2 2 2 0 Ax By Cz Dx Ey Fz G + + + + + + = 2 2 2 1 2 2 2 xyzabc + + ...

Superficies Cuadráticas. Ing. Luis Di Stefano pág. 1Superficies cuadráticas: La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variablesAx2+ By2+ Cz2+ Dx + Ey + Fz + G = 0se conocen como superficies cuadráticas en el espacio, salvo casos degenerados.ElipsoideLa gráfica de laecuación:x2y2z2+ + = 1a2b2c2Es simétrico con respecto a cadauno de los tres planos coordenadosy tiene intersección con los ejescoordenado en( ± a,0,0) (0, ± b,0) (0,0 ± c)y latraza del elipsoide sobre cada unode los planos coordenados es unaelipseLa superficie será una esfera si :a = b= c≠0Paraboloide elípticoLa gráfica de laecuaciónx 2 2+ y =za2b2 cSus trazas sobre planos horizontalesz = k ( plano xy), son elipsesSus trazas sobre planos verticales,y = k (xz) o los planos, x = k(yz) son parábolas.El eje del paraboloide correspondea la variable elevada a la potenciaunidad.ParaboloidehiperbólicoLa gráfica de laecuación:x 2 2− y =zb2a2 cSus trazas sobre planoshorizontales z = k (xy) sonhipérbolas o dos rectas z=0. Sustrazas sobre planos verticalesparalelos al plano xz son parábolasque abren hacia abajo, mientras quelas trazas sobre planos verticalesparalelos al plano yz son parábolasque abren hacia arriba. Su gráficatiene la forma de una silla demontar. El eje del paraboloidecorresponde a la variable elevada ala potencia unidad.

Superficies Cuadráticas. Ing. Luis Di Stefano pág. 2Cono elípticoLa gráfica de laecuación:x2y2z2+ − = 0a2b2c2Sus trazas sobre planoshorizontales z = k (xy) sonelipses. Sus trazas sobre planosverticales corresponden ahipérbolas o un par de rectasEl eje del cono corresponde a lavariable cuyo coeficiente esnegativo.Hiperboloide de unahojaLa gráfica de laecuación:x2y2z2+ − = 1a2b2c2Sus trazas sobre planoshorizontales z = k (xy) son elipsesx 2 2 2+ y = 1 +ka2b2c2Sus trazas sobre planos verticalesson hipérbolas o un par de rectas quese interceptanEl eje del hiperboloide correspondea la variable cuyo coeficiente esnegativo.Hiperboloide de doshojasLa gráfica de laecuación:z2y2x2− − = 1c2b2a2Su gráfica consta de dos hojasseparadas. Sus trazas sobre planoshorizontales z = k (xy) son elipsesy sobre planos verticales sonhipérbolasEl eje del hiperboloide correspondea la variable cuyo coeficiente espositivo. No hay traza en el planocoordenado perpendicular a este eje