Problemas de Trayectoria a cualquier ángulo. Trayectoria Ortogonal.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEPRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS5TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS:Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es unatrayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia Tcorta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ánguloconstante ω.OBSERVACIÓN:Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo queforman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección.Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se deseadeterminar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cadauna de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0.Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencialasociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de unhaz de curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial.Considérese una curva F 1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T 1 ,a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)YF 1 ( x, y, C 1 ) = 0L F1ωP ( x , y )T1 ( x, y, K1) = 0Figura 1L T1XSea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F 1 (x, y, C 1 ) = 0, en el punto P(x,y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T 1 (x, y, K 1 ) = 0, en elpunto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).

6YF1 ( x, y, C1) = 0L F1ωP ( x , y )T1 ( x, y, K1) = 0θφXFigura 2L T1A cada punto de la curva F 1 (x, y, C 1 ) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), dondey’ = tg θ es la pendiente de la recta tangente a la curva F 1 en el punto P(x, y).A cada punto de la curva T 1 (x, y, k 1 ) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), dondey’= tg φ es la pendiente de la recta tangente a la curva T 1 en el punto P(x, y).OBSERVACIÓN:A fin de evitar confusión con respecto a si la terna (x, y, y’), está referida a lospuntos de la curva F 1 , o a los puntos de la curva T 1 , sólo a efectos de la demostraciónse escribirá (u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curvaT 1 . En el punto P(x, y) exactamente se tendrá que:x = u , y = v , y’ = tg θ , v’ = tg φSe debe ahora establecer una relación entre las derivadas y’ = tg θ , v’ = tg φ. Paraello, se trasladará la recta tangente a F 1 (x, y, C 1 ) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto decorte de la recta tangente a T 1 (x, y, k 1 ) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).YF1 ( x, y, C1) = 0L F1θωP ( x , y )Figura 3ωφT1 ( x, y, K1) = 0θL T1X

De la Figura 3 se deduce que:θ = φ – ω.7Por identidades trigonométricastg θ = tg (φ – ω) =tgφ- tg ω1 + tgφtg ωDe acuerdo a lo indicado en la observación tg θ = y’, tg φ = v’, entonces al sustituir enla ecuación anterior, resulta que:v' - tg ωy’=1+v' tg ωEsta última ecuación permite establecer una relación entre las derivadas de las curvasF 1 (x, y, C 1 ) = 0 y T 1 (x, y, k 1 ) = 0 en el punto P(x, y).Ya que f(x, y, y’) = 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas F(x,v' - tg ωy, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuación diferencial y’ por, se obtiene1+v' tg ωuna nueva ecuación diferencial f(x, y ,v' - tg ω) = 01+v' tg ωEsta es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene unángulo ω, con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtienela familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias ω a la familia dada F(x,y, C) = 0.OBSERVACIÓN:La ecuación diferencialv' - tg ωf(x, y,) = 01+v ' tg ωtiene sentido siempre y cuando ω ≠ 90º, ya que tg 90º se indetermina.Si ω = 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos deintersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas sonperpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es:(tg θ) (tg φ) = -1Como tg θ = y’, tg φ = v’, resulta que:y’ = -1v '

Por lo tanto, si la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dadaF(x, y, C) = 0 es f(x, y, y’) = 0, entonces sustituyendo y’ por – v1 se obtiene una nueva1ecuación diferencial f (x, y, − ) = 0, que es la ecuación diferencial asociada a la familia dev 'trayectorias que mantienen un ángulo de 90º con la familia dada.Al resolver esta nueva ecuación diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cualrepresenta la familia de trayectorias a 90º de la familia dada. Para este caso, cuando ω =90º, las trayectorias se denominan, trayectorias ortogonales.OBSERVACIÓN:Recuerde que solo para efecto de la demostración, se utilizó ( u, v, v’ ) parahacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0.8PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZDE CURVAS DADO1. Si la ecuación del haz de curvas no está dada en forma explícita, debe determinarse.Sea F(x, y, C) = 0 la ecuación del haz dado.2. Debe determinarse la ecuación diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Seaf(x, y, y’) = 0 la ecuación diferencial que resulta.3. Si las trayectoria a buscar son a un ángulo ω ≠ 90º, debe sustituirse y’, en lay' − tgωecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ; así se obtiene la1+y' tgωy' − tgωecuación diferencial f(x, y, ) = 0.1+y' tgωSi las trayectorias a determinar son ortogonales (ω = 90º), se debe sustituir y’, en la⎛ 1ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ⎟ ⎞⎜ − ; así se obtiene la⎝ y ' ⎠1ecuación diferencial f(x, y, − ) = 0.y '4. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3.5. La solución general de la ecuación diferencial resuelta en el paso 4, representala familia de trayectorias que mantiene un ángulo ω con la familia de curvasdada. (en el caso en que ω = 90º, recuerde que las trayectorias se denominantrayectorias ortogonales).

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMASDE TRAYECTORIAS1. La ecuación y 2 = Cx (C una constante arbitraria) define una familia de parábolas.Obtenga la familia de trayectorias ortogonales.SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas y 2 = Cx (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta2yy’ = C (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una de las característicasde las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se formacon las ecuaciones (1) y (2).y 2= Cx2yy' = CAquí basta con sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1), resultandoy 2 = 2yy’x (3)La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia de parábolasy 2 = Cx.Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y 2 = Cx. Para ello, basta con⎛ 1sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠y 2 = 2y⎛ 1⎟ ⎞⎜ − x⎝ y ' ⎠9multiplicando por y’/y 2 y’ = −2xy

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienexdy = − 2 dx (4)yEsta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (4) por yy dy = – 2 x dxequivalentementey dy + 2x dx = 0integrando∫ y ∫dy + 2 x dx = C 1(5)Ambas integrales son inmediatas∫ y dy y 2 = + k 12∫ x dx = x 2 + k 22sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)10y 2 + x 2 = K22 2y x+ = 12K K(6)1Multiplicando por , KLa ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen yeje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia deparábolas y 2 = CxOBSERVACIÓN:Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuación de las trayectorias,no es la misma constante del haz de curvas dado.

2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y 3 = Cx 211SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas y 3 = Cx 2 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta3y 2 y’ = 2Cx (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧ 3 2y = Cx⎨2⎪⎩ 3y y' = 2CxAquí basta con despejar C de la ecuación (2) y sustituir en la ecuación (1), resultando3 y' xy =(3)2La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia y 3 = Cx 2 .Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y 3 = Cx 2 . Para ello, basta con⎛ 1sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠equivalentemente,y = 3y’ =⎛ ⎜ −⎝−1⎟ ⎞2 y ' ⎠3 x2 yYa que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene3 xdy = − dx (4)2 yEsta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (4) por 2y2 y dy = - 3x dxx

integrando12∫∫2 y dy = −3x dx(5)Ambas integrales inmediatas son inmediatas∫2yy dy = + k 12∫2xx dx = + k 22Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)Multiplicando por2y222x= − 3 + k21 ,3 k2 2y x+ = 13 k 2k(6)La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen yeje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia decurvas y 3 = Cx 23. Encuentre el valor de la constante a, de tal forma que las familiasy 3 = C 1 x , x 2 + a y 2 = C 2sean ortogonalesSOLUCIÓN:Como aquí se tienen dos curvas, se deberán denotar de manera diferente lasderivadas de cada una de ellas; sean:y’ la derivada de la curva y 3 = C 1 xŷ’ la derivada de la curva x 2 +ay 2 = C 2De acuerdo con la definición de curvas ortogonales, para que estas curvas seanortogonales debe satisfacerse que el producto de las derivadas sea igual a -1, esto es:y’. ŷ’ = -1 (1)Derivando implícitamente respecto de x, la curva y 3 = C 1 x (2)3 y 2 y’ = C 1 (3)La constante C 1 debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (3)⎪⎧ 3y = C1x⎨2⎪⎩ 3y y ' = C1

