Métodos Numéricos - 2011 Práctica N 1 Ecuaciones no-lineales 1 ...

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 7Interpolación - Integración Numérica1. Encontrar una parábola que pase por (0,1), (1,2) y (2,3)2. Encontrar una cúbica que pase por (0,1), (1,0), (2,1), y (3,0)3. Dados los siguientes valoresx 0 1 2 3 4 5F(x) -4 -2 2 14 40 86a) Obtenga el polinomio de interpolación en la base natural 1, x, x 2 , etc.b) Obtenga los polinomios de interpolación de Lagrange.4. Sea ˜p ∈ P 2 el polinomio que interpola la función seno en los extremos y en el centro del intervalo [0, π 6 ].Estimar el máximo error. Haga lo mismo para [ π 6 , π 2 ]5. Encontrar una cuártica a través de (−2, a), (−1, b), (0, c), (1, b) y (2, a). Notar que la simetría eliminalas potencias x y x 3 .6. Calcular J 1 = ∫ π3 + π 2π sin 2 (x)dx y J 2 = ∫ 1∣−1∣x − 1 ∣ (2x − 1 2)dx3a) usando la regla de Simpson con 3,5,7 y 9 nodos.b) usando Gauss-Legendre con 2,3,4 y 5 nodos.Compare la cantidad de cálculos y la convergencia en cada caso.7. Calcular las siguientes integrales definidas utilizando los métodos de Newton-Cotes (de tipo cerrado)y Gauss-Legendre. Comparar la cantidad de cálculos y la velocidad de convergencia.a) ∫ 10 10x dx = 10x ∣ 1ln 10 0 = 9ln 10 ≃ 3.90865034.b) ∫ 1 40dx = 4 arctan(x)| 1 1+x 2 0 = π.c) ∫ 1011xdx = ln x|101= ln 10 ≃ 2.30258509.