Métodos numéricos para la determinación de autovalores

donde condT = ‖T‖‖T −1 ‖ es el número de condición de la matriz T. Así‖∆A‖‖A‖≤ (condT)2 ‖∆B‖‖B‖Entonces es de esperar que para condT ≫ 1 el problema para B estará peor condicionando queel problema para A. Puesto quecondT = cond (T 1 . . .T m ) ≤ condT 1 . . .condT mun buen condicionamiento estará asegurado si escogemos matrices de transformación T i talesque cond T i no sea demasiado grande 1 . Este es el caso, en particular, para la norma máxima‖x‖ ∞ = max 1≤i≤n |x i | 2 y las matrices de eliminación de la forma⎡⎤1 0. .. 1T i = G j =. l .., |l kj | ≤ 1j+1,j ⎢⎣. ⎥. .. ⎦0 l nj 0 1la cual es una matriz triangular inferior que difiere de la identidad en la columna j-ésima y cuyainversa es⎡⎤1 0. .. G −11j =. −l ..j+1,j ⎢⎣. ⎥. .. ⎦0 −l nj 0 1Para estas matricescond ∞ T i ≤ 4Para lo norma euclideana ‖x‖ 2 = √ x t x 3 un ejemplo son las matrices ortogonales T i para las cualescond 2 T i = 1 4 . De acuerdo a lo anterior, es de esperar que algoritmos basados en transformacionesortogonales sean muy estables (como contrapartida estos algoritmos requieren más aritmética queaquellos basados en transformaciones de semejanza generales).1 Recuérdese que condA ≤ 1 para cualquier matriz no singular A. En efecto, 1 = ‖I‖ = ‖AA −1 ‖ ≤ ‖A‖‖A −1 ‖ =condA.2 PCuya norma matricial subordinada es ‖A‖ = max n1≤i≤n j=1 |a ij|.3 Cuya norma matricial subordinada es ‖A‖ 2 = µ 1 donde µ 1 es el máximo valor de las raíces cuadradas nonegativas de los autovalores (necesariamente reales y no negativos) de la matriz simétrica semidefinida positivaA t A.4 En efecto, si T es ortogonal TT t = I y como los autovalores de la matriz identidad son 1 (con multiplicidadn), cond 2 T = ‖T‖‖T t ‖ = 1 × 1 = 1.4

La transformación de JacobiUna de las transformaciones ortogonales más simples es una rotación en un plano, llamadausualmente transformación de Jacobi. La matriz de transformación T i = Ω j,k es de la forma⎡1Ω jk =⎢⎣. ..c . . . −s. 1 .s . . . c⎤. ⎥ .. ⎦1Aquí todos los elementos diagonales son la unidad excepto los dos elementos c en las filas (ycolumnas) j y k. Todos los elementos fuera de la diagonal son nulos excepto los dos elementos sy −s. Los números c y s son el seno y el coseno de cierto ángulo de rotación φ así que no son, enmagnitud, mayores que la unidad yc 2 + s 2 = 1Esta relación de normalización implica que solo un valor puede ser escogido libremente. Esta matrizes utilizada para transformar a la matriz segúnA ′ = Ω t jk AΩ jkAhora bien, la multiplicación Ω t jkA cambia solo las filas j y k de A, mientras que la multiplicaciónAΩ jk cambia solo las columnas j y k. Así A ′ difiere de A solo en los elementos de las columnas yfilas j y k. Si realiza la multiplicación matricial se obtienen fórmulas explícitas para los elementosde estas filas y columnas. La idea del método de Jacobi es escoger el valor de c de manera deanular el elemento de A ′ situado en la posición correspondiente a +s en T, esto es, hacer quea ′ kj = 0Esta condición permite determinar unívocamente el valor apropiada del ángulo de rotación ylos valores de c y s que definen a la correspondiente matriz de transformación Ω jk . Nótese quesi A es simétrica entonces también a ′ jk = 0 ya que A′ debe ser