Problemas de Trayectoria a cualquier ángulo. Trayectoria Ortogonal.
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEPRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS5TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS:Se dice que una familia <strong>de</strong> curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es unatrayectoria ω para una familia <strong>de</strong> curvas F(x,y,C) = 0 dada, si <strong>cualquier</strong> curva <strong>de</strong> la familia Tcorta a cada uno <strong>de</strong> los miembros <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ánguloconstante ω.OBSERVACIÓN:Recuer<strong>de</strong> que el ángulo entre dos curvas queda <strong>de</strong>terminado por el ángulo queforman las rectas tangentes a ambas curvas en <strong>cualquier</strong>a <strong>de</strong> sus puntos <strong>de</strong> intersección.Sea F(x, y ,C) = 0 una familia <strong>de</strong> curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se <strong>de</strong>sea<strong>de</strong>terminar la familia <strong>de</strong> curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cadauna <strong>de</strong> las curvas <strong>de</strong> la familia F(x, y, C) = 0.Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencialasociada a dicho haz, por medio <strong>de</strong>l proceso <strong>de</strong> eliminación <strong>de</strong> constantes arbitrarias <strong>de</strong> unhaz <strong>de</strong> curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial.Considérese una curva F 1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T 1 ,a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)YF 1 ( x, y, C 1 ) = 0L F1ωP ( x , y )T1 ( x, y, K1) = 0Figura 1L T1XSea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F 1 (x, y, C 1 ) = 0, en el punto P(x,y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T 1 (x, y, K 1 ) = 0, en elpunto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).
6YF1 ( x, y, C1) = 0L F1ωP ( x , y )T1 ( x, y, K1) = 0θφXFigura 2L T1A cada punto <strong>de</strong> la curva F 1 (x, y, C 1 ) = 0 se pue<strong>de</strong> asociar una terna ( x, y, y’), don<strong>de</strong>y’ = tg θ es la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente a la curva F 1 en el punto P(x, y).A cada punto <strong>de</strong> la curva T 1 (x, y, k 1 ) = 0 se pue<strong>de</strong> asociar una terna ( x, y, y’), don<strong>de</strong>y’= tg φ es la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente a la curva T 1 en el punto P(x, y).OBSERVACIÓN:A fin <strong>de</strong> evitar confusión con respecto a si la terna (x, y, y’), está referida a lospuntos <strong>de</strong> la curva F 1 , o a los puntos <strong>de</strong> la curva T 1 , sólo a efectos <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mostraciónse escribirá (u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto <strong>de</strong> la curvaT 1 . En el punto P(x, y) exactamente se tendrá que:x = u , y = v , y’ = tg θ , v’ = tg φSe <strong>de</strong>be ahora establecer una relación entre las <strong>de</strong>rivadas y’ = tg θ , v’ = tg φ. Paraello, se trasladará la recta tangente a F 1 (x, y, C 1 ) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto <strong>de</strong>corte <strong>de</strong> la recta tangente a T 1 (x, y, k 1 ) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).YF1 ( x, y, C1) = 0L F1θωP ( x , y )Figura 3ωφT1 ( x, y, K1) = 0θL T1X
De la Figura 3 se <strong>de</strong>duce que:θ = φ – ω.7Por i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s trigonométricastg θ = tg (φ – ω) =tgφ- tg ω1 + tgφtg ωDe acuerdo a lo indicado en la observación tg θ = y’, tg φ = v’, entonces al sustituir enla ecuación anterior, resulta que:v' - tg ωy’=1+v' tg ωEsta última ecuación permite establecer una relación entre las <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las curvasF 1 (x, y, C 1 ) = 0 y T 1 (x, y, k 1 ) = 0 en el punto P(x, y).Ya que f(x, y, y’) = 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas F(x,v' - tg ωy, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuación diferencial y’ por, se obtiene1+v' tg ωuna nueva ecuación diferencial f(x, y ,v' - tg ω) = 01+v' tg ωEsta es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias que mantiene unángulo ω, con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtienela familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias ω a la familia dada F(x,y, C) = 0.OBSERVACIÓN:La ecuación diferencialv' - tg ωf(x, y,) = 01+v ' tg ωtiene sentido siempre y cuando ω ≠ 90º, ya que tg 90º se in<strong>de</strong>termina.Si ω = 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos <strong>de</strong>intersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas sonperpendiculares entonces el producto <strong>de</strong> sus pendientes es igual a -1, esto es:(tg θ) (tg φ) = -1Como tg θ = y’, tg φ = v’, resulta que:y’ = -1v '
Por lo tanto, si la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dadaF(x, y, C) = 0 es f(x, y, y’) = 0, entonces sustituyendo y’ por – v1 se obtiene una nueva1ecuación diferencial f (x, y, − ) = 0, que es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>v 'trayectorias que mantienen un ángulo <strong>de</strong> 90º con la familia dada.Al resolver esta nueva ecuación diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cualrepresenta la familia <strong>de</strong> trayectorias a 90º <strong>de</strong> la familia dada. Para este caso, cuando ω =90º, las trayectorias se <strong>de</strong>nominan, trayectorias ortogonales.OBSERVACIÓN:Recuer<strong>de</strong> que solo para efecto <strong>de</strong> la <strong>de</strong>mostración, se utilizó ( u, v, v’ ) parahacer referencia a la terna asociada a cada punto <strong>de</strong> la curva T(x, y, k) = 0.8PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZDE CURVAS DADO1. Si la ecuación <strong>de</strong>l haz <strong>de</strong> curvas no está dada en forma explícita, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse.Sea F(x, y, C) = 0 la ecuación <strong>de</strong>l haz dado.2. Debe <strong>de</strong>terminarse la ecuación diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Seaf(x, y, y’) = 0 la ecuación diferencial que resulta.3. Si las trayectoria a buscar son a un ángulo ω ≠ 90º, <strong>de</strong>be sustituirse y’, en lay' − tgωecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ; así se obtiene la1+y' tgωy' − tgωecuación diferencial f(x, y, ) = 0.1+y' tgωSi las trayectorias a <strong>de</strong>terminar son ortogonales (ω = 90º), se <strong>de</strong>be sustituir y’, en la⎛ 1ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ⎟ ⎞⎜ − ; así se obtiene la⎝ y ' ⎠1ecuación diferencial f(x, y, − ) = 0.y '4. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3.5. La solución general <strong>de</strong> la ecuación diferencial resuelta en el paso 4, representala familia <strong>de</strong> trayectorias que mantiene un ángulo ω con la familia <strong>de</strong> curvasdada. (en el caso en que ω = 90º, recuer<strong>de</strong> que las trayectorias se <strong>de</strong>nominantrayectorias ortogonales).
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMASDE TRAYECTORIAS1. La ecuación y 2 = Cx (C una constante arbitraria) <strong>de</strong>fine una familia <strong>de</strong> parábolas.Obtenga la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales.SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas y 2 = Cx (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta2yy’ = C (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una <strong>de</strong> las características<strong>de</strong> las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.Por lo tanto, la constante arbitraria C <strong>de</strong>be eliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se formacon las ecuaciones (1) y (2).y 2= Cx2yy' = CAquí basta con sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1), resultandoy 2 = 2yy’x (3)La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia <strong>de</strong> parábolasy 2 = Cx.Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y 2 = Cx. Para ello, basta con⎛ 1sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠y 2 = 2y⎛ 1⎟ ⎞⎜ − x⎝ y ' ⎠9multiplicando por y’/y 2 y’ = −2xy
Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienexdy = − 2 dx (4)yEsta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (4) por yy dy = – 2 x dxequivalentementey dy + 2x dx = 0integrando∫ y ∫dy + 2 x dx = C 1(5)Ambas integrales son inmediatas∫ y dy y 2 = + k 12∫ x dx = x 2 + k 22sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (5)10y 2 + x 2 = K22 2y x+ = 12K K(6)1Multiplicando por , KLa ecuación (6), que es la ecuación <strong>de</strong> una familia <strong>de</strong> elipses con centro en el origen yeje mayor paralelo al eje y, representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong>parábolas y 2 = CxOBSERVACIÓN:Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuación <strong>de</strong> las trayectorias,no es la misma constante <strong>de</strong>l haz <strong>de</strong> curvas dado.
