Secuencias, señales y sistemas - José Luis Oropeza

Secuencias, señales y sistemasExpositor: José Luis Oropeza RodríguezMéxico D. F., a 17 de mayo de 2006

OBJETIVOPresentar al alumno los principios básicos sobre los cualesse asientan los lineamientos del procesamiento digital deseñales, tomando en consideración tanto sus característicascomo los sistemas que se pueden lograr a partir de éstos.BOSQUEJO DE LAPRESENTACIÓNIntroducciónSeñalesSistemasResumen y conclusiones

DISEÑO DESISTEMAS DEPROCESAMIENTODE SEÑALPaso 1Definición deRequerimientosdel sistemaPaso 2Análisis deseñalPaso 3Diseño deprocesamientode señalPaso 4Análisis derecursosDefinición y cuantificación delos niveles de requerimiento delsistema.Se definen los tipos de señal deentrada y sus características.Se elabora un diagrama quemuestra las operaciones, entradas,salidas, etc., al sistema.Se refiere a las característicasdel procesador en cuestión,capacidad, datos, memoria, etc.noAceptadosiAnálisisPaso 5Se asigna configuración alhardware. Apegándose a lospresupuestos del proyecto.noAceptadosiInicio deldiseño

SISTEMA DE ANÁLISIS ESPECTRALProcesamiento digital de la señalx(t)Acondicionamientode la señal analógicaFiltro anti-aliasingConvertidorA/Dx(nT)Filtrado digitalAnálisis espectralX(n/NT)El proceso de modulación en cuadratura traslada una banda de frecuencia de la señal de entrada en unaexponencial complejaEntrada realEntrada imaginariaFiltro pasabajasFiltroPasaaltasSalida realSalida imaginariaAlprocesamientode análisisespectral

EL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑAL

EJEMPLOS DE SEÑALES REALES

SEÑALESLa señal se define como la función de una o más variables, que transportaninformación acerca de la naturaleza de un fenómeno físico. Si depende de unasola variable es unidimensional, cuando depende de más se llamamultidimensional.Una señal no tiene interés por sí misma si no somos capaces de transmitirla orecibirla, por lo que éstas se encuentran muy ligadas a la rama de lascomunicaciones.La información está estrechamente ligada al conocimiento o significado de lamisma. El análisis de señal es el proceso de definir y cuantificar todas lascaracterísticas de la señal para una determinada aplicación.Sin embargo, Shannon desarrolló otro concepto de información desprovisto delconocimiento que pueda extraerse de esta misma.Suponga que una fuente de información envía una serie de símbolos a un receptor.Llamamos X al conjunto de símbolos formados por:X a a , a ,.....,1, 2 3Los símbolos se envían a un receptor con la característica de tenerprobabilidades independientes; esto es, que dichas probabilidades sonindependientes unas de otras. Lo que esto quiere decir es que, enviar unsímbolo “x” no depende de haber antecedido otro “y” o bien de haber precedidootro “z”.a N

ENTROPÍACada uno de los símbolos a i tienen una probabilidad de ocurrir p i.Shannon considera que para el caso que él pone de muestra, la informaciónproporcionada a i depende únicamente de su probabilidad p i y que lainformación del símbolo a i es I( p i) lognpi. Si se toma n=2 como la base dellogaritmo, la unidad de información se denomina bit.Un hecho importante de la expresión anterior es que un símbolo proporcionamás información cuanta más incertidumbre (menos probabilidad) tenga.El contenido total de información H(x) proporcionado por una fuente deinformación sin memoria de un conjunto X de símbolos será la sumaponderada de las informaciones de cada símbolo, lo que se conoce comoinformación aunque también como entropía por la similitud que tiene con laentropía química (que crece a medida que aumenta el desorden), en estecaso la información crece a medida que lo hace la incertidumbre sobre lo quese recibe.H(X )Np I Ni ii1 i1pilogpi

SEÑALESEn ocasiones el término señal se aplica a algo que contiene información. Loanterior es debido a que las señales contienen información del estado ocomportamiento de un sistema físico. Dentro del análisis de señal como semencionó con antelación, resulta importante la relación entre la señal y sufunción matemática, como función matemática se denota la presencia de unavariable independiente (así como la dependiente, que es la que representa elfenómeno), las cuales entran dentro de la categoría de continuas o bien discretas.En el caso de las señales digitales se les denomina de esta forma ya que tanto entiempo como en amplitud son discretas, posteriormente se verá que dicha señalpasa por un proceso de cuantificación.La clasificación anterior se conserva para el caso de un sistema el cual puede seranalógico o bien digital, en donde dicha clasificación se enfoca en el tipo deinformación que alimenta y sale del sistema. El término procesamiento digitalevoca la gestión de la transformación de señales que son discretas tanto entiempo como en amplitud. [Oppenheim and Schaffer]

