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36 Capítulo 3. Antecedentes, Estado de la CuestiónToman su nombre del matemático francés Charles Hermite. Su característica principal esque cada punto de control posee una tangente específica. Además, permiten control local.La expresión general de las splines de Hermite es:x(u) = x k (2u 3 − 3u 2 + 1) + x k+1 (−2u 3 + 3u 2 ) + D k (u 3 − 2u 2 + u) + D k+1 (u 3 − u 2 ) (3.1)Análogamente se definiría para y,z.En la expresión anterior (Ec. 3.1):x k es el valor de x en el punto P kx k+1 es el valor de x en el punto P k+1D k es el valor de la primera derivada en P kD k+1 es el valor de la primera derivada en P k+1Las splines de Hermite pueden ser útiles para algunas aplicaciones donde no sea difícilaproximar o dar valores a las pendientes de la curva. Sin embargo, generalmente es más útilgenerar valores para las pendientes de forma automática, sin requerir la entrada por parte delusuario. Estos cálculos de pendientes se suelen hacer en función de las posiciones de los puntosde control.3.2.1.6 Splines Cardinales y Catmull-RomLos polinomios empleados son del tipo Hermite, pero se difieren en que las tangentesen las fronteras de cada sección de curva son calculadas en base a las coordenadas de lospuntos de control adyacentes. Aparece el término de “parámetros de tensión”, que son losque permiten ajustar más o menos la curva a los puntos de control. Para cada sección de curvase tienen las siguientes condiciones:P 0 = P iP 1 = P i+1
3.2. Técnicas de representación 3D 37P ′ 0 = 1 2 (1 − t)(P i+1 − P i−1 )P ′ 1 = 1 2 (1 − t)(P i+2 − P i )Como se puede observar, las pendientes en los puntos de control P i y P i +1 son proporcionalesa las cuerdas formadas por P i−1 P i+1 , y P i P i+2 .Siendo t el parámetro de tensión, si se toma t < 0 la curva queda menos tensa alrededorde los puntos P i P i+1 , y por el contrario quedará más tensa si se toma t > 0.La expresión general de este tipo de curvas es:P (u) = P k+1 (−su 3 + 2su 2 − su) + P k [(2 − s)u 3 + (s − 3)u 2 + 1] +P k+1 [(s − 2)u 3 + (3 − 2s)u 2 + su] + P k+2 (su 3 − su 2 )(1 − t)siendo s =23.2.1.7 Curvas de BézierFueron desarrolladas por Pierre Bézier quien, posteriormente, las utilizó para diseñar ladiferentes partes de un coche (modelo Renault). Se basan en aproximación, siendo esta larazón principal por la que son más utilizadas en los sistemas CAD (Computer Added Design)que las splines cúbicas [20].A medida que aumenta el número de puntos, también lo hace el grado de la curva. Paraconstruir una curva de Bézier con continuidad C 2 es necesario n = 3, siendo la ecuaciónparamétrica:P (t) =n∑P i f i (t), 0 ≤ t ≤ ii=0Las funciones f(t) son polinomios de Bernstein de la forma:⎛f i (t) = Bi n ⎜(t)n ⎝i⎞⎟⎠ (1 − t) n−i t i , 0 ≤ t ≤ 1 (3.2)
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3.2. Técnicas <strong>de</strong> representación 3D 37P ′ 0 = 1 2 (1 − t)(P i+1 − P i−1 )P ′ 1 = 1 2 (1 − t)(P i+2 − P i )Como se pue<strong>de</strong> observar, las pendientes en los puntos <strong>de</strong> control P i y P i +1 son proporcionalesa las cuerdas formadas por P i−1 P i+1 , y P i P i+2 .Siendo t el parámetro <strong>de</strong> tensión, si se toma t < 0 la curva queda menos tensa alre<strong>de</strong>dor<strong>de</strong> los puntos P i P i+1 , y por el contrario quedará más tensa si se toma t > 0.La expresión general <strong>de</strong> este tipo <strong>de</strong> curvas es:P (u) = P k+1 (−su 3 + 2su 2 − su) + P k [(2 − s)u 3 + (s − 3)u 2 + 1] +P k+1 [(s − 2)u 3 + (3 − 2s)u 2 + su] + P k+2 (su 3 − su 2 )(1 − t)siendo s =23.2.1.7 Curvas <strong>de</strong> BézierFueron <strong>de</strong>sarrolladas por Pierre Bézier quien, posteriormente, las utilizó para diseñar ladiferentes partes <strong>de</strong> un coche (mo<strong>de</strong>lo Renault). Se basan en aproximación, siendo esta larazón principal por la que son más utilizadas en los sistemas CAD (Computer Ad<strong>de</strong>d Design)que las splines cúbicas [20].A medida que aumenta el número <strong>de</strong> puntos, también lo hace el grado <strong>de</strong> la curva. Paraconstruir una curva <strong>de</strong> Bézier con continuidad C 2 es necesario n = 3, siendo la ecuaciónparamétrica:P (t) =n∑P i f i (t), 0 ≤ t ≤ ii=0Las funciones f(t) son polinomios <strong>de</strong> Bernstein <strong>de</strong> la forma:⎛f i (t) = Bi n ⎜(t)n ⎝i⎞⎟⎠ (1 − t) n−i t i , 0 ≤ t ≤ 1 (3.2)