A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOS - Casanchi

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEAA LA SOMBRA DE LOSGRUPOS FINITOSLa Teoría de los Grupos Finitos recibe la influencia directa tanto del AlgebraLineal, como de la Cohomología y la Teoría de Módulos, produciendoinnumerables aplicaciones tanto sobre la misma Teoría de los Grupos como enramas diversas de la Matemática, de la Fisica Teórica o de aspectos puntualesde las ciencias básicas.Por razones de espacio, exponemos los aspectos generales en una primeraparte, que contiene los grupos finitos cíclicos y los fundamentales teoremasde Lagrange, del Producto y de Fröbenius, para tratar en una segunda partelos grupos de sustituciones, el concepto de subgrupo distinguido y losllamados p-subgrupos de Sylow.PARTE I: ASPECTOS GENERALES01. Caracterización de los grupos finitos.02. Orden de un elemento.03. Subgrupos.04. Los grupos finitos cíclicos.05. Teorema de Lagrange.06. Teorema del Producto.07. Teorema de Fröbenius.PARTE II: CIERTOS SUBGRUPOS FINITOS08. Grupos de sustituciones. Teorema de Cayley.09. Subgrupos invariantes o distinguidos.10. Subgrupos de Sylow.MARCHENA, JUNIO 2004 15

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEATeorema 08.2.1) Las transposiciones t ij son elementos involutivos, es decir, t ij 2 =e, y su númeroes n(n-1)/2.2) El conjunto de las transposiciones es un sistema de generadores del grupo S n .3) Las n-1 transposiciones (1,2), (2,3), ... ,(n-1,n) son también un sistema degeneradores de Sn.En efecto:1) Sea, por ejemplo, tij( qj) = qi, tij(qi) = qj, se tendría:2ijj( tijtij)(qj) = tij(tij(qj)) = tij(qiqjt ( q ) = o) =Habrá tantas transposiciones t ij: A → A como maneras de ordenar de dos en dostodos los elementos de A, sin que el orden tenga significación, es decir, se trata de lascombinaciones de n elementos con orden 2:o(tn) =⎛n⎞⎜ ⎟⎝ 2 ⎠=n!2!.(n − 2)!=n.(n − 1)22) Veamos la demostración por recurrencia:2= 1q 2, todas las sustitucionesdel grupo S 2 son la identidad e y las transposiciones t 12 y t 21 . Por lo cual,cualquier sustitución s∈S 2 es generada por estos elementos: s = ∏ tjk.- Si suponemos que las sustituciones s de S n-1 están generadas por las'transposiciones de T n-1 , esto es, si ∀s'∈ Sn−1,s'= ∏ tjkentonces, podemosconsiderar las transposiciones de S n definidas por- Si el conjunto tiene solo dos elementos, A { q , }tjk( q ) = ttjki( q ) = q ,k'jk( q ),kksi k < nsi k = ny las sustituciones de S n se pueden expresar por∀s∈ Sn, s = tni. s'= tni'∏ tjk=3) Vemos que para i

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEADefinición 08.3.Un k-ciclo q=(a i1 , ...a ik ) es una sustitución de S n tal queq ( a ) = a , q(a ) = a , ..., q(a−) = a , q(a ) = a yi1 i 2 i 2 i3ik 1 ik ik i1{ i i ik},q(aiai∀ i ∉ 1, 2,..., ) =dos ciclos, q 1 y q 2 se dice que son disjuntos, si siendo I 1 , I 2 las familias de los índicessustituidos por q 1 y q 2 , respectivamente, se tiene que es I = φ .1∩ I 2Teorema 08.3.1) Cualquier sustitución puede expresarse como producto de ciclos disjuntos.2) Un ciclo de longitud k engendra un subgrupo cíclico de longitud k.En efecto:1) Sea s una sustitución cualquiera sobre un conjunto A de n elementos expresadopor A = { q1,...,q n} y tomemos un elemento cualquiera para hallar su imagen pors, haremos lo mismo con la imagen y así sucesivamente hasta que aparezca elprimer elemento sustituido, esto es, se complete un ciclo. Si el ciclo contiene atodos los n elementos del conjunto A sobre el que actúa la sustitución ya hemosterminado, caso contrario haremos lo mismo con los elementos que restan hastacompletar otro ciclo con ellos. Si entre ambos ciclos hemos sustituido a todos los nelementos del conjunto A ya hemos terminado y la sustitución dada es el productode ambos ciclos. Caso contrario seguiríamos el proceso hasta que no quedasenelementos sin sustituir, proceso que tendrá fin por tratarse de un conjunto finito.La sustitución elegida, cualquiera que sea, es, pues, producto de ciclos que sondisjuntos pues los índices de los elementos sustituidos son diferentes.2) Trivialmente.Definición 08.4.Si ess ∈ S definimos el número de inversiones de s, s como el número de paresn(i,j) i