TIPOS DE SEÑALESTipo Representación Amplitud TiempoAnalógica x(t) Continua ContinuoMuestreada x s [n] Continua DiscretoCuantizada x Q (t) Discreta ContinuoDigital x Q [n] Discreta DiscretoAnalógicaMuestreadaCuantizadaError decuantificaciónDigital

Por su duración:•Causales: Son 0 para t0. Se definen sólo para el eje negativo de t.•No causales: Se definen para ambos ejes de t.•Continuas: Se definen para todo tiempo t.•Periódicas:xpCLASIFICACIÓN DE SEÑALES( t) x ( t nT)p, donde T es el periodo y n es un entero.•Deterministas: No existe incertidumbre con respecto a su valor en cualquierinstante de tiempo.•Aleatorias: Existencia de incertidumbre de su valor antes de su ocurrencia real:sísmicas, ruido, etc. Se usa la probabilidad y los procesos estocásticos.Por su simétría:•Simetría par: x(t)=x(-t)•Simetría impar: x(t)= -x(-t)Una señal no simétrica puede siempre expresarse como la suma de unafunción par x e (t) y una función impar x o (t)x ex(t) x( ) /2( t) tx(t) x( ) /2x0(t) t

CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA ENERGÍA YPOTENCIAClasificación de señales basadas enEnergía y Potencia:Energía de una señal2E x x(t)dt•Potencia promedio de una señalPx1 limT0 T0 T 0x(t)2dtLa raíz cuadrada de lapotencia promedio Precibe el nombre de valormedio cuadrático.•Una señal se dice que es de energía si E x es finito, lo que implica que P x es 0. Ej.Pulsos limitados en el tiempo, deterministas, no periódicasUna señal se dice que es de potencia si P x es finito, lo que implica que E x esinfinito. Ej. Una señal periódica, señales aleatoriasE nP limN P limN x2periódica12N1NN 1n0NnNx2x2[ n][ n]

MEDIDAS DE LA SEÑALUna característica importante de la señal es la medida de la magnitud dela misma. La norma de la señal L p esta dada por:Lpx1/ p p ( n) x(n)pnNorma L 1 . Es igual a la suma delas magnitudes de la señalDicha medida es utilizada para ladeterminación de la estabilidad del sistema. Lanorma L 2 otorga una medida de la potencia dela señal que como se mencionó antes, sedefine como (para señales discretas): nL x n) x(n)L1(1 ( 22 ) ( )2 x n x nn1/ 2La norma siguiente entrega la magnitud del pico de la señal:L x( n) max x(n),paratodon

SEÑALES COSENOIDALES EN ELDOMINIO ANALÓGICO Y DIGITALSEÑAL ANALÓGICAx a( t) Acos(t), t SEÑAL DIGITALx ( n) Acos(n), n x a( t) Acos(2Ft ), t x ( n) Acos(2fn ), n xa( t T) x ( t)pax( n N) x(n)2fcos 2f0N0N n 2kf cos(2f0kNufuesk0n )t U sen2ft1/Tmaxt U k maxsen 2 f kT Umaxsen 2 fsf

CONVERSIÓN ANALÓGICA DIGITAL YDIGITAL ANALÓGICALos pasos para la conversión de una señal analógica adigital son:1.Muestreo. Ésta es la conversión de una señal entiempo continuo a una señal en tiempo discretoobtenida tomando “muestras” de la señal entiempo continuo en instantes de tiempo discreto.Así, si xa(t) es la entrada al muestreador, la salidaes , donde T se denomina el intervalo demuestreo.2.Cuantificación. Ésta es la conversión de una señal entiempo discreto con valores continuos a una señalen tiempo discreto con valores discretos (señaldigital). El valor de cada muestra de la señal serepresenta mediante un valor seleccionado de unconjunto finito de valores posibles. La diferenciaentre la muestra sin cuantificar x(n) y la salidacuantificada xq(n) se denomina error decuantificación.

