasny[ n] a y[ n 1] Kb u[ n]donde a, b y K son constantes y y[ 1] y 1.La solución que satisface la ecuación homogéneaes dada pory [ n] a y [ n 1] 0hh139

y [ n] AahnPara determinar la solución particular, suponemos quey sustituyendo ésta en la ecuación original, se obtienea partir de la cual se obtiene queyCombinando ahora y h [n] y y p [n], daPara determinar A, aplicamos la condición dada:de dondey la solución buscada esPara n < 0, tenemos x[n] = 0 y, en este caso,ny [ n] Bb , n 0pBb a Bb K bn n1nB Kb b aKyp[ n] bb an1Ky n Aa b nbann1[ ] , 0y[ 1] y AaK1 1 b aA ay1K b anb ay n y a K nban1 n11[ ] 1 0y[ n] AaAplicando la condición y[ 1] y 1, se obtiene que A y1ayy la solución completa para toda n esy n y a nn1[ ] 1 0nb ay n y a K u nban1 n11[ ] 1[ ]na140

2.9.3 Determinación de la Respuesta al ImpulsoConcluimos esta sección considerando la determinación de la respuesta al impulso de sistemas descritos porla ecuación en diferencias de la Ec. (2.107). Recuerde que la respuesta al impulso es la respuesta del sistemaa una entrada de muestra unitaria con cero condiciones iniciales; es decir, la respuesta al impulso no es sinola solución particular de la ecuación en diferencias cuando la entrada x[n] es una función impulso unitario[n]. A diferencia del caso continuo, la respuesta al impulso h[n] de un sistema de tiempo discreto descritopor la Ec. (2.107) puede determinarse a partir de la relaciónMN1 h[ n] bk[ n k ] akh[ n k ] a0 k0 k1 (2.120)Para el caso especial cuando N = 0, la respuesta al impulso h[n] está dada porM bn1 , 0nMh[ n] bk[ n k ] a0a (2.121)0 k0 0 otros valores de nObserve que la respuesta al impulso para este sistema tiene términos finitos; es decir, es diferente de cerosolamente para una duración finita.Ejemplo 28. Determine la respuesta al impulso para cada uno de los sistemas causales descritos por lasecuaciones en diferencias siguientes:(a) y[ n] x[ n] 2 x[ n 1] 3 x[ n 3]1(b) y[ n] y[ n 2] 2 x[ n] x[ n 2]Solución:2(a) Por la definición (2.120)1(b) h[ n] h[ n 2] 2 [ n] [ n 2]2h[ n] [ n] 2 [ n 1] 3 [ n 3]Puesto que el sistema es causal, h[2] = h[1} = 0. Entonces,h[0] h[ 2] 2 [0] [ 2] 2 [0] 212h[1] h[ 1] 2 [1] [ 1] 012141

y, por tanto,h[2] h[0] 2 [2] [0] (2) 1 01 12 2h[3] h[1] 2 [3] [1] 012h[ n] 2 [ n]Consideremos ahora de nuevo la Ec. (2.107), con x[ n] [ n]y y[n] = h[n]:con h[1], h[2], etc. iguales a cero.NMa h[ n k ] bk[ n k ], n 0(2.122)kk0 k0Claramente, para n > M, el lado derecho de la Ec. (2.122) es cero, de modo que tenemos una ecuaciónhomogénea. Las N condiciones iniciales requeridas para resolver esta ecuación son h[M], h[M 1] , ,h[ M N 1] . Puesto que N M para un sistema causal, sólo tenemos quedeterminar y[0], y[1], , y[M]. Haciendo que n tome sucesivamente los valores 0, 1, 2, , M en la Ec.(2.122) y usando el hecho de que y[k] es cero para k < 0, obtenemos el siguiente conjunto de M + 1ecuaciones:jaky[ n k ] bj, j 0,1,2, M(2.123)k0o, equivalentemente, en forma matricial a0 0 0 y[0] b0a1 a0 0y[1] b 1 a2 a1 a0 0 y[2] b2 a a a y[ M] b M M1 0 M (2.124)Las condiciones iniciales obtenidas al resolver estas ecuaciones se usan ahora para determinar la respuestaal impulso como la solución de la ecuación homogénea:N akh[ n k ] 0, n M(2.125)k0142

Ejemplo 29. Considérese la ecuación en diferencias del Ejemplo 26, pero con una excitación diferente, esdecir,13 1y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n] x[ n 1]4 28tal que N = 2 y M = 1. Se deduce que la respuesta al impulso se determina como la solución de la ecuación13y[ n] y[ n 1] y[ n 2] 0, n 248De la Ec. (2.123), encontramos la ecuación para determinar las condiciones iniciales como 1 0 y[0] 1 3 11 4y[1] 2y5y[0] 1, y[1]4Utilizando estas condiciones iniciales produce la respuesta al impulso: 1 1hn [ ] 4 3 2 4nn2.10 Simulación de Sistemas2.10.1 Componentes Básicas: Sistemas de Tiempo ContinuoCualquier sistema descrito por la ecuación diferencialo, tomando a 1, por la ecuaciónNN kM kd y ( t) d x ( t )a bk(2.126)kdtk kk0 dtk0d y t d y t d x t abdt dtdtN 1( ) N k M k( ) ( )N k k k kk0 k0con M N puede simularse usando sumadores, multiplicadores por escalares e integradores.143

El Integrador Un elemento básico en la teoría y práctica de la ingeniería de sistemas es el integrador.Matemáticamente, la relación de entrada-salida que describe el integrador, cuyo símbolo se muestra en laFig. 2.24, esty ( t) y ( t ) x ( ) d),t t0 0y la ecuación diferencial de entrada-salida esd y(t) x(t)dtt0x(t)y(t)Figura 2.24Sumadores y Multiplicadores por Escalares En la Fig. 2.25 se ilustran las operaciones de suma ymultiplicación por un escalar y los símbolos que las identifican.Ejemplo 30. Considere el sistema mostrado en la Fig. 2.26.x 1 (t)x 2 (t)x 2 (t)x 1 (t) + x 2 (t) x 1 (t) – x 1 (t) – x 2 (t) x(t) y(t) = Kx(t)KFigura 2.25Denote la salida del primer integrador en la figura por v(t); entonces, la entrada a este integrador esLa entrada al segundo integrador es dy () tdv () t a1v ( t) a0 y ( t ) b0x( t )(2.127)dtdt , por lo que se puede escribirdy () t v()tdt144

Diferenciando ambos lados de esta última ecuación y usando la Ec. (2.127), se obtiene2d y t dv t dy t( ) ( ) ( ) a 21 a0 y ( t ) b0x ( t )dt dt dto2d y t( ) dy ( t ) a2 1 a0 y ( t ) b0x( t )dt dtque es la ecuación diferencial que relaciona la entrada y la salida en la Fig. 2.26.a 1x(t)b 0y(t)a 0Figura 2.262.10.2 Diagramas de Simulación: Sistemas de Tiempo ContinuoUtilizando notación de operadores (D = (d/dt), la ecuación diferencial para un sistema LIT puede escribirseen la formaN1MN i i D ai D y ( t ) bi D x ( t ), aN 1 i0 i0 (2.128)En esta sección se derivarán dos simulaciones canónicas diferentes para la Ec. (2.128). Para derivar laprimera forma, se supone N = M y escribimos de nuevo la ecuación comoD y b x D a y b x D a y b x a y b xNN1( N) (n1 N1 ) (11) 00 0Multiplicando la ecuación porND y reacomodando los términos, se obtiene la relacióny b x D ( b x a y) D ( b x a y) D ( b x a y)(2.129)1 ( N1) NN N1 N1 1 1 0 0145

a partir de la cual se puede dibujar el diagrama de la Fig. 2.27, comenzando por la salida y(t) en la derecha ytrabajando hacia la izquierda. El operadorprimera forma canónica.kD representa k integraciones y el diagrama de la Fig. 2.27 es laSe puede obtener otro diagrama útil convirtiendo la ecuación diferencial de orden N en dos ecuaciones deorden menor. Para obtenerlas, seaEntonces,N 1NjD ajD v ( t ) x ( t ) (2.130) j0Niy ( t) biD v ( t )(2.131) i0x(t)b 0 b 1b N–1b Ny(t) –a 0 –a 1 –a N–1Figura 2.27 Primera forma canónica.Para verificar que estas dos últimas ecuaciones son equivalentes a la ecuación diferencial original,sustituimos (2.130) en (2.129) para obtenerN 1 N N 1 N ji N jD ajD y ( t) bi D D ajD v ( t) j0 i0 j0b D a b D v () tN N 1N( iN ) ( ij)ij ii0 j0 i0 146

N N 1N iN ij i bi D ajD v ( t ) biD x ( t ) i0 j0 i0y así queda demostrada la equivalencia. La segunda forma canónica se muestra en la Fig. 2.28. Las(variables v N 1) ( t), , v(t)que se usan en la construcción de y(t) y x(t) en las Ecs. (2.130) y (2.131),( )respectivamente, son obtenidas integrando sucesivamente a v N ( t). Observe que en esta representación, laentrada a cualquier integrador es exactamente la misma que la salida del integrador precedente.y(t)x(t)b N b N1 b N2 b 1 b 0a N1 a N2 a 1 a 0y ( t )Figura 2.28 Segunda forma canónica.Ejemplo 31. Obtenga un diagrama de simulación para el sistema LIT descrito por la siguiente ecuacióndiferencial:y ( t) 5 y( t) 4 y( t) 2 x( t) x( t)Primero escribimos de nuevo la ecuación comoy ahora integramos dos veces para obtener2D y t D x t y t x t y t( ) 2 ( ) 5 ( ) [ ( ) 4 ( )]y t D x t y t D x t y t1 2( ) [2 ( ) 5 ( )] [ ( ) 4 ( )]Los diagramas de simulación correspondientes se muestran en la Fig. 2.29a y b para la primera y segundaforma, respectivamente.147

x(t)1 2y(t)–4 –5. (a)y(t)2 1x(t)v''(t)v'(t)–5–4. (b)Figura 2.29 Diagramas para el Ejemplo 31.2.10.3 Componentes Básicas: Sistemas de Tiempo DiscretoPara simular mediante diagramas a los sistemas LIT de tiempo discreto descritos por ecuaciones endiferencias, se definirán tres elementos básicos: El sumador, el multiplicador por una constante y elelemento de retardo. Los tres se muestran en la Fig. 2.30. Estos elementos se pueden utilizar para obtenerdiagramas de simulación usando un desarrollo similar al del caso de sistemas en tiempo continuo. Igual queen este caso, podemos obtener varios diagramas de simulación diferentes para el mismo sistema. Esto seilustra considerando dos enfoques para obtener los diagramas.x 1 [n]x 2 [n]x[n] ax[n] x[n] x[n – 1]aDx 1 [n] + x 2 [n](a) (b) (c)Figura 2.30148

Ejemplo 32. Ahora se obtendrá un diagrama de simulación para el sistema descrito por la ecuación dediferenciasy[ n] y[ n 1] y[ n 2] 0.25 y[ n 3] x[ n] 2 x[ n 1] x[ n 2] (2.132)usando un método similar al usado para sistemas en tiempo continuo.Primero resolvemos por y[n] y agrupando términos semejantes, podemos escribiry n x n D x n y n D x n y n D y n2 3[ ] [ ] [2 [ ] [ ]] [ [ ] [ ]] [ 0.25 [ ]]donde D representa el operador de retardo unitario. Para obtener el diagrama de simulación paraeste sistema, suponemos que y[n] está disponible y primero formamos la señalv [ n] 0.25 y[ n]4x[n]1 2v +4 [n] v 1 [n] = y[n]D + v 3 [n] + + v 2 [n+ +D ] D– ++0.251 1Figura 2.31x[n]1 2v +4 [n] v 1 [n] = y[n]D + v 3 [n] + + v 2 [n+ +D ] D– ++0.251 1Figura 2.31Esta señal la pasamos por un retardo unitario y le añadimos x[ n] y[ n]para formar149

v [ n ] D { 0.25 y [ n ]} { x [ n ] y [ n ]}3Ahora retrasamos esta señal y le añadimos 2 x[ n] y[ n]para obtenerv n D y n D x n y n x n y n22[ ] { 0.25 [ ]} { [ ] [ ]} {2 [ ] [ ]}Si ahora pasamos v 2 [n] a través de un retardo unitario y le añadimos x[n], obtenemosv n D y n D x n y n D x n y n x n3 21[ ] { 0.25 [ ]} { [ ] [ ]} {2 [ ] [ ]} [ ]Claramente, v 1 [n] es igual a y[n], de modo que podemos completar el diagrama de simulación igualandov 1 [n] con y[n]. El diagrama de simulación se muestra en la Fig. 2.31.Considere la ecuación de diferencias de orden N-ésimoy[ n] a y[ n 1] a y[ n N ] b x[ n] b x[ n 1} b x[ n N ] (2.133)1 N0 1Siguiendo el enfoque dado en el último ejemplo, similar el método usado para sistemas de tiempo continuo,podemos construir el diagrama de simulación mostrado en la Fig. 2.32.Nx[n]b N–a 1b N–1b 1b 0y[n]D D D–a N–a N–1Figura 2.32Para derivar un diagrama de simulación alterno para el sistema en la Ec. (2.132), escribimos la ecuaciónen función de una nueva variable v[n] comoNv[ n] ajv[ n j] x[ n](2.134)j1150

Ny[ n] bmv[ n m](2.135)m0Observe que el lado izquierdo de la Ec. (2.134) es de la misma forma que el lado izquierdo de la Ec. (2.132)y el lado derecho de la Ec. (2.135) es de la forma del lado derecho de la Ec. (2.132).Para verificar que estas dos ecuaciones son equivalentes a la Ec. (2.132), sustituimos la Ec. (2.135) en ellado izquierdo de la Ec. (2.117) para obtenerN N N Ny[ n] a jy[ n j] bm v[ n m] a j bmv[ n m j]j1 m0 j1 m0NN bmv[ n m] a jv[ n m j]m0 j1Mm0b x[ n m]mdonde el último paso se obtiene a partir de la Ec. (2.134).Para generar el diagrama de simulación, primero determinamos el diagrama para la Ec. (2.134). Sitenemos disponible a v[n], podemos generar v[n 1], v[n 2], etc., pasando sucesivamente a v[n] a travésde unidades de retardo. Para generar a v[n], de la Ec. (2.135) observamos queNv[ n] x[ n] ajv[ n j](2.136)j1b 0b 1x[n]+_ v[n]_ _b 2v[n - 1]v[n - N - 1]DDDv[n - 2]a 1a N-1b N-1v[n - N ]b N+++y[n]a N151

Figura 2.33Para completar el diagrama de simulación, generamos y[n] como en la Ec. (2.135) mediante unacombinación adecuada de v[n], v[n 1], etc. El diagrama completo se muestra en la Fig. 2.33.Observe que ambos diagramas de simulación pueden obtenerse en una forma directa a partir de laecuación de diferencias correspondiente.Ejemplo 33. El diagrama de simulación alterno para el sistema del Ejemplo 32, Ec. (2-131), esv[ n] v[ n 1] v[ n 2] 0.25 v[ n 3] x[ n]yy[ n] v[ n] 2 v[ n 1] v[ n 2]se muestra en la Fig. 2.34 usando estas dos ecuaciones.2y[n]x[n]v[n]v[n – 1] v[n – 2]D D Dv[n – 3]–0.25Figura 2.342.11 Representación Mediante Variables de Estado: Tiempo ContinuoEn esta sección se analizará la caracterización de sistemas en el dominio del tiempo (continuo) usando ladescripción de la ecuación de estado y las variables de estado. El método permite estudiar el sistema comoun todo, tomando en cuenta tanto sus variables internas como las variables de entrada y salida (excitación–152

espuesta). El método ha sido utilizado durante muchos años en la descripción y estudio de sistemasdinámicos y también es de mucha utilidad en la resolución de redes eléctricas.La descripción mediante variables de estado utiliza un sistema de ecuaciones diferenciales (en formamatricial) de primer orden y es aplicable a sistemas lineales o no, variables o invariables en el tiempo. Estadescripción con matrices que se emplea en la representación mediante variables de estado es independientede la complejidad del sistema y, en consecuencia, puede facilitar grandemente el estudio de sistemascomplejos. Además, la formulación con variables de estado proporciona un método apropiado para elproceso de solución de las ecuaciones por computadora.2.11.1 DefinicionesDesde el punto de vista del análisis y síntesis de sistemas, es conveniente clasificar las variables quecaracterizan o están asociadas con el sistema en la forma siguiente: (1) variables de entrada o de excitación,u i , las cuales representan los estímulos generados por sistemas diferentes del sistema bajo estudio y queinfluyen en su conducta; (2) variables de salida o de respuesta, y j , las cuales describen aquellos aspectos dela conducta del sistema que son de interés; y (3) variables de estado o intermedias, x k , las cualescaracterizan la conducta dinámica del sistema bajo investigación.El estado de un sistema es un resumen completo de cómo se encuentra el sistema en un punto particularen el tiempo, es decir, el estado de un sistema se refiere a sus condiciones pasadas, presentes y futuras. Elconocimiento del estado en algún punto inicial, t 0 , más el conocimiento de las entradas al sistema despuésde t 0 , permiten la determinación del estado en un tiempo posterior t 1 . Así que el estado en t 0 constituye unahistoria completa del sistema antes de t 0 , en la medida que esa historia afecta la conducta futura. Elconocimiento del estado presente permite una separación bien definida entre el pasado y el futuro.En cualquier instante fijo, el estado del sistema puede describirse mediante los valores de un conjunto devariables x i , denominadas variables de estado. Las variables de estado pueden tomar cualquier valorescalar, real o complejo y se definen como un conjunto mínimo de variables x1, x2, , x cuyonconocimiento en cualquier tiempo t 0 y el conocimiento de la excitación que se aplique posteriormente, sonsuficientes para determinar el estado del sistema en cualquier tiempo t > t 0 .Cuando un grupo de ecuaciones diferenciales ordinarias que representan un sistema físico dinámico estáexpresado en la forma153

x f x , x , , x ; u , u , , u , i 1, 2, , n,i i 1 2 n 1 2 mse dice que el grupo de ecuaciones está en la forma normal. Las variables x i (i = 1, 2, , n) son lasvariables de estado y las variables u j (i = 1, 2, , m) son las funciones de entrada o de excitación. Si elsistema es lineal, las ecuaciones pueden escribirse en la formanx a x b u i 1, 2, , ni ij j ik kj1 k1mo en forma matricialx ( t) Ax( t) Bu( t)(2.137)en donde el conjunto de variables de estado se describe mediante un vector de estadox1() t x2() tx()t (2.138) xn() t Este vector pertenece a un espacio n-dimensional, el espacio de estados, y el conjunto de variables deentrada o de excitación se describe mediante un vector de excitación o de entradau1() t u2() tu()t um() t (2.139)A es una matriz de dimensión n n y se denomina la matriz de los coeficientes, B es una matriz dedimensión n m y se conoce como la matriz de distribución, x es simplemente la derivada de x conrespecto al tiempo t, es decir, x dxdt . Todos los vectores y matrices que aparecen en la Ec. (2.137)pueden depender del tiempo (sistemas variables en el tiempo). En este libro sólo se tratarán sistemasque no varían con el tiempo y, por tanto, las matrices A y B se tomarán siempre constantes y de laformaa11 a12 a1 n b11 b12 b1n a21 a22 a 2 nb21 b22 b 2 n, AB a a a b b b n1 n 2 nn n1 n 2 nn (2.140)154

2.11.2 Solución General de la Ecuación de EstadoConsidérese ahora la ecuación diferencial escalar de primer ordendx()tax( t) bu( t)(2.141)dtdonde a y b son constantes arbitrarias y u(t) es una función continua de t (no confundir con la funciónescalón definida en el capítulo anterior). Multiplicando ambos lados de la ecuación por e at , se tiene quedx()te at ae at x( t) be atu( t)dto tambiénat dx()t at ate a x( t) be u( t)dtla cual puede escribirse en la formad atate x( t) be u( t)dt e integrando desde t 0 hasta t,tatae x( t) be u( )dDespejando a x(t) en la ecuación anterior se obtienet0tt0tatat0ae x( t) e x( t0) be u( ) dt0 y cuando t 0 = 0,t( )att0 at(0) ( )x t e x t be u d(2.142)t0atx( t) e x(0) be dtat (2.143)0Ejemplo 34Resolver la ecuación diferencialsujeta a la condición inicial x(0) = 3.dx2x5dt 155

Solución. Esta ecuación puede escribirse en la formadx2x5dt de donde a = 2 y u(t) = 1. Aplicando la Ec. (2.141) se obtienett2t 2( t) 2t 2t2x( t) e 3 5e d 3e 5e e d0 02t 2t 2 t2t 3e 2.5e e 2.50.5e0Obsérvese en (2.141) que u(t) = 0 corresponde a la ecuación diferencial homogéneacuya solución esdx()t ax()t(2.144)dta tt0( ) (0)Considérese ahora el conjunto homogéneo de n ecuaciones de estadox t e x t(2.145)x Ax, x( t ) dado, A constante(2.146)0La matriz de transición de estados se define como una matriz que satisface la ecuación de estado linealhomogéneadx()t Ax () t(2.147)dtSea (t) una matriz de n n que representa la matriz de transición de estados; entonces, por definición, elladebe satisfacer la ecuacióndΦ()t AΦ () t(2.148)dtAún más, sea x(0) el estado inicial en t = 0; entonces (t) también se define mediante la ecuación matricialla cual es la solución de la ecuación de estado homogénea para t 0 .x( t) Φ( t) x (0)(2.149)Una forma alterna de resolver la ecuación de estado homogénea es suponer una solución, igual que en elmétodo clásico de solución de las ecuaciones diferenciales lineales. Comparando las ecuaciones de estado yla ecuación escalar correspondiente muestra que la solución de la Ec. (2.147) es análoga a la de laEc.(2.143); ella estx( t) eA x (0)(2.150)156

para t 0 , donde la función exponencialte Arepresenta la siguiente serie de potencias para la matriz At:At12 213 3e I At A t A t (2.151)2! 3!Aquí I es la matriz identidad de n n. Es fácil demostrar que la Ec. (2.150) es una solución de laecuación de estado homogénea ya que, de la Ec. (2.151), tenemos quedeAtdtAtA e(2.152)Por tanto, además de la Ec. (3.17), se obtuvo otra expresión para la matriz de transición de estados:1 1At2 2 3 3Φ()t e I At A t A t (2.153)2! 3!La Ec. (2.153) también se puede obtener directamente a partir de la Ec. (3.17). Esto se deja como unejercicio para el lector.Ahora se considerará el conjunto no homogéneo de las ecuaciones de estado. La matriz A todavía seconsidera una constante, pero B puede ser una función del tiempo, es decir, B = B(t). Se supone que lascomponentes de Bu(t) son seccionalmente continuas para garantizar una solución única de la ecuaciónx Ax B( t) u( t), x( t ) dado(2.154)Observe que aquí el tiempo inicial es t 0 y no t = 0. Se repite la técnica usada para resolver la ecuaciónescalar con sólo modificaciones menores. Sea K(t) una matriz de n n. Premultiplicando la Ec. (2.154) porK(t) y reagrupando, se obtienet ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t)K x K Ax K B uPuesto que d[ K( t) x( t)] dt Kx Kx , el lado izquierdo puede escribirse como una diferencial total(vectorial) con tal que K K( t) A.Una matriz así es ( t tK e A 0 ) . Aceptando que ésta es la matriz quedebe usarse, la ecuación diferencial puede escribirse en la formae integrando dad K( t) x( t) K( t) B( t) u ( t)dttK( t) x( t) K( t ) x( t ) K( ) B( ) u ( )d0 0La forma de K seleccionada siempre tiene una inversa, de modo quex( t) K ( t) K( t ) x( t ) K ( t) K( ) B( ) u ( )dt0t01 10 0t0157

otA ( tt0) A ( t)0x( t) e x( t ) e B( ) u ( )d(2.155)t0Ésta representa la solución para cualquiera ecuación del sistema en la forma de la Ec. (2.154). Obsérveseque está compuesta de un término que depende solamente del estado inicial y una integral de convoluciónque incluye la entrada pero no el estado inicial. Estos dos términos se conocen por diferentes nombres, talescomo la solución homogénea y la integral particular, la respuesta libre de excitación y la respuestaforzada, la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero, etc.A continuación se estudiarán varios métodos para determinar la solución de la ecuación de estado (2.146)cuando la matriz A es constante (sistemas invariables en el tiempo).2.11.3 Solución de la Ecuación de Estado Mediante IntegraciónSi la matriz A en la Ec. (2.146) es diagonal (valores diferentes de cero solamente en la diagonal principal),la solución para x se obtiene fácilmente por integración separada de cada una de las variables.Ejemplo 35Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x1 1 0 x12 5 , (0)x 0 2 x 3 x 1 2 2A partir del sistema se obtiene el par de ecuaciones escalares desacopladas (en este caso)x x 2, x (0) 51 1 1x 2 x 3, x (0) 12 2 2Usando ahora la Ec. (2.141) se obtienen las solucionestt t ( t ) t t 1( ) 5 2 5 2 x t e e d e e e d0 0 t t t t 5e 2e e 2 3e0158

2t2 t 2 ( t ) 2 t 2 t 2 x ( t ) e 3e d e 15e e01.5 0.5e2tt0Ahora se estudiarán algunas propiedades de la matriz de transición de estados. Puesto que la matriz detransición de estados satisface la ecuación de estado homogénea, ella representa la respuesta libre o naturalde la red. En otras palabras, ella rige la respuesta producida por las condiciones iniciales solamente. De lasEcs. (3.17) y (2.153), se observa que la matriz de transición de estados depende solamente de la matriz A,por lo que en ocasiones también se conoce como la matriz de transición de estados A. Como el nombre loindica, la matriz de transición de estados (t) define por completo la transición de estados desde el tiempoinicial t = 0 hasta cualquier tiempo t cuando las entradas son iguales a cero.La matriz de transición de estados (t) posee las siguientes propiedades:1. (0) I (matriz identidad)(2.156)Demostración La Ec. (2.154) se deduce directamente de la Ec. (2.153) al hacer t = 0.12. t t (2.157)Demostración Posmultiplicando ambos lados de la Ec. (2.153) pore At, se obtieneAt At AtΦ()t e e e I (2.158)Premultiplicando ahora ambos miembros de la Ec. (2.153) por Φ1 ( t ) , se obtieneeAt Φ 1 () t(2.159)Por lo que1t( t) Φ Φ ( t) eA(2.160)Un resultado interesante de esta propiedad de (t) es que la Ec. (2.150) se puede escribir comox(0) Φ( t) x ( t)(2.161)lo que significa que el proceso de transición entre estados se puede considerar como bilateral en eltiempo. Es decir, la transición en el tiempo se puede dar en cualquier dirección.Φ( t t ) Φ( t t ) Φ ( t t ) para cualquier t 0 , t 1 y t 2 .3.2 1 1 0 2 0159

Demostración:Φ( ) ( )A( t2t1) A( t1t0)t2 t1 Φ t1 t0 e e ( )A( t2t0)e Φ t2 t0(2.162)Esta propiedad de la matriz de transición de estados es muy importante, ya que ella implica que unproceso de transición de estados se puede dividir en un número de transiciones esenciales. La Fig. 2.1ilustra que la transición de t = t 0 a t = t = t 2 es igual a la transición de t 0 a t 1 y luego de t 1 a t 2 . En general,por supuesto, el proceso de transición de estados se puede dividir en cualquier número de etapas.4. t kΦ( ) Φ ( kt)para k entero y positivo.Demostración:k t t tA A AΦ( t) e e e ( k términos)ekAtΦ( kt)(2.163)(t 2 – t 0 )x(t 0 )x(t 1 )(t 1 – t 0 ) (t 2 – t 1 )t 0 t 1 t 2x(t 2 )tFigura 2.12.11.4 Método de los Valores y Vectores CaracterísticosAhora se estudiará un método muy poderoso para determinar la solución de un sistema de ecuacionesdiferenciales lineales de primer orden, homogéneo y con coeficientes constantes. El sistema a resolver esx a x a x + a x1 11 1 12 2 1nx a x a x + a x2 21 1 22 2 2 nx a x a x + a xn n1 1 n 2 2nn nnn(2.164)o, en forma vectorial,x ( t) Ax( t)(2.165)160

De la teoría de ecuaciones diferenciales se sabe que si x 1 , x 2 , , x n son n soluciones independientes de laecuación lineal homogénea x Ax en algún intervalo abierto I donde los elementos a ij de A soncontinuos, entonces una solución cualquiera de la ecuación en I puede escribirse en la formax( t) c x ( t) c x ( t) + c x ( t)(2.166)1 1 2 2para toda t en I; las c i , i = 1, 2, , n, son constantes. Esto quiere decir que basta obtener n vectoressolución linealmente independientes x 1 , x 2 , , x n y entonces la Ec. (2.166) será una solución general delsistema dado por la Ec. (2.164).El procedimiento para obtener las n soluciones vectoriales linealmente independientes es análogo almétodo de las raíces características usado para resolver una ecuación lineal homogénea con coeficientesconstantes. Es decir, se anticipan vectores solución de la formanntx1 ve1 v1 tx 2 ve v22 tx()t e ve xt n vevn nt(2.167)donde , v 1 , v 2 , , v n son constantes. Al sustituirttx v e , x ve , i 1, 2, , ni i i ien la Ec. (2.164), el factor e t se cancelará y quedarán n ecuaciones lineales en las que (para valoresapropiados de ) se espera obtener los coeficientes v 1 , v 2 , , v n en (2.167), de modo que x )una solución del sistema (2.162).Para explorar esta posibilidad más eficazmente, se usa la forma vectorial compactat( t veseax Ax(2.168)donde A = [a ij ] y se sustituye la solución tentativa x = ve t con su derivada x ve t . El resultado estveA vetEl factor no nulote se cancela y se obtieneA v v (2.169)Esto significa que x = ve t será una solución no trivial de la Ec. (2.168) siempre que v sea un valor no nuloy una constante para que la Ec. (2.169) se cumpla; es decir, que el producto matricial Av sea un múltiploescalar del vector v.161

Ahora se procederá a determinar y v. Primero se escribe la Ec. (2.169) en la forma( I A) v 0(2.170)donde I es la matriz identidad. Dado , éste es un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas en lasincógnitas v 1 , v 2 , , v n . Del álgebra lineal se sabe que la condición necesaria y suficiente para que elsistema tenga una solución no trivial es que el determinante de los coeficientes de la matriz se haga cero; esdecir, quedet I A I A 0(2.171)Los números (sean iguales a cero o no) obtenidos como soluciones de (2.171) se denominan valorescaracterísticos o propios de la matriz A.y los vectores asociados con los valores característicos tales queAv = v, v diferente de cero, se conocen como a11vectores a12característicos o apropios. 1nLa ecuacióna21 a22 a2nIA (2.172) se conoce como la ecuación característica de a la matriz a A. an1 n 2nnLa Ec. (2.172) tiene n raíces (es un polinomio en de grado n) por lo que una matriz de n n posee nvalores característicos (contando la multiplicidad), los cuales pueden ser distintos o repetidos, reales ocomplejos. Los casos se estudiarán por separado.Valores Característicos Reales y DistintosSi los valores característicos son reales y distintos, se sustituye cada uno de ellos sucesivamente en la Ec.(2.171) y se determinan los vectores característicos asociados v 1 , v 2 , , v n , los cuales darán las solucionesnx ( t) v e , x ( t) v e , , x ( t) v e t(2.173) 1 t 2 t1 1 2 2n nSe puede demostrar que estos vectores solución siempre son linealmente independientes. Elprocedimiento para otenerlos se ilustrará mediante ejemplos.Ejemplo 36Encuéntrese una solución general del sistemaSolución. La forma matricial del sistema esx4x 2x1 1 2x3x x2 1 2162

4 2x 3 1 x La ecuación característica de la matriz de los coeficientes es 4 2 I A 3 +12( 4)( 1) 6 3 10 ( 2)( 5) 0y así se obtienen los valores característicos reales y distintos 1 = 2 y 2 = 5.Para la matriz de los coeficientes A del sistema, la ecuación para los vectores característicos toma laforma 4 2 a 0 3 1 b 0(2.174) donde el vector característico asociado es v = [a b] T (la T indica la matriz transpuesta).(a) 1 =2:La sustitución = 2 en (2.172) produce el sistema6 2 a 0 3 1 b 0 o las dos ecuaciones escalares6a2b03ab0Obviamente, estas dos ecuaciones escalares son equivalentes y, por lo tanto, tienen una infinidad desoluciones no nulas; por ejemplo a se puede escoger arbitrariamente (diferente de cero) y entonces despejarb. Normalmente buscamos una solución “sencilla” con valores enteros pequeños (si ello es posible). Eneste caso tomaremos a = 1, lo cual produce b = 3, y entoncesv1 1 3 Observación: Si en lugar de a = 1 se hubiese tomado a = c, por ejemplo, se obtendría el vectorcaracterísticoc 1v1 c 3c 3 163

Puesto que éste es un múltiplo constante del resultado previo, cualquier selección que se haga será unmúltiplo constante de la misma solución.(b) = 2:La sustitución de este valor en (2.174) produce el par de ecuacionesa2b03a6b0Las cuales son equivalentes. Se escoge b = 1 y en consecuencia a = 2, de modo quev22 1 Estos dos valores característicos con sus vectores característicos asociados producen las dos solucionesx 1 2( t) e y ( t) e3 x 1 2t5t1 2Es fácil demostrar que estas soluciones son linealmente independientes. En consecuencia, la solucióngeneral del sistema dado es 1 2x( t) c x ( t) c x ( t) c e c e3 1 2t5t1 1 2 2 1 2Ejemplo 37Determínese una solución general del sistema 0 6x 1 5 x El polinomio característico es61 5 ( 2)( 3) 02I A 5 6y así se obtienen los valores característicos 1 = 2 y 2 = 3, y la ecuación para los vectores característicostoma la forma6 a 0 1 5 b 0(2.175) siendo v = [a b] T el vector característico asociado.(a) 1 = 2:164

La sustitución de = 2 en (2.173) produce el sistema2 6 a 01 3 b 0 o las dos ecuaciones escalares2a 6b0a3b0Igual que en el Ejemplo 36, este sistema tiene infinidad de soluciones. Se escoge b = 1, lo cual producea 3 y entonces(b) = 3:v13 1 La sustitución de este valor en la Ec. (2.173) produce el par de ecuaciones3a 6b0a2b0las cuales son equivalentes. Se escoge b = 1 y entonces a = 2, de manera quey los dos vectores solución asociados sonEn consecuencia, la solución general del sistema esv22 1 x 3 2( t) e y ( t) e1 x 1 2t3t1 23 2x () t c e c e1 1 2t3t1 2Valores Propios Complejos y DistintosSi los valores propios son complejos pero distintos, el método ya descrito producirá las n solucionesindependientes. La única complicación consiste en que los vectores propios asociados con valores propioscomplejos en general tomarán también valores complejos.Puesto que se está suponiendo que los elementos de la matriz A son reales, los coeficientes de la ecuacióncaracterística (2.173) serán reales. Por lo tanto, los valores propios complejos deberán aparecer en pares de165

complejos conjugados. Supóngase que = p + jq y * = p jq constituyen un par de esos valores propios.Si v es un vector propio asociado con , es decir,( I A) v 0entonces, al tomar el conjugado de esta ecuación se obtiene( * I A) v * 0lo que significa que v*, el conjugado de v, es un vector propio asociado con *. La solución complejaasociada con y v es entonces v = a + jb y, por tanto,es decir,x( t) v e ( a jb)et ( pjq ) tpt ( a jb) e (cos qt j sen qt )( ) ptptx t e ( acos qt bsen qt ) je ( bcos qt a sen qt )Puesto que las partes real e imaginaria de una solución con valores complejos son, a su vez, soluciones delsistema, entonces se obtienen dos soluciones con valores realesptx ( t ) Re{ x( t)} e ( acos qt bsen qt )1ptx ( t ) Im{ x( t)} e ( bcos qt asen qt )2(2.176)asociadas con los valores propios complejos p jq.No hay necesidad de memorizar las fórmulas (2.176) y esto se verá fácilmente en los ejemplos,Ejemplo 38Encuéntrese una solución general del sistemax4x 3x1 1 2x3x 4x2 1 2La matriz de los coeficientes 4 3A 3 4 tiene la ecuación característica4 32I A 3 48 25 0(2.177)y por consiguiente los valores propios conjugados son = 4 j3 y * = 4 + j3. Sustituyendo = 4 j3 enla ecuación para el vector propio (I A)v = 0, se obtiene166

j3 3 a 0[(4 j3) I A]v 3 j3 b 0 para un vector propio asociado v = [a b] T . La división de cada fila entre 3 produce las dos ecuacionesescalaresja b0a jb 0cada una de las cuales se satisface con a = 1 y b = j. Así v = [1 j] T es un vector complejo asociado con elvalor propio complejo = 4 j3.La solución correspondiente para los valores complejos x(t) v e t de x Ax es entoncesx11j j cos3t j sen 3tj cos3t sen 3t( 43 j ) t4 t( t ) e e (cos3t j sen 3 t )4 t e Las partes real e imaginaria de x(t) son las soluciones con valores reales:x 4tcos3t 4tsen3t1( t) e y2( t)esen3 t x cos3t y entonces una solución general con valores reales viene dada poro, en forma escalar,1cos342sen3t c t c t1 12 2 c1sen3t c2cos3tx( t) c x ( t) c x ( t)ex ( t) e ( c cos3t c sen3 t)4 t1 1 2x ( t) e ( c sen3t c cos3 t)4 t2 1 2Si se hubiese utilizado el otro valor característico = 4 + j3, el vector propio asociado obtenido seríav* = [1 j] TEjemplo 39Determine la solución general del sistemaLa ecuación característica es4 2 x 1 2 x 167

4 22I A 1 26 10=( +3 j)( +3+ j) 0Por lo que los valores característicos son = 3 + j y * = 3 j. Para = 3 + j se tiene que1 j 2 a 0 1 1j b 0 lo cual produce las ecuaciones escalares(1 j) a 2b 0a ( 1 j) b 0Las cuales se satisfacen con b = 1 y a = 1j. Así que v = [1j1 1] T es un vector característico complejoasociado con = 3+j. El vector característico asociado con = 3j es v* = [1+j1 1] T .La solución correspondiente de vectores complejos x(t) es entoncesx1j 1j1 1 3t(1 j)(cost sen t) 3tcos t sen t j(sen t cos t)e ecost jsen t cos t jsent ( 3 j ) t3t( t) e e (cost sen t)Las partes real e imaginaria de x(t) son las soluciones con valores reales:x 3tcos t sen t 3tsen t cost1( t) e y2( t)ecos t x sen t y la solución general con valores reales está dada porc3 1(cos t sen t) c2(sen t cos t) t 1 12 2 c1cost c2sentx( t) c x ( t) c x ( t)e2.11.5 Solución Mediante Diagonalización de MatricesSe dice que una matriz A = [a ij ] de n n es una matriz diagonal si a ij = 0 para i j. Por lo tanto, en unamatriz diagonal, todos los elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero.Si A y B son matrices de n n, decimos que B es semejante a A si existe una matriz S no singular tal queB = S 1 AS. Del Álgebra Lineal se sabe que si A es una matriz de n n que es semejante a una matriz1diagonal Λ S AS y si las columnas de S son los vectores característicos de A, entonces los elementos de168

la diagonal principal de son los valores característicos de A (A no tiene valores característicosrepetidos), es decir,Λ10 0 0 0 0 0 n12 diagonal( 1, , n) S AS (2.178)Ejemplo 40Diagonalizar la matriz 0 6A 1 5 Del Ejemplo 37 se tieneS 3 2 11 2 [ v v 1 2] , 1 1 S 1 3 por lo que1 1 2 0 6 3 2 2 0 Λ S AS 1 3 1 5 1 1 0 3 Considérese ahora la ecuación de estadox Ax Bu(2.179)y defínase la transformación x = Sz; entonces, sustituyendo en la Ec. (2.179), se obtieney despejando a z ,x Sz ASz Bu (2.180)1 1z S ASz S BuSi S es la matriz cuyas columnas son los vectores característicos de A, entonces el productouna matriz diagonal y (2.180) se puede escribir comoS1AS Λes (2.181)1z Λz S Bu169

Es evidente que la transformación lineal aplicada a x convierte al sistema original (2.179) con variables deestado x 1 , x 2 , , x n en un nuevo sistema en el cual las nuevas variables de estado z 1 , z 2 , z n estáncompletamente desacopladas. Estas nuevas variables de estado se consiguen fácilmente mediante el métodoaplicado en el Ejemplo 35 y luego, a estas variables, se les aplica la transformaciónvariables originales.x Sz para obtener lasEjemplo 41. Resolver el sistemax 0 6 0 1 , (0) 1 5 x 1 x 2 Usando el resultado obtenido en el Ejemplo 40,1z Λz S Bu2 0 1 2 0 0 3 z 1 3 1 2 0 2 0 3 z3 1 1 2 1 5z(0) S x 1 3 2 7 Por lo quey usando la Ec. (2.142),z 2 z 2, z (0) 51 1 1z 3z 7, z (0) 72 2 2de dondett2 t 2 ( t ) 2 t 2 t 2 z1( t ) e ( 5) ( 2) e d 5e 2e e d 2t4e10 0tt3 t 3 ( t ) 3 t 3 t 3 z2( t ) e (7) 3e d 7e 3e e d 3 t6e10 0170

2t3 2 4e1x()t Sz 3t1 1 6e11+12e12e= 4e6e2t3t2t3tEjemplo 43Resolver el sistemax 4 2 0 3 , (0) 1 2 x 2 x 1 Usando los resultados del Ejemplo 39, se tiene que3 j 0 1 1 1j 0z 0 3 j z2 j1 1 j 2 3 j 0 1 j= 0 3 j z 1j 1 j11 1 1j 32z(0) S x (0) 2j1 1j 1 1 j2por lo que1z1 ( 3 j) z1 (1 j), z1(0) j21z2 ( 3 j) z2 (1 j), z2(0) j2Entoncest1 ( 3 j ) t ( 3 j ) t ( 3 j ) z1j e (1 j)e e d 2 1 1j 1j j2e e 3 j 3 j4 2 j 112j e( 3 j)t 10 10( 3 j ) t( 3 j ) t0171

y por último,1 1j 1jz2 j2e e 3 j 3 j4 2 j 112j e( 3 j)t 10 10 ( 3 j ) t ( 3 j ) t4 2 j 112j e( 3 j)t1 j 1j10 10x 1 1 4 2 j 112j e( 3 j)t 10 10 3t3t0.4 e (2.6cost 2.2sen t) 0.4 3.406e sen( t 130.24 )3t3t0.8 e (0.2cost 2.4sen t) 0.8 2.408e sen( t 175.24 )2.11.6 Solución por Reducción a la Forma Canónica de JordanEn la Sección 2.7 se ilustró que una matriz cuadrada A con valores característicos distintos puede sersiempre reducida a una matriz diagonal mediante una transformación lineal. En el caso en que la ecuacióncaracterística de la matriz A (n n) no posea n raíces distintas, entonces no siempre se puede obtener unamatriz diagonal, pero se puede reducir a la forma canónica de Jordan (ésta se define más adelante).Un valor propio es de multiplicidad k si es una raíz de multiplicidad k de la ecuación |I A| = 0. Paracada valor característico la ecuación para el vector característico asociado( A I) v 0(2.182)posee al menos una solución no nula, de modo que hay por lo menos un vector característico asociado con. Pero un valor característico de multiplicidad k > 1 puede tener menos de k vectores característicosasociados linealmente independientes. En este caso no se puede determinar un “conjunto completo” de los nvectores característicos linealmente independientes de A que se necesitan para formar la solución de laecuación x Ax.Considérese el ejemplo siguiente:Ejemplo 44La matriztiene la ecuación característica 0 1A 4 4 172

g12( ) I A ( 2) 04 4De aquí resulta que A tiene el valor propio 1 = 2 con multiplicidad 2. La ecuación para el vectorcaracterístico es2 1 a 0( I A)v 4 2 b 0 o en forma escalar,2a b04a2b0Por tanto, b = 2a si v = [a b] T es un vector característico de A y cualquier vector característico asociadocon 1 = 2 de multiplicidad 2 tiene solamente un vector característico independiente y es, porconsiguiente, incompleto.Si un valor característico de multiplicidad k > 1 no es completo se denomina defectuoso. Cuando tienesolamente p < k vectores característicos linealmente independientes, entonces el númerod = k pde los vectores característicos faltantes se llama el defecto del valor característico defectuoso. En elEjemplo 44, el valor característico defectuoso = 2 tiene una multiplicidad k = 2 y un defecto d = 1porque solamente tiene un vector característico asociado (p = 1).Para este caso de valores característicos defectuosos, el método descrito en la Sección 2.7 producirámenos de las n soluciones linealmente independientes necesarias del sistemax Ax y por ello se necesitaun método para encontrar las soluciones faltantes correspondientes a un valor propio defectuoso demultiplicidad k > 1. Considérese el caso k = 2 y supóngase que hay solamente un vector v 1 asociado con yla soluciónx () t v e t(2.183)1 1Por analogía con el caso de una raíz característica repetida para una sola ecuación diferencial, se deberíaesperar una segunda solución de la formax t w t e (2.184)2 () tAl sustituir (2.184) en la ecuaciónx Ax , se obtiene la relaciónwe wte Aw te t t t173

de la cual se deduce que w = 0 y entonces no existe una solución no trivial de la forma (2.183).Ahora se intentará una solución de la formax t vt e w e(2.185)() t t2Cuando se sustituye la Ec. (2.185) en la relación x Ax , se obtiene la ecuaciónt ve t vte t we t Avte t Aw ee igualando los coeficientes de las potencias de t iguales, se obtienen las dos ecuaciones[ I A]v 0 (2.186)[ I A]w v (2.187)Los vectores v y w deben satisfacer las Ecs. (2.186) y (2.187) para que la Ec. (2.185) sea una solución dex Ax . Obsérvese que la Ec. (2.185) significa solamente que v 1 = v es un vector característico asociadocon , y entonces la Ec. (2.186) implica que2[ ] [ ]I A w I A v 0En consecuencia, para el caso de un valor característico defectuoso de multiplicidad 2, el método consisteen lo siguiente:1. Encontrar una solución no nula de la ecuacióntal queno se anule y2. Formar las dos soluciones independientes[ ]2I A v 0 (2.188)[ I A]v v (2.189)1 12 1x () t v e t(2.190)x ( t) ( v t v ) e t(2.191)2 1 2Ejemplo 45Encuéntrese una solución general del sistema 0 1x 4 4 x(2.192) 174

En el Ejemplo 44 se encontró que la matriz de los coeficientes A en la Ec. (2.192) tiene el valor propiodefectuoso = 2 de multiplicidad 2. Entonces se calcula2 2 1 2 1 0 0[ I A ] 4 2 4 2 0 0 y la Ec. (2.188) en este caso se convierte en0 020 0v 0 y en consecuencia es satisfecha por cualquier selección de v 2 . Usando ahora la Ec. (2.189), se obtiene2 1 a 1[ I A]v2 1 4 2 b v 2 de donde se obtienen las ecuaciones escalares2a b 14a2b2y tomando b = 1 da a = 0; en consecuencia, v 2 = [0 1] T . Las dos soluciones de (2.192) sony la solución general resultante es 1x1()t v1e e2 2t2t t x2 ( t) ( v1t v2) e e12t x( t ) c x ( t) c x ( t)1 1 2 22t2t 1 t c 2 e c e1 2t c1 c2t 2t e2c1 c2 2c2t2t2t1 2El vector v 2 en la Ec. (2.189) es un ejemplo de un vector propio generalizado. Si es un valor característicode la matriz A, entonces un vector característico generalizado de rango r asociado con es un vector v talque1[ ] rr 0 pero [ ] 0I A v I A v (2.193)175

Si r = 1, entonces la Ec. (2.193) significa sencillamente que v es un vector característico asociado con .Así, un vector característico generalizado de rango 1 es un vector característico ordinario. El vector v 2 en laEc. (2.189) es un vector característico generalizado de rango 2.El método para multiplicidad 2 descrito anteriormente consistió en determinar un par de vectorescaracterísticos generalizados {v 1 , v 2 } tales que [ I A]v 2 v1. Cuando la multiplicidad es superior, seobtienen “cadenas” más largas de vectores característicos generalizados. Una cadena de longitud k devectores característicos generalizados basados en el vector característico v 1 es un conjunto {v 1 , v 2 , , v k }de k vectores característicos generalizados tales que[ I A]v vk1[ I A]v vk1 k2[ I A]v vk2 1(2.194)ya que v 1 es un vector característico ordinario, [I A]v 1 = 0. Por consiguiente, de la Ec. (2.193) se deduceque[ I A] k vk 0 (2.195)Las Ecs. (2.194) se pueden escribir en forma compacta como[ I A]v 0[ I A] v v , 1, 2, , 11i1 1i k(2.196)donde k es la multiplicidad (rango) del valor característico .Al comienzo de esta sección se dijo que cuando la matriz cuadrada A (nn) poseía valores característicosrepetidos, entonces no podía ser diagonalizada. En los cursos de Álgebra Lineal se demuestra que bajo latransformación S 1 AS siempre hay una selección de la matriz S tal que la matriz S 1 AS tenga la formacanónica de Jordan, en la cual aparecen bloques de Jordan J1, J2, , Jk (1 k n)en la diagonalprincipal y todos los otros elementos son iguales a cero:JJ10 0 0 0 0 0J . . . . . . . . . .0 0 0 Jn12S AS Cada bloque J j es una matriz de orden n j (1 n j n) de la forma(2.197)176

Jjj1 0 0 0 j1 0 0 0 j1 0 0 0 j (2.198)donde una de las raíces j de la ecuación característica |I A| = 0 aparece en la diagonal principal, elnúmero 1 aparece en la diagonal justo encima de la diagonal principal y todos los otros elementos de lamatriz son iguales a cero.Las columnas de la matriz S en la Ec. (2.197) se forman con los vectores característicos dados por las Ecs.(2.196).Ejemplo 46Resolver el sistemax 0 1 0 1 , (0) 4 4 x 3 x 2 En este caso, la matriz A de los coeficientes es la misma de los Ejemplos 14 y 15. Allí se determinó que laecuación característica |I A| = 0 produce el valor propio = 2 de multiplicidad 2 y que los vectorescaracterísticos asociados son v 1 = [1 2] T y v 2 = [0 1] T . Por lo tanto,S 1 0 11 0 [ v v 1 2] , 2 1 S 2 1 Bajo la transformación x = Sz, la ecuación original se convierte enz 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 2 1 4 4 2 1 z 2 1 3 0 2 z 3 1 1 0 1 1z(0) S x (0) 2 1 2 4 o, en forma escalar,Resolviendo primero por z 2 :z 2 z z , z (0) 11 1 2 1z 2 z 3, z (0) 42 2 2177

3z2 4e 3e e d 4e e e22t 2t 2 2 t 2 t 23 5 e2 22tt0t0Sustituyendo ahora a z 2 en la ecuación para z 1 , se obtiene3 52tz1 2 z1 e , z1(0) 12 2y resolviendo,Por lo tanto,2 t 2 t 2 3 5 21 2 23 1 5 e t e4 4 2tz e e e e d02t2t3 1 2t 5 2t 3 1 2t 5 2tx1 1 0 e te 4 4 2 e t e 4 4 2x 3 5 2 tx Sz 2 222 1 t t e2 2 2e 5teEjemplo 47Resolver el sistema2 0 1 1 1x0 0 1x 0, x(0) 1 1 0 0 0 2La ecuación característica es 2 0 1 g ( ) I A 0 1 2 ( 1)1 0 De aquí resulta 1 = 0 (multiplicidad 1) y 2 = 1 (multiplicidad 2).Para 1 = 0:3 2 2178

2 0 1 a 0[ I A] v10 0 1 b0 1 0 1 c 0y se obtienen las tres ecuaciones escalares2ac0c0a0Así que a = c = 0 y b puede tener cualquier valor. Tomando b = 1 se tiene que v 1 = [0 1 0] T .Para = 1: 1 0 1 a 0[ I A] v20 1 1 b0 1 0 1 c 0lo que produce las tres ecuaciones escalaresac0b c0a c0Si tomamos c = 1, entonces a = 1, b = 1 y v 2 = [1 1 1] T :Para determinar el otro vector característico asociado con 2 , se usa la Ec. (2.196):[I A]v 3 = v 2es decir, 1 0 1 a 10 1 1 b 1 1 0 1 c 0o en forma escalar,ac1 b c1a c 1Tomando c = 1, se obtiene a = 0, b = 2 y entonces v 3 = [0 2 1] T .Ahora se forma la matriz S =[v 1 v 2 v 3 ]: 0 1 0S 1 1 20 1 1de donde179

S1 1 1 21 0 0 1 0 1Bajo la transformación x = Sz, el sistema original se transforma en 0 0 0 1z0 1 1z 1 0 0 1 1con 1 1 2 1 6 z (0) 1 0 0 11 1 0 1 2 3 o en forma escalar,Resolviendo,z1, z (0) 61 1z z z 1, z (0)= 12 2 3 2zz +1, z (0)=33 3 3Entonces,oy por consiguiente,2z 6 d 6t13t0z 3e e e d 12et t t t t2 2 20z z 1 2e 1, z (0) 1t0z e e e 2e d e 2t ex t t t t0 1 06 t 1 t tx 21 1 1e 2tex S z x 0 1 1 12e t 3 180

tt e 2t et 4 t 3e 2t e tt 1e2t etProblemas2.1 Tales conceptos como memoria, invariabilidad en el tiempo, linealidad y causalidad también sonválidos para sistemas de tiempo discreto. En lo que sigue, x[n] se refiere a la entrada a un sistema y y[n]a la salida. Determine si los sistemas son (i) lineales, (ii) sin memoria, (iii) invariables en el tiempo y(iv) causales. Justifique su respuesta en cada caso(a) y[n] = log{[x [ n]}(b) y[n] = x [ n]x[n 2](c) y[ n] n x[ n] 3(d) y[ n] x[ n] 2 x[ n 1](e)y[ n] x[ k ]k0(f)N 11y[ n] x[ n k]Nk0(g) y[ n] mediana de x[ n 1], x[ n], x[ n 1] (h) x[ n], n 0y[ n] x[ n], n 02.2 Evalúe las siguientes convoluciones:(a) rect( t a) ( t a)181

(b) rect( t a) rect( t a)(c) rect( t a) rect( t 2 a)(d) rect ( t a) u( t) d ( t)dt(e) rect( t a) ( t) ( t a)(f) rect ( t a) 2rect ( t 3 a a ( t a)(g) sgn( t) rect( t a)2.3 Para las señales x[n] y h[n] dadas, determine la convolución y[n] = h[n]x[n]:(a) x[n] = 1, 5 n 51 , h[n]= nun [ ]2n(b) x[ n] 3 , n 0, h[ n] 1, 0 n 9(c) x[ n] u[ n](d)(e)1 h[ n] u[ n]3n1 x[ n] [ n] 2 [ n 1] u[ n]1 h[ n] u[ n]21 0 n5x[ n] 1 6 n 10 n 1 n1n2 3h[ n] u[ n] u[ n](f) x[ n] nu[ n]h[ n] u[ n] u[ n N]2n2.4 Halle la convolución y[n] = h[n]x[n] para cada uno de los dos pares de secuencias finitas dadas:(a)1 1 1 1 h n x[ n] 1, , , , , [ ] 1, 1,1, 12 4 8 16(b) x[ n] 1,2,3,0, 1 , h[ n] 2, 1,3,1, 2 3(c) x[ n] 1, 1 , , 1 ,1 , h[ n] 1,1,1,1,12 4 52.5 Determine gráficamente la convolución de los pares de señales mostrados en la Fig. P2.5.182

x(t)h(t)x(t)h(t)111 1-1-1t t t t0 1 0 10 1-1 0 1x(t)(a)h(t)x(t)(b)h(t)21 11-1 0 2 t -1 0 1 t -1 0 1t -1 0 t(d)(c)Figura P.2.52.6 Use la integral de convolución para hallar la respuesta y(t) del sistema LIT con respuesta al impulsoh(t) a la entrada x(t).(a) x( t) 2exp( 2 t) u( t), h( t) exp( t) u( t)(b) x( t) t exp( 2 t) u( t), h( t) exp( t) u( t)(c) x( t) t exp( t) u( t), h( t) exp( t) u( t)(d) x( t) exp( 3 t) u( t), h( t) rect ( t 2)(e) x( t) (2 t)exp( 2 t) u( t), h( t) exp( t) u( t)2.7 La correlación cruzada de dos señales diferentes se define como(a) Demuestre queR ( t) x ( ) y ( t) d x ( t) y ( )dxy R ( t) x( t) y ( t)xy(b) Demuestre que la correlación cruzada no obedece la ley conmutativa.(c) Demuestre que R xy (t) es simétrica [R xy (t) = R yx (t)].183