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEA2) La signatura de un producto de sustituciones es igual al producto de lassignaturas.En efecto:1) Sea la transposición t jk . Se tiene:tjktjk( j)− tjk( k)k − j( j)= k,tjk( k)= j,= = −1⇒j − k j − k2) Si s es una sustitución de S n , se tendrá:tjkimpars(j)− s(i)1σ ( s)= ∏, extendido a los n ( n − 1)pares no ordenados (i,j)j − i2si s' es otra sustitución de S n , y teniendo en cuenta que el producto anterior esindependiente del orden de los factores, se puede escribir, el siguiente producto,1también extendido a los n ( n − 1)pares (i,j):2s(s'(j))− s(s'(i))σ(s)= ∏s'(j)− s'(i)por tanto, se tiene:σ(s).σ(s')==∏∏s(s'(j))s'(j)s.s'(j)j−−−−s(s'(i)).s'(i)∏s'(j)js.s'(i)= σ(s.s')i−−s'(i)i=∏s(s'(j))j−−s(s'(i))i=Corolario 08.1.1) Una sustitución par es igual al producto de un número par de sustituciones.2) La familia de las sustituciones pares es un subgrupo de S n , que se denominagrupo alternado.En efecto:1) Es inmediato, de la proposición 08.5. 2).2) Por corolario 03.2, si P n es el subconjunto de S n formado por las sustituciones2pares, se tiene que P ⊆ P .nnTeorema 08.5. (Teorema de Cayley)Todo grupo finito G de orden n es isomorfo a un subgrupo de S n .En efecto:MARCHENA, JUNIO 2004 19

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEASea G { q ,..., }= y sea la aplicación de G en S n definida por:1q no bien, se puede expresar también asi:∀q ∈ G, f ( q ) = s ∈ s / s ( q ) = q . qiiiii∀q ∈ G, f ( q ) ∈ s / f ( q )( q ) = q . qVeamos que f es un isomorfismo:- Es f homomorfismo, pues teniendo en cuenta la propiedad asociativa en Gya quen( q . q ).q = q .( q . q ),∀q, q , q ∈ GijkijkniiirjrkiirrO sea:∀q, qij∈ G,f ( q q ) ∈ S= f ( q )iij/ f ( q q )( q ) = q q q[ f ( q )( q )] = ( f ( q ). f ( q ))(q ), ∀q∈ Gjrnii∀q i, qj∈ G,f ( qiqj) = f ( qi). f ( qj)jrjrijr= q f ( q )( q ) =rijr- Es homomorfismo inyectivo, pues si f ( qi) = f ( qj) ⇒ qiqr= qjqr⇒ qi= qjPor tanto, f es un isomorfismo de G en un subgrupo f(G) del Grupo simétrico S n .G≈ f ( G)⊆S nMARCHENA, JUNIO 2004 20

