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58 Capítulo 3. Antecedentes, Estado de la CuestiónDado que las operaciones se realizan utilizando matrices, se necesita realizar una pequeñamodificación por dos motivos:Para que no alteren de igual forma a un vector y a un punto (su representación esidéntica: tres números), lo cual sería incorrecto.Para poder efectuar algunas transformaciones afines (como la traslación) que de otraforma sería imposible realizar con una simple multiplicación de matrices.Por estas razones es necesario introducir la representación con coordenadas homogéneas.Para convertir un vector o un punto de su representación en coordenadas cartesianas a homogéneas,basta con introducir una nueva coordenada a las típicas XY Z. Se le añade lacomponente W de la siguiente forma:Punto P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) en cartesianas, pasa a ser P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) en homogéneas.Vector v = (a, b, c) en cartesianas, pasa a ser v = (a, b, c, w) en homogéneas.La nueva componente valdrá 1 en caso de puntos y 0 en caso de vectores. La transformacióninversa se realiza normalizando los valores por su componente. En el caso del punto,tendríamos: P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) en homogéneas pasa a P 1 = (x 1 /w 1 , y 1 /w 1 , z 1 /w 1 ) en cartesianas.Gracias a la función de escalado, es posible aumentar o disminuir el tamaño de un objeto.Únicamente hay que multiplicar cada uno de sus vértices por la matriz a) de la Figura 3.15,uniéndolos después con segmentos tal y como estaban al principio.La traslación es una transformación afín imposible de realizar en cartesianas si no se incluyeuna suma de matrices. Lo interesante es únicamente multiplicar ya que, la mayoría delos pipelines gráficos implementados en hardware están optimizados en recibir matrices paraconcatenarlas y multiplicarlas.nuevo, se obtiene como resultado final la línea que los une transformada. De esta forma, sólo será necesarioaplicar transformaciones a los vértices de la geometría.
punto, tendríamos: P 1 =( x 1 ,y 1 ,z 1 , w 1 ) en homogéneas pasa a P 1 =( x 1 /w 1 , y 1 /w 1 , z 1 /w 1 ) en3.2. Técnicas de representación 3D 59cartesianas.⎡SX0⎢⎢0 SYa)⎢ 0 0⎢⎣ 0 0⎡10⎢⎢0 cosφc)⎢0senφ⎢⎣000 0⎤0 0⎥⎥S 0⎥Z⎥0 1⎦0− senφcosφ0⎡10 0 TX⎤⎢⎥⎢0 1 0 TYb)⎥⎢00 1 T ⎥Z⎢⎥⎣00 0 1 ⎦0⎤⎡ cosφ00⎥ ⎢⎥ ⎢0 1d)0⎥⎢−senφ0⎥ ⎢1⎦⎣ 0 0senφ0cosφ00⎤0⎥⎥0⎥⎥1⎦⎡cosφ⎢⎢senφe)⎢ 0⎢⎣ 0− senφcosφ- Figura 2.16. Transformaciones geométricas afines. a) Escalar b) Trasladarc) Rotar Eje X d) Rotar Eje Y e) Rotar Eje Z -Figura 3.15: Transformaciones geométricas afines. a) Escalar, b) Trasladar, c) Rotar EjeX, d)Rotar EjeY, Gracias e) Rotar a la EjeZ función de escalado, es posible aumentar o disminuir el tamaño de unobjeto. Únicamente hay que multiplicar cada uno de sus vértices por la matriz a) de la Fig2.16, uniéndolos después con segmentos tal y como estaban al principio.La rotación debe realizarse alrededor de un eje de referencia. Según sea el eje tomado,La traslación es una transformación afín imposible de realizar en cartesianas si notendremos que utilizar una matriz de transformación u otra (ver Fig. 3.15, (c), (d) y (e)). Else incluye una suma de matrices. Lo interesante es únicamente multiplicar ya que, la mayoríade los pipelines gráficos implementados en hardware están optimizados en recibir ma-ángulo de rotación se define como positivo si supone girar en dirección contraria a las agujasdel reloj, al mirar el eje sobre el que se rota de fuera hacia dentro (mirar hacia el origen).trices para concatenarlas y multiplicarlas.La rotación debe realizarse alrededor de un eje de referencia. Según sea el eje tomado,La transformación tendremos que deutilizar deformación una matriz consiste de transformación en hacer que alguna u otra (ver de las Fig. componentes 2.16, (c), (d) deyun(e)). vértice El ángulo varíe linealmente de rotación en se función define como de otra. positivo Segúnsi muestra supone lagirar Figura en 3.16, dirección en a) contraria variamosalas las componentes agujas del reloj, Y y al Z mirar en función el eje de sobre X, en el que b) lase Xrota y Zde enfuera función hacia dedentro Y y en(mirar c) X hacie e Y enelfunción origen). de Z.⎡xt⎤ ⎡ 1 0 0 0⎤⎡x⎤⎡xt⎤ ⎡1Syx0 0⎤⎡x⎤⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥3.2.2.6 Concatenación ⎢yt⎥ ⎢S 1 0 0⎥ ⎢y⎥ ⎢y⎥ ⎢0 1 0 0=⎥ ⋅ ⎢ya)= de transformacionesxyt⋅ b)⎥⎢z⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥tSxz0 1 0 z zt0 Syz1 0 z⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎣ 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 1⎦⎣1⎦⎣ 1 ⎦ ⎣00 0 1⎦⎣1⎦Cuando se requieren aplicar múltiples transformaciones a un determinado objeto geométrico,es necesario concatenar todas⎢las⎥⎢⎥ ⎢ ⎥⎡xt⎤ ⎡10 Szx0⎤⎡x⎤⎢y matrices⎥ = ⎢0 1 por S las0que tzy)⎥ ⋅ ⎢ysus vértices deben multiplicarse.c⎥Para cada transformación se crea una ⎢z⎥ ⎢00 1 0⎥⎢z⎥tmatriz, multiplicándolas todas. De esta forma, se obtieneuna matriz resultante, la única que ⎣ 1 ⎦se aplicará ⎣00 a0los vértices 1⎦⎣1⎦para que se vean afectados⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥portodas- las Figura transformaciones.2.17. Deformaciones (Shearing). a) En función de x, b) En función de y, c) En función de z -0000100⎤0⎥⎥0⎥⎥1⎦- 35 -
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AgradecimientosQuiero mostrar mi m
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134 Capítulo A. DiagramasUSERcallb
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172 BIBLIOGRAFÍA[17] OpenGL Archit
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