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3.2. Técnicas de representación 3D 41x(u)y(u)x 1X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7Y 0Y 1y 2Y 4Y 5Y 6Y 7Y 8x 0Y 2 Y 3X 0y 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9uuFigura 3.9: Notación para nombrar segmentos en una spline cúbica de dos dimensiones.Como u varía desde 0 hasta 1 a lo largo de cada segmento de curva, entonces Y i (u) nosdará el punto de control i-ésimo (yi) cuando u = 0, e igualmente, el punto de control y i+1cuando u = 1. Por tanto, X i (u) = xi cuando u = 0 y X i (u) = xi + 1 cuando u = 1. Lascuatro incógnitas de la ecuación 3.6, que estarán presentes en cada segmento, se determinarán“emparejando” los puntos de control, forzando la continuidad de las primera y segunda derivadasen los puntos interiores y aplicando ciertas condiciones (que veremos más adelante)para los puntos extremos de la curva; primer y último punto.A lo largo de cada segmento (tomando el segmento de curva i-ésimo), con el valor de lospuntos extremos, se obtendrán las siguientes ecuaciones:Y i (0) = y i = a i (3.7)Y i (1) = y i+1 = a i + b i + c i + d i (3.8)Recordar que el número de puntos de control es n, y el número de segmentos es m (m= n-1). Las dos ecuaciones anteriores se obtendrán de todos los puntos de control interiores,por lo que se dispone de 2m ecuaciones para resolver las 4m incógnitas que se plantean inicialmente.Forzando a que las primeras y segundas derivadas sean iguales (respectivamente)en los extremos de cada intervalo, obtendremos otras 2m-2 ecuaciones. Por lo tanto, faltan2 ecuaciones para resolver el sistema. Como se ha comentado, existen varias opciones paradefinirlas. Las splines cúbicas naturales toman su segunda derivada valor cero en los puntosinicial y final. Es decir: Y ′0′(0) = Y ′ m−1′(1) = 0. Para resolver las incógnitas, resulta útil y