Gráficos de flujo de señal

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAGráficos de flujo de señalEl diagrama de bloques es útil para la representación gráfica de sistemas de controldinámico y se utiliza extensamente en el análisis y diseño de sistemas de control. Otroprocedimiento alternativo para representar gráficamente la dinámica del sistema d control,es el método de los gráficos de flujo de señal, atribuido a S.J. Mason.Un gráfico de flujo de señal es un diagrama que representa un conjunto de ecuacionesalgebraicas lineales simultáneas. Al aplicar el método de gráficos de flujo de señal alanálisis de sistemas de control, primero hay que transformar las ecuaciones diferencialeslineales en ecuaciones algebraicas en s .Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectado porramas con dirección y sentido. Cada nodo representa una variable del sistema y cada ramaconectada entre dos nodos, actúa como un multiplicador de señal. Nótese que la señal fluyesolamente en un sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en larama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El gráfico de flujo de señaldespliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre lasseñales.Como se indicó anteriormente, un gráfico de flujo de señal contiene esencialmente lamisma información que un diagrama de bloques.Fórmula de ganancia de Mason, se utiliza para obtener las relaciones entre las variables delsistema sin necesidad de efectuar la reducción del gráfico.Definiciones.Nodo. Un nodo es un punto que representa una variable o señal.Transmitancia. Es la ganancia entre dos nodos. Tales ganancias pueden expresarse entérminos de la función de transferencia entre dos nodos.Rama. Una rama es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos. Laganancia de una rama es una transmitancia.Nodo de entrada o fuente. Nodo de entrada o fuente es un nodo que sólo tiene ramas quesalen. Esto corresponde a una variable independiente.Nodo de salida o sumidero. Un nodo de salida o sumidero es un nodo que sólo tiene ramasde entrada. Esto corresponde a una variable dependiente.Nodo mixto. Nodo mixto es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas quesalen.INGENIERÍA DE CONTROL 1 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICACamino o trayecto. Camino o trayecto es un recorrido de ramas conectadas en el sentido delas flechas de las ramas. Si no se cruza ningún nodo más de una vez, el camino o trayectoes abierto. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del cual partió, y no cruzaningún otro más de una vez, es un camino o trayecto cerrado.Lazo. Un lazo es un camino o trayecto cerrado.Ganancia de lazo. La ganancia de lazo es el producto de las ganancias de ramas de un lazo.Lazos disjuntos. Son disjuntos los lazos que no tienen ningún nodo común.Trayecto o camino directo. Trayecto directo es el camino o trayecto de un nodo de entrada(fuente) a un nodo de salida (sumidero), sin cruzar ningún nodo más de una vez.Ganancia de trayecto directo. La ganancia de trayecto directo es el producto de lasganancias de rama de un camino o trayecto directo.Un nodo suma las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa suma a todas lasramas de salida.INGENIERÍA DE CONTROL 2 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAINGENIERÍA DE CONTROL 3 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAFórmula de ganancia de Mason para gráficos de flujo de señaLEn muchos casos prácticos se desea determinar la relación entre una variable de entrada yuna variable de salida en el gráfico de flujo de señal. La ganancia entre un nodo de entraday un nodo de salida es la ganancia total, entre esos dos nodos.La fórmula de ganancia de Mason, que es aplicable a la ganancia total, está dada porP =1∑ P k∆∆kkdondePk∆∆k= ganancia de la k-ésima trayectoria directa= determinante del gráfico= 1-(suma de todos los lazos de ganancias individuales) + (suma de los productos deganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) - (suma delos productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazosdisjuntos) +……= 1 − L + L L − L L L + L∑aa∑b,cbc∑d , e,fdef= cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con loslazos que tocan la k-ésima trayectoria directa eliminados, el cofactora partir de ∆ , quitando los lazos que tocan la trayectoria Pk.∆kse obtieneEjemplo 1Obtener la función de transferencia ( s) R( s)utilizando la formula de Mason.C del siguiente diagrama de bloques,INGENIERÍA DE CONTROL 4 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEl gráfico de flujo de señal de este diagrama de bloques esEn este sistema hay una sola trayectoria directa entre la entrada R(s) y la salida C(s). Laganancia de trayectoria directa esP = G GExisten tres lazos, cuyas ganancias sonLLL1231 1 2G3= G G1212H= −GG321H= −G G G32Para ser lazos disjuntos estos lazos no deben de tener ni ramas ni nodos en común, por loque no existen lazos disjuntos.El determinante ∆ es( L1+ L2+ L3) = 1 − G1G2H1+ G2G3H2+ G1G23∆ = 1 −GEl número de cofactores del determinante es el número de trayectorias directas entre laentrada y la salida, como en este