Descarregar extracte - e-BUC
Descarregar extracte - e-BUC Descarregar extracte - e-BUC
Apèndix 383APÈNDIX A. RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DIFERENCIALSA.1 IntroduccióL'estudi dels dispositius electrònics requereix resoldre algunes equacions diferencials moltsimples: l'equació de continuïtat en el domini temporal:en el domini espacial:Dp∂pp −= g −∂tτpp o(A.1)2∂ p ∂(pEel) p − po− µ − + g = 02 p(A.2)∂x∂xτpi el model de control de càrrega del dispositiu:Qs∂Qsi( t)= +(A.3)τ ∂ttTotes aquestes equacions diferencials són lineals i de coeficients constants (en l'equació 2només considerarem el cas en què E el sigui constant), la resolució de les quals l'estudiant hadut a terme en altres matèries cursades previament. L'experiència demostra, però, quealguns estudiants tenen una mica oblidats aquests coneixements, la qual cosa els provocaun cert temor a enfrontar-se a aquestes equacions. Per ajudar a resoldre aquest problemaoferim aquest resum, en tall quasi de "recepta".A.2 Resolució d'equacions diferencials lineals de coeficients constantsConsiderem la següent equació diferencial:nn−1∂ y ∂ y ∂y+ a1 + ... + a1+ − ( ) = 0−1−a y b xnnnn∂x∂x∂x(A.4)en la que a i són constants. El procediment per resoldre aquesta equació consisteix a seguirles següents etapes:© Els autors, 2006; © Edicions UPC, 2006
384 Dispositius electrònics i fotònics1. Escriure l'equació diferencial de forma estàndard: els termes que contenen laincògnita i les seves derivades en el primer membre de la igualtat. La resta de termes en elsegon membre:nn−1∂ y ∂ y ∂y+ a1 + ... + a1a y b(x)nn 1n+n=−−(A.5)∂x∂x∂x2. Trobar la solució general de l'equació homogènia. L'equació homogènia és laconstituïda pel primer membre de 5 igualat a zero:nn−1∂ y ∂ y ∂y+ a1+ ... + a1+ = 02 −1−a ynnnn∂x∂x∂x(A.6)Per resoldre aquesta equació s'assaja una solució del tipus y = e λx , i es determina elparàmetre λ perquè sigui solució. Si substituïm aquesta expressió i les seves derivades a 6resulta:eλxn n−1[ λ + a λ + ... + a ] 01 n=(A.7)El polinomi de λ contingut dins el parèntesi s'anomena equació característica de l'equaciódiferencial. Perquè e λx sigui solució cal que es compleixi l'ultima equació. Aquesta equacióes compleix si e λx és nul·la o si el parèntesi és nul. La primera alternativa no és adequada,atès que només implica la solució trivial y = 0. Contrariament, anul·lar el parèntesi porta auna solució no nul·la per a y. Si λ o és una solució de l'equació característica, y = exp(λ o x) ésuna solució de l'equació diferencial.La solució general de l'equació diferencial ve donada per qualsevol combinació lineal de nsolucions linealment independents de l'equació homogènia. Es donen dues situacions:a) Les n arrels de l'equació característica són diferents.En aquest cas, si les arrels són λ 1 , λ 2 ,...λ n , la solució general de l'equació homogènia és:λ1 x λ xn1xyhc e c e2λ1+2+ ... + cne= (A.8)on c i són constants arbitràries. Aquesta afirmació és immediata de comprovar substituint 8en l'equació homogènia 6.b) Si les arrels de l'equació característica tenen graus de multiplicitat majors que la unitat.Si l'arrel λ i té un grau de multiplicitat m p , aquesta arrel proporciona les m p solucionslinealment independents següents:λ x x mi λip −1λixe , xe ,..., x e(A.9)La solució general de l'equació diferencial serà qualsevol combinació lineal de les nsolucions linealment independents, obtingudes amb les solucions de l'equació característica.© Els autors, 2006; © Edicions UPC, 2006
- Page 1 and 2: POLITEXTLluís Prat ViñasJosep Cal
- Page 3 and 4: POLITEXTLluís Prat ViñasJosep Cal
- Page 5 and 6: 8 Dispositius electrònics i fotòn
- Page 8 and 9: 12 Dispositius electrònics i fotò
- Page 10: 2 La junció PN 77La majoria de dis
- Page 13 and 14: 80 Dispositius electrònics i fotò
- Page 15 and 16: 82 Dispositius electrònics i fotò
- Page 17 and 18: 84 Dispositius electrònics i fotò
- Page 19 and 20: Capítol 3Tecnologia de fabricació
- Page 21 and 22: 146 Dispositius electrònics i fot
- Page 25: 150 Dispositius electrònics i fot
- Page 28 and 29: 4 Dispositius optoelectrònics 183L
- Page 30 and 31: 4 Dispositius optoelectrònics 185s
- Page 32 and 33: 4 Dispositius optoelectrònics 187N
- Page 34 and 35: 4 Dispositius optoelectrònics 1891
- Page 36 and 37: 5El transistor bipolar© Els autors
- Page 38 and 39: 242 Dispositius electrònics i fot
- Page 40 and 41: 244 Dispositius electrònics i fot
- Page 42 and 43: 246 Dispositius electrònics i fot
- Page 44 and 45: 248 Dispositius electrònics i fot
- Page 46 and 47: 306 Dispositius electrònics i fot
- Page 48 and 49: 308 Dispositius electrònics i fot
- Page 50 and 51: 310 Dispositius electrònics i fot
- Page 54 and 55: 386 Dispositius electrònics i fot
- Page 56 and 57: Apèndix C. El qüestionari interac
Apèndix 383APÈNDIX A. RESOLUCIÓ D'EQUACIONS DIFERENCIALSA.1 IntroduccióL'estudi dels dispositius electrònics requereix resoldre algunes equacions diferencials moltsimples: l'equació de continuïtat en el domini temporal:en el domini espacial:Dp∂pp −= g −∂tτpp o(A.1)2∂ p ∂(pEel) p − po− µ − + g = 02 p(A.2)∂x∂xτpi el model de control de càrrega del dispositiu:Qs∂Qsi( t)= +(A.3)τ ∂ttTotes aquestes equacions diferencials són lineals i de coeficients constants (en l'equació 2només considerarem el cas en què E el sigui constant), la resolució de les quals l'estudiant hadut a terme en altres matèries cursades previament. L'experiència demostra, però, quealguns estudiants tenen una mica oblidats aquests coneixements, la qual cosa els provocaun cert temor a enfrontar-se a aquestes equacions. Per ajudar a resoldre aquest problemaoferim aquest resum, en tall quasi de "recepta".A.2 Resolució d'equacions diferencials lineals de coeficients constantsConsiderem la següent equació diferencial:nn−1∂ y ∂ y ∂y+ a1 + ... + a1+ − ( ) = 0−1−a y b xnnnn∂x∂x∂x(A.4)en la que a i són constants. El procediment per resoldre aquesta equació consisteix a seguirles següents etapes:© Els autors, 2006; © Edicions UPC, 2006
Change language