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEA09. SUBGRUPOS INVARIANTES O DISTINGUIDOS:Vamos a estudiar en este apartado las formas en las que ciertas operaciones omanipulaciones en los elementos de un grupo finito dejan invariantes a estoselementos. Tales propiedades son fundamentalmente la conjugación y laconmutatividad, ambas fuertemente relacionadas.Definiremos primero la conjugación y a continuación expondremos la conmutatividadcomo una forma de conjugación, que en realidad es lo que podemos llamarautoconjugación.Definición 09.1.Dado un grupo finito (G,.), se definen los elementos conjugados del modo siguiente:q =−11,q2∈ G conjugados ⇔ ∃x∈ G / x q1.x q2El elemento x, no necesariamente único, se denomina elemento transformador.Trivialmente, esta relación de conjugación es reflexiva, simétrica y transitiva, esto es,se trata de una relación de equivalencia, si representamos por [q 1 ], [q 2 ], ..., loselementos del conjunto cociente, clases de equivalencia, representará cada clase [l] elconjunto de todos los elementos conjugados con l, que se denomina órbita de l. Elcardinal h de la orbita [l] es el número de elementos que están conjugados con l.Si descomponemos el grupo G en clases se tiene G = [ q ] + [ q ] + ... + [ ]el cardinal de [q i ], se tendrá que el orden de G es1 2q r, y si es h ig = h + h + ... + h1 2r.Cuando un elemento está conjugado consigo mismo se dice autoconjugado. Se debecumplir, por tanto:−1q ∈ G autoconj ⇔ ∃x∈ G / x . q.x =qque es lo mismo que decirq ∈ G autoconj ⇔ ∃x∈ G / q.x = x.qEsto es, si en un grupo G hay elementos q autoconjugados, esto quiere decir queexisten elementos x de G que conmutan con q. El conjunto de estos elementos queconmutan con el elemento q se llama normalizador de q. Representaremos por N q alnormalizador de q.En general, diremos que q conmuta con x, si q.x=x.q, y, en general, q conmuta con elcomplejo C⊆G, si qC=Cq.Si el normalizador de q es todo el grupo G, quiere decir esto que todos los elementosdel grupo conmutan con q. Se dice, entonces, que q es un elemento invariante oautoconjugado en todo G.MARCHENA, JUNIO 2004 21

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEASi q es un elemento autoconjugado en G quiere decir esto que es el mismo q el únicoelemento de G conjugado con q, o sea, que la órbita de q está constituida por un soloelemento, el mismo q, por lo que el cardinal h de la órbita de q es precisamente h=1.Si en lugar de tomar un elemento q del grupo tomamos una parte o complejo C delmismo, podemos definir los mismos conceptos. Así, para dos complejos C y C' sedefine la relación de conjugación:−1C , C'conjugados ⇔ ∃t∈ G / t Ct = C'relación de equivalencia que parte al conjunto potencia de G, P(G), en clases deequivalencia.También aquí el conjunto de los elementos de G que conmutan con C se denominanormalizador de C, y es también un subgrupo del grupo G.Si el complejo C es un subgrupo de G, entonces hay h subgrupos de G conjugados conel complejo C. Cuando el único subgrupo conjugado con C es el mismo C, esto es,cuando h=1, se da el caso de autoconjugación.Teorema 09.1.1) El normalizador, Nq, de un elemento q es un subgrupo.2) Si es g el orden del grupo G y es n el orden del normalizador de q, esto es, sig=n.h, se verifica que cada clase [q] contiene h elementos distintos, o sea, sucardinal es precisamente el índice en G del normalizador del elemento q.En efecto:1) Veamos que efectivamente Nq es un subgrupo de G, probando que para doselementos a,b cualesquiera de Nq se verifica que a.b -1 pertenece también a Nq:∀a,b ∈ Nq,q.(a.b) = a.q.b= a.bq ⇒ a.b−1−1−1−1∈ Nqla conmutatividad de q con el inverso b -1 se comprueba fácilmente, puesq . b = b.q ⇒ b . q = q.b−1 −12) Para probar que todos los elementos de cada clase [q] son distintos, veamos que siconsideramos descompuesto G en clases a la derecha de la formaG = N t + ... + Nq1qthentonces cada elemento N q t i genera por conjugación el mismo elemento que genera t i :( N t ) . q.(N t ) = t . q.tqi−1 −1q i iipor otra parte, cada uno de los elementos N q t i genera elementos distintos, pues casocontrario se daría una contradicción:MARCHENA, JUNIO 2004 22

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEAsit qt = t qt ⇒ q.t . t = t . t . q ⇒ t . t ∈ N ⇒ N t =−1−1−1−1−1i i j ji j i ji j(lo cual es contradictorio)qqiNqtjTeorema 09.2.Si O(G)=p m (p primo), esto es, si el grupo G es p-primario, el número de suselementos autoconjugados es múltiplo de p, es decir, su centro no se reduce alelemento neutro.En efecto:Sea la clase [p j ]. Si no es autoconjugada entonces su cardinal, h j , divide al orden delgrupo, esto es, divide a p m , lo que nos indica que es h j = p s (s