2. Encuentre las trayectorias ortogonales <strong>de</strong> la familia y 3 = Cx 211SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas y 3 = Cx 2 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta3y 2 y’ = 2Cx (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧ 3 2y = Cx⎨2⎪⎩ 3y y' = 2CxAquí basta con <strong>de</strong>spejar C <strong>de</strong> la ecuación (2) y sustituir en la ecuación (1), resultando3 y' xy =(3)2La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia y 3 = Cx 2 .Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y 3 = Cx 2 . Para ello, basta con⎛ 1sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠equivalentemente,y = 3y’ =⎛ ⎜ −⎝−1⎟ ⎞2 y ' ⎠3 x2 yYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene3 xdy = − dx (4)2 yEsta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (4) por 2y2 y dy = - 3x dxx
integrando12∫∫2 y dy = −3x dx(5)Ambas integrales inmediatas son inmediatas∫2yy dy = + k 12∫2xx dx = + k 22Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (5)Multiplicando por2y222x= − 3 + k21 ,3 k2 2y x+ = 13 k 2k(6)La ecuación (6), que es la ecuación <strong>de</strong> una familia <strong>de</strong> elipses con centro en el origen yeje mayor paralelo al eje y, representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong>curvas y 3 = Cx 23. Encuentre el valor <strong>de</strong> la constante a, <strong>de</strong> tal forma que las familiasy 3 = C 1 x , x 2 + a y 2 = C 2sean ortogonalesSOLUCIÓN:Como aquí se tienen dos curvas, se <strong>de</strong>berán <strong>de</strong>notar <strong>de</strong> manera diferente las<strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> ellas; sean:y’ la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la curva y 3 = C 1 xŷ’ la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la curva x 2 +ay 2 = C 2De acuerdo con la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> curvas ortogonales, para que estas curvas seanortogonales <strong>de</strong>be satisfacerse que el producto <strong>de</strong> las <strong>de</strong>rivadas sea igual a -1, esto es:y’. ŷ’ = -1 (1)Derivando implícitamente respecto <strong>de</strong> x, la curva y 3 = C 1 x (2)3 y 2 y’ = C 1 (3)La constante C 1 <strong>de</strong>be eliminase <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (3)⎪⎧ 3y = C1x⎨2⎪⎩ 3y y ' = C1
13Sustituyendo (3) en (2) se tieney = 3 y’ xDespejando y’y’ =y3 x(4)Derivando implícitamente respecto <strong>de</strong> x, la curva x 2 + ay 2 = C 2 (5)2 x + 2 a y ŷ ' = 0 (6)Despejando ŷ ' <strong>de</strong> la ecuación (6)ŷ ' =x− (7)a ySustituyendo las ecuaciones (4) y (7) en la ecuación (1)⎛ y ⎞ ⎛ x ⎞⎜⎟⎝ 3 x⎜ − ⎟ = -1⎠ ⎝ ay ⎠Simplificando y <strong>de</strong>spejando la constante aa = 314. Determinar las trayectorias ortogonales para la familia y = - x – 1 + C 1 e xSOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia<strong>de</strong> curvas y = - x – 1 + C 1 e x (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resultay’ = - 1 + C 1 e x (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).Despejando C 1 e x <strong>de</strong> la ecuación (2)x⎪⎧y = − x − 1 + C1e⎨x⎪⎩ y ' = −1+ C1e
C 1 e x = y’ + 1 (3)Sustituyendo (3) en la ecuación (1), resultay = - x + y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia daday = - x – 1 + C 1 e xUna vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con⎛ 1sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠⎛ 1y = – x + ⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠equivalentemente,1y’ = −x + yYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene1dy = - dx (5)x + yLa ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectoriasortogonales a la curva y = – x – 1 + C 1 e xLa ecuación diferencial (5) no es una ecuación <strong>de</strong> variables separables, pero pue<strong>de</strong>escribirse <strong>de</strong> la formadx + (x + y) dy = 0 (6)resultando una ecuación diferencial reducible a exacta ( pues, P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, y∂P∂Q≠ ).∂y∂x∂P ∂Q En efecto, si P(x, y) = 1 y Q(x, y) = x + y entonces = 0 y = 1; luego la∂y∂xecuación no es exacta pero pue<strong>de</strong> que admita un factor integrante <strong>de</strong> la forma14∫g(v) dvµ (x,y) = e con g(v) =⎡∂P ∂Q⎤⎢ − ⎥⎣∂y ∂x⎦⎡ ∂v∂v⎤⎢Q− P ⎥⎣ ∂x∂y⎦∂ vSi v = y entonces = 0∂ x∂ v = 1; sustituyendo en g(v) resulta:∂ y
15Así,g(v) =− 1− 1= 1g(v) dv∫µ (x, y) = e = e v = e yPor lo tanto el factor integrante es µ (x, y) = e yMultiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrantee y dx + e y (x + y) dy = 0 (7)La ecuación (7) se pue<strong>de</strong> escribire y dx + x e y dy = – y e y dy (8)El término izquierdo <strong>de</strong> la ecuación (8) es la diferencial total <strong>de</strong> ( x e y ), esto es,e y dx + x e y dy = d ( x e y )Así, la ecuación (8) se transforma end ( x e y ) = – y e y dyIntegrandoResolviendo las integrales∫d (x ey)= −∫y e ydy∫y yd (x e ) = x e + K 1(9)∫y eydyse resuelve por el método <strong>de</strong> integración por partes:∫u dv∫⎪⎧u = y= u v − v du , don<strong>de</strong> ⎨ ⎪⎩ dv = eydydu = dyyv = e∫y eydy = y e y−∫e y dy = y e y – e y = e y (y – 1) + K 2Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en (9)x e y + K 1 = – e y (y – 1) + K 2o equivalentemente
x e y = e y(1 – y) + K16multiplicando por e –y x = (1 – y) + K e –yo también(x + y – 1) e y = K (10)La ecuación (10), representa la ecuación <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a lafamilia <strong>de</strong> curvas y = – x – 1 + C 1 e x5. Obtenga la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia y = (x – C 1 ) 2SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas y = (x – C 1 ) 2 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resultay’ = 2 ( x – C 1 ) (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).( x − C )⎪⎧2y = 1⎨⎪⎩ y' = 2 (x − C1)Despejando ( x – C 1 ) <strong>de</strong> la ecuación (2)( x – C 1 ) =y ' (3)2Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)equivalentementey =2⎛ 'y ⎞⎜ ⎟⎜ 2 ⎟⎝ ⎠4y = ( y’) 2esto es,2 y = y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> parábolasy = ( x – C 1 ) 2
17Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = ( x – C 1 ) 2Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) porequivalentemente,2 y =y’=−1y '1−2 y⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene1dy = − dx (5)2 yEsta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (5) por yintegrando∫y dy =1− dx2∫1y dy = − dx(6)2Ambas integrales son inmediatas∫yy dy = + k3 12∫dx = x + k 2Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (6)323y 232=1− x + k2Para <strong>de</strong>spejar y, primero se multiplica por 23 a ambos lados <strong>de</strong> la igualdad y luego seeleva a 23⎛y = ⎜−⎝34x +32⎞K⎟⎠23=32⎛ − 3x + 6K ⎞⎜ ⎟⎝ 4 ⎠
18equivalentementey =3( k − 3x)162(7)La ecuación (7), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong>parábolas y = ( x – C 1 ) 26. Obtenga la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia C 1 x 2 + y 2 = 1SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas C 1 x 2 + y 2 = 1 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta2 C 1 x + 2 y y’ = 0 (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧2 2C1x + y = 1⎨⎪⎩ 2 C1x + 2 y y ' = 0Despejando C 1 <strong>de</strong> la ecuación (2)C 1 ='y y− (3)xSustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)⎛ ⎞⎜ y y' − ⎟ x 2 + y 2 = 1⎜ ⎟⎝ x⎠equivalentemente– yy’ x + y 2 = 1 (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferéncial asociada a la familiaC 1 x 2 + y 2 = 1
Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia C 1 x 2 + y 2 = 119Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) porequivalentemente,⎛ 1– y ⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠x yy 'x + y 2 = 1= 1 – y 2⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Despejando y’y ' =xy21−yYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienexydy = dx (5)21−yEsta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variables21−ybasta con multiplicar la ecuación (5) pory1−yy2dy = x dxintegrando∫21−ydy =y∫x dx(6)Ambas integrales son inmediatas∫1 − 2y∫1dy =yydy−∫y dy = ln | y |y 2− + k 12∫ x dx = x 2 + k 22sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (6)y 2 x 2ln | y | − = + k2 2multiplicando por 22 ln | y | = x 2 + y 2 + 2K
aplicando propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmoln y 2 = x 2 + y 2 + 2K20aplicando e a ambos lados <strong>de</strong> la ecuacióny 2 ⎜⎛ x2+ y2 ⎟⎞= C e ⎝ ⎠(7)La ecuación (7), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvasC 1 x 2 + y 2 = 17. Determine la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales al haz <strong>de</strong> curvas 2 x 2 + y 2 = CSOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas 2 x 2 + y 2 = C (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta4 x + 2 y y’ = 0 (2)Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representala ecuación diferencial asociada al haz <strong>de</strong> curvas dado.Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x 2 + y 2 = CPara ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (2) por⎛ 14 x + 2 y ⎟ ⎞⎜ − = 0⎝ y ' ⎠equivalentemente,2 x y’ – y = 0⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Despejando y’yy ' =2xYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienedy =y dx (3)2x
21Esta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variables2basta con multiplicar la ecuación (3) poryintegrando2 1 dy = dxy x∫ 1∫dy = 1 dxyx2 (4)Ambas integrales son inmediatas∫1ydy∫1xdx= ln y + k 1= ln x + k 2Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> la integrales en la ecuación (4)2 ln | y | = ln | x | + k 3aplicando propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmoln y 2 - ln | x | = k 3esto eslny 2 = k 3xaplicando e a ambos lados <strong>de</strong> la ecuacióny 2 = k x (5)La ecuación (5), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvas2x 2 + y 2 = C8. Determinar la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales al haz <strong>de</strong> curvas y = e CxSOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas y = e Cx (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resultay’ = C e Cx (2)
22Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧ y = e⎨⎪⎩ y' = C eC xC xDespejando C <strong>de</strong> la ecuación (1)C =ln yx(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)⎛ ln y ⎞y’ = ⎜ ⎟ y (4)⎝ x ⎠Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = e CxPara ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) porequivalentemente,1− =y 'y’ =−y ln yxxy ln y⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienexdy = − dx (5)y ln yLa ecuación (5) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar lasvariables basta con multiplicar la ecuación (5) por (y ln y)y ln y dy = - x dxintegrando∫ −∫ln y dyy = x dx(6)∫Para resolver la integral y ln y dy se aplica el método <strong>de</strong> integración por partes
23así∫⎧⎪u= ln yu dv = u v −∫v du;don<strong>de</strong> ⎪ ⎪ ⎨dv = y dy⎩1du =y2yv =2dy∫2y ⎛ 2y ⎞ 1y ln y dy = ln y ⎜ ⎟⎛dy22 y⎟ ⎞ y 222y− ⎜ = ln y dy⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2− 2= y yln y − + k 12 4∫∫2xx dx = + k 22Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (6)multiplicando por 42y222yln y − =42x 2∫− + k22 y ln y − y = – 2x + 4 k2equivalentementey 2 ( ln y 2 - 1 ) + 2 x 2 = C 1 (7)La ecuación (7), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvasy = e Cx9. Obtenga la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvas y a = C 1 x bdon<strong>de</strong> a y b son constantes conocidas.SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas y a = C 1 x b (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resultaa y a – 1 y’ = C 1 b x b – 1 (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
24⎪⎧ a by = C1x⎨a −1b −1⎪⎩ a y y' = C1b xDespejando C 1 <strong>de</strong> la ecuación (1)C 1 =yxab(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)a y a – 1 y’ =yxabb x b – 1 (4)Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y a = C 1 x bPara ello, se sustituye y’ en la ecuación (4) pora y a – 1⎛ ⎜ −⎝1⎟ ⎞y ' ⎠= b⎛ ⎜ −⎝x1⎟ ⎞ , resultandoy ' ⎠Despejando y’⎛ a xy’ = ⎟ ⎞⎜ −⎝ b y ⎠Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene⎛ a xdy = ⎟ ⎞⎜ − dx (5)⎝ b y ⎠Esta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (5) por (b y)b y dy = - a x dxintegrando∫∫y ab y dy = − a x dx(6)Ambas integrales son inmediatas∫yy dy = 22+ k 1
25∫2xx dx = + k 22Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (6)b y22=−a x22+kMultiplicando por k1y2⎛ 2K ⎞⎜ ⎟⎝ b ⎠+x2⎛ 2K ⎞⎜ ⎟⎝ a ⎠= 1(8)La ecuación (8), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvasy a = C 1 x b10. Determine la ecuación <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales al haz <strong>de</strong>1 + C1xcurvas y =1 − C1xSOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>1 + C1xcurvas y = (1)1 − C1xDicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resultaCy’ =1 ( 1−C1x) + C1(1+C1x)2(1−C x)1<strong>de</strong>sarrollando y simplificando2 C11−C1xy’ =( )2(2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
26⎧ 1⎪ y =1⎨⎪ y' =⎪⎩Despejando C 1 <strong>de</strong> la ecuación (1)+−CC11xx2 C1( 1 − C x )y ( 1 – C 1 x ) = 1 + C 1 x ⇒ C 1 =12y −1( y + 1 ) x(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)⎛ y −12⎜( )y’ =⎝ y + 1 x⎡ ⎛ y −1⎢ 1 −⎜⎣ ⎝ ( y + 1 ) x⎞⎟⎠⎞ ⎤⎟ x⎥⎠ ⎦2<strong>de</strong>sarrollando y simplificandoy’ =2x⎛ y −1⎞⎜y 1⎟⎝ + ⎠4( y + 1 )2=( y −1)( y + 1)2 x<strong>de</strong> aquí resulta quey’ =y 2 −12 x(4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dada1 + C1xy =1 − C1xUna vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuación1 + C1xdiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia y = . Para ello,1 − C xbasta con sustituir y’ en la ecuación (4) por<strong>de</strong>spejando y’y ’ =1− =y '⎛ ⎜ −⎝1y '⎟ ⎞ , resultando⎠y 2 −12 x2 x− =2y − 12 x1−y21
Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene2 xdy = dx (5)21−yEsta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variablesbasta con multiplicar la ecuación (5) por ( 1 – y 2 )( 1 – y 2 ) dy = 2 x dxintegrando∫2( )∫1 − y dy = 2 x dx(6)27Ambas integrales son inmediatas∫( ) 1 − y 2dy∫= dy −∫y2dy= yy 3− + k 13∫ x dx = x 2 + k 22sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (6)3y2y − = x + k3multiplicando por 33 x 2 + y 3 – 3 y = C (7)La ecuación (7), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvas1 + C xy =11 − C x111. Determine la ecuación <strong>de</strong>l haz <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvas2 x 2 + y 2 = 4 C xSOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas 2 x 2 + y 2 = 4 C x (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta4 x + 2 y y’ = 4 Csimplificando2 x + y y’ = 2 C (2)
28Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧2 22 x + y = 4 C x⎨⎪⎩ 2 x + y y' = 2 CDespejando C <strong>de</strong> la ecuación (2)C =2 x + y y'2(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)2 x 2 + y 2 ⎛ 2 x + y y' ⎞= 4 ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠x<strong>de</strong>sarrollando y simplificandoequivalentemente2 x 2 + y 2 = 4 x 2 + 2 x y y’y 2 – 2 x 2 = 2 x y y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dada2 x 2 + y 2 = 4 C xUna vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2x 2 + y 2 = 4 Cx . Para ello, se⎛ 1sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠<strong>de</strong>spejando y’y 2 – 2 x 2 = 2 x yy’ =2 x y2 22 x − y⎛ 1⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene⎛⎞dy = ⎜2 x y⎟⎝ 2 x2 − y2 dx⎠equivalentemente2 x y dx + ( y 2 – 2 x 2 ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea, con grado dos <strong>de</strong>homogeneidad.