13Sustituyendo (3) en (2) se tieney = 3 y’ xDespejando y’y’ =y3 x(4)Derivando implícitamente respecto de x, la curva x 2 + ay 2 = C 2 (5)2 x + 2 a y ŷ ' = 0 (6)Despejando ŷ ' de la ecuación (6)ŷ ' =x− (7)a ySustituyendo las ecuaciones (4) y (7) en la ecuación (1)⎛ y ⎞ ⎛ x ⎞⎜⎟⎝ 3 x⎜ − ⎟ = -1⎠ ⎝ ay ⎠Simplificando y despejando la constante aa = 314. Determinar las trayectorias ortogonales para la familia y = - x – 1 + C 1 e xSOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familiade curvas y = - x – 1 + C 1 e x (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resultay’ = - 1 + C 1 e x (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).Despejando C 1 e x de la ecuación (2)x⎪⎧y = − x − 1 + C1e⎨x⎪⎩ y ' = −1+ C1e

C 1 e x = y’ + 1 (3)Sustituyendo (3) en la ecuación (1), resultay = - x + y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia daday = - x – 1 + C 1 e xUna vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con⎛ 1sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠⎛ 1y = – x + ⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠equivalentemente,1y’ = −x + yYa que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene1dy = - dx (5)x + yLa ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectoriasortogonales a la curva y = – x – 1 + C 1 e xLa ecuación diferencial (5) no es una ecuación de variables separables, pero puedeescribirse de la formadx + (x + y) dy = 0 (6)resultando una ecuación diferencial reducible a exacta ( pues, P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, y∂P∂Q≠ ).∂y∂x∂P ∂Q En efecto, si P(x, y) = 1 y Q(x, y) = x + y entonces = 0 y = 1; luego la∂y∂xecuación no es exacta pero puede que admita un factor integrante de la forma14∫g(v) dvµ (x,y) = e con g(v) =⎡∂P ∂Q⎤⎢ − ⎥⎣∂y ∂x⎦⎡ ∂v∂v⎤⎢Q− P ⎥⎣ ∂x∂y⎦∂ vSi v = y entonces = 0∂ x∂ v = 1; sustituyendo en g(v) resulta:∂ y

15Así,g(v) =− 1− 1= 1g(v) dv∫µ (x, y) = e = e v = e yPor lo tanto el factor integrante es µ (x, y) = e yMultiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrantee y dx + e y (x + y) dy = 0 (7)La ecuación (7) se puede escribire y dx + x e y dy = – y e y dy (8)El término izquierdo de la ecuación (8) es la diferencial total de ( x e y ), esto es,e y dx + x e y dy = d ( x e y )Así, la ecuación (8) se transforma end ( x e y ) = – y e y dyIntegrandoResolviendo las integrales∫d (x ey)= −∫y e ydy∫y yd (x e ) = x e + K 1(9)∫y eydyse resuelve por el método de integración por partes:∫u dv∫⎪⎧u = y= u v − v du , donde ⎨ ⎪⎩ dv = eydydu = dyyv = e∫y eydy = y e y−∫e y dy = y e y – e y = e y (y – 1) + K 2Sustituyendo los resultados de las integrales en (9)x e y + K 1 = – e y (y – 1) + K 2o equivalentemente

x e y = e y(1 – y) + K16multiplicando por e –y x = (1 – y) + K e –yo también(x + y – 1) e y = K (10)La ecuación (10), representa la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a lafamilia de curvas y = – x – 1 + C 1 e x5. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = (x – C 1 ) 2SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas y = (x – C 1 ) 2 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resultay’ = 2 ( x – C 1 ) (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).( x − C )⎪⎧2y = 1⎨⎪⎩ y' = 2 (x − C1)Despejando ( x – C 1 ) de la ecuación (2)( x – C 1 ) =y ' (3)2Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)equivalentementey =2⎛ 'y ⎞⎜ ⎟⎜ 2 ⎟⎝ ⎠4y = ( y’) 2esto es,2 y = y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolasy = ( x – C 1 ) 2

17Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = ( x – C 1 ) 2Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) porequivalentemente,2 y =y’=−1y '1−2 y⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene1dy = − dx (5)2 yEsta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (5) por yintegrando∫y dy =1− dx2∫1y dy = − dx(6)2Ambas integrales son inmediatas∫yy dy = + k3 12∫dx = x + k 2Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)323y 232=1− x + k2Para despejar y, primero se multiplica por 23 a ambos lados de la igualdad y luego seeleva a 23⎛y = ⎜−⎝34x +32⎞K⎟⎠23=32⎛ − 3x + 6K ⎞⎜ ⎟⎝ 4 ⎠

18equivalentementey =3( k − 3x)162(7)La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia deparábolas y = ( x – C 1 ) 26. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia C 1 x 2 + y 2 = 1SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas C 1 x 2 + y 2 = 1 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta2 C 1 x + 2 y y’ = 0 (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧2 2C1x + y = 1⎨⎪⎩ 2 C1x + 2 y y ' = 0Despejando C 1 de la ecuación (2)C 1 ='y y− (3)xSustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)⎛ ⎞⎜ y y' − ⎟ x 2 + y 2 = 1⎜ ⎟⎝ x⎠equivalentemente– yy’ x + y 2 = 1 (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferéncial asociada a la familiaC 1 x 2 + y 2 = 1

Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia C 1 x 2 + y 2 = 119Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) porequivalentemente,⎛ 1– y ⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠x yy 'x + y 2 = 1= 1 – y 2⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Despejando y’y ' =xy21−yYa que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienexydy = dx (5)21−yEsta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables21−ybasta con multiplicar la ecuación (5) pory1−yy2dy = x dxintegrando∫21−ydy =y∫x dx(6)Ambas integrales son inmediatas∫1 − 2y∫1dy =yydy−∫y dy = ln | y |y 2− + k 12∫ x dx = x 2 + k 22sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)y 2 x 2ln | y | − = + k2 2multiplicando por 22 ln | y | = x 2 + y 2 + 2K

aplicando propiedades de logaritmoln y 2 = x 2 + y 2 + 2K20aplicando e a ambos lados de la ecuacióny 2 ⎜⎛ x2+ y2 ⎟⎞= C e ⎝ ⎠(7)La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvasC 1 x 2 + y 2 = 17. Determine la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 2 x 2 + y 2 = CSOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas 2 x 2 + y 2 = C (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta4 x + 2 y y’ = 0 (2)Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representala ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado.Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x 2 + y 2 = CPara ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (2) por⎛ 14 x + 2 y ⎟ ⎞⎜ − = 0⎝ y ' ⎠equivalentemente,2 x y’ – y = 0⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Despejando y’yy ' =2xYa que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienedy =y dx (3)2x

21Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables2basta con multiplicar la ecuación (3) poryintegrando2 1 dy = dxy x∫ 1∫dy = 1 dxyx2 (4)Ambas integrales son inmediatas∫1ydy∫1xdx= ln y + k 1= ln x + k 2Sustituyendo los resultados de la integrales en la ecuación (4)2 ln | y | = ln | x | + k 3aplicando propiedades de logaritmoln y 2 - ln | x | = k 3esto eslny 2 = k 3xaplicando e a ambos lados de la ecuacióny 2 = k x (5)La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas2x 2 + y 2 = C8. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = e CxSOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas y = e Cx (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resultay’ = C e Cx (2)

22Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧ y = e⎨⎪⎩ y' = C eC xC xDespejando C de la ecuación (1)C =ln yx(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)⎛ ln y ⎞y’ = ⎜ ⎟ y (4)⎝ x ⎠Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = e CxPara ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) porequivalentemente,1− =y 'y’ =−y ln yxxy ln y⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienexdy = − dx (5)y ln yLa ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar lasvariables basta con multiplicar la ecuación (5) por (y ln y)y ln y dy = - x dxintegrando∫ −∫ln y dyy = x dx(6)∫Para resolver la integral y ln y dy se aplica el método de integración por partes

23así∫⎧⎪u= ln yu dv = u v −∫v du;donde ⎪ ⎪ ⎨dv = y dy⎩1du =y2yv =2dy∫2y ⎛ 2y ⎞ 1y ln y dy = ln y ⎜ ⎟⎛dy22 y⎟ ⎞ y 222y− ⎜ = ln y dy⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2− 2= y yln y − + k 12 4∫∫2xx dx = + k 22Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)multiplicando por 42y222yln y − =42x 2∫− + k22 y ln y − y = – 2x + 4 k2equivalentementey 2 ( ln y 2 - 1 ) + 2 x 2 = C 1 (7)La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvasy = e Cx9. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y a = C 1 x bdonde a y b son constantes conocidas.SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas y a = C 1 x b (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resultaa y a – 1 y’ = C 1 b x b – 1 (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

24⎪⎧ a by = C1x⎨a −1b −1⎪⎩ a y y' = C1b xDespejando C 1 de la ecuación (1)C 1 =yxab(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)a y a – 1 y’ =yxabb x b – 1 (4)Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y a = C 1 x bPara ello, se sustituye y’ en la ecuación (4) pora y a – 1⎛ ⎜ −⎝1⎟ ⎞y ' ⎠= b⎛ ⎜ −⎝x1⎟ ⎞ , resultandoy ' ⎠Despejando y’⎛ a xy’ = ⎟ ⎞⎜ −⎝ b y ⎠Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene⎛ a xdy = ⎟ ⎞⎜ − dx (5)⎝ b y ⎠Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (5) por (b y)b y dy = - a x dxintegrando∫∫y ab y dy = − a x dx(6)Ambas integrales son inmediatas∫yy dy = 22+ k 1

25∫2xx dx = + k 22Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)b y22=−a x22+kMultiplicando por k1y2⎛ 2K ⎞⎜ ⎟⎝ b ⎠+x2⎛ 2K ⎞⎜ ⎟⎝ a ⎠= 1(8)La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvasy a = C 1 x b10. Determine la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales al haz de1 + C1xcurvas y =1 − C1xSOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de1 + C1xcurvas y = (1)1 − C1xDicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resultaCy’ =1 ( 1−C1x) + C1(1+C1x)2(1−C x)1desarrollando y simplificando2 C11−C1xy’ =( )2(2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).

26⎧ 1⎪ y =1⎨⎪ y' =⎪⎩Despejando C 1 de la ecuación (1)+−CC11xx2 C1( 1 − C x )y ( 1 – C 1 x ) = 1 + C 1 x ⇒ C 1 =12y −1( y + 1 ) x(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)⎛ y −12⎜( )y’ =⎝ y + 1 x⎡ ⎛ y −1⎢ 1 −⎜⎣ ⎝ ( y + 1 ) x⎞⎟⎠⎞ ⎤⎟ x⎥⎠ ⎦2desarrollando y simplificandoy’ =2x⎛ y −1⎞⎜y 1⎟⎝ + ⎠4( y + 1 )2=( y −1)( y + 1)2 xde aquí resulta quey’ =y 2 −12 x(4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada1 + C1xy =1 − C1xUna vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación1 + C1xdiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia y = . Para ello,1 − C xbasta con sustituir y’ en la ecuación (4) pordespejando y’y ’ =1− =y '⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠y 2 −12 x2 x− =2y − 12 x1−y21

Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene2 xdy = dx (5)21−yEsta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (5) por ( 1 – y 2 )( 1 – y 2 ) dy = 2 x dxintegrando∫2( )∫1 − y dy = 2 x dx(6)27Ambas integrales son inmediatas∫( ) 1 − y 2dy∫= dy −∫y2dy= yy 3− + k 13∫ x dx = x 2 + k 22sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)3y2y − = x + k3multiplicando por 33 x 2 + y 3 – 3 y = C (7)La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas1 + C xy =11 − C x111. Determine la ecuación del haz de trayectorias ortogonales a la familia de curvas2 x 2 + y 2 = 4 C xSOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas 2 x 2 + y 2 = 4 C x (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta4 x + 2 y y’ = 4 Csimplificando2 x + y y’ = 2 C (2)

28Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧2 22 x + y = 4 C x⎨⎪⎩ 2 x + y y' = 2 CDespejando C de la ecuación (2)C =2 x + y y'2(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)2 x 2 + y 2 ⎛ 2 x + y y' ⎞= 4 ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠xdesarrollando y simplificandoequivalentemente2 x 2 + y 2 = 4 x 2 + 2 x y y’y 2 – 2 x 2 = 2 x y y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada2 x 2 + y 2 = 4 C xUna vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2x 2 + y 2 = 4 Cx . Para ello, se⎛ 1sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠despejando y’y 2 – 2 x 2 = 2 x yy’ =2 x y2 22 x − y⎛ 1⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene⎛⎞dy = ⎜2 x y⎟⎝ 2 x2 − y2 dx⎠equivalentemente2 x y dx + ( y 2 – 2 x 2 ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea, con grado dos dehomogeneidad.

29Sacando factor común x 2 en la ecuación (5) ( x ≠ 0)⎧x 2 22y y⎫⎪ ⎛ ⎞⎡⎛ ⎞⎤⎪⎨ ⎜ ⎟ dx + ⎢ ⎜ ⎟ − 2 ⎥ dy ⎬ = 0⎝ x ⎠ ⎢ x ⎥⎪⎩⎣⎝ ⎠⎦ ⎪⎭Multiplicando por⎧1 ⎪t=y efectuando el cambio de variable ⎨⎪ ⎩2x2 t dx + ( t 2 – 2 ) ( x dt + t dx ) = 0yxdy = x⇒ y = x tdt + t dxDesarrollando y sacando factor común dxt 3 dx + ( t 2 - 2) x dt = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las1variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuación por el factor , así resulta3x tintegrando l∫1x1xdxdx+t2+∫t−3t2t2dt− 23=dt0=C 1 (7)Ambas integrales son inmediatas∫1xdx = ln | x | + k 1∫2t − 2∫1dt =3ttdt − ∫12 dt3t= ln | t | +Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)1ln | x | + ln | t | + = k2tt12+ k 2aplicando propiedades de logaritmoln | x t | +t12= kDevolviendo el cambio de variables ( t = xy )Ln | y | +2x2y= k

30Aplicando e2⎛ x ⎞⎜y⎟y e ⎝ ⎠ = C 1 (8)La ecuación (8), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas2 x 2 + y 2 = 4 C x12. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia de curvas4 y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas 4 y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta4 y’ + 2 x + 2 C 1 y’ e 2y = 0 (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎧ 2⎪ 4 y + x + 1 + C1e⎨⎪⎩4 y' + 2 x + 2 y' C1e2y2y= 0= 0Despejando C 1 de la ecuación (2)C 1 =4 y ' + 2x2y2 y' e− (3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)4 y + x 2 ⎛ ⎞+ 1 + ⎜4 y ' + 2x−⎟ e 2y = 02y⎝ 2 y' e ⎠simplificando( 4y + x 2 + 1 ) y’ – 2 y’ + x = 0sacando factor común y’(4y + x 2 – 1) y’ + x = 0 (4)