2.8 Determine la correlación cruzada entre una señal x(t) y la señal y(t) = x(t1) + n(t) para B A 0.01,y 1,donde x(t) y n(t) son como se muestra en la Fig. P2.8.x(t)n(t)AB3/20 1 t 0 1 2 t–BFigura P2.82.9 La autocorrelación es un caso especial de la correlación cruzada con y(t) = x(t). En este caso,(a) Demuestre que(b) Demuestre queR ( t ) R ( t ) x( ) x( t ) dxxxR (0) E, la energía de x( t)xR ( t) R (0) (use la desigualdad de Schwartz)x(c) Demuestre que la autocorrelación de z ( t) x( t) y( t)esxR ( t) R ( t) R ( t) R ( t)z x y yx2.10 Considere un sistema LIT cuya respuesta al impulso es h(t). Sean x(t) y y(t) la entrada y salida delsistema, respectivamente. Demuestre queR ( t) R ( t) h( t) h( t)yx2.11 La entrada a un sistema LIT con respuesta al impulso h(t) es la exponencial compleja exp(jt).Demuestre que la salida correspondiente esdondey( t) exp( jt) H ( )H ( ) h( t)exp( jt)dt184

2.12 Determine si los siguientes sistemas LIT de tiempo continuo son causales o no causales, estables oinestables. Justifique sus respuestas.(a) h( t) exp( 2 t)sen3 t u( t)(b) h( t) exp(2 t) u( t)(c) h( t) t exp( 3 t) u( t)(d) h( t) t exp(3 t) u( t)(e) h( t) expt (f) h( t) rect( t 2)(g) h( t) ( t)(h) h( t) u ( t)(i) h( t) 1 t rect ( t 2)2.13 Determine si cada una de los siguientes sistemas es invertible. Para aquellos que lo son, halle elsistema inverso.(a) h( t) ( t 2)(b) h( t) u ( t)(c) h( t) ( t 3)(d) h( t) rect( t 4)(e) h( t) exp( t)u(t)2.14 Considere los dos sistemas mostrados en las Figs. P2.14(a) y P2.14(b). El sistema 1 opera sobre x(t)para producir una salida y 1 (t) que es óptima acorde con algún criterio especificado. El sistema IIprimero opera sobre x(t) con una operación invertible (subsistema I) para obtener z(t) y entoncesopera sobre z(t) para producir una salida y 2 (t) mediante una operación que es óptima de acuerdo almismo criterio que en el sistema I.(a) ¿Puede el sistema II comportarse mejor que el sistema I? (Recuerde la suposición de que elsistema I es la operación óptima sobre x(t)).(b) Reemplace la operación óptima sobre z(t) por dos subsistemas, como lo muestra la Fig. P2.14(c).Ahora el sistema completo trabaja tan bien como el sistema I. ¿Puede el nuevo sistema ser mejorque el sistema II? (Recuerde que el sistema II ejecuta la operación óptima sobre z(t)).(c) ¿Qué concluye de las partes (a) y (b)?185

(d) ¿Tiene el sistema que ser lineal para que la parte (c) sea verdad?x(t)Sistema IOperaciónóptimasobre x(t)y 1 (t)x(t)Preporcesamientosubsistema ISistema IIz(t)Operación óptimasobre z(y)y 2 (t)(a)(b)z(t)Inverso delsubsistema Ix(t)Sistema Iy 1 (t)(c)Figura P2.142.15 Determine si el sistema en la Fig. P2.15 es estable (entrada acotada – salida acotada)h ( t) exp( 2 t) u( t)h ( t) 2exp( t) u( t)1 2h ( t) 3exp( t)u() h ( t) 4()3 t4 th 1 (t)h 2 (t)x(t)y(t)h 3 (t)h 4 (t)Figura P2.152.16 Las señales en la Fig. P2.16 son la entrada y la salida de un cierto sistema LIT. Grafique lasrespuestas a las entradas siguientes:(a) x(t 3)(b) 2x(t)(c) x(t)(d) x(t 2) + 3x(t)x(t)y(t)1 2–1 0 1 t –2 0 2 tFigura P2.16186

(e)dx ( t)dt2.17 Determine la respuesta al impulso del sistema inicialmente en reposo mostrado en la Fig. P2.17.Lx(t)R+y(t)x(t)Sistemay(t)Figura P2.172.18 Determine la respuesta al impulso del sistema inicialmente en reposo mostrado en la Fig. P2.18. Useeste resultado para hallar la salida del sistema cuando la entrada es(a) u t2(b) u t2(c) rect( t ), donde 1 RCRx( t) e(t)Cy (t )x(t)Sistemay(t)Figura P2.182.19 Repita el Problema 2.18 para el circuito mostrado en la Figura P2.19.187

Cx( t) e(t)Ry (t )x(t)Sistemay(t)Figura P2.192.20 Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias por iteración:(a) y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n], n 0y[ 1] 0, y[ 2] 1, x[ n]1 2 1 1 1(b)4 8 2y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n] x[ n 1], n 0y[ 1] 1, y[ 2] 0, x[ n]1 2 15(c) y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n], n 0y[ 1] 1, y[ 2] 1, x[ n] 2 n642 1(d) y[ n 2] y[ n 1] y[ n] x [ n], n 03 9y[1] 0, y[0] 1, x[ n]1 2 (e) y[ n] x[ n] 3 x[ n 1] 2 x[ n 2] x[ n 3]x[ n] u[ n]nn2.21 (a) Determine la respuesta al impulso del sistema mostrado en la Fig. P2.21. Suponga que1 1h [ n] u[ n], h [ n] [ n] [ n 1] , h [ n] u[ n] u[ n 5]31 2n2 2nh [ n] u[ n]. y 1 4 3n(b) Determine la respuesta del sistema a una entrada igual a un escalón unitario.2.22 (a) Repita el Problema 2.21 si1 h [ n] u[ n]h [ n] [ n]21 2n 1 (b) Determine la respuesta del sistema a un escalón unitario.h [ n] h [ n] u[ n]3 4 3nh 1 [n]h 4 [n]h 2 [n]+h 3 [n]188

Figura P2.212.23 Determine las raíces características y las soluciones homogéneas de las siguientes ecuaciones endiferencias:5 3(a) y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n] x[ n 1], n 08 32y[ 1] 1, y[ 2] 01(b) y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n], n 0y [ 1] y[2]141(c) y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n], n 0y[1] = 1, y[2] = 0(d) y [ n]3y[n 1] 2y[n 2] x[n],n 0y [ 1]1,y[2]181 1 1(e)12 12 2y[ n 2] y[ n 1] y[ n] x[ n] x[ n 1], n 0y [ 1] 0, y[0]12.24 Halle las respuestas al impulso de los sistemas en los Problemas 2.22 y 2.23.2.25 Demuestre que cualquier sistema que pueda describirse por una ecuación diferencial de la formad y t d y t d x t a ( t) b ( t)dt dtdtN 1( ) N k Mk( ) ( )N kk kkk0 k0es lineal (suponga que el sistema está inicialmente en reposo).2.26 Demuestre que cualquier sistema que pueda describirse por la ecuación diferencial en el Problema2.25 es invariable en el tiempo. Suponga que todos los coeficientes son constantes.2.27 Considere un péndulo de longitud y masa M como se muestra en la Fig. P2.27. El desplazamientodesde la posición de equilibrio es , por lo tanto la aceleración es . La entrada x(t) es la fuerzaaplicada a la masa M tangencial a la dirección de movimiento de la masa. La fuerza restauradora es lacomponente tangencialMg sen . Desprecie la masa de la barra y la resistencia del aire. Use lasegunda ley del movimiento de Newton para escribir la ecuación diferencial que describe al sistema.¿Es este sistema lineal? Como una aproximación, suponga que es lo suficientemente pequeña parala aproximación sen 0. ¿Es lineal este último sistema?189

Masa MFigura P2.272.28 (a) Al resolver ecuaciones diferenciales en una computadora, podemos aproximar las derivadas deorden sucesivo con las diferencias correspondientes en incrementos del tiempo discretos, T. Es decir,reemplazamosd x () ty()t dtporyx( nT ) x(( n 1) T )y ( nT ) Td y tz()t dt2( ) d y ( t)dt2pory ( nT ) y (( n 1) T ) x( nT ) 2 x(( n 1) T ) x (( n 2) T )z ( nT ) , etc.2TTUse esta aproximación para derivar la ecuación que se usaría para resolver la ecuación diferenciald y () t2 y ( t) x ( t)dt(b) Repita la parte (a) usando la aproximación de las diferencias directasd x ( t) x (( n 1) T ) x ( nT )d tT2.29 Verifique que el sistema descrito por la ecuación diferencial190

2d y t( ) dy ( t) a b y ( t) c x ( t )2dt dtes realizado por la interconexión mostrada en la Fig. P2.29.x(t)cy(t)-a-bFigura P2.292.30 Para el sistema simulado por el diagrama mostrado en la Fig. P2.30, determine las ecuacionesdiferenciales que describen el sistema.x(t)241y(t)31Figura P2.302.31 Considere el circuito RLC en serie mostrado en la Fig. P2.31.(a) Derive la ecuación diferencial de segundo orden que describe el sistema.(b) Determine los diagramas de simulación de la primera y segunda forma.RL+x(t)+_Cy(t)_191

Figura P.2.312.32 Dado un sistema LIT descrito pory ( t) 3 y ( t) y( t) 2 y( t) 3 x( t) x( t)Halle los diagramas de simulación de la primera y segunda formas canónicas.2.33 Determine la respuesta al impulso del sistema inicialmente en reposo mostrado en la Fig. P2.33.C+x ( t ) v ( t ) _ +R y ( t ) v R ( t ) x ( t ) Sistema y ( t )_Figura P2.332.34 Halle los dos diagramas canónicos de simulación para los sistemas de los Problemas 2.22 y 2.23.2.35 Resuelva las ecuaciones de estado siguientes cualquiera de los métodos estudiados en este capítulo.1. 2. 0 1 0 0 1 0 6 5 1 1x0 0 1x 0. x(0) 2x1 0 2x 1, x(0) 3 2 1 2 1 3 3 2 4 2 13. 4. 0 1 1 2 3 0 1 0 0 0x6 11 6x 1, x(0) 2x0 0 1x 0, x(0) 1 6 11 5 0 0 25 35 11 1 35. 6.3 2 0 1 3 9 1 0 2 3x1 1 1x 1, x(0) 2x26 0 1x 5, x(0) 4 5 2 1 2 0 24 0 0 0 0192

7. 8.0 1 0 0 3 1 10 0 0 3x2 0 1x 0, x(0) 2x0 0 1x 0, x(0) 4 0 2 3 1 0 0 20 10 5 09. 10.0 1 0 0 01 2 1 0 1x2 0 1x 1, x(0) 5x0 2 0x 0, x(0) 1 0 2 3 1 1 1 0 1 1 111. 12.1 1 0 1 1 0 0 1 0 3x0 1 0x 0, x(0) 1x1 0 1 x 0, x(0) 0 0 0 1 1 2 5 0 3 2 22.36 Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes reduciéndolas primero a una ecuación de estado.1.2.3.4.5.6.7.2d x dx dxdt2 3 2 x 4, 2, x(0) 1.dtdtt03 2 2d x d x dx d x dx 2 4 4 x 4, 5, 3, x(0) 1dtdt3 2 2dt dt dtt0t02d x dx dxdt2 4 4 x 5 t, 1, x(0) 1dtdtt04 3 2 3 2d x d x d x d x d x dx 3 2 20, 6, 2, 1, x(0) 1dt4 3 2 3 2dt dt dt dt dtt0 t0t03 2 2d x d x dx d x dx 7 19 13x 5, 12, 2, x(0) 0dtdt3 2 2dt dt dtt0t02d x dx dxdt2 4 5x 8sen t, 2, x(0) 1dtdtt03 2 2d x d x dx d x dx 2 4 t, 5, 1, x(0) 2dtdt3 2 2dt dt dtt0t0193

8.9.10.11.12.2d xdt2dx x e x dt2t10 , 3, (0) 2t02d x dx dxdt2 2 x t 2, 1, x(0) 0dtdtt02d x dx2dx2dt dtdtt0 4.25x t 1, 1, x(0) 03 2 2d x d x3d x dx 3 5 x t , 2, 5, x(0) 33 3 2dt dt dt dtt0t0t03 2d x dx3td x dx x e , 2, 6, x(0) 53 2dt dtdtdtt0194

CAPÍTULO TRESANÁLISIS DE FOURIERTIEMPO CONTINUO195

CAPÍTULO TRES: ANÁLISIS DE FOURIERTIEMPO CONTINUOIntroducciónLa representación de la señal de entrada a un sistema (entendiendo como sistema un conjunto deelementos o bloques funcionales conectados para alcanzar un objetivo deseado) de tiempo continuo lineal einvariable en el tiempo (LIT), como una integral ponderada de impulsos desplazados conduce a la integralde convolución. Esta representación de sistemas LIT de tiempo continuo indica cómo la respuesta de talessistemas, para una entrada arbitraria se construye a partir de las respuestas a los impulsos unitariosdesplazados. Entonces, la integral de convolución no sólo proporciona una manera conveniente de calcularla respuesta de un sistema LIT, suponiendo conocida su respuesta al impulso unitario, sino que tambiénindica que las características de un sistema LIT son especificadas completamente por su respuesta alimpulso unitario. A partir de este hecho se pueden analizar en detalle muchas de las propiedades de lossistemas LIT y relacionar estas propiedades con las características equivalentes de las respuestas al impulsode tales sistemas.En este trabajo se desarrollará una representación alterna para las señales y los sistemas LIT. El punto departida de esta discusión es el desarrollo de una representación de señales como sumas ponderadas de unconjunto de señales básicas, las señales exponenciales complejas. Las representaciones resultantes sonconocidas como la serie y la transformada de Fourier y, como se verá, estas representaciones se puedenemplear para construir diferentes clases de señales. La idea central de la representación es la siguiente:Dada una secuencia de funciones u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t), … que tienen, en un intervalo (a, b), la propiedad deortogonalidad:bau ( t) u ( t) dt 0mnsiempre que nm(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función “arbitraria”f (t) en una serie infinita de la formaf ( t) C u ( t) C ( t) u ( t) C ( t) u ( t)1 1 2 2 3 3196

A primera vista, esto parece bastante sencillo. Para determinar C n para cualquier valor fijo de n,multiplicamos ambos lados de esta ecuación por u () t e integramos en el intervalo (a, b):nb b bf ( t) u n( t) dt C1 u1 ( t) u n( t) dt C2 u2( t) u n( t)dt a a aDebido a la propiedad de ortogonalidad, todos los términos en el lado derecho se anulan excepto el n-ésimoy se obtieneb af ( t) u ( t ) dx C u ( t ) dtn n nba2y esta relación se puede resolver para obtener C n .Las señales con las cuales se trabaja normalmente son magnitudes variables en el tiempo; por ejemplo, enlas comunicaciones eléctricas, ellas son el voltaje y la corriente. La descripción de una señal x(t) usualmenteexiste en el dominio del tiempo, donde la variable independiente es el tiempo t. Para muchas aplicaciones,con frecuencia es más conveniente describir las señales en el dominio de la frecuencia f, donde la variableindependiente es la frecuencia f. Así, si la señal existe físicamente en el dominio del tiempo, entonces sepuede decir que ella consiste de diferentes componentes en el dominio de la frecuencia y esas componentesen conjunto se denominan el espectro.El análisis espectral basado en la serie y la transformada de Fourier es una herramienta poderosa enmuchas ramas de la ingeniería. Como consecuencia, la atención en este trabajo se centrará en la teoría deFourier antes que en otras técnicas como, por ejemplo, la transformación de Laplace y el análisis en eldominio del tiempo. Primero, el dominio de la frecuencia es esencialmente un punto de vista de régimenpermanente y, para muchos propósitos, es razonable restringir nuestra atención al comportamiento enrégimen permanente de los sistemas bajo estudio. En realidad, teniendo en cuenta la multitud de señalesposibles que un sistema puede manejar, sería imposible encontrar soluciones detalladas de las respuestastransitorias para cada una de ellas. Segundo, el análisis espectral permite considerar clases completas deseñales que poseen propiedades similares en el dominio de la frecuencia. Esto no sólo conduce a unconocimiento más profundo en el análisis, sino que es de gran valor para el diseño. Tercero, muchas de lascomponentes de un sistema se pueden clasificar como dispositivos lineales e invariables en el tiempo;siendo así, se pueden describir por sus características de respuesta en frecuencia, las cuales, a su vez,facilitan aún más el análisis y el trabajo de diseño.197

Por lo tanto, este capítulo está dedicado al análisis de señales y sus respectivos espectros, poniendoatención especial a la interpretación de las propiedades de esas señales en el dominio de las frecuencias. Seexaminarán los espectros de líneas basados en la expansión en serie de Fourier para señales periódicas y enlos espectros continuos basados en la transformada de Fourier de señales aperiódicas. Finalmente, estos dosespectros se conjugarán con la ayuda del concepto de la respuesta al impulso.Como primer paso, se deben escribir las ecuaciones que representan las señales en función del tiempo,pero sin olvidar que esas ecuaciones son sólo modelos matemáticos del mundo real y, por lo general, sonmodelos imperfectos. En efecto, una descripción completamente fiel de la señal física más sencilla seríademasiado complicada e impráctica para los propósitos de la ingeniería. Por lo tanto, se tratará de idearmodelos que representen con una complejidad mínima las propiedades significativas de las señales físicas.El estudio de muchos modelos diferentes para las señales proporciona la información necesaria paraseleccionar modelos apropiados para aplicaciones específicas.3.1 Respuesta de Sistemas LIT a Exponenciales ComplejasEn el estudio de sistemas LIT es ventajoso representar las señales como combinaciones lineales de señalesbásicas que posean las propiedades siguientes:1. El conjunto de señales básicas se puede usar como base para construir una clase de señales amplia y demucha utilidad.2. La estructura de la respuesta de un sistema LIT a cada señal básica debe ser lo suficientemente sencillacomo para proporcionar una representación conveniente de la respuesta del sistema a cualquier señalconstruida como una combinación lineal de señales básicas.En sistemas LIT de tiempo continuo, estas dos ventajas son proporcionadas por el conjunto deexponenciales complejas de la forma e st , en donde s es una variable compleja. Considérese, por ejemplo, unsistema LIT con entrada x(t) y cuya función de transferencia H(j), s = j en este caso, se define de talj tforma que cuando x()t e , la salida es igual a H( j)e j t ; es decir,y()tH( j) (3.1)x t() jtx ( t ) eCombinando la Ec. (3.1) con el principio de superposición, se deduce que si x(t) es una combinaciónlineal de señales exponenciales, digamos198

donde a 1 , a 2, , son constantes, entoncesx( t) a e a e (3.2)j1t j2t1 2y( t) a H ( j ) e a H ( j ) e (3.3)j1t j2t1 1 2 2y H(j 1 ) representa la función H(j) evaluada en 1 , etc.Generalizando a la señal compleja e st , la respuesta de un sistema LIT a este tipo de señal, como se verámás adelante, es la misma exponencial compleja modificada por un factor de multiplicación, es decir,est st H s e(3.4)donde el factor complejo H(s), llamado la función de transferencia, será en general una función de lavariable compleja s. Una señal para la cual la respuesta del sistema es igual a la entrada multiplicada poruna constante (posiblemente compleja) se conoce como una función característica del sistema, y el factorde amplitud se conoce como un valor característico. O sea que el valor característico de un sistema LIT detiempo continuo asociado con la función característicavalor de s a través de la Ec. (3.7) (más adelante).ste está dado por H(s) cuyo valor lo determina elPara mostrar que las exponenciales complejas son en efecto funciones características de los sistemas LIT,considérese uno cuya respuesta al impulso es h(t). Para una entrada x(t), se puede determinar la salidaempleando la integral de convolución, de manera que si x()t ey( t) h( ) x( t )d( )h( ) e s t dst, se tiene que (3.5)sts e h( )e dEntonces la respuesta a la excitación exponencial e st es de la forma y t st H s e(3.6)donde H(s) es una respuesta compleja cuyo valor depende de s y que está relacionada con la respuesta alimpulso del sistema porsH ( s) h( )e d(3.7)199

Como ya se vio, si x(t) es una combinación lineal de exponenciales complejas aplicada a un sistema LIT,la respuesta es la suma de las respuestas a cada una de las exponenciales por separado. En forma general,sktsktak e ak H ( sk) e(3.8)kkEntonces, para un sistema LIT, si se conocen los valores característicos H(s k ), la respuesta a unacombinación lineal de exponenciales complejas se puede obtener de manera directa.3.2 Representación de Señales Usando Series de Fourier3.2.1 Señales Periódicas y Combinaciones Lineales de Exponenciales ComplejasUna señal es periódica si para algún valor de T diferente de cero la señal obedece la relaciónx( t) x( t T ), t (3.9)El menor valor de T > 0 que satisface la Ec. (3.9) se denomina el período fundamental de x(t), T 0 , osimplemente el período de x(t). Observe que la definición dada en (3.9) también puede escribirse en laformax( t) x( t mT ), t (3.10)0donde m es un entero. Esta última ecuación simplemente dice que desplazando la señal un número entero deperíodos hacia la izquierda o hacia la derecha en el eje del tiempo no produce cambios en la onda. Comoconsecuencia, una señal periódica se describe completamente especificando su conducta en cualquierperíodo. Una señal para la cual no existe ningún valor de T que satisfaga la Ec. (3.9) se denomina noperiódicao aperiódica.El valorse conoce como la frecuencia angular fundamental (en rad/s).Dos señales básicas conocidas son la sinusoidey la exponencial compleja periódica20 (3.11)T0x( t) cos t(3.12)x()t0j 0t e (3.13)200

Estas dos señales son periódicas con frecuencia fundamental 0 y período fundamental T0 2 0 1 f0,donde f 0 es la frecuencia fundamental (en Hz). Para la función x( t) cos0ty cualquier valor de t, setiene que 2cos 0 t T0 cos 0 t cos 0t 0lo que muestra que su período fundamental es T0 2 0.Con la señal de la Ec. (3.13) se encuentra asociado el conjunto de funciones exponenciales complejasrelacionadas armónicamente,jk0 t j 2 kf 0 tk e e , k 0, 1, 2, (3.14)Cada una de estas señales tiene una frecuencia fundamental que es un múltiplo de 0 y, por lo tanto, cadauna de ellas es periódica con período fundamental T 0 [aunque para | k | 2 el período fundamental de k (t) esuna fracción de T 0 ]. Así que una combinación lineal de exponenciales complejas relacionadasarmónicamente de la formajk0t j 2 kf0t k k(3.15)kkx()t c e c ees también periódica con período T 0 . En la Ec. (3.15), el término para k = 0 es un término constante o CD.Los dos términos k = +1 y k = 1 tienen ambos un período fundamental igual a T 0 y se conocen como lascomponentes fundamentales o como las primeras componentes armónicas. Los dos términos para k = +2 y k= 2 son periódicos con la mitad del período (o, equivalentemente, el doble de la frecuencia) de lascomponentes fundamentales y se les conoce como las componentes de la segunda armónica. Másgeneralmente, las componentes paraarmónica.k Ny k = N se conocen como las componentes de la N-ésimaLa representación de una señal periódica es un espectro de líneas obtenido mediante una expansión enserie de Fourier como la de la Ec. (3.15). La expansión requiere que la señal tenga potencia promediofinita. Como la potencia promedio y otros promedios temporales son propiedades importantes de lasseñales, ahora procederemos a formalizar estos conceptos.Dada cualquier función x(t), su valor promedio para todo el tiempo se define comoT /21x( t) límx( t)dt(3.16)T T T /2201

La notación x(t) representa la operación de promediar, la cual comprende tres pasos: (i) integrar x(t) paraobtener el área bajo la curva en el intervalo T/2 t T/2; (ii) dividir esa área por la duración T delintervalo de tiempo, y (iii) hacer que T para cubrir todo el tiempo. En el caso de una señal periódica, laEc. (3.16) se reduce al promedio durante cualquier intervalo de duración T 0 , vale decir,t1T01 1 (3.17)x( t) x( t) dt x( t)dtTT0 t01 T0donde t 1 es un tiempo arbitrario y la notación To representa una integración desde cualquier valor arbitrariot 1 hasta t 1 +T 0 , es decir, integración por un período completo.Si x(t) es el voltaje entre las terminales de una resistencia R, se produce la corriente i(t) = x(t)/R y sepuede calcular la potencia promedio resultante, promediando la potencia instantánea2 2x( t) i( t) x ( t) RRi ( t ) . Pero no necesariamente se sabe si una señal dada es un voltaje o unacorriente, así que se normalizará la potencia suponiendo de aquí en adelante que R = 1 . La definición dela potencia promedio asociada con una señal periódica arbitraria se convierte entonces en2 12P x( t) x( t ) dtT (3.18)0 T0donde se ha escrito x(t) 2 en lugar de x 2 (t) para permitir la posibilidad de modelos de señales complejas.En cualquier caso, el valor de P será real y no negativo.Cuando la señal en la Ec. (3.18) existe y da como resultado que 0 < P < , se dice que la señal x(t) tieneuna potencia promedio bien definida y se denominará una señal de potencia periódica. Casi todas lasseñales periódicas de interés práctico caen en esta categoría. El valor promedio de una señal de potenciapuede ser positivo, negativo o cero, pero está acotado porx()tPT0valor que proviene de la relación integral2 x( t) dt x( t)dtAlgunos promedios de señales pueden determinarse por inspección, usando la interpretación física delpromedio. Como un ejemplo específico, considérese la sinusoidex( t) Acos( t )02para la cual202

2Ax( t) 0,P 2La energía disipada por la señal xt () en el intervalo de tiempo (T/2, T/2) está dada porT 2 T 22E x()t dt(3.19)Se dice que una señal x(t) cualquiera es una señal de energía si y sólo si 0 < E < , dondeT 2T T 22E límx( t)dt(3.20)3.2.2 Series de FourierLa representación de una señal periódica en la forma de la Ec. (3.15) se conoce como la representaciónen serie de Fourier. Específicamente, sea x(t) una señal de potencia con período T0 2 0 1f0. Suexpansión en una serie de Fourier exponencial esjk0t j 2 kf0t k k(3.21)kkx()t c e c eSi x(t) es una función real, entonces x*(t) = x(t) y, por tanto,x*( t ) x( t) ckeReemplazando k por k en la sumatoria, se tiene quekx()t ckekjk0t jk0tla cual, al compararla con la Ec. (3.21), requiere que c , o, en forma equivalente, quekc kck c(3.22) k 0Ahora se determinarán los coeficientes a k . Multiplicando ambos lados de (3.21) por jn te , se obtiene jn0 t jk0 t jn0tkkx()t e c e e(3.23)Ahora se integra ambos lados de esta relación desde 0 hasta T 0 = 2/ 0 y se obtiene203

T0 T0 j n0 t jk0t jn0t( )e k0 0 kx t dt c e e dtdonde T 0 es el período fundamental de x(t). Intercambiando el orden de la integración y la sumatoria, dax t e dt a e dtT0 T0 j n o t j ( kn ) 0t() k0 k0 (3.24)Aquí se está suponiendo que las condiciones sobre la integración y la serie son tales que permiten elintercambio. Para k n,T00j ( kn ) 00 t1j ( kn ) T 10t j ( kn) 2 e dt e e10j( k n) j( k n) 00 0puesto quej ( k n ) 2e 1 (k y n son enteros). Si k = n, entoncesT00dt Ty, por tanto, el lado derecho de la Ec. (3.24) se reduce a T 0 c n . Por consiguiente,T0 T0 jn0t j 2 nf0t1 1cn x( t ) e dt x( t ) e dt k nTT0 0 0 00 (3.25)la cual es la relación buscada para determinar los coeficientes. La integración en (3.25) es para cualquierintervalo de longitud T 0 .A la Ec. (3.21) a menudo se le refiere como la ecuación de síntesis y a la Ec. (3.25) como la ecuación deanálisis. Los coeficientes {c k } se conocen como los coeficientes de la serie de Fourier de x(t) o loscoeficientes espectrales de x(t). Puesto que, en general, los coeficientes son cantidades complejas, sepueden expresar en la forma polarc c ekkjarg a kAsí que la Ec. (3.21) expande una señal periódica como una suma infinita de fasores, siendoel término k-ésimo.c e c e ekjk0t jarg a k jk0tkObsérvese que x(t) en la Ec. (3.21) consiste de fasores con amplitudcky ángulo arg(c k ) en lasfrecuencias k 0 = 0, 0 , 2 0 , …. De aquí que el gráfico correspondiente en el dominio de la frecuencia204

sea un espectro de líneas bilateral definido por los coeficientes de la serie. Se da un mayor énfasis a lainterpretación espectral escribiendoc(k 0 ) = c ktal que ak 0 representa el espectro de amplitud en función de f u 0 y arg[c(k 0 )] representa elespectro de fase. La Ec. (3.22) da una propiedad espectral importante para señales de potencia periódicasreales. Otras dos propiedades importantes para señales de potencia periódica son:1. Todas las frecuencias son números enteros múltiplos o armónicos de la frecuencia fundamental 2 / T 2 f . Así que las líneas espectrales tienen una separación uniforme 0 (o f 0 ).0 0 02. La componente CD es igual al valor promedio de la señal, ya que al hacer k = 0 en la Ec. (3.25) da1c0 x( t ) dt x( t )T (3.26)0 T0También, de la Ec. (3.22) se deduce que para x(t) real, entoncesy así se obtiene una tercera propiedad:c c c e * jargakk k k3. arg arg c k c k c k c k (3.27)0 0 0 0lo cual significa que el espectro de amplitud tiene simetría par y el de fase simetría impar.La propiedad dada por la Ec. (3.22) para señales de valores reales permite reagrupar la serie exponencialen pares de conjugados complejos, excepto por a 0 , en la forma siguiente:0000m1jm0t jm0tmm1x()t c c e c em jn0t jn0t n nn1 n1n1m c c e c e c c e c ecn1 n2Re jn0t jn0tnc enjn0t c 2Re c cos n t 2Im c sen t 0 n0 n 0n1205

Esta última ecuación puede escribirse comox( t ) a a cos n t b sen nt(3.28)0 n 0 n 0n1La expresión para x(t) en la Ec. (3.28) se conoce como la serie trigonométrica de Fourier para la señalperiódica x(t). Los coeficientes c n y d n están dados por1a0 c0 x()t dtT 0 T02an 2Re cn x t nt dtT( )cos0(3.29)0 T02bn 2Im cn x( t )sen n0t dtT En función de la magnitud y la fase de c n , la señal de valores reales x(t) puede expresarse como0 T0x( t) c 2 c cos n t arg a0 n0n1ndondey ncos n(3.30) c A n t 0 0n1An 2 c(3.31)n arg c(3.32)nnLa Ec. (3.30) representa una forma alterna de la serie de Fourier que es más compacta y más clara que laEc. (3.28) y se conoce como la forma armónica de la serie de Fourier de x(t). Cada término en la serierepresenta un oscilador necesario para generar la señal periódica x(t).Los coeficientes de la serie de Fourier de una señal se muestran en un conjunto de dos gráficas en eldominio de la frecuencia, los espectros de líneas. Una gráfica de | c n | y arg(c n ), líneas, versus n o n 0 (nf 0 )para valores positivos y negativos de n o n 0 (nf 0 ) se denomina un espectro bilateral de amplitud o de fase.La gráfica de A n y n versus n o n 0 (nf 0 ) para n positiva se denomina un espectro unilateral. Se debeseñalar que la existencia de una línea en una frecuencia negativa no implica que la señal esté formada porcomponentes de frecuencias negativas, ya que con cada componente c n exp(jn 0 t) está asociada una206

correspondiente de la forma c nexp( jn 0t). Estas señales complejas se combinan para crear lacomponente real ancos n0t bnsen n0t.Ejemplo 1. Considere la señalx( t) 1sen t 2cos t cos(2 t 4)0 0 0Aquí se podría aplicar la Ec. (3.28) para obtener los coeficientes de la serie de Fourier. Sin embargo, paraeste caso es más sencillo expandir las funciones sinusoidales como una combinación lineal deexponenciales complejas e identificar por inspección los coeficientes de la serie; así tenemos que1 j 0t j 0t j 0t j 0t 1 j ( 2 0t / 4 ) j ( 0t/ 4 )x( t) 1 e e e e e e 2 j 2 Agrupando términos se obtiene1 1 1 j/ 4 1 j/ 4 2 j 2 j 2 2 x( t) 1 1 e 1 e e e e ey los coeficientes de Fourier para este ejemplo sonj0t j0t j 20t j 20tcc01j 1 11 11 2 j 2c 1 11 11 2 21 j/422 2 4c e (1 j)1 j/422 2 4c e (1 j)ck0, k 2En la Fig. 3.1 se grafican la magnitud y la fase de c k .jjck c k. . .. . .–2 –1 0 1 2 k. . .–2–11. . .0 2 kFigura 3.1207

Ejemplo 2. Tren de Pulsos RectangularesConsidérese el tren periódico de pulsos rectangulares en la Fig. 3.2. Cada pulso tiene una altura oamplitud A y una anchura o duración . Hay discontinuidades escalonadas al comienzo y al final de cadapulso en t 2 , etc., de manera que los valores de x(t) no están definidos en estos puntos dediscontinuidad. Esto pone de manifiesto otra posible diferencia entre una señal física y su modelomatemático, ya que una señal física nunca hace una transición escalonada perfecta. Sin embargo, el modelotodavía puede ser razonable si los tiempos de transición efectivos son pequeños en comparación con laduración del pulso.Para calcular los coeficientes de Fourier, se toma como intervalo de integración en la Ec. (3.25) el períodocentral T0 2 t T02, dondeA, t / 2x()t 0, t / 2x(t)A. . .. . .–T 0 0 T 0tFigura 3.2Entonces,T02 2 jk0t jk0t1 1ck x () t e dt Ae dtT T 0 T00 2 2A jkT0 00 0eA sen ( k02)T k2e jk0 2 jk02(3.33)Antes de continuar con este ejemplo, se derivará una expresión que aparece repetidamente en el análisisespectral. Esta expresión es la función sinc definida porsen sinc (3.34)208

La Fig. 3.3 muestra que la función sinc es una función de que tiene su valor pico en = 0 y sus crucescon cero están en todos los otros valores enteros de , así que1 0sinc 0 1, 2, En términos de la función definida por la Ec. (3.34), la última igualdad en la Ec. (3.33) se convierte enckA sinck0 2T0A sinckf0T0donde 0 = 2f 0 .sinc1.0–3–2–10 1 2 3 Figura 3.3El espectro de amplitudes para c( kf0) ck Af0 sinc( f ) se muestra en la Fig. 3.4a para el caso/T 0 = f 0 = 1/4.209

c( kf0)Af 0 10 f 0(a)arg[ c( kf0)]180° 10112233ff–180°(b)Figura 3.4. Espectro del tren de pulsos rectangulares con fc 14.(a) Amplitud; (b) Fase.Esta gráfica se construye dibujando la función continua Af f 0 sinc como una curva punteada, lacual se convierte en la envolvente de las líneas. Las líneas espectrales en 4f 0 , 8f 0 , etc., no aparecen, yaque ellas caen a cero precisamente en múltiplos de 1/ donde la envolvente es igual a cero. La componenteCD tiene amplitud c(0) = A/T 0 , lo que debe reconocerse como el valor promedio de x(t) a partir unainspección de la Fig. 3.2. Incidentalmente, /T 0 es la relación entre el tiempo cuando la onda es diferente decero y su período, y frecuentemente se designa como el ciclo de trabajo en la electrónica de pulsos.El espectro de fase en la Fig. 3.4b se obtiene observando que a k es siempre real pero algunas vecesnegativa. Por lo tanto, arg[c(kf 0 )] toma los valores 0° y 180°, dependiendo del signo de sinc(kf 0 . Seusó +180° y 180° para resaltar la simetría impar de la fase.Ejemplo 3. El Rectificador de Media OndaUn voltaje sinusoidal Esen0tse pasa por un rectificador de media onda que elimina la porciónnegativa de la onda, como se muestra en la Fig. 3.5. Este tipo de señales puede encontrarse en problemas dediseño de rectificadores.210

. . .Ex(t)Esen t. . . 0 0 0 0 00tFigura 3.5La representación analítica de x(t) es0, cuando t 00xt () E sen 0t , cuando 0 < t

cEE y c 4 j4 j1 1Los espectros de líneas de x(t) se muestran en la Fig. 3.6.E/15E/3E/E/E/E/3cnE/15–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 n(a) c n–4 –2 –1 0 1 2 3 4 n(b)Figura 3.63.2.3 Condiciones para la Convergencia de las Series de FourierHemos visto que una señal periódica puede ser aproximada por un número finito de términos de su seriede Fourier. Pero ¿converge la serie infinita a x(t)? Para entender mejor la cuestión de la validez de lasrepresentaciones mediante series de Fourier, considérese primero el problema de aproximar una señalperiódica x(t) dada, por una combinación lineal de un número finito de exponenciales complejasrelacionadas armónicamente, es decir, por una serie finita de la formaN kjk 0t(3.37)kNx () t c e Denote por e N (t) el error de la aproximación, el cual está dado porNNN( ) ( ) N( ) ( ) kjk 0t(3.38)kNe t x t x t x t c e Para determinar la bondad de cualquier aproximación en particular, es necesario especificar una medidacuantitativa del tamaño del error de la aproximación. El criterio que se usará es el de la magnitud total delerror al cuadrado en un período: (3.39)E e t dt e t e t dt2 *NN( ) N( )N( )T0 T0212

En general, para cualquier señal z(t), la cantidad, definida anteriormente,b2E z()t dtaes la energía en z(t) en el intervalo de tiempo a t b. Esta terminología es motivada por el hecho de que siz(t) corresponde, por ejemplo, a la corriente que fluye en un resistor de 1 , entonces E es la energía totaldisipada en el resistor durante el intervalo de tiempo a t b. Con respecto a la Ec. (3.39), E N representaentonces la energía en el error de aproximación durante un período.Ahora se procederá a demostrar que la escogencia particular para los coeficientes c k en la Ec. (3.37)minimiza la energía en el error (error cuadrático) y da para los coeficientes:1(3.40) jk0tckx()t e dtT0T0Suponga que se tiene la función f(t) y que se desea representarla mediante un conjunto de funciones en elintervalo finito [t 1 , t 2 ]. Suponga también que estas funciones 1 (t), 2 (t), , n (t) son ortogonales en elintervalo [t 1 , t 2 ], es decir,t2t10, iji( t ) j( t ) dt ki, i j(3.41)La representación de f(t) en [t 1 , t 2 ] es una combinación lineal de las funciones i (t), i1, 2, , n,esdecir,f ( t) c ( t) c ( t) c ( t)(3.42)1 1 2 2En la Ec. (3.42) no aparece el signo de igualdad debido a que, en general, la representaciónni1nn cii() t(3.43)contiene algún error. Se desea que la representación o aproximación esté “cerca” de f(t). Uno de loscriterios más utilizados para elegir una aproximación es el de minimizar el error cuadrático entre el valorreal de f(t) y la aproximación (3.43). Es decir, las c i , i = 1, 2, , n, se eligen para minimizar la cantidadt2t12n EC f ( t ) cii( t ) dt(3.44)i1Evidentemente, el integrando de (3.44) es el error cuadrático. La integral da el error cuadrático en elintervalo [t 1 , t 2 ]. La Ec. (3.44) se puede escribir como213

t21 1 2 2 t1EC f ( t ) c ( t ) c ( t ) cnn( t ) dt2t22 2 2 2 2 2 2f ( t ) c1 1 ( t) c2 2 ( t) cn n ( t) 2 c1 1 ( t) f ( t) 2 c2 2 ( t) f ( t) 2 cn n ( t) dt(3.45)t1 tt222 22( t)dt c1k1 c2k2 cnkn 2c11 2c22f2c1donde i , i =1, 2, , n, se define como2Ahora se completa el cuadrado de cada uno de los términos c kdecir,y la expresión dada por (3.44) se puede escribir comot2t1nnif ( t) i( t)dt(3.46)2 c , sumando y restandoi i i i , es22 2ici ki 2ci i ci ki i ki (3.47)kt2nn 222i() i i i i (3.48)kti1 i1i1EC f t dt c k k Según la Ec. (3.44), es evidente que el EC es siempre mayor o igual a cero; es decir, EC 0. En la Ec.(3.48), se observa que la relación para el EC toma su menor valor cuandoiciki , i 1, 2, , nkit2Es decir, los coeficientes c i se deben elegir como f ( t ) i( t ) dtit1ci (3.49)t2ki*Para el caso de la expansión de Fourier, las funcionesi( t ) i( t)dtjk 0ti (t) corresponderían a las exponenciales(cambiando i por k), el intervalo [t 1 , t 2 ] correspondería al período T 0 y c i correspondería a c k .t1i2ikie Comparando la Ec. (3.40) con la Ec. (3.25), vemos que la primera es idéntica a la expresión usada paradeterminar los coeficientes de la serie de Fourier. Entonces, si x(t) tiene una representación en serie deFourier, la mejor aproximación usando sólo un número finito de exponenciales complejas relacionadasarmónicamente se obtiene truncando la serie de Fourier en el número deseado de términos. Conforme Naumenta, se añaden nuevos términos pero los anteriores permanecen inalterados y E N disminuye. Si,214

efectivamente, x(t) tiene una representación en serie de Fourier, entonces el límite de E N conforme N es cero.Pongamos atención ahora al problema de la validez de la representación mediante series de Fourier deseñales periódicas. Para cualquiera de estas señales se puede intentar obtener un conjunto de coeficientes deFourier mediante el uso de la Ec. (3.25). Sin embargo, en algunos casos la integral en la Ec. (3.25) puededivergir; es decir, el valor de las c k puede ser infinito. Aún más, si todos los coeficientes de la Ec. (3.25) sonfinitos, cuando estos coeficientes se sustituyen en la ecuación de síntesis (3.21), la serie infinita resultantepuede no converger hacia la señal original x(t). Sin embargo, sucede que no hay dificultades deconvergencia si x(t) es continua. Es decir, toda señal periódica continua tiene una representación en serie deFourier tal que la energía E N en el error de aproximación tiende a cero conforme N . Esto también esválido para muchas señales discontinuas. Puesto que será de mucha utilidad usar señales discontinuas, talescomo la onda cuadrada del Ejemplo 2, es importante considerar con más detalle el problema de laconvergencia. Se discutirán dos condiciones algo diferentes que debe cumplir una señal periódica paragarantizar que pueda ser representada por una serie de Fourier.En muchos problemas prácticos se nos da la función x(t) y la usamos para construir una serie de Fourier.Por consiguiente, estaremos interesados en teoremas que nos digan algo “bueno” sobre la expansión enserie de x, con tal que x a su vez sea “buena” en algún sentido. Un teorema típico de esta clase es elsiguiente: Si x(t) integrable en el intervalo (0, T 0 ), su serie de Fourier convergerá a x(t) en cualquier puntot (0 < t < T 0 ) donde x(t) sea diferenciable. Observe que el teorema no dice nada sobre qué sucede en lospuntos extremos. Todo lo que dice es que si 0 < t < T 0 y si x'(t 0 ) existe cuando t = t 0 , entonces la serieconverge cuando t = t 0 y su suma es x(t 0 ).Una clase de funciones periódicas representable mediante series de Fourier es aquella que incluye señalescuyo cuadrado es integrable sobre un período. Es decir, cualquier señal x(t) en esta clase tiene energía finitaen un solo período:2x()t dt (3.50)T0Cuando se cumple esta condición, se garantiza que los coeficientes a k obtenidos a partir de la Ec. (3.40) sonfinitos. Adicionalmente, sea x N (t) la aproximación a x(t) usando estos coeficientes para |k| N, es decir, Njk0t k(3.51)kNx () t c eN215

Entonces, se cumple que lím E 0, donde E N se define en la Ec. (3.39). Es decir, si definimosNNse obtiene que kjk0t(3.52)ke( t ) x( t ) c e2e( t ) dt 0(3.53)T0Como se verá en un ejemplo más adelante, la Ec. (3.53) no implica que la señal x(t) y su representación enserie de Fourierjk0t cek(3.54)k sean iguales para todo valor de t. Lo que ella dice es que su diferencia no contiene energía.Un conjunto alterno de condiciones, desarrolladas por Dirichlet, y también cumplidas por esencialmentetodas las señales que nos interesan, garantiza que x(t) será efectivamente igual a su expansión, excepto envalores aislados para los cuales x(t) es discontinua. En estos valores de t, la serie infinita de (3.54) convergeal “valor promedio” de la discontinuidad; es decir, si x (t)tiene una discontinuidad en t 0 , la serie convergeal valor dado porx( t0 ) x( t0 )lím02Las condiciones de Dirichlet para la expansión en serie de Fourier son: Si una función periódica x(t) esacotada, tiene un número finito de máximos, mínimos y discontinuidades por período, y si x(t) esabsolutamente integrable en cualquier período, es decir,x()t dt (3.55)T0entonces la serie de Fourier existe y converge uniformemente dondequiera que x(t) sea continua. Dicho deotra forma, si una función periódica x(t) es continua por tramos, entonces es integrable en el sentido dadopor la Ec. (3.55) en cualquier intervalo de longitud finita y, en especial, en uno de longitud T 0 , y converge a x(t) dondequiera que la función sea continua y a xt xt2 en todo punto t donde posea ambasderivadas por la derecha y por la izquierda. Véase teorema más adelante.216

Ahora bien, si la señal x(t) es absolutamente integrable o cuadrado integrable, la serie exhibe unaconducta conocida como el fenómeno de Gibbs en los puntos de discontinuidad. La Fig. 3.7 ilustra estaconducta para una discontinuidad de tipo escalón en t = t 0 . La suma parcial x N (t) converge al punto mediode la discontinuidad, lo cual parece muy razonable. Sin embargo, a cada lado de la discontinuidad, x N (t)tiene sobrepasos oscilatorios con período T 0 /2N y valor pico de aproximadamente 18% de la altura delescalón e independiente de N. Así que, conforme N , las oscilaciones colapsan formando picosdenominados “lóbulos de Gibbs” por encima y por debajo de la discontinuidad.Puesto que una señal real debe ser continua, el fenómeno de Gibbs no ocurre y tenemos justificación paratratar a x(t) y su representación en serie de Fourier como idénticas; pero modelos de señales idealizadascomo, por ejemplo, el tren de pulsos rectangulares, sí tienen discontinuidades. Por lo tanto, se debe tenercuidado con la convergencia cuando se trabaja con esos modelos.x N(t)0.09AAT 0/2NA/2t 0tFigura 3.7 Fenómeno de Gibbs en una discontinuidad de tipo escalón.Las condiciones para la convergencia de una serie de Fourier se resumen en el teorema que se dará acontinuación, sin demostración, pero antes se definirán algunos términos que se necesitan para suexposición.Se dice que la función x(t) es suave en el intervalo [a, b] si posee una derivada continua en a,b . Enlenguaje geométrico, esto significa que la dirección de la tangente cambia continuamente, sin saltos,conforme se mueve a lo largo de la curva y = x(t).La función x(t) es suave por tramos en el intervalo [a, b] si x(t) y su derivada son ambas continuas en [a,b], o ellas tienen un número finito de discontinuidades de saltos en [a, b]. Se dice que una función x(t)continua o discontinua definida en todo el eje t es suave por tramos si es suave por tramos en todo intervalode longitud finita. En particular, este concepto es aplicable a funciones periódicas. Toda función x(t) suave217

por tramos (bien sea continua o discontinua) está acotada y tiene una derivada acotada en todas partes,excepto en sus saltos y puntos de discontinuidad [en todos estos puntos, x'(t) no existe].TEOREMA Si x(t) es una función absolutamente integrable de período T 0 y es suave (posee derivadacontinua por tramos) por tramos en el intervalo [a, b], entonces para todo t en a < t < b, la serie de Fourierde x(t) converge a x(t) en los puntos de continuidad y al valorx( t 0) x( t 0)2en los puntos de discontinuidades (la convergencia puede fallar en t = a y t = b).3.3 Propiedades de las Series de FourierA continuación se considerarán varias propiedades de las series de Fourier. Estas propiedadesproporcionan una mejor comprensión del concepto de espectro de frecuencias de una señal de tiempocontinuo y, adicionalmente, muchas de esas propiedades ayudan en la reducción de la complejidad delcálculo de los coeficientes de las series.3.3.1 Efectos de la SimetríaLos tipos más importantes de simetría son:1. Simetría par, x(t) = x(t),2. Simetría impar, x(t) = x(t),T03. Simetría de media onda, x(t) = 2 x t .Cuando existe uno o más de estos tipos de simetría, se simplifica bastante el cálculo de los coeficientes deFourier. Por ejemplo, la serie de Fourier de una señal par x(t) con período T 0 es una serie de Fourier encosenos:con coeficientes2ntx( t ) a ancosT0 n10218

T0/22 4T0 n T00T022nta0 x( t ) dt y a xtcosdtTen tanto que la serie de Fourier de una señal impar x(t) con período T 0 es una serie de Fourier en senos:con coeficientes dados por2ntx( t ) bnsenTT020n12nt4bn x( t )sen dtT0TSi la función x(t) posee simetría de media onda, entoncesa 0 a 0 b 00 2 n2 nc0 b 02 n1 2 n1La integración es sobre medio período y los coeficientes se multiplican por 2.0000EJEMPLO 4. Considere la señal mostrada en la Fig. 3.8x(t)A–T 0 /20T 0 /2T 0t–ALa señal está definida porFigura 3.8 4 AA t. 0 t T0/ 2 T0xt () 4 A t 3 A , T / 2 t T T00 0Observe que x(t) tiene simetría par y también de media onda. Por lo tanto, b n = 0 y no hay armónicospares. También219

T020 4 At 2nt4an A cos dtT 0 T0 T04 A 1 cos n2n0, n par 8 A, n impar 2n Observe que a 0 , el cual corresponde al término CD, es cero porque el área bajo un período de x(t) es cero.3.3.2 LinealidadSuponga que x(t) y y(t) son periódicas y con el mismo período y seanx()t sus expansiones en series de Fourier y también seajn0tjn0t ney y()t nennz ( t) k x( t) k y( t)1 2donde k 1 y k 2 son constantes arbitrarias. Entonces podemos escribirjn0 z () t k k enn1 n 2nejn0tLa última ecuación implica que los coeficientes de Fourier de z(t) están dados por k k n 1 n 2 n3.3.3 DiferenciaciónLa derivada de x(t) se obtiene derivando cada término de su serie:dx t d c e jk c edt dt() jk t jk ty se observa que los coeficientes de Fourier para la función dx(t)/dt son iguales a los coeficientes de x(t)multiplicados por el factor jk 0 . La magnitud de cada armónico es ampliada por el factor k 0 , y el espectrotiene un contenido de frecuencias mucho mayor.220nt0 0 k 0 k(3.56)kk

Como una aplicación de esta propiedad, considere el tren de pulsos de la Fig. 3.9a, cuya serie de Fourierse obtuvo en el Ejemplo 2. Su derivada se muestra en la Fig. 3.9b y contiene sólo impulsos. Los coeficientesde Fourier c k para x'(t) están dados por1T02 T T 0 0 jkotck At At e dtT0 2 2 T02A2 jA TTjk0 2 jk02e e sen k020 0y los coeficientes de Fourier correspondientes para la serie de pulsos en la Fig. 3.9a, de acuerdo con la Ec.(3.56), sonc sen02kA kc k jkT k20 0 0que es el mismo resultado obtenido en el Ejemplo 2, pero con un menor esfuerzo.x(t)A. . .. . .–T 0 0 T 0t(a)x'(t). . .AA. . .–T 0 0 T 0t–A–A–A(b)Figura 3.93.3.4 Teorema de la Potencia de ParsevalEl teorema de Parseval relaciona la potencia promedio P de una señal periódica con los coeficientes de suserie de Fourier. Para derivar el teorema, comenzamos con la relación 1 2 1T0 T0T0 T0P x( t) dt x( t) x *( t)dt221

Ahora reemplazamos x*(t) por su serie exponencialtal quejn0 t jn0t nnx *( t)ane a en1 jn0tP x()t cT0ne dt nT0n1T0T0y la expresión entre corchetes es igual a c n . Entonces jn0t x( t ) e dt anque es el teorema de Parseval.2 n n (3.57)nnnP c c cLa interpretación de este resultado es extraordinariamente sencilla: la potencia promedio se puededeterminar elevando al cuadrado y sumando las magnitudes |c n | = |c(n 0 )| de las líneas de amplitud.Observe que la Ec. (3.57) no involucra el espectro de fase. Para una interpretación adicional de la Ec. (3.57)jn 0 t, recuerde que la serie exponencial de Fourier expande x(t) como una suma de fasores de la forma c e .Se puede demostrar fácilmente que la potencia promedio de cada fasor esnc enjn0t2 2 c(3.58)nPor lo tanto, el teorema de Parseval implica la superposición de la potencia promedio, puesto que lapotencia promedio total de x(t) es la suma de las potencias promedio de sus componentes fasoriales.3.3.5 Integración en el TiempoSuponga queentoncest y()t x d. Debemos considerar dos casos por separado; c 0 = 0 y c 0 ≠ 0. Si c0 0 ,222

En consecuencia, sise concluye quey, por tanto,tt j 2 nf0 n ny()t x d c e d tj 2 nf0 cne dnncnj 2nfy()t 0tnnej 2 nf0tcncnn j 2nf jn0 0n j 2 nf0t n jn0txd e e , c0 0(3.59)ncj 2nf jnc0 n0Si a 0 0, la señal contiene un valor promedio diferente de cero. La integración de esta señal produce unacomponente que crece linealmente con el tiempo, y en este caso la señal resultante no es periódica y la serieobtenida por integración no converge.3.3.6 Manipulación de SeñalesCuando una señal periódica x(t) es trasladada, transpuesta (reflejada), diferenciada o integrada, loscoeficientes de Fourier de la señal resultante pueden obtenerse a partir de los de la señal original x(t). Enesta sección derivaremos algunas de esas relaciones en función de los coeficientes de la serie de Fourierexponencial.Considere el efecto sobre el espectro de frecuencias de una señal periódica producida por undesplazamiento en el tiempo de la señal. Sea x(t) una señal periódica de período T 0 , la cual tiene una seriede Fourier dada porx()tjn0t cne(3.60)n223