simétrica como lo requiere latransformación ortogonal.Sin embargo, aunque podemos producir ceros fuera de la diagonal en forma efectiva con estatransformación, una sucesión finita de transformaciones de Jacobi no reducirán una matriz simétricageneral a una matriz tridiagonal o a otra forma simple, debido a que la siguiente transformacióndestruirá los ceros obtenidos por la anterior. Para ver ésto consideremos la matriz simétrica densa4 × 4 de la figura 0.2. Inicialmente podemos elegir libremente cualesquiera dos columnas y suscorrespondientes filas; los ceros aparecerán en las dos intersecciones que no se encuentran sobrela diagonal principal. Así si elegimos las dos últimas filas y columnas la transformación producirálos ceros mostrados en la figura y alterará todos los elementos de estas dos filas y columnas. Siahora intentamos anular otro elemento ubicado, por ejemplo, en la última columna la siguientetransformación de Jacobi involucrará esta columna y el cero actualmente localizado en la posición(3, 4) será destruido. Así no hay posibilidad de alcanzar ninguna forma simple a través deuna sucesión finita de transformaciones de Jacobi eliminando un elemento a la vez. Sin embargo,puede probarse que, para una matriz real simétrica, una sucesión de transformaciones de Jacobien un orden adecuado 5 hacen cada vez más y más pequeños los elementos fuera de la diagonalde las matrices transformadas de tal manera que, para una sucesión infinita de transformaciones,5 A saber, llevando inicialmente a 12 a cero y posteriormente haciendo que a 13 , . . . , a 1n , a 23 , . . . , a 2n . . . , a n−1,nvayan a cero en este orden y repitiendo nuevamente el ciclo.5

¾¢¢¢¢¢¢¢ ¢¢¢ ¿ Figura 0.2.la matriz A (i) converge a una matriz diagonal, cuyos elementos son precisamente los autovaloresbuscados. Dado que este proceso es infinito, en una implementación práctica uno debería iterarhasta una matriz A (i) cuya suma de los módulos de los elementos fuera de la diagonaln∑i=1n∑j=1(j≠i)|a (i)ij |sea suficientemente pequeña dentro de la precisión de los cálculos. Los autovalores de A puedenaproximarse entonces por las componentes diagonales de A.Sin embargo, este es un proceso generalmente lento; en la práctica se requieren de alrededorde 6n 3 multiplicaciones antes de considerar los elementos fuera de la diagonal suficientementepequeños, y con matrices grandes esto es mucho trabajo. Otras estrategias que consideraremosque pronto consideraremos realizan una mejor labor.Mencionemos también que el método de Jacobi puede ser implementado de manera de llevaruna matriz no simétrica a una matriz triangular, proceso que, en general, requerirá de alrededorde 12n 3 multiplicaciones antes de que converga.Reducción de GivensAunque la transformación de Jacobi no es útil en la forma presentada, una pequeña modificaciónpermite una estrategia finita para reducir una matriz simétrica A a una forma tridiagonal. En lugarde producir un cero en las “esquinas” del cuadrado que defina la rotación en el plano, se escoge elparámetro c de manera de llevar a cero un elemento que no esté localizado en una de estas cuatroesquinas, esto es, que no estén en las posiciones a jj , a jk , a kk . Específicamente, tomamos primeroT 1 = Ω 23de manera de anular el elemento en la posición a 31 (si la matriz es simétrica esto anulará tambiéna a 13 ). Después elegimos T 1 = Ω 23 de manera de anular el elemento en la posición a 41 , etc. Engeneral, elegimos la sucesión de transformaciones T i dados porΩ 23 , Ω 24 , . . ., Ω 2nΩ 34 , . . ., Ω 3n..