La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada4 y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se⎛ 1sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − resultando⎝ y ' ⎠despejando y’(4y + x 2 ⎛ 1– 1) ⎟ ⎞⎜ − + x = 0⎝ y ' ⎠y’ =1−4y − xxYa que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene⎛2 ⎞dy = ⎜ 1−4y − x ⎟ dx⎜⎟⎝x⎠esto es( x 2 + 4 y - 1 ) dx + x dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debedeterminarse un factor integrante de la forma µ = ∫ g(v) dve , donde231g(v) =⎛ ∂P⎞ ⎛ ∂Q⎞⎜⎟ − ⎜ ⎟⎝ ∂y⎠ ⎝ ∂x⎠; P(x, y) = x 2 + 4 y - 1 ; Q(x, y) = x⎛ ∂v⎞ ⎛ ∂v⎞Q ⎜ ⎟ − P⎜⎟⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠Si v = x⎧∂v⎪∂x⎨⎪∂v⎪⎩∂y= 1= 0∂P∂Q; = 4 ; = 1, entonces g(v) =∂y∂x3Q=3x=3vPor lo tanto, el factor integrante esµ =3∫ dve v = e 3 ln| v | = v 3 = x 3Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante( x 2 + 4 y - 1 ) x 3 dx + x 4 dy = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta. Esto quiere decir que existe unafunción F(x,y) = K, tal que

∂F∂x= x5+ 4 x∂F = x∂y43y − x332(7)(8)Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y ( x se asume constante )∫ ⎟ ⎞⎜ ⎛ ∂F∂ y = x4 dy⎝ ∂y⎠x ctte.resolviendo las integralesF( x, y ) = x 4 y + h(x) (9)y∫Derivando la ecuación (9) parcialmente respecto de x∂ F 4x3 dh(x)= y +∂xdx(10)simplificandoComparando las ecuaciones (7) y (10) resultax 5 + 4x 3 y - x 3 = 4 x 3 y +dh(x)dx= x 5 - x 3dh(x)dx⎛ dh(x) ⎞Ya que la diferencial de h(x) es dh(x) = ⎜ ⎟ dx, sustituyendo⎝ dx ⎠dh(x) = ( x 5 – x 3 ) dxintegrandodh(x)dx∫dh(x)∫5 3= ( x − x )dx(11)Ambas integrales son inmediatas∫d h(x)= h(x) + k 1∫6 45 3 x x( x − x ) dx = − + k26 4Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (11)h (x ) =Sustituyendo h(x) en la ecuación (9)6x6−4x4+k

33F( x, y ) = x 4 x xy + − + k6 4De aquí resulta que, la familia de trayectorias ortogonales a la familia 4y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0 es x 4 6 4x xy + − + k = 06 413. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas1 1x 3 + y 3 = C1SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de1 1curvas x 3 + y 3 = C1(1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.64Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta1 ( −2) 1 ( −2)x 3 + y 3 y ' = 033(2)Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación representala ecuación diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuación diferencialasociada a las trayectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir y’ en la ecuación (2)por⎛⎜ −⎝⎞⎟ ' ⎠1 , resultando y( −2) 1 ( 2 )1 −3 + 3x3y3⎛ ⎜ −⎝1y '⎞⎟ =⎠0multiplicando por⎡⎢3⎣y'x( 2 ) ( 2 ) ⎤⎥⎦3y3y’( 2 )3y –( 2 )x 3 = 0Despejando y’y’ =⎛⎜⎝xy⎞⎟⎠23Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene

34dy =⎛⎜⎝xy⎞⎟⎠23dx (3)Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables( 2 )basta con multiplicar la ecuación (3) por y 3integrando( 2 )Ambas integrales son inmediatasy 3 dy =( 2 )x 3 dx∫ ∫dy = x dx∫∫22y 332353yy dy = +235353xx dy = +Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)53kk12(4)553 33y5=3 x5+ kMultiplicando por (5/3) y elevando a las (3/5)y =⎛⎜x⎝3( 5 ) ⎞ 53+ C⎟(5)⎠La ecuación (5), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas1 1x 3 + y 3 = C114. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz decurvas x + y = C 1 e y que pasa por el punto (0, 5)SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas x + y = C 1 e y (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.

35Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta1 + y’ = C 1 e y y’ (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧ x + y = C1e⎨⎪⎩ 1 + y ' = C1eyyy 'Despejando C 1 de la ecuación (1)C 1 =x + yey(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)⎛ x + y ⎞1 + y’ = ⎜ ⎟ e y y’y⎝ e ⎠desarrollando y simplificando( x + y – 1 ) y’ = 1 (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dadax + y = C 1 e yUna vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia x + y = C 1 e y Para ello, basta⎛ 1con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠despejando y’⎛ 1( x + y – 1 ) ⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠y’ = 1 – x – yYa que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienedy = ( 1 – x – y ) dxequivalentemente( x + y – 1 ) dx + dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta (también lineal en y).= 1∂P∂QSea P(x, y) = x + y - 1 ; Q(x, y) = 1 ; = 1 ; = 0∂y∂xfactor integrante de la forma µ =e ∫g (v)dv, donde; la ecuación (5) admite un

36g(v) =⎛ ∂P⎞ ⎛ ∂Q⎞⎜⎟ − ⎜ ⎟⎝ ∂y⎠ ⎝ ∂x⎠⎛ ∂v⎞ ⎛ ∂v⎞Q ⎜ ⎟ − P⎜⎟⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠∂v∂vSi v = x , = 1 , = 0∂x∂yLuego, el factor integrante esg(v) =entonces sustituyendo en g(v), se tieneQ1−0() 1 − P ( 0)=1Q= 1µ =g (v)dve∫=∫ dve =ve = exMultiplicando la ecuación (5) por el factor integrante µ = e xe x ( x + y - 1 ) dx + e x dy = 0 (6)Esta ecuación (6) es exacta, ya que si M(x, y) = e x∂ M x ∂ N xresulta = e = = e .∂y∂x( x + y - 1 ) y N(x, y) = e xPor definición, que la ecuación (6) sea exacta, significa que existe una función⎛ ∂ F ⎞ ⎛ ∂F⎞F(x, y) = K tal que, la diferencial total de F(x, y) (dF(x, y) = ⎜ ⎟ dx + dyx⎜y⎟ ) es⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠dF(x,y) = M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0es decir,⎛ ∂F⎞x⎜ ⎟ = M (x, y) = e (x + y − 1)(7)⎝ ∂x⎠⎛ ∂F⎞⎜ =y⎟⎝ ∂ ⎠N (x, y)=xe(8)Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y∫=⎛ ∂F⎞⎜⎟ ∂ y =⎝ ∂y⎠Ambas integrales son inmediatasxy∫N(x, y) dy ==cttexy∫ex dy(9)ctte

37∫⎟ ⎞⎜ ⎛ ∂Fdy = F (x, y)⎝ ∂y⎠∫ ex dy = e x y + h(x)sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)F (x, y) = e x y + h(x) (10)derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de x∂Fx dh(x)= e y +(11)∂xdxsimplificandointegrandoComparando las ecuaciones (7) y (11)e x ( x + y – 1 ) =dh(x)= edxxe x y +( x −1)dh(x)dx⎛ dh(x) ⎞Ya que la diferencial de la función h(x) es dh(x) = ⎜ ⎟ dx , sustituyendo⎝ dx ⎠∫dh(x) =e x∫( x −1)xdxdh(x)dxdh (x) = e ( x −1)dx(12)Resolviendo las integralesLa integral∫e x∫( x −1)∫dh (x) =h (x)dx se resuelve por el método de integración por partes∫u dv = u v − v du donde ⎪⎧u = (x − 1)⎨⎪x⎩ dv = e dx⇒⇒du = dxv = ex∫e x ( x − 1) dx = ( x – 1 ) e x ∫− ex dx = ( x – 1 ) e x – e x + C = ( x – 2 ) e x + CSustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12)

