Práctica 6

1PRACTICA N ◦ 6EDP HIPERBOLICAS1- Una cuerda de longitud l está sujeta por los extremos x = 0, x = l. En el momentoinicial en x = l/3 está extendida a una distancia unidad del eje x. Después se suelta sincomunicarles a sus puntos velocidad inicial. Hallar la forma de la cuerda para t = l/3a.2- Resolver el problema de las vibraciones longitudinales de un cable con extremo fijo enx = 0 y el extremo x = l libre, si el cable tiene una extensión inicial u(x, 0) = Ax para0 ≤ x ≤ l y la velocidad inicial es nula.3- Resolver el problema de las oscilaciones de una cuerda bajo la acción de una fuerzaexterna estacionaria f(x) = exp(x) y tal que u(0, t) = 1, u(1, t) = 2, siendo la longitud dela cuerda l = 1.4- Resolver la ecuaciónu xx + 6u xy + 5u yy = 0,de modo que sobre las características L1 : x − y = 0 y L2 : 5x − y = 0 tome los valoresu L1 = α(x), u L2 = β(x), con α(0) = β(0).5- Verificar directamente que la fórmula√)v(x, t) = J 0(µ (x + t − α)(x − t − β) ,(función de Riemann) es solución de la ecuaciónv xx − v tt + µ 2 v = 0.Sugerencia: J ′ 0 (x) = −J 1(x) y [xJ 1 (x)] ′ = xJ 0 (x).7- Usando la función de Riemann expresar la solución del problema

2u xx − u tt + µ 2 u = 0,con u(x, 0) = φ(x), u t (x, 0) = ψ(x).8- Resolver la ecuaciónu xx − u yy + au x + bu y + cu = 0,donde a, b y c son constantes, con −∞ < x < ∞, y > 0, si u(x, 0) = φ(x) y y (x, 0) = ψ(x).9- Hallar la solución deu tt = u xx ,con x ≥ 0, k > 1, si u(x, 0) = φ 0 (x), u t (x, 0) = φ 1 (x) y u(x, kx) = ψ(x), con φ 0 (0) = ψ(0).