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEAH2∩ Hr ≠ φ ⇒ ∃h1 , h2∈ H / h1r= h2⇒ r = h1. h2∈ H , y esto implica que r.H=H.rEntonces,∀x ∈ Hr / x = h.r cumple : H.x = H.h.r = H.r = r.H = r.h.H = x.HPor lo que, ∀ x ∈ G, x.H = H.x , de lo que se deduce que todos los elementos de Gconmutan con H, o bien que el normalizador de H es el grupo G, N H =G. H es, portanto, subgrupo distinguido de G.2) Para probar que es un grupo abeliano y distinguido probemos simplemente que setrata de un grupo, pues que es conmutativo y distinguido es evidente.Por el teorema 03.1, bastará probar que U es cerrado para la ley interna del grupo:−1−1∀u1 , u2∈ U ⇒ ∀t∈ G,t u1u2t= t u1t.t−1u t2=u u12⇒u u12∈ U3) Sea U el centro del grupo G. Por el Teorema 09.2, el orden de U es multiplo de p yademás ha de ser divisor de p 2 , por lo cual:O ( U)= p ∧ O(U)=2Si O ( U)= p entonces hemos terminado. En este caso es U=G y siendo U abelianoesto implica que G es abeliano.Si O ( U)= p en este caso el grupo cociente G/U es de orden p primo, y por tanto G escíclico, lo que quiere decir que existe en G un elemento generador q:2pp∃q ∈ G / G = U + Uq + ... + Uq−1y dos elementos distintos cualesquiera x 1 , x 2 , de G, pueden escribirse de la formapor lo cualrx1 = u1q, x2= u2qsr + ss + rx1 . x2= u1.u2q= u1u2q= x2.x1⇒GabelianoMARCHENA, JUNIO 2004 24

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEA10. SUBGRUPOS DE SYLOW:Definición 10.1. (Grupo que opera sobre un conjunto)Se dice que un grupo T opera sobre un conjunto cualquiera E sii existe unhomomorfismo Φ de T en el grupo S(E) de las biyecciones de E.Teorema 10.1Sea (G, .) un grupo finito y sea T=G y también sea G=E. Si asociamos a cadaelemento g de G la correspondencia f g de G en G definida porSe cumple:∀ x ∈ G,fg(x)= gx ∈ G1) fg es una biyección.2) La correspondencia Φ de G en el grupo simétrico de G, S(G), es un homomorfismoEn efecto:1)- Es aplicación: x = x ⇒ g x = g.x ⇒ f ( x ) f ( )1 2.12 g 1=gx2g( x1)= fg(x2)⇒ g.x1= g.x2⇒ x1= x∀ g.x ∈ G ⇒ ∃fg : G → G / fg(x)=- Es inyectiva: f2- Es sobreyectiva: gxEs, por consiguiente, una biyección.2) Para ver que se trata de un homomorfismo, veamos que( g . g ) = Φ(g ). Φ()∀g1, g2∈ G,Φ1 21g2pues siendoΦ( g . g ) = f ∧ Φ(g ). Φ(g ) = f . f1 2 g ggg g1 21 212se tiene que[ f ( x)] ( f . f )( )∀x∈ G, f ( x)= g g x = g ( g x)= g ( f ( x))= fxg1g21 2 1 21 g2g1g=2g1g2por tanto: ∀ g g ∈ G,Φ( g . g ) = f = f . f = Φ(g ). Φ()un isomorfismo: Φ(G)≈G.,21 2 g g g g1 21g1 21 2. En realidad Φ esCorolario 10.1Todo grupo G opera sobre sí mismo por las traslaciones a la izquierda.En efecto:MARCHENA, JUNIO 2004 25