29Sacando factor común x 2 en la ecuación (5) ( x ≠ 0)⎧x 2 22y y⎫⎪ ⎛ ⎞⎡⎛ ⎞⎤⎪⎨ ⎜ ⎟ dx + ⎢ ⎜ ⎟ − 2 ⎥ dy ⎬ = 0⎝ x ⎠ ⎢ x ⎥⎪⎩⎣⎝ ⎠⎦ ⎪⎭Multiplicando por⎧1 ⎪t=y efectuando el cambio <strong>de</strong> variable ⎨⎪ ⎩2x2 t dx + ( t 2 – 2 ) ( x dt + t dx ) = 0yxdy = x⇒ y = x tdt + t dxDesarrollando y sacando factor común dxt 3 dx + ( t 2 - 2) x dt = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las1variables basta con multiplicar a ambos lados <strong>de</strong> la ecuación por el factor , así resulta3x tintegrando l∫1x1xdxdx+t2+∫t−3t2t2dt− 23=dt0=C 1 (7)Ambas integrales son inmediatas∫1xdx = ln | x | + k 1∫2t − 2∫1dt =3ttdt − ∫12 dt3t= ln | t | +Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (7)1ln | x | + ln | t | + = k2tt12+ k 2aplicando propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmoln | x t | +t12= kDevolviendo el cambio <strong>de</strong> variables ( t = xy )Ln | y | +2x2y= k
30Aplicando e2⎛ x ⎞⎜y⎟y e ⎝ ⎠ = C 1 (8)La ecuación (8), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvas2 x 2 + y 2 = 4 C x12. Obtener las trayectorias ortogonales <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> curvas4 y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas 4 y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0 (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta4 y’ + 2 x + 2 C 1 y’ e 2y = 0 (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎧ 2⎪ 4 y + x + 1 + C1e⎨⎪⎩4 y' + 2 x + 2 y' C1e2y2y= 0= 0Despejando C 1 <strong>de</strong> la ecuación (2)C 1 =4 y ' + 2x2y2 y' e− (3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)4 y + x 2 ⎛ ⎞+ 1 + ⎜4 y ' + 2x−⎟ e 2y = 02y⎝ 2 y' e ⎠simplificando( 4y + x 2 + 1 ) y’ – 2 y’ + x = 0sacando factor común y’(4y + x 2 – 1) y’ + x = 0 (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dada4 y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se⎛ 1sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − resultando⎝ y ' ⎠<strong>de</strong>spejando y’(4y + x 2 ⎛ 1– 1) ⎟ ⎞⎜ − + x = 0⎝ y ' ⎠y’ =1−4y − xxYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene⎛2 ⎞dy = ⎜ 1−4y − x ⎟ dx⎜⎟⎝x⎠esto es( x 2 + 4 y - 1 ) dx + x dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, <strong>de</strong>be<strong>de</strong>terminarse un factor integrante <strong>de</strong> la forma µ = ∫ g(v) dve , don<strong>de</strong>231g(v) =⎛ ∂P⎞ ⎛ ∂Q⎞⎜⎟ − ⎜ ⎟⎝ ∂y⎠ ⎝ ∂x⎠; P(x, y) = x 2 + 4 y - 1 ; Q(x, y) = x⎛ ∂v⎞ ⎛ ∂v⎞Q ⎜ ⎟ − P⎜⎟⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠Si v = x⎧∂v⎪∂x⎨⎪∂v⎪⎩∂y= 1= 0∂P∂Q; = 4 ; = 1, entonces g(v) =∂y∂x3Q=3x=3vPor lo tanto, el factor integrante esµ =3∫ dve v = e 3 ln| v | = v 3 = x 3Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante( x 2 + 4 y - 1 ) x 3 dx + x 4 dy = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta. Esto quiere <strong>de</strong>cir que existe unafunción F(x,y) = K, tal que
∂F∂x= x5+ 4 x∂F = x∂y43y − x332(7)(8)Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto <strong>de</strong> y ( x se asume constante )∫ ⎟ ⎞⎜ ⎛ ∂F∂ y = x4 dy⎝ ∂y⎠x ctte.resolviendo las integralesF( x, y ) = x 4 y + h(x) (9)y∫Derivando la ecuación (9) parcialmente respecto <strong>de</strong> x∂ F 4x3 dh(x)= y +∂xdx(10)simplificandoComparando las ecuaciones (7) y (10) resultax 5 + 4x 3 y - x 3 = 4 x 3 y +dh(x)dx= x 5 - x 3dh(x)dx⎛ dh(x) ⎞Ya que la diferencial <strong>de</strong> h(x) es dh(x) = ⎜ ⎟ dx, sustituyendo⎝ dx ⎠dh(x) = ( x 5 – x 3 ) dxintegrandodh(x)dx∫dh(x)∫5 3= ( x − x )dx(11)Ambas integrales son inmediatas∫d h(x)= h(x) + k 1∫6 45 3 x x( x − x ) dx = − + k26 4Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (11)h (x ) =Sustituyendo h(x) en la ecuación (9)6x6−4x4+k
33F( x, y ) = x 4 x xy + − + k6 4De aquí resulta que, la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia 4y + x 2 + 1 + C 1 e 2y = 0 es x 4 6 4x xy + − + k = 06 413. Determinar la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales al haz <strong>de</strong> curvas1 1x 3 + y 3 = C1SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>1 1curvas x 3 + y 3 = C1(1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.64Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta1 ( −2) 1 ( −2)x 3 + y 3 y ' = 033(2)Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación representala ecuación diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuación diferencialasociada a las trayectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir y’ en la ecuación (2)por⎛⎜ −⎝⎞⎟ ' ⎠1 , resultando y( −2) 1 ( 2 )1 −3 + 3x3y3⎛ ⎜ −⎝1y '⎞⎟ =⎠0multiplicando por⎡⎢3⎣y'x( 2 ) ( 2 ) ⎤⎥⎦3y3y’( 2 )3y –( 2 )x 3 = 0Despejando y’y’ =⎛⎜⎝xy⎞⎟⎠23Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
34dy =⎛⎜⎝xy⎞⎟⎠23dx (3)Esta es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las variables( 2 )basta con multiplicar la ecuación (3) por y 3integrando( 2 )Ambas integrales son inmediatasy 3 dy =( 2 )x 3 dx∫ ∫dy = x dx∫∫22y 332353yy dy = +235353xx dy = +Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (4)53kk12(4)553 33y5=3 x5+ kMultiplicando por (5/3) y elevando a las (3/5)y =⎛⎜x⎝3( 5 ) ⎞ 53+ C⎟(5)⎠La ecuación (5), representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvas1 1x 3 + y 3 = C114. Obtenga la curva perteneciente a la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales al haz <strong>de</strong>curvas x + y = C 1 e y que pasa por el punto (0, 5)SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas x + y = C 1 e y (1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.
35Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resulta1 + y’ = C 1 e y y’ (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧ x + y = C1e⎨⎪⎩ 1 + y ' = C1eyyy 'Despejando C 1 <strong>de</strong> la ecuación (1)C 1 =x + yey(3)Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)⎛ x + y ⎞1 + y’ = ⎜ ⎟ e y y’y⎝ e ⎠<strong>de</strong>sarrollando y simplificando( x + y – 1 ) y’ = 1 (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dadax + y = C 1 e yUna vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia x + y = C 1 e y Para ello, basta⎛ 1con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠<strong>de</strong>spejando y’⎛ 1( x + y – 1 ) ⎟ ⎞⎜ −⎝ y ' ⎠y’ = 1 – x – yYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tienedy = ( 1 – x – y ) dxequivalentemente( x + y – 1 ) dx + dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta (también lineal en y).= 1∂P∂QSea P(x, y) = x + y - 1 ; Q(x, y) = 1 ; = 1 ; = 0∂y∂xfactor integrante <strong>de</strong> la forma µ =e ∫g (v)dv, don<strong>de</strong>; la ecuación (5) admite un
36g(v) =⎛ ∂P⎞ ⎛ ∂Q⎞⎜⎟ − ⎜ ⎟⎝ ∂y⎠ ⎝ ∂x⎠⎛ ∂v⎞ ⎛ ∂v⎞Q ⎜ ⎟ − P⎜⎟⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠∂v∂vSi v = x , = 1 , = 0∂x∂yLuego, el factor integrante esg(v) =entonces sustituyendo en g(v), se tieneQ1−0() 1 − P ( 0)=1Q= 1µ =g (v)dve∫=∫ dve =ve = exMultiplicando la ecuación (5) por el factor integrante µ = e xe x ( x + y - 1 ) dx + e x dy = 0 (6)Esta ecuación (6) es exacta, ya que si M(x, y) = e x∂ M x ∂ N xresulta = e = = e .∂y∂x( x + y - 1 ) y N(x, y) = e xPor <strong>de</strong>finición, que la ecuación (6) sea exacta, significa que existe una función⎛ ∂ F ⎞ ⎛ ∂F⎞F(x, y) = K tal que, la diferencial total <strong>de</strong> F(x, y) (dF(x, y) = ⎜ ⎟ dx + dyx⎜y⎟ ) es⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠dF(x,y) = M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0es <strong>de</strong>cir,⎛ ∂F⎞x⎜ ⎟ = M (x, y) = e (x + y − 1)(7)⎝ ∂x⎠⎛ ∂F⎞⎜ =y⎟⎝ ∂ ⎠N (x, y)=xe(8)Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto <strong>de</strong> y∫=⎛ ∂F⎞⎜⎟ ∂ y =⎝ ∂y⎠Ambas integrales son inmediatasxy∫N(x, y) dy ==cttexy∫ex dy(9)ctte