Consideremos ahora la serie de Fourier de la señal periódica retardada x(t t d ) obtenida a partir de x(t) porun desplazamiento en el tiempo igual a t d . De (3.60) tenemos quedx ( t t ) c ednnnjn0( tt)c ene jn0tdjn0tjn0t ce n(3.61)ndondec c e nnjn 0td. Es decir, el n-ésimo coeficiente de Fourier de x(t t d ) es igual al n-ésimo coeficientede Fourier de x(t) multiplicado por exp( jn 0t d) . El resultado muestra que el espectro de amplitud nocambia pero el de fase es diferente. El n-ésimo armónico de la señal desplazada se retrasa por una cantidadigual an t radianes.0 dSuponga ahora que una señal periódica x(t) de período T 0 es contraída en el tiempo por un factor ; laseñal resultante, x(t), también es periódica pero tiene un período contraído T/. La frecuencia fundamentalde x(t) es por tanto 0 , donde 0 es la frecuencia fundamental de x(t). Para valores del factor deescalamiento menores que la unidad, la señal es expandida en el tiempo y los armónicos son escaladoshacia abajo. Los coeficientes de Fourier ande x(t) pueden ser calculados porT0 T0 jn 10t jn0c n x( t ) e dt x( ) e dT T0 0 0donde = t. Esta última relación nos dice que los coeficientes de Fourier de una señal periódica nocambian cuando se cambia la escala del tiempo. No obstante, las frecuencias de los armónicos cambian porun factor igual al factor de escalamiento.Otras propiedades producidas por manipulación de la señal se dejan como ejercicios.3.4 Transformadas de Fourier y Espectros ContinuosPasemos ahora de señales periódicas a señales no periódicas concentradas en intervalos de tiempo muycortos. Si una señal no periódica tiene energía total finita, su representación en el dominio de la frecuenciaserá un espectro continuo obtenido a partir de la transformada de Fourier. Consideramos la transformada224

de Fourier como un límite de la serie de Fourier haciendo que el período se torne muy largo. De estamanera el espectro de líneas tiende a un espectro continuo.3.4.1 La Transformada de FourierLas series de Fourier por su propia naturaleza, están limitadas a la representación de funciones periódicasque satisfacen las condiciones de Dirichlet.. Por otra parte, muchas funciones importantes son noperiódicas y con frecuencia se necesita una representación efectiva para esas señales. La Fig. 3.9 muestrados señales no periódicas típicas. El pulso rectangular (Fig. 3.9a) está estrictamente limitado en tiempo yaque x(t) es idénticamente igual a cero fuera de la duración del pulso. La otra (Fig. 3.9b) está asintóticamentelimitada en el tiempo en el sentido que x ( t) 0 conforme t . Tales señales también se puedendescribir como “pulsos”. En cualquier caso, si se intenta promediar x(t) o |x(t)| 2 para todo el tiempo, seencontrará que estos promedios son iguales a cero. Por consiguiente, en lugar de hablar sobre potenciapromedio, una propiedad más significativa de una señal no-periódica es su energía.x(t)x(t)AA(a)t–1/b(b)1/btFigura 3.9Como ya se dijo anteriormente, si x(t) es el voltaje en una resistencia, la energía total suministrada seencontraría integrando la potencia instantánea x 2 (t)/R. Por lo tanto, repetimos aquí la fórmula para laenergía normalizada de la señalAlgunos cálculos de la energía pueden hacerse por inspección ya que E es sencillamente el área bajo lacurva de |x(t)| 2 . Por ejemplo, la energía de un pulso rectangular de duración y amplitud A es E = A 2 .Cuando la integral en la Ec. (3.62) existe y da como resultado 0 < E < , se dice que la señal x(t) tieneenergía bien definida y se denominará una señal de energía no periódica. Casi todas las señales limitadas2252E x()t dt(3.62)

en tiempo de interés práctico caen en esta categoría, la cual es la condición esencial para el análisis deFourier usando la transformada de Fourier.Considere la señal periódica definida por1,xt () 0,tT1 T1 tT02donde T 0 es el período. Los coeficientes de la serie de Fourier para esta onda sonck2sen kT 2 , kT T0 100 0 0(3.63)En la Fig. 3.10 se grafica T 0 a k en lugar de a k y también se modifica la separación horizontal en cada gráfico.El significado de estos cambios se puede ver examinando la Ec. (3.63). Multiplicando a k por T 0 se obtieneTc0k2sen k 0T1 2sen T1k 0k0(3.64)226

T 0 a k2 02 0(a)a k T 04 04 0(b)T 0 ak8080(c)Figura 3.10. Coeficientes de Fourier y sus envolventes para la onda periódica cuadrada:(a). T 0 = 4T 1 ; (b) T 0 = 8T 1 ; (c) T 0 = 16T 1 .Entonces, con considerada como una variable continua, la función 2sen T/ representa laenvolvente de T 0 c k y estos coeficientes son muestras igualmente espaciadas de esta envolvente. También,para T 1 fijo, la envolvente de T 0 a k es independiente de T 0 . Sin embargo, de la Fig. 3.10 vemos que conformeT 0 aumenta (o, equivalentemente, 0 disminuye), la envolvente es muestreada con un espaciamiento más ymás corto. Conforme T 0 se hace arbitrariamente grande, la onda cuadrada periódica original se aproxima aun pulso rectangular, es decir, todo lo que queda en el dominio del tiempo es una señal aperiódicacorrespondiente a un período de la onda cuadrada. También, los coeficientes de la serie de Fourier,multiplicados por T 0 se convierten en muestras de la envolvente menos separadas, así que de alguna formael conjunto de los coeficientes de la serie de Fourier tiende a la función envolvente conforme T0 .Este ejemplo ilustra la idea básica detrás del desarrollo de Fourier de una representación para señalesaperiódicas. Específicamente, consideramos una señal aperiódica como el límite de una señal periódicaconforme el período se hace arbitrariamente grande y examinamos la conducta en el límite de la1227

epresentación en serie de Fourier de esta señal. Considere una señal aperiódica general x(t) de duraciónfinita. Es decir, para algún valor T 1 , x(t) = 0 si | t | > T 1 . En la Fig. 3.11a se muestra una señal de este tipo.Partiendo de esta señal aperiódica podemos construir una señal periódica xt () para la cual x(t) es unperíodo, como se indica en la Fig. 3.11b. Conforme aumentamos el período T 0 , xt () se hace más semejantea x(t) durante intervalos más largos, y conforme T 0 , xt () es igual x(t) para cualquier valor finito dex(t).x(t)–T 1 0 T 1 t(a)~ x ( t ). . .. . .–T 0 –T 1 0 T 1 T 0 2T 0 t(b)Figura 3.11. (a) Señal aperiódica x(t): (b) señal periódica xt ( ),construida para que sea igual a x(t) por un período.Este ejemplo ilustra la idea básica detrás del desarrollo de Fourier de una representación para señalesaperiódicas. Específicamente, consideramos una señal aperiódica como el límite de una señal periódicaconforme el período se hace arbitrariamente grande y examinamos la conducta en el límite de larepresentación en serie de Fourier de esta señal. Considere una señal aperiódica general x(t) de duraciónfinita. Es decir, para algún valor T 1 , x(t) = 0 si | t | > T 1 . En la Fig. 3.11a se muestra una señal de este tipo.Partiendo de esta señal aperiódica podemos construir una señal periódica xt () para la cual x(t) es unperíodo, como se indica en la Fig. 3.11b. Conforme aumentamos el período T 0 , xt () se hace más semejantea x(t) durante intervalos más largos, y conforme T 0 , xt () es igual x(t) para cualquier valor finito dex(t).Examinemos ahora qué efecto tiene esto sobre la representación en serie de Fourier de la señal xt ():228

jk0tx () t ckek(3.65)T021 jk0tk ()T0 (3.66) T02c x t e dtLa separación entre los coeficientes c k es ( k1)0 k0 0.Puesto que x ( t) x( t)para t T 2 0y también como x(t) = 0 fuera de este intervalo, la Ec. (3.66)puede escribirse de nuevo comoT0/21 jk0t 1 jk0tk ( ) ( )T0 T0 T0/2c x t e dt x t e dtPor lo tanto, definiendo la envolvente X() de T 0 a k como jtX x t e dt ()tenemos que los coeficientes c k pueden expresarse como (3.67)ck1 X k0 (3.68)TCombinando las Ecs. (3.68) y (3.65), xt () se puede expresar en función de X() comoo equivalentemente, como 2/T 0 = 0 , por01x() t X k0eTk0jk0 1 1x () t X k e X k e 22(3.69)kjk 0t jk0t0 0 0kConforme T 0 , ~ x ( t ) tiende a x(t) y por consiguiente, la Ec. (3.67) se convierte en una representación dex(t). Adicionalmente, = 0 0 conforme T 0 , y el lado derecho de la Ec. (3.69) pasa a ser unaintegral. Por lo tanto, usando el hecho de que x ( t) x( t)conforme T0, las Ecs. (3.69) y (3.67) seconvierten en1jt j 2 f tx( t) X ( ) e d X ( f ) e df2 t (3.70)229

jt j 2 f t( ) ( ) ( ) ( ) (3.71)X x t e dt x t e dt X fLas Ecs. (3.70) y (3.71) se conocen como el par de transformadas de Fourier; la función X() [o X(f) ]dada por la Ec. (3.71) se conoce como la transformada de Fourier o integral de Fourier de x(t) y la Ec.(3.70) como la ecuación de la transformada de Fourier inversa. La ecuación de síntesis (3.70) juega unpapel para las señales aperiódicas semejante al de la Ec. (3.21) para señales periódicas, ya que ambascorresponden a una descomposición de una señal en una combinación lineal de exponenciales complejas.Para señales periódicas, estas exponenciales complejas tienen amplitudes {a k } dadas por la Ec. (3.25) yocurren en un conjunto discreto de frecuencias relacionadas armónicamente k 0 , k = 0, 1, 2, . Paraseñales aperiódicas, estas exponenciales complejas son equivalentes a especificar x(t), ocurren en uncontinuo de frecuencias y, de acuerdo con la ecuación de síntesis (3.70), tienen “amplitud” X()(d/). Enanalogía con la terminología usada para los coeficientes de la serie de Fourier para una señal periódica, latransformada X() [o X(f) ] de una señal aperiódica x(t) se conoce comúnmente como el espectro de X() [ode X(f) ], ya que nos da la información concerniente de cómo x(t) está compuesta de señales sinusoidales dediferentes frecuencias y proporciona una medida de la intensidad de x(t) en el intervalo de frecuencias entre 0 y 0 + (d en el límite); es decir, en el dominio de la frecuencia, X() determina cuánto del valor dex(t) en t es atribuible a los valores de entre 0 y 0 + ,3.4.2 Convergencia de las Transformadas de FourierAunque el argumento usado para derivar el par de transformadas de Fourier supuso que x(t) era deduración arbitraria pero finita, las Ecs. (3.70) y (3.71) se mantienen válidas para una clase extremadamenteamplia de señales de duración infinita. De hecho, nuestra derivación de la transformada de Fourier sugiereque aquí también debe ser aplicable un conjunto de condiciones como las requeridas para la convergenciade la serie de Fourier, y ciertamente se puede demostrar que éste es el caso. Específicamente, considere laevaluación de X() de acuerdo con la Ec. (3.71) y sea xt ˆ( ) la señal obtenida al usar X() en el ladoderecho de la Ec. (3.70); es decir,jtxˆ( t) X ( )e d12 Lo que nos gustaría saber es cuándo es válida la Ec. (3.70) [es decir, cuándo xt ˆ( ) es una representaciónválida de la señal original x(t)]. Si x(t) es una señal cuyo cuadrado es integrable de modo que230

x 2() dt (3.72)entonces estamos garantizando que X() es finita [la Ec. (3.71) converge] y que, denotando por e(t) el errorentre xt ˆ( ) y x(t) [es decir, e(t) = xˆ( t) x( t)], entonces2e( t ) dt 0(3.73)Las Ecs. (3.72) y (3.73) son las contrapartes aperiódicas de las Ecs. (3.50) y (3.53) para señalesperiódicas. Así, al igual que con señales periódicas, si x(t) es cuadrado integrable, entonces aunque x(t) y surepresentación de Fourier xt ˆ( ) pueden diferir significativamente en valores individuales de t, en sudiferencia no hay energía.Igual que con las señales periódicas, existe un conjunto alterno de condiciones que son suficientes paraasegurar que xt ˆ( ) sea igual a x(t) para cualquier t excepto en alguna discontinuidad, donde es igual al valorpromedio de la discontinuidad. Estas condiciones, igualmente conocidas como las condiciones de Dirichlet,requieren que:1. x(t) sea absolutamente integrable, es decir, x () t dt (3.74)2. x(t) tenga un número finito de máximos y mínimos dentro de cualquier intervalo finito.3. x(t) tenga un número finito de discontinuidades dentro de cualquier intervalo finito. Adicionalmente, cadauna de estas continuidades debe ser finita.En consecuencia, las señales absolutamente integrables que son continuas o tienen un número finito dediscontinuidades tienen transformadas de Fourier.Aunque los dos conjuntos alternos de condiciones que hemos dado son suficientes para garantizar que unaseñal tiene una transformada de Fourier, en la próxima sección veremos que señales periódicas, que no sonabsolutamente integrables ni cuadrado integrables en un intervalo infinito, pueden considerarse que poseentransformadas de Fourier si se permiten funciones impulso en la transformada. Esto tiene la ventaja de quela serie y la transformada de Fourier pueden incorporarse en un marco común y esto será muy convenientepara diferentes tipos de análisis. Antes de examinar este punto un poco más en la próxima sección, primerose debe señalar que la transformada de Fourier es una transformación lineal; es decir,231

a x ( t) a x ( t) a X ( ) a X ( )1 1 2 2 1 1 2 2Se deja para el lector la demostración de esta propiedad.Por la fórmula de Euler, la integral de Fourier, Ec. (3.71), puede escribirse en la formaEscribiendo ahoraX ( ) x ( t)(cos t jsen t ) dt(3.75)X ( ) Re[ X ( )] j Im{ X ( )e igualando con las partes real e imaginaria de la Ec. (3.75), se obtieneRe[ X ( )] x ( t)cost dt(3.76)Im[ X ( )] x( t)sent dt(3.77)Esto muestra que la parte real de X() es una función par de y la parte imaginaria de X() es una funciónimpar de , dandoX( ) X*( )(3.78)La implicación de la Ec. (3.76) es que si X() es conocida para > 0, entonces también es conocida para < 0. Por esta razón, X() muchas veces sólo se grafica para > 0.Consideremos ahora algunos ejemplos de la transformada de Fourier.3.4.3 Ejemplos de Transformadas de Fourier en Tiempo ContinuoEjemplo 5. Considere la señal atx( t) e u ( t)Si a < 0, entonces x(t) no es absolutamente integrable y, por tanto, X() no existe. Para a > 0, X() seobtiene a partir de la Ec. (3.71) como232

Es decir, a t jt1X ( )e e dt ea j 01X( ) , a0a j a jt0Puesto que esta transformada de Fourier tiene partes real e imaginaria, para graficarla en función de laexpresamos en términos de su magnitud y fase:1X( ) , ( )= tana a 1 X 2 2Cada una de estas componentes se grafica en la Fig. 3.12. Observe que si a es compleja, entonces x(t) esabsolutamente integrable siempre que Re{a} > 0, y en este caso el cálculo precedente produce la mismaforma para X(); es decir,1X( ) , Rea 0a jX ()1/a12 a–a(a)aX ()–a(b)aFigura 3.12 Transformada de Fourier de la señal x(t) = e at u(t).Ejemplo 6. Seax()t e at233

donde a > 0. Esta señal se grafica en la Fig. 3.13.x(t)10tFigura 3.13 Señal x(t) = e a|t | .El espectro de esta señal es0 at jt a t jt a t jt X ( ) e e dt e e dt e e dt1 1 2a a j a j a 2 20En este caso X() es real y se ilustra en la Fig. 3.14.X()2/a1/a–a0aFigura 3.14 Transformada de Fourier de la señal en la Fig. 3.13.Ejemplo 7. Considere el pulso rectangular1,xt () 0,tt T1 T1(3.79)que se muestra en la Fig. 3.15a.234

1x(t)–T 1 02T 1(a)X()T 1tT 10T 1 (b)Figura 3.15. El pulso y su transformada de Fourier.Aplicando la definición de la transformada, encontramos que ésta está dada porT1 jtsen T1(3.80) T1X ( ) e dt 2Como se explicó al comienzo de esta sección, la señal dada en la Ec. (3.79) puede considerarse como laforma límite de una onda cuadrada periódica conforme el período se hace arbitrariamente grande. Por lotanto, es de esperar que la convergencia de la ecuación de síntesis para esta señal se comporte en una formasimilar a la observada para la onda cuadrada, y, de hecho, éste es el caso.Ejemplo 8. Considere la señal x(t) cuya transformada de Fourier está dada por1,X ( ) 0,Esta transformada se ilustra en la Fig. 3.16b.Usando la ecuación de síntesis, podemos determinar x(t): W W(3.81)la cual se muestra en la Fig. 3.16a.W1jtsenWtx()t e d 2 (3.82)tW235

W/x(t)W0Wt(a)1X()–W 0(b)W Figura 3.16. Par de transformadas de Fourier del Ejemplo 8.Comparando las Figs. 3.15 y 3.16, o equivalentemente, las Ecs. (3.79) y (3.80) con las Ecs. (3.81) y (3.82), se observa una relación interesante. En cada caso, el par de transformadas de Fourier consiste de unafunción sen x/ x y un pulso rectangular. Sin embargo, en el Ejemplo 7 es la señal x(t) la que es un pulso,mientras que en el Ejemplo 8, es la transformada. La relación especial que aparece aquí es unaconsecuencia directa de la propiedad de dualidad para las transformadas de Fourier, la cual se discute másadelante.3.5 La Transformada de Señales PeriódicasEn la sección anterior se desarrolló la transformada de Fourier para señales aperiódicas considerandoel comportamiento de la serie de Fourier para señales periódicas conforme el período se hacearbitrariamente grande. Como lo indican los resultados, las representaciones en series de Fourier y entransformadas de Fourier están íntimamente relacionadas y en esta sección investigamos un poco másesa relación y también desarrollamos una representación en serie de Fourier para señales periódicas.3.5.1 Los Coeficientes de la Serie de Fourier como Muestras de la TransformadaComo un primer paso, recuerde que en la derivación de la transformada de Fourier se hizo laobservación de que los coeficientes de Fourier de una señal periódica xt () se podían obtener a partir de236

muestras de una envolvente, que se determinó era igual a la transformada de Fourier de una señal aperiódicax(t) y que a su vez era igual a un período de ~ x ( t ) . Específicamente, sea T0 el período fundamental de xt (),como se ilustra en la Fig. 3.17. Como ya se vio, si x(t) se toma como T0 T0x( t ), t 2 2xt () T0 T00, t o t 2 2(3.83)entonces los coeficientes de Fourier c k de ~ x ( t ) pueden expresarse en función de las muestras de latransformada de Fourier X() de x(t):T0 / 2 T0/ 21 0 10( ) jk t( ) jk t kT0 T0T0 / 2 T0/ 2c x t e dt x t e dt1 jk10t x( t ) e dt X ( k0)T0T0(3.84)x(t). . .. . .T 0T 0–T 0 02 2T 0tFigura 3.17. Señal Periódica.Sin embargo, puesto que los coeficientes de Fourier, c k , pueden obtenerse integrando en cualquier intervalode longitud T 0 , podemos efectivamente obtener una expresión más general que la dada en la Ec. (3.84).Específicamente, sea s un punto arbitrario en el tiempo y definamos la señal x(t) como igual a ~ x ( t ) en elintervalo s t s + T 0 y cero para otros valores de s. Es decir,x( t),s t s T0xt () 0, t s o t s TEntonces los coeficientes de la serie de Fourier de xt () vienen dados por0(3.85)ck1T0X ( k)0(3.86)237

donde X() es la transformada de Fourier de x(t) en la forma definida en la Ec. (3.85). Observe que la Ec.(3.86) es válida para cualquier selección de s y no únicamente para sT /2 0. Sin embargo, esto nosignifica que la transformada X() es la misma para todos los valores de s, pero sí implica que el conjuntode muestras X(k 0 ) es independiente de s.En lugar de dar una demostración de la validez de la Ec. (3.86) en general, la ilustraremos mediante elsiguiente ejemplo.Ejemplo 9. Sea xt () la onda periódica cuadrada con período T 0 ilustrada en la Fig. 3.18a, y sean x 1 (t) yx 2 (t) como se muestran en las Figs. 3.18b y c. Estas señales son iguales a ~ x ( t ) en intervalos diferentes delongitud T 0 . La transformada de Fourier de x 1 (t) ya se obtuvo y es2sen T1X1( )La transformada de Fourier de x 2 (t) puede calcularse a partir la fórmula de definición:2 2T1T0 jt jt jt X ( ) x ( t ) e dt e dt e dt0T0T11 1 jj jT01 1 jTjTe e e1 1(3.87)1 1 e e e e e ejj jT0T1 /2 jT1 / 2 jT1 / 2 jT1 / 2 jT1 / 2 jT1/ 22 T1 1 /2 j T0 T1/2sen jT e ej 2(3.88)Las transformadas X 1 () y X 2 () no son iguales. De hecho, X 1 () es real para todos los valores de mientras que X 2 () no lo es. Sin embargo, para = k 0 , la Ec. (3.88) se convierte enPuesto que 0 T 0 = 2, esta relación se reduce a2 kTX2k0 sen e e ek 2 0 1 / 2 / 2 0 jk0T1 jk0T0 jk0T1 2 kTX2( k 0) sen e ek 0 1 jk0T1 / 2 jk0T1/ 2 02 238

4 kT kT sen cos0 1 0 1 k0 2 2 2sen k0T1 X1( k0)k01xt ()–T 0–T 1 T 1–T 10 T 1 T 0(a) x 1 (t)1t0(b)x 2 (t)1t0(c)T 1 T 0 – T 1tFigura 3.18la cual confirma el resultado dado en la Ec. (3.86), a saber, que los coeficientes de Fourier de una señalperiódica pueden obtenerse a partir de muestras de la transformada de Fourier de una señal aperiódica quesea igual a la señal periódica original en cualquier intervalo arbitrario de longitud T 0 y que sea cero fuerade ese intervalo.3.5.2 La Transformada de Fourier de Señales PeriódicasConsideremos una señal x(t) cuya transformada de Fourier X() es un solo pulso de área 2 en = 0 , esdecir,0X ( ) 2 (3.89)239

Para determinar la señal x(t) a la que corresponde esta transformada de Fourier, aplicamos la relación de latransformada de Fourier inversa para obtener1jtx( t ) 2 0e d2 ejtSi X() está en la forma de una combinación lineal de impulsos igualmente espaciados en frecuencia, esdecir,X ( ) 2c k (3.90)kentonces la aplicación de la propiedad de linealidad producek0 jk tkk0x()t c e (3.91)y esta última corresponde exactamente a la representación en serie de Fourier de una señal periódica. Asíque la transformada de Fourier de una señal periódica con coeficientes de su serie de Fourier {a k }, puedeinterpretarse como un tren de impulsos que ocurren en las frecuencias relacionadas armónicamente y dondeel área de la k-ésima frecuencia armónica k 0 es 2 veces el k-ésimo coeficiente de la serie de Fourier c k .Ejemplo 10. Considere de nuevo la onda cuadrada ilustrada en la Fig. 3.18a. Los coeficientes de la serie deFourier para esta señal sony la transformada de Fourier esX ( )ckksen k 0T 1k2sen kTla cual se grafica en la Fig. 3.19 para T 0 = 4T 1 .X ()k0 1 k0 0 0Figura 3.19. Transformada de Fourier de una onda cuadrada periódica simétrica.240

Ejemplo 11. Considere el tren de impulsos periódicos dado porx () t t kTky dibujado en la Fig. 3.20a. Esta señal es periódica con período fundamental T. Para determinar latransformada de Fourier de esta señal, calculamos primero sus coeficientes de Fourier:Insertando ésta en la Ec. (3.91) daT /210 () jk tkTc t e dt T /21T2 2kX ( )T T kLa transformada de un tren de impulsos en el tiempo es entonces un tren de impulsos en frecuencia, comose muestra en la Fig. 3.20b. Aquí se ve de nuevo una ilustración de la relación entre los dominios del tiempoy de frecuencia. Conforme la separación entre los impulsos en el tiempo se hace mayor, la separación entrelos impulsos en frecuencia se hace menor.x(t). . .1. . .. . .–2T –T2 T0 T 2T(a)X()4 2 0 2 4 T TT T(b). . .tFigura 3.20. (a) Tren de impulsos periódicos; (b) su transformada de Fourier.241

3.6 Propiedades Adicionales de la Transformada de FourierAhora pasaremos a considerar varias propiedades de la transformada de Fourier que nos proporcionanuna cantidad significativa de comprensión de la transformada y de la relación entre las descripciones de laseñal en los dominios del tiempo y la frecuencia. Adicionalmente, muchas de estas propiedades confrecuencia son útiles en la reducción de la complejidad en la evaluación de las transformadas y para estudiarmejor la relación entre las representaciones en serie de Fourier y en transformada de Fourier de una señalperiódica. A través de la presentación también usaremos la notaciónx(t) X() = F { xt ( )}para referirnos al par de transformadas x(t) y X().3.6.1 Retardo en el Tiempo y Cambio de EscalaDada una función del tiempo x(t), a partir de ella se pueden generar otras formas de ondas mediante unamodificación del argumento de la función. Específicamente, reemplazando t por t t produce la señalretardada en el tiempo x(t t d ). La señal retardada tiene la misma forma que x(t) pero esta desplazada t dunidades hacia la derecha en el eje del tiempo. Para establecer esta propiedad, suponga quex(t) X()Considere entonces la transformada de la función retardada:dHaciendo = t t d , se obtiene jtF { x( t t } x( t t ) e dddesto es,F d dx( t t ) x e d e X ( )d j t j tx t t e X e X f(3.92) 2( ) j t d d( ) j ftd( )Antes de proceder con el siguiente ejemplo, definamos el pulso rectangular de la Fig. 3.21, el cual por sertan común merece un símbolo propio. Se adoptará la notación242

1 t / 2 ( t/ ) rect t 0 t / 2(3.93)x(t)A0 tFigura 3.21. La función rectangular.que representa una función rectangular con amplitud unitaria y duración centrada en t = 0. El pulso en lafigura se escribe entonces comoy su transformada de Fourier esx( t) A( t ) Arect t (3.94) /2 jt2 A X ( ) Ae dt sen Asinc(3.95) 2 2/2El desplazamiento o corrimiento de fase en la transformada es una función lineal de . Si t d es unacantidad negativa, la señal es adelantada en el tiempo y la fase añadida tiene pendiente positiva.Si el pulso rectangular no está centrado en el origen, entonces se denota como indica que el pulso está centrado en T 0 y su ancho es igual a .rect t T 0 ; estoEjemplo 12. La señal en la Fig. 3.22 se construye usando dos pulsos rectangulares x(t) = At talesque za ( t) x( t td ) 1x t tdTdonde t 0 = t d + T/2. Aplicando los teoremas de superposición (linealidad) y de retardo, se obtienedonde X() está dada por la Ec. (3.95).dZa( ) X ( ) e e j t d j t TSi t 0 = 0 y T = , z a (t) se degenera en la onda de la Fig. 3.22b donde243

t 2 t 2zb() t A A El espectro se convierte entonces en Z ( ) Asinc j 2sen 2b2 j Asinc22El espectro es puramente imaginario porque z b (t) tiene simetría impar.z a (t)AT/2 T/2t d t 0t d + Tt0–Az b (t)At(a)Figura 3.22(b)Otra operación en el eje del tiempo es un cambio de escala, el cual produce una imagen de x(t) escaladahorizontalmente al reemplazar t por t. La señal escalada x(t) será expandida si 1 o comprimida si 1; un valor negativo de produce inversión en el tiempo y también expansión o compresión.El cambio de escala en el dominio del tiempo se convierte en un cambio de escala recíproco en eldominio de la frecuencia. Es decir, sientoncesx(t) X()1x( t ) X (3.96)donde es una constante real. Se demostrará la Ec. (3.96) para el caso < 0 escribiendo yhaciendo ahora el cambio de variable t, y dt d , se tiene que244

F jtx ( t ) x ( t ) e dt1 j x ( )e d 1 j / x e d 1 X 3.6.2 Diferenciación en el Dominio del TiempoDiferenciando la Ec. (3.68) (que da la definición de la transformada inversa) con respecto al tiempo, seobtienedx( t) 1jt jX ( ) e ddt 2 Pero la expresión entre corchetes en el lado derecho, por definición, es la transformada de la derivadadx()tdt y así obtenemos el par de transformadasdx()tEs bastante sencillo demostrar para el caso general quedtnd x()tdtn jX( )(3.97)n ( j) X ( )(3.98)3.6.3 Integración en el Dominio del TiempoSuponga que a partir de x(t) se genera otra función por integración, es decir,El teorema de integración dice que sientoncestty ( t ) x ( )d.X (0) x ( ) d 01 1x ( ) d X ( ) X ( f )(3.99) jj2f245

La condición de que el área neta sea cero asegura que la señal integrada tiende a cero conforme t tiende ainfinito. Puesto que la integración es el proceso inverso de la diferenciación, la Ec. (3.99) muestra que laoperación en el dominio de la frecuencia correspondiente a la integración en el dominio del tiempo es lamultiplicación por 1 j .3.6.4 DualidadComparando las relaciones para la transformada y la transformada inversa1jt j 2 ftx ( t) X ( ) e d X ( f ) e df2 (3.100)0 jtX ( ) x( t ) e dt X ( f )(3.101)se observa que hay una simetría bien definida, difiriendo solamente por la variable de integración y el signoen el exponente. De hecho, esta simetría conduce a una propiedad de la transformada de Fourier conocidacomo dualidad. Específicamente, considere cambiar en la Ec. (3.101) por ; se obtiene j tXx()t e dt (3.102)Comparando esta ecuación con la Ec. (3.100), vemos que si ahora intercambiamos y t, obtenemosy se tiene quejtX ( t ) xe d (3.103)12 x( ) F X ( t)(3.104)Es decir, si se nos da el par de transformadas de Fourier para la función temporal x(t):xt ( ) X( )(3.105)y después consideramos la función del tiempo X(t), su par de transformadas de Fourier es2 x( )X( t) x( f )Las implicaciones de estas dos últimas ecuaciones son importantes. Por ejemplo, suponga que(3.106)1,x()t 0,tt M M(3.107)Entonces, de la Ec. (3.102),246

2sen MMX( ) 2M sinc (3.108) Ese resultado, junto con la Ec. (3.97) o, equivalentemente, la Ec. (3.105), produce el par de transformadasen la Ec. (3.96) para M = /2, mientras que si usamos la Ec. (3.105) o la Ec. (3.107) obtenemos el par en laEc. (3.82) con M = W. Por lo tanto, la propiedad de dualidad permite obtener ambas de estas transformadasduales a partir de una evaluación de la Ec. (3.102). Esto a veces permite una reducción en la complejidad delos cálculos involucrados en la determinación de las transformadas y las transformadas inversas. Comoilustración de esta propiedad, consideraremos el siguiente ejemplo.EJEMPLO 13. Supóngase que se desea evaluar la transformada de Fourier de la señalSi hacemosx()t t2212x( )2 1entonces, de la Ec. (3.105), tenemos el par de transformadas de FourierPor el Ejemplo 6 sabemos queg ( t ) x( )g()t e 2 2 Adicionalmente, usando el par de transformadas dado por la Ec. (3.106), concluimos que puesto que f(t) =x(t), entoncesF X ( ) x( t) 2 g( ) 2e t1La propiedad de dualidad también puede usarse para determinar o sugerir otras propiedades de latransformada de Fourier. Específicamente, si existen características de una función del tiempo que tienenimplicaciones sobre la transformada de Fourier, entonces las mismas características asociadas con unafunción de la frecuencia tendrán implicaciones duales en el dominio del tiempo. Por ejemplo, sabemos queuna función del tiempo periódica tiene una transformada de Fourier que es un tren de impulsos ponderadose igualmente espaciados. Debido a la dualidad, una función del tiempo que es un tren de impulsosponderados e igualmente espaciados tendrá una transformada de Fourier que es periódica en frecuencia.247

Esto es una consecuencia de las Ecs. (3.103) y (3.104). En forma similar, algunas de las propiedades de latransformada de Fourier ya consideradas también implican propiedades duales. Por ejemplo, vimos que ladiferenciación en el dominio del tiempo corresponde a multiplicar por j en el dominio de la frecuencia. Dela discusión anterior podríamos entonces intuir que la multiplicación por jt en el dominio del tiempocorresponde a alguna forma de diferenciación en el dominio de la frecuencia. Para determinar la formaprecisa de esta propiedad dual, procedemos en la forma siguiente: Diferenciamos la ecuación de síntesis conrespecto a para obtenerEs decir, jtx( t)que es la propiedad dual de la Ec. (3.97).En forma similar, otras propiedades duales son:dX ( ) jtx () t ed jtdX ( )ddt(3.109)yj0te x t X( ) ( )(3.110)0que se obtiene a partir de la Ec. (3.115) más adelante.1 x ( t) x (0) ( t) X ( ) d (3.111)jt3.6.5 La Relación de ParsevalSi x(t) y X() forman una par de transformadas de Fourier, entonces, la energía de una señal xt () estárelacionada con su espectro por la relación 2 12 2( ) ( ) ( )2 (3.112)E x t dt X d X f df Esta expresión, conocida como la relación de Parseval, se deduce de una aplicación directa de latransformada de Fourier. Específicamente,248

jtx( t) dt x( t) x *( t) dt x( t) X *( )e ddt 2 12 Invirtiendo el orden de integración se obtiene jtx( t) dt X *( ) x ( t)e dtd 2 12 Pero la cantidad entre corchetes es sencillamente la transformada de Fourier de x(t); en consecuencia, 2 12 2( ) ( ) ( )2 x t dt X d X f df La relación de Parseval expresa que la energía total puede determinarse bien sea calculando la energía porunidad de tiempo, |x(t)| 2 , e integrando para todo el tiempo o calculando la energía por unidad defrecuencia, X 2, e integrando para todas las frecuencias. Por esta razón, a |X()| también se le refierecomo el espectro de la densidad de energía de la señal x(t). Con esto se quiere decir que la energía encualquier banda diferencial de frecuencias df es igual a X ( f ) df .Ejemplo 14. Considere el par de transformadas1,x()t 0,tt T1 T12sen T1 T1X( ) 2T1sinc La energía total de la señal esT12 T 24T 2 1sinc d 1 dt 2T 112 1 Como se observa, es mucho más fácil integrar el lado derecho que el lado izquierdo. T13.7 La Propiedad de ConvoluciónEsta propiedad juega un papel importante en el estudio de los sistemas LIT. La propiedad expresa que six( t ) X ( )h( t ) H ( )entonces249

y ( t) x ( ) h( t ) d x( t) h( t) Y ( ) X ( ) H ( )(3.113)La demostración se obtiene directamente a partir de la definición de la integral de convolución, vale decir,queremos determinar Y() usando la ecuación jtY ( ) F y( t) x( ) h( t )de dt Intercambiando el orden de integración y observando que x() no depende de t, tenemos jtY ( ) x ( ) h( t )e ddt Por el teorema del retardo, el término entre corchetes es simplemente H()e j , y entonces jY ( ) x ( ) e H ( )d j H ( ) x ( )e d H( ) X( )x(t)X()h(t)LITH()y(t) = x(t)h(t)Y() = X()H()Figura 3.23. Propiedad de convolución de sistemas LIT.Así que una convolución en el dominio del tiempo es equivalente a una multiplicación en el dominio de lafrecuencia, la cual, en muchos casos, es conveniente y se puede hacer por inspección. El uso de lapropiedad de convolución para sistemas LIT se muestra en la Fig. 3.23. El espectro de amplitud y el de fasede la salida y(t) están relacionados con los espectros de la entrada x(t) y la respuesta al impulso h(t) en laforma250

Y ( ) X ( ) H ( ) Y ( ) X ( ) H ( )La función H() o H(f), la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema, generalmente seconoce como la respuesta de frecuencia del sistema. Muchas de las propiedades de sistemas LIT puedeninterpretarse convenientemente en términos de H(). Por ejemplo, la respuesta al impulso de la conexión encascada de dos sistemas LIT es la convolución de las respuestas al impulso de los sistemas individuales y larespuesta completa no depende del orden en el cual los sistemas están en la cascada (¡demuéstrelo!).Usando la Ec. (3.113) podemos definir esto en términos de las respuestas de frecuencia. Como se ilustra enla Fig. 3.24, la respuesta de frecuencia total de los dos sistemas en cascada es simplemente el producto delas respuestas de frecuencia individuales, y de esto está claro que la respuesta total no depende del orden dela cascada.x(t)H 1 ()H 2 ()y(t)(a)x(t)H 1 ()H 2 ()y(t)(b)x(t)H 2 ()H 1 ()y(t)(c)Figura 3.24. Tres sistemas LIT equivalentes.Ejemplo 15. La convolución periódica f ( t) x1( t) x2( t)se definió en el Ejemplo 11 del Cap. 2. Si d ny e n son los coeficientes de Fourier complejos de x 1 (t) y x 2 (t), respectivamente, demuestre que loscoeficientes de Fourier complejos c k de f (t) están dados porc T d ek 0 k kdonde T 0 es el período fundamental común a x 1 (t), x 2 (t) y f (t).Sabemos que251

Seanlas series de Fourier para x 1 y x 2 . EntoncesT0f ( t) x ( t) x ( t) x ( ) x ( )d1 2 1 2jk0t jk0t1( ) ky2( ) kkkx t d e x t e e0ComoT0jk0( t)f ( t ) x ( ) eke d k0 T0jk0t jk0 e e x ( )e dkk0T01 jk0dkx ( ) e dT 0 0 se obtiene quef () t T0dkekekla cual muestra que los coeficientes de Fourier complejos c k de f (t) son iguales a T 0 d k e k .jk0t3.7.1 Las Funciones Escalón y SignoLa falta de simetría en la función escalón crea un problema cuando tratamos de determinar su transformadaen el límite. Para resolver este problema, comenzamos con la función signo, Fig. 3.25, definida comola cual presenta simetría impar.1 t 0sgn t 1 t 0252

sgnt10 t–1Figura 3.25. La función signo.La función signo puede considerarse como un caso límite de la función ez()t e bt btt 0t 0de manera que z( t) sgn t si b 0 . La transformada de z (t)esZ( f ) b j4f(2 f)2 2y, por tanto,F1sgn t lím Z ( f ) j f b0de donde se obtiene el par de transformadassgn t1j fLas funciones escalón y signo están relacionadas por la ecuaciónu( t ) 1 sgn t 1 1 sgn t 12 2 2y, por consiguiente,1 1u( t) ( f )j2f 2(3.114)Ahora queremos derivar la propiedad de integración cuando la señal integrada tiene un área neta diferentede cero. Esta propiedad se obtiene mediante la convolución de u(t) con una señal de energía arbitraria x(t),253

x ( t ) u ( t ) x( ) u ( t )dt x( )dPero, del teorema de la convolución y la Ec. (3.114), se tiene quepor lo queF x 1 1( t ) u ( t ) X ( f ) ( )j2 f 2f t1 1x ( ) d X (0) ( f )(3.115)j2f2la cual se reduce a nuestro teorema de integración previo cuando X(0) = 0.Ejemplo 16. Considere un sistema LIT con respuesta al impulso ath( t) e u ( t)y cuya excitación es la función escalón unitario u(t). La transformada de Fourier de la salida es at 1 1 Y ( ) F u ( t ) F e u ( t ) ( )j a j 1( )a j a j 1 1 1 1 ( )a j a a jTomando la transformada de Fourier inversa de ambos lados resulta en1 1 aty ( t ) u ( t ) e u ( t )a a3.8 Modulación1 1 at e u ( t )a La propiedad de convolución expresa que la convolución en el dominio del tiempo se corresponde con unamultiplicación en el dominio de la frecuencia. A causa de la propiedad de dualidad entre los dominios deltiempo y de la frecuencia, es de esperar que también se cumpla una propiedad dual. Específicamente, si254

x(t) X()entoncesm(t) M()12 x( t) m( t) X ( ) M ( ) X ( f ) M ( f )(3.116)La convolución de señales de frecuencia se obtiene exactamente igual a la convolución en el dominio deltiempo; es decir, X ( ) H ( ) X ( ) H ( ) d H ( ) X ( )dLa multiplicación de la señal deseada x(t) por m(t) es equivalente a alterar o modular la amplitud de x(t) deacuerdo con las variaciones en m(t), y por ello también se denomina modulación de amplitud. Laimportancia de esta propiedad se ilustrará con algunos ejemplos.Ejemplo 17. Sea x(t) una señal cuyo espectro X() se muestra en la Fig. 3.26a. También considere la señalm(t) definida porEntoncesm( t) cos tM ( ) ( 0) ( 0)como se muestra en la Fig. 3.28b, y el espectro (1/2) M()*X() de m(t)x(t) se obtiene aplicando la Ec.(3.112):M ( ) X ( ) X ( ) X ( ) R( )1 1 12 2 0 20el cual se grafica en la Fig. 3.26c. Aquí hemos tomado 0 > 1 para que las partes diferentes de cero deR() no se solapen. Vemos entonces que el espectro de la onda resultante de la multiplicación en el tiempoconsiste de la suma de dos versiones desplazadas y escaladas de X().0255

S()A00 – 1 0 + 1 1 1 0 0 0 00 0 – 1 0 0 + 1(a)R( ) [ S() P()]P()21A/2(b)(c)Figura 3.26. La propiedad de modulación.De la Ec. (3.116) y de la Fig. 3.26 está claro que toda la información contenida en la señal x(t) se preservacuando la multiplicamos por una señal sinusoidal, aunque la información ha sido corrida hacia frecuenciasmayores. Este hecho forma la base para los sistemas de modulación de amplitud sinusoidal y en el próximoejemplo le damos una mirada a cómo podemos recuperar la señal original x(t) a partir de la señal modulada.Ejemplo 18. Consideremos ahora la señal r(t) = m(t)x(t) en el Ejemplo 16 y seag(t) = r(t)m(t)donde, de nuevo, m( t) cos0t. Entonces, R(), M() y G() son como se muestra en la Fig. 3.27.R()A/2 00 0(a)M()G()A/2A/4 0 0 0 0 0 0(b)(c)256

Figura 3.27. Espectros de las señales en el Ejemplo 18.De la Fig. 3.27c y de la linealidad de la transformada de Fourier, vemos que g(t) es la suma de 1 xt () y2una señal con un espectro que es diferente de cero solamente para las frecuencias más altas (centradasalrededor de 2 0 ). Suponga que aplicamos la señal g(t) como la entrada a un sistema LIT con respuesta defrecuencia H() que es constante para frecuencias bajas (digamos para 1y cero para las frecuenciasaltas (para 0). Entonces la salida de este sistema tendrá como su espectro H()G(), la cual, debidoa la selección particular de H(), será una réplica a escala de X(). Por lo tanto, la salida misma será unaversión a escala de x(t).3.9 Generación de Otros Pares de TransformadasEl impulso y el escalón unitarios están relacionados por la identidadd( t td) u ( t td)(3.117)dtla cual proporciona otra interpretación del impulso en términos de la derivada de una discontinuidad en laforma de un escalón. Esta ecuación, junto con la ecuación de definición del impulso, facilita ciertos cálculosde transformadas y ayuda a predecir el comportamiento de alta frecuencia de una señal. El método es elsiguiente: Se diferencia repetidamente la señal bajo análisis hasta que aparezcan por primera vez una o másdiscontinuidades escalonadas. La siguiente derivada, digamos la n-ésima, incluye entonces un impulsoA ( t t ) por cada discontinuidad de amplitud A k , por lo quekknd( ) ( )k(k)n x t y t A t tdt (3.118)donde y (t)es una función que no contiene impulsos. Transformando la Ec. (3.118) danj 2 f tk( j2 f ) X ( f ) Y ( f ) Ake kla cual puede resolverse para obtener X( f ) si se conoce Y( f ).k (3.119)257

Ejemplo 19. La Fig. 3.28 muestra una forma de onda llamada el pulso coseno levantado porque estádefinida comoA t t xt ( ) 1 cos 2 2Usaremos el método de diferenciación para determinar el espectro X( f ) y el comportamiento en altafrecuencia.Al derivar se encuentra quedx () t A t t A t sen 1 cos ( t ) ( t )dt 2 2 2 A t t sen 2 222d x () t A t t A tdt2 cos sen ( t ) ( t )2 2 2 2A t t cos 2 2Observe que d 2 x(t)/dt 2 es discontinua en y = y, por ello, a partir de esta última relación se tiene que32 2d x( t ) dx ( t ) A dt3 ( t ) ( t ) dt 2 y tomando la transformada se obtienepara obtener finalmente queX( f ) 3 2 3 j 2ft j 2ft j 2 f X ( f ) j 2 f X ( f ) e e jAsen 2f Asinc2f 2 3 2j2 f ( ) ( j2 f ) 1 (2 f )A2258

Ax(t)A2(a)dxdt 20 2 A 2t0t2 d xdt22 A 2(b)0t3d xdt33 A 20t(c)A2 A 2X ( f )A2A2 f1 (2 f) 20 1 21 3 22 fFigura 3.28.Pulso coseno levantado. (a) Forma de onda; (b)derivadas; (c) espectro de amplitudes.cuyo espectro de amplitudes se muestra en la Fig. 3.28 para f 0 . Observe que X( f ) tiene uncomportamiento de tercer orden (n = 3), en tanto que un pulso rectangular conX ( f ) sinc f (sen f ) ( f ) tendría solamente un comportamiento de primer orden.259

3.10 Densidad Espectral de PotenciaExiste una clase importante de señales, a saber, las señales de potencia no-periódicas, para las cualestodavía no hemos desarrollado un modelo en el dominio de la frecuencia. La serie de Fourier no existe paraseñales de potencia no periódicas que no están limitadas en el tiempo. Para esas señales, la transformada deFourier puede existir o no, y no es aplicable el concepto de densidad espectral de energía. Sin embargo,puesto que se supone que la potencia promedio es finita, podemos usar funciones de la densidad espectralde potencia para describir señales de potencia no-periódicas en el dominio de la frecuencia.Suponga que se nos da una señal de potencia x(t). Formemos con ella una versión truncada x () t de x(t),como se muestra en la Fig. 3.29. La potencia promedio normalizada de x () t está dada porT 2T T 2TT12S x()t dt(3.120)xTx(t)–T/2 0(a)x T(t)T/2t–T/20T/2t(b)Figura 3.29. (a) Una señal de potencia. (b) Versión truncada de la señal.TAhora se introduce la función de autocorrelación R ( ) de x T (t) definida comoTLa transformada de Fourier de R ( ) esxxT 2xx1R ( ) x ( t) x ( t )d(3.121)Txx T TT T 21TRxx ( )exp( j2 f ) d exp( j2 f ) xT ( t) xT( t )dtdT 260

donde XT( f ) es la transformada de Fourier de x T (t). 1 xT( t) xT( t )exp( j2 f ( t ))exp( j2 ft ) dt dT 1 xT( t)exp( j2 ft ) xT( t )exp( j2 f ( t )) d dtT Puesto que x(t) es real, tenemos que X ( f ) X ( f ) y, por tanto,1 XT( f ) XT( f )(3.122)TTTT1Rxx( )exp( j2 f ) d XT( f )T2THaciendo R ( ) lím R ( ) y tomando el límite T en ambos lados de la ecuación anterior, seobtiene quexxT xx12Rxx( )exp( j2 f ) d lím XT( f )(3.123)T TEl lector debe observar que el límite en el lado derecho de la Ec. (3.123) puede no existir siempre. El ladoizquierdo de la Ec. (3.123) es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la señal depotencia x(t). En el lado derecho tenemos apor lo tanto,22X ( f ) , que es la densidad espectral de energía de x T (t) y,TX ( f ) T da la distribución de potencia en el dominio de la frecuencia. Por esta razónTpodemos usar la relación en la Ec. (3.123) para definir la densidad espectral de potencia (dep) G x (f) de x(t)comoG ( f ) F { R ( )}(3.124)xxx2X ( f ) límT(3.125)T TLa relación dada en la Ec. (3.123) se conoce como el teorema de Wiener – Khintchine y tiene granimportancia en la teoría de señales aleatorias.Usaremos la dep definida en la Ec. (3.123) como la descripción en el dominio de la frecuencia deseñales de potencia no-periódicas. Ya se definió previamente la dep para señales de potencia periódicascomo261

G ( f ) C ( nf ) ( f nf )xnx20 0El lector puede verificar que la definición dada en la Ec. (3.123) en efecto se reduce a la ecuaciónanterior para señales periódicas. En ambos casos, para una señal de potencia tenemos queT 21Sxx t dt2lím ( )T T T 2R xx(0)G ( f ) df(3.126)xSi x(t) es una señal de corriente o de voltaje que alimenta una resistencia de carga de un ohmio, entoncesS tiene las unidades de vatios y por ello a G ( f ) se le da las unidades de vatios por hertz. Si laxxresistencia de carga tiene un valor diferente de un ohmio, entonces Gx( f ) usualmente se especifica entérminos de volts 2 por hertz.Se debe señalar aquí que la función de la densidad espectral de potencia (y la función de autocorrelación)no describe en forma única una señal. La dep retiene solamente la información de la magnitud y se pierde lainformación de la fase. Así que para una señal de potencia dada, hay una densidad espectral de potencia,pero hay muchas señales que tienen la misma densidad espectral de potencia. En contraste, las series deFourier y las transformadas de Fourier de señales, cuando existen, describen en forma única una señal entodos los puntos de continuidad.Ejemplo 20. La función de autocorrelación de una señal de potencia no-periódica esR 2 2xx( ) exp( 2 )Determine la dep y el contenido de potencia promedio normalizada de la señal.Solución: Por el teorema de Wiener – Khintchine, la dep de la señal está dada por2 2x( ) exp( 2 )exp( 2 )G f j f d La potencia promedio normalizada está dada por2 22 exp (2 f ) 2262

T 21SXx t dt R = 12lím ( ) xx(0)T T T 2Ejemplo 21. Determine la función de autocorrelación y la densidad espectral de potencia de una forma deonda rectangular con un período T 0 , una amplitud pico igual a A y un valor promedio de A/2.SoluciónPuesto que x(t) es periódica, necesitamos obtener el “promedio en el tiempo” para la correlación por unperíodo solamente, es decir,T021R ( ) x ( t) x ( t )dtxxT0 T02En la Fig. 3.30 se muestran dibujos de x(t) y x(t + ). Para T 2 , el valor de R ( ) es igual al áreasombreada en la Fig. 3.30c:Rxx0 02A T0 21 T0( ) A , 0 T0 2 2 T0 2xx(a)x()A, , , , , ,–T 0–T 0 /20 T 0 /2 T 0(b), , ,–T 0–T 0 /2x(t +)A0 T 0 /2 T 0T 0/2, , ,x(t)x(t +)–T 0–T 0 /20 T 0 /2 T 0A 2 0 T 0 /2 T 0A 2(c), , , , , ,(d), , ,A 2 /2x(t)x(t +)R xx (), , ,–T 0–T 0 /2Figura 3.30 (a) Señal x(t). (b) x(t + ), la cual es integrada desde 2 hasta T 2 para obtener R ) . (d) R ) .T 00xx (xx (263

Se puede verificar fácilmente que Rxx( ) es una función par y que será periódica con un período igual a T 0 .En la Fig. 3.30d se muestra un dibujo de R ( ). La dep de x(t) está dada porxxG ( f ) R ( )exp( j2 f )dxxx2 A 4 1 exp( j 2 nf 2 20) exp( j 2 f )d4 n n n impardonde el término entre corchetes dentro de la integral es la serie de Fourier para R ( ). Completando laintegración obtenemos2A4Gx( f ) ( f ) ( f nf2 20)4 n nn imparxx264

Problemas3.1. La serie exponencial de Fourier de una cierta señal periódica x(t) está dada porx(t) j exp( j4t) (3 j3)exp( j3t) (2 j2)exp( j2t) (2 j2)exp(j2t) (3 j3)exp(j3t) j exp( j4t(a) Grafique el espectro de magnitud y el de fase de los dos espectros bilaterales de frecuencia.(b) Escriba x(t) en la forma trigonométrica de la serie de Fourier.3.2. La señal mostrada en la Fig. P3.2 es creada cuando una onda de voltaje o de corriente en forma decoseno es rectificada por un solo diodo, un proceso conocido como rectificación de media onda.Deduzca la serie de Fourier exponencial para la señal rectificada de media onda.1x( t) cos t, , ,, , ,2 322 302 22 52tFigura P3.23.3. Determine la expansión en serie de Fourier trigonométrica para la señal en el Problema 3.2.3.4. Dada la onda periódica x()t e t , 0 < t < T 0 , determine los coeficientes de la serie exponencial deFourier y dibuje los espectros de amplitud y de fase.3.5. La señal en la Fig. P3.5 se crea cuando una onda de voltaje o de corriente en seno es rectificada porun circuito con dos diodos, un proceso conocido como rectificación de onda completa. Determine laexpansión en serie de Fourier exponencial para la señal rectificada de onda completa.x( t)sen t, , , , , ,0 tFigura P3.5265

3.6. Halle la representación en serie de Fourier trigonométrica para la señal en el Problema 3.5.3.7. Halle las representaciones en series de Fourier exponenciales de las señales mostradas en la Fig. P3.7.En cada caso, grafique los espectros de magnitud y de fase.3.8. Determine las representaciones en serie de Fourier trigonométrica de las señales mostradas en laFigura P3.7.x(t)x(t)1. . . . . . . . . . . .–1 0 1 2 t–1 0 1 2 t–1 –2. . .–21(a)x(t). . .–1 0 1 2 t. . .–2(b)x(t)1. . .2–1 0 1 t–1(c)(d)Figura P3.73.8. (a) Demuestre que si una señal periódica es absolutamente integrable, entonces c n < .(b) ¿Tiene representación en serie de Fourier la señal periódica2xt ( ) sen ? Explique sutrespuesta.(c) ¿Tiene representación en serie de Fourier la señal periódica x( t) tan 2 t ? ¿Por qué?3.9. (a) Demuestre que2x( t) t , t , x( t 2 ) x( t)tiene la serie de Fourier(b) Haga t = 0 para obtener la expresión 2 1 1 x( t ) 4cos t cos 2t cos3t 3 4 9 n1( 1)n212n1 2266

3.10. Los coeficientes de Fourier de una señal periódica con período T vienen dados porcn0, n 0 n1 exp j 2exp jn , n 0 3 ¿Representa esto una señal real? ¿Por qué o por qué no? A partir de la forma de c n , deduzca la señalde tiempo x(t). Ayuda: Use la relación3.11. (a) Grafique la señalPara M = 1, 3 y 5.exp( jn t) ( t t ) dt exp( jnt )n11 1M1 2 nx( t) sen cos2n t4n4(d) Prediga la forma de x(t) conforme M .3.12 Halle las series de Fourier exponencial y trigonométrica para los trenes de impulsos mostrados en laFig. P3.12.x(t)x(t)1. . .–2 –1 0 1 2 3. . .t. . .–2–110 123. . .tFigura P3.123.13 (a) Calcule la energía de la señal x(t) dada en la Figura P3.12.(b) Si la energía de los primeros cuatro armónicos es igual a 0.0268 julios, calcule la energíacontenida en el resto de los armónicos.3.14 Especifique los tipos de simetría para las señales mostradas en la Figura P3.14. Especifique tambiénlos términos que son iguales a cero.267

3.15 Demuestre que el valor cuadrático medio de una señal periódica real x(t) es igual a la suma de losvalores cuadráticos medios de sus armónicos.3.16 Conociendo la expansión en serie de Fourier de x 1 (t) mostrada en la Figura P3.16a. determine loscoeficientes de x 2 (t) mostrada en la Figura P3.16b.3.17 Considere la onda triangular mostrada en la Fig. P3.17. Usando la técnica de diferenciación,determine (a) la serie de Fourier exponencial de x(t), y (b) la serie de Fourier trigonométrica dex(t).x(t)x(t)12. . . . . . . . . . . .–2 –1 0 1 2 t –4 –2 0 2 4 t. . .–T2(a)x(t)0 T 2T t. . .. . .–3–2 –1 0–2(b)x(t)1 23. . .t(c)(d)Figura P3.14x 1 (t)2x 2 (t)1. . . . . . . . . . . .–T 0 T T + t–3 –1 0 2 3 5 t1Figura P3.16268

Ax(t)–T 00 T 0 2T 0 tFigura P3.173.18 La convolución periódica o circular es un caso especial de la convolución general. Para señalesperiódicas con el mismo período T, la convolución periódica se define mediante la integral1z ( t) x( ) y ( t )dT T(a) Demuestre que z(t) es periódica.(b) Demuestre que la convolución periódica es asociativa y conmutativa.3.19 Determine la convolución periódica de las dos señales mostradas en la Fig. P3.19.. . .1x(t). . .. . .1y(t). . .–2–1–½ 0 ½ 1 2 t–2–10 1 2 tFigura P3.193.20 Considere la señal periódica x(t) cuya serie exponencial de Fourier esx( t) c exp( jn t), c 0nn0 0(a) Integre término por término para obtener la expansión de Fourier de y(t) = x(t)dt y demuestre quey(t) también es periódica.(b) ¿Cómo se comparan las amplitudes de los armónicos de y(t) con las amplitudes de los armónicosde x(t)?269

