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3.2. Técnicas de representación 3D 35La derivada segunda (de los polinomios) es continua en los puntos de control (C 2 ).2.1.6.- p ′′i (u Métodos i + 1) = de p ′′i+1(uinterpolación i+1 ), i = 0, de 1, spline ..., n −cúbica2n − 1 condiciones.Los polinomios cúbicos ofrecen una relación buena entre flexibilidad y vde cálculo; comparando con polinomios de orden superior, las splines cúbicasmenos cálculos y memoria, a la vez que són más estables (recordemos el fenóConsiderando esto, se tienen 4n − 2 condiciones.Runge que presentaba el método de Lagrange).El sistema debe ser compatible determinado, pero en este caso se trata de un sistema indeterminadoal poseer 4n incógnitas y 4n − 2 ecuaciones, por lo que es necesario obtener 2Dado un conjunto de puntos de control, las splines de interpolación cúbicanen de ajustar los puntos de entrada con una curva que pase a través de todos los pecuaciones más.control. Supongamos que tenemos n+1 puntos de control que están definidos condenadas:Hay varias alternativas para obtener el valor de los coeficientes. Una de ellas sería considerarque las segundas derivadas son nulas en los extremos u 0 y u n .P k =(x k ,y k ,z k ) k=0,1,2,...,nEl polinomio cúbico que debe ajustarse entre cada par de puntos viene dadecuaciones:El gran inconveniente que poseen estas curvas es el alto coste computacional que conlleva3 2x(u)= axu+ bxu+ cxu+ dxredibujar dichas curvas cuando se modifica cualquier punto de control. Además, no se tiene3 2y(u)= ayu+ byu+ cyu+ dycontrol local sobre ellas.3 2z(u)= a u + b u + c u + dzzzzP 0P 1P 2...P kP n-1Figura 2.5. Interpolación por piezas de spline cúbica(n+1 puntos de control).P nRecordemos que 0 ≤ u ≤ 1. Únnos falta determinar los valor d(en cada eje de coordenadas).consigue estableciendo suficientciones frontera en las «unionessecciones de curva.Figura 3.7: Interpolación por piezas de spline cúbica (n+1 puntos de control).2.1.6.1.- Splines cúbicas naturalesEs una representación matemática de la spline del dibujo técnico original.3.2.1.5 Splines de Hermitemos que dos secciones curvas adyacentes tengan tanto la primera como la segundda igual en su frontera común; es decir, exigiremos continuidad C 2 .Si tenemos n+1 puntos de control, habrá n secciones de curva, con 4n coefdeterminar (según vimos en la ecuación del apartado anterior). En los n-1 puntos