37∫⎟ ⎞⎜ ⎛ ∂Fdy = F (x, y)⎝ ∂y⎠∫ ex dy = e x y + h(x)sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (9)F (x, y) = e x y + h(x) (10)<strong>de</strong>rivando la ecuación (10) parcialmente respecto <strong>de</strong> x∂Fx dh(x)= e y +(11)∂xdxsimplificandointegrandoComparando las ecuaciones (7) y (11)e x ( x + y – 1 ) =dh(x)= edxxe x y +( x −1)dh(x)dx⎛ dh(x) ⎞Ya que la diferencial <strong>de</strong> la función h(x) es dh(x) = ⎜ ⎟ dx , sustituyendo⎝ dx ⎠∫dh(x) =e x∫( x −1)xdxdh(x)dxdh (x) = e ( x −1)dx(12)Resolviendo las integralesLa integral∫e x∫( x −1)∫dh (x) =h (x)dx se resuelve por el método <strong>de</strong> integración por partes∫u dv = u v − v du don<strong>de</strong> ⎪⎧u = (x − 1)⎨⎪x⎩ dv = e dx⇒⇒du = dxv = ex∫e x ( x − 1) dx = ( x – 1 ) e x ∫− ex dx = ( x – 1 ) e x – e x + C = ( x – 2 ) e x + CSustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (12)
h (x) = ( x – 2 ) e x + C (12)38Sustituyendo la ecuación (12) en la ecuación (10)F (x,y) = e x y + ( x – 2 ) e x+ CDe aquí que,e x y + ( x – 2 ) e x + C = 0 (13)es la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia x + y = C 1 e yPara obtener la curva perteneciente a la familia e x y + ( x – 2 ) e x + C = 0 que pasepor el punto (0, 5), se sustituye en la ecuación (13) x = 0, y = 5e 0 5 + (0-2) e 0 + C = 0 ⇒ C = – 3este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuación (13)e x y + ( x – 2 ) e x = 3 (14)La ecuación (14) es la ecuación <strong>de</strong> la curva perteneciente a la familiae x y + ( x – 2 ) e x + C = 0 que pasa por el punto (0,5) y permanece ortogonal a las curvas <strong>de</strong>la familia x + y = C 1 e y15. Obtenga la curva perteneciente a la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales al haz <strong>de</strong>curvas y = x + C 1 e − x que pasa por el punto (3,0)SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas y = x + C 1 e − x(1)Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resultay’ = 1 – C 1 e − x(2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C 1 , dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C 1 <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎧⎪ y = x + C⎨⎪⎩y' = 1 − CDespejando C 1 <strong>de</strong> la ecuación (2)C 1 = ( 1 – y ’ ) e x (3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)y = x + ( 1 – y ’ ) e x e -xsimplificando11ee−x−x
y = x + C 1y = x + 1 – y’ (4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dadaxe −39Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia dada y = x + C 1⎛ 1 ⎞se sustituye y’ en la ecuación (4) por⎜ −⎟ , resultando⎝ y ' ⎠1y = x + 1 +y '<strong>de</strong>spejando y’1y’ =y − x − 1e − x. Para ello,Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’1dy =dxy − x − 1multiplicando por ( x + 1 – y )dx + ( x + 1 – y ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, <strong>de</strong>beg(v) dv<strong>de</strong>terminarse un factor integrante <strong>de</strong> la forma µ = e∫, don<strong>de</strong>⎛ ∂P⎞ ⎛ ∂Q⎞⎜⎟ − ⎜ ⎟g(v) =⎝ ∂y⎠ ⎝ ∂x⎠; P(x, y) = 1 ; Q(x, y) = x + 1 – y⎛ ∂v⎞ ⎛ ∂v⎞Q ⎜ ⎟ − P⎜⎟⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠Si v = y ⇒⎧∂v⎪∂x⎨⎪∂v⎪⎩∂y= 0= 1∂P∂Q− 1 − 1; = 0 ; = 1, entonces g(v) = = = 1∂y∂x− P − 1Por lo tanto, el factor integrante esµ = e ∫ dv= e v = e yMultiplicando la ecuación (5) por el factor integrantee y dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta, ya que si M(x,y) = e y= e y ∂My ∂Ny( x + 1 – y ) , entonces = e = = e .∂y∂x40y N(x,y)Por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> función exacta existe una función F(x,y) = K, tal que la diferencialtotal <strong>de</strong> F(x,y) dF = = 0 es( )⎛ ∂F⎞ ⎛ ∂F⎞dF = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dy = M(x,y) dx + N(x,y) dy = e y dx + e y ( x + 1 – y ) dy = 0⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂y⎠De aquí resulta que,∂F =ye∂x∂Fy= e ( x + 1−y )∂y(7)(8)Integrando la ecuación (7) parcialmente respecto <strong>de</strong> x ( y se asume constante )x∫∫⎛ ∂F⎞⎜⎝⎟⎠∂ x = ey dx∂xy ctte.Ambas integrales son inmediatas∫⎛ ∂F⎜⎞ ⎟ ∂⎝x = F(x, y)∂x⎠x(9)y∫=ctteey dy = x e y + h(y)sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (9)F( x, y ) = x e y + h(y) (10)<strong>de</strong>rivando la ecuación (10) parcialmente respecto <strong>de</strong> y∂F y dh(y)= x e +∂ydy(11)<strong>de</strong>spejandoComparando las ecuaciones (8) y (11) resultadh(y)dy( x + 1 – y ) e y =dh(y)dyyx e += ( 1 – y ) e ydh(y)dy
41⎛ dh(y)Ya que la diferencial <strong>de</strong> h(y) es dh(y) = ⎟ ⎞⎜⎝ dy ⎠dh(y) = (1 – y ) e y dyintegrandody, sustituyendodh(y)dy∫dh(y)= ∫( 1 − yy) e dy(12)Resolviendo las integrales∫dh (y) =h (y)∫La integral e y (1 − y) dy se resuelve por el método <strong>de</strong> integración por partes:∫∫u dv = u v − v du.Sea ⎪⎧u = (1 − y)⎨⎪ y ⎩ dv = e dy⇒⇒du = − dyyv = e∫e y (1 − y) dy = ( 1 – y ) e y ∫+ e y dy = ( 1 – y ) e y + e y + C = ( 2 – y ) e y + Csustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (12)h (y) = ( 2 – y ) e y + C (13)sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (9)F (x, y) = x e y + h (y) = ( 2 – y ) e y + Cpor lo tanto,( x + 2 – y ) e y + C = 0 (14)es la ecuación <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia y = x + C 1Para obtener la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) e y + C = 0 que pase porel punto (3, 0), se sustituye en la ecuación (14) x = 3, y = 03 e 0 + (2 - 0) e 0 + C = 0 ⇒ C = – 5Luego, ( x + 2 – y ) e y = 5 es la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) e y + C = 0que pasa por el punto (3,0) y es ortogonal a cada una <strong>de</strong> las curvas <strong>de</strong> la familia y= x + C 1xe −16. Obtenga la curva perteneciente a la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales al haz <strong>de</strong>curvas y = C tg2x + 1 que pasa por el punto ( π8,0 )SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas y = C tg2x + 1 (1)xe −
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación <strong>de</strong>l haz se<strong>de</strong>riva solo una vez.Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto <strong>de</strong> x resultay’ = 2 C sec 2 2x (2)Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación norepresenta la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C <strong>de</strong>beeliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧y = C tg 2x + 1⎨2⎪⎩ y' = 2 C sec 2x<strong>de</strong>spejando C <strong>de</strong> la ecuación (2)C =2y ' y ' cos 2x=22 sec 2x 2(3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)y =2y ' cos 2x2tg 2x + 1simplificandoy =y ' cos 2x sen 2x2+ 1(4)La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas daday = C tg 2x + 1Una vez obtenida la ecuación diferencial <strong>de</strong>l haz dado, <strong>de</strong>be <strong>de</strong>terminarse la ecuacióndiferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C tg 2x + 1. Para ello, se⎛ 1sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟ ⎞⎜ − , resultando⎝ y ' ⎠⎛ −1⎞⎜ cos 2x sen 2xy '⎟y =⎝ ⎠+ 12<strong>de</strong>spejando y’− cos 2x sen 2xy’ =2 ( y −1)Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’− cos 2x sen 2xdy =dx2 ( y −1)multiplicando por 2 ( y – 1 )cos 2x sen 2x dx + 2 ( y – 1 ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separadas. Integrando42
