Mecánica Cuántica - Curso 2012 Práctica No 5 1. El operador de ...

Mecánica Cuántica - Curso 2012Práctica N o 51. El operador de traslación Ω(a) está definido porMuestre que:Ω(a)ψ(x) = ψ(x+a)a) Ω(a) puede expresarse en términos del operador p = ib) Ω(a) es unitario.2. Considere el operador paridad P, tal que Pψ(x) = ψ(−x).a) Determine P 2 y P −1 .b) Encuentre las autofunciones y los autovalores de P.c) Muestre que P es unitario.3. Verificar las siguientes propiedades de conmutadores de operadores:a) [A,B] = −[B,A]b) [A,B 1 +B 2 ] = [A,B 1 ]+[A,B 2 ]c) [AB,C] = [A,C]B +A[B,C]d) [A,BC] = [A,B]C +B[A,C]e) α[A,B] = [αA,B] = [A,αB],α ∈ C4. Mostrar:a) [x 2 ,p] = 2ixb) [x n ,p] = nix n−15. a) Muestre que si A y B son operadores que satisfacen [[A,B],A] = 0, se cumple[A m ,B] = mA m−1 [A,B].b)LaderivadadeunoperadorA(λ), quedependeexplícitamente deunparámetroλ, se define comoMuestre que:i) d dA(AB) = B dλ dλ +AdB dλii) ddλ (A−1 ) = −A −1dAdλ A−1dA(λ)dλ = limǫ→0A(λ+ǫ)−A(λ)ǫc) Muestre que si [[A,B],A] = [[A,B],B] = 0, entonces e A e B = e A+B e 1/2[A,B] .1d, dx

6. Demuestre la desigualdad de Schwarz:∫(∫|f| 2 dτ)(∫|g| 2 dτ) ≥ |f ∗ gdτ| 27. Considerar la ecuación de Schrödinger para un potencial complejodonde V 1 (x) y V 2 (x) son reles.V(x) = V 1 (x)+iV 2 (x)a) ¿El Hamiltoniano es hermítico?b) Derivar la ecuación de continuidad con este potencial y encontrar los términosadicionales que aparecen cuando V 2 ≠ 0.c) ¿Puede dar una interpretación física del resultado? ¿Qué uso posible piensaque tendría este tipo de potencial?2