(c) ¿La integración les quita o les pone énfasis a las componentes de alta frecuencia?(d) Usando la parte (c), ¿es la onda integrada más suave que la original? Explique.3.21 La representación en serie de Fourier de la señal triangular en la Figura P3.21(a) es8 1 1 1x( t) sen t sen3t sen5t sen 7 t 9 25 492 Use este resultado para obtener la serie de Fourier para la señal en la Fig. P3.21b.x(t)2x(t)1. . . . . .. . . . . . 0 t 0 t–1Figura P3.213.22 Un voltaje x(t) se aplica al circuito mostrado en la Figura P.3.22. Si los coeficientes de Fourier de x(t)están dados por1 cn exp jn2 n 1 3 (a) Demuestre que x(t) debe ser una señal real del tiempo.(b) ¿Cuál es el valor promedio de la señal?(c) Determine los tres primeros armónicos de y(t) diferentes de cero.(d) ¿Qué le hace el circuito a los términos de alta frecuencia de la entrada?(e) Repita las partes (c) y (d) para el caso donde y(t) es el voltaje en el resistor.1 x(t )1 F+y(t)Figura P3.223.23 Si el voltaje de entrada al circuito mostrado en la Fig. P3.22 es270

determine el voltaje de salida y(t).x( t) 1 2(cos t cos2t cos3 t)3.24 La entradax ( t) c exp( jnt)nn0se aplica a cuatro sistemas diferentes cuyas respuestas sony ( t) ( 3) c exp j n t 3nt1 n0 0 0ny ( t) c exp jn t t2 n0 0n2 23( ) nexp 0 0 0ny t c j n t n ty ( t) n c exp j n t 4 n0n¿Cuál de ellos, si hay alguno, es un sistema sin distorsión?3.25 Para el circuito mostrado en la Fig. P3.25,(a) Determine la función de transferencia H(j).(b) Grafique H(j) y H(j).(c) Considere la entrada x( t) 10exp( j t).¿Cuál es la frecuencia más alta que se puede usar deforma quey ( t ) x ( t )xt () 0.01?(d) ¿Cuál es la mayor frecuencia que se puede usar tal que H(j) se desvíe de la característica linealideal por menos de 0.02?271

1kx(t )1 nF+y(t)Figura P3.253.26 Se pueden usar dispositivos no lineales para generar armónicos de la frecuencia de entrada. Considereel sistema no lineal descrito pory t Ax t B x t2( ) ( ) ( )Determine la respuesta del sistema a x( t) a1 cos 0t a2 cos2 0t. Haga una lista de todos losnuevos armónicos generados por el sistema y también sus amplitudes.3.27 Se usa una fuente de frecuencia variable para medir la función del sistema H(j) de un sistema LITcuya respuesta al impulso es h(t). La salida de la fuente y( t) exp( j t)se conecta a la entrada delsistema LIT. La salida H ( )exp( j t)se mide para frecuencias diferentes. Los resultados semuestran en la Fig. P3.27.H()H()122–410 3 0410 3202 Figura P3.27Determine la respuesta del sistema para la señal de entrada siguiente:x(t)1. . .. . .–700–500–300–2000 200 300 500 700272

3.28 Para el sistema mostrado en la Fig. P3.28, la entrada x(t) es periódica con período T. Demuestre quey c (t) y y s (t) en cualquier tiempo t > T 1 después de aplicar la entrada se aproximan a Re{ c n} e Im{c n },respectivamente. En efecto, si T 1 es un múltiplo entero del período t de la señal de entrada x(t),entonces las salidas son exactamente iguales a los valores deseados. Discuta las salidas para los casossiguientes:(a) T 1 = T(b) T 1 = mT(c) T 1 >> T pero T 1 Th(t)y c (t)h(t)h(t)y s (t)1/T 10T 1 tx(t)cos nt0sen nt002TFigura P3.283.29 La ecuación diferencial siguiente es un modelo para un sistema lineal con entrada x(t) y salida y(t):d y()t2 y ( t ) x( t )dtSi la entrada x(t) es una onda cuadrada de período 2 s, duración de l pulso igual a 1 s y amplitudunitaria, determine las amplitudes del primer y tercer armónicos en la salida.3.30 Repita el Problema 3.29 para el sistema descrito por la ecuación diferencialy ( t) 4 y( t) 3 y( t) 2 x( t) x( t)3.31 Considere el circuito mostrado en la Fig. P3.31. La entrada es la señal rectificada de media onda delProblema 3.2. Halle la amplitud del segundo y cuarto armónico de la salida y(t).273

500 x(t )100 F500 +y(t)Figura P3.313.32 Considere el circuito mostrado en la Fig. P3.32. La entrada es la señal rectificada de media onda delProblema 3.2. Determine la amplitud del segundo y del cuarto armónico de la salida y(t).0.1Hx(t )100 F1 k +y(t)Figura P3.323.33 Considere el circuito mostrado en la Fig. P3.31. La entrada es la señal rectificada de onda completadel Problema 3.5. Determine la componente cd y la amplitud del segundo armónico de la salida y(t).3.34 Considere el circuito mostrado en la Fig. P3.32. La entrada el la señal rectificada de onda completadel Problema 3.5. Determine la componente cd y la amplitud del segundo y el cuarto armónico de lasalida y(t).3.35 Demuestre que las relaciones siguientes son identidades:(a)(b)NnN1T1 sen n0t2 exp( jn0t) sen t 2T 2T21 sen n0t3 dt 1sen t 2003.36 Para la señal x(t) mostrada en la Fig. P3.15a, mantenga T fijo y discuta el efecto de variarconla restricción < Tsobre los coeficientes de Fourier.274

3.37 Considere la señal mostrada en la Fig. P3.15a. Determine el efecto sobre la amplitud del segundoarmónico de x(t) cuando hay un error muy pequeño en la medición de . Para hacer esto, haga = 0 –, donde

3.40 La señal mostrada en la Fig. P3.40 es la salida es la señal rectificada de media onda suavizada. Lasconstantes t 1 , t 2 y A satisfacen las relaciones siguientes: t AA11tan ( RC ) t RC1sen t1exp t t RC 2exp senRC 0.1 s 260 377 rad/s(a) Verifique que t1 1.5973 rad, A = 1.0429, y t2 7.316 rad.(b) Determine los coeficientes de la serie de Fourier exponencial.(c) Determine la relación entre las amplitudes del primer armónico y la componente cd.2A1sen tAexp( 10t)0 t 1 t 02 t 2 tFigura P3.403.41 Determine la transformada de Fourier de una señal periódica x(t) con período T 0 .3.42 La transformada de Fourier de una señal x(t) está dada por [Fig. P3.42]X ( ) p ( ) p ( )1 12 a 0 2 a 0Determine y dibuje x(t).276

1/2X() –½ 0 –a +a Figura P3.423.43 Un sistema se excita mediante la señal t xt ( ) 6rect 4(y su respuesta es t 2 ) ( t 2 ) 10 1 e u( t 2) 1 e u( t 2. ¿Cuál es su respuesta al impulso?3.44 Usando el teorema de convolución, determine la transformada de Fourier inversa de1X ( )( aj)3.45 Dibuje una gráfica de la señal producida por la convolución de las dos funciones siguientes:(a) 2rect( t) rect( t) t1 t1(b) rect rect 2 2 (c) 2 ( t) 5sen t3.46 Determine la transformada de Fourier de las señales siguientes:(a) x(t) = u(t)(b) x( t) e at u( t), a 03.47 Determine la transformada de Fourier del pulso gaussiano2 atx( t) e a 03.48 Halle la transformada de Fourier inversa de1(a) X ( )( a j) N1(b) X ( )22 j33.49 Halle la transformada de Fourier de las señales siguientes, usando la propiedad de multiplicación:2772

(a) x( t) cos 0t u ( t)(b) x( t) sen 0t u ( t) at(c) x( t) e cos 0t u ( t), a 0 at(d) x( t) e sen 0t u( t), a 03.50 Sea x(t) una señal cuya transformada de Fourier está dada por1 1X ( ) 0 1Considere la señalDetermine el valor dey()t 2d x tdt()2y () t3.51 Dibuje la transformada de Fourier inversa de la función en la Fig. P3.51.22X( f )dt–55f X( f )fFigura P3.513.52 Sea x(t) una señal real cuya transformada de Fourier es X(). La señal analítica x + (t) asociada conx(t) es una señal compleja definida porx ( ) ( ) ˆt x t j x( t)donde x ˆ ( t)es la transformada de Hilbert de x(t).278

(a) Halle la transformada de Fourier X + () de x + (t).(b) Halle la señal analítica x + (t) asociada con cos 0ty su transformada de Fourier X + ().3.53 Considere una señal real x(t) y seaX ( ) F{ x( t)} A( ) j B( )yx( t) x ( t) x ( t)donde x p (t) y x i (t) con las componentes par e impar de x(t), respectivamente. Demuestre quepix ( t ) A( )px ( t ) jB( )i3.54 Considere un sistema LIT de tiempo continuo con respuesta de frecuencia H(). Determine latransformada de Fourier S() de la respuesta al impulso unitario s(t) del sistema.3.55 Un sistema se excita mediante la señal t xt ( ) 4rect 2y su respuesta es¿Cuál es la respuesta al impulso? ( t1) ( t1) y( t) 10 1 e u( t 1) 1 e u( t 1)279

CAPÍTULO CUATROANÁLISIS DE FOURIERTIEMPO DISCRETO280

CAPÍTULO CUATRO: ANÁLISIS DE FOURIERTIEMPO DISCRETO4. 1 IntroducciónLas técnicas del análisis de Fourier en tiempo continuo desarrolladas en el capítulo anterior tienenmucho valor en el análisis de las propiedades de señales y sistemas de tiempo continuo. En esta parte nosdedicamos al estudio del análisis de Fourier en tiempo discreto, dando primero un leve tratamiento de lasseñales discretas. Éstas, como su nombre lo indica, son señales que están definidas solamente en instantesdiscretos del tiempo El enfoque sigue muy de cerca el tratamiento que se hizo del caso en tiempo continuoy los resultados son muy semejantes a los obtenidos en el Capítulo 3.4.10 Señales PeriódicasComo ya se vio para los sistemas de tiempo continuo, estamos interesados en la respuesta de sistemaslineales a excitaciones periódicas. Ya se estudió que una secuencia (señal de tiempo discreto) x[n] esperiódica con período N si existe un entero positivo N para el cualEn la Fig. 4.1 se muestra un ejemplo de una secuencia de este tipo.De la Fig. 4.1 y la Ec. (4.1) se deduce quex[ n N ] x[ n] para toda n(4.1)x[ n mN ] x[ n](4.2)x[n]. . .. . .–N0N2NnFigura 4.1281

para toda n y cualquier entero m. El período fundamental N 0 de x[n] es el menor entero positivo N para elcual se cumple la Ec. (4.1). Una secuencia que no es periódica se denomina una secuencia no periódica (oaperiódica).Para una señal de tiempo discreto x[n], el contenido de energía normalizada E de x[n] se define como2E x[ n](4.3)nLa potencia promedio normalizada P de x[n] se define como1N2P lím x[ n](4.4)N 2N1nNCon base en estas definiciones, se definen las siguientes clases de señales:1. Se dice que x[n] es una señal (secuencia) de energía si y sólo si 0 < E < (y, en consecuencia, P = 0).2. Se dice que x[n] es una señal (secuencia) de potencia si y sólo si 0 < P < , implicando con ello queE .3. A las señales que no satisfacen ninguna de estas propiedades no se les refiere ni como señales de energíani de potencia.Observe que una señal periódica es una señal de potencia si su contenido de energía por período es finito, yentonces la potencia promedio de esta señal sólo tiene que evaluarse durante un período.4.11 Serie de Fourier Discreta4.11.1 Secuencias PeriódicasEn la Sec. 1.3 se definió a una señal (secuencia) de tiempo discreto como periódica si existía un enteropositivo N para el cualx[ n N ] x[ n] para toda n(4.5)El período fundamental N 0 de x[n] es el menor entero positivo N para el cual se satisface la Ec. (4.5).Ya vimos en el Cap. 2, que la secuencia exponencial complejax[ n]e ej ( 2 N0 ) n j0n (4.6)282

donde 0 2 N0, es una secuencia periódica con período fundamental N 0 . Como ya se analizóanteriormente, una diferencia muy importante entre la función exponencial compleja de tiempo discreto y late j 0de tiempo continuo es que las señalesj 0ne son diferentes para valores diferentes de 0 , pero las secuenciasque difieren en frecuencia por un múltiplo de 2, son idénticas; es decir,j( 0 2 ) n j0n j 2 knj0ne e e e(4.7)SeaEntonces por la Ec. (4.7) tenemos2k n e k (4.8)jk0n[ ] ,0, 0, 1, 2,N0 [ n] [ n], [ n] [ n], , [ n] [ n], (4.9)0 N0 1 N0 1k N0kDe modo que las secuencias [ n]son diferentes sólo en un intervalo de N 0 valores sucesivos de k. Eskdecir, cuando k es cambiado por cualquier múltiplo entero de N 0 , se genera la secuencia idéntica.4.11.2 Representación en Serie de Fourier DiscretaEn analogía con la representación de señales periódicas en tiempo continuo, se busca una representaciónen serie de Fourier discreta de una secuencia periódica x[n] con período fundamental N 0 , en función de losarmónicos correspondientes a la frecuencia fundamental 2N0para x[n] de la formaN01j0nk[ ] ake , 0k0 N0x ndonde los valores a k son los coeficientes de Fourier y están dados por. Es decir, buscamos una representación2 (4.10)ak1N01 jk0n x[ n]e(4.11)N0n0La validez de la relación dada por la Ec. (4.11) se demuestra en la forma siguiente: Usando la condiciónde ortogonalidad (la demostración de ésta se deja como ejercicio)283

[ n] [ n] e e jm ( 2 N ) n jk ( 2 N ) nm knN nN N m k nN 0 mkj ( mk )( 2 N ) ne m,k N(4.12)donde las secuencias [ n] son ortogonales en cualquier intervalo de longitud N. Por ejemplo, elkconjunto de exponenciales complejasjk ( 2 N ) nk [ n] e k 0, 1, 2, , N 1(4.13)es ortogonal en cualquier intervalo de longitud N.Reemplazando la variable k de la sumatoria por m en la Ec. (4.10), tenemosx[ n]Usando la Ec. (4.13) con N = N 0 , la Ec. (4.14) puede escribirse comoN 1jm ( 2 N0) n ame(4.14)m0N0 1x[ n] amm[ n](4.15)m0Multiplicando ambos lados de la Ec. (4.15) por [ n]y sumando desde n = 0 hasta N 0 1, se obtienekx[ n] [ n] a [ n] [ n] N0 1 N0 1 N01 k m m kn0 n0 m0Intercambiando el orden de las sumatorias y usando la Ec. (4.12), obtenemosN0 1 N0 1 N01 x[ n] k [ n] am m [ n] k [ n]N0akn0 m0 n0y de aquí se obtiene la Ec. (4.11).Usando la Ec. (4.9), las Ecs. (4.10) y (4.11) pueden escribirse como2jk0n[ ] ake , 0(4.16)kNN00x nak1 jk0n x[ n]e(4.17)N0 nN0dondekN 0denota la sumatoria en k conforme k varía en un intervalo de N 0 enteros sucesivos. Así,conforme n toma los n = 0, 1, … , N 0 1, las muestras x[n] de x(t) son aproximadas por la Ec. (4.16). La284

Ec. (4.16) representa la ecuación de síntesis y la Ec. (4.17) la ecuación de análisis. Haciendo k = 0 en la Ec.(4.17), se obtienea01 x[ n](4.18)N0 n N0la cual indica que a 0 es igual al valor promedio de x[n] en un período.A los coeficientes de Fourier a k con frecuencia se les refiere como los coeficientes espectrales de x[n]. Esfácil demostrar que ak a k N(¡hágalo!). Es decir, si consideramos más de N00 valores secuenciales de k, losvalores a k se repetirán periódicamente con período N 0 . Este hecho debe interpretarse con cuidado. Enparticular, como solamente hay N 0 exponenciales complejas distintas que son periódicas con período N 0 , larepresentación en serie de Fourier de tiempo discreto es una serie finita con N 0 términos. Por consiguiente,si fijamos los N 0 valores consecutivos de k para los cuales definimos la serie de Fourier en la Ec.(4.16),obtendremos un conjunto de exactamente N 0 coeficientes a partir de la Ec. (4.17). Por otra parte, algunasveces será conveniente usar diferentes conjuntos de N 0 valores de k y, en consecuencia, es útil considerar laEc. (4.16) como una suma para cualquier conjunto arbitrario de N 0 valores sucesivos de k.Ejemplo 1. En este ejemplo consideramos la onda cuadrada periódica en tiempo discreto mostrada en laFig. 4.2. Podemos evaluar la serie de Fourier de esta función usando la Ec. (4.17).. . .–N 010N 1 N 0. . .nFigura 4.2Debido a la simetría de esta secuencia con respecto a n = 0, es conveniente seleccionar un intervalosimétrico en el cual evaluar la sumatoria en la Ec. (4.17). Por ello, expresamos la Ec. (4.17) comoakN11 N0 nN1e jk ( 2 N0) nHaciendo m = n + N 1 , la ecuación anterior se convierte en285

ak2 11 N jk ( 2 N0 )( mN1) eN0 m02 N11jk ( 2 N0 ) N1 jk ( 2 N0) m e eN0cuya sumatoria consiste de los primeros (2N 1 + 1) términos en una serie geométrica, la cual al ser evaluadaproducem0ya1 1e jk 2 ( 2 N11)N0jk ( 2 N0 ) N1kejk( 2 2 N0)N 01e1 e e eN0e e e jk( 2 2 N1 10 ) jk 2 ( N1 2) N0 jk 2 ( N1 2) N0) jk( 2 2 N0 ) jk( 2 2 N0 ) jk( 2 2 N0)1 sen[2 k ( N11 2 ) N 0] , k 0, N0 , 2 N0, N sen (2k 2 N )0 02N , 0, , 2 , 1akk N0 N0N0Esta expresión puede escribirse en una forma más compacta si los coeficientes se expresan como muestrasde una envolvente:Na0ksen[(2 N1 1) 02]sen ( 2)0 02kN0En la Fig. 4.3 se dibujan los coeficientes N 0 a k para 2N 1 + 1 = 5 y N 0 = 10.N 0 a 0N 0 a 1Envolvente20 10Figura 4.3Ejemplo 2. Determine la representación en serie de Fourier discreta de la secuencia286

x[ n] cos n sen n .3 4 Tomemos x[ n] cos n sen n = x 1 [n] +x 2 [n], donde3 4x1 [ n] cos n cos 1n 13 3x2 [ n] sen n sen 2n 24 41Como 2 (= número racional), x 1 [n] es periódica con período fundamental N 1 = 6, y como12 81 6 2 (= número racional), x 2 [n] es periódica con período fundamental N 2 = 8. Por tanto, x[n] esperiódica y su período fundamental está dado por el mínimo común múltiplo de 6 y 8, es decir, N 0 = 24 y 2 N 12. Por la fórmula de Euler tenemos que0 01j ( 3 ) n j ( 3 ) n1j ( 4 ) n j ( 4 ) nx[ n] e e e e2 2 j 1 1 1 1 e j e j e e2 2 2 2 j 4 0n j 3 0n j 3 0n j 4 0n1 1 11Así que c3 j , c4 , c4 c 424 c20 , cc c j 2 2 2Por lo tanto, la serie de Fourier discreta de x[n] es y todos los otros c 0 .3 3 24 21 21j 3 0n 1j 4 10n j 20 10n j 210n[ ] , 0x n j e e e j e2 2 2 2 12k4.11.3 Convergencia de la Serie de Fourier DiscretaPuesto que la serie de Fourier discreta de una secuencia x[n] es una serie finita, en contraste con el caso detiempo continuo, y definida completamente por los valores de la señal en un período, no hay problemas deconvergencia con la serie de Fourier discreta y no se presenta el fenómeno de Gibbs. En otras palabras, elhecho de que cualquier secuencia periódica en tiempo discreto x[n] está completamente especificada por unnúmero finito de parámetros, a saber, los valores de la secuencia en un período, es la razón por la cual nohay problemas de convergencia en general con la serie de Fourier en tiempo discreto.287

4.12 Propiedades de la Serie de Fourier Discreta4.12.1 Periodicidad de los Coeficientes de FourierDe las Ecs. (4.9) y (4.10) vemos quea a(4.19)k N0kla cual indica que los coeficientes de la serie de Fourier son periódicos con período fundamental N 0 . Esdecir, si consideramos más de N 0 valores secuenciales de k, los valores de a k se repetirán periódicamentecon período N 0 .4.12.2 DualidadDe la Ec. (4.19) vemos que los coeficientes de Fourier a k forman una secuencia periódica con períodofundamental N 0 . Entonces, escribiendo a k como a[k], la Ec. (4.17) puede escribirse de nuevo comoSea n = m en la Ec. (4.20). Entonces1a[ k ] [ ]N jk0n x n e(4.20)nN0 01a k x m eN0[ ] [ ] jk mmN0 0Haciendo ahora k = n y m = k en la expresión anterior, obtenemos10[ ] [ ] jk a n x k en(4.21)NmN0 0Comparando la Ec. (4.21) con la Ec. (4.16), vemos que los valores (1 N0) x[ k ] son los coeficientes deFourier de a[n]. Si adoptamos la notaciónSFDx[ n] a a[ k ](4.22)para denotar el par de series de Fourier discretas (SFD), entonces, por la Ec. (4.21), tenemosLa Ec. (4.23) se conoce como la propiedad de dualidad de la serie de Fourier discreta. Dicho de otraforma, puesto que los coeficientes de Fourier a k de una señal periódica x[n] son a su vez una secuenciaperiódica, podemos expandir los coeficientes a k en una serie de Fourier. La propiedad de dualidad descrita288kSFD 1a[ n] x[ k](4.23)N0

implica que los coeficientes de la serie de Fourier para la secuencia periódica a k son los valores(1 N ) x[ k ].04.12.3 Otras PropiedadesCuando x[n] es real, entonces de la Ec. (4.11) [o la Ec. (4.17)] y la Ec. (4.19) se deduce quea a a (4.24)k N0k kdonde, igual que antes, el asterisco (*) denota el conjugado complejo.4.12.4 Secuencias Pares e ImparesCuando x[n] es real, seax[ n] x [ n] x [ n]donde x p [n] y x i [n] son las partes par e impar de x[n], respectivamente y seapiEntoncesSFDx[ n] akSFDx [ n] Re{ a }pSFDx [ n] Im{ a }ikk(4.25)Vemos entonces que si x[n] es real y par, entonces sus coeficientes de Fourier son reales, mientras que six[n] es real e impar, sus coeficientes son imaginarios.Ejemplo 3. Sea x[n] una secuencia periódica real con período fundamental N 0 y coeficientes de Fourier c k =a k + jb k , donde a k y b k son reales.(a) Demuestre que a k = a k y b k = b k .(b) Demuestre que c N 0 2es real si N 0 es par.(c) Demuestre que x[n] puede también expresarse como una serie de Fourier trigonométrica de la forma( N01) 22x[ n] c 2 ( a cos k n b sen k n) 0 k0 k0 0k1 N0289

si N 0 es impar, o( N01) 2n0 N02 k 0 k0k1x[ n] c ( 1) c 2 ( a cos k n b sen kn)si N 0 es par.Solución:(a) Si x[n] es real, entonces de la Ec. (4.11) tenemosN01 N01jk0n jk0n [ ] [ ] k0 n0 N0n01 1ck x n e x n e cNAsí quec a jb ( a jb ) a jb k k k k k k ky obtenemosa a y b bk k k k(b) Si N 0 es par, entonces de la Ec. (4.11),1 1cN02 x[ n] e x[ n]eNNN01 N01 j( N0 2 )( 2 N0) n jn0 n0 0 n01N0N0 1n0n( 1) xn [ ] real(c) Escribamos de nuevo la Ec. (4.10) comoN01 N01jk0n jk0n k0 kk0 k1x[ n] c e c c eSi N 0 es impar, entonces (N 0 1) es par y podemos escribir a x[n] como290

0( N01) 2x[ n] c c e c ek1jk0n j ( N0 k ) 0nk N0kAhora, de la Ec. (4.24),cN0kc kye e e e e ej ( N0 k ) 0n jN0 0n jk 0n j2n jk 0n jk 0nPor lo tanto,0( N01) 2x[ n] c c e c ek1kjk0n jk0nk( N01) 2c0 k12Rec ekjk0n( N01) 2 c 2 Re( a jb )(cos k n j sen kn)0 k k0 0k1( N01) 2 c 2 ( a cos k n b sen kn)0 k0 k0k1Si N 0 es par, podemos escribir a x[n] comoN010 kk1x[ n]c c ejk0n( N02 ) 2jk0n j ( N) k ) 0n0 k N0k N02j( N0 2 ) 0nk1 c c e c e c e291

Usando de nuevo la Ec. (4.24), se obtienecc y e eN0k kj ( N0 k ) 0n jk0nye e e ( 1)j( N0 2 ) 0n j( N0 2 )( 2 N0) n jn nEntonces( N02 ) 2n0 N02 k1x[ n] c ( 1) c 2Re c ekjk0n( N02 ) 2n0 N02 k 0 k0k1 c ( 1) c 2 ( a cos k n b sen kn)4.13 Teorema de ParsevalSi x[n] está representada por la serie de Fourier discreta (4.16), entonces se puede demostrar que12 2x[ n] akN0n N0 k (4.26)N0La Ec. (4.26) se conoce como la identidad de Parseval (o el teorema de Parseval) para la serie de Fourierdiscreta.Demostración: Sean x 1 [n] y x 2 [n] dos secuencias periódicas con igual período fundamental N 0 y con seriesde Fourier discretas dadas por2N01 N01jk0n jk0n1[ ] k2[ ] k0k0 k0 N0x n b e x n c eEntonces la secuencia x[ n] x1[ n] x2[ n]es periódica con el mismo período fundamental N 0 (lademostración se deja para el lector) y se puede expresar comodonde a k está dada porx[ n]2N01jk0n ake 0k0 N0292

De esta relación se obtiene queHaciendo k = 0 en la expresión anterior, se obtienela cual se conoce como la relación de Parseval.Ahora, seanyEntoncesaN0 1 b c(4.27)k m kmm01a x n x n e b cN01 N01 jk0nk 1[ ]2[ ] m kmN0n0 m01N0N0 1 N0 1 N01 x [ n] x [ n] b c b c(4.28)1 2m m k kn0 m0 k0N01x[ n] akek0N01x*[ n] bkek0jk0n jk0nN01 N01 jk0n jk0n*[ ] [ ] k0 n0 N0n01 1bk x n e x n e aN (4.29)La Ec. (4.29) indica que si los coeficientes de Fourier de x[n] son los a k , entonces los coeficientes deFourier de x*[n] son losbk aky ek c ka . Haciendo x [ n] x[ n]y x [ n] x*[ n] 1 2 en la Ec. (4.28), se tiene que (o cka k) y se obtieneo1que es la relación buscada.k1N0NN01 N01n0 k0 x[ n] x*[ n] akak(4.30)0N01 N012 2 x[ n] n0 k0ak4.14 La Transformada de Fourier Discreta293

A continuación se considerará la representación en el dominio de la frecuencia de señales de tiempodiscreto y de duración finita que no son necesariamente periódicas.4.14.1 Transformación de la Serie de Fourier Discreta en la Transformada de FourierSea x[n] una secuencia no periódica de duración finita. Es decir, para algún entero positivo N 1 ,Una secuencia así se muestra en la Fig. 4.9a. Seax[ n] 0n N1x [ ] N 0n una secuencia periódica formada al repetir x[n]con un período fundamental N 0 , como se muestra en la Fig. 4.9b. Si hacemos que N0, tenemosLa serie de Fourier discreta paralím x [ n ] x [ n ](4.31)N0N0x [ ] N 0n está dada porN00 jk nkkN0x [ n] a e 02N0(4.32)donde1a x n e jk0nkN[ ]0N (4.33)0 nN0x[n]–N 1(a)0 N 1nx N0[ n]. . . . . .–N 0 –N 1(a)N 1 N 0nFigura 4.4294

Puesto que x [ ] [ ]N 0n x n para n N1y también como x[n] = 0 fuera de este intervalo, la Ec. (4.33)puede escribirse de nuevo comoDefinamos la envolvente X ( ) de N 0 a k comoN11 1 jk0n jk0n (4.34)ak x[ n] e x[ n]eNN0 nN10 n jnX ( ) x[ n]e(4.35)nEntonces, de la Ec. (4.34), los coeficientes de Fourier pueden expresarse como1ak X ( k 0)(4.36)N0donde 0 se usa para denotar el espacio muestral 2/N 0 . Así pues, los coeficientes a k son proporcionales amuestras igualmente espaciadas de esta función envolvente.Sustituyendo la Ec. (4.36) en la Ec. (4.32),tenemos1xN[ n] (0 X k0) eNkN00jk0nojk 0nxNn X k e (4.37)00[ ] ( 0)2 kN0De la Ec. (4.35), X ( ) es periódica con período 2 yj ne también lo es. Por ello, el producto X( ) e jntambién será periódico con período 2. Como se muestra en la Fig. 4.5, cada término en la sumatoria de la0Ec. (4.37) representa el área de un rectángulo de altura X ( k 0) e jkn y anchura 0. Conforme N0,0 2 N se hace infinitesimal0( 0 0) y la Ec. (4.36) se convierte en una integral. También, puestoque la sumatoria en la Ec. (4.37) es sobre N 0 intervalos consecutivos de anchura 0 2 N0, el intervalototal de integración siempre tendrá una anchura de 2. Así que conforme N0 y en vista de la Ec.(4.31), la Ec. (4.37) se convierte en1jnx[ n] X ( )e d2 (4.38)2 Como X( ) e jnes periódica con período 2, el intervalo de integración en la Ec. (4.38) puede tomarsecomo cualquier intervalo de longitud 2.295

X () ejnjk 0nX ( k 0 ) e 0 k 0 Figura 4.54.14.2 Par de Transformadas de FourierLa función X ( ) definida por la Ec. (4.35) se denomina la transformada de Fourier de x[n] y la Ec.(4.38) define la transformada de Fourier inversa de X ( ). Específicamente, ellas se denotan por jnX ( ) F { x[ n]} x[ n]e(4.39)1 1njnx[ n] F { X ( )} X ( )e d2 (4.40)y decimos que x[n] y X ( ) forman un par de transformadas de Fourier denotadas por2 x[ n] X ( )Las Ecs. (4.39) y (4.40) son las contrapartes discretas de las ecuaciones para las transformadas en tiempocontinuo. La derivación de estas ecuaciones indica cómo una secuencia aperiódica puede verse como unacombinación lineal de exponenciales complejas. En particular, la ecuación de síntesis es en efecto unarepresentación de x[n] como una combinación lineal de exponenciales complejas infinitesimalmentecercanas en frecuencia y con amplitudes X()(d/2) y proporciona la información de sobre cómo x[n]está compuesta de exponenciales complejas en frecuencias diferentes.Ejemplo 4. Determine la transformada de Fourier del pulso rectangular (Fig. 4.6)x[ n] u[ n] u[ n N]De la Ec. (4.38), la transformada de Fourier de x[n] está dada porN 1 jn jn X ( ) x[ n] e (1) enn0296

jn1e e e e 1e e e e jN 2 jN 2 jN2 j 2 j 2 j2j ( N 1) 2sen ( N2) e sen ( 2)x[n]1. . .0 1 2 N–1 nFigura 4.64.14.3 Espectros de FourierLa transformada de Fourier X ( ) de x[n] es, en general, compleja y puede expresarse comoX ( ) X ( ) e j ( ) (4.41)Igual que en tiempo continuo, la transformada de Fourier X ( ) de una secuencia no periódica x[n] es laespecificación en el dominio de la frecuencia de x[n] y se conoce como el espectro (o espectro de Fourier)de x[n]. La cantidad X ( ) es el espectro de magnitud de x[n] y ( ) es el espectro de fase de x[n].Además, si x[n] es real, el espectro de amplitud X ( ) es una función par y el espectro de fase ( ) esuna función impar de .Ejemplo 5. Considere la secuencianx[ n] u[ n] 1Para este ejemplo,n jn1X( ) e 1 en0El espectro de magnitud está dado porX ( )121 2cos297 j

y el de fase por1 sen( ) tan 1 cos 4.14.4 Convergencia de X()Igual que en el caso de tiempo continuo, la condición suficiente para la convergencia de X ( ) es quex[n] sea absolutamente sumable, es decir, xn [ ] (4.42)nLa demostración de esto se deja para el lector. Por lo tanto, vemos que la transformada de Fourier en tiempodiscreto posee muchas semejanzas con el caso de tiempo continuo. Las diferencias principales entre los doscasos son la periodicidad de la transformada de tiempo discreto X ( ) y el intervalo finito de integraciónen la ecuación de síntesis. Ambas provienen de un hecho que ya se ha señalado: Exponenciales complejasen tiempo discreto que difieren en frecuencia por un múltiplo de 2 son idénticas.4.15 Propiedades de la Transformada de FourierHay muchas diferencias y semejanzas con el caso continuo. Estas propiedades son útiles en el análisis deseñales y sistemas y en la simplificación del trabajo con las transformadas directa e inversa4.15.1 PeriodicidadYa se vio que la transformada de Fourier discreta es siempre periódica en con período 2, de modo queX( 2 ) X( )(4.43)Como una consecuencia de la Ec. (4.43), en el caso de tiempo discreto tenemos que considerar valores de (radiantes) solamente en el intervalo 0 2 o , mientras que en el caso continuo tenemosque considerar valores de (radianes/segundo) en todo el intervalo .4.15.2 Linealidad298

Sean x [ n ] y x [ n ] dos secuencias con transformadas de Fourier X 1 2 1() y X 2 (), respectivamente.Entoncespara cualesquiera constantes a 1 y a 2 .a x [ n] a x [ n] a X ( ) a X ( )(4.44)1 1 2 2 1 1 2 24.15.3 Desplazamiento o Corrimiento en el TiempoPor sustitución directa en las ecuaciones de definición de la transformada de Fourier, se obtiene quex n n e X (4.45) jn0[0] ( )La demostración de la Ec. (4.45) es la siguiente: Por definición, Ec. (4.39),F { x[ n n ]} x[ n n ] e0 0n jnMediante el cambio de variable m = n n 0 , obtenemosF{ x[ n n ]} x[ m]e0m j( mn0) jn0 j m jn0e x m e e X [ ] ( )mPor tanto,x n e X jn0[ ] ( )Ejemplo 6. Determine (a) la transformada de Fourier X() de la secuencia en forma de pulso rectangularmostrada en la Fig. 4.7a; (b) Grafique X() para N 1 = 4 y N 1 = 8.(a) De la Fig. 4.7 vemos quex[ n] x [ n N ]1 1donde x 1 [n] se muestra en la Fig. 4.7b. Haciendo N = 2N 1 + 1 en el resultado del Ejemplo 4, tenemos1sen N1 j N21X1( ) e sen ( 2)299

x[n]x 1 [n1]1. . .. . .. . .–N 1 0 1 2 N 1n0 1 2 2N 1nFigura 4.7(a)(b)Ahora, por la propiedad de desplazamiento en el tiempo, tenemos queX e XjN1( ) 1( )sen N sen ( 2)11 2(b) Haciendo N 1 = 4 en la ecuación anterior, se obtienesen (4.5 )X ( )sen (0.5 )la cual se grafica en la Fig. 4.8a. En forma similar, para N 1 = 8 se obtienesen (8.5 )X ( )sen (0.5 )la cual se grafica en la Fig. 4.8b.X()X()9170 0 Figura 4.8(a)(b)4.15.4 Desplazamiento en Frecuenciane j 0Esta propiedad, originada al multiplicar la exponencialporpor x[n], produce el par de transformadas dadoj0ne x n XLa demostración procede en la forma siguiente. Por la Ec. (4.39)[ ] ( )(4.46)0300

de dondeFj0n j0n jn{ e x[ n]} e x[ n]en x n e n j ( 0[ ] ) nX (0)j0ne x n X[ ] ( )0Ejemplo 7. Determinar la transformada inversa deX ( ) 2 ( 0) , 0 De la ecuación de definición de la transformada de Fourier inversa, se tiene que1x[ n] 2 ( 0) e d e2 j0n j0ny de aquí se obtiene el par de transformadasj 0ne 02 ( )Haciendo 0 = 0 en la relación anterior, se obtiene otro par de transformadas:xn [ ] 1 2 ( ), 4.15.5 ConjugaciónEsta propiedad relaciona el conjugado de la función con su transformada y nos dice queDe la Ec. (4.39)x*[ n] X *( )(4.47)y, por tanto, jn jnF{ x*[ n]} x*[ n] e x[ n]e nn j( n)[ ] X *( ) x n e nx*[ n] X *( )301

Debido a la naturaleza discreta del índice del tiempo para señales de tiempo discreto, los escalamientos entiempo y en frecuencia resultan en tiempos discretos que toman una forma algo diferente de suscontrapartes en tiempo continuo. Sea x[n] una señal con espectro X() y consideremos las dos propiedadessiguientes.4.15.6 Inversión en el Tiempox[ n] X ( )(4.48)Esta demostración se deja para el lector. Aun cuando la Ec. (4.48) es análoga al caso de tiempo continuo,surgen diferencias cuanto tratamos de escalar tiempo y frecuencia en vez de simplemente invertir el eje deltiempo, como se verá a continuación.4.15.7 Escalamiento en el TiempoLa propiedad de escalamiento de la transformada de Fourier en tiempo continuo se expresócomo1 x( at ) X (4.49)a a Sin embargo, en el caso de tiempo discreto, x[an] no es una secuencia si a no es un entero. Por otra parte, sia es un entero, digamos 2, x[2n] consiste solamente de las muestras pares de x[n]. Así que el escalamientoen el tiempo en tiempo discreto toma una forma algo diferente de la Ec. (4.49).Sea m un entero positivo y defina la secuenciaEntonces tenemosx( m ) x[ n m] x[ k ] si n km, k entero[ n] 0 si n km(4.50)x [ ] ( )( m )n X m (4.51)La Ec. (4.51) es la contraparte en tiempo discreto de la Ec. (4.49). Expresa de nuevo la relación inversaentre el tiempo y la frecuencia. Es decir, conforme la señal se extiende en el tiempo ( m 1) , sutransformada de Fourier se comprime. Observe que X(m) es periódica con período 2/m, ya que X() esperiódica con período 2.De la Ec. (4.39)302

Haciendo el cambio de variableF { x [ n]} x [ n]e( m) ( m)n jnn km en el lado derecho de esta ecuación, obtenemosDe aquí queF jkm j ( m) k{ x( m) [ n]} x( m)[ km] e x[ k ] e X ( m)kx [ ] ( )( m )n X m4.15.8 DualidadLa propiedad de dualidad de una transformada de Fourier de tiempo continuo se expresó comoX ( t) 2 x( )(4.52)En el caso discreto no hay una contraparte para esta propiedad. Sin embargo, hay una dualidadentre la transformada de Fourier discreta y la serie de Fourier de tiempo continuo. Seax[ n] X ( )De las Ecs. (4.39) y (4.43), j2n(4.53)nX ( ) x[ k ] eX( 2 ) X( )(4.54)Puesto que es una variable continua, haciendo = t y n = k en la Ec. (4.53), se obtieneX ( t ) x[ k ] ejkt(4.55)kComo X(t) es periódica con período T 0 = 2 y la frecuencia fundamental 0 2 T0 1, la Ec. (4.55)indica que los coeficientes de la serie de Fourier de X(t) serán iguales a x[k]. Esta relación dual se denotaporSFX ( t) a x[ k ](4.56)y donde SF denota “la serie de Fourier” y las a k son los coeficientes de Fourier.k303

4.15.9 Diferenciación en FrecuenciaDe nuevo, suponga que X() es la transformada de x[n]. EntoncesdX ( )n x[ n] jdDe la definición (4.39) sabemos que(4.57)X ( ) x[ n]e nDiferenciando ambos lados de la expresión anterior con respecto a e intercambiando el orden de ladiferenciación y la sumatoria, se obtiene jndX ( )d d x[ n] e x[ n] ed d n ndjnMultiplicando ambos lados por j, vemos quen x[ n]ej n jn jn jndX [ n]F { n x[ n]} n x[ n]e jdny, por tanto,n x[ n]dX ( )jd4.15.10 DiferenciasPara una sola diferencia, se tiene que jx[ n] x[ n 1] (1 e ) X ( )(4.58)La secuencia x[ n] x[ n 1] ya se definió como la primera diferencia. La Ec. (4.58) se obtienefácilmente a partir de la propiedad de linealidad, Ec. (4.44), y la propiedad de desplazamiento en el tiempo,Ec. (4.45).Ejemplo 8. Demuestre que304

SeaObserve ahora que1F { un [ ]} ( )1je F { u[ n]} X ( )[ n] u[ n] u[ n 1] y tomando la transformada de Fourier de ambos lados de esta ecuación, se obtiene j1 1 e X( )jAhora bien, 1e 0 para = 0 y, por tanto, X() debe ser de la forma1X( ) A( ) j1e donde A es una constante. Para determinar A, procedemos en la forma siguiente: La componente par de u[n]está dada porAsí que la componente impar de u[n] está dada poru [ n] [ n]p1 12 2u [ n] u[ n] u [ n] u[ n] [ n]ip1 12 2y1 1F { ui[ n]} A( ) ( )j1e 2Pero la transformada de Fourier de una secuencia real impar debe ser puramente imaginaria; así quedebemos tener que A = y entonces1F { u[ n]} ( ) X ( )j1e 4.15.11 AcumulaciónEsta propiedad dice quen1 x[ k ] X (0) ( ) X ( ) (4.59)j1e kObserve que la acumulación es la contraparte en tiempo discreto de la integración. El término en impulso enel lado derecho de la Ec. (4.59) refleja el valor promedio o CD que puede resultar de la acumulación.305

La demostración de esta propiedad se deja para el lector (use el resultado del Ejemplo 8).Ejemplo 9. Determinar la transformada de Fourier de u[n] usando la propiedad de acumulación, Ec.(4.59).Ya sabemos quey también queu[ n] [ k ]nk[ n] 1Haciendo x[k] = [k] en la Ec. (4.59), se obtienex[ n] [ n] X ( ) 1 y X (0) 1y, por tanto,n1u[ n] [ k ] ( ) 1j1e k4.15.12 ConvoluciónPara dos señales discretas x 1 [n] y x 2 [n], su convolución y la transformada de ésta cumplen con la relaciónx [ n] x [ n] X ( ) X ( )(4.60)1 2 1 2Esta propiedad juega un papel muy importante en el estudio de los sistemas LIT de tiempo discreto.Por las definiciones (4.27) y (4.39), tenemos que F { x1 [ n] x2 [ n]} x1 [ k ] x2[ n k ] enkIntercambiando el orden de las sumatorias, obtenemosF { x1 [ n] x2 [ n]} x1 [ k ] x2[ n k ] eknPor la propiedad de desplazamiento en el tiempo, Ec. (4.45): jn jny así tenemos quenx [ n k ] e e X ( ) jn jn2 2306

jk1 2 1 2kF{ x [ n] x [ n]} x [ k ] e X ( ) jk x1 [ k ] e X 2( ) X1 ( ) X2( )ky se verifica la relación (4.60).Ejemplo 10. Determine la transformada de Fourier inversa x[n] deusando el teorema de convolución.1X( ) a 1j 1ae 2La transformada inversa denes la función a un (Ejemplo 5). Ahora bien,1a 1j1 ae j1ae 21 1 1 X ( ) j j1a e 1a e Entonces, usando el teorema de convolución, Ec. (4.60), se obtienen n k nkx[ n] a u[ n] a u[ n] a u[ k ] a u[ n k ]nnn a 1 ( n 1) a u[ n]k0Por consiguiente, tenemos el par de transformadaskn1( n 1) a u[ n] a 1j1ae 4.15.13 Propiedad de Multiplicación o Modulación307

En el Cap. 3 se introdujo la propiedad de modulación para señales de tiempo continuo y se indicaronalgunas de sus aplicaciones. Existe una propiedad análoga para señales de tiempo discreto y juega un papelsimilar en aplicaciones. Esta propiedad esx 11[ n ] x 2[ n ] 1( )2( )2X X donde el símbolo denota la convolución periódica definida por1 2 1 22 (4.61)X ( ) X ( ) X ( ) X ( )d(4.62)La propiedad de multiplicación (4.61) es la propiedad dual de la Ec. (4.60) y su demostración procede en laforma siguiente:Sea x[ n] x1[ n] x2[ n]. Entonces, por la definición (4.39),Por la Ec. (4.39),X ( ) x [ n] x [ n] n1 122 1 21jnx [ n] X ( )e d Entonces 1X ( ) X ( ) e dx [ n]en2 2 jn jn1 2Intercambiando el orden de la sumatoria y la integración obtenemosy así queda demostrada la propiedad.1 j( ) nX ( ) X1( ) x2[ n]e d2 2 n1 1 X1 ( ) X2( ) d X1 ( ) X2( )222 4.15.14 Propiedades Adicionales308

Si x[n] es real, seax[ n] x [ n] x [ n]donde x p [n] y x i [n] son las componentes par e impar de x[n], respectivamente. Seapx[ n] X ( ) A( ) jB( ) X ( ) e ij ( ) (4.63)EntoncesX( ) X*( )(4.64)x [ n] Re{ X ( )} A( )px [ n] j Im{ X ( )} jB( )i(4.65)La Ec. (4.64) es la condición necesaria y suficiente para que x[n] sea real. De las Ecs. (4.64) y (4.63)obtenemosA( ) A( ), B( ) B( )X( ) X( ) , ( ) ( )(4.66)De las Ecs. (4.65) y (4.66) se observa que si x[n] es real y par, entonces X() es real y par, mientras que six[n] es real e impar, X() es imaginaria e impar.4.15.15 Relación de ParsevalSi x[n] y X[] forman un par de transformadas de Fourier, entoncesn1x [ n] x [ n] X ( ) X ( )d (4.67)1 2 1 222 12 2 x[ n] X ( )dn2 (4.68)2 La Ec. (4.68) se conoce como la identidad de Parseval (o el teorema de Parseval) para la transformada deFourier de tiempo discreto. En analogía con el caso de tiempo continuo, el lado izquierdo de la Ec. (4.68) seconoce como la energía en x[n] y2X ( ) como el espectro de la densidad de energía. Como la energíaen una secuencia periódica es infinita, la Ec. (4.68) no es de utilidad en ese caso. Para señales periódicas sepuede derivar una variante de la identidad de Parseval que relaciona la energía en un período de lasecuencia con la energía en un período de los coeficientes de la serie de Fourier, ella es309

12 2x[ n] akN0n N0 k (4.69)N04.16 La Respuesta de Frecuencia de Sistemas LIT DiscretosComo ya se mostró en el Cap. 2, la salida y[n] de un sistema LIT discreto es igual a la convolución de laentrada x[n] con la respuesta al impulso h[n], suponiendo que las transformadas de Fourier de x[n], y[n] yh[n] existen; es decir,Entonces la propiedad de convolución implica quey[ n] x[ n] h[ n](4.70)Y ( ) X ( ) H ( )(4.71)donde X(), Y() y H() son las transformadas de Fourier de x[n], y[n] y h[n], respectivamente. De estarelación obtenemosDe la relación (4.71), observe queY ( )H ( )X ( )(4.72)Y ( ) X ( ) H ( )(4.73) Y ( ) X ( ) H ( )(4.74)Igual que en el caso de tiempo continuo, la función H ( ) se conoce como la respuesta de magnitud delsistema. Debido a la forma multiplicativa de la Ec. (4.73), a la magnitud de la respuesta de frecuencia de unsistema LIT algunas veces se le refiere como la ganancia del sistema. Las relaciones dadas por las Ecs.(4.71) y (4.72) se muestran en la Fig. 4.9.[n]x[n]h[n]H()h[n]y[n] = x[n]h[n]X[]Y[] = X()H()310

Figura 4.9SeaHH ( ) H ( ) e j ( ) (4.75)La función H() se conoce como la respuesta de frecuencia del sistema, H ( ) como la respuesta demagnitud del sistema y ( ) como la respuesta de fase del sistema.H4.16.1 Sistemas LIT Caracterizados por Ecuaciones de DiferenciasMuchos sistemas LIT de tiempo discreto y de interés práctico son descritos por ecuaciones de diferenciascon coeficientes constantes de la formaNMa y[ n k ] bkx[ n k ](4.76)kk0 k0donde M N. En esta sección usamos las propiedades de la transformada de Fourier en tiempo discreto paraobtener una expresión para la respuesta de frecuencia del sistema LIT descrito por la Ec. (4.76).Tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la Ec. (4.76) y usando las propiedades delinealidad y de desplazamiento en el tiempo, obtenemoso, en forma equivalente,NMjkjk k kk0 k0a e Y ( ) b e X ( )H ( )Y ( )X ( )Mk 0Nk 0bekaek jk jk(4.77)Observe que H() es un cociente de polinomios en la variableje . Los coeficientes del polinomio delnumerador son los mismos coeficientes que aparecen en el lado derecho de la Ec. (4.76) y los coeficientesdel denominador son los mismos coeficientes que aparecen en el lado izquierdo de la Ec. (4.76). Estoimplica que la respuesta de frecuencia de un sistema LIT especificado por la Ec. (4.77) puede escribirse porinspección.311

Ejemplo 11. Considere un sistema LIT inicialmente en reposo descrito por la ecuación de diferenciasDe la Ec. (4.77), la respuesta de frecuencia esy[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n]3 14 8Y ( ) 1H ( ) X ( ) 1 e e3 j 1 j24 8Para determinar la respuesta al impulso, debemos obtener la transformada inversa de H(), por lo quenecesitamos expandir esta última expresión en fracciones parciales. Por lo tanto,1 1H ( )1 e e 1 e 1e 3 j 1 j 2 1 j 1 j 4 8 2 42 1 1e 1e1 j12 4 jLa transformada inversa puede obtenerse por inspección y el resultado es 1 1[ ] 2 n nh n u[ n]2 44.16.2 Naturaleza Periódica de la Respuesta de FrecuenciaDe la Ec. (4.43) sabemos queH( ) H( 2 )Así que, a diferencia de la respuesta de frecuencia de los sistemas de tiempo continuo, la de todos lossistemas LIT de tiempo discreto es periódica con período 2. Por consiguiente, solamente necesitamosobservar la respuesta de un sistema de tiempo discreto en la banda de frecuencias 0 2 o .4.17 Respuesta del Sistema a Muestras de Sinusoides de Tiempo Continuo4.17.1 Respuestas del SistemaDenote por y c [n], y s [n] y y[n] las respuestas del sistema a las excitaciones cos n , sen n yj ne ,j nrespectivamente (Fig. 4.10). Puesto que e cos n jsen n , y la respuesta de un sistema LIT conrespuesta al impulso h[n] a una excitación exponencial de la forma z n esy[ n] H ( z) z n , H ( z) h[ n]zn n312

se tiene quey[ n] y [ n] jy [ n] H ( )ecy [ n] Re{ y[ n]} Re H ( )ecy [ n] Im{ y[ n]} Im H ( )essjnjnjn(4.78)e jncos nsen nH()y[n] = H()e jny [ n] Re[ H()ecy [ n] Im[ H()esjnjn]]Figura 4.10Cuando una sinusoide cos n se obtiene por muestreo de una sinusoide de tiempo continuo cos t , conun intervalo de muestreo igual a T s , es decircos n cos t cos T nse pueden aplicar todos los resultados obtenidos en esta sección si sustituimos T s por :tnTs = T sPara una sinusoide de tiempo continuo cos t existe una forma de onda única para todo valor de en elintervalo de 0 a . Un aumento en resulta en una sinusoide de frecuencia siempre creciente. En contraste,la sinusoide de tiempo discreto cos n tiene una forma de onda única solamente para valores de en elintervalo de 0 a 2 porquecos[( 2 m) n] cos( n 2 mn ) cos n m enteroEste intervalo también está restringido por el hecho de quey, por lo tanto,cos( ) n cos ncos n sen nsennn ( 1) cos nscos( ) n cos( ) n(4.79)La Ec. (4.79) muestra que una sinusoide de frecuencia( + ) tiene la misma forma de onda que una confrecuencia( – ). Por ello, una sinusoide con cualquier valor de fuera del intervalo 0 a es idéntica auna sinusoide con en el intervalo de 0 a . Concluimos entonces que toda sinusoide de tiempo discreto313

con una frecuencia en la banda 0 < tiene una forma de onda única y sólo necesitamos observar larespuesta de frecuencia de un sistema en la banda de frecuencias 0 < .4.18 La Transformada de Fourier DiscretaUna de las razones para el crecimiento en el uso de los métodos de tiempo discreto para el análisis ysíntesis de señales y sistemas fue el desarrollo de herramientas muy eficientes para realizar el análisis deFourier de secuencias de tiempo discreto. En el corazón de estos métodos está una técnica muy cercana a lasideas que hemos presentado en las secciones anteriores y que está idealmente adaptada para el uso en unacomputadora digital o para su implementación en hardware digital. Esta técnica es la transformada deFourier discreta (TFD) para señales de duración finita y aun cuando puede considerarse como unaextensión lógica de la transformada de Fourier ya estudiada, no debe ser confundida con la transformada deFourier de tiempo discreto. Específicamente, en muchas aplicaciones solamente se pueden verificar losvalores de una función en un número finito de puntos igualmente espaciados. Por ejemplo, un conjunto deesos valores podría ser una sucesión obtenida mediante el muestreo instantáneo de una señal continua en unconjunto de puntos con igual separación entre ellos. Entonces debemos hallar una serie de Fourier finitacuya suma en cada punto del dominio de la función sea igual al valor correspondiente de la función en esepunto.4.10.4 DefiniciónSea x[n] una secuencia finita de longitud N, es decir,La TFD de x[n], denotada como X[k], se define porxn 0 fuera de la banda 0 n N 1(4.80)N 1knX [ k ] x[ n] WNk 0, 1, , N 1(4.81)n0donde W N es la N-ésima raíz de la unidad dada por314

W e j( 2 N )N (4.82)La TFD inversa (TFDI) está dada porEl par de TFD se denota por1N 1 knx[ n] X [ k ] WNn 0, 1, , N 1(4.83)Nk0x[ n] X [ k](4.84)La TFD tiene las siguientes características importantes:1. Existe una correspondencia uno a uno entre x[n] y X[k].2. Para su cálculo está disponible un algoritmo extremadamente rápido llamado la transformada deFourier rápida (FFT por sus iniciales en inglés).3. La TFD está íntimamente relacionada con la serie y la transformada de Fourier de tiempo discretoy, por ello, exhibe algunas de sus propiedades importantes.4. La TFD es la representación de Fourier apropiada para realización en una computadora digital yaque es discreta y de longitud finita tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.Observe que la selección de N en la Ec. (4.81) no es fija, siempre que ella se escoja mayor que la duraciónde x[n]. Si x[n] tiene longitud N 1 < N, deseamos suponer que x[n] tiene longitud N mediante la simpleadición de (N N 1 ) muestras con un valor de 0. Esta adición de muestras de relleno se conoce como rellenode ceros. Entonces la x[n] resultante se llama una secuencia o sucesión de N puntos, y a la X[k] definida enla Ec. (4.81) se le refiere como una TFD de N puntos. Mediante una selección juiciosa de N, tal comotomarla como una potencia de 2, se puede obtener una buena eficiencia computacional.Ejemplo 12. Determine la TFD de N puntos de las secuencias siguientes:(a) x[n] = [n](b) x[n] = u[n] u[n N]315

(a) De la definición (4.81), tenemosN 1knX [ k ] [ n] WN1 k 0, 1, , N 1n0La Fig. 4.11 muestra x[n] y su TFD de N puntos.(b) De nuevo, de la definición (4.81) y usando la ecuaciónN 1n0N 1n 1 N11ObtenemosN 1kNkn1WNX [ k ] WN 0 k 0k1Wn0NkN j ( 2 N ) kN jk 2 puesto que W e e 1 yNN1 N10 N n0 n0X [0] W 1 N1x[n]1X[k]0 N 1 n0 N n 1Figura 4.11316