43∫ ∫cos 2x sen 2x dx + 2 ( y − 1) dy = C 1(6)Ambas integrales son inmediatas∫12x sen 2x dx 2 sen2x2 ∫1 =2 ∫cos = cos2x dx sen2x d( sen2x)=sen22x2∫( y −1)dy=2( y − 1 )2sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (6) resulta2sen 2x22+ ( y − 1 ) = C 1 (7)La ecuación (7) representa la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonales a la familia <strong>de</strong> curvasy = C tg2x + 1.2Para obtener la curva perteneciente a la familia <strong>de</strong> trayectorias ortogonalessen 2x2familia x = π8 , y = 0esto es,2+ ( y − 1 ) = C 1 que pasa por el punto ( π8,0 )C 1 =2sensen22(π)4[ 2 (π) ]228+ 1⎛⎜=⎝+ ( 0 −1)2222⎞⎟⎠+1, se sustituye en la ecuación <strong>de</strong> la= C 1=14+ 1 =54Sustituyendo el valor obtenido <strong>de</strong> C 1 en la ecuación (7)2sen 2x22 5+ ( y −1)= 4(8)La ecuación (8) representa la ecuación <strong>de</strong> la curva perteneciente a la familia2sen 2x2+ ( y − 1 ) = C 1 que pasa por el punto ( π ,0 )28 y es ortogonal a cada una <strong>de</strong> lascurvas <strong>de</strong> la familia y = C tg2x + 1
4417. Obtenga las trayectorias a 45º <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> curvas x 2 = C 1 ySOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas dada x 2 = C 1 y (1)El haz <strong>de</strong> curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se <strong>de</strong>be <strong>de</strong>rivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto <strong>de</strong> x2x = C 1 y’ (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 no representa la ecuacióndiferencial. La constante C 1 <strong>de</strong>be eliminarse <strong>de</strong>l sistema que se forma con las ecuaciones(1) y (2)⎪⎧2x = C1y⎨⎪⎩ 2x = C1y '<strong>de</strong>spejando C 1 <strong>de</strong> la ecuación (2)C 1 =2xy '(3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)2 x ymultiplicando por y’x 2=y 'x 2 y’ = 2 x y (4)La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dadax 2 = C 1 y . Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45ºy ' − tg 45 º y ' −1<strong>de</strong>be sustituirse en la ecuación (4) y’ por=1+y ' tg 45 º 1+y 'multiplicando por ( 1 + y’ )sacando factor común y’x 2⎛⎜⎝y ' −11+y '⎞⎟⎠= 2 x yx 2 y’ – x 2 = 2 x y + 2 x y y’( x 2 – 2 x y ) y’ = 2 x y + x 2 (5)La ecuación (5) es la ecuación diferéncial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º <strong>de</strong>la familia x 2 = C 1 y.Despejando y’ <strong>de</strong> la ecuación (5)y ' =22 x y + x2x − 2 x y
45Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’⎛2 ⎞dy = ⎜ 2 x y + x ⎟ dx⎜ 2 ⎟⎝ x − 2 x y ⎠multiplicando por ( x 2 – 2xy )( 2 x y + x 2 ) dx + ( 2 x y - x 2 ) dy = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 <strong>de</strong>homogeneidad. Sacando factor común x 2 en la ecuación (6)⎡⎛y ⎞ ⎛ yx 2 1 dx 2xx1 ⎞2 dy ⎤⎢⎜+ ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎥ = 0 (x ≠ 0)⎣⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎦(7)⎧ y1⎪v=multiplicando por y efectuando el cambio <strong>de</strong> variable2⎨ xx⎪⎩y= v x ⇒ dy = v dx + x dvla ecuación (7) se transforma en( 2 v + 1 ) dx + ( 2 v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0<strong>de</strong>sarrollando y sacando factor común dx( 2 v + 1 + 2 v 2 – v ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0simplificando( 2 v 2 + v + 1 ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0 (8)La ecuación (8) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (8) por el factor2x 2 v + v + 1integrando1xdx ++∫( 2 v − 1 )2( 2 v + v + 1 )( 2 v − 1 )( )dv=∫ 1 dxdv = C22(9)x ( 2 v + v + 1 )0Resolviendo las integrales∫1dx = ln | x | + C 3x( 2 v − 1 )∫En la integral2( 2 v + v + 1 ) dv , <strong>de</strong>be observarse que el polinomio <strong>de</strong>l <strong>de</strong>nominador<strong>de</strong>l integrando no tiene raíces reales, por lo que no se pue<strong>de</strong> factorizar
46Completando cuadrados en (2 v 2 + v + 1)2 v 2 ⎛ v 1 ⎞+ v + 1 = 2 ⎜ v 2 ⎡ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎤+ + ⎟ = 2 ⎢ v 2 + 2 ⎜ ⎟ v + ⎥⎝ 2 2 ⎠ ⎣ ⎝ 4 ⎠ 2 ⎦= 2= 2==7878⎡⎢ v⎢⎣2⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞+ 2 ⎜ ⎟ v + ⎜ ⎟⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎡ 2⎛ 1 ⎞ 1 1⎤⎢ ⎜v+ ⎟ − + ⎥⎢⎣⎝ 4 ⎠ 16 2⎥⎦⎡ 2⎛ 1 ⎞⎤⎢ ⎜v+ ⎟ ⎥⎢ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎢+ 17 ⎥⎢⎥⎢ 16⎣⎥⎦=⎡ 2( 4v + 1)⎤⎢⎥⎢ 16 + 1⎥⎢ 7 ⎥⎢⎥⎣ 16 ⎦=Sustituyendo en la integral2⎛ 1 ⎞− ⎜ ⎟⎝ 4 ⎠7878= 2⎡⎢⎢⎢⎢⎣2+1 ⎤⎥2 ⎥⎦⎡ 2⎛ 1 ⎞⎢ ⎜v+ ⎟ +⎢⎣⎝ 4 ⎠( 4v + 1)167162⎡⎛ 4v + 1⎞⎢ ⎜ ⎟⎢⎣⎝ 7 ⎠2⎤⎥+ 1⎥⎥⎥⎦⎤+ 1⎥⎥⎦716⎤⎥⎥⎦( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv=∫( 2 v − 1 )7 ⎡ 2⎛ 4v + 1⎞⎤⎢ ⎜ ⎟ + 1⎥8 ⎢ 7⎣⎝ ⎠ ⎥⎦dv=87∫( 2 v − 1 )⎡ 2⎛ 4v + 1⎞⎤⎢ ⎜ ⎟ + 1⎥⎢ 7⎣⎝ ⎠ ⎥⎦dv(10)Esta integral se resuelve aplicando la sustitución trigonométrica⎧4v+ 1⎪ = tg θ7⎨⎪⎪⎩⇒v =dv =7 tg θ − 14742secθSustituyendo el cambio <strong>de</strong> variable en la ecuación (10)( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv⎡ ⎛⎞ ⎤⎢ ⎜7 tg θ − 12⎟ − 1 ⎥⎢8 ⎥ ⎛ ⎞=⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎦ ⎜7 2sec θ⎟d θ72tg θ + 1⎝ 4 ⎠∫Pero tg 2 θ + 1 = sec 2 θ, <strong>de</strong>sarrollando y simpliicando
47( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv2 7∫⎛⎞= ⎜7 3tg θ − ⎟ d θ7⎝ 2 2 ⎠3 7= ln | sec θ | − θ7∫3∫= tg θ d θ −77d θDevolviendo el cambio <strong>de</strong> variable efectuado4 v + 17= tg θ =cat opcat ady4v + 1 7 + ( 4 v + 1 ) 27sec θ =hipcat ady=Por lo tanto7 +( 4 v + 1 )72⎛ 4 v + 1 ⎞y θ = arctg ⎜ ⎟⎝ 7 ⎠( 2 v − 1 )∫ +2( 2 v + v 1 ) dv= ln7 +( 4 v + 1 )72−3 77⎛ 4 v + 1arctg ⎜⎝ 7⎞⎟⎠+ C 4Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (9)ln | x | + ln7 +( 4 v + 1 )72−3 77⎛ 4 v + 1arctg⎜⎝ 7⎞⎟⎠= CFalta <strong>de</strong>volver el primer cambio <strong>de</strong> variable efectuado v = xyln | x | + ln7 +⎛⎜⎝⎛ y ⎞ ⎞4 ⎜ ⎟ + 1 ⎟⎝ x ⎠ ⎠72−3 77⎛⎜arctg⎜⎜⎜⎝⎛ y ⎞4 ⎜ ⎟ + 1⎝ x ⎠7⎞⎟⎟⎟⎟⎠= C<strong>de</strong>sarrollando
