Métodos Numéricos - 2011 Práctica N 1 Ecuaciones no-lineales 1 ...

1. Considere las siguientes funciones:ϕ 1 (x) = 2x − 1.ϕ 2 (x) = x 2 − 2x + 2.ϕ 3 (x) = x 2 − 3x + 3.Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 1Ecuaciones no-linealesa) Verifique que 1 es punto fijo de todas ellas. ¿Cuál elegiría para obtener el punto fijo 1 utilizandoel proceso iterativo: x k+1 = ϕ(x k )?b) Con esa elección, escriba los primeros elementos de la secuencia generada con x 0 = 1.2.2. La fórmula x n+1 = 2x n − Ax 2 n es propuesta para determinar el inverso de un número A: 1/A.a) Muestre que, si la fórmula converge, converge a 1 A .b) Determine los límites de la semilla inicial x 0 para obtener la convergencia. Verifique sus conclusionescuando A = 9 y x 0 = 0.1, x 0 = 1.0.c) ¿Cuál es la tasa de convergencia del método?3. Se desea calcular la raíz que tiene la función e x − 4x en el intervalo [0, 1], utilizando el método deaproximaciones sucesivas y el método de Newton.a) Obtenga una expresión que garantice la convergencia del método de aproximaciones sucesivas,partiendo de cualquier punto en [0, 1]. Obtenga una aproximación aplicando 5 pasos, a partir dex 0 = 0.b) Obtenga otra aproximación, aplicando 5 pasos de Newton-Raphson, partiendo de la misma semilla.c) Estime en cada caso el error de la aproximación.4. Se desea calcular la raíz cúbica de un número a entre 1 y 8, con 15 cifras decimales significativas,utilizando únicamente operaciones elementales (+,-,*,/).a) Se propone hallar un cero de la función f(x) = x 3 −a, mediante el método de bisección. ¿Cuántasiteraciones se necesitarán para llegar a la precisión requerida?b) Si se utiliza el método de Newton para hallar un cero de la misma función f(x) = x 3 − a, ¿concuántas iteraciones se puede garantizar la precisión requerida?c) Muestre que también se puede resolver el problema hallando un punto fijo de la función: g(x) =x − 2 (15 x 3 − a ) , y que el método de aproximaciones sucesivas converge en el intervalo de interés.¿Cuántas iteraciones se necesitarán en este caso para garantizar la precisión requerida?5. Aplique dos iteraciones del método de Newton para calcular la solución del sistema de ecuaciones:{ x 2 + y 2 − 4 = 0xy − 1 = 0con condición inicial (0, 2). Verifique el error relativo obtenido.

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 2Matrices-Operaciones-Normas1. Sea B ∈ R 4×4 a la que se le aplican las siguientes operaciones:i Duplicar la columna 1.ii Dividir por 2 la fila 3.iii Sumar la fila 3 a la fila 1.iv Intercambiar las columnas 1 y 4.v Restar la fila 2 a todas las demás.vi Reemplazar la columna 4 con la 3.vii Borrar la columna 1 (quedando una matriz de 4 × 3).a) Escribir el resultado como producto de 8 matrices.b) Escribir el resultado nuevamente como un producto (ABC) de 3 matrices.2. Probar que si x, y ∈ R n , entonces: ( xy T ) k =(x T y ) k−1 xy T .3. Probar que si A = [a 1 a 2 ...a n ] ∈ R m×n y B = [b 1 b 2 ...b n ] ∈ R p×n , son las particiones en columnas delas matrices A y B, entonces:n∑AB T = a i b T i4. Sea A ∈ R n×n , b ∈ R n y Φ : R n → R definida por Φ(x) = 1 2 xT Ax − x T b. Probar que:i=1∇Φ(x) = 1 2 (AT + A)x − b5. Muestre que si A ∈ R m×n tiene rango p, entonces existen X ∈ R m×p e Y ∈ R n×p tales que A = XY T ,con rango(X) = rango(Y ) = p.6. Sea || · || una norma vectorial en R m y sea A ∈ R m×n . Muestre que si el rango de A es n, entonces||x|| A = ||Ax|| es una norma vectorial en R n .7. Sean x e y ∈ R n , definimos ψ : R → R como ψ(α) = ||x − αy|| 2 . Muestre que ψ tiene un mínimo enα = xT yy T y .8. Verificar que las normas p (con p = 1, 2, ∞) son efectivamente normas vectoriales.9. Mostrar las equivalencias entre las normas p (con p = 1, 2, ∞). Ayuda: Dibuje en R 2 las “bolasunitarias” (i.e.: {x} : ||x|| ≤ 1) de cada norma.