Ω n−1,nde manera tal que Ω jk , j = 2, . . .,n − 1, k = j + 1, j + 2, . . .,n anule el elemento de la posicióna k,j−1 . En la figura 0.3 se ilustra el procedimiento para una matriz 4 × 4.El método funciona debido a que los elementos en las posiciones fuera del cuadrado que define larotación Ω jk (esto es, a rj y a rk con r ≠ j, r ≠ k) son simples combinaciones lineales de los valores6

La ortogonalidad se deduce como sigueP 2 = (I − 2ww t )(I − 2ww t )= I − 4ww t + 4w(w t w)w t= IAsí P −1 = P, pero como P t P, tenemos que P − 1 = P t , lo que prueba la ortogonalidad.El vector w se escoge de manera tal que para un vector x dadoPx = ke 1donde e 1 es el vector [1, 0, . . .,0] t ; es decir la matriz P actuando sobre un dado vector x lleva a cerotodos sus componentes excepto el primero. Nótese que el módulo del escalar k es necesariamentela norma euclideana de x 8 .Para reducir una matriz simétrica A a la forma tridiagonal construimos la matriz de transformaciónT 1 como una matriz particionada que consiste de un 1 en la posición (1, 1), una matrizP 1 de Householder de orden (n − 1) × (n − 1) y ceros en el resto como se muestra a continuación⎡T 1 =⎢⎣1 0 0 · · · 000. P 10Nótese que esta matriz así construida es ortogonal y simétrica, con lo cual T −11 = T t 1 = T.Si tomamos como vector x los (n − 1) elementos inferiores de la primer columna de A, lapremultiplicación por T −11 = T 1 llevará los (n − 2) elementos inferiores de dicha columna a cero⎡T 1 A =⎢⎣⎡=⎢⎣1 0 0 · · · 000 P 1.0⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤⎥⎦a 11 a 12 a 13 · · · a 1na 21a 31. irrelevantea n1a 11 a 12 a 13 · · · a 1nk0. irrelevante0y la postmultiplicación por P no destruye los ceros ya que cualquier postmultiplicación por Tno cambia la primer columna, de la misma manera que cualquier premultiplicación no cambia laprimer fila. Además, si la matriz A es simétrica, dado que la simetría debe preservarse por la transformaciónortogonal, tendremos los correspondientes ceros en la primera fila de la transformacióncompleta⎡⎤a 11 k 0 · · · 0k⎢ 0⎥T 1 AT 1 =⎢⎣⎤⎥⎦. irrelevante08 En efecto, siendo P ortogonal, ‖x‖ 2 2 = xt x = xP t Px = (Px) t (Px) = k 2 e t 1 e 1 = k 2 , de donde ‖x‖ 2 = |k|.⎥⎦⎤⎥⎦8

eliminación de la forma⎡⎤1 0. .. 1G j =. l .., |l kj | ≤ 1j+1,j ⎢ .⎣. ⎥. .. ⎦0 l nj 0 1Estas matrices tienen las propiedadesP −1rs = P rs⎡⎤1 0. .. G −11j =. −l ..j+1,j ⎢ .⎣. ⎥. .. ⎦0 −l nj 0 1La premultiplicación Prs −1 A de A por P −1rs = P rs tiene el efecto de intercambiar las filas r ys de A, mientras que la postmultiplicación AP rs intercambia las columnas r y s de A. Unapremultiplicación G −1j A de A por G −1j tiene el efecto de sustraer l rj veces la fila j de la fila r dela matriz A para r = j + 1, j + 2, . . .,n mientras que una postmultiplicación AG j suma l rj vecesla columna r a la columna j de A para r = j + 1, j + 2, . . . , n.El proceso de transformación de la matriz A a la forma de Hessenberg procede como sigue.Sea A (0) = A