La Fig. 4.12 muestra x[n] y su TFD de N puntos X[k].x[n]1X[k]10 n0 N 1 nFigura 4.124.10.5 Relación entre la TFD y la Serie de Fourier de Tiempo DiscretoComparando las Ecs. (4.83) y (4.81) con las Ecs. (4.10) y (4.11), vemos que la X[k] de una secuenciafinita x[n] puede ser interpretada como los coeficientes c k en la representación en serie de Fourier discretade su extensión periódica multiplicada por el período N 0 y N 0 = N. Es decir,X [ k ] N ck(4.85)En realidad, las dos pueden hacerse idénticas si incluimos el factor 1/N en la TFD y no en la transformadade Fourier de tiempo discreto.4.10.6 Relación entre la TFD y la Transformada de FourierPor la definición (4.38), la transformada de Fourier de la secuencia x[n] definida por la Ec. (4.80) puedeser expresada comoN 1 jnX ( ) x[ n]e(4.86)n0Comparando la Ec. (4.86) con la Ec. (4.81), vemos que317

k2X [ k ] X ( ) Xk 2 N N (4.87)Así pues, la TFD X[k] corresponde a la transformada de Fourier X() muestreada uniformemente en lasfrecuencias = k2/N para k entero.4.10.7 Propiedades de la TFDDebido a la relación expresada por la Ec. (4.87) entre la TFD y la transformada de Fourier, es de esperarque sus propiedades sean bastante semejantes, excepto que la TFD X[k] es una función de una variablediscreta mientras que la transformada de Fourier X() es una función de una variable continua. Observe quelas variables de la TFD n y k deben estar restringidas al intervalo 0 n, k < N, por lo que losdesplazamientos de la TFD x[n n 0 ] o X[k k 0 ] implican xn n 0 o X[k kmód N0 ] mód N , donde la notación[m] mód N significa quepara algún entero i tal que0 [ ]mód N m m i N(4.88)Por ejemplo, si x[n] = [n 3], entonces0 [ m] mód N N(4.89)x[ n 4] [ n 7] [ n 7 6] [ n1]mód 6 mód 6 mód 6El desplazamiento en la TFD también se conoce como un desplazamiento circular.Puesto que la TFD es evaluada en frecuencias en la banda [0, 2], las cuales están separadas por 2/N, alconsiderar la TFD de dos señales simultáneamente, las frecuencias correspondientes a la TFD deben ser lasmismas para que cualquier operación tenga significado. Esto significa que la longitud de las secuenciasconsideradas debe ser la misma. Si éste no es el caso, se acostumbra aumentar las señales mediante unnúmero apropiado de ceros, de modo que todas tengan la misma longitud. Algunas propiedades básicas dela TFD son las siguientes:1. Linealidad: Sean X 1 [k] y X 2 [k] las TFD de dos secuencias x 1 [n] y x 1 [n]. Entoncespara cualesquiera constantes a 1 y a 2 .a x [ n] a x [ n] a X [ k ] a X [ k ](4.90)1 1 2 2 1 1 2 2318

2. Desplazamiento en Tiempo: Para cualquier entero real n 0 ,x[ n n ] W X [ k ] W e (4.91)kn0 j( 2 N)0 mód N N Ndonde el desplazamiento es un desplazamiento circular.3. Desplazamiento en Frecuencia:W x[ n] X [ k k ](4.92) kn0N0 mód N4. Conjugación:x n X k(4.93)*[ ] *[ ]mód Ndonde el asterisco, igual que antes, denota el conjugado complejo.5. Inversión del Tiempo:x[ n] X [ k ](4.94)mód Nmód N6. Dualidad:X n N x k(4.95)[ ] [ ]mód N7. Convolución Circular: En nuestras discusiones anteriores de diferentes transformadas vimos que latransformada inversa del producto de dos transformadas correspondía a una convolución de lasfunciones del tiempo correspondiente. Con esto en mente, tenemos entonces quedondex [ n] x [ n] X [ k ] X [ k ](4.96)1 2 1 2N 1x [ n] x [ n] x [ i] x [ n i](4.97)1 2 1 2 mód Ni0La suma de convolución en la Ec. (4.97) se conoce como la convolución circular de x 1 [n] y x 2 [n]. Lademostración de esta propiedad se deja como un ejercicio.319

Ejemplo 13. Considere dos secuencias x[n] y h[n] de longitud 4 dadas porx[ n] cos nn 0, 1, 2, 32n1h[ n] n 0, 1, 2, 32(a) Calcule y[ n] x[ n] h[ n]usando la convolución circular.(b) Calcule y[n] usando la TFD.(a) Las secuencias x[n] y h[n] pueden expresarse comoPor la Ec. (4.97),x[ n] {1, 0, -1, 0} y h[ n] 1, , ,1 1 12 4 8y[ n] x[ n] h[ n] x[ i] h[ n i]3i0mód 4Las secuencias x[i] y h[n i] mód 4 para n = 0, 1, 2, 3 se grafican en la Fig. 4.13a. Entonces, por la Ec. (4.97)obtenemosy1 3 n 0 y[0] 1(1) ( 1)4 41 1 3 n1 y[1] 1 ( 1)2 8 813 n 2 y[2] 1 ( 1)(1) 4 41 1 3 n 3 y[3] 1 ( 1) yn [ ] , , , 8 2 83 3 3 34 8 4 8320

x[i]1 1h[i]20 13 i3 1 0ih[n i] mód 4h[n i] mód 41n = 01n = 10 1 2 3 i0 1 2 3ih[n i] mód 4h[n i] mód 41n = 2112n =301 2 3i0123i(a)y[n]112120 12 3i(b)Figura 4.13(b) Por la Ec. (4.81)3X [ k ] x[ n] W 1 W k 0, 1, 2, 3n0kn2 k4 43H [ k ] h[ n] W 1 W W W k 0, 1, 2, 3n0kn 1 k 1 2k 1 3k4 2 4 4 4 8 4Entonces, por la Ec. (4.96), la TFD de y[n] es321

2 k 2 3 1 k 1 k 1 k4 2 4 4 4 8 4 Y [ k ] X [ k ] H [ k ] 1W 1 W W W1 W W W W W1 k 3 2 k 3 3 k 1 4 k 1 5 k2 4 4 4 8 4 4 4 8 4kk4 414k4Como W W5 k ( 41)k k y W W W , se tiene4 4 43 3 k 3 2k 33kY [ k ] W4 8 4 W4 4 W4k 0, 1, 2, 38y por la definición de la TFD, Ec. (4.81), obtenemosyn [ ] , , , 3 3 3 34 8 4 8Ejemplo 14, Demuestre que si x[n] es real, entonces su TFD X[k] satisface la relaciónX[N k] = X*[k]De la Ec. (4.81)N1 N1( N k ) n j ( 2 N )( N k ) n N n0 n0X [ N k ] x[ n] W x[ n]eAhora bien,e e e e j ( 2 N )( Nk ) n j 2 n j ( 2 N ) kn j ( 2 N ) knPor lo tanto, si x[n] es real, entonces x*[n] = x[n] yN1 N1j ( 2 N ) kn j ( 2 N ) kn X [ n k ] x[ n] e x[ n] e X *[ k ]n0 n08. Multiplicación:322

donde1x1 [ n] x2 [ n] X1[ k ] X2[ k ](4.98)NN 1X [ k ] X [ k ] X [ i] X [ k i]1 2 1 2 mód Ni19. Propiedades Adicionales:Cuando x[n] es real, seax[ n] x [ n] x [ n]pidonde x p [n] y x i [n] son las componentes par e impar de x[n], respectivamente. Seax[ n] X [ k ] A[ k ] j B[ k ] X [ k ] e j [ k]EntoncesX [ k ] X *[ k ](4.99)mód Nx [ n] Re{ X [ k ]} A[ k ]px [ n] j Im{ X [ k ]} j B[ k ]i(4.100)De la Ec. (4.99) tenemosA[ k ] A[ k ] B[ k ] B[ k ]mód Nmód Nmód NX [ k ] X [ k ] [ k ] [ k ]mód N(4.101)10. Relación de Parseval:1x[ n] X [ k ]NN1 N12 2 (4.102)n0 n0La Ec. (4.102) se conoce como la identidad de Parseval (o el teorema de Parseval) para la TFD.323

Problemas4.1 Un conjunto de secuencias es { k [n]} es ortogonal en un intervalo [N 1 , N 2 ] si dos señales cualesquiera m [n] y n [n] en el conjunto satisfacen la condiciónN2nN1 0 mkm[ n] k[ n] m k 0. Demuestre que el conjunto de secuencias exponenciales complejask n e k N es ortogonal en cualquier intervalo de longitud N.jk ( 2 N ) n[ ] 0, 1, , 14.2 Determine los coeficientes de Fourier para la secuencia periódica x[n] en la Fig. P4.2.x[n]. . .. . .–4 –3–2–101 2 3 4 5 6nFigura P4.24.3 Considere una secuencia(b) Dibuje x[n].x[ n] [ n 3 k ]k(c) Determine los coeficientes de Fourier c k de x[n].4.4 Determine la representación en serie de Fourier discreta para cada de las secuencias siguientes ygrafique la magnitud y fase de los coeficientes de Fourier:(a) x[ n] cos n 43 2(b) x[ n] 2sen n sen n4 7(c) x[n] es periódica con período 4 y324

(d)k3nx[ n] ( 1) ( n k ) sen 4kn1x[ n] 0 n 334.5 Sea x[n] una secuencia periódica real con período fundamental N 0 y coeficientes de Fourierck ak jbk, donde a k y b k son ambos reales.(a) Demuestre que a k aky b k bk.(b) Demuestre quec es real si N N 0 20 es par.(c) Demuestre que x[n] también puede expresarse como una serie de Fourier trigonométrica discretade la formasi N 0 es impar osi N 0 es par.( N01) 22x[ n] c 2 ( a cos k n b sen k n) 0 n0 k0 0k1 N0( N02 ) 2n0 N02 k 0 k0k1x[ n] c ( 1) c 2 ( a cos k n b sen kn)4.6 Determine la transformada de Fourier de cada una de las secuencias siguientes:(a) x[ n] a n u[ n 1] a realn(b) x[ n] a , a 1(c) x[ n] sen ( 0n),0 (d) x[ n] u[ n 1]4.7 Sean x[n], h[n] y y[n] secuencias periódicas con el mismo período N 0 , y sean a k , b k y c k loscoeficientes de Fourier respectivos.(a) Sea y[ n] x[n]h[n]. Demuestre que (b) Sea y[ n] x[n]h[n]. Demuestre quec a b a b a bk m km km m k kN0 N0c N a bk 0 k k4.8 Determine la transformada de Fourier de la secuencia en pulso rectangularx{ n} u[ n] u[ n N ]325

4.9 Para la secuencia del pulso rectangular mostrado en la Fig. P4.9,(a) Determine la transformada de Fourier X().(b) Grafique X() para N 1 = 4 y N 1 = 10.. . .. . .–N 1x[n]0 N 1nFigura P4.94.10 Determine la transformada de Fourier inversa de(a) X ( ) 2 ( 0) , 0 (b) X ( ) cos(2 )(c) X( ) j4.11 Determine la transformada de Fourier de la secuencia sinusoidal4.12 Considere la secuencia x[n] definida porx[ n] cos n 0 01x[n] 0n 2otrosvaloresden(a) Dibuje x[n] y su transformada de Fourier X().(b) Dibuje la secuencia escalada en el tiempo x [ n ] y su transformada de Fourier X ( ).( 2 ) ( 2 )(c) Dibuje la secuencia escalada en el tiempo x [ n ] y su transformada de Fourier X ( ).( 3 ) ( 3 )(d) Determine y[ n] x[ n] x[ n].(e) Exprese Y() en función de X().4.13 Considere la secuencia y[n] dada por x[ n] n paryn [ ] 0 n imparExprese Y[] en función de X[].326

4.14 Sea1, n 2xn [ ] 0, n 2(a) Determine y[ n] x[ n] x[ n].(b) Halle la transformada de Fourier Y() de y[n].4.15 Use el teorema de la convolución para determinar la transformada de Fourier inversa de4.16 Demuestre que1X ( ) a 1j 1ae 21un [ ] ( )1je 4.17 Verifique la propiedad de acumulación, es decir, demuestre que4.18 Demuestre quek 1x[ k ] X (0) ( ) X ( ) j1e1u[ n] [ n] j1e 4.19 Verifique el teorema de Parseval para la transformada de Fourier discreta.4.20 Un sistema LIT causal de tiempo discreto es descrito pory[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n]1 14 8donde x[n] y y[n] son la entrada y salida del sistema, respectivamente.(a) Determine la respuesta de frecuencia H() del sistema.(b) Halle la respuesta al impulso h[n] del sistema.1(c) Halle y[n] si x n [ ] u[ n].2n4.21 Considere un sistema LIT causal de tiempo discreto con respuesta de frecuenciaH ( ) Re{ H ( )} j Im{ H ( )} A( ) j B( )(a) Demuestre que la respuesta al impulso h[n] del sistema puede obtener en función de A() o deB() solamente.(b) Halle H() y h[n] si327

Re{ H( )} A( ) 1 cos 4.22 Determine la TFD de la secuencia x[n] = a n , 0 n N 1.4.23 Evalúe la convolución circular y[ n] x[ n] h[ n], donde(a) Suponiendo N = 4.(b) Suponiendo N = 8x[ n] u[ n] u[ n 4]h[ n] u[ n] u[ n 3]328

CAPÍTULO 5LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE329

CAPÍTULO 5: LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE5.13 IntroducciónEl concepto de transformar una función puede emplearse desde el punto de vista de hacer un cambio devariable para simplificar la solución de un problema; es decir, si se tiene un problema en la variable x, sesustituye x por alguna otra expresión en términos de una nueva variable, por ejemplo,x sen y,anticipando que el problema tendrá una formulación y una solución más sencillas en términos de la nuevavariable y; luego de obtener la solución en términos de la nueva variable, se usa el procedimiento opuesto alcambio previo y se obtiene entonces la solución del problema original. El logaritmo es un ejemplo sencillode una transformación a la que ya nos hemos enfrentado; su virtud es que transforma un producto en unasuma, que es una operación mucho más sencilla. Efectuando la operación inversa, el antilogaritmo,obtenemos el resultado del producto.En el Capítulo 3 se estudió la Transformada de Fourier. Sin embargo, esta transformación está restringidaa funciones que tienden a cero lo suficientemente rápido conforme t de modo que la integral deFourier converja. Ahora se removerá esa restricción. También queremos extender el teorema de la integralde Fourier a aquellos casos donde deseamos la respuesta de un sistema lineal a una excitación que comienzaen t = 0, es decir, se definen condiciones iniciales, y luego desarrollar ciertas propiedades de latransformada modificada resultante, la cual identificaremos como la transformada de Laplace.Una transformación que es de gran importancia en el cálculo es la de integración,xI f ( t ) f ( t ) dt F ( x)0El resultado de esta operación es una función F(x), la imagen de f(t) bajo la transformación. Obsérvese quela operación inversa a la integración es la derivación; si se designa por D la operación de derivar, d/dt,entoncesD F ( x) f ( x)Con frecuencia es necesaria una transformación más complicada. Si se tiene una función f(t) de la variablet, se define una transformada integral de f(t) comobTransformada integral de f ( t ) T f ( t ) f ( t ) K ( s, t ) dt(5.1)a330

La función K(s, t), la cual es una función de dos variables, se denomina el núcleo de la transformación.Obsérvese que la transformada integral ya no depende de t; es una función F(s) de la variable s, de la cualdepende el núcleo. El tipo de transformada que se obtiene y los tipos de problemas para los cuales es deutilidad dependen de dos cosas: el núcleo y los límites de integración. Para ciertos núcleos K(s, t), latransformación (5.1) al aplicarse a formas lineales en f(t) dadas, cambia esas formas a expresionesalgebraicas en F(s) que involucran ciertos valores de frontera de la función f(t). Como consecuencia,ciertos tipos de problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias se transforman en problemas algebraicoscuya incógnita es la imagen F(s) de f(t). Como ya se mencionó, si se conoce una transformación inversa,entonces es posible determinar la solución y(t) del problema original.En general, recuerde que una transformación T{f(t)} es lineal si para todo par de funciones f 1 (t) y f 2 (t) ypara todo par de constantes c 1 y c 2 , ella satisface la relación ( ) ( ) ( ) ( ) T c f t c f t c T f t c T f t(5.2)1 1 2 2 1 1 2 2Es decir, la transformada de una combinación lineal de dos funciones es la combinación lineal de lastransformadas de esas funciones.Para la selección particular del núcleo K ( s, t) e st y los límites de integración desde cero hasta infinitoen la Ec. (5.1), la transformación definida así se denomina una transformación de Laplace y la imagenresultante una transformada de Laplace. La transformada de Laplace de f(t) es entonces una función de lavariable s y se denota por F(s) o L{f(t)}. La transformación de Laplace es probablemente la herramientamás poderosa para estudiar los sistemas lineales descritos por ecuaciones diferenciales con coeficientesconstantes. Como un proceso, la transformación convierte un problema en ecuaciones diferenciales en unoque involucra una o más ecuaciones algebraicas.5.14 Definición de la Transformada de LaplaceDada una función f(t) definida para todos los valores positivos de la variable t, se forma la integral st f ( t ) e dt F ( s)(5.3)0la cual define una nueva función F(s) del parámetro s, para todo s para el cual converge la integral. Lafunción F(s) así formada se denomina la transformada de Laplace unilateral de f(t). Normalmente se331

omitirá el término unilateral y la transformada se denotará por F(s) o L{f(t)}. Es decir, la definiciónformal de la transformada de Laplace es ( ) ( ) stL f t F sf ( t)e dt(5.4)El límite inferior de la Ec. (5.4) se escogió como 0 en vez de 0 o 0 + para incluir casos donde la función f(t)pueda tener una discontinuidad de salto en t 0. Esto no debe considerarse una restricción, ya que en losestudios usuales de transitorios, el origen del tiempo siempre puede tomarse en el instante t = 0 o en algúntiempo finito t > 0. La función en el lado derecho de la Ec. (5.4) no depende de t porque la integral tienelímites fijos. Como ya se mencionó, la transformación de Laplace es un proceso que reduce un sistema deecuaciones integro-diferenciales simultáneas lineales a un sistema de ecuaciones algebraicas simultáneaslineales. La transformada de Laplace asocia una función en el dominio del tiempo con otra función, la cualse define en el “plano de frecuencia compleja”.La propiedad más sencilla y más obvia de la transformación de Laplace es que es lineal. Esta afirmaciónes fácil de demostrar ya que ella está definida como una integral. Es decir, si f 1 (t) y f 2 (t) poseentransformadas F 1 (s) y F 2 (s) y c 1 y c 2 son constantes,0L c f ( t) c f ( t) c F ( s) c F ( s)(5.5)1 1 2 2 1 1 2 2La notaciónf ( t) F ( s)significará que las funciones f(t) y F(t) forman un par de transformadas de Laplace, es decir, que F(s) es latransformada de Laplace de f(t).En general, la variable s es compleja (s = + j) pero, por los momentos, se tomará como real y másadelante se discutirán las limitaciones sobre el carácter de la función f(t) y sobre el recorrido de la variables. Puesto que el argumento st del exponente de e en la Ec. (5.3) o (5.4) debe ser adimensional, entonces las1dimensiones de s deben ser las de frecuencia y las unidades de segundos inversos s .Ahora se obtendrán las transformadas de algunas funciones elementales. La mayoría de los ejemplos estánbasados en la integral332

cuya demostración procede de la identidad pt1 e dt , p 0(5.6)p0T0e pt1edt pEn efecto, si p > 0, entonces e pT 0 conforme T y se obtiene la Ec. (5.5).pTEjemplo 1(a)Se determinará la transformada de Laplace de la función f(t) = 1, t > 0. Insertando esta función en laEc. (5.3), se obtienestst11 (1)e dt e dt sL 00(b)para s > 0. En la notación indicada,11 , s 0(5.7)sConsidérese ahora la función f(t) = e ct , t > 0, donde c es una constante. En este caso,Lct ct st 00s c te e e dt e dtLa última integral es la misma que la de (5.6) con p = s c; por lo tanto, es igual a 1 sc, con talque sc 0. Se concluye entonces quect1e , s csc(5.8)Con la ayuda de métodos elementales de integración se pueden obtener las transformadas de otrasfunciones. Por ejemplo,122t ,t 2 3ss1ssen at , cos at s a s a2 2 2 2para s > 0; más adelante se estudiarán procedimientos más sencillos para obtener estas transformadas.(5.9)333

Ejemplo 2Usando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace se obtendrá la transformada de la funciónf ( t) senh at .Usando la identidad1at1senh at e e 2 2entonces1 at1 at 1 1 1 1L{senh at} L e e 2 2 2 s a 2 s acuando s > a y s > a; es decir,asenh at ,2 2 s>as aatComo la ecuación de definición de la transformada de Laplace contiene una integral en la cual uno de suslímites es infinito y por la propiedad de linealidad, una de las primeras preguntas a responder se refiere a laexistencia de la transformada. Un ejemplo sencillo de una función que no tiene una transformada deLaplace es f t t exp exp . Por ello, a continuación se darán algunos teoremas concernientes a laconvergencia de la integral de Laplace.5.15 Condiciones para la Existencia de la Transformada de Laplace5.15.1 Funciones Seccionalmente ContinuasSe dice que una función f(t) es seccionalmente continua en un intervalo acotado a < t < b, si es continuaexcepto en un número finito de puntos t 1t 2 < t Nde (a , b) y si en cada punto de discontinuidadposee límites finitos conforme t tiende a cualquier extremo de los subintervalos desde el interior (si x 1 = a,el límite por el lado derecho existe en t 1 , y si t N = b, el límite por el lado izquierdo debe existir en t N ). Seusan los símbolosf ( t ), f ( t )ii334

para denotar los límites por el lado izquierdo y por el lado derecho, respectivamente, de f(t) en t i . Lafunción f(t) que se ilustra en la Fig. 5.1 es seccionalmente continua en (a, b). Tiene sólo una discontinuidaden t = t 1 yf ( t ) A, f ( t ) B1iFigura 5.5 Figura 5.2La función que se ilustra en la Fig. 5.2 no es seccionalmente continua. Posee sólo una discontinuidad en t 1 ,pero el límite por el lado derecho de g(t) no existe en t 1 .Teorema 1. Sean las funciones f(t) y g(t) seccionalmente continuas en todo intervalo de la forma [c,T],donde c es fijo y T > c. Si |f(t)| g(t) para t c y si la integralconverge, entonces la integralcg () t dtcf () t dttambién converge.Más adelante se usará el Teorema 1 para establecer un conjunto de condiciones de suficiencia para laexistencia de la transformada de Laplace de una función. Sin embargo, primero se introducirá la notaciónla cual debe leerse “f(t) es del orden de g(t)”. Esta notación significa que existen constantes M y N talesque335f ( t) O g( t)

f ( t) Mg ( t)cuando t N. En particular, si f(t) = O|e t | para alguna constante , se dice que f(t) es de ordenexponencial.Teorema 2. Sea f(t) una función seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0,T], donde T > 0ty sea f t O e para alguna constante . Entonces la transformada de LaplaceL f ( t) F ( s)existe, al menos para s > .Demostración: De acuerdo con las hipótesis del teorema, existen constantes M y t 0 tales quef () t Me tststcuando t > t 0 . Entonces f () t e M e cuando s t 0 . Puesto que la integralt0Me s tdtconverge cuando s > , la integralt0e stdttambién converge (Teorema 1). Puesto quet0 st st st e f ( t ) dt e f ( t ) dt e f ( t ) dt,s 0 0la transformada de Laplace L{f(t)} existe para s > .Como una aplicación importante del Teorema 2, se demostrará que si f(t) es de la format0n at n att e cos bt , t e sen bt (5.10)donde n es un entero no negativo, entonces L{f(t)} existe para s > a > 0. Primero obsérvese quetnt O e para todo número positivo . Como cos bt 1 y sen bt 1 para todo t, tenemos quea tf () t O e Por el teorema 1, L{f(t)} existe para s > a+ para todo número positivo . Por consiguiente, L{f(t)}existe para s > a.El resultado anterior es importante en el estudio de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientesconstantes. Considere la ecuación homogénea336

P( D) x 0donde D = d/dt y P(D) es un operador polinomial. Toda solución de esta ecuación es una combinaciónlineal de funciones de la forma (5.10). Cualquier derivada de una solución es también una combinaciónlineal de funciones de este tipo. Por lo tanto, se puede decir que toda solución de la ecuación, y todaderivada de una solución, es de orden exponencial y posee una transformada de Laplace.Teorema 3. Sea f(t) una función seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0, T] y seaf () t O e t para alguna constante . Entonces la función h(t), dondeh tes de orden exponencial. Si > 0, tth( t ) f ( u)du0 O e y si < 0, h(t) = O[1].Demostración: Existen constantes positivas t 0 y M 1 tales que f t M1e t para t t 0 . También existeuna constante positiva M 2 tal que |f(t)| M 2 para 0 t t 0 . Puesto quepara t > t 0 , se tiene quet0 h( t ) f ( u) du f ( u)du0t0tt0 h( t ) M du M f ( u)du2 10t0toSi > 0, entoncesM1 t t0h()t M2t0 e e M h( t ) M t e , t t 1 t2 0 0y h()t O e t .337

Ejemplo 3La función escalón unitario (previamente definida en el Cap. 1) 0 cuando 0 ttu( t t0) 1 cuando t t00es un ejemplo de una función seccionalmente continua en el intervalo 0 < t < T para todo número positivo T(Fig. 5.3). Observe la discontinuidad en t = t 0 :lím u ( t t ) 0 lím u ( t t) 1 0 0tt0 tt0La transformada de Laplace de esta función esAsí que, siempre que s > 0, st st1 stu( t t0) e dt e dt es0t0 t0Lu( t t)0es ts 0Figura 5.3Aquí se debe señalar un punto importante. La transformada de Laplace está definida solamente entre 0 y+. La conducta de la función f () t para t < 0 nunca entra en la integral y por tanto no tiene efecto sobresu transformada. Por ejemplo, las funciones f ( t) 1 y u(t) ( t 01en el Ejemplo 3) tienen la mismatransformada 1/s.Las condiciones mencionadas en los teoremas para la existencia de la transformada de una función sonadecuadas para la mayoría de nuestras necesidades; pero ellas son condiciones suficientes y no necesarias.Por ejemplo, la función f(t) puede tener una discontinuidad infinita en, por ejemplo, t = 0, es decir |f(t)| conforme t 0, con tal que existan números positivos m, N y T, donde m < 1, tales que |f(t)| < N/t m338

cuando 0 < t < T. Entonces, si en cualquier otra forma, f(t) cumple con las condiciones mencionadas, sutransformada todavía existe porque la integralexiste.T0e sTf () t dt5.15.2 Región de Convergencia de la TransformadaEl recorrido de valores de la variable compleja s para los cuales converge la transformada de Laplace se atdenomina la región de convergencia (RDC). Por ejemplo, sabemos que la señal x( t) e u( t), a real,tiene como transformada la función X ( s) 1 ( s a), siempre que Re( s) a, puesto que( s a ) tlím e 0tsólo si Re( sa) 0 o Re( s) a. Así que la RDC para este ejemplo la especifica la condiciónRe( s) a y se muestra en el plano complejo como lo ilustra la Fig. 5.4 mediante el área rayada a laderecha de la línea Re( s) a, para el caso en que a 0 .Figura 5.45.16 Teoremas de la Derivada y de la IntegralSe desea expresar la transformada de Laplace0 stf ()t e dtde la derivada f'(t) de una función f(t) en términos de la transformada de Laplace F(s) de f(t). Integrandopor partes se obtiene339

L 0 st st stf ( t ) f ( t ) e dt f ( t ) e s f ( t ) e dt0 0Sea f(t) del orden de e st conforme t tiende a infinito y continua. Entonces, siempre que s > a, el primertérmino en el lado derecho se convierte en f(0) y por tantoL f ( t) sF ( s) f (0)(5.11)Así que la diferenciación de la función objeto corresponde a la multiplicación de la función resultado por suvariable s y la adición de la constante f(0). La fórmula (5.11) da entonces la propiedad operacionalfundamental de la transformación de Laplace; ésta es la propiedad que hace posible reemplazar la operaciónde diferenciación en una ecuación diferencial por una simple operación algebraica sobre la transformación.Ejemplo 4Se desea resolver la ecuacióny( t) 3 y( t) 0, t 0(5.12)con la condición inicial y(0) = 2.Multiplicando ambos lados de la Ec. (5.12) por e st e integrando de cero a infinito, se obtieneDel teorema de la derivada, Ec. (5.11), se obtiene que0 st y( t ) 3 y( t ) e dt 0(5.13)0 sty( t ) e dt sY ( s) y(0) sY ( s) 2donde Y(s) = L{y(t)}. Sustituyendo en la Ec. (5.12) dasY ( s) 2 Y ( s) 0(5.14)Así que la transformada de Laplace Y(s) de la función incógnita y(t) satisface esta ecuación. Resolviéndola,se obtieneComo se observa, la fracción anterior es la transformada de la función 2(5.12) es2Y( s) s 3(5.15)y t e t3t( ) 2 , 03te . Por lo tanto, la solución de340

5.16.1 La Transformada de Laplace BilateralLa transformada de Laplace F(s) de una función f(t), como se definió en (5.3), involucra los valores de lafunción f(t) para todo t en el intervalo (0, ). Es decir, el intervalo adecuado en la solución de ecuacionesdiferenciales que son válidas para t 0. En la teoría de circuitos eléctricos, sistemas de control lineales yotras aplicaciones, algunas veces es deseable considerar los valores de f(t) en todo el eje real y definir aF(s) en consecuencia. Esto conduce a la función stF ( s) f ( t ) e dt(5.16)conocida como la transformada de Laplace bilateral de f(t). Si la función f(t) es causal, es decir, si f(t) =0 para t < 0, entonces la integral en (5.16) es igual a la integral en (5.3). En este texto no se usará la Ec.(5.16). La notación F(s) se reservará sólo para las transformadas unilaterales.5.16.2 La Función ImpulsoUn concepto importante ya presentado en el Cap. 1 es el de la función impulso. Esta función, tambiénconocida como la función delta de Dirac, se denota por () t y se representa gráficamente mediante unaflecha vertical, como en la Fig. 5.5. En un sentido matemático estricto, la función impulso es un conceptobastante sofisticado. Sin embargo, para las aplicaciones de interés es suficiente comprender sus propiedadesformales y aplicarlas correctamente. Las propiedades de esta función ya se estudiaron en el Cap. 1 y no serepetirán aquí. Su transformada se derivará más adelante.5.16.3 El Teorema de la DerivadaFigura 5.5Al comienzo de esta sección se demostró que si F(s) = L{f(t)}, entoncesL f ( t) sF ( s) f (0)(5.17)341

Ahora se revisará el significado de f(0). Si f(t) es continua en el origen, entonces f(t) tiene un significadoclaro: es el valor de f(t) para t = 0. Suponga, sin embargo, que f(t) es discontinua y quef (0 ) lím f ( ), f (0 ) lím f ( ), 0(5.18)0 0son sus valores en t = 0+ y t = 0, respectivamente (Fig. 5.7a). En este caso, el número f(0) en la Ec. (5.17)depende de la interpretación de f'(t). Si f'(t) incluye el impulso [f(0+) f(0)](t) debido a ladiscontinuidad de f(t) en t = 0 (Fig. 5.7b), entonces f(0) = f(0). Si f'(t) es la derivada de f(t) para t 0solamente y sin el impulso en el origen (Fig. 5.7c), entonces f(0) = f(0 + ). La primera interpretación requiereaclarar el significado de la integral en la Ec. (5.3) cuando f(t) contiene un impulso en el origen.Como se sabe, la integral de (t) en el intervalo (0, ) no está definida porque (t) es un impulso en t = 0.Para evitar esta dificultad, se interpretará a F(s) como un límite de la integral f(t)e st en el intervalo (,):( ) lim ( ) ststF s f t e dt f ( t ) e dt0 (5.19)donde > 0. Con esta interpretación de F(s) se deduce que la transformada de (t) es igual 1:porque0t 1(5.20) st( t ) e dt 1Figura 5.7Además, el término f(0) en la Ec. (5.29) es el límite f(0 ) de f() conforme 0. Si F(s) se interpretacomo un límite en el intervalo (, ), entonces f(0) = f(0 + ). En resumen,st f ( t) e dt sF ( s) f (0 )(5.21)0342

yst f ( t ) e dt sF ( s) f (0 )(5.22)0La diferencia f(0 + ) f(0 ) entre estas dos integrales es igual a la transformada de Laplace del impulso[f(0 + ) f(0 )](t) en el origen y causada por la discontinuidad de f(t) en ese punto.Si la función f(t) es continua en el origen, entonces debe quedar claro que f(0 ) = f(0 + ) = f(0) y lasfórmulas (5.17), (5.21) y (5.22) son equivalentes. Si f(t) es continua para t 0 excepto por un salto finitoen t 0 , es fácil demostrar que la fórmula (5.17) debe reemplazarse por la fórmula0L f ( t) sF ( s) f (0) f ( t 0) f ( t 0) e stdonde la cantidad entre corchetes es la magnitud del salto en t 0 .0 0Derivadas de Orden Superior. Sean f(t) y f'(t) continuas para t 0 y de orden exponencial y tambiénsea f'(t) seccionalmente continua en todo intervalo acotado. Entonces, como f"(t) es la derivada de f'(t), latransformada de f'(t) menos el valor inicial f'(0) de f'(t), es decirL f ( t ) sL f ( t ) f (0) s sF ( s) f (0) f '(0)2 s F ( s) sf (0) f '(0)La aplicación repetida del argumento anterior produce la relación(5.23)( n ) n n 1 n 2 ( n 1)L f ( t) s F ( s) s f (0) s f '(0) f (0) (5.24)donde se supone que f(t) y sus derivadas de orden hasta n 1 son continuas para t 0 y de ordenexponencial.Aplicando (5.24) al impulso (t), se obtieneL( n ) () tporque la transformada de (t) es igual a 1 y los valores de sus derivadas en t = 0 son iguales a cero.Ejemplo 5Se desea obtener la transformada de f(t) = sen(at) a partir de la transformada de cos(at).sSi f(t) = cos(at), entonces f(t) = asen(at) y aplicando (5.17), se obtienen343

y por tantoL a at sL at sen cos 12 2sa= 1 s a s a2 2 2 2aL senat 2 2s aEjemplo 6Determínese la transformada de f(t) = tu(t).tSolución: La función f(t) = t y f'(t) son continuas y f(t) es de Oe tanto,L{ f ( t)} sL f ( t) f (0) s 0para cualquier positiva. Por looComo L{1} = 1/s, se tiene entonces queL{1} = sL{t}1L t s0s2Ejemplo 7Determínese la transformada de Laplace de f(t) = t n , donde n es cualquier entero positivo.Solución La función f(t) = t n cumple con todas las condiciones del Teorema 2 para cualquier positiva.En este caso,Aplicando la fórmula (5.24) se obtieney por tanto,nn1n1f (0) f '(0) f (0) 0f ( t ) n!f( t) 0n1n1n L f ( t) 0 s L t n!Ln!n t s0n 1s 344

5.16.4 El Teorema de la IntegralUsando el teorema de la derivada, se obtendrá la transformada F(s) de la integral definida portf ( t ) y( )d (5.25)0de una función y(t) en términos de la transformada Y(s) de y(t). Se supone que f(t) es seccionalmentecontinua y de orden exponencial.La función f(t) en la Ec. (5.25) es continua y f(0) = 0. También se tiene que y(t) = f'(t). Por lo tanto, latransformada Y(s) de y(t) es igual la transformada sY(s) f(0) y, puesto que f(0 ) = 0, se concluye que Y(s)= sF(s). Entonces,t1F s L y( ) dY ( s)(5.26) s0 Ahora bien, la formulación de las leyes de Kirchhoff para una red, con frecuencia incluye una integral conlímites de a t. Estas integrales pueden dividirse en dos partes,t0 y( ) d y( t ) dt y( )dt0en donde el primer término de la derecha es una constante. Cuanto y(t) es una corriente, esta integral es elvalor inicial de la carga, q(0 ) , y cuando y(t) es un voltaje, la integral es el enlace de flujo(0 ) Li(0 ) , donde L es la inductancia. En cualquier caso, este término debe incluirse en laformulación de la ecuación; la transformada de una constante q(0 ) esLq(0 )Y se puede escribir una ecuación similar para (0 ).q(0 )s5.16.5 Traslación ComplejaAhora se expresará la transformada atst sa te f ( t ) e dt f ( t ) e dt a 00 0345

del producto e at f(t) en términos de la transformada F(s) de f(t). La última integral en la ecuación anterior esla misma integral de la ecuación de definición de la transformada, siempre que s se reemplace por s a. Porlo tanto, es igual a F(s a) y se obtiene el par de transformadas ate f ( t) F ( s a)(5.27)Esta propiedad nos dice que la transformada del producto de e –at por una función de t es igual a latransformada de la misma función con s reemplazada por s + a. Como herramienta para hallartransformadas inversas, esta propiedad afirma que si s + a es reemplazada por s en la transformada de unafunción f(t), entonces f(t) es igual al producto de e –at por la inversa de la transformada modificada.Ejemplo 8(a)Se desea evaluar11L 2 .s( s 4) 2 2Suprimiendo el factor 1/s, obtenemos Y ( s) 1 ( s 4) 1 2 ( s 4) 2 cuya transformada inversaes igual a 1 2sen 2t . Integrando esta ecuación y usando la Ec. (5.26), tenemos que(b)Ltt1 1 sen 2t cos 2t 1cos 2t12 2 dt sens( s 4) 2 4 4 200Ahora se usarán las Ecs. (5.25) y (5.26) para evaluar la integralttag () t e d0Éste es un caso especial de la Ec. (5.26) con Y(t) = e at . Usando (5.26) con f(t) = 1, se tiene que F(s)= 1/s y entoncesLe atUsando(5.26) con Y(s) = 1/(s+a), se obtieney por tanto,11s a1 1 a 1 aG( s) s( s a)s s a346

1 1 atg () t ea a1 1 a 0 at e t Aplicando la Ec. (5.26) a las transformadas de sen(bt) y cos(bt) se demuestra fácilmente queee at atcos btsen btsas a b2 2bs a b2 25.17 El Problema de InversiónSi F(s) es la transformada de Laplace de una función f(t), entonces f(t) se denomina la transformada deLaplace inversa de F(s). El problema de inversión es la determinación de la transformada inversa f(t) deuna función F(s) dada. Este problema es básico en las aplicaciones de la transformada de Laplace.Considere, por ejemplo, la ecuación diferencialy( t) 3 y( t) 6, y(0) 0(5.28)Transformando esta ecuación, se obtiene6sY ( s) 3 Y ( s)spuesto que y(0) = 0 y la transformada de f(t) = 6 es igual a 6/s. Por lo tanto,6Y( s)s( s3)(5.29)Así que para determinar y(t) se debe hallar la transformada inversa de esta fracción.En general, hay dos métodos de inversión fundamentales diferentes:1. El Método de la Fórmula de Inversión. En este método, la función f(t) se expresa directamente comouna integral que involucra la función F(s). Este resultado importante, conocido como el de la fórmula de347

inversión, se discute usualmente en el contexto de lo que se conoce como transformadas de Fourier(tópico fuera del alcance de este texto).2. Tablas. En este método se intenta expresar la función F(s) como una suma de transformadasF ( s) F ( s) F ( s) F ( s)(5.30)1 2donde F ( ), , ( )1s F s son funciones con transformadas inversas f ( ), , ( )1t f t conocidas yntabuladas. De la propiedad de linealidad de la transformada se determina que si F(s) puede serexpandida como en la Ec. (5.30), entonces su transformada inversa f(t) está dada por1 2nf ( t) f ( t) f ( t) f ( t)(5.31)Como una ilustración se expande la fracción (5.29) como una suma de dos fracciones con transformadasconocidas:nn6 2 2Y( s) s( s 3) s s 3(5.32)Ésta muestra que la transformada inversa y(t) de Y(s) es la sumay t e t3t( ) 2 , 0(Esta técnica también se usó en el Ejemplo 8).La identidad en (5.32) proviene de la conocida técnica de expansión de funciones racionales en fraccionesparciales, la cual se discutirá más adelante.En el problema de inversión se deben considerar las siguientes preguntas:1. Existencia. ¿Posee toda función F(s) una transformada inversa? Hay funciones que no poseentransformadas inversas. Sin embargo, esas funciones tienen un interés principalmente matemático.Todas las funciones consideradas en este texto poseen transformadas inversas.2. Unicidad. ¿Pueden dos funciones f 1 (t) y f 2 (t) tener la misma transformada F(s)? Si dos funciones tienenla misma transformada, entonces ellas deben ser iguales para esencialmente todos los valores de t. Sinembargo, pueden diferir en un conjunto discreto de puntos. Si las funciones son continuas, entoncesellas deben ser idénticas.5.5.3 Inversión de Transformadas Racionales (Fracciones Parciales)348

Ahora se determinará la transformada inversa f(t) de la clase de funciones racionales, es decir, de funcionesde la formaN( s)F( s) (5.33)D( s)donde N(s) y D(s) son polinomios en s y no poseen factores comunes. Aquí se supone que F(s) es unafracción propia, es decir, que el grado de N(s) es menor que el de D(s). Las fracciones impropias involucranfunciones de singularidad y se considerarán posteriormente.Primero, supóngase que todas las raíces s i , i = 1, 2, … , n, del denominador D(s) son distintas. De acuerdocon la teoría de fracciones parciales, F(s) puede entonces expandirse como una suma, es decir,F( s)N ( s)c c cn (5.34)D( s)s s s s s s1 2 1 2Para determinar el valor de c i , se multiplican ambos miembros de la Ec. (5.34) por s s i para obtener laecuación N( s)c s s c s ss s F s s s c 1 i n ii( ) (i)iD( s)s s1s snes decir, se remueve del denominador el factor s s i ; evaluando ahora el resultado en s = s i , se obtienedonde D ( s ) dD ds D( s)s s 1/(ss i ) es igual aiN ( s) N ( s)ci s si F ( s) s si ssiD( s) D( s) ssiF(s) es una suma de exponenciales:ssinssi(5.35) i . Puesto que la transformada inversa de la fracciónssist ie , de la Ec. (5.34) se concluye que la transformada inversa f(t) de la función racionalnf ( t) c e c e c e(5.36)s1ts2t1 2ns tEjemplo 9. Determine la transformada inversa de la funciónsF( s)s229s307s3 210sSolución: El denominador de F(s) es de mayor grado que el numerador y posee factores reales y distintos;éstos son: s1 0, s2 2 y s3 5.Por lo tanto, se pueden determinar factores c 1 , c 2 , y c 3 tales que349

y usando la Ec. (5.35) se obtienePor lo tanto,2 2s 29s 30 s 29s 30 c1 c2 c3 3 2s 7s 10ss ( s 2)( s 3) s s 2 s 5 c sF ( s) 3, c s 2 F ( s) 4, c s 5 F ( s) 61 s0 2 s2 3s5f t e e t2t5t( ) 3 4 6 , 0Ahora se considerarán fracciones parciales para el caso en el cual el polinomio D(s) contiene factoreslineales repetidos de la forma (ss i ) m . En este caso, la expansión de F(s) en fracciones parciales consiste detérminos de la formaci 1ci 2cimms s (5.37) s s s s2 i i idonde los números c ij , j = 1, 2, … , m, son independientes de s y vienen dados porr1 dmci , mr s si F ( s) , r 0, 1, , m 1(5.38)rr! ds ssiAsí que para evaluar el coeficiente c i,mr se remueve el factor (ss i ) m del denominador de F(s) y se evalúa laderivada r-ésima del resultado en s = s i . La componente de f(t) debida a la raíz múltiple s i es latransformada inversa de la suma en (5.37) y viene dada porsi t si tcimm1sitci1e ci2t e t e(5.39)m 1!De lo anterior se concluye que la transformada inversa de una función racional F(s) es una suma deexponenciales cuyos coeficientes son polinomios en t. Los exponentes s i se denominan los polos de F(s), esdecir, los polos son las raíces del denominador D(s).Ejemplo 10. La función350

2s 2s 5c1 c21 c222 2F( s) s 3s 5 s3 s5s 5(5.40)tiene un polo sencillo en s 1 = 3 y un polo múltiple en s 2 = 5 con multiplicidad m = 2. En este caso,c2 2s 2s 5 s 2s 5 2, c 101 222s 5 s 3s3s5Por tanto,c2 2d s 2s 5 s 6s1 1ds s 3 s 321 2s5 s5f t e t e t( ) 2 3 t1 10 5 t , 0Observe que el coeficiente c 21 puede determinarse sin diferenciación. Puesto que (5.40) es válida para todas, también es válida para s = 0 (o cualquier otro número). Haciendo s = 0, por ejemplo, se obtiene1 c1 c21 c22 15 3 5 25Puesto que c 1 = 2 y c 22 = 10, la igualdad anterior produce c 21 = 1.Raíces ComplejasEn los ejemplos anteriores, las raíces del denominador de la función F(s) eran reales. Se pueden obtenerresultados similares si D(s) tiene raíces complejas. Sin embargo, en este caso los coeficientescorrespondientes son complejos y f(t) contiene términos exponenciales complejos. En el análisis desistemas físicos, la función F(s) tiene coeficientes reales. Por ello, las raíces complejas siempre ocurren enpares conjugados y, como se demuestra a continuación, las componentes correspondientes de f(t) son ondassinusoidales amortiguadas con coeficientes reales. Se comenzará con un ejemplo:F( s)s s5s1324s13En este caso, D(s) tiene dos polos complejos, s 1 = 2 + j3, s 2 = 2 j3, y un polo real, s 3 = 0. La expansióndirecta de (5.34) da5s 13c1 c2 c3 2s ( s 4s13)s ( 2 j3) s ( 2 j3)sdonde c 1 = (1+j)/2, c 2 = (1j)/2 y c 3 = 1 (determinados en la forma ya explicada). Por consiguiente,351

1j 2j 3 t 1j 2j 3tf ( t) e e 1, t 0(5.41)2 2Esta expresión incluye cantidades complejas. Sin embargo, es una función real. Efectivamente, insertando2 j3t 2tla identidad e e cos3t j sen3ten (5.41), se obtienela cual es una expresión real.2tf ( t) 1e cos3t sen3 t , t 0(5.42)Ahora se demostrará que la Ec. (5.42) puede determinarse directamente. El resultado está en el hecho deque si F(s) es una función real con coeficientes reales y s 1 y s 2 son dos números complejos conjugados,entonces F(s 2 ) =F ( s ) F *( s ) (donde el asterisco indica el conjugado complejo).*1 1Considere una función racional F(s) con coeficientes reales. Como se sabe, si s 1 = + j es un polocomplejo de F(s), entonces su conjugado,de F(s) contiene términos como*s11 2 j, también es un polo. Por lo tanto, la expansión (5.34)c1 c2, s1 j , s2js s s s Los coeficientes c 1 y c 2 se expresarán en términos de la funciónDe la Ec. (5.35) se obtiene quepuesto que s 1 s 2 = j2. En forma similar,F( s)G( s) s s s sj 1 2jG( s ) 1c F ( s) s s G( s )11 1 ss11 ss22c1 G( s )22 2La función G(s 1 ) es, en general, compleja con parte real G r y parte imaginaria G i , es decir,(1)r i(5.43)(5.44)G s G jG(5.45)Como F(s 2 ) = F*(s 1 ), de (5.44) se obtiene que G(s 2 ) = G*(s 1 ) = G r jG i , y por lo tanto,1 1c G jG c G jG2 2 , 1 r i 2r iLa transformada inversa de la suma en la Ec. (5.43) es entonces igual as 1ts2t1 jt 1 jtc1e c2e Gr jGi e Gr jGi e(5.46)2 2352

Insertando la identidad jt te e cost j sen t en la Ec. (5.46), se obtiene finalmente latransformada inversa f(t) de F(s) debida a los polos complejos conjugados s 1 y s 2 , y la cual es igual ate G cost G sen t(5.47)rEn resumen: Para hallar el término en f(t) resultante de los polos complejos de F(s), se forma la funciónG(s), como en (5.44), y se calcula su valor G(s 1 ) para s = s 1 . El término correspondiente de f(t) lo da la Ec.(5.47), donde G r y G i son las partes real e imaginaria de G(s).El resultado anterior se aplicará a la funciónya considerada. En este caso, 2F( s)s s1 2 1i5s132( 4s13)s s s s s 4s 13, s 2 j 3, 2, 3F ( s) 5 2 3 1325s13 j G( s) s 4s 13 , G( s1) jj3s j3( 2 j3)Por tanto, G r = 1, G i = 1 y la Ec. (5.47) da2te cos3t sen3tEste es el término de f(t) proveniente de los polos complejos de F(s) y concuerda con el resultado (5.42).Ejemplo 11Obtener la transformada de Laplace inversa de la funcións c1 c2 c3F( s) s j3 s j3 s 22( s 9) s2El coeficiente c 3 correspondiente al polo real s 3 = 2 se determina directamente a partir de la Ec. (5.35):2c3 s 2 F ( s) s213Los otros dos polos s 1 = j3 y s 2 = j3 de F(s) son imaginarios puros con = 0 y = 3. Puesto que2s s s s s 1 29la función G(s) correspondiente en la Ec. (5.44) está dada porG sF ( s)s j3 j3 s22( ) s 9353

Por lo tanto,G s1 j3 2 3jj3( j32) 13 13Agregando el término c 3 e 2t debido al polo real s 3 = 2, se obtiene2 3 2f ( t) cos3t sen3t e 13 13 132 t5.5.4 Inversión de Funciones ImpropiasEn la Sección 5.5.1 se determinó la transformada inversa de funciones racionales propias. Ahora seconsiderarán funciones impropias, limitando la discusión a dos casos especiales.Se comenzará con un ejemplo. Suponga queDividiendo se obtiene F s23s15s14s23s223s 15s 14 6s8 2 4 3 3 3 2 3 2 s1 s22 2s s s sy por tanto,f ( t) 3 ( t) 2e t 4e2tConsidérese otro ejemplo. Sea la funciónF( s)3 2s s s 3 8s2 4sEntonces, procediendo en la misma forma que en el ejemplo previo, se obtieney por lo tanto3 2s 3s s 8 2 3s 12 s s s 4sf ( t) ( t) ( t) 23e 4t4En general, para una función racionalN( s)F( s)D( s)354

donde el grado de N(s) es mayor o igual que el de D(s), se procede a la división para obtenermnQ( s) Q( s)F ( s) cmns c1s c0 P( s)D( s) D( s)donde P(s) es el cociente y Q(s) es el residuo; m es el grado del numerador y n el del denominador (m > n).Ahora el grado de Q(s) es menor que el de D(s). La nueva función racional Q( s) D( s ) es propia y estápreparada para su expansión. Se continúa entonces con la expansión en fracciones parciales de Q(s)/D(s) yluego se obtiene la transformada inversa de F(s). Obsérvese que el polinomio P(s) producirá funcionessingulares. Éstas no aparecen con frecuencia, pero son de mucha utilidad en la solución de algunosproblemas prácticos que están fuera del alcance de este texto.5.18 Los Valores Inicial y Final de f(t) a Partir de F(s)A continuación se demuestra que los valores de una función f(t) y sus derivadas en t = 0 pueden expresarseen términos de los valores de su transformada para valores grandes de s. Este resultado permite determinaren una forma sencilla la conducta de f(t) cerca del origen. También se determinará el comportamiento def(t) conforme t tiende a infinito usando su transformada y bajo ciertas condiciones.5.18.1 El Teorema del Valor InicialLa función e st tiende a cero conforme s tiende a infinito para t > 0 (la parte real de s mayor que cero). Apartir de esto se deduce que bajo ciertas condiciones generales stlím f ( t ) e dt 0(5.48)s para todo > 0. Si f(t) es continua para t 0, excepto posiblemente por un número finito dediscontinuidades finitas, y también de orden exponencial, entonces la integral en (5.48) tiende a F(s) cuando 0 . Esto da como resultado quelím F( s) 0(5.49)s355

Lo anterior podría no ser cierto si f(t) contiene impulsos u otras singularidades en el origen. Por ejemplo, sif(t) = e at , entonces F(s) = 1/(s a) tiende a cero cuando s . Sin embargo, si f ( t) ( t), entonces sutransformada F(s) = 1 no tiende a cero.Aplicando (5.49) a la función f'(t) y usando la Ec. (5.17), se obtienestlím f ( t) e dt sF( s) f (0 ) 0s0Aquí se toma a f'(t) como seccionalmente continua y de orden exponencial.Entonces se obtiene quef (0 ) lím sF ( s)(5.50)seste resultado se conoce como el teorema del valor inicial. Se verificará con una ilustración sencilla. Si f(t)= 3e 2t , entonces3 3sF ( s) , lím sF ( s) lím 3s2 sss2lo cual concuerda con la Ec. (5.50) porque, en este caso, f(0 + ) = f(0) = 3.Ejemplo 12Sientonces,y, po tanto, f(0) = 2.F( s)s22s 37s1022s 3slím sF ( s) lím 2ss2s 7s10El teorema del valor inicial también puede usarse para determinar los valores iniciales de las derivadas def(t). En efecto, como se obtiene a partir de la Ec. (5.24), la función2s F s sf f ( ) (0) (0) es latransformada de Laplace de f"(t). Por lo tanto [ver la Ec. (5.48)], debe tender a cero cuando [f"(t)debe cumplir con las condiciones necesarias]. Esto conduce a la conclusión de quef s F s sf (5.51)(0) lím 2( ) (0)sEn una forma similar se pueden determinar los valores iniciales de derivadas de orden superior. En todosestos casos se ha supuesto que f(t) es continua en el origen.356

Ejemplo 13SiF( s)s22s 37s10entonces2 3sF ( s) 0, s F ( s) 0 y s F ( s) 1 cuando s . Por tanto,f (0) 0, f (0) 0, f (0) 15.18.2 El Teorema del Valor FinalAhora se demostrará que si f(t) y su primera derivada son transformables en el sentido de Laplace,entoncesYa se ha demostrado que0lím f ( t) lím sF ( s)(5.52)tCuando s tiende a cero, se obtiene entonces ques0st f ( t) e dt sF ( s) f (0 )(5.53)f ( t ) dt lím f tdtt0 0tlím f ( t ) f (0 ) tIgualando este resultado con el de la Ec. (5.53), escrita para el límite cuando s 0, se llega a la conclusiónde quelím f ( t) lím sF ( s)(5.54)ts0como se requería. La aplicación de este resultado requiere que todas las raíces del denominador de F(s)tengan partes reales negativas, ya que de otra manera no existe el límite de f(t) cuando t tiende a infinito.Ejemplo 14Para la funciónf ( t) 532te 357

es evidente que su valor final es 5. La transformada de f(t) es5 3 2s10F( s) s s 2 s ( s 2)y, según la Ec. (5.54), el valor final de f(t) es2s10lím f ( t) lím sF ( s) lím 5t s0 s0s 25.19 Teoremas Adicionales5.19.1 El Teorema de Traslación Real o de DesplazamientoUna función f(t) trasladada en el tiempo se representa como f(t t 0 )u(t t 0 ), donde f ( t t0),t t0f ( t t0) u( t t0) 0,t t0(5.55)(véase la Fig. 5.8). Observe que la función f(t t 0 )u(t t 0 ) es idéntica a f(t)u(t) excepto que estáretardada o trasladada en t 0 seg. Para encontrar la transformada de esta función se aplica la Ec. (5.3) a laEc. (5.55): stst00 0 0t00s tt0f ( t t ) u( t t ) e dt f ( t t ) e dt f ( t ) e dtde donde se concluye queFigura 5.8st f ( t t ) u( t t ) e 0 L f ( t)L (5.56)0 0Aplicando la propiedad (5.56) al par (t) 1, se obtiene( t t ) e st00Ejemplo 15358

De los pares 1 1/s y t 1/s 2 , se obtienen los pares1 1u( t t ) e , ( t t ) u( t t ) ess st 0 st00 0 0 2Aplicando lo anterior al pulso p T = u(t) u(t T). Se obtiene1 sTpT u( t) u( t T ) 1 e (5.57)sEste último resultado puede verificarse aplicando la definición dada por la Ec. (5.3) de la transformada.Puesto que pT( t) 1 para 0 t T y 0 para otros valores de t, su transformada es igual aacorde con (5.57).T st st sT pT( t ) e dt e dt 1es001Ejemplo 16Si se da la función2t3tt0( ) 6 ( ) 4 ( 0)f t e u t e u t tentonces, aplicando la Ec. (5.56), se obtiene6 4F ( s) es2 s3 st0Supóngase que F 1 (s), F 2 (s), , F m (s) son funciones con transformadas inversas conocidasf ( t), f ( t), , f ( t). De la Ec. y la propiedad de linealidad de la transformada se obtiene que la1 2transformada inversa de la sumaes la sumamstmF ( s) F ( s) e F ( s) e F ( s) e (5.58) st1 st21 2f ( t) f ( t t ) u( t t ) f ( t t ) u( t t ) f ( t t ) u( t t) (5.59)Esto se ilustrará mediante un ejemplo.1 1 1 2 2 2mm m mEjemplo 17Se desea determinar la transformada inversa de la función359

sT33se6eF( s)2s 7s10Solución: Esta función es una suma igual que en la Ec. (5.58), donde3 3s6F1 ( s) , F2 2( s) , F2 3( s)2s 7s 10 s 3s 10 s 7s10y t 1 = 0, t 2 = T y t 3 = 2T. Usando expansión en fracciones parciales, se obtieney aplicando la Ec. (5.59), se obtiene2sTf ( t) e e , f ( t) 5e 2 e , f ( t) 2e 2e2 t 5 t 5 t 2 t 2 t 5t1 2 3f ( t) f ( t) u( t) f ( t T ) u( t T ) f ( t 2 T ) u( t 2 T )1 2 35.19.2 El Teorema de EscalaEste teorema relaciona los cambios de escala en el dominio de s con los cambios correspondientes en eldominio de t. El término cambio de escala significa que s o t se multiplican por una constante positiva.Dada una función f(t), se cambia de escala al formar una nueva función f ( t/t 0 ). Su transformada seencuentra como sigue: a partir de la ecuación de definición se tiene que stf t t f t t e dtL 0 00t0st t00 0 00 t f t t e d t tsi ahora se hace t/t 0 = x, entonces la última ecuación se convierte ent sxf t t t f x e dx 0L 0 0 Obsérvese que la integral define a F(t 0 s), de tal modo que se puede escribirLa transformada inversa correspondiente es f t t0 t0F t0s0L (5.60)1 0 0 0f t t t L F t s(5.61)360