EL CONVERTIDOR ANALÓGICO DIGITAL(APROXIMADOR POR ESCALON)Convertidor A/DMuestreador Cuantificador CodificadorSeñal analógicapreviamentefiltrada (antialias)Señal entiempodiscretoSeñalcuantificadaSeñaldigitalEl muestreo periódico establece una relación entre las variables t y n detiempo continuo y el tiempo discreto, respectivamente.De hecho, estas variablesse relacionan linealmente através del periodo demuestreo T o,equivalentemente, a travésde la velocidad demuestreo Fs=1/T, como:t nT x ( t) AcosfaFFs,nFs2Ftx ( nT ) x(n) Acos2FnT Ta 2nFAcos Fs

LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIERan b af( x)e j2ndxLA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIERTrabajando con `N` señales discretas m(kT) cuyo recorrido se abarca desdeun índice k=0 hasta k=N-1, la ecuación anterior se convierte en:FnNT 11 NN k0m(kT)e2nk jNTEOREMA DE PARSEVALEl teorema de Parseval relaciona la energía total contenida en la señal deentrada con el espectro de densidad de energía calculado a partir de laTransformada de Fourier. Asimismo, permite calcular la potencia de la señalusando la salida del espectro de potencia22N 1n01x( n) NN 1k0X ( k)

OPERACIÓN CON SEÑALES•Desplazamiento en el tiempo: x(t-2), desplazamiento a la derecha.•Compresión del tiempo: x(2t)•Dilatación del tiempo: x(t/2)•Reflexión: x(-t)x(t)1.0x(2t)1.0x(1/2t)1.0-1 01-1/2 01/2-2 02x(t-2)1.0x(-t)1.002-1 01

OPERACIÓN DE CONMUTACIÓN CONSEÑALES DIGITALES (n) ( n 2)z2R z( n)2( n 2)u (n)u( n 3)3R zz3u(n)u(n3)

OPERACIONES BÁSICAS SOBRE SEÑALES* Operaciones efectuadas sobre variables dependientes.•Escalamiento en amplitud. Considere que x(t) denota una señalcontinua en el tiempo. La señal y(t) resultante del escalamiento deamplitud aplicado a x(t) se define mediantey(t) = cx(t)De forma similar para una señales en tiempo discreto, se tiene:y[n]=cx[n]*Suma. Considere que x 1 (t) y x 2 (t) denotan un par de señales entiempo continuo. La señal y(t) obtenida por la suma es de la forma:y(t)=x 1 (t)+x 2 (t)De forma similar, para las señales en tiempo discreto se tiene:y[n]=x 1 [n]+x 2 [n]*Multiplicación. Sean x 1 (t) y x 2 (t) un par de funciones de señalescontinuas en el tiempo. La señal y(t) resultante de la multiplicación dex 1 (t) y x 2 (t) está definida por:y(t)=x 1 (t)x 2 (t)

OPERACIONES BÁSICAS SOBRE SEÑALES* Operaciones efectuadas sobre variables dependientes.De forma similar, para las señales en tiempo discreto se tiene:y[n]=x1[n]x2[n]*Diferenciación. Sea x(t) una señal continua en el tiempo. La derivadade x(t) con respecto al tiempo se define de la forma dy( t) x(t)dtEn una red con un inductor, la bobina realiza diferenciación.Considerando i(t) la corriente que fluye por la red eléctrica que alimentaa la bobina. El voltaje v(t) que se genera en el inductor se define comodv( t) L i(t)dt*Integración. Sea x(t) una señal continua en el tiempo. La derivada dex(t) con respecto al tiempo se define de la forma:y(t) tx( ) dUsando un capacitor en lugar de una bobina.v(t)1Ct i( ) d

OPERACIONES BÁSICAS SOBRE SEÑALES* Operaciones efectuadas sobre la variable independiente•Escalamiento de tiempo. Sea x(t) una señal continua en el tiempo. Laseñal y(t) obtenida por el escalamiento de la variable independiente,tiempo t, por un factor a se define como:y(t)=x(at)Si a>1, la señal y(t) es una versión comprimida de x(t). Si, por otro lado,0

OPERACIÓN CON SEÑALES DIGITALES1/2u(n)u(n)y(n)=ax(n)a 1/2u(n)aau(n)w(n)w( n)u(n)w(n)u(n)y(n)

