Métodos Numéricos - 2011 Práctica N 1 Ecuaciones no-lineales 1 ...

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 5Aproximación1. Muestre que en ( R 2 , || · || 2)cada elemento x = (x1 , x 2 ) tiene una única “mejor aproximación” desde elsemiplano inferior cerrado.2. Sea f ∈ C[−1, 1] , f(x) = e x . Encuentre las mejores aproximaciones de f desde P k , 0 ≤ k ≤ 2 conrespecto a la norma || · || 2 usando ecuaciones normales y expandiendo f en polinomios de Legendre.3. Sea f ∈ C[−∞, +∞] periódica con f(x) = x 2 para x ∈ [−π, π]a) Encuentre la expansión en Serie de Fourier en términos de funciones trigonométricas y esquematicelas mejores aproximaciones de f desde span(g 1 ...g 3 ) y desde span(g 1 ...g 5 )b) ¿Cómo puede usarse esta expansión para calcular el valor de π? ¿Cuántos términos se necesitanpara obtener π con una precisión de 5 × 10 −k ?4. Sea f ∈ C[−π, +π] , f(x) = x 2 periódica. Encuentre la mejor aproximación desdespan(1, cos x, sen x, cos(2x), sen(2x)) con respecto a la norma en R inducida por el producto interno∑〈f, g〉 = 6 f(x i )g(x i ) con x i = (i − 1) 2π 6 , 1 ≤ i ≤ 615. Usando el MMC, encuentre todas las mejores aproximaciones desde P 2 y P 3 de (-1,0) (-1,1) (0,1) (1,2)y (1,3)6. Encuentre las mejores aproximaciones en el sentido de cuadrados mínimos desde P 1 y P 2 para (1,2)(2,1) y (3,3).7. Encontrar las mejores aproximaciones por MMC desde span(1, e x ), desde P 2 y desde P 3x 1 2 1 3 1 2 3 2 3y 0 2 2 2 1 1 0 0 1