48ln | x | + lnrealizando operacionesln | x | + ln7x27x +2+ 16 y( 4y + x )2x722+ 8 x y + x7 xaplicando propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmoln x⎛⎜2216 y + 8 x y + 8 y⎞⎟⎜⎝7 x⎟⎠simplificando2−−3 77−3 77⎛⎜arctg⎜⎜⎜⎝3 77⎛ 4y +⎜⎝ x7x⎞⎟⎠⎛⎜4y + xarctg⎝ 7 x⎛ 4 y + xarctg ⎜⎝ 7 x⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎠= C⎞⎟= C⎠= Cln16 y2+ 8 x y + 8 y72−3 77arctg⎛ 4 y + x⎜⎝ 7 x⎞⎟⎠= C (11)La ecuación (11) representa la ecuación <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º <strong>de</strong> la familiax 2 = C 1 y18. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia <strong>de</strong> curvas y = C 1 xSOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas dada y = C 1 x (1)El haz <strong>de</strong> curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se <strong>de</strong>be <strong>de</strong>rivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto <strong>de</strong> xy’ = C 1 (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 , está <strong>de</strong>be buscareliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).⎧y= C1x⎨⎩y ' = C1Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resultay = y’ x (3)La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas daday = C 1 x
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º <strong>de</strong>bey ' − tg 45 º y ' −1sustituirse en la ecuación (3) y’ por=1+y ' tg 45 º 1+y 'multiplicando por ( 1 + y’ )y =⎛⎜⎝y ' −11+y '⎞⎟⎠xy + y y’ = x y’ - x49sacando factor común y’( y - x ) y’ + y + x = 0 (4)La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º <strong>de</strong>la familia y = C 1 x.Despejando y’ <strong>de</strong> la ecuación (4)y '=xx+−yyYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’⎛ x + ydy = ⎟ ⎞⎜dx⎝ x − y ⎠multiplicando por ( x – y )(x + y) dx + (y -x ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 <strong>de</strong>homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0 )⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ ⎤x ⎢ ⎜1+ ⎟ dx + ⎜ − 1⎟dy⎥= 0(6)⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎦⎧ y1⎪v=multiplicando por y efectuando el cambio <strong>de</strong> variable ⎨ xx ⎪ ⎩ y = v x ⇒ dy = v dx + x dvla ecuación (6) queda( 1 + v ) dx + ( v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0Desarrollando y sacando factor común dx( 1 + v + v 2 – v ) dx + x (v – 1 ) dv = 0simplificando( 1 + v 2 ) dx + x ( v – 1 ) dv = 0 (7)La ecuación (7) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las1variables, basta con multiplicar la ecuación (7) por el factor2x 1+v( )
50integrando1x( v −1)dx +2( 1 + vdv)=0∫ +∫1 v − 1dxdv = C22(8)x 1+vAmbas integrales son inmediatas∫v − 121+v∫1dx = ln | x | + C 3x∫v∫1dv = dv – dv221+v 1+v1∫2 v∫1= dv – dv2 221+v 1+v1 2= ln 1+ v – arctg v + C 42Sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (8)1 2ln | x | + ln 1+ v – arctg v = C (9)2Multiplicando por 2 y aplicando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmo, la ecuación (9) setransforma en2 2ln ( 1 v )Devolviendo el cambio <strong>de</strong> variable<strong>de</strong>sarrollando y simplificandoaplicando elnlnx + - 2 arctg v = 2C⎛ 2 ⎞2 ⎜ ⎛ y ⎞⎟⎟ ⎛ y ⎞x 1+⎜ - 2 arctg ⎜ ⎟ = 2C⎜ ⎟⎝⎝ x ⎠⎠⎝ x ⎠y⎜⎝ x2 2 ⎛ ⎞x + y - 2 arctg ⎟⎠2 2( + y )− 2arctg⎛ y ⎞⎜ ⎟⎝ x ⎠= 2Cx e = K (10)La ecuación (10) representa la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º a la familia <strong>de</strong> curvasy = C 1 x
19. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia <strong>de</strong> curvas x 2 + y 2 = C 1 x51SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas dada x 2 + y 2 = C 1 x (1)El haz <strong>de</strong> curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se <strong>de</strong>be <strong>de</strong>rivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto <strong>de</strong> x2 x + 2 y y’ = C 1 (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 está <strong>de</strong>be buscareliminarse a partir <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).⎪⎧2 2x + y = C1x⎨⎪⎩ 2x + 2 y y' = C1Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resultax 2 + y 2 = ( 2 x + 2 y y’ ) x<strong>de</strong>sarrollando y simplificandoy 2 – x 2 = 2 x y y’ (3)La ecuación (3) representa la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dadax 2 + y 2 = C 1 xPara obtener la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º <strong>de</strong>bey ' − tg 45 º y ' −1sustituirse y’ en la ecuación (3) por=1+y ' tg 45 º 1+y 'y 2 – x 2 ⎛ y ' −1= 2 x y ⎟ ⎞⎜⎝ 1+y ' ⎠multiplicando por ( 1 + y’ )( y 2 – x 2 ) + ( y 2 – x 2 ) y’ = 2 x y y’ – 2 x ysacando factor común y’( y 2 – x 2 – 2 x y ) y’ + y 2 – x 2 + 2 x y = 0 (4)La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º <strong>de</strong>la familia x 2 + y 2 = C 1 xDespejando y’ <strong>de</strong> la ecuación (4)y '=2 2y − x + 2 x y2 2x − y + 2xyYa que la diferencial <strong>de</strong> la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta
⎛ 2 2 ⎞dy = ⎜ y − x + 2 x y ⎟ dx⎜ 2 2 ⎟⎝ x − y + 2xy ⎠multiplicando por ( x 2 – y 2 + 2xy )(y 2 – x 2 + 2 x y) dx + (y 2 – x 2 – 2 x y ) dy = 0 (5)La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 <strong>de</strong>homogeneidad. Sacando factor común x 2 en la ecuación (5) ( x ≠ 0)multiplicando por⎡⎛2y y ⎞ ⎛ 2y y ⎞ ⎤x 2 ⎢⎜⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 2 dx ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ − 1−2⎜⎟⎟x x x xdy ⎥ =⎢⎜⎟ ⎜⎟ ⎥0⎣⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎦⎧ y1 ⎪v=y efectuando el cambio <strong>de</strong> variable2⎨ xx⎪ ⎩ y = v x⇒dy = v dx + x dvla ecuación (6) queda( v 2 + 2v – 1) dx + ( v 2 – 2v –1 ) (v dx + x dv ) = 0<strong>de</strong>sarrollando y sacando factor común dx(v 2 + 2v – 1 + v 3 – 2v 2 - v ) dx + x (v 2 – 2v – 1 ) dv = 0simplificando( v 3 – v 2 + v – 1 ) dx + x ( v 2 – 2v – 1 ) dv = 0 (7)La ecuación (7) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor3 2x v − v + v −1integrando21 (v − 2v −1)dx +dvx 3 2(v − v + v −1)( )=∫1∫2(v −2v−1)dx + dvx3 2= C 2 (8)( v − v + v −1)052(6)Resolviendo las integrales∫1dx = ln | x | + C 3x∫2(v − 2v −1)En la integral dv3 2, factorizando el <strong>de</strong>nominador(v − v + v −1)v 3 – v 2 + v – 1 = ( v – 1 ) ( v 2 + 1 )sustituyendo en la integral
53∫2(v − 2v −1)dv3 2(v − v + v −1)2∫v − 2v − 1=2(v − 1)(v + 1)dvEl integrando se <strong>de</strong>scompone como suma <strong>de</strong> fracciones simples2v − 2v −12(v −1)(v + 1)A=(v −1)Bv + C+2v + 12(A + B)v + (C − B) v + (A − C)=2(v −1)(v + 1)(9)Comparando los numeradoresv 2 – 2v – 1 = ( A + B ) v 2 + ( C – B ) v + ( A – C )por igualdad entre polinómios⎧A+ B = 1⎪⎨C− B = −2⎪⎩A− C = −1resolviendo este sistema <strong>de</strong> ecuaciones, se obtieneA = – 1 B = 2 C = 0sustituyendo los valores obtenidos para A, B y C en la ecuación (9)∫2v − 2v − 12(v − 1)(v + 1)−1dv +∫ ∫=v −1v +2vdv21(10)Ambas integrales son inmediatas∫1dv = ln | v – 1 |v −1∫2v2v + 1dv = ln | v 2 + 1 |sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (10)∫2v − 2v − 1= – ln | v – 1 | + ln | v 2 + 1 |2(v − 1)(v + 1)aplicando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmo y <strong>de</strong>volviendo el cambio <strong>de</strong> variable∫2v − 2v − 12(v − 1)(v + 1)= lnv 2 1v −+1+ C 4 = ln⎛ y ⎞2 ⎜ ⎟ + 1⎝ x ⎠⎛ y ⎞⎜ ⎟ −1⎝ x ⎠sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (8)ln | x | +ln22y + xx (y − x)= C 5+ C 4 = ln22y + xx (y − x)+ C 4