SEÑALES ELEMENTALESSeñales exponenciales. En su forma más general, se escribe como:x(t)=Be atCon B y a . El parámetro B es la amplitud de la señal exponencialmedida en el tiempo t=0. Dependiendo de si el otro parámetro a espositivo o negativo, es posible identificar dos casos especiales:•Decaimiento exponencial, para el cual a0» x1=B*exp(3*t);» x2=B*exp(6*t);» x3=B*exp(9*t);Con B=5 yt=0:0.001:1» x1=B*exp(-3*t);» x2=B*exp(-6*t);» x3=B*exp(-9*t);54.543.532.5254.543.532.5254.543.532.52120100806025002000150010004.5 x 10443.532.521.51.51.5401.510.510.510.52050010.500 1000 200000 1000 200000 1000 200000 1000 200000 1000 200000 1000 2000

SEÑALES ELEMENTALESCon B=5 yt=0:0.1:1» x1=B*exp(-3*t);» x2=B*exp(-6*t);» x3=B*exp(-9*t);Con B=5 yt=0:0.1:10» x1=B*exp(3*t);» x2=B*exp(6*t);» x3=B*exp(9*t);55512025004.5 x 1044.543.532.524.543.532.524.543.532.52100806020001500100043.532.521.51.51.5401.510.510.510.52050010.500 10 2000 10 2000 10 2000 10 2000 10 2000 10 20

Secuencia de pulso unitarioSEÑALES BÁSICAS1n 0 ( nT) 0n 0Respuesta de un sistema ky ( nT) x(kT) ( nT kT)Secuencia de paso unitariou(nT)10paraparan 0n 0Respuesta de un sistemay( nT) x(nT)u(nT)Secuencia senoidalx(nT)x(nT)sin(2fnTcos(2fnT))

SISTEMASUn sistema físico es un conjunto de dispositivos conectados entre sí, cuyofuncionamiento está sujeto a leyes físicas. Se puede considerar que un sistemaes un procesador de señales.El análisis de sistemas implica el estudio de la respuesta del sistema a entradasdesconocidas.La síntesis de sistema se realiza especificando las salidas que deseamos paraunas entradas dadas y estudiando que sistema es el más adecuado(identificación de sistemas).excitaciónx[n]H[n]y[n]respuestaLa representación normal de un sistema (tiempo continuo) se realizanormalmente a través de ecuaciones diferenciales. Se relaciona la salida y(t) yla entrada x(t) mediante constantes, parámetros y variables independientes(tiempo).nn1mm1d y d y dy d x d xa0 aanany b bbn 1.... n10 m 1.....1m1dt dtdt dt dtm1dxdt bmx

SISTEMASTambién se puede considerar a un sistema como una interconexión decomponentes con terminales o puertos de acceso pensados como materia,energía o información puede ser aplicada o extraída. Tal y como se ilustra en lasiguiente figura, una forma común de visualizar un sistema está en término deuna “caja negra” con terminales de entrada y de salida. En dicha figura x 1 (t),x 2 (t),...,x p (t) son las señales aplicadas a las p terminales de entrada del sistemay y 1 (t), y 2 (t), y 3 (t),….,y q (t) son las respuestas resultantes que aparecen en lasterminales de salida del sistema.x 1 (t)x 2 (t)y 1 (t)y 2 (t)SEÑALESDEENTRADASEÑALESDESALIDAx p (t)y q (t)

EJEMPLOS DE SISTEMASExisten una gran cantidad de sistemas en donde se pueden ver reflejadoslos conceptos antes mencionados, dentro de los cuales se cuentan conlos siguientes:* Sistemas de comunicación.Señal delmensajeSeñaltransmitidaSeñalrecibidatransmisor Canal ReceptorEstimaciónde la Señaldelmensaje

EJEMPLOS DE SISTEMAS* Sistemas de controlEl control de sistemas físicos se emplea extensivamente en la aplicaciónde señales y sistemas en nuestra sociedad industrial. El objeto que se vaa controlar recibe el nombre de planta; para que en este contexto, yasea un robot o un avión el objeto se le conoce con el nombre de planta.V i (s)+-[V i (s)-V F (s)]G(s)=AV 0 (s)V F (s)H(s)R2R R12

