58 Capítulo 3. Antece<strong>de</strong>ntes, Estado <strong>de</strong> la CuestiónDado que las operaciones se realizan utilizando matrices, se necesita realizar una pequeñamodificación por dos motivos:Para que no alteren <strong>de</strong> igual forma a un vector y a un punto (su representación esidéntica: tres números), lo cual sería incorrecto.Para po<strong>de</strong>r efectuar algunas transformaciones afines (como la traslación) que <strong>de</strong> otraforma sería imposible realizar con una simple multiplicación <strong>de</strong> matrices.Por estas razones es necesario introducir la representación con coor<strong>de</strong>nadas homogéneas.Para convertir un vector o un punto <strong>de</strong> su representación en coor<strong>de</strong>nadas cartesianas a homogéneas,basta con introducir una nueva coor<strong>de</strong>nada a las típicas XY Z. Se le aña<strong>de</strong> lacomponente W <strong>de</strong> la siguiente forma:Punto P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) en cartesianas, pasa a ser P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) en homogéneas.Vector v = (a, b, c) en cartesianas, pasa a ser v = (a, b, c, w) en homogéneas.La nueva componente valdrá 1 en caso <strong>de</strong> puntos y 0 en caso <strong>de</strong> vectores. La transformacióninversa se realiza normalizando los valores por su componente. En el caso <strong>de</strong>l punto,tendríamos: P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) en homogéneas pasa a P 1 = (x 1 /w 1 , y 1 /w 1 , z 1 /w 1 ) en cartesianas.Gracias a la función <strong>de</strong> escalado, es posible aumentar o disminuir el tamaño <strong>de</strong> un objeto.Únicamente hay que multiplicar cada uno <strong>de</strong> sus vértices por la matriz a) <strong>de</strong> la Figura 3.15,uniéndolos <strong>de</strong>spués con segmentos tal y como estaban al principio.La traslación es una transformación afín imposible <strong>de</strong> realizar en cartesianas si no se incluyeuna suma <strong>de</strong> matrices. Lo interesante es únicamente multiplicar ya que, la mayoría <strong>de</strong>los pipelines gráficos implementados en hardware están optimizados en recibir matrices paraconcatenarlas y multiplicarlas.nuevo, se obtiene como resultado final la línea que los une transformada. De esta forma, sólo será necesarioaplicar transformaciones a los vértices <strong>de</strong> la geometría.
punto, tendríamos: P 1 =( x 1 ,y 1 ,z 1 , w 1 ) en homogéneas pasa a P 1 =( x 1 /w 1 , y 1 /w 1 , z 1 /w 1 ) en3.2. Técnicas <strong>de</strong> representación 3D 59cartesianas.⎡SX0⎢⎢0 SYa)⎢ 0 0⎢⎣ 0 0⎡10⎢⎢0 cosφc)⎢0senφ⎢⎣000 0⎤0 0⎥⎥S 0⎥Z⎥0 1⎦0− senφcosφ0⎡10 0 TX⎤⎢⎥⎢0 1 0 TYb)⎥⎢00 1 T ⎥Z⎢⎥⎣00 0 1 ⎦0⎤⎡ cosφ00⎥ ⎢⎥ ⎢0 1d)0⎥⎢−senφ0⎥ ⎢1⎦⎣ 0 0senφ0cosφ00⎤0⎥⎥0⎥⎥1⎦⎡cosφ⎢⎢senφe)⎢ 0⎢⎣ 0− senφcosφ- Figura 2.16. Transformaciones geométricas afines. a) Escalar b) Trasladarc) Rotar Eje X d) Rotar Eje Y e) Rotar Eje Z -Figura 3.15: Transformaciones geométricas afines. a) Escalar, b) Trasladar, c) Rotar EjeX, d)Rotar EjeY, Gracias e) Rotar a la EjeZ función <strong>de</strong> escalado, es posible aumentar o disminuir el tamaño <strong>de</strong> unobjeto. Únicamente hay que multiplicar cada uno <strong>de</strong> sus vértices por la matriz a) <strong>de</strong> la Fig2.16, uniéndolos <strong>de</strong>spués con segmentos tal y como estaban al principio.La rotación <strong>de</strong>be realizarse alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje <strong>de</strong> referencia. Según sea el eje tomado,La traslación es una transformación afín imposible <strong>de</strong> realizar en cartesianas si notendremos que utilizar una matriz <strong>de</strong> transformación u otra (ver Fig. 3.15, (c), (d) y (e)). Else incluye una suma <strong>de</strong> matrices. Lo interesante es únicamente multiplicar ya que, la mayoría<strong>de</strong> los pipelines gráficos implementados en hardware están optimizados en recibir ma-ángulo <strong>de</strong> rotación se <strong>de</strong>fine como positivo si supone girar en dirección contraria a las agujas<strong>de</strong>l reloj, al mirar el eje sobre el que se rota <strong>de</strong> fuera hacia <strong>de</strong>ntro (mirar hacia el origen).trices para concatenarlas y multiplicarlas.La rotación <strong>de</strong>be realizarse alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un eje <strong>de</strong> referencia. Según sea el eje tomado,La transformación tendremos que <strong>de</strong>utilizar <strong>de</strong>formación una matriz consiste <strong>de</strong> transformación en hacer que alguna u otra (ver <strong>de</strong> las Fig. componentes 2.16, (c), (d) <strong>de</strong>yun(e)). vértice El ángulo varíe linealmente <strong>de</strong> rotación en se función <strong>de</strong>fine como <strong>de</strong> otra. positivo Segúnsi muestra supone lagirar Figura en 3.16, dirección en a) contraria variamosalas las componentes agujas <strong>de</strong>l reloj, Y y al Z mirar en función el eje <strong>de</strong> sobre X, en el que b) lase Xrota y Z<strong>de</strong> enfuera función hacia <strong>de</strong><strong>de</strong>ntro Y y en(mirar c) X hacie e Y enelfunción origen). <strong>de</strong> Z.⎡xt⎤ ⎡ 1 0 0 0⎤⎡x⎤⎡xt⎤ ⎡1Syx0 0⎤⎡x⎤⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥3.2.2.6 Concatenación ⎢yt⎥ ⎢S 1 0 0⎥ ⎢y⎥ ⎢y⎥ ⎢0 1 0 0=⎥ ⋅ ⎢ya)= <strong>de</strong> transformacionesxyt⋅ b)⎥⎢z⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥tSxz0 1 0 z zt0 Syz1 0 z⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎣ 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 1⎦⎣1⎦⎣ 1 ⎦ ⎣00 0 1⎦⎣1⎦Cuando se requieren aplicar múltiples transformaciones a un <strong>de</strong>terminado objeto geométrico,es necesario concatenar todas⎢las⎥⎢⎥ ⎢ ⎥⎡xt⎤ ⎡10 Szx0⎤⎡x⎤⎢y matrices⎥ = ⎢0 1 por S las0que tzy)⎥ ⋅ ⎢ysus vértices <strong>de</strong>ben multiplicarse.c⎥Para cada transformación se crea una ⎢z⎥ ⎢00 1 0⎥⎢z⎥tmatriz, multiplicándolas todas. De esta forma, se obtieneuna matriz resultante, la única que ⎣ 1 ⎦se aplicará ⎣00 a0los vértices 1⎦⎣1⎦para que se vean afectados⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥portodas- las Figura transformaciones.2.17. Deformaciones (Shearing). a) En función <strong>de</strong> x, b) En función <strong>de</strong> y, c) En función <strong>de</strong> z -0000100⎤0⎥⎥0⎥⎥1⎦- 35 -
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UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHAES
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