y asumamos, por inducción, que A (i−1) tiene la forma de una matriz cuyas (i − 1)columnas tienen la forma de Hessenberg⎡⎢⎣∗ · · · · ∗ ∗ · · ∗∗ · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·0 ∗ ∗ ∗ · · ∗0 · · · 0 ∗ ∗ · · ∗· ·· ·0 ∗ · · ∗El paso i-ésimo consiste entonces de las siguientes operaciones1. Encontrar el elemento de máxima magnitud en la columna i-ésima debajo de la diagonal. Sieste es cero, saltar los dos pasos siguientes y considerar esta etapa hecha. De lo contrario,supongamos que el elemento máximo está en la fila r.2. Intercambiar las filas r y i+1. Ese es el procedimiento de pivoteo. Para hacer esta permutaciónuna transformación de semejanza se intercambian también las columnas r y j + 1. Así,en este paso calculamos la matriz⎤⎥⎦A ′ = P −1r,i+1 A(i−1) Pr, i + 1El elemento dominante del paso 1 se encuentra ahora en la posición (i + 1, i).10

Evaluación del polinomio característico de una matriz tridiagonal (simétrica)Consideremos una matriz tridiagonal simétrica⎡⎤α 1 β 2.A =β .. . ..2 ⎢⎣. .. . ⎥ .. βn ⎦α nSin pérdida de generalidad podemos asumir que A es una matriz tridiagonal irreducible, esto es,β i ≠ 0 para todo i. De lo contrario, A pude escribirse como una matriz triangular por bloques,cuyos bloques son matrices tridiagonales irreducibles A (i) , i = 1, . . .,k⎡A (1) ⎤A (2) A = ⎢⎣. ..⎥⎦A (k)β nComo el polinomio característico de A es el producto de los polinomios característicos de losbloques A (i) , los autovalores de A serán los autovalores de A (i) , i = 1, . . .,k. Así, pues, es suficienteconsiderar matrices irreducibles A.Escribamos el polinomio característico p (λ) de A como el determinante que lo defineα 1 − λ β 2β 2 α 2 − λ β 3β 3 α 3 − λp (λ) =. β .. 4 α n−1 − λ β n∣α n − λ∣Desarrollando el determinante por la última columna resultaα 1 − λ β 2β 2 α 2 − λ β 3β 3 α 3 − λp (λ) = (α n − λ). .. β n−1∣α n−1 − λ∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ α 1 − λ β 2β 2 α 2 − λ β 3β 3 α 3 − λ− β nβ n. ..β n−2α n−2 − λβ n−1β n∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Tenemos así un término que es el producto de (α 1 − λ) por el polinomio característico p n−1 (λ)de la submatriz tridiagonal de dimensiones (n −1) × (n −1), y otro término que es el producto deβ n por otro determinante de orden (n − 1). Desarrollando éste por su última fila, la cual contienesolo a β n obtenemos la fórmulap (λ) = (α n − λ)p n−1 (λ) − β 2 n p n−2 (λ)12

Notando quep 1 (λ) = (α 1 − λ), p 2 (λ) = (α 2 − λ)p 1 (λ) − β22y definiendop 0 (λ) = 1podemos calcular p (λ) de A en forma recursiva. En efecto, si⎡⎤α 1 β 2.p i (λ) = det(A i − λI), A i =β .. . ..2 ⎢⎣. .. . ⎥ .. βi ⎦α icalculamosβ ip 0 (λ) = 1p 1 (λ) = (α 1 − λ)p i (λ) = (α i − λ)p i−1 (λ) − β 2 i p i−2 (λ),i = 2, 3, . . .,ncon lo cual p (λ) = p n (λ).Para un valor dado de λ este algoritmo proporciona una forma razonable de evaluar p (λ). Podemosentonces utilizar los métodos numéricos clásicos para determinar las raíces de un polinomio.Así utilizando un cierto paso en los valores de prueba λ podemos evaluar p (λ) hasta obtener uncambio de signo y entonces encerrar la raíz dividiendo el intervalo a la mitad —este es el métododicotómico—. O bien, habiendo obtenido una aproximación a la raíz, utilizar un método comoel