Ejemplo 18Para la transformada F s1s( s1)el valor correspondiente de f(t) esEl teorema de escala indica que la nueva funciónf ( t) 1 e t(5.62) 1 tL 2(5.63)f1 t 2F 2s 1 eestá relacionada con f(t) en la Ec. (5.62) por un simple cambio en la escala del tiempo.5.19.3 Derivadas de TransformadasCuando la integral de Laplace stF s f () t e dt(5.64)es diferenciada formalmente con respecto al parámetro s, se obtiene la fórmuladF ( s)dt0 0 stt f () t e dtlo que implica que t f t dF s (5.65)dses decir, la multiplicación de una función f(t) por t en el dominio del tiempo equivale a diferenciar latransformada F(s) de f(t) con respecto a s y luego cambiar de signo en el dominio de la frecuenciacompleja..Se debe señalar que f(t)e -st y su derivada parcial de cada orden con respecto a s cumplen con lascondiciones necesarias para que la diferenciación con respecto a s se pueda ejecutar dentro del signo deintegración; se obtiene así el siguiente teorema:Teorema 4. La diferenciación de la transformada de una función corresponde a la multiplicación por t :n n ( ) , 1, 2, F s L t f t n (5.66)361

Adicionalmente F (n) (s) 0 conforme s . Estas propiedades se cumplen siempre que f(t) seatseccionalmente continua y del orden de e t , si s > en la fórmula (5.66).Ejemplo 19Ya se sabe quey, por la Ec. (5.66),de donde se obtiene la fórmulaaL sen at s0s a2 2d a 2asds s a ( s a)L tsen at 2 2 2 2 22asL t sen at (5.67)2 2s a 2Ejemplo 20 atDeterminar la transformada de Laplace de f ( t) t e cos5t.Si se hace y f1 t cos5tf2 t t cos5 t,se obtieneF ( s)s1 2Usando el teorema de la multiplicación por t, se obtieneFss 252d s s 25 ds s 25 ( s 25)2 2 2 2y finalmente, usando la propiedad de la traslación compleja, F s2 2s 2 25 s 4s21 2 22 2s2 25s4s29362

5.19.4 La Transformada de una Función PeriódicaConsidere la función periódica f(t) con un período T que satisface f(t + nT) = f(t), donde n es un enteropositivo o negativo. La transformada de esta función es stF s f () t e dt0T02Tstst f ( t ) e dt f ( t ) e dt + T(5.68)Trasladando sucesivamente cada término de la transformada por e -sT , en donde n es el número de trasladosnecesarios para hacer que los límites de las expresiones integrales sean todos de 0 a T, se tiene que2 sT sT stF s 1 e e f ( t ) e dty utilizando el teorema del binomio para la identificación de la serie, se obtiene0T0T1 stF s f () t e dt Ts1 e (5.69)La integral en esta ecuación representa la transformada de la función f(t) como si ella estuviese definidasólo de 0 a T. Denotando esta transformada por F 1 (s), se obtiene1F s F1s(5.70)Ts1 e Esta ecuación relaciona la transformada de una función periódica con la transformada de esa función sobreel primer ciclo (o cualquier otro ciclo).Ejemplo 21Se desea determinar la transformada de un tren de pulsos con un período T, donde cada pulso tiene unaamplitud unitaria y una duración a < T.Solución: Aplicando la Ec. (5.70), se tiene363

y por tanto,1 T stF s f () t e dt0ast1 e dt 1 es0a s F s11es 1e as Ts5.20 Aplicación de la Transformada de Laplace a Ecuaciones DiferencialesOrdinariasEn esta sección se usan transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales concoeficientes constantes. Se supone siempre que todas las ecuaciones son válidas para t 0 y las solucionesse determinan para diferentes formas de excitación.Una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuación de la forman n1a y ( t) a y ( t) + a y( t) a y( t) x( t)(5.71)nn1 1 0donde x(t), la excitación, es una función conocida y a 0 , a 1 , , a n son constantes dadas.Una solución de (5.71) es cualquier función y(t) que satisfaga la ecuación. Como se verá, la Ec. (5.71)tiene muchas soluciones. Sin embargo, su solución es única si se especifican los valores iniciales de y(t) ysus primeras n 1 derivadas:n1y(0) y0 , y(0) y1 , , y (0) y n 1(5.72)Estos valores se denominan condiciones iniciales.Una solución particular es una solución y(t) que satisface unas condiciones iniciales específicas. Si no seespecifican los valores iniciales, entonces y(t) es una solución general. Así que una solución general es unafamilia de soluciones que depende de los n parámetros y 0 , y 1 , , y n1 .A una ecuación diferencial se le puede dar una interpretación de sistema. En esta interpretación, la Ec.(5.71) especifica un sistema con entrada (excitación) x(t) y salida (respuesta) y(t). La salida así especificada,y(t), es la solución única de la Ec. (5.71) bajo las condiciones iniciales especificadas.364

El estado inicial del sistema es el conjunto (5.72) de condiciones iniciales. La respuesta de estado cerodel sistema es la solución, y(t) = y (t), de (5.71) con cero condiciones iniciales: n1 y 0 y0 y 0 0(5.73) La respuesta de entrada cero, y(t) = y (t). Es la solución de (5.71) cuando x(t) = 0. Es decir, la respuesta deentrada cero y (t) es la solución de la ecuación homogénean a y ( t) a y ( t) a yt a y( t) 0(5.74)n( n1)n1 1 0La aplicación de la transformada de Laplace para resolver la Ec. (5.71) comprende los siguientes pasos:1. Se multiplican ambos lados de la ecuación por e st y se integra de cero a infinito. Puesto que laecuación es válida para t 0, resulta la ecuación ( ) +0( ) n ( )st stn0 0a y t a y t e dt x t e dt (5.75)Se supone que todas las funciones son transformables en el sentido de Laplace. Ello implica que el ladoderecho es igual a la transformada X(s) de la función conocida x(t), y el lado izquierdo puede expresarseen términos de la transformada Y(s) de y(t) y de las condiciones iniciales (5.73).2. Se resuelve la ecuación en la transformada Y(s) resultante.3. Se determina la transformada inversa y(t) de Y(s) usando fracciones parciales u otros métodos deinversión.A continuación se ilustra el método con varios ejemplos.Ejemplo 22Resolver la ecuación diferenciala y( t) a y( t) x( t)1 0sujeta a la condición inicial y(0) = y 0 .Tomando transformadas en ambos lados se obtienePor tanto,1 0 0a sY ( s) y a Y ( s) X ( s)365

Así que Y(s) = Y +Y , dondees la respuesta de estado cero yX()s ay1 0Ys () a s a a s a1 0 1 01Y( s) X ( s)a s aY 1 01s a a0 1es la respuesta de entrada cero. Su inversa es la exponencialdonde s 1 = a 0 /a 1 .Si, por ejemplo, a 0 = 1, a 1 = 2, x(t) =8t y y(0) = 5, entonces la ecuación esy su ecuación transformada esy y e0st 1y( t) 2 y( t) 8 t, y(0) 5,y0La solución completa es28 s 5 4 2 7Y( s) s s s s s 22 2 22t 4 2 7 , 0y t t e tEjemplo 23Resolver la ecuación diferencialsujeta a las condiciones2d ydy 4 5 y 5 u( t)2dt dtdyy01, 2dtt0La transformación de Laplace de esta ecuación diferencial producey al incluir las condiciones iniciales, se obtienes Y ( s) s y(0) y(0) 4 sY ( s) y(0) 5 Y ( s)s2 5366

oY ( s) s 4s 5 s 6s25 Y s2ss s6s52( 4s5)Desarrollando ahora en fracciones parciales,1 j jY( s) s s 2 j1 s 2 j1y tomando la transformada inversa da la solucióny t e t t2t( ) 1 2 sen , 0Ejemplo 24Determine la solución de la ecuación diferencialy( t) y( t) 6 y( t) 2sujeta a las condiciones y 0 1, y 0 0Aplicando la transformación a ambos lados de la ecuación diferencial, se obtiene la ecuación algebraica2sY ( s) s sY ( s) 1 6 Y ( s)sPor tanto,o22s s2s s 6 Y ( s)s2s s 2A B CY( s) s( s 3)( s 2) s s 3 s 2Evaluando los coeficientes, se encuentra que1 1 8 1 4 1Y( s) 3 s 15 s 3 5 s 2y la solución y(t) es1 8 4y t e e t3 15 53t2t( ) , 0367

Ejemplo 25Determine la solución del sistema de ecuaciones diferencialesdy1 20 y1 10 y2100 u( t )dtdy2 20 y2 10 y1 0dtsujeto a las condiciones iniciales y 1 (0) = 0 y y 2 (0) = 0.Las ecuaciones transformadas son100( s 20) Y1( s) 10 Y2( s)sResolviendo este sistema, se obtiene100 Y ( s) ( s 20) Y ( s) 01 2100 s 20 20 1 5 5 1Y1 ( s) 2s ( s 40s300)3 s s 10 3 s 301000 10 1 5 5 1Y2 ( s) 2s ( s 40s300)3 s s 10 3 s 30y la solución esy t20 5e e3 3ty t10 5e e3 3t10t30t1( ) 5 , 010 t 30t2( ) 5 , 05.21 La ConvoluciónLa operación de convolución encuentra aplicaciones en muchos campos, incluyendo la teoría de redeseléctricas y controles automáticos. Una aplicación sobresaliente es la que permite evaluar la respuesta de unsistema lineal a una excitación arbitraria cuando se conoce la respuesta al impulso [respuesta cuando laexcitación es un impulso unitario (t)].Sean las dos funciones f 1 (t) y f 2 (t) transformables en el sentido de Laplace y sean F 1 (s) y F 2 (s) sustransformadas respectivas. El producto de F 1 (s) y F 2 (s) es la transformada de Laplace de la convolución def 1 (t) y f 2 (t); es decir, 1 2L f ( t) F ( s) F ( s) F ( s)(5.76)368

ttf ( t ) f ( t) f ( t) f ( ) f ( t ) d f ( t ) f ( )d (5.77)1 2 1 2 1 20 0Las integrales en la Ec. (5.77) se conocen como integrales de convolución y el asterisco (*) indica laoperación de convolución. De acuerdo con la relación f t f t f t se observa que1 2, L F ( s) L f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t )1 2 2 1 F ( s) F ( s)1 2(5.78)Así que la transformada inversa del producto de las transformadas F 1 (s) y F 2 (s) se determina mediante laconvolución de las funciones f 1 (t) y f 2 (t) usando cualquiera de las fórmulas en la Ec. (5.77) (obsérvese quela convolución es conmutativa).Para deducir estas relaciones, observe que la transformada F(s) = F 1 (s)F 2 (s) se puede expresar como unproducto de las integrales que definen sus transformadas de Laplace en la forma tststF s f ( t ) e dt f1( t ) f2( )de dt000la cual puede expresarse como stF ( s) f1( t ) u( t ) f2( )de dt00puesto que u(t ) = 0 para > t. Intercambiando el orden de integración, se obtieneDefiniendo ahorase tiene que stF ( s) f2( ) f1( t ) u( t )e dtd00x = t sx F ( s) f2( ) f1( x) u( x)e dxd0 Pero u(x) hace cero el valor de la integral entre corchetes para x < 0, y por tanto sx F ( s) f2( ) f1( x)e dxd00la cual puede ser expresada como el producto de dos integrales:369

o también s sxF ( s) f2 ( ) e d f1 ( x) e dx F2 ( s) F1( s)0 0tF ( s) F (s) f ( t ) f ( )d2 1 1 20 (5.79)la que demuestra la validez de una de las Ecs. (5.77). Si se intercambian f 1 (t) y f 2 (t), se puede utilizar unproceso similar para derivar la otra ecuación en (5.77).A continuación se mostrará mediante un ejemplo, que la convolución se puede interpretar de acuerdo concuatro pasos: (1) reflexión, (2) traslación, (3) multiplicación y (4) integración.Ejemplo 26En este ejemplo, sean F 1 (s) = 1/s y F ( s) 1 ( s 1)2desea determinar la convolución de f 1 (t) y f 2 (t); es decir, se desea hallar , de manera que f t1(t) = u(t) y f t e utf ( t ) f ( t ) f ( t ) u t e d1 2Los pasos para aplicar la convolución a estas dos funciones se ilustran en la Fig. 5.9, en la cual f 1 (t) y f 2 (t) semuestran en la (a) y f 1 () y f 2 () en (b). En (c) se han reflejado las funciones respecto de la línea t = 0 y en(d) se ha trasladado algún valor típico de t. En (e) se ha efectuado la multiplicación indicada dentro de laintegral de las Ecs. (5.77). La integración del área sombreada da un punto de la curva f(t) para el valorseleccionado de t. Al efectuar todos los pasos anteriores para diferentes valores de t, se obtiene la respuestaf(t), tal como se señala en (f) de la misma figura.t02. Se370

Figura 5.9Para este ejemplo, la integración de la Ec. (5.79) es sencilla y dat f ( t ) e d 1e0 t371

que es, por supuesto, la transformada inversa del producto F 1 (s)F 2 (s),f () tL1 1 1 L ss1ss11 1 1e tEjemplo 27Como otro ejemplo, considere ahora la transformada1 2 2 2F s( s a )En este caso se puede tomarde manera quey, por tanto,1 aF ( s) F ( s)a s a1 2 2 21f1( t ) f2( t) sen ataL1 1 12 22 2 sen at senatsa a t1= sen asena t d2a01= senat at cosat22a5.22 Propiedades de la Integral de ConvoluciónAhora se derivarán algunas propiedades de la integral de convolución.Propiedad 1 La operación de convolución es conmutativa, distributiva y asociativa:372

f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) ( a)1 2 2 1f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) ( b)1 2 k1 2f ( t ) f ( t ) f ( t ) 1 2 31 2 3f ( t) f ( t) f ( t) ( c)k(5.80)Solamente se verificará la relación (5.80) (c), dejando las otras dos como ejercicios. Sean G ( s)y G ( s )1 2las transformadas de Laplace de las funciones g1 ( t) f2 ( t) f3( t)y g2 ( t ) f1 ( t ) f2( t ) ,respectivamente. Por el teorema de convolución sabemos queG ( s) F ( s) F ( s), G ( s) F ( s) F ( s)(5.81)1 2 3 2 1 2donde Fi( s ) (i = 1, 2, 3) denota la transformada de Laplace de (t). Esto daL L f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t ) g ( t ) F ( s) G ( s)1 2 3 1 1 1 1f iL F ( s) F ( s) F ( s) G ( s) F ( s) g ( t ) f ( t )1 2 3 2 3 2 3 L f ( t ) f ( t ) f ( t )1 2 3Tomando la transformada de Laplace inversa de ambos lados produce la identidad deseada (5.80) (c).(5.82)Propiedad 2 Si las funciones f ( ) y f ( ) son diferenciables para t > 0 y continuas para t = 0, entonces1 tsu convolución es diferenciable para t > 0:t02 tdf ( t ) df2( t ) f1 ( ) d f1 ( t ) f2(0)dtdtt df1( t ) f2 d f1 f2 dtt t 0( ) (0) ( ) 0(5.83)Para demostrar esto, aplicamos la regla de Leibnitz para diferenciar dentro de una integral, la cual diceque sib( t)h( t ) g ( t, )d(5.84)a( t)donde a(t) y b(t) son funciones diferenciables de t y g( t, ) y g ( t, ) t son continuas en t y , entoncesb( x)a( x)dh( t ) g ( t, ) db( t ) da( t ) d g ( t, b) g ( t, a)dt t dt dt(5.85)Aplicando (5.85) a la ecuación de definición de la integral de convolución con h( t) f ( t),g( t, ) f ( ) f ( t ) 12 o f1 t f2( ) ( ) , a = 0 y b = t + , se obtiene la relación (5.83).373

Observe que la Ec. (5.83) no necesita realmente la hipótesis de que ambas f () t y f () t sean1 2diferenciables. De hecho, si cualquiera de las funciones es diferenciable y la otra continua, entonces suconvolución es diferenciable. Desde el punto de vista de la operación de convolución, la Ec. (5.83) puedeescribirse también comodf ( t) df2( t) df1( t) f1 ( t) f1 ( t) f2 (0) f2 ( t) f1 (0) f2( t)(5.86)dt dt dtPropiedad 3 Seay escriba( )2( )1( )f ( t) f1 ( t) f2 ( t) df t f1 ( t) df t f1 ( t) f2 (0) df t f2 ( t) f1 (0) f2( t)dt dt dtg ( t) f ( t T ) u( t T ), T 0(5.87)1 1 1 1 1g ( t) f ( t T ) u( t T ), T 0(5.88)2 2 2 2 2donde u(t) denota la función escalón unitario. Entoncesg( t) f ( t T T ) u( t T T )(5.89)1 2 1 2g( t) g ( t) g ( t)(5.90)1 2Esta propiedad expresa que si las funciones f () t y f () t son retrasadas por 1 2T1y T2segundos,respectivamente, entonces la convolución de las dos funciones retrasadas es igual a la convolución de lasfunciones originales, retrasada por T1 T2segundos. La demostración de esta propiedad se deja para ellector.5.23 Ecuaciones Diferenciales e IntegralesCon la ayuda de la propiedad de convolución se pueden resolver algunos tipos de ecuaciones integrodiferencialesno homogéneas, lineales y con coeficientes constantes. Se darán algunos ejemplos.Ejemplo 28. Determine la solución general de la ecuación diferencial2y( t) k y( t) f ( t)(5.91)en términos de la constante k y la función f(t).Suponiendo que todas las funciones en (5.91) son transformables, la ecuación transformada es374

2 2s Y s s y y k Y s F s( ) (0) '(0) ( )donde y(0) y y’(0) son, por supuesto, las condiciones iniciales. De aquí se obtiene1 k s y(0)kY ( s) F ( s) y(0)k s k s k k s k2 2 2 2 2 2y por tanto,1 yy( t) sen kt f ( t ) y(0)cos kt '(0) sen ktkkEsta solución general de la Ec. (5.91) puede entonces escribirse en la formadonde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias.t1yt f ( )sen k ( t ) d C1cos kt C2senktk0Ejemplo 29. Resuelva la ecuación integralEsta ecuación se puede escribir en la formaty( t ) at y( )sen ( t )d0y( t) at y( t) sen ty, transformando ambos miembros, se obtiene la ecuación algebraicacuya solución esy por tanto,aY ( s) Y ( s)s s2 21 1 1 Y ( s)as2 s4 1y()t at t 631La ecuación integral general del tipo de convolución tiene la format y t f t g t y d(5.92)0donde las funciones f(t) y g(t) son dadas y y(t) debe determinarse. Puesto que la ecuación transformada esY ( s) F ( s) G( s) Y ( s)375

la transformada de la función buscada esF( s)Y( s) (5.93)1 G( s)Si la Ec. (5.92) es modificada reemplazando y(t) por combinaciones lineales de y(t) y sus derivadas, latransformada de la ecuación modificada sigue siendo una ecuación algebraica en Y(s).Ahora se procederá a resolver la ecuación de estado para sistemas LIT estudiada en el Capítulo 2, utilizandola transformada de Laplace.Aplicando la transformación de Laplace a la ecuaciónse obtienesX( s) x(0) AX( s) BU ( s)dx()tA x( t) Bu ( t), con condición inicial x(0),dtoX( s)[ sI A] x(0) BU ( s)de dondeX I A x BU1( s) [ s ] [ (0) ( s)]Φ( s)[ x(0) BU( s)]por lo que1 1( t) x L [ sI A] [ x(0) BU( s)](5.94)donde (s) = [sI A] 1 es la matriz resolvente. Se debe observar que (t) = L 1 {(s)} = e At . En lasección anterior ya vimos que la matriz (t) se conoce como la matriz de transición y más adelante sedarán algunas de sus propiedades.Ejemplo 30. Resolver el sistemax 0 6 0 1 ut ( ), (0) 1 5 x 1 x 2 Tomando u(t) = 1 y ejecutando las operaciones indicadas en la Ec. (5.94), obtenemos1 0 0 6 s0 0 6 s6[ sI A ] s 0 1 1 5 0 s 1 5 1 s5 376

de dondes5 611 s 5 6( s2 )( s3 ) (s+2)(s+3) s 2 1ss 5s6 1 s ( s2 )( s3 ) (s+2)(s+3) Φ( s) [ I A ] yoy por tanto,s5 6 0( s2 )( s3 ) ( s1)( s2 ) 1 X ( s) 11s 2 ( s2 )( s3 ) ( s2 )( s3 ) s2 s 17s6s5 6 1 ( s2 )( s3 ) ( s1)( s2 )s( s 2)( s 3)X ( s) 1 1s 2 2s( s2 )( s3 ) ( s2 )( s3 ) s ( s2)( s3)2s 17s 6 K1 K2 K31 12 12X1( s) s( s 2)( s 3) s s 2 s 3 s s 2 s 3X2( s) x ( t) 112e 12e12 t 3t2s K K 4 61 2 ( s 2)( s 3) s 2 s 3 s 2 s 3 x ( ) 4 62t e e2t3tEjemplo 31. Resolver el sistemax 1 0 2 5 ( t) ( t) , (0) 0 2 x 3 x 1 Procediendo igual que en el Ejemplo 30, se obtiene 1 0s1 0 1s 1[ sI A] , [ s ] 0 s+2 I A 1 0 s+2y377

1 2 5s 2 0 5 s 1 s s( s 1) X ( s) 1 3 s 3 0 1 s+2 s s( s 2) y por tanto,5s 2 2 3X1( s) x1( t) 2 3es( s 1) s s 1s 3 1.5 0.5X2( s) x2( t) 1.5 0.5es( s 2) s s 2 t2tEjemplo 32. Resolver el sistemaAquíyx 4 2 0 3 ( t) ( t) , (0) 1 2 x 2 x 1 11s 1 s2 4 2 2 2 [ sI A ] 1 s 2 s 6s10 1 s4 23s8s4 3 1 s 2 2 1 sX ( s) 22 2 2s 6s 10 1 s 4 1 s 6s 10s 3s8 s s X23s 8s 4K1 K2 K31( s) *2 3 3 s s6s10s s j s j23( 3 j) 8( 3 j) 41 0.4,2 1.70340.236 3K K K( 3 j) j2y x t e t 3t1( ) 0.4 3.406 sen( 130.24 )X2s 3s 8K1 K2 K32( s) 2s ( s 6s10)s s 3 j s 3jK 0.8, K 1.20485.24 K1 2 3 x t e t 3t2( ) 0.8 2.41 sen( 175.24 )378

Ejemplo 33Resolver el sistemax 0 1 1 0 ( t ) ( t) t, (0) 2 3 x 0 x 2 Procedemos igual que en los ejemplos previos y obtenemos:s3 1s 11 ( s 1)( s 2 ) (s+1)(s+2)s I A , [ s ] 2s2 s 3 I A ( s1)( s2 ) ( s1)( s2 ) 2s3 -1 1 2ss3 2( s1)( s2 ) (s+1)(s+2) 0 s ( s1)( s2X ( s) s 2 s2s2 ( s1)( s2 ) ( s1)( s2 ) 220s ( s1)( s2 ) 22s s3 1.5 1.75 1.75X1 ( s) 2 2s ( s 1)( s 2) s s s 22X( ) 1.5 1.75 1.75 t x1 t t e 32s 2 1 1.5 3.5( s) s ( s 1)( s 2) s s s 222 2 2( ) 1.5 3.5 t x2 t t e 5.24 Polos y Ceros de la TransformadaUsualmente, la transformada F(t) de una función f(t) es una función racional en s, es decir,a s a s a s a a ( s z )( s z ) ( s z )F( s)( )( ) ( )m m10 1 m1 m 0 1 2mn n1b0 s b b1s bn1s bn0s p1 s p2s pn(5.95)Los coeficientes a k y b k son constantes reales y m y n son enteros positivos. La función F(s) se denominauna función racional propia si n > m, y una función racional impropia si n ≤ m. Las raíces del polinomio delnumerador, z k se denominan los ceros de F(s) porque F(s) = 0 para esos valores de s. De igual forma, lasraíces del polinomio del denominador, p k , se denominan los polos de F(s) ya que ella se hace infinita paraesos valores de s. En consecuencia, los polos de F(s) están fuera de la región de convergencia (RDC) ya queF(s), por definición, no converge en los polos. Por otra parte, los ceros pueden estar dentro y fuera de laRDC, Excepto por un factor de escala, a 0 /b 0 , F(s) puede especificarse completamente por sus polos y ceros,lo que nos da una forma compacta de representar a F(s) en el plano complejo.379

Tradicionalmente se usa una “” para indicar la ubicación de un polo y un “○” para indicar cada cero.Esto se ilustra en la Fig.5.10 para la función dada por2s4 s2F ( s) 2 Re( s) 12s 4s3( s1)( s3)Figura 5.10380

Problemas1. Determinar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:12t(a) ( ) 2sen (b) ( ) 3 sen32f t t f t e tt2 3 2t(c) ( ) 4 sen5 cos5 (d) ( ) senf t e t t t f t t e t2. Determine la transformada de Laplace de las funciones en las gráficas.3. Encontrar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones usando desarrollo enfracciones parciales. F s F s 2 22s 3s 4 6s 10s 4a (b) =5 4 3s 24 483 2 2s s s s 2 24s 6s 10 2s 6s 8(c) F s = (d) F ( s)s 5s 8s 4 s 2s5(e) F s = 3 22222s 5s43 2s 7s16s124 3 2 4 3 2s 8s 14s 12s s 6s 16s 56s 80 8 s+10(f) Fs=2s s 10s2014s+42 12s+48(g) F s = (g) F s =4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicación directa de la transformación deLaplace.2381

2d x dx(a) 4 5x 2t 6. x0 2, x01.2dt dt2d x dx(b) 2 12 10 x 6cos 4 t, x0 2, x0 8.2dt dt3 2d x d x dx(c) 3 3x 4, x0 1, x0 2, x0 5.3 2dt dt dt3 2d x d x dx (d) 7 12 2. x 0 3, x 0 1, x 0 2.3 2dt dt dt5. Halle las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:(a)1e ss( s3)(b)e2ss2 s es6s56. Halle las transformadas de Laplace de las funciones ilustradas en la figura.7. Determine la transformada inversa de las siguientes funciones usando la integral de convolución.(a) F s 5 1(b) F ss( s 4) s s42 210s2(c) F s (d) F s = 3 2 3 2s 2s 4s 8 s 6s 13s8. Demuestre que la solución del sistema de ecuaciones diferenciales x' t 2 y t f t , x t - y t + y( t)=0bajo las condiciones x x y y 0 0 0 0 0, tal que f(0) = 0, es tx t f ( ) d 2 f ( )cos t d,0 0y t f ( )cos( t )d9. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y verifique su resultado:t0t382

10. Resuelva por y(t) y verifique su solución:11. Halle la solución de la ecuación integral xt y t f t , y t x t 1, x 0 1, y 0 0.t0 (a) cuando b 2 > bc; (b) cuando b = c. y( ) d yt t, y 0 2ty t asen bt c y sen b( t )d0 12. Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t). Demuestre que13. Demuestre que para real y positivaL etL f () t t sF ( s)dsd t ( s )dt n! ( s )n n n2ten n114. Usando la propiedad demostrada en el Problema 12, determine las transformadas de Laplace de lassiguientes funciones:a)t1cos0t(b) 1 tt 1e (c)t 1 (senh t cosh t).383

CAPÍTULO 6LA TRANSFORMADA Z384

CAPÍTULO 6: LA TRANSFORMADA Z6.9 IntroducciónEn el Capítulo 5 se introdujo la transformada de Laplace. En este capítulo presentamos la transformadaZ, que es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de Laplace. La transformada Z puedeconsiderarse una extensión o generalización de la transformada de Fourier discreta, así como latransformada de Laplace puede considerarse como una extensión de la transformada de Fourier. Latransformada Z se introduce para representar señales en tiempo discreto (o secuencias) en el dominio de lavariable compleja z, y luego se describirá el concepto de la función del sistema para un sistema LIT entiempo discreto. Como ya se estudió, la transformada de Laplace convierte ecuaciones íntegro-diferencialesen ecuaciones algebraicas. Ahora veremos que, en una forma similar, la transformada Z convierteecuaciones en diferencias recursivas en ecuaciones algebraicas, simplificando así el análisis de los sistemasen tiempo discreto.Las propiedades de la transformada Z son muy parecidas a las de la transformada de Laplace, de maneraque los resultados de este capítulo son semejantes a los del Capítulo 5 y, en algunos casos, se puede pasardirectamente de la una transformada a la otra. Sin embargo, veremos algunas diferencias importantes entrelas dos transformadas.6.10 La Transformada ZEn la Sección 4.9 vimos que para un sistema LIT de tiempo discreto con respuesta al impulso dada porh[n], la salida y[n] del sistema a una entrada exponencial de la forma z n viene dada pordondeT n ny[ n] z H ( z)z(6.1) nH ( z) h[ n]z(6.2)n385

jPara z e con real (es decir, con z 1), la sumatoria en la Ec. (6.2) corresponde a la transformadade Fourier discreta de h[n]. Lo anterior nos conduce a la definición siguiente para la transformada Z de unasecuencia x[n].6.2.4. DefiniciónLa función H(z) en la Ec. (6.2) se conoce como la transformada Z de h[n]. Para una señal en tiempodiscreto general x[n], la transformada Z, X[z], se define como nX ( z) x[ n]z(6.3)nLa variable z es generalmente compleja y en forma polar se expresa comozj r e (6.4)donde r es la magnitud de z y es el ángulo de z. La transformada Z definida en la Ec. (6.3) con frecuenciase denomina la transformada Z bilateral para distinguirla de la transformada Z unilateral, estudiada másadelante en la Sec. 6.7, y la cual se define como nX ( z) x[ n]z(6.5)n0Claramente, ambas transformadas son equivalentes sólo si x[n] = 0 para t < 0 (causal). En lo que sigue,omitiremos la palabra “bilateral” excepto cuando sea necesario para evitar ambigüedades.Igual que en el caso de la transformada de Laplace, algunas veces la Ec. (6.3) se considera como unoperador que transforma una secuencia x[n] en una función X(z), simbólicamente representada porX( z) Z xn [ ](6.6)Las funciones x[n] y X(z) forman un par de transformadas Z; esto se denotará porx[ n] X ( z)(6.7)que significa que las funciones x[n] y X(z) forman un par de transformadas Z, es decir F(z) es latransformada Z de x[n].Existen varias relaciones importantes entra la transformada Z y la transformada de Fourier. Para estudiarestas relaciones, consideremos la expresión dada por la Ec. (6.5) con la variable z en forma polar. Entérminos de r y , la Ec. (6.3) se convierte en386

jj [ ] n nX r e x n r e(6.8)o, en forma equivalente,j n jn [ ] X r e x n r e(6.9)njA partir de esta última ecuación vemos que X re multiplicada por una exponencial real r –n , es decir,jn x[ n]r X reLa función de ponderación exponencial r –nes la transformada de Fourier de la secuencia x[n] F (6.10)puede estar decreciendo o creciendo con n creciente,dependiendo de si r es mayor o menor que la unidad. En particular, se observa que para r = 1, latransformada Z se reduce a la transformada de Fourier, vale decir,X ( z) j F x[ n](6.11)ze6.2.5. La Región de Convergencia de la Transformada ZComo en el caso de la transformada de Laplace, la banda de valores de la variable compleja z para la cualconverge la transformada Z se denomina la región de convergencia (RDC). En el caso de tiempo continuo,la transformada de Laplace se reduce a la transformada de Fourier cuando la parte real de la variable detransformación es cero; es decir, la transformada de Laplace se reduce a la de Fourier en el eje imaginario.Como contraste, la reducción de la transformada Z a la de Fourier se produce cuando la magnitud de lavariable de transformación z es igual a la unidad. De manera que la reducción se produce en el contorno delplano z complejo correspondiente a un círculo de radio unitario, el cual jugará un papel importante en ladiscusión de la región de convergencia de la transformada Z.La suma en la Ec. (6.3) tiene potencias de z positivas y negativas. La suma de las potencias negativasconverge para z mayor que alguna constante r 1 , y la suma de las potencias positivas converge para zmenor que alguna otra constante r 2 . Esto muestra que la región de existencia de las transformada z bilaterales un anillo cuyos radios r 1 y r 2 dependen de x[n].Para ilustrar la transformada Z y la RDC asociada, consideremos algunos ejemplos.387

Ejemplo 1. Considere la secuencianx[ n] a u[ n] a real(6.12)Entonces, por la Ec. (6.3), la transformada Z de x[n] esPara que X(z) converja se requiere quen nX ( z) a u[ n]z azn n0az1nn01nEn consecuencia, la RDC es la banda de valores para los cualesz a , para cualquier valor finito de a. Entoncesaz 1 1 o, en forma equivalente,1X ( z) az z a1az1n (6.13)1n0Alternativamente, multiplicando el numerador y el denominador de la Ec. (6.12) por z, podemos escribirX(z) comozX ( z) z aza(6.14)Ambas formas de X(z) en las Ecs. (6.12) y (6.13) son de utilidad dependiente de la aplicación. De la Ec.(6.13) vemos que X(z) es una función racional de z. En consecuencia, igual que con las transformadas deLaplace racionales, puede caracterizarse por sus ceros (las raíces del polinomio del numerador) y sus polos(las raíces del polinomio del denominador). De la Ec. (6.13) vemos que hay un cero en z = 0 y un polo en z= a. La RDC y el diagrama de polos y ceros para este ejemplo se muestran en la Fig. 6-1. En lasaplicaciones de la transformada Z, al plano complejo se le refiere comúnmente como el plano z.388

Im(z)CírculounitarioIm(z)a 1 Re(z) 1 a Re(z)0 < a < 1Im(z)a > 1Im(z) a 1 Re(z) a 1 Re(z)–1 < a < 0a < –1Figura 6-1. RDC de la formaz aEjemplo 2. Considere la secuencianx[ n] a u[ n 1](6.15)De la Ec. (6.3), tenemosAhora bien,por lo quen01n n n nX ( z) a u[ n 1]z a z n1 n1 a z 1 a zn1 n0n1 n 11a z , a z 1 o z a11a zn11 a z zX ( z) 1 1 11a z 1a z zaz aLa transformada Z, X(z) viene dada entonces por(6.16)389

1X ( z)z a11az Como lo indica la Ec. (6.16), X(z) también puede escribirse comozX ( z) z aza(6.17)(6.18)Así pues, la RDC y la gráfica de polos y ceros para este ejemplo se muestran en la Fig. 6-2. Comparando lasEcs. (6.13) y (6.17) [o las Ecs. (6.14) y (6.18)], vemos que las expresiones algebraicas de X(z) para dossecuencias diferentes son idénticas, excepto por las RDC. Así que, igual que en la transformada de Laplace,la especificación de la transformada Z requiere tanto la expresión algebraica como la región deconvergencia.Im(z)Im(z)a 1Re(z)1 aRe(z)0 < a < 1Im(z)a > 1Im(z) a 1Re(z)a1Re(z)–1 < a < 0a < –1Figura 6-2. RDC de la forma |z| < |a|.Ejemplo 3. Una sucesión finita x[n] se define como x[ n] 0, N1 n N2, donde N 1 y N 2 son finitos, yx[n] = 0 para cualquier otro valor de n. Para determinar la RDC procedemos en la forma siguiente:De la Ec. (6.3) se tieneN2nX ( z) x[ n]z (6.19)nN1390

Para z diferente de cero o infinito, cada término en la Ec. (6.19) será finito y por tanto X(z) convergerá.Si N 1 < 0 y N 2 > 0, entonces la Ec. (6.19) incluye términos con potencias de z tanto positivas comonegativas. Conforme z 0 , los términos con potencias de z negativas se convierten en no acotados,y conforme z , los términos con potencias de z positivas se vuelven no acotados. Por tanto, laRDC es todo el plano z excepto para z = 0 y z = ∞. Si N 1 ≥ 0, la Ec. (6.19) contiene sólo potenciasnegativas de z, y por ende la RDC incluye z = ∞. Si N 2 ≤ 0, la Ec. (6.19) contiene sólo potenciaspositivas de z y, por tanto, la RDC incluye el punto z = 0.6.2.6. Propiedades de la Región de ConvergenciaComo vimos en los Ejemplos 1 y 2, la RDC de X(z) depende de la naturaleza de x[n]- Las propiedades de laRDC se resumen a continuación. Se entiende que X(z) es una función racional de z.1. La RDC no contiene ningún polo.2. Si x[n] es una secuencia finita, es decir, x[n] = 0 excepto en un intervalo finito N1 n N2, donde N 1y N 2 son finitos, y X(z) converge para algún valor de z, entonces la RDC es todo el plano z exceptoposiblemente z = 0 o z = ∞.3. Si x[n] es una secuencia lateral derecha, es decir, x[n] = 0 para n < N 1 < ∞, y X(z) converge para algúnvalor de z, entonces la RDC es de la formaz r o z rmáxdonde r máx es igual a la mayor magnitud de cualquiera de los polos de X(z). Así pues, la RDC es elexterior del círculoz r en el plano z con la posible excepción de z = ∞.máx4. Si x[n] es una secuencia lateral izquierda, es decir, x[n] = 0 para n > N 2 > –∞, y X(z) converge paraalgún valor de z, entonces la RDC es de la formaz r o 0 z rmínmáxmíndonde r mín es igual a la menor magnitud de cualquiera de los polos de X(z). Así pues, la RDC es elinterior del círculoz r en el plano z con la posible excepción de z = 0mín5. Si x[n] es una secuencia bilateral, es decir, x[n] es una secuencia de duración infinita que no es ni lateralizquierda ni lateral derecha, y X(z) converge para algún valor de z, entonces la RDC es de la formar1 z r2391

donde r 1 y r 2 son las magnitudes de dos de los polos de X(z). Así que la RDC es una región anular en elplano z entre los círculos z r1y z r2que no contienen polos.Observe que la Propiedad 1 se deduce inmediatamente de la definición de polos; es decir, X(z) es infinitaen un polo.Ejemplo 4. Considere la secuencian a 0 n N 1, a 0xn [ ] 0 otros valores de nDeterminar X(z) y graficar sus polos y ceros.De la Ec. (6.3), obtenemos1NN1 N11N N 1n azn n1 z a (6.20)1 N 1X ( z) a z a z 1a z zn0 n0zaDe la Ec. (6.20) vemos que hay un polo de orden (N – 1) en z = 0 y un polo en z = a. Como x[n] es unasecuencia de longitud finita y es cero para n < 0, la RDC es z 0 (la RDC no incluye el origen porquex[n] es diferente de cero para algunos valores positivos de n}. Las N raíces del polinomio del numeradorestán enj ( 2 k N )zkae k N 0, 1, , 1(6.21)La raíz en k = 0 cancela el polo en z = a. Los ceros restantes de X(z) están enj ( 2 k N )zkae k NEl diagrama de polos y ceros con N = 8 se muestra en la Fig. 6-3. 1, , 1(6.22)Polo de orden(N – 1)Im(z)Plano zRe(z)Polo-cero secancelanFigura 6-3 Diagrama de polos y ceros con N = 8.392

En general, si x[n] es la suma de varias secuencias, X(z) existe solamente si existe un conjunto de valoresde z para los cuales convergen las transformadas de cada una de las secuencias que forman la suma. Laregión de convergencia es entonces la intersección de las regiones de convergencia individuales. Si no hayuna región de convergencia común, entonces la transformada X(z) no existe.6.11 Transformadas Z de Secuencias Importantes6.3.5. La Secuencia Impulso unitario [n]De la definición dada en la Ec. (1.79) y la Ec. (6.3), tenemosn0( ) [ ] 1X z n z z(6.23)ny, por consiguiente,Es fácil demostrar que[ n] 1 todo z(6.24) n k z k(6.25)6.3.6. La Secuencia Escalón Unitario u[n]Haciendo a = 1 en las Ecs. (6.12)) a (6.14), obtenemos1 zu[ n] z 111z z 1(6.26)6.3.7. Funciones SinusoidalesSea x[ n] cos0n. Escribiendo x[n] como1x[ n] e e2y usando el resultado dado en la Ec. (6.14), se obtiene quej 0n j0n393

1 z 1 zX( z) 2 z e 2 z ezzcos02z 2 zcos 1j0 j00(6.27)En forma similar, la transformada Z de la secuencia x[ n] sen0nestá dada porX( z)z2z sen 2zcos 100(6.28)6.3.8. Tabla de Transformadas ZEn la tabla al final del capítulo se tabulan las transformadas Z de algunas secuencias encontradas confrecuencia.6.12 Propiedades de la Transformada ZA continuación se presentan algunas propiedades básicas de la transformada Z y la verificación de algunasde esas propiedades. Estas propiedades hacen de la transformada Z una valiosa herramienta en el estudio deseñales y sistemas de tiempo discreto.6.12.1 LinealidadSi x 1 [n] y x 2 [n] son dos secuencias con transformadas X 1 (z) y X 2 (z) y regiones de convergencia R 1 y R 2 ,respectivamente, es decir,entoncesx [ n] X ( z) RDC R1 1 1x [ n] X ( z) RDC R2 2 2a x [ n] a x[ n] a X ( z) a X [ n]R R R(6.29)1 1 2 1 1 2 2 1 2donde a 1 y a 2 son constantes arbitrarias, es decir, la transformada Z de una combinación lineal de secuenciases igual a la combinación lineal de las transformadas Z de las secuencias individuales.394

La demostración de esta propiedad se obtiene directamente de la definición de la transformada Z, Ec. (6.3). Como se indica, la RDC de la combinación es al menos la intersección de R 1 y R 2 .Ejemplo 5. Halle la transformada Z y dibuje el diagrama de polos y ceros (partes b y c) con la RDC paracada una de las secuencias siguientes:(a) xn 2 n 3 n 2 n5 .(b)n1 1x[ n] u[ n] u[ n] 2 3n(c)n 1 1x[ n] u[ n] u[ n1] 2 3n(a) A partir del par n k z k y de la Ec. (6.29), se sigue que la transformada Z de la sucesióndada es2 5 2 3 X z z z(b) De la tabla de transformadas al final del capítulo, se obtienen1z 1 u[ n]z 12z 22n1z 1 u[ n]z 13z 33(6.30)(6.31)Vemos que la RDC en las Ecs. (6.30) y (6.31) se solapan y, de esta manera, usando la propiedad delinealidad, se obtiene5zz12 z z 2 1X ( z) z z z z z21 1 1 12 3 2 3(6.32)De la Ec. (6.32) vemos que X(z) tiene dos ceros en z = 0 y z = 5/12 y dos polos en z = ½ y z = 1/3, y1que la RDC es z como se dibuja en la Fig. 6-4.2395

Im(z) 13Re(z)Figura 6-4(c) De la parte (b)y de la tabla de transformadas,n1z 1 u[ n]z 12z 22n1z 1 u[ n 1] z 13z 33(6.33)Vemos que las RDC de estas dos últimas relaciones no se solapan y no hay una RDC común; así pues,x[n] no tiene transformada Z.Ejemplo 6. Seanx[ n] a a 0(6.34)Hallar X(z) y dibujar el diagrama de polos y ceros y la RDC para a < 1 y a > 1.La sucesión x[n] se dibuja en la Fig. 6-5.n[ n] anx10 < a 10 n 0n(a)(b)396

Figura 6-5Puesto que x[n] es una secuencia bilateral, podemos expresarla comon nx[ n] a u[ n] a u[ n 1](6.35)De la tabla de transformadasnza u[ n]z aza nz1a u[ n 1] z z 1a a(6.36)(6.37)Si a < 1, vemos que la RDC en las Ecs. (6.36) y (6.37) se solapan y entonces2z z a 1 z1X ( z) _a z z a z 1 a a ( z a)( z 1 a)a(6.38)De la Ec. (6.38) vemos que X(z) tiene un cero en el origen y dos polos en z = a y z = 1/a y que la RDC esa z 1 a , como se ilustra en la Fig. 6-6. Si a > 1, vemos que las RDC en las Ecs. (6.36) y (6.37) no sesolapan y no hay una RDC común y, por tanto, x[n] no tendrá una X(z).Im(z)Círculounitario a 1/aRe(z)Figura 6-66.12.2 Desplazamiento (Corrimiento) en el Tiempo o Traslación RealSientoncesDemostración:x[ n] X ( z) RDC Rx n n z X z R R z (6.39) n0[0] ( ) {0 }397

Por la definición en la Ec. (6.3),Zx[ n n ] x[ n n ] zMediante el cambio de variables m = n – n 0 , obtenemosZn0Debido a la multiplicación por z 0 0n mn0x[ n n ] x[ m]z0m( ) nn0 m n0z x m z z X zm[ ] ( ), para n 0 > 0, se introducen polos adicionales en z = 0 y se eliminarán enz = ∞. En la misma forma, si n 0 < 0, se introducen ceros adicionales en z = 0 y se eliminarán enz . Porconsiguiente, los puntos z = 0 y z = ∞ pueden añadirse o eliminarse de la RDC mediante corrimiento en eltiempo. De este modo tenemos entonces quex n n z X z RR z n0[ 0] ( ) {0 }donde R y R' son las RDC antes y después de la operación de desplazamiento. En resumen, la RDC dex[ n n ] es la misma que la RDC de x[n] excepto por la posible adición o eliminación del origen oinfinito.0Casos especiales de la propiedad definida en la Ec. (6.39) son los siguientes:1x[ n 1] z X ( z) R R {0 z }(6.40)x[ n 1] zX ( z) R R {0 z }(6.41)Debido a estas últimas relaciones, z –1 a menudo se le denomina el operador de retardo unitario y z seconoce como el operador de avance(o adelanto) unitario. Observe que en la transformada de Laplace losoperadores s –1 = 1/s y s corresponden a integración y diferenciación en el dominio del tiempo,respectivamente.6.12.3 Inversión en el TiempoSi la transformada Z de x[n] es X(z), es decir,entoncesx[ n] X ( z) RDC R398

11x[ n] X R zR(6.42)En consecuencia, un polo (o cero) en X(z) en z = z k se mueve a 1/z k luego de inversión en el tiempo. Larelación R' = 1/R indica la inversión de R, reflejando el hecho de que una secuencia lateral derecha seconvierte en lateral izquierda si se invierte el tiempo, y viceversa. La demostración de esta propiedad sedeja como ejercicio.n6.12.4 Multiplicación por z0o Corrimiento en FrecuenciaSientoncesxn X z RDC Rn z z0x[ n] X R z0R z0DemostraciónPor la definición dada en la Ec. (6.3), tenemos que(6.43)Zn n n z z z x[ n] z x[ n] z x[ n] X z z 0 0 nn n 0 0 nUn polo (o cero) en z = z k en X(z) se mueve a z = z 0 z k luego de la multiplicación por z0y la RDC seexpande o contrae por el factor z0Un caso especial de esta propiedad es la relación, y la propiedad especificada por la Ec. (6.42) queda demostrada.j0n j0e x[ n]X e z R R (6.44)En este caso especial, todos los polos y ceros son simplemente rotados en un ángulo 0 y la RDC nocambia.Ejemplo 7. Determine la transformada Z y la RDC asociada para cada de las secuencias siguientes:(a) x[n] = [n – n 0 ](b) x[ n] u[ n n0](c)x n a u nn1[ ] [ 1](d) x[ n] u[ n]399

Solución(a) De la Ec. (6.24)[ n] 1 toda zAplicando la propiedad de corrimiento en el tiempo (6.38), se obtiene[ n n ] z n000 z , n 0z0 , n 00(6.45)(b) De la Ec. (6.26),zu[ n] z 1z 1Aplicando de nuevo la propiedad de desplazamiento en el tiempo, obtenemos( n01) nz z0u[ n n0] z z1 z11 z (c) De las Ecs. (6.12) y (6.14) se tiene quenza u[ n]zaz ay por la Ec. (6.41)2n1 z za u[ n] z a z z a z a(d) De la Ec. (6.26)zu[ n] z 1z 1y por la propiedad de inversión en el tiempo (6.42), obtenemos1 z 1u[ n] z 11 z1 1z(6.46)(6.47)(6.48)6.12.5 Multiplicación por n (o Diferenciación en el Dominio de z)Si x[n] tiene transformada z con RDC = R, es decir,x[ n] X ( z) RDC RentoncesdX ( z)nx[ n] z R R(6.49)dz400

DemostraciónPartiendo de la definición (6.3)X ( z) x[ n]zny diferenciando ambos lados con respecto a z, se obtienepor lo quede donde sigue la Ec. (6.49).dX ( z)dzdX(z) z dz nn nn x[ n]zn1nnx[n]z Z nx[n]Por diferenciación sucesiva con respecto a z, la propiedad especificada por la Ec. (6.49) puede sergeneralizada akkkdZ n x[ n] ( z) X ( z)(6.50)kdznEjemplo 8. Determine la transformada Z de la secuencia x[ n] na u[n].De las Ecs. (6.12) y (6.14) sabemos quenza u[ n]z azaUsando la propiedad de la multiplicación por n dada por la Ec. (6.49), se obtienend z azna u[ n] z a2dz z a ( za)(6.51)(6.52)6.12.6 AcumulaciónSi la secuencia x[n] tiene transformada Z igual a X(z) con región de convergencia R, es decir,entoncesnx[ n] X ( z) RDC R1 x( k ) X ( z) X ( z) R R 1 z 1(6.53)k1z zz 1401

nObserve que la expresión xk [ ] es la contraparte en tiempo discreto de la operación de integraciónken el dominio del tiempo y se denomina acumulación. El operador comparable de la transformada deLaplace para la integración es 1/s. La demostración de esta propiedad se deja como ejercicio.6.12.7 ConvoluciónSi x 1 [n] y x 2 [n] son tales quex [ n] X ( z) RDC R1 1 1x [ n] X ( z) RDC R2 2 2entonces la transformada de la convolución de estas secuencias es dada porx [ n] x [ n] X ( z) X ( z) R R z 1(6.54)1 2 1 2Esta relación juega un papel importante en el análisis y diseño de sistemas LIT de tiempo discreto, enanalogía con el caso de tiempo continuo.DemostraciónDe la Ec. (2.9) sabemos quey[ n] x [ n] x [ n] x [ k ] x [ n k ]1 2 1 2kentonces, por la definición (6.3) ( )1[ ]2[ ] nnY z x k x n k z x1 [ k ] x2[ n k ] z n k k nObservando que el término entre paréntesis en la última expresión es la transformada Z de la señaldesplazada, entonces por la propiedad de corrimiento en el tiempo (6.39) tenemoskkY ( z) x1 [ k ] z X2( z) x1 [ k ] z X 2( z) X1 ( z) X2( z)kkcon una región de convergencia que contiene la intersección de la RDC de X 1 (z) y X 2 (z). Si un cero de unade las transformadas cancela un polo de la otra, la RDC de Y(z) puede ser mayor. Así que concluimos que402

x [ n] x [ n] X ( z) X ( z) R R z 11 2 1 26.13 La Transformada Z InversaLa inversión de la transformada Z para hallar la secuencia x[n] a partir de su transformada Z X(z) sedenomina la transformada Z inversa y simbólicamente se denota comox n1[ ] X ( z) Z (6.55)6.5.5. Fórmula de InversiónIgual que en el caso de la transformada de Laplace, se tiene una expresión formal para la transformada Zinversa en términos de una integración el plano z; es decir,12 j (6.56)n1x[ n] X ( z)z dzCdonde C es un contorno de integración con sentido antihorario que encierra el origen. La evaluación formalde la Ec. (6.55) requiere de la teoría de una variable compleja.6.5.6. Uso de Tablas de Pares de Trasformadas ZEn el segundo método para la inversión de X(z), intentamos expresar X(z) como una sumaX ( z) X ( z) X ( z) X ( z)(6.57)1 2donde X 1 (z), X 2 (z), … , X n (z) son funciones con transformadas inversas conocidas x 1 [n], x 2 [n], … , x n [z], esdecir, están tabuladas (tabla al final del capítulo). Entonces, de la propiedad de linealidad de la transformadaZ se deduce que la transformada Z inversa viene dada por1 2nx[ n] x [ n] x [ n] x [ z](6.58)n6.5.7. Expansión en Series de PotenciasLa expresión que define la transformada Z [Ec. (6.3)] es una serie de potencias donde los valores de lasecuencia x[n] son los coeficientes de z –n . Así pues, si se da X(z) como una serie de potencias en la forma403