aplicando eAplicando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmoln2x + yy − x2= C 5( x 2 + y 2 ) = C ( y – x ) (11)La ecuación (11) representa la familia <strong>de</strong> trayectorias a 45º a la familia <strong>de</strong> curvasx 2 + y 2 = C 1 x20. Obtenga la curva <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> las trayectorias a 60º <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> curvasx 2 + y 2 ⎛ 1 3 ⎞= C 1, que pasa por el punto ⎜ ⎟,⎝ 2 2 ⎠SOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas dada x 2 + y 2 = C 1 (1)El haz <strong>de</strong> curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se <strong>de</strong>be <strong>de</strong>rivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto <strong>de</strong> x2 x + 2 y y’ = 0equivalentementex + y y’ = 0 (2)Ya que la ecuación (2) no posee la constante arbitraria C 1 , está representa la ecuacióndiferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dada x 2 + y 2 = C 1Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 60º <strong>de</strong>bey ' − tg 60 º y ' − 3sustituirse y’ en la ecuación (2) por=1+y ' tg 60 º 1+3 y 'multiplicando por ( 1 + 3 y’ )sacando factor común y’x + y⎛⎜y ' − 3⎝ 1+3 y '⎞⎟ = 0⎠x + 3 x y’ + y y’ – 3 y = 0( 3 x + y ) y’ + x – 3 y = 0 (3)La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 60º <strong>de</strong>la familia x 2 + y 2 = C 154Despejando y’ <strong>de</strong> la ecuación (3)y '=33y − xx + y
55Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta⎛ ⎞dy = ⎜3 y − x⎟ dx⎝ 3 x + y ⎠multiplicando por ( 3 x + y )( x – 3 y ) dx + ( 3 x + y ) dy = 0 (4)La ecuación (4) es una ecuación diferencial homogénea con grado 1 <strong>de</strong>homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (4) ( x ≠ 0)x⎡⎛⎢⎜⎣⎝⎛ y ⎞⎞⎛ ⎛ y ⎞⎞⎤1 − 3 ⎜ ⎟⎟dx + ⎜ 3 + ⎜ ⎟⎟dy⎥=⎝ x ⎠⎠⎝ ⎝ x ⎠⎠⎦0(5)multiplicando por x1la ecuación (5) queda⎧ y⎪v=y efectuando el cambio <strong>de</strong> variable ⎨ x⎪ ⎩ y = v x( 1 – 3 v ) dx + ( 3 + v ) (v dx + x dv ) = 0⇒dy = v dx + x dvDesarrollando y sacando factor común dx(1 – 3 v + 3 v + v 2 ) dx + x ( 3 + v) dv = 0simplificando( 1 + v 2 ) dx + x ( 3 + v) dv = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (6) por el factor2x 1+vintegrando1x3 + vdx + dv2(1+v )( )=0∫1∫dx +x⎟ ⎞⎜ ⎛ 3 + vdv2= C 2 (7)⎝ 1+v ⎠Ambas integrales son inmediatas∫1dx = ln |x| + C 3x
56∫⎛⎟ ⎞⎜3 + vdv2⎝ 1+v ⎠31dv +2v∫ ∫=1+v 2 1+2v2dv= 3 arctg v + 21 ln | 1 + v2 | + C4sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (7)ln | x | + 3 arctg v + 21 ln | 1 + v2 | = C5 (8)<strong>de</strong>volviendo el cambio <strong>de</strong> variable⎛ y ⎞ 1 ⎡ 2⎛ y ⎞ln | x | + 3 arctg ⎜ ⎟ + ln⎝ x ⎠ 2 ⎥ ⎥ ⎤⎢1 + ⎜ ⎟ = C 5⎢⎣⎝ x ⎠⎦multiplicando por 2 y efectuando las operaciones⎛ y ⎞ ⎡ 2 2x + y ⎤2 ln | x | + 2 3 arctg ⎜ ⎟ + ln ⎢ ⎥ = 2 C⎝ x ⎠25⎢⎣x ⎥⎦aplicando las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> logaritmo⎡ ⎛ 2 2 ⎞⎤2⎢ ⎜ x + y ⎟⎛ y ⎞ln x⎥ + 2 3 arctg ⎜ ⎟ = 2C⎢ ⎜ 2 ⎟5⎣ ⎝ x ⎠⎥⎦⎝ x ⎠aplicando e⎛ y ⎞( x 2 + y 2 2 3 actrg⎜⎟)⎝ xe ⎠ = K (9)+ y 2 = C 1La ecuación (9) representa la familia <strong>de</strong> trayectorias a 60º a la familia <strong>de</strong> curvas x 2Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuación (9), que⎛ ⎞pasa por el punto ⎜1 3⎟1 , se sustituye en dicha ecuación x = , y = .⎝ 2 2 ⎠2 23K =⎡⎢⎛1⎞⎜ ⎟⎢⎝2⎠⎣22⎛ ⎞⎤⎜3+ ⎟ ⎥⎝ 2 ⎠⎥⎦e 2 3 arctg 3 =Este valor <strong>de</strong> K se sustituye en la ecuación (10)⎜⎛ π⎟⎞⎡ 1 3⎤2 3⎝ ⎠⎢ + 3⎥ e⎣44⎦=e⎛ ⎞⎜2 3 π⎟⎝3⎠multiplicando pore⎛⎜−⎝2( x 2 + y 2 )3 π ⎞⎟3⎠2⎛ y ⎞3 actrg⎜⎟⎝ x ⎠e =e⎛⎜2⎝3 π ⎞⎟3⎠( x 2 + y 2 )⎡ ⎛ y ⎞ π⎤2 3 ⎢actrg⎜⎟ − ⎥⎣ ⎝ x ⎠ 3e ⎦ = 1 (10)
La ecuación (10), es la ecuación <strong>de</strong> la curva perteneciente a la familia <strong>de</strong> trayectoriasa 60º <strong>de</strong>l haz <strong>de</strong> curvas x 2 + y 2 ⎛ ⎞= C 1 , que pasa por el punto ⎜1 3, ⎟⎝ 2 2 ⎠21. Obtenga la curva <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> las trayectorias a 135º <strong>de</strong> la familia <strong>de</strong> curvasy = Ce − 2 xSOLUCIÓN:Se <strong>de</strong>be comenzar por <strong>de</strong>terminar la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong>curvas dada y = C e -2x + 3x (1)El haz <strong>de</strong> curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se <strong>de</strong>be <strong>de</strong>rivaruna sola vez. Derivando implícitamente respecto <strong>de</strong> xy’ = - 2 C e − 2 x + 3 (2)Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C 1 , esta <strong>de</strong>berá eliminarse <strong>de</strong>lsistema <strong>de</strong> ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2)⎪⎧ −2xy = C e + 3x⎨−2x⎪⎩ y ' = − 2C e + 32 x<strong>de</strong>spejando C e − <strong>de</strong> la ecuación (1),C e − 2 x = y – 3x (3)sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)y’ = – 2 ( y – 3x ) + 3 (4)57y = CLa ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> curvas dadae − 2 x+ 3xPara obtener la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 135º <strong>de</strong>bey ' − tg135 º y ' + 1sustituirse y’ en la ecuación (4) por=1+y ' tg135 º 1−y 'multiplicando por ( 1 – y’ )sacando factor común y’y ' + 11−y '= –2y + 6x + 3y’ + 1 =–2y + 6x + 3 – y’ (–2y + 6x +3)(– 2y +6x + 4 ) y’ = –2y + 6x + 2 (5)La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia <strong>de</strong> trayectorias a 135º<strong>de</strong> la familia y = Ce − 2 x+ 3x
Despejando y’ <strong>de</strong> la ecuación (5)− 2y + 6x + 2y ' =− 2y + 6x + 4=− y + 3x + 1− y + 3x + 258Ya que la diferencial <strong>de</strong> la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’⎛ − y + 3x + 1dy =⎟ ⎞⎜dx⎝ − y + 3x + 2 ⎠multiplicando por (3x – y + 2)( 3x – y + 1 ) dx + (–3x + y – 2) dy = 0 (6)La ecuación (6) es una ecuación diferencial reducible a una <strong>de</strong> variable separable, yaque las funciones involucradas, 3x – y + 1 = 0 , – 3 x + y – 2 = 0 representan ecuaciones <strong>de</strong>rectas paralelas (ambas tienen pendiente 3).Para resolver la ecuación diferencial (6) se efectúa el cambio <strong>de</strong> variable⎧v= 3x − y⎨⎩y= 3x − v ⇒ dy = 3 dx − dvsustituyendo el cambio <strong>de</strong> variable en (6)( v + 1 ) dx + ( – v – 2 ) ( 3 dx – dv ) = 0<strong>de</strong>sarrollando y sacando factor común dx( v + 1 – 3v – 6 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0simplificando(–2v – 5 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 (7)La ecuación (7) es una ecuación diferencial <strong>de</strong> variables separables. Para separar las1variables, se multiplica la ecuación (7) por el factor( − 2v − 5 )integrandodx –⎛⎜⎝v + 22v + 5⎞⎟⎠dv = 0∫ dx ∫⎛ v ⎞– ⎜+ 2⎝⎟ dv = C 2 (8)2v + 5 ⎠Ambas integrales son inmediatas∫dx = x + C 3∫⎛ v + 2 ⎞ 1∫⎛ 2v + 5 −1⎞1⎜ ⎟ dv = ⎜ ⎟ dv =⎝ 2v + 5 ⎠ 2 ⎝ 2v + 5 ⎠ 2⎡⎤⎢∫∫1dv −dv⎥⎢ 2v + 5 ⎥⎣⎦1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 1 ⎤= ⎢ v − ln 2v + 52⎥ + C 4 =⎣ 2⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ + C 4⎦ ⎣ 2 4 ⎦
59sustituyendo los resultados <strong>de</strong> las integrales en la ecuación (8)⎡ 1 1 ⎤x – ⎢ v − ln 2v + 5 ⎥ = C 5⎣ 2 4 ⎦multiplicando por 4 y <strong>de</strong>volviendo el cambio <strong>de</strong> variable4x – 2 (3x – y) + ln | 2( 3x – y ) + 5 |= 4 C 5efectuando las operaciones– 2x + 2y + ln | 6x – 2y + 5 | = 4 C 5aplicando ee 2 ( y – x ) ( 6x – 2y + 5 ) = K (9)y = CLa ecuación (9) representa la familia <strong>de</strong> trayectorias a 135º a la familia <strong>de</strong> curvase − 2 x+ 3x