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEAInmediato, del teorema 10.1.Definición 10.2. (Estabilizador de una parte de un grupo)La relación R, definida en G por la condiciónx =1,x2∈ G,x1Rx2⇔ ∃y∈ G / y.x1x2es una relación de equivalencia, y como todos los elementos del grupo G estánrelacionados por ella, la única clase de equivalencia es el mismo grupo G.Si la relación anterior se define sobre el conjunto de las partes del grup G, P(G), estoes:P , P ∈ G,P Rp P ⇔ ∃P'∈ G / P'.P =1 21 21P2entonces tal relación de equivalencia R p tiene más de una clase de equivalencia.Cuando en esta relación de equivalencia hay una única clase de equivalencia, se diceque G opera transitivamente en G. Cuando hay más de una clase de equivalencia sedice que G opera intransitivamente en G.La relación de equivalencia R p en el conjunto potencia P(G) nos indica, pues, que Gopera por ella intransitivamente sobre G. Cada una de las clases de equivalencia en lasque tal relación parte el conjunto potencia P(G) se denomina clase de transitividad uórbita.Se define estabilizador de una parte X∈P(G) del modo siguiente:GX estabilizador de X ⇔ ∀b∈ GX, b.X =XTeorema 10.2.1) El estabilizador G x de X∈P(G) es un subgrupo de G.2) Si O(G)=g y O(G x )=h, entonces la órbita de X consta de g/h elementos de P(G),todos con el mismo cardinal que X.En efecto:Trivial. Es proposición análoga al teorema 09.1 y 09.2, sobre el normalizador de ungrupo.Definición 10.3. (p-subgrupo de Sylow)Si es (G, .) un grupo finito cuyo orden es O(G)=m.p r donde es p primo no divisor dem, se llama subgrupo de Sylow a un subgrupo H s de G cuyo orden es O(H s )=p r .MARCHENA, JUNIO 2004 26

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEATeorema 10.3. (Primer Teorema de Sylow)a) Un grupo finito (G,.) cuyo orden es divisible exactamente por p r (p primo, r≥1)admite, para todo entero a tal que 1≤a≤r, por lo menos un subgrupo de orden p a .b) El número de subgrupos de orden p a es congruente con 1 módulo p.En efecto:a) Si es O(G)=n=m.p r donde p no divide a m. Y hemos visto que el grupo G operasobre la familia P a (G) de las partes de G con exactamente p a elementos (1 ≤ a ≤ r).Este conjunto P a (G) queda descompuesto en clases de transitividad u órbitas{ C k: k ∈ K}, siendo G k el estabilizador de una parte cualquiera A k de C k .Supongamos que sea n a el número de elementos distintos de P a (G). Se tiene que:n=∑cardaC kk ∈KAhora bien, por el teorema 10.2 sabemos quetambién esnn=aa=a=mp⎛ n ⎞⎜ ⎟ , por lo cual:⎝ p ⎠r rr amp mp − 1 mp − ( p − 1). ....=aap 1p − 1r − a. w = mpr − a⎛⎜−1 +⎝mp1r∑card C = i( G ) ⇒ n = i(G ). Y⎞ ⎛⎟...⎜−1 +⎠ ⎝kmpr − armp ⎞⎟ap − 1⎠k⎛mp⎜a⎝ pra− 1⎞⎟− 1 ⎠k∈K=kdonde hemos llamadow=ap∏ − 1s = 1⎛⎜−1 +⎝mpsr⎞⎟⎠De acuerdo con las desigualdades a ≤1, s ≤ p a -1, la potencia más alta de p que divide as es más pequeña que p r . Cada uno de los factores del segundo miembro es, pues, dela forma'mp r− 1 + , con r'> 0 y mcd(s',p)= 1s'ap −1 uDe lo que deducimos w = ( − 1 ) + p., (u entero)∏ s'Si p ≠ 2, entonces p a -1 es par, y puesto quew=1+hp, para un cierto h entero.∏ s es primo con p esto implica queSi p = 2, se tiene que w= -1+hp, pero reemplazando h por h+1, queda también de laforma anterior: w=1+h'p.r − aPor lo cual siempre es n = mp ( 1 hp) [ 10.1]a+MARCHENA, JUNIO 2004 27

