Métodos Numéricos - 2011 Práctica N 1 Ecuaciones no-lineales 1 ...

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 2Matrices-Operaciones-Normas1. Sea B ∈ R 4×4 a la que se le aplican las siguientes operaciones:i Duplicar la columna 1.ii Dividir por 2 la fila 3.iii Sumar la fila 3 a la fila 1.iv Intercambiar las columnas 1 y 4.v Restar la fila 2 a todas las demás.vi Reemplazar la columna 4 con la 3.vii Borrar la columna 1 (quedando una matriz de 4 × 3).a) Escribir el resultado como producto de 8 matrices.b) Escribir el resultado nuevamente como un producto (ABC) de 3 matrices.2. Probar que si x, y ∈ R n , entonces: ( xy T ) k =(x T y ) k−1 xy T .3. Probar que si A = [a 1 a 2 ...a n ] ∈ R m×n y B = [b 1 b 2 ...b n ] ∈ R p×n , son las particiones en columnas delas matrices A y B, entonces:n∑AB T = a i b T i4. Sea A ∈ R n×n , b ∈ R n y Φ : R n → R definida por Φ(x) = 1 2 xT Ax − x T b. Probar que:i=1∇Φ(x) = 1 2 (AT + A)x − b5. Muestre que si A ∈ R m×n tiene rango p, entonces existen X ∈ R m×p e Y ∈ R n×p tales que A = XY T ,con rango(X) = rango(Y ) = p.6. Sea || · || una norma vectorial en R m y sea A ∈ R m×n . Muestre que si el rango de A es n, entonces||x|| A = ||Ax|| es una norma vectorial en R n .7. Sean x e y ∈ R n , definimos ψ : R → R como ψ(α) = ||x − αy|| 2 . Muestre que ψ tiene un mínimo enα = xT yy T y .8. Verificar que las normas p (con p = 1, 2, ∞) son efectivamente normas vectoriales.9. Mostrar las equivalencias entre las normas p (con p = 1, 2, ∞). Ayuda: Dibuje en R 2 las “bolasunitarias” (i.e.: {x} : ||x|| ≤ 1) de cada norma.