de la secante o el método de Newton. En este último caso es necesario el conocimiento de laderivada del polinomio p (λ), pero ésta puede ser calculada recursivamente por el algoritmo queresulta de diferenciar la fórmula recursiva que permite el cálculo del polinomio. Esto conduce ap ′ 0 (λ) = 0p ′ 1 (λ) = −1p ′ i (λ) = (α i − λ)p ′ i−1 (λ) − β2 i p′ i−2 (λ) − p′ i−1 (λ),i = 2, 3, . . .,ncon lo cual p ′ (λ) = p ′ n (λ).Evaluación del polinomio característico de una matriz de HessenbergPodemos evaluar el determinante del polinomio característico de una matriz de Hessenbergpara un valor de prueba λ por un método similar al usado con una matriz tridiagonal. Deseamosencontrar el valor numérico de⎡⎤a 11 − λ a 12 a 13 a 14 . . . a 1,n−1 a 1nb 1 a 22 − λ a 23 a 24 a 2,n−1 a 2nb 2 a 33 − λ a 34 a 3,n−1 a 3np (λ) =b 3 a 44 − λ a 4,n−1 a 44⎢b. 4 . ⎥⎣a n−1,n−1 − λ a n−1,n⎦. . . b n−1 a nn − λdonde todas las cantidades en el determinante son números conocidos. Nuestra estrategia consisteen encontrar una combinación lineal de las (n − 1) primeras columnas que, cuando es sumada a13

la última columna, reduzca a ésta a ceros excepto la primer posición. Esto es, queremos encontrarun conjunto de escalares β i tales quen−1∑C n + β i C i = k(λ)e 1 (0.1)i=1donde los C i son las columnas de nuestro determinante. Si reemplazamos la ultima columna deldeterminante por esta combinación lineal de columnas, el valor numérico del determinante nocambia, y éste tiene ahora la forma⎡⎤a 11 − λ a 12 a 13 a 14 . . . a 1,n−1 kb 1 a 22 − λ a 23 a 24 a 2,n−1 0b 2 a 33 − λ a 34 a 3,n−1 0p (λ) =b 3 a 44 − λ a 4,n−1 0. .⎢b 4 . .⎥⎣a n−1,n−1 − λ 0⎦. . . b n−1 0Desarrollando este determinante por la última columna obtenemos⎡⎤b 1 a 22 − λ a 23 . . . a 2,n−1b 2 a 33 − λ a 3,n−1p (λ) = (−1) n+1 b 3 a 4,n−1k(λ). .. ⎢.⎥⎣a n−1,n−1 − λ⎦b n−1el cual es el determinante de una matriz triangular y por lo tanto es el producto de los elementosde su diagonal. Asín−1∏p (λ) = (−1) n+1 k(λ) b ii (0.2)Podemos encontrar los β i en forma sucesiva a partir de las ecuaciones (0.1)y por lo tanto obtenemos k dey ahora podemos evaluar p (λ) de (0.2).i=1β n−1 b n−1 + (a nn − λ) = 0β n−2 b n−2 + β n−1 (a n−1,n−1 − λ) + a n−1,n = 0β 1 b 1 + β 2 (a 22 − λ) + β 3 a 23 + · · · + β n−1 a 2,n−1 + a 2n = 0β 1 (a 11 − λ) + β 2 a 12 + · · · + β n−1 a 1,n−1 + a 1n = k.Algoritmos de factorizaciónPara finalizar vamos a presentar un conjunto de algoritmos iterativos para calcular los autovaloresde una matriz A n × n que si bien no convergen exactamente en número finito de pasosresultan de suma importancia. Estos algoritmos son conocidos como métodos de factorización yaque se basan en la suposición de que la matriz A puede ser factorizada en una matriz izquierdaF L y una matriz derecha F RA = F L F R14