h (x) = ( x – 2 ) e x + C (12)38Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (10)F (x,y) = e x y + ( x – 2 ) e x+ CDe aquí que,e x y + ( x – 2 ) e x + C = 0 (13)es la familia de trayectorias ortogonales a la familia x + y = C 1 e yPara obtener la curva perteneciente a la familia e x y + ( x – 2 ) e x + C = 0 que pasepor el punto (0, 5), se sustituye en la ecuación (13) x = 0, y = 5e 0 5 + (0-2) e 0 + C = 0 ⇒ C = – 3este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuación (13)e x y + ( x – 2 ) e x = 3 (14)La ecuación (14) es la ecuación de la curva perteneciente a la familiae x y + ( x – 2 ) e x + C = 0 que pasa por el punto (0,5) y permanece ortogonal a las curvas dela familia x + y = C 1 e y15. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz decurvas y = x + C 1 e − x que pasa por el punto (3,0)SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas y = x + C 1 e − x(1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resultay’ = 1 – C 1 e − x(2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎧⎪ y = x + C⎨⎪⎩y' = 1 − CDespejando C 1 de la ecuación (2)C 1 = ( 1 – y ’ ) e x (3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)y = x + ( 1 – y ’ ) e x e -xsimplificando11ee−x−x

y = x + C 1y = x + 1 – y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dadaxe −39Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia dada y = x + C 1⎛ 1 ⎞se sustituye y’ en la ecuación (4) por⎜ −⎟ , resultando⎝ y ' ⎠1y = x + 1 +y 'despejando y’1y’ =y − x − 1e − x. Para ello,Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’1dy =dxy − x − 1multiplicando por ( x + 1 – y )dx + ( x + 1 – y ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debeg(v) dvdeterminarse un factor integrante de la forma µ = e∫, donde⎛ ∂P⎞ ⎛ ∂Q⎞⎜⎟ − ⎜ ⎟g(v) =⎝ ∂y⎠ ⎝ ∂x⎠; P(x, y) = 1 ; Q(x, y) = x + 1 – y⎛ ∂v⎞ ⎛ ∂v⎞Q ⎜ ⎟ − P⎜⎟⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠Si v = y ⇒⎧∂v⎪∂x⎨⎪∂v⎪⎩∂y= 0= 1∂P∂Q− 1 − 1; = 0 ; = 1, entonces g(v) = = = 1∂y∂x− P − 1Por lo tanto, el factor integrante esµ = e ∫ dv= e v = e yMultiplicando la ecuación (5) por el factor integrantee y dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0 (6)

La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta, ya que si M(x,y) = e y= e y ∂My ∂Ny( x + 1 – y ) , entonces = e = = e .∂y∂x40y N(x,y)Por definición de función exacta existe una función F(x,y) = K, tal que la diferencialtotal de F(x,y) dF = = 0 es( )⎛ ∂F⎞ ⎛ ∂F⎞dF = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dy = M(x,y) dx + N(x,y) dy = e y dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠De aquí resulta que,∂F =ye∂x∂Fy= e ( x + 1−y )∂y(7)(8)Integrando la ecuación (7) parcialmente respecto de x ( y se asume constante )x∫∫⎛ ∂F⎞⎜⎝⎟⎠∂ x = ey dx∂xy ctte.Ambas integrales son inmediatas∫⎛ ∂F⎜⎞ ⎟ ∂⎝x = F(x, y)∂x⎠x(9)y∫=ctteey dy = x e y + h(y)sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)F( x, y ) = x e y + h(y) (10)derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de y∂F y dh(y)= x e +∂ydy(11)despejandoComparando las ecuaciones (8) y (11) resultadh(y)dy( x + 1 – y ) e y =dh(y)dyyx e += ( 1 – y ) e ydh(y)dy

41⎛ dh(y)Ya que la diferencial de h(y) es dh(y) = ⎟ ⎞⎜⎝ dy ⎠dh(y) = (1 – y ) e y dyintegrandody, sustituyendodh(y)dy∫dh(y)= ∫( 1 − yy) e dy(12)Resolviendo las integrales∫dh (y) =h (y)∫La integral e y (1 − y) dy se resuelve por el método de integración por partes:∫∫u dv = u v − v du.Sea ⎪⎧u = (1 − y)⎨⎪ y ⎩ dv = e dy⇒⇒du = − dyyv = e∫e y (1 − y) dy = ( 1 – y ) e y ∫+ e y dy = ( 1 – y ) e y + e y + C = ( 2 – y ) e y + Csustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (12)h (y) = ( 2 – y ) e y + C (13)sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (9)F (x, y) = x e y + h (y) = ( 2 – y ) e y + Cpor lo tanto,( x + 2 – y ) e y + C = 0 (14)es la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = x + C 1Para obtener la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) e y + C = 0 que pase porel punto (3, 0), se sustituye en la ecuación (14) x = 3, y = 03 e 0 + (2 - 0) e 0 + C = 0 ⇒ C = – 5Luego, ( x + 2 – y ) e y = 5 es la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) e y + C = 0que pasa por el punto (3,0) y es ortogonal a cada una de las curvas de la familia y= x + C 1xe −16. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz decurvas y = C tg2x + 1 que pasa por el punto ( π8,0 )SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas y = C tg2x + 1 (1)xe −

Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz sederiva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resultay’ = 2 C sec 2 2x (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debeeliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧y = C tg 2x + 1⎨2⎪⎩ y' = 2 C sec 2xdespejando C de la ecuación (2)C =2y ' y ' cos 2x=22 sec 2x 2(3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)y =2y ' cos 2x2tg 2x + 1simplificandoy =y ' cos 2x sen 2x2+ 1(4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas daday = C tg 2x + 1Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C tg 2x + 1. Para ello, se⎛ 1sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠⎛ −1⎞⎜ cos 2x sen 2xy '⎟y =⎝ ⎠+ 12despejando y’− cos 2x sen 2xy’ =2 ( y −1)Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’− cos 2x sen 2xdy =dx2 ( y −1)multiplicando por 2 ( y – 1 )cos 2x sen 2x dx + 2 ( y – 1 ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separadas. Integrando42

43∫ ∫cos 2x sen 2x dx + 2 ( y − 1) dy = C 1(6)Ambas integrales son inmediatas∫12x sen 2x dx 2 sen2x2 ∫1 =2 ∫cos = cos2x dx sen2x d( sen2x)=sen22x2∫( y −1)dy=2( y − 1 )2sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) resulta2sen 2x22+ ( y − 1 ) = C 1 (7)La ecuación (7) representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvasy = C tg2x + 1.2Para obtener la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonalessen 2x2familia x = π8 , y = 0esto es,2+ ( y − 1 ) = C 1 que pasa por el punto ( π8,0 )C 1 =2sensen22(π)4[ 2 (π) ]228+ 1⎛⎜=⎝+ ( 0 −1)2222⎞⎟⎠+1, se sustituye en la ecuación de la= C 1=14+ 1 =54Sustituyendo el valor obtenido de C 1 en la ecuación (7)2sen 2x22 5+ ( y −1)= 4(8)La ecuación (8) representa la ecuación de la curva perteneciente a la familia2sen 2x2+ ( y − 1 ) = C 1 que pasa por el punto ( π ,0 )28 y es ortogonal a cada una de lascurvas de la familia y = C tg2x + 1