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 4LaboratorioSistemas de ecuaciones lineales1. Programar en OCTAVE el método de descomposición LU para la resolución de sistemas de ecuacioneslineales. Luego, agregar pivoteo parcial (recuerde que para aplicar el método a la resolución de unsistema Ax = b, es necesario registrar las permutaciones hechas sobre las filas de la matriz y aplicarlasal vector b). Medir el tiempo de cálculo para diferentes tamaños de la matriz A para mostrar que elmétodo es de orden N 3 . Utilizar matrices random. Se sugiere generar soluciones random y calcular elvector segundo miembro resultante para poder calcular también el error de la solución obtenida.2. Se pretende resolver el sistema lineal Ax = b, donde A ∈ R n×n es una matriz tridiagonal (que típicamenteaparece en la discretizacion de problemas de difusión) y b ∈ R n es un vector segundo miembro(que podría pensarse como un término fuente en dicho problema de difusión).La matriz A tiene la siguiente pinta para n = 5 por ejemplo⎛A =⎜⎝Dicha matriz puede ser almacenada de dos formas:2 −1 0 0 0−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 2Como una matriz “llena”, donde se guardan todos los elementos de la matriz.Como una matriz “rala”, donde se guardan solo los elementos no nulos y cierta información sobrela posición de dichos elementos no nulos.Con las siguientes instrucciones se puede generar la matriz A en ambos formatosS1 = sparse([1:n], [1:n], 2*ones(1,n), n, n, 0)S2 = sparse([1:n-1], [2:n], -1*ones(1,n-1), n, n, 0)S3 = sparse([2:n], [1:n-1], -1*ones(1,n-1), n, n, 0)A = full(S1 + S2 + S3) # Si se quiere la matriz en formato LLENOA = S1 + S2 + S3 # Si se quiere la matriz en formato RALOb = ones(1,n)/(n + 1)**2 # Para generar el vector segundo miembroProgramar el método de gradientes conjugados y evaluar el tiempo de cálculo para diferentes tamañosde la matriz del sistema (por ejemplo hasta n = 5000). Además compare el tiempo de cálculo cuandose emplea el formato ralo o el formato lleno de almacenamiento. (No se preocupe por el hecho de quela matriz es rala pues OCTAVE “sabe” como operar con dichas matrices)3. Programar el método de gradientes conjugados con escaleo diagonal (esto es utilizar la matriz originaly el precondicionador, no la matriz modificada). Comparar el número de condición K de la matrizA del sistema original y de la matriz à = E−1 AE −T del sistema precondicionado y el número deiteraciones necesario para la convergencia en cada caso. Use una matriz que sea simétrica, definidapositiva y con autovalores entre 1 y 10 5 equiespaciados (en escala logarítmica), construida usando lassiguientes líneas de OCTAVE⎞⎟⎠

and("seed", 1.0)v = 5/(n-1) * (0:n-1)D = (10 .** v)A = eye(n) + 0.01*rand(n,n) ← A = I + pequeña perturbación.[Q R] = qr(A) ← Descomposicion QR (Q unitaria, R triangular)A = Q’*diag(D)*QPara medir el tiempo de cálculo agregue las siguientes lineas a su programat1 = time();#Justo antes de empezar a resolvert2 = time() - t1#Justo despues de resolver