Si ahora invertimos el orden de los factores obtenemos una matrizA ′ = F R F L = F −1L AF L(dado que F −1L A = F R) que es semejante a la matriz A a través de la transformación F L . Así,cualquier factorización en dos matrices al ser multiplicadas en orden inverso constituyen unatransformación de semejanza. Los métodos de factorización explotan esta idea, pero para que elalgoritmo sea práctico la factorización de ser tal que el método converja, sea estable y eficiente.El primero de los dos métodos que consideraremos es el llamado método LR. Aquí se generauna sucesión de matrices comenzando con A (1) = A, y se utiliza el procedimiento de eliminacióngaussiana para representar la matriz A (i) como el producto de una matriz triangular inferiorL i = (l jk ) con l jj = 1 y una matriz triangular superior R i⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0A (i) ⎢= L i R i , L i = ⎣.. ..∗ · · · 1⎥⎦, R i =∗ · · · ∗. ..⎥. ⎦0 ∗⎢⎣y entonces se tomaA (i+1) = R i L i = L i+1 R i+1 , i = 1, 2, . . .Ahora bien, sabemos que para una matriz arbitraria A (i+1) no siempre existe tal factorizaciónsin intercambio de filas. Sin embargo, asumiendo que A (i) puede ser factorizada, es posible asegurarque, bajo ciertas condiciones, la sucesión de matrices A (i) , i = 1, . . . converge a una matriztriangular superior cuyos elementos de la diagonal son los autovalores de A.Para una matriz densa n × n, la factorización requiere del orden de n 3 /3 multiplicaciones,y la multiplicación matricial en orden inverso de otras n 3 /3. Así, en cada paso del algoritmo(necesariamente infinito) tenemos del orden de n 3 operaciones. Por lo tanto, el algoritmo LRno es práctico para matrices generales. Ahora bien, puede verificarse fácilmente que las formastridiagonales y de Hessenberg se preservan bajo el algoritmo LR. Como la factorización de matricestridiagonales requiere del orden de n multiplicaciones, y n 2 para matrices de Hessenberg, vemos queel algoritmo LR puede ser efectivo para encontrar los autovalores de estas matrices particulares.Para una matriz general solo debe reducirse primero a una de las formas anteriores por los métodosya discutidos.Sin embargo el método LR adolece de problemas. En primer lugar las iteraciones se detendránsi alguna de las matrices A (i) no tiene la descomposición triangular, y aún, si esta descomposiciónexiste el problema de calcular L (i) y R i puede estar mal condicionado al no permitir el intercambiode filas con el fin de evitar elementos de pivote pequeños. Así el método puede ser inestable.Para evitar estas dificultades, y hacer el método numéricamente estable, uno podría realizarla descomposición con pivote parcial 1010 La cual siempre existe.P (i) A (i) = L i R i , P i matriz de permutación, P −1iA (i+1) = R i P t i L i = L −1i (P i A (i) P t i )L i= P t i15

Sin embargo, hay ejemplos para los cuales este proceso no converge. Por ejemplo, sea[ ]A (1) 1 3= , λ2 0 1 = 3, λ 2 = −2[ ] [ ] [ ] [ ]0 12 0 1 0 2 0P 1 = , P1 0 1 A (1) = == L1 3 1/2 1 0 3 1 R 1[ ]A (2) = R 1 P t 1 21 L 1 =3 0[ ] [ ] [ ] [ ]0 13 0 1 0 3 0P 2 = , P1 0 2 A (1) = == L1 2 1/3 1 0 2 2 R 2[ ]A (3) = R 2 P t 1 32 L 2 = = A2 0(1)Estas dificultades del método LR desaparecen en el llamado método QR. Formalmente, elmétodo comienza con A (1) = A y genera matrices Q i y R i tales queA (i) = Q i R idonde Q i es una matriz ortogonal, Q t i Q = I y R i es una matriz triangular superior⎡ ⎤∗ · · · ∗⎢R i = ⎣. .. .