X ( z) x[ n]zn n2 1 2 x[ 2] z x[ 1] z x[0] x[1] z x[2]z (6.59)podemos determinar cualquier valor particular de la secuencia determinando el coeficiente de la potenciaapropiada de z –1 . Puede pasar que este enfoque puede no proporcione una solución en forma cerrada pero esmuy útil para una secuencia de longitud finita donde X(z) puede no tener una forma más sencilla que unpolinomio en z –1 . Para transformadas Z racionales, se puede obtener una expansión en serie de potenciasmediante división de polinomios, como se ilustrará con algunos ejemplos.Ejemplo 9. Hallar la transformada Z inversa de 1 2 2 1 1 1X ( z) z 1 z 1 z 1 2 z , 0 z Multiplicando los factores en esta ecuación, podemos expresar X(z) comoEntonces, por la definición (6.3),y obtenemosX ( z) z z z 2 1 5 12 2X ( z) x[ 2] z x[ 1] z x[0] x[1]z 2 1xn [ ] ,1, , , 1, 0, 1 52 2Ejemplo 10. Usando la técnica de la expansión en serie de potencias, determine la transformada Z inversade las transformadas siguientes:1(a) x( z) , z a11az 1 (b) X ( z) log , z a11 az z1(c) X ( z)z 22z3z12(a) Como la RDC es z a, es decir, el interior de un círculo de radio a, x[n] es una secuencia lateralderecha. Por tanto, debemos dividir de manera que obtengamos una serie en potencias de z en la formasiguiente. Multiplicando el numerador y el denominado de X(z) por z, tenemos404

y procediendo a la división, obtenemoszX( z)z a1 z 1az za1 2 2 3 3 k kX ( z)a z a z a z a z1y por la definición (6.3), obtenemosde modo quex[ n] 0 n 01 2 3 kx[ 1] a , x[ 2] a , x[ 3] a , x[ k ] a, x[ n] a n u[ n 1](b) La expansión en serie de potencias para log(1 r)es dada porAhora1log(1 r) r n r 1n1n11X ( z) log log 1 a z z a11azPuesto que la RDC es z a, es decir,potenciasde la cual podemos identificar x[n] comooaz 11n 1nX ( z) a z a znn1n1 n1n (1 n) a n 1xn [ ] 0 n 01x[ n] a n u[ n 1]n 1, entonces X(z) tiene la expansión en serie de1(c) Puesto que la RDC es z , x[n] es una secuencia lateral izquierda. Así pues, debemos dividir para2obtener una serie de potencias en z. Procedemos entonces a la división para obtenerEntoncesz3 7 15213z2zn2 3 4 z z z z 4 3 2X ( z) 15z 7z 3z z405

y, por la definición (6.3), se obtienexn [ ] ,15,7,3,1,06.5.8. Expansión en Fracciones ParcialesIgual que en el caso de transformada de Laplace inversa, el método de expansión en fracciones parcialesgeneralmente proporciona el método más útil para hallar la transformada Z inversa, especialmente cuandoX(z) es una función racional de z. SeaN ( z) ( z z1)( z z2) ( z zm)X ( z) KD( z) ( z p )( z p ) ( z p )1 2n(6.60)Suponiendo que n ≥ m, es decir, el grado de N(z) no puede exceder el grado de D(z), y que todos los polosson sencillos, entonces la fracción X(z)/z * es una función propia y puede ser expandida en fraccionesparcialesdondePor lo tanto, obtenemosX ( z) cn0c1 c2 cnc0ck (6.61)z z z p z p z p z z p1 2nX( z)c0 X ( z) c ( )z 0 k z pk(6.62)znz z z zX ( z) c c c c c ckz p z p z p(6.63)z pk1zpk0 1 2 n01 2 nk1Determinando la RDC para cada término en la Ec. (6.63) a partir de la RDC total de X(z) y usando una tablade transformadas, podemos entonces invertir cada término, produciendo así la transformada Z inversacompleta.Si m > n en la Ec. (6.60), entonces se debe añadir un polinomio en z al lado derecho de la Ec. (6.63), cuyoorden es (m – n). Entonces, para m > n, la expansión en fracciones parciales tendrían la formakk* La expansión es de X(z)/z debido a que las fracciones individuales tienen como denominador el factor de la forma1 az 1 y no za como aparece en la expansión.406

zX ( z) b z c z pmnnqqkq0 k1k (6.64)Si X(z) tiene polos de orden múltiple, digamos que p i es el orden del polo múltiple con multiplicidad r,entonces la expansión de X(z)/z consistirá de términos de la formadonde 1 2r (6.65)2ri i iz p z p z p1 kd r X ( z ) zk z pkik! dzzzpi(6.66)Ejemplo 11(a) Usando expansión en fracciones parciales, resuelva de nuevo el problema en el Ejemplo 10(c)X ( z)z22z3z1Usando expansión en fracciones parciales, obtenemosdonde1z 2X ( z) 1 1 c1 c2 z 2z3z12( z1)zz 1z 2 1122Por tanto,(b) SientoncesPor tanto,c1 1 1 c 121z 2z11 22 z1z12z z1X ( z) zz1 z 2F( z)26z5z112230 z 12z26z5z1F ( z) 30 z 12 3 2 z z 1 2 z 1 3407

yF( z)3z2zz1 2 z1 3 1 1f[ n] 3 2 2 3nnEjemplo 12. Hallar la transformada Z inversa dezX ( z) 2( z1)( z2)z 2Usando expansión en fracciones parciales, tenemos queX ( z) 1 c1 1 2 z ( z 1)( z 2) z 1 z 2( z 2)2 2(6.67)dondec1 1 1 1( 2) z 1z21 22z z1Sustituyendo estos valores en la Ec. (6.67), se obtiene1 1 11 2 2( z 1)( z 2) z1 z2( z 2)Haciendo z = 0 en la expresión anterior (la expresión es válida para cualquier valor de z), se tiene quede donde 1 = –1 y entonces1 11 1 4 2 4z z zX ( z) z 22z1 z2 ( z 2)Como la RDC es z 2 , x[n] es una secuencia lateral derecha y de la tabla de transformadas obtenemosx n n u nn n1[ ] 1 2 2 [ ]Ejemplo 13. Calcule la transformada Z inversa de3 2z 5z z 2X ( z) ( z1)( z2)z 1408

Si expandimos el denominador obtenemosX( z)3 2 3 2z z z z z z5 2 5 22( z1)( z2) z 3z2que es una función racional impropia; realizamos la división y tenemosAhora, seaEntoncesyPor consiguiente7 z 2 7 z2X z z zz 3 z2( ) 2 2 2( z1)( z2)7z2X1( z)( z1)( z2)X ( ) 7 2 1 5 61z z z z( z 1)( z 2) z z 1 z 25z6zX1( z) 1z1 z25z6zX ( z) z 1 z 1z1 z2Puesto que la RDC de X(z) es z 1, x[n] es una secuencia lateral izquierda y de la tabla de transformadas,obtenemosnx[ n] [ n 1] [ n] 5 u[ n 1] 62 u[ n1] n 1[ n 1] [ n] 5 6 2 u[ n 1]Ejemplo 14. Hallar la transformada Z inversa deX(z) puede escribirse como4X ( z) z 3z 34 zX z z zz3 z31( ) 4 3Como la RDC es z 3, x[n] es una secuencia lateral derecha y de la tabla de transformadas obtenemosn3 u[ n]zz 3409

Usando la propiedad de corrimiento en el tiempo, se tieney concluimos quen1 1 z 13 u[ n 1] z z3z3x nn1[ ] 4(3) u[ n 1]Ejemplo 15. Hallar la transformada Z inversa deDe la Ec. (6.68) se sabe que21 zX ( z) z a12 21az ( za)n1na u[ n] z a2z( za)(6.69)Ahora, X(z) puede escribirse como z X ( z) z z a2 ( za)y aplicando la propiedad de corrimiento en el tiempo a la Ec. (6.69), obtenemosx[ n] ( n 1) a n u[ n 1] ( n 1) u[ n]ya que x[–1] = 0 en n = –1.6.14 La Función del Sistema: Sistemas LIT en Tiempo Discreto6.6.5. La Función del SistemaEn la Sec. 2.3 se demostró que la salida y[n] de un sistema LIT de tiempo discreto es igual a la convoluciónde la entrada x[n] con la respuesta al impulso h[n]; es decir,y[ n] x[ n] h[ n](6.70)Aplicando la propiedad de convolución de la transformada Z, Ec. (6.54), obtenemosY ( z) X ( z) H ( z)(6.71)donde Y(z), X(z) y H(z) son las transformadas Z de y[n], x[n] y h[n], respectivamente. La Ec. (6.71) puedeexpresarse como410

Y( z)H( z) (6.72)X( z)La transformada Z H(z) de h[n] se conoce como la función del sistema (o la función de transferencia delsistema). Por la Ec. (6.72), la función del sistema H(z) también puede ser definida como la relación entre lastransformadas Z de la salida y[n] y de la entrada x[n]. La función del sistema caracteriza completamente alsistema. La Fig. 6-9 ilustra la relación de las Ecs. (6.70) y (6.71).x[n]h[n]y[ n] x[n] h[n]X(z)H[z]Y( z) X(z)H(z)Figura 6-9 Respuesta al impulso y función del sistema.Ejemplo 16. La entrada x[n] y la respuesta al impulso h[n] de un sistema LIT de tiempo discreto vienendados porDetermine la salida y[n] usando la transformada Z.De la tabla de transformadas obtenemosEntonces, por la Ec. (6.71),x[ n] u[ n] h[ n] n u[ n] 0 1zx[ n] u[ n] X ( z) z 1z 1zh[ n] n u[ n] H ( z) z z 2zY ( z) X ( z) H ( z) z 1( z1)( z )Usando ahora expansión en fracciones parciales, se obtieneY ( z)z c1 c2 z ( z 1)( z ) z 1z dondede manera quecz 1z c z 1 z1 1 1 2z1z411

1 z zY ( z) z 11 z1 1 z cuya transformada Z inversa esn11 n1 y[ n] u[ n] u[ n] u[ n]1 1 1 Ejemplo 17. La respuesta al escalón s[n] de un sistema LIT de tiempo discreto viene dada pornx[ n] u[ n], 0 1Determine la respuesta al impulso h[n] del sistema.Sean x[n] y y[n] la entrada y salida del sistema. Entoncesx[ n] u[ n] zX ( z) z 1z 1zy[ n] n u[ n] Y ( z)z z Entonces, por la Ec. (6.71),Y ( z) z 1H ( z) X ( z)z z Usando expansión en fracciones parciales, se obtieneH ( z) z 1 1 1 1 1 z z ( z ) z z o1 1zH ( z) z z Tomando la transformada Z inversa, obtenemos1 1nh[ n] [ n] u[ n] Cuando n = 0,1 1h[0] y por tanto412

por lo que h[n] puede escribirse como1 n 0hn [ ] n1(1 ) n 1h n n u nn1[ ] [ ] (1 ) [ 1]1Ejemplo 18. Se tiene que la salida y[n] de un sistema LIT de tiempo discreto es entrada x[n] es el escalón unitario u[n].(a) Calcule la respuesta al impulso h[n] del sistema.1n(b) Determine la salida y[n] cuando la entrada x[n] es 2 un [ ].Solución:(a)zx[ n] u[ n] X ( z) z 1z 1n1 2( z 1) 1y[ n] 2 u[ n] Y ( z) z 13z 32Usando expansión en fracciones parciales, se obtieneH ( z) 2( z 1) 6 4 z z z z z 11 3yz1H ( z) 6 4 z z 1 3Tomando la transformada Z inversa, obtenemos32 un [ ] cuando la3n(b)1h[ n] 6 [ n] 4 u[ n]3nEntoncesn1z1x[ n] u[ n] X ( z) z 12z 222 z( z1) 11Y ( z) X ( z) H ( z)z21 1zz2 2Usando expansión en fracciones parciales una vez más, tenemos que413

Así queY ( z) 2( z 1) 6 8 z z z1 11 1zz 2 31 12 32 3z z1Y ( z) 6 8 zz z 2y la transformada Z inversa de Y(z) esnn 1 1y[ n] 6 8 u[ n] 2 3 6.6.6. Caracterización de Sistemas LIT en Tiempo DiscretoMuchas de las propiedades de los sistemas LIT de tiempo discreto puede asociarse íntimamente con lascaracterísticas de la función de transferencia H(z) en el plano z y en particular con las ubicaciones de lospolos y la región de convergencia (RDC).1. CausalidadPara un sistema LIT de tiempo discreto, tenemos queh[n] = 0 n < 0Como h[n] es una señal unilateral derecha, el requisito correspondiente sobre H(z) es que su RDC debe serde la formaz r máxEs decir, la RDC es el exterior de un círculo que contiene todos los polos de H(z) en el plano z. En formasimilar, si el sistema es anticausal, es decir,h[n] = 0 n ≥ 0entonces h[n] es una señal lateral izquierda y la RDC de H(z) debe ser de la formaz r mínEs decir, la RDC es el interior de un círculo que no contiene polos de H(z) en el plano z.414

2. EstabilidadEn la Sec. 2.5 se estableció que un sistema LIT de tiempo discreto es estable (estabilidad de entradaacotada-salida acotada, que se abreviará EASA) si y sólo si [Ec. (2.53)]nhn [ ]El requisito correspondiente sobre H(z) es que su RDC contenga el círculo unitario, es decir, z 1.Ejemplo 19. Si un sistema LIT de tiempo discreto es estable (entrada acotada-salida acotada, EASA),demuestre que su función del sistema H(z) debe contener el círculo unitario, es decir, z 1.Un sistema LIT de tiempo discreto tiene estabilidad EASA si y sólo si su respuesta al impulso h[n] esabsolutamente sumable, es decir,Ahora,nhn [ ]H ( z) h[ n]zn nSeazj e de manera que z e j1 . Entoncesj jnH ( e ) h[ n]en jn h[ n] e h[ n] nnEn consecuencia, vemos que si el sistema es estable, entonces H(z) converge paraLIT de tiempo discreto estable, la RDC de H(z) debe contener el círculo unitario z 1.zje . Es decir, para3. Sistemas Causales y EstablesSi el sistema es causal y estable, entonces todos los polos de H(z) deben estar ubicado en el interior delcírculo unitario del plano z ya que la RDC es de la formaen la RDC, debemos tener r máx 1.z rmáx, y como el círculo unitario es incluido415

6.6.7. Función del Sistema para Sistemas LIT Descritos por Ecuaciones de Diferencias Linealescon Coeficientes Constantes.En la Sec. 2.9 se consideró un sistema LIT de tiempo discreto para el cual la entrada x[n] y la salida y[n]satisfacen la ecuación de diferencias lineal con coeficientes constantes de la formaNMa y[ n k ] bkx[ n k ](6.73)kk0 k0Aplicando la transformada Z y usando las propiedades de corrimiento en el tiempo, Ec. (6.39), y delinealidad, Ec. (6.29), de la transformada Z, obtenemosNMkkk0 k0 ka z Y ( z) b z X ( z)koAsí pues,NMkk k (6.74)kk0 k0Y ( z) a z X ( z)b zH( z)Y( z)X( z)Mk0Nk0bzkazk k k(6.75)Por tanto, H(z) siempre es racional. Observe que la RDC de H(z) no es especificada por la Ec. (6.75) sinoque debe inferirse con requerimientos adicionales sobre el sistema; requerimientos como la causalidad o laestabilidad.Ejemplo 20. Un sistema LIT de tiempo discreto causal es descrito por la ecuación en diferencias3 1y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n](6.76)4 8donde x[n] y y[n] son la entrada y salida del sistema, respectivamente.(a) Determine la función del sistema H(z).416

(b) Halle la respuesta al impulso h[n] del sistema.(c) Halle la respuesta al escalón s[n] del sistema.(a) Tomando la transformada Z de la Ec. (6.75), se obtieneoAsí que3 1Y z z Y z z Y z X z4 81 2( ) ( ) ( ) ( )3 11 21 z z Y ( z) X ( z)4 82Y ( z) 1zH( z) X( z) 1 z z z z z21 1 z z2 8(b) Usando expansión en fracciones parciales, se obtieney3 1 1 2 2 3 14 8 4 81z 2H ( z) z 2 1 z z z1 11 1zz 2 41 12 42 4z z1H ( z) 2zz z 2cuya transformada Z inversa esn n 1 1h[ n] 2 u[ n] 2 4 (c)zx[ n] u[ n] X ( z) z 1z 1Entonces3zY ( z) X ( z) H ( z) z 1( z 1)z z 1 1 2 4Usando de nuevo expansión en fracciones parciales, se obtieneY z z ( z 1)z z z 1z z 2( ) z8 3 2 1 31 1 2 41 12 4417

o8 z z 1 zY ( z) 2 z 13 z 1 z 3 z 1 12 4y la transformada Z inversa de Y(z) esnn 8 1 1 1 y[ n] s[ n] 2 u[ n] 3 2 3 4 Ejemplo 21. Considere un sistema LIT en el cual la entrada x[n] y la salida y[n] satisfacen la ecuación endiferencias lineal con coeficientes constantes1 1y[ n] y[ n 1] x[ n] x[ n 1]4 3Aplicando la transformada Z en ambos lados de esta ecuación y usando las propiedades de linealidad ycorrimiento en el tiempo, obtenemos1 1Y z z Y z X z z X n4 31 1( ) ( ) ( ) [ ]o111zY ( z) 3X ( z)111z 4oH( z)1Y( z) 1z3X( z)11z 411Ejemplo 22. Consideremos ahora un ejemplo de la aplicación de la transformada Z a la solución de unaecuación sencilla en comparación con el uso de fórmulas recursivas. Deseamos resolver la ecuacióny[ n] 3 y y[ n 1] 6con la condición inicial y[–1] = 4.Podemos hallar y[n] en forma recursiva: haciendo n = 0, 1, 2, …, obtenemosy[0] 18, y[1] 60, y[2] 186, etc.418

Para determinar y[n] para cualquier n, usamos la transformada Z. Esto producePor tanto,y el resultado es16zY ( z) 3 z Y ( z) y[ 1] z 1218z 12 z 21z3Y( z) ( z 3)( z 1) z 3 z 1 nyn [ ] 21 3 36.6.8. Interconexión de SistemasPara dos sistemas LIT (con respuestas al impulso h 1 [n] y h 2 [n], respectivamente) en cascada, la respuesta alimpulso total h[n] viene dada porh[ n] h [ n] h [ n](6.77)1 2Así que las funciones de los sistemas están relacionadas por el productoH ( z) H ( z) H ( z)R R R(6.78)1 2 1 2En forma similar, la respuesta al impulso de una combinación en paralelo de dos sistemas LIT está dadaporyh[ n] h [ n] h [ n](6.79)1 2H ( z) H ( z) H ( z)R R R(6.80)1 2 1 2Ejemplo 23. Considere el sistema de tiempo discreto de la Fig. 6-10. Escriba una ecuación de diferenciasque relacione la salida y[n] con la entrada x[n].Suponga que la entrada al elemento de retardo unitario es q[n]. Entonces, de la Fig. 6-10 vemos que 2 1 3 1q n q n x ny n q n q nTomando la transformada Z de estas ecuaciones, se obtieneQ z z Q z X z1( ) 2 ( ) ( )Y z Q z z Q z1( ) ( ) 3 ( )419

Reacomodando, obtenemosx[n]++q[n]+ +y[n]2Retardounitario3q[n – 1]Figura 6-10112 z Q( z) X ( z)113 z Q( z) Y ( z)de dondeY ( z) 13zH( z) X( z) 1 2z11Por lo tanto, 1 1 1 2 z Y ( z) 1 3 z X ( z)oY z z Y z X z z X z1 1( ) 2 ( ) ( ) 3 ( )Tomando ahora la transformada inversa y usando la propiedad de corrimiento en el tiempo, se obtiene laecuación en diferencias para y[n]y[ n] 2 y[ n 1] x[ n] 3 x[ n 1]Ejemplo 24. Considere el sistema de tiempo discreto mostrado en la Fig. 6-11. ¿Para qué valores de k es elsistema estable EASA?420

x[n]+ +a[n – 1]k/2k/3z –1q[n]+ +y[n]Figura 6-11En la figura se observa quekq[ n] x[ n] q[ n 1]2ky[ n] q[ n] q[ n 1]3Tomando la transformada Z de las ecuaciones anteriores, se obtieneReacomodando, tenemos quey de ésta obtenemoskQ z X z z Q z21( ) ( ) ( )kY z Q z z Q z31( ) ( ) ( )k z Q z2 X zk z Q z3 Y z11 ( ) ( )11 ( ) ( )k1( )13 3( )Y z zz H z k z kX ( z) k1z k 2 21z 2la cual muestra que el sistema tiene un cero en z = –k/3 y un polo en z = –k/2 y que la RDC es z k 2 .Entonces, como se mostró anteriormente, el sistema es estable EASA sólo si k 2 .421

6.15 La Transformada Z Unilateral6.7.5. DefiniciónLa transformada Z unilateral X I (z) de una secuencia x[n] se define como nX [ n] x[ n]z(6.81)Uk0y difiere de la transformada bilateral en que la sumatoria se calcula para solamente n ≥ 0. Así, latransformada Z unilateral de x[n] puede considerarse como la transformada bilateral de x[n]u[n]. Comoxnun es una secuencia lateral derecha, la RDC de X U (z) está siempre fuera de un círculo en el plano z.6.7.6. Propiedades BásicasLa mayoría de las propiedades de la transformada Z unilateral son las mismas que la de la transformada Zbilateral. La transformada unilateral es útil en el cálculo de la respuesta de un sistema causal a una entradacausal cuando el sistema es descrito por una ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes concondiciones iniciales diferentes de cero. La propiedad básica de la transformada Z unilateral que es deutilidad en esta aplicación es la propiedad de corrimiento en el tiempo siguiente, la cual es diferente de lamisma propiedad para la transformada bilateral.Propiedad de Corrimiento en el TiempoSi x[n] ↔ X U (z), entonces para m ≥ 0,x n m z X z z x z x x m(6.82) m m1 m2[ ] U( ) [ 1] [ 2] [ ]x n m z X z z x z x zx m(6.83)m m m1[ ] U( ) [0] [1] [ 1]6.7.7. La Función del SistemaDe manera similar al caso del sistema LIT de tiempo continuo, con la transformada Z unilateral, la funcióndel sistema H(z) = Y(z)/X(z) se define bajo la condición de que el sistema está en reposo, es decir, todas lascondiciones iniciales son iguales a cero.422

6.7.8. Valores Inicial y FinalTeorema del Valor InicialSea x[n] una secuencia causal con transformada Z dada por X(z). Entoncesx[0] lím X ( z)(6.84)zque es el teorema del valor inicial para la transformada Z.Como x[n] = 0 para n < 0, tenemos que n1 2 X ( z) x[ n] z x[0] x[1] z x[2]zn0Conforma z → ∞, z –n → 0 para n > 0, y da como resultado la Ec. (6.83).Teorema del Valor FinalSea x[n] una secuencia causal con transformada Z igual a X(z). Entonces, si X(z) es una función racional contodos sus polos estrictamente en el interior del círculo unitario excepto posiblemente por un polo de primerorden en z = 1, se tiene quelím x[ N ] lím 11z X ( z)Nz1que es el teorema del valor final para la transformada Z.De la propiedad de corrimiento en el tiempo, Ec. (6.86), tenemos (6.85)1 El lado izquierdo de esta última ecuación puede escribirse comoZ x[ n] x[ n 1] 1 z X ( z)(6.87) n [ ] [ 1] lím [ ] [ 1]x n x n z x n x n zNn0 n0Si ahora hacemos que z → 1, entonces esta podemos escribir esta ecuación como 1 Nlím 1 z X ( z) lím x[ n] x[ n 1] lím x[ N ] x[ ]z1N Nn0NnEjemplo 25. Considere un sistema de tiempo discreto cuya entrada x[n] y salida y[n] están relacionadas pory[ n] ay[ n 1] x[ n], a constanteDetermine y[n] con la condición auxiliar y[–1] = y –1 y x[ n] K b n u[ n].423

SeaEntonces, de la Ec. (6.82),y[ n] Y ( z)y n z Y z y z Y z y1 1[ 1]U( ) [ 1]U( )De la tabla de transformadas tenemos la relaciónzx[ n] XU( z) K z bzbTomando la transformada Z unilateral de la Ec. (6.87), se obtieneYU( z) a YU( z) y1 K z bo z a z YU( z)ay1K z z bEntonces2z zYU( z)a y1Kz a ( z a)( z b)y usando expansión en fracciones parciales, obtenemosz K z z YU( z) a y1 b a z a b a ( z b)z a Tomando ahora la transformada Z inversa, se obtiene el resultadonbnany[ n] ay1a u[ n] K b u[ n] K a u[ n]b a b an1 n1n1b a y1a K u[ n]ba Iz1Ejemplo 26. Para la ecuación en diferencias1 3 y[ n] 4 y[ n 1] y[ n 2] x[ n], con x[ n] , y[ 1] 1, y[ 2] 2Tomando la transformada Z unilateral de la ecuación dada, obtenemos1 2 1 3 Y ( z) 4 z Y y[ 1] z Y z y[ 1] y[ 2] X ( z)U U U U2n424

Sustituyendo las condiciones auxiliares y[–1] = 1, y[–2] = 2, y X I (z) en la expresión anterior, se obtiene3 4 ( ) 2 1 2 1z z YIz z 1z 2zoEntoncesy, por tanto,3( z1) z 3z 2zYUz1 2 13 2Y2 U( z)1zz2 2 1z 3z 2z2( z)3( z 1)z z 1 1 2 33 z z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 12 3n3 1 1 1 y[ n] n 22 2 2 3 nEjemplo 27. El sistema de la Fig. 6-12 consiste un elemento de retardo y un multiplicador. Tiene comovariable la entrada y[n] al elemento de retardo y su estado inicial es y[–1] = 8. Determinaremos y[n] paracualquier n 0 usando la transformada Z.1284y[n]y[n – 1]1zy[n]2 1 0.5–1 0 1 2 3 4 nFigura 6-12Como vemos en el diagrama,1y[ n] y[ n 1]2Aplicando la transformada Z en ambos lados de esta ecuación, se obtiene425

1Y z z Y z y21( ) ( ) [ 1]Por tanto,4zY( z)z 0.5y la transformada Z inversa produce la soluciónla cual se indica en la Fig. 6-12.yn [ ] 4 0.5 n6.16 La Transformada de Laplace y la Transformada ZSi representamos la secuencia x[n] = x(nT) como un tren de impulsos separados por el intervalo de tiempoT, el período de muestreo, el impulso del n-ésimo instante, (t – nT), tiene el valor de ponderación x(nT).Por consiguiente, la relación entre la secuencia x(nT) y la señal x*(t) se puede expresar comox *( t) x( nT ) ( t nT )(6.88)n0Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de la Ec. (6.88), se obtiene nTsX *( s) L [ x*( t)] x{ nT ) e(6.89)n0Comparando la Ec. (6.89) con la Ec. (6.81) para la transformada Z unilateral, vemos que esta última y latransformada de Laplace se relacionan a través de la equivalenciazts e(6.90)En verdad, la transformada Z unilateral definida por la Ec. (6.87) puede considerarse como un caso especialcuando T = 1. En consecuencia, la definición de la transformada Z unilateral se puede resumir comoX ( z) L[ x( kT )] L[ x*( t )] Z [ X *( z)] X*( s) tsze(6.91)426

Pares Ordinarios de Transformadas Zx[n] X(z) RDC[n] 1 Toda zu[n]11z,z 11 z z 1–u[–n – 1]11z,z 11 z z 1[n – m] z –m Toda z excepto 0 si m > 0 o ∞ si m< 0a n u[n]a nu[ n1]1 z az , 11 z a1 z az , 11 z az az ana n u[n]az az,11 az 2 z a 2 na n u[ n1]az az,11 az 2 z a 211z az a( n 1) a n u[ n]11az12 z , z a 2z acos 0n u[n]2 cos0z2z 2cosz1sen 0 n u[n]sen02z 2cosz1z z 10z z 10 cos 0n u[n]r n 2 z rcos0z22z 2rcosz rr n sen 0 n u[n]rsen 0z22z 2rcosz r00z rz r427

0a n0 n N 1otrosvaloresden1a1azN Nz 0z1428

Problemas6.1 Halle las transformadas Z de las secuencias siguientes:(a) xn [ ] 1 ,1. 14 5(b) x[ n] 6 [ n 5] 4 [ n 2](c)6.2 Dado quen1nx[ n] 2 u[ n] 3(2) u[ n1]3z( z4)X( z)( z 1)( z 2)( z 3)Especifique todas las regiones de convergencia posibles. ¿Para cuál RDC es X(z) la transformada Z deuna secuencia causal?6.3 Demuestre la propiedad de inversión dada por la Ec. (6.41).n6.4 Determine la transformada Z de la señal1 0 x [ n] cos n u[ n], usando la propiedad de escalamiento.señal 2 0x [ n] a cos n u[ n]a partir de la transformada de la6.5 Demuestre que si x[n] es una secuencia lateral derecha y X(z) converge para algún valor de z, entoncesla RDC de X(z) es de la formaz r máxo z rmáxdonde r máx es la magnitud máxima de cualquiera de los polos de X(z).6.6 Hallar la transformada Z inversa de2 32z5zX ( z) z 02z 3z26.7 Determine las transformadas Z de las x[n] siguientes:(a) x[ n] ( n 2) u[ n 2](b) x[ n] u[ n 2] u[ n 4](c) x[ n] nu[ n] u[ n 4] 6.8 Usando la relaciónhalle la transformada Z de (a)nza u[ n] , z azax n na u nn1[ ] [ ]; (b)n2x[ n] n( n 1) a u[ n]; y (c)429

6.9 Determine la transformada inversa denkx[ n] n( n 1) ( n k 1) a u[ n]X ( z) log 11 1z 3(a) usando la expansión en serie de potencias kdiferenciando X(z) y usando las propiedades de la transformada Z.6.10 Determine la transformada Z y la región de convergencia de la secuencian 2 cos3 n n0nxn [ ] 1 cos3 n n0 4log(1 a) a k , a 1, y (b)6.11 Determine la transformada Z inversa de cada una de las transformadas Z dadas mediante dos de losmétodos explicados en el capítulo y compare los valores para n = 0, 1, 2, y 3. En cada caso, señale laRDC para su la validez de su resultado.z(a) X( z)( z1)( z0.8)(b)z( z1)X( z)( z1)( z0.8)k1(c)1X( z)( z1)( z0.8)(d)X( z)1z ( z 1)( z 0.8)2z(e) X( z)( z1) ( z2)2 22z 3(f) X( z)3( z 2)6.12 Determine la convolución de las secuencias causales siguientes:n11, 0 n10h[ n] , x[ n]2 0, otros valores de n6.13 Halle la función de transferencia del sistema mostrado en la Fig. P.6.13 si430

h [ n] ( n 1) u[ n]1h [ n] [ n] nu[ n 1] [ n 2)21h3[ n] u[ n]3nh 1 [n]x[n]h 3 [n]–+y[n]h 2 [n]Figura P.6.136.14 Determine la respuesta al escalón del sistema con función de transferenciaH( z)zz 12z2 5 16 66.15 Considere el sistema mostrado en la Fig. P.6.15(a) Determine la función del sistema H(z).(b) Halle la ecuación de diferencias que relaciona la salida y[n] con la entrada x[n].x[n]y[n]+ +141zFigura P.6.156.16 Considere un sistema LIT de tiempo discreto cuya función de sistema H(z) es dada porzH ( z)z 13z13431

(a) Calcule la respuesta al escalón s[n].(b) Determine la salida y[n] cuando la entrada es x[n] = u[n].6.17 Demuestre que un criterio simplificado para que el polinomiopolos en el interior del círculo unitario en el plano z lo daX (0) 1, X ( 1) 0, X (1) 02X ( z)z a1z a2Use este criterio para hallar los valores de K para los cuales el sistema dado porsea estable.0.8 KzH( z)( z0.8)( z0.5)16.18 (a) Cuando se aplica la excitación [ ] poryn [ ] 21 impulso correspondiente?6.19 Resuelva la ecuación en diferencias3n2n tenga todos susxn se aplica a un sistema LIT, la salida y[n] viene dada. Determine la función de transferencia del sistema. (b) ¿Cuál es la respuesta aly[ n] 5 y[ n 1] 6 y[ n 2] 2, y[ 1] 6, y[ n 2] 46.20 Considere un sistema causal de tiempo discreto cuya salida y[n] y entrada x[n] están relacionadas por(a) Halle la función del sistema H(z).(b) Calcule la respuesta al impulso h[n]y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n]7 112 126.21 Demuestre que la solución general de la ecuación en diferenciasy[ n] 2 y[ n 1] y[ n 2] 0puede escribirse en la forma y[ n] C cosh n Dsenh n , donde cosh y C y D son dosconstantes arbitrarias. Determine y[n] si y[0] = E, y[10] = 0 y = 1.25.6.22 (a) Demuestre que la salida y[n] del sistema de la Fig. P.6.22 satisface la ecuación2 y[ n] y[ n 1] 4 x[ n] 2 x[ n 1](b) El estado inicial del sistema es q[–1] = 2. Halle la respuesta de entrada cero. (c) Halle la funcióndel sistema H(z). (d) Determine la respuesta al impulso h[n] y la respuesta al escalón.432

x[n]q[–1] = 21/2q[n – 1]1zq[n]2y[n]Figura P.6.226.23 Use la transformada Z unilateral para resolver las ecuaciones de diferencias siguientes con lascondiciones iniciales dadas.(a) y[ n] 3 y[ n 1] x[ n], con x[ n] 4 u[ n], y[ 1] 1(b) y[ n] 5 y[ n 1] 6 y[ n 2] x[ n], con x[ n] u[ n], y[ 1] 3, y[ 2] 2(c)1 1 1y[ n] y[ n 1] y[ n 2] x[ n], y[ 1] 0, y[ 2] 1, x[ n] u[ n]2 4 3n433

CAPÍTULO 7MODULACIÓN DE AMPLITUD434

CAPÍTULO 7: MODULACIÓN DE AMPLITUD7.1 IntroducciónAhora nos ocuparemos de la transmisión de mensajes formados por señales continuas (analógicas). Cadaseñal de mensaje se selecciona de un número infinito de formas de onda posibles. Por ejemplo, en latransmisión de radio y televisión se tiene un número infinito de mensajes posibles y no todas las formas deondas son conocidas. Esa colección de mensajes y formas de ondas puede ser modelada convenientementemediante procesos aleatorios continuos, en donde cada función miembro del proceso aleatorio correspondea una forma de onda del mensaje. Para el análisis se define la transmisión de señales analógicas como latransmisión por un canal dado de una señal x(t) de pasabajas, arbitraria y de energía finita. En algunos casostomaremos a x(t) como una señal de un solo tono (sinusoidal o de potencia).Si el canal es de pasabajas por naturaleza, la señal de pasabajas portadora de la información (o señal delmensaje) puede transmitirse por el canal sin modificaciones. Esta clase de transmisión se conoce comocomunicación en la banda base. La transmisión de esa señal por un canal de comunicaciones depasabandas, como una línea telefónica o un canal satelital, requiere una adaptación obtenida mediante uncorrimiento de la banda de frecuencias contenidas en la señal a otra banda de frecuencias adecuada para latransmisión. Este corrimiento o traslación se alcanza mediante el proceso conocido como modulación.La modulación es una operación realizada en el transmisor para obtener una transmisión eficiente yconfiable de la información y consiste en la variación sistemática de algún atributo de una onda portadora omodulada, como por ejemplo la amplitud, la fase o la frecuencia, de acuerdo con una función de la señal delmensaje o señal moduladora. Aunque hay muchas técnicas de modulación, es posible identificar dos tiposbásicos de ellas: la modulación de onda portadora continua (OC) y la modulación de pulsos. En lamodulación OC, la onda portadora es continua (usualmente una onda sinusoidal), y se cambia alguno de susparámetros proporcionalmente a la señal del mensaje. En la modulación de pulsos, la onda portadora es unaseñal de pulsos (con frecuencia una onda de pulsos) y se cambia un parámetro de ella en proporción a laseñal del mensaje. En ambos casos, el atributo de la portadora puede ser cambiado en una forma continua odiscreta. La modulación de pulsos discretos (digital) es un proceso discreto y es especialmente apropiadopara mensajes que son discretos por naturaleza, como, por ejemplo, la salida de un teletipo. Sin embargo,con la ayuda del muestreo y la cuantización, se pueden transmitir señales del mensaje que varíancontinuamente (analógicas) usando técnicas de modulación digital.435

La modulación, además de usarse en los sistemas de comunicación para adaptar las características de laseñal a las características del canal, también se utiliza para reducir el ruido y la interferencia, para transmitirsimultáneamente varias señales por un mismo canal y para superar limitaciones físicas en el equipo.El análisis de Fourier se adapta extremadamente bien para el análisis de señales moduladas; este estudioes el objetivo principal de este capítulo.7.1.1 Necesidad de la ModulaciónAntes de comenzar una discusión cuantitativa de sistemas de modulación, se examinarán las ventajas deusar señales moduladas para la transmisión de información. Ya hemos mencionado que se requieremodulación para adaptar la señal al canal. Sin embargo, esta adaptación involucra varios aspectosimportantes que merecen una explicación adicional.Modulación para Facilidad de Radiación. Si el canal de comunicación consiste del espacio libre,entonces se necesitan antenas para radiar y recibir la señal. La radiación electromagnética eficiente requierede antenas cuyas dimensiones sean del mismo orden de magnitud que la longitud de onda de la señal queestá siendo radiada. Muchas señales, incluyendo las de audio, tienen componentes de frecuencia que llegana 100 Hz o menos. Para estas señales, seríann necesarias antenas de alrededor de 300 Km de longitud si laseñal se fuese a radiar directamente. Si se usa modulación para imprimir la señal del mensaje sobre unaportadora de alta frecuencia, digamos a 100 MHz, entonces las antenas no necesitan tener una longitud demás de un metro (longitud transversal).Modulación para Concentración o Multicanalización. Si más de una señal usa un solo canal, lamodulación puede usarse para trasladar diferentes señales a posiciones espectrales diferentes permitiendoasí al receptor seleccionar la señal deseada. Las aplicaciones de la concentración (“multiplexing” en inglés)incluyen la telemetría de datos, radiodifusión FM estereofónica y telefonía de larga distancia.Modulación para Superar Limitaciones en el Equipo. El rendimiento de los dispositivos deprocesamiento de señales tales como filtros y amplificadores, y la facilidad con la cual estos dispositivospueden construirse, depende de la situación de la señal en el dominio de la frecuencia y de la relación entrelas frecuencias más alta y más baja de la señal. La modulación puede ser usada para trasladar la señal a unaposición en el dominio de la frecuencia donde se cumplan fácilmente los requerimientos de diseño. La436

modulación también puede usarse para convertir una “señal de banda ancha” (una señal para la cual larelación entre la frecuencia mayor y la menor es grande) en una señal de “banda angosta”.Ocasionalmente, en aplicaciones de procesamiento de señales, la banda de frecuencias de la señal aprocesar y la banda de frecuencias del aparato procesador pueden no adaptarse. Si el procesador eselaborado y complejo, puede ser mejor dejar que opere en alguna banda de frecuencias fija y, más bien,trasladar la banda de frecuencias de la señal para que se corresponda con esta banda fija del equipo. Lamodulación puede usarse para obtener esta traslación de frecuencias.Modulación para Asignación de Frecuencias. La modulación permite que varias estaciones de radio otelevisión se transmitan simultáneamente con frecuencias portadoras diferentes y permite “sintonizar”diferentes receptores para seleccionar estaciones diferentes.Modulación para Reducir el Ruido y la Interferencia. El efecto del ruido y la interferencia no puedenser eliminados completamente en un sistema de comunicación. Sin embargo, es posible minimizar susefectos usando ciertos tipos de esquemas de modulación. Estos esquemas generalmente requieren un anchode banda de transmisión mucho mayor que el ancho de banda de la señal del mensaje. Por esta razón seintercambia ancho de banda por reducción de ruido – un aspecto importante del diseño de sistemas decomunicación.7.2 Tipos de Modulación AnalógicaLos tipos básicos de modulación analógica son la modulación de onda continua (OC) y la de pulsos.En la modulación de onda continua, se usa una señal sinusoidal x ( t) A cos( t ) como unac c cseñal portadora. Entonces una señal portadora modulada general puede ser representadamatemáticamente comox ( t) A( t)cos t ( t) , 2 f(7.1)c c c cEn la Ec. (7.1), f c se conoce como la frecuencia portadora, A(t) es la amplitud instantánea de laportadora y (t) es el ángulo o desviación de fase instantánea de la portadora. Cuando A(t) estárelacionada linealmente con la señal del mensaje x(t), el resultado es modulación de amplitud. Si (t) osu derivada está linealmente relacionada con x(t), entonces tenemos modulación de fase o de437

frecuencia. Se usa el nombre común de modulación angular para denotar tanto la modulación de fasecomo la de frecuencia.Mientras la modulación es el proceso de transferir información a una portadora, la operación inversade extraer la señal portadora de la información de la portadora modulada se conoce comodemodulación. Para diferentes tipos de esquemas de modulación consideraremos diferentes métodos dedemodulación y supondremos que la demodulación se hace en la ausencia de ruido. El efecto del ruidosobre la calidad de la señal de salida de diferentes métodos de transmisión modulada será el objetivo dela discusión en un capítulo posterior.En el análisis de los esquemas de modulación OC se prestará mucha atención a tres parámetrosimportantes: la potencia transmitida, el ancho de banda de transmisión y la complejidad del equipo paramodular y demodular. Estos parámetros, junto con la calidad de la señal de salida en la presencia deruido, proporcionarán la base para la comparación de diferentes esquemas de modulación.En la modulación de pulsos, un tren periódico de pulsos cortos actúa como la señal portadora.7.3 Transmisión de Señales de Banda Base AnalógicasLos sistemas de comunicación en los cuales ocurre la transmisión de señales sin modulación sedenominan sistemas de banda base. En la Fig. 7.1 se muestran los elementos funcionales de un sistemas decomunicación de banda base. El transmisor y el receptor amplifican la potencia de la señal y realizan lasoperaciones de filtrado apropiadas. En el sistema no se ejecutan operaciones de modulación nidemodulación. El ruido y la distorsión de la señal debidos a las características no ideales del canal hacenque la señal de salida y(t) sea diferente de la señal de entrada x(t). Ahora se identificarán diferentes tipos dedistorsión, sus causas y las curas posibles. En un capítulo posterior se discutirán los efectos del ruido sobrela calidad de la señal y el diseño óptimo del transmisor y receptor que minimiza esos efectos.Ruidoa x(t)Señal deentradaTransmisorCanalH c (f)ReceptorbSeñal desalida + ruidoFigura 7.1 Un sistema de comunicación de banda base.438

7.3.1 Distorsión de la Señal en la Transmisión en la Banda BaseSe dice que la señal de salida y(t) no está distorsionada si “se parece” a la señal de entrada x(t). Másespecíficamente, si y(t) difiere de x(t) por una constante de proporcionalidad y un retardo temporal finito,entonces se dice que la transmisión no está distorsionada. Es decir,y( t) Kx ( t t d)(7.2)para transmisión sin distorsión. La constante K es la atenuación y t d es el retardo temporal. La pérdida depotencia en la transmisión es 20log10para varios medios.K y en la Tabla 1 se dan valores típicos de pérdidas de transmisiónEl requisito para transmisión sin distorsión expresado por la Ec. (7.2) puede cumplirse si la función detransferencia total del sistema entre los puntos a y b en la Fig. 7.1 esH ( f ) K exp( j2 ft ) para f f(7.3)donde f x es el ancho de banda de la señal en la banda base. Si suponemos que el transmisor y el receptor noproducen distorsión de la señal, entonces la respuesta del canal tiene que satisfacerpara una transmisión sin distorsión.dH ( f ) K exp( j2 ft ) para f f(7.4)c d xLa condición dada por la Ec. (7.4) es bastante fuerte y, en el mejor de los casos, los canales reales sólopueden satisfacer esta condición aproximadamente. Por ello, siempre ocurrirá algo de distorsión en latransmisión de señales aunque se puede minimizar mediante un diseño apropiado. Un enfoque convenientepara minimizar la distorsión de una señal es identificar diferentes tipos de distorsión e intentar minimizarsus efectos dañinos por separado.xTabla 1. Valores típicos de pérdidas de transmisiónMedio de Transmisión Frecuencia Pérdida,dB/kmPar de alambres (0.3 cm de diámetro) 1 kHz 0.05Par de alambres trenzados (calibre 16)10kHz2100 kHz3439

300kHz 6Cable coaxial (1 cm de diámetro)100 kHz11 MHz23 MHz4Cable coaxial (15 cm de diámetro) 100 MHz 1.5Guía de onda rectangular (52.5 cm) 10 GHz 5Guía de onda helicoidal (5 cm de100 GHz 1.5diámetro)Cable de fibra óptica3.610 14 Hz2.52.410 14 Hz0.51.810 14 Hz0.2Los tres tipos comunes de distorsión encontrados en un canal son:1. Distorsión de amplitud debida a |H c (f)| K.2. Distorsión de fase (o retardo) debida a queángulo{ H ( f )} 2 ft m ( m es un entero 0)c3. Distorsión no lineal debida a elementos no lineales presentes en el canal.dLas primeras dos categorías se conocen como distorsión lineal y la tercera como distorsión no lineal. Ahoralas examinaremos por separado.7.3.2 Distorsión LinealSi la respuesta de amplitud del canal no es plana en la banda de frecuencias para las cuales el espectro dela entrada es diferente de cero, entonces diferentes componentes espectrales de la señal de entrada sonmodificados en forma diferente. El resultado es distorsión de amplitud. Las formas más comunes de ladistorsión de amplitud son la atenuación excesiva o el realce de las bajas frecuencias en el espectro de laseñal. Resultados experimentales indican que si |H c (f)| es constante hasta dentro de 1 dB en la banda del440

mensaje, entonces la distorsión de amplitud será despreciable. Más allá de estas observaciones cualitativas,no se puede decir mucho sobre la distorsión de amplitud sin un análisis más detallado.Si el desplazamiento de fase es arbitrario, diferentes componentes de la señal de entrada sufren retardostemporales diferentes lo cual resulta en distorsión de fase o de retardo. Una componente espectral de laentrada con frecuencia f sufre un retardo t d (f),tdángulo de { H( f )}( f ) 2f(7.5)El lector puede verificar que un ángulo de { H ( f )} 2t df m resultará en una respuestay( t) x( t t d) , es decir, no ocurre distorsión. Cualquier otra respuesta de fase, incluyendo undesplazamiento constante de fase , m, producirá distorsión.La distorsión por retardo es un problema crítico en la transmisión de pulsos (datos). No obstante, el oídohumano es sorprendentemente insensible a esta distorsión y por tanto la distorsión por retardo no espreocupante en la transmisión de audio.7.3.3 CompensaciónEl remedio teórico para la distorsión lineal es la compensación mostrada en la Fig. 7.2. Si la función detransferencia del compensador satisface la relaciónK exp( j2 ftd)Heq para f fx(7.6)H ( f )ctenemos entonces que H ( f ) H ( f ) K exp( j2 ft ) y no se tendrá distorsión. Sin embargo, es muyc eq draro que se pueda diseñar un compensador que satisfaga exactamente la Ec. (7.6). Pero son posiblesexcelentes aproximaciones, especialmente con un filtro transversal como el mostrado en la Fig. 7.3.x(t)CanalH c (f)CompensadorH eq (f)salidaFigura 7.2 Compensador del canal.La salida del compensador mostrado en la Fig. 7.3 puede escribirse comoy( t) c z ( t) c z ( t ) c z ( t 2 )1 0 1441

a partir de la cual obtenemos la función de transferencia del filtro comoH ( f ) c c exp( j) c exp( j2 ), 2feq1 0 1Generalizando esta relación a un compensador con 2M + 1 derivaciones, tenemos entonces queMHeq( f ) exp( jM ) cmexp( jm)(7.7)mMque está en la forma de una serie de Fourier exponencial con periodicidad 1/. Por lo tanto, si se va acompensar el canal en la banda f m del mensaje, podemos aproximar el lado derecho de la Ec. (7.6) medianteuna serie de Fourier (en el dominio de la frecuencia) con periodicidad 1/ 2f m . Si la aproximación en seriede Fourier tiene 2M + 1 términos, entonces se necesita un compensador con 2M + 1 derivaciones.entradax(t)RetardoRetardoc –1 c 0 c 1++++y(t)salidaFigura 7.3 Un filtro transversal compensador de tres derivaciones.7.3.4 Distorsión No Lineal y CompansiónLos canales y dispositivos electrónicos prácticos, tales como amplificadores, con frecuencia exhibencaracterísticas de transferencia no lineales que resultan en una distorsión no lineal de la señal. En la Fig. 7.4se muestra un ejemplo de la característica de transferencia de un elemento no lineal sin memoria. Engeneral, estos dispositivos actúan linealmente cuando la entrada x(t) es pequeña, pero distorsionan la señalcuando la amplitud de la entrada es grande.442

Entradax(t)AproximaciónlinealSaliday(t)Característica detransferencia realFigura 7.4 Característica de transferencia de un dispositivo no lineal.Para investigar la naturaleza de la distorsión no lineal de la señal, supongamos que la característica detransferencia del dispositivo no lineal puede ser modelada por la relacióny( t) a x( t) a x ( t) a x ( t) (7.8)2 31 2 3Ahora, si la entrada es la suma de dos ondas coseno, digamos cos2f 1t cos2 f2t, entonces la salidacontendrá términos de distorsión armónica en las frecuencias 2f 1 , 2f 2 y términos de distorsión deintermodulación en las frecuencias f1 f2 , 2 f2 f1 , 2 f1 f2, y así sucesivamente. En un caso general,si x(t) = x 1 (t) + x 2 (t), entonces y(t) contendrá los términosx ( t), x ( t), x ( t) x ( t ) , y así sucesivamente.2 21 2 1 2En el dominio de la frecuencia es fácil ver que aunque X 1 (f) y X 2 (f) puedan estar separadas en frecuencia, elespectro de x1( t) x2( t ) [obtenido a partir de X1( f ) X2( f ) ] puede solaparse con X 1 (f) o X 2 (f) o conambas. Esta forma de distorsión por intermodulación (o diafonía) es de importancia en sistemas dondevarias señales son concentradas (multicanalizadas) y transmitidas por el mismo canal.La característica de transferencia mostrada en la Fig. 7.4 sugiere que una solución para minimizar ladistorsión no lineal es mantener la amplitud de la señal dentro de la banda lineal de operación de lacaracterística. Esto se obtiene usualmente usando dos dispositivos no lineales, un compresor y un expansor,como se muestra en la Fig. 7.5.Un compresor esencialmente reduce la banda de amplitudes de una señal de entrada de manera que caigadentro de la banda lineal del canal. Para una señal x(t) de valores positivos, por ejemplo, podemos usar uncompresor con una característica de transferencia gcomp [ x( t)] loge[ x( t)]. Puesto que un compresorreduce la banda de la señal de entrada, también reduce la banda de la señal de salida. La señal de salida esexpandida al nivel apropiado mediante el expansor que opera a la salida del canal. Idealmente, un expansortiene una característica de transferencia g exp que produce gexp { gcomp[ x( t)]} x( t). Por ejemplo, si443

gcomp [ x( t)] loge[ x( t)], entonces g exp[ y ( t )] exp[ y ( t )] producirá gexp { gcomp[ x( t)]} x( t). Laoperación combinada de comprimir y expandir se denomina compansión. La compansión se usaextensivamente en sistemas telefónicos para compensar por la diferencia en el nivel de la señal entreoradores altos y bajos.x(t)CompresorCanal(supuestono lineal)Expansory(t)Figura 7.5 Compansión.7.4 Esquemas de Modulación Lineales OCLa modulación lineal se refiere al corrimiento directo de frecuencias del espectro del mensaje usandouna portadora sinusoidal. La portadora modulada es representada porx ( t) A( t)cos t(7.9)cen la cual la amplitud de la portadora A(t) está relacionada linealmente con la señal del mensaje x(t).Dependiendo de la naturaleza de la relación espectral entre x(t) y A(t), tenemos los siguientes tipos deesquemas de modulación lineal: modulación de banda lateral doble (DSB, por sus siglas en inglés),modulación de amplitud (AM), modulación de banda lateral única (SSB por sus siglas en inglés) ymodulación de banda lateral residual (VSB por sus siglas en inglés). Cada uno de estos esquemas tienesus propias ventajas distintivas, desventajas y aplicaciones prácticas. Ahora estudiaremos estosdiferentes tipos de esquemas de modulación lineal recalcando tópicos tales como los espectros de lasseñales, potencia y ancho de banda, métodos de demodulación y la complejidad de transmisores yreceptores.En nuestra discusión sobre esquemas de modulación lineales, usaremos uno de tres modelosdiferentes para la señal del mensaje x(t): un solo tono de frecuencia, f x , una combinación de tonosrestringidos en frecuencia a menores o iguales que f x , o una señal arbitraria de pasabajas de energíafinita con una transformada de Fourier X(f), la cual es idénticamente igual a cero para fc f .x7.4.1 Modulación de Banda Lateral Doble (DSB)444

La modulación de banda lateral doble (DSB, por sus iniciales en inglés) resulta cuando la amplitud A(t) esproporcional a la señal del mensaje x(t), es decir, el mensaje de pasabajas x(t) es multiplicado por una formade onda portadoraA cos t, como se muestra en la Fig. 7.6a. La señal modulada x c (t) esccx ( t) A x( t)cos t A( t)cos t, 2 f(7.10)c c c c c cy se llama la señal modulada en banda lateral doble. La Ec. (7.10) revela que la amplitud instantánea de laportadora A(t) es proporcional a la señal del mensaje x(t). Un ejemplo en el dominio del tiempo de la señalmodulada x(t) se muestra en la Fig. 7.6d para una señal del mensaje sinusoidal.Del teorema de modulación se deduce que el espectro de la señal DSB dada en la Ec. (7.10) esX ( f ) A [ X ( f f ) X ( f f )](7.11)1c 2 c c cdonde f c = c /2. Las representaciones en el dominio de la frecuencia de X(f) y X c (f) se muestran en lasFigs. 7.6e y 7.6f para una señal de mensaje de pasabajas.La banda espectral ocupada por la señal del mensaje se llama la banda de frecuencias de la banda base yla señal del mensaje usualmente se conoce como la señal de la banda base. La operación de multiplicarseñales se llama mezclado o heterodinaje. En la señal trasladada, la parte del espectro de la señal de labanda base que está sobre f c aparece en el intervalo f c a f c + f x y se denomina la señal de la banda lateralsuperior. La parte de la señal modulada que está entre f c f x y f c se llama la señal de la banda lateralinferior. La señal portadora de frecuencia f c también se conoce como la señal del oscilador local, la señalmezcladora o la señal heterodina. Como se observa en la Fig. 7.6f, el espectro de X c (f) no tiene unaportadora identificable. Por ello, este tipo de modulación también se conoce como modulación de bandalateral doble con portadora suprimida (DSB-SC). La frecuencia portadora f c es normalmente mucho másalta que el ancho de banda de la señal de la banda base f x . Es decir,fc f(7.12)x445

x(t)x c (t)x r (t)z(t)Filtro depasabajasy(t)A cos t2cos c tcc(a) Modulador(b) Demodulador sincrónicot(c) Moduladora sinusoidalInversión de faset(d) Señal moduladaX(f)–f xf c + f xf x0 f c – f x f c2f x0 f(e) Espectro del mensajeBanda lateralX c (f) inferior–f c – f x –f c + f x –f cfBanda lateralsuperior(e) Espectro DSBZ(f)Respuesta del filtrode banda base–2f c –f x 0f x2f c – f x2f c 2f c + f xf(f)Figura 7.6 Modulación de banda lateral doble. (a) Modulador. (b) Demodulador sincrónico(o coherente). (c) Señal moduladora sinusoidal. (d) Señal modulada. (e) Espectro delmensaje para una x(t) arbitraria. (f) X c (f). (g) Z(f).446

Potencia y Ancho de Banda de la Señal Transmitida. De la Fig. 7.6f vemos que el ancho de banda B Trequerido para transmitir una señal del mensaje con ancho de banda f x usando modulación de banda lateraldoble es 2f x Hz:BT 2 f(7.13)xPara calcular la potencia transmitida promedio S T de la señal modulada, supongamos que x(t) es una señalde potencia. Entonces,1S A x t t dtT 22 2 2T límc( )cos (c)T TT2T 2 T 2 2 21 Ac 2Ac2 lím x ( t) dt x ( t)cos 2ct dtT T 2 2T2 T2El valor de la segunda integral es cero, y si definimos la potencia promedio de la señal S x comoT 212S lím x ( t ) dtentoncesxT TT2S S S(7.14)T c xdondeSc A 2 es la potencia promedio de la portadora.2cDemodulación de la Señal de la Banda Base. Si suponemos que el canal es ideal, entonces la señalrecibida x r (t) tendrá la misma forma que x c (t). Es decir,x ( t) a x( t)cos tr c cdonde a c /A c es la atenuación del canal. La señal del mensaje en la banda base x(t) puede ser recuperada dela señal recibida x r (t) multiplicando x r (t) por una portadora local y filtrando a pasabajas la señal producto.La salida del multiplicador esy el espectro de Z(f) está dado porz ( t ) [ a x( t )cos t ]2cos tc c c a x( t ) a x( t )cos 2tc c cZ ( f ) a X ( f ) a [ X ( f 2 f ) X ( f f )]1c 2 c c cEl espectro de Z(f) se muestra en la Fig. 7.6g, de la cual es obvio que si447

f 2 f f o f fx c x c xentonces no hay solapamiento de X(f) con X(f 2f c ) o con X(f + 2f c ). Por tanto, filtrando Z(f) mediante unfiltro de pasabajas con una frecuencia de corte B, f x < B < 2f c f x producirá una señal de salida y(t),y(t) = a c x(t)que es una réplica de la señal del mensaje transmitida x(t).Aunque el ancho de banda del filtro de pasabajas puede estar entre f x y 2f c f x , él debe ser tan pequeñocomo sea posible para reducir los efectos de cualquier ruido que pueda acompañar la señal recibida. Si hayruido presente, entonces se debe insertar un filtro de pasabandas con una frecuencia central f c y un ancho debanda de 2f x antes del multiplicador en la Fig. 7.6b para limitar la potencia de ruido que entra aldemodulador.El esquema de recuperación de la señal mostrado en la Fig. 7.6b se denomina un esquema dedemodulación sincrónico o coherente. Este esquema requiere que en el receptor esté disponible una señalde un oscilador local que esté perfectamente sincronizado con la señal portadora usada para generar la señalmodulada. Éste es un requisito bastante rígido y no puede obtenerse fácilmente en sistemas prácticos. Lafalta de sincronismo resultará en distorsión de la señal. Suponga que la señal del oscilador local tiene unadesviación de frecuencia igual a y y una desviación de fase igual a . Entonces la señal producto z(t)tendrá la formay la señal de salida y(t) seráz ( t) a x( t)cos( t ) términos de frecuencia doblecy( t) a x( t)cos( t )(7.15)cMás adelante se verificará que cuando = 0 y = /2, la señal se pierde completamente. Cuando 0 ,entonces y( t) a x( t)cos t variará provocando una seria distorsión de la señal. Este problema escbastante grave ya que usualmente f c >> f x de modo que aun un error porcentual pequeño en f c ocasionaráuna desviación f que puede ser ¡comparable o mayor que f x ! La evidencia experimental indica que paraseñales de audio, una f > 30 Hz se convierte en inaceptable. Para señales de audio puede ser posibleajustar manualmente la frecuencia y la fase de la portadora local hasta que la salida “suene” bien.Desafortunadamente, las desviaciones de fase y de frecuencia de la portadora con frecuencia son cantidadesque varían con el tiempo requiriendo entonces ajustes casi continuos.448