4417. Obtenga las trayectorias a 45º de la familia de curvas x 2 = C 1 ySOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas dada x 2 = C 1 y (1)El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto de x2x = C 1 y’ (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 no representa la ecuacióndiferencial. La constante C 1 debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones(1) y (2)⎪⎧2x = C1y⎨⎪⎩ 2x = C1y 'despejando C 1 de la ecuación (2)C 1 =2xy '(3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)2 x ymultiplicando por y’x 2=y 'x 2 y’ = 2 x y (4)La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dadax 2 = C 1 y . Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45ºy ' − tg 45 º y ' −1debe sustituirse en la ecuación (4) y’ por=1+y ' tg 45 º 1+y 'multiplicando por ( 1 + y’ )sacando factor común y’x 2⎛⎜⎝y ' −11+y '⎞⎟⎠= 2 x yx 2 y’ – x 2 = 2 x y + 2 x y y’( x 2 – 2 x y ) y’ = 2 x y + x 2 (5)La ecuación (5) es la ecuación diferéncial asociada a la familia de trayectorias a 45º dela familia x 2 = C 1 y.Despejando y’ de la ecuación (5)y ' =22 x y + x2x − 2 x y

45Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’⎛2 ⎞dy = ⎜ 2 x y + x ⎟ dx⎜ 2 ⎟⎝ x − 2 x y ⎠multiplicando por ( x 2 – 2xy )( 2 x y + x 2 ) dx + ( 2 x y - x 2 ) dy = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 dehomogeneidad. Sacando factor común x 2 en la ecuación (6)⎡⎛y ⎞ ⎛ yx 2 1 dx 2xx1 ⎞2 dy ⎤⎢⎜+ ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎥ = 0 (x ≠ 0)⎣⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎦(7)⎧ y1⎪v=multiplicando por y efectuando el cambio de variable2⎨ xx⎪⎩y= v x ⇒ dy = v dx + x dvla ecuación (7) se transforma en( 2 v + 1 ) dx + ( 2 v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0desarrollando y sacando factor común dx( 2 v + 1 + 2 v 2 – v ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0simplificando( 2 v 2 + v + 1 ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0 (8)La ecuación (8) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (8) por el factor2x 2 v + v + 1integrando1xdx ++∫( 2 v − 1 )2( 2 v + v + 1 )( 2 v − 1 )( )dv=∫ 1 dxdv = C22(9)x ( 2 v + v + 1 )0Resolviendo las integrales∫1dx = ln | x | + C 3x( 2 v − 1 )∫En la integral2( 2 v + v + 1 ) dv , debe observarse que el polinomio del denominadordel integrando no tiene raíces reales, por lo que no se puede factorizar

46Completando cuadrados en (2 v 2 + v + 1)2 v 2 ⎛ v 1 ⎞+ v + 1 = 2 ⎜ v 2 ⎡ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎤+ + ⎟ = 2 ⎢ v 2 + 2 ⎜ ⎟ v + ⎥⎝ 2 2 ⎠ ⎣ ⎝ 4 ⎠ 2 ⎦= 2= 2==7878⎡⎢ v⎢⎣2⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞+ 2 ⎜ ⎟ v + ⎜ ⎟⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎡ 2⎛ 1 ⎞ 1 1⎤⎢ ⎜v+ ⎟ − + ⎥⎢⎣⎝ 4 ⎠ 16 2⎥⎦⎡ 2⎛ 1 ⎞⎤⎢ ⎜v+ ⎟ ⎥⎢ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎢+ 17 ⎥⎢⎥⎢ 16⎣⎥⎦=⎡ 2( 4v + 1)⎤⎢⎥⎢ 16 + 1⎥⎢ 7 ⎥⎢⎥⎣ 16 ⎦=Sustituyendo en la integral2⎛ 1 ⎞− ⎜ ⎟⎝ 4 ⎠7878= 2⎡⎢⎢⎢⎢⎣2+1 ⎤⎥2 ⎥⎦⎡ 2⎛ 1 ⎞⎢ ⎜v+ ⎟ +⎢⎣⎝ 4 ⎠( 4v + 1)167162⎡⎛ 4v + 1⎞⎢ ⎜ ⎟⎢⎣⎝ 7 ⎠2⎤⎥+ 1⎥⎥⎥⎦⎤+ 1⎥⎥⎦716⎤⎥⎥⎦( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv=∫( 2 v − 1 )7 ⎡ 2⎛ 4v + 1⎞⎤⎢ ⎜ ⎟ + 1⎥8 ⎢ 7⎣⎝ ⎠ ⎥⎦dv=87∫( 2 v − 1 )⎡ 2⎛ 4v + 1⎞⎤⎢ ⎜ ⎟ + 1⎥⎢ 7⎣⎝ ⎠ ⎥⎦dv(10)Esta integral se resuelve aplicando la sustitución trigonométrica⎧4v+ 1⎪ = tg θ7⎨⎪⎪⎩⇒v =dv =7 tg θ − 14742secθSustituyendo el cambio de variable en la ecuación (10)( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv⎡ ⎛⎞ ⎤⎢ ⎜7 tg θ − 12⎟ − 1 ⎥⎢8 ⎥ ⎛ ⎞=⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎦ ⎜7 2sec θ⎟d θ72tg θ + 1⎝ 4 ⎠∫Pero tg 2 θ + 1 = sec 2 θ, desarrollando y simpliicando

47( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv2 7∫⎛⎞= ⎜7 3tg θ − ⎟ d θ7⎝ 2 2 ⎠3 7= ln | sec θ | − θ7∫3∫= tg θ d θ −77d θDevolviendo el cambio de variable efectuado4 v + 17= tg θ =cat opcat ady4v + 1 7 + ( 4 v + 1 ) 27sec θ =hipcat ady=Por lo tanto7 +( 4 v + 1 )72⎛ 4 v + 1 ⎞y θ = arctg ⎜ ⎟⎝ 7 ⎠( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv= ln7 +( 4 v + 1 )72−3 77⎛ 4 v + 1arctg ⎜⎝ 7⎞⎟⎠+ C 4Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (9)ln | x | + ln7 +( 4 v + 1 )72−3 77⎛ 4 v + 1arctg⎜⎝ 7⎞⎟⎠= CFalta devolver el primer cambio de variable efectuado v = xyln | x | + ln7 +⎛⎜⎝⎛ y ⎞ ⎞4 ⎜ ⎟ + 1 ⎟⎝ x ⎠ ⎠72−3 77⎛⎜arctg⎜⎜⎜⎝⎛ y ⎞4 ⎜ ⎟ + 1⎝ x ⎠7⎞⎟⎟⎟⎟⎠= Cdesarrollando

48ln | x | + lnrealizando operacionesln | x | + ln7x27x +2+ 16 y( 4y + x )2x722+ 8 x y + x7 xaplicando propiedades de logaritmoln x⎛⎜2216 y + 8 x y + 8 y⎞⎟⎜⎝7 x⎟⎠simplificando2−−3 77−3 77⎛⎜arctg⎜⎜⎜⎝3 77⎛ 4y +⎜⎝ x7x⎞⎟⎠⎛⎜4y + xarctg⎝ 7 x⎛ 4 y + xarctg ⎜⎝ 7 x⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎠= C⎞⎟= C⎠= Cln16 y2+ 8 x y + 8 y72−3 77arctg⎛ 4 y + x⎜⎝ 7 x⎞⎟⎠= C (11)La ecuación (11) representa la ecuación de la familia de trayectorias a 45º de la familiax 2 = C 1 y18. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas y = C 1 xSOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas dada y = C 1 x (1)El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto de xy’ = C 1 (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 , está debe buscareliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).⎧y= C1x⎨⎩y ' = C1Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resultay = y’ x (3)La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas daday = C 1 x

Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debey ' − tg 45 º y ' −1sustituirse en la ecuación (3) y’ por=1+y ' tg 45 º 1+y 'multiplicando por ( 1 + y’ )y =⎛⎜⎝y ' −11+y '⎞⎟⎠xy + y y’ = x y’ - x49sacando factor común y’( y - x ) y’ + y + x = 0 (4)La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º dela familia y = C 1 x.Despejando y’ de la ecuación (4)y '=xx+−yyYa que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’⎛ x + ydy = ⎟ ⎞⎜dx⎝ x − y ⎠multiplicando por ( x – y )(x + y) dx + (y -x ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 dehomogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0 )⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ ⎤x ⎢ ⎜1+ ⎟ dx + ⎜ − 1⎟dy⎥= 0(6)⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎦⎧ y1⎪v=multiplicando por y efectuando el cambio de variable ⎨ xx ⎪ ⎩ y = v x ⇒ dy = v dx + x dvla ecuación (6) queda( 1 + v ) dx + ( v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0Desarrollando y sacando factor común dx( 1 + v + v 2 – v ) dx + x (v – 1 ) dv = 0simplificando( 1 + v 2 ) dx + x ( v – 1 ) dv = 0 (7)La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las1variables, basta con multiplicar la ecuación (7) por el factor2x 1+v( )

50integrando1x( v −1)dx +2( 1 + vdv)=0∫ +∫1 v − 1dxdv = C22(8)x 1+vAmbas integrales son inmediatas∫v − 121+v∫1dx = ln | x | + C 3x∫v∫1dv = dv – dv221+v 1+v1∫2 v∫1= dv – dv2 221+v 1+v1 2= ln 1+ v – arctg v + C 42Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)1 2ln | x | + ln 1+ v – arctg v = C (9)2Multiplicando por 2 y aplicando las propiedades de logaritmo, la ecuación (9) setransforma en2 2ln ( 1 v )Devolviendo el cambio de variabledesarrollando y simplificandoaplicando elnlnx + - 2 arctg v = 2C⎛ 2 ⎞2 ⎜ ⎛ y ⎞⎟⎟ ⎛ y ⎞x 1+⎜ - 2 arctg ⎜ ⎟ = 2C⎜ ⎟⎝⎝ x ⎠⎠⎝ x ⎠y⎜⎝ x2 2 ⎛ ⎞x + y - 2 arctg ⎟⎠2 2( + y )− 2arctg⎛ y ⎞⎜ ⎟⎝ x ⎠= 2Cx e = K (10)La ecuación (10) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvasy = C 1 x

19. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas x 2 + y 2 = C 1 x51SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas dada x 2 + y 2 = C 1 x (1)El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto de x2 x + 2 y y’ = C 1 (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 está debe buscareliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧2 2x + y = C1x⎨⎪⎩ 2x + 2 y y' = C1Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resultax 2 + y 2 = ( 2 x + 2 y y’ ) xdesarrollando y simplificandoy 2 – x 2 = 2 x y y’ (3)La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dadax 2 + y 2 = C 1 xPara obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debey ' − tg 45 º y ' −1sustituirse y’ en la ecuación (3) por=1+y ' tg 45 º 1+y 'y 2 – x 2 ⎛ y ' −1= 2 x y ⎟ ⎞⎜⎝ 1+y ' ⎠multiplicando por ( 1 + y’ )( y 2 – x 2 ) + ( y 2 – x 2 ) y’ = 2 x y y’ – 2 x ysacando factor común y’( y 2 – x 2 – 2 x y ) y’ + y 2 – x 2 + 2 x y = 0 (4)La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º dela familia x 2 + y 2 = C 1 xDespejando y’ de la ecuación (4)y '=2 2y − x + 2 x y2 2x − y + 2xyYa que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta

⎛ 2 2 ⎞dy = ⎜ y − x + 2 x y ⎟ dx⎜ 2 2 ⎟⎝ x − y + 2xy ⎠multiplicando por ( x 2 – y 2 + 2xy )(y 2 – x 2 + 2 x y) dx + (y 2 – x 2 – 2 x y ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 dehomogeneidad. Sacando factor común x 2 en la ecuación (5) ( x ≠ 0)multiplicando por⎡⎛2y y ⎞ ⎛ 2y y ⎞ ⎤x 2 ⎢⎜⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 2 dx ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ − 1−2⎜⎟⎟x x x xdy ⎥ =⎢⎜⎟ ⎜⎟ ⎥0⎣⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎦⎧ y1 ⎪v=y efectuando el cambio de variable2⎨ xx⎪ ⎩ y = v x⇒dy = v dx + x dvla ecuación (6) queda( v 2 + 2v – 1) dx + ( v 2 – 2v –1 ) (v dx + x dv ) = 0desarrollando y sacando factor común dx(v 2 + 2v – 1 + v 3 – 2v 2 - v ) dx + x (v 2 – 2v – 1 ) dv = 0simplificando( v 3 – v 2 + v – 1 ) dx + x ( v 2 – 2v – 1 ) dv = 0 (7)La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor3 2x v − v + v −1integrando21 (v − 2v −1)dx +dvx 3 2(v − v + v −1)( )=∫1∫2(v −2v−1)dx + dvx3 2= C 2 (8)( v − v + v −1)052(6)Resolviendo las integrales∫1dx = ln | x | + C 3x∫2(v − 2v −1)En la integral dv3 2, factorizando el denominador(v − v + v −1)v 3 – v 2 + v – 1 = ( v – 1 ) ( v 2 + 1 )sustituyendo en la integral

53∫2(v − 2v −1)dv3 2(v − v + v −1)2∫v − 2v − 1=2(v − 1)(v + 1)dvEl integrando se descompone como suma de fracciones simples2v − 2v −12(v −1)(v + 1)A=(v −1)Bv + C+2v + 12(A + B)v + (C − B) v + (A − C)=2(v −1)(v + 1)(9)Comparando los numeradoresv 2 – 2v – 1 = ( A + B ) v 2 + ( C – B ) v + ( A – C )por igualdad entre polinómios⎧A+ B = 1⎪⎨C− B = −2⎪⎩A− C = −1resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtieneA = – 1 B = 2 C = 0sustituyendo los valores obtenidos para A, B y C en la ecuación (9)∫2v − 2v − 12(v − 1)(v + 1)−1dv +∫ ∫=v −1v +2vdv21(10)Ambas integrales son inmediatas∫1dv = ln | v – 1 |v −1∫2v2v + 1dv = ln | v 2 + 1 |sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (10)∫2v − 2v − 1= – ln | v – 1 | + ln | v 2 + 1 |2(v − 1)(v + 1)aplicando las propiedades de logaritmo y devolviendo el cambio de variable∫2v − 2v − 12(v − 1)(v + 1)= lnv 2 1v −+1+ C 4 = ln⎛ y ⎞2 ⎜ ⎟ + 1⎝ x ⎠⎛ y ⎞⎜ ⎟ −1⎝ x ⎠sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)ln | x | +ln22y + xx (y − x)= C 5+ C 4 = ln22y + xx (y − x)+ C 4

aplicando eAplicando las propiedades de logaritmoln2x + yy − x2= C 5( x 2 + y 2 ) = C ( y – x ) (11)La ecuación (11) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvasx 2 + y 2 = C 1 x20. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 60º de la familia de curvasx 2 + y 2 ⎛ 1 3 ⎞= C 1, que pasa por el punto ⎜ ⎟,⎝ 2 2 ⎠SOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas dada x 2 + y 2 = C 1 (1)El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto de x2 x + 2 y y’ = 0equivalentementex + y y’ = 0 (2)Ya que la ecuación (2) no posee la constante arbitraria C 1 , está representa la ecuacióndiferencial asociada a la familia de curvas dada x 2 + y 2 = C 1Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º debey ' − tg 60 º y ' − 3sustituirse y’ en la ecuación (2) por=1+y ' tg 60 º 1+3 y 'multiplicando por ( 1 + 3 y’ )sacando factor común y’x + y⎛⎜y ' − 3⎝ 1+3 y '⎞⎟ = 0⎠x + 3 x y’ + y y’ – 3 y = 0( 3 x + y ) y’ + x – 3 y = 0 (3)La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 60º dela familia x 2 + y 2 = C 154Despejando y’ de la ecuación (3)y '=33y − xx + y

55Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta⎛ ⎞dy = ⎜3 y − x⎟ dx⎝ 3 x + y ⎠multiplicando por ( 3 x + y )( x – 3 y ) dx + ( 3 x + y ) dy = 0 (4)La ecuación (4) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 dehomogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (4) ( x ≠ 0)x⎡⎛⎢⎜⎣⎝⎛ y ⎞⎞⎛ ⎛ y ⎞⎞⎤1 − 3 ⎜ ⎟⎟dx + ⎜ 3 + ⎜ ⎟⎟dy⎥=⎝ x ⎠⎠⎝ ⎝ x ⎠⎠⎦0(5)multiplicando por x1la ecuación (5) queda⎧ y⎪v=y efectuando el cambio de variable ⎨ x⎪ ⎩ y = v x( 1 – 3 v ) dx + ( 3 + v ) (v dx + x dv ) = 0⇒dy = v dx + x dvDesarrollando y sacando factor común dx(1 – 3 v + 3 v + v 2 ) dx + x ( 3 + v) dv = 0simplificando( 1 + v 2 ) dx + x ( 3 + v) dv = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (6) por el factor2x 1+vintegrando1x3 + vdx + dv2(1+v )( )=0∫1∫dx +x⎟ ⎞⎜ ⎛ 3 + vdv2= C 2 (7)⎝ 1+v ⎠Ambas integrales son inmediatas∫1dx = ln |x| + C 3x

56∫⎛⎟ ⎞⎜3 + vdv2⎝ 1+v ⎠31dv +2v∫ ∫=1+v 2 1+2v2dv= 3 arctg v + 21 ln | 1 + v2 | + C4sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)ln | x | + 3 arctg v + 21 ln | 1 + v2 | = C5 (8)devolviendo el cambio de variable⎛ y ⎞ 1 ⎡ 2⎛ y ⎞ln | x | + 3 arctg ⎜ ⎟ + ln⎝ x ⎠ 2 ⎥ ⎥ ⎤⎢1 + ⎜ ⎟ = C 5⎢⎣⎝ x ⎠⎦multiplicando por 2 y efectuando las operaciones⎛ y ⎞ ⎡ 2 2x + y ⎤2 ln | x | + 2 3 arctg ⎜ ⎟ + ln ⎢ ⎥ = 2 C⎝ x ⎠25⎢⎣x ⎥⎦aplicando las propiedades de logaritmo⎡ ⎛ 2 2 ⎞⎤2⎢ ⎜ x + y ⎟⎛ y ⎞ln x⎥ + 2 3 arctg ⎜ ⎟ = 2C⎢ ⎜ 2 ⎟5⎣ ⎝ x ⎠⎥⎦⎝ x ⎠aplicando e⎛ y ⎞( x 2 + y 2 2 3 actrg⎜⎟)⎝ xe ⎠ = K (9)+ y 2 = C 1La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 60º a la familia de curvas x 2Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuación (9), que⎛ ⎞pasa por el punto ⎜1 3⎟1 , se sustituye en dicha ecuación x = , y = .⎝ 2 2 ⎠2 23K =⎡⎢⎛1⎞⎜ ⎟⎢⎝2⎠⎣22⎛ ⎞⎤⎜3+ ⎟ ⎥⎝ 2 ⎠⎥⎦e 2 3 arctg 3 =Este valor de K se sustituye en la ecuación (10)⎜⎛ π⎟⎞⎡ 1 3⎤2 3⎝ ⎠⎢ + 3⎥ e⎣44⎦=e⎛ ⎞⎜2 3 π⎟⎝3⎠multiplicando pore⎛⎜−⎝2( x 2 + y 2 )3 π ⎞⎟3⎠2⎛ y ⎞3 actrg⎜⎟⎝ x ⎠e =e⎛⎜2⎝3 π ⎞⎟3⎠( x 2 + y 2 )⎡ ⎛ y ⎞ π⎤2 3 ⎢actrg⎜⎟ − ⎥⎣ ⎝ x ⎠ 3e ⎦ = 1 (10)

La ecuación (10), es la ecuación de la curva perteneciente a la familia de trayectoriasa 60º del haz de curvas x 2 + y 2 ⎛ ⎞= C 1 , que pasa por el punto ⎜1 3, ⎟⎝ 2 2 ⎠21. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 135º de la familia de curvasy = Ce − 2 xSOLUCIÓN:Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia decurvas dada y = C e -2x + 3x (1)El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto de xy’ = - 2 C e − 2 x + 3 (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 , esta deberá eliminarse delsistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2)⎪⎧ −2xy = C e + 3x⎨−2x⎪⎩ y ' = − 2C e + 32 xdespejando C e − de la ecuación (1),C e − 2 x = y – 3x (3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)y’ = – 2 ( y – 3x ) + 3 (4)57y = CLa ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dadae − 2 x+ 3xPara obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º debey ' − tg135 º y ' + 1sustituirse y’ en la ecuación (4) por=1+y ' tg135 º 1−y 'multiplicando por ( 1 – y’ )sacando factor común y’y ' + 11−y '= –2y + 6x + 3y’ + 1 =–2y + 6x + 3 – y’ (–2y + 6x +3)(– 2y +6x + 4 ) y’ = –2y + 6x + 2 (5)La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135ºde la familia y = Ce − 2 x+ 3x

Despejando y’ de la ecuación (5)− 2y + 6x + 2y ' =− 2y + 6x + 4=− y + 3x + 1− y + 3x + 258Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’⎛ − y + 3x + 1dy =⎟ ⎞⎜dx⎝ − y + 3x + 2 ⎠multiplicando por (3x – y + 2)( 3x – y + 1 ) dx + (–3x + y – 2) dy = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial reducible a una de variable separable, yaque las funciones involucradas, 3x – y + 1 = 0 , – 3 x + y – 2 = 0 representan ecuaciones derectas paralelas (ambas tienen pendiente 3).Para resolver la ecuación diferencial (6) se efectúa el cambio de variable⎧v= 3x − y⎨⎩y= 3x − v ⇒ dy = 3 dx − dvsustituyendo el cambio de variable en (6)( v + 1 ) dx + ( – v – 2 ) ( 3 dx – dv ) = 0desarrollando y sacando factor común dx( v + 1 – 3v – 6 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0simplificando(–2v – 5 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 (7)La ecuación (7) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor( − 2v − 5 )integrandodx –⎛⎜⎝v + 22v + 5⎞⎟⎠dv = 0∫ dx ∫⎛ v ⎞– ⎜+ 2⎝⎟ dv = C 2 (8)2v + 5 ⎠Ambas integrales son inmediatas∫dx = x + C 3∫⎛ v + 2 ⎞ 1∫⎛ 2v + 5 −1⎞1⎜ ⎟ dv = ⎜ ⎟ dv =⎝ 2v + 5 ⎠ 2 ⎝ 2v + 5 ⎠ 2⎡⎤⎢∫∫1dv −dv⎥⎢ 2v + 5 ⎥⎣⎦1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 1 ⎤= ⎢ v − ln 2v + 52⎥ + C 4 =⎣ 2⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ + C 4⎦ ⎣ 2 4 ⎦

59sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (8)⎡ 1 1 ⎤x – ⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ = C 5⎣ 2 4 ⎦multiplicando por 4 y devolviendo el cambio de variable4x – 2 (3x – y) + ln | 2( 3x – y ) + 5 |= 4 C 5efectuando las operaciones– 2x + 2y + ln | 6x – 2y + 5 | = 4 C 5aplicando ee 2 ( y – x ) ( 6x – 2y + 5 ) = K (9)y = CLa ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 135º a la familia de curvase − 2 x+ 3x