universidad tecnologica nacional facultad regional san rafael ...

12/09/2007UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO- 2.007 -ECUACIONES DIFERENCIALESING. CRISTIAN BAYUNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESSON ECUACIONES EN LAS QUE APARECEN FUNCIONES, SUS DERIVADAS, UNA OMAS VARIABLES INDEPENDIENTES Y UNA O MAS VARIABLES DEPENDIENTES.CLASIF FICACIONTIPODEPENDE DE LA CANTIDAD DEVARIABLES INDEPENDIENTESORDENDEPENDE DEL EXPONENTE MAYORDE LA DERIVADAECUACION DIFERENCIAL ORDINARIAECUACION DIFERENCIAL PARCIALPRIMER ORDENSEGUNDO ORDENENESIMO ORDENLINEALIDADLINEALNO LINEAL1

12/09/2007UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASDE SEGUNDO ORDEN•ECUACION CARACTERISTICA( a) y" + ( b) y'+ ( c) y = 0DONDE a ≠ 0, b y c SON CONSTANTES REALES. EL CASO TIPICO ENINGENIERIA CIVIL ES EL OSCILADOR MASA RESORTE DONDE NO APARECELA FUERZA EXTERIOR.() t = c y ( t) c y ( t)y1 1+2 2DONDE C1 Y C2 SON CONSTANTES ARBITRARIAS. y1(t) y y2(t) SONSOLUCIONES LINEALEMENTE INDEPENDIENTES.UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE SEGUNDO ORDENSE UTILIZA LA SIGUIENTE EXPRESION PARA RESOLVER LA EDO.y = em.ty'= m.em.t2y"= m . em.tREEMPLAZANDO EN LA ECUACION INICIAL SE OBTIENE2 m.t m.t( a) m . e ( b) e + ( c).e m t+ m.e2( a.m + b.m + c) = 0m.t= 0ESTA ULTIMA REPRESENTA LA ECUACION CARACTERISTICA.2

12/09/2007UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE SEGUNDO ORDENCONSIDERANDO LAS RAICES DE LA ECUACION CUADRATICA SE PUEDEOBTENER CUALQUIERA DE LOS SIGUIENTES TRES CASOS.A. RAICES REALES Y DISTINTAS (b-4ac > 0)B. RAICES REALES E IGUALES (b-4ac = 0)C. RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS (b-4ac < 0)•CASO A (REALES Y DISTINTAS)y = Cm . t1. e +1C . e2m . t2•CASO A (REALES E IGUALES)•CASO A (COMPLEJAS)y = C . ey = ey = C1α.tm . t1. e +C . t e1.( α + iβ).t ( α −iβ).+ C . e2m . t( C .cos( β.t) + C .sin( β.t))122t2UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE SEGUNDO ORDENSEGUNDA ACTIVIDAD A DESARROLLARUTILIZANDO EL SOFTWARE MATHEMATICA RESUELTA UNAGRAFICA DE ECUACION DIFERENCIAL CONA. RAICES REALES DISTINTASB. RAICES REALES IGUALESC. RAICES COMPLEJAS3

12/09/2007UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE SEGUNDO ORDENSISTEMA MASA – RESORTE NO AMORTIGUADOm = masa del elementok = rigidez del elementoc = Amortiguamiento.kcmy(t)m. y"+ k.y =0LEY DE HOOKE Fr=k.yLEY NEWTON Fa=a.mUNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE SEGUNDO ORDENSISTEMA MASA – RESORTE (NO AMORTIGUADO)m. y"+ k.y = 0m k. y"+ . y = 0m m2y"+ ϖ . y = 0Raíces complejas conjugadasϖ2 =Tfkmm=k= 1TFrecuencia angularPeriodofrecuenciay() t = C1 cos wt + C2sin wtC1 y C2 constantes de valores iniciales o valores de frontera4

12/09/2007UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE SEGUNDO ORDENSISTEMA MASA – RESORTE (NO AMORTIGUADO)FORMA ALTERNATIVAy() t = A.sin( ϖ t +θ )A Amplitud del sistemaw frecuenciaØ Angulo de faseA =C21Ctanθ=C+ C1222A0UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SAN RAFAELCALCULO AVANZADO – ING. CRISTIAN BAYECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS DE SEGUNDO ORDENTERCERA ACTIVIDAD A DESARROLLARUn edificio tiene una masa del 10.000kg y una rigidez de 30tn/cm.A. Determine el periodo y la frecuencia del mismo.B. Suponga que posee un desplazamiento inicial de 3cm, grafiquela curva de desplazamiento.C. Cual es la posición del sistema luego de 10 seg.D. Cuantas veces el sistema pasa por la posición de equilibrio.D. Cuantas veces el sistema pasa por la posición de equilibrio.E. Cual es la amplitud del sistema.F. Que velocidad tiene el sistema a los 10 seg.G. Superponga las graficas desplazamiento, velocidad yaceleración.5