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEAHemos visto antes querO(G)mpcard Ck= i(Gk) = = . Pero de [10.1] seO(G ) O(G )deduce que existe un card(C k ) divisible como máximo por p r-a . En consecuencia seráO(G k ) divisible por lo menos por p a a, lo cual implica que O(G k) ≥ p .Como G k es el estabilizador de par parte X ∈ C , ∀x∈ X,G x ⊆ X.Por lo cual:kkkkO ( G ) = card(G x)≤ cardX =kkpaY de ambas desigualdades:O =a( G k) p . Se ha construido, en definitiva un subgrupode orden p a , y además es G k .x=X.b) Observamos que la clase C k de X contiene a toda parte aX, en particular:S=x−1Gx=x. X ∈−1kC ksiendo S un subgrupo con p a elementos.Resulta en definitiva que C k es el conjunto de las clases por la izquierda con respecto aeste subgrupo S (pues C k es la órbita de X), que, por ello, es el único subgrupo de C k .En consecuencia C k , que es una clase de transitividad cualquiera tal que card(C k ) seadivisible como máximo por p r-a , verifica:rmpr − acard(Ck) = i(Gk) = = mpO(G )Y, recíprocamente, para todo subgrupo S de orden p a el conjunto { x S x ∈ G}clases a la izquierda, es una órbita C k de este tipo.Luego, si s a es el número de subgrupos de orden p a , podemos escribir:k∈ / , der − ar − a r − a + 1na = mp .( 1 + hp)= sa.mp + t.p ⇒ m.(1 − sa)= ( t − mh).p(t entero)y, puesto que p es primo con m, se tiene que s a≡ 1 (mod p)Corolario 10.2.1) Todo grupo finito (G,.) tiene un subgrupo de Sylow para cada número primo p quedivida a O(G).2) Todo grupo finito (G,.) cuyo orden es multiplo del número primo p, contiene almenos un elemento de orden p. (Cayley)En efecto:Resulta trivial, por el teorema 10.1.MARCHENA, JUNIO 2004 28

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEATeorema 10.4. (Segundo Teorema de Sylow)a) En todo grupo finito G cuyo orden es divisible exactamente por p r (p primo), todosubgrupo de orden p a (1≤a≤r) está contenido en un p-subgrupo de sylow.b) Todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados de uno de ellos, y su número (quees congruente con 1 módulo p, por teorema 10.2) es divisor de O(G).En efecto:a) Sea H un subgrupo cualquiera, S un p-subgrupo de Sylow de G y H el conjunto delas clases por la izquierda de G respecto a S: M = { x . S ,..., x .1 mS}, y sea { D i} lafamilia de clases en que se descompone M bajo la acción de H, cuando tomamoscomo operadores los elementos de H y decimos que dos elementos X, Y de M sonconjugados sii ∃ a ∈ H / a.X = Y . Se tiene que card M = m = ∑ card D i.Al ser m primo con p, al menos una de estas clases, sea D, cumple que card D noes múltiplo de p, pero por el teorema 10.2, es card D=i H (E) = índice en H delestabilizador E de un representante K de D. Así, pues, p no divide a i H (E).Tomamos como H un subgrupo de orden pa (1 ≤ a ≤ r): i H (E) divide a O(H)=p a ycomo no es múltiplo de p esto quiere decir que i H (E)=1, es decir, card D =1.Luego D={K}, ed decir, la clase D consta de un solo elemento: K. Esta claseK=k.S, elemento único de su clase de transitividad D, es, pues, invariante por H:iHkS= kS ⇒ HkSk = kSk−1 −1Pero T=K.S.K -1 es, como S, un subgrupo de orden pr y la igualdad precedente seescribe H.T=T, lo cual implica que H⊆T donde es T p-subgrupo de Sylow.b) Si a= r, H= T, luego es un conjugado de S.Por el teorema 09.2, el número de conjugados de S, igual al índice delnormalizador de S, es un divisor del orden de G.MARCHENA, JUNIO 2004 29

A LA SOMBRA DE LOS GRUPOS FINITOSCARLOS S. CHINEA11. Bibliografía:Alperin, J.L; Bell, Rowen B. Groups and Representations. Graduate Texts inMathematics 162, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1995Anzola, M.; Caruncho, J.; Pérez-Canales, G., Problemas de álgebra, Alef (1981)Burnside, W., Theory of Groups of Finite Order, 2nd edition, Dover, NewYork, 1955.Dixon, J. D., Problems in group theory, Dover Publications (1973).Dorronsoro, J.; Hernández, E., Números, grupos y anillos, Ed. Addison-WesleyIberoamericana - U.A.M. (1996).Fraleigh, J.B., Álgebra Abstracta, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana (1987).Godement, R., Álgebra, Tecnos (1978).Humphreys, ] John F. A Course in Group Theory. Oxford Science Publications,Oxford University Press Inc., New York, 1996Hungerford, T.W., Algebra, Springer-Verlag (1974).Kerber, A. Aplied Finite Group Actions, 2nd edition, Springer 1999.Lang, Serge. Algebra. Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading,Massachusetts, 3rd edition, 1993,Robinson, Derek J. S., A Course in the Theory of Groups, Springer, NewYork, 1995.MARCHENA, JUNIO 2004 30