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3.2. Técnicas de representación 3D 43Se calcula el valor de la segunda derivada en el punto i:y ′′i (u) = 2c i + 6d i u (3.13)Como se ha comentado, por las condiciones de spline cúbica natural, se tiene que cumplir quey ′′i (0) = y ′′i−1(1), y se obtiene:2c i = 2c i−1 + 6c i−1c i = c i−1 + 3d i−1Sustituyendo en la ecuación obtenida los valores de c i y d i (ec. 3.11 y ec. 3.12); sumandoambas y simplificando, se obtiene:c i = 3(y i+1 − y i ) − D i+1 − 2D i +3d i = 6(y i − y i+1 ) + 3D i + 3D i+1− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −c i + 3d i = 3(y i+1 − y i ) + 6(y i − y i+1 ) + D i + 2D i+1c i + 3d i = 3(y i − y i+1 ) + D i + 2D i+1c i−1 3d i−1} {{ }c i= 3(y i−1 − y i ) + D i−1 + 2D iUsamos de nuevo la ecuación 3.11, cambiando el valor de c i por esa expresión:3(y i+1 − y i ) − 2D i − D i+1 = 3(y i−1 − y i ) + D i−1 + 2D i−D i−1 − 4D i − D i+1 = 3(y i+1 − y i ) − 3(y i−1 − y i )−D i−1 − 4D i − D i+1 = 3y i+1 − 3y i − 3y i−1 − 3y iSimplificando y sacando factor común:D i−1 + 4D i + D i+1 = 3y i+1 − 3y i−1D i−1 + 4D i + D i+1 = 3(y i+1 − y i−1 ) (3.14)Por una de las condiciones de spline natural, se conoce que Y ′′o (0) = 2c 0 = 0, por lo que,sustituyendo en la ec. 3.11 se obtiene que:2D 0 + D 1 = 3(y 1 − y 0 ) (3.15)