Existen varias técnicas usada para generar una portadora coherente para la demodulación. En el métodomostrado en la Fig. 7.7, se extrae una componente de la portadora de la señal DSB usando un circuitocuadrático y un filtro de pasabandas. Si x(t) tiene un valor CD igual a cero, entonces x c (t) no tiene ningunacomponente espectral en f c . No obstante, x 2 (t) tendrá una componente CD diferente de cero y por tanto sepuede extraer una componente de frecuencia discreta en 2f c del espectro dex2 () t usando un filtro con unapasabanda angosta. La frecuencia de esta componente puede ser reducida a la mitad para proporcionar laportadora deseada para la modulación.rSeñal DSBx r (t)CircuitocuadráticoBPF centradoen 2f cDivisor defrecuenciaSeñal desincronizaciónFigura 7.7 Un sincronizador cuadrático.En el segundo método mostrado en la Fig. 7.8, una pequeña señal portadora (piloto) se transmite juntocon la señal DSB; en el receptor, la portadora piloto puede extraerse, amplificarse y usarse como unaportadora local sincronizada para la demodulación (Fig. 7.8b).Si la amplitud de la portadora insertada es lo suficientemente grande, entonces la señal recibida puede serdemodulada sin tener que generar la portadora en el receptor. Una señal DSB con una componente deportadora discreta grande se llama una señal modulada en amplitud (AM).x(t)x c (t)Señal DSB+portadoraLPFy(t)A cos tcc(a)Filtro deportadora(b)AmplificadorFigura 7.8 Sistema DSB con portadora piloto. (a) Transmisor. (b) ReceptorEjemplo 1. Evalúe el efecto de un error de fase en el oscilador local en la demodulación de banda lateraldoble sincrónica.449

Solución. Suponga que el error de fase del oscilador local es . Entonces la portadora local es expresadacomo cos( t c) . Ahora, x ( ) ( )cos DSBt m t ctdonde m(t) es la señal del mensaje y si designamos la salida del multiplicador en la Fig. 7.6b por d(t),entoncesd ( t ) [ m( t )cos t ]cos( t )c1 m( t )[cos cos(2 ct )21 1 m( t )cos m( t )cos(2 ct )2 2El segundo término en el lado derecho es eliminado por el filtro de pasabajas y obtenemosc1y ( t ) m( t )cos (7.16)2Esta salida es proporcional a m(t) cuando es una constante. La salida se pierde completamente cuando 2 . Así pues, el error de fase en la portadora local produce atenuación en la señal de salida sinninguna distorsión siempre que sea constante pero diferente de ±/2. Si el error de fase varíaaleatoriamente con el tiempo, entonces la salida también variará aleatoriamente y es decir indeseable.Ejemplo 2. Evalúe el efecto de un pequeño error de frecuencia en el oscilador local en la demodulaciónDSB sincrónica.Solución. Suponga que el error de frecuencia del oscilador local es . La portadora local es expresadaentonces como cos( ) t . Así quecyd ( t ) m( t )cos t cos( )tcc1 1 m( t )cos( ) t m( t )cos 2ct2 21y ( t ) m( t )cos( ) t(7.17)2450

Es decir, la salida es la señal m(t) multiplicada por una sinusoide de baja frecuencia. Es decir un efecto de“batido” y, como ya se mencionó, es una distorsión muy indeseable.7.4.2 Modulación de Amplitud Ordinaria (AM)Una señal modulada en amplitud es generada añadiendo una componente grande de portadora a la señalDSB. La señal AM tiene la formax ( t) A [1 x( t)]cos t(7.18)c c c A( t)cos ct(7.19)donde A(t) es la envolvente de la portadora modulada. Para una recuperación fácil de la señal usandoesquemas de demodulación sencillos, la amplitud de la señal tiene que ser pequeña y la componente CD dela señal tiene que ser igual a cero, es decir,T 21x( t ) 1 y lím x( t ) dt 0T TT2Más adelante se explicará la necesidad de estas restricciones.En el dominio de la frecuencia, el espectro de la señal AM está dado porX ( f ) A [ X ( f f ) X ( f f )]1c 2 c c c A [ ( f f ) ( f f )]12c c cEn la Fig. 7.9 se muestran ejemplos de señales AM en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia.(7.20)451

x(t)x c (t)envolventett(a)X(f)(b)–f x 0 f x f(c)banda lateralinferior–f c 0 f c – f x f c f c + f x(d)portadorabanda lateralsuperiorFigura 7.9 Modulación de amplitud. (a) señal del mensaje sinusoidal. Señal AM. (c)Espectro del mensaje para una señal arbitraria x(t). (d) Espectro de la señal modulada.7.4.3 Índice de ModulaciónDos características únicas de la señal AM son que está presente una componente con frecuencia de laportadora y que la envolvente A(t) de la portadora modulada tiene la misma forma que x(t) siempre quefc f y que A( t) A [1 x( t)]no se haga negativa. Nuestra suposición de que |x(t)| < 1 garantizaxcque A(t) no se hará negativa. Si x(t) es menor que 1, entonces A(t) se hace negativa y resulta una distorsiónde envolvente, como se muestra en la Fig. 7.10.Un parámetro importante de una señal AM es su índice de modulación m, el cual se define como[ A( t)] máx[ A( t)]m [ A( t)] [ A( t)]máxmínmín(7.21)Cuando m es mayor que 1 se dice que la portadora está sobremodulada, resultando en distorsión deenvolvente.7.4.4 Potencia y Ancho de Banda de la Señal TransmitidaDe la Fig. 7.9d vemos que el ancho de banda de la señal AM esB T = 2f x452

Suponiendo que x(t) es una señal de potencia, podemos calcular la potencia promedio de la señaltransmitida comoT 22 2 2T límc[1 ( )] coscT T 2S A x t t dtT 22 Ac2lím [1 ( ) 2 ( )][1 cos 2c]T 2T2 x t x t t dtS S S(7.22)c c xdondeSc A 2 y S x es la potencia promedio normalizada de la señal.2cLa onda portadora por sí sola, sin modulación, no transporta ninguna información hasta el receptor. Porello, podemos concluir que una porción de la potencia transmitida S T es “desperdiciada” en la portadora.Más adelante veremos que la simplicidad de los demoduladores AM depende de esta potencia y, por tanto,la portadora no es del todo una pérdida.x c (t)A(t)distorsión deenvolventeA cA cA ctt(a)(b)Figura 7.10 Distorsión de envolvente de una señal AM. (a) Señal modulada. (b) Envolvente A(t).Para señales AM, el porcentaje de la potencia total que lleva información se usa como una medida de laeficiencia de potencia. Ésta se denota por y la definimos comoSSScx S Sc c x(7.23)453

Se deja como un ejercicio demostrar que la máxima eficiencia para una señal arbitraria x(t) es 50% y, comose demostrará más adelante, la máxima eficiencia para una señal de mensaje en onda seno es 33.3%(recuerde que |x(t)| < 1 y por tanto S x 1).Ejemplo 3. Una estación AM comercial está transmitiendo con una potencia promedio de 10 kW. El índicede modulación es 0.707 para una señal del mensaje sinusoidal. Determine la eficiencia de potencia detransmisión y la potencia promedio en la componente de portadora de la señal transmitida.Solución. Para una señal del mensaje sinusoidal con un índice de modulación de 0.707, la señal moduladaestá dada porPor lo tanto,x ( t) A (1 0.707cos t)cos tc c x cS x12(0.707) 0.2520.25Sc S 0.25Scc 20%Ahora, S c + 0.25S c = 10 kW, y de aquí que S c = 8 kW. Observe la proporción entre la potencia usada paratransmitir información y la usada para transmitir la portadora.Ejemplo 4. Otra forma de escribir la eficiencia de la AM ordinaria es como el porcentaje de la potenciatotal llevada por las bandas laterales, es decir,Ps (7.24)donde P s es la potencia transportada por las bandas laterales y P t es la potencia total de la señal AM. (a)Determine para m = 0.5 (50 % de modulación). (b) Demuestre que para AM de un solo tono, máx es 33.3% para m = 1.Solución. Para modulación de un solo tonoPtel índice de modulación esx( t) a cos tmam Amcm454

Por lo tanto,y la señal AM es entoncesoentoncesLa potencia total P t esAsí pues,con la condición que m 1.(a) Para m = 0.5,x( t) a cos t mA cos tm m c mx ( t) [ A x( t)]cos t A [1 mcos t]cos tc c c c m cx ( t ) A cos t mA cos t cos tc c c c m c A cos t mA cos( ) t mA cos( ) t1 1c c 2 c c m 2 c c mP c = potencia en la portadora =A1 22 cP s = potencia en las bandas laterales = 1 12121 2 2mA2 2 cmA2 c m A4 cP P P A m A 1m A1 2 1 2 2 1 1 2 2t c s 2 c 4 c 2 2 c1 2 2 2PsmA4 cm 100% 100% 100%2P m A 2 mt1 12 42 2c2(0.5) 100% 11.1%22 (0.5)(b) Como m 1, se puede ver que máz ocurre para m = 1 y está dada por1 100% 33.3%27.4.5 Demodulación de Señales AMLa ventaja de la modulación AM sobre la DSB es que un esquema muy sencillo, conocido comodetección de envolvente, puede ser usado para la demodulación si se transmite suficiente potencia deportadora. La señal del mensaje en la banda base x(t) puede ser recuperada de la señal AM x r (t) usando elcircuito sencillo mostrado en la Fig. 7.11a. La Ec. (7.18) muestra que siempre que |x(t)| < 1, la envolventede la señal recibida nunca pasará por cero y la porción positiva de la envolvente se aproxima a la señal delmensaje x(t) sin depender de la fase o frecuencia exactas de la portadora. La parte positiva de la envolventees recuperada mediante la rectificación de x r (t) y suavizando la onda rectificada usando una red RC.455

Durante el semiciclo positivo de la señal de entrada, el diodo es polarizado directamente y el capacitor C secarga rápidamente hasta el valor pico de la señal. Conforme la señal de entrada cae por debajo de sumáximo, el diodo se abre y es decir seguido por una descarga lenta del capacitor a través del resistor R hastael próximo semiciclo positivo, cuando la señal de entrada excede el voltaje del capacitor y el diodo conducede nuevo. El capacitor se carga hasta el nuevo valor pico, y el proceso se repite.Para una mejor operación, la frecuencia de la portadora debe ser mucho más alta que f x , y la constante detiempo de la descarga del circuito RC debe ser ajustada de modo que la pendiente máxima negativa de laenvolvente nunca excederá la tasa de descarga exponencial. Si la constante de tiempo es demasiado grande,entonces el detector de envolvente no puede seguir a la envolvente (Fig. 7.11c). Si la constante esdemasiado pequeña se generará una onda demasiado distorsionada (Fig. 7.11d) y la demodulación se haceineficiente.Bajo condiciones de operación ideales, la salida del demodulador esz ( t) k k x( t)1 2donde k 1 es una desviación de CD debida a la portadora y k 2 es la ganancia del circuito demodulador. Sepuede usar un capacitor de acoplamiento o un transformador para remover la desviación CD; sin embargo,cualquier término CD en la señal del mensaje x(t) también será eliminado [una de las razones para nuestrasuposición de que el valor de x(t) es igual a cero]. Además de remover componentes CD, el filtro deremoción CD atenuará las componentes de baja frecuencia de la señal del mensaje. Por ello, la AM no esadecuada para transmitir señales de mensajes que contienen contenidos significativos de baja frecuencia.Ejemplo 5. La entrada a un detector de envolvente (Fig. 7.11) es una señal AM de un solo tonox ( t) A(1cos t)cos t , donde es una constante, 0 < < 1 y c >> m .c m c456

x r(t)RCz(t)(a)Envolventez(t)Portadoraa ct(b)Envolventez(t)Portadoraa ct(c)Envolventez(t)Portadoraa ct(d)Figura 7.11 Demodulación de envolvente de señales AM. (a) Detectorde envolvente. (b) Demodulación correcta. (c) RC demasiado grande.(d) RC demasiado pequeña.(a) Demuestre que si la salida del detector va a seguir la envolvente de x c (t), se requiere que en todoinstante t 01 senmt0m(7.25)RC 1 cosmt0(b) Demuestre que si la salida del detector va a seguir la envolvente todo el tiempo, se requiere que21 1RC (7.26) Soluciónm457

(a) La Fig. 7.12 muestra la envolvente de x c (t) y la salida del detector (el voltaje en el capacitor en la Fig.7.11). Suponga que el capacitor se descarga de su valor pico E0 A(1 cos 0t)en t 0 = 0. Entoncesel voltaje v c (t) en el capacitor de la Fig. 7.11 está dado porv () t E e c0El intervalo entre dos picos sucesivos de la portadora es 1/f c = 2/ c y RC >> / c . Esto significa quela constante de tiempo RC es mucho mayor que el intervalo entro dos picos sucesivos de la portadora.En consecuencia, v c (t) puede ser aproximada por t vc( t ) E01 RC Así que si v c (t) va a seguir la envolvente de x c (t), se requiere que en cualquier instante t 0 1 1 (1 cos mt0) 1 1 cosmt0 RCfc fcAhora, si m

(b) Escribiendo de nuevo la Ec. (7.25), tenemos1 senmt0mRC 1 cos tm 01 cos t sen tRC RCm 0 m m 0o1 1m sen mt0 cos mt0RC RCo22 1 11 1 m sen mt0 tan RC mTC RCComo esta desigualdad debe cumplirse para todo t 0 , se debe tener queoA partir de la cual se obtiene la relación2 1 1 m RC RC2 2 1 1 m RC RC 22 21RC m12La señal AM también puede ser demodulada pasando x r (t) a través de un dispositivo de ley cuadrática (ocualquier otro tipo de alinealidad que no tenga simetría de función impar) y filtrando la salida al cuadrado.Los detalles de un demodulador de ley cuadrática se dejan como un ejercicio.Los demoduladores de envolvente y de ley cuadrática para señales AM no requieren de una señalsincronizada (coherente) de un oscilador local. Esto detectores son simples, eficientes y su construcción esde bajo costo. Solamente los ahorros en el costo de construir los receptores justifican su uso en muchasaplicaciones de la AM, como, por ejemplo, en la radio comercial. Los factores que conspiran contra lasventajas de la simplicidad del equipo son la potencia desperdiciada en la portadora y la pobre respuesta debaja frecuencia de los sistemas AM que usan demoduladores de envolvente o de ley cuadrada.459

7.4.6 Modulación de Banda Lateral Única (SSB)El requisito de potencia del transmisor y el ancho de banda de transmisión son parámetros importantes deun sistema de comunicación. Los ahorros en el requerimiento de potencia y en el ancho de banda sonaltamente deseables. El esquema AM despilfarra tanto potencia transmitida como ancho de banda detransmisión. El esquema de modulación DSB tiene menos requerimientos de potencia que la AM pero usael mismo ancho de banda que ella. Ambas, la modulación DSB y la AM, retienen las bandas lateralessuperior e inferior de la señal del mensaje resultando en un ancho de banda de transmisión que es el dobledel ancho de banda de la señal del mensaje.El espectro de cualquier señal x(t) de valores reales debe exhibir la condición de simetría dada porX ( f ) X *( f )y por ello las bandas laterales de la AM y DSB están relacionadas en forma única entre sí por la simetría.Dadas entonces la amplitud y la fase de una, siempre podemos reconstruir la otra. De aquí que el ancho debanda puede ser reducido a la mitad si se elimina completamente una banda lateral. Esto conduce a lamodulación de banda lateral única (SSB, por sus siglas en inglés). En la modulación SSB, el ahorro enancho de banda es acompañado por un aumento considerable en la complejidad del equipo.Además de la complejidad del equipo, los sistemas SSB prácticos tienen una pobre respuesta de bajafrecuencia. Es posible una reducción en la complejidad del equipo y mejoras en la respuesta de bajafrecuencia si solamente se suprime parcialmente una banda lateral en lugar de eliminarla completamente.Los esquemas de modulación en los cuales se transmite una banda lateral más un residuo de la segundabanda lateral se conocen como esquemas de modulación de banda lateral residual (VSB por sus siglas eninglés). La modulación VSB se usa ampliamente para transmitir señales de mensajes que tienen anchos debanda muy grandes y contenidos significativos de baja frecuencia (tales como en la transmisión de datos dealta velocidad y en televisión).En la modulación SSB sólo se transmite una de las dos bandas laterales que resultan de la multiplicaciónde la señal del mensaje x(t) con una portadora. En la Fig. 7.13a se muestra la generación de una señal SSBde banda lateral superior mediante el filtrado de una señal DSB, esto se conoce como el método dediscriminación de frecuencia. La recuperación de la señal de la banda base mediante demodulaciónsincrónica se muestra en la Fig. 7.13b En las Figs. 7.13c, d y e muestran la representación en el dominio de460

la frecuencia de las operaciones importantes en un esquema de modulación SSB. La descripción en eldominio del tiempo de señales SSB es algo más difícil, excepto por el caso de modulación de tonoSeñal DSBx(t)Filtro debanda lateralx c (t) x c (t) z(t) Filtro de y(t)banda baseA cos tcc(a) ModuladorX(f)2cos c t(b) Demodulador–f x 0f xf(c) Espectro de la señalH SSB (f)–f c – f x –f c(d) Filtro de banda lateral ideal0 f c f c + f xfX c (f)–f c – f x(e) Espectro de la señal transmitida–f c0 f c f c + f xfX c (f)– f x0 f xf(f) Señal reconstruidaFigura 7.13 Modulación de banda lateral única.De la Fig. 7.13 se puede verificar que el ancho de banda de la señal SSB esBT f(7.27)xY el promedio de la potencia transmitida es461

1.T 2 c xS S S(7.28)Las operaciones de modulación y demodulación para la señal SSB como se muestran en la Fig. 7.13parecen muy sencillas. Sin embargo, la implementación práctica es bastante difícil por dos razones.Primero, el modulador requiere de un filtro de banda lateral ideal; segundo, el demodulador requiere de unaportadora sincrónica.Las características agudas del corte requerido del filtro de banda lateral H SSB (f) no pueden ser sintetizadasexactamente. Por ello, se debe atenuar una parte de la banda lateral deseada o pasar una porción de la bandalateral no deseada. Afortunadamente, muchas (no todas) señales de mensaje tienen poco o ningún contenidode bajas frecuencias. Estas señales (por ejemplo, de voz o música) tienen “agujeros” a frecuencia cero yestos agujeros aparecen como un espacio vacante centrado en la frecuencia de la portadora. La región detransición de un filtro de banda lateral práctico puede ser acomodada en esta región como se muestra en laFig. 7.14. Como una regla empírica, la relación 2/f c no puede ser menor que 0.01 si se desea unafrecuencia de corte razonable. La anchura de la región de transición 2 está limitada a la anchura del“agujero” en el espectro y para una f c dada, puede no ser posible obtener un valor razonable para la relación2/f c . Para esos casos, el proceso de modulación puede hacerse en dos o más etapas usando una o másfrecuencias portadoras.X(f)X c (f)H SSB (f)0 f x f 0(a) Espectro del mensajef c2(b) Espectro DSBfFigura 7.14 Características del filtro de banda lateral. (a) Espectro del mensaje. (b) Espectro DSB.La señal SSB puede ser generada por otro método denominado el método de desplazamiento o decorrimiento de fase, el cual no requiere de un filtro de banda lateral. Para ilustrar cómo trabaja este método,supongamos que la señal del mensaje tiene la formanx( t ) Xicos(2 fit i ), fn fx(7.29)i1462

Entonces la señal SSB (banda lateral superior) correspondiente a x(t) está dada porPodemos re-escribir x x (t) comoAx ( t ) X cos[2 ( f f ) t ]ncc ici i2 i1Annc xc ( t ) Xicos(2 fit i) cos 2 fct Xisen (2 fit i) sen 2 fct2 i1 i1AcAc [ x( t)cos 2 f ] ˆct x( t)sen 2 fct(7.30)2 2donde xt ˆ( ) se define comonxˆ ( t ) Xisen (2 fit i)(7.31)i1Las Ecs. (7.29), (7.30) y (7.31) sugieren que una señal SSB puede ser generada a partir de dos señales dedoble banda lateral (DSB) que tienen portadoras en cuadratura 1 A cos2 ccty 1 A sen2 cctmoduladas porx(t) y xt ˆ( ). La componente de la señal en cuadratura xt ˆ( )[conocida como la transformada de Hilbert dex(t)], se obtiene a partir de x(t) desplazando la fase de cada componente espectral de x(t) por 90º. En la Fig.7.15 se muestra un modulador SSB de desplazamiento de fase consistente de dos moduladores DSB (deproducto) y redes apropiadas de desplazamiento de fase. El diseño de circuitos para el desplazamiento defase no es trivial y un diseño imperfecto generalmente resulta en distorsión de las componentes de bajafrecuencia.12A x( t)cos tccA cos tcc½ x(t)Desplazamientode 90°++Señal SSBDesplazamientode 90°12A xˆ( t)sen tccFigura 7.15 Modulador SSB por desplazamiento de fase.En lugar de usar un demodulador sincrónico podemos añadir una componente de portadora a la señal SSB(preferiblemente en el transmisor) e intentar demodular la señal SSB usando un demodulador deenvolvente. Sin embargo, este procedimiento conducirá a alguna distorsión de la señal y a desperdiciarpotencia transmitida como se discute en la sección siguiente.463

Ejemplo 6. Demuestre que si la salida del modulador de corrimiento de fase (Fig. 7.16) es una señal SSB,(a) la diferencia de las señales en la unión de suma produce la SSB de banda lateral superior (USB, por sussiglas en inglés) y (b) la suma produce la señal SSB de banda lateral inferior (LSB por sus siglas en inglés).Es decir,es una señal SSB de banda lateral superior yes una señal SSB de banda lateral inferior.x ( t) x ( t) m( t)cos t mˆ( t)sen t(7.32)c USBc cx ( t) x ( t) m( t)cos t mˆ( t)sen t(7.33)c LSBc cSolución(a) Suponga quem( t) M ( ) y mˆ( t ) Mˆ( )Entonces aplicando el teorema de modulación o la propiedad de corrimiento de frecuencia de latransformada de Fourier, tenemos1 1m( t)cos ct M ( c ) M ( c)2 21ˆ1mˆ ( t)sen t M ( ) Mˆ( )c2 j c 2 j cTomando la transformada de Fourier de la Ec. (7.32), se obtiene1 1 1ˆ1( ) ( ) ( ) ( ) ˆ X M M M M ( )c2 c 2 c 2 jc 2 jc También sabemos que464

m( t)cos c tcos c t2sen c t++2mˆ ( t)sen tcFigura 7.16y asíPuesto queytenemosMˆ ( ) j sgn( ) M ( )c c cMˆ ( ) j sgn( ) M ( )c c c1 1Xc( ) M ( c ) M ( c)2 2 1 1 sgn ( c ) M( c ) sgn ( c ) M( c)2 21 1 M( c )[1 sgn ( c )] M( c )[1sgn ( c)]2 2 21 sgn ( c) 0 21sgn ( c) 0X cc 0 c( ) M ( ) M ( c) cc c cla cual se dibuja en la Fig. 7.17b. Vemos que x c (t) es una señal SSB de banda lateral superior.cc465

(b) En una forma similar, tomando la transformada de Fourier de la Ec. (7.33), se obtiene que1 1Xc( ) M ( c )[1sgn ( c )] M ( c )[1 sgn ( c)]2 2Como 21sgn ( c) 0y 21 sgn ( c) 0Tenemos cc ccM()– M 0 M(a)M(+ c )X c ()M(– c )– x 0 c – x 0 c (b)M(+ c )X c () M(– c )(c)Figura 7.17X 0 c( ) M ( ) M ( c) cc c c466

la cual se dibuja en la Fig. 7.17c. Vemos que x c (t) es una señal SSB de banda lateral inferior.Ejemplo 7. Demuestre que una señal SSB puede ser demodulada por el detector sincrónico de la Fig. 7.18,(a) Dibujando el espectro de la señal en cada punto y (b) obteniendo la expresión en el dominio del tiempode las señales en cada punto.x SSBd(t)LPFy(t)cos c tFigura 7.18 Detector sincrónicoSolución(a) Sea M(), el espectro del mensaje m(t), como se muestra en la Fig. 7.19a. Suponga también que x SSB (t)es una señal SSB de banda lateral inferior y que su espectro es X SSB (), como se muestra en la Fig.7.19b. La multiplicación por cos desplaza el espectro de X SSB () hasta c y obtenemos D(), elct1espectro de d(t), Fig. 7.19c. Después de un filtrado de pasabajas, obtenemos Y( ) M( ) , el1espectro de y(t). Así pues, obtenemos y ( t) m( t ) , que es proporcional a m(t).22467

M()– M 0 M(a)X SSB ()– x c0(b)D() c– x 0(c)Y() = ½ M()0(d)Figura 7.19(b) De la Ec. (7.30), la señal x SSB (t) puede ser expresada comoAsí quex ( t) m( t)cos t mˆ( t)sen tSSB c cd ( t ) x ( t )cos tSSBc m t t mˆt t t2( )cosc ( )senccosc m( t )(1 cos 2 t) mˆ( t)sen 2t1 12 c 2 m( t ) m( t )cos 2 t mˆ( t )sen 2t1 1 12 2 c 2Por lo tanto, después del filtrado de pasabajas se obtieney ( t) m( t )12cc468

7.4.7 Modulación de Banda Lateral Residual (VSB)Muchas señales de mensajes como la de video en TV, facsímile y señales de datos de alta velocidadtienen un ancho de banda muy grande y un contenido significativo de baja frecuencia. La modulación SSBtiene una pobre respuesta de baja frecuencia. Aun cuando la DSB trabaja bien para mensajes con altocontenido de bajas frecuencias, el ancho de banda de transmisión de la DSB es el doble del de la SSB. Unesquema de modulación que ofrece el mejor compromiso entre la conservación del ancho de banda,respuesta de baja frecuencia mejorada y mejor eficiencia de potencia es la modulación de banda lateralresidual (VSB, por sus siglas en inglés).La modulación VSB se deriva filtrando señales DSB o AM en una forma tal que se pasa casicompletamente una banda lateral pero solo un residuo de la otra banda. En la Fig. 7.20 se muestra unafunción de transferencia de un filtro VSB típico. Un requisito importante y esencial del filtro de VSB,H VSB (f), es que debe tener simetría impar con respecto a f c y una respuesta relativa de ½ en f c .x(t)Modulador deamplitudH VSB (f)VSB + portadoraA cos tcc(a) ModuladorH VSB (f)H SSB (f)H (f) = H SSB (f) – H VSB (f)H (f)f c – f c + f(b) Características del filtroFigura 7.20 Modulación VSB. (a) Modulador. (b) Características del filtro.El filtro de banda lateral VSB tiene un intervalo de transición de anchura 2 Hz y el ancho debanda de transmisión de la señal VSB esB f , f(7.34)T x x469

Para derivar una expresión en el dominio del tiempo para la señal VSB, expresemos H ( f ) VSBcomoH ( f ) H ( f ) [ H ( f )](7.35)VSBSSBdonde H ( f ) representa la diferencia entre la respuesta de los filtros SSB y VSB. Se requiere queH ( f ) tenga simetría impar con respecto a f c (la razón de este requerimiento se aclarará cuandose trabaje el Prob. 3.26). La entrada al filtro VSB es A [1 x( t)]cos t y la señal de salida puedeexpresarse en la formaccx ( t ) A cos t A [ x( t )cos t xˆ( t )sen t ] A x ( t )sen t 1 1 1c 2 c c 2 c c c 2 c c VSBportadora señal SSBportadoraseñal VSB(7.36)En la Ec. (7.36), 1 A ( )sen2 cx t ctes la respuesta de H ( f ) a la entrada Acx ( t)cosct. La Ec.(7.36) también se puede escribir comodondex ( t) A [1 x( t)]cos t A ( t)sen t(7.37)1 1c 2 c c 2 c c( t) xˆ( t) x ( t). Si ( t) 0 , entonces la Ec. (7.37) se reduce a una señal AM y cuando( t) xˆ( t), tenemos una señal SSB + portadora.Aunque no es fácil derivar una expresión exacta para la potencia promedio transmitida en lamodulación VSB, podemos obtener cotas para S T comoS S S S S S S(7.38)1c 2 c x T c x cdonde S c es la potencia de la portadora y S x es la potencia de la señal.El lector puede verificar que la señal VSB puede ser demodulada mediante un demoduladorsincrónico. Sin embargo, resulta que podemos demodular una señal VSB con una pequeñadistorsión usando demodulación de envolvente si se ha añadido una componente grande deportadora a la señal VSB en el transmisor.Demodulación de Envolvente de Señales de Banda Lateral Suprimida. A menudo es deseablecombinar la demodulación de envolvente de la AM con la conservación del ancho de banda de lasseñales de banda lateral suprimida. La demodulación de envolvente perfecta y libre de distorsiónrequiere ambas bandas laterales y una señal portadora grande. Añadiendo una portadora a laseñal VSB, tenemos quex ( t) A 1 x( t) cos t ( t)sen t(7.39)c c c c470

Para AM, ( t) 0 ; y ( t) xˆ( t)para SSB + portadora. Para VSB + portadora, () t toma un valorintermedio.La envolvente de x () t se encuentra escribiendodonde Rt () es la envolvente dada porcx ( t) R( t)cos[ t ( t)]cc2 2 12R( t ) A 1 x( t ) [ ( t )]c ()t Ac[1 x( t )] 1 1 xt ( ) 212(7.40)La Ec. (7.40) muestra que la envolvente está distorsionada (la envolvente sin distorsión, igual queen el caso AM, es A [1 x( t)]). Sin embargo, si ( t) 1, la distorsión es despreciable ycR( t) A [1 x( t)],igual que en el caso AM. Así que la clave para el éxito de la detección decenvolvente de señales de banda lateral suprimida es mantener pequeño el componente decuadratura () t .Para la señal SSB + portadora,( t) xˆ( t)y, por tanto, (t) no puede ignorarse. Adicionalmente,en la portadora se desperdicia una cantidad substancial de potencia, mucho más que en la AM.Para una señal VSB con una banda lateral no demasiado pequeña, la mayor parte del tiempo () t es pequeña comparada con xt (). Así que la demodulación de envolvente puede usarsesin una distorsión excesiva. También, para una señal VSB + portadora, se puede demostrar que lapotencia transmitida promedio esque es esencialmente la misma que en AM.ST Sc ScSxLa anchura permisible de la banda lateral residual dependerá de las características espectralesde x(t) y de la cantidad de distorsión que se pueda tolerar. Las transmisiones de TV comercialutilizan VSB + portadora con un 30% de banda lateral residual. Mientras que la distorsión puedeser bastante apreciable, la evidencia experimental indica que la calidad de la imagen no sedegrada mucho. Posteriormente discutiremos varios aspectos interesantes de las señales de la TVcomercial.471

7.5 Conversión de Frecuencias (Mezclado)La traslación de frecuencia, también conocida como conversión de frecuencia o mezclado, es laoperación más importante en los sistemas de modulación lineal. La modulación traslada elespectro del mensaje hacia frecuencias superiores y la demodulación es básicamente unaoperación de traslación de frecuencias hacia abajo. La traslación de frecuencias también se usa amenudo para trasladar una señal de pasa-bandas con una frecuencia portadora hasta una nuevafrecuencia central.. Esto se puede obtener multiplicando la señal de pasabandas por una señalperiódica como se indica en la Fig. 7.21.x( t)cosBPFcentrado en 21tx( t)cos2t2cos 1 2tFigura 7.21 Conversión de frecuencia o mezclado.Modulador Balanceado. Un modulador balanceado que genera una señal DSB (producto) semuestra en la Fig. 7.22. El modulador balanceado consiste de dispositivos de suma(amplificadores operacionales) y dos elementos no lineales acoplados (como, por ejemplo, diodospolarizados apropiadamente). Si suponemos que la no linealidad puede representarse medianteuna característica en serie de potencias con dos términos, entoncesy( t) a [ A cos t x( t )] a [ A cos t x( t )] a [ A cos t x( t )] a [ A cos t x( t )]2 21 c c 2 c c 1 c c 2 c c 2 a x( t) 4 a x( t) A cos t1 2cc472

x(t)x 1 ( t)AlinealidadA cos ctca21x1 a2x1BPFcentro f cx c (t)x 2 ( t)Alinealidada21x2 a2x2BW = f x(a)x(t)x c (t)A cosctc(b)Figura 7.22 Modulador balanceado. (a) Diagrama de bloques de unmodulador balanceado. (b) Diagrama del circuito de un moduladorbalanceado.Si x(t) está limitada en banda a f x y si f c > 2f x, entonces la salida del filtro de pasabandas seráx( t) (4 a A ) x( t)cos t2cque es la señal producto deseada. Con frecuencia se usan diodos semiconductores como losdispositivos no lineales en los moduladores balanceados. El rendimiento de este tipo demodulador depende de lo bien que se puedan acoplar las características de los diodos.cModulador de Conmutación. Otro circuito que se usa para mezclar dos señales se muestra en laFig. 7.23. Cuando el voltaje de la portadora es positivo, hay un voltaje de salida vt (); y cuando laportadora es negativa, el voltaje de salida es igual a cero.. Así que los diodos operan comoconmutadores con una frecuencia f c y podemos escribir la salida v(t) comov( t) x( t) s( t)donde s(t) es una función de conmutación con un período 1/f c. Suponiendo un valor CD igual acero para la señal del mensaje x(t) y usando la expansión en serie de Fourier para s(t), podemosescribir v(t) como473

v( t) k x( t) k x( t)cos( t) k x( t)cos( 3 t) (7.41)0 1 c 3c= término de la banda base + término DSB + armónicosAl derivar la Ec. (7.41) hemos supuesto que s (t)es una onda cuadrada simétrica, lo que implicaque los coeficientes de la serie de Fourier k2, k4, son todos iguales a cero. Mediante filtrado depasa-bandas de v (t)obtenemos la salida comoque es la señal DSB deseada.x ( t) k x( t)cos tc1cMensajext ()A cos tccvt ()BPFcentro fcBW 2 fxSeñal DSBxc() tFigura 7.23 Modulador de conmutación.En los sistemas prácticos, los osciladores, dispositivos de suma y filtros se construyen usandocomponentes RLC y redes activas tales como transistores y amplificadores operacionales encircuitos integrados. Para frecuencias de microondas, estos dispositivos se convierten en sistemasde parámetros distribuidos.7.6 Multicanalización por División de FrecuenciasLa transmisión simultánea de varias señales de mensajes por un solo canal se denominamulticanalización (“multiplexing” en inglés). Hay dos tipos básicos de técnicas demulticanalización: multicanalización por división de frecuencias (FDM, por sus siglas en inglés) ymulticanalización por división de tiempo (TDM, por sus siglas en inglés). En la FDM, el ancho de474

anda disponible en el canal es dividido en varias “ranuras” que no se solapan y a cada señal demensaje se le asigna una ranura de frecuencias dentro de la pasa-banda del canal. Las señalesindividuales pueden ser extraídas de la señal FDM mediante un filtrado apropiado. La FDM seutiliza en la telefonía de larga distancia, telemetría de sondas espaciales y en otras aplicaciones.El principio de la FDM se ilustra en la Fig. 7.24 para tres señales de mensajes que se suponeestán limitadas en banda. En general, si las señales de mensajes no están estrictamente limitadasen banda, entonces será necesario un filtrado de paso bajo. Las señales limitadas en bandamodulan individualmente las subportadoras con frecuenciasf , f y f . La modulación dec1 c2 c3subportadoras mostrada en el ejemplo es SSB, pero se puede emplear cualquier técnica demodulación. Las señales moduladas son sumadas para producir una señal multicanalizadacompleta x (t)cuyo espectro se muestra en la Fig. 7.24c.Si se escogen adecuadamente las frecuencias subportadoras, entonces cada mensaje de señalocupa una ranura de frecuencias sin ningún solapamiento. Aunque los mensajes individualesestán claramente identificados en el dominio de la frecuencia, la señal multicanalizada no tendráningún parecido con las señales de mensajes en el dominio del tiempo. La señal multicanalizadaxt () puede ser transmitida directamente o usada para modular otra portadora de frecuenciaantes de la transmisión.La recuperación de las señales de mensajes individuales se muestra en la Fig. 7.25. El primerpaso en la recuperación es la demodulación para extraer xt () a partir de x c(t). Un filtrado depasa-bandas de x () t separa ademodulando individualmente acx ( t), x (t) y x ( t ) . Finalmente, los mensajes son recuperadosc1 c2 c3c1 c2 c3x ( t), x (t) y x ( t ) . Al equipo de multicanalización y de desmulticanalizacióna menudo se le refiere por las siglas “MUC”.Uno de los problemas principales con la FDM es la diafonía, es decir, el acoplamiento cruzadoindeseado entre un mensaje y otro. La diafonía (intermodulación) surge principalmente a causade no-linealidades en el sistema y se deben tomar precauciones considerables para reducir las nolinealidadesen dispositivos que procesan señales FDM. Una segunda fuente de diafonía es unaseparación espectral imperfecta de las señales debido a filtrado imperfecto y a derivas en lasfrecuencias de las subportadoras. Para reducir la posibilidad de solapamiento espectral, losespectros modulados son separados en frecuencia mediante bandas de guarda, en las cuales sepuedan acomodar las regiones de transición del filtro.fc475

X 1 (f)f c1–f x1–f x2ff x1X 2 (f)ff x2X 3 (f)–f x3ff x3x 1 (t)x 2 (t)x 3 (t)LPFLPFLPFf c2f c3Modulador SSBModulador SSBModulador SSBx c1 (t)+x c2 (t)++x c3 (t)x(t)Moduladorde portadorax c (t)(a) Espectros del mensaje(b) Transmisor FDMX(f) Banda de guarda Filtro receptor para x c3f c1 f c1 + f x1 f c2 f c2 + f x2 f c3 f c3 + f x3f(c) Espectro de la señal multicanalizadaFigura 7.24 Multicanalización por división de frecuencia (FDM) (a)Espectrodel mensaje. (b) Transmisor FDM. (c) Espectro de la señalmulticanalizada.BPFf c1LPFf x1x 1 (t)f c1x c (t)Demodulación deportadoraBPFf c2LPFf x2x 2 (t)f c2BPFf c3LPFf x3x 3 (t)f c3Figura 7.25 Receptor de FDM.El ancho de banda mínimo de una señal FDM es igual a la suma de los anchos de banda detodas las señales de mensajes. Si se usa un esquema de modulación diferente de la SSB para476

multicanalizar, el ancho de banda de la señal FDM será mayor. La presencia de las bandas deguarda aumenta aún más el ancho de banda.Problemas7.1 Dos señales x 1( t)y x2( t)cuyas transformadas de Fourier X1( f ) y X2( f ) se muestran en la Fig.7.26, se combinan para formar la señaly( t) x ( t) 2 x ( t)cos2 f t, f 20000 Hz1 2(a) Determine el ancho de banda de la señal y(t).(b) Dada y(t), ¿cómo se separarían x 1 (t) y 2 x2( t)cos2 f ct ?ccX 1 (f)10 –4 10 –4X 2 (f)–5 0 5f (kHz)–10 0 10 f (kHz)Figura 7.267.2 Una señal m(t)tiene una transformada de FourierSuponga que se forma una señal1, f1 f f2 , f1 1 kHz; f210 kHzM( f ) 0, otros valores de f6y( t) m( t)cos2 (10) t . Halle la banda de frecuencias para la cualy(t) tiene componentes espectrales diferentes de cero. También determine la relación entre lasfrecuencias más alta y más baja [para las cuales Y( f ) 0 ] de y(t). Compare esta relación con f 2 /f 1 .¿Es y(t) una señal de banda angosta? (Se dice que una señal de pasa-bandas es una señal de bandaangosta si falta fbaja 1. )7.3 Considere un sistema con la amplitud y respuesta de fase mostradas en la Fig. 7.27 y las tres entradassiguientes:x ( t) cos500t cos2000t1x ( t) cos500t cos2500t2x ( t) cos2500t cos3500t(a) Determine las salidas y1 ( t), y2 ( t) y y3( t ) .3(b) Identifique el tipo de distorsión, si la hay, sufrida por cada una de las señales de entrada.7.4 Demuestre que un filtro RC de pasabajas da una transmisión casi libre de distorsión si la entrada alfiltro está limitada en banda a f f0 12 RC .x477

H farg H f90°–1.5–2 –1 0 1 2 (kHz) 0 1.5 (kHz)(a)–90°Figura 7.27 (a) Respuesta de amplitud. (b) Respuesta de fase(b)7.5 Suponga que una función de transferencia con “rizos” en la respuesta de amplitud puede seraproximada por 1 cos t0exp jtd, 1,f fH( f ) 0 otros valores de fdonde f x es el ancho de banda de la señal de entrada x(t). Demuestre que la salida y(t) eses decir, y(t) tiene un par de ecos.y( t) x( t t ) x( t t t ) x(t t t2d d 0 d 07.6 La función de transferencia de un canal se muestra en la Fig. 7.28. La entrada al canal es una señal depasabajas x(t) con un ancho de banda igual a f x . Diseñe un compensador de cinco derivaciones paraeste canal. (Ayuda: Expanda 1 ( f ) f , y use losH ccomo una serie de Fourier en el intervalo coeficientes de la serie para ajustar las ganancias de las tomas del compensador.)xx f x12 f Hc( f ) exp 2fx 0 fFigura 7.28 H c (f) para el Problema 7.6.7.7 Un elemento no-lineal en un sistema de comunicación tiene la característica de transferenciay t x t x t x t2 3( ) ( ) 0.2 ( ) 0.02 ( )La salida deseada es el primer término. Si la entrada a la no-linealidad esx( t) cos700 t cos150 t , determine:(a) los términos de distorsión en las frecuencias de la señal de entrada;478

(b) los términos de distorsión de segundo armónico;(c) los términos de distorsión de tercer armónico;(d) los términos de distorsión por intermodulación.7.8 Considere una señal x( t) x2( t) x1( t)cos2 ft , donde x 1 (t) y x 2 (t) tienen los espectros mostradosen la Fig. 7.26 y f c = 2000 Hz. Suponga que x(t) se aplica a una no-linealidad con una característica detransferencia2y( t) x( t) 0.002 x ( t). Dibuje las componentes que forman el espectro de y(t) eidentifique los términos de intermodulación (productos cruzados).7.9 Una señal de pasabajas x(t) con un ancho de banda de 10 kHz es multiplicada por cos ct paraproducir x c (t). Determine el valor de f c para que el ancho de banda de x c (t) sea un 1% de f c .7.10 Una señal de pasabajas x( t) 2cos2000 t sen 4000 t es aplicada a un modulador DSB queopera con una frecuencia de portadora igual a 100 kHz. Dibuje la densidad espectral de potencia de lasalida del modulador.7.11 Se pueden generar señales DSB multiplicando la señal del mensaje por una portadora no-sinusoidalcomo se muestra en la Fig. 7.29.(a) Demuestre que el esquema mostrado en la figura trabajará si g(t) no tiene componente CD y lafrecuencia de corte del filtro es f c + f x , donde f c es la frecuencia fundamental de g(t) y f x es elancho de banda de x(t).(b) Suponga que x( t) 2cos1000 t y que g(t) es como se muestra en la Fig. 7.27. Determine elancho de banda del filtro. Escriba una expresión para la salida x c (t).(c) ¿Cómo modificaría el sistema si g(t) tiene una componente CD?x(t)LPFx c (t)1g(t)g(t)(Señal periódica)–11 segFigura 7.29 Modulador DSB para el Prob. 7.117.12 Demuestre que es posible demodular una señal DSB x ( t) A x( t)cos2 f t multiplicándola porc c cuna onda rectangular con un período T 1 f cy luego pasando la salida por un filtro de pasabajas(suponga que la onda rectangular es una función par de t).479

7.13 Demuestre que la potencia promedio de una señal DSB xc ( t) Ac x( t)cosctes SSc x[Ec. (3.14)]probando que1T 22lím x ( t )cos 2ctdt0T t T 2Suponga que xt () está limitada en banda a f x y que fc7.14 Una forma de onda modulada en amplitud tiene la forma f .x ( t) 10(1 0.5cos2000 t 0.5cos4000 t)cos20000 tc(a) Dibuje el espectro de amplitudes de x c (t).(b) Determine la potencia promedio contenida en cada componente espectral incluyendo laportadora.(c) Halle la potencia total, la potencia en las bandas laterales y la eficiencia en potencia.(d) ¿Cuál es el índice de modulación?7.15 En la Fig. 7.30 se muestra una forma de onda AM. Suponga que la señal del mensaje es sinusoidal.(a) Determine el índice de modulación.(b) Calcule S c , S x y la eficiencia en potencia.xx c (t)10 V50–5–10 VtFigura 7.30 Forma de onda para el Prob. 7.15.7.16 Un transmisor AM desarrolla una salida de potencia no modulada de 400 vatios a través de una cargaresistiva de 50 ohmios. La portadora es modulada por un solo tono con un índice de modulación de0.8.(a) Escriba la expresión para la señal AM x c (t) suponiendo que f x = 5 kHz y f c = 1 MHz.(b) Halle la potencia promedio total de la salida del modulador.(c) Halle la eficiencia de potencia del modulador.7.17 Los moduladores prácticos con frecuencia tienen una limitación de potencia pico además de unalimitación de potencia promedio. Suponga que un modulador DSB y un modulador AM estánoperando con una señal480

x( t) 0.8cos200 ty con una forma de onda portadora igual a 10cos2 ft ( f 100 Hz).(a) Determine la potencia pico (instantánea) de las señales DSB y AM.(b) Obtenga la relación entre la potencia pico y la potencia promedio en las bandas laterales para lasseñales DSB y AM y compare las relaciones.7.18 Considere el modulador de conmutación mostrado en la Fig. 7.31.(a) Suponiendo que máx x( t) Acy que el diodo actúa como un conmutador ideal, demuestrequev ( ) cos(2 ) ( ) ( )0t Ac fct mx t gptdonde g p (t) es un tren de pulsos rectangulares con período 1/f c y un ciclo de trabajo de ½.(b) Sustituyendo la serie de Fourier para g p (t) en la ecuación anterior, demuestre que v 0 (t) tiene unA 1 mx( t) cos(2 f t).componente de la forma c(c) Suponiendo que x(t) es una señal de pasabajas limitada en banda a f x Hz ( f x fc) , demuestreque es posible generar una señal AM mediante un filtrado de pasa-bandas de v 0 (t).cA cos 2ftccx (t)v i ))(t)v 0 ( v i (t)(av 0 ( )v0 v i(b)Figura 7.31 (a) Modulador de conmutación. (b) Características del diodo ideal.7.19 Una señal AM de la forma R ( t)cos(2 f t)pasa por un canal de pasabandas con una función detransferencia H ( f ) K exp j ( f ) xc . La respuesta de fase del canal es de tal forma que puede seraproximada por una serie de Taylor con dos términos como( f f ) ( f ) fccd( f )dfdonde el retraso de la portadora t c y el retraso de la envolvente t R están dados por481f fcDemuestre que la señal en la salida del canal puede ser representada pory( t) KR ( t t )cos[2 f ( t t )]x R c c

tctR1 d( f )2 df( fc)2 f7.20 Considere el demodulador de ley cuadrática para señales AM mostrado en la Fig. 7.32.(a) Dibuje el espectro de la salida xt ().(b) Demuestre que si xt ( ) 1, entonces x( t) a kx( t), donde a y k son constantes.cf fc xc ( t) Ac 1 x t cos ctzNo linealidadz = ay 2yFiltro depasabajasFrecuenciade corte f xFigura 7.32 Demodulador de ley cuadrática para señal AM.7.21 La señal6xc( t) 2(1 0.4cos6000 t)cos10t es aplicada a un dispositivo de ley cuadrática conuna característica de transferenciay2( x 4) . La salida del dispositivo de ley cuadrática es filtradapor un LPF ideal con una frecuencia de corte de 8000 Hz. Dibuje el espectro de amplitudes de lasalida del filtro.7.22 Una señal x( t) 2cos1000 t cos2000 t es multiplicada por una portadora igual a 10 cos105 t.Escriba la expresión para los términos de la banda lateral superior de la señal producto.7.23 Con frecuencia se usa un esquema de modulación de multietapas para generar una señal SSB usandofiltros con 2 f c 0.01 (Fig. 7.14). Suponga que queremos usar el esquema mostrado en la Fig.7.33 para generar una señal SSB con una frecuencia portadora f c = 1 MHz. El espectro de la señalmoduladora se muestra en la Fig. 7.34. Suponga que se tienen filtros de pasa-bandas queproporcionarán 60 dB de atenuación en un intervalo de frecuencias que es aproximadamente 1% de lafrecuencia central del filtro. Especifique las frecuencias portadoras y las características del filtro paraesta aplicación.482

x(t)FiltroFiltrox c (t)Portadorafc 1Portadorafc 2Figura 7.33 Un modulador SSB de dos etapas.X(f)–3000 –300 0 300 3000fFigura 7.34 Espectro de la señal para el Prob. 3.23.7.24 La Fig. 7.35 muestra el modulador SSB de Weaver. Analice su operación tomando x( t) cos2f xt( f 2 B). Demuestre que x c (t) es una señal SSB.xx(t)LPFBW = Bf1f2f Bff12x f Bc 2B90 o90 ox c (t)LPFBW = BFigura 7.35 Modulador SSB de Weaver (compare este modulador con el de la Fig. 7.15).7.25 Dibuje el diagrama esquemático de un demodulador sincrónico para una señal VSB. Demuestre queel filtro VSB que se usa para general la señal VSB debe tener la simetría mostrada en la Fig. 7.20.7.26 Verifique la afirmación que sigue a la Ec. (7.35).483

7.27 Obtenga una expresión para una señal VSB generada con x( t) cos2 f xt yH ( ) 0.5 ,VSBfc fx a H ( ) 0.5 ,VSBfc fx a (0 < a < 0.5). Escriba la respuesta en la formade envolvente y de fase y en la forma de cuadratura. Tome a = 0.25 y evalúe el término de distorsiónen la Ec. (7.40).7.28 Dibuje el diagrama de bloques para un modulador AM que usa un dispositivo no-lineal cuyacaracterística de transferencia esv a v a v .3sal 1 en 3 en7.29 Suponga que los elementos no-lineales usados en un modulador balanceado (Fig. 7.22a) no estánsintonizados. Es decir, uno de ellos tiene la característica de transferenciav a v a v a v , mientras que el segundo tiene la característica de transferencia2 3sal 11 en 12 en 13 env a v a v a v . Halle la señal de salida.2 3sal 21 en 22 en 23 en7.30 Dada una señal real m(t), defina una señalm m( t) jmˆ( t)donde mˆ ( t)es la transformada de Hilbert de m(t) y m + (t) se llama una señal analítica.(a) Demuestre que(b) Demuestre queF 2 M ( ) 0[ m( t )] M ( t ) 0 0es una SSB de banda lateral superior yes una señal SSB de banda lateral inferior.j ctRe[ m( t) e ]j ctRe[ m ( t) e ]7.31 Dos señales de mensaje x 1 (t) y x 2 (t) pueden ser moduladas sobre la misma portadora usando elesquema de multicanalización de cuadratura mostrado en la Fig. 7.36.(a) Verifique la operación de este esquema de multicanalización de cuadratura.(b) Si el oscilador local en el receptor tiene una desviación de fase igual a con respecto a laportadora del transmisor, determine las salidas y 1 (t) y y 2 (t) (suponga que 1).7.32 Sesenta señales de voz de grado telefónico son multicanalizadas usando FDM. El ancho de banda dela señal de voz es 3 kHz y se requiere una banda de guarda de 1 kHz entre canales de voz adyacentes.La modulación de la subportadora es SSB (USB) yf 0.c1484

(a) Dibuje el espectro típico de la señal multicanalizada.(b) Si todos los canales se multicanalizan directamente, calcule el número de osciladores ymoduladores SSB requeridos.(c) Suponga que la multicanalización se hace usando cinco grupos de 12 canales cada uno paraformar un supergrupo de 60 canales. Dibuje un diagrama de bloques del multicanalizadorindicando todas las frecuencias de las subportadoras. ¿Cuántos osciladores y moduladores senecesitan para implementar este esquema de multicanalización?x 1 ( t)FiltroCanal90 o 90 oy 1 ( t)x 2(t)y 2 ( t)FiltroSincfcfcFigura 7.36 Esquema de multicanalización en cuadratura.7.33 Los BPF en el receptor FDM para el problema anterior tienen H ( f f c) 1f f c B 2 n12'donde f c es la frecuencia de la subportadora +1.5 kHz y B es el ancho de banda de 3 dB del filtro.El ancho de banda del filtro debe ser 3 kHz y se requiere que el filtro tenga una atenuación de almenos 20 dB en la región de rechazo, es decir,Determine un valor adecuado de n.H f f f f''( c) 20 dB para c 1.5 kHz7.34 Dos señales x 1 (t) y x 2 (t) son multicanalizadas para formarx t x t x t f t( ) 1( ) 2( )cos2c485

x 1 (t) y x 2 (t) son señales de paso bajo limitadas en banda a 5 kHz con X1( f ) X2( f ) 0.0001 paraf 5 kHz y f c = 15 kHz. El canal por el cual se va a transmitir x(t) tiene una característica detransferencia no-lineal y la salida del canal esy t x t x t2( ) ( ) 0.2 ( )(a) Dibuje el espectro de x(t) y de y(t). Explique las dificultades asociadas con la demodulación dex 1 (t) y x 2 (t) a partir de y(t).(b) ¿Cuál de las señales demoduladas sufre la peor distorsión?7.35 Con referencia al Prob. 7.34, suponga que la señal multicanalizada es(a) Dibuje el espectro de x(t) y de y(t).x( t) x ( t)cos2 f t x ( t)cos2f t1 c1 2c2f 5 kHz y f f 20 kHzc1 2 c1(b) ¿Pueden recuperarse x 1 (t) y x 2 (t) a partir de y(t).7.36 En la Fig. 7.37a se muestra el espectro de una señal de mensaje m(t). Para asegurar privacidad en lacomunicación, esta señal es aplicada a un sistema (conocido como un perturbador. Scrambler eninglés) mostrado en la Fig. 7.37b. Analice el sistema y dibuje el espectro de la salida x(t).M () M(a)Mm(t)AHPFB C cLPF cx(t)2cos c t(b)2cost2 2c MFigura 7.37 (HPF = filtro de pasaaltas, LPF = filtro de pasabajas).486

REFERENCIAS1. Bracewell, Ronald N.: The Fourier Transform and its Applications. McGraw Hill, (2000).2. Carlson, A. Bruce, Crilly, Paul B., Rutledge, Janet C.: Communication Systems. McGraw Hill, (2002).3. Chen, Wai-Kai: Linear Networks and Systems. World Scientific, (1990).4. Churchill, Ruel V.: Operational Mathematics. McGraw Hill, New York (1972).5. Davis, Harry F.: Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover, New York (1989).6. Hsu, Hwei P.: Signals and Systems. McGraw Hill, (1995).7. Kuo, Benjamín C.: Sistemas de Control Automático. Prentice-Hall, (1995).8. LePage, Wilbur R.: Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers. Dover, (1980).9. Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., Young, Ian T.: Signals and Systems. Prentice-Hall, (1983).10. Papoulis, A.: The Fourier Integral and its Applications. McGraw-Hill, (1962)11. Picinbono, Bernard: Principles of Signals and Systems: Deterministic Signals. Artech House, (1988).12. Sansone, G.: Orthogonal Functions. Dover, New York (1991).13. Shanmugan, K. Sam: Digital and Analog Communication Systems. Wiley, (1979).14. Sneddon, Ian N.: Fourier Transforms. Dover, (1995).15. Tolstov, G. P.: Fourier Series. Dover, (1962).16. Wylie, C. R., Barret, L. C.: Advanced Engineering Mathematics. McGraw-Hill, (1995).17. Zadeh, L., Desoer, C.: Linear System Theory. Dover, (2008)487