⎥⎦0 ∗Puede mostrarse que una factorización de este tipo siempre existe y puede ser calculada en unamanera estable a través de matrices de Householder que anulen los elementos de las sucesivascolumnas A (i) debajo de la diagonal.El método toma ahora como siguiente matriz de la sucesiónA (i+1) = R i Q iLa transformación A (i) → A (i+1) no solo es de semejanza, sino que también es ortogonal. Enefecto, ya que Q es ortogonal, R i = Q −1i A (i) = Q t i A(i) y por lo tantoA (i+1) = R i Q i = Q t i A(i) Q iPuede mostrarse que, bajo ciertas condiciones —en particular que los autovalores λ i de Atengan módulos distintos|λ 1 | > |λ 2 | > · · · > |λ n |— entonces la sucesión de matrices A (i) converge a una matriz triangular superior siendo suselementos diagonales los autovalores de A. Además la velocidad de convergencia con que lascomponentes debajo de la diagonal principal tienden a cero está determinada por los cocientes| λ jλ k|,j > kAsí la convergencia puede resultar muy lenta si algunos de estos cocientes son cercanos a la unidad.Sin embargo, con una modificación del procedimiento se puede acelerar la convergencia.Como en el método LR, un paso en el método QR para una matriz densa n × n requiere delorden de n 3 operaciones. Debido a esto, el método QR se aplica en la práctica solo a matricessimples, como son las matrices de Hessenberg, o en la caso de matrices simétricas, las matricestridiagonales (simétricas). Así una matriz cualquiera debe ser reducida previamente a una de estasformas por los métodos ya discutidos. Por supuesto, para que este procedimiento tenga sentido16

debe mostrarse que estas formas especiales son invariantes por una transformación QR; esto es, siA (i) es una matriz de Hessenberg (posiblemente simétrica, en cuyo caso es tridiagonal), entoncestambién lo es A i+1 . Esta invarianza puede ser establecida fácilmente. En primer lugar, si A (i)es simétrica, A (i+1) también lo es debido que la transformación QR es ortogonal. Supongamosahora que A (i) es una matriz de Hessenberg n × n, como ya mencionamos A (i+1) puede sercalculada a partir de una sucesión de transformaciones de Householder, sin embargo, en el casode matrices de Hessenberg, resulta más eficiente utilizar transformaciones de Givens. Primero,reducimos los elementos de la subdiagonal A (i) a cero a través de matrices de Givens adecuadasdel tipo Ω 21 , . . . ,Ω n−1,nΩ n−1,n · · ·Ω 2,3 Ω 1,2 A (i) = R i =A (i) = Q i R i ,⎡ ⎤∗ · · · ∗⎢⎣. ... ⎥. ⎦0 ∗Q i = Ω t 12Ω t 23 · · ·Ω t n−1,ny entonces calculamos A (i+1) A (i+1) = R i Q i = R i Ω t 12 Ωt 23 · · ·Ωt n−1,nDebido a la estructura especial de Ω j,j+1 , la matriz triangular superior R i es transformada por lapostmultiplicación con Ω t j,j+1 a una matriz A(i+1) de la forma de Hessenberg. Nótese que A (i+1)puede ser calculada de A (i) muy eficientemente si las multiplicaciones matriciales son realizadasen el siguiente ordenA (i+1) = (Ω n−1,n . . .(Ω 23 ((Ω 12 A (i) )Ω t 12 ))Ωt 23 . . . )Ωt n−1,nLlevada a cabo de esta manera, un paso en la transformación de una matriz de Hessenberg n × nrequiere solo de n 2 multiplicaciones y solo n operaciones en el caso simétrico, esto es, en el casode una matriz tridiagonal simétrica.Aplicado de esta forma, el método QR resulta ser uno de los mejores métodos conocidos paradeterminar todos los autovalores de una matriz.Referencias[1] F. S. Acton: Numerical Methods that Work.[2] J. Stoer and R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analisis.[3] Numerical Recipes in FORTRAN 77: The art of scientifc computing.17