EJEMPLOS DE SISTEMAS

MODELADO DE LOS SISTEMASPara emprender a fondo el estudio de los sistemas, tales como los mencionadosanteriormente, resulta útil tener un modelo del sistema. Un modelo matemáticoconsiste de una colección de ecuaciones que describen las relaciones entre lasseñales que aparecen en el sistema. Es importante hacer notar que si un sistema seespecífica por una computadora digital o una simulación de computadora digital, unmodelo matemático se puede generar al escribir las ecuaciones correspondientes aldiagrama de flujo-señal de la simulación.Un modelo matemático es una representación idealizada del sistema. En otraspalabras, muchos sistemas actuales no pueden ser descritos de manera exacta porun modelo matemático.Existen dos tipos básicos de modelos matemáticos: la representación deentrada/salida que describe la relación entre las señales de entrada y de salida deun sistema, y el modelo de estado o interno que describe las relaciones entre lasseñales de entrada, de estado y de salida.Se puede realizar la representación de las señales de entrada/salida por medio de:a)Ecuaciones diferencias (o de diferencia) de entrada/salida (temporal)b)El modelo convolucional (temporal)

RESPUESTA DE LOS SISTEMASLINEALES A UNA SEÑAL DE ENTRADALos sistemas que se apegan a la linealidad y los requerimientos deinvarianza con el tiempo satisfacen una amplia clase de operaciones deprocesamiento digital de señal. Tales sistemas están completamentecaracterizados por su respuesta al impulso, h(n)h( n) R[ ( n)]Una vez que la respuesta al impulso es determinada, la salida delsistema para alguna entrada dada es de la forma:x(n)y ( n) R[x(n)] x(k)h(n k)R[x(n)]x(n)x(n)mh(n) R[umx(m)u00 kexcitaciónn] h(n m) R[u n m] x(m)u ( n m) R[x(m)hn mn m ,x(m)h n m00y(n)=R[x(n)]respuesta]La ecuación esla convoluciónentre la señalde entrada yla respuesta alimpulso delsistema.

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS•ESTABILIDADUn sistema es estable de entrada acotada-salida acotada si y sólo sitoda entrada acotada origina una salida acotada. La salida de talsistema no diverge si la entrada no diverge. Desde la perspectiva dela ingeniería, es importante que un sistema de interés permanezcaestable bajo todas las condiciones de operación. Sólo en esos casos,el sistema garantiza tener una salida acotada para una entradaacotada.•MEMORIAUn sistema posee memoria si la señal de salida depende de losvalores pasados de la señal de entrada. La extensión temporal de losvalores pasados sobre los cuales la salida depende define qué tanlejos se extiende la memoria en el pasado. La corriente que circulaen un resistor muestra a este dispositivo como un sistema sinmemoria, mientras que la corriente que circula sobre una bobinailustra a un sistema con memoria pues la corriente depende de losvalores anteriores del voltaje.

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS•CAUSALIDADUn sistema es causal, si el valor presente de la señal de salidadepende sólo de los valores presente y/o pasado de la señal deentrada. En contraste, los valores de un sistema no causal dependende los valores futuros de la señal de entrada.•INVERTIBILIDADUn sistema es invertible si la entrada del sistema puede recuperarsede la salida del sistema. De tal forma que una conexión de la etapade salida del primer sistema a la entrada de un segundo provocaráque la señal de entrada al primer sistema sea obtenida a partir delsegundo sistema.•INVARIANCIA CON EL TIEMPOUn sistema es invariante con el tiempo si un retraso de tiempo o unadelanto de tiempo de la señal de entrada lleva a un corrimiento enel tiempo idéntico en la señal de salida. Lo cual implica, que unsistema invariante con el tiempo responde de la misma forma conindependencia del tiempo en el cual ha sido aplicada la señal deentrada al mismo.

RESPUESTA DEL SISTEMA AL IMPULSOUNITARIOLa salida de un sistema expresada a partir de la representación generalde una señal y la suma de convolución es de la forma: y ( n)R x(k) ( n k)kDebido a que se considera un sistema lineal, la respuesta del sistema auna suma de entradas es igual a la suma de las respuestas del sistema acada una de las entradas individuales. Así, la respuesta puede sercalculada como la suma del producto de los escalares con las respuestasal impulso trasladadas.R[ ( k)] h(k) ky ( n) x(k)R[ ( n k)]Por definicióntiempo, entonces la salida a una versión trasladada de la entradaes equivalente a. Si el sistema es también invariante con el ky ( n) x(k)h(n k)R[ ( n k)]

CLASIFICACIÓN DE SISTEMASA los sistemas lineales se les puede aplicar el principio de superposiciónLa respuesta de un sistema a una señal de entrada x(t) formada por la sumade dos o más señales x( t) x1 ( t) x2(t)..... xn(t) es igual a la suma de lasrespuestas del sistema a cada una de las señalesy( t) y1(t) y2(t)... yn(t)La respuesta de un sistema a una señal K(x) es igual a K veces larespuesta a x(t).x(n) y(n)= Φ [x(n)]ΦUn sistema es invariante en el tiempo cuando la respuesta y(t) depende sólode la forma de la entrada x(t) y no del tiempo en que se aplica.Matemáticamente L{}L{ x(t)} y(t)L{ x(t tSi , entonces0)} y(t t0), donde esun operador matemático que representa el sistema físico en cuestión.