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 5Aproximación1. Muestre que en ( R 2 , || · || 2)cada elemento x = (x1 , x 2 ) tiene una única “mejor aproximación” desde elsemiplano inferior cerrado.2. Sea f ∈ C[−1, 1] , f(x) = e x . Encuentre las mejores aproximaciones de f desde P k , 0 ≤ k ≤ 2 conrespecto a la norma || · || 2 usando ecuaciones normales y expandiendo f en polinomios de Legendre.3. Sea f ∈ C[−∞, +∞] periódica con f(x) = x 2 para x ∈ [−π, π]a) Encuentre la expansión en Serie de Fourier en términos de funciones trigonométricas y esquematicelas mejores aproximaciones de f desde span(g 1 ...g 3 ) y desde span(g 1 ...g 5 )b) ¿Cómo puede usarse esta expansión para calcular el valor de π? ¿Cuántos términos se necesitanpara obtener π con una precisión de 5 × 10 −k ?4. Sea f ∈ C[−π, +π] , f(x) = x 2 periódica. Encuentre la mejor aproximación desdespan(1, cos x, sen x, cos(2x), sen(2x)) con respecto a la norma en R inducida por el producto interno∑〈f, g〉 = 6 f(x i )g(x i ) con x i = (i − 1) 2π 6 , 1 ≤ i ≤ 615. Usando el MMC, encuentre todas las mejores aproximaciones desde P 2 y P 3 de (-1,0) (-1,1) (0,1) (1,2)y (1,3)6. Encuentre las mejores aproximaciones en el sentido de cuadrados mínimos desde P 1 y P 2 para (1,2)(2,1) y (3,3).7. Encontrar las mejores aproximaciones por MMC desde span(1, e x ), desde P 2 y desde P 3x 1 2 1 3 1 2 3 2 3y 0 2 2 2 1 1 0 0 1

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 6Aproximación NuméricaPráctica computacional1. Programar en OCTAVE la aproximación por cuadrados mínimos de un conjunto de puntos dato. Elespacio de aproximantes V K está formado por los polinomios de hasta orden K. Resolver utilizando lasecuaciones normales y descomposición QR, compare los resultados. Incluya, además, una tabla dondese muestre el número de condición de la matriz G T G en funcion de K. En un mismo gráfico mostrarlos puntos y las distintas aproximantes obtenidas para cada valor de K, use al menos 300 puntos paragraficar los polinomios. Utilice los puntos generados por el siguiente programa en octave:m=11;x=1.0/(m-1)*(0:m-1)’;rand("seed", 1.0);y=8.*(x.-0.2).*(x.-0.4).*(x.-0.65).*(x.-1).+0.5.+0.04*(rand(m,1).-0.5)Hint: Para evaluar el polinomio de orden n y coeficientes a 0 , a 1 , ..., a n , puede utilizar la función “polyval”de octave:y=polyval([a n , a n−1 , ..., a 1 , a 0 ], x);

Métodos Numéricos - 2011Práctica N ◦ 7Interpolación - Integración Numérica1. Encontrar una parábola que pase por (0,1), (1,2) y (2,3)2. Encontrar una cúbica que pase por (0,1), (1,0), (2,1), y (3,0)3. Dados los siguientes valoresx 0 1 2 3 4 5F(x) -4 -2 2 14 40 86a) Obtenga el polinomio de interpolación en la base natural 1, x, x 2 , etc.b) Obtenga los polinomios de interpolación de Lagrange.4. Sea ˜p ∈ P 2 el polinomio que interpola la función seno en los extremos y en el centro del intervalo [0, π 6 ].Estimar el máximo error. Haga lo mismo para [ π 6 , π 2 ]5. Encontrar una cuártica a través de (−2, a), (−1, b), (0, c), (1, b) y (2, a). Notar que la simetría eliminalas potencias x y x 3 .6. Calcular J 1 = ∫ π3 + π 2π sin 2 (x)dx y J 2 = ∫ 1∣−1∣x − 1 ∣ (2x − 1 2)dx3a) usando la regla de Simpson con 3,5,7 y 9 nodos.b) usando Gauss-Legendre con 2,3,4 y 5 nodos.Compare la cantidad de cálculos y la convergencia en cada caso.7. Calcular las siguientes integrales definidas utilizando los métodos de Newton-Cotes (de tipo cerrado)y Gauss-Legendre. Comparar la cantidad de cálculos y la velocidad de convergencia.a) ∫ 10 10x dx = 10x ∣ 1ln 10 0 = 9ln 10 ≃ 3.90865034.b) ∫ 1 40dx = 4 arctan(x)| 1 1+x 2 0 = π.c) ∫ 1011xdx = ln x|101= ln 10 ≃ 2.30258509.