sistema solo hay una trayectoria directa, solo existe uncofactor del determinante.Se obtiene el cofactor del determinante a lo largo del trayecto directo que conecta el nodode entrada con el nodo de salida, retirando los lazos que tocan este trayecto. Como eltrayecto P1toca los tres lazos, se obtiene∆ = 1 1Por tanto, la ganancia total entre la entrada R(s) y la salida C(s) o función de transferenciade lazo cerrado, está dada porCR( s)P1∆1G1G2G3= =( s) ∆ 1−G1G2H1+ G2G3H2+ G1G2G3INGENIERÍA DE CONTROL 5 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemplo 2Hallar la función de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s) del siguiente sistema, utilizandola fórmula de Mason.En este sistema hay tres trayectorias directas entre la entrada R(s) y la salida C(s). Lasganancias de las trayectorias directas sonHay cuatro lazos individuales. Las ganancias de esos lazos sonEl lazo L1no toca al lazo L2, (lazos disjuntos). Por tanto, el determinante ∆ está dado porEl cofactor ∆1se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P1Por tanto,quitando L1, L2, L3,L4, y L1L2INGENIERÍA DE CONTROL 6 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEn forma similar, el cofactor ∆2se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan latrayectoria P2, lazos L1, L2, L3,L4, y L1L2El cofactor ∆3obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P2. LazosL , y L L2L3,L4,12La función de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s) esINGENIERÍA DE CONTROL 7 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemplo 3Hallar la función de transferencia de lazo cerrado E ( s) E ( s)0 idel siguiente sistema,utilizando la fórmula de Mason. Considerar las demás señales como salidas.Hay tres lazos individuales. Las ganancias de esos lazos sonLLL123= −G G1322= −G G= −GG43El lazo L1no toca al lazo L2, (lazos disjuntos). Por tanto, el determinante ∆ está dado por∆ = 1−( L + L + L )11∆ = 1+G G2233+ G G4+ L L122+ G G3+ G G G GConsiderando E0= Señal de salida, Ei= Señal de entradaEn este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada Eiy la salida E0. La gananciade la trayectoria directa esP = G G G1 1 2 3G4El cofactor ∆1se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P1. Los treslazos tocan la trayectoria P1∆ = 1 1La función de transferencia de lazo cerrado seríaEE0( s)P1∆1G1G2G3G4= =( s) ∆ 1+G1G2+ G3G4+ G2G3G1G2G3G4i+1234INGENIERÍA DE CONTROL 8 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAConsiderando I2= Señal de salida, Ei= Señal de entradaEn este sistema hay una trayectoria directa entre la entradade la trayectoria directa esP = G G1 1 2G3Eiy la salida I2. La gananciaEl cofactor ∆1se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P1. Los treslazos tocan la trayectoria P1∆ = 1 1La función de transferencia de lazo cerrado seríaI2E( s)P1∆1G1G2G3= =( s) ∆ 1+G1G2+ G3G4+ G2G3G1G2G3G4i+Considerando Er2= Señal de salida, Ei= Señal de entradaEn este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada Eiy la salida Er2. La gananciade la trayectoria directa esP = G1 1G2El cofactor ∆1se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P1. Los treslazos tocan la trayectoria P1∆ = 1 1La función de transferencia de lazo cerrado seríaEEr 2i( s)P1∆1G1G2= =( s) ∆ 1+G1G2+ G3G4+ G2G3+ G1G2G3G4Considerando Ec1= Señal de salida, Ei= Señal de entradaEn este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada Eiy la salida Ec1. La gananciade la trayectoria directa esP = G1 1G2El cofactor ∆1se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P1. El lazo L2no toca la trayectoria P1, los lazos L1y L3si tocan la trayectoria P1.∆1= 1−L 2La función de transferencia de lazo cerrado seríaINGENIERÍA DE CONTROL 9 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEEc1i( s)( s)=P1∆∆1=1+G G12G1G+ G G324( 1+G G )23+ G G34+ G G G G1234Considerando I1= Señal de salida, Ei= Señal de entradaEn este sistema hay una trayectoria directa entre la entradade la trayectoria directa esP1= G 1Eiy la salida I1. La gananciaEl cofactor ∆1se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P1. El lazo L2y L3no toca la trayectoria P1, el lazo L1si toca la trayectoria P1.∆1= 1− L2− L3La función de transferencia de lazo cerrado seríaIE( s)( s)P ∆==( 1+G G + G G )11 11 3 4 2 3i∆ 1+G1G2+ G3G4+ G2G3+1GG G G G234Considerando Er1= Señal de salida, Ei= Señal de entradaEn este sistema hay una trayectoria directa entre la entrada E y la salida E1. La gananciade la trayectoria directa esP = 1 1El cofactor ∆1se obtiene de ∆ eliminando los lazos que tocan la trayectoria P1. El lazo L2y L3no toca la trayectoria P1, el lazo L1si toca la trayectoria P1.∆1= 1− L2− L3La función de transferencia de lazo cerrado seríairEEr1i( s)( s)P1∆=∆1=1+G G12( 1+G G + G G )+ G G334422+ G G33+ G G G G1234INGENIERÍA DE CONTROL 10 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICAEjemplo 4Hallar la función de transferencia de lazo cerrado ( s) R( s)utilizando la fórmula de Mason.C del siguiente sistema,G4R(s)1 G1 1G2C(s)-G5-G3ProblemasINGENIERÍA DE CONTROL 11 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZM.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.