CLASIFICACIÓN DE SISTEMASUn sistema discreto es estático cuando el elemento de la secuencia desalida de un cierto índice depende únicamente del elemento de lasecuencia de entrada del mismo índice. Por ejemplo el sistema quegenera una secuencia cuyos elementos son los cuadrados de loscorrespondientes elementos de una secuencia de entrada.Un sistema discreto es dinámico cuando la secuencia de salida de uncierto índice depende de las secuencias de entrada y de salida deórdenes distintos al suyo.x(n) y(n)= Φ [x(n)]ΦUn sistema homomórfico es aquel que cumple con el principio desuperposición bajo alguna regla de combinación para las entradas y lassalidas, los que satisfacen dicho principio sobre la operación deconvolución han sido estudiados a detalle [Schaffer].

APLICACIONES DEL PROCESAMIENTODIGITAL DE SEÑALES

PROCESAMIENTO Y SÍNTESIS DE VOZ

AUDIO Y CODIFICACIÓN DIGITAL

CODIFICACIÓN Y ENMASCARAMIENTODE AUDIO

EJEMPLOS DE SEÑALES SENOIDALES4» a=4;» w0=20*pi;» phi=pi/6;» t=0:.001:1;» cosine=a*cos(w0*t+phi);» plot (t,cosine)3210-1-2-3-40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110.8» a=1;» omega=2*pi/12;» phi=0;» n=-10:10;» y=a*cos(omega*n);» stem(n,y);0.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

EJEMPLOS DE SEÑALES PERIÓDICAS10.80.6» a=1;» w0=10*pi;» rho=0.5;» t=0:0.001:1;» sq=a*square(w0*t+rho);» plot(t,sq)0.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11» clear all» a=1;» w0=10*pi;» w=0.5;» t=0:0.001:1;» tri=a*sawtooth(w0*t+w);» plot(t,tri)0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

REPRESENTACIÓN DE SEÑALESPERIÓDICAS10.8» a=1;» omega=pi/4;» rho=0.5;» n=-10:10;» x=a*square(omega*n+rho);» stem(n,x)0.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1010.8» a=1;» w0=10*pi;» w=0.5;» t=0:0.01:1;» tri=a*sawtooth(w0*t+w);» stem(t,tri)0.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

SEÑALES SINUSOIDALESAMORTIGUADAS EXPONENCIALMENTE65» a=60;» w0=20*pi;» phi=0;» a=6;» t=0:0.001:1;» expsin=a*sin(w0*t+phi).*exp(-a*t);» plot(t,expsin)43210-1-2-3-40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

FUNCIONES ESCALÓN UNITARIO YRAMPA10.90.8» t1=zeros(1,50);» t2=ones(1,50);» t=[t1 t2];» plot(t)0.70.60.50.40.30.20.100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010.9» t1=zeros(1,50);» t2=ones(1,50);» t=[t1 t2];» stem(t)0.80.70.60.50.40.30.20.100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

FUNCIONES IMPULSO UNITARIO10.90.80.7» t1=zeros(1,49);» t2=zeros(1,49);» t=[t1 1 t2];» stem(t)0.60.50.40.30.20.100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

CONCLUSIONESA lo largo de este análisis se han descrito las característicasiniciales del procesamiento digital de señales, al darse losprincipios tanto de las señales como de los sistemas.El estudio de las señales y sus características nos permiteencontrar de forma adecuada relaciones a las aplicacionesque a lo largo del curso se verán planteadas. Elestablecimiento de características tales como: continuidaden el tiempo, señales discretas, sistemas linealesinvariantes en el tiempo, etc., son parte de los principiosfundamentales del estudio del comportamiento de lainformación medular del presente curso.Con las representaciones esquemáticas y las ecuaciones decada uno de los sistemas se logró conjuntar la cuestiónmatemática con la representativa a nivel de comprensión.Finalmente, el advenimiento de sistemas cada vez máscomplejos requiere la correcta comprensión de los aspectosesenciales tanto del comportamiento de las señales comode su integración en diagramas a bloques de sistemaspreviamente establecidos.